WO1999048017A2

WO1999048017A2 - Verfahren und anordnung zur rechnergestützten ermittlung einer zugehörigkeitsfunktion

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Publication number: WO1999048017A2
Application number: PCT/DE1999/000525
Authority: WO
Inventors: Bernhard Lang; Thomas Poppe
Original assignee: Siemens AG; Siemens Corp
Current assignee: Siemens AG; Siemens Corp
Priority date: 1998-03-18
Filing date: 1999-02-26
Publication date: 1999-09-23
Anticipated expiration: 2000-09-18
Also published as: WO1999048020A3; EP1070291A2; JP2002507793A; WO1999048017A3; EP1071999A2; DE59901352D1; EP1071999B1; WO1999048020A2

Abstract

Es wird ein Verfahren und eine Anordnung zur rechnergestützten Ermittlung einer Zugehörigkeitsfunktion für einen Datenpunkt zu einem ausgewählten Cluster in einem vorgegebenen Raum, welche Zugehörigkeitsfunktion die Zugehörigkeit von dem Datenpunkt zu dem ausgewählten Cluster beschreibt, angegeben. Bei dem Verfahren wird ein Clusterring unter Verwendung vorgegebener Datenpunkte durchgeführt und mindestens drei Cluster ermittelt. Für jeden Cluster wird ein zugehöriges Clusterzentrum bestimmt. Die Zugehörigkeitsfunktion wird in Abhängigkeit von Abständen von dem ausgewählten Clusterzentrum jeweils zu den zu dem ausgewählten Clusterzentrum nächstbenachbarten Clusterzentren ermittelt.

Description

Be s ehr e ibung

Verfahren und Anordnung zur rechnergestützten Ermittlung einer Zugehörigkeitsfunktion

Die Erfindung bezieht sich auf die Ermittlung einer Zugehörigkeitsfunktion. Eine solche Zugehörigkeitsfunktion wird im Rahmen einer Abbildung einer Eingangsgröße auf eine Ausgangsgröße unter Verwendung eines neuronalen Netzes oder eines Fuzzy-Systems verwendet.

Eine Ermittlung einer derartigen Zugehörigkeitsfunktion für eine Abbildung durch ein sogenanntes Radiale-Basisfunktionen- Netz (RBF-Netz) ist aus [1] bekannt.

Ein Radiale-Basisfunktionen-Netz ist ein spezielles vorwärtsgerichtetes neuronales Netz, welches eine Abbildung beschreibt, durch die eine Eingangsgröße auf eine Ausgangsgröße abgebildet wird, und welches nur eine Schicht von verdeckten Neuronen besitzt. Ein verdecktes Neuron weist jeweils eine spezielle, radialsymetrische (radiale) Zugehörigkeitsfunktion (Aktivierungsfunktion) auf.

Eine Zugehörigkeitsfunktion bzw. Aktivierungsfunktion ist mathematisch gesehen eine Basisfunktion eines Teilsystems (Teilmodell) eines Systems von Funktionen auf einem Raum (Gesamtmodell) . Das Gesamtmodell wird für eine Abbildung, welche eine Eingangsgröße auf eine Ausgangsgröße in dem Raum abbildet, eingesetzt.

Dabei beschreibt eine Zugehörigkeitsfunktion bzw. Aktivierungsfunktion eine Zugehörigkeit eines Datenpunkts in dem Raum zu dem entsprechenden Teilmodell. Das Teilmodell weist ein sogenanntes Zentrum auf, welches ein

Datenpunkt in dem Raum ist, für welchen Datenpunkt die

Zugehörigkeitsfunktion ein absolutes Maximum liefert. Mit zunehmendem Abstand eines ausgewählten Datenpunkts von dem

Zentrum verringert sich der Wert der Zugehörigkeitsfunktion für den ausgewählten Datenpunkt.

Aus [1] ist bekannt, als eine Zugehörigkeitsfunktion eine Gaußfunktion zu verwenden.

Ein RBF-Netz, wie es aus [1] bekannt ist, läßt sich wie folgt beschreiben:

Es sei f : R —»R eine Funktion von R nach R, die durch N Stützstellen gegeben ist. Jede Stützstelle i besteht aus einem n-dimensionalen Eingabevektor Xi=(xii, ..., *in) ^unc* einem dazugehörigen reellwertigen Funktionswert yieR. Als Interpolationsbedingung gilt:

f(Xi)= yi für alle i= 1, ..., N. (1)

Das für eine Approximation verwendete Funktionensystem besteht aus radialsymetrischen Basisfunktionen hj_, die jeweils einer Stützstelle als jeweiligem Zentrum zugeordnet sind. Sie sind wie folgt definiert:

hi(X) :=f (| | X - Xi II). (2)

Die Basisfunktion h hat positive skalare Werte. Sie ist nur abhängig von einem Abstand eines Vektors X von der entsprechenden Stützstelle Xj_, die einem Neuron i zugeordnet ist, in einer beliebigen, vorgegebenen Norm. Meist wird ein euklidischer Abstand zwischen den Vektoren X und Xj_ im R als

Norm verwendet. Damit erhält man folgende Darstellung für das RBF-Netz:

N f(X) |^χ - Xi : 3 )

mit:

C : Gewichtungsfaktor für das Zentrum i.

In dieser Darstellung weist die radiale Basisfunktion hi

einen Index i auf, weil die radiale Basisfunktion hj_ jeweils für ein zugeordnetes Zentrum i unterschiedliche Charakteristika, wie beispielsweise eine Breite oder eine Varianz einer Gaußfunktion, aufweist.

Ferner ist aus [1] ein Verfahren zu einem Training eines RBF- Netzes bekannt.

Aus [2] und [3] ist ein sogenanntes Fuzzy-Clustering- Verfahren zur Datenanalyse bekannt.

Im Rahmen des Fuzzy-Clusterings werden c Cluster und entsprechende Zugehörigkeiten von Datenvektoren x^ derart bestimmt, daß Datenvektoren, die in einem Datenraum nahe bei einem Cluster liegen, eine möglichst hohe Zugehörigkeit und weit von dem Cluster entfernt liegende Datenvektoren x^ eine möglichst geringe Zugehörigkeit zu dem jeweiligen Cluster aufweisen. Dies wird durch Minimierung einer Summe der mit

Zugehörigkeiten u^m _k gewichteten quadratischen euklidischen

2 Abständen d_j__k erreicht. Es soll also eine Menge X von

Datenvektoren X_k

X = { x_ , X2 , ... , X_k' ... , x_n}

in c Cluster (Untermengen der Menge von Datenvektoren) gruppiert werden.

Die Cluster werden beschrieben durch eine Zugehörigkeitsmatrix U, welche c Zeilen und n Spalten aufweist. Jedes Element uj__k der Zugehörigkeitsmatrix U weist einen Wert innerhalb des Intervalls [0, 1] auf und beschreibt eine Zugehörigkeit des Datenvektors X_k ^zu dem i-ten Cluster.

Die Summe der Zugehörigkeiten des Datenvektors x_k in den c Clustern muß folgender Vorschrift genügen:

c ∑ _ik = 1 Vk = l...n. (8) i=l

Ein Cluster muß mindestens ein Element enthalten, so daß gilt:

n ∑ Ui_k > 0 Vi = 1...C (9) k=l

Die Kostenfunktion J_m der Zugehörigkeitswerte wird gemäß folgender Vorschrift gebildet:

i=lk=l

Ein Abstand di_k wird gebildet gemäß folgender Vorschrift: ^dik = ≥k ^" ∑ll = ^(x_k - v_±) ^• A ^• (x_k - v_±) (11)

A

Es wird mit A eine vorgebbare induzierte Norm des inneren Produkts gemäß Vorschrift (4) bezeichnet, die üblicherweise durch die Identitätsmatrix gegeben ist (Euklidischer Abstand) .

Die Minimierung der Kostenfunktion J_m erfolgt unter Einsatz einer sogenannten Picard-Iteration.

Nacheinander werden Zugehörigkeitswerte uj__k und Clusterzentren y_i gemäß folgenden Vorschriften gebildet:

u_ik (12) ^dik m-1 _{j = lΛ}djky

umJk ^•• *xk v_i = ^j^ . (13)

k= l

Die Ermittlung der Zugehörigkeitswerte uj_ und der Clusterzentren y_j_ wird solange wiederholt, bis eine festgelegte Anzahl von Iterationen durchgeführt worden ist oder bis eine Änderung der Zugehörigkeitswerte u und/oder bis eine Änderung der Clusterzentren y_i unter einem vorgegebenen Schwellenwert liegt.

Bei diesem oben beschriebenen, auch als Fuzzy-C-Means- Clustering bezeichneten Verfahren werden die Cluster durch ihre Clusterzentren y_i beschrieben. Aus [4] ist eine sogenannte Voronoi-Parkettierung zur

Bestimmung eines Einflußbereiches (Voronoi-Zelle) eines zu dem Einflußbereich zugeordneten Clusterzentrums μ. bekannt.

Bei der aus [4] bekannten Vorgehensweise wird auf eine Delaunay-Triangulierung zurückgegriffen .

Die Voronoi-Zelle des Clusterzentrums —μι. ist durch alle

Punkte x definiert, für die folgende Gleichung erfüllt ist:

^dminfe ^μ _± ⁾ = ^min]J " ^f ^{* "} ü x e Rn 14

mit : dmin(-i' _") minimaler euklidischer Abstand eines

Datenpunkts x zu einem Zentrum μ. i Laufvariable.

In einem zweidimensionalen Eingangsraum wird eine Voronoi- Zelle durch ein konvexes Polygon begrenzt, das ein zugeordnetes Clusterzentrum μ. umschließt. Eine Kante kj__ή des Polygons läßt sich als eine Mittelsenkrechte zu jeweils einem benachbarten Clusterzentrum μ. wie folgt definieren:

n * (x - a) = 0 (15)

mit: n = μ. - μ.

2 x Datenpunkt der Kante kj_j, welche die i-te Voronoi-Zelle bezüglich der benachbarten j-ten- Voronoi-Zelle begrenzt. Für einen mehrdimensionalen Eingangsraum gilt die Gleichung (15) einschließlich aller enthaltenen Teilgleichungen entsprechend.

Bei einem dreidimensionalen Eingangsraum ist beispielsweise die für den zweidimensionalen Eingangsraum eingeführte Kante k_j__j eine Ebene. Das konvexe Polygon ist ein konvexes

Polyeder.

In einem höherdimensionalen Eingangsraum werden der Begriff Kante durch den Begriff Hyper-Ebene und der Begriff Polygon durch den Begriff Hyper-Polyeder ersetzt.

Eine Abbildung, die ein Systemverhalten eines technischen Systems bzw. Prozesses beschreibt und eine bekannte Zugehörigkeitsfunktion, welche die Abbildung bestimmt, verwendet, weist in vielen Fällen den Nachteil auf, daß die Abbildung das Systemverhalten in vielen Fällen nicht realistisch beschreibt.

Der Erfindung liegt das Problem zugrunde, ein Verfahren und eine Anordnung anzugeben, mit denen eine Zugehörigkeitsfunktion bestimmt werden kann, wobei eine Abbildung,^' die eine Eingangsgröße auf eine Ausgangsgröße unter Verwendung der Zugehörigkeitsfunktion abbildet, dahingehend verbessert wird, daß ein Prozeß, welcher durch die Abbildung beschrieben wird, möglichst realistisch beschrieben wird.

Das Problem wird durch das Verfahren sowie durch die Anordnung mit den Merkmalen gemäß den unabhängigen Patentansprüchen gelöst.

Ein Verfahren zur rechnergestützten Ermittlung einer Zugehörigkeitsfunktion für einen Datenpunkt zu einem ausgewählten Cluster in einem vorgegebenen Raum, welche Zugehörigkeitsfunktion die Zugehörigkeit von dem Datenpunkt zu dem ausgewählten Cluster beschreibt, weist folgende Schritte auf: a) es wird ein Clustering unter Verwendung vorgegebener Datenpunkte durchgeführt; b) es werden mindestens drei Cluster ermittelt; c) es wird für jeden Cluster ein zugehöriges Clusterzentrum bestimmt; d) die Zugehörigkeitsfunktion wird in Abhängigkeit von

Abständen von dem ausgewählten Clusterzentrum jeweils zu den zu dem ausgewählten Clusterzentrum nächstbenachbarten Clusterzentren ermittelt.

Eine Anordnung zur rechnergestützten Ermittlung einer Zugehörigkeitsfunktion für einen Datenpunkt zu einem ausgewählten Cluster in einem vorgegebenen Raum, welche Zugehörigkeitsfunktion die Zugehörigkeit von dem Datenpunkt zu dem ausgewählten Cluster beschreibt, weist einen Prozessor auf, mit dem folgende Verfahrensschritte durchführbar sind: a) es ist ein Clustering unter Verwendung vorgegebener Datenpunkte durchführbar; b) es sind mindestens drei Cluster ermittelbar; c) für jeden Cluster ist ein zugehöriges Clusterzentrum bestimmbar; d) die Zugehörigkeitsfunktion ist in Abhängigkeit von Abständen von dem ausgewählten Clusterzentrum jeweils zu den zu dem ausgewählten Clusterzentrum nächstbenachbarten Clusterzentren ermittelbar.

Diese Anordnung ist insbesondere geeignet zur Durchführung des erfindungsgemäßen Verfahrens oder einer seiner nachfolgend erläuterten Weiterbildungen.

Bevorzugte Weiterbildungen der Erfindung ergeben sich aus den abhängigen Ansprüchen. Bevorzugt wird der Abstand derart berücksichtigt, daß eine Steigung der Zugehörigkeitsfunktion mit einem zunehmenden Abstand des ausgewählten Clusterzentrums zu einem nächstbenachbarten Clusterzentrum zunimmt.

Die Zugehörigkeitsfunktion wird bevorzugt als eine Aktivierungsfunktion verwendet.

Eine verbesserte Beschreibung eines technischen Prozesses durch ein neuronales Netz oder ein Fuzzy-System läßt sich dadurch erreichen, daß die Zugehörigkeitsfunktion mindestens eine erste Teilfunktion und mindestens eine zweite Teilfunktion aufweist.

Bevorzugt wird die Zugehörigkeitsfunktion normiert.

Bevorzugt können die Clusterzentren mittels einer minimalen Euklidische Norm bestimmt werden.

Bei der Beschreibung eines komplexen technischen Systems unter Verwendung eines neuronalen Netzes oder eines Fuzzy- Systems ist der Raum ein mehrdimensionaler Raum.

In einer Weiterbildung werden die Datenpunkte gemessen, wobei die Datenpunkte Arbeitspunkte eines technischen Systems sind.

Bevorzugt ist das technische System ein Stahlwalzwerk.

In einer Weiterbildung werden/wird ein Überlappungsbereich und/oder Überlappungsgrad λ für das ausgewählte

Clusterzentrum bezüglich eines zu dem Clusterzentrum nächstbenachbarten Clusterzentrum bestimmt.

Bevorzugt wird der Überlappungsgrad λ unter Berücksichtigung von dem Abstand des ausgewählten Clusterzentrums zu einem zu dem Clusterzentrum nächstbenachbarten Clusterzentrums bestimmt . In einer Weiterbildung wird der Überlappungsgrad λ für einen zweidimensionalen Raum nach folgender Vorschrift gebildet:

λ _(tμ_±, μi + (16)

mit: λ(μi, μi₊χ)=Überlappungsgrad des i-ten Clusterzentrums bezüglich des i+l-ten Clusterzentrums μi= Datenpunkt des i-ten Clusterzentrum μi₊i= Datenpunkt des i+l-ten Clusterzentrum oci,i+ι= Grenze eines Überlappungsbereichs für das i-te

Clusterzentrum bezüglich des i+l-ten

Clusterzentrums αi₊ι i= Grenze eines Überlappungsbereichs für das i+l-te Clusterzentrum bezüglich des i-ten

Clusterzentrums .

Für einen mehrdimensionalen Raum wird in einer Weiterbildung der Überlappungsgrad λ nach folgender Vorschrift gebildet:

,, ^d(ki, i + 1' «i, i + 1> ^ *i + l' - ^ _{± +} „ u. mit : λ(μ.,μ. )= Überlappungsgrad des i-ten Clusterzentrums bezüglich des i+l-ten Clusterzentrums d= Abstand von Datenpunkten zueinander μ. = Datenpunkt des i-ten Clusterzentrum μ. = Datenpunkt des i+l-ten Clusterzentrum ki,i_+l= Datenpunkte, die eine Kante zwischen dem i-ten Cluster und dem i+l-ten Cluster bestimmen α^ _j_ _{+ ]}= Datenpunkte des i-ten Clusters, die zu k i+_i einen konstanten Abstand aufweisen.

Bevorzugt ist der Cluster eine Voronoi-Zelle. In einer Weiterbildung wird die zweite Teilfunktion nach folgender Vorschrift gebildet wird:

π i,i+l^(χ) = °-^{5 +} °-⁵ sin⁽πx()i + —⁾ (18)

x= Datenpunkt

Ψi,i+_l(^χ)⁼ zweite Teilfunktion der Zugehörigkeitsfunktion des i-ten Clusterzentrums bezüglich des i+l-ten Clusterzentrums αi,i_+l= Grenze eines Überlappungsbereichs für das i-te

Clusterzentrum bezüglich des i+l-ten Clusterzentrums αi+i = Grenze eines Überlappungsbereichs für das i+l-te

Clusterzentrum bezüglich des i-ten Clusterzentrums

mit der Normierung: ^{x ~ α}i,i+l ....

XQi = • (19) ^αi,i+l ^{" α}i+l,i

Weiterbildungen/Eine Weiterbildung werden/wird bevorzugt für eine Ermittlung einer Basisfunktion für ein neuronales Netz und/oder für die Ermittlung einer Aktivierungsfunktion für ein Fuzzy-System eingesetzt.

Ferner werden/wird Weiterbildungen/eine Weiterbildung für die Bestimmung eines Datenpunkts unter Verwendung des neuronalen Netzes und/oder des Fuzzy-Systems eingesetzt.

Bevorzugt wird Weiterbildungen im Rahmen eines Trainings eines neuronalen Netzes eingesetzt. Insbesondere wird eine

Weiterbildung bei einem Online-Lernen eines neuronalen Netzes eingesetzt .

Bevorzugt wird eine Ausgestaltung für eine Überwachung einer Stahlwalzanlage eingesetzt. Darüber hinaus kann eine weitere Ausgestaltung für eine Steuerung einer Stahlwalzanlage eingesetzt werden.

Ausführungsbeispiele der Erfindung sind in Figuren dargestellt und werden im weiteren näher erläutert.

Es zeigen:

Figur 1 Schematische Darstellung von Komponenten einer durch ein neuronales Netz bzw. ein Fuzzy-System überwachten und gesteuerten Stahlwalzanlage

Figur 2 Verfahrensschritte für ein Training des neuronalen

Netzes bzw. Fuzzy-Systems Figur 3 Darstellung einer Abbildung durch ein neuronales Netz Figur 4 Darstellung einer Abbildung durch ein Fuzzy-System Figur 5 Darstellung eines durch Voronoi-Zellen geclusterten

Eingangsraums Figur 6 Darstellung von zwei benachbarten Voronoi-Zellen Figur 7a, b Darstellung von Sonderbereichen bei benachbarten Voronoi-Zellen

In Figur 1 sind schematisch Komponenten einer unter Verwendung eines neuronalen Netzes überwachten und gesteuerten Stahlwalzanlage zu einer Stahlverarbeitung dargestellt.

Figur 1 zeigt ein System der Stahlwalzanlage 101 zur Stahlverarbeitung (Walzprozeß) . Das System der Stahlwalzanlage 101 wird unter Verwendung eines neuronalen Netzes 102 überwacht und gesteuert. Ein Systemverhalten der Stahlwalzanlage 101 wird durch das neuronale Netzes 102, welches vom Typ Radiale-Basisfunktionen-Netz ist, beschrieben. Anstelle des neuronalen Netzes 102 kann auch ein Fuzzy-System

110 für die Überwachung und die Steuerung der Stahlwalzanlage

101 eingesetzt werden.

Ferner sind geeignete Meßmittel 103, beispielsweise Sensoren 103, dargestellt, mit denen Prozeßgrößen, die den Prozeß der Stahlverarbeitung beeinflussen, gemessen werden. Die Meßmittel 103 sind über einem Bus 104 mit einem Speicher 105 verbunden. Zu vorgebbaren Zeitpunkten werden die Prozeßgrößen gemessen und in dem Speicher 105 gespeichert.

Die gemessenen Prozeßgrößen sind chemische Prozeßgrößen, wie beispielsweise eine Kohlenstoffkonzentration oder eine Mangankonzentration, eine Endbandtemperatur eines gewalzten Stahlbandes, eine Endbanddicke des gewalzten Stahlbandes sowie eine Walzengeschwindigkeit.

Ferner ist ein weiteres Meßmittel 106 dargestellt, mit dem eine weitere Prozeßgröße, eine Walzkraft, die eine zu überwachende Größe und eine Steuergröße des Prozesses bzw. des Systems der Stahlwalzanlage 101 ist, gemessen wird. Das weitere Meßmittel 106 ist ebenfalls über den Bus 104 mit dem Speicher 105 verbunden. Die weitere Prozeßgröße wird ebenfalls an dem System Stahlwalzanlage 101 zu den vorgebbaren Zeitpunkten gemessen und in dem Speicher 105 gespeichert.

Der Speicher 105 ist über einen weiteren Bus 115 mit einer Verarbeitungseinheit 107, die einen Prozessor 108 aufweist, beispielsweise ein Rechner, verbunden. Das neuronale Netz 102 bzw. das Fuzzy-System 110 ist in Form von Software in der Verarbeitungseinheit 107 gespeichert. Der Prozessor 108 führt die Software aus. Die Walzkraft ist eine Ausgangsgröße des neuronalen Netzes

102 bzw. des Fuzzy-Systems 110, welches das Systemverhalten der Stahlwalzanlage 101 beschreibt. Die Walzkraft wird aus

Eingangsgrößen, die an das neuronale Netz 101 bzw. an das Fuzzy-System 110 angelegt werden, wobei das neuronale Netz

101 bzw. das Fuzzy-System 110 ein vorgebbares

Abbildungsverhalten aufweist, bestimmt wird.

Für die Bestimmung der Eingangsgrößen des neuronalen Netzes 102 bzw. des Fuzzy-Systems 110 werden aus den gemessenen

Prozeßgrößen solche Prozeßgrößen ausgewählt, die den Prozeß der Stahlverarbeitung maßgeblich beeinflussen. Der Einfluß jeweils einer Prozeßgröße auf den Prozeß wird durch eine Sensitivitätsanalyse bestimmt. Es werden folgende Eingangsgrößen ausgewählt:

- Kohlenstoffkonzentration des verarbeiteten Stahls

- Mangankonzentration des verarbeiteten Stahls

- Endbandtemperatur eines gewalzten Stahlbandes

- Endbanddicke des gewalzten Stahlbandes - Walzengeschwindigkeit einer Stahlwalze

Die Eingangsgrößen werden an das neuronale Netz 102 bzw. an das Fuzzy-System 110 angelegt. Das neuronale Netz 102 bzw. das Fuzzy-System 110 bestimmt unter Verwendung der Eingangsgrößen die Ausgangsgröße Walzkraft. Die Ausgangsgröße wird an dem neuronalen Netz 102 bzw. an dem Fuzzy-System 110 mittels eines Mittels 108 abgegriffen und über eine Datenleitung 109, welche das neuronale Netz 102 bzw. das Fuzzy-System 110 mit dem System der Stahlwalzanlage 101 verbindet, an das System der Stahlwalzanlage 101 übertragen.

Unter Verwendung der Ausgangsgröße Walzkraft wird das System Stahlwalzanlage 101 unter Verwendung geeigneter Mittel 111 überwacht und gesteuert, wobei durch eine geeignete Einstellung der Walzkraft eine vorgegebene Endbanddicke des

Stahlbandes erzeugt wird.

Die einzustellende Walzkraft wird unter Verwendung des neuronalen Netzes 102 bzw. des Fuzzy-Systems 110 für eine vorgegebene Endbanddicke des Stahlbandes bestimmt.

Figur 2 zeigt Verfahrensschritte, die im Rahmen eines Trainings des neuronalen Netzes, mit welchem Training ein vorgebbares Abbildungsverhalten bestimmt wird, durchgeführt werden.

Die Verfahrensschritte werden entsprechend bei dem Fuzzy- Systems durchgeführt.

Für das Training des neuronalen Netzes werden Trainingsdaten derart ermittelt, daß die ausgewählten Prozeßgrößen 201 und die Walzkraft 202 an der Stahlwalzanlage zu vorgebbaren Zeitpunkten gemessen, jeweils für einen Zeitpunkt als ein Trainingsdatenvektor 203 zusammengefaßt und in dem Speicher gespeichert werden 204.

Die Trainingsdatenvektoren werden an das neuronale Netz angelegt 205.

Als eine Targetgröße für das Training des neuronalen Netzes wird ein unter Verwendung der Ausgangsgröße Walzkraft bestimmter sogenannter Walzkraftkorrekturfaktor ermittelt 206.

Unter Verwendung der Trainingsdatenvektoren und der Targetgröße wird das neuronale Netz mit einem bekannten Trainingsverfahren, wie es in [1] beschrieben ist, trainiert 207. Das Training des neuronalen Netzes wird bevorzugt im Betrieb der Stahlwalzanlage durchgeführt, wobei die Trainingsdaten im

Betrieb der Stahlwalzanlage gemessen werden und damit auch

Anwendungsdaten für das neuronale Netz sind. Ein derartiges Training wird als ein sogenanntes Online-Training bezeichnet.

Das Online-Training weist den Vorteil auf, daß eine Änderung in dem Systemverhalten der Stahlwalzanlage ohne große Zeitverzögerung in dem Abbildungsverhalten des neuronalen Netzes berücksichtigt wird. Eine solche Änderung kann beispielsweise durch eine Abnutzung von einer Komponente der Stahlwalzanlage verursacht werden.

Im folgenden wird ein Abbildungsverhalten eines neuronalen Netzes bzw. eines Fuzzy-Systems, wie es für eine Überwachung und ein Steuerung eines Systems eines technischen Systems, beispielsweise das oben beschriebene System der Stahlwalzanlage, eingesetzt wird, näher beschrieben.

Figur 3 zeigt in einer vereinfachten Darstellung eine Abbildung durch ein neuronales Netz.

Für die vereinfachte Darstellung wird ein eindimensionaler Eingangsraum (x) als ein Eingangsraum des neuronalen Netzes mit einer eindimensionalen Eingangsgröße x verwendet. Im

Allgemeinen wird eine Dimension des Eingangsraums durch eine Anzahl von Eingangsgrößen bestimmt. Das oben beschriebene neuronale Netz zur Überwachung und Steuerung der Stahlwalzanlage weist beispielsweise einen mehrdimensionalen Eingangsraum auf. Die Ausgangsgröße des neuronalen Netzes ist eine eindimensionale Ausgangsgröße y. Damit erfolgt durch das neuronale Netz, das ein Systemverhalten eines technischen Systems beschreibt, eine Abbildung der Eingangsgröße x auf die Ausgangsgröße y in einem Zustandsraum (x,y) 301. Figur 3 zeigt den Zustandsraum (x,y) 301, in dem das

Systemverhalten des Prozesses durch sogenannte Arbeitspunkte

302 des Prozesses, die in Form einer ersten Funktion 312 dargestellt sind, beschrieben ist.

Das neuronale Netz, welches vom einem Typ Radiale- Basisfunktionen-Netz, wie es in [1] beschrieben ist, ist, läßt sich wie folgt darstellen:

N N Y = ∑YiW =∑Ci * Φi(x), (20) i=l i=l

wobei yι(x) ein gewichtetes i-tes lokales Teilmodell 303 ist,

das einem Clusterzentrum μ (Zentrum) 304 zugeordnet ist. Das

Zentrum μ 304 wird durch ein Clusteringverfahren, wie es in [2] und [3] beschrieben ist, bestimmt. Das gewichtete lokale Teilmodell yi (x) 303 ist ein Produkt aus einer i-ten normierten Zugehörigkeitsfunktion φ (x) und einem i-ten

lokalen Teilmodell Ci . Bei dem Radiale-Basisfunktionen-Netz

ist das i-te lokale Teilmodell C_Ϊ ein konstanter Gewichtungsfaktor, der dem i-ten Zentrum 304 zugeordnet ist.

Für die normierte Zugehörigkeitsfunktion des lokalen Teilmodells φi(x) gilt:

ΦiW = ~ ~- ⁽21⁾

i=l mit N Zahl der Clusterzentren i Index für ein Clusterzentrum

Gewichtungsfaktor für das i-te Zentrum 304 g : nicht normierte Zugehörigkeitsfunktion (im folgenden verkürzt als Zugehörigkeitsfunktion bezeichnet)

Als die Zugehörigkeitsfunktion gi des i-ten lokalen Teilmodells wird eine Gaußfunktion der Form

_gi = exp( i- * (x - μi) * (x -μi)) (22)

2 * σi mit: σi Varianz der Zugehörigkeitsfunktion gi verwendet.

Die Form der Zugehörigkeitsfunktion gi des i-ten lokalen

Teilmodells wird durch die Varianz σi bestimmt.

Durch die fest vorgegeben Varianz σi der

Zugehörigkeitsfunktion gi ist nur eine unzureichende

Beschreibung des Systemverhaltens des Prozesses durch das neuronale Netz möglich.

Eine verbesserte Beschreibung des Systemverhalten durch das neuronale Netz wird dadurch möglich, daß die Varianz σi der

Zugehörigkeitsfunktion gi derart bestimmt wird, daß Abstände

von dem Zentrum μi jeweils zu den zu dem Zentrum μi 304

nächstbenachbarten Zentren μi-i 305 und μi₊i 306 bei der

Ermittlung der Varianz σi berücksichtigt werden. Damit werden jeweils für ein i-tes lokales Teilmodell zwei

Varianzen, σ^i-i und σi,i+i/ bestimmt.

Für die Zugehörigkeitsfunktion gi ergeben sich somit zwei

Unterfunktionen gi i-i und gι,i+ι, die jeweils dem Zentrum μi

304 und dem nächstbenachbarten Zentrum μi-i 305 sowie dem

Zentrum μi 304 und dem nächstbenachbarten Zentrum μi₊i 306 zugeordnet sind.

Die Varianz σi _.-_l ^unc* die Varianz θj_ _r ι+ι werden folgendermaßen bestimmt: σi _ι = a * |μ - μ -l| , (für die Unterfunktion gi,i-ι) (23)

σ ₊ι = a * |μ - μi+i|, (für die Unterfunktion gi,i₊ι) (24) wobei ein Formfaktor a beispielsweise den Wert 0.5 aufweist.

Für ein Zentrum μi 304_/ welches nur ein nächstbenachbartes

Zentrum μi+i 306 oder ein nächstbenachbartes Zentrum μi-i 305

aufweist, wird die für das Zentrum μ 304 und jeweils das

vorhandene^' nächstbenachbarte Zentrum μi+i 306 bzw. μi-i 305 bestimmte Varianz σ^i₊i bzw. σi_^i-i für das gesamte i-te lokale Teilmodell verwendet.

In Figur 4 ist eine Abbildung eines neuronalen Netzes, welches das Systemverhalten des Prozesses beschreibt, vereinfacht dargestellt.

Die Vereinfachung eines Zustandsraums wurde entsprechend den obigen Ausführungen durchgeführt. Figur 4 zeigt den vereinfachten Zustandsraum (x,y) 401, in dem das Systemverhalten des Prozesses durch sogenannte Arbeitspunkte 402 des Prozesses, die in Form einer ersten Funktion 412 dargestellt sind, beschrieben ist.

Das Fuzzy-System, das eine Eingangsgröße x auf eine Ausgangsgröße y abbildet, läßt sich wie folgt beschreiben:

N

i=l wobei φi(x) eine auf 1 normierte Zugehörigkeitsfunktion 403

(Aktivierungsfunktion) eines i-ten lokalen Teilmodells ist, das einen abgegrenzten Wirkungsbereich 406 aufweist und das einem Clusterzentrum μi (Zentrum) 404 zugeordnet ist. Das

Zentrum μi 404 wird durch ein Clusteringverfahren, wie es in [2] und [3] beschrieben ist, bestimmt.

Für die normierte Zugehörigkeitsfunktion φi (x) 403 und für den zugeordneten Wirkungsbereich 406 des i-ten lokalen Teilmodells gilt:

In einem ersten Bereich 407 des Wirkungsbereichs 406 des i- ten Teilmodells weist die zugeordnete normierte

Zugehörigkeitsfunktion φi (x) 403 den Wert 1 auf. In dem

ersten Bereich 407 liegt jeweils das Zentrum μi 404 des i-ten Teilmodells.

Der erste Bereich 407 umfaßt folgendes Intervall:

^[αi,i-i^; «i,i+l] <*i, i-l≤μi≤«i, i+1 mit : αi,i_ι= Grenze 408 des ersten Bereichs 407 für das i-te Clusterzentrum 404 bezüglich des i-l-ten Clusterzentrums 413 αi,i+l= Grenze 409 des ersten Bereichs 407 für das i+l-te Clusterzentrum 412 bezüglich des i-ten

Clusterzentrums 404

In einem zweiten 410 und einem dritten Bereich 411 des Wirkungsbereichs 406 des i-ten Teilmodells, welche auch als Überlappungsbereiche bezeichnet werden, weisen jeweils die zugeordneten normierten Zugehörigkeitsfunktionen φi (x) 403

Werte aus dem Intervall [0;1] auf. Dabei hat die normierte

Zugehörigkeitsfunktion φi (x) 403 jeweils die Eigenschaft, daß

mit einem zunehmenden Abstand von dem Zentrum μi 404 des i- ten Teilmodells die Werte der normierten

Zugehörigkeitsfunktionen φi (x) 403 auf 0 abfallen. Der Abfall ist um so größer, je geringer ein Abstand zu dem zum Zentrum μi 404 nächstbenachbarten Zentrum μι+ι 412 oder Zentrum μi-i

413 ist.

Der zweite 410 und der dritte 411 Bereich des i-ten Zentrums sind derart angeordnet, daß der zweite 410 und der dritte 411 Bereich jeweils direkt an den ersten Bereich 407 des Zentrums μ 404 angrenzen. Dabei ist der zweite Bereich 410 zwischen dem i-l-ten Zentrum 413 und dem Zentrum μi 404 sowie der

dritte 411 Bereich zwischen dem Zentrum μi 404 und dem i+l- ten Zentrum 412 angeordnet.

Der zweite Bereich 410 umfaßt folgendes Intervall: [αi_ι,i;

μi-i≤αi-i,i ,αι,i_ι≤μi mit : «i-l,^ Grenze 414 des ersten Bereichs 407 für das i-l-te Clusterzentrum 413 bezüglich des i-ten Clusterzentrums 404 αi,i-ι= Grenze 415 des ersten Bereichs 407 für das i-te Clusterzentrum 404 bezüglich des i-l-ten

Clusterzentrums 413

Der dritte Bereich 411 umfaßt folgendes Intervall: t^αi,i+i^; αi+l,i^]/ μi≤cti,i+l fCti+l,i≤μi+l mit: ^αi,i+l⁼ Grenze 416 des ersten Bereichs 407 für das i-te Clusterzentrum 404 bezüglich des i+l-ten Clusterzentrums 412

0:1₊1,1= Grenze 417 des ersten Bereichs für das i+l-te Clusterzentrum 412 bezüglich des i-ten

Clusterzentrums 404

Für eine Beschreibung der Überlappungsbereiche wird jeweils ein sogenannter Überlappungsgrad λ(μι, μi-i) für den zweiten

410 und ein Überlappungsgrad λ(μι, μι+ι) den dritten 411 Bereich bestimmt.

Dabei gilt: λ(μι,

des i-ten Clusterzentrums 404 bezüglich des i-l-ten Clusterzentrums 413 (für den zweiten Bereich 410) λ(μi, μι₊ι) =Überlappungsgrad des i-ten Clusterzentrums 404 bezüglich des i+l-ten Clusterzentrums 412 (für den dritten Bereich 411) .

Ferner gilt :

_{1 N} ^αi, i + 1 ^{~ α}i + 1, i , „ _. , ^λ<μi' μi + 1 ⁾ = — — ⁽ 25 ; μi - μi + 1

und λ(μι, μi _ D = ^{α± " i "} ^ ^{i " l} (26) μi - ι - μi

Außerhalb des Wirkungsbereichs 406 des i-ten Teilmodells weisen jeweils die zugeordneten Zugehörigkeitsfunktionen den Wert 0 auf.

Somit läßt sich die normierte Zugehörigkeitsfunktion φι(x) 403 des i-ten Teilmodells wie folgt beschreiben:

1 für x e [αi,i_ι;αi,_i+1]

φi(x)= gi,i-i für x e [αi_ι,i;αi,i_ι]

gi,i+l für x e [αi, _i+1 ;α_{i+1 ±} ]

0 für x < αι_ ι oder x > αι+ i (27)

mit: π 9i,i-l(^χ) = °-⁵ + °-⁵ sin(πxn + —) (28)

9i,i+l(^χ) = °-⁵ + °-⁵ sin(πxoι + -) (29)

gi,i-l(^χ)= Zugehörigkeitsfunktion des i-ten Clusterzentrums ^• 404 bezüglich des i-l-ten Clusterzentrums 413 gi,i₊l(^χ)⁼ Zugehörigkeitsfunktion des i-ten Clusterzentrums 404 bezüglich des i+l-ten Clusterzentrums 412

mit den Normierungen: x - i ι+ι x_0i = -± (30) ^αi,i+l ^{" α}i+l,i x - αi ι_ι ^xli = ^^-^ (31) ^αi,i-l - ^αi-l,i Die Grenze αι,i+ι 409 und Grenze αι,ι_ι 408 werden wie folgt bestimmt: ^αi, i-ι = μi - ^a * |μ± - μ± — 1| 02 ⁾ ^αi, i + ι = μi + ^a * |μ± - μι +ι| ^{( 33 )} wobei ein Formfaktor a beispielsweise den Wert 0.1 aufweist.

Die Grenzen für die Teilmodelle i-1 bzw. i+1 werden entsprechend bestimmt.

Anhand von Figuren 5,6 und 7a, b wird eine Vorgehensweise beschrieben, wie das oben dargestellte vereinfachte Fuzzy- System für ein Fuzzy-System, das eine zweidimensionale Eingangsgröße aufweist, angepaßt wird.

Eine eindimensionale Eingangsgröße x wird in einen zweidimensionalen Vektor x = (xj, X2) T , der Eingangsgrößen xi und X2 umfaßt, geändert. Das Fuzzy-System weist einen dreidimensionalen Zustandsraum (x, y) auf, der einen zweidimensionalen Eingangsraum (x) umfaßt.

Das Fuzzy-System wird wie folgt dargestellt:

N y = ∑ ^ci * Φi^{( )} t ( 34 : i=l

In [2] und [3] ist beschrieben, wie Clusterzentren für das Fuzzy-System ermittelt werden.

In Figur 5 ist der zweidimensionale Eingangsraum () 501 mit den Clusterzentren μ. 502 dargestellt. Ferner zeigt Figur 5 durch Polygone 504 abgegrenzte und jeweils einem Clusterzentrum μ. 502 zugeordnete Wirkungsbereiche 503. Die Wirkungsbereiche 503, die auch als Einflußbereiche oder Voronoi-Zellen 503 bezeichnet werden, werden durch eine sogenannte Voronoi-Parkettierung, wie sie in [4] beschrieben ist, bestimmt.

Bei dem aus [4] bekannten Vorgehen wird auf eine Delaunay- Triangulierung zurückgegriffen.

Die Voronoi-Zelle 503 eines Clusterzentrums μ. 502 ist durch

—ι alle Punkte x definiert, für die folgende Gleichung erfüllt ist :

dminfeμi) = minU(x - μ^ * (x - μ j, x e Rⁿ (14) mit: d_mi_n(x, μ.) minimaler euklidischer Abstand eines

Datenpunkts x zu dem Zentrum μ. 502

i Laufvariable.

In dem zweidimensionalen Eingangsraum 501 wird eine Voronoi- Zelle 503 durch ein konvexes Polygon 504 begrenzt, das ein der Voronoi-Zelle 503 zugeordnetes Zentrum μ. 502 umschließt. Kanten kij 505 des Polygons 504 lassen sich als

Mittelsenkrechte zu einem zu dem Zentrum μ. 502

—ι benachbarten Zentren μ. 506 wie folgt beschreiben:

n * (x - a) = 0 (15)

mit : n = μ, - μ. μ. - μ. a = —

2 x Datenpunkt der Kante kij 505, welche die i-te Voronoi- Zelle 503 bezüglich der nächstbenachbarten j-ten- Voronoi-Zelle 506 begrenzt.

Entsprechend dem oben dargestellten vereinfachten Fuzzy- System werden jeweils ein ersten, zweiter und dritter Bereich für ein i-tes Clusterzentrum μ. 502 bezüglich eines j-ten

Clusterzentrums μ. 506 bestimmt.

-:

In Figur 6 sind jeweils ein erster 601 und ein zweiter 602 Bereich entsprechend dem vereinfachten Fuzzy-System für ein i-tes Clusterzentrum μ. 604 bezüglich eines j-ten

Clusterzentrums μ. 610 dargestellt.

Grenzen eines ersten 601 oder zweiten 602 Bereichs sind jeweils lineare und zu einer Kanten kij 605 der Voronoi- Zelle 606 parallele Polygonzüge 607. Die Polygonzüge 607 werden derart bestimmt, daß alle Punkte einer Grenzlinie

C_L ^₊ι 608 einen vorgegebenen und konstanten Abstand dαι,ι+ι

zu der Kante i ι+ 605, die den Wirkungsbereich 609 der i- ten Voronoi-Zelle 606 gegen den Wirkungsbereich 611 der i+l- ten Voronoi-Zelle 612 abgrenzt, aufweisen.

Der konstante Abstand d ι,ι+ι wird in Abhängigkeit des

Abstandes des i-tes Clusterzentrum μ. 604 bezüglich des j- ten Clusterzentrums -μι. + ,l 610 ermittelt:

wobei ein Formfaktor a beispielsweise den Wert 0.5 aufweist.

Entsprechend dem oben dargestellten vereinfachten Fuzzy- System wird ein Überlappungsgrad λ(μ.,μ. j bestimmt.

Dabei gilt:

λ( -μ, -μi + l) (17)

mit : λ(μ.,μ. .)= Überlappungsgrad des i-ten Clusterzentrums 604 bezüglich des i+l-ten Clusterzentrums 610 d()= Abstand von Datenpunkten zueinander ki i+ι= Datenpunkte, die die Kante 605 zwischen der i-ten Voronoi-Zelle 606 und der i+l-ten Voronoi-Zelle 612 bestimmen.

Eine normierte Zugehörigkeitsfunktion φι(x) der i-ten Voronoi- Zelle 606 wird entsprechend der normierten

Zugehörigkeitsfunktion eines i-ten Teilmodells, wie es bei dem oben dargestellten vereinfachten Fuzzy-System beschrieben ist, bestimmt.

In Figur 7a) ist ein erster 701 Sonderbereich und in Figur 7b) ist ein zweiter 702 Sonderbereich dargestellt, für welche eine normierte Zugehörigkeitsfunktion φsl(x) und Φs2(^χ) ^wi-^e folgt bestimmt werden:

k=l

mit : k Index k=l bzw. k=2 für Φsl(_) bzw. φs2( ) K Anzahl der für den Sonderbereich 701 bzw. 702 relevanten Voronoi-Zellen 703, L=3 bzw. L=4

Φsi(x) normierte Zugehörigkeitsfunktion für die k-te relevante Voronoi-Zelle 703

wobei für die normierte Zugehörigkeitsfunktion φgι(x) für die k-te relevante Voronoi-Zelle 703 gilt: gl(x) = 0.5 + 0.5sm(πxr +—) (37)

mit

*■ ^" 5.1, m

Xπ =

5-m,l ^" 5.1, m (38) wobei : m Index für die zueinander nächstbenachbarten

Voronoi-Zellen 704 und 705 α-, „._fO:— i Grenzlinie 706 bzw. 707 der 1, m-ten Voronoi-

Zelle 704 bzw. 705 bezüglich der m, 1-ten

Voronoi-Zelle 705 bzw. 704

Im folgenden werden Alternativen des Ausführungsbeispiels dargestellt .

Anstelle des im Ausführungsbeispiel beschriebenen Fuzzy-

Clustering-Verfahrens kann das Clustering unter Verwendung eines K-Means-Verfahrens (KM) oder durch ein Neural-Gas- Verfahren (NG) erfolgen.

Anstelle des konstanten Gewichtungsfaktors ci für das i-te

lokale Teilmodell kann auch eine beliebige Funktion ci (x) , beispielsweise eine lineare Funktion, verwendet werden. Ferner kann die Erfindung, die bei dem beschriebenen

Ausführungsbeispiel für eine Überwachung und eine Steuerung einer Stahlwalzanlage eingesetzt wird, auch für die

Überwachung und Steuerung eines beliebigen technischen

Systems, wie beispielsweise eine Papierwickelvorrichtung oder eine Kläranlage eingesetzt werden.

Im Rahmen dieses Dokuments wurden folgende Veröffentlichungen zitiert :

[1] Zeil, A., "Simulation Neuronaler Netze", S. 225-240, Addison-Wesley Publishing Company, 1994

[2] J. Hollatz und T. Runkler, "Datenanalyse und

Regelerzeugung mit Fuzzy-Clustering, Fuzzy-Systeme in Theorie und Anwendungen", in: Hellendoorn Adamy Prehn Wegmann und Linzenkirchner, Kapitel 5.6, Siemens AG, Nürnberg, 1997

[3] J. C. Bezdek et al, "Detection and Characterization of Cluster Substructure", II. Fuzzy c Varieties and Convex Combinations thereof SIAM Journal on Applied Mathematics, Volume 40, No. 2, Seite 358-370, 1981

[4] J. O'Rourke, "Computational Geometry in C", S.168-

205, Cambridge University Press, 1995

Claims

Patentansprüche

1. Verfahren zur rechnergestützten Ermittlung einer Zugehörigkeitsfunktion für einen Datenpunkt zu einem ausgewählten Cluster in einem vorgegebenen Raum, welche

Zugehörigkeitsfunktion die Zugehörigkeit von dem Datenpunkt zu dem ausgewählten Cluster beschreibt, e) bei dem ein Clustering unter Verwendung vorgegebener Datenpunkte durchgeführt wird; f) bei dem mindestens drei Cluster ermittelt werden; g) bei dem für jeden Cluster ein zugehöriges Clusterzentrum bestimmt wird; h) bei dem die Zugehörigkeitsfunktion in Abhängigkeit von Abständen von dem ausgewählten Clusterzentrum jeweils zu den zu dem ausgewählten Clusterzentrum nächstbenachbarten Clusterzentren ermittelt wird.

2. Verfahren nach Anspruch 1, bei dem viele Cluster bestimmt werden.

3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, bei dem der Abstand derart berücksichtigt wird, daß eine Steigung der Zugehörigkeitsfunktion mit einem zunehmenden Abstand des ausgewählten Clusterzentrums zu einem nächstbenachbarten Clusterzentrum zunimmt.

4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, bei dem die Zugehörigkeitsfunktion als eine Aktivierungsfunktion verwendet wird.

5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, bei dem die Zugehörigkeitsfunktion mindestens eine erste Teilfunktion und mindestens eine zweite Teilfunktion aufweist.

6. Verfahren nach Anspruch 5, bei dem die Zugehörigkeitsfunktion mehrere Teilfunktionen aufweist.

7. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, bei dem die Zugehörigkeitsfunktion normiert wird.

8. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 7, bei dem die Clusterzentren mittels einer minimalen Euklidische Norm bestimmt werden.

9. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 8, bei dem der Raum ein mehrdimensionaler Raum ist.

10. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 9, bei dem die Datenpunkte gemessen werden, wobei die

Datenpunkte Arbeitspunkte eines technischen Systems sind.

11. Verfahren nach Anspruch 10, bei dem das technische System ein Stahlwalzwerk ist.

12. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 11, bei dem ein Überlappungsbereich und/oder Überlappungsgrad λ für das ausgewählte Clusterzentrum bezüglich eines zu dem Clusterzentrum nächstbenachbarten Clusterzentrum bestimmt werden/wird.

13. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 12, bei dem der Überlappungsgrad λ unter Berücksichtigung von dem Abstand des ausgewählten Clusterzentrums zu einem zu dem Clusterzentrum nächstbenachbarten Clusterzentrums bestimmt wird.

14. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 13, bei dem der Überlappungsgrad λ für einen zweidimensionalen Raum nach folgender Vorschrift gebildet wird:

mit : λ(μι, μι+ι) =Überlappungsgrad des i-ten Clusterzentrums bezüglich des i+l-ten Clusterzentrums μι= Datenpunkt des i-ten Clusterzentrum μi+_l= Datenpunkt des i+l-ten Clusterzentrum αι,ι+ι= Grenze eines Überlappungsbereichs für das i-te

Clusterzentrum bezüglich des i+l-ten

Clusterzentrums oι₊ι_?i= Grenze eines Überlappungsbereichs für das i+l-te

Clusterzentrum bezüglich des i-ten

Clusterzentrums .

15. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 13, bei dem der Überlappungsgrad λ für einen mehrdimensionalen Raum nach folgender Vorschrift gebildet wird:

., d<*i, i + 1, α + !) λ(μ.,μ. = — '— (17)

-¹ -¹ + ¹ d( _if i + i, μ_i) mit: λ( —μ1. , —μ1. "τ,~ 1 = Überlappungsgrad des i-ten Clusterzentrums bezüglich des i+l-ten Clusterzentrums d= Abstand von Datenpunkten zueinander μ. = Datenpunkt des i-ten Clusterzentrum μ, = Datenpunkt des i+l-ten Clusterzentrum —1+1 kι,i+ι= Datenpunkte, die eine Kante zwischen dem i-ten

Cluster und dem i+l-ten Cluster bestimmen ^α.i,i+l⁼ Datenpunkte des i-ten Clusters, die zu ki_^i₊i einen konstanten Abstand aufweisen.

16. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 15, bei dem der Cluster eine Voronoi-Zelle ist.

17. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 16, bei dem die zweite Teilfunktion nach folgender Vorschrift gebildet wird:

π φi,i+l(^χ) = 0.5 + 0.5 sin(πxoι + —) (18)

x= Datenpunkt

Φi,i+l(^χ)⁼ zweite Teilfunktion der Zugehörigkeitsfunktion des i-ten Clusterzentrums bezüglich des i+l-ten Clusterzentrums αi ι+ι= Grenze eines Überlappungsbereichs für das i-te Clusterzentrum bezüglich des i+l-ten Clusterzentrums αι₊ ι= Grenze eines Überlappungsbereichs für das i+l-te Clusterzentrum bezüglich des i-ten Clusterzentrums

mit der Normierung ^xx ^{~ α}αii,,ii ++ll ^x0i = (19) ^αi,i + l ^{" α}i + l,i

18. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 17, eingesetzt für Ermittlung einer Basisfunktion für ein neuronales Netz.

19. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 18, eingesetzt im Rahmen eines Trainings und/oder eines Online- Lernens eines neuronalen Netzes.

20. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 19, eingesetzt für die Bestimmung eines Datenpunkts unter Verwendung des neuronalen Netzes.

21. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 20, eingesetzt für Bestimmung einer Aktivierungsfunktion für ein Fuzzy-System.

22. Verfahren nach Anspruch 21, eingesetzt für die Bestimmung eines Datenpunkts unter Verwendung eines Fuzzy-Systems.

23. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 22, eingesetzt im Rahmen einer Überwachung und/oder Steuerung einer Stahlwalzanlage.

24. Anordnung zur rechnergestützten Ermittlung einer Zugehörigkeitsfunktion für einen Datenpunkt zu einem ausgewählten Cluster in einem vorgegebenen Raum, welche Zugehörigkeitsfunktion die Zugehörigkeit von dem Datenpunkt zu dem ausgewählten Cluster beschreibt, welche Anordnung einen Prozessor aufweist, mit dem folgende Verfahrensschritte durchführbar sind: a) es ist ein Clustering unter Verwendung vorgegebener Datenpunkte durchführbar; b) es sind mindestens drei Cluster ermittelbar; c) für jeden Cluster ist ein zugehöriges Clusterzentrum bestimmbar; d) die Zugehörigkeitsfunktion ist in Abhängigkeit von

Abständen von dem ausgewählten Clusterzentrum jeweils zu den zu dem ausgewählten Clusterzentrum nächstbenachbarten Clusterzentren ermittelbar.

25. Anordnung nach Anspruch 24, bei der viele Cluster ermittelbar sind.

26. Anordnung nach Anspruch 24 oder 25, bei der die Datenpunkte meßbar sind, wobei die Datenpunkte Arbeitspunkte eines technischen Systems sind.

27. Anordnung nach Anspruch 26, bei der das technische System ein Stahlwalzwerk ist.