WO2014007347A1 - 共有秘密鍵生成装置、暗号化装置、復号化装置、共有秘密鍵生成方法、暗号化方法、復号化方法、及びプログラム - Google Patents

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聖史 入山
ルイジ アカルディ
マッシモ レゴリ
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Definitions

  • the present invention relates to a shared secret key generation device, an encryption device, a decryption device, a shared secret key generation method, an encryption method, a decryption method, and a program.
  • the present invention provides a shared secret key generation device, an encryption device, a decryption device, a shared secret key generation method, an encryption method, a decryption method, and a program capable of generating a secure shared secret key at high speed
  • the purpose is to do.
  • the shared secret key generation apparatus includes a prime number p, a natural number d, a matrix Q (mod p) of d ⁇ d whose determinant value is not 1, and an inverse matrix A public data setting unit that sets public data including an existing d ⁇ d matrix S (mod p), and a secret key generation unit that generates a secret key including natural numbers n A (mod p) and k A (mod p)
  • a matrix calculation unit that calculates a d ⁇ d matrix M A (mod p) according to the following equation (I) using the secret key, and includes the matrix calculation unit that transmits the matrix M A (mod p) to the communication partner:
  • M A S ⁇ kA Q nA S kA (I)
  • M B S ⁇ kB Q nB S kB (II)
  • M AB S -kA M B nA S kA (III)
  • the program according to the second aspect includes a computer that includes a prime number p, a natural number d, a d ⁇ d matrix Q (mod p) whose determinant is not 1, and a d ⁇ d matrix S () having an inverse matrix.
  • a public data setting unit that sets public data including mod p
  • a secret key generating unit that generates a secret key including natural numbers n A (mod p) and k A (mod p), and using the secret key
  • a d ⁇ d matrix M A (mod p) is calculated and transmitted to a communication partner
  • a natural number n B (mod p), k B ( mod p) using is calculated according to the following formula (V)
  • matrix acquisition unit for acquiring the matrix M B (mod p) of d ⁇ d
  • a d ⁇ d matrix M AB (mod p) according to the following equation (VI): It is a program for functioning as a shared secret key calculation unit for calculating as a shared secret key.
  • M A S -kA Q nA S kA (IV)
  • M B S -kB Q nB S kB (V)
  • M AB S -kA M B nA S kA (VI)
  • the matrix calculated using the public data and the secret key is exchanged with the communication partner, and the shared secret key is calculated using the matrix obtained from the communication partner.
  • a key can be generated.
  • the secret key generation unit may generate and update a secret key including natural numbers n A (mod p) and k A (mod p) for each communication with the communication partner. it can. As a result, a more secure shared secret key can be generated.
  • the encryption device is configured in common with the decryption device, the shared secret key M AB generated by the shared secret key generation device according to claim 1 or 2, and two prime numbers p1, Based on p2, a matrix generator for generating two non-commutative matrices A1 and A2, a d-dimensional initial vector v 0 set in common with the decoding device, or a d-dimensional vector v i previously obtained -1 1 is applied to the non-commutative matrix A1 to obtain the vector v i 1, and the initial vector v 0 or the d-dimensional vector v i-1 2 previously obtained is applied to the non-commutative matrix A2 Is a matrix operation unit for obtaining a vector v i 2 , and at least one of a sum operation and a product operation when operating the non-commutative matrices A 1 and A 2 is a plurality of types of predetermined operations.
  • a matrix acts portion exerting A2, the matrix is converted into a bit string by performing a nonlinear transformation to the vector v i 1 determined by the action part, by joining bit string obtained by the conversion into a bit string W1 previously obtained
  • a bit string conversion unit that obtains the bit string W1 and performs a non-linear transformation on the vector v i 2 to convert it into a bit string, and combines the converted bit string with the previously obtained bit string W2 to obtain the bit string W2.
  • At least one of the sum operation and the product operation when operating the non-commutative matrices A1, A2 is replaced with an operation method combining a plurality of types of operators, and the vector is replaced with the non-commutative matrix A1, A2 is repeatedly applied and nonlinear transformation is performed, and the exclusive OR of the obtained bit strings W1 and W2 is calculated to obtain a pseudo random number bit string.
  • the matrix operation unit operates the non-commutative matrix A1 on the initial vector v 0 or the previously obtained vector v i-1 1 to obtain the vector v i 1 in calculating, for each element of the vector v i 1, already computed vector v i the initial vector v 0 or the vector v i-1 1 was replaced by elements 1, by the action of non-commutative matrix A1 calculates the elements of the vector v i 1, the initial vector v 0, or vectors v i-1 2 previously obtained, by applying the non-commutative matrix A2, in determining said vectors v i 2 for each element of the vector v i 2, the initial vector v 0 or the vector v i-1 2 was replaced by previously computed vector v i 2 element, by applying a non-commutative matrix A2, the vector v The element of i 2 can be calculated. As a result, the decryption strength can be further increased.
  • the bit string conversion unit converts the vector v i 1 obtained by the matrix operation unit into a bit string as the nonlinear conversion, and a predetermined value is determined for the converted bit string
  • a cut-off process is performed to cut a leading bit string that satisfies a condition, and the bit string from which the leading bit string is cut is coupled to the previously obtained bit string W1, and the vector v i 2 is converted into a bit string
  • the cut-off process may be performed so that the bit string from which the leading bit string is cut is coupled to the previously obtained bit string W2.
  • the decryption strength can be further increased.
  • bit string conversion unit of the encryption device is configured such that, as the cut-off process, for the converted bit string, as a leading bit string that satisfies the predetermined condition, The first bit sequence consisting of 1 that appears first from the beginning can be cut, and the first bit sequence having a predetermined number of bits can be cut from the bit sequence from which the first bit sequence has been cut. .
  • the decryption strength can be further increased.
  • the decryption device is configured to share the shared secret key M AB generated by the shared secret key generation device according to claim 1 or 2 and the two prime numbers p1 and p2 set in common with the encryption device.
  • the matrix generation unit that generates the two non-commutative matrices A1 and A2
  • the vector v i 1 is obtained by operating the non-commutative matrix A1 on 1
  • the non-commutative matrix A2 is applied to the initial vector v 0 or the d-dimensional vector v i-1 2 obtained previously.
  • a matrix operation unit for obtaining a vector v i 2 , wherein at least one of a sum operation and a product operation when operating the non-commutative matrices A1 and A2 is performed using a plurality of predetermined operators.
  • a A matrix acts portion exerting said matrix is converted into a bit string by performing a nonlinear transformation to the vector v i 1 determined by the working portion, the bit string a bit string obtained by the conversion is coupled to a bit string W1 previously obtained
  • a bit string conversion unit that obtains W1 and performs nonlinear conversion on the vector v i 2 to convert it into a bit string, and combines the converted bit string with the bit string W2 obtained last time to obtain the bit string W2, and the bit string conversion Until the number of bits of each of the bit string W1 and the bit string W2 obtained by the unit becomes the number of bits of the bit string representing the data to be decoded, the action by the matrix action part and the conversion and
  • a matrix calculated using public data and a secret key is exchanged with a communication partner, and a matrix obtained from the communication partner is used.
  • a secure shared secret key can be generated at high speed.
  • the encryption device the encryption method, the decryption device, and the decryption method that are one aspect of the present invention
  • a plurality of at least one of a sum operation and a product operation when operating the non-commutative matrices A1 and A2 are performed.
  • an encryption processing system 10 includes encryption / decryption devices 12A and 12B, a plurality of user terminals 14A, a plurality of user terminals 14B, and an Internet access network 16. I have.
  • the encryption / decryption devices 12A and 12B are examples of an encryption device and a decryption device.
  • the plurality of user terminals 14A are connected to the encryption / decryption device 12A, and the encryption / decryption device 12A is connected to the Internet access network 16.
  • the plurality of user terminals 14B are connected to the encryption / decryption device 12B, and the encryption / decryption device 12B is connected to the Internet access network 16.
  • the encryption / decryption devices 12A and 12B are connected to each other via the Internet access network 16.
  • the transmission data is output to the Internet access network 16 via the encryption / decryption device 12A.
  • the received data is input from the Internet access network 16 via the encryption / decryption device 12A.
  • the transmission data is output to the Internet access network 16 via the encryption / decryption device 12B.
  • the received data is input from the Internet access network 16 via the encryption / decryption device 12B.
  • the encryption / decryption devices 12A and 12B include a CPU (Central Processing Unit), a RAM (Random Access Memory), and a ROM (program that executes a shared secret key generation processing routine and a pseudo-random number sequence generation processing routine described later). It is configured with a computer equipped with “Read Only Memory” and functionally configured as shown below. As shown in FIG. 2, the encryption / decryption devices 12A and 12B include a communication unit 20, a public data acquisition unit 22, a secret key generation unit 24, a non-commutative matrix generation unit 26, a shared secret key calculation unit 28, and a data input / output unit.
  • the non-commutative matrix generation unit 26 is an example of a matrix calculation unit
  • the shared secret key calculation unit 28 is an example of a matrix acquisition unit and a shared secret key calculation unit.
  • the pseudo random number sequence generation unit 36 is an example of a matrix generation unit, a matrix operation unit, a bit string conversion unit, a bit number determination unit, and a pseudo random number generation sequence unit.
  • the communication unit 20 transmits and receives data via the Internet access network 16.
  • the data input / output unit 32 receives data output from the user terminals 14A and 14B and outputs data to the user terminals 14A and 14B.
  • the public data acquisition unit 22 of the encryption / decryption devices 12A and 12B is a prime number p, a natural number d, a matrix Q (mod p) of d ⁇ d, and Obtain a d ⁇ d matrix S (mod p) in which an inverse matrix exists.
  • det Q ⁇ 1, and (mod p) indicates that the value of the variable or the element of the matrix is a prime p.
  • the secret key generation unit 24 of the encryption / decryption device 12A generates a secret key composed of natural numbers n A (mod p) and k A (mod p).
  • the secret key generation unit 24 of the encryption / decryption device 12B generates a secret key composed of natural numbers n B (mod p) and k B (mod p).
  • the secret key generation unit 24 generates a new secret key and updates the secret key every time communication is performed.
  • the non-commutative matrix generation unit 26 of the encryption / decryption device 12A calculates the d ⁇ d matrix M A (mod p) according to the following equation (1) using the secret keys n A and k A , and the communication unit through 20, the decryption device 12B as a communication partner, and transmits the matrix M a.
  • the non-commutative matrix generation unit 26 of the encryption / decryption device 12B calculates the d ⁇ d matrix M B (mod p) according to the following equation (2) using the secret keys n B and k B , and the communication unit Through 20, the matrix MB is transmitted to the encryption / decryption device 12 ⁇ / b> A which is the communication partner.
  • Shared secret key calculation unit 28 of the decryption apparatus 12A obtains the matrices M B received by the communication unit 20, using the obtained matrices M B, the matrix M AB of d ⁇ d in accordance with the following equation (3) Calculate (mod p).
  • Shared secret key calculation unit 28 of the decryption apparatus 12B obtains the matrix M A received by the communication unit 20, using the obtained matrix M A, the matrix M BA of d ⁇ d in accordance with the following equation (4) Calculate (mod p).
  • M AB S ⁇ (KA + KB)
  • Q nAnB S (KA + KB) S ⁇ (KB + KA)
  • Q nAnB S (KB + KA) M BA ... (7)
  • the shared secret key calculation unit 28 of the encryption / decryption devices 12A and 12B outputs the calculated matrices M AB and M BA to the common data setting unit 34 as a shared secret key.
  • the common data setting unit 34 sets common data in the encryption / decryption devices 12A and 12B. Specifically, a matrix M AB (M BA ) that is a shared secret key, prime numbers p1 and p2 that are private data, and an initial vector v 0 are set as common data.
  • the pseudo random number sequence generation unit 36 generates a pseudo random number bit sequence using a matrix M AB (M BA ) that is a shared secret key, primes p1 and p2 that are private data, and an initial vector v 0 by a method that will be described later. .
  • M BA matrix AB
  • the encryption unit 38 uses the pseudo random number bit sequence generated by the pseudo random number sequence generation unit 36 as a key for the one-time pad encryption, so that the data to be encrypted input by the data input / output unit 32 is stream encrypted. To do. For example, as shown in FIG. 4A, the encryption unit 38 calculates the XOR between the plain text represented by the bit string and the pseudo random number bit string as the encryption key, so that each bit from the front is calculated. Encrypt (or every byte). The data encrypted by the encryption unit 38 is transmitted by the communication unit 20.
  • the decryption unit 40 decrypts the data to be decrypted received by the communication unit 20 by using the pseudo random number bit sequence generated by the pseudo random number sequence generation unit 36 as a key for the one-time pad encryption. .
  • the decryption unit 40 calculates XOR between an encrypted text (cypher text) represented by a bit string and a pseudo random number bit string as an encryption key, thereby generating one bit from the front. Decrypt every (or every byte).
  • the data decoded by the decoding unit 40 is output to the data terminals 14A and 14B by the data input / output unit 32.
  • the pseudo random number sequence generation unit 36 uses the d ⁇ d matrix M AB (or M BA ) generated as the common secret key and the prime numbers p1 and p2 set as the common private data as follows. Two non-commutative matrices A1 and A2 are generated.
  • M AB is a 2 ⁇ 2 matrix
  • the pseudo random number sequence generation unit 36 calculates the matrix A1 ′ using the matrix M AB and the prime number p1, as shown in the following equation (8).
  • the pseudo random number sequence generation unit 36 calculates the matrix A2 ′ using the matrix M AB and the prime number p2, and similarly to the above, the non-commutative matrix A2 is calculated. Generate.
  • the period length O (A) of the pseudo-random number sequence generated using the non-commutative matrices A1 and A2 is an arbitrary prime number p used for generating the non-commutative matrices A1 and A2. It can be written as the following equation (11).
  • the period of A becomes longer than that.
  • v i A 1 i v 0 .
  • the pseudo random number sequence generation unit 36 obtains the bit sequence W1 from the obtained vector sequence V by non-linear conversion.
  • a cut-off process is performed to remove the leading bit string including the bit string composed of 0 and the next 1 appearing from the leading bit.
  • the cut-off it is known that the remaining bit string has high randomness.
  • Random cut as described above, the leading bit string consisting of the consecutive 0 that appears first and the 1 that appears next is cut.
  • Fixed cut the number of bits set in advance is cut. For example, when the number of bits to be cut by Fixed cut is 3, the first 3 bits of the bit string obtained as a result of Random cut are cut.
  • This cut-off process is performed on all the elements of v i , and W is a bit string in which all the elements after the cut-off process are arranged.
  • the vector v i by the action of non-commutative matrix A1, A2, in obtaining the new vector v i + 1, a sum operation and product operation number between, as follows Replace with an operation that combines multiple operators.
  • a and b are 32-bit numbers, and the symbol a ⁇ k is a symbol for shifting a by k bits, (sum operation) a + b is replaced with a + b mod 2 32 . Also, (product operation) a ⁇ b is replaced with a ⁇ (b / 2 27 ) xorb.
  • a ⁇ (b / 2 27 ) represents that a is shifted by a quotient obtained by dividing b by 2 27 , and xor represents a bitwise exclusive OR.
  • v i (v i 1 , v i 2 ,..., V i d ) be obtained by applying the matrix A to the initial vector v 0 i times (d is the dimension of A).
  • a method for obtaining i + 1 (v i + 1 1 , v i + 1 2 ,..., v i + 1 d ) is as follows.
  • v i + 1 2 (A (v i + 1 1 , v i 2 ,..., V i d )) 2 .
  • This a non-commutative matrix A the first element of v i is applied to replaced with a v i + 1 1, in which removal of the second element. Note that the calculation required here is only the calculation of the second element.
  • v i + 1 3 (A (v i + 1 1 , v i + 1 2 ,..., V i d )) 2 .
  • the first and second elements of v i are replaced, the non-commutative matrix A is applied, and the third element is extracted.
  • the processing for the bit string W1 is interrupted at the moment when the bit number of the bit string W1 reaches n, and the remaining part of the bit string W1 is discarded.
  • the pseudo random number sequence generation unit 36 repeats the vector operation and the cut-off process for the non-commutative matrix A 2 to generate the bit sequence W2. Also, at the moment when the number of bits of the bit string W2 reaches n, the processing for the bit string W2 is interrupted and the remaining part of the bit string W2 is discarded.
  • the pseudo random number sequence generation unit 36 calculates the XOR of the finally obtained bit sequence W1 and the bit sequence W2, and sets the obtained bit sequence as the pseudo random number bit sequence.
  • a non-linear transformation may be further performed on the bit string obtained by XOR of the bit string W1 and the bit string W2, and the result may be a pseudo-random bit string.
  • the pseudo random number sequence generation unit 36 generates a pseudo random number bit sequence having the same number of bits as the number of bits of the encryption target data or the number of bits of the decryption target data.
  • the user terminal 14A when data is transmitted from the user terminal 14A to the user terminal 14B, the user terminal 14A outputs the transmission data to the encryption / decryption device 12A.
  • the encryption / decryption device 12A transmits a communication start request to the communication partner's encryption / decryption device 12B and receives a response signal from the encryption / decryption device 12B
  • the encryption / decryption device 12A receives the shared secret shown in FIG.
  • a key calculation processing routine is executed.
  • the shared secret key calculation processing routine shown in FIG. 5 is executed.
  • the shared secret key calculation processing routine is executed in the encryption / decryption device 12A will be described.
  • the encryption / decryption device 12A obtains public data (p, d, Q, S) used in communication between the encryption / decryption devices 12A and 12B. For example, it obtains by accessing public data published on the Web.
  • step 102 the encryption / decryption device 12A generates secret keys n A and k A.
  • the decryption unit 12A includes calculating a public data obtained at Step 100, based on the secret key generated in step 102, according to the above (1), a non-commutative matrix M A To do.
  • the decryption unit 12A includes a non-commutative matrix M A calculated in step 104, and transmits to the decryption device 12B of the communication partner.
  • the decryption unit 12A from the decryption unit 12B determines whether it has received a non-commutative matrix M B.
  • Decryption device 12A receives the non-commutative matrix M B which is calculated similarly by decryption unit 12B, the process proceeds to step 110.
  • the decryption unit 12A includes a public data obtained at Step 100, and the secret key generated in step 102, based on the non-commutative matrix M B received in step 108, the (3 ) To calculate the matrix M AB and set it as a shared secret key in communication with the encryption / decryption device 12B, and the shared secret key calculation processing routine is terminated.
  • the shared secret key calculation processing routine is executed every time communication is started, and each time a new secret key is generated, a new shared secret key is set.
  • the pseudo-random number sequence generation processing routine shown in FIG. 6 is executed in the encryption / decryption device 12A.
  • the encryption / decryption device 12A generates non-commutative matrices A1 and A2 using the shared secret key M AB and the prime numbers p1 and p2 set in common with the encryption / decryption device 12B.
  • the encryption / decryption device 12A sets a variable i for identifying the vector to 0, which is an initial value. Also, the encryption / decryption device 12A sets an initial vector v0.
  • the decryption unit 12A is in the vector v i, respectively by the action of non-commutative matrix A1, A2, to calculate the vector v i + 1 1, v i + 1 2.
  • the encryption / decryption device 12A converts each of the vectors v i + 1 1 and v i + 1 2 calculated in step 124 into a bit string and performs a cutoff process on each bit string. And cut off the first bit string.
  • the encryption / decryption device 12A adds each of the bit strings obtained in step 126 so as to be further aligned with the bit strings W1 and W2.
  • step 130 the encryption / decryption device 12A determines whether or not the number of bits of each of the bit strings W1 and W2 has reached the bit number of the bit string of the transmission data (encryption target data).
  • the encryption / decryption device 12A The variable i is incremented by 1, and the process returns to step 124 to repeat the processes after step 124.
  • the process using the non-commutative matrix A1 is not performed in the processes after step 124.
  • the process using the non-commutative matrix A2 is not performed in the processes after step 124.
  • step 130 If it is determined in step 130 that the number of bits of both the bit strings W1 and W2 has reached the bit number of the bit string of the transmission data, the process proceeds to step 134.
  • step 134 the encryption / decryption device 12A calculates the XOR of the bit strings W1 and W2, generates a pseudo random number bit string S, and ends the pseudo random number string generation processing routine.
  • the encryption / decryption device 12A is encrypted by calculating the XOR between the pseudo random number bit sequence S generated by the pseudo random number sequence generation processing routine and the bit sequence of the transmission data input from the user terminal 14. Generate transmission data. Also, the encryption / decryption device 12A transmits the encrypted transmission data to the user terminal 14B via the Internet access network 16.
  • the encrypted transmission data is received by the encryption / decryption device 12B, and the pseudo-random number sequence generation processing routine of FIG. 6 is executed in the encryption / decryption device 12B in the same manner, and the pseudo-random number having the same number of bits as the encrypted transmission data is executed.
  • a random bit string S is generated.
  • the encryption / decryption device 12B generates a plaintext of the encrypted transmission data by calculating an XOR between the generated pseudo random number bit string S and the bit string of the encrypted transmission data. Also, the encryption / decryption device 12B outputs the plaintext of the transmission data to the user terminal B designated as the transmission destination.
  • This terminal is Nokia (R) N70 platform.
  • the comparison targets are Diffie-Hellman encryption (see DH in FIG. 8) and Elliptic Curve (elliptical) encryption (see ECC in FIG. 8).
  • the RSA public key encryption is omitted because it takes a very long time to execute.
  • the horizontal axis is the method name and key length, and the vertical axis is the execution time. From the graph shown in FIG. 8, the method proposed in the present embodiment (see QP in FIG. 8) is overwhelmingly faster in execution time than other methods even in a small device, and the execution time does not increase even if the key length is increased. I understood that.
  • the encryption / decryption device exchanges a non-commutative matrix calculated using public data and a secret key with a communication partner, and obtains a non-commutation obtained from the communication partner.
  • a secure shared secret key can be generated at high speed.
  • the encryption / decryption device can share a long key with high-speed processing.
  • the attacker solves the following problem from the public information (p, d, Q, S) and the public keys M A and M B , and the secret key n It is necessary to obtain A 1 , k A , (or n B , k B ).
  • the encryption / decryption device replaces the sum operation and product operation when operating the non-commutative matrices A1 and A2 with an operation method combining a plurality of types of operators, and converts the non-commutative matrix A1 into an initial vector.
  • A2 is repeatedly applied and nonlinear transformation is performed, and XOR of the obtained bit strings W1 and W2 is calculated to obtain a pseudo-random bit string.
  • the encryption / decryption device performs encryption or decryption using a pseudo random number bit string, thereby speeding up the encryption process or the decryption process when the number of bits of the data to be encrypted or the data to be decrypted is variable, In addition, the decryption strength can be increased. Further, the encryption / decryption device can start the stream cipher at high speed and safely by combining the method for generating the shared secret key and the encryption / decryption method using random numbers.
  • pseudo random number sequence generation algorithm statistical randomness and long period of the pseudo random number sequence can be guaranteed by using some non-linear transformation, and by using the generated pseudo random number sequence, a safe A disposable encryption key (One-Time-Pad key) can be generated.
  • streaming encryption can be realized, multimedia files such as audio and video can be transferred safely and at high speed.
  • communication between the server and the mobile may be performed.
  • the method for generating the shared secret key described above is suitable for communication between the server and the mobile because it operates at high speed even in a mobile environment and can bias the amount of calculation between two parties performing key exchange.
  • the present invention may be applied, and may be applied to keyless entry of automobiles. Further, the present invention may be applied to HDD (hard disk disk drive) encryption. For example, all data stored in the HDD may be encrypted by the encryption method described in the present embodiment so that only authorized users can read it. Further, the present invention may be applied to the security of the Cloud service.
  • HDD hard disk disk drive
  • the program has been described as an embodiment in which the program is installed in advance.
  • the program can be provided by being stored in a computer-readable recording medium.
  • the computer-readable medium of one embodiment of the present invention is a computer-readable medium including a prime number p, a natural number d, a d ⁇ d matrix Q (mod p) whose determinant is not 1, and a d ⁇ d matrix having an inverse matrix.
  • a public data setting unit for setting public data including S (mod p), a secret key generating unit for generating a secret key including natural numbers n A (mod p) and k A (mod p), and using the secret key, in accordance with the following formula (IV), to calculate the d ⁇ d matrix M a (mod p), matrix calculation unit for transmitting to the communication partner, a natural number n B contained in the secret key of the communication counterpart (mod p), k with B a (mod p) is calculated according to the following formula (V), matrix acquisition unit for acquiring the matrix M B (mod p) of d ⁇ d, and the matrices M B acquired by the matrix acquisition unit using the matrix M AB (m of d ⁇ d in accordance with the following (VI) formula
  • a computer-readable medium storing a program for functioning as a shared secret key calculation unit that calculates a d p) as a shared secret key.
  • M A S -kA Q nA S k

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Description

共有秘密鍵生成装置、暗号化装置、復号化装置、共有秘密鍵生成方法、暗号化方法、復号化方法、及びプログラム
　本発明は、共有秘密鍵生成装置、暗号化装置、復号化装置、共有秘密鍵生成方法、暗号化方法、復号化方法、及びプログラムに関する。
　従来より、メッセージの公開型且つ非可換性の符号化方法及び暗号化方法が知られている（特開2001-202010号公報）。また、有限非可換群を用いた公開鍵暗号システムや、非可換体である環Ｒを用いた公開鍵暗号システムが知られている（特表2004-534971号公報、特表2000-516733号公報）。
　また、公開鍵暗号方式によるネットワーク上での相互認証および公開鍵の相互交換システムや、制御ベクトルに基づく公開鍵暗号システムの鍵管理が知られている（特開2006-262425号公報、特開平5-216409号公報）。
　本発明は、高速に、安全な共有秘密鍵を生成することができる共有秘密鍵生成装置、暗号化装置、復号化装置、共有秘密鍵生成方法、暗号化方法、復号化方法、及びプログラムを提供することを目的とする。
　上記の目的を達成するために第１の態様に係る共有秘密鍵生成装置は、素数ｐ、自然数ｄ、行列式の値が１ではないｄ×ｄの行列Ｑ（ｍｏｄ　ｐ）、及び逆行列が存在するｄ×ｄの行列Ｓ（ｍｏｄ　ｐ）を含む公開データを設定する公開データ設定部と、自然数ｎA（ｍｏｄ　ｐ）、ｋA（ｍｏｄ　ｐ）を含む秘密鍵を生成する秘密鍵生成部と、前記秘密鍵を用いて、以下の（Ｉ）式に従って、ｄ×ｄの行列ＭA（ｍｏｄ　ｐ）を計算し、通信相手へ送信する行列計算部と、前記通信相手の秘密鍵に含まれる自然数ｎB（ｍｏｄ　ｐ）、ｋB（ｍｏｄ　ｐ）を用いて以下の（ＩＩ）式に従って計算される、ｄ×ｄの行列ＭB（ｍｏｄ　ｐ）を取得する行列取得部と、前記行列取得部によって取得された行列ＭBを用いて、以下の（ＩＩＩ）式に従ってｄ×ｄの行列ＭAB（ｍｏｄ　ｐ）を共有秘密鍵として算出する共有秘密鍵算出部と、を含んで構成されている。
ＭA＝Ｓ-kAＱnAＳkA　　　・・・（Ｉ）
ＭB＝Ｓ-kBＱnBＳkB　　　・・・（ＩＩ）
ＭAB＝Ｓ-kAＭB nAＳkA　　　・・・（ＩＩＩ）
　第２の態様に係るプログラムは、コンピュータを、素数ｐ、自然数ｄ、行列式の値が１ではないｄ×ｄの行列Ｑ（ｍｏｄ　ｐ）、及び逆行列が存在するｄ×ｄの行列Ｓ（ｍｏｄ　ｐ）を含む公開データを設定する公開データ設定部、自然数ｎA（ｍｏｄ　ｐ）、ｋA（ｍｏｄ　ｐ）を含む秘密鍵を生成する秘密鍵生成部、前記秘密鍵を用いて、以下の（ＩＶ）式に従って、ｄ×ｄの行列ＭA（ｍｏｄ　ｐ）を計算し、通信相手へ送信する行列計算部、前記通信相手の秘密鍵に含まれる自然数ｎB（ｍｏｄ　ｐ）、ｋB（ｍｏｄ　ｐ）を用いて以下の（Ｖ）式に従って計算される、ｄ×ｄの行列ＭB（ｍｏｄ　ｐ）を取得する行列取得部、及び前記行列取得部によって取得された行列ＭBを用いて、以下の（ＶＩ）式に従ってｄ×ｄの行列ＭAB（ｍｏｄ　ｐ）を共有秘密鍵として算出する共有秘密鍵算出部として機能させるためのプログラムである。
ＭA＝Ｓ-kAＱnAＳkA　　　・・・（ＩＶ）
ＭB＝Ｓ-kBＱnBＳkB　　　・・・（Ｖ）
ＭAB＝Ｓ-kAＭB nAＳkA　　　・・・（ＶＩ）
　このように、公開データと秘密鍵を用いて計算した行列を、通信相手と交換し、通信相手から得られた行列を用いて、共有秘密鍵を算出することにより、高速に、安全な共有秘密鍵を生成することができる。
　第３の態様に係る秘密鍵生成部は、前記通信相手との通信毎に、自然数ｎA（ｍｏｄ　ｐ）、ｋA（ｍｏｄ　ｐ）を含む秘密鍵を生成して更新するようにすることができる。これによって、より安全な共有秘密鍵を生成することができる。
　また、第４の態様に係る暗号化装置は、復号化装置と共通に設定された、請求項１又は２の共有秘密鍵生成装置によって生成された共有秘密鍵ＭAB、及び２つの素数ｐ１、ｐ２に基づいて、２つの非可換行列Ａ１、Ａ２を生成する行列生成部と、前記復号化装置と共通に設定されたｄ次元の初期ベクトルｖ0又は前回求められたｄ次元のベクトルｖi-1 1に、非可換行列Ａ１を作用させて、ベクトルｖi 1を求めると共に、前記初期ベクトルｖ0、又は前回求められたｄ次元のベクトルｖi-1 2に、非可換行列Ａ２を作用させて、ベクトルｖi 2を求める行列作用部であって、前記非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させる際の和演算及び積演算の少なくとも一方を、予め定められた、複数種類の演算子を組み合わせた演算方法に置換して、非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させる行列作用部と、前記行列作用部によって求められたベクトルｖi 1に対して非線形変換を行ってビット列に変換し、前記変換したビット列を前回求められたビット列Ｗ１に結合させて前記ビット列Ｗ１を求めると共に、ベクトルｖi 2に対して非線形変換を行ってビット列に変換し、前記変換したビット列を前回求められたビット列Ｗ２に結合させて前記ビット列Ｗ２を求めるビット列変換部と、前記ビット列変換部によって求められた前記ビット列Ｗ１及び前記ビット列Ｗ２の各々のビット数が、暗号化対象データを表わすビット列のビット数になるまで、前記行列作用部による作用と前記ビット列変換部による変換及び結合とを繰り返すビット数判定部と、前記ビット列Ｗ１及び前記ビット列Ｗ２の排他的論理和を計算して、擬似乱数ビット列を求める擬似乱数列発生部と、前記擬似乱数列発生部によって求められた擬似乱数ビット列と、前記暗号化対象データを表わすビット列との排他的論理和を計算することにより、前記暗号化対象データを暗号化する暗号化部と、を含んで構成されている。
　このように、非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させる際の和演算及び積演算の少なくとも一方を、複数種類の演算子を組み合わせた演算方法に置換して、ベクトルに、非可換行列Ａ１、Ａ２を繰り返し作用させると共に非線形変換を行って、得られるビット列Ｗ１、Ｗ２の排他的論理和を計算して、擬似乱数ビット列を求める。擬似乱数ビット列を用いて暗号化することにより、暗号化対象データのビット数が可変である場合において、暗号化処理を高速化し、かつ暗号解読強度を強くすることができる。
　第５の態様の暗号化装置に係る行列作用部は、前記初期ベクトルｖ0、又は前回求められたベクトルｖi-1 1に、非可換行列Ａ１を作用させて、前記ベクトルｖi 1を求める際に、ベクトルｖi 1の要素毎に、既に計算されたベクトルｖi 1の要素に置き換えた前記初期ベクトルｖ0又は前記ベクトルｖi-1 1に、非可換行列Ａ１を作用させて、ベクトルｖi 1の前記要素を計算し、前記初期ベクトルｖ0、又は前回求められたベクトルｖi-1 2に、非可換行列Ａ２を作用させて、前記ベクトルｖi 2を求める際に、ベクトルｖi 2の要素毎に、既に計算されたベクトルｖi 2の要素に置き換えた前記初期ベクトルｖ0又は前記ベクトルｖi-1 2に、非可換行列Ａ２を作用させて、ベクトルｖi 2の前記要素を計算するようにすることができる。これによって、暗号解読強度をより強くすることができる。
　第６の態様の暗号化装置に係るビット列変換部は、前記非線形変換として、前記行列作用部によって求められたベクトルｖi 1をビット列に変換し、変換されたビット列に対して、予め定められた条件を満たす先頭ビット列をカットするカットオフ処理を行い、前記先頭ビット列がカットされた前記ビット列を前回求められたビット列Ｗ１に結合させると共に、ベクトルｖi 2をビット列に変換し、変換されたビット列に対して、前記カットオフ処理を行い、前記先頭ビット列がカットされた前記ビット列を前回求められたビット列Ｗ２に結合させるようにすることができる。これによって、暗号解読強度をより強くすることができる。
　また、第７の態様に係る暗号化装置のビット列変換部は、前記カットオフ処理として、前記変換されたビット列に対して、前記予め定められた条件を満たす先頭ビット列として、先頭から連続する０と、先頭から最初に出現する１とからなる先頭ビット列をカットすると共に、前記先頭ビット列がカットされた前記ビット列から、予め定められたビット数の先頭ビット列をカットする処理を行うようにすることができる。これによって、暗号解読強度をより強くすることができる。
　第８の態様に係る復号化装置は、暗号化装置と共通に設定された、請求項１又は２の共有秘密鍵生成装置によって生成された共有秘密鍵ＭAB、及び２つの素数ｐ１、ｐ２に基づいて、２つの非可換行列Ａ１、Ａ２を生成する行列生成部と、前記暗号化装置と共通に設定されたｄ次元の初期ベクトルｖ0又は前回求められたｄ次元のベクトルｖi-1 1に、非可換行列Ａ１を作用させて、ベクトルｖi 1を求めると共に、前記初期ベクトルｖ0、又は前回求められたｄ次元のベクトルｖi-1 2に、非可換行列Ａ２を作用させて、ベクトルｖi 2を求める行列作用部であって、前記非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させる際の和演算及び積演算の少なくとも一方を、予め定められた、複数種類の演算子を組み合わせた演算方法に置換して、非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させる行列作用部と、前記行列作用部によって求められたベクトルｖi 1に対して非線形変換を行ってビット列に変換し、前記変換したビット列を前回求められたビット列Ｗ１に結合させて前記ビット列Ｗ１を求めると共に、ベクトルｖi 2に対して非線形変換を行ってビット列に変換し、前記変換したビット列を前回求められたビット列Ｗ２に結合させて前記ビット列Ｗ２を求めるビット列変換部と、前記ビット列変換部によって求められた前記ビット列Ｗ１及び前記ビット列Ｗ２の各々のビット数が、復号化対象データを表わすビット列のビット数になるまで、前記行列作用部による作用と前記ビット列変換部による変換及び結合とを繰り返すビット数判定部と、前記ビット列Ｗ１及び前記ビット列Ｗ２の排他的論理和を計算して、擬似乱数ビット列を求める擬似乱数列発生部と、前記擬似乱数列発生部によって求められた擬似乱数ビット列と、前記復号化対象データを表わすビット列との排他的論理和を計算することにより、前記復号化対象データを復号化する復号化部と、を含んで構成されている。
　本発明の一態様である共有秘密鍵生成装置、方法、及びプログラムによれば、公開データと秘密鍵を用いて計算した行列を、通信相手と交換し、通信相手から得られた行列を用いて、共有秘密鍵を算出することにより、高速に、安全な共有秘密鍵を生成することができる。
　本発明の一態様である暗号化装置、暗号化方法、復号化装置、及び復号化方法によれば、非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させる際の和演算及び積演算の少なくとも一方を、複数種類の演算子を組み合わせた演算方法に置換して、ベクトルに、非可換行列Ａ１、Ａ２を繰り返し作用させると共に非線形変換を行って、得られるビット列Ｗ１、Ｗ２の排他的論理和を計算して、擬似乱数ビット列を求め。擬似乱数ビット列を用いて暗号化又は復号化することにより、暗号化対象データ又は復号化対象データのビット数が可変である場合において、暗号化処理又は復号化処理を高速化し、かつ暗号解読強度を強くすることができる。
本発明の実施の形態に係る暗号化処理システムの構成を示す概略図である。 本発明の実施の形態に係る暗号復号装置の構成を示す概略図である。 共有秘密鍵を算出する方法を説明するための図である。 暗号化方法を説明するための図である。 復号化方法を説明するための図である。 本発明の実施の形態に係る暗号復号装置における共有秘密鍵算出処理ルーチンの内容を示すフローチャートである。 本発明の実施の形態に係る暗号復号装置における擬似乱数列発生処理ルーチンの内容を示すフローチャートである。 コンピュータ上での実験結果を示すグラフである。 モバイル端末上での実験結果を示すグラフである。
　以下、図面を参照して本発明の実施の形態を詳細に説明する。
＜システム構成＞
　図１に示すように、本発明の実施の形態に係る暗号化処理システム１０は、暗号復号装置１２Ａ、１２Ｂと、複数のユーザ端末１４Ａと、複数のユーザ端末１４Ｂと、インターネットアクセス網１６とを備えている。なお、暗号復号装置１２Ａ、１２Ｂは、暗号化装置、復号化装置の一例である。
　複数のユーザ端末１４Ａは、暗号復号装置１２Ａと接続されており、暗号復号装置１２Ａは、インターネットアクセス網１６に接続されている。また、複数のユーザ端末１４Ｂは、暗号復号装置１２Ｂと接続されており、暗号復号装置１２Ｂは、インターネットアクセス網１６に接続されている。暗号復号装置１２Ａ、１２Ｂは、インターネットアクセス網１６を介して相互に接続されている。
　ユーザ端末１４Ａは、インターネットアクセス網１６を介したデータ送信を行う場合に、暗号復号装置１２Ａを介して、送信データがインターネットアクセス網１６に出力される。一方、ユーザ端末１４Ａがインターネットアクセス網１６を介したデータ受信を行う場合に、暗号復号装置１２Ａを介して、受信データがインターネットアクセス網１６から入力される。
　また、ユーザ端末１４Ｂは、インターネットアクセス網１６を介したデータ送信を行う場合に、暗号復号装置１２Ｂを介して、送信データがインターネットアクセス網１６へ出力される。一方、ユーザ端末１４Ｂがインターネットアクセス網１６を介したデータ受信を行う場合に、暗号復号装置１２Ｂを介して、受信データがインターネットアクセス網１６から入力される。
　暗号復号装置１２Ａ、１２Ｂは、ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　Ｕｎｉｔ）と、ＲＡＭ（Ｒａｎｄｏｍ　Ａｃｃｅｓｓ　Ｍｅｍｏｒｙ）と、後述する共有秘密鍵生成処理ルーチン及び擬似乱数列発生処理ルーチンを実行するためのプログラムを記憶したＲＯＭ（Ｒｅａｄ　Ｏｎｌｙ　Ｍｅｍｏｒｙ）とを備えたコンピュータで構成され、機能的には次に示すように構成されている。図２に示すように、暗号復号装置１２Ａ、１２Ｂは、通信部２０、公開データ取得部２２、秘密鍵生成部２４、非可換行列生成部２６、共有秘密鍵算出部２８、データ入出力部３２、共通データ設定部３４、擬似乱数列発生部３６、暗号化部３８、及び復号化部４０を備えている。なお、非可換行列生成部２６は、行列計算部の一例であり、共有秘密鍵算出部２８は、行列取得部及び共有秘密鍵算出部の一例である。また、擬似乱数列発生部３６は、行列生成部、行列作用部、ビット列変換部、ビット数判定部、及び擬似乱数発生列部の一例である。
　通信部２０は、インターネットアクセス網１６を介してデータの送受信を行う。
　データ入出力部３２は、ユーザ端末１４Ａ、１４Ｂから出力されたデータが入力されると共に、ユーザ端末１４Ａ、１４Ｂに対してデータを出力する。
　暗号復号装置１２Ａ、１２Ｂの公開データ取得部２２は、通信部２０を介して、通信相手との通信で用いる公開データとして、素数ｐ、自然数ｄ、ｄ×ｄの行列Ｑ（ｍｏｄ　ｐ）、及び逆行列が存在するｄ×ｄの行列Ｓ（ｍｏｄ　ｐ）を取得する。ただし、ｄｅｔ　Ｑ≠１であり、（ｍｏｄ　ｐ）は、変数あるいは行列の要素の値が、素数ｐの法であることを示す。
　暗号復号装置１２Ａの秘密鍵生成部２４は、自然数ｎA（ｍｏｄ　ｐ）、ｋA（ｍｏｄ　ｐ）からなる秘密鍵を生成する。
　暗号復号装置１２Ｂの秘密鍵生成部２４は、自然数ｎB（ｍｏｄ　ｐ）、ｋB（ｍｏｄ　ｐ）からなる秘密鍵を生成する。
　秘密鍵生成部２４は、通信を行う毎に、新たな秘密鍵を生成し、秘密鍵を更新する。
　暗号復号装置１２Ａの非可換行列生成部２６は、秘密鍵ｎA、ｋAを用いて、以下の（１）式に従って、ｄ×ｄの行列ＭA（ｍｏｄ　ｐ）を計算し、通信部２０を介して、通信相手である暗号復号装置１２Ｂへ、行列ＭAを送信する。
ＭA＝Ｓ-kAＱnAＳkA　　　・・・（１）
　暗号復号装置１２Ｂの非可換行列生成部２６は、秘密鍵ｎB、ｋBを用いて、以下の（２）式に従って、ｄ×ｄの行列ＭB（ｍｏｄ　ｐ）を計算し、通信部２０を介して、通信相手である暗号復号装置１２Ａへ、行列ＭBを送信する。
ＭB＝Ｓ-kBＱnBＳkB　　　・・・（２）
　暗号復号装置１２Ａの共有秘密鍵算出部２８は、通信部２０によって受信した行列ＭBを取得し、取得された行列ＭBを用いて、以下の（３）式に従ってｄ×ｄの行列ＭAB（ｍｏｄ　ｐ）を算出する。
ＭAB＝Ｓ-kAＭB nAＳkA　　　・・・（３）
　暗号復号装置１２Ｂの共有秘密鍵算出部２８は、通信部２０によって受信した行列ＭAを取得し、取得された行列ＭAを用いて、以下の（４）式に従ってｄ×ｄの行列ＭBA（ｍｏｄ　ｐ）を算出する。
ＭBA＝Ｓ-kBＭA nBＳkB　　　・・・（４）
　ここで、図３に示すように、上記（３）式は、以下のように、（５）式に変換される。
ＭＡＢ＝Ｓ－ＫＡＭＢ ｎＡＳＫＡ
ＭＡＢ＝Ｓ－ＫＡ（Ｓ－ＫＢＱｎBＳＫＢ）ｎＡＳＫＡ
ＭＡＢ＝Ｓ－ＫＡＳ－ＫＢ（ＱｎB）ｎＡＳＫＢＳＫＡ
ＭＡＢ＝Ｓ－（ＫＡ＋ＫＢ）ＱｎＢｎＡＳ（ＫＡ＋ＫＢ）　　　・・・（５）
　また、上記（４）式は、以下のように、（６）式に変換される。
Ｓ－ＫＢＭＡ ｎＢＳＫＢ＝ＭＢＡ
Ｓ－ＫＢ（Ｓ－ＫＡＱｎＡＳＫＡ）ｎＢＳＫＢ＝ＭＢＡ
Ｓ－ＫＢＳ－ＫＡ（ＱｎＡ）ｎＢＳＫＡＳＫＢ＝ＭＢＡ
Ｓ－（ＫＡ＋ＫＢ）ＱｎＡｎＢＳ（ＫＡ＋ＫＢ）＝ＭＢＡ　　　・・・（６）
　上記（５）式、（６）式により、以下の（７）式が得られ、ＭABとＭBAとが等しいことが証明される。
ＭＡＢ＝Ｓ－（ＫＡ＋ＫＢ）ＱｎＡｎＢＳ（ＫＡ＋ＫＢ）＝Ｓ－（ＫＢ＋ＫＡ）ＱｎＡｎＢＳ（ＫＢ＋ＫＡ）＝ＭＢＡ
　　　・・・（７）
　そこで、暗号復号装置１２Ａ、１２Ｂの共有秘密鍵算出部２８は、算出した行列ＭAB、ＭBAを、共有秘密鍵として、共通データ設定部３４へ出力する。
　共通データ設定部３４は、暗号復号装置１２Ａ、１２Ｂで共通のデータを設定する。具体的には、共有秘密鍵である行列ＭAB（ＭBA）、プライベートデータである素数ｐ１、ｐ２、及び初期ベクトルｖ0が共通のデータとして設定される。
　擬似乱数列発生部３６は、後述する手法により、共有秘密鍵である行列ＭAB（ＭBA）、プライベートデータである素数ｐ１、ｐ２、及び初期ベクトルｖ0を用いて、擬似乱数ビット列を発生させる。
　暗号化部３８は、擬似乱数列発生部３６によって発生した擬似乱数ビット列を、ワンタイムパッド暗号の鍵として用いることで、データ入出力部３２により入力された暗号化対象データに対して、ストリーム暗号化を行う。例えば、暗号化部３８は、図４Ａに示すように、ビット列で表した平文（plain text）と、暗号化の鍵としての擬似乱数ビット列とのＸＯＲを演算することにより、前から１ビット毎に（あるいは1バイト毎に）暗号化する。暗号化部３８により暗号化されたデータは、通信部２０によりデータ送信される。
　復号化部４０は、擬似乱数列発生部３６によって発生した擬似乱数ビット列を、ワンタイムパッド暗号の鍵として用いることで、通信部２０により受信された復号化対象データに対して、復号化を行う。例えば、復号化部４０は、図４Ｂに示すように、ビット列で表した暗号化文（cypher text）と、暗号化の鍵としての擬似乱数ビット列とのＸＯＲを演算することにより、前から１ビット毎に（あるいは1バイト毎に）復号化する。復号化部４０により復号化されたデータは、データ入出力部３２により、データ端末１４Ａ、１４Ｂへ出力される。
　次に、本実施の形態における擬似乱数ビット列を発生させる原理について説明する。
　まず、擬似乱数列発生部３６は、共通秘密鍵として生成されたｄ×ｄの行列ＭAB（またはＭBA）及び共通のプライベートデータとして設定された素数ｐ１、ｐ２とを用いて、以下のように、２つの非可換行列Ａ１、Ａ２を生成する。なお、以下では、行列ＭABが、２×２の行列である場合を例に説明する。
　擬似乱数列発生部３６は、以下の（８）式に示すように、行列ＭABと素数ｐ１とを用いて、行列Ａ１’を計算する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
 
　そして、擬似乱数列発生部３６は、＜ｇ＞＝｛１，…，ｐ１－１｝となるジェネレータｇを求める。例えば、ｐ1＝７のジェネレータは、以下のように、＜３＞＝｛１，…，６｝である。
３１＝３，３２＝９ｍｏｄ７＝２，３３＝２７ｍｏｄ７＝６，３４＝８１ｍｏｄ７＝４，
３５＝２４３ｍｏｄ７＝５，・・・
　そして、Ａ１”を、以下の（９）式で表わすとすると、擬似乱数列発生部３６は、ｄｅｔ　Ａ１”＝ｇになるようにｄ’を変更し、ｄ’を変更したＡ”１を、非可換行列Ａ１とする。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000002
 
　また、擬似乱数列発生部３６は、以下の（１０）式に示すように、行列ＭABと素数ｐ２とを用いて、行列Ａ２’を計算し、上記と同様に、非可換行列Ａ２を生成する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000003
 
　ここで、非可換行列Ａ１、Ａ２を用いて生成される擬似乱数列の周期の長さＯ（Ａ）は、非可換行列Ａ１、Ａ２の生成に用いる、任意の素数ｐを用いて、以下の（１１）式のように書ける。
Ｏ（Ａ）≧ｐ　　　・・・（１１）
　たとえば、ｐを１０００００ビットの素数とした場合、Ａの周期はそれ以上に長くなる。
　また、擬似乱数列発生部３６は、共通に設定された初期ベクトルｖ０に対して、生成された非可換行列Ａ１を用いて変換を行い、ベクトルｖ１を得る。また、ベクトルｖ１に対して、非可換行列Ａ１を用いた変換を繰り返し、ベクトル列Ｖ=｛ｖ０,ｖ１,...,ｖｔ｝を得る。ここでｖｉ＝Ａ１ ｉｖ０である。
　そして、擬似乱数列発生部３６は、得られたベクトル列Ｖから非線形変換により、ビット列Ｗ１を得る。ベクトル列Ｖからビット列Ｗを得る非線形変換として、Ｖの要素をｖｉ＝（ｖｉ,０,ｖｉ,１，...，ｖｉ，ｎ）とし、ｖｉ，０をバイナリ変換したビット列から、先頭ビットから続く０と次に現われた１とからなるビット列を含む先頭ビット列を取り除くカットオフ処理を行う。ここで、カットオフの後、残ったビット列は高い乱数性を持つことが知られている。
　本実施の形態では、カットオフ処理において、Random cut及びFixed cut の2種類のカットオフを使用している。
　Random cutでは、上述したように、最初に現れる連続した0と、次に出現する1とからなる先頭ビット列をカットする。また、Fixed cutでは、あらかじめ決めておいたビット数だけカットする。例えば、Fixed cutでカットするビット数が3である場合、Random cutの結果として得られるビット列の先頭3ビットをカットする。
　ｖｉの要素すべてにこのカットオフ処理を行い、カットオフ処理後の要素を全て並べたビット列をＷとする。
　攻撃者は、すべてのカットオフの可能性を検証しなければ、非可換行列Ａ１とＡ２を復元することはできないため、攻撃に対する強さを向上させることができる。
　また、本実施の形態では、ベクトルｖiに、非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させて、新しいベクトルｖi+1を得る際に、数同士の和演算及び積演算を、以下のように複数の演算子を組み合わせた演算に置き換える。
　例えば、a、bを32bitの数とし、記号a<<kを、aをkビットずらす記号とすると、（和演算）a+bを、a+b mod 232に置き換える。また、（積演算）a×b を、 a<< (b / 227) xorbに置き換える。ここで、a<< (b / 227)は、a を 、bを227で割った商だけずらすことを表わし、xorはビットごとの排他的論理和を表わす。
　また、ベクトルｖiに、非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させて、新しいベクトルｖi+1を得る際に、更に、行列の作用の方法を以下のように置き換えてもよい。
　例えば、ｖi＝（ｖi 1, ｖi 2,..., ｖi d）を、行列Ａを初期ベクトルｖ0にi回作用させたものとする（dはＡの次元）と、ｖi+1＝（ｖi+1 1, ｖi+1 2,..., ｖi+1 d）を得る方法を以下のようにする。
　まず、ｖi+1 1＝（Ａｖi）1とする。これはベクトルＡｖiの1番目の要素だけである。また、必要な計算は1番目の要素の計算だけである。2x2行列で書くと、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
 
となるが、和演算と積演算は、上述したように、別の演算で置き換えられている。
　そして、ｖi+1 2＝（Ａ（ｖi+1 1, ｖi 2,..., ｖi d））2とする。これは非可換行列Ａを、ｖiの1番目の要素をｖi+1 1に置き換えたものに作用させ、２番目の要素を取り出したものである。なお、ここで必要な計算は、2番目の要素の計算だけである。
　そして、ｖi+1 3＝（Ａ（ｖi+1 1, ｖi+1 2,..., ｖi d））2とする。これは上記と同様に、ｖiの１番目、２番目の要素を置き換えて、非可換行列Ａを作用させ、3番目の要素を抜き出したものである。
　以降、d番目の要素まで同様に行い、ｖi+1を得る。
　また、暗号化する平文のビット数をｎとすると、ビット列Ｗ１のビット数がnに到達した瞬間、ビット列Ｗ１に対する処理は中断され、ビット列Ｗ１の余った部分は捨てられる。
　擬似乱数列発生部３６は、非可換行列Ａ２に対しても同様に、ベクトルへの作用及びカットオフ処理を繰り返し行い、ビット列Ｗ２を生成する。また、ビット列Ｗ２のビット数がnに到達した瞬間、ビット列Ｗ２に対する処理は中断され、ビット列Ｗ２の余った部分は捨てられる。
　そして、擬似乱数列発生部３６は、最終的に得られたビット列Ｗ１とビット列Ｗ２とのＸＯＲを計算し、得られたビット列を、擬似乱数ビット列とする。なお、ビット列Ｗ１とビット列Ｗ２とのＸＯＲにより得られたビット列に対して、更に非線形変換を行って、その結果を、擬似乱数ビット列としてもよい。
　擬似乱数列発生部３６は、上記のように、暗号化対象データのビット数又は復号化対象データのビット数と同じビット数の擬似乱数ビット列を発生させる。
＜暗号化処理システムの動作＞
　次に、本実施の形態に係る暗号化処理システム１０の動作について説明する。
　まず、ユーザ端末１４Ａから、データをユーザ端末１４Ｂへ送信する場合に、ユーザ端末１４Ａが、送信データを、暗号復号装置１２Ａに出力する。
　次に、暗号復号装置１２Ａは、通信相手の暗号復号装置１２Ｂに対して、通信開始要求を送信し、暗号復号装置１２Ｂから応答信号を受信すると、暗号復号装置１２Ａにおいて、図５に示す共有秘密鍵算出処理ルーチンが実行される。また、暗号復号装置１２Ｂにおいても、同様に、図５に示す共有秘密鍵算出処理ルーチンが実行される。なお、以下では、暗号復号装置１２Ａにおいて、共有秘密鍵算出処理ルーチンを実行する場合について説明する。
　まず、ステップ１００において、暗号復号装置１２Ａは、暗号復号装置１２Ａ、１２Ｂの間の通信において用いる公開データ（ｐ、ｄ、Ｑ、Ｓ）を取得する。例えば、Ｗｅｂ上に公開された公開データにアクセスして取得する。
　そして、ステップ１０２において、暗号復号装置１２Ａは、秘密鍵ｎA、ｋAを生成する。次のステップ１０４では、暗号復号装置１２Ａは、上記ステップ１００で取得した公開データと、上記ステップ１０２で生成した秘密鍵とに基づいて、上記（１）式に従って、非可換行列ＭAを算出する。
　ステップ１０６では、暗号復号装置１２Ａは、上記ステップ１０４で算出した非可換行列ＭAを、通信相手の暗号復号装置１２Ｂへ送信する。次のステップ１０８では、暗号復号装置１２Ａは、暗号復号装置１２Ｂから、非可換行列ＭBを受信したか否かを判定する。暗号復号装置１２Ａは、暗号復号装置１２Ｂによって同様に算出された非可換行列ＭBを受信すると、ステップ１１０へ進む。
　ステップ１１０では、暗号復号装置１２Ａは、上記ステップ１００で取得した公開データと、上記ステップ１０２で生成した秘密鍵と、上記ステップ１０８で受信した非可換行列ＭBとに基づいて、上記（３）式に従って、行列ＭABを算出して、暗号復号装置１２Ｂとの通信における共有秘密鍵として設定し、共有秘密鍵算出処理ルーチンを終了する。
　上記共有秘密鍵算出処理ルーチンは、通信が開始される毎に実行され、その度に、新しい秘密鍵が生成され、新しい共有秘密鍵が設定される。
　また、暗号復号装置１２Ａにおいて、図６に示す擬似乱数列発生処理ルーチンが実行される。
　まず、ステップ１２０において、暗号復号装置１２Ａは、暗号復号装置１２Ｂと共通に設定された共有秘密鍵ＭAB、素数ｐ１、ｐ２を用いて、非可換行列Ａ１、Ａ２を生成する。ステップ１２２では、暗号復号装置１２Ａは、ベクトルを識別する変数ｉを初期値である０に設定する。また、暗号復号装置１２Ａは、初期ベクトルｖ0を設定する。
　次のステップ１２４では、暗号復号装置１２Ａは、ベクトルｖiに、非可換行列Ａ１、Ａ２をそれぞれ作用させて、ベクトルｖi+1 1、ｖi+1 2を計算する。ステップ１２６では、暗号復号装置１２Ａは、上記ステップ１２４で計算されたベクトルｖi+1 1、ｖi+1 2の各々を、ビット列に変換すると共に、それぞれのビット列に対して、カットオフ処理を行い、先頭ビット列をカットオフする。そして、ステップ１２８において、暗号復号装置１２Ａは、上記ステップ１２６で得られたビット列の各々を、ビット列Ｗ１、Ｗ２に対して更に並べるように追加する。
　ステップ１３０では、暗号復号装置１２Ａは、ビット列Ｗ１、Ｗ２の各々のビット数が、送信データ（暗号化対象データ）のビット列のビット数に到達したか否かを判定する。ビット列Ｗ１、Ｗ２の各々のビット数が、ユーザ端末１４Ａから入力された送信データ（暗号化対象データ）のビット列のビット数に到達していない場合には、ステップ１３２において、暗号復号装置１２Ａは、変数ｉを１インクリメントして、上記ステップ１２４へ戻って、ステップ１２４以降の処理を繰り返す。ここで、ビット列Ｗ１のみについて、ビット数が、送信データのビット列のビット数に到達した場合には、上記ステップ１２４以降の処理において、非可換行列Ａ１を用いた処理は行わない。また、ビット列Ｗ２のみについて、ビット数が、送信データのビット列のビット数に到達した場合には、上記ステップ１２４以降の処理において、非可換行列Ａ２を用いた処理は行わない。
　また、上記ステップ１３０において、ビット列Ｗ１、Ｗ２の双方のビット数が、送信データのビット列のビット数に到達したと判定された場合には、ステップ１３４へ進む。
　ステップ１３４では、暗号復号装置１２Ａは、ビット列Ｗ１、Ｗ２のＸＯＲを演算して、擬似乱数ビット列Ｓを生成し、擬似乱数列発生処理ルーチンを終了する。
　そして、暗号復号装置１２Ａは、上記の擬似乱数列発生処理ルーチンによって生成された擬似乱数ビット列Ｓと、ユーザ端末１４から入力された送信データのビット列とのＸＯＲを演算することにより、暗号化された送信データを生成する。また、暗号復号装置１２Ａは、暗号化された送信データを、インターネットアクセス網１６を介してユーザ端末１４Ｂへ送信する。
　暗号化された送信データは、暗号復号装置１２Ｂによって受信され、暗号復号装置１２Ｂにおいて、上記図６の擬似乱数列発生処理ルーチンが同様に実行され、暗号化された送信データと同じビット数の擬似乱数ビット列Ｓが生成される。
　そして、暗号復号装置１２Ｂは、生成された擬似乱数ビット列Ｓと、暗号化された送信データのビット列とのＸＯＲを演算することにより、暗号化された送信データの平文を生成する。また、暗号復号装置１２Ｂは、送信データの平文を、送信先として指定されたユーザ端末Ｂへ出力する。
　次に、上記の実施の形態で説明した共有秘密鍵の算出アルゴリズムを用いた実験を行った結果について説明する。
　２者間における鍵共有の速度を検証した。秘密鍵を生成し、交換が終了するまでの計算時間を計測した。
　また、以下の環境でテストを行った。Ｗｉｎｄｏｗｓ７（登録商標）上のパフォーマンスは、以下の表１に示す。
Figure JPOXMLDOC01-appb-T000005
 
　（ＲＳＡ公開鍵暗号（図７のRSA参照)）、Diffie‐Hellman型暗号（図７のDH参照)、Elliptic Curve（楕円）暗号（図７のECC参照）を比較対象として、速度の比較を行い、鍵生成、公開情報生成、鍵共有の速度をプロットした。図７に示すグラフより、本実施の形態で提案した手法（図７のQP-kex参照）は他の方式より圧倒的に速く、特に、RSAと比較して約10倍の速度であることが分かった。
　また、以下の表２に示すようなモバイル端末上で、実装実験を行った。
Figure JPOXMLDOC01-appb-T000006
 
　この端末はNokia（Ｒ） N70 platform である。比較とする対象は、Diffie‐Hellman型暗号（図８のDH参照)、Elliptic Curve（楕円）暗号（図８のECC参照） である。ＲＳＡ公開鍵暗号は非常に実行時間がかかるため割愛した。横軸に方式名と鍵長をとり、縦軸を実行時間とした。図８に示すグラフより、本実施の形態で提案した手法（図８のQP参照）は小型デバイスでも他の方式と比べ、圧倒的に実行時間が速く、鍵長を長くとっても実行時間は大きくならないということが分かった。
　以上説明したように、本発明の実施の形態に係る暗号復号装置は、公開データと秘密鍵を用いて計算した非可換行列を、通信相手と交換し、通信相手から得られた非可換行列を用いて、共有秘密鍵を算出することにより、高速に、安全な共有秘密鍵を生成することができる。
　また、暗号復号装置は、高速な処理で、長い鍵を共有することができる。
　また、共通秘密鍵への攻撃に対する強さについては、攻撃者は公開されている情報（ｐ、ｄ、Ｑ，Ｓ）と公開鍵ＭＡ、ＭＢから、次の問題を解き、秘密鍵ｎＡ、ｋＡ、（若しくはｎＢ、ｋＢ）を得る必要がある。
[問題]次を満たすｎＡ、ｋＡを求めよ。
ＭＡ＝Ｓ－ＫＡＱｎＡＳＫＡ
　これは、ＤＨ型（離散対数問題）よりはるかに難しい問題となる。仮にｎＡを得ることができても、それからｋＡを得るには、非線形問題を解かねばならない。このとき、不定方程式が出現し、数学的には解を得る確率は０となる。従って、生成される共有秘密鍵は、D-H より数学的に厳密に安全である。
　また、暗号復号装置は、非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させる際の和演算及び積演算を、複数種類の演算子を組み合わせた演算方法に置換して、初期ベクトルに、非可換行列Ａ１、Ａ２を繰り返し作用させると共に非線形変換を行って、得られるビット列Ｗ１、Ｗ２のＸＯＲを計算して、擬似乱数ビット列を求める。暗号復号装置は、擬似乱数ビット列を用いて暗号化又は復号化することにより、暗号化対象データ又は復号化対象データのビット数が可変である場合において、暗号化処理又は復号化処理を高速化し、かつ暗号解読強度を強くすることができる。また、暗号復号装置は、共有秘密鍵の生成方法と、乱数を用いた暗号化・復号化方法とを組み合わせることで、高速かつ安全にストリーム暗号を開始することができる。
　また、他のストリーム暗号より高速で、計算能力の低い小型デバイス上でも実装が可能である。
　また、擬似乱数列発生アルゴリズムにおいて、いくつかの非線形変換を用いることにより、擬似乱数列の統計的ランダム性と長周期を保証することができ、生成された擬似乱数列を用いることにより、安全な使い捨て暗号鍵（One-Time-Padキー）を生成することができる。
　また、ストリーミング暗号を実現することができるため、音声・動画などのマルチメディア・ファイルを安全にかつ高速に転送することができる。
　なお、本発明は、上述した実施形態に限定されるものではなく、この発明の要旨を逸脱しない範囲内で様々な変形や応用が可能である。
　例えば、サーバとモバイルとの間の通信を行うようにしてもよい。上記の共有秘密鍵の生成方法は、モバイル環境でも高速に動作し、鍵交換を行う２者間で計算量を偏らせることができるため、サーバとモバイル間通信に適している。
　また、ストリーミング暗号以外に、本発明を適用してもよく、自動車のキーレスエントリーなどへ応用してもよい。また、HDD(hard disk drive)の暗号化に応用してもよい。例えば、本実施の形態で説明した暗号化方法により、HDDに保存されるすべてのデータが暗号化され、正当なユーザしか読み出しできないようにしてもよい。また、Cloudサービスのセキュリティに、本発明を応用してもよい。
　また、本願明細書中において、プログラムが予めインストールされている実施形態として説明したが、当該プログラムを、コンピュータ読み取り可能な記録媒体に格納して提供することも可能である。
　本発明の一態様のコンピュータ可読媒体は、コンピュータを、素数ｐ、自然数ｄ、行列式の値が１ではないｄ×ｄの行列Ｑ（ｍｏｄ　ｐ）、及び逆行列が存在するｄ×ｄの行列Ｓ（ｍｏｄ　ｐ）を含む公開データを設定する公開データ設定部、自然数ｎA（ｍｏｄ　ｐ）、ｋA（ｍｏｄ　ｐ）を含む秘密鍵を生成する秘密鍵生成部、前記秘密鍵を用いて、以下の（ＩＶ）式に従って、ｄ×ｄの行列ＭA（ｍｏｄ　ｐ）を計算し、通信相手へ送信する行列計算部、前記通信相手の秘密鍵に含まれる自然数ｎB（ｍｏｄ　ｐ）、ｋB（ｍｏｄ　ｐ）を用いて以下の（Ｖ）式に従って計算される、ｄ×ｄの行列ＭB（ｍｏｄ　ｐ）を取得する行列取得部、及び前記行列取得部によって取得された行列ＭBを用いて、以下の（ＶＩ）式に従ってｄ×ｄの行列ＭAB（ｍｏｄ　ｐ）を共有秘密鍵として算出する共有秘密鍵算出部として機能させるためのプログラムを記憶したコンピュータ可読媒体である。
ＭA＝Ｓ-kAＱnAＳkA　　　・・・（ＩＶ）
ＭB＝Ｓ-kBＱnBＳkB　　　・・・（Ｖ）
ＭAB＝Ｓ-kAＭB nAＳkA　　　・・・（ＶＩ）
　日本出願２０１２－１５１８３５の開示はその全体が参照により本明細書に取り込まれる。
　本明細書に記載された全ての文献、特許出願、及び技術規格は、個々の文献、特許出願、及び技術規格が参照により取り込まれることが具体的かつ個々に記載された場合と同程度に、本明細書中に参照により取り込まれる。

Claims (8)

  1. 　素数ｐ、自然数ｄ、行列式の値が１ではないｄ×ｄの行列Ｑ（ｍｏｄ　ｐ）、及び逆行列が存在するｄ×ｄの行列Ｓ（ｍｏｄ　ｐ）を含む公開データを設定する公開データ設定部と、
    　自然数ｎA（ｍｏｄ　ｐ）、ｋA（ｍｏｄ　ｐ）を含む秘密鍵を生成する秘密鍵生成部と、
    　前記秘密鍵を用いて、以下の（Ｉ）式に従って、ｄ×ｄの行列ＭA（ｍｏｄ　ｐ）を計算し、通信相手へ送信する行列計算部と、
    　前記通信相手の秘密鍵に含まれる自然数ｎB（ｍｏｄ　ｐ）、ｋB（ｍｏｄ　ｐ）を用いて以下の（ＩＩ）式に従って計算される、ｄ×ｄの行列ＭB（ｍｏｄ　ｐ）を取得する行列取得部と、
    　前記行列取得部によって取得された行列ＭBを用いて、以下の（ＩＩＩ）式に従ってｄ×ｄの行列ＭAB（ｍｏｄ　ｐ）を共有秘密鍵として算出する共有秘密鍵算出部と、
    　を含む共有秘密鍵生成装置。
    ＭA＝Ｓ-kAＱnAＳkA　　　・・・（Ｉ）
    ＭB＝Ｓ-kBＱnBＳkB　　　・・・（ＩＩ）
    ＭAB＝Ｓ-kAＭB nAＳkA　　　・・・（ＩＩＩ）
  2. 　前記秘密鍵生成部は、前記通信相手との通信毎に、自然数ｎA（ｍｏｄ　ｐ）、ｋA（ｍｏｄ　ｐ）を含む秘密鍵を生成して更新する請求項１記載の共有秘密鍵生成装置。
  3. 　復号化装置と共通に設定された、請求項１又は２の共有秘密鍵生成装置によって生成された共有秘密鍵ＭAB、及び２つの素数ｐ１、ｐ２に基づいて、２つの非可換行列Ａ１、Ａ２を生成する行列生成部と、
    　前記復号化装置と共通に設定されたｄ次元の初期ベクトルｖ0又は前回求められたｄ次元のベクトルｖi-1 1に、非可換行列Ａ１を作用させて、ベクトルｖi 1を求めると共に、前記初期ベクトルｖ0、又は前回求められたｄ次元のベクトルｖi-1 2に、非可換行列Ａ２を作用させて、ベクトルｖi 2を求める行列作用部であって、前記非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させる際の和演算及び積演算の少なくとも一方を、予め定められた、複数種類の演算子を組み合わせた演算方法に置換して、非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させる行列作用部と、
    　前記行列作用部によって求められたベクトルｖi 1に対して非線形変換を行ってビット列に変換し、前記変換したビット列を前回求められたビット列Ｗ１に結合させて前記ビット列Ｗ１を求めると共に、ベクトルｖi 2に対して非線形変換を行ってビット列に変換し、前記変換したビット列を前回求められたビット列Ｗ２に結合させて前記ビット列Ｗ２を求めるビット列変換部と、
    　前記ビット列変換部によって求められた前記ビット列Ｗ１及び前記ビット列Ｗ２の各々のビット数が、暗号化対象データを表わすビット列のビット数になるまで、前記行列作用部による作用と前記ビット列変換部による変換及び結合とを繰り返すビット数判定部と、
    　前記ビット列Ｗ１及び前記ビット列Ｗ２の排他的論理和を計算して、擬似乱数ビット列を求める擬似乱数列発生部と、
    　前記擬似乱数列発生部によって求められた擬似乱数ビット列と、前記暗号化対象データを表わすビット列との排他的論理和を計算することにより、前記暗号化対象データを暗号化する暗号化部と、
    　を含む暗号化装置。
  4. 　暗号化装置と共通に設定された、請求項１又は２の共有秘密鍵生成装置によって生成された共有秘密鍵ＭAB、及び２つの素数ｐ１、ｐ２に基づいて、２つの非可換行列Ａ１、Ａ２を生成する行列生成部と、
    　前記暗号化装置と共通に設定されたｄ次元の初期ベクトルｖ0又は前回求められたｄ次元のベクトルｖi-1 1に、非可換行列Ａ１を作用させて、ベクトルｖi 1を求めると共に、前記初期ベクトルｖ0、又は前回求められたｄ次元のベクトルｖi-1 2に、非可換行列Ａ２を作用させて、ベクトルｖi 2を求める行列作用部であって、前記非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させる際の和演算及び積演算の少なくとも一方を、予め定められた、複数種類の演算子を組み合わせた演算方法に置換して、非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させる行列作用部と、
    　前記行列作用部によって求められたベクトルｖi 1に対して非線形変換を行ってビット列に変換し、前記変換したビット列を前回求められたビット列Ｗ１に結合させて前記ビット列Ｗ１を求めると共に、ベクトルｖi 2に対して非線形変換を行ってビット列に変換し、前記変換したビット列を前回求められたビット列Ｗ２に結合させて前記ビット列Ｗ２を求めるビット列変換部と、
    　前記ビット列変換部によって求められた前記ビット列Ｗ１及び前記ビット列Ｗ２の各々のビット数が、復号化対象データを表わすビット列のビット数になるまで、前記行列作用部による作用と前記ビット列変換部による変換及び結合とを繰り返すビット数判定部と、
    　前記ビット列Ｗ１及び前記ビット列Ｗ２の排他的論理和を計算して、擬似乱数ビット列を求める擬似乱数列発生部と、
    　前記擬似乱数列発生部によって求められた擬似乱数ビット列と、前記復号化対象データを表わすビット列との排他的論理和を計算することにより、前記復号化対象データを復号化する復号化部と、
    　を含む復号化装置。
  5. 　コンピュータを、
    　素数ｐ、自然数ｄ、行列式の値が１ではないｄ×ｄの行列Ｑ（ｍｏｄ　ｐ）、及び逆行列が存在するｄ×ｄの行列Ｓ（ｍｏｄ　ｐ）を含む公開データを設定する公開データ設定部、
    　自然数ｎA（ｍｏｄ　ｐ）、ｋA（ｍｏｄ　ｐ）を含む秘密鍵を生成する秘密鍵生成部、
    　前記秘密鍵を用いて、以下の（ＩＶ）式に従って、ｄ×ｄの行列ＭA（ｍｏｄ　ｐ）を計算し、通信相手へ送信する行列計算部、
    　前記通信相手の秘密鍵に含まれる自然数ｎB（ｍｏｄ　ｐ）、ｋB（ｍｏｄ　ｐ）を用いて以下の（Ｖ）式に従って計算される、ｄ×ｄの行列ＭB（ｍｏｄ　ｐ）を取得する行列取得部、及び
    　前記行列取得部によって取得された行列ＭBを用いて、以下の（ＶＩ）式に従ってｄ×ｄの行列ＭAB（ｍｏｄ　ｐ）を共有秘密鍵として算出する共有秘密鍵算出部
    　として機能させるためのプログラム。
    ＭA＝Ｓ-kAＱnAＳkA　　　・・・（ＩＶ）
    ＭB＝Ｓ-kBＱnBＳkB　　　・・・（Ｖ）
    ＭAB＝Ｓ-kAＭB nAＳkA　　　・・・（ＶＩ）
  6. 　公開データ設定部によって、素数ｐ、自然数ｄ、行列式の値が１ではないｄ×ｄの行列Ｑ（ｍｏｄ　ｐ）、及び逆行列が存在するｄ×ｄの行列Ｓ（ｍｏｄ　ｐ）を含む公開データを設定するステップと、
    　秘密鍵生成部によって、自然数ｎA（ｍｏｄ　ｐ）、ｋA（ｍｏｄ　ｐ）を含む秘密鍵を生成するステップと、
    　行列計算部によって、前記秘密鍵を用いて、以下の（ＶＩＩ）式に従って、ｄ×ｄの行列ＭA（ｍｏｄ　ｐ）を計算し、通信相手へ送信するステップと、
    　行列取得部によって、前記通信相手の秘密鍵に含まれる自然数ｎB（ｍｏｄ　ｐ）、ｋB（ｍｏｄ　ｐ）を用いて以下の（ＶＩＩＩ）式に従って計算される、ｄ×ｄの行列ＭB（ｍｏｄ　ｐ）を取得するステップと、
    　共有秘密鍵算出部によって、前記行列取得部によって取得された行列ＭBを用いて、以下の（ＩＸ）式に従ってｄ×ｄの行列ＭAB（ｍｏｄ　ｐ）を共有秘密鍵として算出するステップと、
    　を含む共有秘密鍵生成方法。
    ＭA＝Ｓ-kAＱnAＳkA　　　・・・（ＶＩＩ）
    ＭB＝Ｓ-kBＱnBＳkB　　　・・・（ＶＩＩＩ）
    ＭAB＝Ｓ-kAＭB nAＳkA　　　・・・（ＩＸ）
  7. 　行列生成部によって、復号化装置と共通に設定された、請求項６の共有秘密鍵生成方法によって生成された共有秘密鍵ＭAB、及び２つの素数ｐ１、ｐ２に基づいて、２つの非可換行列Ａ１、Ａ２を生成するステップと、
    　行列作用部によって、前記復号化装置と共通に設定されたｄ次元の初期ベクトルｖ0又は前回求められたｄ次元のベクトルｖi-1 1に、非可換行列Ａ１を作用させて、ベクトルｖi 1を求めると共に、前記初期ベクトルｖ0、又は前回求められたｄ次元のベクトルｖi-1 2に、非可換行列Ａ２を作用させて、ベクトルｖi 2を求める行列作用部であって、前記非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させる際の和演算及び積演算の少なくとも一方を、予め定められた、複数種類の演算子を組み合わせた演算方法に置換して、非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させるステップと、
    　ビット列変換部によって、前記行列作用部によって求められたベクトルｖi 1に対して非線形変換を行ってビット列に変換し、前記変換したビット列を前回求められたビット列Ｗ１に結合させて前記ビット列Ｗ１を求めると共に、ベクトルｖi 2に対して非線形変換を行ってビット列に変換し、前記変換したビット列を前回求められたビット列Ｗ２に結合させて前記ビット列Ｗ２を求めるステップと、
    　ビット数判定部によって、前記ビット列変換部によって求められた前記ビット列Ｗ１及び前記ビット列Ｗ２の各々のビット数が、暗号化対象データを表わすビット列のビット数になるまで、前記行列作用部による作用と前記ビット列変換部による変換及び結合とを繰り返すステップと、
    　擬似乱数列発生部によって、前記ビット列Ｗ１及び前記ビット列Ｗ２の排他的論理和を計算して、擬似乱数ビット列を求めるステップと、
    　暗号化部によって、前記擬似乱数列発生部によって求められた擬似乱数ビット列と、前記暗号化対象データを表わすビット列との排他的論理和を計算することにより、前記暗号化対象データを暗号化するステップと、
    　を含む暗号化方法。
  8. 　行列生成部によって、暗号化装置と共通に設定された、請求項１又は２の共有秘密鍵生成方法によって生成された共有秘密鍵ＭAB、及び２つの素数ｐ１、ｐ２に基づいて、２つの非可換行列Ａ１、Ａ２を生成するステップと、
    　行列作用部によって、前記暗号化装置と共通に設定されたｄ次元の初期ベクトルｖ0又は前回求められたｄ次元のベクトルｖi-1 1に、非可換行列Ａ１を作用させて、ベクトルｖi 1を求めると共に、前記初期ベクトルｖ0、又は前回求められたｄ次元のベクトルｖi-1 2に、非可換行列Ａ２を作用させて、ベクトルｖi 2を求める行列作用部であって、前記非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させる際の和演算及び積演算の少なくとも一方を、予め定められた、複数種類の演算子を組み合わせた演算方法に置換して、非可換行列Ａ１、Ａ２を作用させるステップと、
    　ビット列変換部によって、前記行列作用部によって求められたベクトルｖi 1に対して非線形変換を行ってビット列に変換し、前記変換したビット列を前回求められたビット列Ｗ１に結合させて前記ビット列Ｗ１を求めると共に、ベクトルｖi 2に対して非線形変換を行ってビット列に変換し、前記変換したビット列を前回求められたビット列Ｗ２に結合させて前記ビット列Ｗ２を求めるステップと、
    　ビット数判定部によって、前記ビット列変換部によって求められた前記ビット列Ｗ１及び前記ビット列Ｗ２の各々のビット数が、復号化対象データを表わすビット列のビット数になるまで、前記行列作用部による作用と前記ビット列変換部による変換及び結合とを繰り返すステップと、
    　擬似乱数列発生部によって、前記ビット列Ｗ１及び前記ビット列Ｗ２の排他的論理和を計算して、擬似乱数ビット列を求めるステップと、
    　復号化部によって、前記擬似乱数列発生部によって求められた擬似乱数ビット列と、前記復号化対象データを表わすビット列との排他的論理和を計算することにより、前記復号化対象データを復号化するステップと、
    　を含む復号化方法。
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