WO2022260112A1 - 映像化装置及び映像化方法 - Google Patents

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WO2022260112A1
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measurement data
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建次郎 木村
憲明 木村
文俊 木村
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Integral Geometry Science Inc
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    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01N—INVESTIGATING OR ANALYSING MATERIALS BY DETERMINING THEIR CHEMICAL OR PHYSICAL PROPERTIES
    • G01N22/00—Investigating or analysing materials by the use of microwaves or radio waves, i.e. electromagnetic waves with a wavelength of one millimetre or more
    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01B—MEASURING LENGTH, THICKNESS OR SIMILAR LINEAR DIMENSIONS; MEASURING ANGLES; MEASURING AREAS; MEASURING IRREGULARITIES OF SURFACES OR CONTOURS
    • G01B15/00—Measuring arrangements characterised by the use of electromagnetic waves or particle radiation, e.g. by the use of microwaves, X-rays, gamma rays or electrons
    • G01B15/04—Measuring arrangements characterised by the use of electromagnetic waves or particle radiation, e.g. by the use of microwaves, X-rays, gamma rays or electrons for measuring contours or curvatures

Definitions

  • the present disclosure relates to a visualization device or the like that uses waves to visualize the three-dimensional structure of scatterers included in an object within a region.
  • Patent Documents 1, 2, 3, 4, and 5 Techniques related to imaging devices that visualize the three-dimensional structure of scatterers contained in objects within a region using waves are disclosed in Patent Documents 1, 2, 3, 4, and 5. I have the technology.
  • a beam emitted from a microwave emitter is incident on an inspection object, and the amplitude and phase of the scattered beam are detected by a microwave detector. Then, the distribution of permittivity is calculated from the output signal of the microwave detector, and a tomographic image of the inspection object is displayed.
  • the present disclosure provides a visualization device or the like that can visualize, with high accuracy, the three-dimensional structure of scatterers contained in an object within a region using waves.
  • a visualization device includes a plurality of transmitters arranged on both sides of a region to be measured to transmit waves to the region, and a plurality of transmitters arranged on both sides to receive the waves from the region.
  • the receiver, the measurement data obtained by the plurality of transmitters and the plurality of receivers, and the synthesis of a plurality of functions regarding a plurality of primary scatterings constituting multiple scattering, according to the scattering regarding the scattering of the wave an information processing circuit for deriving an imaging function corresponding to the field function and using the imaging function to visualize a three-dimensional structure of scatterers included in the object in the region.
  • FIG. 1 is a conceptual diagram showing an example of orders of multiple scattering in an embodiment.
  • FIG. 2 is a diagram representing four scattering modes corresponding to four basic solutions of the scattered field equations.
  • FIG. 3 is a conceptual diagram relating to the definition of Green's function.
  • FIG. 4 is a conceptual diagram showing an application example of the basic solution of the scattered field.
  • FIG. 5 is a diagram showing propagation paths of waves.
  • FIG. 6 is a conceptual diagram showing an application example of the basic solution of the scattered field for second-order scattering.
  • FIG. 7 is a diagram showing four types of scattering models for third-order scattering.
  • FIG. 8 is a diagram showing definitions of four types of measurement data.
  • FIG. 9 is a block diagram showing the basic configuration of the imaging device according to the embodiment.
  • FIG. 9 is a block diagram showing the basic configuration of the imaging device according to the embodiment.
  • FIG. 10 is a conceptual diagram showing an example of the relationship between multiple transmitters, multiple receivers, and regions.
  • FIG. 11 is a conceptual diagram showing a modification of the relationship between multiple transmitters, multiple receivers, and regions.
  • FIG. 12 is a flow chart showing the basic operation of the imaging device according to the embodiment.
  • FIG. 13 is a block diagram showing a specific configuration of the imaging device according to the embodiment.
  • a visualization device includes a plurality of transmitters arranged on both sides of a region to be measured to transmit waves to the region, and a plurality of transmitters arranged on both sides to receive the waves from the region.
  • the receiver, the measurement data obtained by the plurality of transmitters and the plurality of receivers, and the synthesis of a plurality of functions regarding a plurality of primary scatterings constituting multiple scattering, according to the scattering regarding the scattering of the wave an information processing circuit for deriving an imaging function corresponding to the field function and using the imaging function to visualize a three-dimensional structure of scatterers included in the object in the region.
  • the imaging device derives an imaging function for visualizing the three-dimensional structure of the scatterer contained in the object in the region, and corresponds to the measurement data and the synthesis of a plurality of functions related to a plurality of primary scatterings. attachment can be applied. Multiple scattering is assumed to be a combination of multiple primary scattering. Therefore, the imaging device can analytically solve the scattering inverse problem, including multiple scattering, according to this correspondence. Therefore, the imaging device can visualize the three-dimensional structure of the scatterers contained in the object within the region with high accuracy.
  • the information processing circuit derives the imaging function corresponding to the scattered field function by solving the equation of the scattered field function based on the measurement data, and the scattered field function is
  • ⁇ 5 denotes the Laplace operator with respect to x
  • c denotes the propagation speed of the wave
  • t is the time from transmission to reception of the wave indicate.
  • the imaging device visualizes the three-dimensional structure of the scatterer contained in the object within the region with high accuracy according to the scattered field function associated with the scattering phenomenon and the equation satisfied by the scattered field function. be able to.
  • the information processing circuit derives an analytical solution of the equation based on the measurement data, derives the imaging function based on the analytical solution, and the analytical solution is
  • k x , k y1 and k y2 denote the wavenumbers for x, y 1 and y 2 of the scattered field function
  • a(k x , k y1 , k y2 , k) is k x
  • k denote the function based on y1 , ky2 and k
  • s1 ( kx , ky1 , ky2 ) denote the function based on kx, ky1 and ky2
  • s2( kx, ky1 , k y2 ) denotes a function based on k x , k y1 and k y2 .
  • the imaging device can visualize, with high accuracy, the three-dimensional structure of the scatterer contained in the object within the region according to the analytical solution of the equation satisfied by the scattering field function associated with the scattering phenomenon. .
  • the visualization function is
  • the imaging device can visualize the three-dimensional structure of the scatterers contained in the object within the region with high accuracy according to the imaging function appropriately associated with the scattering field function.
  • the multiple scattering is expressed using four functions in spectral space corresponding to four fundamental solutions of the equation of the scattered field function, and the relationship between the measurement data and the four functions is expressed by a nonlinear integral
  • the information processing circuit derives the four functions from the measurement data according to the nonlinear integral equation, and uses the four functions to derive the imaging function corresponding to the scattered field function. do.
  • the imaging device can visualize the three-dimensional structure of the scatterers included in the object within the region with high accuracy according to the relational expression expressing multiple scattering.
  • ⁇ ij , ⁇ 11 , ⁇ 12 , ⁇ 21 and ⁇ 22 are the above for the four scattering modes, two forward scattering corresponding to two directions and two back scattering corresponding to two directions.
  • the information processing circuit corresponds to the measurement data, the information processing circuit
  • the imaging device can visualize the three-dimensional structure of the scatterers contained in the object within the region with high accuracy according to the formula based on the theory of multiple scattering.
  • ⁇ ij , ⁇ 11 , ⁇ 12 , ⁇ 21 and ⁇ 22 are the above for the four scattering modes, two forward scattering corresponding to two directions and two back scattering corresponding to two directions.
  • the information processing circuit corresponds to the measurement data, the information processing circuit
  • the imaging device can visualize the three-dimensional structure of the scatterer contained in the object within the region with high accuracy according to the formula in which the measurement data are appropriately associated based on the theory of multiple scattering. .
  • ⁇ ij , ⁇ 11 , ⁇ 12 , ⁇ 21 and ⁇ 22 are the above for the four scattering modes, two forward scattering corresponding to two directions and two back scattering corresponding to two directions.
  • the information processing circuit corresponds to the measurement data, the information processing circuit
  • ⁇ denotes the delta function
  • k xa , k xb , k xc are the variables corresponding to k x
  • k ⁇ and k ⁇ 2 is a variable corresponding to k y1
  • k ⁇ 3 is a variable corresponding to k y2
  • O(a 4 ) is a term corresponding to 4th order or higher scattering
  • the information processing circuit is:
  • the imaging device can visualize the three-dimensional structure of the scatterer contained in the object within the region with high accuracy according to the formula that concretely expresses the scattering phenomenon based on the theory of multiple scattering. can.
  • ⁇ ij , ⁇ 11 , ⁇ 12 , ⁇ 21 and ⁇ 22 are the above for the four scattering modes, two forward scattering corresponding to two directions and two back scattering corresponding to two directions.
  • the information processing circuit corresponds to the measurement data, the information processing circuit
  • ⁇ denotes the delta function
  • k xa , k xb , k xc are the variables corresponding to k x
  • k ⁇ and k ⁇ 2 is a variable corresponding to k y1
  • k ⁇ 3 is a variable corresponding to k y2
  • the information processing circuit :
  • the imaging device can express the scattering phenomenon concretely based on the theory of multiple scattering, and according to the equation in which the measurement data are appropriately associated, the three scattering objects contained in the object within the area can be visualized. Dimensional structures can be visualized with high accuracy.
  • ⁇ ij , ⁇ 11 , ⁇ 12 , ⁇ 21 and ⁇ 22 are the above for the four scattering modes, two forward scattering corresponding to two directions and two back scattering corresponding to two directions.
  • the information processing circuit corresponds to the measurement data, the information processing circuit
  • ⁇ denotes the delta function
  • k xa , k xb , k xc are the variables corresponding to k x
  • k ⁇ and k ⁇ 2 is a variable corresponding to k y1
  • k ⁇ 3 is a variable corresponding to k y2
  • the information processing circuit :
  • the imaging device can visualize the three-dimensional structure of the scatterers contained in the object within the region with high accuracy according to the formula arranged based on the theory of multiple scattering.
  • a visualization method includes a step of transmitting waves to a region to be measured by a plurality of transmitters arranged on both sides of the region; receiving the waves from the region by a receiver; measuring data obtained by the plurality of transmitters and the plurality of receivers; and synthesizing a plurality of functions related to a plurality of primary scatterings constituting multiple scattering. deriving a visualization function corresponding to the scattering field function for scattering of the wave according to the correspondence, and using the visualization function to visualize the three-dimensional structure of scatterers contained in objects in the region. .
  • the imaging apparatus uses waves to visualize the three-dimensional structure of scatterers included in objects within a region.
  • the imaging apparatus according to the present embodiment will be described in detail, including its underlying technology and theory.
  • Scattered field theory has been constructed to visualize the inside of an object using waves such as microwaves. Scattered field theory is not only theoretically novel, but also useful in practice. Since it is possible to instantaneously calculate an accurate three-dimensional reconstructed image from measurement (measurement) data, it is expected to be applied to the field of image diagnosis and the like.
  • scattered field theory is developed to solve the difficult problem of inverse scattering of multiple scattering (multiple reflections), and an imaging apparatus and imaging method using the developed scattered field theory are presented.
  • a function ⁇ is defined as in the following equation (1-1).
  • (x, y 1 , z 1 ) indicate the coordinates of the wave radiating point, and (x, y 2 , z 2 ) indicate the coordinates of the wave receiving point.
  • Radiation is sometimes referred to as transmission.
  • k indicates the wave number of the wave.
  • D indicates the area to be measured.
  • .epsilon.(.xi., .eta., .zeta.) denotes a function of the permittivity at the position (.xi., .eta., .zeta.) and corresponds to the wave reflectivity at the position (.xi., .eta., .zeta.).
  • ( ⁇ , ⁇ , ⁇ ) correspond to the reflection point of the wave.
  • ⁇ 1 indicates the distance from the transmitting point to the reflecting point
  • ⁇ 2 indicates the distance from the reflecting point to the receiving point. Note that ⁇ ( ⁇ , ⁇ , ⁇ ) is unknown.
  • a phenomenon in which waves are scattered where the value of the dielectric constant function ⁇ ( ⁇ , ⁇ , ⁇ ) is large can be captured as a function of the wave radiating point and receiving point. Then, by defining the emitting point and the receiving point in the entire area, the above ⁇ is used as the scattered field function indicating the scattered field.
  • the scattered field function satisfies a partial differential equation such as the following equation (1-2).
  • ⁇ 5 denotes the five-dimensional Laplace operator with respect to x, y 1 , y 2 , z 1 and z 2 .
  • ⁇ denotes the partial derivative of the variable indicated by the suffix.
  • c indicates the wave propagation velocity.
  • t indicates time.
  • the general solution of the differential equation of formula (1-2) is expressed as in the following formula (1-3).
  • k x , k y1 and k y2 denote the wavenumbers for x, y 1 and y 2 of the scattered field function. Since the solution of one fourth-order PDE is completely determined by the measurements (radar return data) at the boundary of the domain, the kernel functions of this general solution, a(k x , k y1 , k y2 , k) is also obtained by Fourier transform.
  • the imaging function ⁇ is then obtained by applying the limits of y 2 ⁇ y 1 and t ⁇ 0 to ⁇ . For example, the imaging function ⁇ is expressed by the following equation (1-4).
  • the scattered field function ⁇ (x, y 1 , y 2 , z 1 , z 2 , k) is the measured value (radar reflection data).
  • Data obtained by Fourier transforming the radar reflection data measured at the interface with respect to (x, t) is expressed as ⁇ (k x , y I , y J , k). Assuming that there is no multiple scattering, the following equation (1-5) is assumed to hold.
  • FIG. 1 is a conceptual diagram showing an example of orders of multiple scattering (multiple reflection) in the embodiment.
  • P1 indicates a transmission point and P2 indicates a reception point.
  • a signal is transmitted from P1 and received at P2 via a number of reflections corresponding to the order in the region. Multiple reflections are called multiple reflections or multiple scattering.
  • This disclosure describes a method for solving the inverse scattering problem including multiple scattering as described above, and an imaging apparatus and imaging method using the method.
  • Second-order or higher-order multiple scattering is represented by a combination (synthesis) of four basic solutions E 1 , E 2 , E 3 , and E 4 of the partial differential equation of the scattered field.
  • FIG. 2 is a diagram representing four scattering modes corresponding to four basic solutions of the scattered field equations. Scattering morphology can also be expressed as a scattering model. Multiple scattering is represented by a composition of these four basic solutions (E 1 , E 2 , E 3 , E 4 ). The spectral space functions a 1 , a 2 , a 3 and a 4 are introduced corresponding to E 1 , E 2 , E 3 and E 4 . To determine these from the measurement data, two backscatter and forward scatter measurements are made.
  • ⁇ is an unknown function that indicates the displacement of the vibration at the (x, y, z) position.
  • ⁇ 3 denotes the three-dimensional Laplacian operator.
  • k indicates a wavenumber. ( ⁇ , ⁇ , ⁇ ) indicates the position of the wave source.
  • Equation (2-1) is transformed into equations (2-3) and (2-4).
  • ⁇ z 2 denotes the second partial derivative with respect to z.
  • a(kx, ky , k ) is a function on (kx, ky , k ).
  • This integral kernel function gives the signal strength of a wave leaving r 1 and reflecting at point ⁇ and returning to point r 2 .
  • ⁇ is the angular frequency.
  • This Green's function is instantiated using a new function name as in the following equation (2-6). where ⁇ is a function of dielectric constant.
  • equation (2-7) is considered.
  • equation (2-8) is obtained by performing multiple Fourier transform on ⁇ with respect to t, x, y 1 , and y 2 to transform equation (2-7).
  • D z1 and D z2 denote partial derivatives with respect to z 1 and z 2 respectively.
  • Formula (2-8) has four solutions, which are expressed as in the following formula (2-9).
  • s 1 and s 2 are expressed as in the following equation (2-10).
  • Equation (2-11) The scattering corresponding to the four basic solutions of equations (2-9) are shown in FIG. Of these four basic solutions, E3 and E4 have a temporal retrograde relationship with each other and are not independent. Therefore, E 1 , E 2 , E 3 are independent elementary solutions.
  • Equation (2-7) Four general solutions of Equation (2-7) corresponding to four basic solutions are expressed as in Equation (2-11) below.
  • FIG. 4 is a conceptual diagram showing an application example of the basic solution of the scattered field. Specifically, FIG. 4 shows a 3rd order scattering model to which multiple fundamental solutions are applied. For example, in the 3rd order scattering model shown in FIG . 4 , the fundamental solutions E1 and E2 of the scattered field are used in the region inside the dashed line, respectively.
  • the following equation (3-1) shows the relationship between the path and the basic solution.
  • the scattered points S 1 , S 2 , S 3 are arbitrary points in the region, but the condition that the geometrical rules are observed is imposed on the scattered points S 1 , S 2 , S 3 , etc. Specifically, the sign of the z-coordinate component of the directional vector indicated by the arrow representing wave propagation in FIG. 4 is maintained. Furthermore, P 1 , P 2 , S 2 and S 3 move within the measurement plane under the condition that their x-coordinates are equal to each other. Also, P1 and P2 have the same z - coordinate. However, no constraint on the x - coordinate is assumed for S1.
  • FIG. 5 is a diagram showing propagation paths of waves. Specifically, FIG. 5 shows multiple propagation paths for a common transmitting point P 1 and a common receiving point P 2 when basic solutions E 1 and E 2 are used. These multiple propagation paths correspond to the above geometric rules.
  • the backscatter amplitude measured on the y-axis is expressed by the following formula (3-2).
  • G (specifically, G 1 and G 2 ) is Green's function and is defined by the following equation (3-3).
  • Equation (2-11) a 1 (k x , k y1 , k y2 , k) in equation (2-11) is obtained from this equation by Fourier transform.
  • G 1 (P 1 , P 2 , k) in which multiple scattering is taken into account is obtained, and a more accurate a 1 (k x , k y1 , k y2 , k) is obtained.
  • Equation (3-2) includes a new function G 2 (S 2 ⁇ , S 3 ⁇ , k).
  • G 2 the measurement result on a plane with a z value different from that described above is used.
  • ⁇ 2 (P 1 , P 2 , k) indicates measurement results on planes with different values of z
  • equation (3-5) holds.
  • FIG. 6 is a conceptual diagram showing an application example of the basic solution of the scattered field regarding second order scattering.
  • Second-order scattering corresponds to the form in which the fundamental solutions E 1 and E 4 of the scattered field equation are connected by S 2 ⁇ as shown in FIG. S 2 ⁇ is assumed to be infinitely close to S 2 .
  • the basic solutions E 3 and E 4 satisfy the condition that no direct wave propagating directly from S 2 ⁇ to P 2 is included.
  • Equation (3-10) denotes the delta function.
  • ⁇ (k ⁇ +k ⁇ + ) and ⁇ (s2(k xa , k y1 , k ⁇ ) ⁇ s1(k xb , k ⁇ + , k y2 )) in equation (3-10) are the connection point S 2 ⁇ corresponds to matching the input and the output in .
  • the following equation (3-11) is obtained by Fourier transforming equation (3-10) with respect to (x, y 1 , y 2 ).
  • Equation (3-12) corresponds to the general solution of the scattered field of primary scattering, and is a function like the following equation (3-13).
  • Equation (3-16) The function obtained by the above process shows the 3rd order scattering amplitudes seen from P 1 , P 2 .
  • Equation (3-16) is obtained by substituting equation (3-13) into equation (3-15).
  • + and - are appropriately added to the suffix of the wavenumber k to avoid confusion of integral symbols.
  • Equation (3-18) is obtained by performing integration on ⁇ and ⁇ in equation (3-16).
  • Equation (3-19) denotes the delta function and corresponds to matching of input and output at the junction.
  • the scattered field function ⁇ (x, y 1 , y 2 , z, k) is expressed as the following equation (3-20) when multiple scattering is considered.
  • equation (3-22) can be obtained by Fourier transforming the entire equation (3-20).
  • Equation (3-23) is measurement data on the boundary surface. Therefore, the left side of equation (3-22) is determined. Equation (3-22) is therefore the usual nonlinear integral equation for a 1 (k x , k y1 , k y2 , k) and a 2 (k x , k y1 , k y2 , k).
  • FIG. 7 is a diagram showing four types of scattering models for third-order scattering. Specifically, D1, D2, D3 and D4 in FIG. 7 correspond to four types of scattering models for third order scattering. A scattering model can also be expressed as a scattering diagram. In FIG. 7, the regions to which the basic solutions E 1 to E 4 are applied are indicated by dashed lines. The following equations (3-24), (3-25), (3-26), (3-27) and (3-28) represent scattered field functions of D1 to D4.
  • ( ⁇ 2- , ⁇ 2- ) and ( ⁇ 3- , ⁇ 3- ) represent the coordinates of points immediately before point S 2 and point S 3 , respectively.
  • this equation (3-37) becomes a 1 (k x , k y1 , k y2 , k), a 2 (k x , k y1 , k y2 , k), a 3 (k x , k y1 , k y2 , k) and a 4 (k x , k y1 , k y2 , k).
  • FIG. 8 is a diagram showing definitions of four types of measurement data. That is, four types of measurement data for multistatic scattering tomography are defined as shown in FIG. The following equation (3-38) holds from equations (3-31), (3-32), (3-33) and (3-34).
  • Equation (3-38) The right sides of the four equations in Equation (3-38) represent four types of functions obtained by Fourier transforming four types of scattered field functions of multiple scattering corresponding to four types of measurement methods.
  • Equation (3-37) gives a 1 (k x , k y1 , k y2 , k) when multiple scattering is not considered.
  • solutions for which multiple scattering is not considered are marked with the suffix “0”.
  • a result like the following equation (3-39) is obtained corresponding to the four types of measurement data in FIG.
  • Equation (3-40) is obtained by expanding a 1 , a 2 , a 3 and a 4 into a series corresponding to the order of scattering. Note that a 1 , a 2 , a 3 and a 4 are suffixed with the order of scattering.
  • Equation (3-41) is obtained by substituting the measurement data expressed by equation (3-38) into equation (3-37).
  • Equation (3-42) is obtained by substituting equation (3-40) into equation (3-41) and leaving only the 0th order term in the integral symbol.
  • a 1 in equation (3-43) corresponds to first, second and third order scattering.
  • a1 is derived by removing the effects of secondary scattering and tertiary scattering from the measurement data.
  • a 1 corresponding to higher order scattering may be derived in a similar manner.
  • a 2 , a 3 and a 4 can be derived by a similar procedure.
  • a general solution of the scattered field equation is expressed by the following equation (3-44) using a1.
  • the imaging function ⁇ (x, y, z) is expressed by the following equation (3-45) using ⁇ 1 in the above equation (3-44).
  • This imaging function is a function from which the influence of multiple scattering has been removed, and is a function that explicitly solves the inverse problem of scattering in the nonlinear case.
  • Formula (3-41) may be generalized as in Formula (3-46) below. Equation (3-46) may then be used as equation (3-41).
  • f 2 , f 3 , . . . , f L are 2, 3, . indicates the product of the variables of .
  • Equation (3-42) may be generalized as the following formula (3-47). Equation (3-47) may then be used as equation (3-42).
  • a 1 , a 2 , a 3 and a 4 represented by am correspond to the analytical solution a( k x , ky1 , ky2 , k) for the four scattering forms.
  • ⁇ 11 , ⁇ 12 , ⁇ 21 and ⁇ 22 represented by ⁇ m1n1 , ⁇ m2n2 , ⁇ m3n3 , .
  • g 2 , g 3 , . , 3, . . . the product of L variables.
  • the scattered field function may be generalized as shown in Equation (3-48) below.
  • the imaging function may be generalized as shown in Equation (3-49) below.
  • the waves are, for example, radio waves, and may be microwaves, millimeter waves, terahertz waves, or the like. Also, light, sound, or the like may be used as the wave motion. Objects in the area may be living organisms, manufactured products, natural materials, or the like. In particular, the imaging device may be used for mammography and the object may be a breast.
  • the scatterers included in the object within the region correspond to portions having physical properties different from those of the surrounding medium.
  • this physical property is a physical property corresponding to wave reflectance. If radio waves are used as waves, the physical property may be dielectric constant. Scatterers included in the object may be reinforcing bars included in reinforced concrete, tumors included in the breast, or the like. Also, the area to be measured may be equivalent to the area of the object.
  • FIG. 9 is a basic configuration diagram of a visualization device according to this embodiment.
  • the imaging device 100 shown in FIG. 9 includes multiple transmitters 101 , multiple receivers 102 and an information processing circuit 103 .
  • the imaging device 100 may also include a display 104 .
  • Each of the plurality of transmitters 101 is a circuit that transmits waves. Specifically, the plurality of transmitters 101 sequentially transmit waves. A plurality of transmitters 101 are arranged on both sides of the area to be measured.
  • Each of the plurality of receivers 102 is a circuit that receives waves. Multiple receivers 102 may simultaneously receive waves in parallel. A plurality of receivers 102, like the plurality of transmitters 101, are arranged on both sides of the area to be measured. Also, the plurality of receivers 102 may be arranged at substantially the same positions as the plurality of transmitters 101 , or may be arranged at different positions from the plurality of transmitters 101 .
  • the transmitter 101 and the receiver 102 may configure a multistatic antenna or may configure a monostatic antenna.
  • the information processing circuit 103 is a circuit that performs information processing. Specifically, the information processing circuit 103 visualizes the three-dimensional structure of the scatterers included in the object within the region based on the measurement data obtained by the plurality of transmitters 101 and the plurality of receivers 102 . For example, when the information processing circuit 103 visualizes the three-dimensional structure of the scatterer based on the measurement data, the information processing circuit 103 performs arithmetic processing shown in the theory described above.
  • the information processing circuit 103 may be a computer or a processor of a computer.
  • the information processing circuit 103 may perform information processing by reading a program from memory and executing the program.
  • the information processing circuit 103 may be a dedicated circuit that visualizes the three-dimensional structure of the scatterers based on the measurement data.
  • the information processing circuit 103 may generate an image showing the three-dimensional structure of the scatterer in order to visualize the three-dimensional structure of the scatterer.
  • the information processing circuit 103 may visualize the three-dimensional structure of the scatterer by outputting an image showing the three-dimensional structure of the scatterer to the display 104 or the like. Alternatively, the information processing circuit 103 may visualize the three-dimensional structure of the scatterer by outputting an image showing the three-dimensional structure of the scatterer to a printer (not shown). Alternatively, the information processing circuit 103 may visualize the three-dimensional structure of the scatterer by transmitting the image as electronic data to another device (not shown) through wired or wireless communication.
  • the display 104 is a display device such as a liquid crystal display. Note that the display 104 is an optional component and not an essential component. Also, the display 104 may be an external device that does not constitute the imaging device 100 .
  • FIG. 10 is a conceptual diagram showing an example of the relationship between multiple transmitters 101, multiple receivers 102, and regions.
  • a plurality of transmitters 101 are arranged on both sides of the area to be measured.
  • multiple receivers 102 are placed on either side of the area to be measured.
  • the plurality of transmitters 101 and the plurality of receivers 102 may be arranged two-dimensionally on each of the two measurement planes.
  • transmission and reception may be performed at a plurality of transmission positions and a plurality of reception positions by moving the transmitter 101 and the receiver 102 placed on each of the two measurement planes.
  • FIG. 11 is a conceptual diagram showing a modification of the relationship between multiple transmitters 101, multiple receivers 102, and regions. As shown in FIG. 11, multiple transmitters 101 and multiple receivers 102 may be arranged on a curved surface on each side of the area.
  • FIG. 12 is a flow chart showing the basic operation of the imaging device 100 shown in FIG. Specifically, the plurality of transmitters 101, the plurality of receivers 102 and the information processing circuit 103 of the imaging apparatus 100 shown in FIG. 9 perform the operations shown in FIG.
  • a plurality of transmitters 101 transmit waves to a measurement target area (S101). For example, multiple transmitters 101 transmit waves in sequence. Also, the plurality of receivers 102 receive waves from the measurement target area (S102). For example, multiple receivers 102 receive waves in parallel. Received waves may also be described as scattered waves. Then, the information processing circuit 103 visualizes the three-dimensional structure of the scatterers included in the object within the area using the measurement data obtained by the plurality of transmitters 101 and the plurality of receivers 102 (S103).
  • the information processing circuit 103 generates an imaging function corresponding to the scattering field function related to the wave scattering according to the correspondence between the measurement data and the synthesis of the multiple functions related to the multiple primary scattering constituting the multiple scattering. to derive Then, the information processing circuit 103 visualizes the three-dimensional structure of the scatterer included in the object within the area using the imaging function.
  • the imaging apparatus 100 derives an imaging function for visualizing the three-dimensional structure of a scatterer contained in an object within an area by combining measurement data with a plurality of functions relating to primary scattering.
  • a mapping can be applied. Multiple scattering is assumed to be a combination of multiple primary scattering. Therefore, the imaging device 100 can analytically solve the scattering inverse problem including multiple scattering according to this correspondence. Therefore, the imaging device 100 can visualize the three-dimensional structure of the scatterers included in the object within the region with high accuracy.
  • the information processing circuit 103 may derive an imaging function corresponding to the scattered field function by solving the equation of the scattered field function based on the measurement data. Also, the scattered field function is
  • (x, y 1 , z 1 ) indicates the wave transmission position
  • (x, y 2 , z 2 ) indicates the wave reception position
  • k indicates the wave number of the wave
  • D is , denote the region
  • ( ⁇ , ⁇ , ⁇ ) corresponds to the reflection position of the wave and ⁇ corresponds to the unknown reflectance at the reflection position.
  • ⁇ 1 indicates the distance from the transmitting position to the reflecting position
  • ⁇ 2 indicates the distance from the reflecting position to the receiving position.
  • ⁇ 5 denotes the Laplace operator with respect to x
  • c denotes the propagation velocity of the wave
  • t denotes the time from transmission to reception of the wave.
  • the imaging device 100 visualizes the three-dimensional structure of the scatterer contained in the object in the region with high accuracy according to the scattered field function associated with the scattering phenomenon and the equation satisfied by the scattered field function. can do.
  • the information processing circuit 103 may derive an analytical solution of the equation based on the measurement data.
  • the information processing circuit 103 may then derive a visualization function based on the analytical solution.
  • the analytical solution is
  • k x , k y1 and k y2 denote the wavenumbers for x, y 1 and y 2 of the scattered field function.
  • a ( kx , ky1, ky2 , k ) denotes a function based on kx, ky1 , ky2 and k
  • s1( kx , ky1 , ky2 ) is kx
  • Denote the function based on k y1 and k y2 and s 2 (k x , k y1 , k y2 ) denote the function based on k x , k y1 and k y2 .
  • the imaging device 100 can visualize with high accuracy the three-dimensional structure of the scatterer contained in the object within the region according to the analytical solution of the equation satisfied by the scattered field function associated with the scattering phenomenon. can.
  • the visualization function is
  • (x, y, z) indicate the imaging target position.
  • the imaging device 100 can visualize the three-dimensional structure of the scatterer included in the object within the region with high accuracy according to the imaging function appropriately associated with the scattering field function.
  • multiple scattering may be expressed using four functions in spectral space corresponding to the four fundamental solutions of the equation of the scattered field function.
  • the relationship between the measurement data and the four functions may be expressed by a nonlinear integral equation. Then, the information processing circuit 103 may derive four functions from the measurement data according to the nonlinear integral equation. Then, the information processing circuit 103 may derive an imaging function corresponding to the scattered field function using the four functions.
  • the imaging device 100 can visualize the three-dimensional structure of the scatterers included in the object within the region with high accuracy according to the relational expression expressing multiple scattering.
  • the measurement data For example, the measurement data
  • ⁇ 11 , ⁇ 12 , ⁇ 21 and ⁇ 22 represented by ⁇ ij are measurement data on four scattering modes, two forward scattering corresponding to two directions and two back scattering corresponding to two directions. corresponds to
  • the imaging device 100 can visualize the three-dimensional structure of the scatterers included in the object within the region with high accuracy according to the formula based on the theory of multiple scattering.
  • ⁇ 11 , ⁇ 12 , ⁇ 21 and ⁇ 22 represented by ⁇ ij are measurement data on four scattering modes, two forward scattering corresponding to two directions and two back scattering corresponding to two directions. corresponds to
  • a 1 , a 2 , a 3 and a 4 represented by am correspond to the analytical solution a( k x , ky1 , ky2 , k) for the four scattering forms.
  • ⁇ 11 , ⁇ 12 , ⁇ 21 and ⁇ 22 represented by ⁇ m1n1 , ⁇ m2n2 , ⁇ m3n3 , .
  • g 2 , g 3 , . , 3, . . . the product of L variables.
  • the imaging apparatus 100 can visualize the three-dimensional structure of the scatterer included in the object within the region with high accuracy according to the formula in which the measurement data are appropriately associated based on the theory of multiple scattering. can.
  • ⁇ 11 , ⁇ 12 , ⁇ 21 and ⁇ 22 represented by ⁇ ij are measurement data on four scattering modes, two forward scattering corresponding to two directions and two back scattering corresponding to two directions. corresponds to
  • ⁇ denotes the delta function
  • k xa , k xb , k xc are variables corresponding to k x
  • k ⁇ and k ⁇ 2 are variables corresponding to k y1
  • k ⁇ 3 is A variable corresponding to k y2
  • O(a 4 ) is a term corresponding to fourth-order or higher scattering.
  • the imaging device 100 can visualize the three-dimensional structure of the scatterer contained in the object in the region with high accuracy according to the formula specifically expressing the scattering phenomenon based on the theory of multiple scattering. can be done.
  • ⁇ 11 , ⁇ 12 , ⁇ 21 and ⁇ 22 represented by ⁇ ij are measurement data on four scattering modes, two forward scattering corresponding to two directions and two back scattering corresponding to two directions. corresponds to
  • ⁇ denotes the delta function
  • k xa , k xb , k xc are variables corresponding to k x
  • k ⁇ and k ⁇ 2 are variables corresponding to k y1
  • k ⁇ 3 is ky is a variable corresponding to y2 .
  • the imaging apparatus 100 can express the scattering phenomenon concretely based on the theory of multiple scattering, and according to the equation in which the measurement data are appropriately associated, the scatterer included in the object in the area can be detected. Three-dimensional structures can be visualized with high accuracy.
  • ⁇ 11 , ⁇ 12 , ⁇ 21 and ⁇ 22 represented by ⁇ ij are measurement data on four scattering modes, two forward scattering corresponding to two directions and two back scattering corresponding to two directions. corresponds to
  • ⁇ denotes the delta function
  • k xa , k xb , k xc are variables corresponding to k x
  • k ⁇ and k ⁇ 2 are variables corresponding to k y1 , k ⁇ 3 to k y2 is the corresponding variable.
  • the imaging device 100 can visualize the three-dimensional structure of the scatterers included in the object within the region with high accuracy according to the formula arranged based on the theory of multiple scattering.
  • the scattered field function may be defined as a function in which a wave transmission position and a wave reception position are input and a value indicating the wave at the reception position is output.
  • the imaging function may be determined based on values output from the scattered field function by inputting imaging target positions as the transmission position and the reception position into the scattered field function.
  • the information processing circuit 103 may derive a scattered field function using the measurement data as a boundary condition, and derive an imaging function using the scattered field function.
  • the plurality of transmitters 101, the plurality of receivers 102, the information processing circuit 103, the scattered field function, the imaging function, and the like shown in the basic configuration and basic operation described above may include the functions shown in the present embodiment. Other components, formulas and variables, etc. may be applied as appropriate.
  • the scattered field function, the imaging function, and the like shown in the present embodiment may be modified as appropriate and applied.
  • a mathematical expression that expresses substantially the same content as the above-described mathematical expression in another expression may be used, or another mathematical expression derived based on the above-described theory may be used.
  • FIG. 13 is a block diagram showing a specific configuration of imaging device 100 shown in FIG.
  • the transmitter 101 and receiver 102 of the imaging device 100 shown in FIG. 9 may be included in the multi-static array antenna 1008.
  • the information processing circuit 103 of the imaging device 100 shown in FIG. 9 may correspond to one or more of the multiple components shown in FIG. Specifically, for example, the information processing circuit 103 may correspond to the signal processing computer 1005 . Also, the display 104 shown in FIG. 9 may correspond to the signal monitoring device 1006 .
  • the microwave signal used in the imaging device 100 is a pseudo-random time-series signal (PN code: Pseudo Noise Code) having frequency components of DC to 20 GHz.
  • PN code Pseudo Noise Code
  • This signal is output from the FPGA board 1002 for PN code generation. More specifically, there are two types of this signal.
  • One type of signal (LO signal: local oscillator signal) is sent through the delay circuit (digital control board 1003) to the RF detector circuit (RF detector board 1007).
  • the other type of signal (RF signal: Radio Frequency Signal) is sent to the transmitting microwave UWB antenna of the multi-static array antenna 1008 and radiated.
  • a scattered microwave signal is received by the receiving UWB antenna of the multi-static array antenna 1008 and sent to the RF detection circuit (RF detection board 1007).
  • the transmission/reception signals pass through the antenna element selection switch (UWB antenna RF switch 1004).
  • the delayed signal (LO signal) is delayed by 1/ 2n times (n is an integer greater than 2) the time at which the value of the PN code changes.
  • the detected signal is A/D converted by the signal processing computer 1005 and stored as an IF signal (Intermediate Frequency Signal). Information indicating the detected signal may also be displayed on the signal monitoring device 1006 .
  • the timing of these series of operations is controlled by the microprocessor in the digital control board 1003 so as to synchronize with the signal (distance signal or free run signal) from the rangefinder 1001.
  • the microprocessor in the digital control board 1003 sends Switch switching signals, PN code sweep triggers, and the like.
  • the signal processing computer 1005 also uses the A/D-converted and stored signals to perform three-dimensional reconstruction and display a three-dimensional image.
  • the signal processing calculator 1005 may also perform signal calibration.
  • the signal processing computer 1005 may display raw waveforms.
  • the signal processing computer 1005 may store a three-dimensional image or the like in the memory 1009 .
  • the configuration shown in FIG. 13 is an example, and the configuration of imaging device 100 is not limited to the configuration shown in FIG. A part of the configuration shown in FIG. 13 may be omitted or changed.
  • the imaging method including the steps performed by each component of the imaging device may be executed by any device or system.
  • part or all of the imaging method may be performed by a computer including a processor, memory, input/output circuitry, and the like.
  • the imaging method may be executed by the computer executing a program for causing the computer to execute the imaging method.
  • the above program may be recorded on a non-temporary computer-readable recording medium.
  • each component of the imaging apparatus may be configured with dedicated hardware, may be configured with general-purpose hardware that executes the above programs, etc., or may be configured with a combination of these. good.
  • the general-purpose hardware may be composed of a memory in which a program is recorded, a general-purpose processor that reads and executes the program from the memory, and the like.
  • the memory may be a semiconductor memory, a hard disk, or the like, and the general-purpose processor may be a CPU or the like.
  • dedicated hardware may be configured with a memory, a dedicated processor, and the like.
  • a dedicated processor may refer to a memory for recording measurement data and perform the imaging method described above.
  • each component of the imaging device may be an electric circuit.
  • These electric circuits may form one electric circuit as a whole, or may be separate electric circuits. Further, these electric circuits may correspond to dedicated hardware, or may correspond to general-purpose hardware for executing the above-described programs and the like.
  • One aspect of the present disclosure is useful for an imaging device that uses waves to visualize the three-dimensional structure of scatterers contained in objects within a region, and is applicable to geophysical exploration, medical diagnosis, and the like.
  • Imaging Device 101 Transmitter 102 Receiver 103 Information Processing Circuit 104 Display 1001 Rangefinder 1002 FPGA Board for PN Code Generation 1003 Digital Control Board 1004 UWB Antenna RF Switch 1005 Signal Processing Calculator 1006 Signal Monitoring Device 1007 RF Detection Board 1008 Multistatic Array antenna 1009 Memory

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Abstract

映像化装置（１００）は、領域の両側に配置され、領域へ波動を送信する複数の送信器（１０１）と、当該両側に配置され、領域から波動を受信する複数の受信器（１０２）と、複数の送信器（１０１）及び複数の受信器（１０２）によって得られる計測データと、多重散乱を構成する複数の一次散乱に関する複数の関数の合成との対応付けに従って、前記波動の散乱に関する散乱場関数に対応する映像化関数を導出し、映像化関数を用いて領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化する情報処理回路（１０３）とを備える。

Description

映像化装置及び映像化方法
　本開示は、波動を用いて、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化する映像化装置等に関する。
　波動を用いて領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化する映像化装置等に関する技術として、特許文献１、特許文献２、特許文献３、特許文献４及び特許文献５に記載の技術がある。
　例えば、特許文献１に記載の技術では、マイクロ波送出器から送出されたビームが検査対象に入射され、散乱したビームの振幅及び位相がマイクロ波検出器により検出される。そして、マイクロ波検出器の出力信号から誘電率の分布が計算され、検査対象における断層の像表示が行われる。
特開昭６２－６６１４５号公報 国際公開第２０１４／１２５８１５号 国際公開第２０１５／１３６９３６号 国際公開第２０２１／０２０３８７号 国際公開第２０２１／０５３９７１号
　しかしながら、波動を用いて、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化することは容易ではない。具体的には、領域内の状態が既知である場合において、領域に入射された波動に対して領域から放射される散乱波のデータを求めることは、順方向問題と呼ばれ、容易である。一方、散乱波のデータが既知である場合において、領域内の状態を求めることは、逆方向問題と呼ばれ、容易ではない。
　さらに、波動の１回の送信に対して領域内で複数回の散乱（反射）が発生する可能性がある。つまり、１回の散乱に対応する１次散乱のみに限られず、２回の散乱に対応する２次散乱、及び、３回の散乱に対応する３次散乱等が発生する可能性がある。２回以上の散乱は、多重散乱とも呼ばれる。そして、多重散乱に伴う散乱波のデータが計測によって得られる場合がある。多重散乱が考慮されず、１次散乱のみが考慮された解析方法では、領域内の状態が正確に求められない。
　そこで、本開示は、波動を用いて、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる映像化装置等を提供する。
　本開示の一態様に係る映像化装置は、計測対象の領域の両側に配置され、前記領域へ波動を送信する複数の送信器と、前記両側に配置され、前記領域から前記波動を受信する複数の受信器と、前記複数の送信器及び前記複数の受信器によって得られる計測データと、多重散乱を構成する複数の一次散乱に関する複数の関数の合成との対応付けに従って、前記波動の散乱に関する散乱場関数に対応する映像化関数を導出し、前記映像化関数を用いて前記領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化する情報処理回路とを備える。
　なお、これらの包括的又は具体的な態様は、システム、装置、方法、集積回路、コンピュータプログラム、又は、コンピュータ読み取り可能なＣＤ－ＲＯＭなどの非一時的な記録媒体で実現されてもよく、システム、装置、方法、集積回路、コンピュータプログラム、及び、記録媒体の任意な組み合わせで実現されてもよい。
　本開示によれば、波動を用いて、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することが可能である。
図１は、実施の形態における多重散乱の次数の例を示す概念図である。 図２は、散乱場の方程式の４種類の基本解に対応する４種類の散乱形態を表す図である。 図３は、グリーン関数の定義に関する概念図である。 図４は、散乱場の基本解の適用例を示す概念図である。 図５は、波動の伝搬経路を示す図である。 図６は、２次の散乱に関する散乱場の基本解の適用例を示す概念図である。 図７は、３次の散乱に関する４種類の散乱モデルを示す図である。 図８は、４種類の計測データの定義を示す図である。 図９は、実施の形態における映像化装置の基本構成を示すブロック図である。 図１０は、複数の送信器と複数の受信器と領域との関係の例を示す概念図である。 図１１は、複数の送信器と複数の受信器と領域との関係の変形例を示す概念図である。 図１２は、実施の形態における映像化装置の基本動作を示すフローチャートである。 図１３は、実施の形態における映像化装置の具体的な構成を示すブロック図である。
　本開示の一態様に係る映像化装置は、計測対象の領域の両側に配置され、前記領域へ波動を送信する複数の送信器と、前記両側に配置され、前記領域から前記波動を受信する複数の受信器と、前記複数の送信器及び前記複数の受信器によって得られる計測データと、多重散乱を構成する複数の一次散乱に関する複数の関数の合成との対応付けに従って、前記波動の散乱に関する散乱場関数に対応する映像化関数を導出し、前記映像化関数を用いて前記領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化する情報処理回路とを備える。
　これにより、映像化装置は、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化するための映像化関数の導出に、計測データと、複数の一次散乱に関する複数の関数の合成との対応付けを適用することができる。多重散乱は、複数の一次散乱の組み合わせであると想定される。したがって、映像化装置は、この対応付けに従って、多重散乱を含む散乱の逆問題を解析的に解くことができる。したがって、映像化装置は、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　例えば、前記情報処理回路は、前記散乱場関数の方程式を前記計測データに基づいて解くことにより、前記散乱場関数に対応する前記映像化関数を導出し、前記散乱場関数は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000029
 で表現され、（ｘ、ｙ１、ｚ１）は、前記波動の送信位置を示し、（ｘ、ｙ２、ｚ２）は、前記波動の受信位置を示し、ｋは、前記波動の波数を示し、Ｄは、前記領域を示し、（ξ、η、ζ）は、前記波動の反射位置に対応し、εは、前記反射位置における未知の反射率に対応し、ρ１は、前記送信位置から前記反射位置までの距離を示し、ρ２は、前記反射位置から前記受信位置までの距離を示し、前記方程式は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000030
 で表現され、Δ５は、ｘ、ｙ１、ｙ２、ｚ１及びｚ２に関するラプラス作用素を示し、ｃは、前記波動の伝搬速度を示し、ｔは、前記波動の送信から受信までの時間を示す。
　これにより、映像化装置は、散乱の現象に対応付けられた散乱場関数、及び、散乱場関数が満たす方程式に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、前記情報処理回路は、前記計測データに基づいて前記方程式の解析解を導出し、前記解析解に基づいて前記映像化関数を導出し、前記解析解は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000031
 で表現され、ｋｘ、ｋｙ１及びｋｙ２は、前記散乱場関数のｘ、ｙ１及びｙ２に関する波数を示し、ａ（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）は、ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２及びｋに基づく関数を示し、ｓ１（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２）は、ｋｘ、ｋｙ１及びｋｙ２に基づく関数を示し、ｓ２（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２）は、ｋｘ、ｋｙ１及びｋｙ２に基づく関数を示す。
　これにより、映像化装置は、散乱の現象に対応付けられた散乱場関数が満たす方程式の解析解に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、前記映像化関数は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000032
 で表現され、（ｘ、ｙ、ｚ）は、映像化対象位置を示す。
　これにより、映像化装置は、散乱場関数に適切に対応付けられた映像化関数に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、前記多重散乱は、前記散乱場関数の方程式の４つの基本解に対応するスペクトル空間の４つの関数を用いて表現され、前記計測データと前記４つの関数との関係は、非線形積分方程式で表現され、前記情報処理回路は、前記計測データから、前記非線形積分方程式に従って、前記４つの関数を導出し、前記４つの関数を用いて前記散乱場関数に対応する前記映像化関数を導出する。
　これにより、映像化装置は、多重散乱を表現する関係式に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、前記計測データは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000033
 で表現され、Φｉｊで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、２方向に対応する２つの前方散乱と２方向に対応する２つの後方散乱との４つの散乱形態に関する前記計測データに対応し、前記情報処理回路は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000034
 を用いて、多重散乱の影響が除去された
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000035
 を導出し、ａｍ１、ａｍ２、ａｍ３、・・・、ａｍＬで表現されるａ１、ａ２、ａ３及びａ４は、前記４つの散乱形態に関する前記解析解のａ（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）に対応し、ｆ２、ｆ３、・・・、ｆＬは、それぞれ、前記波動の送信から受信までに適用される２回、３回、・・・、Ｌ回の散乱に対応する括弧内の２個、３個、・・・、Ｌ個の変数の積を示し、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000036
 は、ｆ２、ｆ３、・・・、ｆＬの括弧内の２個、３個、・・・、Ｌ個の変数に含まれる座標変数に関する波数ベクトルを示し、前記情報処理回路は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000037
 を前記散乱場関数として用いて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000038
 を前記映像化関数として導出する。
　これにより、映像化装置は、多重散乱の理論に基づく式に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、前記計測データは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000039
 で表現され、Φｉｊで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、２方向に対応する２つの前方散乱と２方向に対応する２つの後方散乱との４つの散乱形態に関する前記計測データに対応し、前記情報処理回路は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000040
 を用いて、多重散乱の影響が除去された
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000041
 を導出し、ａｍで表現されるａ１、ａ２、ａ３及びａ４は、前記４つの散乱形態に関する前記解析解のａ（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）に対応し、Φｍ１ｎ１、Φｍ２ｎ２、Φｍ３ｎ３、・・・、ΦｍＬｎＬで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、前記４つの散乱形態に関する前記計測データに対応し、ｇ２、ｇ３、・・・、ｇＬは、それぞれ、前記波動の送信から受信までに適用される２回、３回、・・・、Ｌ回の散乱に対応する括弧内の２個、３個、・・・、Ｌ個の変数の積を示し、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000042
 は、ｇ２、ｇ３、・・・、ｇＬの括弧内の２個、３個、・・・、Ｌ個の変数に含まれる座標変数に関する波数ベクトルを示し、前記情報処理回路は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000043
 を前記散乱場関数として用いて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000044
 を前記映像化関数として導出する。
　これにより、映像化装置は、多重散乱の理論に基づいて計測データが適切に対応付けられた式に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、前記計測データは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000045
 で表現され、Φｉｊで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、２方向に対応する２つの前方散乱と２方向に対応する２つの後方散乱との４つの散乱形態に関する前記計測データに対応し、前記情報処理回路は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000046
 を用いて、多重散乱の影響が除去されたａ１を導出し、δは、デルタ関数を示し、ｋｘａ、ｋｘｂ、ｋｘｃは、ｋｘに対応する変数であり、ｋη及びｋη２は、ｋｙ１に対応する変数であり、ｋη３は、ｋｙ２に対応する変数であり、Ｏ（ａ４）は、４次以上の散乱に対応する項であり、前記情報処理回路は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000047
 を前記散乱場関数として用いて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000048
 を前記映像化関数として導出する。
　これにより、映像化装置は、多重散乱の理論に基づいて散乱の現象が具体的に表現された式に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、前記計測データは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000049
 で表現され、Φｉｊで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、２方向に対応する２つの前方散乱と２方向に対応する２つの後方散乱との４つの散乱形態に関する前記計測データに対応し、前記情報処理回路は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000050
 を用いて、多重散乱の影響が除去されたａ１を導出し、δは、デルタ関数を示し、ｋｘａ、ｋｘｂ、ｋｘｃは、ｋｘに対応する変数であり、ｋη及びｋη２は、ｋｙ１に対応する変数であり、ｋη３は、ｋｙ２に対応する変数であり、前記情報処理回路は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000051
 を前記散乱場関数として用いて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000052
 を前記映像化関数として導出する。
　これにより、映像化装置は、多重散乱の理論に基づいて散乱の現象が具体的に表現され、かつ、計測データが適切に対応付けられた式に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、前記計測データは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000053
 で表現され、Φｉｊで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、２方向に対応する２つの前方散乱と２方向に対応する２つの後方散乱との４つの散乱形態に関する前記計測データに対応し、前記情報処理回路は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000054
 を用いて、多重散乱の影響が除去されたａ１を導出し、δは、デルタ関数を示し、ｋｘａ、ｋｘｂ、ｋｘｃは、ｋｘに対応する変数であり、ｋη及びｋη２は、ｋｙ１に対応する変数であり、ｋη３は、ｋｙ２に対応する変数であり、前記情報処理回路は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000055
 を前記散乱場関数として用いて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000056
 を前記映像化関数として導出する。
　これにより、映像化装置は、多重散乱の理論に基づいて整理された式に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、本開示の一態様に係る映像化方法は、計測対象の領域の両側に配置された複数の送信器によって、前記領域へ波動を送信するステップと、前記両側に配置された複数の受信器によって、前記領域から前記波動を受信するステップと、前記複数の送信器及び前記複数の受信器によって得られる計測データと、多重散乱を構成する複数の一次散乱に関する複数の関数の合成との対応付けに従って、前記波動の散乱に関する散乱場関数に対応する映像化関数を導出し、前記映像化関数を用いて前記領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化するステップとを含む。
　これにより、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化するための映像化関数の導出に、計測データと、複数の一次散乱に関する複数の関数の合成との対応付けを適用することが可能である。多重散乱は、複数の一次散乱の組み合わせであると想定される。したがって、この対応付けに従って、多重散乱を含む散乱の逆問題を解析的に解くことが可能である。したがって、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することが可能である。
　以下、図面を用いて、実施の形態について説明する。なお、以下で説明する実施の形態は、いずれも包括的又は具体的な例を示す。以下の実施の形態で示される数値、形状、材料、構成要素、構成要素の配置位置及び接続形態、ステップ、ステップの順序等は、一例であり、請求の範囲を限定する主旨ではない。
　また、以下の説明において、特に上記の特許文献２、特許文献３、特許文献４及び特許文献５に記載の技術等が既存の技術として参照され得る。また、以下の説明において、主にマイクロ波等の電波が波動として想定されているが、波動はマイクロ波等の電波に限られない。また、散乱に基づく映像化は、散乱トモグラフィと表現され得る。したがって、以下の説明における映像化装置及び映像化方法は、それぞれ、散乱トモグラフィ装置及び散乱トモグラフィ方法とも表現され得る。
　（実施の形態）
　本実施の形態における映像化装置は、波動を用いて、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化する。以下、本実施の形態における映像化装置をその基礎となる技術及び理論なども含めて、詳細に説明する。
　＜Ｉ　概要＞
　マイクロ波等の波動を用いて物体内の映像化を行うために散乱場理論が構築されている。散乱場理論は、単に理論上の新しさを有するだけではなく実用にも役立つ。計測（測定）データから瞬時に正確な３次元再構成画像を計算できるため、画像診断分野等への応用が期待される。本開示では、散乱場理論を多重散乱（多重反射）の逆散乱問題という難問の解決のために発展させ、発展した散乱場理論を用いる映像化装置及び映像化方法が示される。
　例えば、送信点及び受信点が配置される計測面が曲面である逆散乱再構成理論において、次式（１－１）のような関数φが定義される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000057
　ここで、（ｘ、ｙ１、ｚ１）が波動の放射点の座標を示し、（ｘ、ｙ２、ｚ２）が波動の受信点の座標を示す。放射は、送信と表現される場合がある。ｋは、波動の波数を示す。Ｄは、計測対象の領域を示す。ε（ξ、η、ζ）は、（ξ、η、ζ）の位置における誘電率の関数を示し、（ξ、η、ζ）の位置における波動の反射率に対応する。（ξ、η、ζ）は、波動の反射点に対応する。ρ１は、送信点から反射点までの距離を示し、ρ２は、反射点から受信点までの距離を示す。なお、ε（ξ、η、ζ）は、未知である。
　誘電率の関数ε（ξ、η、ζ）の値が大きなところで波動が散乱するような現象が波動の放射点及び受信点に対する関数として捉えられる。そして、放射点及び受信点を領域内全体で定義することで、上記のφが、散乱場を示す散乱場関数として用いられる。散乱場関数は、次式（１－２）のような偏微分方程式を満足する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000058
　ここで、Δ５は、ｘ、ｙ１、ｙ２、ｚ１及びｚ２に関する５次元のラプラス作用素を示す。∂は、サフィックスで示される変数の偏微分を示す。ｃは、波動の伝搬速度を示す。ｔは、時間を示す。また、式（１－２）の微分方程式の一般解は次式（１－３）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000059
　ここで、ｋｘ、ｋｙ１及びｋｙ２は、散乱場関数のｘ、ｙ１、ｙ２に関する波数を示す。１つの４階の偏微分方程式の解は、領域の境界における計測値（レーダ反射データ）により完全に決定されるので、この一般解の核関数であるａ（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）も、フーリエ変換することにより求まる。そして、φにｙ２→ｙ１及びｔ→０の極限値を適用することにより、映像化関数ρが求まる。例えば、映像化関数ρは、次式（１－４）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000060
　ところで以上のプロセスの中で、多重散乱がないという仮定に基づいて、散乱場関数φ（ｘ、ｙ１、ｙ２、ｚ１、ｚ２、ｋ）が直接領域の境界における計測値（レーダ反射データ）に結びつけられている。例えば、境界面の形状が、ｚ－ｙ面における曲線ｚ＝ｆ（ｙ）で定義される。その境界面で計測されたレーダ反射データを（ｘ、ｔ）に関してフーリエ変換することで得られるデータは、Φ（ｋｘ、ｙＩ、ｙＪ、ｋ）で表現される。多重散乱がないという仮定では、次式（１－５）の成立が仮定される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000061
　しかし、多重散乱を無視することが許容されない場合、図１に示すように２次、３次及び４次の散乱が存在する可能性がある。
　図１は、実施の形態における多重散乱（多重反射）の次数の例を示す概念図である。図１において、Ｐ１は、送信点を示し、Ｐ２は、受信点を示す。信号は、Ｐ１から送信されて、領域内で次数に対応する回数の反射を介して、Ｐ２で受信される。複数回の反射は、多重反射又は多重散乱と呼ばれる。
　本開示では、上記のような多重散乱を含む散乱の逆問題を解く方法、並びに、その方法を用いる映像化装置及び映像化方法について述べる。
　多重散乱の逆解析を行うため、領域の境界全体でのレーダ反射データが用いられる。２次以上の多重散乱は、散乱場の偏微分方程式の４種類の基本解Ｅ１、Ｅ２、Ｅ３、Ｅ４の組み合わせ（合成）によって表現される。
　図２は、散乱場の方程式の４種類の基本解に対応する４種類の散乱形態を表す図である。散乱形態は、散乱モデルとも表現され得る。多重散乱は、これらの４種類の基本解（Ｅ１、Ｅ２、Ｅ３、Ｅ４）の合成によって表現される。Ｅ１、Ｅ２、Ｅ３及びＥ４に対応してａ１、ａ２、ａ３及びａ４というスペクトル空間の関数が導入される。これらを計測データから決定するため、２つの後方散乱、及び、前方散乱の計測が行われる。
　３次元領域での多重散乱の逆散乱解析は、困難な問題である。しかし、本開示は、散乱場理論を用いて逆散乱問題の解を提供する。
　＜ＩＩ　散乱場の理論＞
　＜ＩＩ－１　単純な伝搬関数＞
　波動の伝搬のヘルムホルツ方程式は、次式（２－１）で表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000062
　ここで、φは、（ｘ、ｙ、ｚ）の位置における振動の変位を示す未知関数である。Δ３は、３次元のラプラス作用素を示す。ｋは、波数を示す。（ξ、η、ζ）は、波源の位置を示す。
　φを（ｘ、ｙ、ｔ）に関してフーリエ変換することで得られる式は、次式（２－２）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000063
　ここで、ｋｘは、ｘに関する波数を示す。ｋｙは、ｙに関する波数を示す。式（２－１）は、式（２－３）及び式（２－４）のように変形される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000064
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000065
　ここで、∂ｚ ２は、ｚに関する２階偏微分を示す。ａ（ｋｘ、ｋｙ、ｋ）は、（ｋｘ、ｋｙ、ｋ）に関する関数である。
　＜ＩＩ－２　散乱場の基本解＞
　図３は、グリーン関数の定義に関する概念図である。以下断らない限り、送信点と受信点とが同じｘ座標を有する。送信点及び受信点が、それぞれｒ１＝（ｘ、ｙ１、ｚ１）及びｒ２＝（ｘ、ｙ２、ｚ２）である場合、グリーン関数が次式（２－５）のように定義される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000066
　この積分核の関数は、ｒ１から出て点ξで反射して点ｒ２へ戻る波動の信号強度を示す。ωは、角周波数である。このグリーン関数は、次式（２－６）のように新しい関数名を用いて具体化される。ここで、εは、誘電率の関数である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000067
　上記のφ（ｘ、ｙ１、ｙ２、ｚ１、ｚ２）は、次式（２－７）のような散乱場の偏微分方程式の解である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000068
　次に、式（２－７）の解が検討される。まず、φをｔ、ｘ、ｙ１、ｙ２について多重フーリエ変換して、式（２－７）を変換することで、以下の式（２－８）が得られる。ここで、Ｄｚ１、Ｄｚ２は、それぞれ、ｚ１、ｚ２に関する偏微分を示す。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000069
　式（２－８）には、４つの解があり、次式（２－９）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000070
　ここで、ｓ１、ｓ２は、次式（２－１０）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000071
　式（２－９）の４つの基本解に対応する散乱は、図２に示した通りである。この４つの基本解のうちＥ３とＥ４とは、互いに時間的な逆行の関係を有し、独立ではない。したがって、Ｅ１、Ｅ２、Ｅ３が、独立な基本解である。４つの基本解に対応する式（２－７）の４つの一般解は、次式（２－１１）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000072
　上記に示される式（２－１１）の４つの一般解は、図２に示された４つの１次散乱モデルに対応する４つの散乱場関数とみなされ得る。多重散乱に対応する散乱場関数は、これらの４つの散乱場関数の合成に基づいて導出される。
　＜ＩＩＩ　多重散乱＞
　＜ＩＩＩ－１　多重散乱の次数＞
　多重散乱の次数は、図１に示した通りである。図１に示した各次数の多重散乱においても、散乱の起きる場所で様々に異なる幾何学的なバラエティが存在する。そして、散乱の起きる場所での入射及び散乱の各方向ベクトルのｚ座標成分の正負により、特性が異なる。入射及び散乱の各方向ベクトルのｚ座標成分の正負により特性が異なることは、ＩＩ章の散乱場の基本解で説明されている。
　＜ＩＩＩ－２　多重散乱の散乱場理論を用いたアプローチの概要＞
　図４は、散乱場の基本解の適用例を示す概念図である。具体的には、図４には、複数の基本解が適用される３次の散乱モデルが示されている。例えば、図４に示した３次の散乱モデルでは、散乱場の基本解Ｅ１及びＥ２が、それぞれ、破線内部の領域で用いられる。次式（３－１）は、経路と基本解との関係を示す。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000073
　散乱点Ｓ１、Ｓ２、Ｓ３は領域内の任意点であるが、幾何学的なルールを守るという条件が散乱点Ｓ１、Ｓ２、Ｓ３等に課せられる。具体的には、図４において波動の伝搬を表す矢印で示される方向ベクトルのｚ座標成分の符号が維持される。さらに、Ｐ１、Ｐ２、Ｓ２及びＳ３は、互いのｘ座標が等しいという条件のもとに計測面内で移動する。また、Ｐ１とＰ２とで、ｚ座標が等しい。しかし、Ｓ１に関してはｘ座標に関する制限がないと仮定される。
　図５は、波動の伝搬経路を示す図である。具体的には、図５には、基本解Ｅ１及びＥ２が用いられる場合において共通の送信点Ｐ１及び共通の受信点Ｐ２に対する複数の伝搬経路が示されている。これらの複数の伝搬経路は、上記の幾何学的な規則に対応している。
　ｙ軸上で計測された後方散乱振幅は、次式（３－２）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000074
　ここで、Ｇ（具体的には、Ｇ１及びＧ２）は、グリーン関数で、次式（３－３）のように定義される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000075
　ここで、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000076
 は、ｒ１から出て点ξで反射して点ｒ２へ戻る波動の信号強度を示す。グリーン関数についているサフィックス１、２は、基本解Ｅ１、Ｅ２に対応している。多重散乱を考えない理論では式（３－２）の右辺から第２項以降を無視して、次式（３－４）の方程式が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000077
　式（２－１１）のａ１（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）が、この方程式からフーリエ変換により求まる。こうして求めた近似関数を式（３－３）の右辺の積分記号の中へ代入することにより、多重散乱が考慮されたＧ１（Ｐ１、Ｐ２、ｋ）が得られ、より正確なａ１（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）が得られる。
　ところで、式（３－２）の右辺にはＧ２（Ｓ２－、Ｓ３－、ｋ）という新しい関数が含まれている。これを計測により求めるため、前述とはｚの値が異なる面での計測結果が用いられる。Φ２（Ｐ１、Ｐ２、ｋ）が、ｚの値が異なる面での計測結果を示す場合、次式（３－５）が成立する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000078
　これにより、式（３－２）からより正確なａ１（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）が求まる。
　＜ＩＩＩ－３　多重散乱における逆散乱問題の定式化＞
　（１）２次の散乱
　図６は、２次の散乱に関する散乱場の基本解の適用例を示す概念図である。２次の散乱は、図６に示すように、散乱場の方程式の基本解Ｅ１とＥ４とがＳ２－で接続された形に対応する。Ｓ２－は、限りなくＳ２に近いと仮定されている。基本解Ｅ３、Ｅ４では、Ｓ２－からＰ２へ直接伝搬する直接波が含まれないという条件が満たされている。
　２次の散乱の経路は、図６に示す経路と、図６のＰ１とＰ２とが入れ替わった経路（対称変換した経路）に限られる。基本解Ｅ１とＥ４とが図６のように適用され、次式（３－６）のように関数名が付けられる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000079
　ここで、（ｘ、ｙ１、ｚ）は、Ｐ１の位置に対応し、（ｘ、ｙ２、ｚ）は、Ｐ２の位置に対応し、（ｘ、η２－、ζ２－）は、Ｓ２－の位置に対応する。式（３－６）の具体的な式は、式（２－１１）に従って、次式（３－７）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000080
　２次の多重散乱の経路Ｐ１→Ｓ１→Ｓ２－→Ｓ２→Ｐ２に対応した上記の関数の合成は、次式（３－８）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000081
　式（３－８）にη２－→η及びζ２－→ζを適用し、点Ｓ２の座標（η、ζ）に関して積分することで、次式（３－９）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000082
　式（３－９）に式（３－７）を代入することで、次式（３－１０）が得られる。なお、混乱を避けるため、次式（３－１０）において、適宜、ａ、ｂ、＋及び－等のサフィックスが変数に付与されている。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000083
　ここで、δは、デルタ関数を示す。式（３－１０）におけるδ（ｋη－＋ｋη＋）及びδ（ｓ２（ｋｘａ、ｋｙ１、ｋη－）－ｓ１（ｋｘｂ、ｋη＋、ｋｙ２））は、接続点Ｓ２－において入力と出力とが一致していることに対応する。ｚ＝０において、式（３－１０）を（ｘ、ｙ１、ｙ２）に関してフーリエ変換することにより、次式（３－１１）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000084
　（２）３次の散乱
　３次の散乱について散乱場の基本解が適用される例は、図４の通りである。図４を参照して次式（３－１２）のような散乱場関数が定義される。η、ζに対するサフィックス２－、３－は、それぞれ、点Ｓ２の直前、点Ｓ３の直前に対応している。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000085
　式（３－１２）の右側の関数は、１次散乱の散乱場の一般解に対応し、次式（３－１３）のような関数である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000086
　上記の式の合成は、３次の多重散乱の経路Ｐ１→Ｓ１→Ｓ２→Ｓ３→Ｐ２に対応しており、次式（３－１４）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000087
　式（３－１４）にη２－→η２、η３－→η３、ζ２－→ζ２及びζ３－→ζ３を適用し、Ｓ２、Ｓ３点の座標（η２、ζ２）、（η３、ζ３）に関して積分することにより、次式（３－１５）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000088
　上記のプロセスによって得られた関数は、Ｐ１、Ｐ２から見た３次の散乱振幅を示す。式（３－１３）を式（３－１５）に代入することにより次式（３－１６）が得られる。次式（３－１６）では、積分記号の混乱を避けるため、適宜、波数ｋのサフィックスに対して、さらに、＋－が追加されている。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000089
　散乱場の理論において、次式（３－１７）のような関係式がある。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000090
　式（３－１６）のη、ζに関する積分を実行することにより、次式（３－１８）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000091
　ここで、δは、デルタ関数を示し、接続点において入力と出力とが一致していることに対応する。ｚ＝０において、式（３－１８）を（ｘ、ｙ１、ｙ２）に関してフーリエ変換することにより、次式（３－１９）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000092
　散乱場関数Ψ（ｘ、ｙ１、ｙ２、ｚ、ｋ）は、多重散乱が考慮される場合、次式（３－２０）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000093
　ここで、Ψ１は、１次散乱に対応する散乱場関数であり、Ψ２は、２次散乱に対応する散乱場関数であり、Ψ３は、３次散乱に対応する散乱場関数である。式（２－１１）等に基づいて、次式（３－２１）が成立つ。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000094
　例えば、式（３－２０）において右辺の第２項及び第４項以降が無視できる場合、式（３－２０）の全体をフーリエ変換することで、次式（３－２２）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000095
　ｚ＝０における計測データΦ１（ｋ）を用いて、式（３－２２）の左辺が次式（３－２３）のように表現され得る。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000096
　式（３－２３）の右辺は境界面上での計測データである。したがって、式（３－２２）の左辺が決定される。よって、式（３－２２）は、ａ１（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）及びａ２（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）に関する通常の非線形積分方程式である。
　同様の式が、ｚ＝ｈで表現されるもう一つの境界面で得られる。この積分方程式は非線形ではあるがノイマン級数展開を用いて極めて容易に解が求まる。散乱の逆問題があたかも散乱の順方向問題を解くかのように解ける。
　＜ＩＩＩ－４　全モデルが考慮された逆散乱問題の基礎方程式＞
　図７は、３次の散乱に関する４種類の散乱モデルを示す図である。具体的には、図７のＤ１、Ｄ２、Ｄ３及びＤ４は、３次の散乱に関する４種類の散乱モデルに対応する。散乱モデルは、散乱のダイヤグラムとも表現され得る。図７において、基本解Ｅ１～Ｅ４が適用される領域が破線で示されている。以下の式（３－２４）、式（３－２５）式（３－２６）、式（３－２７）及び式（３－２８）は、Ｄ１～Ｄ４の散乱場関数を示す。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000097
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000098
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000099
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000100
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000101
　以上の式で、（η２－、ζ２－）と（η３－、ζ３－）とは、それぞれ、点Ｓ２の直前と、点Ｓ３の直前の点の座標を表す。
　上記の関数の合成は、３次の多重散乱の経路Ｐ１→Ｓ１→Ｓ２→Ｓ３→Ｐ２に対応し、次式（３－２９）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000102
　式（３－２９）にη２－→η２、η３－→η３、ζ２－→ζ２及びζ３－→ζ３を適用し、点Ｓ２、Ｓ３の座標（η２、ζ２）、（η３、ζ３）に関して積分することにより、次式（３－３０）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000103
　式（３－３０）の（η２、ζ２）、（η３、ζ３）に関する積分を実行し、その結果をｚ＝０において（ｘ、ｙ１、ｙ２）に関してフーリエ変換することにより、式（３－３１）、式（３－３２）、式（３－３３）および式（３－３４）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000104
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000105
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000106
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000107
　＜ＩＩＩ－５　多重散乱における逆散乱問題の積分方程式＞
　散乱場関数Ψ（ｘ、ｙ１、ｙ２、ｚ、ｋ）は、多重散乱が考慮される場合、次式（３－３５）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000108
　ｚ＝０において式（３－３５）の全体をフーリエ変換することで、式（３－３６）及び式（３－３７）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000109
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000110
　ここで、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000111
 は、ｚ＝０におけるマルチスタティックレーダの計測値である。したがって、この式（３－３７）は、ａ１（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）、ａ２（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）、ａ３（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）、及び、ａ４（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）に関する積分方程式である。
　この多重散乱項を含む積分方程式を解くため、２つのｚ＝ｃｏｎｓｔ平面での計測値が用いられる。その計測値を基にこの積分方程式を解くことは極めて容易である。結果はノイマン級数の形で得られる。なお、式（３－３７）におけるＯ（ａ４）は、４次以上の散乱に対応する項であり、省略されてもよい。
　＜ＩＩＩ－６　多重散乱における逆散乱問題の積分方程式の解＞
　図８は、４種類の計測データの定義を示す図である。つまり、マルチスタティック散乱トモグラフィの４種類の計測データが図８のように定義される。式（３－３１）、（３－３２）、（３－３３）及び（３－３４）等から、次式（３－３８）が成立する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000112
　なお、式（３－３８）における４つの等式の右辺は、４種類の計測方法に対応する多重散乱の４種類の散乱場関数をフーリエ変換することで得られる４種類の関数を表す。
　式（３－３７）から多重散乱が考慮されない場合のａ１（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）が求まる。以下において、多重散乱が考慮されない解には、サフィックス“０”が付けられる。図８における４種類の計測データに対応して次式（３－３９）のような結果が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000113
　ａ１、ａ２、ａ３及びａ４を散乱の次数に対応する級数に展開することにより、次式（３－４０）が得られる。なお、ａ１、ａ２、ａ３及びａ４に、散乱の次数に関連するサフィックスが付けられている。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000114
　式（３－３７）へ式（３－３８）によって表現される計測データを代入することにより、次式（３－４１）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000115
　この式（３－４１）から、２次の散乱に関連するａ１、１（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）を計測データのみを用いて表現することが可能である。他のａ２、１、ａ３、１、ａ４、１に関しても同様の方程式が求まる。
　式（３－４０）を式（３－４１）へ代入し積分記号の中では０次項のみを残すと次式（３－４２）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000116
　なお、式（３－４２）の「＋・・・」は、４次以上の散乱に対応する項を表しており、省略されてもよい。式（３－４２）を整理することにより、次式（３－４３）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000117
　式（３－４３）におけるａ１は、１次散乱、２次散乱及び３次散乱に対応する。具体的には、計測データから２次散乱及び３次散乱の影響を取り除いて、ａ１が導出されている。同様の手順で、より高次の散乱に対応するａ１が導出されてもよい。また、ａ２、ａ３及びａ４も、同様の手順で導出され得る。散乱場方程式の一般解は、ａ１を用いて、次式（３－４４）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000118
　映像化関数ρ（ｘ、ｙ、ｚ）は、上記の式（３－４４）におけるφ１を用いて、次式（３－４５）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000119
　この映像化関数は、多重散乱の影響が除去された関数であって、非線形の場合の散乱の逆問題に陽的に解を与える関数である。
　式（３－４１）は、以下の式（３－４６）のように一般化されてもよい。そして、式（３－４６）が、式（３－４１）として用いられてもよい。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000120
　ここで、ａｍ１、ａｍ２、ａｍ３、・・・、ａｍＬで表現されるａ１、ａ２、ａ３及びａ４は、４つの散乱形態に関する解析解のａ（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）に対応する。また、ｆ２、ｆ３、・・・、ｆＬは、それぞれ、２回、３回、・・・、Ｌ回の散乱に対応する括弧内の２個、３個、・・・、Ｌ個の変数の積を示す。
　また、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000121
 は、ｆ２、ｆ３、・・・、ｆＬの括弧内の２個、３個、・・・、Ｌ個の変数に含まれる座標変数に関する波数ベクトルを示す。
　また、式（３－４２）は、以下の式（３－４７）のように一般化されてもよい。そして、式（３－４７）が、式（３－４２）として用いられてもよい。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000122
　ここで、ａｍで表現されるａ１、ａ２、ａ３及びａ４は、４つの散乱形態に関する解析解のａ（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）に対応する。また、Φｍ１ｎ１、Φｍ２ｎ２、Φｍ３ｎ３、・・・、ΦｍＬｎＬで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、４つの散乱形態に関する計測データに対応する。また、ｇ２、ｇ３、・・・、ｇＬは、それぞれ、波動の送信から受信までに適用される２回、３回、・・・、Ｌ回の散乱に対応する括弧内の２個、３個、・・・、Ｌ個の変数の積を示す。
　また、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000123
 は、ｇ２、ｇ３、・・・、ｇＬの括弧内の２個、３個、・・・、Ｌ個の変数に含まれる座標変数に関する波数ベクトルを示す。
　また、散乱場関数は、以下の式（３－４８）のように、一般化されてもよい。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000124
　また、映像化関数は、以下の式（３－４９）のように、一般化されてもよい。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000125
　＜ＩＶ　映像化装置の構成及び動作＞
　上述された内容に基づいて、以下に、波動を用いて領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化する映像化装置の構成及び動作を示す。
　ここで、波動は、例えば、電波であり、マイクロ波、ミリ波又はテラヘルツ波等であってもよい。また、波動として光又は音等が用いられてもよい。領域内の物体は、生体、製造物又は自然素材などであってもよい。特に、映像化装置がマンモグラフィに用いられてもよく、物体は、乳房であってもよい。
　また、領域内の物体に含まれる散乱体は、周辺の媒質の物理特性とは異なる物理特性を有する部分に対応する。具体的には、この物理特性は、波動の反射率に対応する物理特性である。波動として電波が用いられる場合、物理特性は誘電率であってもよい。そして、物体に含まれる散乱体は、鉄筋コンクリートに含まれる鉄筋、又は、乳房に含まれる腫瘍等であってもよい。また、計測対象の領域は、物体の領域と同等であってもよい。
　図９は、本実施の形態における映像化装置の基本構成図である。図９に示された映像化装置１００は、複数の送信器１０１、複数の受信器１０２及び情報処理回路１０３を備える。また、映像化装置１００は、ディスプレイ１０４を備えていてもよい。
　複数の送信器１０１のそれぞれは、波動を送信する回路である。具体的には、複数の送信器１０１は、順次、波動を送信する。複数の送信器１０１は、計測対象の領域の両側に配置される。
　複数の受信器１０２のそれぞれは、波動を受信する回路である。複数の受信器１０２は、同時に並行して、波動を受信してもよい。複数の受信器１０２は、複数の送信器１０１と同様に、計測対象の領域の両側に配置される。また、複数の受信器１０２は、複数の送信器１０１と実質的に同じ位置に配置されてもよいし、複数の送信器１０１とは異なる位置に配置されてもよい。
　また、送信器１０１と受信器１０２とは、マルチスタティックアンテナを構成していてもよいし、モノスタティックアンテナを構成していてもよい。
　情報処理回路１０３は、情報処理を行う回路である。具体的には、情報処理回路１０３は、複数の送信器１０１及び複数の受信器１０２によって得られる計測データに基づいて、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化する。例えば、情報処理回路１０３は、計測データに基づいて散乱体の３次元構造を可視化する際に、上述された理論に示される演算処理を行う。
　また、情報処理回路１０３は、コンピュータ、又は、コンピュータのプロセッサであってもよい。情報処理回路１０３は、メモリからプログラムを読み出し、プログラムを実行することにより情報処理を行ってもよい。また、情報処理回路１０３は、計測データに基づいて、散乱体の３次元構造を可視化する専用回路であってもよい。
　また、情報処理回路１０３は、散乱体の３次元構造を可視化するため、散乱体の３次元構造を示す画像を生成してもよい。
　そして、情報処理回路１０３は、散乱体の３次元構造を示す画像をディスプレイ１０４等に出力することにより、散乱体の３次元構造を可視化してもよい。あるいは、情報処理回路１０３は、散乱体の３次元構造を示す画像をプリンタ（図示せず）に出力することにより、散乱体の３次元構造を可視化してもよい。あるいは、情報処理回路１０３は、有線又は無線の通信によって画像を電子データとして他の装置（図示せず）に送信することにより、散乱体の３次元構造を可視化してもよい。
　ディスプレイ１０４は、液晶ディスプレイ等のディスプレイ装置である。なお、ディスプレイ１０４は、任意の構成要素であって、必須の構成要素ではない。また、ディスプレイ１０４は、映像化装置１００を構成しない外部の装置であってもよい。
　図１０は、複数の送信器１０１と複数の受信器１０２と領域との関係の例を示す概念図である。図１０のように、複数の送信器１０１は、計測対象の領域の両側に配置される。同様に、複数の受信器１０２は、計測対象の領域の両側に配置される。複数の送信器１０１及び複数の受信器１０２は、２つの計測面のそれぞれにおいて２次元状に配置されていてもよい。あるいは、２つの計測面のそれぞれにおいて配置された送信器１０１及び受信器１０２が移動することで、複数の送信位置及び複数の受信位置で送信及び受信が行われてもよい。
　図１１は、複数の送信器１０１と複数の受信器１０２と領域との関係の変形例を示す概念図である。図１１のように、複数の送信器１０１及び複数の受信器１０２は、領域の両側のそれぞれにおいて、曲面上に配置されてもよい。
　図１２は、図９に示された映像化装置１００の基本動作を示すフローチャートである。具体的には、図９に示された映像化装置１００の複数の送信器１０１、複数の受信器１０２及び情報処理回路１０３が、図１０に示された動作を行う。
　まず、複数の送信器１０１は、計測対象の領域へ波動を送信する（Ｓ１０１）。例えば、複数の送信器１０１は、順次波動を送信する。また、複数の受信器１０２は、計測対象の領域から波動を受信する（Ｓ１０２）。例えば、複数の受信器１０２は、並行して波動を受信する。受信される波動は、散乱波とも表現され得る。そして、情報処理回路１０３は、複数の送信器１０１及び複数の受信器１０２によって得られる計測データを用いて、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化する（Ｓ１０３）。
　具体的には、情報処理回路１０３は、計測データと、多重散乱を構成する複数の一次散乱に関する複数の関数の合成との対応付けに従って、前記波動の散乱に関する散乱場関数に対応する映像化関数を導出する。そして、情報処理回路１０３は、映像化関数を用いて領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化する。
　これにより、映像化装置１００は、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化するための映像化関数の導出に、計測データと、複数の一次散乱に関する複数の関数の合成との対応付けを適用することができる。多重散乱は、複数の一次散乱の組み合わせであると想定される。したがって、映像化装置１００は、この対応付けに従って、多重散乱を含む散乱の逆問題を解析的に解くことができる。したがって、映像化装置１００は、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　例えば、情報処理回路１０３は、散乱場関数の方程式を計測データに基づいて解くことにより、散乱場関数に対応する映像化関数を導出してもよい。また、散乱場関数は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000126
 で表現されてもよい。
　ここで、（ｘ、ｙ１、ｚ１）は、波動の送信位置を示し、（ｘ、ｙ２、ｚ２）は、波動の受信位置を示し、ｋは、波動の波数を示し、Ｄは、領域を示し、（ξ、η、ζ）は、波動の反射位置に対応し、εは、反射位置における未知の反射率に対応する。また、ρ１は、送信位置から反射位置までの距離を示し、ρ２は、反射位置から受信位置までの距離を示す。
　また、散乱場関数の方程式は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000127
 で表現されてもよい。ここで、Δ５は、ｘ、ｙ１、ｙ２、ｚ１及びｚ２に関するラプラス作用素を示し、ｃは、波動の伝搬速度を示し、ｔは、波動の送信から受信までの時間を示す。
　これにより、映像化装置１００は、散乱の現象に対応付けられた散乱場関数、及び、散乱場関数が満たす方程式に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、情報処理回路１０３は、計測データに基づいて方程式の解析解を導出してもよい。そして、情報処理回路１０３は、解析解に基づいて映像化関数を導出してもよい。解析解は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000128
 で表現されてもよい。
　ここで、ｋｘ、ｋｙ１及びｋｙ２は、散乱場関数のｘ、ｙ１及びｙ２に関する波数を示す。また、ａ（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）は、ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２及びｋに基づく関数を示し、ｓ１（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２）は、ｋｘ、ｋｙ１及びｋｙ２に基づく関数を示し、ｓ２（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２）は、ｋｘ、ｋｙ１及びｋｙ２に基づく関数を示す。
　これにより、映像化装置１００は、散乱の現象に対応付けられた散乱場関数が満たす方程式の解析解に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、映像化関数は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000129
 で表現されてもよい。ここで、（ｘ、ｙ、ｚ）は、映像化対象位置を示す。
　これにより、映像化装置１００は、散乱場関数に適切に対応付けられた映像化関数に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、多重散乱は、前記散乱場関数の方程式の４つの基本解に対応するスペクトル空間の４つの関数を用いて表現されてもよい。また、計測データと４つの関数との関係は、非線形積分方程式で表現されてもよい。そして、情報処理回路１０３は、計測データから、非線形積分方程式に従って、４つの関数を導出してもよい。そして、情報処理回路１０３は、４つの関数を用いて散乱場関数に対応する映像化関数を導出してもよい。
　これにより、映像化装置１００は、多重散乱を表現する関係式に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　例えば、計測データは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000130
 で表現されてもよい。ここで、Φｉｊで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、２方向に対応する２つの前方散乱と２方向に対応する２つの後方散乱との４つの散乱形態に関する計測データに対応する。
　そして、情報処理回路１０３は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000131
 を用いて、多重散乱の影響が除去された
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000132
 を導出してもよい。
　ここで、ａｍ１、ａｍ２、ａｍ３、・・・、ａｍＬで表現されるａ１、ａ２、ａ３及びａ４は、４つの散乱形態に関する解析解のａ（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）に対応する。また、ｆ２、ｆ３、・・・、ｆＬは、それぞれ、波動の送信から受信までに適用される２回、３回、・・・、Ｌ回の散乱に対応する括弧内の２個、３個、・・・、Ｌ個の変数の積を示す。また、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000133
 は、ｆ２、ｆ３、・・・、ｆＬの括弧内の２個、３個、・・・、Ｌ個の変数に含まれる座標変数に関する波数ベクトルを示す。
　そして、情報処理回路１０３は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000134
 を散乱場関数として用いて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000135
 を映像化関数として導出してもよい。
　これにより、映像化装置１００は、多重散乱の理論に基づく式に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、計測データは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000136
 で表現される。ここで、Φｉｊで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、２方向に対応する２つの前方散乱と２方向に対応する２つの後方散乱との４つの散乱形態に関する計測データに対応する。
　そして、情報処理回路１０３は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000137
 を用いて、多重散乱の影響が除去された
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000138
 を導出してもよい。
　ここで、ａｍで表現されるａ１、ａ２、ａ３及びａ４は、４つの散乱形態に関する解析解のａ（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）に対応する。また、Φｍ１ｎ１、Φｍ２ｎ２、Φｍ３ｎ３、・・・、ΦｍＬｎＬで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、４つの散乱形態に関する計測データに対応する。また、ｇ２、ｇ３、・・・、ｇＬは、それぞれ、波動の送信から受信までに適用される２回、３回、・・・、Ｌ回の散乱に対応する括弧内の２個、３個、・・・、Ｌ個の変数の積を示す。
　また、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000139
 は、ｇ２、ｇ３、・・・、ｇＬの括弧内の２個、３個、・・・、Ｌ個の変数に含まれる座標変数に関する波数ベクトルを示す。
　そして、情報処理回路１０３は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000140
 を散乱場関数として用いて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000141
 を映像化関数として導出してもよい。
　これにより、映像化装置１００は、多重散乱の理論に基づいて計測データが適切に対応付けられた式に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、計測データは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000142
 で表現される。ここで、Φｉｊで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、２方向に対応する２つの前方散乱と２方向に対応する２つの後方散乱との４つの散乱形態に関する計測データに対応する。
　そして、情報処理回路１０３は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000143
 を用いて、多重散乱の影響が除去されたａ１を導出してもよい。
　ここで、δは、デルタ関数を示し、ｋｘａ、ｋｘｂ、ｋｘｃは、ｋｘに対応する変数であり、ｋη及びｋη２は、ｋｙ１に対応する変数であり、ｋη３は、ｋｙ２に対応する変数であり、Ｏ（ａ４）は、４次以上の散乱に対応する項である。
　そして、情報処理回路１０３は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000144
 を散乱場関数として用いて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000145
 を映像化関数として導出してもよい。
　これにより、映像化装置１００は、多重散乱の理論に基づいて散乱の現象が具体的に表現された式に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、計測データは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000146
 で表現される。ここで、Φｉｊで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、２方向に対応する２つの前方散乱と２方向に対応する２つの後方散乱との４つの散乱形態に関する計測データに対応する。
　そして、情報処理回路１０３は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000147
 を用いて、多重散乱の影響が除去されたａ１を導出してもよい。
　ここで、δは、デルタ関数を示し、ｋｘａ、ｋｘｂ、ｋｘｃは、ｋｘに対応する変数であり、ｋη及びｋη２は、ｋｙ１に対応する変数であり、ｋη３は、ｋｙ２に対応する変数である。
　そして、情報処理回路１０３は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000148
 を散乱場関数として用いて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000149
 を映像化関数として導出してもよい。
　これにより、映像化装置１００は、多重散乱の理論に基づいて散乱の現象が具体的に表現され、かつ、計測データが適切に対応付けられた式に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、計測データは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000150
 で表現される。ここで、Φｉｊで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、２方向に対応する２つの前方散乱と２方向に対応する２つの後方散乱との４つの散乱形態に関する計測データに対応する。
　そして、情報処理回路１０３は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000151
 を用いて、多重散乱の影響が除去されたａ１を導出してもよい。δは、デルタ関数を示し、ｋｘａ、ｋｘｂ、ｋｘｃは、ｋｘに対応する変数であり、ｋη及びｋη２は、ｋｙ１に対応する変数であり、ｋη３は、ｋｙ２に対応する変数である。
　そして、情報処理回路１０３は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000152
 を散乱場関数として用いて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000153
 を映像化関数として導出してもよい。
　これにより、映像化装置１００は、多重散乱の理論に基づいて整理された式に従って、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を高い正確度で可視化することができる。
　また、例えば、散乱場関数は、波動の送信位置及び波動の受信位置が入力されて受信位置における波動を示す値が出力される関数として定められてもよい。また、映像化関数は、送信位置及び前記受信位置として映像化対象位置を散乱場関数に入力することで散乱場関数から出力される値に基づいて定められてもよい。情報処理回路１０３は、計測データを境界条件として用いて、散乱場関数を導出し、散乱場関数を用いて、映像化関数を導出してもよい。
　また、例えば、上記の基本構成及び基本動作において示された複数の送信器１０１、複数の受信器１０２、情報処理回路１０３、散乱場関数及び映像化関数等には、本実施の形態において示された他の構成要素、式及び変数等が適宜適用され得る。
　また、本実施の形態において示された散乱場関数及び映像化関数等は、適宜変形して適用されてもよい。例えば、上述された数式と実質的に同じ内容を他の表現で示す数式が用いられてもよいし、上述された理論に基づいて導出される他の数式が用いられてもよい。
　また、上述された説明において、基本解の表現と解析解の表現とは相互に読み替えられてもよい。
　図１３は、図９に示された映像化装置１００の具体的な構成を示すブロック図である。
　図９に示された映像化装置１００の送信器１０１及び受信器１０２は、マルチスタティックアレイアンテナ１００８に含まれていてもよい。図９に示された映像化装置１００の情報処理回路１０３は、図１３に示された複数の構成要素のうちの１つ以上に対応していてもよい。具体的には、例えば、情報処理回路１０３は、信号処理計算機１００５に対応していてもよい。また、図９に示されたディスプレイ１０４は、信号モニタ装置１００６に対応していてもよい。
　映像化装置１００において用いられるマイクロ波の信号は、ＤＣ～２０ＧＨｚの周波数成分を持った擬似ランダム時系列信号（ＰＮ符号：Ｐｓｅｕｄｏ　Ｎｏｉｓｅ　Ｃｏｄｅ）である。この信号は、ＰＮ符号生成用ＦＰＧＡボード１００２から出力される。より具体的には、この信号は２種類ある。一方の種類の信号（ＬＯ信号：ｌｏｃａｌ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ　ｓｉｇｎａｌ）は、遅延回路（デジタル制御ボード１００３）を通してＲＦ検波回路（ＲＦ検波ボード１００７）へ送られる。
　他方の種類の信号（ＲＦ信号：Ｒａｄｉｏ　Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　Ｓｉｇｎａｌ）は、マルチスタティックアレイアンテナ１００８の送信用マイクロ波ＵＷＢアンテナへ送られ放射される。マイクロ波の散乱信号がマルチスタティックアレイアンテナ１００８の受信用ＵＷＢアンテナで受信され、ＲＦ検波回路（ＲＦ検波ボード１００７）へ送られる。ここで送受信信号はアンテナ素子選択スイッチ（ＵＷＢアンテナＲＦスイッチ１００４）を通る。
　また、遅延される信号（ＬＯ信号）は、ＰＮ符号の値が変化する時間の１／２ｎ倍（ｎは２よりも大きい整数）の時間ずつ遅延される。検波した信号は、ＩＦ信号（Ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ　Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　Ｓｉｇｎａｌ）として、信号処理計算機１００５でＡ／Ｄ変換され記憶される。また、検波した信号を示す情報が、信号モニタ装置１００６に表示されてもよい。
　これら一連の動作のタイミングは、距離計１００１からの信号（距離信号又はフリーラン信号）に同期するように、デジタル制御ボード１００３内のマイクロプロセッサによって制御される。例えば、デジタル制御ボード１００３内のマイクロプロセッサは、Ｓｗｉｔｃｈ切替信号、及び、ＰＮ符号掃引トリガ等を送信する。
　また、信号処理計算機１００５は、Ａ／Ｄ変換され記憶された信号を用いて、３次元再構成を行い、３次元画像表示を行う。また、信号処理計算機１００５は、信号校正を行ってもよい。また、信号処理計算機１００５は、生波形表示を行ってもよい。また、例えば、信号処理計算機１００５は、３次元画像等をメモリ１００９に保存してもよい。
　図１３に示された構成は例であって、映像化装置１００の構成は、図１３に示された構成に限られない。図１３に示された構成の一部が省略されてもよいし、変更されてもよい。
　（補足）
　以上、映像化装置の態様を実施の形態に基づいて説明したが、映像化装置の態様は、実施の形態に限定されない。実施の形態に対して当業者が思いつく変形が施されてもよいし、実施の形態における複数の構成要素が任意に組み合わされてもよい。例えば、実施の形態において特定の構成要素によって実行される処理を特定の構成要素の代わりに別の構成要素が実行してもよい。また、複数の処理の順序が変更されてもよいし、複数の処理が並行して実行されてもよい。
　また、映像化装置の各構成要素が行うステップを含む映像化方法が任意の装置又はシステムによって実行されてもよい。例えば、映像化方法の一部又は全部が、プロセッサ、メモリ及び入出力回路等を備えるコンピュータによって実行されてもよい。その際、コンピュータに映像化方法を実行させるためのプログラムがコンピュータによって実行されることにより、映像化方法が実行されてもよい。
　また、非一時的なコンピュータ読み取り可能な記録媒体に、上記のプログラムが記録されていてもよい。
　また、映像化装置の各構成要素は、専用のハードウェアで構成されてもよいし、上記のプログラム等を実行する汎用のハードウェアで構成されてもよいし、これらの組み合わせで構成されてもよい。また、汎用のハードウェアは、プログラムが記録されたメモリ、及び、メモリからプログラムを読み出して実行する汎用のプロセッサ等で構成されてもよい。ここで、メモリは、半導体メモリ又はハードディスク等でもよいし、汎用のプロセッサは、ＣＰＵ等でもよい。
　また、専用のハードウェアが、メモリ及び専用のプロセッサ等で構成されてもよい。例えば、専用のプロセッサが、計測データを記録するためのメモリを参照して、上記の映像化方法を実行してもよい。
　また、映像化装置の各構成要素は、電気回路であってもよい。これらの電気回路は、全体として１つの電気回路を構成してもよいし、それぞれ別々の電気回路であってもよい。また、これらの電気回路は、専用のハードウェアに対応していてもよいし、上記のプログラム等を実行する汎用のハードウェアに対応していてもよい。
　本開示の一態様は、波動を用いて、領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化する映像化装置に有用であり、物理探査又は医療診断等に適用可能である。
　　１００　映像化装置
　　１０１　送信器
　　１０２　受信器
　　１０３　情報処理回路
　　１０４　ディスプレイ
　　１００１　距離計
　　１００２　ＰＮ符号生成用ＦＰＧＡボード
　　１００３　デジタル制御ボード
　　１００４　ＵＷＢアンテナＲＦスイッチ
　　１００５　信号処理計算機
　　１００６　信号モニタ装置
　　１００７　ＲＦ検波ボード
　　１００８　マルチスタティックアレイアンテナ
　　１００９　メモリ

Claims (11)

  1. 　計測対象の領域の両側に配置され、前記領域へ波動を送信する複数の送信器と、
    　前記両側に配置され、前記領域から前記波動を受信する複数の受信器と、
    　前記複数の送信器及び前記複数の受信器によって得られる計測データと、多重散乱を構成する複数の一次散乱に関する複数の関数の合成との対応付けに従って、前記波動の散乱に関する散乱場関数に対応する映像化関数を導出し、前記映像化関数を用いて前記領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化する情報処理回路とを備える
    　映像化装置。
  2. 　前記情報処理回路は、前記散乱場関数の方程式を前記計測データに基づいて解くことにより、前記散乱場関数に対応する前記映像化関数を導出し、
    　前記散乱場関数は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
     で表現され、（ｘ、ｙ１、ｚ１）は、前記波動の送信位置を示し、（ｘ、ｙ２、ｚ２）は、前記波動の受信位置を示し、ｋは、前記波動の波数を示し、Ｄは、前記領域を示し、（ξ、η、ζ）は、前記波動の反射位置に対応し、εは、前記反射位置における未知の反射率に対応し、ρ１は、前記送信位置から前記反射位置までの距離を示し、ρ２は、前記反射位置から前記受信位置までの距離を示し、
    　前記方程式は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000002
     で表現され、Δ５は、ｘ、ｙ１、ｙ２、ｚ１及びｚ２に関するラプラス作用素を示し、ｃは、前記波動の伝搬速度を示し、ｔは、前記波動の送信から受信までの時間を示す
    　請求項１に記載の映像化装置。
  3. 　前記情報処理回路は、前記計測データに基づいて前記方程式の解析解を導出し、前記解析解に基づいて前記映像化関数を導出し、
    　前記解析解は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000003
     で表現され、ｋｘ、ｋｙ１及びｋｙ２は、前記散乱場関数のｘ、ｙ１及びｙ２に関する波数を示し、ａ（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）は、ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２及びｋに基づく関数を示し、ｓ１（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２）は、ｋｘ、ｋｙ１及びｋｙ２に基づく関数を示し、ｓ２（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２）は、ｋｘ、ｋｙ１及びｋｙ２に基づく関数を示す
    　請求項２に記載の映像化装置。
  4. 　前記情報処理回路は、前記解析解に基づいて、前記映像化関数を導出し、
    　前記映像化関数は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
     で表現され、（ｘ、ｙ、ｚ）は、映像化対象位置を示す
    　請求項３に記載の映像化装置。
  5. 　前記多重散乱は、前記散乱場関数の方程式の４つの基本解に対応するスペクトル空間の４つの関数を用いて表現され、
    　前記計測データと前記４つの関数との関係は、非線形積分方程式で表現され、
    　前記情報処理回路は、
    　前記計測データから、前記非線形積分方程式に従って、前記４つの関数を導出し、
    　前記４つの関数を用いて前記散乱場関数に対応する前記映像化関数を導出する
    　請求項１に記載の映像化装置。
  6. 　前記計測データは、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
     で表現され、Φｉｊで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、２方向に対応する２つの前方散乱と２方向に対応する２つの後方散乱との４つの散乱形態に関する前記計測データに対応し、
    　前記情報処理回路は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000006
     を用いて、多重散乱の影響が除去された
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000007
     を導出し、
    　ａｍ１、ａｍ２、ａｍ３、・・・、ａｍＬで表現されるａ１、ａ２、ａ３及びａ４は、前記４つの散乱形態に関する前記解析解のａ（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）に対応し、ｆ２、ｆ３、・・・、ｆＬは、それぞれ、前記波動の送信から受信までに適用される２回、３回、・・・、Ｌ回の散乱に対応する括弧内の２個、３個、・・・、Ｌ個の変数の積を示し、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000008
     は、ｆ２、ｆ３、・・・、ｆＬの括弧内の２個、３個、・・・、Ｌ個の変数に含まれる座標変数に関する波数ベクトルを示し、
    　前記情報処理回路は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000009
     を前記散乱場関数として用いて、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000010
     を前記映像化関数として導出する
    　請求項４に記載の映像化装置。
  7. 　前記計測データは、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000011
     で表現され、Φｉｊで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、２方向に対応する２つの前方散乱と２方向に対応する２つの後方散乱との４つの散乱形態に関する前記計測データに対応し、
    　前記情報処理回路は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000012
     を用いて、多重散乱の影響が除去された
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000013
     を導出し、
    　ａｍで表現されるａ１、ａ２、ａ３及びａ４は、前記４つの散乱形態に関する前記解析解のａ（ｋｘ、ｋｙ１、ｋｙ２、ｋ）に対応し、Φｍ１ｎ１、Φｍ２ｎ２、Φｍ３ｎ３、・・・、ΦｍＬｎＬで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、前記４つの散乱形態に関する前記計測データに対応し、ｇ２、ｇ３、・・・、ｇＬは、それぞれ、前記波動の送信から受信までに適用される２回、３回、・・・、Ｌ回の散乱に対応する括弧内の２個、３個、・・・、Ｌ個の変数の積を示し、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000014
     は、ｇ２、ｇ３、・・・、ｇＬの括弧内の２個、３個、・・・、Ｌ個の変数に含まれる座標変数に関する波数ベクトルを示し、
    　前記情報処理回路は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000015
     を前記散乱場関数として用いて、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000016
     を前記映像化関数として導出する
    　請求項４に記載の映像化装置。
  8. 　前記計測データは、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000017
     で表現され、Φｉｊで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、２方向に対応する２つの前方散乱と２方向に対応する２つの後方散乱との４つの散乱形態に関する前記計測データに対応し、
    　前記情報処理回路は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000018
     を用いて、多重散乱の影響が除去されたａ１を導出し、
    　δは、デルタ関数を示し、ｋｘａ、ｋｘｂ、ｋｘｃは、ｋｘに対応する変数であり、ｋη及びｋη２は、ｋｙ１に対応する変数であり、ｋη３は、ｋｙ２に対応する変数であり、Ｏ（ａ４）は、４次以上の散乱に対応する項であり、
    　前記情報処理回路は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000019
     を前記散乱場関数として用いて、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000020
     を前記映像化関数として導出する
    　請求項４に記載の映像化装置。
  9. 　前記計測データは、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000021
     で表現され、Φｉｊで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、２方向に対応する２つの前方散乱と２方向に対応する２つの後方散乱との４つの散乱形態に関する前記計測データに対応し、
    　前記情報処理回路は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000022
     を用いて、多重散乱の影響が除去されたａ１を導出し、
    　δは、デルタ関数を示し、ｋｘａ、ｋｘｂ、ｋｘｃは、ｋｘに対応する変数であり、ｋη及びｋη２は、ｋｙ１に対応する変数であり、ｋη３は、ｋｙ２に対応する変数であり、
    　前記情報処理回路は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000023
     を前記散乱場関数として用いて、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000024
     を前記映像化関数として導出する
    　請求項４に記載の映像化装置。
  10. 　前記計測データは、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000025
     で表現され、Φｉｊで表現されるΦ１１、Φ１２、Φ２１及びΦ２２は、２方向に対応する２つの前方散乱と２方向に対応する２つの後方散乱との４つの散乱形態に関する前記計測データに対応し、
    　前記情報処理回路は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000026
     を用いて、多重散乱の影響が除去されたａ１を導出し、
    　δは、デルタ関数を示し、ｋｘａ、ｋｘｂ、ｋｘｃは、ｋｘに対応する変数であり、ｋη及びｋη２は、ｋｙ１に対応する変数であり、ｋη３は、ｋｙ２に対応する変数であり、
    　前記情報処理回路は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000027
     を前記散乱場関数として用いて、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000028
     を前記映像化関数として導出する
    　請求項４に記載の映像化装置。
  11. 　計測対象の領域の両側に配置された複数の送信器によって、前記領域へ波動を送信するステップと
    　前記両側に配置された複数の受信器によって、前記領域から前記波動を受信するステップと、
    　前記複数の送信器及び前記複数の受信器によって得られる計測データと、多重散乱を構成する複数の一次散乱に関する複数の関数の合成との対応付けに従って、前記波動の散乱に関する散乱場関数に対応する映像化関数を導出し、前記映像化関数を用いて前記領域内の物体に含まれる散乱体の３次元構造を可視化するステップとを含む
    　映像化方法。
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