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"Perfeotionnements à la suspension élastique de corps
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vibrants."
La présente invention concerne des perfectionnements apportés à la suspension élastique de corps vibrants, corps solides tels que moteurs ou analogues, dans le but de suppri- mer ou d'atténuer les phénomènes de couplage entre les diver- ses sortes de vibrations possibles.
Pour bien comprendre la nature de l'invention et les moyens qu'elle préconise, et avant de décrire ces derniers il convient de donner quelques développements mathématiques qui ont servi aux demandeurs comme point de départ de l'in- vention.
La position d'un corps solide vibrant dépend de six coordonnées, qui sont les coordonnées de position du oen- tre de gravité, soit ox, oy, oz par rapport à trois axes de
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coordonnées dans l'espace : ox, oy, oz , et trois angles #, #, #, qui caractérisent la rotation du corps autour de trois axea rectangulaires ( les mêmes que précédemment pour simplifier l'exposé).
La force vive T du corps a l'ex- pression générale suivante, en désignant par x la dérivée
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de x par rapport au temps, et de même pour y ,z. 6, etc...: o g ¯oS à M -2 -2 + 'z2) 02 iz f i3 'fi T =-(x + 2 + z + - + ' + ### -2 2 2 2 - il-2 è - - 1z.:3 i - 13. l f e M étant la masse du corps et il ,i2, i3, il, 2 , i2.3, i3.1 étant les moments et produits d'inertie dont la défini- tion est bien connue.
Dans la question envisagée ici, et pour laquelle il s'agit simplement de vibrations de petites amplitudes, le corps retrouve une position de reposa invariable quand au- cune vibration n'est excitée. Il est alors possible de choi- sir le système d'axes rectangulaires qui nermette la mesure de #, #, #, d'une manière telle que les trois produite d'inertie i1.2,i2.3, i3.1 soient nuls. Les axes sont les axes principaux d'inertie du corps solide ; i1.2, i2.3; i3.1 sont alors les moments d'inertie principaux du corps solide.
Il est commode de dire que l'équation :
T = Constante définit, dans un espace à six dimensions où les coordonnées sont : x, y, z, #, #, #, UN ELLIPSOÏDE à six dimen- sions rapporté à ses axes principaux.
Si un corps solide est fixé à des supports élasti- ques par l'une de leurs armature, l'autra armature étant assujettie à un ensemble de corps fixes dans 1'espace, de petits mouvements : x, y , z, #, #, #, engendrent des réactions élastiques dans ces supports, et il est alors pos@ sible de calculer, comme on le montrera plus loin sur des exemples, l'énergie potentielle mise en jeu dans une telle déformation .
Un calcul de ce genre exige simplement la con- naissante des propriétés élastiques des supports et de l'ar- rangement géométrique suivant lequel ils sont montée
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mais le résultat sera que, pour tous les mouvements de fai- ble amplitude de x, y, z, # ,#, #, que l'on a à conei- dérer , l'énergie potentielle des supports élastiques sera
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de la forme : X2 y2 z2 V = Axx- + Ayy 2 + Az z Axy . xy + Ayz. yz + Azx. zx + C)3 p 2 2 A'l1n- + A -L- + Ay.. + A 17 + A + A8 e + Axe x 8 + .AX x + Ax x + YB y" + 1 y 1 + Ayr y + Az8 z8 + AZi zr + AZ ,,; Z f x, y, z, #, #, #, étant naturellement comptés à partir de leur valeur en la position d'équilibre prévue comme zéro.
On peut dire aussi que :
V = Constante est l'équation d'un ellipsoïde dans l'espace à six dimen- sions de coordonnées x, y, z, #, #, #.
Cela étant, les équations du mouvement libre du corps suspendu, écarté de sa position d'équilibre, sont, si # i est l'une quelconque des coordonnées x, y,....etc;
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d T + + d V ... d 11 d li ( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) soit, en supposant pour simplifier que l'on ait pris comme axes fixes, les axes principaux d'inertie du corps dans sa position de repos :
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+Ax+Axyy+ AXZ e l.l=0 m dt2' +4xxX+%yY+"xzz+a+ + Axr 1 + xtr = 0 d2y + Ayx x + Áyy Y + ÁyZ Z + Ay@9+ Áy'f1 + Àyrf = 0
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z m-î-2 d2 z + Azx x + Azy y + Azz z + Azv + Azy + Az' 0 d29 i 1-.----+ Agx x + Ay y + A z + Ag, + A%? + Agy = id I '2 '2 d2,,f x x + A y y + A z + Ar1 9 + A lflf y+ y 0 3 dt d2q) ÏIZ 'y Ay 13 àt A, x + Ary V Arz z + A l7 + Ayf + AWY
Dans ces équations, on a écrit indifféremment Axy ou Ayz (de même pour les termes du même genre) en invertis- sant les indices, pour désigner la même quantité .
L'invention, sous sa forme préférée consiste alors
1 à réaliser les supports élastiques et leur mon- tage d'une manière telle que tous les coefficients à deux indices différents, dans l'énergie potentielle, soit :
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\y ' AZ, 8q ' A Jtf' soient nuls . Plus particulièrement elle consiste à utiliser à cet effet les supports élastiques en caoutchouc adhétent c'est-à-dire en adhésion à des armatures métalliques, pré- sentant des duretés différentes suivant les directions, les- quelles différences de dureté seront utilisées comme il sera expliqué .
2 - réaliser en outre les supports et leur mon- tage d'une manière telle que les fréquences propres :
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rç A 1 Az z 2't'l. \1 -;-; 2 2 m 2 itl- m 1 1 A&&- 1 VAf!; 1 l' A,t 2 -s. il 2 fit.. i2 2 13 SOIENT situées nettement en dehors des domaines de fréquen-' ces où les causes perturbatrices que l'on peut craindre sont susceptibles d'entretenir un état de vibration.
L'ensemble de ces conditions sera dit "conditions de découplage" de la suspension.
On voit que l'invention consiste à arranger les supporte de telle manière que l'ellipsoïde à six dimensions :
V = Constante
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ait ses axes de symétrie qui coïncident en position avec ceux de l'ellipsoïde à six dimensions
T = Constante , le rapport des grandeurs des axes correspondants des deux ellipsoïdes rapport qui détruit les fréquences propres des corps suspendus) étant en outre soumis à la condition qualitative que ces fréquences propres soient nettement hors des domaines des fréquences extérieures ou perturba- trices entretenant les vibrations.
Il peut se présenter également certains cas parti- culiers d'application de l'invention, pour lesquels on est sur que certains modes de vibrations ne seront pas excites,
Par exemple, si la nature du problème veut que ni la vibra- tion linéaire z , ni les rotétions # et # ne soient suscep- tibles d'être.excitées, il est par suite indifférent, au point de vue pratique, d'exiger ou non que les quantités à A#z, A#z , A## soient on non nulles et de soumettre à des restrictions quelconques les rapports
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'A zz 1 8$'<. le - A 4" 4-' z zut h 2
Il est alors entendu que, suivant l'invention on peut se permettre de négliger la réalisation des condi- tions de déoouplage correspondantes.
On doit faire observer ici que les conditions de dé- couplage entre une des rotations 8 ,#, # et l'une des translations x , y , z doivent être considérées comme connues, notamment par les documents suivants : a) "Relations entre la suspension des voitures et leur mouvement de galop" (Y.ROCARD), voit "Le Génie Civil des 12 et 19 Janvier 1935", article dans lequel on donne les conditions pour déooupler, dans un automobile, l'oscillation de galop (rotation autour d'un axe horizon- tal transversal) de l'oscillation de pompage (mouvement vertical de la caisse). b) Brevet français N 815.
491 (Julien et Paulsen) du 28 Mars 1936, pour "Perfectionnements aux dispositifs de fixation des moteurs à explosion ou analogues", dans
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lequel une condition Analogue est indiquée pour une sus- pension de moteur d'aviation, lorsqu'il n'est pas possible de mettre la couronne des supports élastiques dans le plan transversal qui contient le centre de gravité.
Mais, par contre, les autres conditions de découpla- ge ne sont pas connues et leur réalisation par le moyen de supports élastiques doués de duretés différentes suivant los directions sont expressément revendiquées nar l'inven- tion.
On peut évidemment admettre tout sunnort élastique remplissant les conditions posées par l'invention, mais, de préférence, on fera appel à l'emploi, non limitatif de l'invention, à des supporta des types décrits dans les brevets français suivants : Brevet français N 798.631 du 2? Novembre 1935 et Brevet français N 8i7. 656 du 15 Mai 1936.
Les nropriétés élastiques de ces sunnorts, au moins pour ceux affectant une forme géométrique simple, ont fait l'objetd'une étude de Monsieur Y.ROCARD narue dans le Journal de Physique de 1937.
Il suffit de savoir pour ce qui va suivre, que si l'on considère des axes rectangulaires ox , oz , liés à celle des armatures du support qui est fixe, tout déplaee- ment #xi, # yi, #zi et toute rotation ##i, ##i, ##i, de l'autre armature engendrent des forces et couples élas- tiques caractéristiques de la géométrie du sunnort.
Si, par exemple, le support est constitué nar un pe- tit parallèlipipède de caoutchouc en adhésion sur deux ar- matures métalliques parallèles, formant deux faces opposées dudit parallèlipipède, si l'axe ox est normal à ces ar- i matures, avec les axes oy et ozrespectivement normaux aux autres faces, les déplacements en question mettent en jeu : a) une force, de composantes :
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2T L) x sur ox 1 1 1 N . à y sur oy 2 1 lI 6 z suroz
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b) un couple de composantes :
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T d suros i T A sur oy i ± . sur T31 y 1 et l'énergie potentielle, pour ce support particulier, sera :
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V = N ca x i 2 + N (J y i + o N c Z i 2 T + V.J6i) T (d'f) i' i 1 2"- 2 2 3 ##S* 1 T 2 Tl i i i i i T Î'i T i
Saohant comment ce support est orienté par rapport au système d'axes ox , oy ,oz lié aux axes principaux d' inertie du corps suspendu et sachant i à quel pint du corps suspendu il est fixé, il est facile de calculer les dépla-
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cements A x 114 y1 9 0 9 0 0 # 0 il 0 0 qu dy , qui résultent, pour l'armature de ce support, des déplacements x , y , z, # #, # du corps lui-même.
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On obtient ainsi V i en fonction de x , y , z , # qui est la contribution de ce support N i à l'énergie potentielle totale V. Les coefficients A , A ........ xy xz apparaissent ainsi sous la forme :
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A m S (A ) A (au) xy i xy i A 8' Gi i 1 de coefficients analogues définis pour chaque support, et pour réaliser les conditions :
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Axy. 0 AB'f' = 0 dispose, xy iii, AOt = 0 surabondants on dispose, suivant l'invention, de moyens surabondants consistant soit à annuler séparément les coefficiants (A ) xy i par une orientation convenable des supports at- tachée en des points donnés, soit à annuler des ensembles #(A) .........en donnant une certaine symétrie à la xy i disposition des points où 1(on attache des supports
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On va maintenant décrire, à titre d'exemples.. des modes particuliers de réalisation de l'invention, qui en feront encore mieux comprendre la nature et qui donneront les moyens voulus pour utiliser les supports à dureté va- riable selon les directions afin de réaliser les conditions requises par l'invention.
La fig.l représente, vu de face (le moteur non re- présenté) un moteur d'aviation en étoile, dont on voit le profil en fig. 2, qui doit être suspendu par un certain nom- bre de supports : 1 , 2 , 3 , 4 , à nlacer dans un plan. En outre, pour des raisons de place et d'encombrement, les sup- ports sont obligatoirement placés aux positions fixes indi- quées et il n'est pas possible de les répartir symétrique- ment en haut et en bas. Dans ces conditions, on voit que, si les supports 3 et 4 sont identiques et symétriquement placés par rapport à oz , une vibration du moteur est bien découplée d'une vibration verticale z, mais qu'elle ne l'est pas nécessairement d'une vibration horizontale x.
On va voir qu'on peut arriver à obtenir ce découplage si les supports individuels : 1, 2, 3, 4 ont des duretés radiales K1 K2 K3 K4 et tangentielles H1 H2 H3H4 différentes entre elles, avec des supporte précisément imposés par l'invention.
On suppose que les directions radiales et tangentiel.' les sont des axes de symétrie pour chaque support. Les sup- ports 3 et 4 sont situés chacun dans un angle [alpha], comme in- diqué sur la figure. Dans ces conditions, on trouve que l'é-
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nergie potentielle de la suspension, pour des mouvements etiseuie à envisager est 2 2 2 V = (H + H + a K3 000 0( 2, + 2 H 9in p( ) + 12 ( H (3) ( H - sinol) xR é (H H H (H- H+ H sin (J() erf 1 2 3" 1 2 3 Comme d'autre part, la force vive est simplement :
2 .2 T = i -E-''i1..¯, 2 2 xi (formule dans laquelle m s masse du moteur, i=moment d'iner- tie pour la rotation #, R@ rayon du cercle des supports) et ne contient pas de termes rectangles, les conditions de
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déoouplage du mouvement x et du mouvement # va être :
N -H + 2 H sin [alpha] = 0 (1)
1 2 3
Donc d'après l'invention, on choisira le support du bas avec une dureté tangentielle H plus grande que H et telle qu'elle soit égale à (H # sin [alpha]). Comme d'autre part K K K sont déterminées par d'autres condi-
1 2 3 tions, fréquence d'oscillation verticale notamment, on conçoit que pour réaliser dans tous les cas la relation (1 il faille disposer des supports non identiques et pour les- quels les rapports :
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.11 H H ' ' 1 K ##K## t 1 1 2 3 soient exactement déterminés .
Un cas remarquable mérite une mention spéciale : c'est celui où les supports, du type à caoutchouc adhèrent travaillant au cisaillement dans deux directions corres- pondant à deux degrés de liberté, ou trois degrés s'il s'y ajoute une rotation dans ce plan, qu'il s'agit de découpiez.
Dans ce cas, les duretés Ket H principales dans ce plan sont les mêmes et elles sont égales à la dureté apparente du support pour toute direction de ce plan. Si l'on reprend dans un tel cas l'étude du montage de la fig.l et si l'on suppose (fig. 3 et 4) , par exemple dans un tel cas, pour plus de simplicité, que les supports 1 , 3 , 4 sont identiques, la condition de découplage trouvée, qui était :
H - H + 2 H sin [alpha]= 0
1 2 3 devient K 2 = K 1 (1+2 sin [alpha]) ) par conséquent le dosage du support des duretés K /K
2 1 suffira toujours à assurer le découplage, quelle que soit la position imposée d'avance des supports 3 , 4 .
Un autre cas caractéristique est celui des fig. 5 et 6 , qui représentent, vu de côté et en plan , un moteur d'automobile 5 reposant sur trois supports élastiques 1 3 , 3' par exemple. Ce moteur transmet une rotation, avec
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des oscillations de couple, à un axe horizontal Gh et ses axes principaux d'inertie G , G août inclinés. Il en ré- x z sulte que les oscillations de couple d'axe horizontal se traduisent non seulementpar une oscillation autour de G x (composante Ga du couple constituant un roulis), mais aussi par une oscillation autour de oz (composante de couple Gb couple de lacet). Il y a en outre à considérer des oscilla- tions de tangage qui résultent du fait que les for- ces alternatives appliquées par le fonctionnement même du moteur ne passent pas par le centre de gravité G .
D'après l'invention, on fixe le moteur sur trois supports élastiques seulement :1 , 3, 3' ; le support 1 étant situé sur l'axe Gx vers l'arrière, et 3' étant si- tués à l'avant du centre de gravité G . La position exacte de 1 est déterminée d'une manière connue, par exemple comme indiqué dans le brevet français N 750.029 du 16 Avril 1932 et le brevet français N 782.906 du 9 Hars 1934 , de maniè- re que 1 soit situé au centre de percussion correspondant aux forces alternatives appliquées au moteur.
Mais d'après les brevets français qui viennent d'être cités, il n'est nécessaire de donner à ce sunnort qu'une élasticité dans le sens vertical, D'après l'invention, au co@traire, on vise à découpler les oscillations de lacet et de roulis (qui sont forcément excitées dans le cas supposé) des os- cillations de translation, et aussi entre elles, dans le but de maintenir plus aisément les fréquences de résonance de tous cee mouvements dans une gamme dangereuse. L'identi- té et la symétrie de la position des supports 3 et 3' assu- rent déjà ce résultat pour le roulis.
La détermination de la dureté de ces supports dans le sens du roulis relève d' ailleurs de la technique connue en France sous le nom de "moteur flottant" ..Pour arriver au découplage du lacet, on donne alors aux supports en caoutchouc adhérent, préfé- rés par l'invention, des duretés horizontales (plan x y) K1 H1 et K3 Htelles que l'oscillation naturelle de lacet se fasse autour de G.
Pour cela, on écrit la formule de l'énergie poten- tielle V pour des mouvements x , y, # du moteur, en sup-
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posant que les duretés K H, K H sont les duretés princi-
1 1 3 3 pales de leurs supports respectifs .
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On trouve que cette'énergie potentielle vaut : 2 2 2': V'= ( K + 2 K sin 0(. + 2,H Goo c. x + 13 2 ( H + 2 K 000 2' 01.. +2 H a ih 2 c;I.) Y + 15 ( Hd + 2 H d (7 + (Hd - 2 X d sin ol l'y f 11 33-Z- 11 33
Comme le mouvement du corps est ramené à ses axes principaux d'inertie, la condition pour qu'il y ait décou- plage entre y et est donc simplement :
H d = 2 H d sin [alpha]
1 1 3 3
On voit qu'elle ne fait pas intervenir les duretés radiales des supports et que les couplages du mouvement x et du mouvement # sont interdits par les/asymétries du pro- blème traité.
Bien entendu, le problème serait au même ordre si l'on prévoyait plus de trois supports; quatre par exemple.
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