Einrichtung zur digitalen Berechnung von Randbedingungen I oder II. Art der partiellen Differentialgleichungen II. oder IV. Ordnung, die einen elektrischen Analogrechner ergänzt
Die Erfindung betrifft eine Einrichtung zur digitalen Berechnung von Randbedingungen 1. oder II. Art der partiellen Differentialgleichungen II. oder IV. Ordnung, die einen elektrischen Analogrechner mit einem passiven, ein elektrisches Analogon bildenden elektrischen Netz zur Lösung partieller Differentialgleichungen II. oder IV. Ordnung ergänzt.
Bei der Lösung partieller Differentialgleichungen der II. oder IV. Ordnung, bzw. deren Systeme, auf der Basis des elektrischen Analogons, z. B. mittels eines Widerstandsnetzes, sind in den Randbereichen der Lösung bestimmte Randbedingungen zu erfüllen. Bei Randbedingungen der 1., II. oder III. Art verursacht ihre Verwirklichung auf dem elektrischen Analogen keine Schwierigkeiten. Gehören die mathematisch beschriebenen Randbedingungen jedoch nicht der 1., II. oder III. Art an, kann die Aufgabe nur über versuchsweise ausgeführte Approximationen gelöst werden, welche allgemein gar nicht konvergieren müssen. Das Approximationsverfahren ist zu arbeitsintensiv und führt nur zur begrenzten Genauigkeit.
Eine bestimmte Verbesserung erzielt man durch eine Einrichtung, bei der die Unterschiede zwischen dem verlangten Wert der Randbedingung und dem gerade eingestellten Wert in den einzelnen Randpunkten des Lösungsbereiches auf eine Oszilloskopbildröhre projiziert werden.
Dadurch ist es möglich, in einem bestimmten Punkt den Einfluss der Randbedingungsveränderung auf den Wert der Randbedingungen in anderen Randpunkten des Bereiches müheloser zu verfolgen. Das Approximationsverfahren lässt sich beschleunigen. Für eine grössere Anzahl von Punkten auf dem Rande des Bereiches wird auch dieses Verfahren unübersichtlich und hat sich praktisch nicht bewährt.
Die angeführten Nachteile beseitigt die Erfindung. Sie ist dadurch gekennzeichnet, dass an einem eine Quelle für Fortschaltimpulse bildenden Programmregler ein Umschalter angeschlossen und der Eingang des Umschalters mit einer Quelle der Randbedingung der 1. oder II. Art verbunden ist, wobei die Randpunkte des Analogons am Ausgang des Umschalters anliegen, wo n eine ganze Zahl zwischen 2 und 2000 ist, und dass der Programmregler in den Stromkreisen eines Digital-Analogwandlers und eines Registriergerätes eingeschaltet ist, wobei die Eingangsklemmen des Digital-Analogwandlers an zwei beliebige Randpunkte des Analogons anschliessbar und der Eingangskreis des Registriergerätes am Ausgang des Digital Analogwandlers angeschlossen ist, wodurch die Quelle der Randbedingung 1. und II.
Art nacheinander in die einzelnen Randpunkte des Netzes einschaltbar ist und der Analog-Digitalwandler sowie das Registriergerät die erzeugte Spannungsdifferenz festhalten können.
Im folgenden wird ein Ausführungsbeispiel der Erfindung anhand der Zeichnungen näher beschrieben.
Die Einrichtung besteht gemäss Fig. 1 aus einer Quelle 1 der konstanten Spannung oder des konstanten Stromes (Einheitsrandbedingung der 1. oder 11. Art), aus einem Umschalter 2 eines Programmreglers 3 und eines Digital-Analogwandlers 4, der z. B. ein Voltmeter ist, und aus eineni Registriergerät 5, z. B. einem Tastenlocher. Die gesamte Einrichtung gibt die Angaben eines Widerstandsanalogons 6 auf eine digitale Rechenanlage 7.
Der Programmregler 3 schaltet mittels des Umschalters 2 die Einheitsrandbedingung der 1. oder 11. Art mittels der Quelle 1 auf die n Randpunkte (n bedeutet eine Anzahl von Punkten auf dem Rande des gelösten Bereiches, in welchem die Randbedingung der 1. oder 11. Art gesucht wird) des gelösten Bereiches um, wobei der Programmreg ler 3 dem Digital-Analogwandler 4 einen Befehl zum Messen der gesuchten Grösse gibt, die auf dem Lochband mittels des Tastenlochers 5 als Randbedingung in einem bestimmten Randpunkt registriert ist.
Nach dem Durchgang von n Randpunkten wird der Eingang des Digital-Analogwandlers 4 auf den weiteren Analograndpunkt umgeschaltet. Dieses wiederholt sich.
Auf diese Weise gewinnt man eine Matrix von registrierten n Werten, welche die n Koeffizienten der algebraischen Gleichungen von n Unbekannten enthält, welche mittels der digitalen Rechenanlage gelöst werden.
Durch das oben angeführte Verfahren werden die Werte der Randbedingungen der 1. oder II. Art errechnet, welche beim Einstellen im Analognetz die durch ein anderes Verfahren gegebenen Randbedingungen erfüllen.
Wenn dem Eingang des Digital-Analogwandlers 4 die gegebene Grösse nicht direkt zugeführt wird und diese aus einem oder mehreren gemessenen Werten durch eine begrenzte Anzahl von mathematischen Operationen zu berechnen ist, wiederholt sich das obenerwähnte Messverfahren für alle in der Berechnung der Randbedingung auftretenden Grössen. Mit den gewonnenen und registrierten Werten führt die digitale Rechenanlage die Rechenoperationen durch. welche zur Berechnung der Grösse der Randbedingungen führen. Erst aus den so berechneten Werten, welche eine Matrix von n2 Werten bilden und die n lineare Gleichungen von n Unbekannten bedeuten, werden die Randbedingungen der 1. oder 11. Art berechnet.
Der Vorteil der Verbindung von Digital- und Analog Rechnung liegt in der Geschwindigkeit und Präzision bei der Festlegung der Randbedingung. Auf diese Weise sind Berechnungen von z. B. Temperaturspannungen oder von Kräftebeanspruchungen ohne weiteres möglich.
Ein Anwendungsbeispiel sei im folgenden kurz erwähnt: In der Festigkeitstheorie bedeutet eine Verschiebung die Lageänderung eines Körperpunktes, welche durch Deformation verursacht wurde. Solche Verschiebungen werden in diesem Anwendungsbeispiel am elektrischen Analogrechner mittels eines elektrischen Widerstandsnetzes gelöst. In diesem Fall entspricht die Verschiebung dem Potential am Widerstandsnetz. Als Randbedingungen sind mechanische Spannungen in einzelnen Randpunkten vorgegeben. Die Spannungen sind durch folgende Gleichung gegeben: au au
T1 E (i + Q) ( + v ay )
1-v
In dieser Gleichung bedeuten E den Elastizitätsmodul, v die Poissonsche Zahl und g die räumliche Deformation.
Diese Randbedingung gehört weder der 1. noch der II.
Art an und kann daher nicht direkt in den Rechner eingegeben werden. Mit Hilfe der beschriebenen Einrichtung werden in den einzelnen Punkten die durch das Einschalten der Randbedingung z. B. II. Art erzeugten Spannungsdifferenzen gemessen und registriert, welche dem Wert #u du bzw. au bzw.
#x #x entsprechen.
Diese registrierten Werte bilden eine Matrix, aus welcher die Werte der Randbedingung der 11. Art mit einem Digitalrechner berechnet werden können, die den durch die Gleichung gegebenen Randbedingungen entsprechen.
Als weiteres Anwendungsbeispiel wird die Lösung eines ebenen Spannungszustandes des in der Fig. 2 gezeigten Körpers beschrieben. Zur Lösung dieses Problems benutzt man z. B. das Lamesche Gleichungssystem
1 be Au = - 1-2v ax
1 de 1-2v By #v by
In diesem Gleichungssystem bedeuten u und v die Komponenten der Verschiebung in der x- und y-Richtung, v die Poissonsche Zahl, e = ±x + sy + gz die räumliche Deformation. Dieses System kann man prinzipiell mit Hilfe eines Analogrechners mit dem elektrischen Widerstandsnetz lösen. Dazu wird das zu lösende Feld mittels eines Netzes in genügend kleine Einheiten gemäss Fig. 2 aufgeteilt und der Körper durch zwei Netze von elektrischen Widerständen ersetzt.
Das eine Widerstandsnetz dient zur Lösung der ersten Gleichung. Das zweite Netz dient zur Lösung der zweiten Gleichung. In jedem Punkt des Netzes wird ein der rechten Seite der Gleichung proportiona ler Strom eingeführt, der iterativ bestimmt wird. Weiter müssen die Randbedingungen, d. h. die Ströme oder Spannungen am Rande des Feldes, eingeführt werden. Diese Randbedingungen sind in diesem Fall folgendermassen vorgegeben: Am Abschnitt AB ist die Randbedingung v - 4u, dz was bedeutet, dass die Verschiebung in der y-Richtung null ist.
Mathematisch bedeutet dies eine Randbedingung 1. Art, die durch den bekannten Wert der gesuchten Funktion am Rande gekennzeichnet ist. Diese Randbedingung wird dadurch erfüllt, dass die Randpunkte des Netzes mit dem Potential Null verbunden werden. An den anderen Seiten AC, CD und BD sind normale Spannungen a gegeben, die den Wert 6n = o, bzw. 0' = < 1) besitzen.
Diese norma- len Spannungen sind mit Verschiebungen folgender Gleichungen verbunden: An der Seite CD
E =, = E E av y au
1' y I¯yg E , (ey + veX) = I¯y 8y + v ) v-) (1)
An den Seiten AC und BD #n = #x = ---(#x + V #y) = "n = (7x = 1 + l-y- l-v" 8x + }t 6Y (2)
Daneben muss an den Seiten AC und BD und CD gelten: d = o, y = (1) ay ax
Das bedeutet, dass die Schubspannungen am Rande null sind. Diese so formulierten Randbedingungen können nicht direkt in das Widerstandsnetz eingeführt werden, wie das für die Seite AB möglich war.
Die Lösung der Randbedingungen ist auf folgende Weise möglich: Führt man in einen beliebigen Randpunkt an den Seiten AC, BC oder CD des Widerstandsnetzes einen vorgegebenen Strom ein, z. B. 1 mA, so kann man allgemein in der Nähe von allen Punkten n des Randes des ersten Netzes die Ableitungen auf und au ax man feststellen. Auf ähnliche Weise kann man bei dem zweiten Widerstandsnetz vorgehen und ähnliche Ableitungen av av (ax)m.n und ( djy )m,n gewinnen. Mit Hilfe der Gleichungen (1) und (2) werden dann aus vier gleich bezeichneten Ableitungen die Werte (Cyn)m,n und (0't)m.n für alle Randpunkte durch den im vorgegebenen Randpunkt eingegebenen Einheitsstrom bestimmt.
Nun ergibt sich die Aufgabe, solche Ströme in die einzelnen Randpunkte einzugeben, dass die Werte an und o, den gegebenen Wert in allen Punkten einnehmen. Das geschieht durch Lösung eines Satzes von 2 n linearen Gleichungen mit 2 n Unbekannten, aus welchen die notwendigen Werte der Ströme berechnet werden können, die in die einzelnen Randpunkte eingeführt werden müssen zur Erfüllung der vorgegebenen Randbedingungen.
Diese Aufgabe wird mit der Einrichtung der Fig. 1 gelöst, indem die einzelnen Werte der Ableitungen, die durch den gegebenen Strom (z. B. 1 mA) verursacht sind, gemessen werden und von der Einrichtung auf den Digitalrechner übertragen werden. Der Digitalrechner verwendet die hierdurch entstandenen Matrizen zur Lösung von Unbekannten der in die Randpunkte einzuführenden Ströme.