CN103176406B - 一种连续时间滤波器转换成离散时间滤波器的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供连续时间滤波器转换成离散时间滤波器的方法，采样被控系统输入量和输出量，利用辨识算法获得系统的连续时间模型；根据连续时间模型构建连续时间滤波器；根据连续时间滤波器方程中的系数、及离散系统的采用时间，采用偏微分方程的方法计算离散时间滤波器系数矩阵；构建离散时间滤波器结构。本方法对已设计得到的连续时间滤波器进行离散变换，得到离散时间滤波器，与当前的离散滤波器设计方法相比，减少了对被控对象进行离散化的过程和基于离散系统进行滤波器设计的过程，利用了基于连续时间系统滤波器设计理论的优势，设计不仅能够设计得到性能优异的滤波器，而且还能节省系统设计和开发时间，非常适合数字控制系统的工程实际应用。

Description

一种连续时间滤波器转换成离散时间滤波器的方法

技术领域

本发明涉及钢铁冶金行业中工业自动控制系统设计领域，具体涉及一种连续时间滤波器转换成离散时间滤波器的方法。

技术背景

经典控制理论和现代控制理论都是以连续时间模型为研究对象，很多成熟的滤波器设计理论也是基于连续时间滤波器结构进行设计的，而当前已经进入数字控制时代，连续时间形式的滤波器需要转换成离散时间形式才能应用于实际。目前离散时间滤波器设计有专门的设计方法，但是那些设计方法的基础是离散时间的被控对象模型，而且滤波器特性设计也必须转换成离散系统中的形式，对于设计者来说往往带来不便。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：提供一种连续时间滤波器转换成离散时间滤波器的方法，既不影响对连续时间被控对象的分析，又能将设计得到的滤波器应用于数字控制系统中。

本发明为解决上述技术问题所采取的技术方案为：一种连续时间滤波器转换成离散时间滤波器的方法，其特征在于：它包括以下步骤：

S1、采样被控系统输入量和输出量，利用辨识算法获得系统的连续时间模型；

S2、根据连续时间模型构建连续时间滤波器；

S3、根据连续时间滤波器方程中的系数、及离散系统的采用时间，采用偏微分方程的方法计算离散时间滤波器系数矩阵；

S4、构建离散时间滤波器结构。

按上述方案，所述的步骤S1中，连续时间模型为 $\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)+B_{\mathrm{\ω}}w\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Cx}\left(t\right)+v\left(t\right)\end{array}\right.,$ 其中x(t)是t时刻系统的状态量，表示x(t)的微分，u(t)为输入量、y(t)为输出量，w(t)为1×1过程随机噪声，v(t)为测量随机噪声，A、B、C、B_ω为状态方程系数矩阵，且A为n×n矩阵，B为n×1矩阵，C为1×n矩阵，B_ω为n×1矩阵。

进一步的，所述的步骤S2中，构建的连续时间滤波器公式为：其中是x(t)的估计值，K是滤波器增益矩阵；

所述的步骤S3中，离散时间滤波器系数矩阵包括AD、BD、KD，

计算公式分别为：

$\mathrm{AD}=e^{(A-K\×C)T_S},$ $\mathrm{BD}={\∫}_0^{T_S}{e}^{(A-\mathrm{KC})t}\mathrm{dt}\×B,$ $\mathrm{KD}={\∫}_0^{T_S}{e}^{(A-\mathrm{KC})t}\mathrm{dt}\×K,$

其中T_S为离散系统的采样时间，t为积分时间变量；

所述的步骤S4中构建的离散时间滤波器结构为：

$\hat{x}(k+1)=\mathrm{AD}\×\hat{x}\left(k\right)+\mathrm{BD}\×u\left(k\right)+\mathrm{KD}\×y\left(k\right),$

其中为T_S×k时刻系统估计状态，k为大于零的正实数。

本发明的有益效果为：本方法对已设计得到的连续时间滤波器进行离散变换，从而得到离散时间滤波器，与当前的离散滤波器设计方法相比，减少了对被控对象进行离散化的过程和基于离散系统进行滤波器设计的过程，利用了基于连续时间系统滤波器设计理论的优势，设计不仅能够设计得到性能优异的滤波器，而且还能节省系统设计和开发时间，非常适合数字控制系统的工程实际应用。

附图说明

图1为本发明一实施例的流程图。

图2为无功补偿装置第一种状态估计值曲线。

图3为无功补偿装置第二种状态估计值曲线。

图4为无功补偿装置输出无功功率曲线与估计输出曲线。

具体实施方式

图1为本发明一实施例的流程图，它包括以下步骤：S1、采样被控系统输入量和输出量，利用辨识算法获得系统的连续时间模型；S2、根据连续时间模型构建连续时间滤波器；S3、根据连续时间滤波器方程中的系数、及离散系统的采用时间，采用偏微分方程的方法计算离散时间滤波器系数矩阵；S4、构建离散时间滤波器结构。

步骤S1中，连续时间模型为 $\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)+B_{\mathrm{\ω}}w\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Cx}\left(t\right)+v\left(t\right)\end{array}\right.,$ 其中x(t)是t时刻系统的状态量，表示x(t)的微分，u(t)为输入量、y(t)为输出量，w(t)为1×1过程随机噪声，v(t)为测量随机噪声，A、B、C、B_ω为状态方程系数矩阵，且A为n×n矩阵，B为n×1矩阵，C为1×n矩阵，B_ω为n×1矩阵。

步骤S2中，构建的连续时间滤波器公式为：其中是x(t)的估计值，K是滤波器增益矩阵。

步骤S3中，离散时间滤波器系数矩阵包括AD、BD、KD，

计算公式分别为：

$\mathrm{AD}=e^{(A-K\×C)T_S},$ $\mathrm{BD}={\∫}_0^{T_S}{e}^{(A-\mathrm{KC})t}\mathrm{dt}\×B,$ $\mathrm{KD}={\∫}_0^{T_S}{e}^{(A-\mathrm{KC})t}\mathrm{dt}\×K,$

其中T_S为离散系统的采样时间，t为积分时间变量。

所述的步骤S4中构建的离散时间滤波器结构为：

$\hat{x}(k+1)=\mathrm{AD}\×\hat{x}\left(k\right)+\mathrm{BD}\×u\left(k\right)+\mathrm{KD}\×y\left(k\right),$

其中为T_S×k时刻系统估计状态，k为大于零的正实数。

下面结合具体实例对本发明做进一步说明。

某钢厂6.5kV母线上接有一台TCR型无功补偿装置，每相电抗电感量L＝18.7mH，利用开环控制对补偿装置进行模型辨识实验，采样1秒钟内晶闸管控制角u(t)和系统输出的无功功率y(t)，采样周期为T_S＝0.0001秒，利用连续时间状态方程辨识方法获得无功补偿装置系统模型为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}-10.9025531534668& -188.7790221402286\\ 148.7801599579912& 2.4037216595325\end{array}\right]x\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}-1856.51\\ -115.25\end{array}\right]u\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}-0.0017876\\ -0.0117144\end{array}\right]w\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{cc}21765000& -4458700\end{array}\right]x\left(t\right)+v\left(t\right)\end{array}\right.$

按照卡尔曼滤波器设计方法可得卡尔曼布希滤波器增益矩阵K为：

$K=\left[\begin{array}{c}-0.001638768022482\\ -0.011733290026127\end{array}\right]$

则按照步骤S2构造卡尔曼布希滤波器，其表达式为：

$\stackrel{\·}{\hat{x}}\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}-10.9025531534668& -188.7790221402286\\ 148.7801599579912& 2.4037216595325\end{array}\right]\hat{x}\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}-1856.51\\ -115.25\end{array}\right]u\left(t\right)$ $+\left[\begin{array}{c}-0.001638768022482\\ -0.011733290026127\end{array}\right](y\left(t\right)-\left[\begin{array}{cc}21765000& -4458700\end{array}\right]\hat{x}\left(t\right)).$

将上述卡尔曼布希滤波器化简可得：

$\stackrel{\·}{\hat{x}}\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}35656.9& -7495.6\\ 255524.1& -52312.9\end{array}\right]\hat{x}\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}-1856.51\\ -115.25\end{array}\right]u\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}-0.001638768022482\\ -0.011733290026127\end{array}\right]y\left(t\right).$

上述矩阵 $A-\mathrm{KC}=\left[\begin{array}{cc}35656.9& -7495.6\\ 255524.1& -52312.9\end{array}\right],$ 则利用步骤S3计算系数矩阵 $\mathrm{AD}=e^{{\mathrm{AT}}_S}=\left[\begin{array}{cc}2.452598527193898& -0.336557186227178\\ 11.473252509925388& -1.497320942505076\end{array}\right];$

系数矩阵BD：

$\mathrm{BD}={\∫}_0^{T_S}{e}^{(A-\mathrm{KC})t}\mathrm{dt}\×B=\left[\begin{array}{c}-0.36920844550756081862953751393513\\ -1.4017445244134212603146452327079\end{array}\right];$

系数矩阵KD：

$\mathrm{KD}={\∫}_0^{T_S}{e}^{(A-\mathrm{KC})t}\mathrm{dt}\×K={10}^{-6}\×\left[\begin{array}{c}-0.066992584219293\\ -0.527939339286366\end{array}\right].$

在获得上述离散系数矩阵AD、BD、KD的基础上，便可以构造离散时间形式的卡尔曼布希滤波器，其结构如下：

$\hat{x}(k+1)=\left[\begin{array}{cc}2.452598527193898& -0.336557186227178\\ 11.473252509925388& -1.497320942505076\end{array}\right]\hat{x}\left(k\right)$ $+\left[\begin{array}{c}-0.36920844550756081862953751393513\\ -1.4017445244134212603146452327079\end{array}\right]u\left(k\right)+{10}^{-6}\×\left[\begin{array}{c}-0.066992584219293\\ -0.527939339286366\end{array}\right]y\left(k\right).$

为了验证本发明提出的离散时间滤波器转换方法的正确性，本文将上述转换得到的离散形式滤波器代入实际系统进行测试，获得了如附图2和附图3所示的2种状态估计曲线，由于估计的系统状态无法与实际的状态之间进行对比，为了验证观测值与实际值之间的误差，将根据估计状态计算得到的估计输出与实际输出进行了对比，其曲线如附图4所示。

从附图4中可以发现，估计得到的输出值与实际的输出值之间几乎重合，足以表明离散化的卡尔曼布希滤波器具有很好的估计效果，完全具有基于连续时间系统设计得到的状态观测性能，验证了本发明提出的连续滤波器转换成离散时间滤波器的方法的正确性和科学性。

Claims (1)

1.一种连续时间滤波器转换成离散时间滤波器的方法，其特征在于：它包括以下步骤：

S1、采样被控系统输入量和输出量，利用辨识算法获得系统的连续时间模型；

S2、根据连续时间模型构建连续时间滤波器；

S3、根据连续时间滤波器方程中的系数、及离散系统的采样时间，采用偏微分方程的方法计算离散时间滤波器系数矩阵；

S4、构建离散时间滤波器结构；

所述的步骤S1中，连续时间模型为 $\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)+B_{\mathrm{\ω}}w\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Cx}\left(t\right)+v\left(t\right)\end{array}\right.,$ 其中x(t)是t时刻系统的状态量，表示x(t)的微分，u(t)为输入量、y(t)为输出量，w(t)为1×1过程随机噪声，v(t)为测量随机噪声，A、B、C、B_ω为状态方程系数矩阵，且A为n×n矩阵，B为n×1矩阵，C为1×n矩阵，B_ω为n×1矩阵；

所述的步骤S2中，构建的连续时间滤波器公式为： $\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}\left(t\right)=A\hat{x}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)+K(y\left(t\right)-C\hat{x}\left(t\right)),$ 其中是x(t)的估计值，K是滤波器增益矩阵；

所述的步骤S3中，离散时间滤波器系数矩阵包括AD、BD、KD，

计算公式分别为：

$\mathrm{AD}=e^{(A-K\×C)T_s},\mathrm{BD}={\∫}_0^{T_s}{e}^{(A-\mathrm{KC})t}\mathrm{dt}\×B,\mathrm{KD}={\∫}_0^{T_s}{e}^{(A-\mathrm{KC})t}\mathrm{dt}\×K,$

其中T_s为离散系统的采样时间，t为积分时间变量；

所述的步骤S4中构建的离散时间滤波器结构为：

$\hat{x}(k+1)=\mathrm{AD}\×\hat{x}\left(k\right)+\mathrm{BD}\×u\left(k\right)+\mathrm{KD}\×y\left(k\right),$

其中为T_s×k时刻系统估计状态，k为大于零的正实数。