CN116679570B - 具有输入时滞和状态约束的非线性系统的自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种具有输入时滞和状态约束的非线性系统的自适应控制方法,属于自适应控制、状态约束和输入时滞的技术领域。该方法首先，通过结合自适应控制与参数分离法来处理系统的参数非线性。将Pade逼近法与障碍Lyapunov函数(BLF)结合在统一框架内，解决了由输入时滞与状态约束引起的不确定性。基于反步设计过程，并结合严谨的稳定性分析得到一个自适应状态反馈控制策略。经验证，闭环系统中所有信号都是一致最终有界的；系统的跟踪误差总能收敛到原点的一个小的邻域内；系统的状态从未违背约束限制。最后，将所设计的控制器应用到单连杆机械臂系统中证明控制策略的有效性。

Description

具有输入时滞和状态约束的非线性系统的自适应控制方法

技术领域

本发明涉及自适应控制、状态约束和输入时滞的技术领域，具体涉及一种具有输入时滞和状态约束的非线性系统的自适应控制方法。

背景技术

由于非线性系统普遍存在于化学反应系统、机械臂系统、无人机系统等实际工程系统中，且其对应的控制问题一直是控制领域的研究热点，因此引起了许多学者的广泛关注和研究。针对不确定非线性系统，利用自适应技术、参数分离法以及反步法(backstepping)相结合的方式，能有效解决非线性系统在参数不确定条件下的控制器设计问题。近些年来，非线性系统控制得到了广泛地研究和发展，但由于约束、时滞以及其他不确定因素的存在，使得许多非线性系统的控制问题长期悬而未决。

系统的稳定以及安全运行是非线性控制的目标之一。由于被控对象本身特性以及环境的影响，实际的非线性系统不可避免的会受到多种因素的限制，我们将这种限制称作非线性系统的约束控制问题。非线性系统的约束包含输入、输出以及状态约束，违背这些约束可能导致实际系统性能下降甚至是破坏系统的稳定性，使系统无法正常运行从而导致一些不必要的损失。近年来，有研究引入了障碍李雅普诺夫函数(BLF)控制方法，成为解决输出或状态约束非线性系统控制问题的一个重要且有效的工具。此后，非线性约束控制问题引起了广泛关注，并取得了许多成果。

另一方面，时滞是许多实际系统中普遍存在的现象，输入时滞作为时滞问题中的一类，其有各种形式，如在实际系统中的物理传输延迟、计算延迟等都可以等效为输入时滞的问题。时滞往往会导致控制系统性能下降甚至是破坏系统的稳定性，同时也给系统的分析与控制带来了很大的困难。对于具有输入时滞的非线性系统，Pade逼近法是目前处理输入时滞问题的有效方法之一，借助于此方法产生了许多非线性系统的控制方案。尽管目前已有大量的文献研究了具有时滞的非线性系统的控制问题，但具有输入时滞的状态约束非线性系统的控制成果却很少。不仅如此，除了约束和时滞问题，系统的参数不确定性也是导致系统不稳定和性能下降的重要因素。参数分离引理为处理具有参数不确定性的非线性系统提供了一种新的方法。近些年已有许多文献将自适应控制以及BLF相结合来处理具有参数不确定项的约束非线性系统的控制问题。

从实际应用角度来看，对于具有输入时滞和状态约束的非线性系统，考虑其参数不确定性问题并为系统设计控制方案是非常有意义的。据作者所知，目前对于同时具有输入时滞、状态约束以及参数不确定项的非线性系统的控制器设计问题还没有相关研究结果。受上述讨论的启发，本发明将研究一类具有输入时滞和参数不确定项的状态约束非线性系统的状态反馈控制问题。

发明内容

根据上述提出的对于约束非线性系统控制存在的一系列问题，本发明提出一种具有输入时滞和状态约束的非线性系统的自适应控制方法。本发明的技术方案具体步骤如下：

1.一种具有输入时滞和状态约束的非线性系统的自适应控制方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤1、建立具有输入时滞和状态约束的非线性系统方程：

其中为系统的状态变量，为n维的实数空间，且为状态x_i的一阶导数，为状态x_n的一阶导数；是由状态x₁,...,x_i组成的状态向量，为i维实数空间；u为系统的控制输入，且 为实数集；θ为不确定参数项，且 为d维实数空间；i与n都表示系统的阶数，对于为函数且有f₁(0,θ)＝0,函数为具有连续一阶偏导数的函数集合；d_i(t)表示第i阶系统中有界的外部扰动，d_n(t)表示第n阶系统中有界的外部扰动；τ＞0表示输入时滞，t表示t时刻；

步骤2、利用Pade逼近法处理非线性系统的输入时滞，根据拉普拉斯的时滞定理得出：

其中，l{·}表示拉普拉斯变换过程，s为拉普拉斯变量；

随后引入中间变量x_n+1,其满足

由(3)可知

根据拉普拉斯变换与(4)可以得到

结合系统(1)，(3)与(5)可得如下新系统

其中，η为定义的中间变量且f_n(x,θ)为系统的非线性函数。

步骤3、引入状态坐标变换

并定义自适应参数如下

其中，z₁,...,z_i,...,z_n为坐标变换后系统的状态；Θ为自适应参数；α₂,...,α_n为待设计的虚拟控制律；参考信号y_d,及其i阶导数在Ω_d上有界，其中Ω_d为满足参考信号约束的集合且为正常数，根据公式(6)-(7)，可以得到

其中， 为Θ的估计值，分别为系统状态z₁,...,z_i,...,z_n的一阶导数；d₂,d_i,d_j,d_n分别为对应阶系统的有界的外部扰动；

步骤4、设定系统的约束条件为：

其中k_bi为已知常数。根据约束条件引入障碍Lyapunov函数(BLF)为：

其中k_ci＞0为正常数，Γ＞0为自适应增益常数；是Θ与其估计值之间的误差值。

步骤5、具有输入时滞和状态约束的非线性系统的自适应控制器设计为：

其中, c_n,σ₀,ε_n,k_cn＞0为已知的正常数；表示参考信号的n阶导数。

本发明与现有技术相比，具有如下优点：

1.本发明首次尝试同时考虑输入时滞、状态约束以及参数不确定性的影响，解决了更一般的非线性系统的控制问题。

2.通过将Pade逼近法，BLF以及自适应backstepping设计结合在统一框架内，成功补偿了输入时滞、状态约束和参数不确定性给系统控制器设计带来的困难；

3.本发明设计了一种新的基于BLF的自适应状态反馈控制器，证明了闭环系统中所有信号都是一致最终有界的，系统的跟踪误差总能收敛到原点的一个小的邻域内。特别地，系统的状态从未违背约束限制。

附图说明

图1为本发明一种具有输入时滞和状态约束的非线性系统的自适应控制方法的设计流程图；

图2为单连杆机械臂系统示意图；

图3为本发明仿真中跟踪误差的响应曲线；

图4为本发明仿真中系统状态x₁的响应曲线；

图5为本发明仿真中系统状态x₂的响应曲线；

图6为本发明仿真中自适应参数的响应曲线；

图7为本发明仿真中系统控制输入的响应曲线。

具体实施方式

为了使本发明的设计思路更加清楚，下面将从状态反馈控制器设计、原理以及证明这几个方面进行详细说明，以下将结合附图说明中的附图进行详细说明。

如图1所示，本发明提供一种具有输入时滞和状态约束的非线性系统的自适应控制方法。技术方案具体步骤如下：

步骤1、建立具有输入时滞和状态约束的非线性系统方程：

其中为系统的状态变量，为n维的实数空间，且为状态x_i的一阶导数，为状态x_n的一阶导数；是由状态x₁,...,x_i组成的状态向量，为i维实数空间；u为系统的控制输入，且 为实数集；θ为不确定参数项，且 为d维实数空间；i与n都表示系统的阶数，对于为函数且有f₁(0,θ)＝0,函数为具有连续一阶偏导数的函数集合；d_i(t)表示第i阶系统中有界的外部扰动，d_n(t)表示第n阶系统中有界的外部扰动；τ＞0表示输入时滞，t表示t时刻；

步骤2、利用Pade逼近法处理非线性系统的输入时滞，根据拉普拉斯的时滞定理得出：

其中，l{·}表示拉普拉斯变换过程，s为拉普拉斯变量；

随后引入中间变量x_n+1,其满足

由(3)可知

根据拉普拉斯变换与(4)可以得到

结合系统(1)，(3)与(5)可得如下新系统

其中，η为定义的中间变量且f_n(x,θ)为系统的非线性函数。

步骤3、引入状态坐标变换

并定义自适应参数如下

其中，z₁,...,z_i,...,z_n为坐标变换后系统的状态；Θ为自适应参数；α₂,...,α_n为待设计的虚拟控制律；参考信号y_d,及其i阶导数在Ω_d上有界，其中Ω_d为满足参考信号约束的集合且为正常数，根据公式(6)-(7)，可以得到

其中， 为Θ的估计值，分别为系统状态z₁,...,z_i,...,z_n的一阶导数；d₂,d_i,d_j,d_n分别为对应阶系统的有界的外部扰动；

步骤4、设定系统的约束条件为：

其中k_bi为已知常数。根据约束条件引入障碍Lyapunov函数(BLF)为：

其中k_ci＞0为正常数，Γ＞0为自适应增益常数；是Θ与其估计值之间的误差值。

步骤5、具有输入时滞和状态约束的非线性系统的自适应控制器设计为：

其中, c_n,σ₀,ε_n,k_cn＞0为已知的正常数；表示参考信号的n阶导数。

为了更好阐述本发明技术，将对所设计的自适应状态反馈控制器进行证明。证明过程中会用到以下假设和引理。

假设1、存在正常数d_iM使得对于i＝1,...,n，外部扰动满足|d_i(t)|≤d_iM

假设2、相关参考信号y_d,以及其i阶导数在闭集内，Y₁,Y_i(i＝2,...,n)为正常数。

引理1、对于任意的常数k_ci＞0和所有满足|z_i|≤k_ci,成立。

引理2、对于实变量x≥0,y＞0，有其中m≥1为实数。

引理3、对于i＝1,...,n，函数满足

其中为非负的光滑函数且Θ₀≥1为一设计常数。

引理4、对于任意的k_ci＞0，设与为开集。考虑系统其中为状态变量，其中z＝(z₁,z₂,...,z_n)^T，关于t分段连续，关于z_i局部利普希茨连续，在上一致。假设存在连续可微的正定函数和使得当z_i→k_ci或者z_i→-k_ci时，有V₁→∞，γ₁(||ω||)≤W(||ω||)≤γ₂(||ω||)，其中γ₁和γ₂是函数。定义V(κ):＝V₁+W(ω)，其中z(0)∈Ω₁，如果不等式在上成立，其中μ,Δ为正常数，则ω是有界的且z_i∈Ω₁,

证明过程如下：

第一步、自适应控制器设计。

针对系统(6)，本发明使用反步法来设计控制器，其设计步骤分为n步：

第一步：选取Lyapunov函数为

其中，k_c1＞0是一个设计常数；Γ＞0是自适应增益常数；是Θ与其估计值之间的误差值。显然，V₁在内是可导的。由(9)-(10)可知V₁的导数为

通过引理2-3，假设1-2以及(7)-(8)可知

其中

将(16)-(18)代入到(15)中可以得到

其中，由此，选择第一个虚拟控制律如下

将(20)代入(19)可得

其中，c₁＞0与σ₀＞0为设计常数，且有

第二步：选取Lyapunov函数V₂为

显然，V₂在内可导。对上式求导并使用(9)和(21)可得

由假设1-2与引理2-3可知

其中，ε₂₁＞0,ε₂₂＞0为设计常数；

将(25)-(27)代入(24)可得

式中

现在选择虚拟控制律如下

其中c₂＞0为设计常数。将(29)代入(28)可得

其中σ₂＞0为设计常数，且有

第i步(i＝3,4,...,n-1)：本步使用归纳法。假设第i-1步中存在一个正定的Lyapunov函数为且有一系列虚拟控制律

使得

其中，σ_i-1是非负的连续函数，Δ_i-1为正常数。

下面我们证明(33)对第i步是成立的。将Lyapunov函数V_i定义为由(9)和(33)可知V_i的导数为

为了进一步推导，通过使用引理2-3与假设1可以得到如下不等式

其中且ε_i＞0为常数。

将(35)-(37)代入到(34)中并且构造α_i+1为

可使得(34)满足

其中，c_i＞0是设计常数；

第步：选择Lyapunov函数V_n为

类似于第i步的构造过程，设计出控制器以及自适应控制律如下

最终可使得

其中c_n,Δ_n为正常数；γ_n,φ_n为非负的连续函数。

第二步、稳定性分析。

通过上述推导，本发明给出如下定理：

定理1考虑系统(1)在假设1-2的条件下，当实际控制器设计为(41)，自适应控制器设计为(42)时，有

(i)闭环系统中的所有信号都是一致最终有界的；

(ii)跟踪误差收敛到原点的某一个闭集内，即

(iii)系统状态满足|x_i|＜k_bi,即未违背约束条件。

证明：

(i)首先由(43)可以写成

其中通过引理1可知

结合(40)和(46)，式(45)可写为

其中c＝min{2c_i,Γσ₀,i＝1,...,n}.

根据(40)，(47)以及引理4可知z_i(t)和是一致最终有界的，由于Θ为一常值，所以也是一致最终有界的；由z₁＝x₁-y_d可知，状态x₁一致最终有界；根据式(20)可得α₂也是一致最终有界的，再由式(7)中x₂＝z₂+α₂可知x₂也是一致最终有界的；以此类推，我们可以得到α₃,α₄,...,α_n,x₃,x₄,...,x_n+1以及u是一致最终有界的。综上而言，闭环系统中所有的信号都是一致最终有界的。

(ii)将式(47)乘以e^ct并将不等式两边在[0,t)上积分可得

且由(40)可知通过整理可得

由式(7)，我们可以定义跟踪误差为y(t)-y_d(t)＝z₁(t)，结合(49)可知对于跟踪误差满足

也就是说，跟踪误差保持在原点的一个小邻域内，该邻域为一有界的紧集

(iii)假设其中为正常数。由x₁＝z₁+y_d与假设2中的可知令可得|x₁|＜k_b1.又由与可知令可得|x₂|＜k_b2.以此类推，我们最终可以得到|x_i|＜k_bi,i＝1,2,...,n,即状态不违背约束。

下面通过单连杆机械臂系统对本发明设计的控制器的有效性进行验证。考虑如附图2中的单连杆机械臂系统，它是由一个刚性连杆通过齿轮耦合到直流电机上的,此系统动力学表达式为

其中M＝1kg·m²为惯性；m＝1kg为连杆质量；q是连杆的角度位置；为连杆的角速度，单位为rad/s；是连杆的角加速度，单位为rad/s²；g＝9.8m/s²为重力加速度；F是连杆的控制力。我们将l作为参数不确定项并定义状态变量x₁＝q,以及控制输入u＝F,其中状态约束满足|x₁|＜k_b1＝1.5,|x₂|＜k_b2＝1.8.式(51)可以写为

其中f₂＝-0.5mgsin(x₁)且θ＝l.在仿真中，扰动信号选取为d₂(t)＝0.2sint；参考信号选为y_d＝0.1sint；由假设1-2可知|d₂(t)|≤0.2,以及此外，其中Θ₀＝θ,选取

按照上述控制器设计过程设计自适应控制器如下

其中

且

c₁,c₂,ε₂＞0为设计常数。

在仿真中，假设输入时滞τ＝0.01,其他参数选择为ε₂＝2,Γ＝10,c₁＝1,c₂＝2,σ₀＝1.系统的初始条件分别选为[x₁(0),x₂(0)]^T＝[0.3,0.2]^T,[x₁(0),x₂(0)]^T＝[1.2,0.2]^T,[x₁(0),x₂(0)]^T＝[-1.1,0.2]^T且从图3中可以看出在不同的初始条件下，系统的跟踪误差能收敛到原点的小邻域内，即系统输出信号y能够很好地跟踪参考信号y_d；从图4-6可以看出在不同初始条件下，系统状态没有违背约束，自适应参数是一致最终有界的；从图7中可以看出系统的控制输入u也是一致最终有界的。综上所述，闭环系统的所有信号都是一致最终有界的。

本发明研究了一类具有输入时滞和参数不确定性的状态约束非线性系统的跟踪控制问题。通过结合自适应反步法与参数分离法处理了系统的参数非线性。将Pade逼近法与BLF结合在统一框架内，成功解决了由输入时滞与状态约束引起的不确定性。通过严谨的稳定性分析得到了一个自适应状态反馈控制器。研究结果表明，闭环系统中所有信号都是一致最终有界的；系统的跟踪误差总能收敛到原点的一个小的邻域内；系统的状态从未违背约束限制。进一步的工作将集中在受约束非线性系统的自适应指定时间控制。

以上所述仅为本发明的一般步骤，并不能以此限制本发明的保护范围，凡是在本发明的精神和原则之内所作的任何修改和等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种具有输入时滞和状态约束的非线性系统的自适应控制方法，该方法应用于单连杆机械臂系统，所述单连杆机械臂系统，由一个刚性连杆通过齿轮耦合到直流电机上,此系统动力学表达式为：

其中为惯性；为连杆质量；是连杆的角度位置；为连杆的角速度，单位为;是连杆的角加速度，单位为; 为重力加速度；是连杆的控制力；作为参数不确定项并定义状态变量以及控制输入；

其特征在于，所述方法包括以下步骤：

S1、建立具有输入时滞和状态约束的非线性系统方程：

其中为系统的状态变量，为维的实数空间，且为状态的一阶导数，为状态的一阶导数；是由状态组成的状态向量，为维实数空间；为系统的控制输入，且，为实数集；为不确定参数项，且，为维实数空间；与都表示系统的阶数，对于为函数且有,函数为具有连续一阶偏导数的函数集合；表示第阶系统中有界的外部扰动，表示第阶系统中有界的外部扰动；表示输入时滞，表示时刻；

S2、利用Pade逼近法处理非线性系统的输入时滞，根据拉普拉斯的时滞定理得出：

其中，表示拉普拉斯变换过程，为拉普拉斯变量；

随后引入中间变量,其满足

由(3)可知

根据拉普拉斯变换与(4)可以得到

结合系统(1)，(3)与(5)可得如下新系统

其中，为定义的中间变量且,为系统的非线性函数；

S3、引入状态坐标变换

并定义自适应参数如下

其中，为坐标变换后系统的状态；为自适应参数；为待设计的虚拟控制律；参考信号及其阶导数在上有界，其中为满足参考信号约束的集合且,为正常数，根据公式(6)-(7)，可以得到

其中，,为的估计值，分别为系统状态的一阶导数；分别为对应阶系统中有界的外部扰动；

S4、设定系统的约束条件，根据约束条件引入障碍Lyapunov函数；

S5、完成具有输入时滞和状态约束的非线性系统的自适应控制器设计。

2.根据权利要求1所述的一种具有输入时滞和状态约束的非线性系统的自适应控制方法，其特征在于，步骤S4中设定系统的约束条件为：

其中为满足状态约束的维实数集合，为已知常数。

3.根据权利要求2所述的一种具有输入时滞和状态约束的非线性系统的自适应控制方法，其特征在于，步骤S4中所述根据状态约束设定BLF为：

其中为设定的障碍Lyapunov函数，为正常数，为自适应增益常数；是与其估计值之间的误差值。

4.根据权利要求3所述的一种具有输入时滞和状态约束的非线性系统的自适应控制方法，其特征在于，步骤S5所述自适应控制器设计为：

其中,;,; 为已知的正常数；表示参考信号的阶导数。