ES2329221T3

ES2329221T3 - Procedimiento de transmision de una señal multiportadora biortogonal modulada con offet (bfdm/om).

Info

Publication number: ES2329221T3
Application number: ES00966247T
Authority: ES
Inventors: Pierre Siohan; Cyrille Siclet
Original assignee: Telediffusion de France ets Public de Diffusion; France Telecom SA
Current assignee: Telediffusion de France ets Public de Diffusion; Orange SA
Priority date: 1999-09-29
Filing date: 2000-09-29
Publication date: 2009-11-24
Anticipated expiration: 2020-09-29
Also published as: EP1216557A1; EP1216557B1; JP4680459B2; WO2001024470A1; FR2799073B1; ATE434894T1; FR2799073A1; US7609611B1; DE60042454D1; JP2003510972A

Abstract

Procedimiento de transmisión de una señal multiportadora biortogonal BFDM/OM, caracterizado porque utiliza una estructura de transmultiplexor que asegura: - una etapa de modulación, con la ayuda de un banco de filtros de síntesis (11), que presentan 2M ramas paralelas, M >= 2, alimentadas cada una por datos fuente, y comprendiendo cada una un expansor de orden M y primeros medios de filtrado; - una etapa de demodulación, con la ayuda de un banco de filtros de análisis (12), presentan 2M ramas paralelas, comprendiendo cada una un diezmador de orden M y segundos medios de filtrado, y que dan datos recibidos representativos de dichos datos fuente, dichos primeros y segundos medios de filtrado siendo deducidos de una función de modulación prototipo predeterminada.

Description

Procedimiento de transmisión de una señal multiportadora biortogonal modulada con offset (BFDM/OM).

El campo de la invención es aquel de la transmisión de señales numéricas, basadas en modulaciones multiportadoras. Más precisamente, la invención concierne a la transmisión, y específicamente la modulación y la demodulación, de las señales multiportadoras biortogonales (BFDM/OM, en inglés "Biorthogonal Frequency Division Multiplex/Offset Modulation").

Desde hace muchos años, las modulaciones multiportadoras han suscitado un gran interés. Esto se justifica, en particular, en el caso de las comunicaciones con los móviles, donde su eficacia ha sido ya demostrada para la difusión de las señales de radio con, ante todo, el sistema "Digital Audio Broadcasting" (DAB, en español: "Difusión Audionumérica") [1] (por razones de simplificación y de legibilidad, todas las referencias citadas en la presente descripción han sido reagrupadas en el anexo E) pero igualmente en transmisión de alto flujo sobre líneas bifilares telefónicas con los sistemas ADSL (Asymmetric Digital Subscriber Line) y VDSL (Very high bit rate Digital Subscriber Line)
[2].

En los esquemas de modulaciones multiportadoras usuales, un conjunto de frecuencias portadoras, escogidas de manera de satisfacer condiciones de ortogonalidad en tiempos y en frecuencia, es multiplexado. Es el sistema llamado "Orthogonally Frequency Division Multiplex" (OFDM, en español: "multiplex de frecuencias ortogonales").

Es posible asociar a cada uno de los portadores una modulación sin offset (SM: "Synchronous Modulation") o con offset (OM: "Offset Modulation"). Se llega entonces respectivamente a los sistemas OFDM/SM y OFDM/OM. En particular, la asociación a cada uno de los portadores de una modulación de amplitud en cuadratura, sin o con "offset", produce, respectivamente, las modulaciones OFDM/QAM (QAM, en inglés: "Quadrature Amplitude Modulation") y OFDM/OQAM (OQAM: "Offset QAM"). Esta última modulación funciona sin intervalo de seguridad y ofrece igualmente una posibilidad de escoger más amplio en lo que concierne a la función prototipo [3],
[4].

Sin embargo, la ortogonalidad del OFDM no le asegura la optimización que en el caso de canales de transmisión que se pueden asimilar a un ruido aditivo blanco y gaussiano. En todos los otros casos, la optimización del OFDM no está garantizada.

Desde ese punto de vista, las modulaciones multiportadoras biortogonales (BFDM) ofrecen posibilidades suplementarias y, en particular, estas pueden constituir un mejor compromiso frente a los canales de tipo radio-móviles que están a la vez dispersos en tiempos y en frecuencia [5].

Por otra parte una modulación biortogonal con offset (BFDM/OM) permite conservar la ventaja del OFDM/OM con la posibilidad de obtener funciones prototipos bien localizadas en tiempos y en frecuencia.

A modo indicativo, se recuerda brevemente, en el anexo A, las definiciones esenciales concernientes a los aspectos matemáticos relacionados con las modulaciones de tipo BFDM/OM. Estos aspectos han sido ya el objeto de publicaciones, con la denominación BFDM/OFDM, igualmente conservada en los anexos de la presente descrip-
ción.

En un artículo recientemente sometido [6], una técnica de digitalización de los sistemas de modulación BFDM/OM ha sido ya propuesta. Sin embargo la aproximación descrita en [6], [7] se basa esencialmente en la digitalización de las ecuaciones continuas que amplían en discreto el formalismo introducido en continuo en la referencia [4] para el OFDM/OM.

Para el OFDM/OM, esto supone por lo tanto la utilización de una transformación matemática, después de la transformación inversa (clásicamente FFT^{-1} después FFT). Se trunca seguidamente la señal digitalizada.

La invención tiene específicamente por objetivo proporcionar una nueva técnica de modulación y de demodulación de una señal BFDM/OM que sea más eficaz y más fácil de llevar a la práctica que las técnicas conocidas.

Así, un objetivo de la invención es proporcionar técnicas de modulación y de demodulación tales que permitan asegurar, sobre un plano teórico, que la IES (Interferencia entre Símbolos) y la IEC (Interferencia entre Canales) sean exactamente nulos, sobre un soporte terminado.

La invención tiene igualmente por objetivo proporcionar técnicas tales que permitan realizar dispositivos que satisfagan estructuralmente la anulación de la IES y de la IEC.

Otro objetivo de la invención es proporcionar técnicas tales, que permitan tanto la realización de funciones prototipos simétricas o no, e idénticas o no a la emisión y a la recepción.

Aún otro objetivo de la invención es proporcionar técnicas de modulación y de demodulación tales, que permitan reducir y controlar los retardos de reconstrucción, por ejemplo para aplicaciones en tiempo real o interactiva. En otros términos, un objetivo es proporcionar técnicas tales que permitan, para filtros prototipos de una longitud dada, obtener plazos de reconstrucción que no son fijos (y que pueden por tanto ser más reducidos que aquellos del OFDM/
OM).

La invención tiene igualmente por objetivo proporcionar técnicas tales, que sean óptimas, en relación a las distorsiones producidas por un canal gaussiano y/o por canales no gaussianos que no se reducen simplemente a un ruido aditivo blanco y gaussiano.

Aún otro objetivo de la invención es proporcionar técnicas tales, que permitan obtener resultados superiores a las técnicas conocidas, en términos de localización de la transformada.

La invención tiene igualmente por objetivo proporcionar dispositivos de modulación y/o de demodulación, y más generalmente de transmisión y/o de recepción de señales, que sean cómodos y poco costosos de realizar y de llevar a la práctica.

Estos objetivos, así como otros que aparecerán a continuación, son alcanzados de acuerdo a la invención con la ayuda de un procedimiento de transmisión de una señal multiportadora biortogonal BFDM/OM que utiliza una estructura de transmultiplexor que asegura:

-: una etapa de modulación, con la ayuda de un banco de filtros de síntesis, que presenta 2M ramas paralelas. M \geq 2, alimentadas cada una por datos fuente, y comprendiendo cada una un expansor de orden M y medios de filtrado;

-: una etapa de demodulación, con la ayuda de un banco de filtros de análisis, que presenta 2M ramas paralelas, comprendiendo cada una un diezmador de orden M y medios de filtrado, y que dan datos recibidos representativos de dichos datos fuente,

dichos medios de filtrado siendo deducidos de una función de modulación prototipo predeterminada.

En otros términos, la invención propone una nueva realización de los sistemas de modulación BFDM/OM, basados en una descripción nueva de un sistema de modulación, bajo la forma de un transmultiplexor, llamado a continuación transmultiplexor modulado. Como aparecerá a continuación, esta técnica presenta numerosas ventajas, tanto en términos de modos de realización como de eficacia de los tratamientos, y específicamente de la anulación de la IES y de la IEC.

Se notará que una estructura de transmultiplexor modulada de este tipo, que permite la transmisión de una señal multiportadora modulada con offset, se distingue fuertemente de las estructuras de transmultiplexores del arte anterior. En efecto, los esquemas conocidos de transmultiplexores presentan factores de diezmado-expansión superiores o iguales al número de sub-bandas utilizadas, tal como es descrito, por ejemplo, en la obra "Wavelets and Filter Banks" de G. Strand y T. Nguyen (Wellesey-Cambridge Press, Wellesey MA, EE.UU. - 1996). La aproximación de la invención permite por el contrario, para la realización, en cada una de las ramas de los bancos de filtros, de medios de filtrado deducidos de una función de modulación prototipo predeterminada, obtener un número de sub-bandas superior (doble) al factor de expansión y de diezmado.

Además, una estructura de transmultiplexor modulada de este tipo de acuerdo a la invención presenta la ventaja, en relación a los transmultiplexores del arte anterior, de permitir una amplia selección de filtros prototipos.

Preferiblemente, dichos medios de filtrado de dicho banco de filtros de síntesis y/o de dicho banco de filtros de análisis son respectivamente reagrupados bajo la forma de una matriz polifase.

Esto permite, en un plano práctico, simplificar la complejidad de operación del transmultiplexor.

De forma ventajosa, al menos una de dichas matrices polifases comprende una transformada de Fourier inversa a 2M entradas y 2M salidas. Los inventores han demostrado en efecto que la utilización de una transformada de este tipo, para la cual los algoritmos están disponibles (IFFT), permite simplificar fuertemente la realización y la puesta en práctica de la invención.

La invención concierne igualmente al procedimiento de modulación de una señal transmitida de acuerdo al procedimiento de transmisión descrito aquí arriba. Un procedimiento de modulación de este tipo utiliza ventajosamente una transformada de Fourier inversa alimentada por 2M datos fuente que han sufrido cada una un desplazamiento de fase predeterminado, y alimentando 2M módulos de filtrado, seguidos cada uno por un expansor de orden M, cuyas salidas son reagrupadas y luego transmitidas.

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El algoritmo de modulación puede entonces dar datos s[k] tales que:

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1

2

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donde

D = \alphaM - \beta,

con \alpha número entero que presenta el retardo de reconstrucción; \beta número entero comprendido entre 0 y M-1;

y _{\lfloor} ^{\rfloor} es la función "parte entera".

De la misma forma, la invención concierne al procedimiento de demodulación de una señal transmitida de acuerdo al procedimiento de transmisión descrito precedentemente. Ese procedimiento de demodulación utiliza ventajosamente una transformada de Fourier inversa alimentada por 2M ramas, ellas mismas alimentadas por dicha señal transmitida, y comprendiendo cada una un diezmador de orden M seguido de un módulo de filtrado, y alimentando 2M multiplicadores de desplazamiento de fase, dando una estimación de los datos fuente.

El procedimiento de demodulación puede también, ventajosamente, dar datos \hat{a}_{m.n-\alpha} tales que:

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3

4

De forma ventajosa, en el procedimiento de modulación y/o de demodulación dichos módulos de filtrado son realizados bajo una de las formas que pertenecen al grupo que comprende:

-: los filtros de estructura transversal;

-: los filtros de estructura en escala; y

-: los filtros de estructura en celosía.

Otras estructuras de filtros pueden, claro está, ser consideradas, y específicamente las estructuras de filtros con respuesta a impulso infinita (RII).

De acuerdo a un modo de realización particular, correspondiente específicamente a la estructura en celosía, dicha señal multiportadora biortogonal es una señal OFDM/OM. Soluciones técnicas particulares pueden entonces ser consideradas.

La invención concierne igualmente, claro está, a los dispositivos de emisión y/o de recepción de una señal BFDM/
OM, que utiliza los procedimientos presentados aquí arriba.

Otras características y ventajas de la invención aparecerán más claramente con la lectura de modos de realización preferentes, dados a modo de simples ejemplos ilustrativos y no limitativos y de los dibujos anexos entre los cuales:

- la figura 1 ilustra la estructura general de un transmultiplexor asociado a la modulación BFDM/OM, de acuerdo a la invención;

- la figura 2 presenta, de forma simplificada, una vista global de la cadena que utiliza un transmultiplexor tal como el ilustrado en la figura 1;

- la figura 3 es una representación bajo una forma polifase del transmultiplexor de la figura 1;

- la figura 4 ilustra en un caso elemental, la inserción de un operador de retardo colocado entre un expansor y un diezmador, utilizado en la puesta en práctica de la representación polifase de la figura 3;

- las figuras 5 y 6 presentan respectivamente un modulador y un demodulador BFDM/OM realizados con la ayuda de una FFT inversa;

- las figuras 7 y 8 presentan filtros con estructura en escala que pueden ser utilizados en lugar de los filtros polifases de las figuras 5 y 6, respectivamente cuando s, parámetro entero definido a continuación, es par o impar;

- la figura 9 ilustra una estructura bajo la forma de celosía para los filtros polifases de las figuras 5 y 6, en el caso de una señal OFDM/OM con filtros prototipos simétricos;

- la figura 10 presenta una celosía de acuerdo a la figura 9, en el caso normalizado:

- las figuras 11A y 11B por una parte y 12A y 12B por otra parte ilustran las respuestas temporal y de frecuencia obtenidas en dos modos de realizaciones particulares, correspondientes a las tablas del anexo D.

Como se indicó precedentemente, la técnica de la invención reposa específicamente en una aproximación particular de digitalización, que apunta a obtener directamente una descripción del sistema de tipo transmultiplexor modulado. Otra ventaja de un marco de descripción más general, esta aproximación ofrece numerosas posibilidades de explotación de los enlaces entre los bancos de filtros y los transmultiplexores, para la optimización de las estructuras de realización y del cálculo de los coeficientes asociados.

Después de haber presentado la estructura general de representación de los sistemas BFDM/OM bajo la forma de un módulo discreto de tipo transmultiplexor, se presentan a continuación cuatro modos de realización particulares de la invención que corresponden respectivamente a:

-: dos modos de realización BFDM/OM que, en el modulador y en el demodulador, utilizan los dos un algoritmo rápido de transformada de Fourier inversa (IFFT) y se distinguen por el tipo de implante de los componentes polifases del filtro prototipo:

-: Modo 1: Algoritmo IFFT + filtrado polifase transverso;

-: Modo 2: Algoritmo IFFT + filtrado en escala.

-: dos modos de realización adaptados al OFDM/OM, deducidos del BFDM/OM:

-: Modo 3: variante del Modo 1 que verifica la ortogonalidad discreta del OFDM/OM con filtrado polifase transverso y posibilidad de utilización de filtro prototipo simétrico o no;

-: Modo 4: variante del modo 2 que verifica la ortogonalidad discreta del OFDM/OM con filtrado polifase realizado por una estructura en celosía.

Los métodos de diseño de filtros prototipos que ilustran esos procedimientos de realización de las modulaciones BFDM/OM y OFDM/OM son igualmente presentados.

Los resultados presentados ilustran específicamente:

-: las posibilidades suplementarias del BFDM/OM para el cual el plazo de transmisión sigue siendo modulable para una longitud de filtro prototipo dada. Esto permite, por ejemplo un retardo de transmisión idéntico, mejorar los resultados en términos de localización tiempos-frecuencia de la transformación asociada al modulador. Esto permite igualmente mantener resultados elevados desde el punto de vista de la selectividad reduciendo completamente el plazo de transmisión;

-: en el caso de sistemas llamados dos-a-dos, la posibilidad con los modos 2 y 4 de anular totalmente la Interferencia entre símbolos (IES) y la Interferencia entre canales (IEC) y obtener así lo que se puede igualmente llamar la reconstrucción perfecta.

Otros ejemplos no reportados aquí, muestran igualmente que es posible obtener, en biortogonal, resultados en localización comparables a aquellos del OFDM/OM, y esto con filtros prototipos mucho más cortos.

Para facilitar la lectura, se retienen las notaciones siguientes: los conjuntos, por ejemplo R el cuerpo real, así como los vectores y matrices, por ejemplo E(z) y R(z) las matrices polifases, son denotadas en carácter grueso. Si no el conjunto de los símbolos matemáticos utilizados es denotado en caracter estándar con, en general las funciones de los tiempos en minúsculas y las funciones de los campos transformados (z y Fourier) en mayúsculas.

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1 - Formulación bajo forma de un transmultiplexor modulado

A partir de un filtro prototipo causal p[k], deducido de h(t) por traslación y digitalización, se obtiene un esquema de realización que es aquel de la figura 1.

En ese esquema los filtros F_{i}(z)11 y H_{i}(z) 12, con 0 \leq i \leq 2M - 1, se deducen de p[k] (o P(z)) por modulación compleja. \alpha y \beta, 0\leq\beta\leqM - 1, son dos números enteros que se unen a un parámetro D de la modulación D = \alphaM - \beta. Los cálculos que permiten llegar a ese esquema son reportados en el anexo B.

Se puede notar igualmente que los filtros prototipos pueden ser diferentes. A continuación se estudiará el caso particular donde q[k] = p[D - k], sin que esto limite el alcance de la solicitud de patente.

La realización de un esquema de modulación y de demodulación directamente de acuerdo a esta figura 1 sería extremadamente costosa, en términos de complejidad de operación. De acuerdo a la aproximación de la invención, se descomponen por lo tanto los filtros prototipos P(z), en función de sus componentes polifases G_{l}(z), así como es presentado en el anexo C.

Este anexo C necesita igualmente la relación de entrada-salida, las condiciones a respetar en los componentes polifases y el retardo de construcción.

2 - Ejemplos de realización

El conjunto de los modos de realización descritos a continuación está basado en la utilización de una transformada de Fourier discreta (TFD).

Esta técnica presenta, claro está, la ventaja que la TFD se traduce por algoritmos de cálculo rápidos, titulados de acuerdo a su simple anglo-sajón FFT, o IFFT por la transformada inversa. (Se notará que las ecuaciones referenciadas (1) a (54) se encuentran en los anexos A a C).

Se denota:

5

Y W la matriz de la transformada de Fourier discreta de tamaño 2M x 2M:

6

Utilizando las ecuaciones (35) a (38) (anexo C) se obtiene:

7

Se deducen ahí los esquemas del modulador de la figura 5 y del demodulador de la figura 6, los dos realizados con la ayuda de una transformada de Fourier inversa IFFT 51, 61. En esas figuras 5 y 6, s es un número entero definido por D = 2.s.M + d, d siendo un número entero comprendido entre 0 y 2M-1.

Las notaciones y datos que aparecen en las figuras 5 y 6, igual que en las otras figuras forman, claro está, parte integrante de la presente descripción.

Para simplificar, pero sin perder la generalidad, se supone a continuación que el filtro prototipo P(z) es de longitud 2 mM de manera que todos los componentes polifases son de la misma longitud m.

2.1 - Modo 1: Algoritmo IFFT y descomposición polifase

Retomando las notaciones de las figuras 5 y 6, se deducen los algoritmos de modulación y de demodulación siguientes, ya mencionados más arriba:

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2.1.1 Algoritmo de modulación

8

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2.1.2 Algoritmo de demodulación

9

10

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2.2- Modo 2: IFFT y estructura en escala

Los esquemas en escala constituyen un medio de implantación propuesto recientemente para la realización de los bancos de filtros. Los inventores han validado matemáticamente su aplicación al BFDM/OM, descrito a continua-
ción.

Se ha observado que se puede escribir una modulación BFDM/OM bajo la forma de un transmultiplexor utilizando dos FFT inversas (figuras 5 y 6), en el cual aparecen explícitamente los componentes polifases del prototipo utilizado. Cada filtro polifase puede entonces escribirse bajo la forma de una escala. Según si s es par o impar, se pueden remplazar los filtros G_{l}(z) de las figuras 5 y 6 por los esquemas dados por las figuras 7 y 8.

Para llegar a tales esquemas, una descomposición matricial de los componentes polifases es llevada a cabo, que se apoya sobre matrices 2x2 donde el número y la naturaleza se determinan en función de la longitud del prototipo y del plazo de reconstrucción deseados.

Por ejemplo, para generar el par de componentes polifases [G_{l}(z),G_{M+l}(z)] se procede en dos etapas:

-: la inicialización es realizada por un par (F_{0}, F_{1}). F_{0} corresponde a un producto de tres matrices al cual van a corresponder los tres primeros elementos de los esquemas de arriba de las figuras 7 y 8. La forma exacta de F_{1} depende de la paridad del parámetro s. Es la matriz identidad para s par (cf. esquema de arriba de la figura 7) o es un producto de dos matrices C_{0} y B_{0} para s impar, al que van a corresponder los dos elementos siguientes en el esquema de arriba de la figura 8. Se obtiene así un prototipo de longitud 2M (s = 0) o 4M (s = 1).

-: Para aumentar la longitud de P(z), sin o con incremento de plazo, se aplica a continuación un juego de matrices que será respectivamente tanto (A, B), como (C, D). Se obtiene así la continuidad del esquema de realización.

El mismo principio se aplica a los componentes polifases [G_{d-l}(z), G_{d-M-l}(z)], tomando esta vez las inversas de las matrices precedentes.

Un interés de esta estructura es que la misma garantiza una reconstrucción perfecta, incluso en presencia de error sobre los coeficientes calculados, en particular de los errores de cuantificación.

Por otra parte, esta estructura facilita también la optimización del filtro prototipo, por ejemplo tomando un criterio de localización o de selectividad en frecuencia: basta con optimizar 11 coeficientes en lugar de 2mM, sin introducir restricción de reconstrucción perfecta.

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3 - Complejidad de las diferentes realizaciones

Para efectuar una comparación de los diferentes modos de realización propuestos, nos ubicamos en el caso común donde N = 2mM. En ese caso, cada componente polifase tiene una longitud igual a m.

Cada componente polifase puede ser realizado bajo forma transversal, bajo la forma de una escala o, en el caso ortogonal, bajo aquella de una celosía. Incluso si las escalas y las celosías poseen dos salidas, una sola es explotable.

En cada sub-banda, se efectúa al nivel del modulador:

-: una pre-modulación (un desplazamiento de fase, es decir una multiplicación compleja);

-: una transformada de Fourier inversa;

-: un filtrado polifase.

En el demodulador, se efectúan las mismas operaciones en el seno inverso.

\newpage

Se puede por lo tanto deducir la complejidad del transmultiplexor completo con pre-modulación, en términos de operaciones complejas (tabla 1) o reales (tabla 2).

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TABLA 1 Número de operaciones complejas por sub-banda y por muestra para el transmultiplexor completo

12

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TABLA 2 Número de operaciones reales por sub-banda y por muestra para el modulador (o el demodulador)

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La ganancia aportada en relación a una realización directa del esquema de la figura 1 es por lo tanto neta, ya que esta necesitaría 2mM - 1 adiciones complejas y 2mM + 1 multiplicaciones complejas por sub-banda y por muestra, en el modulador como en el demodulador.

En términos de casos de memoria, es necesario almacenar 4M valores complejos para realizar la pre-modulación así como los coeficientes de las diferentes estructuras. Cuando a los mismos filtros en la emisión y en la recepción, se obtiene la primera columna de la tabla 3. Por otra parte, es necesario en todos los casos almacenar 4(m + 1)M valores complejos en un "buffer" para el filtrado polifase en el modulador como en el demodulador.

TABLA 3 Casos de memoria reales para el modulador (o el demodulador) completo

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Las diferentes técnicas propuestas se caracterizan específicamente por el hecho de que, para un sistema modulador-demodulador puesto "dos-a-dos", sus IES y IEC son exactamente nulas. En la práctica, debido al hecho de la imprecisión del cálculo numérico, estas son generalmente del orden de 10^{-14}.

En el caso de los modos 2 y 4, esta característica de reconstrucción perfecta es asegurada estructuralmente, es decir que esta es mantenida después de la cuantificación de los coeficientes escalas para el BFDM/OM o celosía para el OFDM/OM.

Dos criterios pueden ser tomados en cuenta para el diseño de los filtros prototipos: la localización y la selectividad. Se pueden igualmente tener en cuenta otros aspectos, tales como las distorsiones de canal representativas de los diferentes canales de transmisión, por ejemplo del tipo radio-móvil.

A modo de ejemplos puramente indicativos, las tablas 4 y 5 del anexo D dan realizaciones particulares de la invención, cuyos resultados son ilustrados por las figuras 11A, 11B, 12A y 12B.

Las figuras 11A y 11B presentan respectivamente la respuesta temporal y la respuesta de frecuencia para un prototipo biortogonal con M = 4, N = 32, \alpha = 8, \xi = 0,9799 (localización), \xi_{mod}= 0,9851 (localización modificada, de acuerdo al criterio de Doroslovacki). Estas corresponden a la primera columna de la tabla 4 (coeficientes transversales) y de la tabla 5 (coeficientes de las escalas).

Las figuras 12A y 11B presentan respectivamente la respuesta temporal y la respuesta de frecuencia para un prototipo biortogonal con M = 4, N = 32, \alpha = 2, \xi = 0,9634 (localización), \xi_{mod} = 0,9776 (localización modificada, de acuerdo a la medida de Doroslovacki). Estas corresponden a la segunda columna de la tabla 4.

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Anexo A

Modulación multiportadora de tipo BFDM/OQAM

En este anexo, a manera de introducción a las modulaciones BFDM/OQAM, se recuerdan algunas definiciones esenciales sobre la biortogonalidad ([16], [17], [18]).

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K, las definiciones y propiedades que se van a utilizar para generar una modulación BFDM/OQAM pueden resumirse así:

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Definición A.1

Sean (x_{i})_{i\in I} y (\tilde{x}_{i})_{i\in I} dos familias de vectores de E. (x_{i})_{i\in I,} (\tilde{x}_{i})_{i\in I} son biortogonales si y sólo si: \forall(i,j) \in I^{2}, \langlex_{i}, \tilde{x}_{j}\rangle = \delta_{i},_{j}

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Definición A.2

Sean (x_{i})_{i\in I} y (\tilde{x}_{i})_{i\in I} dos familias de vectores de E. (x_{i})_{i\in I}, (\tilde{x}_{i})_{i\in I} forman un par de bases biortogonales de E si y sólo si:

\bullet: (x_{i})_{i\in I} y (\tilde{x}_{i})_{i\in I} forman dos bases de E

\bullet: (x_{i})_{i\in I} y (\tilde{x}_{i})_{i\in I} son dos familias biortogonales.

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Propiedad A.1

Sean ((x_{i})_{i\in I}, (\tilde{x}_{i})_{i\in I}) un par de bases biortogonales de E, entonces \forall x \inE:

\bullet: x = \Sigma_{i\in I}\langlex_{i},x\rangle \tilde{x}_{i} = \Sigma_{i\in I}\langle\tilde{x}_{i},x\ranglex_{i}

\bullet: si x = \Sigma_{i\in I} \alpha_{i}x_{i}, entonces \alpha_{i} = \langle\tilde{x}_{i}, x\rangle

\bullet: si x = \Sigma_{i\in I} \tilde{\alpha}_{i} \tilde{x}_{i}, entonces \tilde{\alpha}_{i} =\langlex_{i}, x\rangle

\bullet: ||x||^{2} = \sum_{i\in I}\langlex_{i}, x\rangle*(\tilde{x}_{i}, x)

Una señal compleja modulada en frecuencia sobre 2M sub-portadoras puede escribirse

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16

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con:

-: \alpha_{m,n}\in R;

-: h un filtro prototipo real, de ancho de banda \nu_{0} y de soporte terminado:

: h(t)\in [-T_{1},T_{2}] con T_{1} y T_{2} de los reales;

-: f_{0} = 0;

-: \nu_{0}\tau_{0} = \frac{1}{2}

Para obtener una modulación biortogonal se busca escribir s(t) con la ayuda de un par (\chi_{m,n}, \tilde{\chi}_{m,n}) de bases biortogonal:

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17

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con:

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18

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La derivación de las expresiones de las bases discretas asociadas es presentada en el anexo 2.

Después de la traslación de T_{1} y digitalización en el período T_{e} = \frac{\tau_{0}}{M} = \frac{1}{2M\nu_{0}}, es igualmente posible, cf. anexo 2, definir un par de bases biortogonales discretas (\chi_{m,n}[k], \tilde{\chi}_{m,n}[k]) tal que

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19

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20

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con:

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Anexo B

El transmultiplexor BFDM/OQAM B.1 Caso general biortogonal

Se toma N como la longitud del filtro prototipo p[k], de tal manera que:

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22

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y T_{1} = 2\lambdaT, T_{2} = 2(1 - \lambda)T con \lambda \in [0,1]. Entonces:

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24

con D un parámetro fijado arbitrariamente y que, como se verá, permite administrar el retardo de reconstrucción. En vistas de la ecuación (10), se plantea ahora:

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de manera que:

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26

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Por otra parte, la base dual de demodulación se escribe:

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y:

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lo que nos conduce a plantear:

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de manera que:

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El factor (-l)^{mn} aparece tanto como modulador que como modulador si bien se le puede suprimir sin cambiar nada, y se llega entonces al esquema del transmultiplexor de la figura 1.

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B.2 Caso particular ortogonal

En el caso ortogonal, se tiene D = N - 1 y q[k] = p[k], donde:

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32

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En el caso donde q[k] = p[D - k] se tiene entonces p[k] = p[N - 1 - k]: el prototipo es simétrico. Pero contrariamente a lo que se puede leer frecuentemente de manera implícita o explícita ([4], [6], [7], [9]), la simetría del prototipo no es absolutamente necesaria. Se podrá, para convencerse, tomar uno de los prototipos siguientes y verificar numéricamente (una verificación directa es muy fastidiosa) que permite la reconstrucción perfecta para M = 4 en el caso ortogonal (se tiene entonces N - 1 = D = 7, \alpha = 2 y \beta = 1):

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Se puede incluso verificar que cualquier prototipo P(z) = \sum^{7}_{n = 0} p(n)z^{-n} que verifica (26) a (31) asegure también la reconstrucción perfecta para M = 4 en el caso ortogonal:

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Anexo C

La condición de biortogonalidad C.1 Aproximación polifase

La realización de un esquema de modulación y demodulación de acuerdo a la figura 1 sería extremadamente costosa en términos de complejidad de operación. La descomposición del prototipo P(z) en función de sus componentes polifases G_{l}(z), tal como

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permite expresar seguidamente los bancos de análisis y de síntesis bajo la forma

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Se deduce así la expresión de las matrices polifases R(z) y E(z) de los bancos de filtros del modulador y demodulador:

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37

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38

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donde J, W_{1} y W_{2} son definidos aquí abajo:

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39

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De manera de aislar la función transmultiplexor se introduce la notación que sigue, donde por comodidad de escritura, no se tomará más x_{m}(n) = j^{n}a_{m,n}, sino x_{m}(n) = a_{m,n}, de manera de tener:

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40

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x_{m}(n) representa los símbolos reales a emitir y \hat{x}'_{m}(n) los símbolos complejos recibidos antes de la extracción de la parte real. La figura 2 da una vista global de la cadena.

Las matrices polifases E(z^{2}) y R(z^{2}) permiten obtener una representación bajo forma polifase del transmultiplexor (figura 3). Queda entonces tomar la parte real de las muestras de salida \hat{x}'_{m}(n - \alpha) para reconstituir la entrada con un retardo de \alpha muestras.

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C.2 Relación de entrada-salida

Se denota X(z) el vector que representa, en el campo transformada en z, los datos emitidos. Con la recepción, después de la demodulación, se denota por \hat{X}'(-jz) el vector de las transformadas en z asociado a los datos recibidos. La extracción de la parte real proporciona seguidamente el vector \hat{X}(z). Nuestro objetivo es entonces:

-: determinar la relación entrada-salida, es decir la relación entre X(z) y \hat{X}(z);

-: determinar las condiciones sobre los componentes polifases G_{l}(z) de P(z) que permiten garantizar la igualdad \tilde{X}(z) = X(z),

-: deducir el retardo de construcción \alpha.

Los 3 principales elementos de este esquema que permiten determinar la relación entrada-salida son las 2 matrices polifases E(z) y R(z) así como la matriz de transferencia \Delta_{\beta}(z), vinculada a los expansores, plazos y diezmadores. Para determinar esta última se puede basar sobre el caso elemental representado en la figura 4 para el cual la función de transferencia es dada por

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41

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De la figura 3 sigue a continuación:

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42

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donde la matriz G(z) es definida aquí abajo:

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Se tiene entonces:

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con:

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45

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Después del cálculo, se obtiene:

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con:

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47

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El significado de d es precisado más adelante. La expresión exacta de U_{l} (- z^{2}) depende entre otros de ese parámetro d (número entero positivo o nulo), se puede entonces demostrar que se tiene la reconstrucción perfecta si y sólo
si:

- si 0 \leq d \leq M-1:

-: si 0 \leq l \leq d:

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48

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- si d + 1 \leq l \leq M - 1:

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49

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- si M \leq d \leq 2M - 1:

-: si 0 \leq l \leq d - M:

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50

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- si d + l - M \leq l \leq M - 1:

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51

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con d y s los números enteros definidos por D = 2sM + d, s \geq 0 y 0 \leq d \leq 2M - 1. El retardo de reconstrucción \alpha está vinculado al parámetro s por las relaciones:

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De este resultado se puede deducir el caso particular ortogonal para el cual D = N - 1, con N la longitud del filtro prototipo paraunitario, es decir simétrico aquí (se dice que P(z) es paraunitario si P(z) = z^{-(N-1)}\tilde{P}(z) con \tilde{P}(z) = P*(z^{-1})). Se puede en efecto verificar que:

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Así, en el caso particular ortogonal, se tiene la reconstrucción perfecta, con un retardo \alpha = \frac{N - 1 + \beta}{M}, si y sólo si:

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Anexo D

E Coeficientes de los filtros prototipos obtenidos por optimización TABLA 4 Prototipos biortogonales con M = 4 y N = 32 (coeficientes transversales)

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TABLA 5 Prototipo biortogonal (coeficientes de las escalas) con M = 4, N = 32 y \alpha = 8 (cf. fig. 11A, 11B)

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Anexo E

Referencias

[1] D. Pommier y Yi. Wu. Interleaving of spectrum-spreading in digital radio intended for vehicles. EBU Rev.-Tech., (217):128-142, Junio 1986.

[2] L. Vandendorpe. Fractionnally spaced linear and decision feedback detectors for transmultiplexers. IEEE Transactions on Signal Processing, 46(4):996-1011, 1998.

[3] B. Le Floch, M. Alard, y C. Berrou. Coded Orthogonal Frequency Division Multiplex. Proceedings of the IEEE, 83:982-996, Junio 1995.

[4] A. Vahlin y N. Holte. Optimal finite duration pulses for OFDM. IEEE Trans. Communications, 44(1):10-14, Enero 1996.

[5] W. Kozek, A. F. Molish, y E. Bonek. Pulse design for robust multicarrier transmission over doubly dispersive channels. In Proc. Int. Conf. on Telecomunicaciones (Porto Carras, Grecia), volumen 2, páginas 313-317, Junio 1998.

[6] H. Boelcskei, P. Duhamel, y R. Hleiss. A design of pulse shaping OFDM/OQAM systems for wireless communications with high spectral efficiency. Submitted to IEEE Transactions on Signal Processing, Noviembre 1998.

[7] H. Boelcskei, P. Duhamel, y R. Hleiss. "Design of pulse shaping OFDM/OQAM systems for high data-rate transmission over wireless channels". In Proc. International Conference on Communications (ICC), Vancouver, Junio 1999.

[8] N. Lacaille. Relations bancs de filtres-modulations multiporteuses et application à l'OFDM/OGAM. Technical report, DEA Université de Rennes I, CNET/DNTR, 1998.

[9] R. D. Koilpillai y P. P. Vaidyanathan. "Cosine-modulated FIR filter banks satisfying perfect reconstruction". IEEE Transactions on Signal Processing, 40(4):770-783, Abril 1992.

[10] T. Q. Nguyen y R. D. Koilpillai. The theory and design of arbitrary-length cosine-modulated filter banks and wavelets satisfying perfect reconstruction. IEEE Trans. Signal Processing, SP-44(3):473-483, Marzo 1996.

[11] Jalali Ali. "Étude et architecture d'un modem numérique destiné aux modulations multiporteuses de densité 2". PhD thesis, Université de Rennes I, Francia, 1998.

[12] L. C. Calvez y P. Vilbé. On the uncertainty principle in discrete signals. IEEE Trans. Circuits and Systems-II, 39(6):394-395, Junio 1992.

[13] M. I. Doroslovacki. Product of second moments in time and frequency for discrete-time signals and the uncertainty limit. Signal Processing, 67(1), Mayo 1998.

[14] C. Roche y P. Siohan. A family of Extended Gaussian Functions with a nearly optimal localization property. In Proc. First Int. Workshop on Multi-Carrier Spread-Spectrurrc (Oberpfaflenhofen, Alemania), páginas 179-186, Abril 1997.

[15] P. Heller, T. Karp, y T. Q. Nguyen. A general formulation of modulated filter banks. Submitted to IEEE Transactions on Signal Processing, 1996.

[16] M. Vetterli y J. Kovacevic. "Wavelets and Subband Coding". Prentice Hall, 1995.

[17] H. G. Feichtinger y otros. Gabor Analysis and Algorithm - Theory and Applications. Birkhäuser, Boston-Basel-Berlin, 1998.

[18] P. Flandrin. "Temps-Fréquence". Hermès, 1998.

[19] I. Daubechies. The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis. IEEE Trans. on Inf. Theory, 36(5):961-1005, 1990.

[20] T. Karp y A. Mertins. "Lifting scheme for biorthogonal modulated filter banks". In Proc. International Conference on Digital Señal Processing, Santorini, Grecia, Julio 1997.

[21] T. Karp y A. Mertins. "Efficient filter realizations for cosine-modulated filter banks". In Proc. Colloque GRETSI, Grenoble, Francia, Septiembre 1997.

Claims

```
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```
1. Procedimiento de transmisión de una señal multiportadora biortogonal BFDM/OM, caracterizado porque utiliza una estructura de transmultiplexor que asegura:

-

una etapa de modulación, con la ayuda de un banco de filtros de síntesis (11), que presentan 2M ramas paralelas, M \geq 2, alimentadas cada una por datos fuente, y comprendiendo cada una un expansor de orden M y primeros medios de filtrado;

-

una etapa de demodulación, con la ayuda de un banco de filtros de análisis (12), presentan 2M ramas paralelas, comprendiendo cada una un diezmador de orden M y segundos medios de filtrado, y que dan datos recibidos representativos de dichos datos fuente,

dichos primeros y segundos medios de filtrado siendo deducidos de una función de modulación prototipo predeterminada.
2. Procedimiento de transmisión de acuerdo a la reivindicación 1, caracterizado porque dichos primeros medios de filtrado de dicho banco de filtros de síntesis y/o segundos medios de filtrado de dicho banco de filtros de análisis son respectivamente reagrupados bajo la forma de una matriz polifase.
3. Procedimiento de transmisión de acuerdo a la reivindicación 2, caracterizado porque al menos una de dichas matrices polifases comprende una transformada de Fourier inversa (51, 61) a 2M entradas y 2M salidas.
4. Procedimiento de modulación de una señal multiportadora biortogonal BFDM/OM, caracterizado porque utiliza un banco de filtros de síntesis (11), que presentan 2M ramas paralelas, M \geq 2, alimentados cada una por datos fuente, y comprendiendo cada una un expansor de orden M y primeros medios de filtrado, dichos primeros medios de filtrado siendo deducidos de una función de modulación prototipo predeterminada.
5. Procedimiento de modulación de acuerdo a la reivindicación 4, caracterizado porque utiliza una transformada de Fourier inversa (51) alimentada por 2M datos fuente que han sufrido cada una un desplazamiento de fase predeterminado, y alimentando 2M módulos de filtrado, que forman dichos primeros medios de filtrado, seguidos cada uno de un expansor de orden M, cuyas salidas son reagrupadas y luego transmitidas.
6. Procedimiento de modulación de acuerdo a la reivindicación 5, caracterizado porque dan datos s[k] tales que:

58

59

donde D = \alphaM - \beta, y a_{m,n} representa los datos a modular con \alpha entero representando el retardo de reconstrucción;

\beta entero comprendido entre 0 y M-1;

y _{\lfloor} ^{\rfloor} es la función "parte entera".
```
\global\parskip1.000000\baselineskip
```
7. Procedimiento de demodulación de una señal multiportadora biortogonal BFDM/OM, caracterizado porque utiliza un banco de filtros de análisis (12), que presenta 2M ramas paralelas, comprendiendo cada una un diezmador de orden M y segundos medios de filtrado, y dan datos recibidos representativos de datos fuente, dichos segundos medios de filtrado siendo deducidos de una función de modulación prototipo predeterminada.
8. Procedimiento de demodulación de acuerdo a la reivindicación 7, caracterizado porque utiliza una transformada de Fourier inversa (61) alimentada por 2M ramas, ellas-mismas alimentadas por dicha señal transmitida, y comprendiendo cada una un diezmador de orden M seguido de un módulo de filtrado, que forman dichos segundos medios de filtrado, y que alimentan 2 M multiplicadores de desplazamiento de fase, dando una estimación de los datos fuente.
9. Procedimiento de demodulación de acuerdo a la reivindicación 8, caracterizado porque da datos \hat{a}_{m,n-\alpha} tales que:

60

con: D=2.s.M + d, y s[\cdot] representa los datos a demodular

donde: s es un número entero;

d está comprendido entre 0 y 2M-1.
10. Procedimiento de modulación de acuerdo a una cualquiera de las reivindicaciones 4 a 6 o de demodulación de acuerdo a una cualquiera de las reivindicaciones 7 a 9, caracterizado porque dichos medios de filtrado son realizados bajo una de las formas que pertenecen al grupo que comprende:

-

los filtros de estructura transversal;

-

los filtros de estructura en escala; y

-

los filtros de estructura en celosía.
11. Procedimiento de acuerdo a una cualquiera de las reivindicaciones 1 a 10, caracterizado porque dicha señal multiportadora biortogonal es una señal OFDM/OM.
12. Dispositivo de emisión y/o de recepción de una señal BFDM/OM, que utiliza el procedimiento de una cualquiera de las reivindicaciones 1 a 11.