ES2356214B2

ES2356214B2 - Elemento tubular de sección interior no convencional que aumenta la velocidad de flujo en canalización de saneamiento y drenaje pluvial.

Info

Publication number: ES2356214B2
Application number: ES200901922A
Authority: ES
Inventors: Manuel Damian Garcia Roman; Juan Eusebio Gonzalez Fariñas
Original assignee: University of La Laguna
Current assignee: University of La Laguna
Priority date: 2009-09-24
Filing date: 2009-09-24
Publication date: 2013-04-16
Anticipated expiration: 2029-09-24
Also published as: WO2011036312A3; WO2011036312A2; ES2356214A1

Abstract

Esta invención consiste en la realización de conducciones con sección interior no convencional delimitada por ciertas curvas algebraicas planas de grado superior a 2, simétricas respecto al eje vertical y que presentan en su parte inferior un apuntamiento acusado respecto a la forma de su parte superior, que permiten conseguir un incremento de la velocidad relativa del flujo respecto a la de secciones como la circular y ovoidal.#El uso de estas conducciones es de utilidad en canalizaciones que presenten problemas de bajas velocidades de flujo sobre todo aquellas redes que deben transportar al mismo tiempo aguas residuales y pluviales, y que por lo tanto deben dimensionarse para un rango de caudales muy amplio, y las redes instaladas en zonas donde la pendiente del terreno es casi nula o incluso negativa (inversa al sentido del flujo).

Description

Elemento tubular de sección interior no convencional que aumenta la velocidad de flujo en canalizaciones de saneamiento y drenaje pluvial.

Sector de la técnica

Ingeniería hidráulica, con aplicación en las ingenierías civil e industrial. Fabricación de tuberías utilizables, por ejemplo, en conducciones de saneamiento y drenaje urbano.

Introducción

El transporte de las aguas residuales y de drenaje pluvial desde su captación en los imbornales yen los puntos de suministro (viviendas, locales comerciales e industrias) hasta su entrega en las estaciones de tratamiento o de vertido se realiza mediante redes ramificadas que confluyen en un número reducido de colectores de cierto tamaño. En ocasiones, algunos de los tramos, o incluso toda la red, presentan problemas de bajas velocidades de flujo, sobre todo aquellas redes que deben transportar al mismo tiempo aguas esiduales y pluviales, y que por 10 tanto deben dimensionarse para un rango de caudales muy amplio, y las redes instaladas en zonas donde la pendiente del terreno es casi nula o incluso negativa (inversa al sentido del flujo).

En estos casos se utilizan, en lugar de la sección interior circular, otras secciones. que a igual pendiente y coeficiente de fricción, favorecen la velocidad del flujo cuando los caudales son pequeños. Una de estas secciones interiores es la sección ovoidal, cuya utilización supone cierto incremento de la velocidad relativa del flujo cuando los caudales que transporta son muy pequeños (del 0,5 al 1 por mil del caudal a sección llena). También se usan secciones interiores con forma de elipse, aunque su utilización generalmente responde a problemas de restricción de espacio para albergar la conducción. Tanto la circunferencia, como el ovoide y la elipse son curvas definidas (a trozos en el caso del ovoide) por polinomios de grado 2, porque los puntos que las forman son ceros de un polinomio p(x,y) de segundo grado.

Esta invención consiste en la realización de conducciones con sección interior no convencional delimitada por ciertas curvas algebraicas planas de grado superior a 2, simétricas respecto al eje vertical y que presentan en su parte inferior un apuntamiento acusado respecto a la forma de su parte superior. Se entiende como apuntamiento acusado a la existencia de un punto singular crunodal o cuspidal de la curva algebraica, o simplemente de una reducción sensible del radio de curvatura en la zona inferior de la misma.

En las conducciones de saneamiento y drenaje pluvial, las características del fluido (agua con materia orgánica y sólidos en suspensión) y la variabilidad de los caudales a transportar condicionan que el flujo se produzca en lámina libre. En efecto, el coste de explotación del bombeo hace que se evite utilizar sistemas de bombeo en las redes de saneamientb y drenaje, con lo que el flujo en general se produce por gravedad, llenando más o menos la sección interior de la conducción según sea mayor o menor el caudal. Además, cuando el flujo se produce en lámina libre, se produce intercambio de oxígeno entre el agua residual y el aire del interior de la conducción, frenando la actividad de los organismos sulforreductores y la producción de sulfuro de hidrógeno, gas tóxico y de olor desagradable. El intercambio de oxígeno se ve favorecido por las turbulencias en la superficie del flujo en contacto con el aire, que se producen en mayor medida cuanto mayor sea la velocidad del flujo.

La velocidad del flujo, determinada usualmente con la expresión de Manning-Strickler, es una variable que condiciona el diseño de las conducciones de saneamiento yaguas pluviales. Por

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un lado, velocidades del flujo muy bajas permiten la sedimentación sin arrastre de los sólidos en suspensión, que pueden llegar a cegar en parte o incluso en su totalidad la sección interior de la conducción produciéndose el atascamiento o al menos una considerable reducción de su capacidad de transporte. Por otro lado, velocidades excesivamente altas pueden causar la meteorización fisica de las paredes, favorecida por la presencia de partículas sólidas en suspensión, o incluso la rotura de la conducción en los puntos de cambio de dirección del flujo por no poder soportar las solicitaciones debidas al cambio de cantidad de movimiento.

El caudal a transportar por una conducción de saneamiento y drenaje pluvial puede llegar a variar mucho a lo largo del año o incluso del día. En las redes unitarias, aquellas que transportan tanto las aguas residuales como las captadas por los imbornales de drenaje pluvial, las conducciones tienen que dimensionarse para transportar la suma del caudal máximo previsible de agua de lluvia más el caudal punta de aguas negras. Esto frecuentemente confiere a los colectores principales de dichas redes un gran tamaño, que en los momentos en los que no llueve y el caudal de aguas residuales es mínimo, se traduce en velocidades de flujo muy bajas, sedimentación de sólidos en suspensión y aparición de condiciones anaeróbicas en las que proliferan las bacterias sulforreductoras productoras de sulfuro de hidrógeno.

Estado de la técnica

Las tuberías de saneamiento y drenaje con sección interior en forma de ovoide presentan ventajas sobre las tuberías de sección circular cuando se trata de transportar caudales muy inferiores al caudal a sección llena. En efecto, la velocidad del flujo con esos caudales bajos (del orden del 0,5 por mil o el 1 por mil del caudal a sección llena) es mayor en relación a la velocidad a sección llena en conducciones con sección interior en forma de ovoide que en aquellas con sección interior circular. Las secciones interiores de las conducciones objeto de esta invención presentan, en lo que respecta a la velocidad relativa para caudales mínimos, una ventaja superior respecto a la sección circular que la que presenta la sección ovoidal.

Las secciones interiores de las conducciones de saneamiento y drenaje pluvial adoptan otras formas además de la circular y la ovoide. Una de ellas es la tradicional galería rectangtlJar con techo plano o en bóveda de cañón, incluyendo, o no, una cuna semicircular o triangular en el centro de la solera o junto a uno de los hastiales para caudales mínimos. Otra forma para la sección interior es la forma de elipse, que con perfil exterior octogonal se describe en la patente europea 0508875, de Leblanc y Brocart. La forma en elipse es utilizada fundamentalmente cuando existen restricciones geométricas en la construcción impuestas por la existencia de otras conducciones o instalaciones en el subsuelo.

Otras tuberías de hormigón con sección interior oval son las que propone Buente en la patente US 2261912, con exterior cilíndrico, que tienen como principal ventaja una mayor resistencia a las solicitaciones a flexión longitudinal, como consecuencia del aumento del momento de inercia de la sección sólida.

La alternativa a las conducciones de sección circular más utilizada hasta ahora para mejorar la velocidad del flujo en lámina libre con caudales mínimos es la sección en forma de ovoide u ovoidal. El ovoide no es una curva algebraica, sino una curva cerrada construida con trozos de circunferencia, que a su vez es una curva algebraica de grado 2. El ovoide que se utiliza normalmente en la sección de colectores es el que tiene relación de altura/anchura igual a 312, en el que además la relación de radios de curvatura de los polos es 2/1. Con tuberías de sección interior ovoidal se consigue que, cuando el caudal es el 1 por mil del caudal a sección llena, la velocidad relativa (que es independiente de la pendiente de la conducción y de la rugosidad de la misma, supuesta esta última constante en toda la sección interior) sea aproximadamente del 18,5% de la velocidad a sección llena, mientras que en la sección circular es sólo del 15,9% de la velocidad a sección llena. Si el caudal es el 0,5 por mil del caudal a sección llena, la velocidad del flujo en la sección ovoidal es el 14,9% de la velocidad a sección llena, mientras que en la circular es sólo el 12,8%.

Otra sección que se utiliza en conducciones de saneamiento, aunque mucho menos frecuentemente, es la elipse con el eje mayor en vertical. La elipse es una curva algebraica de grado 2 que presenta el mismo apuntamiento en su parte superior que en la inferior.

Breve descripción de la invención

Esta invención consiste en una conducción cuya sección interior es la delimitada por una curva algebraica cerrada y plana de grado tres o mayor como las curvas elípticas (de grado 3), la lemniscata de Bemoulli, la lemniscata de Huygens o las lemniscatas de Booth (de grado 4), que presenta un apuntamiento sensiblemente acusado en la parte inferior respecto a la forma de su parte superior, y mayor que el de las secciones que se han utilizado hasta ahora. Ejemplos de estas secciones encerradas por curvas algebraicas planas son algunas curvas elípticas (de grado 3), la lemniscata de Bemoulli, la lemniscata de Huygens o las lemniscatas de Booth (todas de grado 4) ya mencionadas.

Para un caudal del 1 por mil del caudal a sección llena, la velocidad del flujo que transporta una conducción de sección interior encerrada por el óvalo de la lemniscata de Boo.th 3(X2+y2? = 8y2_4x2 es el 19,6% de la velocidad a sección llena. Para ese caudal relativo, la velocidad del flujo en una conducción de sección interior definida por el óvalo de la curva elíptica X2 = y3+yl2+2127 o el óvalo superior de la lemniscata de Huygens X2+y4 = y2 es el 20,1 % de la

velocidad a sección llena. Para la sección definida por el óvalo superior de la lemniscata de Bemoulli (X2+y2)2 = 2(y2_X2), la velocidad del flujo para un caudal relativo del 1 por mil es el 20,2% de la velocidad a sección llena. Por otro lado, si el caudal es el 0,5 por mil del caudal a sección llena, las velocidades relativas son del 16,5% para la lemniscata de Booth 3(X2+y2)2 =

8y2_4x2 , del 16,9% para la lemniscata de Bemoulli (X2+y2)2 = 2(y2_X2) y del 17,0% para la curva elíptica X2 = -y3+y!2+2127 Yla lemniscata de Huygens X2+y4 = y2 .

En resumen, en las conducciones de sección interior definida por el óvalo de la curva elíptica X2 = -y3+yl2+2127, el óvalo superior de la lemniscata de Huygens X2+y4 = y2 o el óvalo superior de la lemniscata de Bemoulli (X2+y2)2 = 2(y2_X2) se consigue un incremento de la velocidad relativa en tomo al 30% sobre la velocidad relativa de la sección circular, y del 9% al 14% sobre la velocidad de la sección ovoidal para caudales del 0,5 all por mil del caudal a sección llena.

El aumento de velocidad relativa para esos caudales pequeños en las conducciones de sección interior definida por el óvalo superior de la lemniscata de Booth 3(X2+y2)2 = 8y2-4x2 es algo menor, pero también es significativo, puesto que supone en tomo a un 27% sobre la velocidad relativa en la sección circular, y entre un 6% y un 11 % sobre la velocidad relativa en la sección ovoidal.

Descripción detallada

La conducción objeto de la invención se caracteriza porque la sección interior está delimitada por un óvalo de una curva algebraica plana de grado mayor que 2, simétrica respecto al eje vertical, con un apuntamiento diferenciado en su parte inferior respecto a la forma en su parte superior y preferiblemente convexa para maximizar el radio hidráulico. Algunos ejemplos de estas curvas son ciertas curvas elípticas y las lemniscatas de Huygens, de Bemoulli o de Booth.

En matemáticas se llaman curvas elípticas a las curvas algebraicas proyectivas SU8.ves de género 1, Yen particular a las curvas planas cuya ecuación se puede reducir a una del tipo X2 = _y3_py+q, donde p y q son dos parámetros. Las curvas elípticas no deben confundirse con la elipse, curva con dos ejes de simetría de ecuación (reducible a) (x!aY+(ylb Y=I: las curvas elípticas reciben ese nombre por su relación con la teoría de funciones elípticas. La geometría en el plano euclídeo de las curvas elípticas admite distintas configuraciones dependiendo del signo del discriminante D = -4p3-27q2. Sólo las curvas elípticas con discriminante D mayor

o igual que cero tienen una componente cerrada u óvalo (que no debe confundirse con el ovoide), y por 10 tanto sólo esas curvas elípticas pueden definir la sección interior de una tubería. Se tiene entonces una sección interior distinta para cada par de valores p y q tales que _4p3 >= 27q2, Y cada una de esas secciones es convexa.

La lemniscata de Huygens es la curva de ecuación X2 = y2_y4 ,y pertenece a la familia de curvas denominadas lemniscatas de Broughman-Routh, que tienen ecuación xm=ynCn-1)(1_I), donde los parámetros m y n son dos números enteros mayores que 1. Las curvas de esa

familia sólo presentan alguna componente cerrada u óvalo cuando m es un número par, y ese óvalo, que siempre es puntiagudo, es convexo sólo cuando n=2. La lemniscata de Huygens es la curva de esa familia con m=n=2.

Las lemniscatas de Bernoulli son las curvas de ecuación (y2+X2)2 = 2a2(y2_x2), donde a es un parámetro que actúa como un factor de escala, y por 10 tanto, a efectos de definir la sección interior de una conducción puede obviarse, por ejemplo, particularizándolo en a=l. La lemniscata de Bernoulli con a=l, de ecuación (X2+y2)2 = 2(y2_X2), también es la curva correspondiente al valor del parámetro c=ll2 de la familia de lemniscatas de Booth, de ecuación (X2+y2)2+4x2= 4C(X2+y2) con c entre O y 1. Todas las lemniscatas están formadas por dos componentes cerradas u óvalos simétricos, convexos y puntiagudos unidos entre sí por sus puntas. Para definir el contorno de la sección interior sólo se usa el óvalo superior (el que está formado por los puntos de ordenada positiva).

La sección interior de una conducción es la que determina su comportamiento hidráulico. Algunas de las conducciones objeto de esta invención, con sección definida por una curva algebraica cerrada plana con apuntamiento inferior significativo, registran un aumento de la velocidad relativa para caudales pequeños de hasta un 32% respecto a la de la sección circular, lo que supone una mejora considerable respecto a las conducciones de sección ovoidal (ver Figuras 1, 2, 3 y 4 en las que se comparan las relaciones entre el caudal relativo al caudal a sección llena Q/Ql1 y la velocidad relativa a la velocidad a sección llena v/vll de algunas de estas secciones con la sección circular y el ovoide).

La forma exterior de la sección transversal depende de la sección interior, del material de la tubería, del proceso de fabricación de la conducción y de la resistencia mecánica requerida. Para conducciones construidas a partir de piezas de tubería cuya fabricación e instalación es más simple o sensiblemente menos costosa si se hace con pared de espesor constante (como el PRFV con la técnica de arrollamiento cruzado, el PVC extrusionado, las tuberías de pared estructurada o las de chapa de acero doblado y soldado longitudinalmente), la sección exterior se obtiene por off-set de la sección interior. Sin embargo, para conducciones de hormigón construidas in-situ o fabricadas con piezas de tubería mediante un proceso en el que un espesor de pared no constante no dificulte significativamente la fabricación o la instalación, la sección exterior puede ser plana en la parte inferior, y adoptar distintas formas en el resto de la sección transversal. Este es el caso de las piezas de tubería de hormigón fabricadas con la técnica de vibro compresión o vibrocompactación en moldes de eje vertical con la forma adecuada. Aumentando el espesor de pared en las partes superior e inferior, y por tanto el momento de inercia de la sección, se pueden adoptar secciones exteriores que maximicen la resistencia a flexión de las piezas de tubería, especialmente de aquellas que se prevé que van a estar fuertemente sometidas a esta solicitación. También es posible reforzar la parte inferior de la sección frente a la concentración de esfuerzos ocasionada por el apuntamiento mediante la inclusión de tabiques longitudinales colocados más o menos verticalmente y uniendo el exterior de la sección con la base de apoyo de la pieza. Estos tabiques, además de servir de refuerzo, tienen el doble cometido de cerrar los laterales o riñones de la tubería a la entrada de material dificilmente compactable en instalación subterránea, pudiendo los huecos que se crean servir de alojamiento a otras instalaciones como las de telecomunicaciones, control, etc.

o para la detección de fugas. Alternativamente dichos huecos podrían cegarse con el r.1aterial del que está hecha la conducción, a costa de emplear mayor volumen de material en el proceso de fabricación.

El tamaño de la sección depende del caudal máximo a transportar, de la rugosidad del material en la cara interior y de variables geométricas como la pendiente del fondo de la conducción una vez construida. Si se construye a partir de piezas de tubería hechas de materiales pesados como hormigón, fundición o acero, la longitud de cada una de las piezas responde a un compromiso entre las necesidades de minimizar el número de juntas (y por tanto las pérdidas de carga) y la de fabricar piezas transportables y suficientemente manejables.

Las uniones entre piezas de tubería y entre éstas y los accesorios dependen del material de fabricación, del tamaño de la sección y de la presión interior máxima de trabajo en caso de entrar en carga la conducción. Para conducciones de sección interior definida por una curva algebraica plana de grado mayor que 2 se pueden usar las mismas tipologías de uniones que para las de sección ovoidal del mismo tamaño y material: unión machihembrada para piezas de tubería de hormigón, de enchufe-cilindro para las de PRFV y las de termoplásticos (PVC, PE, pared estructurada de PVCU+PP+PE), de enchufe-campana para las de hormigón y las de fundición o unión soldada para las de acero.

El sellado de las umones entre piezas y entre éstas y accesonos se realiza mediante las mismas juntas de estanqueidad que para las tuberías ovoidales. Estas juntas pueden ser de diversos tipos: para piezas de tuberías de hormigón con unión machihembrada se emplean o bien juntas rígidas hechas de mortero in situ, o bien juntas elásticas hechas con mástic bituminoso, masilla polimérica o de un material hidroexpansivo aplicado in situ, o se sellan las juntas con una banda elástica o bituminosa convenientemente adherida al interior de las piezas. También se pueden sellar las juntas con una combinación de dos o más de estas tipologías. Para las uniones de enchufe-campana se utilizan juntas de estanqueidad de material elastómero, de tipo tórico o de sección en V, en arpón o cualquier otra que garantice la estanqueidad permitiendo pequeños ángulos en la alineación longitudinal de las piezas, y alojadas en un cajeado o resalto en el interior de la campana. Las uniones de tipo enchufecilindro entre piezas de material polimérico (PRFV, PVC, etc.) se sellan mediante un mastic del mismo material o mediante soldadura química de las dos piezas.

La construcción de conducciones a partir de piezas de tubería requiere, según las características geométricas y el uso final al que se destine la conducción, de accesorios como cambios de dirección, cambios de sección, cierres o tapones, derivaciones en T o en Y, acometidas, válvulas, pozos de acceso o de registro, embocaduras a depósitos, reb03aderos laterales, etc. En las conducciones de sección interior delimitada por una curva algebraica plana de grado superior a 2, los accesorios de cambio de dirección como curvas, codos, etc., los rebosaderos laterales y las embocaduras en pozos o depósitos conservan la misma sección interior que las piezas de tubo. Los accesorios de derivación también tienen la misma sección en los tres ramales. Los accesorios de cambio de tamaño o de cambio de forma de la sección interior se fabrican de forma que la generatriz inferior de la sección interior sea paralela al eje de la conducción.

Descripción de las figuras

Figura 1: Comparación del comportamiento hidráulico de la sección elíptica X2 y3+y/3+2/27 frente a la sección circular y el ovoide.

Figura 2: Comparación del comportamiento hidráulico de la sección encerrada por el óvalo superior de la lemniscata de Huygens frente a la sección circular y el ovoide.

Figura 3: Comparación del comportamiento hidráulico de la sección encerrada por el óvalo superior de la lemniscata de Bemoulli (X2+y2)2=2(y2_X2) frente a la sección circular y el ovoide.

Figura 4: Comparación del comportamiento hidráulico de la sección encerrada por el óvalo superior de la lemniscata de Booth (X2+y2)2=8y2/3-4x2/3 frente a la sección circular y el ovoide.

Figura 5: Sección recta de una pieza prefabricada de hormigón armado de una conducción con sección interior encerrada por el óvalo superior de la lemniscata de Huygens.

Figura 6: Sección recta de una pieza de tubería de poliéster reforzado con fibra de vidrio para una conducción con sección interior encerrada por el óvalo superior de la lemniscata de Bemoulli.

Figura 7: Secciones rectas de una pieza prefabricada de hormigón armado para una conducción con sección interior encerrada por el óvalo de una curva elíptica y de una pieza de tubería conformada en chapa de acero con sección interior encerrada por el óvalo superior de la lemniscata de Booth con c=2/3.

Modos de realización de la invención

Para ilustrar un caso concreto se puede elegir la sección interior delimitada por el óvalo superior de la lemniscata de Huygens porque para caudales del 1 por mil del caudal a sección

llena la velocidad del flujo todavía es el 20,07% de la velocidad a sección llena. Esta sección interior tiene su parte inferior terminada en punta, por 10 que para configurar una base de apoyo plana sin emplear más hormigón del necesario se recurre a dos nervios de hormigón en forma de planos verticales en dirección longitudinal y de espesor similar al de la pared de la tubería que unen las paredes laterales de la misma con la base en los puntos más distantes al centro (Figura 5). Estos tabiques longitudinales de hormigón tiene el doble propósito de incrementar la resistencia a la rotura bajo las solicitaciones a flexión lateral a la que estará sometida la base y de cerrar el hueco en los riñones de la tubería para evitar que el material de relleno que allí se depositaría quede mal compactado durante la instalación. Los dos huecos que quedan entre estos tabiques y el cuerpo de la tubería pueden ser utilizados, dándoles la debida continuidad y capacidad de drenaje, y conectándolos con la superficie a través de pequeños tubos a la altura de los pozos en los que introducir una sonda, para detectar posibles fugas en la conducción aguas abajo de donde se producen, de la misma forma que se detectan los escapes de las láminas de impermeabilización de las balsas analizando la descarga de los tubos y otros dispositivos de drenaje.

Un segundo ejemplo de aplicación de la invención es el de los colectores de las redes de evacuación de pluviales y residuales de zonas industriales. En este caso la agresividad química de las aguas residuales es potencialmente mayor que en las zonas urbanas (dependiendo del tipo de industria y de las normas de pretratamiento antes del vertido aplicables), y el uso de conducciones de hormigón armado no es aconsejable. Se elige como material para las conducciones de este tipo el poliéster reforzado con fibra de vidrio (PRFV), con un recubrimiento interior de una resina especial que proteja la matriz de poliéster. El colector va enterrado en todo su recorrido, por 10 que no es necesario un recubrimiento exterior que proteja el material de la radiación solar.

En este caso se puede optar por instalar una conducción cuya sección interior venga definida por la lemniscata de Bemoulli (o equivalentemente, la lemniscata de Booth con parámetro c=ll2), porque la velocidad del flujo es el 20,18% de la velocidad a sección llena cuando el caudal es de sólo el 1 por mil del caudal a sección llena, y porque es proporcionalmente más estrecha que otras secciones definidas por lemniscatas y curvas elípticas, asumiendo por tanto menores cargas verticales debidas al peso del relleno sobre la conducción (Figura 6).

Claims

REIVINDICACIONES

1.

Elemento tubular caracterizado por tener sección interior constante delimitada por una curva que sigue sensiblemente, salvo escala, un óvalo cerrado de una curva algebraica plana de grado superior a 2, simétrica respecto al eje vertical y con un apuntamiento sensiblemente acusado en su parte inferior respecto al de su parte superior y preferiblemente convexa para maximizar el radio hidráulico.
2.

Elemento tubular caracterizado por tener sección interior constante delimitada por una curva que sigue sensiblemente, salvo escala, el óvalo cerrado de una curva elíptica, esto es, una curva algebrica plana cuya ecuación se puede reducir a una del tipo X2 = _y3_py+q con

4p3 >= 27q2.
3. Elemento tubular caracterizado por tener sección interior constante delimitada por una curva que sigue sensiblemente, salvo escala, un óvalo cerrado de alguna de las curvas de la familia de las lemniscatas de Broughman-Routh, es decir, una curva algebraica plana cuya

mn

ecuación se puede reducir a una del tipo xm=ye-I}(1_yn) con m y n enteros mayores que 1 y m

par.
4.

Elemento tubular caracterizado por tener sección interior constante delimitada por una curva que sigue sensiblemente, salvo escala, un óvalo cerrado de alguna de las curvas de la familia de las lemniscatas de Booth, es decir, una curva algebraica plana cuya ecuación se puede reducir a una del tipo (X2+y2)2+4x2 = 4C(X2+y2) con c m~yor que O y menor que 1.
5.

Elemento tubular caracterizado por tener sección interior constante delimitada por una curva que sigue sensiblemente, salvo escala, uno de los óvalos de la lemniscata de Huygens,

curva algebraica plana de ecuación reducible a X2 = y2_y4 .
6.

Elemento tubular caracterizado por tener sección interior constante delimitada por una curva que sigue sensiblemente, salvo escala, uno de los óvalos de la lemniscata de Bemoulli, curva algebraica plana de ecuación reducible a (X2+y2)2 = 2(y2_X2).

Figura 1

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Figura 3

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