ITNA20090075A1 - Sistema di disposizioni differenziate dei tasti sul manico dei liuti - Google Patents

Description

DESCRIZIONE

dell’invenzione avente per titolo:

“SISTEMA DI DISPOSIZIONI DIFFERENZIATE

DEI TASTI SUL MANICO DEI LIUTI”

PREMESSA

La tradizionale disposizione dei tasti sul manico di tutti gli strumenti della categoria dei liuti genera identiche sequenze cromatiche per tutte le corde, in virtù della relazione di proporzionalità inversa, che lega frequenze e lunghezze dei segmenti di corda vibranti.

I temperamenti che possono generare scale cromatiche uguali sono quelli “equabili” e, sotto alcune condizioni, che li rendono improponibili per questa categoria di strumenti, anche quei particolari temperamenti irregolari che comportano la suddivisione dell’ ottava in gruppi uguali di semitoni diversi. Per questi ultimi temperamenti il numero delle corde, diversamente intonate, non deve superare quello dei gruppi e la loro accordatura è subordinata alla particolare suddivisione dell’ottava. Si riporta un esempio a chiarimento del concetto (vedi fig.l - le misure sono espresse in CENTS):

un’ottava è suddivisa in 4 gruppi uguali di 3 semitoni diversi: Si, S2, S3(con Si+ S2+ S3= 300)<1>; se si vogliono ottenere scale cromatiche uguali, occorre limitare a 4 il numero massimo delle corde da affiancare a quella principale<2>, e accordarle nel modo seguente:

DO (0), Mib (300), FA# (600), LA (900), DOi (1200).

In conclusione si può affermare che solo i temperamenti regolari sono compatibili con la tradizionale disposizione dei tasti.

Un brano musicale composto in una scala non equabile viene, pertanto, snaturato se eseguito con tali strumenti. Se si tentasse, con un sistema di tasti mobili, di applicare un particolare temperamento ineguale, quali anomalie nascerebbero?

Per una sola corda (la principale) è certamente possibile determinare la disposizione dei tasti legata alla scala cromatica avente per fondamentale la nota a cui è intonata la corda stessa. Una seconda corda, diversamente intonata, affiancata ad essa, è costretta a produrre la stessa sequenza cromatica: è possibile in tal caso dimostrare che esiste almeno una coppia di tasti che generano due note di ugual nome con altezze diverse.

All’ aumentare del numero delle corde (con intonazioni diverse) aumenta quello delle anomalie. Spostando successivamente i tasti in una posizione di compenso, si può solo operare una interpolazione dei suoni.

Un esempio può essere fornito prendendo in esame il temperamento irregolare, elaborato dall’Ing. MAZZA (che verrà illustrato in seguito), il quale presenta 2 semitoni di taglio diverso nell’ambito di un’ottava, ed il relativo schema grafico delle 12 scale cromatiche, riportato in fig.2. Da esso si può estrarre un secondo schema (fig.3)<3>con 6 scale, le cui fondamentali corrispondono all’accordatura classica per chitarra:

MI - LA - RE] - SOLi - Sii - M2(dal basso verso l’acuto).

Scelta la VI corda come principale<4>, se si esamina la coppia di scale con fondamentali MI, LA, si può notare come il RE] emesso sul 5° tasto dalla V corda abbia una frequenza minore di quella (vera) della stessa nota emessa sul 10° tasto dalla VI corda, con una differenza pari a quella dei due semitoni della scala.

Di una uguale quantità sono più alte le note LA2, FA2, D02, emesse sul 10° tasto rispettivamente dalle corde II, III, IV, ecc.

NOVITÀ’ DEL PROGETTO

Appare evidente che se si vuole costruire uno strumento che possa consentire l’esecuzione di un brano composto in una scala diversa da quella “temperata equabile, è necessario abbandonare il tradizionale sistema di tastatura del manico. Con riferimento ad un particolare temperamento irregolare, se a corde, con intonazioni diverse, sono associabili scale cromatiche diverse, è necessario far corrispondere a ognuna di esse una specifica sequenza di tasti: ogni corda deve essere considerata, cioè, come un monocordo che richiede una tastatura legata alla propria intonazione.

Il tradizionale tasto continuo viene suddiviso, pertanto, in tante parti quante sono le corde. C’è da osservare, tuttavia, che, quando le parti contigue capitano alla stessa distanza dal capotasto, è possibile fonderle in un unico pezzo.

Questo innovativo sistema di tastature indipendenti del manico comporta, per quanto detto, la frammentazione di un certo numero di tasti. È opportuno elaborare uno schema grafico delle scale cromatiche che si intende realizzare, per essere facilitati nel calcolo delle posizioni dei tasti e per localizzare in maniera immediata i loro punti di discontinuità.

Si potrebbe dimostrare che tali punti e la loro distribuzione spaziale dipendono dal temperamento prescelto, dal numero delle corde e dalla loro intonazione.

A titolo di esempio si può far di nuovo riferimento agli schemi riportati nelle figg. 2 e 3.

È spontaneo a questo punto chiedersi se un manico così tastato non offra difficoltà tecniche di esecuzione.

Per dare una risposta occorre anzitutto osservare che l’ampiezza degli scostamenti tra spezzoni di tasto contigui (non allineati) dipende dalla lunghezza del diapason, dalla differenza d’ampiezza dei semitoni e dalla zona del manico in cui essi sono collocati. Sotto questo aspetto sono privilegiate, a vantaggio dell’esecutore, le seguenti opzioni:

- Diapason non molti lunghi;

- Scale che presentano pochi semitoni di taglio diverso con piccole differenze d’ampiezza;

- Soluzioni che portano a collocare i tasti frammentati quanto più lontano dal capotasto, nelle zone in cui gli scostamenti si riducono a parità di intervallo musicale (in seguito se ne darà un esempio).

E opportuno precisare che questo sistema costruttivo non consente alcuna variazione: lo strumento è rigidamente legato ad un solo temperamento musicale e ad una sola accordatura. Ad esempio, con riferimento ai vari temperamenti musicali storici, si potrebbero costruire strumenti VALLOTTI, MESOTONICI, WERCKMEISTER, KIRNBERGER, ecc.

Esso può essere accompagnato solo da strumenti ad intonazione variabile, come, ad esempio, da quelli ad arco, da un clavicembalo accordato nella stessa scala, dalla voce umana, ecc.

FINALITÀ’ DEL PROGETTO

L’idea del progetto è nata per soddisfare le esigenze di tutti coloro che, non contenti del compromesso musicale che caratterizza la scala temperata equalizzata, amano l’ascolto (o l’esecuzione) dei brani composti nei vari periodi storici con le scale dell’epoca, senza quelle anomalie sonore che nascerebbero con qualsiasi strumento, se lo si volesse tastare alla maniera tradizionale in base a quelle scale

SEQUENZA DI INTERVENTI OPERATIVI

richiesta per l’innovativo processo di tastatura del manico:

- Scelta del temperamento musicale;

- Calcolo delle frequenze relative e dei semitoni con l’utilizzo delle formule (a), proposte dall’Ing. MAZZA; - Elaborazione dello schema grafico delle scale cromatiche; - Scelta del numero delle corde, degli intervalli di accordatura, dell’ accordature e del diapason nominale (b); - Minimizzazione della frammentazione dei tasti, con l’ausilio dello schema grafico;

- Calcolo delle posizioni dei tasti, per monocordi indipendenti, con l’impiego delle formule (c), proposte dall’Ing. MAZZA;

- Correzione della posizione dei ponticelli per ottimizzare la precisione dei suoni (d) (opzionale).

L’Ing. MAZZA ha elaborato una sua teoria sui temperamenti musicali ed ha approntato una serie di dispense di prossima pubblicazione, alle quali si rimanda per eventuali approfondimenti .

In questo contesto si riportano, per semplicità, i capisaldi dell’elaborazione:

1 - Procedimento di calcolo in termini logaritmici, con la misura degli intervalli in CENTS;

2- SCHEMA DI RIFERIMENTO: successione ordinata delle

12 quinte pitagoriche con il RE posto al centro:

LAb · Mlb · SIb · FA · DO · SOL · RE · LA · MI · SI · FA# · DO# · SOL#

3- SCHEMA DELLE 12 QUINTE RIDOTTE nel

O

temperamento generico: 3⁄4J

o LAb · Mlb · SIb · FA · DO · SOL · RE · LA · MI ■ SI · FA# · DO# · SOL#<■>’ — *4 — *3 —X\ ~X\ | — *ι —Χχ —X3— X4— *5 -*6<X>"<—>*8

4- FORMULE (a) per il calcolo delle frequenze relative delle note (per frequenza relativa si intende il rapporto della frequenza assoluta di una nota a quella del DO):

FORMULE (a)

I valori numerici riportati in tabella sono quelli pitagorici e, pertanto, è possibile enunciare la seguente regola: per un qualsiasi temperamento musicale, qualora si faccia riferimento alla sequenza delle 12 quinte ridotte, il valore della frequenza relativa di una nota è pari a quello pitagorico diminuito della somma di tutte le riduzioni comprese tra il DO e la nota, se essa si trova a destra del DO, aumentato se a sinistra.

b) Il diapason nominale è la lunghezza teorica di riferimento per il calcolo delle posizioni dei tasti: essa coincide con la distanza tra il capotasto ed un ipotetico ponticello parallelo ad esso.

c) Le formule proposte dall’Ing. MAZZA per il calcolo delle posizioni dei tasti sono:

FORMULE (c)

Il significato dei simboli è il seguente:

d„ = distanza nominale dell’ennesimo tasto dal ponticello (essa subisce una variazione allorché si va a correggere la posizione del ponticello);

de= la sua distanza effettiva dal capotasto (rimane costante);

do= diapason nominale;

= prodotto dei primi n semitoni.

d) La posizione di ogni ponticello viene corretta separatamente per compensare le variazioni di frequenza provocate sia dall’abbassamento delle corde sui tasti, sia dalla loro costante elastica (in questo caso trascurabile perché le corde non sono metalliche), sia da qualche irregolarità geometrica: si ottiene in tal modo una maggior precisione dei suoni, soprattutto nella zona della tastiera più vicina ai ponticelli.

La posizione di ogni ponticello viene fissata allorché la frequenza del secondo armonico, prodotto dalla vibrazione della corda sfiorata con un dito nel suo punto medio, coincide con quella del suono emesso dalla stessa se viene premuta sul 12° tasto. A tale scopo è meglio utilizzare un frequenzimetro elettronico.

5- Occorre, ovviamente, una previa trasformazione dei valori logaritmici (CENTS) in valori frazionari (e quindi decimali), per poter impostare il calcolo delle posizioni. Si ricorda che la relazione che lega un parametro frazionario (r) e l’equivalente logaritmico (c) è:

r— 2<c/1200>

A scopo dimostrativo l’Ing. MAZZA, dopo aver elaborato un

originale temperamento irregolare, ha costruito “manu propria”

due prototipi di chitarra con accordature diverse, tastati in base al

suo “temperamento”, ognuno dei quali consente resecuzione di

brani musicali in scala pitagorica o anche in quella zarliniana,

contratte a 12 suoni per ottava.

TEMPERAMENTO MUSICALE NON REGOLARE

“MAZZA”

Il procedimento di calcolo viene svolto in termini logaritmici,

con la misura degli intervalli in CENTS.

SCHEMA DI RIFERIMENTO:

con la quinta RE · LA ridotta di y e le rimanenti 11 quinte ridotte di x (rispetto a quelle pitagoriche).

CONDIZIONI IMPOSTE:

a) 1 \x y = CP

(la somma delle 12 riduzioni è pari al còmma pitagorico CP, per poter chiudere il circolo delle 12 quinte).

b) 3x y = CS

(la terza maggiore DO · MI ha il valore naturale, ovvero la somma delle prime 4 riduzioni, a partire dal DO verso destra, è pari al comma sintonico CS).

Per il calcolo delle frequenze relative delle note si utilizzano le formule (a) proposte dall’Ing. MAZZA. Risulta (in CENTS):

Nella tabella seguente si riportano anche gli equivalenti valori frazionari:

Le caratteristiche principali del temperamento sono:

a) Presenza di due semitoni di taglio diverso nell’ambito di un’ottava: l’uno (Si) ha un valore prossimo al semitono diatonico di Pitagora, l’altro (S2) a quello di Zarlino con differenze ben al di sotto della soglia di discriminabilità dei suoni;

b) Ogni intervallo musicale è presente in due tagli diversi con una differenza pari a quella dei due semitoni; in particolare il tono piccolo (Tp) e il tono grande (Tg);

c) Ogni scala cromatica è diversa dalle altre;

d) Delle 12 scale maggiori:

-6 con le fondamentali DO#, Mlb, MI, FA#, SOL#, SI sono = pitagoriche;

-1 con la fondamentale DO è = zarliniana;

-3 con le fondamentali RE, FA, SOL sono = di tipo zarliniano, con variazione di posizione dei toni;

-2 con le fondamentali LA, SIb non sono classificabili. E sufficiente conoscere il valore dei due semitoni per potersi calcolare quello di un qualsiasi intervallo musicale. Lo schema di fig.2 è di validissimo aiuto nell’individuazione di tutte le possibili caratteristiche del temperamento.

COSTRUZIONE DI DUE PROTOTIPI DI CHITARRA

L’Ing. MAZZA ha costruito personalmente i due strumenti con i normali attrezzi casalinghi, utilizzando materiali poveri.

Il fine perseguito non è stato, pertanto, quello della qualità timbrica e della forma estetica, condizionate dalla insufficienza dei mezzi usati, bensì quello del riscontro pratico dei suoi studi e delle sue teorie sulla fisica delle corde vibranti e degli strumenti a corda, sui suoni armonici, sui temperamenti musicali, ecc.

I risultati ottenuti possono ritenersi pienamente soddisfacenti: la precisione dei suoni su tutta l’estensione della tastiera, riscontrabile anche con misure elettroniche, il loro colore e le sfumature nel passaggio da una tonalità ad un’altra, derivanti dall’impiego di un temperamento musicale non regolare, coinvolgono l’ascoltatore sensibile e, nel confronto, evidenziano i limiti deH’imiforme espressività melodica caratterizzante il temperamento equalizzato.

Costruzione del 1° prototipo (con capotasto non frammentato -vd fotol e 2)

SEQUENZA DEGLI INTERVENTI OPERATIVI EFFETTUATI

- Scelta del temperamento musicale “MAZZA”;

- Scelta del numero delle corde: n = 6;

- Scelta degli intervalli di accordatura (dal basso verso l’acuto): 4<a>- 4<a>- 4<a>- 3<a>maggiore - 4<a>;

- Scelta del diapason nominale: do = 664 mm;

- Calcolo delle frequenze relative e dei semitoni con l’utilizzo delle formule (a);

- Elaborazione dello schema grafico delle 12 scale cromatiche (fig.2);

- Scelta dell’accordatura che minimizza la frammentazione dei tasti (dal basso verso l’acuto): FA - SIb - Mlb<1>-SOL#i - DO2- FA2. In fig.4 si riporta lo schema, sul quale è possibile localizzare con immediatezza i punti di discontinuità dei tasti;

- Calcolo delle posizioni dei tasti per ogni singola corda, con l’utilizzo delle formule (c). I risultati in mm sono riportati nelle figg. 6 e 7., nelle quali sono indicate a sinistra le distanze nominali dal ponticello, a destra quelle effettive dal capotasto;

- Sequenza di 24 tasti per corda, oltre al capotasto, per una estensione di 2 ottave per corda e di 4 ottave complessive (dal FA al FA4);

- Correzione della posizione dei ponticelli con le modalità prima indicate (d);

- Applicazione di un sistema di amplificazione elettronica del suono.

Costruzione del 2° prototipo (con capotasto frammentato - vd foto 3 e 4)

SEQUENZA DEGLI INTERVENTI OPERATIVI EFFETTUATI

- Scelta del temperamento musicale “MAZZA”;

- Scelta del numero delle corde: n = 6;

- Scelta degli intervalli di accordatura (dal basso verso l’acuto): 4<a>- 4<a>- 4<a>- 3<a>maggiore - 4<a>;

- Scelta del diapason nominale: do = 620 mm;

- Calcolo delle frequenze relative e dei semitoni con le formule (a);

- Elaborazione dello schema grafico (fig.2);

- Scelta dell’accordatura (dal basso verso l’acuto): MI - LA - REi - SOLi - Sii - MI2;

- Minimizzazione della frammentazione dei tasti:

osservando lo schema di fig.3, si nota come nell’ambito di un’ottava tutti i tasti risultano frammentati, con l’eccezione del capotasto e del 12° tasto. Facendo traslare verso il ponticello le due sequenze centrali di tasti (III e IV corda) di una quantità corrispondente alla differenza dei due semitoni, si trova la soluzione ottimale (fig.5);

- Aggiunta di una 7<a>tastatura per una corda intonata al RE (un tono sotto la corda MI), in modo che la VI corda può essere intonata al MI o, in alternativa, al RE quando occorre.

- Calcolo delle posizioni dei tasti per ogni singola corda con le formule (c). I risultati in mm sono riportati nelle figg. 8 e 9, nelle quali sono indicate a sinistra le distanze nominali dal ponticello, a destra quelle effettive dal capotasto.

- Sequenza di 17 tasti per corda, oltre al capotasto.

- Correzione della posizione dei ponticelli.

Al termine della descrizione, si è ritenuto opportuno riportare, come disegno principale, le due figg. a, b perché ognuna di esse ingloba i punti principali da rivendicare.

La fig. a è relativa al manico del 1° prototipo, la fig. b a quello del 2°.

Su ognuna delle due sono indicati con i numeri arabi i tasti fino al n.12 (con 0 è indicato il capotasto), con i numeri romani le corde. La scala per l’asse y è: = 1 :2.

Claims (4)

1. RIVENDICAZIONI dell’invenzione avente per titolo: “SISTEMA DI DISPOSIZIONI DIFFERENZIATE DEI TASTI SUL MANICO DEI LIUTI” RIVENDICAZIONE n.l SISTEMA DI DISPOSIZIONI DIFFERENZIATE DEI TASTI SUL MANICO DEI LIUTI È un sistema legato univocamente ad un temperamento musicale irregolare. Ogni corda viene considerata come un monocordo per il quale è richiesta una specifica sequenza di tasti, legata alla propria intonazione. Con tale innovativo sistema è possibile realizzare tastiere per manici di liuti, accordate in base a temperamenti storici, quali quelli elaborati da WERCKMEISTER, V ALLOTTI, KIRNBERGER, ecc... SEQUENZA DEGLI INTERVENTI OPERATIVI richiesta per il processo di realizzazione della tastiera: 1 . Scelta del temperamento musicale; 2. Calcolo delle frequenze relative e dei semitoni con l’utilizzo delle formule (a), proposte dall’Ing. MAZZA;* 3. Elaborazione dello schema grafico delle scale cromatiche;* 4. Scelta del numero delle corde, degli intervalli di accordatura, delle accordature e del diapason nominale; 5. Minimizzazione della frammentazione dei tasti, con l’ausilio dello schema grafico; 6. Calcolo delle posizioni dei tasti, per monocordi indipendenti, con l’impiego delle formule (c), proposte dall’Ing. MAZZA;* RIVENDICAZIONE n.
2. 2 FORMULE MATEMATICHE E SCHEMI GRAFICI proposti dall’Ing. MAZZA, da utilizzare per il calcolo di tutti gli intervalli musicali e delle posizioni dei tasti, in relazione ad un generico temperamento musicale. • CALCOLO DELLE FREQUENZE RELATIVE DELLE NOTE (in CENTS): SCHEMA DELLE 12 QUINTE RIDOTTE: LAb · Mlb · SIb · FA · DO · SOL · RE · LA · MI · SI · FA# · DO# · SOL# -≠4 — *3 ~<X>2 ~<X>'l 1 -*1<x>2 -*3 -*4<“>*5<“>*6<“>*7<“>*8 FORMULE (a) per il calcolo delle frequenze relative delle note (per frequenza relativa si intende il rapporto della frequenza assoluta di una nota a quella del DO): FORMULE (a)

   I valori numerici riportati in tabella sono quelli pitagorici e, pertanto, è possibile enunciare la seguente regola: per un qualsiasi temperamento musicale, qualora si faccia riferimento alla sequenza delle 12 quinte ridotte, il valore della frequenza relativa di una nota è pari a quello pitagorico diminuito della somma di tutte le riduzioni comprese tra il DO e la nota, se essa si trova a destra del DO, aumentato se a sinistra. CALCOLO DELLE POSIZIONI DEI TASTI: FORMULE (c) Il significato dei simboli è il seguente: d„ = distanza nominale dell’ennesimo tasto dal ponticello (essa subisce una variazione allorché si va a correggere la posizione del ponticello); de= la sua distanza effettiva dal capotasto (rimane costante); d0= diapason nominale; = prodotto dei primi n semitoni. • SCHEMI GRAFICI: L’esempio di schema grafico di Fig. 2, riportato nel documento “DISEGNI”, è di importanza fondamentale perché, oltre a fornire un’immagine integrale delle dodici differenti scale cromatiche, consente un rapido calcolo di tutti gli intervalli musicali e un loro immediato confronto nelle varie scale. Da esso si può estrarre un secondo schema riportante le sei scale cromatiche, corrispondenti alle intonazioni delle corde, dal quale è possibile ricavare la configurazione della tastiera ed essere pilotati nel calcolo delle posizioni dei tasti (vd figg. 3 e successive nel documento “DISEGNI”). RIVENDICAZIONE n.
3. 3 TEMPERAMENTO MUSICALE NON REGOLARE “MAZZA” Il procedimento di calcolo viene svolto in termini lorgaritmici, con la misura degli intervalli in CENTS. SCHEMA DI RIFERIMENTO: LAb · Mlb · SIb · FA · DO · SOL · RE · LA · MI · SI · FA# · DO# · SOL# -x -x -x -x || -x -x -y -x -x -x -x -x con la quinta RE · LA ridotta di y e le rimanenti 1 1 quinte ridotte di x (rispetto a quelle pitagoriche). CONDIZIONI IMPOSTE: a) 1 Ix y = CP (la somma delle 12 riduzioni è pari al comma pitagorico CP, per poter chiudere il circolo delle 12 quinte).

   (la terza maggiore DO · MI ha il valore naturale, ovvero la somma delle prime 4 riduzioni, a partire dal DO verso destra, è pari al comma sintonico CS). SISTEMA DI a) e b):

   SOLUZIONE

   Essendo (in CENTS) CP = 23,46001036 CS = 21,5062896 SC = 1,953720763 Risulta :

   Per il calcolo delle frequenze relative delle note si utilizzano le formule (a) proposte dall’Ing. MAZZA. Risulta (in CENTS):

   Nella tabella seguente si riportano anche gli equivalenti valori frazionari:

   RIVENDICAZIONE n.
4. 4 COSTRUZIONE DI DUE PROTOTIPI DI CHITARRA • Costruzione del 1° prototipo (con capotasto non frammentato vd. Foto 1 e 2) SEQUENZA DEGLI INTERVENTI OPERATIVI EFFETTUATI - Scelta del temperamento musicale “MAZZA”; - Scelta del numero delle corde: n = 6; - Scelta degli intervalli di accordatura (dal basso verso l’acuto): 4<a>- 4<a>- 4<a>- 3<a>maggiore - 4<a>; Scelta del diapason nominale: do = 664 mm; - Calcolo delle frequenze relative e dei semitoni con l’utilizzo delle formule (a); - Elaborazione dello schema grafico delle 12 scale cromatiche (fig.2); - Scelta dell’accordatura che minimizza la frammentazione dei tasti (dal basso verso l’acuto): FA - SIb - Mlb<1>- SOL#i - D02- FA2. In fig.4 si riporta lo schema, sul quale è possibile localizzare con immediatezza i punti di discontinuità dei tasti; - Calcolo delle posizioni dei tasti per ogni singola corda, con l’utilizzo delle formule (c). I risultati in mm sono riportati nelle figg. 6 e 7., nelle quali sono indicate a sinistra le distanze nominali dal ponticello, a destra quelle effettive dal capotasto; Sequenza di 24 tasti per corda, oltre al capotasto, per una estensione di 2 ottave per corda e di 4 ottave complessive (dal FA al FA4); - Correzione della posizione dei ponticelli; - Applicazione di un sistema di amplificazione elettronica del suono. • Costruzione del 2° prototipo (con capotasto frammentato - vd foto 3 e 4) SEQUENZA DEGLI INTERVENTI OPERATIVI EFFETTUATI Scelta del temperamento musicale “MAZZA”; Scelta del numero delle corde: n = 6; Scelta degli intervalli di accordatura (dal basso verso l’acuto): 4<a>- 4<a>- 4<a>- 3<a>maggiore - 4<a>; Scelta del diapason nominale: do = 620 mm; Calcolo delle frequenze relative e dei semitoni con le formule (a); Elaborazione dello schema grafico (fig.2); Scelta dell’accordatura (dal basso verso l’acuto): MI - LA - REi -SOLi - SE - MI2; Minimizzazione della frammentazione dei tasti: osservando lo schema di fig.3, si nota come nell’ambito di un’ottava tutti i tasti risultano frammentati, con l’eccezione del capotasto e del 12° tasto. Facendo traslare verso il ponticello le due sequenze centrali di tasti (III e IV corda) di una quantità corrispondente alla differenza dei due semitoni, si trova la soluzione ottimale (fig.5); Aggiunta di una 7<a>tastatura per una corda intonata al RE (un tono sotto la corda MI), in modo che la VI corda può essere intonata al MI o, in alternativa, al RE quando occorre. Calcolo delle posizioni dei tasti per ogni singola corda con le formule (c). I risultati in mm sono riportati nelle figg. 8 e 9, nelle quali sono indicate a sinistra le distanze nominali dal ponticello, a destra quelle effettive dal capotasto. Sequenza di 17 tasti per corda, oltre al capotasto. Correzione della posizione dei ponticelli.