ITTO980158A1

ITTO980158A1 - Filtro per l'equalizzazione e/o linearizzazione di sistemi non lineari

Info

Publication number: ITTO980158A1
Authority: IT
Inventors: Alberto Carini
Original assignee: Lo Sviluppo D Ell Elettronica
Priority date: 1998-02-26
Filing date: 1998-02-26
Publication date: 1999-08-26
Also published as: EP0939487A2; IT1302073B1; EP0939487A3

Description

Descrizione dell'invenzione industriale dal titolo:

FILTRO PER L'EQUALIZZAZIONE E/O LINEARIZZAZIONE DI SISTEMI NON LINEARI.

Riassunto

La presente invenzione industriale si riferisce ad un filtro inverso di ordine p, essendo p un numero intero positivo, di un sistema non lineare modellato con un filtro di Volterra, realizzato tramite la cascata del filtro inverso della parte lineare del sistema e di p-1 celle in cascata; la caratteristica principale consiste nel fatto che ciascuna cella comprende un primo ramo in cui è presente il segnale d'uscita del filtro inverso della parte lineare, e un secondo ramo formato dalla cascata della parte non lineare del modello con il filtro inverso della parte lineare del modello. Eliminando il filtro inverso in cascata alle p-1 celle si ottengono filtri prelinearizzatori e postlinearizzatori.

Descrizione

La presente invenzione industriale si riferisce ad un filtro per la linearizzazione e/o l'equalizzazione di un sistema non lineare; il filtro è ottenuto sviluppando in serie, in una struttura in cascata, un filtro linearizzatore o equalizzatore che deriva dal filtro inverso del modello del sistema.

Per sistema non lineare s'intende un sistema che realizza una trasformazione o un operatore che trasforma in modo non lineare una sequenza di ingresso x(n) in una sequenza di uscita y(n); tale trasformazione si può ottenere con uno o più dispositivi, almeno uno dei quali deve essere non lineare; ad esempio un altoparlante costituisce un sistema non lineare formato da un solo dispositivo, l'altoparlante appunto. L'insieme di un trasmettitore, un mezzo di trasmissione e un ricevitore costituisce un sistema non lineare costituito da un dispositivo non lineare (il mezzo di trasmissione che produce distorsione a causa ad esempio della componente di "fading" che dipende dalla frequenza), e da dispositivi che devono essere lineari (trasmettitore e ricevitore).

Una delle problematiche emergenti nell'elaborazione di segnali riguarda la linearizzazione o l 'egualizzazione di sistemi non lineari. Partendo da un modello del sistema non lineare, nell'egualizzazione si vuole identificare un filtro da porre in cascata prima o dopo il sistema non lineare tale che la risposta complessiva dell'insieme sistema più filtro coincida con l'identità nella banda di frequenze B che interessa. Nella linearizzazione invece, si vuole identificare un filtro da porre in cascata prima o dopo il sistema non lineare tale che la risposta complessiva dell'insieme sistema più filtro sia un sistema lineare nella banda di frequenze B che interessa.

Il problema, ad esempio, è molto sentito nel campo audio con le casse per le basse frequenze, i cosiddetti woofer. Sotto i 300 Hz, a causa dei grossi spostamenti subiti dalla membrana, le non linearità dovute alle sospensioni ed alla non uniformità del flusso nel magnete permanente generano considerevoli distorsioni non lineari.

Il concetto di filtro equalizzatore è strettamente collegato con quello di filtro inverso: il filtro inverso, collegato in cascata al sistema non lineare, realizza l'identità su tutto lo spettro di frequenze, mentre l'equalizzatore realizza l'identità, come detto, solo in una banda di frequenze B.

Una simile relazione esiste tra filtro linearizzatore perfetto e filtro linearizzatore, dove per filtro linearizzatore perfetto s'intende un filtro che, connesso in cascata con il sistema non lineare, realizza una risposta complessiva lineare su tutto lo spettro di frequenze. Per semplicità si suppone che il filtro linearizzatore generi una risposta complessiva pari alla sola funzione di trasferimento A(q) della parte lineare del sistema non lineare in esame, essendo q una variabile complessa. Un filtro 'linearizzatore è detto prelinearizzatore se è collegato in cascata prima del sistema non lineare, altrimenti si dice postlinearizzatore. In maniera analoga si può parlare di filtro preequalizzatore e postequalizzatore, così come di filtro preinverso e postinverso; ma, mentre preequalizzatore e postequalizzatore sono uguali, e così pure preinverso e postinverso, un prelinearizzatore è diverso da un postlinearizzatore, come si vedrà in seguito.

Si può facilmente verificare che un linearizzatore si può ottenere mettendo in cascata un filtro lineare con funzione di trasferimento uguale ad A(q) ed il filtro equalizzatore del sistema non lineare. Nel caso del prelinearizzatore il filtro lineare precede l'equalizzatore, nel caso del postlinearizzatore lo segue.

Normalmente la tecnica più comune per la linearizzazione o equalizzazione di sistemi non lineari associa il sistema non lineare con un filtro di Volterra, cioè un filtro la cui espressione matematica è la serie di Volterra troncata, cioè con un numero limitato di nuclei, dove per nucleo si intende un insieme di coefficienti dello stesso ordine. Il modello non lineare è poi invertito mediante il filtro inverso, detto anche inversa, di ordine p; si ricorda che l’inversa di ordine p-di un modello non lineare H è definita da Schetzen, nel libro "The Volterra and Wiener theories of non linear systems" New York Wiley 1980, come quel sistema di ordine p, che collegato in cascata ad H dà origine ad un sistema la cui serie di Volterra presenta nuclei nulli dal secondo al p-esimo e risposta impulsiva della parte lineare complessiva uguale ad un impulso unitario. Una definizione meno restrittiva dell'inversa di ordine p viene data da Sarti e Pupolin nell'articolo "Recursive techniques for thè synthesis of a p<th >order inverse of a Volterra filter", European Transaction on Telecommunications, Voi. 3, N. 4, July-August 1992, in cui si permette al filtro inverso di avere nuclei di ordine maggiore di p. In questo modo risulta più agevole la sintesi del filtro inverso.

L'inversa di ordine p richiede l'inversione della parte lineare del sistema non lineare; questo filtro inverso viene normalmente realizzato con un filtro FIR (Finite Impulse Response), come illustrato ad esempio nell'articolo "Adaptive linearization of a loudspeaker" di Franklin X. Y. Gao e Martin Snelgrove, pubblicato nei Proceedings of International Conference On Acoustic, Speech and Signal Processing, Toronto, Canada, May 1991. In questo caso la linearizzazione viene eseguita in modo adattivo, cioè con i filtri aggiornati ad ogni campione o gruppo di campioni di ingresso o di uscita. L'implementazione risulta piuttosto difficoltosa e l'identificazione dell'inversa della parte lineare del sistema non lineare è affetta da grossi errori di ampiezza e fase che degradano sensibilmente le prestazioni del linearizzatore. Il procedimento per la linearizzazione di casse acustiche proposto da Walter A. Frank nell'articolo ”An efficient approximation to thè quadratic Volterra filter and its application in real-time loudspeaker linearization", Signal Processing, Elsevier ,Voi. 45, No. 1, Jan. 1995, è indubbiamente più semplice da realizzare in quanto il modello è costituito dal prodotto di filtri lineari, ma presenta gli stessi problemi della soluzione proposta da Gao e Snelgrove. Scopo della presente invenzione è quello di indicare un filtro equalizzatore o linearizzatore che, ovviando ai suddetti inconvenienti, sia nello stesso tempo facilmente implementabile e stabile.

Per conseguire tale scopo la presente invenzione ha per oggetto un filtro equalizzatore e/o linearizzatore avente le caratteristiche descritte nelle rivendicazioni allegate, che formano parte integrante della presente descrizione. Ulteriori scopi e vantaggi della presente invenzione risulteranno chiari dalla descrizione particolareggiata che segue, e dai disegni annessi, fom iti a puro titolo di esempio esplicativo e non limitativo, in cui:

- la Fig. 1 rappresenta un filtro inverso;

- la Fig. 2 rappresenta un filtro prelinearizzatore perfetto; - · la Fig. 3 rappresenta un filtro inverso secondo l'invenzione;

- la Fig. 4 rappresenta un filtro prelinearizzatore perfetto secondo l'invenzione,·

- la Fig.5 rappresenta un filtro postlinearizzatore perfetto secondo l'invenzione;

- la Fig. 6 rappresenta una cella con ritardo;

la Fig. 7 rappresenta una particolare applicazione dell'invenzione;

Anche se le considerazioni che seguono sono applicabili a qualunque sistema non lineare, come ad esempio la classe dei filtri di Frank suddetti, i filtri polinomiali e i filtri descritti nell'articolo A. Carini, G.L. Sicuranza, V.J.Mathews, "On thè inversion of certain non linear Systems", IEEE Signal Processing Lettere, Dee. 1997, per semplicità descrittiva viene esaminato un sistema non lineare costituito da un filtro di Volterra di ordine L e lunghezza di memoria M rappresentabile con la seguente espressione:

in cui x(n) e y(n) sono rispettivamente i segnali di ingresso e uscita; A(q) è, come detto, un operatore lineare che agisce su x(n) esprimibile con:

dove ai sono i coefficienti del primo ordine, e N{x(n)] rappresenta la parte non lineare costituita da prodotti di campioni x(n)582*1

in cui l'indice r può essere 0 o 1; cij sono i coefficienti del secondo ordine e h11 12..1L quelli di ordine L; come definito precedentemente i l'insieme di coefficienti di uno stesso ordine viene detto nucleo.

Nell'articolo suddetto di Carini, Sicuranza e Mathews si dimostra che il filtro inverso della 1) è:

in cui A"1(q) è l'inversa di A{q). La 4) è rappresentata nello schema a blocchi di Fig. 1.

Da notare che se nella 3) r=l il filtro di Fig.1 è fisicamente realizzabile; se r.=0 non lo è, in quanto l'anello di reazione dipende da valori del segnale di uscita non ancora calcolati. Si verifica facilmente che collegando in cascata A(q) e il filtro 4) si ottiene il prelinearizzatore perfetto di Fig. 2 dato dalla espressione:

Il postlinearizzatore si ottiene scambiando di posizione i due blocchi nell'anello di reazione di Fig. 2, e la 5) diventa:

Come detto, spesso interessa equalizzare o linearizzare solo all'interno di una banda B; indicando con À'l(q) il filtro che equalizza A(q) nella banda B, l'equalizzatore espresso della equazione 1) diventa:

Analogamente il prelinearizzatore nella banda B diventa:

Se si desidera una risposta nulla fuori della banda B, deve essere À<-1>(q)=0 fuori della banda B.

In generale è opportuno che il segnale di ingresso x(n) sia limitato alla sola banda B, perché, in caso contrario, la parte del segnale fuori della banda B produce un disturbo dovuto a battimenti non eliminabile con il filtro linearizzatore o equalizzatore. Linearizzazione ed equalizzazione sono inoltre molto sensibili agli errori di fase tra A(q) e À<-1>(q); se ad esempio per una certa frequenza lo sfasamento è π, la distorsione non lineare raddoppia anziché essere eliminata.

I filtri equalizzatori o linearizzatori visti fino ad ora sono filtri polinomiali ricorsivi e pertanto presentano scarse proprietà di stabilità; se poi in 1) r=0, questi filtri non si possono nemmeno realizzare. Inoltre il filtro À<-1>(q) è in genere di difficile realizzazione in quanto la struttura ricorsiva impedisce l'introduzione di ritardi temporali nella risposta .

Per ovviare agli inconvenienti suddetti, l'invenzione propone di-espandere in serie il filtro linearizzatore o equalizzatore in una struttura non ricorsiva costituita da celle in cascata. Infatti, se A<'1 >(q) è stabile, allora si dimostra che la<'>' sequenza di sistemi definita da:

9)

converge al sistema 4) cioè al filtro prelinearizzatore perfetto, quando p tende all'infinito, e che il sistema 9) è una inversa di ordine p per la 1) secondo la citata definizione di Sarti e Pupolin. Poiché il filtro 4) è l'inversa esatta del sistema 1), e poiché, come noto, l'inversa di ordine p converge, per p tendente all'infinito, all'inversa esatta se A<-1 >(q) è stabile, è sufficiente dimostrare che la 9) è una inversa di ordine p della 1) per provare che la 9) converge alla 4). La dimostrazione è svolta per induzione. Collegando in cascata alla 1) il filtro 8), cioè il filtro 9) per p=l, si ottiene la relazione ingresso uscita:

j j

dove T1(n) è un operatore di Volterra di ordine superiore ad 1 come risulta dalle definizioni di 2) e 3); quindi W1(n) è l'uscita di una inversa di ordine 1 della 1). Indicando con wp(n) l'uscita di una inversa di ordine p, cioè:

11)

con Tp(n) -operatore di Volterra di ordine superiore a p,' si dimostra facilmente che:

12)

è l'inversa di ordine p+1 della 1).

Infatti, considerando una postinversa per cui u(n)=y(n), sostituendo 11) in 12)<' >si ottiene:

dove Tp<1(n) è un operatore di Volterra di ordine superiore a p+1, poiché N[.] è un operatore di Volterra di ordine superiore a 1. La 9) è quindi una inversa di ordine p della 1). In modo analogo si possono sviluppare in serie i filtri espressi dalle equazioni 5) e 5'), sempre supponendo che detti filtri siano stabili

per il postlinearizzatore perfetto. Equazioni analoghe si ricavano per equalizzatore, pre e postlinearizzatore definiti nella banda B.

In particolare, si definisce equalizzatore di ordine p un filtro·che, posto in cascata col sistema non lineare in esame, dà origine ad un sistema complessivo che, nella banda B, corrisponde all'identità a meno di operatori di Volterra di ordine superiore a p. Similmente, un filtro linearizzatore di ordine p è un filtro che, posto in cascata prima o dopo il sistema non lineare, risulta in un sistema complessivo che corrisponde, nella banda B, a un filtro lineare a meno di operatori di Volterra di ordine superiore a p.

La 9) si può rappresentare con lo schema a blocchi di Fig. 3; una inversa di ordine p è quindi data dalla cascata del filtro inverso lineare A<-1>(q) e di p-1 celle in cascata come quelle dentro il tratteggio di Fig.3, nella quale compaiono la prima e l'ultima cella della cascata. Ciascuna cella è costituita da un percorso o ramo superiore in cui è presente il segnale di uscita dell'inversa della parte lineare A<-1 >(q),.e da un ramo inferiore formato dalla cascata della parte non lineare N[.] del modello con il filtro inverso della parte lineare A<-1>(q) In Fig. 4 è rappresentato lo schema a blocchi del filtro prelinearizzatore perfetto di ordine p dell'espressione 14), ottenuto con la cascata di p-1 celle come quelle dentro il tratteggio; lo schema a blocchi del filtro postlinearizzatore perfetto 15) di ordine p si ottiene scambiando di posto A<-1>(q) e N[.], come in Fig.5.

Naturalmente, se si vuole ottenere 1'equalizzazione o la linearizzazione solo in una determinata banda B, occorre sostituire nelle espressioni 9),14),15) e nelle Figg. 3, 4 e 5 A<-1>(q) con À<-1>(q), essendo quest'ultimo come detto l'equalizzatore di A(q) nella banda B.

I filtri delle Figg. 3, 4 e 5 sono molto attraenti per la loro struttura costituita da celle identiche in cascata. Queste strutture sono però leggermente ridondanti per una semplice equalizzazione o linearizzazione di ordine p. Infatti nelle prime celle sono presenti nuclei di N[.] che contribuiscono all'uscita con nuclei di Volterra di ordine superiore a p. In particolare, numerando le celle da sinistra a destra da 1 a p-1, si possono eliminare dalla cella i-esima tutti i nuclei di N[.] di ordine maggiore di i+1, ed ottenere ancora una equalizzazione o linearizzazione secondo la definizione di Sarti e Pupolin.

I filtri di ordine p proposti presentano una complessità di calcolo leggermente superiore a quella dei corrispondenti filtri a cui convergono per p tendente all'infinito. Questi ultimi presentano, come detto, problemi di stabilità e non sono realizzabili quando in 1) l'indice r=0. I filtri di Figg.

3, 4 e 5, e i loro derivati per la sola banda B, sono invece realizzabili anche quando nella 1) r=0. Inoltre questi filtri non sono ricorsivi e sono sempre stabili, purché A<-1>(q) e À-1(q) siano stabili.

Inoltre è possibile compensare il ritardo introdotto nel ramo inferiore di ciascuna cella inserendo nel ramo superiore un ritardo q<-N >come mostrato in Fig. 6.

I filtri a celle, oggetto della presente, invenzione si applicano anche quando il sistema non lineare è modellato mediante i suddetti filtri di Frank, o nel caso di modelli più complessi quali i sistemi polinomiali ricorsivi.

Partendo da filtri equalizzatori e linearizzatori basati sulla esatta inversa del modello, si sono ottenuti filtri approssimati con una struttura non ricorsiva a celle in cascata di facile implementazione.

È chiaro che numerose varianti possono essere apportate al filtro linearizzatore e/o equalizzatore oggetto della presente invenzione, senza per questo uscire dai principi di novità insiti nell'idea inventiva.

Il linearizzatore proposto può ad esempio essere vantaggiosamente utilizzato in un sistema di altoparlanti costituito da un woofer, un midrange e un tweeter. In questo caso la distorsione più forte si ha nella banda che comprende il woofer e le frequenze più basse del midrange, ed è quindi conveniente fare la compensazione solo in questa banda. Trattandosi di una banda ridotta, modellazione con filtro di Volterra e linearizzazione vanno fatte dopo opportuna decimazione dei campioni del segnale audio, con il vantaggio quindi di operare a frequenza di campionamento più bassa.

Il· sistema è rappresentato in Fig. 7, in cui la freccia rivolta in basso è il decimatore, quella rivolta verso l'alto è l'interpolatore, L.P.1 è il filtro passa-basso che seleziona la banda in cui si esegue la linearizzazione, L.P.2 è il filtro passa-basso necessario per la ricostruzione del segnale interpolato, H.P.1 è il filtro passa-alto complementare di L.P.l, q<-N >compensa il ritardo del ramo superiore. L.P.1 e H.P.1 non sono critici, mentre L.P.2 deve avere il più possibile ampiezza costante e fase lineare per ottenere una buona linearizzazione.

Il blocco linearizzazione di fig. 7 rappresenta il filtro che va realizzato secondo gli insegnamenti del filtro prelìnearizzatore mostrato fig. 4. Naturalmente occorre definire matematicamente la curva di risposta degli altoparlanti, per ottenere il modello del dispositivo da linearizzare (in questo caso un altoparlante). Da questo modello matematico verrà poi ottenuto un filtro inverso e si adotterà il sistema di linearizzazione sopra descritto.

Con riferimento alla formula 3), il linerizzatore può essere implementato imponendo L=p=2, per la lunghezza della memoria M=51 per il termine lineare e M=40 per il termine quadratico, mentre 3 è il fattore che può essere scelto per la decimazione e interpolazione.

Claims

Rivendicazioni 1. Filtro inverso di ordine p, essendo p un numero intero positivo, di un sistema non lineare modellato con un filtro di Volterra, realizzato tramite la cascata del filtro inverso della parte lineare del modello e di p-1 celle in cascata, caratterizzato dal fatto che ciascuna di dette celle comprende un primo ramo in cui è presente il segnale di uscita del filtro inverso della parte lineare ed un secondo ramo formato dalla cascata della parte non lineare del modello con detto filtro inverso della parte lineare (fig. 3).
2. Filtro inverso secondo la rivendicazione 1, caratterizzato dal fatto che la modellazione del sistema non lineare avviene mediante filtro di Volterra non ricorsivo.
3. Filtro inverso secondo la rivendicazione 1, caratterizzato dal fatto che la modellazione del sistema non lineare avviene mediante il prodotto di filtri lineari di tipo Frank.
4. Filtro inverso secondo la rivendicazione 1, caratterizzato dal fatto che la modellazione e l'equalizzazione del sistema non lineare avvengono solo in una banda di frequenza prefissata.
5. Filtro inverso secondo la rivendicazione 1, caratterizzato dal fatto che nel primo ramo di ciascuna cella viene inserito un ritardo tale da compensare il ritardo prodotto dal secondo ramo (fig. 6).
6. Sistema di equalizzazione che impiega un filtro inverso secondo una o più delle precedenti rivendicazioni.
7. Filtro prelinearizzatore perfetto di ordine p, essendo p un numero intero positivo, di un sistema non lineare modellato con un filtro di Volterra, realizzato tramite la cascata di p-1 celle in cascata, caratterizzato dal fatto che ciascuna cella comprende un primo ramo in cui è presente il segnale di ingresso ed un secondo ramo formato dalla cascata della parte non lineare del modello con il filtro inverso della parte lineare del modello (fig. 4).
8. Filtro postlinearizzatore perfetto p, essendo p un numero intero positivo, di un sistema non lineare modellato con un filtro di Volterra, realizzato tramite la cascata di p-1 celle, caratterizzato dal fatto che ciascuna cella comprende un primo ramo in cui è presente il segnale di ingresso ed un secondo ramo formato dalla cascata del filtro inverso della parte lineare del modello con la parte non lineare del modello (fig. 5).
9. Filtro linearizzatore secondo la rivendicazione 7 o 8 caratterizzato dal fatto che la modellazione del sistema avviene mediante filtro di Volterra non ricorsivo.
10. Filtro linearizzatore secondo la rivendicazione 7 o 8 caratterizzato dal fatto che la modellazione del sistema avviene mediante il prodotto di filtri lineari di tipo Frank.
11. Filtro linearizzatore secondo la rivendicazione 7 o 8 caratterizzato dal fatto che la modellazione e la linearizzazione del sistema avvengono solo in una banda di frequenza prefissata.
12. Filtro linearizzatore secondo la rivendicazione 7 o 8 caratterizzato dal fatto che nel primo ramo di ciascuna cella viene inserito un ritardo tale da compensare il ritardo prodotto dal secondo ramo.
13. Filtro linearizzatore secondo la rivendicazione 11 caratterizzato dal fatto che il sistema non lineare è costituito da un sistema acustico che comprende almeno un altoparlante.
14. Sistema di linearizzazione che impiega un filtro linearizzatore secondo una o più delle precedenti rivendicazioni.
15. Filtro equalizzatore e/o linearizzatore quale risulta dalla descrizione e dai disegni annessi.
16. Riproduttore acustico che impiega un filtro linearizzatore secondo una o più delle precedenti rivendicazioni.
17. Riproduttore acustico secondo la rivendicazione 16 caratterizzato dal fatto che il filtro linearizzatore prevede 1 cella e una lunghezza di memoria pari a 51 per il termine lineare e 40 per il termine quadratico, nonché un fattore di decimazione e interpolazione pari a 3.