JP2000293508A - 非等間隔格子において空間微係数を用いたポアソン方程式、拡散方程式および類似の偏微分方程式の高精度計算プログラム - Google Patents
非等間隔格子において空間微係数を用いたポアソン方程式、拡散方程式および類似の偏微分方程式の高精度計算プログラムInfo
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- JP2000293508A JP2000293508A JP11128984A JP12898499A JP2000293508A JP 2000293508 A JP2000293508 A JP 2000293508A JP 11128984 A JP11128984 A JP 11128984A JP 12898499 A JP12898499 A JP 12898499A JP 2000293508 A JP2000293508 A JP 2000293508A
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- G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
- G06F17/10—Complex mathematical operations
- G06F17/11—Complex mathematical operations for solving equations, e.g. nonlinear equations, general mathematical optimization problems
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Abstract
(57)【要約】
【課題】１次元、２次元および３次元空間における非等
間隔格子上で、ポアソン方程式、拡散方程式および類似
の偏微分方程式を数値計算により精度良く求める。 【解決手段】空間２階微分項と空間３階微分項に対し
て、各格子点上で方程式の従属変数とその空間１階微係
数を独立に従属変数とした離散化式を作成し、数値計算
プログラムを作る。
間隔格子上で、ポアソン方程式、拡散方程式および類似
の偏微分方程式を数値計算により精度良く求める。 【解決手段】空間２階微分項と空間３階微分項に対し
て、各格子点上で方程式の従属変数とその空間１階微係
数を独立に従属変数とした離散化式を作成し、数値計算
プログラムを作る。
Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】電磁気学の静電ポテンシャル
や非圧縮性流体力学のナヴィエ・ストークス方程式の圧
力を決める方程式などはポアソン方程式の形をしてい
る。また、熱伝導や物質拡散は拡散方程式に従ってい
る。本発明は、これらを用いて現象を再現しようとする
数値計算プログラムや設計評価を行うプログラムにおい
て、ポアソン方程式、拡散方程式および類似の偏微分方
程式を数値計算するプログラムに関するものである。
や非圧縮性流体力学のナヴィエ・ストークス方程式の圧
力を決める方程式などはポアソン方程式の形をしてい
る。また、熱伝導や物質拡散は拡散方程式に従ってい
る。本発明は、これらを用いて現象を再現しようとする
数値計算プログラムや設計評価を行うプログラムにおい
て、ポアソン方程式、拡散方程式および類似の偏微分方
程式を数値計算するプログラムに関するものである。
【０００２】
【従来の技術】従来のポアソン方程式や拡散方程式を計
算するプログラムでは、方程式の従属変数のみを用いて
おり、空間格子が等間隔の場合には中心差分近似で２次
精度の計算を行うことができるが、非等間隔になった場
合は計算精度が十分ではなかった。
算するプログラムでは、方程式の従属変数のみを用いて
おり、空間格子が等間隔の場合には中心差分近似で２次
精度の計算を行うことができるが、非等間隔になった場
合は計算精度が十分ではなかった。
【０００３】
【発明が解決しようとする課題】ポアソン方程式や拡散
方程式は、境界条件を与えることにより計算される。そ
の境界条件の空間形状が複雑であった場合、等間隔の空
間格子を用いると十分な精度で境界条件取り込めない問
題があった。また、境界に沿うような空間座標の変換を
行い、変換した座標上で等間隔格子を使う方法は多大な
労力を要する場合が多く、複雑な形状の場合に実行する
ことが非常に困難な場合も出てくることが大きな課題で
あった。
方程式は、境界条件を与えることにより計算される。そ
の境界条件の空間形状が複雑であった場合、等間隔の空
間格子を用いると十分な精度で境界条件取り込めない問
題があった。また、境界に沿うような空間座標の変換を
行い、変換した座標上で等間隔格子を使う方法は多大な
労力を要する場合が多く、複雑な形状の場合に実行する
ことが非常に困難な場合も出てくることが大きな課題で
あった。
【０００４】
【課題を解決するための手段】本発明ではポアソン方程
式、拡散方程式および類似の偏微分方程式を非等間隔空
間格子上で精度良く解くために方程式本来の従属変数だ
けを使うのではなく、その空間１階微係数も独立に従属
変数として導入して、高い精度で空間の２階微係数およ
び３階微係数の離散式を作成する。具体的に１次元空間
の場合を示す。番号ｉの格子点上で方程式の従属変数を
式、拡散方程式および類似の偏微分方程式を非等間隔空
間格子上で精度良く解くために方程式本来の従属変数だ
けを使うのではなく、その空間１階微係数も独立に従属
変数として導入して、高い精度で空間の２階微係数およ
び３階微係数の離散式を作成する。具体的に１次元空間
の場合を示す。番号ｉの格子点上で方程式の従属変数を
【数１】 その空間１階微係数を
【数２】 とする。格子点ｉの右隣の格子点ｉ＋１は格子間隔
【数３】 だけ正の方向に移動したの位置にあり、左隣の格子点ｉ
−１は格子間隔
−１は格子間隔
【数４】 だけ負の方向に移動した位置にあるとする。計算しよう
としている格子点ｉの位置における２階空間微係数およ
び３階空間微係数は、
としている格子点ｉの位置における２階空間微係数およ
び３階空間微係数は、
【数５】 を用いて
【数６】 と
【数７】 として高精度に表現することができる。
【数６】と
【数７】を用いてポアソン方程式や拡散方程式などの偏
微分方程式を離散化し、これらの方程式の計算プログラ
ムを作成する。多次元空間の場合には、
微分方程式を離散化し、これらの方程式の計算プログラ
ムを作成する。多次元空間の場合には、
【数６】と
【数７】を異なる空間の方向に対して、多数回用いる。
【０００５】
【発明の実施の形態】非等間隔格子により離散化された
計算領域に対して、
計算領域に対して、
【数６】と
【数７】を用いて解くべきポアソン方程式、拡散方程式
および類似の偏微分方程式を離散化する。離散化式は大
規模な疎行列に書けることが多く、ＳＯＲ（Ｓｕｃｃｅ
ｓｓｉｖｅ ｏｖｅｒ−ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ）法や共
役勾配法などの既存の反復解法やガウスの消去法などの
直接法で解くことができる。計算結果として、各格子点
上の従属変数の値とその空間１階微係数が同時に求めら
れる。実際の計算手順をＦｏｒｔｒａｎやＣ／Ｃ＋＋な
どのプログラム言語で記述することにより、計算プログ
ラムを作成することができる。
および類似の偏微分方程式を離散化する。離散化式は大
規模な疎行列に書けることが多く、ＳＯＲ（Ｓｕｃｃｅ
ｓｓｉｖｅ ｏｖｅｒ−ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ）法や共
役勾配法などの既存の反復解法やガウスの消去法などの
直接法で解くことができる。計算結果として、各格子点
上の従属変数の値とその空間１階微係数が同時に求めら
れる。実際の計算手順をＦｏｒｔｒａｎやＣ／Ｃ＋＋な
どのプログラム言語で記述することにより、計算プログ
ラムを作成することができる。
【０００６】
【実施例】１次元のポアソン方程式
【数８】 を
【数９】 の範囲で境界条件
【表１０数１０】のもとで近似的な数値解を求めるため
のプログラムを作成することができる。
のプログラムを作成することができる。
【数８】の左辺の２階微分項に
【数６】の離散化式を適用し、さらに
【数８】の両辺を微分した
【数１１】 の左辺の３階微分項に
【数７】の離散化式を適用する。この離散化式は帯行列
になり、ガウスの消去法で解を求めることができる。
になり、ガウスの消去法で解を求めることができる。
【数８】を等間隔格子で２次精度中心差分法で離散化し
て数値解を求めると、計算結果は平均誤差で小数点８桁
以下を四捨五入して場合０．００５２８０５になる。各
格子点における誤差は
て数値解を求めると、計算結果は平均誤差で小数点８桁
以下を四捨五入して場合０．００５２８０５になる。各
格子点における誤差は
【数１２】 で評価し、平均誤差はそれらを計算している格子点数で
単純平均している。非等間隔格子に対して
単純平均している。非等間隔格子に対して
【数８】と
【数１１】を
【数６】と
【数７】を用いて離散化する本発明の例を示す。
【表１】に格子点位置、格子間隔、格子点上での計算 結果、解析解、格子点上での誤差、平均誤差を示す。
【図２】は
【表１】 で計算に用いられた格子点配置を示している。極端な格
子間隔であるにもかかわらず、本発明の離散化式を用い
ると、平均誤差は小数点１０桁以下を四捨五入して０．
００００５０６６６になる。等間隔格子上で２次精度中
心差分法で解く場合よりも極めて精度の高い計算結果が
得られる。
子間隔であるにもかかわらず、本発明の離散化式を用い
ると、平均誤差は小数点１０桁以下を四捨五入して０．
００００５０６６６になる。等間隔格子上で２次精度中
心差分法で解く場合よりも極めて精度の高い計算結果が
得られる。
【図２】と
【表１】には格子点数２６の場合のみを示したが、同じ
程度の非等間隔な格子で、格子点数を変えることにより
平均格子間隔を変えて計算を行った場合を示す。平均格
子間隔は
程度の非等間隔な格子で、格子点数を変えることにより
平均格子間隔を変えて計算を行った場合を示す。平均格
子間隔は
【数１３】 としている。拡散方程式は、ポアソン方程式に１階時間
微分項が入った形であり、ポアソン方程式の場合と同様
に計算プログラムを作成することが可能である。ポアソ
ン方程式や拡散方程式にソース項、空間１階微分項、そ
の他の微分項、その他の変数や定数などが含まれる類似
の偏微分方程式においても、本発明を空間２階微分項お
よび空間３階微分項に適用することで高精度な数値計算
プログラムを作成することが可能である。
微分項が入った形であり、ポアソン方程式の場合と同様
に計算プログラムを作成することが可能である。ポアソ
ン方程式や拡散方程式にソース項、空間１階微分項、そ
の他の微分項、その他の変数や定数などが含まれる類似
の偏微分方程式においても、本発明を空間２階微分項お
よび空間３階微分項に適用することで高精度な数値計算
プログラムを作成することが可能である。
【０００７】
【発明の効果】複雑な境界条件などが原因で計算領域が
極端な非等間隔格子で離散化された場合でも、ポアソン
方程式、拡散方程式および類似の偏微分方程式に対し
て、ほぼ空間４次の計算精度で数値解を求めることがで
きる。これらの方程式は、電磁場の問題、流体現象、伝
熱問題などに頻繁に現れるため、これらの現象を数値計
算するプログラムにおいて高い計算精度を得ることが可
能になる。直交格子で計算領域を分割した場合、カット
セルを導入することにより複雑な境界条件や界面を精度
良く表現することが可能になるが、カットセルに隣接す
る格子点は極端な非等間隔格子になる。本発明によりカ
ットセルおよびその隣接格子点においても高い精度で方
程式の解が得られるようになるため、高性能な計算プロ
グラムを作成することが可能になる。
極端な非等間隔格子で離散化された場合でも、ポアソン
方程式、拡散方程式および類似の偏微分方程式に対し
て、ほぼ空間４次の計算精度で数値解を求めることがで
きる。これらの方程式は、電磁場の問題、流体現象、伝
熱問題などに頻繁に現れるため、これらの現象を数値計
算するプログラムにおいて高い計算精度を得ることが可
能になる。直交格子で計算領域を分割した場合、カット
セルを導入することにより複雑な境界条件や界面を精度
良く表現することが可能になるが、カットセルに隣接す
る格子点は極端な非等間隔格子になる。本発明によりカ
ットセルおよびその隣接格子点においても高い精度で方
程式の解が得られるようになるため、高性能な計算プロ
グラムを作成することが可能になる。
【図１】本発明を用いるための空間の離散化と格子点配
置
置
【図２】本発明を適用する極端な非等間隔格子の例
【図３】本発明を用いたポアソン方程式の計算結果の例
（１）の黒丸点は本発明による計算結果 （２）等間隔格子における２次精度中心差分法の計算結
果
果
Claims (1)
- 【請求項１】１次元、２次元および３次元空間における
ポアソン方程式、拡散方程式および類似の偏微分方程式
を空間的に非等間隔に離散化した格子点上で数値計算を
行い近似的な答えを求めるプログラムにおいて、空間２
階微分項と空間３階微分項に対して各格子点上で方程式
の従属変数とその空間１階微係数を独立に従属変数とし
た離散化式を作成し、高い精度の計算結果を求めるプロ
グラム。ただし、等間隔格子の場合は請求の範囲から除
く。
Priority Applications (2)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP11128984A JP2000293508A (ja) | 1999-04-01 | 1999-04-01 | 非等間隔格子において空間微係数を用いたポアソン方程式、拡散方程式および類似の偏微分方程式の高精度計算プログラム |
| US09/461,818 US6574650B1 (en) | 1999-04-01 | 1999-12-16 | Program generation method for calculation of a Poisson equation, diffusion equation, or like partial differential equation performed on irregularly dispersed grid points |
Applications Claiming Priority (2)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP11128984A JP2000293508A (ja) | 1999-04-01 | 1999-04-01 | 非等間隔格子において空間微係数を用いたポアソン方程式、拡散方程式および類似の偏微分方程式の高精度計算プログラム |
| US09/461,818 US6574650B1 (en) | 1999-04-01 | 1999-12-16 | Program generation method for calculation of a Poisson equation, diffusion equation, or like partial differential equation performed on irregularly dispersed grid points |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JP2000293508A true JP2000293508A (ja) | 2000-10-20 |
Family
ID=27666015
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP11128984A Pending JP2000293508A (ja) | 1999-04-01 | 1999-04-01 | 非等間隔格子において空間微係数を用いたポアソン方程式、拡散方程式および類似の偏微分方程式の高精度計算プログラム |
Country Status (2)
| Country | Link |
|---|---|
| US (1) | US6574650B1 (ja) |
| JP (1) | JP2000293508A (ja) |
Families Citing this family (11)
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|---|---|---|---|---|
| US20040015830A1 (en) * | 2001-05-31 | 2004-01-22 | Reps Thomas W. | Computational divided differencing |
| US7222145B2 (en) * | 2001-12-07 | 2007-05-22 | Sun Microsystems, Inc. | Method and apparatus for solving systems of equations in fixed-point form |
| US7480047B1 (en) * | 2005-12-28 | 2009-01-20 | Kla-Tencor Corporation | Time-domain computation of scattering spectra for use in spectroscopic metrology |
| US7805481B1 (en) * | 2006-01-19 | 2010-09-28 | Everest Michael T | Exploitation of topological categorization of chaotic and fractal functions, including field line calculations |
| US7801939B1 (en) * | 2006-01-19 | 2010-09-21 | Everest Michael T | Complex and hypercomplex inclusive interval expression evaluations with stable numeric evaluations and precision efficacy testing |
| US20080120152A1 (en) * | 2006-11-21 | 2008-05-22 | Mccrea Frank | System and method for managing numerous facets of a work relationship |
| US7813907B2 (en) * | 2007-07-12 | 2010-10-12 | Seiko Epson Corporation | Hybrid method for enforcing curvature related boundary conditions in solving one-phase fluid flow over a deformable domain |
| RU2359322C1 (ru) * | 2007-11-12 | 2009-06-20 | Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет | Ячейка однородной структуры для решения дифференциальных уравнений в частных производных |
| US7899654B2 (en) * | 2008-03-06 | 2011-03-01 | Seiko Epson Corporation | Hybrid front tracking algorithm for solving single phase fluid equations with a moving boundary on a quadrilateral grid |
| US7930155B2 (en) * | 2008-04-22 | 2011-04-19 | Seiko Epson Corporation | Mass conserving algorithm for solving a solute advection diffusion equation inside an evaporating droplet |
| US8204925B2 (en) * | 2008-05-22 | 2012-06-19 | National Instruments Corporation | Controlling or analyzing a process by solving a system of linear equations in real-time |
Family Cites Families (11)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US4061906A (en) * | 1975-04-28 | 1977-12-06 | Wolfgang Grebe | Computer for numeric calculation of a plurality of functionally interrelated data units |
| CA1232407A (en) * | 1983-06-23 | 1988-02-09 | David K. Walker | Bubble heart valve |
| US4734879A (en) | 1985-09-24 | 1988-03-29 | Lin Hung C | Analog computing method of solving a second order differential equation |
| JPH07120276B2 (ja) * | 1986-03-10 | 1995-12-20 | 株式会社日立製作所 | シミュレーションプログラム生成方法 |
| JPH01145723A (ja) * | 1987-08-28 | 1989-06-07 | Hitachi Ltd | プログラム生成方法 |
| JPH0677830B2 (ja) * | 1987-12-25 | 1994-10-05 | 松下電器産業株式会社 | 基板加熱方法 |
| JPH01307826A (ja) * | 1988-06-06 | 1989-12-12 | Hitachi Ltd | プログラム生成方法 |
| JPH03263174A (ja) * | 1990-03-14 | 1991-11-22 | Hitachi Ltd | プログラム生成方法およびそのための領域分割方法 |
| US5966524A (en) * | 1997-07-24 | 1999-10-12 | Lucent Technologies Inc. | 3-D electromagnetic infinite element |
| US6173276B1 (en) * | 1997-08-21 | 2001-01-09 | Scicomp, Inc. | System and method for financial instrument modeling and valuation |
| US6072631A (en) * | 1998-07-09 | 2000-06-06 | 3M Innovative Properties Company | Diffractive homogenizer with compensation for spatial coherence |
-
1999
- 1999-04-01 JP JP11128984A patent/JP2000293508A/ja active Pending
- 1999-12-16 US US09/461,818 patent/US6574650B1/en not_active Expired - Fee Related
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| US6574650B1 (en) | 2003-06-03 |
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Legal Events
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|---|---|---|---|
| EXPY | Cancellation because of completion of term |