JP2000512385A

JP2000512385A - 伝搬する波動場のサンプリング及び復元

Info

Publication number: JP2000512385A
Application number: JP10501636A
Authority: JP
Inventors: エス．ニーデル，ノーマン
Original assignee: ウエーブフィールドイメージインコーポレイテッド
Priority date: 1996-06-10
Filing date: 1997-05-23
Publication date: 2000-09-19
Also published as: AU3080097A; NO985761D0; CO4650087A1; WO1997047989A1; CA2258086A1; NO985761L; AR007527A1; US5693885A; IL127453A0; CN1227634A; ID17737A; BR9709683A; EP1010018A1; PE78398A1

Abstract

(57)【要約】伝搬波動場のサンプルを表す獲得信号が、空間と時間が関係づけられた変数法(図５Ａ参照)を用いて処理され、得られた像は、従来法で作成したものよりも鮮明度及び解像度にすぐれている。アクセスされた周波数には、波動場の源に存在する周波数だけでなく、ナイキスト基準で実行可能と考えられていた周波数を明らかに越えると予想される周波数が含まれる。信号と物理的特徴は、例えば、断層Ｘ線写真法(医学用ＣＴスキャン)、音響評定法(レーダー又はソーナー)又は地震波の像作成法などで得られるかもしれない。信号は、時間と空間のリンクされた変数について相互関係を維持しながら処理される(図８)。これに対し、現在容認されている技術では、時間と空間の変数を独立して取り扱っており、この点で異なる。サンプリングされた波動場の情報内容を理解し、正しく解釈することにより、得られた像の鮮明さと解像度は、先行技術で可能と考えられていた程度を越えている。データの獲得速度は非常に速く、また、必要なデータ数も少なくてすむから、効率が向上し、費用は大いに低減される。

Description

【発明の詳細な説明】伝搬する波動場のサンプリング及び復元［０００１］本発明は、伝搬する波動場(wavefield)のサンプルを示す信号を取り込み且つ処理して、鮮明度および解像度が、従来の方法によって得られるよりも良好である像を作成することに関するものである。［０００２］伝搬する波動場のサンプルを計測し、観察し、再生しまたは記録して、情報を得ることには、幅広い適用が含まれる。伝搬する波動場は、自然に生じるものでもよいし、様々な手段によって意図的に引き起こされることもできるが、全ての場合において、ある形式における周知の波動方程式に従って作用する。波動方程式は、この波動場が反射されたものか、直接受け取ったものか、或いはその両方であるかについて、波動場を時変数および空間変数に関して完全に記述するから、復号し、音響探知し、作像し、ナビゲーションし、その他、所望の使用を得るために望まれる何れの復元処理でも適用するのに必要な形態で、情報が利用可能である。これらの仕事を完了するために、例えば、符号化、基準時間または基準位置、および伝搬パラメータのような補足の知識が必要とされるが、これらの掌中のものによる計算は、その他の点では周知であり、幅広く使用されている。［０００３］波動方程式は、古典物理学における最も基本的な方程式の一つであることは言うまでもない。この方程式を解析的手段および数値的手段によって解くことは、進行中の活動として、長年取り扱われている。多大な計算力を利用できる今日ですら、解法には、全変数間の「リンケージ」すなわち相互作用のために気力をくじく仕事が残っている。実際には、速度場または速度関数は、公式に基づき、時間の次元を空間成分に結びつけるスケーリング機構である。［０００４］波動方程式を、離散近似にて直接解くか、或いは、数値的手段により得られた或る形式の解から作業することにより解くことは、含まれる全ての変数が同時に処理される場合には、特に負担となることが考えられる。従って、波動方程式に関する問題点に対する従来の多数のアプローチは、時変数および空間変数を意図的に分離して、計算上の利点を達成している。例えばフーリエ変換のような機構であれば、変数の分離を達成し、波動場において、或る時刻における必須の１周波数成分を処理できるように使用される。その他のアプローチは、波動場をサンプリングするために使用される効果的なサンプリンググリッドを有する計算グリッド上で、波動方程式自身を取り扱っている。従って、知られている限りでは、現在幅広く行われているような公知の実施例は、波動場についての情報内容に関して、時変数および空間変数を別々に考慮されねばならない。このような観点から、源の放射(illumination)特性と、個々の変数に適用されるようなナイキスト理論に従う波動場のサンプリング特性とに対して達成可能な像の解像度が制限されることは明らかである。［０００５］簡単に述べると、互いに関係した変数を用いた波動方程式の処理は、波動場の情報体系(structure)を十分に取り扱うことができることを本発明により見出した。従って、波動場の復元から得られるサンプリング像は、波動場のサンプリング像よりも細かくなり得る。適用に関して、例えば、代表的な幾つかを挙げると、トモグラフィー(医療用ＣＴスキャン)、音響探査、地震の作像に関して、リンクした変数を用いた解法は、一変数を用いたサンプリング理論に関して不必要に加えられる制限から生じ得ると一般に考えられる鮮明度および解像度よりも高い鮮明度および解像度を可能とする。同様に、任意のレベルの鮮明度または解像度を達成するために実際に必要とされるサンプリングまたは取込みデータは、一変数を用いたサンプリング理論の開示に関する通常のガイドラインよりも粗いサンプリングまたは少ない取込みデータですむ。［０００６］互いに関係した変数を用いた波動方程式の解法を実際に使用した結果から、データの取込み速度が上昇し、コストが減少して、良好な結果が安価に得られることが示される。医療用の作像、ナビゲーション(navigation)、地下の地震の作像を含む、実際的な何れの波動場を復元することは、全く直接的且つ即時的に適用できる。［０００７］図１は、波動場関数と幾つかの空間的および時間的特性を含む２次元概要図である。図２は、実源から、特定の解像度要素へ、およびアンテナ関数における指定されたレシーバ要素上への最小の進行時間となる経路と直線近似を示す３次元概要図である。図３は、簡略化した３次元概要図であり、ここで、実源は、デカルト座標系の原点にあり、アンテナ関数における指定されたレシーバ要素は、ｚ＝０平面にある。また、或る解像度要素への直線(straight ray)進行経路も示されている。図４は、実源が、一定速度で伝搬する媒体を通って進行する時間と、アンテナ関数における或るレシーバ要素が、該媒体を通って進行する時間の合計が等しくなるような全ての解像度要素の軌跡を示す概要図である。図５Ａ、５Ｂ、および５Ｃは、種々の波動場の作像概念とサンプリング変数の相関を示す概要図である。図６は、ナビゲーションまたは物体の位置決め（positioning，iocation)に関連して使用される本発明に関する概要図である。図７は、地震の反射を用いた地下の調査に関連して使用される本発明を例示する２次元概要図である。図８は、一般的な３次元の場合に関する望ましい実施例において計算およびデータ記憶の外観を示すダイアグラムである。図９Ａは、２次元の地表モデルを示しており、該モデルから、本発明を例示するために使用される模擬地震データが計算される。モデルの詳細は、図の下部に拡大した形で示される。図９Ｂは、図８Ａのモデルから該モデルを重ね合わせる場合としない場合による模擬地震データの（修正キルヒホッフ移動法による）ホイヘンスの作像を示す。図９Ｃは、モデルを重ね合わせる場合としない場合による、10分の１(decimat ed)の模擬地震データの(修正キルヒホッフ移動法による)ホイヘンス作像を示す。元のデータの10パーセントのみが使用された。計算の間に保持される10分の１の記録は、黒色の逆三角形によって示される。図１０は、層状の地球モデルにおいて、共通の表面点のまわりに対称である源とレシーバのペアの間の進行時間が、双曲線近似を用いて速度関数を見積もるために使用されることができることを示す２次元概要図である。図１１Ａは、商業的に利用可能なキルヒホッフ移動法を用いて、２ミリ秒のサンプリング時間で取り込まれて作像された地震データのプロファイルを示している。図１１Ｂは、図１１Ａにて示されるようなプロファイルであって、本発明に従う修正キルヒホッフ移動法を用いて作像されるプロファイルを示している。図１１Ｃは、共通の指定位置において、図１１Ａ及び図１１Ｂの像から得られる振幅スペクトルを比較するものである。図１１Ｄは、図１１Ｂの像の一部を拡大した図を示している。図１１Ｅは、図１１Ｄにおける像と同様の部分を示しており、該像は、同じ初期データを使用するが、本発明に従う修正キルヒホッフ移動法を用いて１ミリ秒でサンプリングされたものである。図１１Ｆは、図１１Ａ〜図１１Ｅのうち、それぞれ２ミリ秒および１ミリ秒での修正キルヒホッフ移動法を用いて作像されるようなものを含む図のプロファイルであって、地面の位置CDP2100の下方における0.4〜0.8秒の像に関するプロファイルの振幅スペクトルを対比しいる。図１１Ｇは、地面の位置CDP2150の下方における0.8〜1.2秒の作像に関して、図１１Ｆと同じように、振幅スペクトルを対比している。図１１Ｈは、地面の位置CDP2200の下方における1.1〜1.5秒の作像に関して、図１１Ｆと同じように、振幅スペクトルを対比している。図１１Ｉは、地面の位置CDP2120の下方における1.1〜1.5秒の作像に関して、図１１Ｈと同じように、振幅スペクトルを対比している。［０００８］容易に参照するために、本発明を説明する際に使用するために定義された用語を以下に明示する。当該分野の専門家にとって明らかなように、該定義は、現在の標準的な意味を含むと共に、必要性を示す場合には拡大した意味を含む。該定義には、以下のものが挙げられる。［０００９］音響インピーダンス(Acoustic Impedance)は、材料に特有のものであり、密度と速度の積で表され、この特性におけるコントラストに関して、伝搬する音響波動場における反射を起こす。また、インピーダンスを参照。［００１０］エイリアジング（Aliasing）は、信号理論の用語であり、離散サンプリングされる前の信号における周波数の内容に、該サンプリングのナイキスト限界を超えるものが存在するために、離散サンプリングされた信号が悪化すること（corruption）を記述する。振幅（Amplitude）は、強度を表わす空間および時間の関数であり、伝搬する波動場を記述する。アンテナ関数（Antenna Function）は、伝搬する波動場のサンプリングに使用されるべき位置を数学的に記述したものである。見かけの周波数（Apparent Frequency）は、波動場における像の変数をフーリエ変換した際の成分である。波動場のサンプリングにおける変数は、像の空間における同様の名前の変数に線形に関連づけられるのではなく、波の伝搬に固有のリンケージによって関連づけられる。従って、適切にサンプリングされたと思われる周波数、または、波動場の放射およびサンプリング処理の特性から到達可能と思われる周波数以外の周波数と出会うかもしれない。空間においてもまたは時間においても、像を記述する全ての周波数は、波動場におけるサンプリングおよびその独立変数の変数領域（domain）を参照する場合には、見かけの部分を考慮されねばならない。［００１１］見かけの源(見かけの波源)(Apparent Source)は、ホイヘンスまたは仮想の源であり、また、グリッドセル、および、作像または解像の要素でもある。見かけの波数（Apparent Wavenumber）は、見かけの周波数を参照。フーリエ変換（Fourier Transform）は、複素指数関数を含む線形の積分公式であり、定時（timed）空間関数を、周波数域の等価なものに変換するものである。この公式は、離散近似においては、調和三角関数を含む総和となる。周波数（Frequency）は、情報の内容を評価するために、信号理論においてしばしば使用される変数に沿ってフーリエ分解（decomposition）された成分である。フレネル帯（Fresnel Zone）は、地震の作像にて使用されるものであり、光学では、イルミネーションにおいて、干渉から反射が生じ、干渉に亘って平均化（ averaging）が起こる強めあう干渉が発生する領域に対応する主周波数（dominan t frequency）に関して規定されるような第１フレネル帯である。フレネル帯は、主周波数が低い場合、有効伝搬速度が減少する場合、および、伝搬時間が増加する場合に、サイズが大きくなる。［００１２］グリッドセル（Grid Cell）は、多次元空間にて規定される領域であり、該空間自身を規定する変数のサンプリングに関連したサイズを有しており、また、解像または作像の要素でもある。ホイヘンスの原理（Huygens’Principles）は、伝搬する波動場を記述する概念であり、波面上の各点が、新規かつ独立である見かけの源として考慮される。この原理は、本発明において、作像されるべき材料中を伝搬する波動場を含むように拡張される。ホイヘンス式作像法（Huygens-type Imaging）または拡張されたホイヘンスの作像法（Extended Huygens’Imaging）は、リンクされた変数を用いて波動場を復元する方法であり、本発明によるホイヘンスの原理の拡張を表わす仮想源または解像度要素に関する像を作成する方法である。ホイヘンスの源（Huygens’Source）は、伝搬媒体におけるグリッドセル、作像要素または解像度要素からなる仮想または見かけの源である。また、ホイヘンスの源を使用することにより、本発明に従うホイヘンスの原理の拡張が表わされる。像（Image）は、選択的な波動場の復元を構成するグリッドセル、ピクセル、解像度要素またはボクセルに亘る波動場振幅値の鮮明な軌跡（defined locus）またはマッピングである。作像（Imaging）は、像を作成することである。［００１３］インピーダンス（Impedance）は、伝搬媒体の材料特性であり、その変化は、伝搬する波動場の全方向に影響を与える。作像要素（Imaging Element）は、グリッドセルまたは解像度要素であり、また、伝搬媒体内における見かけの、ホイヘンスまたは仮想の源であってもよい。中間グリッド（Intermediate Grid）は、作業グリッドである。補間（Interpolation）は、サンプリングされない関数の値を、近くのサンプルの平均値に基づき、サンプリングされた値への近さに従ってのみ重み付けして見積もる機械的な方法であるキルヒホッフの方法（Kirchhoff Method）は、波動場の復元または作像を行う方法であり、定義可能な（definable）表面、通常は、簡単な円錐曲線、または回転軸（axis of revolution）を有する表面に亘っての計算を含む。一般に、この方法は、地震波の反射処理において使用されるが、光学およびその他の分野において実施されるような、解析的なキルヒホッフ積分法とは無関係である。［００１４］リンクされた変数を用いた解法（Linked-Variable Solution）は、適切な波動方程式に由来する波動場の復元または作像を行う方法、または、全変数が、同時に処理されるが、計算の要求を簡略化するために分離されることはない解法である。マスターグリッド（Master Grid）は、グリッドセルまたはピクセルの最終的な配列であり、該グリッドに振幅値を追加して、像を作成する。要素の大きさは、サンプリング理論に従い、像を表わすのに十分な大きさである。より一般的には、この用語は、特定の作像方法によって、中間グリッドまたは作業グリッドの使用も要求されるときに使用される。修正キルヒホッフ作像法（Modified Kirchhoff Imaging）または修正キルヒホッフ移動法（Modified Kirchhoff Migration）は、地震への適用や、簡単な速度関数により楕円面または回転双曲面に亘る計算が規定されるその他の適用において、本発明に従い、修正したホイヘンス式作像法を用いて波動場の復元または作像を行う方法である。ナイキスト限界（Nyquist limit）は、信号理論からの用語であり、限界周波数を記述するものである。該周波数を超えると、変数を含む関数の規則的な離散的サンプルは、もはや忠実には表現できない。間隔が規則的な離散的サンプリングに関して、ナイキスト限界は、サンプリング間隔の２倍の逆数（reciprocal）である。［００１５］ピクセル（Pixel）は、２次元空間におけるグリッドセルである。伝搬媒体（Propagation Medium）は、実源、伝搬する波動場およびアンテナ関数が内在する環境であり、伝搬する波動場に影響を与える特性によって特徴づけられる。伝搬する波動場（Propagating Wavefield）は、実源が引き起こし、伝搬媒体内にて空間および時間と共に変化する振幅の撹乱（disturbance）である。実源(実波源)(Real Source)は、伝搬する波動場の原因となる要素である。レシーバ要素（Receiver Element）は、アンテナ関数の基本成分であり、該要素において、伝搬する波動場のサンプルを受け取りまたは記録してもよい。基準位置（Reference Location）は、伝搬媒体において、ある特定の目的のために指定される場所（position）である。通常は、実源、または、アンテナ関数におけるレシーバ要素の位置である。解像度要素（Resolution Element）は、像のグリッドセル、ピクセル、ボクセルまたは成分である。また、見かけ、ホイヘンスまたは仮想の源でもある。［００１６］サンプリング（Sampling）は、一連の値を、全体を表わすものとして収集することであり、この例では、伝搬する波動場を表わす一連の振幅値を空間および時間に亘って収集することである。サンプリング間隔（Sampling Interval）は、変数の離散化されたサンプル間の隔たりである。信号理論において特に重要な概念である。地震ウェーブレット（Seismic Wavelet）は、地震の反射への適用において規定されるようなウェーブレットである。源(波源)(Source)は、見かけ、ホイヘンスまたは仮想の源として注釈が付かない場合には、実源である。時間（Time）は、全ての波動方程式において独立変数である。また、進行時間を参照。進行時間（Travel Time）は、一方の指定された要素から他方に進む時間であり、要素の意味（significance）は、具体的な適用により変化する。実際の波動場の進行経路は、全ての空間変数および対応する速度関数を含んでおり、従って、元の波動場のサンプリングにおける任意の空間変数または距離と進行時間の関係は、変更可能であり、非常に複雑である。一般に、速度関数のみを用いて像の空間変数を簡単に再スケーリング（rescaling）するだけでは、進行時間から距離変換をもたらすには不十分であり、もし、その関係が離散的線形システムとして概観されるならば、周波数の内容に関して逆説的な結果をもたらし得る。［００１７］速度（Velocity）は、伝搬媒体中の伝搬する波動場に関して進行の割合（rate ）を記述する伝搬媒体の材料特性である。速度関数（Velocity Function）は、伝搬媒体の材料特性を、空間変数及び／又は空間および時間変数の関数として表現したものである。仮想源(仮想波源)(Virtual Source)は、見かけまたはホイヘンスの源である。また、グリッドセルまたは解像度要素でもある。［００１８］ボクセル（Voxel）は、３次元の直交した空間配置を有するグリッドセルまたは解像度要素である。波動方程式（Wave Equation）は、伝搬媒体内の伝搬する波動場を空間および時間変数の関数として記述する数学的な構成である。伝搬媒体における実源のパラメータおよび材料のパラメータは、前記記述に必要な情報である。［００１９］波動場（Wavefield）は、伝搬媒体中を進行するエネルギーを一般的に記述したものである。波動場の復元（Wavefield Reconstruction）は、振幅に関するサンプリングから、伝搬する波動場を時間および空間変数の関数として展開することである。像は、選択的な波動場の復元を構成する。波面（Wavefront）は、一定の時間変数に対する伝搬する波動場の振幅値である。［００２０］ウェーブレット（Wavelet）は、レシーバ要素にて記録されるような振幅の時間履歴であり、短期間の伝搬する波動場と、弾性撹乱に関して平均値がゼロであるインパルス特性とを記述する。作業グリッド（Working Grid）は、グリッドセルまたはピクセルの中間に配置されるものであり、波動場の作像または波動場の復元におけるステップとして振幅を該作業グリッドに追加する。要素の大きさは、サンプリング理論の規準に基づき像を表現するのに十分な大きさである。［００２１］変数ｘおよび変数ｙによって記述される２次元空間において時変数ｔに亘って伝搬する、空間および時間について連続な波動場Ｗ(x,y,t)を考える。いま、伝搬速度関数Ｖが至る所で既知であるとみなし、同様に、波動場の空間的性質（ge ometry）は、全時間ｔに亘って既知であるとみなす。いま、アンテナ関数は、波動場Ｗ(x,y,t)をサンプリングするために使用される関数Ａ(x,y)に沿って導入される。Ａ(x,y)は、連続または非連続であり、一価または多価であり、有限または無限であり、及び／又は規則的にまたは不規則にサンプリングされるが、全時間ｔに亘って波動場と平行であることはない。［００２２］さて、時間ｔ_iの波動場において振幅値Ｗ_iが一定である１波面を考える。アンテナ関数Ａ(x,y)は、Ａ_j(x_j,y_j)においてＷ_iを傍受しており、ここで、Ａ_j(x_j,y_j )には、１以上のｘ，ｙペアリングを適用できるが、全てのｘ，ｙ値を適用することは、平行ではないという条件によって予め除外されているから、許されない。［００２３］アンテナ関数Ａ(X、Y)が、時間間隔Δｔで波動場Ｗ(X、Y)を離散してサンプリングし、ｔ_iがそのような時間標本になったとする。Ｗ(X、Y、t)の内容である時変数周波数、固定されたＸ、Ｙの為に時間分割されサンプリングされた波動場は、ナイキスト周波数と呼ばれる高周波数限界とともに、０から１／２Δｔの間の帯域に限定されると信じることは、標準的な慣習になっている。同様に、空間変数はアナログ空間ナイキスト周波数（又は波数）を定義する為に用いることが考えられる。［００２４］そのような周波数限界は実際には認められ、現実には有効でないことが証明できる。総合的な思考を誤った方向に向ける過失は、空間と時間の変数を離散することにより、波動方程式を効率的に取り扱う計算方法に大きく起因する。そのようなアプローチは、情報内容との繋がりの効果を考慮することなく、信号理論概念の適用に変数を独立させることを促進する。［００２５］実例となる目的のために、時間変数ｔとして述べられる周波数に関するみかけの限界をどのように避けるかを理解する為に、Ｘ_j、Ｙ_jにて時間内にサンプルされる２つの連続した波動場振幅値を考える。具体的には、これらは、夫々Ｗ(X_j、Y_j、ｔ_j)、Ｗ(X_j、Y_j、ｔ_i＋ Δｔ)である。このとき通常は、ｔ_iとｔ_i＋Δｔの間の波動場振幅値はサンプリングされておらず、ナイキスト周波数限界が適用されると仮定する。［００２６］しかしながら、時間ｔ_iとｔ_i＋Δtの間に起こる少なくともいくつかの波動場振幅値は、必ずアンテナ関数Ａ（X、Y)に従って、どこか他の所で他の時間に、即ち、X≠X_j、Y≠Y_jに出現することは明白であるけれども、アンテナ関数Ａ(X、 Y)と波動場Ｗ(X、Y、t)間の空間配置の不一致により、異なる時間でも出現する。しかしながら、空間配置が両関数に知られたものである故に、離散時間変数t を考慮した波動場Ｗ(X、Y、t)の効率的なサンプリングは、Δtにより示されるよりは、いく分か優れている。然るに、このような情報を理解する為に、空間変数を時間値とのカップリングから独立して取り扱ってはならない。即ち、時間内にサンプリングされた波動場を既に定義されたものとして取り扱うこれらのオペレータは、明白に認める容量を要求し、例えば振幅値Ｗ(X_k、Y_k、t_k )はＷ(X_j、Y_j、ｔ_j＋ｎΔｔ)をも表す。ここでｎは０より大きく１より小さい数である。［００２７］これまでの論述は、２つの空間変数のみを有する限定を除き、むしろ一般的な用語で述べられてきた。本発明の利益及び実際上の性質を示す為に、計算の好ましい実施例が記載され、反射された波動場の強意(intensive)のケースが後記され、該ケースではリンクされた変数(linked variable)分解能を実行する為に要求される努力を更に減じ、高分解能で伝搬媒体をイメージする。図１にて次に示す特別なケースでは、論述したこの原理を、極めて簡単に示す。図１では、一定の振幅の波面を有する波動場関数を述べ、波面はＸ、Ｙ及びｙ＝０（Ｘ軸上）の線形アンテナ関数に影響を与えるいかなる時間ｔに於いても線形である。時間ｔ＝ｔ_iに対応する波動場の波面は、アンテナ関数と角度θを形成するものとして示される。時間ｔ_i＋Δｔの波面もまた示される。［００２８］両(X_i、0)と(X_i-Δt、0)にてサンプリングされた波動場(X、Y、t)は、Δｔの間隔にて同時に得られる記録された時間サンプルから成る。もし、ΔXが実際に、アンテナ関数の為に、Xに於ける離散サンプリング間隔であれば、Δtの集積よりも他の増分に於ける波動場の振幅は、サンプリングされないということになり、ΔX_o＝ＶΔt／sinθでのみ、また一定速度Ｖで伝搬があると想像する。アンテナ関数に沿った連続したサンプリング、又はΔX_oよりも小さなサンプリング増分量は、Δｔの総和よりも他の波動場の振幅を探知することが明らかである。この故、このようなケースでは、波動方程式から展開される時空変数の演算は、カップリングを調整する為に、 Δtよりも小さな時間内のサンプルを効果的に取り扱うだろう。示されたケースでは、ΔX＝１／２ΔX_oのとき、サンプリングの実効時間は、信号理論を普通の方法で使用して、Δtを用いてサンプリングする時間を計算するように、実際に正確に半分になる。［００２９］さらに複雑な波動場、及び／又はアンテナ空間配置(geometries)は、離散空間サンプリングを伴う、又は伴わない場合でも、時間変数に於いて、波動場振幅の不規則なサンプリングに即座に繋がることは明らかなはずである。そのようなサンプリングは、ケースバイケースで行う場合を除き、信号理論によっては容易には扱われない。代わりに、適切な波動方程式から引き出された時空カップリングさせた数学的表現は、各変数が別々に扱われるときに、個々の変数を普通に定義するものとして、ナイキスト限界を越えた個々の変数に於ける波動場を復元することにより、サンプリングされた波動場の情報内容を十分に用いることを可能にする。但し、イメージサンプリングがそのような情報を表すのに十分な量であることを条件とする。［００３０］それにも拘わらず、前述のアプローチは、実際の多くの考慮に対する感度を具体化する。一定の限界は、波動場空間配置とアンテナ関数が公知であることともに、正確に導かれるだろう。また、速度関数及び内包される関連したエラーの記載は意図した適用に関し重要な役割を果たす。実際は、波動場を展開する実源もまた、考慮されなければならない。［００３１］図１に戻り、１つの付加的な重要な観察が、なお可能である。前記したように、Δtの増分よりも他のタイムサンプルが起きている間中、アンテナ関数の離散サンプリングとしてのΔXがΔX_δよりも大きいならば、タイムサンプル数に於いて不適切であり、Δtに対応するナイキスト限界までの時間変数の周波数を表すのに、"密度"がよい。そのような周波数の修復が要求される適用には、単一又はいくつかを組み合わせた場合の何れにも、２つの交互の選択が請け負われる。記載されるどのアプローチについても、空間と時間変数を含む計算を調整して使用することは、サンプリング目標に到達するのに必要であることに再び注意する。［００３２］アンテナ関数を固定すると、要求される同じ情報を有する異なる波動場を記録できる。例えば、実際的であることが証明されれば、異なるθ値(又は空間配置その他) を有する波動場を作ることができる。タイムサンプルの効果的な密度は、時空波動方程式の演算を通じて、種々の波動場サンプリングを混交することにより、適当なレベル又はより大きな数にまで増加する。代わりに、１つの波動場の為に、１つ以上のアンテナ関数を用いる。この文脈にて、空間配置と同様にサンプリングを変換することは、明確なアンテナ関数として適格である。勿論、両手順は、いくつかの結合にて、異なる適用に適当であることを証明するものとして適用される。結合にて両方法を使用することは、圧迫下地震反射法(seismic reflectio n method under certain constraints)にとって、かなり標準的な技術である。本発明に伴い、ここで記載された方法に於ける波動場サンプリングは、普通に可能と考えられる限界を超えて波動場の情報構造(information structure)にアクセスできることが判る。［００３３］尚、提案されたいくつかと同様に引用される原理を適用する具体例は有益である、しかし、取り扱う前に、波動方程式から引き出される波動場の復元の性質を理解するのは重要であり、この波動場の復元は、波動場にしばしば適用され、多重変数にも用いる他の方法とは区別されるものである。同様に、認識されていない波動場情報の内容の他の重要な次元が残っており、適格な背景論述を完成するために、それは、導入されなければならない。［００３４］音波、弾性波、電磁波、他の種々の実施例を内包する波動方程式は、空間と時間の調整に関する波動場を記載し、特別な環境を支配する条件を含む。最も効果的な波動場の復元は波動方程式自身から、又はその一般解の１つから展開される。波動方程式に基づくより一般的な公式は離散近似を含み、それはデジタルコンピュータを用いて操作するのに便利である。波動方程式の一般解から開始するアプローチは、普通は離散的であり、近年の計算能力を利用することを再び求める。［００３５］完全を期し、付加的な洞察の為には、ここで、波動方程式自身を導入することが役に立つ。提供されたケーススタディは、地震反射法を含むから、波動方程式の単純なフォームは、平行座標ｘ、ｙ、ｚを用いて表される。式内に名付けられた量が、通常は空間時間座標であるｘ、ｙ、ｚ及びｔであることが容易に判る。速度関数Ｖは上記独立座標の全てを変える。このケースにて、φは伝搬撹乱を示し、波動移動(膨張、圧力、回転その他)を表す。［００３６］両空間、時間変数が含まれるから、近年のコンピュータシステムを用いての計算でさえ、とりわけ面倒である。これ故、前記のようないくつかの方法で、空間変数と時間変数を"分離"するのはかなり一般的な慣習になっている。これはフーリエ変換のある地点に於ける適用により成され、そこでは波動方程式の解は、その時点で、１つの独立した周波数要素として取り扱われる。しかし、広く受け入れられているアプローチは、重大な情報ロスに帰結することが見出されている。その代わりに、本発明に関し、波動方程式に基づく方法を用いて伝搬波動場をサンプルして復元することができる。その方法は空間と時間変数を同時に取り扱うことを含む。しかし、それを用いることにより付加された数学的負荷は、付加的な情報を得るに至る一面がある。他の面は、イメージの分解能は波動場のサンプリングによってのみ限定され、個々の変数のサンプリングによっても、実源を示すパラメータによっても限定されないという出願人の発見である。［００３７］全ての波動場のサンプリングは、空間変数と同様に、時間変数ｔ中行われる。しかし、大部分のイメージ適用は、空間変数のみの関数としてであることが望ましい。サンプリングオーバー時間は結局は、満足なイメージングの為には、サンプリングオーバー距離を表わさなければならないことが明白である。速度が距離に従って時間量を変える単純な手段に見える一方、その関係は単純以外のなにものでもない。実際、どの時間の波動場の値又は振幅も、その物理的重要性は全くあいまいである。波動場の値又は振幅は、これらのいくつかの全部又は一部の異なる多くの場所の中のどれかから引き出される。［００３８］波動方程式の離散近似の数値解の多くは、実際はリンクされた変数計算に繋がっている。そのようなアプローチは、波動場サンプリングのすべての情報ポテンシャルを得ることに失敗する。なぜなら、予め割り当てられた変数増分は、十分な分解能を示すには粗すぎるからである。勿論、そのような計算グリッドの選択は、本質的に従来のサンプリング理論基準に基づき為されているが、該理論基準は本発明によれば、不適切なものであると認められてきている。［００３９］サンプリングされた波動場グリッドとイメージグリッドは、同じ名前の変数を用いているものの、実は単純には関連しない。この例では、いくつかの適用について時間内に変わる速度関数に関連して波動方程式により具体的に表現された物理学は、非解析的ともなり得るある種の変換を構成する。この理由から、波動場のサンプリングとイメージサンプリングとの比較は、単純な線形システムにて想像するであろうものと同じ意味ではない。［００４０］アンテナ関数に於ける波動場のサンプリングは、空間変数及び時間の特定の増分を有するように見えるということになる。しかし、伝搬媒体の効果的なサンプリングは、全く異なる。即ち、波動場の原点(origin)を認識するそのようなサンプリングに対応した伝達経路を抱き込む(accommodate)とき、空間サンプリングの密度は、アンテナ関数のパラメータ及びタイムサンプリング増分により示されるよりも、かなり大きい。この概念は、波動場の復元でのサンプリングを考えるときに、更に拡張される。［００４１］しかし、波動場に関連した問題にしばしば適用される他の計算があり、その計算に於いては、独立した変数を同時に使用しなければならない。この１例は補間法である。我々の要求する演算に基づく波動方程式は、補間法及び他のそのような演算とは容易に区別されることを認識することは重要である。具体的には、速度関数は供給されなければならず、伝達経路は、いかなる解析的又は非解析的な方法に於いても、波動方程式変数に関連すると考えられなければならない。然るに、補間法及び他のこの種の計算には、比較できる物理的な要素は要求されない。補間法手続における典型的なスケーリング演算は、サンプルに関して、近さ(p roximity)に応じて重み付け (weightings)のみを行なうことである。［００４２］波動場は、実源から発射し、適切なメディア内を伝わる。我々は、波動場の復元への見地を適合させることを続け、これはより一般的なアプローチとは異なる。しかし、それらの慣れ親しんだものを１つに統合する。実際、適用される原理は、ホイヘンス(Huygens)の原理に負うところが大きく、伝搬波動場の各要素は、それ自身新たな源と見なされる。［００４３］波動場の復元は、伝搬媒体と同様に、それ自身に源を含む波動場をイメージする為に用いられる。大部分の適用は、源又は媒体のイメージを形成し、これらが極めて簡単に関連することを示す。我々の論述には、源を「実源」と呼ぶことが役立つ。また、波動場の復元が適用されるカテゴリは、視点を変えた結果として、もう一度調製される。［００４４］ここに於いて、思考を伝搬媒体に変えるべきである。仮に、媒体が非分散的で非減衰的であるのと同様に均一で均質であれば、その唯一の結果特性は波動場の伝搬速度となる。媒体の特性が振動を示しているならば、指定された分解能及び正確さまでの媒体内のそのような特性のイメージの記載は、波動場の復元の仕事として認識される。［００４５］使用された波動場の復元には、いくつかの分類があり、実源の像を作成する為には、その波動場が特定の媒体内を多少とも乱れずに、伝搬すると考えられるかを求める。そのようなタイプへのアプローチは、天文学、航行術、及び数個の名がある受動性水中音波探知装置(Passive Sonar Detection)を含む。復元内の詳細では、進行時間又は距離の単純な計算から、関係する特定の特性を確認する源の洗練された像に至るまで変わることができる。［００４６］ホイヘンスは、伝搬波動場は、独立の放射源としての各要素を扱い、伝搬波動場は、そのような源の為に、伝搬の実効的な包み(envelope)に注意することにより合成されるという洞察を展開している点で信用される。いくつかの材料内に伝搬される波動場を考慮することにより、ホイヘンス原理の重要性を広げることができる。［００４７］もし、イメージをしようとしている媒体内の単一分解能要素を考えるなら、実源がどこに位置しようとも、ホイヘンスの考え方によれば、この要素は新たな波源として考えられる。この拡張された観点からホイヘンス源と呼ばれる。これらの名前全ては、交換できると考えられる。実源が存在しなければ、仮想源は波動場を放射しない点で、仮想源は実源とかなり異なることがすぐに判る。実際、その効率的特性は、方向的に依存し、実源から特性を引き出し、実源に近接している。［００４８］見かけの源からの波動場は、アンテナ関数により実源があるかのごとくサンプルされる。いかなる波動場の復元手続も、また実源の存在を同様に受け入れ、これはむしろ一般に簡単なことである。実源とアンテナ関数が分解能要素の一端に位置せんとするならば、そのような適用を"反射"技術と名付けることは興味深い。同様に、分解能要素が実源とアンテナ関数の間に位置しているならば、このアプローチを"伝導"方法、又はおそらく"トモグラフィー"の応用と名付ける。我々が明白と見なすこれらの応用全ては、見かけの源をイメージするための、波動場の復元用具の連続体である。実源のイメージングのみが、明確に異なる。［００４９］実源をイメージするとき、あたかも見たものを得る。即ち、サイズや形状、時間や空間に於ける信号の特徴がそのようなものであり、最良のイメージさえ修復できる。勿論、波動場サンプリングに関する前記の考慮は、適用が何であれ適用し続ける。実源に固有の時間又は空間周波数内のいかなる限定も、イメージとしてなにが達成できるかを十分に支配する。この事実は、全てのイメージング及び波動場の復元方法にとって、本質的にパラダイム(paradigm)となる。しかし、実源に固有の特性は、仮想源をいかにイメージするかを同様に制限しない点は興味深い。この陳述は、最初に注目すべきであるけれども、その正確さは直感的な議論とともにたやすく証明される。［００５０］単一の明白な分解能要素のみが、他の方法で均質的又は理想的な伝搬媒体内に存在すると仮定する。それは、その特性が何であれ、伝搬波動場上に常に効果を有する。そのような効果を探知することは難しいが、それは常に"数"の問題のみである。人は、そうすることを望むなら、ノイズと小サイズを純然たる統計学により圧倒することができる。実際、そのような仕事を達成するのに利用できる興味深い選択がある。初期に述べたように、多くの源と同様に、より多く且つ良いアンテナ関数を用いることができる。もし決定したなら、利用できる技術により、大部分のケースについて正確さと分解能に関してイメージしたゴールに達する。これ故、仮想源をイメージする波動場の復元は、達した結果物の性質と同様に実行の柔軟性故に、おそらくこれまでに開発された最も強力なイメージング技術を提供する。小さな効果又は分解能要素を探知する際に、もしあるなら変数のサンプリングは、サンプリング理論の通常の基準に従って、そのような表現が可能でなければならないことを指摘することは重要である。［００５１］尚、他の観点から、我々が記述してきたことは、電磁波スペクトルの単色放射を用いたホログラフィーのイメージは、源照明のイメージとは異なる時間及び空間周波数内容を有するイメージを生み出す点では、注目すべきものではない。勿論、この技術は再びそのような目的に達する波動場特性を十分に開発する。［００５２］イメージング仮想源の観点を採用する際に、効果的な波動場の方向依存性の基礎は、きわめて明白であることを認識すべきである。例えば、仮想源が実源とアンテナ関数の要素との間に位置している場合に於いては、記録された波動場は、勿論、実源からの波動場と見かけの源からのホイヘンス寄与との間の干渉を表す。［００５３］また、仮想源をイメージするための波動場の復元の全ての方法は、２つの基準の位置を収容していなければならないということになる。勿論、そのようなアプローチの最も直接的なものは、基準の位置として、実源と、仮想源として働く特別の分解能要素であると考えられる。２つの基準の位置の要求は、面を定義するためにいろいろ適用される多くの波動場の復元アプローチに繋がり、面は回転の円錐断面面、典型的な楕円面、及び双曲面である。しかし、このようなケースを示す前に、計算基準の為に面の使用を含む波動場の復元方法は、多くの適用（光学、発破地震学）に於いて、一般にはキルヒホッフ法と呼ばれることに注意すべきである。［００５４］キルヒホッフによる初期の研究は、実源を取り囲む閉じた面は、伝搬波動場の物理的現象を十分に表すことを実証した。これ故、面を用いるイメージング方法は、その専門用語をキルヒホッフ法として本質的に類推して引き出している。同じ慣例によるより適切な命名法は、それらをホイヘンスの方法と呼ぶ、然るにこのアプローチは、ホイヘンスの考えを前に示したように、拡張する。［００５５］戻って、最も基本的ケースに於ける代表的な波動場の復元を明確に述べると、実源及び仮想源として作用する単一の分解能要素のみを考えることができる。アンテナ関数は含まれていなければならず、そのような関数の１つの位置として、特に波動場を探知することを考えなければならない。図２は、変化する特性を有する伝搬媒体にて、重要な要素が見られる一般的なケースを示し、経路の最小時間は直線では示されていない。また、直線は、それらを概略として認識することにより示される。［００５６］図２から、総進行時間は、２つの寄与−実源から見かけの源へ伝達する時間と、見かけの源からアンテナ関数の特別の探知地点への伝達する時間の和を含むことに気付く。このことは、波動場の復元の為に、好ましい計算を確立するものとして重く考慮される［００５７］右回りのデカルト座標システムが、同様に図２に示される。座標は、夫々実源と特殊なレシーバー要素であることを示す下付き文字ｓとｒで示される重要要素を配備している。直線状光経路により概算される総進行時間は、単に２つの期間の和として以下のように示される。ここで、Ｖ_S及びＶ_rは総伝達経路の各２つの部分についての"有効速度"を表す。［００５８］連続性又は空間配置に関して、アンテナ関数に特別な制約を設けることは必要ではない。それにも拘わらず、統計に基づき非常に単純な、指定の仮想源のイメージへのアプローチを容易に思い描くことができ、またホイヘンス源として考えることができる。勿論、対象となる仮想源を明らかにする為に用いる各実源に対し、アンテナ関数の各要素について、進行時間の妥当な概算を有することは要求される。丁度、アンテナ関数の多重度(multiplicity)を用いるように、多くの実源が有るかも知れないし、無いかもしれない。少なくとも一部は特定の仮想源に関係する全ての振幅値を、振幅値の到達又は進行時間及びそれらの和により確認する。０次の総和(zerothorder)は、望ましい増幅の選択的増幅及び他の寄与の取消しにより求めるイメージを表している。勿論、演算の総和の範囲の数を考慮する"標準化"は、実際的事項として必要である。［００５９］概説された手続きは、一般的な実行に於いて、必ずしも面を含まない。イメージされる仮想源の数及びサイズのように最終的に到達可能な分解能は、得られた波動場の独立したサンプルの数によるのは明らかであり、得られた波動場は伝搬媒体を表すために働くことができる。明らかに、仮想源のイメージの信頼性は、独立的な波動場サンプルの仮想源に対する比が増加するほど、増加する。この比は、データ余剰の測定である。大きなデータ量を持つことは、小振幅を修復し、より高いノイズ環境に於いて波動場を探知する為に最もよく適用されるアプローチである。［００６０］総和の単純な面は、アンテナ関数内の実源及びレシーバー要素の位置がある方法で抑制された特別なケースについて定義されることができる。例えば、もし全ての実源を平坦な面上に置き、アンテナ関数を同じ面のサンプリングとするならば、形成することを求めてきた総和は、数式に従って進行時間(直線状光経路)に支配される。ここで、実源は座標原点である(図３参照)。もし、Ｖ_SがＶ_rに等しく取られ、仮想源の分解能要素が座標原点の鉛直真下にあれば、進行時間の表示はこうなる。［００６１］抑制されたケースをこのように総和することによりイメージし、より多く又は少なく規則的にサンプルされたアンテナ関数を指定された面に用いることは、分解能の双曲線であるサンプルされた時空面を定義する。また、キルヒホッフ回折スタックとして知られる地震イメージングにも用いられる方法である。記載した波動場の復元アプローチは、どの値に対してもＸ、Ｙ、Ｚが任意に増加する点で、本質的に際限のないことは興味深い。この"際限のない"性質は、この特徴を分配(share)せず、また付加的な有利さを有する代わりの方法を捜し出すことに繋がる強力な理由である。再び地震的適用に於いて、また適当な抑制とともに、これは他のキルヒホッフ法と考えられるが、実際にはこの専門用語は極めて不正確であると気付く。前に説明した理由及び産業上の伝統と共になお保たれていることから、考えられた方法は、より適切にホイヘンスタイプのアプローチと呼ぶべきである。［００６２］もう１回、実源から指定された分解能要素への進行時間が、そのような要素からアンテナ関数への進行時間として知られていると仮定する。所望の分解能要素を表す見かけの源をイメージする為の異なる概ねの波動場の復元手続きは、特別の仮想源及び実源とともに、先だってスタートするものとして企てられる。実源をアンテナ関数の特別なレシーバー要素と連絡しているととらえることができる。この議論を続けるのに、図４を参照すべきである。［００６３］図面を簡素化するために、図４については、実源とレシーバー要素を取り囲む伝搬媒体は、他の関係する材料特性と同様に、一様とされている。固定された総進行時間について、探知された波動場振幅に寄与するいかなる分解能要素又は仮想源も、図示の如く、分解能の楕円に沿って横たわる軌路(locus)を有する。もし実源と特殊なレシーバー要素が２つの焦点を有するものとして捉えられれば、このことはそのような面の幾何学的定義から帰結する。面は閉じており、考慮されべき変数の範囲に於いて明確に限定されている。明らかに、一度材料パラメータの変化が含まれると、対称的な面は、より複雑な他の形状を有する。［００６４］複雑なアンテナ関数は、仮想源の集合的位置のいかなる表示も邪魔することは明らかであり、仮想源はある種の面を構成するものとして、探知された波動場振幅に寄与する。それにもかかわらず、適用されるイメージングアプローチは、探知された振幅を、イメージングアプローチから生じるかもしれない定義された全ての分解能要素に分配する。もし、十分大きな数の実源及び／又はレシーバー要素がこのように用いられ、同様に分配されると、伝搬材料は有効な情報の増幅によって、所望の分解能でイメージされることができる。［００６５］計算の標準化は、このアプローチにより容易に企てられることを指摘すべきであり、総進行時間が分配プロセスを経て探知された各振幅にとって普通である故に、この標準化は波動場の広がりを収容する。また、速度関数も知られている。このように、形成されたイメージは高い忠実度を有する。探知された振幅が配布されたところの分解能要素の数は、有用な独立的サンプルの数のみに依存することに注意する。勿論、分解能を限定する要素の速度関数、進行時間、Ｓ／Ｎレベル、実源特性はアナログの実際的事項と同様に正確である。［００６６］好ましい計算に於いて、考慮した方法は適用される、しかしまた、実源からホイヘンス源又は分解能要素へ、及び分解能要素からレシーバー要素への波動場伝達に、異なる速度が適用されることを許す。実際の計算は、実源の１方向の伝搬時間とレシーバー要素進行時間要素を合計し、２方向の進行時間を、実源をレシーバー要素をペアリングする関数として、分解能要素の為に展開する。そのような２方向の経路の進行時間に対応した特別なペアリングに代えて、探知され記録された振幅を用いることは簡単なことである。そのような計算の詳細な説明は、現実のデータを用いる例示の文脈に続く。［００６７］好ましい計算の他に記載された方法は、波動場の復元とイメージングを含む多くの適用に普通に適用されることを認識することは重要である。本発明の重要部分は、仮想源についての波動場サンプリングと到達可能なイメージ分解能は、伝統的なパラダイムに含まれるように、拘束されないし、関連しないとの評価である。それはイメージングへの拡張されたホイヘンスアプローチであり、第２の考慮を明らかにする。この発明から続く全ての考慮は、イメージングへの伝統的アプローチの為に得られたデータは、普通のアプローチにより、理解されるものを越える重要な情報ポテンシャルを有することを明確にする。［００６８］仮想源のホイヘンスタイプのイメージングに提供されるこれらの方法は、実際にリンクされた変数波動場の復元を構成する、なぜなら進行時間は空間変数に関連するからである。また、これらの方法は、適切にサンプリングの役割を占める。重要さのいくつかの概念は、全ての波動場の復元の為に、互いに影響しあうから、区別への直感的な指針をここで提供し、指針は本発明により提供される実際の計算表示の利点により実質的に引き続いて作られる。［００６９］図５は、図表のフォームで、波動場イメージングの３つの択一的な原理を示し、強調された相違を明確にする。図５Ａにて、サンプリングの原理は、波動場イメージと同様に、実源、アンテナ関数、切り離された波動場の復元に独立して適用される。仮想源の為に結果として生じた波動場イメージは、分解能に対するナイキスト限界と同様に、偽信号、実源周波数及び他の特性に基づく限定のように、結果に依存するものと考えられている。これは、おそらく現在の波動場イメージング適用に対し、通常の形式である。［００７０］図５Ｂにて、波動場の復元はリンクされた変数のアプローチを用いる、しかし、図５Ａにて適用されるように、再びサンプリングを考慮することは、不適切で必要でない。図５Ａから判るような限定は、適用されるように思えるが、そうではない。これは、いくつかの波動場イメージングアプローチに於ける更に普通の環境である。［００７１］図５Ｃのみが、サンプリング考慮の正しい役割を示している。仮想源に対する波動場イメージ分解能の限定は、独立サンプルの数のみに依存し、独立サンプルはシステム（位置、速度その他）及び勿論、Ｓ／Ｎレベルに於いて変わりやすいのと同様に利用できる。波動場イメージの分解能を定義する指定されたサンプリングは、対象物分解能をサポートするのにまだ適当でなければならないし、また波動場サンプリングからの適切な情報サポートを有さなければならない。［００７２］記録された波動場サンプルは、進行時間変数に支配されるから、この同じ変数を用いてイメージを形成するのは、一般的実務である。速度関数を支配していることは、空間変数のみを用いて、イメージングを達成することを可能にする。推定された又は測定された速度域に関係するエラーは殆ど常に考慮される、これ故に多くの場合、進行時間変数を用いてイメージすることは好ましく感じられる。時間変数を用いる波動場イメージは、実際、現実には距離変数によって適切に記載されることを認識することは特に重要である。この場合の進行時間は、有効で連続的に変わる距離の再スケーリングを表すが、伝達経路に関連する。［００７３］もし、信号理論に於いてしばしば成されているように、情報内容を評価する為に、フーリエ域を使うことを求めるならば、表した見解の重要性は強調される。例えば、もし、下限と上限であることを示すｆ_Lからｆ_hまでの帯域内で、実源が時間周波数内容を有するならば、対応する時間変数内の波動場サンプリングは、ナイキスト理論に従って、必要な周波数を受け入れるそのような情報を用いて、例によって配置される。実際、総和内に取られる波動場サンプリングから到達できる分解能は、より優れたサンプリングを許す。［００７４］示したように、イメージはリンクされた変数波動場の復元の間中、概算でエネルギーの伝達を認めることにより、空間変数を考慮して形成される。空間変数の進行時間のスケーリングは、このように元の波動場サンプリングの進行時間サンプリングよりも優れている。このように、イメージに沿った時間変数周波数内容が、実源に取り囲まれた帯域の外に現れる周波数を探知する為に時間変数を用いて評価することは可能である。そのような周波数は、見かけの周波数であるが、それにもかかわらず物理的用語に於いて重要である。［００７５］実源の帯域外での見かけの時間周波数は、ナイキスト基準と元の波動場サンプリングを用いて到達可能と思われる波動場イメージの高分解能の尺度となる。進行時間と空間変数との間の関係が極めて複雑であるから、より特定の意味のみがケースバイケースにて確立される。ここでのいろいろな論述に於いて、周波数という語は、波数と互換性がある意味に用いられることがしばしばある。各々の状況において、意味を明確にすべきである。この関係及び上記のアナログを有する理由から、サンプルされた波動場の独立変数に個々に適用されるナイキスト原理を用いて合理的に思えるそれらの外の見かけの波数に遭遇するだろう。結果に注意する。［００７６］記載してきたことを証明するために、リンクされた変数を用いて波動場の復元を実行することができ、伝搬媒体−音波上のインピーダンスに関し、地震音の像の下にあるアースをイメージする。これは３次元の表面下(subsurface)を含む２次元の適用であるけれども、一般性の欠落はない。得られたデータの為に、ナイキスト時間周波数限界を超えて分解能と共にイメージングを見せることができ、及び現在一般的に行われているパラダイムに従って実源内に意味ありげに存在することをあまり期待しない見かけの時間周波数に達することを見せることができる。同時に、３次元にたやすく展開できるそのような計算を実行する好ましい実施例を示す。［００７７］前記のような(分解能の楕円形として図４に単純化された条件で示された)ホイヘンスタイプのイメージングの第２の方法が実施されるだろう。また、この好ましい計算は、計算的な"トリック"又はアルゴリズムを含み、それはおそらく他の、より知られた波動場イメージング適用に関してむしろ易しく説明され得る−２つの基地局を用いる航海術である。図６は、２つの基地局Ａ、Ｂとともに平面内の位置を求める乗り物を示し、基地局は乗り物が受信する為に、知られた速度で大気中に、識別される電気信号を送信する。［００７８］もし、ＡとＢにて信号を発する為の基準時間が利用できるなら、乗り物は２つの基地局からの移行時間Ｔ_A、Ｔ_B を測定する。信号速度、良い地図を用いて、適当な半径の円が、各基地局について描かれる。図６に於ける信号の水上での交点は、基地局に関して乗り物を置く。勿論、示されるこの全ては、単純な三角測量である。［００７９］基地局Ａが信号を送信するが、基地局Ｂは、乗り物の位置を決める為に、乗り物からの反響又は反射を受信することを想定する。この反射は時間に亘って振幅を示す記号を有するが、単純な測量のみが存在し、乗り物の位置決めには不十分である。乗り物は、基地局ＡとＢを焦点として有する水上の楕円に沿ってどこかに位置しているとしか言えない。もし、Ａ及びＢと同じ様な多くの基地局のペアを用いるならば、今や円の代わりに楕円を用いているから、この乗り物の位置は、三角測量の場合と同じ様に、楕円の交点によって求められるだろう。［００８０］考えられる航行へのアプローチについて、乗り物の位置よりもむしろ乗り物のイメージを展開するために、円又は楕円に亘って振幅記録を分配することのみが必要である(図６参照)。また、図６に示すように、領域に亘ってグリッドを重ね合わせることができ、この振幅分配の動作は単に、特殊な曲線を用いることに酷似した各"グリッドセル"又は"ピクセル"内に於ける振幅の時間経過の書き込みを構成する。グリッドは、また図６に示されている。［００８１］振幅の測定値がグリッド位置へ算術的に加算される場合、種々のグリッドセルに現われる最終振幅を求めれば、乗り物の像が作成されるだけでなく位置も決められるだろう。選択されるべきグリッドセルの大きさは、乗り物の像作成と位置決めの両方に関係する。真の像を、どこかに分配された振幅と区別できるようにするには、グリッドを通る測定軌跡は十分な数を必要とし、それが本発明の基本的要件である。また、像の解像度は、そのようなプロセスの中で重要な役割を果たすものとして先に確認された全てのファクターだけでなく、選択されたグリッドセルにも依存するであろう。［００８２］反射地震探査法への適用を検討する前に、楕円を用いるナビゲーションの適用例をもう一度検討すべきである。通常、楕円を用いた計算の場合、円を用いた計算と比べて、非常に多くの労力を必要とする。さらにまた、基地局ＡとＢの夫々から乗り物までの進行時間が異なる速度を要求する場合、状況はさらに複雑なものになる。そのような場合、等速度関数用の楕円だったものは、異なる速度に依存するその他の曲線になるであろう。今必要とする計算は、現在利用可能な最大かつ最速のコンピュータでさえ、その負担は並々ならぬものである。しかしながら、その最大かつ最速のコンピュータを用いた場合でも、計算効率には常に関心がもたれている。［００８３］図７に示される地震反射の状況は、図６と共通している。図７の平面は図６の平面とは異なり、水平ではなく、垂直である。基地局Ａの対応部(counterpart) として作用する実源は、波動場を伝送する。図６の乗り物に対応して、特定の解像度をもつ要素の像を作成する必要がある。これらの解像度要素は、仮想源又は見かけの源であるか、ホイヘンスの源であり、これらは像作成のためのサイズ及び数が予め決められている。そのような選択を行なう際は、必ず、実行されるべき振幅分配操作(amplitude distribution operation)によって、各グリッドセルの中へ適当に入力されなければならない。これは統計的利点を得るために行われ、この利点ゆえに、解像された像を正しい位置で作成するのに適用されると考えられる。［００８４］この反射地震探査法において、図示の解像度要素から実源及びアンテナ関数の特定のレシーバ要素までの進行時間が異なる速度で進むことは、非常に可能性のあることであり、おそらくそうなると思われる。適用しなければならない異なる速度関数を、何らかの要領で、同時に認識しながら、ホイヘンス分配操作を高い計算効率で行なうための適当な手段が望まれている。［００８５］実源の位置とその速度関数を用いて、１方向の進行時間だけを表す円を計算することができる。これに対応させて、レシーバ要素の位置とその異なる速度関数を用いて、１方向進行時間の異なる円の計算が再び行われる。最初に説明したナビゲーションの適用例である図６を参照すると、図示の円は、実際には１方向の進行時間を示しており、これは反射地震の場合でも、ちょうど同じようにこの位置が示される。既に述べたように、同じ図で垂直平面を表す場合についても、ナビゲーションの適用例と同様に、反射地震の像作成例をも示していると考えてよい。［００８６］それゆえ、直進方向に像を作成する前述の方法とは異なる考え方を提案することができる。これらの全ては共通して、振幅をグリッドセルへ加算する工程を有している。その代わりに、１方向の進行時間を図示のグリッドセルに加算することができる。源とレシーバ(この場合ではＡとＢ)のペアはどの場合でも、いかなるグリッドセルにおける合計も、この拡張されたホイヘンス作像システムの解像度要素でもあり、それはＡからＢまでの進行時間の両方の脚(legs)を含むから、２方向時間であることは明白であろう。［００８７］ところで、像の作成では、グリッドセルは進行時間よりはむしろ振幅値を含む必要があるが、それらを得ることは現在ではかなり簡単なことである。Ｂのレシーバ要素とＡの実源を考慮すると、記録することは、実際は２方向進行時間でのＢの振幅の時間履歴である。なお、ＡとＢのペアに対しては、以前の操作から２方向進行時間を有するグリッドセルへ進んで、２方向進行時間に対応する記録された振幅と置き換えることもできる。特定の解像度要素(乗り物)に適用するとき、ＡとＢでの速度が同じであれば、そのような方法により得られた振幅は、図６に示されるグリッドセルを通じて、楕円に沿って分配されることは明白である。［００８８］前述の計算は、単に１つの特定の実源とレシーバ要素のペアについて行われるから、「マスターグリッド」と「作業グリッド」を必要とすることは明らかであり、マスターグリッドの中で最終像(final image)が作成され、作業グリッドの中で特定の源とレシーバの各ペアに対してその結果が計算される。作業グリッドの結果は、各々がマスターグリッドへ送られ、加算されることになる。各グリッドは、どの使用形態の場合でも、サンプリング理論の原理に基づいて、特定像を表すことのできる能力を有していなければならない。［００８９］この望ましい計算例における能率向上は、各々の実源又はレシーバ要素を中心位置とする１方向進行時間の円が、特定の地面位置と関連づけられた時間の速度関数が異なる時にのみ、唯１度だけ計算されるという事実に由来する。１方向の進行時間を加算する作業では、特定の実源及びレシーバ要素に対して適当間隔を有する値の２つの１方向進行時間グリッドを加算して重ねるだけであり、その特定の源とレシーバのペアにおける記録を用いて、振幅に対して置換が行われる。そうして得られた振幅値は次に作業グリッドから再びマスターグリッドへ移され加算される。［００９０］図６を含む説明を助けるために用いられたその他の図面は物理的状況を強調するものであるから、図を介して前記計算を説明することは特に参考になるであろう。図８は、記憶条件を含む全ての３次元環境に対する望ましい実施例の計算を明らかにするものである。［００９１］図８のフローチャートの中に、１〜９の番号が付された要素が示されている。要素(81)で示されるように、伝搬媒体、望ましくはその上の部分にて、像の作成が行われる。要素(82)はその成分(82A)(82B)(82C)を介して、実源、レシーバ要素及び計算目的のために記憶されたそれらの物理的位置を表す。どのレシーバ要素が実際のどの源に対してアクティブであるかを認識することが重要である。要素(83)は計算の一部ではないが、像作成の基礎を形成する媒体の中で伝搬波動場の発生を表している。［００９２］要素(89)のマスターグリッドはコンピュータの記憶領域であり、その中で最終像が形成される。空間変数及び時間サンプリングにおけるその解像度は、この発明の原理に基づいて決定され、実源の周波数成分と、独立変数に対して個々に適用されたサンプリング理論の考慮要素(considerations)から両方とも独立している。正規化作業は最終計算の一部を形成する。要素(89)については、計算の中でその役割を占める段階のところで説明する。なお、要素(89)については、早く言及する必要があったのは、計算が進行するにつれて最終的に使用されるサンプリング間隔を設定するためである。［００９３］各実源及び各レシーバ要素に対する記録された波動場の値は要素(84)を介して計算部へアクセス可能である。要素(85)において、伝搬媒体の速度場は、各実源及び各レシーバ要素を中心位置とする球形波面に対してのみ進行時間の関数として適用するために適用された平均速度によって近似化される。これらの平均速度は、最初は、ある実源又はレシーバ要素位置においてのみ利用されるが、必要に応じて補間法を用いることにより、そのような情報は各位置で利用することができる。［００９４］所望の平均速度は、速度の測定値、又は特定の適用例に近似された獲得データから計算することができる。反射地震のデータ研究を具体例として示すために、そのような手順の一例に関してさらに詳細に説明する。［００９５］要素(86)における１方向の進行時間のグリッドは、要素(89)のマスターグリッドと同じ離散サンプリング(discrete sampling)を使用する。これらのグリッド値は各々が、実源又はレシーバ源のほぼ中心位置にあり、時間の関数としての平均速度が異なる場合に、実源又はレシーバ要素の位置毎に計算されさえすればよい。［００９６］実源とレシーバ要素のペアが波動場の値の時間履歴の記録に対応しており、各ペアは要素(84)を介して時系列(time series)として記憶される。これと同時に、空間的に互いに移動した１方向時間であって、２つの位置を表す２つの対応するグリッドが要素(87)の作業グリッドに加えられ、実源とレシーバ要素の同じペアから、２方向時間のグリッドが作られる。このようにして、伝搬物質における速度の横方向の変化が、実源及びレシーバ要素位置の異なる平均速度関数を用いることにより近似化される。そのような近似を行なうことの目的は、１方向時間における球形の波面を使用することにある。［００９７］要素(84)のカタログは２方向又は総計の進行時間は、波動場の振幅に関係づけられているから、要素(87)の作業グリッドの中で置換され、要素(88)が作られる。波動場の振幅は進行時間による超過時間を減少させるから、進行時間の振幅効果を享受するために、正規化ファクターが適用されるべきである。平均速度は要素(85)で獲得できるので、その訂正に組み入れることもできる。それゆえ、要素 (85)と(88)の間は破線で接続している。［００９８］実源及びレシーバ要素位置に関する訂正が行われた後、今度は、作業グリッド (88)の内容を加算すべき場合、最終像は要素(89)の中に含められるべきである。この工程では、各グリッドセル又はピクセルの中へ加算されたものの数に基づいて正規化が行われる。従って、像は、サンプリングの密度ではなく、物質の特性を表すことになる。［００９９］前記伝搬媒体の像作成を効果的に行なうには、速度関数について合理的知識を有することが必須条件である。像自体は、通常は、伝搬速度が定義上含まれるインピーダンス変数を表している。例えば、音響波の場合の音響インピーダンスは、密度と速度が合成されたものにすぎない。速度がインピーダンスの成分である場合、像作成の前に速度関数を知ることは、問題に取り組む前にほとんど答を知ることを意味すると思われる。これは、勿論、その場合ではない。反射地震に適用する場合、最初に、速度が既知のモデルデータへアドレスし、次に、速度の決定を含むこの検討作業が適用されなければならない状況へ進む。［０１００］地震に関するデータは、図９Ａの深さの関数として示されるモデルにシミュレートされた。弾性波方程式の数値近似式が用いられ、２次元形状の表面にて源と要素位置が得られる。表面上の位置は、１００フィート間隔で注釈される(annot ated)。このモデルの特徴は、俯角４５度で幾つかの急角度をもったレフレクターの「階段(steps)」を有する２つの境界にある。しかしながら、この研究では、深さで５００フィート離れた位置にある２つの水平レフレクターに関心が集中しており、各々が一連の５個の凹み又はウエル(wells)を有し、これらは図の下部にも拡大して示されている。レフレクター内の各々の凹みは、基本的に四角であり、深さはその幅に一致している。［０１０１］計算は５０００フィート／秒の一定速度で行われ、反射をマークするために、中心周波数が８０Ｈｚの比較的広い帯域の地震のウエーブレットが加えられる。発生したデータは全て、４０ショット(実源)毎の時間間隔で記録された４０１のレシーバ要素の組(suite)から構成される。ショットの間隔は、マーク位置を始点とし、表面に沿って１００フィート毎である。レシーバ要素の間隔は、実源から同じ距離離れた位置を始点とし、１０フィート毎である。時間のサンプリングは２msec毎に行われる。このパラメータの場合、最も小さい凹み又はウエル(１０フィート×１０フィート)は、従来のようにＣＤＰ方法を用いて像を作成すると、その深さを表す２つの時間サンプルと、２つの空間サンプルを有している。ＣＤＰの像作成法は、次の文献に記載されている：Yilmaz，1987(Investigations in Geophysics，No.2 Seismic Data Processing，Tulsa，the Society of Exploration Geophysicists発行)，4 5-47頁。このＣＤＰ像作成法では、像の空間サンプリングはレシーバ要素の間隔の半分である。それゆえ、最も小さいウエルは、２つのサンプルが、表示された空間次元の中にあるのが認められるだろう。ナイキストの基準によれば、最も小さいウエルは、少なくともその主要空間及び時間周波数にて、適当にサンプリングされる。［０１０２］図９Ｂは、より深い位置にあるレフレクターの部分の震波の像作成を示すもので、凹みの特徴は図９Ａの下部に示されている。前述したホイヘンスの像作成技術が適用される。地震専門家は、「キルヒホフのプレスタックミグレーション(prestack Kirchhoff migration) 」作業が適用されていたと言うかもしれない。移動した像に重ねられたモデルは、図９Ｂの下部に示されている。１０フィートのウエルでさえも、容易に確認される。［０１０３］図９Ｂ及び図９Ｃに示された表示形式は、「揺れ跡の変動領域(wiggle-trace variable area)」として知られる地震波の像の作成に使用される標準的なものである。各々の空間サンプルにおける振幅値の時間履歴は、ゼロレベルの周りでその空間サンプル位置そのものを通る曲線として、その基準位置より下の垂直方向にプロットされる。正の振幅値は右側に振れ、ゼロレベルになるまで黒色で満たされる。正の振幅の振れは黒色部分からより多くの視覚的強調を受けるので、この表示は「バランスがとれていない(unbalanced)」ものである。地球内部(earth )の像を形成する際、音響インピーダンス(その成分として速度と密度の両方)は深さと共にシステマティックに増加するから、正の反射を表す正の振幅の数はより多くなることが予想される。［０１０４］記録された基礎データ群は、次に、記録されたレシーバ要素の数に関して、文字通り１０分の１になる。記録された全ての振幅をゼロと置き換えることにより、元の記録は全て１０毎に、その中の９が削除される。結局、当初記録されたデータの１０パーセントだけが、有効ショット又は源の間隔がレシーバ要素の間隔１００フィートと同じになるように保持される。その後、ＣＤＰの間隔は５０フィートになるが、再び、ナイキストのサンプリング理論に従うため、サンプリングがあまりに粗すぎて、５０フィートサイズのウエルの中で最も大きいものを除くいかなるウエルの像も作成することができないと、一般的には考えられるであろう。［０１０５］図９Ｃの上側の図形には、黒の逆三角形が、ＣＤＰの作像跡を利用できる位置に、５０フィート間隔でマークされている。これらの離間位置は単独では、像の作成目的であるウエルの表示をし損なうことになることは明白であろう。補間法によっても、獲得し損なった情報をうまく修復することはできない。また、「デカップルド変数移動作像法(decoupled variable migration imaging)」のようなフーリエ変換を用いた処理方法もまた、そのような入力データ群の中から満足すべき解像度を作り出すことはできなかった。それにも拘わらず、５フィートの空間サンプリングと２msecの時間サンプリングを適用した「リンクされた変数により波動場を復元する方法(linked-variable wavefield reconstruction)」は、図９Ｂに示される元の計算結果と殆ど遜色のない像が得られた。［０１０６］この場合において、１０分の１にされたデータに対して最も小さい凹み又はウエルが出現したことは、有効空間サンプリングから回収可能と考えられる周波数を超えて、見かけの空間周波数へアクセスできることを明らかに示している。そのような周波数(波動数)は、表面下の像空間を表示することに関しては実際のもの(real)であるが、特に、個々の変数に関して従来の視点から見たとき、元の波動場のサンプリングに対する関係の点では見かけのものである。さらにまた、用いたデータを著しく減少しても、最終品質はほとんど悪化しないから、データ獲得費用の点からみて、実際の適用に際して重要な意味をもつ。［０１０７］本発明に基づく波動場の復元(これは又、地震専門家では、プレスタックミグレーションと称されている)を示すには、適当な速度関数を得る問題に取り組まなければならない。それゆえ、地震波の波動場のデータの作像結果を調べる前に、この問題をある程度の一般性を以て検討するだけの価値がある。［０１０８］ソナーの場合と同じ媒体の中で潜水艦の像を作成する場合、その前に、海水の速度を深さの関数(塩分と温度に関して)として測定することはできる。反射地震探査法へ適用する場合、メインにより開発されたＣＤＰ法(Mayne，1962，Common-reflection-point horizontal data stacking techniques，Geophysics，27，927-938)により、合成アパーチャ法に基づいて、表面下の速度変動場の単純化されたモデルを用いて、「速度」計算を行なうことができる。［０１０９］図１０は、メインのＣＤＰ法による作業の後であって、一連の傾斜レフレクターの最後のものが、表示されたように記録された場合に、地震の表現の幾何学的表示には、容易に判断される得る「平均化された」速度、つまりスタッキング速度が含まれることを示された２次元の例を示している。双曲線を用いた特定のレフレクターの場合、到着時間は、源とレシーバ要素の分離によって変化するので、このスタッキング速度は、到着時間を近似化する際のパラメータとして決定される。それゆえ、速度場の幾つかの手段を入手できるが、実際の状況に対する表面下モデルの適用可能性にも依存するから、それは非常に正確なものではない。［０１１０］前述した所定の速度場を用いると、どんな解像度要素の場合にも、どの実源の位置までの進行時間について、アンテナ関数のいかなる部分までの進行時間と同じ様に計算することができる。速度場については、さらにコメントを述べる必要がある。伝搬速度は、波動場のタイミングだけでなく、その幾何学的形態も制御することができる。速度が変化すると、周知のスネルの法則により、光線経路は屈曲させられる。波動場についても、同等の効果は、曲率に変化をもたらす。速度場を知る際にエラー又は曖昧さ(uncertainty)があると、不可避的に像の解像度が制限される。リンクされた変数の波動方程式による解法は、伝搬媒体の像作成を達成しようとするものであって、波動場の幾何学的変化を適当に考慮に入れねばならないが、速度場によって達成し得る解像度が制限されることになるであろう。その状況を簡単に例えると、度数の合っていない眼鏡で景色を見るようなものである。度数を調節することにより(これは速度場の補正を行なうことに相当する) 、像は必ず改善されるであろう。［０１１１］従って、像の質は、反復操作により速度場の質を向上(refining)させるための基準となり得る。即ち、初期速度関数は評価され、更新又は訂正が施されて、像の焦点整合性が向上し、鮮明度が増す。１方向進行時間を用いることにより、前述した波動場の作像の計算は効率良く行なわれるため、そのような計算はかなり実用的なものとなる。［０１１２］波動場の地震データに話を戻して、１９８５年ルイジアナの沖合で得られたデータのプロファイルについて検討する。実源は、大きさの異なるエアガンの配列 (array)であり、その正確なシグネチャー又は有効地震のウエーブレットは不明である。製造者による仕様では、作り出される有効周波数成分は１０〜９０Ｈｚである。全部で１２０のレシーバ要素が８２.５フィートの間隔で配置され、水底の適当な位置に置かれる。なお、各レシーバ要素は、実際には、ハイドロホンが接近して配備されたものを一まとめにしたもの(ganged)である。サンプル間の間隔を２msecとするデジタル記録が採用されるが、それは、まだアナログ形態のデータの高周波成分がカットされた後である。このため、１２８Ｈｚを越える周波数は、周波数が高くなるにつれて、かなりの測度で減衰する。［０１１３］データは、許容範囲の精度まで知られている海面高さ及び海水での音速を参照することによって得ることができた。さらに、伝搬する波動場の超過時間を表すパルスを整形する必要があった。これは、実際には、統計的手段を用いて行われた。これらの操作は本質的に標準的なものであり、例えば、Yilmaz,op.cit.の文献の中に詳しく記載されており、必要に応じてその詳細を参照すればよい。ＣＤＰに基づく速度分析結果が集められ、前述したように、４分の１マイル間隔で編集され(compiled)、必要な速度関数が形成される。しかしながら、処理されたプロファイルの部分については、速度場において、水平方向の変化又は勾配は実質的に観察されなかった。［０１１４］図１１Ａは、最終の像作成のために、従来より商業的に入手可能なキルヒホッフの２次元プレスタックミグレーション法を用いて処理された特定の地震波線の図である。これは、リンクされた変数の波動方程式の解法に基づいている。対応するホイヘンス式の像作成が、本発明に基づいて、同じ基礎データに対して実行され、その結果が図１１Ｂに示されている。この作像法は、変形キルヒホッフミグレーションと称されるもので、その結果は、空間及び時間を同じとするサンプリング間隔(４１.２５フィート及び２msec)について得られた。２つの表示は、予想された通り、特に横方向の速度変化が最小のものに対して、かなり同等といえるものである。図１１Ａ及び図１１Ｂは、モデルデータの分析の際に説明したように、地震波作像に関する標準の表示形式を使用している。波動場のデータの背景ノイズレベルは、モデルデータには存在しなかった(図９Ｂ及び図９Ｃ参照)。［０１１５］図１１Ａ及び図１１Ｂに示された表示スケールの場合、詳細な比較は簡単に行なうことはできない。それゆえ、両方の図の中で表示された同様な位置で、振幅スペクトルが計算され、計算結果は図１１Ｃの中に示されている。正規化の一般的方法が適用された。図１１Ｂの変形キルヒホッフミグレーション(拡張されたホイヘンス式イメージング)は、多少の高周波成分を有していることは明らかである。２msecの計算は、特に元のデータに適用された濾波作用から考えると、１２５Ｈｚを越える周波数を表すためにのみ制限された能力にすぎないから、この結果は、いかなる意味においても限定的なものではなく、特別な意義を有しない。［０１１６］しかしながら、変形キルヒホッフミグレーション又はホイヘンス式計算は、最終の像作成に対しては、１msecのサンプリング時間間隔にて繰り返し行われた。今、比較は、同じホイヘンスの手法を用いて、１msec〜２msecの像作成の間で行われる。振幅スペクトルを用いた周波数成分と同様、前述した地震波形式における比較用の時間履歴表示についても、クローズアップされたものを調べてもよい。［０１１７］実際のデータの分析結果の評価は、コメントの付されたノイズが存在するという理由だけで、モデル分析計算よりも、曖昧さの度合いは常に高くなることを認識することは重要である。この場合、さらなる高周波( １２５Ｈｚ以上)の存在が検出されることは、源シグネチャ一又は他のシステムノイズの中に存在する小サイズの信号成分の増幅に原因があるかもしれない。それゆえ、到達した結論を支持するために適当な説明をせねばならない。［０１１８］次に、これは３次元の地球から得た２次元の図であるから、平面以外に寄与するものについて注意し、観察しなければならない。この場合、その効果は、有効などんなレベルに対する結果又は結論とも干渉することがないように判断されてきた。高周波数を有する震源の像作成に関して、さらにもっと微妙な(subtle)要素があり、これについてもまた検討しなければならない。第１に、時間変動における高周波は、地球の表層部(thinner units)に対応することを認識する必要がある。表層部は、通常、深層部(thicker units)よりも面積的な広がりが少ない。それゆえ、伝搬する波動場の波面が時間(又は深さ)の増加と共に、半径が大きくなるにつれて、不均質(inhomogenity)の空間的広がりもまた増加して、認識し得るほどのコヒーレント効果を波動場に対して及ぼすようにしなければならない。最初のフレネル帯(光学での定義と同様な意味)と、該フレネル帯の反射に対する関係の検討は、この効果について考えるもう１つの方法であり、引用したYilmazの業績の中で既に論じられている。［０１１９］それゆえ、速度関数の精度や、システムノイズなどの実際的問題による制約を受けるため、地球内部での記録された進行時間又は対応するレフレクターの深さで、最も高い周波数を作像する能力が低下することが予想される。この理由から、ここでの比較は、周波数分析を用いて、また異なる進行時間においてもなされるべきであろう。［０１２０］拡大して表示された図１１Ｄ及び図１１Ｅを参照すると、２msecのサンプリングで作像されたものと比べて、１msecのサンプリングで作像された方の視野の中に、より多くの高周波成分の存在することがかなり明白に示されている。これら高周波成分の寄与は、２つの理由に対して真であることを検討しなければならない。第１に、これらの図は、空間サンプルからサンプルまで横方向に連続であることを示しているが、この連続性は、低周波数(２msecでの像作成)で作像することによって表示された地質学的特徴に整合性を有している。ノイズの増幅によっては、同程度の空間コヒーレンスは示されないはずである。また、空間連続性は、像のぼやけに由来し、速度関数エラーから生ずるものであって、地質に従うよりもむしろ楕円連続性を示すであろう。その理由は、そのような幾何学的パターンは、適用された波動場の像作成方法の特徴だからである。［０１２１］振幅スペクトル（図１１Ｆ乃至図１１Ｉ）の周波数ドメインの比較において、２msecの作像と比べると、１msecの作像では高周波の存在していることがわかる。予想されたように、データ(０.４〜０.８秒)の最も浅い部分での分析結果は、高周波数成分が最も集中していることを示している。地震の実源(エアガンの配列)の周波数が、残留信号の増幅により、製造者が指定する公称カットオフの３倍高い周波数になることは、特に適用されたアナログ濾波作用からみても、ほとんどあり得ないことである。そのような信号成分は、各グリッドセル中の仮想源として、ホイヘンス式の地球内部作像法に固有のものである空間時間の可変リンクに由来していると結論づけることは、唯一、理にかなったことといえる。これらの見かけの周波数は、源の有効帯域をほぼ越えており、地震波の像作成における空間解像度が、個々の変数を考慮して元の波動場のサンプリングに適用されたナイキスト基準よりも遙かに大きいことを示唆する。［０１２２］それゆえ、この実施例は、たとえ２次元的なものであっても、本発明の実際的な性質を示している。周波数は、ナイキスト基準(初期データの獲得は２msec)を用いて表すことができると思われるものを越え、また実源に存在するものを越えていても、また、それらがたとえ見かけのものであっても、波動場を復元する作像法によって対処することができた。本発明の前記説明は例示的なものである。技術、処理パラメータ、獲得パラメータ等については、例示された実施例の詳細についてと同じ様に、発明の精神から逸脱することなく、種々の変形をなし得るであろう。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (81)指定国ＥＰ(ＡＴ，ＢＥ，ＣＨ，ＤＥ，ＤＫ，ＥＳ，ＦＩ，ＦＲ，ＧＢ，ＧＲ，ＩＥ，ＩＴ，ＬＵ，ＭＣ，ＮＬ，ＰＴ，ＳＥ)，ＯＡ(ＢＦ，ＢＪ，ＣＦ，ＣＧ，ＣＩ，ＣＭ，ＧＡ，ＧＮ，ＭＬ，ＭＲ，ＮＥ，ＳＮ，ＴＤ，ＴＧ)，ＡＰ(ＧＨ，ＫＥ，ＬＳ，ＭＷ，ＳＤ，ＳＺ，ＵＧ)，ＥＡ(ＡＭ，ＡＺ，ＢＹ，ＫＧ，ＫＺ，ＭＤ，ＲＵ，ＴＪ，ＴＭ)，ＡＬ，ＡＭ，ＡＴ，ＡＵ，ＡＺ，ＢＡ，ＢＢ，ＢＧ，ＢＲ，ＢＹ，ＣＡ，ＣＨ，ＣＮ，ＣＵ，ＣＺ，ＤＥ，ＤＫ，ＥＥ，ＥＳ，ＦＩ，ＧＢ，ＧＥ，ＧＨ，ＨＵ，ＩＬ，ＩＳ，ＪＰ，ＫＥ，ＫＧ，ＫＰ，ＫＲ，ＫＺ，ＬＣ，ＬＫ，ＬＲ，ＬＳ，ＬＴ，ＬＵ，ＬＶ，ＭＤ，ＭＧ，ＭＫ，ＭＮ，ＭＷ，ＭＸ，ＮＯ，ＮＺ，ＰＬ，ＰＴ，ＲＯ，ＲＵ，ＳＤ，ＳＥ，ＳＧ，ＳＩ，ＳＫ，ＴＪ，ＴＭ，ＴＲ，ＴＴ，ＵＡ，ＵＧ，ＵＺ，ＶＮ，ＹＵ

Claims

【特許請求の範囲】１．仮想源の像を作成する方法であって、媒体に対して、実源から、ある周波数スペクトルを有する伝搬波動場を放射する工程、伝搬波動場をサンプリングする工程、仮想源の位置で波動場の復元を行ない、実源から放射された波動場には存在しない少なくとも１の見かけの周波数成分を用いて像を形成する工程、を有する仮想源の像作成方法。２．波動場の復元を行なう工程は、実源の周波数スペクトルの中の見かけの周波数成分を使用する請求項１の方法。３．波動場の復元を行なう工程は、離散的にサンプリングした実源の周波数スペクトルの中の見かけの周波数成分を使用する請求項１の方法。４．見かけの周波数成分は、実源に対して測定されたどんな比較用周波数成分よりも大きい請求項１の方法。５．見かけの周波数成分は、実源に対して測定されたどんな比較用周波数成分よりも小さい請求項１の方法。６．伝搬波動場は実在の超音波である請求項１の方法。７．伝搬波動場は実在の電磁波である請求項１の方法。８．伝搬波動場は実在の音波である請求項１の方法。９．伝搬波動場から源の像を作成する方法であって、波動場の少なくとも１の変数の中で、離散的なサンプリングを行なう工程、リンクされた変数を用いて波動場の復元を行なう工程、前記サンプリングにおいてナイキストの制限外にある見かけの周波数成分を有する変数について、リンクされた変数による復元を行なう間、解像を割り当てる工程、リンクされた変数による復元工程の結果について、出力記録を作成する工程、を有する源の像作成方法。１０．源は実源である請求項９の方法。１１．源は仮想源である請求項９の方法。１２．波動場の復元を行なう工程は、実源の周波数スペクトル内にある見かけの周波数成分を使用する請求項９の方法。１３．波動場の復元を行なう工程は、離散してサンプリングした実源の周波数スペクトル内にある見かけの周波数成分を使用する請求項９の方法。１４．伝搬波動場は実在の超音波である請求項９の方法。１５．伝搬波動場は実在の電磁波である請求項９の方法。１６．伝搬波動場は実在の音波である請求項９の方法。１７．伝搬波動場による放射の結果として媒体の像を作成する方法であって、既知のアンテナ関数で、伝搬波動場をサンプリングする工程であって、該サンプリング工程は少なくとも１の変数で、離散したものであり、媒体中の位置で、波動場の復元を行なう工程であって、該復元工程は、サンプリング理論の基準によって規定された帯域の外にある少なくとも１の見かけの周波数を、離散した変数に対応して修復する工程、媒体中の伝搬波動場の速度に基づいて、空間と時間が関係づけられた解を波動方程式に適用する工程により実行される、媒体の像作成方法。１８．波動場の復元を行なう工程は、実源の周波数スペクトルの中の見かけの周波数成分を使用する請求項１７の方法。１９．波動場の復元を行なう工程は、離散してサンプリングした実源の周波数スペクトルの中の見かけの周波数成分を使用する請求項１７の方法。２０．修復された見かけの周波数成分は、放射に対して測定されたどんな有効周波数成分よりも大きい請求項１７の方法。２１．記録された見かけの周波数成分は、放射に対して測定されたどんな有効周波数成分よりも小さい請求項１７の方法。２２．伝搬波動場は実在の超音波である請求項１７の方法。２３．伝搬波動場は実在の電磁波である請求項１７の方法。２４．伝搬波動場は実在の音波である請求項１７の方法。２５．対象とする領域の中にある物理的対象物を表すデータを処理する方法であって、対象領域を進行する間、時間と空間の両方が関数として変化する速度でエネルギーを進行させる工程、対象領域を進行した後、時間を変えながら、受けたエネルギーのサンプリング記録を作成する工程、個々の変数に適用されたサンプリング理論から由来する時間又は空間における記録の離散サンプリングのいかなる周波数制限による拘束を受けない解像度を有する対象領域中に存在する対象物を表示するために、受けたエネルギーの記録を処理する工程であって、該処理工程は、対象とする波動場においてある範囲の可能性のある位置に対して、前記記録を多くのエネルギー到着時間に分ける工程と、対象とする波動場においてある範囲の対象物の仮定位置に、エネルギー源からその領域を越えて進行する速度に基づいて、特定のエネルギー到着時間でのエネルギーを割り当てる工程と、各エネルギー源と対象物仮定位置に対して、各々のエネルギー到着時間を割り当てる工程を繰り返す工程と、エネルギー源及びサンプリング記録に対して、時間と空間がリンクされた処理変数に基づいて正しく表示された対象物の仮定位置を、対象物の実際位置として表示する出力記録を作成する工程を実行することによってなされる、データの処理方法。２６．エネルギー源は対象とする領域の外部に位置しており、処理工程は、空間又は時間にてエネルギーの周波数成分による拘束を受けない解像能を有している請求項２５の方法。２７．伝搬波動場は実在の超音波である請求項２５の方法。２８．伝搬波動場は実在の電磁波である請求項２５の方法。２９．伝搬波動場は実在の音波である請求項２５の方法。３０．仮想源の像を作成する方法であって、媒体に対し、実源から、伝搬波動場を放射する工程、１又は２以上のレシーバ要素を用いて、伝搬波動場をサンプリングする工程、実源から放射された波動場には存在しない少なくとも１の見かけの周波数成分を用いて、仮想源の位置で、リンクされた変数を用いて復元を行なう工程であって、該復元工程は、各速度関数について、各実源から各仮想源までの進行時間、及び各レシーバ要素から各仮想源までの進行時間を測定する工程と、仮想源に対して、実源とレシーバ要素の各ペアにおける１方向進行時間を加える工程と、実源とレシーバ要素のペアにおける各時間での記録に対応して、記録された振幅を、各仮想源における２方向進行時間と置き換える工程と、全ての仮想源と、全ての実源及びレシーバ要素のペアに対して、前記の置き換える工程を繰り返す工程と、置き換えられた振幅を加算する工程と、出力記録を作成し、これによって、仮想源の像を作成する工程とを含んでいる、仮想源の像作成方法。３１．解像能は、どの実源の周波数成分による拘束、又は、個々の変数に適用されたナイキストサンプリング基準によって必要とされる波動場サンプリングの特性による拘束を受けない請求項２９の方法。３２．記録された波動場の値を正規化し、進行した距離に亘って波動場の補正を行なう工程、加算された値の数に基づいて、加算する工程の結果を正規化する工程、をさらに含んでいる請求項３０の方法。３３．伝搬波動場は実在の超音波である請求項３０の方法。３４．伝搬波動場は実在の電磁波である請求項３０の方法。３５．伝搬波動場は実在の音波である請求項３０の方法。３６．波動場の復元を実行する工程は、実源の周波数スペクトルの中の見かけ周波数成分を使用する請求項３０の方法。３７．波動場の復元を行なう工程は、離散してサンプリングした実源の周波数スペクトルの中の見かけの周波数成分を使用する請求項３０の方法。３８．仮想源の像を作成する方法であって、媒体に対し、少なくとも１の実源から、伝搬波動場を放射する工程、１又は２以上のレシーバ要素を用いて伝搬波動場をサンプリングする工程であって、少なくとも１の変数で離散したものであるサンプリング工程、仮想源の位置でサンプリングを用いて、リンクされた変数による波動場の復元を、個々の変数に適用されたサンプリング理論により得られたものから外れた離散変数における少なくとも１の見かけの周波数成分を用いて行なう工程であって、該復元工程は、各速度関数を用いて、各実源から各仮想源までの１方向進行時間、及び各レシーバ要素から各仮想源までの１方向進行時間を測定する工程と、仮想源に対して、実源とレシーバ要素の各ペアにおける１方向進行時間を加える工程と、実源とレシーバ要素のペアにおける各時間での記録に対応して、記録された波動場の値を、各仮想源における２方向進行時間と置き換える工程と、全ての仮想源と、全ての実源及びレシーバ要素のペアに対して、前記の置き換える工程を繰り返す工程と、置き換えられた全ての振幅を加算する工程、出力記録を作成し、これによって、仮想源の像を作成する工程とを含んでいる、仮想源の像作成方法。３９．記録された波動場の値を正規化し、進行した距離に亘って波動場の補正を行なう工程、加算された値の数に基づいて、加算する工程の結果を正規化する工程、をさらに含んでいる請求項３８の方法。４０．伝搬波動場は実在の超音波である請求項３８の方法。４１．伝搬波動場は実在の電磁波である請求項３８の方法。４２．伝搬波動場は実在の音波である請求項３８の方法。４３．波動場の復元を実行する工程は、実源の周波数スペクトルの中の見かけ周波数成分を使用する請求項３８の方法。４４．波動場の復元を行なう工程は、離散してサンプリングした実源の周波数スペクトルの中の見かけの周波数成分を使用する請求項３８の方法。４５．リンクされた波動場の復元によって、少なくとも１の実源から、複数のレシーバ要素までエネルギーが進行する伝搬媒体における仮想源の像を、既知の速度関数を用いて作成する方法であって、既知の速度関数に基づいて、実源とレシーバ要素の各ペアから仮想源までの１方向進行時間を測定する工程、適当な速度関数に基づいて、各々の実源とレシーバ要素をほぼ中心位置とする球形波面を用いて１方向進行時間を計算する工程、各仮想源に対して、実源とレシーバ要素の各ペアにおける測定された１方向進行時間を加える工程、実源とレシーバ要素のペアにおける各時間での記録に対応して、測定された振幅を、各仮想源における２方向進行時間と置き換える工程、実源及びレシーバ要素の各ペアに対して、前記の置き換える工程を繰り返す工程、各仮想位置にて置き換えられた振幅を加算する工程、加算工程の結果について出力記録を作成し、これによって、仮想源の像を作成する工程、を有している仮想源の像作成方法。４６．伝搬波動場は実在の超音波である請求項４５の方法。４７．伝搬波動場は実在の電磁波である請求項４５の方法。４８．伝搬波動場は実在の音波である請求項４５の方法。４９．記録された波動場の値を正規化し、進行した距離に亘って波動場の補正を行なう工程、加算された値の数に基づいて、加算する工程の結果を正規化する工程、をさらに含んでいる請求項４５の方法。５０．媒体の中を進行するエネルギーをサンプリングする工程をさらに含んでいる請求項４５の方法。５１．波動場の復元を実行する工程は、実源の周波数スペクトルの中の見かけ周波数成分を使用する請求項５０の方法。５２．波動場の復元を行なう工程は、離散してサンプリングした実源の周波数スペクトルの中の見かけの周波数成分を使用する請求項５０の方法。５３．像は、実源に対して測定されたどんな有効周波数成分よりも大きい見かけの周波数成分を少なくとも１つ含んでいる請求項５０の方法。５４．像は、実源に対して測定されたどんな有効周波数成分よりも小さい見かけの周波数成分を少なくとも１つ含んでいる請求項５０の方法。５５．像は、個々の変数に適用されたサンプリングのナイキスト制限から外れた少なくとも１の見かけの周波数成分を含んでいる請求項５０の方法。