JP4614536B2

JP4614536B2 - モデル予測制御用ロバスト定常状態目標計算を用いたシステム制御方法、システム制御装置及びコントローラ並びにモデル予測制御用ロバスト定常状態目標計算を用いたシステム制御方法を実行するプログラム記憶媒体

Info

Publication number: JP4614536B2
Application number: JP2000571938A
Authority: JP
Inventors: カスマン・ディーン・イー; バッグウェル・トーマス・エー; ホーキンス・ロバート・ビー
Original assignee: Aspen Technology Inc; Aspentech Corp
Current assignee: Aspentech Corp
Priority date: 1998-09-28
Filing date: 1999-09-28
Publication date: 2011-01-19
Anticipated expiration: 2019-09-28
Also published as: US6381505B1; CA2345429A1; CA2345429C; WO2000018420A2; WO2000018420A3; JP2002525773A; EP1115413A2

Description

【０００１】
〔関連出願の他所参照〕
本出願は、１９９９年３月１１日出願の米国特許出願第０９／２６６，７０９号の部分継続出願であり、同出願の優先権を主張し、１９９８年９月２８日出願の米国特許出願第６０／１０２，３２５号の利益を主張するものである。前記出願は、その全文が本明細書の一部をなすものとしてここに引用するものとする。
【０００２】
【発明の属する技術分野】
本発明は、一般にコンピュータをベースとする制御システムおよびその制御アルゴリズムの分野、特にコンピュータ制御アルゴリズムのモデル予測制御クラスに関する。
【０００３】
【従来の技術】
“ＭＰＣ”（Model Predictive Control：モデル予測制御）は、システムの将来の挙動を最適化するために操作変数調節のシーケンス（制御変動）を算定する、コンピュータ制御アルゴリズムの１つのクラスを指すものである。ＭＰＣテクノロジを用いるコンピュータ制御システムは、特に製造プラント、化学プロセスプラント、石油精製等の複雑な工業システムを制御するのに適している。このようなシステムは、多くのパラメータ（流量、温度、圧力等）を持ち、それらは連続的にリアルタイム、またはほぼリアルタイムに調節または調整する必要がある。
【０００４】
その名が示すように、ＭＰＣは明示モデルを使用して、プロセスが時間によってどのように進展するのかを予測する。予測を使用して、プロセスを希望の状態にする“最適”制御変動を決定する。最適制御変動はオンライン最適化の結果であり、一般に完全な非線形プログラム（“ＮＬＰ（非線形計画法）”）である。しかし実際には、線形モデルが使用されるために、得られる最適化は線形プログラム（線形計画法）および二次プログラム（二次計画法）である。当初発電所および精油所の要求に応えるために開発されたが、現在ではＭＰＣテクノロジは食品から製紙にわたる広範な商用および工業用途に用いられている。
【０００５】
多くの近代的な工業プロセスプラントでは、ＭＰＣは制御機能の多重レベル階層の一部として実現されている。図１に示すブロック図、例えば工業プラント等を制御するのに適しており、プラント全体に対して希望の作動状態を維持するために、制御変数の1つまたは複数の（通常複数）のパラメータ制御を必要とする複数の作動コンポーネントを持つ。例えば1つの実施形態では、制御システム１０は化学プロセスプラントであってもよい。当業者には、このようなプラントは各種の作動コンポーネント、例えば電気制御の流量バルブ、圧力バルブ、加熱冷却システム等を有し、それらを連続的に監視およびパラメータ調節または制御してプラント全体としての正しい機能を保障する必要があることは理解されるところである。
【０００６】
図１のブロック図は、標準的な従来の制御階層構造とＭＰＣを使用する階層構造との差を示す。図１において“従来の”制御階層構造は、点線１２の中に示めされ、ＭＰＣ制御階層構造は点線１４の中に示されている。当業者にとっては明らかであるように、制御階層構造１２および１４の各々は、図１の点線１６により示される制御信号を発生し、その信号を、例えば特定種類の工業プラントにおける被制御システムまたはコンポーネントに適用させる。図１の代表的な実施形態の例では、“被制御コンポーネント”は、流量コントローラ１８、圧力コントローラ２０、温度コントローラ２２およびレベルコントローラ２４を例として含んでいるが、被制御コンポーネントおよびシステムのクラスは、1つまたは複数の電気制御信号により調節または制御される、他の多種類の機能を含む。
【０００７】
図１においては、従来の制御階層構造１２は幾つかの個別コンポーネントから成っていることが示されている。制御階層構造１２の中央には、1つまたは複数の単一パラメータコントローラ２６があり、その1タイプは比例、積分、微分（“ＰＩＤ”）コントローラと呼ばれる。当業者には、各種タイプのＰＩＤコントローラ、例えば（これに限定されないが）Honeywell，Inc．（ミネソタ州のミネアポリス）からの市販品の標準規格品を利用できることは周知のことである。このようなコントローラは単純な制御アルゴリズムを実行して、1つまたは複数の入力に応答して単一パラメータ制御出力信号を発生する。図１のコントローラ１２は、さらに進み／遅れ（“Ｌ／Ｌ”）ブロック２８、加算（“ＳＵＭ”）ブロック３０、および高／低選択論理ブロック３２のような他の論理ブロックを含む。当業者には、このＰＩＤ２６に関連するこの追加論理ブロックにより、コントローラ１２が図１の参照符号５０で示された単一ＭＰＣコントローラにより実行できる、多重パラメータ制御機能を達成できることは理解されるところである。
【０００８】
図１に示すような従来のコントローラ１２の設計および動作は、当業者にはより良く理解されている、したがってその動作の詳細は本明細書中でさらに説明しないこととする。コントローラ１２がシステムの状態を反映する各種の入力に応答して作動して、１つまたは複数の出力制御信号を発生し、システムの１つまたは複数の作動パラメータを調節することを述べることで充分である。
【０００９】
さらに図１に関して、制御階層構造の上部に参照符号３４で示されるプラント全体の最適化装置が、プラントの各被制御ユニットに対する最適の定常状態の設定を決定する。これらの設定値を、各被制御ユニットに組み合わされたローカル最適化装置３６に送ることができる。このようなローカル最適化装置をプラント全体のレベルで可能なものと比較すると、より頻繁に作動し、またはより詳細なユニットモデルとみなすことができる。各ローカル最適化装置３６は、最適かつ経済的な定常状態に対応する制御設定値を算出し、その情報を動的制約制御システムに送って実施に移す。図１の点線３５で示すように、動的制約制御システムは、高−低選択論理ブロック３２、ＰＩＤ２６、進み／遅れブロック２８、加算ブロック３０から構成される。動的制約制御３５は、プラントを１つの制約された定常状態から別の状態に移動させ、同時にその方法による制約違反を最小にする。
【００１０】
図１の参照符号１２のような従来の制御構造において、調整および設計にかなりの技術的労力が必要であることは当業者に理解されるところである。これは、各ＰＩＤ２６が汎用目的であり、通常は１つの被制御変数を制御することだけが可能であり、標準規格品コンポーネントとして特定用途には調整が必要であることが主な理由である。
【００１１】
ＭＰＣは、この意味では最適制御に基づく方法であり、目的関数（objective function）を最小にすることにより最適の制御変動を決定するものである。目的関数は、システムの現在および予測される将来状態、およびシステムへの将来入力に依存する。状態と入力は、明示プロセスモデルを通じて関連している。ＭＰＣの周辺で開発された理論的フレームワークは、特定のモデル形態に依存せず、多くの変形形態を認める。このモデルは、線形または非線形、連続時間または不連続時間、状態−空間または入力−出力、確定的−推計的等であることが可能である。モデルのタイプ選択における柔軟性は、本明細書に開示した本発明の実施形態によるＭＰＣに大きい利点を提供する。
【００１２】
ＭＰＣ制御構造の中で、ブロック３４で示されるプラント全体の最適化はシステム全体の処理であり、全体階層構造での他のレベルの最適化と制御に比較して一般に少ない頻度で実行される。他方、図１のブロック３６で示されるローカル最適化、また“リアルタイム最適化”、または“ＲＴＯ”として知られているものは、制御されるシステムの特性に依存して、例えば６時間毎あるいは３０分ごと等に、頻繁に行われる。
【００１３】
図１のブロック５０で示されるＭＰＣ機能は、定常状態計算と動的計算に通常分割され、ＭＰＣのこれら各フェーズは、例えば１〜２分毎に実行される。動的ＭＰＣ計算は、広範囲に研究されてきている（例えばS．J．QinおよびT．A．Badgwellの“An Overview of Industrial Model Predictive Control Technology（工業モデル予測制御技術の概観）”，In Fifth International Conference on Chemical Process Control，J．C．Kantor，C．E．Garcia、およびB．Carnahan，Eds．，No．93 In AlChE Symposium Series 316，1997、232-256頁）。定常状態ＭＰＣ計算の目的は、ＭＰＣコントローラ５０が実行するたびに、ローカル最適化装置３６からの目標を再計算することにある。何故ならばシステムに入る外乱またはオペレータからの新しい入力情報は、最適の定常状態の位置を変えるからである。ＭＰＣアルゴリズムを定常状態計算と動的計算に分けることは、例えばC．Cutler，A．Morshedi、およびJ．Haydelにより、“An Industrial Perspective on Advanced Control（高等制御における工業予測）”，in AIChE National Meeting，Washington，D．C．，1983に言及され、今日では工業用ＭＰＣテクノロジでは常識である。定常状態アルゴリズムは、ローカル最適化装置３６よりも頻繁に作動する必要があるため、詳細度の劣るモデルを使用することができる。例えば定常状態計算は、動的最適化に用いられる動的モデルの定常状態変形例を使用することができる。再計算された最適定常状態は、次に動的ＭＰＣアルゴリズムに引き渡され、このアルゴリズムによって１つの制約された定常状態から別の定常状態に行く最良の方法を決定する。この定常状態目標の最適化は、動的ＭＰＣ計算にＭＰＣアルゴリズムを含めることなく、フィードバックをＭＰＣアルゴリズムに組込む代わりの方法である。本発明の開示では、定常状態計算は線形経済目的によって駆動されることを仮定するが、本発明は非線形（例えば２次またはさらに高次）目的関数を含む用途において有利に実施されることを意図している。
【００１４】
ＭＰＣは、さらに２つのカテゴリ−“公称ＭＰＣ”および“ロバストＭＰＣ”−に分割され、これらはプロセスモデルに関する仮説に依存する。公称ＭＰＣは、完全なモデルを仮定するのに対し、ロバストＭＰＣはモデルの不確定性を考慮する。
【００１５】
ＭＰＣ階層構造の最下層には、図１のブロック５２で示されるデジタル制御システム（“ＤＣＳ”）がある。ＤＣＳは、システム制御の基本的な動的レベルを表わし、したがって階層構造の全レベルにおいて最も頻繁に、例えば毎秒（または特定の用法によってはさらに高い頻度で）実行される。
【００１６】
動的最適化におけるモデル不確定性の問題点は、研究者から多大の注目を集めたが、モデル不確定性が定常状態目標計算にどのように影響するかには、ほとんど関心が払われてこなかった。
【００１７】
【発明の概要】
本発明は、モデル不確定性の明確な原因である定常状態目標計算の新しい公式に関するものである。本発明の一構成によれば、モデルの不確定性を組込むときは、定常状態目標計算に関連する線形プログラムは、高度に構造化された非線形プログラムとして書き直すことができる。本発明の別の構成によれば、主双対内点法を適用して、特殊構造の結果を利用できる。既知の不確定性記述を持つ特性ゲインパラメータＧを持つシステムに対しては、本発明は前記システム操作変数に対して定常状態目標を選択する方法と装置を提供し、それにより既知の不確定性記述内のパラメータＧの全可能値に対して、システム制御変数を定常状態で実行可能なようにする。システムパラメータＧの公称推定値^~Ｇが作られ、また本発明の別の構成によれば、計算される定常状態目標の選択は、^~ＧがＧに近付くときに、既知の不確定性記述を条件として、真のシステムＧに対する制御目的を最小、または最大にする作動定常状態目標に近付くように選択される。^~Ｇ＝Ｇであれば、計算される定常状態目標は、既知のモデル不確定性を条件に、真のシステムＧに対する制御目的を最小、または最大にする（本明細書中で使用する用語“極値化する”は特定の関数を最小化、または最大化の何れかを行うことの数学的な目的を指すのに用いられる）。
【００１８】
【発明の実施の形態】
本発明の前述およびその他の特徴および構成は、添付の図面を参照した次の実施形態の説明によってさらに良く理解されるであろう。
【００１９】
図２によれば、概略ブロック図によって、図１の制御階層構造におけるモデル予測制御（ＭＰＣ）ブロック５０の具体的な構成が示されている。前述のように、また図２から明らかなように、ＭＰＣブロック５０は、定常状態計算と動的計算に分割される。“プラント”はまた図２中でブロック６０により示されている。前述のように、本明細書中に用いられる用語“プラント”は、当業者がモデル予測制御テクノロジを適用できると考える化学プロセス施設、精油施設等のすべての各種システムを指すものとする。プラント６０の正確な特質は、本開示の目的には重要ではない。
【００２０】
明瞭にするために、ＭＰＣコントローラの実現化の全特性を必ずしも本明細書で説明していない。すべてのこのような実際の具現化の展開においては、すべてのこのようなプロジェクトと同様に、ケース毎に相違する多くのエンジニアリングおよびプログラミング上の決定がなされて、開発者の特定のゴールおよびサブゴール（例えばシステムおよびビジネスに関する制約に従う）を達成することは勿論である。さらに、問題のある環境に対し、正しいエンジニアリングおよびプログラミングの実行に注意を払う必要がある。このような開発作業は、複雑で時間のかかるものではあるが、この開示の利益を利用するコントローラシステム設計の分野の当業者にとっては日常的な仕事であると考えられる。
【００２１】
図２のブロック６２で示される線形ＭＰＣに対する定常状態目標計算は、線形プログラム（“ＬＰ”）の形を持つ。学術文献の大多数は、図２のブロック６４で示される動的問題に主眼を置き、定常状態の問題を採り上げるものは少ない。定常状態ＬＰに関連する問題を研究することは、工業実務家に委ねられている。工業界において用いられている大抵のモデルは、コントローラを駆動する線形経済理論によって線形であるため、その結果はＬＰになる（前述のように、本発明は非線形（例えば２次または高次の）を含む用途に有利に実用化できことを意図している）。
【００２２】
具体的には、図２に図示された予測コントローラ５０およびプラント６０を含む総合システムは次のように作動する。まず、ＭＰＣ５０は動的および定常状態計算を実行して、プラント６０に最適の“入力”ｕ^*を反映する制御信号を発生する。図２に示すように、入力ｕ^*は、ライン６６でプラント６０に送られる。したがって図２のライン６６は、ＭＰＣテクノロジの“実際の”用途中で、何が被制御コンポーネント（例えばバルブ）に適用される複数の電気制御信号であり、それがプラント中の複数の被制御変数（例えば圧力、流量、温度）を制御するのかを示している。
【００２３】
他方、プラント６０の動作は、ライン６８上で送られる図２に示す複数の“出力”ｙによって記号で表わされ、したがってライン６８は、プラント６０の作動状態を反映する複数の電気信号を表わす。
【００２４】
図２のシステム中で、１つまたは複数の出力ｙは、フィードバックされて定常状態目標計算ブロック６２への入力として提供される。定常状態目標計算ブロック６２は、プラント出力ｙの関数として、またライン７２上で送られる“目的”の関数として、それぞれいわゆる“目標”入力および出力のｕ_sおよびｙ_sを発生するように作動する。目標入力ｕ_sおよびｙ_sは、ライン７０上を送られる。目標入力ｕ_sは、計算ブロック６２で行われる計算に基づいて、プラント６０のＭＰＣモデル化に基づいて予測され、その結果プラントが目標出力ｙ_sを発生するように作動するプラント６０への入力である。
【００２５】
当業者には、目標入力ｕ_sを直接プラント６０に適用することの不都合な特定の制約、または問題点が実際の状況にはあり得ることは理解されるであろう。目標入力ｕ_sおよび目標出力ｙ_sの関数として、プラント６０への“最適”入力ｕ^*を誘導することは動的レギュレータ６４の機能である。
【００２６】
図２が示すものを簡単な例で示すこととする。この例では、“プラント”６０は水コックである。“出力”ｙは、コックからの水の流量を表す値である。この例における“目的”は、出力（即ち流量）を特定のゼロ以外の値に維持することである。この目的が与えられていることから、定常状態目標計算ブロック６２は、ＭＰＣモデルに基づいて、目的を達成する出力ｙを実現するために予測できる目標入力ｕ_sおよび目標出力ｙ_sを導き出す。この例における単一“入力”は、コックを開く範囲を表す値となる。動的レギュレータ６４は、次にレギュレータ６４の動的計算に基づいて、目標出力ｙ_sを得る目標入力ｕ_sおよび目標出力ｙ_sの関数としての最適入力ｕ^*を計算する。
【００２７】
水コックの例は、定常状態制御および動的制御の異なる役割を示す。例えば仮説システムの目的が、コックからの水の流出量を定められたｘ（ｃｍ³／秒）の割合に維持することと仮定する。システムが、コックを閉じた状態（即ちｔ＝０でｙ＝０）で作動を開始すると仮定すると、定常状態目標計算ブロック６２は、目標入力ｕ_sを発生し、これはコックのそのＭＰＣモデルに基づいて、ｘ（ｃｍ³／秒）の流量をもたらすことになる。この目標入力を直接コックに適用すると、コックは目的の流量を達成するのに必要な範囲にまで即時開くことを要求される。当業者には、この事が望ましくもなければ可能でもないことは理解される。代わりに、動的レギュレータ６４が作動して、ライン７０上に提供された目標入力ｕ_sおよび目標出力ｙ_sに基づいて“最適”入力ｕ^*を導き出す。この例においては、“最適”入力はコックをさらに徐々に開くことに反映される。時間と共に、“最適”入力ｕ^*と目標入力ｕ_sが収束すると予測される。
【００２８】
前記の極めて簡単な例においては、プラント６０へは単一入力およびプラント６０からは単一出力だけであった。しかし一般的な実施形態においては、プラントには複数の入力と複数の出力が存在すると考えなければならない。このような場合には、値ｕおよびｙはベクトルである。
【００２９】
図２に示すＭＰＣシステムは、制御テクノロジのいわゆる“入力／出力”モデルを表わす。入力／出力モデルでは、システム（即ちプラント５０）の現在の出力は、システムの過去の入力の関数として表わされる。数学的に表現すれば、ｙ_k＝ｆ（ｕ_k、ｕ_k-1、ｕ_k-2、・・・）である。制御テクノロジの代替モデルは、“状態空間”モデルとして知られている。状態空間モデルでは、システムの現在の状態はシステムの前の“状態”およびシステムへの前の入力の関数として表現される。変数ｘで表わされるシステムの“状態”は、システムの現在の運転状態を反映する１つまたは複数の値である。システムの“状態”は、システムの“出力”とは厳密に言えば同一ではないが、２つの用語は全く異なるものではない。システムからの出力ではない、またはシステムの外から認知さえできない状態変数も存在することがある。数学的に表現すれば、状態空間モデルでは、現在の状態ｘ_k+1は、以前の状態ｘ_kおよび以前の入力ｕ_k（即ちｘ_k-1＝Ｆ（ｘ_k、ｕ_k））の特定の関数である。一方現在の出力ｙ_kは現在の状態ｘ_k、（即ちｙ_k＝Ｇ（ｘ_k））の特定の関数Ｇである。
【００３０】
図３には、状態空間モデルに基づくＭＰＣシステムが示されている。図３のシステムは特定の構成において図２のコントローラとは相違するＭＰＣコントローラ５０'を含む。しかし図３の実施形態においては、図２の場合と実質的に同一のエレメントには同一参照符号を付している。コントローラ５０と５０'との主要な差は、コントローラ５０'中に、入力としてライン６８上のプラント６０の出力ｙおよびライン６６上のプラント６０への“最適”入力ｕ^*の両方を受け取るエスティメータ・ブロック７４が含まれていることである。これらの入力に基づいて、エスティメータ７４は、プラント６０の現在の状態を計算し、および／または推定し、この情報およびライン７６上の出力を定常状態目標計算部６２に送る。
【００３１】
図３の実施形態においては、定常状態目標計算部６２は目標状態ｘ_sおよび／または目標出力ｙ_s、および目標入力ｕ_sを計算する。図２の実施形態におけるように動的レギュレータ６４は定常状態目標計算部６２の出力を使用して、プラント６０への最適入力ｕ^*を計算する。
【００３２】
特に、以下の説明から当業者に明らかになるように、本発明は使用されるモデルからは独立しており、また入／出力モデルまたは状態空間モデルの何れの状況でも有利に実現化できる。特に本発明は、図２および３のシステムにおける定常状態計算ブロック６２の動作に関するものである。
【００３３】
当業者には、すべての線形モデルは、それが状態空間、ステップ応答、パルス応答、またはその他の何れであれ、定常状態では、下記の形で表現できることが理解されるであろう。
【００３４】
【数２０】

【００３５】
この場合△ｙ＝[△ｙ₁・・・△ｙ_n]^T∈Ｒ^nyは、現在の定常状態出力および前回の定常状態出力の間の変化を示し、また△ｕ＝[△ｕ₁・・・△ｕ_n]∈Ｒ^nuは、現在の定常状態入力および前回の定常状態入力の間の変化を示す。
【００３６】
【数２１】

【００３７】
この場合ｙ＝[ｙ₁・・・ｙ_ny]^Tおよびｕ＝[ｕ₁・・・ｕ_nu]^Tは、将来の定常状態出力および入力をそれぞれ含むベクトルであり、またｙ_k-1およびｕ_k-1は、それぞれ、ｙおよびｕの以前に測定された値であり、Ｇ∈Ｒ^nyxnuはシステムに対する定常状態マトリックスである。ゲインマトリックスＧは、入力変化に対する出力変化の感度、または出力変化間の関係を表わす。ＬＰは、目的関数Ｊ_sを最小化または最大化（即ち極値化）することにより、最適定常状態目標を見出すことを試み、この目的関数は、例えば制御システムのオペレーションに関連する経済的要件を表わす。
【００３８】
【数２２】

【００３９】
一方、定常状態入力および定常状態出力間の前記の式（１）の関係を維持し、またプロセス仕様から生じる入力および出力制約を考慮する。
【００４０】
【数２３】

【００４１】
また、得られた解が、動的ＭＰＣ計算が実現不能にならないことを保証する。
【００４２】
【数２４】

【００４３】
（本文中で用いられている、システム操作される（入力）変数およびシステム制御される（出力）変数に適用される“実現可能”という語は、前記の式（５）および（６）に示すような、所定のプロセス仕様から生じる上限および下限の制約に変数が違反しないことを意味する。逆に“実現不能”という語は、これらの制約に対する違反を指す。このような制約は、変数を予め定められたプロセス作動領域に限定する範囲を構成する。）
【００４４】
式（７）において、Ｎは動的ＭＰＣ計算の制御水準を指し、△_-ｕ_iおよび△^-ｕ_iは動的ＭＰＣ計算における変化率制約に対する最小および最大範囲である。式（５）および（６）において_-ｕ_iおよび^-ｕ_iは、ｕ_iに対するそれぞれ最小および最大範囲であり、出力ｙ_iでも同様である。式（７）は、定常状態目標が動的ＭＰＣ計算における変化率制約または速度制約に従うことを保証する。
【００４５】
ＬＰにおけるリアルタイム実現不能を避けるために、いわゆる“緩和”変数ε＝｜ε₁・・・ε_ny｜^T≧０∈Ｒ^nyを加えることにより、式（７）の厳格な出力制約_-ｙ_j≦ｙ_j≦^-ｙ_jをゆるやかな制約に変換することが一般的である。前記“緩和”変数は制約中の特定量の違反を認める。
【００４６】
【数２５】

【００４７】
違反のサイズは、それを目的関数に追加することにより最小化される。
【００４８】
【数２６】

【００４９】
ここでｃ_iは、目的関数に関連する入力変数ｕ_iのコストまたは加重を表わし、またｄ_iは出力変数ｙ_iのコストまたは加重を表わす。
【００５０】
さらに工業的具体化において、出力フィードバックの結果としてバイアスをモデルに導入することができる。モデル予測と現時点での測定された出力との間の差異は、出力における一定のステップ外乱に起因すると仮定される。ＭＰＣフレームワークに組み入れることのできる他の可能なタイプの外乱モデルが存在するが、本開示は出力外乱モデルのみに限ることとする。
【００５１】
【数２７】

【００５２】
モデルバイアスｂは、現在の予測された出力ｙと現在の測定された出力
^<ｙ＝[^<ｙ₁・・・^<ｙ_ny]^T∈R^nyとの間の比較に基づいている。
【００５３】
【数２８】

【００５４】
バイアスは前記の式（１）からのモデルに加えられる。
【００５５】
【数２９】

【００５６】
この時の問題は、以下のとおりである。
【００５７】
【数３０】

【００５８】
ただし、
【００５９】
【数３１】

【００６０】
が条件であり、ｉ＝１,・・・,ｎ_uおよびｊ＝１,・・・,ｎ_yである。ＬＰは、一般に動的ＭＰＣ計算（２次プログラムの形を持つ）よりも簡単と考えられ、線形プログラミングの基本、シンプレックス法を用いて一般に解かれる。
【００６１】
入力および出力の代わりに、変動△ｕおよび変動△ｙを直接計算するのが一般である。最終公称定常状態目標計算は次の式で表わされる。
【００６２】
【数３２】

【００６３】
ただし、
【００６４】
【数３３】

【００６５】
が条件である。ここで、
【００６６】
【数３４】

【００６７】
ｃおよびｄは目的関数加重から成るベクトルである。ベクトルｅはすべてを１とするベクトルである。
【００６８】
【数３５】

【００６９】
また、Ａ_u∈R^4nuxnuおよびｂ_u∈Ｒ^4nuが以下の式で与えられる。
【００７０】
【数３６】

【００７１】
一方、Ａ_y∈R^2nyxnyおよびｂ_y∈Ｒ^2nyは以下の式で与えられる。
【００７２】
【数３７】

【００７３】
さらに△ｙは、△ｕとは線形関係にあるから、すべての問題は△ｕとεに関して表わすことが可能であり、決定変数の数が減少する。得られるＬＰを標準形に当てはめ、最適化装置に送る。当業者にとっては、前記のＡ_y、Ａ_uおよびｂ_y、ｂ_uの形式は、この問題に使用のできるマトリックスの特定例であることが認識されるであろう。さらに他の形式も使用できる。本開示ために、Ａ_y、Ａ_uおよびｂ_y、ｂ_uの形式は、所定の用途における近い将来の制御目的で規定されるように、さらに一般的であることが理解されるであろう。本開示はＡ_y、Ａ_uおよびｂ_y、ｂ_uの一般形式を扱うことを意図するものである。示された緩和公式は、この分野の実務家により現在用いられている多くの可能なものの一つであることもまた理解されねばならない。本開示は、他の多くの実現可能な実施形式に適用し得るものと信じる。
【００７４】
ロバストＬＰは、式（１５）の公称上の問題の定常状態ゲインマトリックスＧにおける不確定性を明確に説明する。可能なプラントの数学的パラメータ化は、不確定性記述として知られている。記述は多くの形式を持つことが可能であり、数学的、または統計的に表現することができる。モデルの識別において、プロセスノイズおよびモデルパラメータが正規分布またはガウス変数であると仮定されるときは、自然不確定性記述はパラメータ上での楕円形領域である。図４に示すようにパラメータベクトルθ＝｜θ₁・・・θ_nθ｜^T∈Ｒⁿθは、結合信頼領域を記載する次のセットの中にあると仮定される。
【００７５】
【数３８】

【００７６】
楕円の中心θ_c（図４の参照符号８０により示される）は、正規分布の平均であり、対称性マトリックスＶ＞０は分布の共分散（または共分散の推定）である。（記号“Ａ＞０”は、“Ａは正に限定される”を意味する）。マトリックスＶ^-1は、楕円形のサイズと方向を定める。特にＶ^-1の固有値の逆数の平方根は、楕円形の短軸の長さであり、またＶ^-1の固有ベクトルは短軸の方向である。
【００７７】
式（２１）の別の形式はいくつかの場合に有用である。式（２１）の楕円形８０により限定され、図４において記号８０により示されている信頼領域は、次のように書き直すことができる。
【００７８】
【数３９】

【００７９】
パラメータは、信頼レベルがγ∈[０，１]であるとして既知である必要性から、前記の式の項目αは来ている。
【００８０】
【数４０】

【００８１】
この場合Φ（ｘ）は、ゼロ平均とユニット分散を持つ一変量正規分布関数である。
【００８２】
【数４１】

【００８３】
αの値は、Ｖが真の共分散の推定である場合でも、すべてのγに対して存在することが常に保証されている（例えばY．Bard，“Nonlinear Parameter Estimation（非線形パラメータ推定）”，Academic Press，Inc．，New York，1974を参照のこと）。式（２２）に対して、凸形を維持するためγ≧０．５であり、またはα≧０となる。式（２２）により与えられる不確実性記述は、Ｖのランクの不足を認めるために、式（１５）よりも一般的である。
【００８４】
共分散マトリックスＶがフルランクを持たないときは、楕円形は縮退し、正確に判明しているパラメータに対応する特定方向に崩壊する。楕円が崩壊する方向は、ゼロである関連固有値を持つ固有ベクトル（または短軸）に相当する（即ち、ゼロ以外の値ＺがゼロであるＶ^1/2Ｚを発生する方向）。
【００８５】
楕円形不確定性の類似の考察は、また、A．Ben−TalおよびA．Nemirovskiの“Robust Solutions of Uncertain Linear Programs via Convex Programming（凸型プログラミングの不確定線形プログラムのロバスト解法）”，tech．Rep．、凸型プログラミング（凸計画法）の一般的コンテクスト中の楕円形領域のさらに正式な処理を示すTechnion Institution of Technology，Haifa，Israel，1994および最適制御に使用するための楕円形不確定性記述の使用を提案するS．Boyd，C．CrusiusおよびA．Hansson，“Control Applications of Nonlinear Convex Programming”，Journal of Process Control，（1998）において記載されている。
【００８６】
定常状態目標計算において、不確定性パラメータθは、定常状態ゲインマトリックスＧのエレメントである。ｇ_iをＧのｉ番目の行を記載する列ベクトルとする。
【００８７】
【数４２】

【００８８】
出力は、独立したランダム変数により乱されると仮定する。何れの出力も他の出力とは相関を持たない。この場合には、ブロック対角共分散マトリックスを、ゲインマトリックスの各行に対する個別の共重合マトリックスから成るプロセスゲインに対して構成できる。特にＶ_iがｉ番目行に相当する共分散マトリックスであるときには、全マトリックスに対する共分散は次の形で与えられる。
【００８９】
【数４３】

【００９０】
出力が実際に相互相関を持つときは、Ｖの対角外エレメントはゼロでなくなる。何れにしろ普遍性を失うことなくｇは公称的に^~ｇであり、共分散Ｖを持つと仮定することが可能であり、結果として次の式が得られる。
【００９１】
【数４４】

【００９２】
ここで、ζは、全マトリックスに対する楕円形を定義する。これは、制約に関する不確定性に帰結する問題を提起するのに最も自然な方法である。公称的ＬＰにおいてゲインマトリックスＧは、出力制約において（場合によっては密な）マトリックスＡ_yを予め乗算される、これにより出力の線形組み合わせが得られる。出力制約のｉ番目のコンポーネントは、次の式で得られる。
【００９３】
【数４５】

【００９４】
一般的に、前記のタイプの楕円形は、制約のある不確定性を取り込むことを要求される。しかし、Ａ_yのエレメントの大部分が出力上の単純な範囲に当てはまるようにゼロであるならば、楕円形不確定性記述を簡単化することは可能である。
【００９５】
単純な範囲に対しては、ｉ番目の制約に予め乗算する一定のスカラー係数βが存在する。
【００９６】
【数４６】

【００９７】
制約の各コンポーネントは、ゲインマトリックスの単一行だけに依存する。したがって楕円形は、単一行に対してのみ限定することができる。ｉ番目行に対するゲインを公称的に^~ｇ_iとする。共分散はＶ_iである。楕円形は次の式で表わされる。
【００９８】
【数４７】

【００９９】
さらに、楕円形不確定性を多角形または単純な四角形として近似化するのが望ましい時点が存在する。
【０１００】
楕円形制約が結合信頼領域によって解明できると、四角形制約は結合信頼間隔によって（または楕円に対する近似化として）解明できる。図５の参照符号８２により示される単純四角形制約は、楕円の最小および最大範囲を与える。さらに、楕円を近似化するために、複雑な多角形を使用することも可能である。四角形制約を含む一般的多角形は、Ｇのエレメントｇ_ijの特定の線形組み合わせの範囲として表わすことができる。不確定性記述βは、このときには次の式で表わされる。
【０１０１】
【数４８】

【０１０２】
楕円性制約を近似化するために用いられる場合の四角形制約は、楕円形制約よりもより保守的であり、したがってより保守的な制御作用に向かう。式（２７）、（３０）および（３１）の各々により記載された楕円形および四角形制約は、ロバストＬＰに用いられるゲインの現実的な値を定義する不確定性記述Ｕを表わす。
【０１０３】
ロバストＬＰコンセプトを示す例として次の線形定常状態システムを考える。
【０１０４】
【数４９】

【０１０５】
Δｕ∈Ｒ²および△ｙ∈Ｒである。ｇの公称値を次の値とする。
【０１０６】
【数５０】

【０１０７】
出力は、一つであるためにｇ＝ｇ₁およびε＝ε₁である。
問題に対する分散は次の式の通りである。
【０１０８】
【数５１】

【０１０９】
この例に対しては、バイアスおよび緩和変数は無視される。マトリックスエレメントは、α＝２．３３に相当する９９％の確率レベルγを以って判明していることが必要である。楕円形不確定性は、次のデータを持つ四角形制約として近似化することができる。
【０１１０】
【数５２】

【０１１１】
楕円形不確定性記述およびその四角形近似化は図６に示されている、この図では楕円形不確定性記述は参照符号８４により示され、四角形近似化は参照符号８６により示されている。
【０１１２】
式（１５）の公称上の問題における出力制約を考えるときに問題が起きる。制約は、限界変数に対応することがある。例えば、反応容器の温度限界、またはユニットへの最大許容供給率である。制約における不確定性、または“あいまい性”は、公称値が上限または下限において拘束力を持ってはいても、実際の値は制約領域の外側に存在する可能性があることを意味する。
これを確かめるために、下記の制約を例に加えることができる。
【０１１３】
【数５３】

【０１１４】
制約により限定される実現可能な領域は、図７の参照符号８８により示された多角形の内部に相当する。この領域８８は、ゲインの公称値と見なす。
【０１１５】
図７の参照符号９０により示された下側の境界線は、出力△ｙ₁≧-2の下側領域を示す。
ライン９０は次の式により与えられる。
【０１１６】
【数５４】

【０１１７】
ｇにおける不確定性が、制約における不確定性を生じさせる。図８は、公称制約とその信頼性領域を示す。制約が拘束力を持つケースを考える。不確定性は、真のプロセスを信頼性限界内の何れの位置にも強制的に存在させることが可能であり、実現可能なセットの外側にもそれが容易に位置することのできることを意味する。領域を表わす式は次の形で示される。
【０１１８】
【数５５】

【０１１９】
ここで、‖・‖は標準ユークリッド・ノルムである。各出力制約はある程度の不確定性を含む。上側の制約△ｙ_i≦４からの不確定性が含まれるとき、新しい実現可能なセットの範囲のプロットは図９に示したようになる。範囲は、参照符号９２により示された実線で与えられる。図９は、オリジナルの実現可能領域を参照符号９４により示した点線で、また楕円形の四角形不確定性近似化を参照符号９６により示した破線で示す。四角形不確定性は、常に楕円形不確定性よりも保守的な制御作用に導く。四角形不確定性記述は、物理的に実現不能な外側にあるゲインまたはプラントを含む。コントローラは、不確定性記述のサイズしたがってロバスト性の増大に対応して、さらに多くの可能なプラントを考慮することが要求されるため、実現可能な領域のサイズは、さらに保守的なコントローラに対応して減少する。これが良く知られているロバスト性／性能のトレードオフである。
実現可能な領域は、ゲインの可能なすべての値に対する実現可能な出力を発生する入力のセットとして定義できる。
【０１２０】
【数５６】

【０１２１】
ここで、Ｕは前記の不確定性記述の一つである。
【０１２２】
制約に影響を及ぼすゲイン不確定性の外に、目的関数に対する影響を有する。
【０１２３】
【数５７】

【０１２４】
入力に対する目的のグラディエント（勾配）をｆとする。
【０１２５】
【数５８】

【０１２６】
この例に対してｃおよびｄは次により与えられるものと仮定する。
【０１２７】
【数５９】

【０１２８】
不確定性はｆの値を変化させる。ｆは公称的には^~ｆである。
【０１２９】
【数６０】

【０１３０】
ｆは、_-ｆと^-ｆとの間のあらゆる値を持つことができる。
【０１３１】
【数６１】

【０１３２】
図１０は、目的関数における不確定性の影響を示す。目的関数が変化すると、ＬＰの解が変化する。１つの解は、目的関数にゲインを含み、それらを最小化する。しかし制御の見地からは、これは好ましくない場合がある。これに代わる制御方針は、ゲインの“最良の推定”、または公称値を最小化することである。プロセスのゲインに対する最良の推定を用いて、経済的最適の方向にプロセスを駆動することが目標であるが、プロセスがあらゆる妥当なゲインに対して実現可能であることを保証する入力（不確定性記述により取得したもの）だけに制約する。ゲインの公称値を用いるときには、ロバストＬＰに対する目的関数は次の形になる。
【０１３３】
【数６２】

【０１３４】
簡単な例であるが、問題の本質を示している。モデル不確定性は、問題の構造を強制的に変化させる。制御理論に一般的に用いられる線形制約は非線形となる。
【０１３５】
前記の例において、最適解をグラフ的に求めることが可能であった。実際には、下記の最適化問題を解く必要がある。
【０１３６】
【数６３】

【０１３７】
ただし、
【０１３８】
【数６４】

【０１３９】
が条件である。
【０１４０】
式（４３）および（４４）は、発明の開示された実施形態によるロバストＬＰを構成する。ロバストＬＰは、ＭＰＣアルゴリズムの実行中あらゆる時間ステップで解かれるのが望ましい。解の時間は、好ましくはそれをリアルタイム設定に用いられるべきであるから、数十秒（またはそれよりも小さい）のオーダーである。その解は、目標として動的ＭＰＣ計算ブロック（図２および３の例としての実施形態のブロック６４）に送られる。問題は、△ｙに関係する問題を除外して△ｕおよびε₁だけについて作成されている。これは簡単のために、また問題の構造を解説するために行われた。当業者には、この問題は出力が明確に均等制約を表わすようにも記述できることは理解されるであろう。
【０１４１】
次に式（４３）および（４４）の最適化問題を２次コーン上の最適化問題として公式化することが望ましい。これを解説するために、下記の式（４５）のさらに単純な問題のみが考える必要がある。
【０１４２】
【数６５】

【０１４３】
ただし、
【０１４４】
【数６６】

【０１４５】
が条件である。前記は実際には半無限プログラムである。半無限プログラムは一般に次の形を持つ。
【０１４６】
【数６７】

【０１４７】
すべてのθ∈Ｕに対し、ｈ（ｘ，θ）≦０
ここで、ｆ：Ｒⁿ→Ｒおよびｈ：Ｒⁿ×Ｒ^m→Ｒ^pである。θは一般に１組のパラメータであり、また大抵のエンジニアリングの問題に対してＵは閉じており凸形である。ベクトルｘは有限であるのに対し、セットＵは無限である。有限数の変数は無限の制約の中に現れる。式（４７）の問題は、ロボット工学から構造設計におよぶ多くの分野に出現する。R．HettichとK．Kortanekの“Semi-infinite programming：Theory，Methods and Applications（半無限プログラミングの理論、解法および適用），”SIAM Review，35（1993）、380-429頁は、半無限プログラミング並びに現在の理論および解法が適用された各種の領域の論評を提供している。
【０１４８】
式（４７）におけるタイプの制約を扱うための最も簡単な方法は、次の点を認識することである。
【０１４９】
【数６８】

【０１５０】
が、
【０１５１】
【数６９】

【０１５２】
と等価である。
下記の定義を使用すると、
【０１５３】
【数７０】

【０１５４】
式（４６）および（４７）の半無限プログラムは次の形となる。
【０１５５】
【数７１】

【０１５６】
各種のエンジニアリング問題に対してＨ（ｘ）は、制約およびパラメータセットの性格によっては識別可能、または識別不能のいずれかである。E．Polakによる論評、“On the Mathematical Foundations of Non-differentiable Optimization in Engineering Design（エンジニアリング設計における微分不可能な最適化の数学的ファンデーション），”SIAM Review，29（1987）、21-89頁は、Ｈ（ｘ）が識別不能であるとき、エンジニアリング設計のフレームワークの中でこの問題クラスを考察し、また前記に引用されたHettichおよびKortanekの調査は、Ｈ（ｘ）が識別可能なときにこのケースを考察している。最適化技法は、問題毎に適応させる必要がある。
【０１５７】
多くのロバスト最適化問題は、半無限最適化問題として変形することができる。特定クラスの問題に対しては、式（４８）の制約は推計的なフレームワークの中で解釈される。確率的な意味での次の制約を満足することが目標である。
【０１５８】
【数７２】

【０１５９】
ここで、与えられた平均と分散を持つランダムに分布する変数θ∈Ｒ^mを用いる。この不確定性を確率的な制約として扱う古典的な方法は、推計的プログラミングとして知られている。事実、大抵のロバスト最適化問題は、最初に推計的最適化問題として生じる。すなわち、各代表例は、特定の分野に対し共通である。推計的プログラミングは、オペレーションズ・リサーチおよび経営科学の分野においてより普遍的に用いられるのに対し、半無限プログラミングはエンジニアリング問題に対してより頻繁に適用される。しかし両者は共通のテーマを根底に持つ。これは、特にロバストＬＰにおいて当てはまる。推計的プログラミングの詳細な考察は、A．PrekopaのStochastic Programming（推計的プログラミング），Kluwer Academic Publishers，Boston，1995，chapters 10-11およびP．kall and S．Ｗ． WallanceのStochastic Programming（推計的プログラミング），John WileyおよびSons，New York，1994，chapter 4に見出すことができる。R．Hettich and K．Kortanek，“Semi-infinite Programming：Theory，Methods and Applications（半無限プログラミングの理論、解法および適用）”SIAM Review，35（1993），380-429はドイツ語で書かれているが、半無限プログラミングに関する情報に関する優れた著作である。
【０１６０】
ロバストＬＰにおける楕円形不確定性のケースを考察する前に、楕円形が四角形制約により近似化される簡単なケースを考える。問題データの中に不確定性がある場合、半無限最適化の目標が、１組の線形制約を条件として線形関数を最小化することにあるときは、半無限化ＬＰはより多くの制約を持つ標準ＬＰとして構成することができる。不確定パラメータθがマトリックスＡのエレメントに一致し、目標が下記であると仮定する場合には、
【０１６１】
【数７３】

【０１６２】
ただし、
【０１６３】
【数７４】

【０１６４】
を条件として、ｂ∈Ｒ^mおよびｘ∈Ｒⁿであると、問題を解くための簡単な方法は、Ａのすべての可能な値を単純に列挙することである。これが有効な方法であることの理由は、ＬＰの解が実現可能なセットの範囲上に常にあることをその根拠としている。したがってすべての可能な値を列挙することにより、半無限問題は不均等制約の数を増やした有限問題に置き換えることができる。すべての制約ｉ＝１，・・・，ｍに対して、エレメントをそれらの上下の領域により置き換えることにより生成される２ⁿの可能なエントリーが存在する。これを行うことにより以前の問題は、ｍ２ⁿ制約を持つ下記の問題に置き換えることになる。
【０１６５】
【数７５】

【０１６６】
ただし、
【０１６７】
【数７６】

【０１６８】
を条件とする。
ここでの例において、ｎ_u入力および出力上のｍ制約が存在するならば、ｍ2^nu追加制約をこの問題に加える必要がある。出力に単純な範囲を持つ１０×１０システムに対しては、これは２万以上の制約に匹敵し、問題のサイズは指数関数的に増大する。
【０１６９】
式（４７）の半無限問題がコーンとして出現する制約を持つ凸形であるときは、問題は有限次元凸形最適化として書き直しできることが実証されている。例えば、前記のBen-TalおよびNemirovskiの引用を参照のこと。これは、２次コーンを表わすことのできる関数（すなわち２次コーンとして形成できる関数）のアイディアを導入するY．NesterovおよびA．Nemirovskyの“Interior-Point Polynomial Methods in Convex Programming（凸形プログラミングにおける内点多項式法），”Studies in Applied Mathematics，Vol．13，SIAM，Philadelphia，PA，1994を一部基本としている。制約を表わす２次コーンを持つ半無限最適化は、２次コーンによる最適化としてより解明できることが実証されている。
一般に２次コーンプログラム（“ＳＯＣＰ”）は下記の形を持つ。
【０１７０】
【数７７】

【０１７１】
ここで、ｘ∈Ｒⁿ、ｂ_i∈Ｒ^mおよびｇ∈Ｒ^pである。この場合にも‖・‖は標準ユーグリット・ノルムであり、またＡ_i、ｃ、ｃ_i、ｄ_iおよびＧは適切なサイズを持つ。広汎な非線形凸形最適化問題は、特殊ケースとしての線形プログラミングおよび２次プログラミングを含むＳＯＣＰとして形成することができる。ロバストＬＰはこのカテゴリに当てはまる。
【０１７２】
ロバストＬＰをこの形で形成することには、２つの長所が認められている。
第１は、オリジナル半無限最適化が有限制約セットを持つ標準最適化問題の形で書き直しされる。
第２は、primal-dual interior point methods（主双対内点法）をこのさらに普遍的な問題クラスに延長するためのおびただしい研究が行われ、その結果、新しい効果的な解法が生れた。
【０１７３】
２次コーンプログラミングのための内点法を考察する資料の１例は、上に使用されたNesterovおよびNemirovskyの文章である。同様に上に引用されたBoyd，CrusiusおよびHanssonは、ＳＯＣＰを最適制御に際してどのように用いることができるかを示す。後者は、ロバスト最適制御問題を示す、その中でコスト関数のｌ∞基準（即ちピーク追跡エラー）は、有限インパルス応答モデルにおける不確定インパルス応答係数に対して最小化される。この参考資料もまた、ＳＯＣＰとしてこの問題がどのように有効に解くことができるかを考察する。この参考資料は、またＳＯＣＰをフィードバックコントローラの最適設計に用いる方法を解説している。これらの用途は、不確定線形制約が２次コーンとして形成できるという事実に基づく。上に引用されたBen-TalおよびNemirovskiは、汎用線形プログラムを考察している。
【０１７４】
【数７８】

【０１７５】
ただし、
【０１７６】
【数７９】

【０１７７】
を条件とし、楕円形により記載されたデータａ_i内の不確定性を用いている。
【０１７８】
【数８０】

【０１７９】
半無限プログラミングから前記の制約は楕円形による最大化と等価である。
【０１８０】
【数８１】

【０１８１】
これは、２次コーン以外の何物でもない。結果は下記のロバストＬＰである。
【０１８２】
【数８２】

【０１８３】
ただし、ｉ＝１，…，ｍに対し、
【０１８４】
【数８３】

【０１８５】
を条件とする。
確率的にランダムな線形制約（即ち、線形ｈ（ｘ、θ）に対する式（５１）と正規分布）は、等価の非線形制約として形成できることは、推計的プログラムミングの分野の当業者によりある時点で知られていた。しかし非線形等価は、２次コーンとして認識されてはいなかった。M．S．Lobo，L．Vandenberghe，S．BoydおよびH．Lebretは、“Applications of Second-Order Cone Programming（二次コーンプログラミングの応用）”，Linear Algebra Appl．，（1998）の中でＳＯＣＰ用の結論においてこの関係を明確にしている。
【０１８６】
線形確率的制約を検討することとする。
【０１８７】
【数８４】

【０１８８】
ａ_iが平均^~ａ_i および共分散Ｖ_iを持つと、ａ_i ^Tｘは平均^~ａ_i ^Tおよび分散ｘ^TＶ_iｘを持つ。制約は、ゼロ平均およびユニット分散を持つ等価制約として表わすことができる。
【０１８９】
【数８５】

【０１９０】
したがって確率は次の式により表わすことが可能である。
【０１９１】
【数８６】

【０１９２】
または２次コーン制約である等価の次式である。
【０１９３】
【数８７】

【０１９４】
これは、一般確率制約の特殊なケースであるが、極めて重要である。一般の確率的制約（式５１）は算出に極めてコストがかかる。何故ならば関連する確率分布関数を判定するための半無限、多分散確率積分が含まれるからである。当業者には、これと異なり、２次コーンは非常に効果的に判定できることが理解されるであろう。
【０１９５】
ロバスト定常状態目標計算は次に確率論的に計算することができる。
【０１９６】
【数８８】

【０１９７】
ただし、
【０１９８】
【数８９】

【０１９９】
を条件とする。式（６２）における半無限制約は、プロセスゲインの特定の不確定性に対して確率γを固定するために出力制約を必要とすると考えることができる。
これを明確に知るために半無限制約は、コンポーネント毎に書き直すことができる。
【０２００】
【数９０】

【０２０１】
これは次の形に書き直すことができる。
【０２０２】
【数９１】

【０２０３】
ここで、Ｄ_iは次の式により定義される。
【０２０４】
【数９２】

【０２０５】
また、ｇは縦方向に並べられたＧの行のベクトルである。不確定性記述Ｕは楕円形記号ζとなっていた。式（５７）から制約は次の式で表わされる。
【０２０６】
【数９３】

【０２０７】
これは２次コーンである。
結果は次の問題となる。
【０２０８】
【数９４】

【０２０９】
ただし、ｉ＝１，…，ｍに対し、
【０２１０】
【数９５】

【０２１１】
を条件とする。
完全なロバスト定常状態目標計算は、次にＳＯＣＰとしてのモデル予測制御（式（４３））の形で表わすことができる。
【０２１２】
【数９６】

【０２１３】
ただし、ｉ＝１，…，ｍに対し、
【０２１４】
【数９７】

【０２１５】
を条件とする。
ロバストＬＰの特性を説明するための例を考察することとする。本例は、モデルミスマッチのために公称ＬＰにより算出された目標は不十分な制御になるのに対し、ロバストＬＰにより算出された目標は、非常に良好な制御を提供する事例を示している。
【０２１６】
下記の式より得られる単純な信号入力、信号出力（ＳＩＳＯ）定常状態モデルを考える。
【０２１７】
【数９８】

【０２１８】
ここで、ｕ_kおよびｙ_kは、ｋ時点における各入力および出力であり、ｇはモデルゲインであり、またｂはモデルバイアスである。ゲインは公称的には
【０２１９】
【数９９】

【０２２０】
であるが、真のプラントゲインは下式で与えられる。
【０２２１】
【数１００】

【０２２２】
ここでは特定の楕円形の中にあると仮定する。また入力および出力についてユニット制約を仮定する。
【０２２３】
【数１０１】

【０２２４】
目的は次の式により得られる。
【０２２５】
【数１０２】

【０２２６】
ロバストＬＰは、線形目的関数の外に２次目的関数を含む。式（６９）の拡張である下記の最適化問題を考える。
【０２２７】
【数１０３】

【０２２８】
ただし、ｉ＝１，…，ｍに対し、
【０２２９】
【数１０４】

【０２３０】
を条件とする。
ここで、マトリックスＱは正−有限および対称マトリックスであり、システムに存在の可変緩和および／または他の決定変数の加重が可能である。
前記の最適化は、等価的に次の形で表現することができる。
【０２３１】
【数１０５】

【０２３２】
ただし、ｉ＝１，…，ｍに対し、
【０２３３】
【数１０６】

【０２３４】
を条件とする。
【０２３５】
最適化問題（式（７１））は、ページ２６に記載された一般的ＳＯＣＰと同じ形の２次コーン・プログラム（“ＳＯＣＰ”）である。これは、式（６８）のそれと同じ形で表現して、解くことができる。ＱＰ目的に対しては、式は下記の形を持つ。
【０２３６】
【数１０７】

【０２３７】
ただし、ｉ＝１，…，ｍに対し、
【０２３８】
【数１０８】

【０２３９】
を条件とする。
【０２４０】
動的ＭＰＣ計算が安定し、コントローラがシステムを１タイムステップの中で定常状態に駆動できるようなプロセス動的力学である場合は、コントローラの中でサイクリングが起こる。図１１は、コントローラの位相図である。目的は、コントローラがプロセスを大きな出力と小さな入力に駆動しようとするものである。公称モデルが正しければ、最適定常状態作動ポイントは、（ｕ，ｙ）＝（１，1/2）になる。図１１においては、参照符号９８を持つ白い円は予測された入力と出力に相当する。参照符号１００を持つ黒い円は、実際の入力および出力に相当する。各円の隣の符号は、その値が発生するタイムステップを示す。時間ゼロにおいてプラントが原点にあれば、第１タイムステップにおいて、モデルはプラントが（１，1/2）にあると予測する。しかしミスマッチのために、入力が投入されると、真のプラントは（１，２）にある。この時バイアスをモデルに含める。これは、公称モデルラインを持ち上げて、その交点が３／２になるようにすることに等しい。このタイムステップに対する最適解（モデルを用いる）は、（−１，１）にある。この場合にもモデルエラーのために、真のプラントは（−１，−２）にある。新しい入力は、プロセスを反対の方向に動かし、これが最終的にコントローラを循環させる。このサイクリングは図１２に示され、この図では入力ｙおよび出力ｕは、時間の関数としてプロットされている。他方、真のゲインの値に関して何らかの情報が既知であれば、プロセスはより効果的に制御される。例えば、９５パーセントの確率でゲインが２〜０．５の間にあったことが判明している場合には、ロバストＬＰを使用して、すべての出力が実現可能でとどまっている入力を見出すことができる。唯一の解は（ｕ，ｙ）＝（1/2，１）である。
【０２４１】
ロバストＬＰに対する定常状態目標は、図１３に示されている。この例は、幾分か異常であるが、定常状態目標計算における不確定性を扱うことの重要性を実証している。特に図１１〜１３により上に述べられた例は、公称ゲインが真のゲインに近付くにつれて、本発明の開示された実施形態に従い計算された定常状態目標値は、既知の不確定性の記述を条件に、システムに対する目的関数を極値化する値に近づく方法、および公称ゲインが真のゲインに等しい場合は、計算された目標が、既知の不確定性記述を条件に、目的関数を極値化する値に近づくことを説明している。
【０２４２】
不確定性がモデル予測制御における定常状態目標計算に関連する線形プログラムに含まれるときには、その結果は２次コーンプログラムである。モデル不確定性を明確に含むことにより、ＳＯＣＰは、モデル化エラーによる定常状態コントローラにおけるサイクリングを効果的に除去することができる。特定の場合には、これは性能をほとんど犠牲にすることなく達成される。
【０２４３】
当業者には、本明細書に述べる各種の最適化“プロセス”、例えば図１のローカル最適化ブロック３６、ＭＰＣブロック５０およびＤＣＳ−ＰＩＤブロック５２で表わされるプロセスがコントローラプロセスであり、このコントローラプロセスが、それぞれのプロセスの物理的実施形態を構成する１つまたは複数のコンピュータベースのシステム上で実施されることが理解されるであろう。例えば、本発明の一実施形態では、ＭＰＣプロセス５０のような制御機能はDigital Equipment Corporation，Maynard，Massachusetts（現在のオーナーはCompaq Computer Corporation，Huston，Texas）において入手することのできるＶＡＸ、またはＡＬＰＨＡのような適切なコンピュータプラットフォームにおいて実行されるコンピュータプログラム（即ちコンピュータルーチンのコレクション）として実行することができる。代替方法としては、ＭＰＣプロセス５０は、International Business Machines Corp．，Armonk，New Yorkのような多くのメーカにより市販されているような縮小命令セットコンピュータ（ＲＩＳＣ），マルチプロセッサシステムにおいて有利に実行することができる。
【０２４４】
本発明で開示される実施形態によるＭＰＣ制御システムを具現化する１つまたは複数のコンピュータは各種のサブシステム（“被制御サブシステム”）とインターフェースを有し、プロセスプラント等の被制御システム中で制御を実行できる。
【０２４５】
前述のように、本発明は、コンピュータプロセッサをプログラミングすることにより一部実施することができる。プログラミングは、前記の動作を実行するプロセッサにより実行可能な命令プログラムを符号化するプロセッサで読取り可能なプログラム格納デバイスを用いることにより達成できる。プログラム格納デバイスは、例えばフロッピーディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、メモリデバイス（例えば、ＲＡＭ、ＲＯＭ、ＥＰＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ、等）、およびこの分野で良く知られているかまたはその後に開発されたその他の形態であってもよい。命令のプログラムは、“オブジェクトコード”、即ちコンピュータにより多少共直接に実行可能なバイナリ形式、実行前にコンパイルまたはインタープリタを必要とする“ソースコード”、または部分的にコンパイルされたコードのような特定の中間形式であってもよい。プログラム格納デバイスは、プロセッサにより直接読み取り可能か、またはプロセッサそれ自体により使用不能であるが、命令のプログラムの中間格納を可能にするものであってもよい。命令のプログラムは、プロセッサによりプログラム格納デバイスから直接読むことが可能である、代替方法としては、命令のプログラムは、プログラム格納デバイスに一時的または恒久的に格納し、そこからプロセッサに１つまたは複数のリンク、例えば電話線（モデム接続、またはＩＳＤＮライン）、ケーブルモデムフックアップ、インターネット、無線または衛星送信等で伝送するか、場合によっては経路に沿って中間格納を提供する他のプログラム格納デバイスを用いて伝送することができる。プログラム格納デバイスおよび命令の符号化の正確な形態は、ここでは重要なものではない。
【０２４６】
本発明の特定の実施形態を本明細書で詳述してきたが、これは本発明の各種の構成を説明することを目的としたものに過ぎず、添付の請求項により限定される本発明の範囲に関する限定を意図するものではない。当業者には、請求項により限定された本発明の精神と範囲から逸脱することなく、開示した実施形態に対して各種の代替、変更／およびまたは修正ができることは、理解されるところである。
【図面の簡単な説明】
【図１】 “従来の”制御階層構造およびモデル予測制御階層構造の両者を用いるシステムの階層的制御構造を示すブロック図である。
【図２】入／出力モデルに基づくＭＰＣシステムのブロック図である。
【図３】状態空間モデルに基づくＭＰＣシステムのブロック図である。
【図４】モデルパラメータ、θ_iおよびθ_jにおける不確定性が正規分布、またはガウス分布であると仮定されるシステムに対するθ_cに中心を持つ楕円形不確定性記述、または信頼性領域を図示するプロット図である。
【図５】 ^-ｇに中心に持つモデルパラメータ（ゲイン）ｇ_imおよびｇ_ilに対する楕円形信頼性領域の、矩形または"四角形"近似を示すプロット図である。
【図６】楕円形信頼性領域およびそれの対応する四角形近似を示すプロット図である。
【図７】２つの独立変数を持つ線形プログラミング問題の解に対する実現可能な領域を表わすものである。
【図８】その実現可能な領域が図７に示されている線形プログラミング問題における制約に対する不確定性範囲を示すプロット図である。
【図９】線形プログラミング問題におけるすべての制約に対する図８に示されたタイプの不確定性範囲を含むことにより減少した図７の実現可能領域を示し、また減少した実現可能領域の線形（四角形）近似を示すプロット図である。
【図１０】図９の減少した実現可能な領域内の可能な下降方向を示すプロット図である。
【図１１】ゲインミスマッチを持つ線形プログラミング問題に対する一連の実際および公称解を示すプロット図である。
【図１２】図１１の線形プログラミング問題の公称解に対する時間に関する入力および出力特性を示すプロット図である。
【図１３】図１１の線形プログラミング問題のロバスト解に対する時間に関する入力および出力特性を示すプロット図である。

Claims

目的関数Ｊに従ってシステムを制御する方法であって、前記システムの動作が式△ｙ＝Ｇ△ｕにより記述されることが可能であり、ここで、ｙは１つまたは複数のシステム制御出力変数、ｕは１つまたは複数のシステム操作入力変数、Ｇはシステムゲインパラメータであり、
（ａ）式△ｙ＝^~Ｇ△ｕにより前記システムをモデル化する工程であって、ここで、^~ＧはＧの公称推定であり、既知の不確定性記述を有する工程と、
（ｂ）以下の非線形プログラムを解くことにより前記目的関数Ｊを極値化する工程であって、

ただし、

を条件とし、ここで、
ｃは目的関数Ｊにおける前記システム操作入力変数ｕに対する加重であり、
ｄは目的関数Ｊにおける前記システム制御出力変数ｙに対する加重であり、
ε＝｜ε₁・・・ε_ny｜^T≧０∈Ｒ^nyは、出力変数ｙの制約に対する違反を認める緩和変数であり、
Ａ_u∈Ｒ^4nuXnuおよびＡ_y∈R^2nyXnyは、前記システム操作入力変数およびシステム制御出力変数の所望の数値範囲に相当するマトリックスであり、
ｂ_u∈Ｒ^4nuおよびｂ_y∈R^2nyは、前記システム操作入力変数およびシステム制御出力変数の所望の数値範囲に相当するベクトルであり、
Ｕが前記不確定性記述を示す、前記目的関数Ｊを極値化する工程とを備えたシステム制御方法。
目的関数Ｊに従ってシステムを制御する方法であって、前記システムの動作が式△ｙ＝Ｇ△ｕにより記述されることが可能であり、ここで、ｙは１つまたは複数のシステム制御出力変数、ｕは１つまたは複数のシステム操作入力変数、Ｇはシステムゲインパラメータであり、
（ａ）式△ｙ＝^~Ｇ△ｕにより前記システムをモデル化する工程であって、ここで、^~ＧはＧの公称推定であり、既知の不確定性記述を有する工程と、
（ｂ）以下の２次プログラムを解くことにより前記目的関数Ｊを極値化する工程であって、

ただし、ｉ＝１，…，ｍに対し、

を条件とし、ここで、
ｃは目的関数Ｊにおける前記システム操作入力変数ｕに対する加重を示し、
ｄは目的関数Ｊにおける前記システム制御出力変数ｙに対する加重を示し、
ε＝｜ε₁・・・ε_ny｜^T≧０∈R^nyは、出力変数ｙの制約に対する違反を認める緩和関数であり、
Ａ_u∈Ｒ^4nuxnuおよびＡ_y∈Ｒ^2nyxnyは、前記システム操作入力変数およびシステム制御出力変数の所望の数値範囲に相当するマトリックスであり、
ｂ_u∈Ｒ^4nuおよびｂ_y∈Ｒ^2nyは、前記システム操作入力変数およびシステム制御出力変数の所望の数値範囲に相当するベクトルであり、
Ｕが前記不確定性記述を示し、
Ｑ₀∈Ｒ^nuxnuは、システム操作入力変数の加重を認める正−限定対称（または場合によっては０）マトリックスであり、
Ｑ₁∈Ｒ^nyxnyは、緩和変数の加重を認める正−限定対称（または場合によっては０）マトリックスである、前記目的関数Ｊを極値化する工程とを備えたシステム制御方法。
目的関数Ｊに従ってシステムを制御する方法であって、前記システムの動作が式△ｙ＝Ｇ△ｕにより記述されることが可能であり、ここで、ｙは１つまたは複数のシステム制御出力変数、ｕは１つまたは複数のシステム操作入力変数、Ｇはシステムゲインパラメータを表わすマトリックスであり、
（ａ）式△ｙ＝^~Ｇ△ｕにより前記システムをモデル化する工程であって、ここで、^~ＧはＧの公称推定であり、既知の不確定性記述を有する工程と、
（ｂ）最小および最大範囲をＧのエレメントに割当てる工程と、
（ｃ）以下の線形プログラムを解くことにより前記目的関数Ｊを極値化する工程であって、

ただし、

を条件とし、ここで、
ｃは目的関数Ｊにおける前記システム操作入力変数ｕに対する加重を示し、
ｄは目的関数Ｊにおける前記システム制御出力変数ｙに対する加重を示し、
ε＝｜ε₁・・・ε_ny｜^T≧０∈Ｒ^nyは、出力変数ｙの制約に対する違反を認める緩和変数であり、
Ａ_u∈Ｒ^4nuxnuおよびＡ_y∈Ｒ^2nyxnyは、前記システム操作入力変数およびシステム制御出力変数の所望の数値範囲に相当するマトリックスであり、
ｂ_u∈R^4nuおよびｂ_y∈Ｒ^2nyは、前記システム操作入力変数およびシステム制御出力変数の所望の数値範囲に相当するベクトルであり、
Ｕが前記不確定性記述を示し、
Ａ^*はＡ_yＧの最大および最小限界のあらゆる可能な組み合わせを含むマトリックスである、前記目的関数Jを極値化する工程とを備えたシステム制御方法。
目的関数Ｊに従ってシステムを制御する方法であって、前記システムの動作が式△ｙ＝Ｇ△ｕにより記述されることが可能であり、ここで、ｙは１つまたは複数のシステム制御出力変数、ｕは１つまたは複数のシステム操作入力変数、Ｇはシステムゲインパラメータであり、
（ａ）式△ｙ＝^~Ｇ△ｕにより前記システムをモデル化する工程であって、ここで、^~ＧはＧの公称推定であり、既知の不確定性記述を有する工程と、
（ｂ）以下の非線形プログラムを解くことにより前記目的関数Ｊを極値化する工程であって、

ただし、ｉ＝１，…，ｍに対し、

を条件とし、ここで、
ｃは目的関数Ｊにおける前記システム操作入力変数ｕの加重を示し、
ｄは目的関数Jにおける前記システム制御出力変数ｙに対する加重を示し、
ε＝｜ε₁・・・ε_ny｜^T≧０∈Ｒ^nyは、出力変数ｙの制約に対する違反を認める緩和変数であり、
ｂは、予測出力変数ｙと現在の測定された出力^<ｙとの比較に基づくモデルバイアスベクトルであり、
Ａ_u∈Ｒ^4nuxnuおよびＡ_y∈Ｒ^2nyxnyは、前記システム操作入力変数およびシステム制御出力変数の所望の数値範囲に相当するマトリックスであり、
ｂ_u∈Ｒ^4nuおよびｂ_y∈Ｒ^2nyは、前記システム操作入力変数およびシステム制御出力変数の所望の数値範囲に相当するベクトルであり、
ｂ_yiはｂ_yのｉ番目のエレメントであり、
^~ｇは^~Ｇのベクトル形式であり、
αは、α＝Φ^-1（γ）により示され、ここで、Φ（ｘ）はゼロ平均および以下のユニット分散Φ（ｘ）を有する一変量正規分布関数であり、

Ｖは^~Ｇのベクトル形式に対する共分散マトリックスであり、
ＤはＤ_i＝[diag(ａ_i1ｅ)diag(ａ₁₂ｅ)・・・diag(ａ_imｅ)]^Tにより定義され、ここで、ａ_iはＡ_yのｉ番目の列である、前記目的関数Jを極値化する工程とを備えたシステム制御方法。
目的関数Ｊに従ってシステムを制御する装置であって、前記システムの動作が△ｙ＝Ｇ△ｕにより記述されることが可能であり、ここで、ｙは１つまたは複数のシステム制御出力変数、ｕは１つまたは複数のシステム操作入力変数、Ｇは既知の不確定性記述を有するシステムゲインパラメータであり、
（ａ）前記システムゲインパラメータＧの公称推定^~Ｇを導くエスティメータと、
（ｂ）前記システム制御出力変数および前記システム操作入力変数の少なくとも一つの過去の値、ならびに前記公称推定^~Ｇに応答し、以下の式を解くことにより前記目的関数を極値化する計算部であって、

ただし、

を条件とし、ここで、
ｃは目的関数Ｊにおける前記システム操作入力変数ｕに対する加重であり、
ｄは目的関数Ｊにおける前記システム制御出力変数ｙに対する加重であり、
ε＝｜ε₁・・・ε_ny｜^T≧０∈Ｒ^nyは、出力変数ｙの制約に対する違反を認める緩和変数であり、
Ａ_u∈Ｒ^4nuxnuおよびＡ_y∈Ｒ^2nyxnyは、前記システム操作入力変数およびシステム制御出力変数の所望の数値範囲に相当するマトリックスであり、
ｂ_u∈Ｒ^4nuおよびｂ_y∈Ｒ^2nyは、前記システム操作入力変数およびシステム制御出力変数の所望の数値範囲に相当するベクトルであり、
Ｕが前記不確定性記述を示す、計算部とを備えたシステム制御装置。
目的関数Ｊに従ってシステムを制御する装置であって、前記システムの動作が△ｙ＝Ｇ△ｕにより記述されることが可能であり、ここで、ｙは１つまたは複数のシステム制御出力変数、ｕは１つまたは複数のシステム操作入力変数、Ｇは既知の不確定性記述を有するシステムゲインパラメータであり、
（ａ）前記システムゲインパラメータＧの公称推定^~Ｇを導くエスティメータと、
（ｂ）前記システム制御出力変数および前記システム操作入力変数の少なくとも一つの過去の値、ならびに前記公称推定^~Ｇに応答し、以下の式を解くことにより前記目的関数を極値化する計算部であって、

ただし、ｉ＝１，…，ｍに対し、

を条件とし、ここで、
ｃは目的関数Ｊにおける前記システム操作入力変数に対する加重であり、
ｄは目的関数Jにおける前記システム制御出力変数ｙに対する加重であり、
ε＝｜ε₁・・・ε_ny｜^T≧０∈Ｒ^nyは、出力変数ｙの制約に対する違反を認める緩和変数であり、
ｂは、予測出力変数ｙと現在の測定された出力^<ｙとの比較に基づくモデルバイアスベクトルであり、
Ａ_u∈Ｒ^4nuxuおよびＡ_y∈Ｒ^2nyxnyは、前記システム操作入力変数およびシステム制御出力変数の所望の数値範囲に相当するマトリックスであり、
ｂ_u∈Ｒ^4nuおよびｂ_y∈Ｒ^2nyは、前記システム操作入力変数およびシステム制御出力変数の所望の数値範囲に相当するベクトルであり、
ｂ_yiはｂ_yのｉ番目のエレメントであり、
^~ｇは^~Ｇのベクトル形式であり、
αはα＝Φ^-1（γ）により示され、ここで、Φ（ｘ）はゼロ平均および以下のユニット分散Φ（ｘ）を有する一変量正規分布関数であり、

Ｖは^~Ｇのベクトル形式に対する共分散マトリックスであり、
ＤはＤ_i＝[diag(ａ_i1ｅ)diag(ａ₁₂ｅ)・・・diag(ａ_imｅ)]^Tにより定義され、ここで、ａ_iはＡ_yのｉ番目の列である、計算部とを備えたシステム制御装置。
目的関数Ｊに従ってシステムを制御する装置であって、前記システムの動作が△ｙ＝Ｇ△ｕにより記述されることが可能であり、ここで、ｙは１つまたは複数のシステム制御出力変数、ｕは１つまたは複数のシステム操作入力変数、Ｇは既知の不確定性記述を有するシステムゲインパラメータであり、
（ａ）前記システムゲインパラメータＧの公称推定^~Ｇを導くエスティメータ手段と、
（ｂ）前記システム制御出力変数および前記のシステム操作入力変数の少なくとも一つの過去の値、ならびに前記公称推定^~Ｇに応答し、以下の式を解くことにより前記目的関数を極値化する計算手段であって、

ただし、

を条件とし、ここで、
ｃは目的関数Ｊにおける前記システム操作入力変数ｕに対する加重であり、
ｄは目的関数Ｊにおける前記システム制御出力変数ｙに対する加重であり、
ε＝｜ε₁・・・ε_ny｜^T≧０∈Ｒ^nyは、出力変数ｙの制約に対する違反を認める緩和変数であり、
Ａ_u∈Ｒ^4nuxuおよびＡ_y∈Ｒ^2nyxnyは、前記システム操作入力変数およびシステム制御出力変数の所望の数値範囲に相当するマトリックスであり、
ｂ_u∈Ｒ^4nuおよびｂ_y∈Ｒ^2nyは、前記システム操作入力変数およびシステム制御出力変数の所望の数値範囲に相当するベクトルであり、
Ｕが前記不確定性記述を示す、計算手段とを備えたシステム制御装置。
目的関数Ｊに従ってシステムを制御する装置であって、前記システムの動作が△ｙ＝Ｇ△ｕにより記述されることが可能であり、ここで、ｙは１つまたは複数のシステム制御出力変数、ｕは１つまたは複数のシステム操作入力変数、Ｇは既知の不確定性記述を有するシステムゲインパラメータであり、
（ａ）前記システムゲインパラメータＧの公称推定^~Ｇを導くエスティメータ手段と、
（ｂ）前記システム制御出力変数および前記システム操作入力変数の少なくとも一つの過去の値、ならびに前記公称推定^~Ｇに応答し、以下の式を解くことにより前記目的関数を極値化する計算手段であって、

ただし、ｉ＝１，…，ｍに対し、

を条件とし、ここで、
ｃは目的関数Ｊにおける前記システム操作入力変数ｕに対する加重であり、
ｄは目的関数Ｊにおける前記システム制御出力変数ｙに対する加重であり、
ε＝｜ε₁・・・ε_ny｜^T≧０∈Ｒ^nyは、出力変数ｙの制約に対する違反を認める緩和変数であり、
ｂは予測出力変数ｙと現在の測定された出力^<ｙとの比較に基づくモデルバイアスベクトルであり、
Ａ_u∈Ｒ^4nuxuおよびＡ_y∈Ｒ^2nyxnyは、前記システム操作入力変数およびシステム制御出力変数の所望の数値範囲に相当するマトリックスであり、
ｂ_u∈Ｒ^4nuおよびｂ_y∈Ｒ^2nyは、前記システム操作入力変数およびシステム制御出力変数の所望の数値範囲に相当するベクトルであり、
ｂ_yiはｂ_yのｉ番目のエレメントであり、
^~ｇは^~Ｇのベクトル形式であり、
αは、α＝Φ^-1（γ）により示され、ここで、Φ（ｘ）はゼロ平均および以下のユニット分散Φ（ｘ）を有する一変量正規分布関数であり、

Ｖは^~Ｇのベクトル形式に対する共分散マトリックスであり、
ＤはＤ_i＝[diag(ａ_i1ｅ)diag(ａ₁₂ｅ)・・・diag(ａ_imｅ)]^Tにより定義され、ここで、ａ_iはＡ_yのｉ番目の列である、計算手段とを備えたシステム制御装置。
請求項５から８のいずれかの装置によって読取り可能なプログラム記憶媒体であり、内部に、請求項１から４のいずれかの方法を実行する命令を含む、符号化した命令プログラムを有する、プログラム記憶媒体。
（ａ）プロセッサと、（ｂ）プログラム記憶媒体とを備えたコントローラであって、
前記プログラム記憶媒体が前記プロセッサで読取り可能であり、請求項１から４からなる請求項一群から選ばれた請求項によるシステム制御方法を実行する命令プログラムを符号化するコントローラ。
命令プログラムの機械読取り可能なコピーを符号化するプログラム記憶媒体であって、前記命令プログラムが、コンピュータで実行可能であり、請求項１から４からなる請求項一群から選ばれた請求項によるシステム制御方法を実行する、プログラム記憶媒体。