JP4980031B2 - ころ軸受のクラウニングの設計方法 - Google Patents

Description

本発明は、ころ軸受の内輪軌道面、外輪軌道面及びころ転動面のうちの少なくとも１つに形成するクラウニングの設計方法に関する。

従来より、ころ軸受では、外輪軌道面、内輪軌道面又はころ転動面にクラウニングを形成し、軌道面と転動面との接触部の端部におけるエッジロードの発生を防止して、ころ軸受の疲労寿命の延長を図っている。

ころ軸受に形成するクラウニングの形状には、対数関数で表された曲線が用いられる場合があり、この対数関数で表されたクラウニング曲線としては、Lundbergによって提唱されたものが広く知られている（非特許文献１：Lundberg, G., Elastic Contact Between Two Semi-Infinite Bodies, Forschung auf den Gebiete des Ingenieurwesen, 5(1939), pp.201-211.参照）。また、このクラウニング曲線を実用的に改良したものとして、Johns-Goharの式（非特許文献２：Johns, P. M. and Gohar, R., Roller bearings under radial and eccentric loads, Tribology International, 14(1981), pp.131-136.参照）が知られている。

しかしながら、Johns-Goharの式によるクラウニング曲線は、クラウニングの形成部分の端部における軌道面と転動面との接触圧力が多少高くなり、エッジロードの防止が不十分となる傾向があった。

そこで、従来、本発明者は、軌道面と転動面との間の接触圧力の均一化を図るため、Johns-Goharの式に新たな設計パラメータを導入したクラウニング曲線を提案している（特許文献１：特開２００６‐５２７９０号公報参照）。このクラウニング曲線を適用したころ軸受の設計では、上記設計パラメータの初期値探索範囲と分割数を定め、初期値探索範囲と分割数によって得られる設計パラメータの組合せについて目的関数を求める。この目的関数が最適となる設計パラメータの組合せを初期値として採用し、数理的最適化手法によってさらに厳密に最適化して、クラウニング曲線を特定して、ころ軸受のクラウニングを設計する。
Lundberg, G., Elastic Contact Between Two Semi-Infinite Bodies, Forschung auf den Gebiete des Ingenieurwesen, 5(1939), pp.201-211. Johns, P. M. and Gohar, R., Roller bearings under radial and eccentric loads, Tribology International, 14(1981), pp.131-136. 特開２００６‐５２７９０号公報

上記従来のころ軸受のクラウニングの設計方法では、設計パラメータの初期値を定めるための最適化計算をコンピュータで行う。しかしながら、この最適化計算は、設計パラメータの初期値探索範囲に含まれる条件について大量の演算が必要となる。したがって、上記従来の設計方法は、多大な時間と手間を要するという問題がある。

そこで、本発明の目的は、設計にかかる時間と手間を大幅に削減できるころ軸受のクラウニングの設計方法を提供することにある。

上記課題を解決するため、請求項１のころ軸受のクラウニングの設計方法は、内輪軌道面と外輪軌道面の間に複数のころが介在されたころ軸受について、上記内輪軌道面、外輪軌道面及びころ転動面のうちの少なくとも１つに形成するクラウニングの設計方法であって、上記ころの呼び寸法と設計荷重に基づいて、上記ころの有効長さの端におけるクラウニングのドロップ量を求め、上記ころの有効長さの端におけるドロップ量を、母線方向の複数位置に対応する複数のドロップ量が無次元量で表されたテーブルに適用して、母線方向の複数位置における複数のドロップ量を特定し、上記特定された複数のドロップ量から、外輪軌道面、内輪軌道面及びころ転動面のうちの少なくとも１つに形成するクラウニングの輪郭線を定めることを特徴としている。

本発明者は、従来の対数関数によるクラウニング曲線について、所定の設計パラメータを用いた目的関数の最適化計算を行ったところ、ころの呼び寸法及び設計荷重と、ころの有効長さの端におけるクラウニングのドロップ量との間に相関関係があることを発見した。この発見に基づいて、本発明がなされたものである。

請求項１の発明によれば、上記ころの呼び寸法と設計荷重に基づいて、上記ころの有効長さの端におけるクラウニングのドロップ量が求められる。このころの有効長さの端におけるドロップ量を、上記テーブルに適用することにより、母線方向の複数位置における複数のドロップ量を特定することができる。この特定されたドロップ量から、外輪軌道面、内輪軌道面及びころ転動面のうちの少なくとも１つに形成するクラウニングの輪郭線を定めることができる。このように、本発明によれば、大量のパラメータの値について最適化計算を行う必要がない。したがって、ころ軸受のクラウニングの設計にかかる時間と手間を従来よりも大幅に削減することができる。

なお、上記クラウニングのドロップ量とは、クラウニングが施される軌道面又は転動面の母線から、クラウニング面までの母線直交方向の距離をいう。

請求項２の発明は、請求項１に記載のころ軸受のクラウニングの設計方法において、上記ころの有効長さの端におけるクラウニングのドロップ量を、下記の式（２）を用いて求めることを特徴としている。
但し、ｚ_m（μｍ）はころの有効長さの端におけるクラウニングのドロップ量、ｘ（％）は基本動定格荷重に対する設計荷重の割合、ｄ（ｍｍ）はころの直径、Ｌ（ｍｍ）はころの有効長さである。

請求項２の発明によれば、ころの呼び寸法としての直径ｄと有効長Ｌとの和と、設計荷重としての基本動定格荷重に対する設計荷重の割合ｘを代入するだけで、容易にころの有効長さの端におけるクラウニングのドロップ量ｚ_mが得られる。

請求項３の発明は、請求項１に記載のころ軸受のクラウニングの設計方法において、上記テーブルは、下記の表２に記載された値を含むことを特徴としている。

請求項３の発明によれば、ころの有効長さの端におけるドロップ量を、上記表２のドロップ量の無次元値に乗じるだけで、各母線方向位置におけるドロップ量を特定することができる。

なお、上記表２において、母線方向位置の値は、ころの有効長さの半分の値（Ｌ/２）で無次元化した値であり、ドロップ量の値は、ころの有効長さの端におけるドロップ量（ｚ_m）で無次元化した値である。

請求項４の発明は、請求項２に記載のころ軸受のクラウニングの設計方法において、上記式（２）のｘの値を２５以上３５以下として、上記ころの有効長さの端におけるクラウニングのドロップ量を求めることを特徴としている。

請求項４の発明によれば、ころ軸受の現実の使用状態に対応したクラウニング曲線を設計できる。ここで、ｘの値が２５よりも小さいと、クラウニング曲線によるエッジロードの発生の防止が不十分となる。一方、ｘの値が３５よりも大きいと、クラウニングの作製時の加工量が増大し、製造コストの増大を招く。

請求項５の発明は、請求項１に記載のころ軸受のクラウニングの設計方法において、上記特定された複数のドロップ量を、上記内輪軌道面又は外輪軌道面のドロップ量と上記ころ転動面のドロップ量とに分配して、上記内輪軌道面又は外輪軌道面と、上記ころ転動面とに形成するクラウニングの輪郭線を定めることを特徴としている。

請求項５の発明によれば、特定された複数のドロップ量を、母線方向の各位置において、内輪軌道面又は外輪軌道面のドロップ量と、ころ転動面のドロップ量とに分配する。この分配されたドロップ量から、内輪軌道面又は外輪軌道面に形成するクラウニングの輪郭線と、ころ転動面に形成するクラウニングの輪郭線とを定めることができる。これにより、上記内輪軌道面又は外輪軌道面と、上記ころ転動面との両方に形成するクラウニングの設計を行うことができる。

本発明によれば、ころの呼び寸法と設計荷重に基づいて、ころの有効長さの端におけるクラウニングのドロップ量を求め、このドロップ量を所定の無次元テーブルに適用することによってクラウニングの輪郭線を定めるので、大量のパラメータの値について最適化計算を行う必要が無く、したがって、ころ軸受のクラウニングの設計にかかる時間と手間を大幅に削減することができる。

以下、本発明のころ軸受のクラウニングの設計方法の実施形態を、図面を参照しつつ詳細に説明する。

図１は、本発明の実施形態の設計方法によるクラウニングが施される円筒ころ軸受を示す断面図である。この円筒ころ軸受は、図１に示すように、内輪１１と、外輪１２と、内輪軌道面１１ａ及び外輪軌道面１２ａの相互間に転動自在に介在させる複数の円筒ころ１３，１３，…と、軸受周方向に所定の間隔を隔てて円筒ころ１３，１３，…を保持する保持器１４とを備える。この実施形態では、各円筒ころ１３，１３，…の転動面１３ａ，１３ａ，…にカットクラウニング１３ｂ，１３ｃを設け、内輪１１の軌道面１１ａ及び外輪１２の軌道面１２ａはそれぞれ円筒面状に形成してある。

図２は、円筒ころ１３の母線の延在方向をｙ軸とし、母線直交方向（ころの径方向）をｚ軸とするｙ−ｚ座標系上に、円筒ころ１３のクラウニングを示した図である。このｙ−ｚ座標系は、円筒ころ１３の母線上であって、内輪１１又は外輪１２と、円筒ころ１３との有効接触部の中央を原点Ｏとしている。有効接触部とは、円筒ころ１３にカットクラウニング１３ｂ，１３ｃを形成しないと想定した場合の内輪１１又は外輪１２と円筒ころ１３との接触部位である。また、円筒ころ１３，１３，…の各クラウニング１３ｂ，１３ｃは、通常、有効接触部の中央を通るｚ軸に関して線対称に形成されるので、図２では、一方のクラウニング１３ｂのみを示している。

上記クラウニング１３ｂは、対数関数を用いて下記の式（３）のように表すことができる。

但し、Ｋ₁はクラウニングの曲率の程度を表すパラメータである。Ａは、２Ｑ／πＬＥ’で表され、Ｑは荷重、Ｌは有効接触部の母線方向長さ、Ｅ’は等価弾性係数である。また、ｚ_mはころの有効長さの端におけるクラウニングのドロップ量であり、クラウニング１３ｂの最大ドロップ量を意味する。図２中のＰ_１点が、クラウニング１３ｂの最大ドロップ量ｚ_mを示す位置である。ａは原点Ｏから有効接触部の端までの長さである。Ｋ₂は上記ａに対するクラウニング長さの割合を表すパラメータである。図２のクラウニング１３ｂでは、原点Ｏは有効接触部の中央であるので、ａ＝Ｌ／２となる。また、クラウニング１３ｂの始点Ｏ₁の座標は（ａ−Ｋ₂ａ，０）であるから、式（３）におけるｙの範囲は、ｙ＞（ａ−Ｋ₂ａ）である。

式（３）のｚ（ｙ）は、円筒ころ１３の母線方向位置ｙにおけるクラウニング１３ｂのドロップ量である。式（３）において、Ｑ、Ｌ、Ｅ’及びａの値は設計条件として与えられる。また、原点Ｏからクラウニング１３ｂの始点Ｏ₁までの領域は、円筒面状に形成されるストレート部であるから、０≦ｙ≦（ａ−Ｋ₂ａ）のとき、ｚ（ｙ）＝０となる。なお、Ｋ₂＝１の場合、始点Ｏ₁が原点Ｏと一致するので、式（３）はストレート部のないフルクラウニングを表すことになる。

従来のクラウニングの設計方法では、式（３）に、荷重Ｑ等の設計条件と、適当な設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mを与えることにより、クラウニング曲線を特定していた。この設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mを特定するには、各パラメータが取りうる範囲内で、目的関数の最適化計算を行う。したがって、設計を行う円筒ころ軸受ごとに、大量の最適化計算を行う必要があり、多大な手間と時間を要していた。

これに対して、本実施形態では、ころの呼び寸法と設計荷重を変数とする関数を用いて、上記ころの有効長さの端におけるクラウニングのドロップ量ｚ_mを求め、このドロップ量ｚ_mを所定のテーブルに適用することにより、クラウニング全体の形状を特定する。

上記関数は、以下のようにして求める。

まず、数理的最適化手法によって上述のパラメータを最適化する。このパラメータの最適化において、ころにチルトを与えた場合、ほとんどの条件でＫ₂＝１となり、フルクラウニングに近いほど面圧又はミーゼスの相当応力が小さくなる。一方、円筒ころは、製造上の理由により、全長に対して少なくとも５０%程度のストレート部を持つことが望ましい。そこで、本実施形態ではＫ₂は最適化せず、ストレート部が全長の５０％となるようにＫ₂を固定する。

続いて、寸法がφ５×５〜φ２４×３８のころについて、従来と同様にクラウニング曲線の最適化計算を行う。最適化の目的関数には、接触部近傍のミーゼスの相当応力の最大値を採用した。設計条件については、ころのチルトを1/1000（内輪及び外輪のミスアライメントでは2/1000に相当する値である）とする。設計荷重は、１個のころと内輪との接触荷重について設定する。この接触荷重は、軸受に作用する荷重が基本動定格荷重Ｃｒの２０％以上５０％以下であるときの最大転動体荷重に設定する。以下、軸受に基本動定格荷重Ｃｒのｘ％の荷重を作用させたときの最大転動体荷重を設計荷重とする設計条件を，ｘ％Ｃｒ設計という。なお、最適化を行う目的関数としては、内輪軌道面、外輪軌道面又はころ転動面に受ける最大接触圧力、ミーゼスの相当応力の最大値、トレスカの相当応力の最大値、転動疲労寿命のうちの少なくとも１つを使用することができる。最大接触圧力、ミーゼスの相当応力の最大値又はトレスカの相当応力の最大値を目的関数とする場合は、これらの値が最小になるように設計パラメータを決定する。転動疲労寿命を目的関数とする場合は、転動疲労寿命が最長になるように設計パラメータを決定する。

図３は、各設計条件についてミーゼスの相当応力の最大値を目的関数として最適化を行った結果から、有効長さの端におけるドロップ量ｚ_mの計算結果を抽出して示した図である。図３において、横軸はころの直径ｄ（ｍｍ）と有効長さＬ（ｍｍ）の和であり、縦軸は有効長さの端におけるドロップ量ｚ_m（μｍ）である。図３には、２５％Ｃｒ設計と３５％Ｃｒ設計についてφ２４以下の６４種類の寸法のころの最適化結果を示しており，３０％Ｃｒ設計と、４０％Ｃｒ設計と、５０％Ｃｒ設計については、φ２４以下の６４種類の寸法のうち、２０種類の寸法のころの最適化結果を抜粋して示している。図３から分かるように、いずれの荷重条件においても、ころの直径ｄと有効長さＬとの和と、ころの有効長さの端におけるドロップ量ｚ_mとの間に、相関係数が０．９９７以上の線形関係がある。

図３に示した計算結果から、各荷重条件におけるｄ＋Ｌ（ｍｍ）とｚ_m（μｍ）との関係が、下記の式（４）〜（８）のように表される。
ここで、式（４）が２５％Ｃｒ設計であり、式（５）が３０％Ｃｒ設計であり、式（６）が３５％Ｃｒ設計であり、式（７）が４０％Ｃｒ設計であり、式（８）が５０％Ｃｒ設計である。

さらに上記式（４）〜（８）を、z_m=a(d+L)+bの形式に一般化したときの定数部ａ及びｂが、荷重と線形の関係にあると考えると、ａ及びｂは下記の式（９）及び（１０）のように近似できる。

図４は、上記式（９）及び（１０）を座標上に重ねて示した図である。図４において、横軸は、設計荷重の基本動定格荷重に対する割合ｘ（％）であり、縦軸は、ａ及びｂである。上記式（９）及び（１０）を用いて式（４）〜（８）を一般化すると、下記の式（１１）のようになる。

上記式（１１）により、ｚ_m（μｍ）の最適値を、ころの呼び寸法としてのｄ＋Ｌ（ｍｍ）と、設計荷重としての割合ｘ（％）とから求めることができる。

次に、クラウニングの全体形状を特定するためのテーブルを作成する。

まず、クラウニング曲線の最適化計算の結果を、母線方向位置の値を有効長さＬの半分で除して無次元化すると共に、各母線方向位置におけるドロップ量の値を、有効長さの端におけるドロップ量ｚ_mで除して無次元化する。図５Ａ乃至５Ｅは、無次元化後のクラウニング曲線を、荷重条件毎に示した図である。図５Ａ乃至５Ｅにおいて、横軸は無次元母線方向位置であり、縦軸は無次元ドロップ量である。無次元母線方向の位置０は、ころの中心を示す。

図５Ａ乃至５Ｅは、径がφ２４以下の６４種類の設計寸法のころに関する最適化結果を重ねて示した図であり、設計荷重以外の設計条件は互いに同一である。設計荷重は、図５Ａが２５％Ｃｒであり、図５Ｂが３０％Ｃｒであり、図５Ｃが３５％Ｃｒであり、図５Ｄが４０％Ｃｒであり、図５Ｅが５０％Ｃｒである。

図Ａ乃至５Ｅから分かるように、いずれの荷重条件のクラウニング曲線も、無次元化して示すと、概ね同一の形状に表される。図６は、図５Ａ乃至５Ｅの全てのクラウニング曲線のうち、最大値を示す曲線と最小値を示す曲線とを抜き出して示した図である。図６から分かるように、ころの寸法や荷重条件にかかわらず、比較的狭い領域から無次元曲線を特定して、クラウニングを設計することができる。

図７は、Ｋ₁とｚ_mをパラメータとして、最適化計算の目的関数であるミーゼスの相当応力の最大値の分布を示す図である。図７から分かるように、パラメータＫ₁の値を最適線Ｌｂよりも大きくすることが、ミーゼスの相当応力の最大値が低減する傾向にある点で好ましい。ここで、パラメータＫ₁が増大すると、クラウニング曲線の曲率が減少する。したがって、図６に示した曲線の最大値と最小値との間の領域から、幅広い条件に適合するクラウニング曲線を選択するならば、全ての母線方向位置においてドロップ量が最大値となる曲線を選択するのが好ましい。このような曲線上の点は、母線方向位置とドロップ量との無次元量で表すと、下記の表３のようになる。
表３ 全母線方向位置においてドロップ量が最大値となる曲線上の点

上記表３に、上述の式（１１）によって求めたドロップ量ｚ_mを適用することにより、クラウニング全体の形状を特定することができる。すなわち、母線方向位置の欄の無次元量に、ころの有効長さの半分であるＬ／２の値を乗じると共に、ドロップ量の欄の無次元量に、上記ドロップ量ｚ_mを乗じる。これにより、ころの母線方向（ｙ軸）と母線直交方向（ｚ軸）とで形成されるｙ−ｚ座標系上の点を特定することができる。この点を通る曲線を設定することにより、クラウニング曲線を特定できるのである。

本実施形態のクラウニングの設計方法は、設計を行う度にクラウニング曲線の最適化計算を行う必要がない。したがって、従来のように設計パラメータが取りうる条件について大量の演算を行う必要がないので、クラウニングの設計にかかる手間と時間を効果的に削減できる。

上記実施形態において、高荷重の場合は、エッジロードの防止効果の点でｚ_mが大きい方がよいが、ドロップ量ｚ_mを必要以上に大きくするとクラウニング製作時の加工量が大きくなり、不経済である。また、実際の殆どの使用条件では、荷重は基本動定格荷重の２５％以下であり、３５％を超えることは極めて稀である。したがって、式（１１）において、ｘは２５以上３５以下とするのが好ましい。

また、クラウニングは、ころの転動面と外輪又は内輪の軌道面とのいずれに設けてもよい。ころの転動面と外輪又は内輪の軌道面との両方にクラウニングを形成する場合、上記各母線方向位置におけるドロップ量を、転動面側と軌道面側とに分配して、各面に形成するクラウニング曲線を特定すればよい。

なお、上記母線方向位置とドロップ量との無次元量を示す表３において、母線方向位置を０．０５おきに示したが、母線方向位置の特定間隔は、０．０５以外の他の値であってもよい。

本発明の実施形態の設計方法によるクラウニングが施される円筒ころ軸受を示す断面図である。 円筒ころのクラウニングの輪郭をｙ−ｚ座標系上に示した図である。 最適化計算の結果から、有効長さの端におけるドロップ量ｚ_mを抽出して示した図である。 有効長さの端におけるドロップ量ｚ_mの一般化式の定数ａ，ｂと、設計荷重の基本動定格荷重に対する割合ｘとの関係を示した図である。 設計荷重が基本動定格荷重の２５％の場合のクラウニング形状の最適化結果を示す図である。 設計荷重が基本動定格荷重の３０％の場合のクラウニング形状の最適化結果を示す図である。 設計荷重が基本動定格荷重の３５％の場合のクラウニング形状の最適化結果を示す図である。 設計荷重が基本動定格荷重の４０％の場合のクラウニング形状の最適化結果を示す図である。 設計荷重が基本動定格荷重の５０％の場合のクラウニング形状の最適化結果を示す図である。 図５Ａ乃至５Ｅの全てのクラウニング曲線のうち、最大値を示す曲線と最小値を示す曲線とを抜き出して示した図である。 Ｋ₁とｚ_mをパラメータとして、ミーゼスの相当応力の最大値の分布を示す図である。

符号の説明

１１ 内輪
１１ａ 内輪軌道面
１２ 外輪
１２ａ 外輪軌道面
１３ 円筒ころ
１３ａ 円筒ころ転動面
１３ｂ，１３ｃ カットクラウニング

Claims (5)

1. 内輪軌道面と外輪軌道面の間に複数のころが介在されたころ軸受について、上記内輪軌道面、外輪軌道面及びころ転動面のうちの少なくとも１つに形成するクラウニングの設計方法であって、
   上記ころの呼び寸法と設計荷重に基づいて、上記ころの有効長さの端におけるクラウニングのドロップ量を求め、
   上記ころの有効長さの端におけるドロップ量を、母線方向の複数位置に対応する複数のドロップ量が無次元量で表されたテーブルに適用して、母線方向の複数位置における複数のドロップ量を特定し、
   上記特定された複数のドロップ量から、外輪軌道面、内輪軌道面及びころ転動面のうちの少なくとも１つに形成するクラウニングの輪郭線を定めることを特徴とするころ軸受のクラウニングの設計方法。
2. 請求項１に記載のころ軸受のクラウニングの設計方法において、
   上記ころの有効長さの端におけるクラウニングのドロップ量を、下記の式（１）を用いて求めることを特徴とするころ軸受のクラウニングの設計方法。
   但し、ｚ_m（μｍ）はころの有効長さの端におけるクラウニングのドロップ量、ｘ（％）は基本動定格荷重に対する設計荷重の割合、ｄ（ｍｍ）はころの直径、Ｌ（ｍｍ）はころの有効長さである。
3. 請求項１に記載のころ軸受のクラウニングの設計方法において、
   上記テーブルは、下記の表１に記載された値を含むことを特徴とするころ軸受のクラウニングの設計方法。
   
4. 請求項２に記載のころ軸受のクラウニングの設計方法において、
   上記式（１）のｘの値を２５以上３５以下として、上記ころの有効長さの端におけるクラウニングのドロップ量を求めることを特徴とするころ軸受のクラウニングの設計方法。
5. 請求項１に記載のころ軸受のクラウニングの設計方法において、
   上記特定された複数のドロップ量を、上記内輪軌道面又は外輪軌道面のドロップ量と上記ころ転動面のドロップ量とに分配して、上記内輪軌道面又は外輪軌道面と、上記ころ転動面とに形成するクラウニングの輪郭線を定めることを特徴とするころ軸受のクラウニングの設計方法。