JP6869697B2 - オブザーバゲインの設定方法 - Google Patents

Description

本発明は、充電率推定装置及び充電率推定方法に関する。

バッテリの充電率と開回路電圧との間の関係にヒステリシスを有するバッテリの充電率を推定する装置が知られている（例えば特許文献１等）。

特開２０１６−９０３２２号公報

バッテリの充電率は、バッテリモデルに基づいて推定されうる。バッテリの充電率と開回路電圧との間の関係にヒステリシスを有するバッテリにおいて、バッテリモデルを表すパラメータは変化しやすい。バッテリモデルを表すパラメータの変化によるパラメータの誤差は、バッテリの充電率の推定精度を低下させうる。

かかる事情に鑑みてなされた本発明の目的は、バッテリの充電率の推定精度を向上させることができる充電率推定装置及び充電率推定方法を提供することにある。

上記課題を解決するために、第１の観点に係る充電率推定装置は、バッテリのモデルに基づくオブザーバを用いて、前記バッテリの充電率を推定する。前記モデルは、ヒステリシス特性を含む。前記オブザーバは、パラメータとしてオブザーバゲインを含む。前記オブザーバゲインは、前記モデルに含まれる前記ヒステリシス特性に関するパラメータのモデル化誤差に応じた前記充電率の推定誤差を減少させるように設定される。

上記課題を解決するために、第２の観点に係る充電率推定方法は、バッテリのモデルに基づくオブザーバを用いて、前記バッテリの充電率を推定するステップを含む。前記モデルは、ヒステリシス特性を含む。前記オブザーバは、パラメータとしてオブザーバゲインを含む。前記充電率推定方法は、前記オブザーバゲインを、前記モデルに含まれる前記ヒステリシス特性に関するパラメータのモデル化誤差に応じた前記充電率の推定誤差を減少させるように設定するステップをさらに含む。

第１の観点に係る充電率推定装置によれば、バッテリの充電率の推定精度が向上されうる。

第２の観点に係る充電率推定方法によれば、バッテリの充電率の推定精度が向上されうる。

充電率推定装置の概略構成例を示す機能ブロック図である。 バッテリ等価回路の一例を示す図である。 ｎ次のＲＣ梯子回路である（（Ａ）フォスタ型（Ｂ）カウエル型）。 ＳＯＣ−ＯＣＶ特性の一例を示す図である。 ヒステリシスを有するＳＯＣ−ＯＣＶ特性の一例を示す図である。 ヒステリシス電圧を含むバッテリ等価回路の例を示す図である。 図６のワールブルグインピーダンスをフォスタ型ＲＣ梯子回路に置き換えたバッテリ等価回路の例を示す図である。 充電率推定方法の一例を示すフローチャートである。 バッテリ等価回路に対する入力電流の一例を示すグラフである。 バッテリのＳＯＣの推定結果の一例を示すグラフである。 バッテリのＳＯＣの推定誤差の一例を示すグラフである。

本開示の一実施形態に係る充電率推定装置は、電気自動車やハイブリッド電気自動車などの車両に搭載されてよい。充電率推定装置は、車両のバッテリの充電率を推定してよい。車両には、車両を駆動する電気モータ、バッテリ、これらのコントローラなどが搭載される。バッテリは、放電して電気モータへ電力を供給したり、制動時に電気モータから回生充電したり、地上充電設備から充電したりする。充電率推定装置は、バッテリに流れる充放電電流とバッテリの端子電圧とに基づいて、バッテリの充電率を推定してよい。

［機能ブロック］
図１に示されるように、充電率推定装置１は、電流センサ２及び電圧センサ３を介してバッテリ４に接続される。充電率推定装置１は、電流センサ２又は電圧センサ３を含んでよい。充電率推定装置１は、電源装置５に接続されてよい。充電率推定装置１は、電源装置５からバッテリ４に対して充放電電流を入力してよい。電源装置５は、例えば電流源であってよい。充電率推定装置１は、電源装置５を含んでよい。

電流センサ２は、バッテリ４に対する充放電電流を検出する。本実施形態において、充放電電流は、時刻（ｔ）の関数であるｕ（ｔ）で表されると仮定する。電流センサ２は、検出した充放電電流を充電率推定装置１に対して出力する。

電圧センサ３は、バッテリ４の端子電圧を検出する。本実施形態において、端子電圧は、時刻（ｔ）の関数であるｙ（ｔ）で表されると仮定する。電圧センサ３は、検出した端子電圧を充電率推定装置１に対して出力する。

バッテリ４は、例えば二次電池であってよい。二次電池は、リチャージャブル・バッテリともいう。バッテリ４は、本実施形態においてリチウム・イオン・バッテリであると仮定する。バッテリ４は、他の種類のバッテリであってよい。

充電率推定装置１は、制御部１０と、記憶部２０とを備える。制御部１０は、充電率推定装置１の各構成部を制御する。制御部１０は、例えばプロセッサ又はマイクロコンピュータ等で構成されてよい。記憶部２０は、例えば半導体メモリ又は磁気記憶装置等で構成されてよい。制御部１０は、充電率推定装置１で取り扱われるデータ又は情報等を記憶部２０に格納してよい。

制御部１０は、電流センサ２及び電圧センサ３から、バッテリ４の充放電電流及び端子電圧をそれぞれ取得する。制御部１０は、バッテリ４の充放電電流及び端子電圧に基づいて、バッテリ４の内部状態を推定してよい。

バッテリ４の内部状態は、バッテリ４の開回路電圧と、バッテリ４の内部で発生する過電圧とをパラメータとして含むモデルによって表されうる。開回路電圧は、ＯＣＶ（Open Circuit Voltage）ともいう。ＯＣＶは、バッテリ４の電気化学的平衡状態における電極間の電位差である。ＯＣＶは、バッテリ４に充放電電流が流れない場合のバッテリ４の端子電圧に対応する。過電圧は、内部インピーダンスで生じる電圧降下の大きさに対応する。内部インピーダンスは、バッテリ４の内部の電気化学反応の反応速度に応じて決定される。

バッテリ４の内部状態を表すモデルは、図２で示されるようなバッテリ等価回路で近似されうる。バッテリ等価回路で近似されたモデルは、バッテリモデルともいう。バッテリ等価回路の入力は、バッテリ４に流れる充放電電流に対応し、ｕ（ｔ）として示される。図２においてｕ（ｔ）が付された矢印は、バッテリ４を充電する電流の向きを表す。バッテリ４を充電する電流が流れる場合、ｕ（ｔ）は正の値となると仮定する。バッテリ４から放電電流が流れる場合、ｕ（ｔ）は負の値となると仮定する。バッテリ等価回路の出力は、バッテリ４の端子電圧に対応し、ｙ（ｔ）として示される。図２においてｙ（ｔ）が付された矢印の先端側の端子は、バッテリ４の正極端子に対応すると仮定する。

バッテリ４のＯＣＶは、バッテリ等価回路において電圧源２０１で表される。電圧源２０１が出力する電圧は、時刻の関数であるＯＣＶ（ｔ）で表される。ＯＣＶ（ｔ）は、バッテリ４に充放電電流が流れない場合のバッテリ４の端子電圧に対応する。バッテリ４に充放電電流が流れない場合は、ｕ（ｔ）＝０である場合ともいえる。ｕ（ｔ）＝０である場合、ＯＣＶ（ｔ）＝ｙ（ｔ）が成立する。

図２のバッテリ等価回路において、バッテリ４の内部インピーダンスは、Ｒ_０で示される抵抗と、Ｚ_ｗ（ｐ）で示されるワールブルグインピーダンスとを直列に接続した回路として表される。Ｒ_０で示される抵抗は、バッテリ４の電解液内での泳動過程等に起因する抵抗を表す。ワールブルグインピーダンスは、バッテリ４内のイオンの拡散過程等に起因するインピーダンスを表す。バッテリ４の過電圧は、バッテリ等価回路に流れる電流によってバッテリ４の内部インピーダンスで発生する電圧降下として表される。

ワールブルグインピーダンスは、例えば図３（Ａ）に示される、Ｒ_１〜Ｒ_ｎとして示される抵抗とＣ_１〜Ｃ_ｎとして示されるコンデンサとの並列回路が直列にｎ個接続されたｎ次フォスタ型回路として表されてよい。ワールブルグインピーダンスは、例えば図３（Ｂ）に示される、直列に接続されたｎ個のコンデンサ（Ｃ_１〜Ｃ_ｎ）の間に、Ｒ_１〜Ｒ_ｎとして示されるｎ個の抵抗のそれぞれが並列に接続されたｎ次カウエル型回路として表されてよい。ワールブルグインピーダンスは、他の線形伝達関数モデルを用いて表されてもよい。

バッテリ４を近似するバッテリ等価回路のパラメータは、ワールブルグインピーダンスを構成する抵抗の抵抗値と、コンデンサの容量とを含む。バッテリ等価回路のパラメータは、予め設定されてよい。バッテリモデルのパラメータは、制御部１０で保持されてよいし、記憶部２０に格納されてよい。

制御部１０は、バッテリ等価回路のパラメータと、バッテリ４に流れる充放電電流と、バッテリ４の端子電圧とに基づいて、バッテリ４の内部状態を推定する。本実施形態において、制御部１０は、バッテリ４の内部状態として、バッテリ４の充電率及び過電圧を推定する。バッテリ４の充電率は、バッテリ４の充電容量に対する充電量の比である。充電率は、ＳＯＣ（State Of Charge）ともいう。制御部１０は、バッテリ４の内部インピーダンスを構成する抵抗の抵抗値及びコンデンサの容量を推定しないと仮定する。制御部１０は、内部インピーダンスに含まれる抵抗値及び容量を推定しない構成に限られない。制御部１０は、内部インピーダンスに含まれる抵抗値及び容量を推定するように構成されてよい。

制御部１０は、バッテリ４のＯＣＶ及び過電圧を推定してよい。この場合、制御部１０は、バッテリ４のＯＣＶに基づいて、バッテリ４のＳＯＣを推定しうる。

バッテリ４のＯＣＶは、ＳＯＣの関数として表されうる。ＳＯＣとＯＣＶとの間の関係は、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性といわれる。ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、例えば図４に示されるグラフで表されうる。図４の横軸及び縦軸はそれぞれ、ＳＯＣ及びＯＣＶを示す。ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、予め実験等によって求められうる。制御部１０は、バッテリ４のＳＯＣ−ＯＣＶ特性と、バッテリ４のＳＯＣの推定値とに基づいて、バッテリ４のＯＣＶを推定しうる。

［ヒステリシス特性］
ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、ヒステリシス特性を有することがある。ヒステリシス特性を有するＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、充電時の特性と放電時の特性とが異なる。ヒステリシス特性を有するＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、例えば図５のように示される。図５の横軸及び縦軸はそれぞれ、ＳＯＣ及びＯＣＶを示す。図５では、バッテリ４の充電時のＳＯＣ−ＯＣＶ特性を示す充電ＳＯＣ−ＯＣＶ特性５０１は、破線で示される。バッテリ４の放電時のＳＯＣ−ＯＣＶ特性を示す放電ＳＯＣ−ＯＣＶ特性５０２は、一点鎖線で示される。

充電ＳＯＣ−ＯＣＶ特性５０１及び放電ＳＯＣ−ＯＣＶ特性５０２は、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性のループを形成する。充電ＳＯＣ−ＯＣＶ特性５０１及び放電ＳＯＣ−ＯＣＶ特性５０２によって形成されるＳＯＣ−ＯＣＶ特性のループは、メジャーループともいう。メジャーループは、バッテリ４に対する充放電の実験によって取得されうる。

バッテリ４は、ＳＯＣが０％となるまで放電した後に充電されるとは限らない。例えば、バッテリ４は、図５のＡ点まで放電した後に充電されることによって、Ａ点からＢ点に至る経路で示されるＳＯＣ−ＯＣＶ特性を示しうる。バッテリ４は、ＳＯＣが１００％となるまで充電された後に放電するとは限らない。例えば、バッテリ４は、図５のＣ点まで充電された後に放電することによって、Ｃ点からＤ点に至る経路で示されるＳＯＣ−ＯＣＶ特性を示しうる。例えば、Ａ点、Ｂ点、Ｃ点、Ｄ点及びＡ点の順に結ばれる経路で示される、メジャーループよりも小さいＳＯＣ−ＯＣＶ特性のループは、マイナーループともいう。マイナーループは、メジャーループとは異なり、事実上無限に存在しうる。マイナーループは、メジャーループと比較して、事前の実験によって取得されにくい。

図５において実線で示されるＳＯＣ−ＯＣＶ特性５００は、充電ＳＯＣ−ＯＣＶ特性５０１と放電ＳＯＣ−ＯＣＶ特性５０２との平均値に対応する。ＳＯＣ−ＯＣＶ特性５００は、充電ＳＯＣ−ＯＣＶ特性５０１と放電ＳＯＣ−ＯＣＶ特性５０２との平均値に限られない。ＳＯＣ−ＯＣＶ特性５００は、充電ＳＯＣ−ＯＣＶ特性５０１と放電ＳＯＣ−ＯＣＶ特性５０２との間に含まれるグラフであってよい。

ＳＯＣ−ＯＣＶ特性５００と、メジャーループとの間のＯＣＶの差は、ヒステリシス電圧ともいう。ヒステリシス電圧は、ｈ（ｔ）と表されると仮定する。ヒステリシスを有するＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、事実上無限に存在しうるマイナーループで表される代わりに、ヒステリシス電圧を含む、次の式（１）で表されうる。

ｆ_ＯＣＶ（・）は、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性５００を表す関数である。

ＳＯＣ−ＯＣＶ特性が式（１）のように表されることで、制御部１０がバッテリ４の内部状態を推定する際にｈ（ｔ）をあわせて推定することによって、ＳＯＣとＯＣＶとの間の変換の精度が高められうる。ＳＯＣ−ＯＣＶ特性が式（１）のように表される場合、バッテリ等価回路は、図６のように表される。図６のバッテリ等価回路は、ヒステリシス電圧を表すｈ（ｔ）が追加された点、及び、電圧源２０１の出力電圧がｆ_ＯＣＶ（ＳＯＣ（ｔ））と表される点で、図２のバッテリ等価回路と異なる。

本実施形態では、ワールブルグインピーダンスは、図３（Ａ）に示されるフォスタ型回路で表されると仮定する。この場合、バッテリ等価回路は、図７のように表される。図７のバッテリ等価回路は、Ｚ_ｗ（ｐ）がフォスタ型回路に置き換えられた点で、図６のバッテリ等価回路と異なる。ｖ_ｋ（ｔ）は、Ｃ_ｋとして示される容量で生じる電圧降下を表す。ｋは、１〜ｎの整数である。

ヒステリシス現象を表すモデルの一つであるPlettによるヒステリシスモデルによれば、ｈ（ｔ）の挙動は、次の式（２）によって表される。

γは、ヒステリシスモデルの電圧降下の速さを表す。ｍは、ヒステリシス電圧の最大値を表す。Plettによるヒステリシスモデルについては、例えば、以下の文献が参照されうる。
G. L. Plett: “Extended Kalman filtering for battery management systems of LiPB-based HEV battery packs Part 2. Modeling and identification”, Journal of Power Sources 134 (2004) 262-276

時刻（ｔ）におけるバッテリ４のＳＯＣ（ｔ）は、以下の式（３）によって算出されうる。ｔ_０は、測定開始時刻を表す。式（３）の右辺第２項の積分は、充放電電流を積算して算出される、バッテリ４に出入りする電荷量を表す。

過電圧は、バッテリ４の内部インピーダンスと、バッテリ４の充放電電流とに基づいて、以下の式（４）のように表される。

η（ｔ）は、過電圧を表す。Ｇ_η（ｐ）は、内部インピーダンスを表し、Ｒ_０とＺ_ｗ（ｐ）との和である。

ワールブルグインピーダンスがフォスタ型回路である場合、Ｚ_ｗ（ｐ）は、以下の式（５）のように表される。

ただし、

である。Ｒ_ｄは、拡散抵抗を表す。Ｃ_ｄは、拡散容量を表す。

図７のバッテリ等価回路の出力に対応するｙ（ｔ）は、次の式（７）で表される。

図７のバッテリ等価回路で表されるバッテリモデルは、充放電電流を入力とし、端子電圧を出力とする、入出力システムによって表される。入出力システムは、単にシステムともいう。入出力システムは、次の式（８）及び（９）によって示される状態空間として表されうる。

状態空間は、システムの状態変数を座標軸として表される空間である。式（８）は、入力と状態変数との関係を表す状態方程式である。式（９）は、状態変数と出力との関係を表す出力方程式である。

式（８）のＡ（ｕ（ｔ））は、実数空間の（ｎ＋２）×（ｎ＋２）次の行列であり、以下の式（１０）で表される。ｄｉａｇは、対角行列を出力する関数である。

Ａ（ｕ（ｔ））は、システム行列ともいう。システム行列は、システムの特性の少なくとも一部を表す。式（８）のシステム行列は、システムへの入力を示すｕ（ｔ）に依存する。よって、式（８）及び（９）で表されるシステムは、パラメータ可変システムであるともいえる。パラメータ可変システムは、ＰＶ（Parameter Varying）システムともいう。言い換えれば、図７のバッテリモデルで表されるバッテリ４のモデルは、ＰＶシステムによって表されうる。

式（８）のｂ及び式（９）のｃはそれぞれ、実数空間の（ｎ＋２）次の列ベクトルを表し、以下の式（１１）及び（１２）で表される。Ｔは、転置行列を表す。

式（８）及び（９）のｘ（ｔ）は、状態変数であり、以下の式（１３）で表される。

［システムの内部状態推定］
本実施形態に係る充電率推定装置１は、バッテリ４のモデルを表すＰＶシステムにおいて、状態変数を推定することによって、バッテリ４の内部状態を推定しうる。制御部１０は、電流センサ２から取得した充放電電流をバッテリ４のモデルに入力し、端子電圧の推定値を算出する。制御部１０は、端子電圧の推定値と実際の端子電圧との差を、バッテリ４のモデルにフィードバックし、バッテリ４のＳＯＣを逐次推定する。

本実施形態において、バッテリ４のモデルを表すＰＶシステムは、線形パラメータ可変システムであると仮定する。線形パラメータ可変システムは、ＬＰＶ（Linear Parameter Varying）システムともいう。ＬＰＶシステムに関する以下の説明は、バッテリ４のモデルを表すシステムに限定されるものではない。

ＬＰＶシステムは、以下の式（１４）〜（１８）に示される状態空間として表されうる。式（１６）〜（１８）に示されるように、システム行列としてのＡは、ポリトープ形式で表されうる。ポリトープ形式は、関数を一次結合で表す形式である。一次結合は、線形結合ともいう。

式（１４）は、システムへの入力とシステムの内部状態を表す状態変数との関係を表す状態方程式である。式（１５）は、状態変数とシステムからの出力との関係を表す出力方程式である。ｘ（ｔ）は、実数空間のｎ次の列ベクトルであり、状態変数を表す。ｕ（ｔ）は、実数空間のｎ_ｕ次の列ベクトルであり、システムへの入力を表す。ｙ（ｔ）は、実数空間のｎ_ｙ次の列ベクトルであり、システムからの出力を表す。ｎ、ｎ_ｕ及びｎ_ｙはそれぞれ、状態、入力及び出力の信号のサイズに応じて設定される。Ａ（θ（ｔ））、Ｂ及びＣとして表される行列のサイズは、各信号のサイズに応じて設定される。

式（１４）及び（１５）で表されるシステムへの入力であるｕ（ｔ）は、ベクトルであり、太字で表記される。式（８）及び（９）で表されるシステムへの入力であるｕ（ｔ）は、スカラーであり、細字で表記される。以下、発明の詳細な説明の文中で区別するために、ベクトルを表すｕ（ｔ）は、以下ｕ→（ｔ）と表す。ｘ（ｔ）及びｙ（ｔ）についても同様に、ベクトルを表すｘ（ｔ）及びｙ（ｔ）はそれぞれ、以下ｘ→（ｔ）及びｙ→（ｔ）と表す。

式（１４）〜（１８）で表されるＬＰＶシステムにおいて、正数であるａ及びρに対して正定値行列Ｘが存在し、以下の式（１９）で示される線形行列不等式が成り立つと仮定する。線形行列不等式は、ＬＭＩ（Linear Matrix Inequality）ともいう。正定値行列は、正定行列ともいう。

式（１９）で、Ｉは単位行列を表す。

式（１９）で示されるＬＭＩが成り立つ場合、式（１４）〜（１８）で表されるＬＰＶシステムにおける自由応答及び入出力応答は、以下の式（２０）及び（２１）を満たす。

||・||で示される記号は、ノルムを表す。信号のノルムは、信号の大きさを表す。例えば||ｘ（ｔ）||は、ｘ（ｔ）の大きさを表す。||・||_２で示される記号は、Ｌ_２ノルムを表す。Ｌ_２ノルムは、信号に含まれる成分を二乗平均した値の平方根として算出される。Ｌ_２ノルムは、ノルムの一種である。式（２１）でＬ_２と表される記号は、Ｌ_２空間を示す。式（２１）で、ｕ→は、Ｌ_２空間の元である。

式（１９）が成り立つ場合に式（２０）及び（２１）が満たされることは、定理として与えられる。式（１９）〜（２１）で示される定理は、第１定理ともいう。

本実施形態に係る充電率推定装置１は、システムの状態変数及びシステムからの出力を推定する。推定値と真値との間には、誤差が発生しうる。推定値と真値との間に生じる誤差は、推定誤差ともいう。システムの入力には、外乱が加わりうる。入力に加わった外乱によって、状態変数及び出力の推定誤差が大きくなりうる。

システムの入力に外乱が加わる場合、システムが以下の式（２２）〜（２４）で表されると仮定する。

ｘ→（ｔ）、ｕ→（ｔ）及びｙ→（ｔ）はそれぞれ、式（１４）及び（１５）と同様に、システムの状態変数、システムへの入力及びシステムからの出力を表す。ｚ（ｔ）は、実数空間のｎ_ｚ次の列ベクトルであり、システムの評価出力を表す。システムの評価出力は、システムからの出力のうち、特に注目して評価する対象となる出力を含む。評価は、外乱抑制性能又は即応性等について実行されてよい。ベクトルを表すｚ（ｔ）は、以下ｚ→（ｔ）と表す。ｗ（ｔ）は、実数空間のｎ_ｗ次の列ベクトルであり、システムへの入力に加わる外乱を表す。ベクトルを表すｗ（ｔ）は、以下ｗ→（ｔ）と表す。ｎ_ｚ及びｎ_ｗはそれぞれ、評価出力及び外乱の信号のサイズに応じて設定される。Ａ（θ（ｔ））は、式（１６）〜（１８）で与えられる。Ｂ_１、Ｂ_２、Ｃ_１、Ｃ_２及びＤとして表される係数行列のサイズは、状態変数、入力、出力、評価出力及び外乱の信号のサイズに応じて設定される。

式（２２）は、外乱が加わったシステムへの入力とシステムの内部状態を表す状態変数との関係を表す状態方程式である。式（２３）は、状態変数及びシステムへの入力とシステムからの出力との関係を表す出力方程式である。式（２４）は、状態変数とシステムの評価出力との関係を表す評価出力方程式である。

式（２２）〜（２４）において、状態変数、出力及び評価出力をそれぞれ推定値に置き換えることで、式（２５）〜（２７）が導かれる。状態変数、出力及び評価出力の推定値はそれぞれ、ｘ、ｙ及びｚの上に記号＾を付して表される。

以下、ｘ→（ｔ）、ｙ→（ｔ）及びｚ→（ｔ）の上に記号＾を付した項は、ｘ→＾（ｔ）、ｙ→＾（ｔ）及びｚ→＾（ｔ）とも表す。

状態変数の推定誤差は、以下の式（２８）で表される。状態変数の推定誤差は、ｘ→（ｔ）の上に記号~を付して表される。

以下、ｘ→（ｔ）の上に記号~を付した項は、ｘ→~（ｔ）とも表す。

式（２８）の両辺を時刻（ｔ）で微分した式に、式（２２）及び（２５）を適用することによって、以下の式（２９）が導かれる。

式（２９）において、Ａ（θ（ｔ））が安定である場合、状態変数の推定誤差は、時刻の経過に応じて収束しうる。言い換えれば、システム行列が安定であるか否かに応じて、推定誤差が収束するか否かが決定されうる。

状態変数、出力及び評価出力の推定値を含む式として、式（２５）の代わりに、以下の式（３０）が仮定されうる。

式（３０）の右辺第３項は、出力の推定誤差が状態方程式にフィードバックされることを表す。式（３０）の右辺第３項に式（２３）及び（２６）を適用することで、以下の式（３１）が導かれる。

式（２８）の両辺を時刻（ｔ）で微分した式に、式（２２）、（３０）及び（３１）を適用することによって、以下の式（３２）が導かれる。

式（３２）において、Ａ（θ（ｔ））−ＬＣが安定となるように、Ｌが設定されうる。言い換えれば、システム行列が安定であるか否かにかかわらず、推定誤差が収束するようなＬが設定されうる。

式（３０）、（２６）及び（２７）で構成される式は、システムに対するオブザーバともいう。オブザーバは、状態推定器ともいう。オブザーバは、状態変数の少なくとも一部を直接観測できない場合に、入力と出力とに基づいて、直接観測できない状態変数を推定する機構のことをいう。モデルを表すシステムに対するオブザーバは、モデルに基づくオブザーバともいう。式（３０）のＬは、オブザーバゲインともいう。Ｌを設定又は決定することは、オブザーバゲインの設計ともいう。

式（２２）〜（２４）、並びに、式（３０）、（２６）及び（２７）に基づいて、状態変数、出力及び評価出力の推定誤差はそれぞれ、以下の式（３３）〜（３５）で表される。出力及び評価出力の推定誤差はそれぞれ、ｙ及びｚの上に記号~を付して表される。以下、ｙ及びｚの上に記号~を付した項は、ｙ~及びｚ~とも表す。

式（３３）〜（３５）に示される、状態変数、出力及び評価出力の推定誤差の関係は、偏差系ともいう。オブザーバゲインは、システムの初期状態で存在する状態変数の推定誤差の減衰の速度を示す減衰度性能、又は、評価出力の推定誤差に対する外乱の影響を低減させる性能を有するように設計されうる。

オブザーバゲインは、種々の方法で設計されうる。例えば、正数であるａ及びρに対して、正定値行列Ｘと行列Ｙとが存在し、以下の式（３６）で示されるＬＭＩが成立すると仮定する。

オブザーバゲインが以下の式（３７）に基づいて設計されると仮定する。

式（３６）で示されるＬＭＩが成立し、且つ、オブザーバゲインが式（３７）に基づいて設計される場合、式（３３）〜（３５）で示される偏差系に対する自由応答は、以下の式（３８）を満たす。

システムの初期状態は、時刻（ｔ）が０である場合のシステムの状態である。ｘ→~（０）は、システムの初期状態で存在する状態変数の推定誤差を表す。システムの初期状態で存在する状態変数の推定誤差は、状態推定値の初期値誤差ともいう。ａは、状態推定値の初期値誤差が減衰する速度を表し、減衰度ともいう。ｂは、適宜定められうる係数である。式（３８）は、状態変数の推定誤差の大きさが所定の速度以下で減衰しうることを示す。

式（３６）で示されるＬＭＩが成立し、且つ、オブザーバゲインが式（３７）に基づいて設計される場合、式（３３）〜（３５）で示される偏差系に対する入出力応答は、以下の式（３９）を満たす。

ρは、適宜定められうる係数であり、評価出力が外乱から受ける影響の度合いを示す。式（３９）は、評価出力が外乱に対して所定の比率未満に低減されうることを示す。

式（３６）が成立し、且つ、オブザーバゲインが式（３７）に基づいて設計される場合に式（３８）及び（３９）が満たされることは、第１定理に基づいて導かれる定理として与えられる。式（３６）〜（３９）で示される定理は、第２定理ともいう。

［バッテリモデルに対するオブザーバの設計］
本実施形態に係る充電率推定装置１は、システムに対するオブザーバを適宜設計することによって、システムの状態変数の推定誤差を所定の速度以上で減衰させうる。本実施形態に係る充電率推定装置１は、システムに対するオブザーバを適宜設計することによって、評価出力の推定誤差に対する外乱の影響を低減しうる。

バッテリ４のモデルに対応するシステムは、式（８）〜（１３）で示されうる。バッテリ４のモデルにヒステリシスモデルが含まれる場合、ヒステリシスモデルのパラメータの不確かさに起因する外乱が、システムへの入力に加わりうる。例えば、式（２）にヒステリシスモデルのパラメータとして含まれるｍ及びγは、真値に対するモデル化誤差を有しうる。ｍ及びγのノミナル値がヒステリシスモデルのパラメータであると仮定されてよい。ｍ及びγのノミナル値はそれぞれ、ｍ及びγとして想定される値である。ノミナル値がヒステリシスモデルのパラメータとして仮定される場合、システムを表す式（８）及び（９）を変形して、以下の式（４０）及び（４１）が導かれる。式（４１）は、式（９）と同じ式である。

式（４０）のｗ（ｔ）は、ヒステリシスモデルのパラメータの不確かさに起因する外乱を表す。ｗ（ｔ）は、以下の式（４２）で表される。

ｓｇｎ（・）は、符号関数を表す。符号関数は、入力値が正の値である場合に１を出力し、入力値が負の値である場合に−１を出力し、入力値が０である場合に０を出力する関数である。Δｍは、ｍの真値とノミナル値との差を表す。Δγは、γの真値とノミナル値との差を表す。

式（４０）及び（４１）に含まれるｕ（ｔ）、ｙ（ｔ）及びｗ（ｔ）はそれぞれ、スカラーを表し、ｕ→（ｔ）、ｙ→（ｔ）及びｗ→（ｔ）と区別される。

式（４０）のｆは、以下の式（４３）で表される。

ｆが式（４３）で表される場合、式（１３）及び（４０）によれば、外乱を表すｗ（ｔ）の成分は、ｘ（ｔ）に含まれる成分のうちｈ（ｔ）にのみ加わる。

式（４０）及び（４１）は、ヒステリシスモデルのパラメータの誤差を考慮した、バッテリ４のシステムを表す。式（４０）及び（４１）で示されるシステムに対して、以下の式（４４）及び（４５）に示されるオブザーバが構成されうる。

ｘ→＾（ｔ）及びｙ＾（ｔ）はそれぞれ、ｘ→（ｔ）及びｙ（ｔ）の推定値を表す。ＳＯＣの推定値は、ＳＯＣの上に記号＾を付して表される。ＳＯＣの上に記号＾を付した項は、ＳＯＣ＾とも表す。Ｌは、実数空間の（ｎ＋２）次の列ベクトルであり、オブザーバゲインを表す。

ＳＯＣの推定誤差が十分に小さいと仮定した場合、ｆ_ＯＣＶ（・）を線形化して、以下の式（４６）が導かれる。

αは、適宜定められうる定数である。

状態変数の推定誤差は、以下の式（４７）で表されると仮定する。

式（４０）〜（４７）に基づいて、以下の式（４８）が導かれる。

ｃ_ｌは、以下の式（４９）で表される。

システムの評価出力を決定する評価出力方程式として、以下の式（５０）が導入される。

ｃ_ｚは、以下の式（５１）で表される。

ｃ_ｚは、状態変数の推定誤差を評価出力に反映させる際に、状態変数の推定誤差に含まれる成分に重み付けを与える。

式（５０）及び（５１）によれば、状態変数のうちＳＯＣの成分だけが評価出力に反映される。言い換えれば、評価出力は、ＳＯＣの推定誤差として算出される。よって、ｚ（ｔ）は、以下の式（５２）で表される。

式（４８）及び（５０）は、入力をｗ（ｔ）とし、出力をｚ（ｔ）とするシステムを表す。以下、式（４８）及び（５０）で表されるシステムは、Ｇ（Ｌ）と表される。Ｇ（Ｌ）は、システム行列がｕ（ｔ）に依存するＬＰＶシステムである。

Ｇ（Ｌ）がＢＩＢＯ（Bounded Input Bounded Output）安定であり、且つ、Ｇ（Ｌ）の入出力ゲインが十分に小さい場合、ｗ（ｔ）の入力にかかわらず、ＳＯＣの推定誤差が小さくされうる。ＢＩＢＯ安定は、システムへの入力が有限値である場合、システムからの出力が有限値であることを意味する。

ＢＩＢＯ安定であること、及び、Ｇ（Ｌ）の入出力ゲインが十分に小さいことは、以下の式（５３）及び（５４）で表される制約とみなされうる。

式（５３）は、システムの初期状態における状態変数の推定誤差に対する、Ｇ（Ｌ）の自由応答が満たすべき減衰度制約を示す式である。ａは、Ｇ（Ｌ）の自由応答の減衰度を示す正数である。ｂは、適宜定められうる係数である。式（５３）は、式（３８）に対応する式である。

式（５４）は、Ｇ（Ｌ）のＬ_２ゲインが満たすべきＬ_２ゲイン制約を示す式である。Ｇ（Ｌ）のＬ_２ゲインは、Ｇ（Ｌ）の評価出力信号のＬ_２ノルムとＧ（Ｌ）の入力信号のＬ_２ノルムとの比の上界として定義される。ρは、Ｇ（Ｌ）のＬ_２ゲインの上界の範囲を指定する正数である。Ｇ（Ｌ）のＬ_２ゲインは、システムが表すモデルに含まれるパラメータの誤差に対する、評価出力の大きさの比を意味する。

本実施形態においては、式（５３）及び（５４）で示される２つの制約が同時に満たされるように、オブザーバゲインが設計されうる。言い換えれば、オブザーバゲインは、所定の制約条件を満たすように設定されうる。所定の制約条件は、減衰度制約及びＬ_２ゲイン制約を含む。

例えば、式（５３）のａは、バッテリ４のＳＯＣの推定誤差が所定の時間内に収束するように設定されてよい。ＳＯＣの推定誤差が所定の時間内に収束するようにａが設定される場合、さらに式（５４）が満たされるように、ρが最小化されてよい。

バッテリ４の充放電電流の大きさは、｜ｕ（ｔ）｜と表される。｜ｕ（ｔ）｜の最大値及び最小値が既知である場合、バッテリ４のモデルを表すシステムのシステム行列は、以下の式（５５）〜（５８）で示されるポリトープ形式で表されうる。

ｕ_ｍｉｎは、｜ｕ（ｔ）｜の最小値である。ｕ_ｍａｘは、｜ｕ（ｔ）｜の最大値である。θ_１（ｕ（ｔ））及びθ_２（ｕ（ｔ））は、ポリトープ形式のパラメータである。

システム行列は、式（４４）及び式（４５）で表されるオブザーバのパラメータの少なくとも一部を構成する。システム行列がポリトープ形式で表されることによって、オブザーバのパラメータの少なくとも一部がポリトープ形式で表される。

Ａ（ｕ（ｔ））がポリトープ形式で表され、且つ、正数であるａ及びρに対して正定値行列Ｘ及び行列Ｙが存在し、以下の式（５９）及び（６０）で示されるＬＭＩが成立すると仮定する。

式（５９）及び式（６０）において、以下の式（６１）が成り立つ。

第２定理によれば、Ｇ（Ｌ）が式（５３）及び（５４）を同時に満たすようなオブザーバゲインは、以下の式（６２）によって設計される。

式（５９）及び（６０）で示されるＬＭＩが成立し、且つ、ρが最小化されるように、正定値行列Ｘ及び行列Ｙが算出されうる。このように算出された正定値行列Ｘ及び行列Ｙに基づいて、より小さいＬ_２ゲインを有するオブザーバゲインが設計されうる。バッテリ４のバッテリモデルにおいて、Ｇ（Ｌ）のＬ_２ゲインは、バッテリモデルに含まれるパラメータの誤差に対する、バッテリ４の充電率の推定誤差の大きさの比である。より小さいＬ_２ゲインを有するオブザーバゲインが設計されることによって、バッテリモデルに含まれるパラメータの誤差に応じたバッテリ４の充電率の推定誤差は、減少されうる。オブザーバゲインがより小さいＬ_２ゲインを有するように設計されたオブザーバは、ロバストオブザーバともいう。

本実施形態に係る充電率推定装置１は、ヒステリシス特性を含むバッテリ４のモデルに基づくオブザーバを用いて、バッテリ４のＳＯＣを推定する。オブザーバを用いることで、ヒステリシス特性の影響等によってバッテリ４のモデルのパラメータの誤差がある場合でも、バッテリ４のＳＯＣの推定精度が向上しうる。また、バッテリモデルのパラメータの逐次推定によってパラメータの誤差を低減させる場合と比較して、充電率推定装置１の計算負荷が軽減されうる。

オブザーバゲインがバッテリ４のモデルに含まれるパラメータの誤差に応じたＳＯＣの推定誤差を減少するように設定されることで、バッテリ４のＳＯＣの推定精度が向上しうる。

オブザーバゲインが所定の制約条件を満たすように設定されることで、バッテリ４のＳＯＣの推定精度が向上しうる。

オブザーバに含まれるパラメータの一部であるシステム行列が式（５５）−（５８）のようにポリトープ形式で表されることで、オブザーバゲインの算出が容易になりうる。また、オブザーバゲインが所定のＬＭＩを満たすことでも、オブザーバゲインの算出が容易になりうる。

オブザーバゲインが満たす所定のＬＭＩが、パラメータとして、減衰度ａを含むことで、パラメータの誤差がＳＯＣの推定値に対して及ぼす影響がより低減されうる。

［充電率推定方法］
本実施形態に係る充電率推定装置１は、図８に示される充電率推定方法によって、バッテリ４のＳＯＣを推定してよい。

制御部１０は、バッテリ４のバッテリモデルのパラメータを取得する（ステップＳ１）。制御部１０は、バッテリモデルのパラメータを記憶部２０又は外部装置から取得してよい。

制御部１０は、バッテリ４のバッテリモデルで表されるシステムに対するオブザーバを取得する（ステップＳ２）。制御部１０は、バッテリモデルのパラメータ、及び、式（６２）等に基づいて、オブザーバを設計してよい。制御部１０は、予め設計されたオブザーバを記憶部２０又は外部装置から取得してよい。

制御部１０は、バッテリ４のＳＯＣを推定する（ステップＳ３）。制御部１０は、取得したオブザーバに基づいて、バッテリ４のＳＯＣを推定しうる。このようにすることで、バッテリ４のＳＯＣの推定精度が高められうる。

［充電率推定結果の例］
式（６２）等に基づいて設計されたオブザーバゲインを含むオブザーバによって、バッテリ４のＳＯＣが推定されうる。以下、ＳＯＣの推定結果の一例の説明において、図９、図１０及び図１１が参照される。

ＳＯＣを推定するために、バッテリ４のバッテリモデルで表されるシステムに対して、図９に示されるように時間変動する電流が入力された。図９には、電流の時間変動の例として、バッテリ４が電気自動車に搭載されて走行実験が行われた際の電流の時間変動が示される。

本実施例のＳＯＣ推定に用いられたオブザーバは、Ｇ（Ｌ）が式（５３）及び（５４）を同時に満たすように設計された。言い換えれば、本実施例のＳＯＣ推定に用いられたオブザーバは、減衰度制約とＬ_２ゲイン制約とをともに考慮して設計された。一方で、比較例に係るＳＯＣ推定として、Ｇ（Ｌ）が式（５３）を満たすように設計されたオブザーバを用いたＳＯＣ推定が行われた。比較例に係るＳＯＣ推定に用いられたオブザーバは、Ｌ_２ゲイン制約を考慮せずに、減衰度制約のみを考慮して設計された。

図１０に示されるように、実施例及び比較例それぞれで設計されたオブザーバを用いて、バッテリ４のＳＯＣが推定された。図１０において、横軸及び縦軸はそれぞれ、時刻及びＳＯＣを示す。ＳＯＣの真値は、破線で示される。ＳＯＣの真値は、バッテリ４への入力電流を積算する等の方法によって算出された値である。実施例に係るＳＯＣの推定値は、実線で示される。比較例に係るＳＯＣの推定値は、一点鎖線で示される。実施例に係るＳＯＣの推定値は、比較例に係るＳＯＣの推定値と比較して、ＳＯＣの真値に近い。

図１１に示されるように、実施例のオブザーバを用いたＳＯＣの推定誤差は、比較例のオブザーバを用いたＳＯＣの推定誤差よりも小さい。ＳＯＣの推定誤差は、ＳＯＣの推定値とＳＯＣの真値との差である。図１１において、横軸及び縦軸はそれぞれ、時刻及びＳＯＣの推定誤差を示す。

図１１に例示されるＳＯＣの推定誤差のＲＭＳＥ（Root Mean Square Error）を計算した結果、比較例に係るオブザーバを用いたＳＯＣの推定誤差のＲＭＳＥは、４．５％であった。一方で、実施例に係るオブザーバを用いたＳＯＣの推定誤差のＲＭＳＥは、１．９％であった。減衰度制約のみを考慮してオブザーバが設計される場合と比較して、減衰度制約及びＬ_２ゲイン制約を含む所定の制約条件を考慮してオブザーバが設計されることによって、ＳＯＣの推定精度が向上されうる。

本開示に係る実施形態について諸図面および実施例に基づき説明してきたが、当業者であれば本開示に基づき種々の変形または修正をおこなうことが容易であることに注意されたい。従って、これらの変形または修正は本開示の範囲に含まれることに留意されたい。例えば、各構成部、各ステップなどに含まれる機能などは論理的に矛盾しないように再配置可能であり、複数の構成部およびステップなどを１つに組み合わせたり、或いは分割したりすることが可能である。

１ 充電率推定装置
２ 電流センサ
３ 電圧センサ
４ バッテリ
５ 電源装置
１０ 制御部
２０ 記憶部
２０１ 電圧源
５００ ＳＯＣ−ＯＣＶ特性
５０１ 充電ＳＯＣ−ＯＣＶ特性
５０２ 放電ＳＯＣ−ＯＣＶ特性

Claims (2)

1. ヒステリシス特性を有するバッテリのモデルを表す入出力システムに対して設定されて前記バッテリの充電率の推定のために用いられるオブザーバのパラメータであるオブザーバゲインの設定方法であって、
   前記オブザーバを、前記バッテリの充電率を要素として含む状態変数と前記オブザーバゲインとの間の関係を特定するとともに、前記バッテリの充電率を引数として前記バッテリの開回路電圧を表す関数と前記状態変数とを前記オブザーバの出力に反映させるように構成するステップと、
   前記オブザーバゲインを、前記モデルに含まれる前記ヒステリシス特性に関するパラメータの不確かさに起因する外乱に応じた前記充電率の推定誤差について制約条件を満たすように設定するステップと
   を含み、
   前記制約条件は、システムの初期状態における状態変数の推定誤差に対する、前記外乱と前記充電率の推定誤差とによって表されるシステムの自由応答が満たす減衰度制約と、前記入出力システムによって表されるモデルに含まれるパラメータの誤差に対する、評価出力の大きさの比を制約するゲイン制約とを含む、オブザーバゲインの設定方法。
2. 請求項１に記載のオブザーバゲインの設定方法において、前記オブザーバに含まれるパラメータの少なくとも一部は、ポリトープ形式で表され、
   前記制約条件は、所定の線形行列不等式で表される、オブザーバゲインの設定方法。

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