JP7601216B2 - 解析方法、解析装置、計測方法、計測装置、露光方法、および露光装置 - Google Patents

Description

本発明は、解析方法、解析装置、計測方法、計測装置、露光方法、および露光装置に関する。
本願は、２０２１年４月２３日に出願された日本国特願２０２１－０７３４２５号に基づき優先権を主張し、その内容をここに援用する。

半導体集積回路等の製造に用いるリソグラフィ技術においては、基板上に形成されている既存パターンに対し、別のパターンを重ね合わせて形成する。リソグラフィの工程において、基板には、基板内の位置に比例した一様な伸縮である線形な変形のみでなく、基板内の位置に比例しない非線形な変形が生じる場合がある。基板の非線形な変形を表現する方法として、例えば特許文献１に開示されている方法がある。

国際公開第２０１５／１８９００１号

第１の態様によると、解析方法は、基板上に形成された複数の被計測部の計測された位置情報である計測位置情報を用意すること、第１種ベッセル関数を用いて表された基準関数に比例係数を乗じた少なくとも１つの関数の和である参照関数を前記計測位置情報に対してフィッティングして、少なくとも１つの前記比例係数の適値を算出すること、を備え、前記基準関数は、前記基板の基準位置から前記被計測部までの距離に対する第１種ベッセル関数と、前記基準位置から前記被計測部への偏角に基づく三角関数との積で表される。
第２の態様によると、解析方法は、基板上に形成された複数の被計測部の計測された位置情報である計測位置情報を用意すること、第１種ベッセル関数を用いて表された基準関数に比例係数を乗じた少なくとも１つの関数の和である参照関数を前記計測位置情報に対してフィッティングして、少なくとも１つの前記比例係数の適値を算出すること、を備え、前記基準関数は、前記基板の基準位置から前記被計測部までの距離に対する第１種ベッセル関数を用いて表され、前記第１種ベッセル関数は、前記基板周縁に配置された前記被計測部の基準位置情報に対して極値を取る関数である。
第３の態様によると、解析装置は、基板上に形成された複数の被計測部の計測された位置情報である計測位置情報を入力する入力部と、前記位置計測部が計測した前記被計測部の計測位置情報を解析する解析部と、算出した前記比例係数の適値を少なくとも含む解析結果を外部の装置に出力する出力部と、を備え、前記解析部は、上述の解析方法により、少なくとも１つの前記比例係数の適値を算出する。
第４の態様によると、計測方法は、基板上に形成された複数の被計測部の位置を計測して、前記被計測部の計測位置情報を得ること、上述の解析方法により少なくとも１つの前記比例係数の適値を算出すること、を備える。
第５の態様によると、計測装置は、基板上に形成された被計測部の位置を計測する位置計測部と、前記位置計測部が計測した前記被計測部の計測位置情報を解析する解析部と、を備え、前記解析部は、上述の解析方法により、少なくとも１つの前記比例係数の適値を算出する。
第６の態様によると、露光方法は、上述の計測方法により、第１パターンが前記被計測部に対して所定の位置関係で形成されている前記基板上の複数の前記被計測部の位置を計測して、前記被計測部の計測位置情報を取得するとともに、少なくとも１つの前記比例係数の適値を算出すること、取得した前記計測位置情報、および少なくとも１つの前記比例係数の前記適値に基づいて、前記基板上の前記第１パターンの位置を推定すること、推定した前記第１パターンの位置に基づいて、前記基板上に第２パターンを露光すること、を備える。
第７の態様によると、露光装置は、基板上に形成された被計測部の位置を計測する位置計測部と、前記基板上に所望のパターンを露光する露光光学系と、を備え、上述の露光方法を行う。
第８の態様によると、露光装置は、被計測部が形成された基板を載置して移動するステージと、前記基板を搬送し前記ステージに載置する基板搬送装置と、を備えて前記基板上に所望のパターンを露光する露光装置において、上述の計測方法により得られた計測結果に基づいて、前記基板搬送装置の動作を規定する装置定数を定める。

実施形態の計測装置および露光装置の構成を概略的に示す図。 基板の一例を示す図。 基板の一例を示す図。 基準関数に含まれる第１種ベッセル関数の例を示す図。 基準関数に含まれる第１種ベッセル関数の例を示す図。 いくつかの基準関数の概略値を示す図である。 基準関数を用いて表した、基板のＸＹ面内方向の仮想的な変形量の一例を示す図。 基準関数に含まれる第１種ベッセル関数の他の例を示す図。 基準関数に含まれる第１種ベッセル関数の他の例を示す図。 ベクトル図の一例を示す図。 実施形態の解析装置の構成を概略的に示す図。

（実施形態の計測装置および露光装置）
図１は、実施形態の計測装置１および露光装置２の構成を概略的に示す図である。露光装置２は、図１に一点鎖線で囲って示した実施形態の計測装置１を含んでいる。
なお、実施形態の計測装置１は、図１に示したように露光装置２の構成の一部であっても良く、露光装置２とは別の独立した装置であっても良い。以下では、計測装置１は、露光装置２の構成の一部を構成しているものとして説明する。

図１および以降の各図に矢印で示したＸ方向、Ｙ方向およびＺ方向はそれぞれ直交する方向であるとともに、Ｘ方向、Ｙ方向およびＺ方向のそれぞれは各図において同一の方向を示している。
以下では、各矢印の示す方向を、それぞれ＋Ｘ方向、＋Ｙ方向および＋Ｚ方向と呼ぶ。
また、Ｘ方向の位置をＸ位置、Ｙ方向の位置をＹ位置と呼ぶ。

露光装置２は、基板ＷＦの表面に対し所定のパターンを露光転写する装置である。露光装置２は、計測装置１に加えて、図１に二点鎖線で囲って示した露光光学系２０、基板ＷＦを載置するステージ３０、基板ＷＦに露光するパターンの原版であるマスク２５を載置するマスクステージ２４等を備えている。なお、図１には、Ｘ方向の位置関係が相互に入れ替わる２つのステージ３０を示しているが、ステージ３０は１つであっても良い。

露光光学系２０は、照明光学系２１および投影光学系２２を含む。照明光学系２１はマスク２５に照明光を照射し、投影光学系２２はマスク２５を透過して明暗パターンが付与された露光光を基板ＷＦに露光する。なお、マスク２５は透過型のマスクに限られるわけではなく、反射型のマスクであっても良い。

ステージ３０は、リニアモーター等の駆動機構を備え、ガイド３３上をＸ方向およびＹ方向に移動可能であるとともに、Ｚ方向に微小距離（例えば数ミリメートル程度）移動可能である。ステージ３０の位置は、投影光学系２２と所定の位置関係を保って設けられているエンコーダーヘッド２３により、ステージ３０に設けられたエンコーダ板３２の位置として計測され、信号Ｓ２ａとして出力される。

マスクステージ２４は、リニアモーター等の駆動機構を備え、マスクガイド２７上をＹ方向に移動可能であるとともに、Ｘ方向およびＺ方向に微小距離（例えば数ミリメートル程度）移動可能である。マスクステージ２４の位置は、投影光学系２２と所定の位置関係を保って設けられているエンコーダーヘッド２８により、マスクステージ２４に設けられたエンコーダ板２６の位置として計測され、信号Ｓ４として出力される。

露光装置２は、一例として、投影光学系２２に対して基板ＷＦを載置するステージ３０、およびマスク２５を載置するマスクステージ２４をＹ方向に相対的に走査しつつ基板ＷＦへの露光を行う走査型の露光装置である。
ただし、露光装置２は、投影光学系２２に対して基板ＷＦを載置するステージ３０、およびマスク２５を載置するマスクステージ２４を静止させた状態で露光を行うステップアンドリピート型の露光装置であっても良い。

ステージ３０およびマスクステージ２４の位置を計測する手段は、上述したエンコーダーシステムに限られるものではなく、レーザ干渉計や磁気スケールを用いるものであっても良い。
ステージ３０は、基板ＷＦが載置される部分に、基板チャック部３１を有している。基板チャック部３１は、いわゆる真空チャック、または静電チャックにより基板ＷＦを吸着させる。

露光装置２により露光される基板ＷＦは、半導体等の電子材料を含み、その表面（＋Ｚ側の面）の近傍には、以前の露光工程で形成された既存パターンが存在しており、基板ＷＦの表面には不図示の感光材料が形成されている。

図２Ａは、基板ＷＦの一例を示す図であり、基板ＷＦを＋Ｚ方向から見た図を示している。基板ＷＦ上には、不図示の既存パターンの一部として、既存パターンに対して所定の位置関係となる位置に、位置計測用のアライメントマーク等の所定の被計測部ＭＰが複数形成されている。被計測部ＭＰは、位置の計測のために設けられている専用のパターンに限られるわけではなく、基板ＷＦ上に形成する電子回路を構成する回路パターンの一部であっても良い。

図２Ａに示した原点Ｏは、一例として円形の基板ＷＦの重心等の中心点であり、Ｘ軸は、原点Ｏを通りＸ方向に延びる軸、Ｙ軸は、原点Ｏを通りＹ方向に延びる軸を表している。また、原点Ｏから１つの被計測部ＭＰまでの距離はｒであり、原点Ｏを基準としての＋Ｘ方向から１つの被計測部ＭＰまでの偏角をθとしている。

なお、図２Ａにおいては、複数の被計測部ＭＰのＸ方向の間隔、およびＹ方向の間隔が、すべて等しいものとしているが、複数の被計測部ＭＰのＸ方向の間隔、およびＹ方向の間隔は、いずれも不等間隔であっても良い。また、複数の被計測部ＭＰは、必ずしもＸ方向およびＹ方向に平行な格子配列の格子点に配置されている必要は無く、基板ＷＦ上のランダムな位置に配置されていても良い。

それぞれの被計測部ＭＰの位置は、以前の露光工程で露光転写された被計測部ＭＰを含むパターンの設計データにより概ね既知である。ただし、被計測部ＭＰを形成した露光工程以降に基板ＷＦに加えられた加工プロセスにより基板ＷＦがＸＹ面内方向で変形しているため、被計測部ＭＰの実際の正確な位置は不明である。

図２Ｂは、一例として、図２Ａに破線円で囲って示した基板ＷＦの任意の小領域ＡＲにおける被計測部ＭＰ（ＭＰ１～ＭＰ４）の位置を拡大して示した図である。それぞれの被計測部ＭＰ（ＭＰ１～ＭＰ４）は、基板ＷＦの変形により、上述した設計データにより求まる基準位置ＭＤ１～ＭＤ４に対して、基板ＷＦの面内方向にそれぞれ、～ＤＶ４で表される位置だけずれた位置に配置されている。逆に言えば、基準位置ＭＤ１～ＭＤ４に対する被計測部ＭＰ（ＭＰ１～ＭＰ４）の位置ずれ量、すなわち変位ベクトルＤＶ１～ＤＶ４が、基板ＷＦのＸＹ面内方向の変形量を表している。

なお、図２Ｂに示されていない他の被計測部ＭＰについても同様に、基板ＷＦの変形により、基準位置ＭＤ１～ＭＤ４に対して、基板ＷＦの面内方向にそれぞれ変位ベクトルＤＶで表される位置だけずれた位置に配置されているものとする。
変位ベクトルＤＶのＸ成分、およびＹ成分を、それぞれΔＸ、ΔＹとする。ｊ番目（ｊは任意自然数）の被計測部ＭＰの変位ベクトルＤＶjは、ＤＶj＝（ΔＸj、ΔＹj）である。

被計測部ＭＰ（ＭＰ１～ＭＰ４）が実際に配置されている位置は、後述する位置計測部１０により計測される位置であるので、以下では、被計測部ＭＰの計測位置ＭＭ（ＭＭ１～ＭＭ４）と呼ぶ。それぞれの被計測部ＭＰ（ＭＰ１～ＭＰ４）の計測位置ＭＭ（ＭＭ１～ＭＭ４）は、基準位置ＭＤ（ＭＤ１～ＭＤ４）に変位ベクトルＤＶ（ＤＶ１～ＤＶ４）を加えた位置である。逆に言えば、それぞれの被計測部ＭＰ１～ＭＰ４の変位ベクトルＤＶ１～ＤＶ４は、計測位置ＭＭ１～ＭＭ４と基準位置ＭＤ１～ＭＤ４との位置の差である。

基準位置ＭＤおよび計測位置ＭＭは、一例として、原点Ｏを中心（０，０）とするＸＹ座標値により表される。ここで、基準位置ＭＤのＸＹ座標（デカルト座標）での位置（Ｘ、Ｙ）と、基準位置ＭＤの極座標での位置（ｒ，θ）、すなわち上述した原点Ｏから被計測部ＭＰの基準位置ＭＤまでの距離ｒおよび偏角θとの関係は、式（１）から式（４）で表される。

複数の被計測部ＭＰの基準位置ＭＤを、以下では、総称して、または個々に、基準位置情報ＩＲＰと呼ぶ。
複数の被計測部ＭＰの変位ベクトルＤＶを、以下では、総称して、または個々に、計測位置情報ＩＭＰと呼ぶ。

再び図１を参照して、露光装置２に含まれている計測装置１および基板搬送装置４０について説明する。
計測装置１は、基板ＷＦ上に形成されている被計測部ＭＰの位置を計測する、点線で囲って示した位置計測部１０と、制御部１５とを備えている。ここで、後述する位置算出部１３は、位置計測部１０と制御部１５との両方に含まれているものとする。制御部１５は、さらに後述する解析部１６、表示部１７、出力部１８を備えている。

位置計測部１０は、基板ＷＦ上の被計測部ＭＰ（図２Ａ参照）を検出するマーク検出部１１と、マーク検出部１１が被計測部ＭＰを検出した際のステージ３０の位置を計測するエンコーダーヘッド１２と、位置算出部１３とを有している。

マーク検出部１１は一例として、撮像式の光学顕微鏡であり、マーク検出部１１内の基準指標と、基板ＷＦ上の被計測部ＭＰとのＸ方向およびＹ方向の相対的な位置ずれ量を計測し、計測結果を信号Ｓ１として出力する。マーク検出部１１は、基板ＷＦ上にレーザ光等による照射パターンを照射し、その戻り光の強度変化に基づいて被計測部ＭＰの位置を計測するものであっても良い。

エンコーダーヘッド１２は、上述したエンコーダーヘッド２３と同様に、ステージ３０の位置をステージ３０に設けられたエンコーダ板３２の位置として計測し、ステージ３０の位置を信号Ｓ２として出力する。なお、エンコーダーヘッド１２の代わりに、レーザ干渉計や磁気スケールを用いる位置計測システムを用いても良い。

制御部１５は、エンコーダーヘッド１２からの信号Ｓ２、またはエンコーダーヘッド２３からの信号Ｓ２ａに基づいてステージ３０に信号Ｓ３を送り、ステージ３０の位置を制御する。制御部１５は、エンコーダーヘッド２８からの信号Ｓ４に基づいてマスクステージ２４に信号Ｓ５を送り、マスクステージ２４の位置を制御する。

基板搬送装置４０は、一例として、ロードガイド４１およびロードガイド４１に沿って移動するロードアーム４２を有している。基板搬送装置４０は、制御部１５からの信号Ｓ６により制御され、トラックシステム等の外部の装置から基板ＷＦを受け取り、基板ＷＦをステージ３０上の基板チャック部３１に載置する。なお、基板チャック部３１は、基板ＷＦの受け渡し動作を行う部材であるため、ステージ３０の一部を構成しているとともに、基板搬送装置４０にも含まれているものとする。

基板ＷＦがステージ３０上に載置されると、制御部１５は、複数の被計測部ＭＰの基準位置情報ＩＲＰに基づいてステージ３０に信号Ｓ３を送り、ステージ３０を、基板ＷＦ上の複数の被計測部ＭＰのそれぞれがマーク検出部１１と対向する位置に順次移動させる。マーク検出部１１が複数の被計測部ＭＰのそれぞれと対向した状態で、制御部１５はマーク検出部１１からの信号Ｓ１およびエンコーダーヘッド１２からの信号Ｓ２を受信する。

制御部１５に含まれ、かつ位置計測部１０の一部である位置算出部１３は、これらの信号に基づいて、基板ＷＦ上の複数の被計測部ＭＰのそれぞれの計測位置ＭＭ、または変位ベクトルＤＶを算出する。上述したとおり、被計測部ＭＰの計測位置ＭＭは、被計測部ＭＰの基準位置ＭＤに変位ベクトルＤＶを加えた位置である。逆に言えば、被計測部ＭＰの計測位置ＭＭと基準位置ＭＤとの差が変位ベクトルＤＶである。

解析部１６は、位置計測部１０が計測した複数の被計測部ＭＰの計測位置情報ＩＭＰ、すなわち複数の被計測部ＭＰの変位ベクトルＤＶを解析し、計測位置情報ＩＭＰにフィッティングする参照関数を決定する。すなわち、複数の被計測部ＭＰを含む基板ＷＦのＸＹ面内方向の変形量を表す参照関数を決定する。そして、解析部１６は、決定した参照関数に基づいて、基板ＷＦ上に形成されている既存パターンの位置を推定する。

解析部１６は、参照関数の決定に際し、第１種ベッセル関数を用いて表された基準関数に比例係数を乗じた少なくとも１つの関数の和である参照関数を予め用意しておく。そして、参照関数が複数の被計測部ＭＰの計測位置情報ＩＭＰに対してフィッティングするように、比例係数の値の適値を決定する。基準関数としては、基板ＷＦ上に形成された複数の被計測部ＭＰの基準位置ＭＰである基準位置情報ＩＲＰに対する第１種ベッセル関数で表される関数を使用する。なお、基準関数、参照関数、および参照関数の決定方法、すなわち比例係数の決定方法の詳細については後述する。

制御部１５は、解析部１６が決定した比例係数の適値、およびその他の解析結果を、出力部１８からネットワーク回線ＮＷを経由して、計測装置１とは異なる外部の装置に出力させても良い。
制御部１５は、解析部１６が決定した比例係数の適値、およびその他の解析結果を、表示部１７に表示させても良い。
なお、計測装置１または露光装置２は、出力部１８および表示部１７の少なくとも一方を備えていなくても良い。

基板ＷＦ上の複数の被計測部ＭＰの計測位置ＭＭ、または変位ベクトルＤＶの計測が終了すると、制御部１５は、基板ＷＦが載置されているステージ３０に信号Ｓ３を送り、ステージ３０を投影光学系２２と対向する位置に移動させる。そして、露光装置２は、解析部１６が推定した基板ＷＦ上の既存パターンの位置に基づいてステージ３０の位置を移動させ、すなわち既存パターンの位置に整合させて、マスク２５に形成されているパターンを基板ＷＦ上に露光する。

基板ＷＦ上の既存パターンを第１パターンと呼ぶこともでき、マスク２５に形成されており基板ＷＦに新たに露光されるパターンを第２パターンと呼ぶこともできる。
第１パターンは、基板ＷＦ上の異なる位置に複数形成されていても良く、この場合には、複数のそれぞれの第１パターンに整合させて、基板ＷＦ上の異なる位置に第２パターンを複数露光する。

なお、図１に示した計測装置１においては、計測装置１の制御部１５が露光装置２の制御も行うものとしているが、制御部１５は計測装置１の制御のみを行ない、露光装置２を制御する制御部は、制御部１５とは別に設けられていても良い。

（実施形態の計測方法）
実施形態の解析方法は、基板ＷＦ上に形成された複数の被計測部ＭＰの計測された位置情報である計測位置情報ＩＭＰに対して、後述する参照関数をフィッティングさせることにより、計測位置情報ＩＭＰの特徴を解析するものである。参照関数として、第１種ベッセル関数を用いて表された基準関数に比例係数を乗じた少なくとも１つの関数の和を使用する。

参照関数の計測位置情報ＩＭＰへのフィッティングにより決定された上記の比例係数の適値は、複数の被計測部ＭＰの基準位置ＭＤ（基準位置情報ＩＲＰ）からの変位量のうちの、所定の変形モードに対応する基板ＷＦの変形量を表している。
以下、実施形態の解析方法の具体的な例について説明する。

実施形態の解析方法においては、参照関数を構成する基準関数として、第１種ベッセル関数Ｊ_ｍ(μｒ)を用いた関数を使用する。ここで、ｍは、第１種ベッセル関数の次数を表す添え字であり、ｒは、図２Ａに示したとおり、基板ＷＦの原点Ｏ（中心）から被計測部ＭＰまでの距離である。ただし、数学的な扱いを容易にするために、以下では、ｒは実際の距離ではなく、円形の基板ＷＦの外周において１となるように規格化した値として扱う。一例として、被計測部ＭＰが基板ＷＦの原点Ｏと基板ＷＦの外周上の任意の１点との中間点にあれば、その被計測部ＭＰのｒは、０．５である。
また、μは後述する定数である。

基準関数は、例えば、次の式（５）または式（５）により表される関数である。

ここで、θは、図２Ａに示したとおり、原点Ｏを基準としての＋Ｘ方向から被計測部ＭＰまでの偏角であり、θに第１種ベッセル関数Ｊ_ｍの次数ｍが乗算された値が、式（５）に含まれるcos関数、または式（６）に含まれるsin関数の引数である。換言すれば、基準関数は、一例として、第１種ベッセル関数と、基準位置（原点Ｏ）から被計測部ＭＰへの偏角θに基づく三角関数との積を用いて表される。
上述した定数μは、式（５）および式（６）においては、第１種ベッセル関数Ｊ_ｍの次数ｍ、および任意の自然数ｋを添え字として付加した定数μ_ｍｋとして表している。

図３Ａ、図３Ｂは、基準関数に含まれる第１種ベッセル関数Ｊ_ｍ(μ_ｍｋｒ)の例を示す図である。図３Ａは、添え字ｍおよびｋにより定まる定数μ_ｍｋの値のいくつかの例を示す数表である。図３Ａに示した定数μ_ｍｋの値は、ｒを引数とする第１種ｍ次のベッセル関数Ｊ_ｍ(ｒ)において、ｒが０から増加する際にＪ_ｍ(ｒ)がｋ番目の０以外の極値（極大値または極小値）を取るｒの値である。従って、式（５）および式（６）に含まれるＪ_ｍ(μ_ｍｋｒ)は、ｒ＝１において極値をとる関数となる。

図３Ａの数表においては、ｍについては０から７まで、ｋについては１からｍの値に応じた所定の値までの範囲の、定数μ_ｍｋの値を示している。ただし、定数μ_ｍｋのｍの値は８以上であっても良く、ｋの値も１以上の任意の値であって良い。定数μ_ｍｋの値は、ｍおよびｋを決定すれば、第１種ｍ次のベッセル関数Ｊ_ｍ(ｒ)から容易に算出することができる。
なお、ｍ＝０においては、ｋ＝１の極値、すなわち１番目の極値をとるｒの値は０であり、式（５）および式（６）での使用に適していない。そこで、図３Ａの数表では、ｍ＝０、ｋ＝１の欄には横線を引き、この欄の数値は不適であることを示している。

なお、図３Ａでは、定数μ_ｍｋの値を有効数字６桁以上で表示しているが、定数μ_ｍｋの値は、必ずしも有効数字６桁以上の精度で図３Ａに示した値と一致している必要はない。使用状況、すなわち解析に要求される精度によっては、例えば有効数字２桁で一致していれば十分な場合もあり、例えば有効数字３桁で一致していれば十分な場合もある。

図３Ｂは、添え字ｍおよびｋにより定まる第１種ベッセル関数Ｊ_ｍ(μ_ｍｋｒ)のいくつかを、ｒが０から１までの範囲でグラフとして表した図である。曲線Ｃ０２は、ｍ＝０、ｋ＝２の関数Ｊ_０(μ_０２ｒ)を示す。同様に、曲線Ｃ１１は関数Ｊ_１(μ_１１ｒ)を、曲線Ｃ１２は関数Ｊ_１(μ_１２ｒ)を、曲線Ｃ２１は関数Ｊ_２(μ_２１ｒ)を、曲線Ｃ２２は関数Ｊ_２(μ_２２ｒ)を、曲線Ｃ３１は関数Ｊ_３(μ_３１ｒ)を、曲線Ｃ３２は関数Ｊ_３(μ_３２
ｒ)を、それぞれ示す。

上述したように、図３Ｂに示した各関数は、ｒ＝１において極値（極大値または極小値）を取る。ｋ＝１に対応する関数Ｊ_ｍ(μ_ｍ１ｒ)に相当する曲線Ｃ１１、Ｃ２１，Ｃ３１においては、ｒの増加に伴ってｒ＝１において最初の０以外の極値を取る。ｋ＝２に対応する関数Ｊ_ｍ(μ_ｍ２ｒ)に相当する曲線Ｃ１２、Ｃ２２，Ｃ３２においては、ｒの増加に伴ってｒ＝１において２つめの０以外の極値を取る。

図４は、式（５）または式（６）により表される基準関数のうち、いくつかの添え字ｍおよびｋで表される基準関数の概略値を示す図である。基準関数Ｃ１１ｃは、ｍ＝１、ｋ＝１のＪ_１(μ_１１ｒ)×cos(１θ)を表し、基準関数Ｃ１１ｓは、ｍ＝１、ｋ＝１のＪ_１(μ_１１ｒ)×sin(１θ)を表す。基準関数Ｃ２１ｃは、ｍ＝２、ｋ＝１のＪ_２(μ_２１ｒ)×cos(２θ)を表し、基準関数Ｃ２１ｓは、ｍ＝２、ｋ＝１のＪ_２(μ_２１ｒ)×sin(２θ)を表す。

基準関数Ｃ３１ｃは、ｍ＝３、ｋ＝１のＪ_３(μ_３１ｒ)×cos(３θ)を表し、基準関数
Ｃ３１ｓは、ｍ＝３、ｋ＝１のＪ_３(μ_３１ｒ)×sin(３θ)を表す。基準関数Ｃ２２ｃは
、ｍ＝２、ｋ＝２のＪ_２(μ_２２ｒ)×cos(２θ)を表し、基準関数Ｃ２２ｓは、ｍ＝２、
ｋ＝２のＪ_２(μ_２２ｒ)×sin(２θ)を表す。

図４では、原点Ｏを中心としてｒ＝１を半径とする円の内部において、各基準関数（Ｃ１１ｃ～Ｃ２２ｃ、Ｃ１１ｓ～Ｃ２２ｓ）の値が、正の所定値より大きい領域には「＋」を付し、負の所定値より小さい領域には「－」を付して示している。「＋」も「－」も付されていない領域は、基準関数の値が負の所定値より大きく、正の所定値より小さい、すなわちゼロに近い領域である。

図４に一例を示したとおり、式（５）および式（６）により与えられる基準関数は、その添え字ｍおよびｋの値を適当に選択することにより、その値が半径１の円内で所定の種々の形状で増減する関数となる。従って、これらの基準関数（Ｃ１１ｃ～Ｃ２２ｃ、Ｃ１１ｓ～Ｃ２２ｓ等）の１つにより、または基準関数のいくつかを組合せることにより、例えば円形の基板ＷＦのＸＹ面内方向の仮想的な変形を表現することができる。

以下では、基準関数により表された基板ＷＦの被計測部ＭＰの仮想的な変形量を表すベクトルを仮想変位ベクトルＩＶと呼び、仮想変位ベクトルＩＶのＸ成分、およびＹ成分を、それぞれΔｘ、Δｙとする。ｊ番目（ｊは任意自然数）の被計測部ＭＰの仮想変位ベクトルＩＶjは、ＩＶj＝（Δｘj、Δｘj）である。
仮想変位ベクトルＩＶjのＸ成分Δｘj、およびＹ成分Δｙjは、基準関数を用いて以下
の式（７）、式（８）により表される。

ここで、α1_ｍｋ、α2_ｍｋ、α3_ｍｋ、およびα4_ｍｋは、添え字ｍ、ｋの値によってそれぞれ異なる比例係数である。以下では、比例係数α1_ｍｋ、α2_ｍｋ、α3_ｍｋ、および
α4_ｍｋを、総称して、または個々に、単に比例係数αとも呼ぶ。
また、ｒjは、原点Ｏからｊ番目の被計測部ＭＰjまでの距離であり、θjは、原点Ｏか
らｊ番目の被計測部ＭＰjまでの偏角である。

上述したとおり、本明細書では、式（７）および式（８）に示した如き、第１種ベッセル関数Ｊ_ｍ(μ_ｍｋｒ)を用いて表された基準関数に比例係数αを乗じて得られた少なくとも１つの関数の和を参照関数と呼ぶ。なお、基準関数が１つである場合には、その基準関数自体が参照関数となる。

図５は、一例として、基準関数Ｃ２１ｃを用いてＸ方向の変形量を表し、基準関数Ｃ２１ｓを用いてＹ方向の変形量を表した、円形の基板ＷＦのＸＹ面内方向の仮想的な変形量を示す図である。すなわち、図５に示した例においては、ＩＶj＝（Δｘj、Δｘj）は、
以下の式（９）および式（１０）により表される。

なお、Δｘj、Δｘjを仮想変位ベクトルＩＶj（Δｘj、Δｘj）としてベクトルで表現
し、式（９）および式（１０）を、式（１１）のように１つに纏めて表すこともできる。

比例係数αの値を適当な値（適値）に設定することにより、参照関数を用いて、基板ＷＦの被計測部ＭＰの実際の変形量（変位ベクトルＤＶ）を、近似的に表現することができる。比例係数αの値は、例えば、最小二乗法により決定しても良い。すなわち、基板ＷＦのＮ個の被計測部ＭＰjにおいて、式（９）および式（１０）、または式（１１）のΔｘj、Δｙjを、式（１２）および式（１３）にそれぞれ代入して求まるＥxおよびＥyの値が
最小となるように、比例係数αの適値を設定しても良い。

ここで、ΔＸj、およびΔＹjは、上述したとおり、ｊ番目の被計測部ＭＰの変位ベクトルＤＶjのＸ成分、およびＹ成分である。

あるいは、その他の公知の方法を用いて比例係数αの適値を設定しても良い。
適当な比例係数αを設定することにより、計測位置情報ＩＭＰ、すなわち複数の被計測部ＭＰの計測された位置情報である変位ベクトルＤＶ（ΔＸ，ΔＹ）に対して、式（７）および式（８）に示した参照関数をフィッティングさせることができる。

１つの基準関数に対応して設定された比例係数αの値は、その基準関数で表される変形のモードが、計測位置情報ＩＭＰにどの程度含まれているかを表す指標である。従って、それぞれの基準関数に対応する比例係数αの算出することにより、基板ＷＦの変形に含まれる各種の変形モードの量を解析することができる。

なお、式（７）および式（８）で表された参照関数は、上述した式（１１）のように、Δｘj、Δｘjを仮想変位ベクトルＩＶj（Δｘj、Δｘj）としてベクトルで表現し、以下
の、式（１５）のように記述することもできる。

式（１５）において、β1_ｍｋ、β2_ｍｋ、β3_ｍｋ、およびβ4_ｍｋは、式（７）式および（８）のα1_ｍｋ、α2_ｍｋ、α3_ｍｋ、およびα4_ｍｋと同様に、添え字ｍ、ｋの値によってそれぞれ異なる比例係数である。以下では、比例係数β1_ｍｋ、β2_ｍｋ、β3_ｍｋ、
およびβ4_ｍｋを総称して、または個々に、単に比例係数βとも呼ぶ。
なお、式（１５）において、ｍ＝０の場合には、cos(ｍθ)は常に１となり、sin(ｍθ)は常に０となる。このため、比例係数β1_０ｋと比例係数β3_０ｋとは同符号で重複したものとなり、比例係数β2_０ｋと比例係数β4_０ｋとは逆符号で重複したものとなってしまう。従って、ｍ＝０の場合には、比例係数β2_０ｋおよび比例係数β3_０ｋを、０として扱うと良い。

なお、式（１５）のように記載した場合においても、参照関数は、第１種ベッセル関数を用いて表された基準関数に比例係数を乗じた少なくとも１つの関数の和であることに変わりはない。

式（１５）の比例係数βの値を適当な値に設定することにより、式（１５）で表される１つ以上の参照関数を含む関数を用いて、基板ＷＦの被計測部ＭＰの実際の変形量（変位ベクトルＤＶ）を、近似的に表現することができる。比例係数のβ値は、上述した比例係数のα値と同様に、例えば上述した最小二乗法により決定しても良い。

なお、式（７）および式（８）、または式（１５）で表される参照関数の比例係数α、βの設定に際しては、所定の値の添え字ｍ、ｋに対応する比例係数α、βの値は０であるものとして、決定しても良い。換言すれば、比例係数α、βの決定に際しては、添え字ｍ、ｋの組合せの全てに対応する基準関数に対して、それに対応する比例係数α、βを算出する必要はない。極論すれば、式（９）～式（１１）に示したように、添え字ｍ、ｋの１つの組合せからなる１つの参照関数のみに対して、それに対応する比例係数α、βの値を決定しても良い。

以下、式（１５）で表された参照関数に含まれる基準関数のうち、実際の基板ＷＦの変形を解析する際に重要であるいくつかの基準関数とそれに対応する比例係数を例示する。基板ＷＦの解析に際し、以下に例示する基準関数のうちの少なくとも１つについては、それに対応する比例係数βの値を決定すると良い。

１つめの例は、添え字がｍ＝２、ｋ＝１であって、式（１５）の比例係数β1_ｍｋに対
応する基準関数と、比例係数β2_ｍｋに対応する基準関数との、２つの基準関数である。
式（１５）との対応を判別し易くするために、これらの基準関数に、対応する比例係数β1_２１または比例係数β2_２１をそれぞれ乗じたものを、それぞれ式（１６）、式（１７）に示す。

このうち、式（１６）で表される基板ＷＦの変形は、上述した図５に示した変形である。

２つめの例は、添え字がｍ＝２、ｋ＝２であって、式（１５）の比例係数β1_ｍｋに対
応する基準関数と、比例係数β2_ｍｋに対応する基準関数との、２つの基準関数である。
式（１５）との対応を判別し易くするために、これらの基準関数に、対応する比例係数β1_２２またはβ2_２２をそれぞれ乗じたものを、それぞれ式（１８）、式（１８）に示す。

３つめの例は、添え字がｍ＝１、ｋ＝２であって、式（１５）の比例係数β1_ｍｋに対
応する基準関数と、添え字がｍ＝１、ｋ＝３であって、式（１５）の比例係数β1_ｍｋに
対応する基準関数との、２つの基準関数である。式（１５）との対応を判別し易くするために、これらの基準関数に対応する比例係数β1_１２、または比例係数β1_１３をそれぞれ乗じたものを、それぞれ式（２０）、式（２１）に示す。

４つめの例は、添え字がｍ＝２、ｋ＝１であって、式（１５）の比例係数β3_ｍｋに対
応する基準関数と、比例係数β4_ｍｋに対応する基準関数との、２つの基準関数である。
式（１５）との対応を判別し易くするために、これらの基準関数に、対応する比例係数β3_２１、および比例係数β4_２１を乗じたものを、それぞれ式（２２）、式（２３）に示す。

なお、比例係数α、βを設定する複数の基準関数（Ｃ２１ｃ、Ｃ２１ｓ等）は、原点Ｏを中心とするｒ≦１の円内で相互に直交する関数となるように選定しても良い。例えば、基準関数Ｃ２１ｃと基準関数Ｃ２１ｓとは、原点Ｏを中心とするｒ≦１の円内においてその積を積分した値が０となるので、直交している。

また、比例係数α、βを設定する複数の基準関数にそれぞれ含まれる複数の第１種ベッセル関数Ｊ_ｍ(μ_ｍｋｒ)のうち、添え字ｍおよびｋが異なるものの少なくとも一部、あるいは全ては、原点Ｏを中心とするｒ≦１の円内で相互に直交するものであっても良い。換言すれば、参照関数は、基板ＷＦの面内（ｒ≦１）において相互に直交する２以上の第１種ベッセル関数により表される２以上の基準関数を含むものであっても良い。
なお、２つの第１種ベッセル関数Ｊ_ｍ(μ_ｍｋｒ)が直交するとは、２つの第１種ベッセル関数Ｊ_ｍ(μ_ｍｋｒ)の積を、原点Ｏを中心とするｒ≦１の円内で積分した値が０となることをいう。言い換えれば、２つの第１種ベッセル関数Ｊ_ｍ(μ_ｍｋｒ)の原点Ｏを中心とするｒ≦１の円内で積分することによる内積が０となることをいう。

なお、比例係数α、βの適値の決定において、複数の被計測部ＭＰの計測された位置情報（変位ベクトルＤＶ）から、基板ＷＦの並進ずれ、回転、および一様な伸縮に伴う位置ずれ量を除去した位置情報である残留位置情報を、計測位置情報ＩＭＰとして用いても良い。

ここで、基板ＷＦの並進ずれ、回転、および一様な伸縮に伴う位置ずれ量の算出は、式（２４）から式（２６）に示した一般的な数式を用いて算出することができる。

ここで、式（２４）の中の、ａは基板ＷＦのＸ方向の一様な伸縮、ｄはＹ方向の一様な伸縮、ｂおよびｃは基板ＷＦの回転、ｅは基板ＷＦのＸ方向の並進ずれ、ｙはＸ方向の並進ずれを表すパラメータである。また、Ｘj、Ｙjは、それぞれｊ番目の被計測部ＭＰの基準位置ＭＤのＸ位置、およびＹ位置であり、Ｎは、被計測部ＭＰの個数である。そして、εｘjおよびεｙjは、パラメータａ～ｆにより定まる基板ＷＦの並進ずれ、回転、および一様な伸縮に伴うｊ番目の被計測部ＭＰjの基準位置ＭＤからのＸ位置のずれ量、および
Ｙ位置のずれ量を表す。

式（２４）により表されるεｘjおよびεｙjを、それぞれ式（２５）および式（２６）に代入し、最小二乗法等を用いて、例えばＬxおよびＬyの値が最小になるようにパラメータａ～ｆの値を決定する。そして、決定されたパラメータａ～ｆの値を式（２２）に代入して、Ｎ個の被計測部ＭＰについてそれぞれεｘjおよびεｙjを算出する。
ｊ番目の被計測部ＭＰjの計測された変位ベクトルＤＶj（ΔＸj，ΔＹj）から、基板ＷＦの並進ずれ、回転、および一様な伸縮に伴う位置ずれ量（εｘj，εｙj）を除去した位置情報である残留位置情報は、（ΔＸj－εｘj，ΔＹj－εｙj）として算出される。

上述したように、解析を行う対象である計測位置情報ＩＭＰとして、複数の被計測部ＭＰの計測された位置情報（変位ベクトルＤＶ）に代えて、この残留位置情報（ΔＸj－ε
ｘj，ΔＹj－εｙj）を用いて解析を行っても良い。

（解析方法の変形例）
以下、解析方法の変形例について説明する。ただし、解析方法の変形例は、ほとんどの構成が上述した実施形態の解析方法と共通しているため、以下では相違点について説明を行う。実施形態の解析方法においては、基準関数を構成する第１種ベッセル関数は、いずれもｒ＝１において極値を有するものとした。これに対して、変形例の解析方法においては、基準関数を構成する第１種ベッセル関数は、いずれもｒ＝１において０を取る点が異なっている。

変形例の解析方法においては、参照関数を構成する基準関数として、第１種ベッセル関数Ｊ_ｍ(λ_ｍｋｒ)を用いた関数を使用する。ここでλ_ｍｋは、実施形態の解析方法におけるμ_ｍｋと同様に第１種ベッセル関数Ｊ_ｍの次数ｍ、および任意の自然数ｋを添え字として付加した定数である。
変形例の解析方法で使用する基準関数は、例えば、次の式（２７）または式（２８）により表される関数である。

図６Ａ、図６Ｂは、基準関数に含まれる第１種ベッセル関数Ｊ_ｍ(λ_ｍｋｒ)の例を示す図である。図６Ａは、添え字ｍおよびｋにより定まる定数λ_ｍｋの値のいくつかの例を示す数表である。図６Ａに示した定数λ_ｍｋの値は、ｒを引数とする第１種ｍ次のベッセル関数Ｊ_ｍ(ｒ)において、ｒが０から増加する際（ｒ＝０は含まない）にＪ_ｍ(ｒ)がｋ番目に０を取るｒの値である。従って、式（２７）および式（２８）に含まれるＪ_ｍ(λ_ｍｋ
ｒ)は、ｒ＝１において０をとる関数となる。

図６Ａの数表においては、ｍについては０から７まで、ｋについては１からｍの値に応じた所定の値までの範囲の、定数λ_ｍｋの値を示している。ただし、定数λ_ｍｋのｍの値は８以上であっても良く、ｋの値も１以上の任意の値であって良い。定数λ_ｍｋの値は、ｍおよびｋを決定すれば、第１種ｍ次のベッセル関数Ｊ_ｍ(ｒ)から容易に算出することができる。

図６Ｂは、添え字ｍおよびｋにより定まる第１種ベッセル関数Ｊ_ｍ(λ_ｍｋｒ)のいくつかを、ｒが０から１までの範囲でグラフとして表した図である。曲線Ｂ０１は、ｍ＝０、ｋ＝１の関数Ｊ_０(λ_０１ｒ)を示す。同様に、曲線Ｂ１１は関数Ｊ_１(λ_１１ｒ)を、曲線Ｂ１２は関数Ｊ_１(λ_１２ｒ)を、曲線Ｂ２１は関数Ｊ_２(λ_２１ｒ)を、曲線Ｂ２２は関数Ｊ_２(λ_２２ｒ)を、曲線Ｂ３１は関数Ｊ_３(λ_３１ｒ)を、曲線Ｂ３２は関数Ｊ_３(λ_３２
ｒ)を、それぞれ示す。

上述したように、図６Ｂに示した各関数は、ｒ＝１において０を取る。ｋ＝１に対応する関数Ｊ_ｍ(λ_ｍ１ｒ)に相当する曲線Ｂ１１、Ｂ２１，Ｂ３１においては、ｒの増加に伴って（ｒ＝０を除いて）ｒ＝１において最初に０を取る。ｋ＝２に対応する関数Ｊ_ｍ(λ
_ｍ２ｒ)に相当する曲線Ｂ１２、Ｂ２２，Ｂ３２においては、ｒの増加に伴って（ｒ＝０
を除いて）ｒ＝１において２回目の０を取る。

変形例の解析方法においては、参照関数として、上述した式（７）および式（８）、または式（１５）について、それに含まれる比例係数μ_ｍｋを比例係数λ_ｍｋに置き換えた式を用いればよい。そして、上述した実施形態の解析方法と同様に、例えば最小二乗法を用いることで、比例係数α、βの適値を決定すれば良い。

変形例の解析方法では、参照関数を構成する基準関数が、ｒ＝１において、すなわち基板ＷＦの外周において０である。換言すれば、基準関数に含まれる第一種ベッセル関数が基板ＷＦの周縁に配置された被計測部ＭＰの基準位置情報ＩＲＰに対して０を取る関数である。このため、基板ＷＦの外周近傍での変形の影響、すなわち基板ＷＦの外周近傍に配置されている被計測部ＭＰの変位ベクトルＤＶの影響をあまり受けずに、比例係数α、βの値を決定することができる。

一方、上述した実施形態の解析方法では、参照関数を構成する基準関数に含まれる第一種ベッセル関数が、ｒ＝１において、すなわち基板ＷＦの外周において極値を取る。換言すれば、基準関数に含まれる第一種ベッセル関数が基板ＷＦの周縁に配置された被計測部ＭＰの基準位置情報ＩＲＰに対して極値を取る関数である。このため、基板ＷＦの外周においては、ｒの変動に対する基準関数の値の変動が小さい。これにより、基板ＷＦの外周近傍に配置されている被計測部ＭＰの変位ベクトルＤＶの局所的な変動の影響をあまり受けずに、比例係数α、βの値を決定することができる。

なお、参照関数を構成する第１種ベッセル関数Ｊ_ｍ(κｒ)は、必ずしもｒ＝１において、極値または０を取る関数でなくても良い。すなわち、比例係数κは、上述したμ_ｍｋ、またはλ_ｍｋ以外の値であっても良い。

上述した実施形態の解析方法または変形例の解析方法のいずれにおいても、参照関数として第１種ベッセル関数のみを使用するのではなく、他の参照関数と組み合わせてもよい。例えば、ツェルニケ多項式を基準関数として用いた参照関数と併用してもよい。この場合、低次成分はツェルニケ多項式を基準関数とした参照関数を用いてフィッティングを行い、高次成分は第１種ベッセル関数を基準関数とした参照関数を用いてフィッティングを行うことができる。

（実施形態の計測方法）
以下、実施形態の計測方法について説明する。実施形態の計測方法は、基板ＷＦ上に形成された複数の被計測部ＭＰの位置を計測して、被計測部ＭＰの計測位置情報ＩＭＰ、すなわち複数の被計測部ＭＰの変位ベクトルＤＶを得る。そして、上述した解析方法により、式（７）および式（８）、または式（１５）に示した参照関数に含まれる比例係数α、βの適値を算出するものである。

被計測部ＭＰの位置を計測する方法については、上述した実施形態の計測装置および露光装置の説明において説明しているため、ここでは再度の説明は省略する。また、参照関数および比例係数α、βの適値の算出方法についても、上述した実施形態および変形例の解析方法の説明において説明しているため、ここでは再度の説明は省略する。

（実施形態の露光方法）
以下、図７を参照して、実施形態の露光方法について説明する。図７は、その外縁を破線の四角形で示した第１パターンＡ１が複数形成されている基板ＷＦを示す図である。第１パターンＡ１の破線で示した外縁の内側には、不図示の微細パターンが複数形成されている。基板ＷＦ上には、第１パターンＡ１に対して所定の位置関係となる位置に、複数の被計測部ＭＰが形成されている。

実施形態の露光方法は、上述した実施形態の計測方法により、基板ＷＦ上の複数の被計測部ＭＰの位置を計測して、被計測部ＭＰの計測位置情報ＩＭＰを取得するとともに、上述した参照関数の中の少なくとも１つの比例係数α、βの適値を算出する。そして、取得した計測位置情報ＩＭＰ、および少なくとも１つの比例係数の適値に基づいて、基板ＷＦ上に複数の被計測部ＭＰに対して所定の位置関係で形成されている第１パターンＡ１の位置を推定する。

第１パターンＡ１の位置は、比例係数α、βの適値を代入した参照関数と、第１パターンＡ１の設計上の位置データ（ＡＸ，ＡＹ）に基づいて推定する。すなわち、式（７）および式（８）、または式（１５）に示した参照関数の比例係数α、βに適値を代入する。この参照関数のｒjおよびθjに、ｊ番目の第１パターンＡ１jの極座標における設計上の
位置（Ａｒj，Ａθj）の値をそれぞれ入力することで、その設計上の位置からのＸ方向の位置ずれ量Δｘj、およびＹ方向の位置ずれ量Δｙjが算出（推定）される。

従って、ｊ番目の第１パターンＡ１jのＸＹ座標における推定位置は、ｊ番目の第１パ
ターンＡ１jのＸＹ座標における設計上の位置（ＡＸj，ＡＹj）に上述したΔｘjおよびΔｙjを加えた、推定位置（ＡＸj＋Δｘj，ＡＹj＋Δｙj）である。
そして、推定した第１パターンＡ１の推定位置に基づいて、基板ＷＦ上に、第１パターンＡ１に位置整合するように不図示の第２パターンを露光する。

なお、式（２４）等を用いて、基板ＷＦの並進ずれ、回転、および一様な伸縮に伴う位置ずれ量を除去した後に、比例係数α、βの適値の決定を行った場合には、上述した第１パターンＡ１の推定位置（ＡＸj＋Δｘj，ＡＹj＋Δｙj）に対して、補正が必要である。

この補正は、上記のように決定されたパラメータａ～ｆの値が代入された式（２４）にｊ番目の第１パターンＡ１jのＸＹ座標における設計上の位置（ＡＸj，ＡＹj）を代入し
てεｘjおよびεｙjを算出する。そして、このεｘjおよびεｙjを、上述した第１パターンＡ１推定位置に加算すればよい。すなわち、補正後の第１パターンＡ１の推定位置は、推定位置（ＡＸj＋Δｘj＋εｘj，ＡＹj＋Δｙj＋εｙj）となる。

実施形態の露光方法は、一例として、上述した実施形態の露光装置２を用いて行うことができる。一例として、実施形態の露光方法において基板ＷＦに露光される第２パターンは、マスク２５に形成されたパターン原版を、投影光学系２２を介して基板ＷＦに露光するものである。

（実施形態の計測装置および露光装置についての追加説明）
実施形態の計測装置１および露光装置２についての追加事項を説明する。
制御部１５は、比例係数α、βの適値を適用（代入）した参照関数による、計測位置情報ＩＭＰのフィッティング結果をベクトル図として表示させても良い。ここでベクトル図とは、図７に示したように、基板ＷＦ上の複数の被計測部ＭＰの変形量を、それぞれの被計測部ＭＰの基準位置ＭＤを基準(始点)とするベクトルで表示した図である。このとき、ベクトルを表すスケールは、被計測部ＭＰの位置を表すスケールに比べて、大きく拡大されたものであっても良い。

表示部１７に表示されるベクトル図は、フィッティングされた参照関数により算出されるそれぞれの被計測部ＭＰの仮想の変形量を表すベクトル図であっても良い。あるいは、それぞれの被計測部ＭＰの実際の変形量（変位ベクトルＤＶ）と、フィッティングされた参照関数により算出されるそれぞれの被計測部ＭＰの仮想の変形量との差分を表すベクトル図であっても良い。

なお、制御部１５は、ネットワーク回線ＮＷを経由して、解析を行った基板ＷＦの処理の履歴に関する情報を取得し、その履歴に関する情報と、解析部１６が行った解析結果との関連を解析するようにしてもよい。例えば、基板ＷＦが計測装置１に搬入される前に使用された、計測装置１とは異なる外部の処理装置（エッチング装置、蒸着装置、ＣＭＰ（Ｃｈｅｍｉｃａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｐｌａｎａｒｉｚａｔｉｏｎ）など）の処理パラメータと、解析部１６が決定した比例係数の適値との相関を取り、当該処理装置にフィードバックして処理パラメータを変更、最適化してもよい。処理パラメータとしては、例えば、処理装置でのプロセス処理において基板ＷＦに加える温度や、ＣＭＰにおける研磨速度などを変更、最適化してよい。このような相関性の解析とフィードバックは、必ずしも制御部１５や解析部１６が行う必要はなく、計測装置１や外部の処理装置と別に設けられたホストコンピュータが実行してもよい。

更に、解析部１６が決定した比例係数の適値を継続的にモニターしておき、あらかじめ設定した閾値を外れた場合には警告を発してもよい。警告によって外部の処理装置の異常を検出することができる。例えば、エッチング装置の電極の劣化（寿命）を推定することができる。また、閾値を外れた基板ＷＦの履歴にフラグを付したりしてもよい。

（実施形態の露光装置についての追加説明）
実施形態の露光装置２についての追加事項を説明する。
実施形態の露光装置２は、上述した実施形態の計測方法により得られた計測結果（比例係数α、β）に基づいて、基板搬送装置４０（ロードガイド４１、ロードアーム４２、基板チャック部３１）の動作状態を決定する。基板搬送装置４０の動作状態とは、例えば、基板ＷＦをステージ３０上の基板チャック部３１に載置する際の基板ＷＦの基板チャック部３１に対する移動速度、または基板ＷＦと基板チャック部３１との相対的な傾斜である。

基板搬送装置４０の動作状態は、基板ＷＦを基板チャック部３１に保持するための保持力の発生のタイミングであっても良い。保持力の発生のタイミングの変更は、基板チャック部３１の概ね全面に渡って保持力を発生させるタイミングを基板ＷＦの載置のタイミングに対して変更するものであっても良い。あるいは、基板チャック部３１の所定の部分の保持力の発生のタイミングを他の部分の保持力の発生のタイミングに対して前後させるものであっても良い。

これらの動作状態は、露光装置２の制御部１５等に記憶されている装置定数の値を変更することにより、変更される。従って、露光装置２は、実施形態の計測方法により得られた計測結果（比例係数α、β）に基づいて、基板搬送装置４０の動作を規定する装置定数を定める、ということができる。

これらの装置定数を変更することにより、基板チャック部３１に対して基板ＷＦが吸着される状態を変更することができ、吸着による基板ＷＦの変形の状態を変更することができる。上述したように、この装置定数は、基板ＷＦをステージ３０に載置する際の基板ＷＦの移動速度、基板ＷＦとステージ３０との相対的な傾斜、または基板ＷＦをステージ３０に保持するための保持力発生のタイミングを決定する装置定数のいずれか一つを含む。

なお、装置定数の変更は、基板ＷＦをステージ３０（基板チャック部３１）に吸着した状態で、実施形態の計測方法により比例係数α、βを決定した後に、基板ＷＦを基板チャック部３１から除去し、再度基板ＷＦを基板チャック部３１に吸着する前に行っても良い。

所定枚数の基板ＷＦからなる１ロットの基板を露光する際には、最初の１枚目の基板ＷＦにおいて上述のように決定された装置定数を用いて、２枚目以降の基板ＷＦを露光しても良い。

（解析装置の実施形態）
上述した露光装置２または計測装置２に含まれている解析部１５は、露光装置２または計測装置２とは別の解析装置に組み込まれていても良い。
図８は、実施形態の解析装置３の構成を概略的に示す図である。解析装置３は、上述した解析部１６、表示部１７、出力部１８、および位置算出部１３に加えて、入力部１９を備えている。
なお、露光装置２または計測装置２とは別に構成されている解析装置３においては、上述した位置算出部１３または表示部１７の少なくとも一方は含まなくても良い。

解析装置３は、基板ＷＦ上に形成された複数の被計測部の計測された位置情報である計測位置情報ＩＭＰが入力部１９から入力され、解析部１６が算出した適値を出力部１８から露光装置、計測装置、あるいは表示装置などの外部装置に出力する。入力部１９への計測位置情報ＩＭＰの入力はネットワーク回線ＮＷを経由して行なっても良く、外部装置との間に設けた専用の信号線を経由して行なっても良い。出力部１８から外部装置への出力も、ネットワーク回線ＮＷを経由して行なっても良く、外部装置との間に設けた専用の信号線を経由して行なっても良い。
入力部１９と出力部１８は入出力部として一体で構成されていても良い。
解析装置３は、解析結果としての適値だけではなく、上述した各種のベクトル図に対応するデータや、その他の処理結果も、併せて出力しても良い。

（実施形態および変形例の解析方法の効果）
（１）実施形態または変形例の解析方法は、基板ＷＦ上に形成された複数の被計測部ＭＰの計測された位置情報である計測位置情報ＩＭＰを用意すること、第１種ベッセル関数を用いて表された基準関数に比例係数を乗じた少なくとも１つの関数の和である参照関数を計測位置情報ＩＭＰに対してフィッティングして、少なくとも１つの比例係数の適値を算出すること、を備えている。
この構成により、基板ＷＦの変形を基準関数に対応する変形成分に容易に分離することができ、基準関数に対応する変形モードでの変形量を解析することができる。

（実施形態の解析装置の効果）
（２）実施形態の解析装置３は、基板ＷＦ上に形成された複数の被計測部の計測された位置情報である計測位置情報ＩＭＰを入力する入力部１９と、位置計測部が計測した被計測部ＭＰの計測位置情報ＩＭＰを解析する解析部１６と、算出した比例係数の適値を少なくとも含む解析結果を外部の装置に出力する出力部１８と、を備えている。そして、解析部１６は、上述した実施形態または変形例の解析方法により、少なくとも１つの比例係数の適値を算出する。
この構成により、基板ＷＦの変形を基準関数に対応する変形成分に容易に分離することができ、基準関数に対応する変形モードでの変形量を解析することができる。

（実施形態の計測方法の効果）
（３）実施形態の計測方法は、基板ＷＦ上に形成された複数の被計測部ＭＰの位置を計測して、被計測部ＭＰの計測位置情報ＩＭＰを得ること、実施形態または変形例の解析方法により、第１種ベッセル関数を用いて表された基準関数に比例係数を乗じた少なくとも１つの関数の和である参照関数における、少なくとも１つの比例係数の適値を算出すること、を備えている。
この構成により、基板ＷＦの変形を、基準関数に対応するそれぞれの変形成分毎に計測することができる。

（実施形態の計測装置の効果）
（４）実施形態の計測装置１は、基板ＷＦ上に形成された被計測部ＭＰの位置を計測する位置計測部１０と、位置計測部１０が計測した被計測部ＭＰの計測位置情報ＩＭＰを解析する解析部１６とを備え、解析部１６は、実施形態または変形例の解析方法により、第１種ベッセル関数を用いて表された基準関数に比例係数を乗じた少なくとも１つの関数の和である参照関数における、少なくとも１つの比例係数の適値を算出する。
この構成により、基板ＷＦの変形を、基準関数に対応するそれぞれの変形成分毎に計測することができる。

（実施形態の露光方法の効果）
（５）実施形態の露光方法は、実施形態の計測方法により、基板ＷＦ上の複数の前記被計測部ＭＰの位置を計測して、被計測部の計測位置情報ＩＭＰを取得するとともに、第１種ベッセル関数を用いて表された基準関数に比例係数を乗じた少なくとも１つの関数の和である参照関数における、少なくとも１つの比例係数の適値を算出する。そして、取得した計測位置情報ＩＭＰ、および少なくとも１つの比例係数の適値に基づいて、基板ＷＦ上に複数の被計測部ＭＰに対して所定の位置関係で形成されている第１パターンＡ１の位置を推定し、推定した前記第１パターンの位置に基づいて、基板ＷＦ上に第２パターンを露光する。
この構成により、変形した基板ＷＦの上に形成されている第１パターンＡ１に対して、位置を整合させて第２パターンを露光することができる。

（実施形態の露光装置の効果）
（６）実施形態の露光装置２は、１つの観点からは、基板ＷＦ上に形成された被計測部ＭＰの位置を計測する位置計測部１０と、基板ＷＦ上に所望のパターンを露光する露光光学系２０と、を備え、実施形態の露光方法を行う。
この構成により、変形した基板ＷＦの上に被計測部ＭＰと所定の位置関係で形成されている第１パターンＡ１に対して、位置を整合させて第２パターンを露光することができる。
（７）実施形態の露光装置２は、他の１つの観点からは、被計測部ＭＰが形成された基板ＷＦを載置して移動するステージ３０と、基板ＷＦを搬送しステージ３０に載置する基板搬送装置４０とを備えて基板ＷＦ上に所望のパターンを露光する露光装置２において、実施形態の計測方法により得られた計測結果に基づいて、基板搬送装置４０の動作を規定する装置定数を定める。
この構成により、基板ＷＦの変形を低減させた状態で、基板ＷＦをステージ３０に載置することができ、基板ＷＦの上に形成されている第１パターンＡ１に対して、位置をより整合させて第２パターンを露光することができる。

本発明は以上の内容に限定されるものではない。本発明の技術的思想の範囲内で考えられるその他の態様も本発明の範囲内に含まれる。本実施形態は、上記した態様の全て又は一部を組み合わせてもよい。

１：計測装置、２：露光装置、３：解析装置、１０：位置計測部、１１：マーク検出部、１２：エンコーダーヘッド、１３：位置算出部、１５：制御部、１６：解析部、１７：表示部、１８：出力部、２０：露光光学系、２１：照明光学系、２２：投影光学系、２３：エンコーダーヘッド、２４：マスクステージ、２５：マスク、４０：基板搬送装置、ＷＦ：基板、ＭＰ：被計測部、ＭＭ：計測位置、ＭＤ：基準位置、ＤＶ：変位ベクトル、ＩＲＰ：基準位置情報、ＩＭＰ：計測位置情報

Claims (22)

1. 基板上に形成された複数の被計測部の計測された位置情報である計測位置情報を用意すること、
   第１種ベッセル関数を用いて表された基準関数に比例係数を乗じた少なくとも１つの関数の和である参照関数を前記計測位置情報に対してフィッティングして、少なくとも１つの前記比例係数の適値を算出すること、
   を備え、
   前記基準関数は、前記基板の基準位置から前記被計測部までの距離に対する第１種ベッセル関数と、前記基準位置から前記被計測部への偏角に基づく三角関数との積で表される、解析方法。
2. 請求項１に記載の解析方法において、
   前記基準関数に含まれる前記第１種ベッセル関数は、前記基板の周縁に配置された前記被計測部の基準位置情報に対して極値を取る関数である、解析方法。
3. 基板上に形成された複数の被計測部の計測された位置情報である計測位置情報を用意すること、
   第１種ベッセル関数を用いて表された基準関数に比例係数を乗じた少なくとも１つの関数の和である参照関数を前記計測位置情報に対してフィッティングして、少なくとも１つの前記比例係数の適値を算出すること、
   を備え、
   前記基準関数は、前記基板の基準位置から前記被計測部までの距離に対する第１種ベッセル関数を用いて表され、
   前記第１種ベッセル関数は、前記基板の周縁に配置された前記被計測部の基準位置情報に対して極値を取る関数である、解析方法。
4. 請求項３に記載の解析方法において、
   前記基準関数は、前記第１種ベッセル関数と、前記基準位置から前記被計測部への偏角に基づく三角関数との積を用いて表される、解析方法。
5. 請求項２または３に記載の解析方法において、
   前記基準関数として、前記基準位置から前記被計測部までの距離ｒに定数μを乗じた値を引数とするｍ次の第１種ベッセル関数Ｊｍ（μｒ）（ｍは自然数）と、前記基準位置から前記被計測部への偏角θのｍ倍の角度を引数とするcos関数およびcos関数からなる２次
   元のベクトルと、の積として、それぞれ以下の２つの式のいずれかにより示される２つの関数を含む、解析方法。
   

   

   
6. 請求項５に記載の解析方法において、
   前記ｍは２であり、
   前記定数μは、距離ｒが０から増加する際に前記基板の周縁に対応する距離ｒにおいて、２次の第１種ベッセル関数Ｊ２（μｒ）が１個目の０でない極値を取るように設定されている、解析方法。
7. 請求項５に記載の解析方法において、
   前記ｍは２であり、
   前記定数μは、距離ｒが０から増加する際に前記基板の周縁に対応する距離ｒにおいて、２次の第１種ベッセル関数Ｊ２（μｒ）が２個目の０でない極値を取るように設定されている、解析方法。
8. 請求項２または３に記載の解析方法において、
   前記基準関数として、前記基準位置から前記被計測部までの距離ｒに定数μ１を乗じた値を引数とする１次の第１種ベッセル関数Ｊ１（μ１ｒ）、および前記基準位置から前記被計測部までの距離ｒに定数μ２を乗じた値を引数とする１次の第１種ベッセル関数Ｊ１（μ２ｒ）に、前記基準位置から前記被計測部への偏角θを引数とするcos関数およびcos関数からなる２次元のベクトルをそれぞれ乗じた２つの関数であって、それぞれ以下の２つの式のいずれかにより示される２つの関数を含み、
   前記定数μ１は、距離ｒが０から増加する際に前記基板の周縁に対応する距離ｒにおいて、１次の第１種ベッセル関数Ｊ１（μ１ｒ）が２個目の０でない極値を取るように設定され、
   前記定数μ２は、距離ｒが０から増加する際に前記基板の周縁に対応する距離ｒにおいて、１次の第１種ベッセル関数Ｊ１（μ２ｒ）が３個目の０でない極値を取るように設定されている、解析方法。
   

   

   
9. 請求項２または３に記載の解析方法において、
   前記基準関数として、前記基準位置から前記被計測部までの距離ｒに定数μを乗じた値を引数とする２次の第１種ベッセル関数Ｊ２（μｒ）と、前記基準位置から前記被計測部への偏角θの２倍の角度を引数とするcos関数およびcos関数からなる２次元のベクトルと、の積として、それぞれ以下の２つの式のいずれかにより示される２つの関数を含み、
   前記定数μは、距離ｒが０から増加する際に前記基板の周縁に対応する距離ｒにおいて、２次の第１種ベッセル関数Ｊ２（μｒ）が１個目の０でない極値を取るように設定されている、解析方法。
   

   

   
10. 請求項２または３に記載の解析方法において、
    前記基準関数に含まれる前記第１種ベッセル関数は、前記基板の周縁に配置された前記被計測部の前記基準位置情報に対して０となる関数である、解析方法。
11. 請求項１または３に記載の解析方法において、
    前記参照関数は、前記基板の面内において相互に直交する２以上の前記第１種ベッセル関数により表される２以上の前記基準関数を含む、解析方法。
12. 請求項１または３に記載の解析方法において、
    前記計測位置情報として、複数の前記被計測部の計測された位置情報から、前記基板の並進ずれ、回転および一様な伸縮に伴う位置ずれ量を除去した位置情報である残留位置情報を用いる、解析方法。
13. 基板上に形成された複数の被計測部の計測された位置情報である計測位置情報を入力する入力部と、
    位置計測部が計測した前記被計測部の計測位置情報を解析する解析部と、
    算出した前記比例係数の適値を少なくとも含む解析結果を外部の装置に出力する出力部と、を備え、
    前記解析部は、請求項１または３に記載の解析方法により、少なくとも１つの前記比例係数の適値を算出する解析装置。
14. 基板上に形成された複数の被計測部の位置を計測して、前記被計測部の計測位置情報を得ること、
    請求項１に記載の解析方法により、少なくとも１つの前記比例係数の適値を算出すること、
    を備える、計測方法。
15. 基板上に形成された被計測部の位置を計測する位置計測部と、
    前記位置計測部が計測した前記被計測部の計測位置情報を解析する解析部と、を備え、
    前記解析部は、請求項１または３に記載の解析方法により、
    少なくとも１つの前記比例係数の適値を算出する、計測装置。
16. 請求項１５に記載の計測装置において、
    算出した前記比例係数の適値を少なくとも含む解析結果を当該計測装置とは異なる外部の装置に出力する出力部を備える、計測装置。
17. 請求項１５に記載の計測装置において、
    算出した前記比例係数の適値を少なくとも含む解析結果を表示する表示部を備える、計測装置。
18. 請求項１７に記載の計測装置において、
    前記表示部は、前記比例係数の適値を適用した前記参照関数によるフィッティング結果をベクトル図として表示する、計測装置。
19. 請求項１４に記載の計測方法により、前記基板上の複数の前記被計測部の位置を計測して、前記被計測部の計測位置情報を取得するとともに、少なくとも１つの前記比例係数の適値を算出すること、
    取得した前記計測位置情報、および少なくとも１つの前記比例係数の前記適値に基づいて、前記基板上に複数の前記被計測部に対して所定の位置関係で形成されている第１パターンの位置を推定すること、
    推定した前記第１パターンの位置に基づいて、前記基板上に第２パターンを露光すること、
    を備える、露光方法。
20. 基板上に形成された被計測部の位置を計測する位置計測部と、
    前記基板上に所望のパターンを露光する露光光学系と、を備え、
    請求項１９に記載の露光方法を行う、露光装置。
21. 被計測部が形成された基板を載置して移動するステージと、
    前記基板を搬送し前記ステージに載置する基板搬送装置と、を備えて前記基板上に所望のパターンを露光する露光装置において、
    請求項１４に記載の計測方法により得られた計測結果に基づいて、前記基板搬送装置の動作を規定する装置定数を定める、露光装置。
22. 請求項２１に記載の露光装置において、前記装置定数は、前記基板を前記ステージに載置する際の前記基板の移動速度、前記基板と前記ステージとの相対的な傾斜、または前記基板を前記ステージに保持するための保持力発生のタイミング、のいずれか一つを含む、
    露光装置。

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