JP7633521B2 - プログラム、推論方法および情報処理装置 - Google Patents

Description

本発明はプログラム、推論方法および情報処理装置に関する。

コンピュータシミュレーションの１つに構造解析シミュレーションがある。構造解析シミュレーションは、物体の形状と物体に付与される力とから、物体の変形を算出することがある。また、コンピュータシミュレーションは、数値解析法として有限要素法（ＦＥＡ：Finite Element Method）を使用することがある。

例えば、有限要素法は、物体が存在する空間に複数の節点（ノード）を配置し、節点間を接続するエッジ（辺）によって空間を小領域に分割する。有限要素法は、物理量を示す変数を各節点に割り当て、物理法則を示す支配方程式に従って、節点間の関係を離散的に表現した係数行列を算出する。また、有限要素法は、境界条件に基づいて右辺ベクトルを算出する。有限要素法は、係数行列と右辺ベクトルとによって規定される連立方程式を、共役勾配法（ＣＧ：Conjugate Gradient）などの反復法によって解く。

有限要素法を使用して物体の変形を算出する構造解析シミュレーションは、変位量を示す変数を各節点に割り当てる。変位量と力との間の関係は、剛性マトリクスと変位ベクトルとの積が力ベクトルに一致するという連立方程式で表現される。そこで、構造解析シミュレーションは、支配方程式と境界条件とに基づいて剛性マトリクスと力ベクトルとを算出し、連立方程式を解いて変位ベクトルを算出する。

なお、メッシュデータから有限要素法によって剛性マトリクスと荷重ベクトルを算出し、剛性マトリクスと荷重ベクトルから係数行列Ａと右辺ベクトルｆを生成し、Ａｘ＝ｆを満たす解ベクトルｘを算出するシステムが提案されている。また、主成分分析（ＰＣＡ：Principal Component Analysis）によって次元数を削減し、高次導関数をニューラルネットワークで近似するサロゲートモデル生成方法が提案されている。

また、幾何データと境界条件から多層ニューラルネットワークを用いて近似解を算出し、近似解を変数に代入して有限要素法ソルバをウォームスタートさせる有限要素法シミュレーションが提案されている。また、異なる幾何データのシミュレーション結果を訓練データとして用いて機械学習を行い、材料特性を修正しながら有限要素法を実行する構造解析シミュレーションが提案されている。

米国特許第５７５４１８１号明細書 特開２０１６－１４６１６９号公報 米国特許出願公開第２０１７／００３２０６８号明細書 特開２０２１－２３４２号公報

大規模連立方程式を反復法によって解く線形ソルバは、計算量が大きく実行時間が長くなることがある。そこで、物体の変形を算出する構造解析シミュレーションは、厳密な有限要素法によらずに、各節点の変位量を簡易的に推論することが考えられる。変位量の推論には、節点間での特徴量の畳み込み演算を使用することが考えられる。例えば、畳み込み演算を行う畳み込みニューラルネットワークなどの推論モデルが使用されてもよい。

この場合、どの様な入力データから変位量を推論すればよいかが重要となる。入力データの規定方法によっては、実用的な精度で変位量を推論することが難しいことがある。例えば、有限要素法の入力データである境界条件データから各節点の変位量を直接的に推論しようとすると、推論精度が低くなることがある。そこで、１つの側面では、本発明は、構造解析シミュレーションを高速化することを目的とする。

１つの態様では、以下の処理をコンピュータに実行させるプログラムが提供される。複数の節点と複数の節点を接続する複数のエッジとを含むメッシュデータと、メッシュデータが示す物体に与える力を示す境界条件データとに基づいて、複数のエッジに対応する複数の剛性の値を含む剛性マトリクスと、複数の節点に対応する複数の力の値を含む力ベクトルとを算出する。剛性マトリクスと力ベクトルとから特徴データを生成する。メッシュデータが示す複数の節点の接続関係に従って、特徴データに対して畳み込み演算を行うことで、複数の節点に対応する複数の変位量を推論する。

また、１つの態様では、コンピュータが実行する推論方法が提供される。また、１つの態様では、記憶部と処理部とを有する情報処理装置が提供される。

１つの側面では、構造解析シミュレーションを高速化できる。

第１の実施の形態の情報処理装置を説明するための図である。 第２の実施の形態の情報処理装置のハードウェア例を示す図である。 ホイールのシミュレーション結果の例を示す図である。 有限要素法のシミュレーション空間の例を示す図である。 グラフ畳み込みネットワークによる変位量予測の例を示す図である。 第２の実施の形態の変位量予測のデータフロー例を示す図である。 メッシュデータと剛性マトリクスと力ベクトルの構造例を示す図である。 節点特徴ベクトルとエッジ特徴ベクトルの構造例を示す図である。 剛性マトリクスと力行列の連結例を示す図である。 グラフ畳み込み演算の例を示す図である。 第２の実施の形態のグラフ畳み込みネットワークの例を示す図である。 節点数に応じた最適層数と最適特徴数の例を示すグラフである。 構造解析シミュレーションの実行時間の例を示すグラフである。 カンチレバーのシミュレーション結果の例を示す図である。 情報処理装置の機能例を示すブロック図である。 第２の実施の形態のモデル生成の手順例を示すフローチャートである。 第２の実施の形態の変位量予測の手順例を示すフローチャートである。 第３の実施の形態の変位量予測のデータフロー例を示す図である。 特徴行列の正規化と主成分分析の例を示す図である。 第３の実施の形態のグラフ畳み込みネットワークの例を示す図である。 節点数に応じた節点当たり特徴数の例を示す図である。 第３の実施の形態のモデル生成の手順例を示すフローチャートである。 第３の実施の形態の変位量予測の手順例を示すフローチャートである。

以下、本実施の形態を図面を参照して説明する。
［第１の実施の形態］
第１の実施の形態を説明する。

図１は、第１の実施の形態の情報処理装置を説明するための図である。
情報処理装置１０は、付与される力に応じた物体の変形を解析する構造解析シミュレーションを実行する。情報処理装置１０は、有限要素法に従って生成される大規模連立方程式を直接解く代わりに、ニューラルネットワークなどのモデルを用いて解を推論する。情報処理装置１０は、クライアント装置でもよいしサーバ装置でもよい。情報処理装置１０が、コンピュータ、推論装置またはシミュレーション装置と呼ばれてもよい。

情報処理装置１０は、記憶部１１および処理部１２を有する。記憶部１１は、ＲＡＭ（Random Access Memory）などの揮発性半導体メモリでもよいし、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）やフラッシュメモリなどの不揮発性ストレージでもよい。処理部１２は、例えば、ＣＰＵ（Central Processing Unit）、ＧＰＵ（Graphics Processing Unit）、ＤＳＰ（Digital Signal Processor）などのプロセッサである。ただし、処理部１２が、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）やＦＰＧＡ（Field Programmable Gate Array）などの特定用途の電子回路を含んでもよい。プロセッサは、例えば、ＲＡＭなどのメモリ（記憶部１１でもよい）に記憶されたプログラムを実行する。プロセッサの集合が、マルチプロセッサまたは単に「プロセッサ」と呼ばれてもよい。

記憶部１１は、メッシュデータ１３と境界条件データ１４とを記憶する。メッシュデータ１３は、物体の形状を表しており、複数の節点とそれら節点を接続する複数のエッジとを含む。メッシュデータ１３は、節点およびエッジによって、物体が存在する空間を複数の小領域に分割する。物体が存在する空間は、二次元平面でもよいし三次元空間でもよい。小領域の形状は、三角形、四角形、四面体、六面体などである。メッシュデータ１３は、物体の外形を表すＣＡＤ（Computer Aided Design）データから、メッシュ生成ソフトウェアによって自動的に生成されてもよい。

境界条件データ１４は、メッシュデータ１３が示す物体に与える力を示す。物体の外から与えられる力は、荷重または外力と呼ばれてもよい。境界条件データ１４は、物体表面のうち力が与えられる範囲、力の方向および力の大きさを規定してもよい。例えば、境界条件データ１４は、物体上面に対して下方向に力ｆｚが付与されることを規定する。

処理部１２は、メッシュデータ１３と境界条件データ１４とに基づいて、剛性マトリクス１５（剛性マトリクスＡ）と力ベクトル１６（力ベクトルｂ）とを算出する。剛性マトリクス１５および力ベクトル１６は、有限要素法でも使用される行列およびベクトルである。有限要素法は、Ａｘ＝ｂという連立方程式を満たす変位ベクトル１７（変位ベクトルｘ）を、共役勾配法などの反復法によって算出する。後述するように、処理部１２は、この連立方程式を直接解く代わりに、変位ベクトル１７を簡易的に推論する。

剛性マトリクス１５は、メッシュデータ１３が示す複数のエッジに対応する離散化された複数の剛性の値を含む。例えば、剛性マトリクス１５の行は節点に対応し、剛性マトリクス１５の列は節点に対応し、行と列の交点は２つの節点を接続するエッジに対応する。処理部１２は、例えば、エッジで接続された２つの節点の座標と、材質と、力に応じた物体の変形に関する支配方程式とから、当該２つの節点の間の剛性の値を算出する。例えば、処理部１２は、節点間の長さ、断面積、弾性率などのパラメータを使用する。また、例えば、処理部１２は、全ての力を合成するとゼロになることを示すつり合い方程式、歪み変位関係式および応力歪み関係式を、支配方程式として使用する。

力ベクトル１６は、メッシュデータ１３が示す複数の節点に対応する離散化された複数の力の値を含む。力ベクトル１６は、応力ベクトル、外力ベクトルまたは荷重ベクトルと呼ばれてもよい。例えば、処理部１２は、境界条件データ１４に基づいて、複数の節点それぞれにかかる力を算出する。境界条件データ１４で指定された範囲の外側にある節点の力の値は、ゼロであってもよい。また、物体の内側にある内部節点の力の値は、ゼロであってもよい。境界条件データ１４で指定された範囲内にある物体表面の節点の力の値は、境界条件データ１４で指定された力を表してもよい。

変位ベクトル１７は、メッシュデータ１３が示す複数の節点に対応する離散化された複数の変位量を含む。変位量は、物体に力が加わることで節点が移動した量である。変位量は未知数であり、節点に割り当てられる変数に相当する。よって、変位ベクトル１７は、複数の節点に対して割り当てられた複数の変数を列挙したベクトルである。

処理部１２は、剛性マトリクス１５と力ベクトル１６とから特徴データ１８を生成する。特徴データ１８は、変位量の推論に用いられる入力データである。特徴データ１８は、複数の節点に対応する複数の特徴ベクトルを含んでもよい。また、特徴データ１８は、剛性マトリクス１５と力ベクトル１６とを連結した特徴行列であってもよい。このとき、処理部１２は、同一節点に関する剛性の値と力の値とを同一行に並べるなど、剛性マトリクス１５の要素および力ベクトル１６の要素を並べ替えてもよい。

また、特徴データ１８に含まれる特徴量は、剛性マトリクス１５に含まれる剛性の値および力ベクトル１６に含まれる力の値そのものであってもよいし、剛性の値や力の値を加工したものであってもよい。例えば、処理部１２は、複数の節点に対応する複数の特徴ベクトルに含まれる特徴量を正規化してもよい。また、処理部１２は、主成分分析により、それら複数の特徴ベクトルの次元数を削減してもよい。

処理部１２は、メッシュデータ１３が示す節点間の接続関係に従って、特徴データ１８に対して畳み込み演算を行って各節点の変位量を推論する。処理部１２は、畳み込み演算を行うモデル１９に特徴データ１８を入力してもよい。モデル１９は、機械学習によって事前に生成されていてもよい。モデル１９は、１以上の畳み込み層を含む畳み込みニューラルネットワーク（ＣＮＮ：Convolutional Neural Network）であってもよい。また、モデル１９は、いわゆるグラフ畳み込み演算を行う１以上のグラフ畳み込み層を含むグラフ畳み込みネットワーク（ＧＣＮ：Graph Convolutional Network）であってもよい。

畳み込み演算として、例えば、処理部１２は、ある節点の特徴ベクトルを、その節点に接続された他の節点の特徴ベクトルを用いて更新する。例えば、処理部１２は、他の節点の特徴ベクトルに係数を乗じ、積を上記節点の特徴ベクトルに足し合わせる。係数を含むカーネルは、例えば、機械学習を通じて決定される。処理部１２は、推論された変位ベクトル１７を出力する。処理部１２は、変位ベクトル１７を不揮発性ストレージに保存してもよいし、表示装置に表示してもよいし、他の情報処理装置に送信してもよい。

以上説明したように、第１の実施の形態の情報処理装置１０は、物体の形状を示すメッシュデータ１３と、物体に与える力を示す境界条件データ１４とに基づいて、物体の変形を算出する構造解析シミュレーションを実行する。これにより、情報処理装置１０は、工業部品の設計など物体形状の設計にとって有用な情報を提供することができる。

また、情報処理装置１０は、連立方程式Ａｘ＝ｂを解いて変位ベクトル１７を算出する代わりに、特徴データ１８から変位ベクトル１７を推論する。例えば、情報処理装置１０は、特徴データ１８をモデル１９に入力して各節点の変位量を推論する。これにより、構造解析シミュレーションの計算量が削減され、その実行時間が短縮される。

また、情報処理装置１０は、連立方程式Ａｘ＝ｂにも使用される剛性マトリクス１５と力ベクトル１６とを算出し、剛性マトリクス１５と力ベクトル１６とから特徴データ１８を生成する。そして、情報処理装置１０は、節点間の接続関係に従って特徴データ１８に対して畳み込み演算を行うことで、各節点の変位量を推論する。これにより、変位ベクトル１７の推論精度が向上し、推論結果を実用的に利用することが可能となる。

例えば、有限要素法の入力データであるメッシュデータ１３および境界条件データ１４から直接的に、モデル１９の入力データを作成する方法も考えられる。例えば、各節点の特徴ベクトルに、節点の座標、弾性係数などの材質パラメータ、境界条件データ１４が示す力などの特徴量を含める方法も考えられる。しかし、これらの特徴量そのものは各節点の変位量との関連性が弱く、これらの特徴量から変位量を推論することは難易度が高い。また、力が与えられない範囲の節点や内部節点には、有用な特徴量が付与されないことがある。これに対し、剛性マトリクス１５や力ベクトル１６に基づく特徴量は、各節点の変位量との関連性が強く、変位量を推論することが容易になる。

［第２の実施の形態］
次に、第２の実施の形態を説明する。
第２の実施の形態の情報処理装置１００は、構造解析シミュレーションを実行し、外力に応じた物体の変形を解析する。また、情報処理装置１００は、機械学習によってモデルを生成し、生成されたモデルを用いて有限要素法の計算結果を予測する。ただし、機械学習とモデルの使用は、異なる情報処理装置によって実行されてもよい。情報処理装置１００は、例えば、工業部品の設計に利用される。情報処理装置１００は、クライアント装置でもよいしサーバ装置でもよい。情報処理装置１００が、コンピュータ、推論装置、シミュレーション装置、設計装置または機械学習装置と呼ばれてもよい。

図２は、第２の実施の形態の情報処理装置のハードウェア例を示す図である。
情報処理装置１００は、バスに接続されたＣＰＵ１０１、ＲＡＭ１０２、ＨＤＤ１０３、ＧＰＵ１０４、入力インタフェース１０５、媒体リーダ１０６および通信インタフェース１０７を有する。ＣＰＵ１０１は、第１の実施の形態の処理部１２に対応する。ＲＡＭ１０２またはＨＤＤ１０３は、第１の実施の形態の記憶部１１に対応する。

ＣＰＵ１０１は、プログラムの命令を実行するプロセッサである。ＣＰＵ１０１は、ＨＤＤ１０３に記憶されたプログラムおよびデータの少なくとも一部をＲＡＭ１０２にロードし、プログラムを実行する。情報処理装置１００は、複数のプロセッサを有してもよい。プロセッサの集合が、マルチプロセッサまたは単に「プロセッサ」と呼ばれてもよい。

ＲＡＭ１０２は、ＣＰＵ１０１で実行されるプログラムおよびＣＰＵ１０１で演算に使用されるデータを一時的に記憶する揮発性半導体メモリである。情報処理装置１００は、ＲＡＭ以外の種類の揮発性メモリを有してもよい。

ＨＤＤ１０３は、ＯＳ（Operating System）、ミドルウェア、アプリケーションソフトウェアなどのソフトウェアのプログラム、および、データを記憶する不揮発性ストレージである。情報処理装置１００は、フラッシュメモリやＳＳＤ（Solid State Drive）などの他の種類の不揮発性ストレージを有してもよい。

ＧＰＵ１０４は、ＣＰＵ１０１と連携して画像処理を行う。また、ＧＰＵ１０４は、情報処理装置１００に接続された表示装置１１１に画像を出力する。表示装置１１１は、例えば、ＣＲＴ（Cathode Ray Tube）ディスプレイ、液晶ディスプレイ、有機ＥＬ（Electro Luminescence）ディスプレイまたはプロジェクタである。なお、情報処理装置１００に、プリンタなどの他の種類の出力デバイスが接続されてもよい。

入力インタフェース１０５は、情報処理装置１００に接続された入力デバイス１１２から入力信号を受け付ける。入力デバイス１１２は、例えば、マウス、タッチパネルまたはキーボードである。情報処理装置１００に複数の入力デバイスが接続されてもよい。

媒体リーダ１０６は、記録媒体１１３に記録されたプログラムおよびデータを読み取る読み取り装置である。記録媒体１１３は、例えば、磁気ディスク、光ディスクまたは半導体メモリである。磁気ディスクには、フレキシブルディスク（ＦＤ：Flexible Disk）およびＨＤＤが含まれる。光ディスクには、ＣＤ（Compact Disc）およびＤＶＤ（Digital Versatile Disc）が含まれる。媒体リーダ１０６は、記録媒体１１３から読み取られたプログラムおよびデータを、ＲＡＭ１０２やＨＤＤ１０３などの他の記録媒体にコピーする。読み取られたプログラムは、ＣＰＵ１０１によって実行されることがある。

記録媒体１１３は、可搬型記録媒体であってもよい。記録媒体１１３は、プログラムおよびデータの配布に用いられることがある。また、記録媒体１１３およびＨＤＤ１０３が、コンピュータ読み取り可能な記録媒体と呼ばれてもよい。

通信インタフェース１０７は、ネットワーク１１４に接続され、ネットワーク１１４を介して他の情報処理装置と通信する。通信インタフェース１０７は、スイッチやルータなどの有線通信装置に接続される有線通信インタフェースでもよいし、基地局やアクセスポイントなどの無線通信装置に接続される無線通信インタフェースでもよい。

次に、外力に応じた物体の変形を解析する構造解析シミュレーションを説明する。
図３は、ホイールのシミュレーション結果の例を示す図である。
メッシュデータ４１は、ホイールの形状を示す。メッシュデータ４１は、設計中のホイールの形状を示すＣＡＤデータから、メッシュ生成ソフトウェアによって生成される。メッシュデータ４１は、複数の節点と節点間を接続する複数のエッジとを含む。メッシュデータ４１は、ホイールが存在する三次元空間を小領域に細分化したものである。細分化された小領域の面は、３つの節点および３つのエッジで囲まれる三角形である。

ここでは、構造解析シミュレーションは、メッシュデータ４１に対して以下のような境界条件を設定する。ホイールの上部に対して、鉛直下方向に一定の大きさの外力が加えられる。ホイールの下部は、移動しない固定ポイントである。上からの外力に応じて、ホイールが変形する可能性がある。ホイールは、単一の材質で製造される。

構造解析シミュレーションは、メッシュデータ４１と上記の境界条件とに基づいて、各節点の変位量を算出する。変位量の分布によって、変形後のホイールの形状が特定される。構造解析シミュレーションは、変位量の分布を可視化した可視化データを出力してもよい。この境界条件のもとでは、通常、上側の節点ほど変位量が大きく、下側の節点ほど変位量が小さい。境界条件のパラメータを変えながら、同一形状のホイールに対して構造解析シミュレーションが繰り返されることがある。境界条件のパラメータには、例えば、力強度、材質、力付与範囲および固定範囲が含まれる。

力強度は、ホイール上部に与えられる鉛直下方向の外力の大きさである。力強度の候補は、例えば、１，１０，１００，１００００である。材質は、ホイールの材料の種類である。材質の候補は、例えば、鋼、銅、アルミニウム、コバルト、鉄、マグネシウム、マンガン、ニッケルおよびチタンである。力付与範囲は、ホイールの高さのうち外力が付加される上部の高さの割合である。力付与範囲の候補は、例えば、４分の１、８分の１および１０分の１である。固定範囲は、ホイールの高さのうち位置が変化しない下部の高さの割合である。固定範囲の候補は、例えば、４分の１、８分の１および１０分の１である。

図４は、有限要素法のシミュレーション空間の例を示す図である。
典型的な構造解析シミュレーションは、有限要素法によって各節点の変位量を算出する。構造解析シミュレーションは、複数の節点それぞれに対して変位量を示す変数を割り当てる。複数の節点に対応する複数の変位量を列挙することで、変位ベクトルｘが得られる。また、構造解析シミュレーションは、メッシュデータと境界条件データとに基づいて、剛性マトリクスＡと力ベクトルｂとを算出する。

剛性マトリクスＡは、物体の剛性を位置毎に細分化して離散的に表現したものであり、節点間の剛性を列挙した行列である。２つの節点の間の剛性は、２つの節点の座標と、物体の材質と、物理法則を示す支配方程式とから算出される。剛性は、節点間の長さ、断面積および弾性率に依存する。支配方程式は、つり合い方程式、歪み変位関係式および応力歪み関係式を含む。つり合い方程式は、全ての力を合成するとゼロになることを示す。歪み変位関係式は、歪みと変位量との間の関係を示す。応力歪み関係式は、応力と歪みとの間の関係を示す。これらの支配方程式を解くことで、剛性が算出される。

力ベクトルｂは、複数の節点に対応する複数の力を列挙したベクトルである。力ベクトルｂは、応力ベクトル、外力ベクトルまたは荷重ベクトルと呼ばれてもよい。各節点にかかる力は、境界条件から算出される。力付与範囲にある物体表面の節点にかかる力は、境界条件で指定された値であってもよい。力付与範囲から外れた節点や物体内部の節点にかかる力は、ゼロであってもよい。これら剛性マトリクスＡ、力ベクトルｂおよび変位ベクトルｘの間には、Ａｘ＝ｂという関係が成立する。

構造解析シミュレーションは、Ａｘ＝ｂという連立一次方程式を解くことで変位ベクトルｘを算出する。連立一次方程式の求解には、線形ソルバが用いられる。線形ソルバは、共役勾配法などの反復法によってｘの解を求める。例えば、線形ソルバは、ｘに仮の値を代入してｂの残差を求め、勾配に基づいて残差が小さくなるようにｘを更新する。線形ソルバは、残差が収束するまでｘの更新を反復する。

例えば、メッシュデータは、節点１７１，１７２，１７３（節点ｖ１，ｖ２，ｖ３）を含む。節点１７１，１７２，１７３は、相互にエッジで接続されている。よって、メッシュデータは、節点１７１，１７２間のエッジと、節点１７２，１７３間のエッジと、節点１７１，１７３間のエッジとを含む。エッジは無方向である。よって、エッジの特徴量には対称性があり、剛性マトリクスＡは対称行列である。

節点１７１，１７２，１７３は、Ｘ軸とＹ軸とＺ軸とを含む直交座標系の三次元空間に配置されている。節点１７１，１７２，１７３の位置は、三次元座標によって識別される。節点１７１，１７２，１７３には、Ｚ軸に沿って力が与えられる。節点１７１，１７２，１７３にかかる力は、力ベクトルｂによって規定される。この力を受けて、節点１７１，１７２，１７３は三次元空間の中を移動する。この移動の大きさが変位量である。節点１７１，１７２，１７３の変位量は、変位ベクトルｘとして表現される。なお、節点１７１，１７２，１７３の変位量は互いに異なることがある。また、力の方向はＺ軸であるものの、節点１７１，１７２，１７３はＸ軸方向やＹ軸方向にずれることがある。

このように、典型的な構造解析シミュレーションは、線形ソルバによってＡｘ＝ｂを解くことで変位ベクトルｘを算出する。しかし、線形ソルバによる大規模連立方程式の求解は、計算量が大きく長時間を要することがある。そこで、情報処理装置１００は、Ａｘ＝ｂを直接解く代わりに、機械学習モデルを利用してｘを予測することを試みる。

図５は、グラフ畳み込みネットワークによる変位量予測の例を示す図である。
１つの方法では、変位ベクトルｘの予測にグラフ畳み込みネットワーク（ＧＣＮ）３１が使用される。グラフ畳み込みネットワーク３１は、グラフ畳み込み演算を行う１以上のグラフ畳み込み層を含む多層ニューラルネットワークである。

通常の畳み込みニューラルネットワーク（ＣＮＮ）は、複数の画素が格子状に並んだ画像データを取り扱う。畳み込みニューラルネットワークは、隣接する画素の間で特徴量の畳み込み演算を行う。複数の画素の隣接関係は、その配列から自明である。一方、グラフ畳み込みネットワーク３１は、複数の節点がエッジで接続されたグラフデータを取り扱う。グラフ畳み込みネットワーク３１は、隣接する節点の間で特徴量の畳み込み演算を行う。複数の節点の隣接関係は自明ではなく、グラフデータによって明示的に規定される。

物体が配置される三次元空間を格子状の画素に分割した場合、物体が存在しない空の画素が多く発生する。このため、通常の畳み込みニューラルネットワークと比べてグラフ畳み込みネットワーク３１の方が、入力データがコンパクトになり効率的である。

グラフ畳み込みネットワーク３１は、特徴データ３２を受け付ける。特徴データ３２は、節点数ｎ×９次元の特徴行列である。節点１つ当たりの特徴ベクトルは、座標、力、材料密度、弾性係数およびポアソン比を含む。座標は、直交座標系における節点の位置を示す三次元座標である。力は、節点にかかる外力の方向および大きさを示す３次元ベクトルである。前述のホイールの例の場合、力のＸ成分およびＹ成分はゼロである。また、固定範囲に属する節点および物体内部の節点の力は、ゼロベクトルである。

材料密度、弾性係数およびポアソン比は、１次元のスカラ値である。各節点の座標は、メッシュデータから抽出される。力、材料密度、弾性係数およびポアソン比は、境界条件データから抽出される。グラフ畳み込みネットワーク３１は、メッシュデータと特徴データ３２から、変位データ３３を算出する。変位データ３３は、節点数ｎ×３次元の変位行列である。変位データ３３は、変位ベクトルｘに相当する。変位量は、直交座標系における節点の移動の方向および大きさを示す三次元ベクトルである。

上記の特徴データ３２は、有限要素法の入力であるメッシュデータおよび境界条件データから直接的に抽出される特徴量を含む。グラフ畳み込みネットワーク３１は、このような特徴データ３２から各節点の変位量を予測する。しかし、上記のグラフ畳み込みネットワーク３１の予測精度は低くなることがある。

上記の境界条件は原始的パラメータであり、力の伝播に関する物理法則を表現していないため、変位量との親和性が低い。このため、節点間で力の情報を適切に伝播して各節点の変位量を精度よく予測するようにグラフ畳み込みネットワーク３１の機械学習を行うことは、難易度が高い。そこで、第２の実施の形態の情報処理装置１００は、グラフ畳み込みネットワークに入力する特徴データを、以下のように規定する。

図６は、第２の実施の形態の変位量予測のデータフロー例を示す図である。
情報処理装置１００は、通常の有限要素法と同様に、メッシュデータ１４１と境界条件データ１４２とから、離散化１３１によって剛性マトリクス１４３（剛性マトリクスＡ）と力ベクトル１４４（力ベクトルｂ）とを算出する。通常の有限要素法は、線形ソルバを用いて、Ａｘ＝ｂを満たす変位ベクトル１４６（変位ベクトルｘ）を算出する。

これに対して、情報処理装置１００は、線形ソルバによってＡｘ＝ｂを直接解く代わりに、剛性マトリクス１４３と力ベクトル１４４とから、特徴抽出１３２によって特徴データ１４５を生成する。特徴データ１４５は、剛性マトリクス１４３および力ベクトル１４４から抽出される特徴量を含む。例えば、特徴データ１４５は、剛性マトリクス１４３と力ベクトル１４４とを連結した特徴行列である。

情報処理装置１００は、メッシュデータ１４１と特徴データ１４５とをグラフ畳み込みネットワーク１３３に与える。グラフ畳み込みネットワーク１３３は、１以上のグラフ畳み込み層を含む。グラフ畳み込みネットワーク１３３は、メッシュデータ１４１が示す節点間の隣接関係に従って、特徴データ１４５に含まれる特徴量の畳み込み演算を行う。これにより、情報処理装置１００は、変位ベクトル１４６を予測する。

このように、情報処理装置１００は、有限要素法の前半に相当する離散化１３１を実行する一方、有限要素法の後半に相当する線形ソルバをスキップする。有限要素法の中で、離散化１３１は比較的計算量が小さく実行時間が短い一方、線形ソルバは比較的計算量が大きく実行時間が長い。また、特徴抽出１３２やグラフ畳み込みネットワーク１３３の実行時間は十分に短い。よって、線形ソルバをスキップすることで、構造解析シミュレーションの全体の計算量が削減されて実行時間が短縮される。

また、剛性マトリクス１４３および力ベクトル１４４に含まれる特徴量は、力の伝播に関する物理法則が反映されており、変位量との親和性が高い。このため、各節点に対して適切な特徴量が割り当てられ、各節点の変位量を精度よく予測するようにグラフ畳み込みネットワーク１３３の機械学習を行うことが可能となる。その結果、グラフ畳み込みネットワーク１３３の予測精度が向上する。

また、境界条件データ１４２は、解析したい物体の種類や事象に依存するため、情報としての汎用性が低い。例えば、前述の特徴データ３２は、材料密度と弾性係数とポアソン比をパラメータとして含むものの、解析したい物体や事象によっては他のパラメータを含むことが好ましい場合がある。これに対して、剛性マトリクス１４３と力ベクトル１４４とは、変位ベクトル１４６を予測する上で、境界条件データ１４２に依存せずに汎用的に生成される。よって、グラフ畳み込みネットワーク１３３の汎用性が向上する。

図７は、メッシュデータと剛性マトリクスと力ベクトルの構造例を示す図である。
メッシュデータ１４１は、節点行列１４７および隣接行列１４８を含む。節点行列１４７は、ｎ×３のサイズの行列である。節点行列１４７のｎ個の行は、ｎ個の節点に対応する。節点行列１４７の３つの列は、Ｘ座標、Ｙ座標およびＺ座標に対応する。節点行列１４７の１つの行は、１つの節点の三次元座標を表す。

隣接行列１４８は、ｎ×ｎのサイズの行列である。節点行列１４７のｎ個の行はｎ個の節点に対応し、節点行列１４７のｎ個の列はｎ個の節点に対応する。行と列の交点には、０または１のフラグが配置される。０は、行と列に対応する２つの節点の間にエッジが無いことを表す。１は、行と列に対応する２つの節点の間にエッジがあることを表す。隣接行列１４８は、ｉ行ｊ列の値とｊ行ｉ列の値とが同一である対称行列である。

情報処理装置１００は、メッシュデータ１４１と境界条件データ１４２とに基づいて、剛性マトリクス１４３と力ベクトル１４４とを生成する。剛性マトリクス１４３は、３ｎ×３ｎのサイズの行列である。剛性マトリクス１４３の中の連続する３×３の要素が、１つのブロックを形成する。ブロックの３つの行は、ある節点のＸ方向、Ｙ方向およびＺ方向に対応する。ブロックの３つの列は、ある節点のＸ方向、Ｙ方向およびＺ方向に対応する。よって、３ｎ個の行は、ｎ個の節点のＸ方向、Ｙ方向およびＺ方向に対応する。３ｎ個の列は、ｎ個の節点のＸ方向、Ｙ方向およびＺ方向に対応する。

剛性マトリクス１４３に含まれるｎ×ｎ個のブロックのうち、対角線上にある対角ブロックは、同一節点内の剛性を表す。対角線上にない非対角ブロックは、異なる節点間の接続の剛性を表す。３×３のサイズのブロックは、剛性のＸＸ成分、ＸＹ成分、ＸＺ成分、ＹＸ成分、ＹＹ成分、ＹＺ成分、ＺＸ成分、ＺＹ成分およびＺＺ成分を含む。

剛性のＸＸ成分は、Ｘ方向の力とＸ方向の変位との関係を表す。ＸＹ成分は、Ｘ方向の力とＹ方向の変位との関係を表す。ＸＺ成分は、Ｘ方向の力とＺ方向の変位との関係を表す。ＹＸ成分は、Ｙ方向の力とＸ方向の変位との関係を表す。ＹＹ成分は、Ｙ方向の力とＹ方向の変位との関係を表す。ＹＺ成分は、Ｙ方向の力とＺ方向の変位との関係を表す。ＺＸ成分は、Ｚ方向の力とＸ方向の変位との関係を表す。ＺＹ成分は、Ｚ方向の力とＹ方向の変位との関係を表す。ＺＺ成分は、Ｚ方向の力とＺ方向の変位との関係を表す。

剛性マトリクス１４３のｎ×ｎ個のブロックは、エッジに方向が無いため対称行列を形成する。また、隣接していない２つの節点に対応するブロックは、ゼロ行列である。剛性マトリクス１４３は、非ゼロ要素が少ない疎行列である。なお、第２の実施の形態は三次元空間で構造解析シミュレーションを行っているため、空間自由度が３であり、各ブロックのサイズは３×３である。二次元空間で構造解析シミュレーションを行う場合、空間自由度が２であり、各ブロックのサイズは２×２になる。

力ベクトル１４４は、３ｎ×１のサイズのベクトルである。力ベクトル１４４の中の連続する３つの要素が、１つのブロックを形成する。ブロックの３つの行は、ある節点にかかる力のＸ成分、Ｙ成分およびＺ成分を表す。よって、３ｎ個の行は、ｎ個の節点のＸ成分、Ｙ成分およびＺ成分に対応する。なお、二次元空間で構造解析シミュレーションを行う場合、空間自由度が２であり、各ブロックのサイズは２×１になる。

ここで、剛性マトリクス１４３に含まれる対角ブロックの値は、節点に関する特徴量とみなすことが可能である。また、剛性マトリクス１４３に含まれる非対角ブロックの値は、エッジに関する特徴量とみなすことが可能である。また、力ベクトル１４４に含まれるブロックの値は、節点に関する特徴量とみなすことが可能である。情報処理装置１００は、このような節点に関する特徴量とエッジに関する特徴量とを利用する。

図８は、節点特徴ベクトルとエッジ特徴ベクトルの構造例を示す図である。
ここでは、前述の節点１７１，１７２，１７３に着目する。節点１７１，１７２はエッジｅ１２で接続されており、節点１７１，１７３はエッジｅ１３で接続されており、節点１７２，１７３はエッジｅ２３で接続されている。

剛性マトリクス１４３と力ベクトル１４４とからは、節点１７１に関する節点特徴ベクトル１７４と、節点１７２に関する節点特徴ベクトル１７５と、節点１７３に関する節点特徴ベクトル１７６とが生成される。節点特徴ベクトル１７４，１７５，１７６はそれぞれ、１２個の特徴量を含む１２次元ベクトルである。１２個の特徴量のうち９個の特徴量は、剛性マトリクス１４３の中の対角ブロックに含まれる値である。１２個の特徴量のうち３個の特徴量は、力ベクトル１４４のブロックに含まれる値である。

よって、節点特徴ベクトル１７４は、剛性マトリクス１４３の中の節点１７１に対応する対角ブロックに含まれる値と、力ベクトル１４４の中の節点１７１に対応するブロックに含まれる値とを含む。節点特徴ベクトル１７５は、剛性マトリクス１４３の中の節点１７２に対応する対角ブロックに含まれる値と、力ベクトル１４４の中の節点１７２に対応するブロックに含まれる値とを含む。節点特徴ベクトル１７６は、剛性マトリクス１４３の中の節点１７３に対応する対角ブロックに含まれる値と、力ベクトル１４４の中の節点１７３に対応するブロックに含まれる値とを含む。

また、剛性マトリクス１４３と力ベクトル１４４とからは、エッジｅ１２に関するエッジ特徴ベクトル１７７と、エッジｅ１３に関するエッジ特徴ベクトル１７８と、エッジｅ２３に関するエッジ特徴ベクトル１７９とが生成される。エッジ特徴ベクトル１７７，１７８，１７９はそれぞれ、９個の特徴量を含む９次元ベクトルである。これら９個の特徴量は、剛性マトリクス１４３の中の非対角ブロックに含まれる値である。

よって、エッジ特徴ベクトル１７７は、剛性マトリクス１４３の中の節点１７１，１７２に対応する非対角ブロックに含まれる値を含む。エッジ特徴ベクトル１７８は、節点１７１，１７３に対応する非対角ブロックに含まれる値を含む。エッジ特徴ベクトル１７９は、節点１７２，１７３に対応する非対角ブロックに含まれる値を含む。

このように、情報処理装置１００は、剛性マトリクス１４３および力ベクトル１４４から、節点の特徴量とエッジの特徴量を抽出する。ただし、グラフ畳み込みネットワーク１３３は、隣接する節点間で特徴ベクトルの畳み込み演算を行う。このため、エッジの特徴量は、そのエッジに関連する節点の特徴ベクトルに分配されることになる。特徴データ１４５のフォーマットとしては、幾つかのバリエーションが考えられる。

図９は、剛性マトリクスと力行列の連結例を示す図である。
情報処理装置１００は、剛性マトリクス１４３を剛性マトリクス１５１に変換する。剛性マトリクス１５１は、剛性マトリクス１４３に含まれる３ｎ×３ｎ個の要素を並び替えたものであり、ｎ×９ｎのサイズの行列である。剛性マトリクス１５１のｎ個の行は、ｎ個の節点に対応する。剛性マトリクス１５１の９ｎ個の列は、剛性マトリクス１４３の連続する３行分の要素、すなわち、３×３ｎ個の要素に対応する。３×３のサイズのブロックが、１×９のサイズに横方向に引き延ばされている。

また、情報処理装置１００は、力ベクトル１４４を力行列１５２に変換する。力行列１５２は、力ベクトル１４４に含まれる３ｎ×１個の要素を並び替えたものであり、ｎ×３のサイズの行列である。力行列１５２のｎ個の行は、ｎ個の節点に対応する。力行列１５２の３つの列は、力ベクトル１４４の連続する３つの要素に対応する。力のＸ成分、Ｙ成分およびＺ成分が、横方向に並べられている。

情報処理装置１００は、剛性マトリクス１５１と力行列１５２とを横方向に連結して、特徴行列１５３を生成する。特徴行列１５３は、特徴データ１４５に相当する。特徴行列１５３は、ｎ×（９ｎ＋３）のサイズの行列である。特徴行列１５３の１つの行は、１つの節点の特徴ベクトルに相当する。よって、節点の特徴ベクトルは９ｎ＋３個の特徴量を含む。特徴ベクトルは、節点内の剛性に関する９つの特徴量と、他の節点との間の剛性に関する９（ｎ－１）個の特徴量と、節点にかかる力に関する３つの特徴量とを含む。

ただし、ｎ×ｎ通りの節点ペアのうちエッジで接続されている節点ペアは一部であるため、剛性マトリクス１４３は疎行列である。その結果、特徴行列１５３も疎行列である。そこで、情報処理装置１００は、特徴行列１５３からゼロ要素を削除し、非ゼロ要素を左詰めしてもよい。これにより、特徴行列１５３の列数が削減される。また、ある節点の特徴ベクトルは、その節点から一定範囲内にあるエッジ（例えば、一定ホップ数以内のエッジ）に限定してエッジの特徴量を含むようにしてもよい。

図１０は、グラフ畳み込み演算の例を示す図である。
上記の方法により、節点１７１に対応する特徴ベクトル１８１と、節点１７２に対応する特徴ベクトル１８３と、節点１７３に対応する特徴ベクトル１８５とが生成される。グラフ畳み込みネットワーク１３３は、節点１７１，１７２，１７３の隣接関係に従って、特徴ベクトル１８１，１８３，１８５のグラフ畳み込み演算を行う。ここでは、節点１７１の特徴ベクトル１８１を更新する手順を説明する。

グラフ畳み込みネットワーク１３３は、節点１７１の特徴ベクトル１８１にカーネルを適用して、特徴ベクトル１８２を生成する。カーネルは、特徴量の重みを示す係数の集合であり、機械学習を通じて最適化される。特徴ベクトル１８１から特徴ベクトル１８２への変換は、ニューラルネットワークとして表現され得る。特徴ベクトル１８２に含まれる特徴量の個数は、特徴ベクトル１８１と同じでもよいし、特徴ベクトル１８１より少なくてもよいし、特徴ベクトル１８１より多くてもよい。出力される特徴量の個数は、機械学習の際にユーザから指定されるハイパーパラメータである。

同様に、グラフ畳み込みネットワーク１３３は、節点１７２の特徴ベクトル１８３にカーネルを適用して、特徴ベクトル１８４を生成する。グラフ畳み込みネットワーク１３３は、節点１７３の特徴ベクトル１８５にカーネルを適用して、特徴ベクトル１８６を生成する。特徴ベクトル１８２，１８４，１８６の特徴量の個数は、同じである。特徴ベクトル１８１，１８３，１８５に適用されるカーネルは、同一でもよいし異なってもよい。

グラフ畳み込みネットワーク１３３は、特徴ベクトル１８２，１８４，１８６の特徴量を足し合わせて特徴ベクトル１８７を生成する。特徴ベクトル１８７は、節点１７１の更新後の特徴ベクトルである。同様の手順で、グラフ畳み込みネットワーク１３３は、節点１７２，１７３の特徴ベクトル１８３，１８５も更新する。１つのグラフ畳み込み層において、各節点の特徴ベクトルが１回更新される。

グラフ畳み込み演算は、数式（１）のように表現される。数式（１）において、ｘは特徴ベクトル、ｉは着目する節点、Ｎ（ｉ）は節点ｉとエッジで接続された隣接節点の集合、ｋは時刻、θはカーネル、ｄｅｇは隣接節点の個数である。

図１１は、第２の実施の形態のグラフ畳み込みネットワークの例を示す図である。
グラフ畳み込みネットワーク１３３は、４つのグラフ畳み込み層を含む。グラフ畳み込みネットワーク１３３は、グラフ畳み込み層１６１，１６３，１６５，１６７、非線形活性化層１６２，１６４，１６６，１６８および全結合層１６９を含む。４つのグラフ畳み込み層と４つの非線形活性化層とは、交互に配置される。

グラフ畳み込み層１６１は、ｎ×（９ｎ＋３）のサイズの特徴行列１５３を受け付ける。グラフ畳み込み層１６１の後ろに非線形活性化層１６２がある。非線形活性化層１６２の後ろにグラフ畳み込み層１６３がある。グラフ畳み込み層１６３の後ろに非線形活性化層１６４がある。非線形活性化層１６４の後ろにグラフ畳み込み層１６５がある。グラフ畳み込み層１６５の後ろに非線形活性化層１６６がある。非線形活性化層１６６の後ろにグラフ畳み込み層１６７がある。グラフ畳み込み層１６７の後ろに非線形活性化層１６８がある。非線形活性化層１６８の後ろに全結合層１６９がある。全結合層１６９は、ｎ×３のサイズの変位行列を出力する。

グラフ畳み込み層１６１，１６３，１６５，１６７は、複数の節点の特徴ベクトルに対して、前述のグラフ畳み込み演算を実行する。非線形活性化層１６２，１６４，１６６，１６８は、特徴量を関数ｔａｎｈで変換する。ただし、シグモイド関数など他の活性化関数が使用されてもよい。全結合層１６９は、非線形活性化層１６８が出力する多数の特徴量を合成して、変位行列に含まれる３ｎ個の要素を算出する。なお、グラフ畳み込み層の個数はハイパーパラメータであり、機械学習の際にユーザによって変更され得る。

図１２は、節点数に応じた最適層数と最適特徴数の例を示すグラフである。
情報処理装置１００は、機械学習の際に、グラフ畳み込みネットワーク１３３の予測精度が最も高くなるようなグラフ畳み込み層の個数を探索するハイパーパラメータ探索を行うことも可能である。最適なグラフ畳み込み層の個数は、節点数ｎに依存する。曲線４２は、最適なグラフ畳み込み層の個数の探索結果の例を示す。

ｎ＝２８では６層が最適である。ｎ＝６０では８層が最適である。ｎ＝１３０では１０層が最適である。ｎ＝２６０では１２層が最適である。ｎ＝５１６では１４層が最適である。ｎ＝１０３５では１６層が最適である。ｎ＝２２３８では２０層が最適である。このように、メッシュデータの節点が多いほど、グラフ畳み込み層を増やすことで予測精度が向上することがある。ただし、グラフ畳み込み層を過度に増やしても予測精度は向上せず、最適なグラフ畳み込み層の個数が存在する。

また、情報処理装置１００は、機械学習の際に、グラフ畳み込みネットワーク１３３の予測精度が最も高くなるような中間層の特徴数を探索するハイパーパラメータ探索を行うことも可能である。最適な特徴数は、節点数ｎに依存する。曲線４３は、最適な特徴数の探索結果の例を示す。曲線４３に示すように、メッシュデータの節点が多いほど、中間層の特徴数を抑制した方が予測精度が向上することがある。

図１３は、構造解析シミュレーションの実行時間の例を示すグラフである。
実行時間４４，４５はそれぞれ、離散化１３１の実行時間の測定値である。実行時間４６は、線形ソルバの実行時間の測定値である。実行時間４７は、グラフ畳み込みネットワーク１３３による予測の実行時間の測定値である。通常の有限要素法では、実行時間４４，４６の合計が、構造解析シミュレーションの実行時間に相当する。第２の実施の形態では、実行時間４５，４７の合計が、構造解析シミュレーションの実行時間に相当する。

通常の有限要素法では、線形ソルバの実行時間４６が長く、構造解析シミュレーション全体の実行時間の大部分を占める。これに対して第２の実施の形態では、線形ソルバの実行時間４６が、グラフ畳み込みネットワーク１３３の実行時間４７に置き換えられる。グラフ畳み込みネットワーク１３３の実行時間４７は、線形ソルバの実行時間４６よりも顕著に短い。よって、構造解析シミュレーション全体の実行時間が顕著に短縮する。

図１４は、カンチレバーのシミュレーション結果の例を示す図である。
ここでは、他の物体に対する変位量予測の例を説明する。解析結果５１～５８は、カンチレバーの右端に一定量の力を加えた場合の変形後のカンチレバーの形状を示している。解析結果５１は、ｎ＝２８のメッシュデータから、線形ソルバによって変位ベクトルを算出した例である。解析結果５２は、ｎ＝６０のメッシュデータから、線形ソルバによって変位ベクトルを算出した例である。解析結果５３は、ｎ＝１３０のメッシュデータから、線形ソルバによって変位ベクトルを算出した例である。解析結果５４は、ｎ＝２６０のメッシュデータから、線形ソルバによって変位ベクトルを算出した例である。

解析結果５５は、ｎ＝２８のメッシュデータから、グラフ畳み込みネットワーク１３３によって変位ベクトルを予測した例である。解析結果５６は、ｎ＝６０のメッシュデータから、グラフ畳み込みネットワーク１３３によって変位ベクトルを予測した例である。解析結果５７は、ｎ＝１３０のメッシュデータから、グラフ畳み込みネットワーク１３３によって変位ベクトルを予測した例である。解析結果５８は、ｎ＝２６０のメッシュデータから、グラフ畳み込みネットワーク１３３によって変位ベクトルを予測した例である。

グラフ畳み込みネットワーク１３３は、線形ソルバにより算出される変位ベクトルを高い精度で予測している。特に、グラフ畳み込みネットワーク１３３は、節点数が少ないメッシュデータほど、変位ベクトルを高い精度で予測する。

次に、情報処理装置１００の機能および処理手順について説明する。
図１５は、情報処理装置の機能例を示すブロック図である。
情報処理装置１００は、メッシュデータ記憶部１２１、境界条件記憶部１２２およびモデル記憶部１２３を有する。これらの記憶部は、例えば、ＲＡＭ１０２またはＨＤＤ１０３を用いて実装される。また、情報処理装置１００は、離散化部１２４、線形ソルバ１２５、特徴抽出部１２６、機械学習部１２７および予測部１２８を有する。これらの処理部は、例えば、ＣＰＵ１０１とプログラムを用いて実装される。

メッシュデータ記憶部１２１は、グラフ畳み込みネットワークの機械学習に使用されるメッシュデータを記憶する。メッシュデータ記憶部１２１は、機械学習用に、同一種類の物体の異なる形状を表す複数のメッシュデータを記憶してもよい。また、メッシュデータ記憶部１２１は、解析対象の物体の形状を表すメッシュデータを記憶する。

境界条件記憶部１２２は、グラフ畳み込みネットワーク１３３の機械学習に使用される境界条件データを記憶する。境界条件記憶部１２２は、物体への外力のかかり方や物体の材質が異なる複数の境界条件データを記憶してもよい。モデル記憶部１２３は、機械学習によって生成されたグラフ畳み込みネットワーク１３３を記憶する。

離散化部１２４は、メッシュデータ記憶部１２１からメッシュデータを読み出し、境界条件記憶部１２２から境界条件データを読み出す。離散化部１２４は、メッシュデータと境界条件データと支配方程式から、剛性マトリクスと力ベクトルを算出する。機械学習の際には、離散化部１２４は、剛性マトリクスと力ベクトルを複数セット算出する。変位量予測の際には、離散化部１２４は、解析対象の剛性マトリクスと力ベクトルを算出する。

線形ソルバ１２５は、機械学習の際に、離散化部１２４から剛性マトリクスと力ベクトルを取得する。線形ソルバ１２５は、共役勾配法などの反復法により、Ａｘ＝ｂを解いて変位ベクトルを算出する。この変位ベクトルは、与えられた剛性マトリクスおよび力ベクトルのもとでの正解の変位ベクトルであり、教師データに相当する。ただし、Ａｘ＝ｂの求解以外の方法によって正解の変位ベクトルが導出されてもよい。線形ソルバ１２５は、複数セットの剛性マトリクスと力ベクトルから、複数の変位ベクトルを算出する。

特徴抽出部１２６は、離散化部１２４から剛性マトリクスと力ベクトルを取得する。特徴抽出部１２６は、剛性マトリクスと力ベクトルを合成して特徴行列を生成する。例えば、特徴抽出部１２６は、１つの行が１つの節点に対応するように、剛性マトリクスおよび力ベクトルをそれぞれ変形し、横方向に連結する。

この特徴行列は、グラフ畳み込みネットワークの入力データに相当する。機械学習の際には、特徴抽出部１２６は、線形ソルバ１２５から変位ベクトルを取得し、入力データに相当する特徴行列と教師データに相当する変位ベクトルとを組み合わせる。特徴抽出部１２６は、特徴行列と変位ベクトルを複数セット含む訓練データを生成する。変位量予測の際には、特徴抽出部１２６は、解析対象の特徴行列を出力する。

機械学習部１２７は、特徴抽出部１２６から特徴行列と変位ベクトルを取得し、メッシュデータ記憶部１２１からメッシュデータを読み出す。機械学習部１２７は、誤差逆伝播法などの最適化アルゴリズムに従って、グラフ畳み込みネットワークを最適化する。例えば、機械学習部１２７は、特徴行列とメッシュデータに基づいてグラフ畳み込み演算を行って変位ベクトルを予測し、教師データとの誤差を評価する。機械学習部１２７は、誤差が小さくなるように、グラフ畳み込み層のパラメータを更新する。機械学習部１２７は、生成されたグラフ畳み込みネットワークをモデル記憶部１２３に保存する。

予測部１２８は、モデル記憶部１２３からグラフ畳み込みネットワークを読み出し、メッシュデータ記憶部１２１から解析対象のメッシュデータを読み出し、特徴抽出部１２６から解析対象の特徴行列を取得する。予測部１２８は、グラフ畳み込みネットワークに特徴行列とメッシュデータを与えて、変位ベクトルを予測する。予測部１２８は、予測した変位ベクトルを出力する。予測部１２８は、変位ベクトルをＨＤＤ１０３に保存してもよいし、表示装置１１１に表示してもよいし、他の情報処理装置に送信してもよい。

図１６は、第２の実施の形態のモデル生成の手順例を示すフローチャートである。
（Ｓ１０）離散化部１２４は、メッシュデータと境界条件データから、３ｎ×３ｎの剛性マトリクスＡと、３ｎ×１の力ベクトルｂとを生成する。

（Ｓ１１）線形ソルバ１２５は、ステップＳ１０のＡ，ｂから、反復法によって連立一次方程式Ａｘ＝ｂを解いて、３ｎ×１の変位ベクトルｘを算出する。
（Ｓ１２）特徴抽出部１２６は、３ｎ×３ｎの剛性マトリクスＡを、要素を並べ替えてｎ×９ｎの剛性マトリクスＡに変換する。また、特徴抽出部１２６は、３ｎ×１の力ベクトルｂを、要素を並べ替えてｎ×３の力行列ｂに変換する。また、特徴抽出部１２６は、３ｎ×１の変位ベクトルｘを、要素を並べ替えてｎ×３の変位行列ｘに変換する。これにより、剛性マトリクスＡの１行が１つの節点に対応し、力行列ｂの１行が１つの節点に対応し、変位行列ｘの１行が１つの節点に対応する。

（Ｓ１３）特徴抽出部１２６は、ｎ×９ｎの剛性マトリクスＡとｎ×３の力行列ｂとを横方向に連結して、ｎ×（９ｎ＋３）の特徴行列Ｆを生成する。特徴抽出部１２６は、特徴行列Ｆと変位行列ｘを組み合わせて訓練データを生成する。

（Ｓ１４）機械学習部１２７は、グラフ畳み込みネットワークに含まれるグラフ畳み込み層の個数と、各グラフ畳み込み層が出力する特徴量の個数とを設定する。層数および特徴数は、ユーザから指定されてもよい。また、機械学習部１２７は、ハイパーパラメータ探索によって、層数および特徴数を最適化してもよい。

（Ｓ１５）機械学習部１２７は、ステップＳ１３の訓練データを用いて、ｎ×（９ｎ＋３）の特徴行列Ｆからｎ×３の変位行列ｘを予測するグラフ畳み込みネットワークを生成する。ここでは、グラフ畳み込み層で使用されるカーネルが最適化される。

（Ｓ１６）機械学習部１２７は、生成されたグラフ畳み込みネットワークを保存する。
図１７は、第２の実施の形態の変位量予測の手順例を示すフローチャートである。
（Ｓ２０）離散化部１２４は、メッシュデータと境界条件データから、３ｎ×３ｎの剛性マトリクスＡと、３ｎ×１の力ベクトルｂとを生成する。

（Ｓ２１）特徴抽出部１２６は、３ｎ×３ｎの剛性マトリクスＡを、要素を並べ替えてｎ×９ｎの剛性マトリクスＡに変換する。また、特徴抽出部１２６は、３ｎ×１の力ベクトルｂを、要素を並べ替えてｎ×３の力行列ｂに変換する。

（Ｓ２２）特徴抽出部１２６は、ｎ×９ｎの剛性マトリクスＡとｎ×３の力行列ｂとを横方向に連結して、ｎ×（９ｎ＋３）の特徴行列Ｆを生成する。
（Ｓ２３）予測部１２８は、ｎ×（９ｎ＋３）の特徴行列Ｆをグラフ畳み込みネットワークに入力して、ｎ×３の変位行列ｘを予測する。

（Ｓ２４）予測部１２８は、ｎ×３の変位行列ｘを、要素を並べ替えて３ｎ×１の変位ベクトルｘに変換する。予測部１２８は、変位ベクトルｘを出力する。
以上説明したように、第２の実施の形態の情報処理装置１００は、メッシュデータと境界条件データとから、各節点の変位量を算出する構造解析シミュレーションを実行する。これにより、情報処理装置１００は、物体形状の設計にとって有用な情報を提供できる。また、情報処理装置１００は、線形ソルバによってＡｘ＝ｂを解いて変位ベクトルｘを算出する代わりに、特徴行列から変位ベクトルｘを予測する。これにより、構造解析シミュレーションの計算量が削減されて実行時間が短縮される。

また、情報処理装置１００は、特徴行列をグラフ畳み込みネットワークに入力し、グラフ畳み込み演算を通じて変位ベクトルｘを予測する。これにより、格子状に画素が配置された画像データを扱う通常の畳み込みニューラルネットワークと比べて、空の画素が削減されて入力データがコンパクトになる。また、節点間の隣接関係に従って、節点の特徴量の畳み込み演算が効率的に行われ、力の情報が効率的に伝播される。

また、情報処理装置１００は、剛性マトリクスＡと力ベクトルｂとから特徴行列を生成する。これにより、各節点に対して、力の伝播に関する物理法則が反映された適切な特徴量が割り当てられ、変位ベクトルｘの予測精度が向上する。また、剛性マトリクスＡと力ベクトルｂは、構造解析シミュレーションでは、境界条件データの項目に依存しない汎用的データである。このため、特徴行列の構造が汎用的になり、グラフ畳み込みネットワークの汎用性が向上して様々な構造解析に利用することが可能となる。

［第３の実施の形態］
次に、第３の実施の形態を説明する。第２の実施の形態との違いを中心に説明し、第２の実施の形態と同様の内容については説明を省略することがある。第３の実施の形態の情報処理装置は、図２，１５と同様のハードウェア構造およびソフトウェア構造によって実現できる。そこで、以下、図２，１５と同じ符号を用いて第３の実施の形態を説明する。

第２の実施の形態のグラフ畳み込みネットワークに入力される特徴行列は、節点数ｎに応じて、ｎ×（９ｎ＋３）のサイズをもつ。よって、各節点に対して９ｎ＋３個の特徴量が付与されることになる。ただし、エッジで接続されていない節点ペアに対応する剛性はゼロであるため、この特徴行列はゼロ要素が多い疎行列である。例えば、特徴行列に含まれる特徴量のうち約７０％の特徴量が、ゼロであることがある。そこで、第３の実施の形態は、特徴行列のサイズを圧縮することを試みる。

前述のように、情報処理装置１００は、特徴行列からゼロ要素を削除し、非ゼロ要素を左詰めして特徴行列の列数を削減する方法も考えられる。ただし、特徴行列から単にゼロ要素を削除すると、相手節点の異なる特徴量がグラフ畳み込み演算で混ざって使用されることになり、情報のロスが大きく、節点間で特徴量が適切に伝播するのに時間を要することがある。その結果、グラフ畳み込みネットワークの予測精度が低下するおそれがある。

この予測精度の低下は、グラフ畳み込み層を増やすことで緩和されることがある。ただし、第２の実施の形態で検討したように、グラフ畳み込み層の増加による予測精度の向上には限界があり、グラフ畳み込み層を過度に増やしても予測精度はそれ以上向上しない。また、メッシュデータの節点が多いほど予測精度が低下しやすい。そこで、第３の実施の形態は、主成分分析を利用して、各節点の特徴ベクトルの次元数を削減する。

図１８は、第３の実施の形態の変位量予測のデータフロー例を示す図である。
情報処理装置１００は、第２の実施の形態と同様に、メッシュデータ１４１と境界条件データ１４２とから、離散化１３１によって剛性マトリクス１４３と力ベクトル１４４とを算出する。情報処理装置１００は、算出された剛性マトリクス１４３と力ベクトル１４４とから、特徴抽出１３４によって特徴データ１４９を生成する。そして、情報処理装置１００は、メッシュデータ１４１と特徴データ１４９とをグラフ畳み込みネットワーク１３７に与えて、変位ベクトル１４６を予測する。

特徴データ１４９は、第２の実施の形態の特徴データ１４５よりも少ない特徴量をもつ特徴行列である。節点１つ当たりの特徴量の個数、すなわち、特徴行列の列数は、特徴データ１４９の方が特徴データ１４５よりも少ない。このような特徴データ１４９を生成するため、特徴抽出１３４は、正規化１３５および主成分分析１３６を含む。

第２の実施の形態と同様に、特徴抽出１３４は、１つの行が１つの節点に対応するように、剛性マトリクス１４３をｎ×９ｎの剛性マトリクスに変形する。また、特徴抽出１３４は、１つの行が１つの節点に対応するように、力ベクトル１４４をｎ×３の力行列に変形する。そして、特徴抽出１３４は、変形した剛性マトリクスと力行列とを連結して、ｎ×（９ｎ＋３）の特徴行列を生成する。特徴抽出１３４は、この特徴行列に対して、正規化１３５と主成分分析１３６とを実行する。

正規化１３５は、特徴行列に含まれる特徴量を－１以上１以下の数値に変換するスケール変換を行う。正規化１３５は、特徴行列の列単位（次元単位）で行われる。正規化１３５は、Maximum Absolute Scalerである。正規化１３５により、絶対値が最大の特徴量は１または－１に変換され、元の０は０に維持される。正規化１３５は、列の中から絶対値が最大の特徴量を抽出し、その特徴量が正である場合は１になるよう変換倍率を決定し、その特徴量が負である場合は－１になるよう変換倍率を決定する。

主成分分析１３６は、正規化された特徴行列に対して主成分分析処理を行って、特徴行列の列数を削減する。これにより、節点１つ当たりの特徴量の個数が削減され、節点に付与される特徴ベクトルの長さ（次元数）が減少する。主成分分析１３６は、共分散の固有値を最大化するように固有ベクトルの基底を算出する。

主成分分析１３６は、例えば、以下のように行われる。主成分分析１３６は、ある行列Ｘに対して、共分散行列Σ＝（１／ｍ）Ｘ^＊×Ｘを算出する。主成分分析１３６は、特異値分解（ＳＶＤ：Singular Value Decomposition）により、共分散行列ΣをΣ＝ＵＳＶに分解する。Ｕは左特異行列、Ｓは特異値行列、Ｖは右特異行列である。主成分分析１３６は、圧縮後の次元数に相当する個数だけ左特異行列Ｕから列を抽出し、抽出した列を並べた行列Ｕｒを生成する。主成分分析１３６は、行列Ｚ＝Ｕｒ×Ｘを算出する。この行列Ｚが、主成分分析１３６によって行列Ｘから変換されたものである。

圧縮後の次元数は、固定であってもよいし、ユーザから指定されてもよいし、節点数に応じて決定されてもよい。例えば、主成分分析１３６は、変換後の特徴行列の分散が変換前の９５％になるように、圧縮後の次元数を調整する。圧縮後の次元が少ないほどデータ量が小さくなる一方、分散が小さくなって情報ロスが発生する。圧縮後の次元が多いほど分散が大きくなって情報ロスが抑制される一方、データ量が大きくなる。

グラフ畳み込みネットワーク１３７の構造は、第２の実施の形態のグラフ畳み込みネットワーク１３３と類似する。ただし、入力データのサイズがグラフ畳み込みネットワーク１３３と異なる。また、後述するように、グラフ畳み込みネットワーク１３７は、グラフ畳み込みネットワーク１３３よりも少ないグラフ畳み込み層をもつ。

図１９は、特徴行列の正規化と主成分分析の例を示す図である。
ここでは、メッシュデータ１４１の節点数が２８である場合を説明する。特徴行列１５４は、剛性マトリクス１４３と力ベクトル１４４を連結して生成される。特徴行列１５４は、２８行×２５５列の行列である。特徴行列１５４が、正規化１３５によって特徴行列１５５に変換される。特徴行列１５５は、２８行×２５５列の行列である。特徴行列１５５の各特徴量は、－１以上１以下に正規化されている。そして、特徴行列１５５が、主成分分析１３６によって特徴行列１５６に変換される。

ここでは、圧縮後の次元数が２０に設定されている。そのため、特徴行列１５６は、２８行×２０列の行列である。これにより、各節点の特徴ベクトルの長さが、２５５から２０に減少する。また、主成分分析１３６は特徴行列１５５の全体を考慮するため、特徴行列１５４からゼロ要素を削除する方法と比べて情報ロスが抑制される。また、ある節点の特徴量には、その節点から遠い他の節点の特徴量もある程度反映される。

図２０は、第３の実施の形態のグラフ畳み込みネットワークの例を示す図である。
上記のように、情報処理装置１００は、主成分分析によって特徴行列を変換する。この主成分分析を通じて、ある節点の特徴量には、その節点から遠い他の節点の特徴量も適度に反映されることになる。そのため、ある節点の特徴量を隣接節点に伝播するグラフ畳み込み演算の回数を削減することが可能となる。そこで、第３の実施の形態のグラフ畳み込みネットワーク１３７は、グラフ畳み込み層を１つのみ含む。

グラフ畳み込みネットワーク１３７は、グラフ畳み込み層１６１、非線形活性化層１６２および全結合層１６９を含む。グラフ畳み込み層１６１は、ｎ×ｍのサイズの特徴行列を受け付ける。このｍは圧縮後の次元数であり、９ｎ＋３より小さい。グラフ畳み込み層１６１の後ろに非線形活性化層１６２がある。非線形活性化層１６２は、特徴量を関数ｔａｎｈで変換する。非線形活性化層１６２の後ろに全結合層１６９がある。全結合層１６９は、ｎ×３のサイズの変位行列を出力する。

図２１は、節点数に応じた節点当たり特徴数の例を示す図である。
テーブル４８は、節点数と、節点１つ当たりの特徴量の個数と、節点１つ当たりの非ゼロ特徴量の個数と、主成分分析後の節点１つ当たりの特徴量の個数の例を示す。節点数ｎを２８，６０，１３０，２６０，５１６，１０３５，２２３８，４４７３，９１６２と増やしていくと、節点１つ当たりの特徴量の個数は、９ｎ＋３に従って線形に増加する。

ただし、９ｎ＋３個の特徴量のうち非ゼロ特徴量は少なく、ｎが大きくなっても非ゼロ特徴量の個数はあまり増加しない。これは、ｎが大きくなっても、節点１つ当たりの隣接節点の個数はローカリティによりあまり増加せず、剛性マトリクス１４３が対角行列に近い形をもつためである。主成分分析後の節点１つ当たりの特徴量の個数は、主成分分析前と比べて約１３分の１に減少している。なお、この特徴量の個数は、分散を９５％維持することができるような特徴量の個数である。

図２２は、第３の実施の形態のモデル生成の手順例を示すフローチャートである。
（Ｓ３０）離散化部１２４は、メッシュデータと境界条件データから、３ｎ×３ｎの剛性マトリクスＡと、３ｎ×１の力ベクトルｂとを生成する。

（Ｓ３１）線形ソルバ１２５は、ステップＳ３０のＡ，ｂから、反復法によって連立一次方程式Ａｘ＝ｂを解いて、３ｎ×１の変位ベクトルｘを算出する。
（Ｓ３２）特徴抽出部１２６は、３ｎ×３ｎの剛性マトリクスＡをｎ×９ｎの剛性マトリクスＡに変換し、３ｎ×１の力ベクトルｂをｎ×３の力行列ｂに変換し、３ｎ×１の変位ベクトルｘをｎ×３の変位行列ｘに変換する。

（Ｓ３３）特徴抽出部１２６は、ｎ×９ｎの剛性マトリクスＡとｎ×３の力行列ｂとを横方向に連結して、ｎ×（９ｎ＋３）の特徴行列Ｆを生成する。
（Ｓ３４）特徴抽出部１２６は、ステップＳ３３の特徴行列ＦをMaximum Absolute Scalerで正規化する。正規化は列単位で行われ、特徴量が－１から１の範囲に分布する。

（Ｓ３５）特徴抽出部１２６は、正規化されたｎ×（９ｎ＋３）の特徴行列Ｆに対して主成分分析を行い、ｎ×ｍの特徴行列Ｆに変換する。圧縮後の特徴数ｍは、節点数ｎに応じて決定されてもよく、分散が基準値を超えるように決定されてもよい。特徴抽出部１２６は、特徴行列Ｆと変位行列ｘを組み合わせて訓練データを生成する。

（Ｓ３６）機械学習部１２７は、ステップＳ３５の訓練データを用いて、ｎ×ｍの特徴行列Ｆからｎ×３の変位行列ｘを予測するグラフ畳み込みネットワークを生成する。グラフ畳み込みネットワークに含まれるグラフ畳み込み層は１つでもよい。

（Ｓ３７）機械学習部１２７は、生成されたグラフ畳み込みネットワークを保存する。
図２３は、第３の実施の形態の変位量予測の手順例を示すフローチャートである。
（Ｓ４０）離散化部１２４は、メッシュデータと境界条件データから、３ｎ×３ｎの剛性マトリクスＡと、３ｎ×１の力ベクトルｂとを生成する。

（Ｓ４１）特徴抽出部１２６は、３ｎ×３ｎの剛性マトリクスＡをｎ×９ｎの剛性マトリクスＡに変換し、３ｎ×１の力ベクトルｂをｎ×３の力行列ｂに変換する。
（Ｓ４２）特徴抽出部１２６は、ｎ×９ｎの剛性マトリクスＡとｎ×３の力行列ｂとを横方向に連結して、ｎ×（９ｎ＋３）の特徴行列Ｆを生成する。

（Ｓ４３）特徴抽出部１２６は、ステップＳ４２の特徴行列ＦをMaximum Absolute Scalerで正規化する。正規化は列単位で行われ、特徴量が－１から１の範囲に分布する。
（Ｓ４４）特徴抽出部１２６は、正規化されたｎ×（９ｎ＋３）の特徴行列Ｆに対して主成分分析を行い、ｎ×ｍの特徴行列Ｆに変換する。

（Ｓ４５）予測部１２８は、ｎ×ｍの特徴行列Ｆをグラフ畳み込みネットワークに入力して、ｎ×３の変位行列ｘを予測する。
（Ｓ４６）予測部１２８は、ｎ×３の変位行列ｘを３ｎ×１の変位ベクトルｘに変換する。予測部１２８は、変位ベクトルｘを出力する。

以上説明したように、第３の実施の形態の情報処理装置１００は、グラフ畳み込みネットワークに入力される特徴行列のサイズを削減する。これにより、情報処理装置１００は、ＧＰＵメモリなど限られた記憶容量のメモリを用いてグラフ畳み込み演算を実行することができる。また、グラフ畳み込みネットワークの計算量が削減される。

また、情報処理装置１００は、正規化と主成分分析とを通じて特徴行列のサイズを削減する。これにより、元の特徴行列の全体を考慮して各節点の特徴ベクトルが導出され、情報のロスが抑制されると共に、各節点の特徴ベクトルには遠くの節点の情報もある程度反映される。よって、グラフ畳み込みネットワークの予測精度が向上する。また、グラフ畳み込み演算の回数を削減しても高い予測精度を維持することが可能となり、グラフ畳み込みネットワークが層数の小さいコンパクトなモデルになる。

また、剛性マトリクスと力ベクトルの連結後に正規化と主成分分析とが行われるため、剛性と力との相関も特徴量に反映される。これにより、予測精度が向上する。

１０ 情報処理装置
１１ 記憶部
１２ 処理部
１３ メッシュデータ
１４ 境界条件データ
１５ 剛性マトリクス
１６ 力ベクトル
１７ 変位ベクトル
１８ 特徴データ
１９ モデル

Claims (8)

1. 複数の節点と前記複数の節点を接続する複数のエッジとを含むメッシュデータと、前記メッシュデータが示す物体に与える力を示す境界条件データとに基づいて、前記複数のエッジに対応する複数の剛性の値を含む剛性マトリクスと、前記複数の節点に対応する複数の力の値を含む力ベクトルとを算出し、
   前記剛性マトリクスと前記力ベクトルとから特徴データを生成し、
   前記メッシュデータが示す前記複数の節点の接続関係に従って、前記特徴データに対して畳み込み演算を行うことで、前記複数の節点に対応する複数の変位量を推論する、
   処理をコンピュータに実行させるプログラム。
2. 前記特徴データは、前記複数の節点に対応する複数の特徴ベクトルを含み、
   前記畳み込み演算は、第１の節点の特徴ベクトルを、前記第１の節点と接続された第２の節点の特徴ベクトルを用いて更新するグラフ畳み込み演算である、
   請求項１記載のプログラム。
3. 前記複数の変位量の推論は、前記グラフ畳み込み演算を行う１以上のグラフ畳み込み層を含むニューラルネットワークに前記特徴データを入力することを含む、
   請求項２記載のプログラム。
4. 前記特徴データの生成は、前記剛性マトリクスと前記力ベクトルとを結合して、同一の節点に関連する剛性の値と力の値とが同一の行に並んだ特徴行列を生成することを含む、
   請求項１記載のプログラム。
5. 前記特徴データの生成は、前記複数の節点に対応する複数の特徴ベクトルを生成し、前記複数の特徴ベクトルに含まれる特徴量を正規化し、主成分分析により前記正規化された複数の特徴ベクトルの次元数を削減することを含む、
   請求項１記載のプログラム。
6. 前記メッシュデータと異なる物体を示す他のメッシュデータと他の境界条件データとに基づいて、他の剛性マトリクスと他の力ベクトルとを算出し、前記他の剛性マトリクスおよび前記他の力ベクトルを含む方程式の解を示す変位ベクトルを算出し、
   前記他の剛性マトリクスと前記他の力ベクトルとから他の特徴データを生成し、前記他の特徴データから前記変位ベクトルを推論する推論モデルを生成する、
   処理を前記コンピュータに更に実行させ、
   前記複数の変位量の推論は、前記推論モデルに前記特徴データを入力することを含む、
   請求項１記載のプログラム。
7. 複数の節点と前記複数の節点を接続する複数のエッジとを含むメッシュデータと、前記メッシュデータが示す物体に与える力を示す境界条件データとに基づいて、前記複数のエッジに対応する複数の剛性の値を含む剛性マトリクスと、前記複数の節点に対応する複数の力の値を含む力ベクトルとを算出し、
   前記剛性マトリクスと前記力ベクトルとから特徴データを生成し、
   前記メッシュデータが示す前記複数の節点の接続関係に従って、前記特徴データに対して畳み込み演算を行うことで、前記複数の節点に対応する複数の変位量を推論する、
   処理をコンピュータが実行する推論方法。
8. 複数の節点と前記複数の節点を接続する複数のエッジとを含むメッシュデータと、前記メッシュデータが示す物体に与える力を示す境界条件データとを記憶する記憶部と、
   前記メッシュデータと前記境界条件データとに基づいて、前記複数のエッジに対応する複数の剛性の値を含む剛性マトリクスと、前記複数の節点に対応する複数の力の値を含む力ベクトルとを算出し、前記剛性マトリクスと前記力ベクトルとから特徴データを生成し、前記メッシュデータが示す前記複数の節点の接続関係に従って、前記特徴データに対して畳み込み演算を行うことで、前記複数の節点に対応する複数の変位量を推論する処理部と、
   を有する情報処理装置。

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