JPH02121075A - 自由曲線作成方法 - Google Patents
自由曲線作成方法Info
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- JPH02121075A JPH02121075A JP63275059A JP27505988A JPH02121075A JP H02121075 A JPH02121075 A JP H02121075A JP 63275059 A JP63275059 A JP 63275059A JP 27505988 A JP27505988 A JP 27505988A JP H02121075 A JPH02121075 A JP H02121075A
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Abstract
(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。
め要約のデータは記録されません。
Description
【発明の詳細な説明】
以下の順序で本発明を説明する。
Ａ産業上の利用分野
Ｂ発明の概要
Ｃ従来の技術（第７図）
Ｄ発明が解決しようとする問題点（第８図及び第９図）
Ｅ問題点を解決するための手段（第１図及び第４図）
Ｆ作用（第４図）
Ｇ実施例
（Ｇ１）自由曲線の原理（第２図）
（Ｇ２）制御点の決定（第４図）
（Ｇ３）自由曲線作成の第１実施例（第１図、第４図及
び第５図） （Ｇ４）自由曲線作成の第２実施例（第４図及び第６図
） Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は自由曲線作成方法に関し、特にＣＡＤ（ｃｏｍ
ｐｕｔｅｒ ａｉｄｉｄ ｄｅｓｉｇｎ）方式のデザイ
ン装置に適用して好適なものである。
び第５図） （Ｇ４）自由曲線作成の第２実施例（第４図及び第６図
） Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は自由曲線作成方法に関し、特にＣＡＤ（ｃｏｍ
ｐｕｔｅｒ ａｉｄｉｄ ｄｅｓｉｇｎ）方式のデザイ
ン装置に適用して好適なものである。
Ｂ発明の概要
本発明は、自由曲線作成方法において、３次元空間中に
複数の節点のみが与えられている際に、隣合う各節点間
において、接線連続の条件の下に、制御線ベクトル及び
第１の制御点から第２の制御点に向かうベクトルの２乗
和、又は隣合う節点を結ぶ直線に対する制御線ベクトル
の変位量の２乗和を最小にし得る制御点を求めることに
より、隣合う各節点間を結ぶ直線に近似した自由曲線を
作成することができる。
複数の節点のみが与えられている際に、隣合う各節点間
において、接線連続の条件の下に、制御線ベクトル及び
第１の制御点から第２の制御点に向かうベクトルの２乗
和、又は隣合う節点を結ぶ直線に対する制御線ベクトル
の変位量の２乗和を最小にし得る制御点を求めることに
より、隣合う各節点間を結ぶ直線に近似した自由曲線を
作成することができる。
Ｃ従来の技術
この種のデザイン装置は、工業製品をデザインする場合
に用いられており、ｘｙｚ空間に所望の曲面を形成する
方法として特開昭５８−２２４１３号公報に開示のもの
がある。
に用いられており、ｘｙｚ空間に所望の曲面を形成する
方法として特開昭５８−２２４１３号公報に開示のもの
がある。
この曲面作成方法は、ｘｙｚ空間に指定した多数の点（
これを節点と呼ぶ）のうち、隣合う複数の節点を所定の
誤差範囲の曲率半径をもった曲面を順次選定して行くこ
とにより、全体として指定された節点を通る曲面に近似
した曲面を生成することができる。
これを節点と呼ぶ）のうち、隣合う複数の節点を所定の
誤差範囲の曲率半径をもった曲面を順次選定して行くこ
とにより、全体として指定された節点を通る曲面に近似
した曲面を生成することができる。
しかしこの方法は生成できる曲面が２次関数で表される
ものに限られるために、必要に応じて任意の形状をもつ
自由曲面（２次関数で規定できないものをいう）を生成
することができない点において未だ不十分である。
ものに限られるために、必要に応じて任意の形状をもつ
自由曲面（２次関数で規定できないものをいう）を生成
することができない点において未だ不十分である。
この問題を解決する方法として従来、順次隣接する節点
をＢ−スプライン関数で表される表現式を用いて自由曲
面を生成する方法が提案されており、この方法によれば
デザイナが指定した節点の配列に近似した滑らかな自由
曲面を生成することができる。
をＢ−スプライン関数で表される表現式を用いて自由曲
面を生成する方法が提案されており、この方法によれば
デザイナが指定した節点の配列に近似した滑らかな自由
曲面を生成することができる。
すなわちこの自由曲面を構成する自由曲線について、第
７図に示すように、デザイナが７つの節点Ｑ０〜Ｑ６を
ｘｙｚ空間に設定した場合、互いに隣接する節点を結ぶ
直線にほぼ大まかに倣うように滑らかな自由曲線ＫＯを
生成させることができ、当該滑らかな自由曲線ＫＯ上の
点Ｐ０゜〜Ｐ０６を次式、 Ｑｏ ＋ ４ Ｑ＋ ＋ Ｑｚ ＝ ６ Ｐ ｏ＋Ｑ、
＋４ＱＺ＋Ｑ３−６ｐｏｔ Ｑｔ＋ ４ Ｑ３＋Ｑａ ＝６ Ｐｏ５Ｇ３ ＋４ Ｑ
ａ ＋ Ｑｓ ＝ ６ Ｐ ｏａＱａ ＋ ４ Ｑｓ
十Ｑ６−６ Ｐ ６ｓの連立方程式を解くことによって
求めることができる。ここで、 Ｑ、＝Ｐ０゜ Ｑ ｂ ＝ Ｐ ｏ ｂ であるから（１）弐〜（５）式は ４ Ｑ＋ ＋ Ｑｚ＝ ６ Ｐｏｔ Ｐ ｏ。
７図に示すように、デザイナが７つの節点Ｑ０〜Ｑ６を
ｘｙｚ空間に設定した場合、互いに隣接する節点を結ぶ
直線にほぼ大まかに倣うように滑らかな自由曲線ＫＯを
生成させることができ、当該滑らかな自由曲線ＫＯ上の
点Ｐ０゜〜Ｐ０６を次式、 Ｑｏ ＋ ４ Ｑ＋ ＋ Ｑｚ ＝ ６ Ｐ ｏ＋Ｑ、
＋４ＱＺ＋Ｑ３−６ｐｏｔ Ｑｔ＋ ４ Ｑ３＋Ｑａ ＝６ Ｐｏ５Ｇ３ ＋４ Ｑ
ａ ＋ Ｑｓ ＝ ６ Ｐ ｏａＱａ ＋ ４ Ｑｓ
十Ｑ６−６ Ｐ ６ｓの連立方程式を解くことによって
求めることができる。ここで、 Ｑ、＝Ｐ０゜ Ｑ ｂ ＝ Ｐ ｏ ｂ であるから（１）弐〜（５）式は ４ Ｑ＋ ＋ Ｑｚ＝ ６ Ｐｏｔ Ｐ ｏ。
Ｑ＋ ＋ ４ Ｑｚ ＋９３＝ ６ ＰｏｔＱｔ＋４
Ｑ３＋Ｑ４＝ ６ ＰＯ３ Ｑ３＋ ４ Ｑ４＋ＱＳ−６ＰＯ４ Ｑ４＋ ４ Ｑ！、−６Ｐｏｓ Ｐｏｈのように変形
することができ、この変形式は次式、のようにマトリク
ス形式によって表現することができる。
Ｑ３＋Ｑ４＝ ６ ＰＯ３ Ｑ３＋ ４ Ｑ４＋ＱＳ−６ＰＯ４ Ｑ４＋ ４ Ｑ！、−６Ｐｏｓ Ｐｏｈのように変形
することができ、この変形式は次式、のようにマトリク
ス形式によって表現することができる。
Ｄ発明が解決しようとする問題点
ところがこの方法によると、実際上工業製品の形状をデ
ザインしようとする場合、デザイナの設計手順に効率良
く適応させることが困難な問題がある。
ザインしようとする場合、デザイナの設計手順に効率良
く適応させることが困難な問題がある。
第１に、生成されるＢ−スプライン曲線はデザイナが指
定した節点を通らないので、生成した自由曲線の外形寸
法がデザイナが節点を指定した段階において予測するこ
とができない不都合がある。
定した節点を通らないので、生成した自由曲線の外形寸
法がデザイナが節点を指定した段階において予測するこ
とができない不都合がある。
因に実際上一般に工業製品をデザインしようとする場合
、第８図に示すように、製品の主要部分について断面を
想定し、当該断面の外形寸法（例えばＸ方向の外形寸法
Ｌｌｌ＋及びｙ方向の外形寸法Ｌｙｌで表される）が基
本的なデザイン条件として与えられていることが多く、
デザイナはこのような断面形状についての全ての条件を
満足させるように節点を選定しなければならない。
、第８図に示すように、製品の主要部分について断面を
想定し、当該断面の外形寸法（例えばＸ方向の外形寸法
Ｌｌｌ＋及びｙ方向の外形寸法Ｌｙｌで表される）が基
本的なデザイン条件として与えられていることが多く、
デザイナはこのような断面形状についての全ての条件を
満足させるように節点を選定しなければならない。
ところが第７図について上述したようにして生成される
Ｂ−スプライン関数は、デザイナが指定した節点を通ら
ないので、結局デザイナは試行錯誤的に繰り返し節点を
指定して生成したＢ−スプライン曲線を例えばデイスプ
レィ上に表示してその形状及び寸法を吟味し、その結果
外形寸法についてのデザイン条件を満足し得なかった場
合には改めて節点を設定し直すような煩雑な作業を繰り
返さなければならなかった。
Ｂ−スプライン関数は、デザイナが指定した節点を通ら
ないので、結局デザイナは試行錯誤的に繰り返し節点を
指定して生成したＢ−スプライン曲線を例えばデイスプ
レィ上に表示してその形状及び寸法を吟味し、その結果
外形寸法についてのデザイン条件を満足し得なかった場
合には改めて節点を設定し直すような煩雑な作業を繰り
返さなければならなかった。
これに加えて第２に、第７図について上述したように、
Ｂ−スプライン曲線ＫＯ上の点Ｐ０１〜Ｐ０．は節点
Ｑ０〜Ｑ６によって表されているので、節点Ｑ０〜Ｑ６
のうちの１つでも変更すれば、その影響がすべての点Ｐ
０１〜Ｐ０．に生ずる。
Ｂ−スプライン曲線ＫＯ上の点Ｐ０１〜Ｐ０．は節点
Ｑ０〜Ｑ６によって表されているので、節点Ｑ０〜Ｑ６
のうちの１つでも変更すれば、その影響がすべての点Ｐ
０１〜Ｐ０．に生ずる。
このことは−旦デザインが終了した断面形状についてそ
の一部を修正しようとしても、当該局部的な修正はなし
得ず、全体的な修正しかできないことを表している。
の一部を修正しようとしても、当該局部的な修正はなし
得ず、全体的な修正しかできないことを表している。
ところが実際上デザイナのデザイン作業は、局所的な修
正を繰り返すことによって、作成している外形形状をデ
ザイナがイメージしている形状に一歩一歩近づいて行く
ような作業をするのが普通であり、この点においてＢ−
スプライン曲線によって断面形状を生成する手法は感覚
上デザイン手順と一致しない不便さがある。
正を繰り返すことによって、作成している外形形状をデ
ザイナがイメージしている形状に一歩一歩近づいて行く
ような作業をするのが普通であり、この点においてＢ−
スプライン曲線によって断面形状を生成する手法は感覚
上デザイン手順と一致しない不便さがある。
また第３に、Ｂ−スプライン曲線は原理上曲率が連続か
つ接線が連続の条件が成り立つような曲線を生成させる
点に特徴があるから、例えば大きい曲率の曲線部分に隣
接するように小さい曲率の曲線部分を生成しようとして
も実際上生成し得ない場合があり、無理な節点の指定の
仕方をすれば、生成した外形曲線が予想がつかない程度
に変形する（例えば第８図及び第９図において曲線部Ｋ
ＯＸで示すように、部分的に凹む）ようなおそれがある
。
つ接線が連続の条件が成り立つような曲線を生成させる
点に特徴があるから、例えば大きい曲率の曲線部分に隣
接するように小さい曲率の曲線部分を生成しようとして
も実際上生成し得ない場合があり、無理な節点の指定の
仕方をすれば、生成した外形曲線が予想がつかない程度
に変形する（例えば第８図及び第９図において曲線部Ｋ
ＯＸで示すように、部分的に凹む）ようなおそれがある
。
本発明は以上の点を考慮してなされたもので、例えばデ
ザイナが断面形状をデザインする際に、予め指定した複
数の点を通過する自由曲線を簡易なデザイン作業によっ
て生成し得るようにした自由曲線作成方法を提案しよう
とするものである。
ザイナが断面形状をデザインする際に、予め指定した複
数の点を通過する自由曲線を簡易なデザイン作業によっ
て生成し得るようにした自由曲線作成方法を提案しよう
とするものである。
Ｅ問題点を解決するための手段
かかる問題点を解決するため第１の発明においては、第
１及び第２の節点Ｐ、及びＰ ｊ＋１ と第１及び第２
の節点Ｐ、及びｐ ｊ、、 の接線ベクトルＮ ｊ％
Ｎ ｉ ＊ １ に基づいて、第１及び第２の節点
Ｐ、及びＰ、。１間に第１及び第２の制御点ｐ＋＋＞ｚ
及びｐ＜ｚ＋ｚを設定し、第１及び第２の節点Ｐ、及び
ｐ、。、 と、第１及び第２の制御点Ｐ（１）２及びＰ
（２１！＋を用いて、所定のベクトル関数で表現される
自由曲線ＫＳＧを生成する自由曲線作成方法において、
第１の節点Ｐ、から第１の制御点Ｐ（＋１２に向かう第
１のベクトルＶＡＪ と、第１の制御点Ｐ（１）２
から第２の制御点ｐ＜ｔ）ｚ に向かう第２のベクト
ル（Ｐ ｍｚ Ｐ （Ｉｌｇ）と、第２の制御点ｐｔ
ｚ＋ｔから第２の節点Ｐ、。１に向かう第３のベクトル
Ｖ ｍ ｓとを得、第１、第２及び第３のベクトルＶＡ
ａ、Ｐ （ｚ＞ ｚ Ｐ （１） ｚ及びＶｌｊ
ノ２２乗和小さくなるように、第１及び第２の制御点ｐ
（＋＞を及びＰ（２）１）を設定するようにする。
１及び第２の節点Ｐ、及びＰ ｊ＋１ と第１及び第２
の節点Ｐ、及びｐ ｊ、、 の接線ベクトルＮ ｊ％
Ｎ ｉ ＊ １ に基づいて、第１及び第２の節点
Ｐ、及びＰ、。１間に第１及び第２の制御点ｐ＋＋＞ｚ
及びｐ＜ｚ＋ｚを設定し、第１及び第２の節点Ｐ、及び
ｐ、。、 と、第１及び第２の制御点Ｐ（１）２及びＰ
（２１！＋を用いて、所定のベクトル関数で表現される
自由曲線ＫＳＧを生成する自由曲線作成方法において、
第１の節点Ｐ、から第１の制御点Ｐ（＋１２に向かう第
１のベクトルＶＡＪ と、第１の制御点Ｐ（１）２
から第２の制御点ｐ＜ｔ）ｚ に向かう第２のベクト
ル（Ｐ ｍｚ Ｐ （Ｉｌｇ）と、第２の制御点ｐｔ
ｚ＋ｔから第２の節点Ｐ、。１に向かう第３のベクトル
Ｖ ｍ ｓとを得、第１、第２及び第３のベクトルＶＡ
ａ、Ｐ （ｚ＞ ｚ Ｐ （１） ｚ及びＶｌｊ
ノ２２乗和小さくなるように、第１及び第２の制御点ｐ
（＋＞を及びＰ（２）１）を設定するようにする。
また第２の発明においては、第１及び第２の節点Ｐ、及
びＰ８．、と第１及び第２の節点の接線ベクトルＮＪ％
Ｎａ４１に基づいて、第１及び第２の節点間に第１及び
第２の制御点Ｐ（１）２及びｐ＋ｚ＞ｚを設定し、第１
及び第２の節点Ｐ４及びＰ、。１と第１及び第２の制御
点Ｐ（１）２及びＰ４，２を用いて、所定のベクトル関
数で表現される自由曲線ＫＳＧを生成する自由曲線作成
方法において、第１の節点Ｐ、から第１の制御点Ｐ（１
）２に向かう第１のベクトルｖＡｊと、第２の制御点Ｐ
（２）！から第２の節点Ｐ、。１に向かう第２のベクト
ルｖｌｌｊとを得、第１及び第２の節点Ｐ、及びｐ 、
、、を結ぶ直線に対する、第１及び第２のベクトルＶ
ＡＪ及びＶｌｊの変位量の２乗和が小さくなるように第
１及び第２の制御点Ｐ（１）！及びＰ（２）２を設定す
るようにする。
びＰ８．、と第１及び第２の節点の接線ベクトルＮＪ％
Ｎａ４１に基づいて、第１及び第２の節点間に第１及び
第２の制御点Ｐ（１）２及びｐ＋ｚ＞ｚを設定し、第１
及び第２の節点Ｐ４及びＰ、。１と第１及び第２の制御
点Ｐ（１）２及びＰ４，２を用いて、所定のベクトル関
数で表現される自由曲線ＫＳＧを生成する自由曲線作成
方法において、第１の節点Ｐ、から第１の制御点Ｐ（１
）２に向かう第１のベクトルｖＡｊと、第２の制御点Ｐ
（２）！から第２の節点Ｐ、。１に向かう第２のベクト
ルｖｌｌｊとを得、第１及び第２の節点Ｐ、及びｐ 、
、、を結ぶ直線に対する、第１及び第２のベクトルＶ
ＡＪ及びＶｌｊの変位量の２乗和が小さくなるように第
１及び第２の制御点Ｐ（１）！及びＰ（２）２を設定す
るようにする。
Ｆ作用
隣合う各節点Ｐ Ｊ 、Ｐ ４＋１間において、第１の
節点Ｐ、から第１の制御点Ｐ（１）！に向かう第１のベ
クトルｖＡＪ及び制御点を結ぶ第２のベクトル（Ｐ Ｈ
ａｔ Ｐ （１＞り及び第２の制御点ｐ（ｚ＋ｚから
第２の節点ｐ Ｊ、、に向かう第３のベクトルｖＢｊの
２乗和、又は隣合う節点間を結ぶ直線に対する第１及び
第３のベクトルｖＡｊ及びｖＢｊの変位量の２乗和を最
小にするような、第１及び第３のベクトルＶＡｊ及びＶ
ｌｊの大きさ及び方向を求めて第１及び第２の制御点Ｐ
（１）２及びＰ（ｔ）ｔを決定することにより、隣合う
節点間を結ぶ直線に近似した滑らかな自由曲線を作成す
ることができる。
節点Ｐ、から第１の制御点Ｐ（１）！に向かう第１のベ
クトルｖＡＪ及び制御点を結ぶ第２のベクトル（Ｐ Ｈ
ａｔ Ｐ （１＞り及び第２の制御点ｐ（ｚ＋ｚから
第２の節点ｐ Ｊ、、に向かう第３のベクトルｖＢｊの
２乗和、又は隣合う節点間を結ぶ直線に対する第１及び
第３のベクトルｖＡｊ及びｖＢｊの変位量の２乗和を最
小にするような、第１及び第３のベクトルＶＡｊ及びＶ
ｌｊの大きさ及び方向を求めて第１及び第２の制御点Ｐ
（１）２及びＰ（ｔ）ｔを決定することにより、隣合う
節点間を結ぶ直線に近似した滑らかな自由曲線を作成す
ることができる。
Ｇ実施例
以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。
（Ｇ１）自由曲線の原理
この実施例において自由曲線は、第２図に示すように、
ｘｙｚ空間中に任意に設定された節点Ｐ０及びＰ３（Ｐ
（。１．及びＰ、３．いＰ、。、を及びＰ（３１ｚ、Ｐ
（。、３及びＰ＋ｉ＞３）で区切られる複数の曲線セグ
メントＫｓＧ（Ｋｓｃ＋ 、Ｋｓｃｚ 、Ｋｓｒ、ｚ
）が接続されてなる。
ｘｙｚ空間中に任意に設定された節点Ｐ０及びＰ３（Ｐ
（。１．及びＰ、３．いＰ、。、を及びＰ（３１ｚ、Ｐ
（。、３及びＰ＋ｉ＞３）で区切られる複数の曲線セグ
メントＫｓＧ（Ｋｓｃ＋ 、Ｋｓｃｚ 、Ｋｓｒ、ｚ
）が接続されてなる。
この曲線セグメントＫｓＧは、３次のベジェ（Ｂｅｚｉ
ｅｒ）式を用いて次式、 Ｒ（ｔ）＝（１−ｔ ＋ ｔ Ｅ）３Ｐ０ ・・・・
・・ （１４）で表されるパラメトリックな空間曲線Ｒ
（ｔ）で表現される。
ｅｒ）式を用いて次式、 Ｒ（ｔ）＝（１−ｔ ＋ ｔ Ｅ）３Ｐ０ ・・・・
・・ （１４）で表されるパラメトリックな空間曲線Ｒ
（ｔ）で表現される。
ここでｔは、一方の節点Ｐ０から曲線セグメントＫＳＧ
に沿う方向に他方の節点Ｐ、に至るまでの間に、次式 ％式％（１５） で表されるように値０から値１まで変化するパラメータ
である。
に沿う方向に他方の節点Ｐ、に至るまでの間に、次式 ％式％（１５） で表されるように値０から値１まで変化するパラメータ
である。
このようにして３次のベジェ式で表される曲線セグメン
トＫＳＧは、シフト演算子Ｅによって節点Ｐ０及び２３
間に２つの制御点Ｐ、及びＰ２を指定することによって
曲線セグメントに３Ｇ上の各点が次式 ％式％） の展開式によってｘｙｚ空間の原点Ｏからの位置ベクト
ルＲ（ｔ）として表される。
トＫＳＧは、シフト演算子Ｅによって節点Ｐ０及び２３
間に２つの制御点Ｐ、及びＰ２を指定することによって
曲線セグメントに３Ｇ上の各点が次式 ％式％） の展開式によってｘｙｚ空間の原点Ｏからの位置ベクト
ルＲ（ｔ）として表される。
ここでシフト演算子Ｅは、曲線セグメントＫｓｃ上の制
御点Ｐ、に対して次式 ％式％ の関係をもつ。従って（１４）式を展開して（１７）式
の関係を代入すれば、次式 Ｒ（ｔ）＝（１ ｔ＋ｔＥ）３Ｐａ ＝（１−ｔ）３Ｐｏ＋ ３（１−ｔ）Ｊ ＥＰ。
御点Ｐ、に対して次式 ％式％ の関係をもつ。従って（１４）式を展開して（１７）式
の関係を代入すれば、次式 Ｒ（ｔ）＝（１ ｔ＋ｔＥ）３Ｐａ ＝（１−ｔ）３Ｐｏ＋ ３（１−ｔ）Ｊ ＥＰ。
＋ ３ （１−ｔ） ｔ ”Ｅ” ＰＩ）＋ ｔ Ｅ”
Ｐ（１ｔ）３ＰＯ＋ ３ （１ ｔ）”ｔｐ。
Ｐ（１ｔ）３ＰＯ＋ ３ （１ ｔ）”ｔｐ。
＋３（１
ｔ）ｔ２Ｐｚ＋ ｔ’Ｐ＋
のように演算することができ、その結果（１６）式％式
％ かくして自由曲線上の各曲線セグメントＫＳＧＩ、Ｋｓ
ｃｚ −、Ｋｓｔ、ｓは、（１６）式に基づいてそれぞ
れ２つの節点及び制御点Ｐ（。、１〜３、Ｐ（１）ｌ〜
３、Ｐｏ）１〜．及びＰ（３）Ｉ〜３によって表すこと
ができ、このことから各曲線セグメントＫｓｃ＋ ％
Ｋｓａｚ、ＫＢＯ２上にある２つの節点Ｐ、。、Ｉ〜、
及びＰ （３） Ｉ〜。
％ かくして自由曲線上の各曲線セグメントＫＳＧＩ、Ｋｓ
ｃｚ −、Ｋｓｔ、ｓは、（１６）式に基づいてそれぞ
れ２つの節点及び制御点Ｐ（。、１〜３、Ｐ（１）ｌ〜
３、Ｐｏ）１〜．及びＰ（３）Ｉ〜３によって表すこと
ができ、このことから各曲線セグメントＫｓｃ＋ ％
Ｋｓａｚ、ＫＢＯ２上にある２つの節点Ｐ、。、Ｉ〜、
及びＰ （３） Ｉ〜。
間に、２つの制御点Ｐ（１）１〜３及びＰ （Ｚ） １
〜３を必要に応じて任意の値に選定すれば、これに応じ
て各曲線セグメントＫｓｃ＋ 、ＫＢＯ２、ＫＢＯ３の
形状を局部的かつ任意の自由曲線として設定できる。
〜３を必要に応じて任意の値に選定すれば、これに応じ
て各曲線セグメントＫｓｃ＋ 、ＫＢＯ２、ＫＢＯ３の
形状を局部的かつ任意の自由曲線として設定できる。
このように定義した場合、曲線Ｒ（ｔ）上の節点Ｐ０及
びＰ３の接線ベクトルは、（１４）式をパラメータｔに
ついて微分して得られる次式％式％） に、それぞれパラメータｔの値、１＝０．１を代入して
得られる次式、 ・・・・・・ （２２） によって、表される。
びＰ３の接線ベクトルは、（１４）式をパラメータｔに
ついて微分して得られる次式％式％） に、それぞれパラメータｔの値、１＝０．１を代入して
得られる次式、 ・・・・・・ （２２） によって、表される。
なお（２１）式及び（２２）式においてＶｏ及びＶ、は
、制御線ベクトルを示す。
、制御線ベクトルを示す。
ところで、このような各曲線セグメントＫＳＧＩ、ＫＢ
＋２ 、Ｋ３６３を接続して形成された自由曲線の各節
点における接続部分は、一般には滑らかにはならない。
＋２ 、Ｋ３６３を接続して形成された自由曲線の各節
点における接続部分は、一般には滑らかにはならない。
そこで例えば第３図に示すように、共有の節点を有する
２つの曲線セグメントＫＳＧＩ及びＫＳＣ□（第２図）
を、その共有の節点Ｐ、。＞＋ （Ｐ ＜ｓ＞ｚ）にお
いて滑らかに接続するように、各曲線セグメントＫｓｃ
＋ 、Ｋｓ６ｔの制御点Ｐ（＋）ｌ及びＰ（Ｚ）Ｚを設
定し直して、これらの新たな制御点Ｐ（１）Ｉ ＮＥＷ
及びＰ （り ｔＮＫ％１を用いて、 各曲線セグメン
トに３Ｇｌ及びＫｓｓｚを補間演算し直す。
２つの曲線セグメントＫＳＧＩ及びＫＳＣ□（第２図）
を、その共有の節点Ｐ、。＞＋ （Ｐ ＜ｓ＞ｚ）にお
いて滑らかに接続するように、各曲線セグメントＫｓｃ
＋ 、Ｋｓ６ｔの制御点Ｐ（＋）ｌ及びＰ（Ｚ）Ｚを設
定し直して、これらの新たな制御点Ｐ（１）Ｉ ＮＥＷ
及びＰ （り ｔＮＫ％１を用いて、 各曲線セグメン
トに３Ｇｌ及びＫｓｓｚを補間演算し直す。
このようにして、各曲線セグメントに、Ｇ、 。
Ｋｓｒｒｔ ％ Ｋｓａｓを接続して行くことができる
ことにより、全体として滑らかな自由曲線を形成し得る
。
ことにより、全体として滑らかな自由曲線を形成し得る
。
なお、この共有の節点Ｐ、。＞１（Ｐ ｔｓ＞ｔ）にお
ける滑らかな接続は、接線連続の条件を満足するような
新らたな制御線ベクトルＶ （０１）８Ｅ％ｌｌ及びＶ
Ｔ３）２□１を求めることにより実現される。
ける滑らかな接続は、接線連続の条件を満足するような
新らたな制御線ベクトルＶ （０１）８Ｅ％ｌｌ及びＶ
Ｔ３）２□１を求めることにより実現される。
すなわち、共有の節点Ｐ（。＋＋ （Ｐ（ｓ＋ｚ）を有
する２つの曲線セグメントＫＳＧ＋及びＫｓＧｔについ
て、それぞれの制御線ベクトルＶ（１））ｌ及びＶ＋ｓ
＋ｚから、まず次式 ％式％（２３） で表される和ベクトルＶ、を算出すると共に、制御７ 御線ベクトル■（。）１及びＶ。）ｔの外積からベクト
ル■７を算出する。
する２つの曲線セグメントＫＳＧ＋及びＫｓＧｔについ
て、それぞれの制御線ベクトルＶ（１））ｌ及びＶ＋ｓ
＋ｚから、まず次式 ％式％（２３） で表される和ベクトルＶ、を算出すると共に、制御７ 御線ベクトル■（。）１及びＶ。）ｔの外積からベクト
ル■７を算出する。
続いて、この和ベクトルｖｃ及び外積ベクトルＶ１）の
さらに外積を算出することにより、新たな制御線ベクト
ルの方向を表す単位ベクトルＶｔを得、この単位ベクト
ル■１を用いて、次式％式％（２４） （λ、μはスカラ量を示す） で表される、新たな制御線ベクトルＶ、。＋ＩＭＥ□及
びＶ （３１ｚＮＥＷを求める。
さらに外積を算出することにより、新たな制御線ベクト
ルの方向を表す単位ベクトルＶｔを得、この単位ベクト
ル■１を用いて、次式％式％（２４） （λ、μはスカラ量を示す） で表される、新たな制御線ベクトルＶ、。＋ＩＭＥ□及
びＶ （３１ｚＮＥＷを求める。
このようにして、得られる新たな制御線ペクト７Ｌ／Ｖ
（０） ＋Ｎｔｗ及びＶ （３１ｚＮｔｗに基づいて
、各曲線セグメントＫｓｃ＋ ％ Ｋｓｃｚの制御点ｐ
Ｈ）Ｉ及びＰＨ１２を設定し直して、新たな制御点Ｐ（
＋１）□０及びＰ （り ＩＩ！ＮＥＷを得るようにす
れば、第３図に破線で示すように、接線連続の条件の下
に、滑らかに接続されてなる２つの曲線セグメントに３
ｃ＋Ｎｉｗ及びＫＳＧＺＮＥ％、ｌを得ることができる
。
（０） ＋Ｎｔｗ及びＶ （３１ｚＮｔｗに基づいて
、各曲線セグメントＫｓｃ＋ ％ Ｋｓｃｚの制御点ｐ
Ｈ）Ｉ及びＰＨ１２を設定し直して、新たな制御点Ｐ（
＋１）□０及びＰ （り ＩＩ！ＮＥＷを得るようにす
れば、第３図に破線で示すように、接線連続の条件の下
に、滑らかに接続されてなる２つの曲線セグメントに３
ｃ＋Ｎｉｗ及びＫＳＧＺＮＥ％、ｌを得ることができる
。
（Ｇ２）制御点の決定
この実施例は、デザイナによって指定された複数の節点
を通過する滑らかな自由曲線を、接線連続の条件の下に
隣合う各節点間における制御線ベクトルの２乗和が最小
になるような制御点を求めることによって作成しようと
するものである。
を通過する滑らかな自由曲線を、接線連続の条件の下に
隣合う各節点間における制御線ベクトルの２乗和が最小
になるような制御点を求めることによって作成しようと
するものである。
すなわち第４図に示すように、ｘｙｚ空間中に任意に設
定された節点をＰ（０１２及びＰ（。、い求める制御点
をｐ＋ｔ＞ｚ、Ｐ（２）２とすると、制御線ペクト）Ｌ
ｔＶ （０１ｚ、Ｖｔｚ、ｚ及び制御点Ｐ（＋１２から
制御点ｐ、ｚ＞ｚに向かうベクトル（Ｐ 、ｚ、ｔ
Ｐ ｏ＋ｚ）の和を求めると節点Ｐ（０）２から節点Ｐ
、。）１に向かうベクトル（Ｐ （０）Ｉ Ｐ ＜ｏ
、ｔ＝Ｖｃ＝＞が求まる。
定された節点をＰ（０１２及びＰ（。、い求める制御点
をｐ＋ｔ＞ｚ、Ｐ（２）２とすると、制御線ペクト）Ｌ
ｔＶ （０１ｚ、Ｖｔｚ、ｚ及び制御点Ｐ（＋１２から
制御点ｐ、ｚ＞ｚに向かうベクトル（Ｐ 、ｚ、ｔ
Ｐ ｏ＋ｚ）の和を求めると節点Ｐ（０）２から節点Ｐ
、。）１に向かうベクトル（Ｐ （０）Ｉ Ｐ ＜ｏ
、ｔ＝Ｖｃ＝＞が求まる。
ここで与えられたすべての節点について、隣合う各節点
間の制御線ベクトルを考えると、第４図において次式 ％式％ 従って第４図において各ベクトルに対して、制御線ベク
トルｖＡｊ、Ｖｌｊ及び第１の制御点ｐ（ｔ＞ｚから第
２の制御点Ｐ（ｔ、ｔへ向かうベクトル（ＶｃｊＶ Ａ
ｊＶ ｍ ４ ）の２乗和Ｇ、を次式％式％） で表すと、当該２乗和Ｇ＋を最小にするような制御線ベ
クトルＶＡｊ、ＶＢＪの方向及び大きさを求めることに
より制御点Ｐ（１）２及びｐｔｚ＋ｚを決めると、接線
連続の条件の下に、直線Ｐ（。）２Ｐ（。）１に近似し
た自由曲線を形成することができる。
間の制御線ベクトルを考えると、第４図において次式 ％式％ 従って第４図において各ベクトルに対して、制御線ベク
トルｖＡｊ、Ｖｌｊ及び第１の制御点ｐ（ｔ＞ｚから第
２の制御点Ｐ（ｔ、ｔへ向かうベクトル（ＶｃｊＶ Ａ
ｊＶ ｍ ４ ）の２乗和Ｇ、を次式％式％） で表すと、当該２乗和Ｇ＋を最小にするような制御線ベ
クトルＶＡｊ、ＶＢＪの方向及び大きさを求めることに
より制御点Ｐ（１）２及びｐｔｚ＋ｚを決めると、接線
連続の条件の下に、直線Ｐ（。）２Ｐ（。）１に近似し
た自由曲線を形成することができる。
因にＷ、は、次式
（Ｇ３）自由曲線作成の第１実施例
デザイン装置の中央処理装置（ＣＰ Ｕ）は、デザイナ
の指示に従って第１図に示す自由曲線作成のための制御
点を求める処理プログラムＲＴＯを実行することにより
、デザイナによって指定された複数の点を節点とし、隣
合う節点間に当該節点において接線連続の条件を満足す
ると共に隣合う節点間を結ぶ直線に近似した滑らかな自
由曲線を形成し得るような制御点を順次形成するように
なされている。
の指示に従って第１図に示す自由曲線作成のための制御
点を求める処理プログラムＲＴＯを実行することにより
、デザイナによって指定された複数の点を節点とし、隣
合う節点間に当該節点において接線連続の条件を満足す
ると共に隣合う節点間を結ぶ直線に近似した滑らかな自
由曲線を形成し得るような制御点を順次形成するように
なされている。
すなわちＣＰＵは、制御点作成処理プログラムＲＴＯの
ステップＳＰＩにおいて、デザイナによって入力された
各節点（Ｐ、 、Ｐｊ。１、・・・・・・）における任
意の接線ベクトル（Ｎ、 、Ｎ、、、 、）を初期値と
して設定した後、続くステップＳＰ２に移る。
ステップＳＰＩにおいて、デザイナによって入力された
各節点（Ｐ、 、Ｐｊ。１、・・・・・・）における任
意の接線ベクトル（Ｎ、 、Ｎ、、、 、）を初期値と
して設定した後、続くステップＳＰ２に移る。
このステップＳＰ２において、ＣＰＵはステップＳＰＩ
において設定された接線ベクトルＮ、に対して、制御線
ベクトル■ＡＪ、ｖＩＩＪ及び第１の制御点から第２の
制御点に向かうベクトル（Ｖｃｊ−Ｖ Ａ＝ Ｖ ｍ
＝ ）の２乗和を最小にする長さをすべての隣合う節
点間について求める。
において設定された接線ベクトルＮ、に対して、制御線
ベクトル■ＡＪ、ｖＩＩＪ及び第１の制御点から第２の
制御点に向かうベクトル（Ｖｃｊ−Ｖ Ａ＝ Ｖ ｍ
＝ ）の２乗和を最小にする長さをすべての隣合う節
点間について求める。
すなわち与えられたすべての節点間において、（３３）
式の値Ｇ、を最小にする制御線ベクトル（ｖＡＪ及びＶ
、、、Ｖ、、、、、、及びＶｌｌ＜ｊ＋＋１、・・・・
・・）の長さを求める。
式の値Ｇ、を最小にする制御線ベクトル（ｖＡＪ及びＶ
、、、Ｖ、、、、、、及びＶｌｌ＜ｊ＋＋１、・・・・
・・）の長さを求める。
すなわち節点Ｐ、及びＰ、。、における自由曲線の接線
ベクトルをＮ、及びＮＪ＋１、制御線ベクトルＶＡＪ及
びＶｌｊの大きさをβ１、β４゜、とするとＮ、ｌ ＝
１とおいて、御線線ベクトルＶ□及びｖＢＪは、次式 ％式％ 従って当該（３５）式及び（３６）式を（３３）式に代
入することにより、次式 ％式％） を得た後、当該（３７）式をα、及びβｊ＋１でそれぞ
れ微分すると、次式 ％式％（ を得、これにより次式 ２Ｎ、２α＝＋ＮＪＮ、７．＋βＪ＋１＝ＮＪｖｃｊ・
・・・・・ （４０） Ｎ、Ｎｊや、αｊ＋２Ｎ、＋１”β、。＋ ＝ Ｎ ａ
（１）Ｖ ｃ Ｊ・・・・・・ （４１） を得る。
ベクトルをＮ、及びＮＪ＋１、制御線ベクトルＶＡＪ及
びＶｌｊの大きさをβ１、β４゜、とするとＮ、ｌ ＝
１とおいて、御線線ベクトルＶ□及びｖＢＪは、次式 ％式％ 従って当該（３５）式及び（３６）式を（３３）式に代
入することにより、次式 ％式％） を得た後、当該（３７）式をα、及びβｊ＋１でそれぞ
れ微分すると、次式 ％式％（ を得、これにより次式 ２Ｎ、２α＝＋ＮＪＮ、７．＋βＪ＋１＝ＮＪｖｃｊ・
・・・・・ （４０） Ｎ、Ｎｊや、αｊ＋２Ｎ、＋１”β、。＋ ＝ Ｎ ａ
（１）Ｖ ｃ Ｊ・・・・・・ （４１） を得る。
従って、当該（４０）式及び（４１）式をそれぞれβ１
及びβ１について解くと共に、与えられたすべての節点
について同様の演算を行うことによりデザイナによって
入力された各節点間において、制御線ベクトルＶＡＪ、
Ｖｌｊ及び第１の制御点から第２の制御点に向かうベク
トルの２乗和を最小にする制御線ベクトルＶ ＡＪ ％
Ｖ ｌ ４の大きさを求めることができる。
及びβ１について解くと共に、与えられたすべての節点
について同様の演算を行うことによりデザイナによって
入力された各節点間において、制御線ベクトルＶＡＪ、
Ｖｌｊ及び第１の制御点から第２の制御点に向かうベク
トルの２乗和を最小にする制御線ベクトルＶ ＡＪ ％
Ｖ ｌ ４の大きさを求めることができる。
続いてＣＰＵはステップＳＰ３に入って、上述のステッ
プＳＰ２において求められた制御線ベクトルの大きさα
ｊ及びβ４゜１を用いて、制御線ベクトル及び求める第
１及び第２の制御点を結ぶベクトルの２乗和が最小にな
る制御線ベクトルの方向（すなわち接線ベクトルＮ、）
を隣合う各節点間について求める。
プＳＰ２において求められた制御線ベクトルの大きさα
ｊ及びβ４゜１を用いて、制御線ベクトル及び求める第
１及び第２の制御点を結ぶベクトルの２乗和が最小にな
る制御線ベクトルの方向（すなわち接線ベクトルＮ、）
を隣合う各節点間について求める。
すなわち上記（３７）式に制御線ベクトルの大きさαｊ
及びＰｊを代入した後、これを制御線ベクトルの方向Ｎ
、で微分することにより、次式％式％ ＋ｗｉ−Ｉ （β、（α、−、Ｎ、−、＋βＪＮｊ・・
・・・・ （４４） ＶＣ（ｊ−１）＞ ＋β Ｚ Ｎ Ｊ）を得、これを
マトリクスで表すと、次式因にＦ、は（４２）式より、
次式 Ｆ Ｊ＝Ｗ ｊαｊＶｃｉ ＋Ｗ＝−ｒβｊＶｃＴＪ−
１）で表される。
及びＰｊを代入した後、これを制御線ベクトルの方向Ｎ
、で微分することにより、次式％式％ ＋ｗｉ−Ｉ （β、（α、−、Ｎ、−、＋βＪＮｊ・・
・・・・ （４４） ＶＣ（ｊ−１）＞ ＋β Ｚ Ｎ Ｊ）を得、これを
マトリクスで表すと、次式因にＦ、は（４２）式より、
次式 Ｆ Ｊ＝Ｗ ｊαｊＶｃｉ ＋Ｗ＝−ｒβｊＶｃＴＪ−
１）で表される。
従って（４３）式及び（４４）式よりＮ１を求めると共
に、同様の演算を隣合う各節点間について行うことによ
り、デザイナによって入力された各節点において制御線
ベクトル及び第１の制御点から第２の制御点に向かうベ
クトルの２乗和を最小にする制御線ベクトルの方向Ｎ、
を求めることができる。
に、同様の演算を隣合う各節点間について行うことによ
り、デザイナによって入力された各節点において制御線
ベクトル及び第１の制御点から第２の制御点に向かうベ
クトルの２乗和を最小にする制御線ベクトルの方向Ｎ、
を求めることができる。
ここでＣＰＵはステップＳＰ４に移ってＮ、の大きさを
数値ｌに規格化した後、続くステップＳＰ５において、
上述のステップＳＰ２において求められた制御線ベクト
ルの大きさα１及びβｊ＋１に基づいてステップＳＰ３
において求められた、節点（Ｐｊ 、Ｐｊ、、 、・・
・・・・）における制御線ベクトルの方向（Ｎ５、ＮＪ
。８、・・・・・・）を２乗和Ｇ１を表す（３７）式に
代入して、当該２乗和Ｇ、が前回に求めた２乗和Ｇ、よ
り小さいか否かを判断する。
数値ｌに規格化した後、続くステップＳＰ５において、
上述のステップＳＰ２において求められた制御線ベクト
ルの大きさα１及びβｊ＋１に基づいてステップＳＰ３
において求められた、節点（Ｐｊ 、Ｐｊ、、 、・・
・・・・）における制御線ベクトルの方向（Ｎ５、ＮＪ
。８、・・・・・・）を２乗和Ｇ１を表す（３７）式に
代入して、当該２乗和Ｇ、が前回に求めた２乗和Ｇ、よ
り小さいか否かを判断する。
ここで否定結果が得られると、このことは上述のステッ
プＳＰ２及びステップＳＰ３において求めたすべての隣
合う節点間における各制御線ベクトルの大きさ及び方向
が（３３）式で表される２乗和Ｇ１を最小にし得ないこ
とを表しており、ＣＰＵは上述のステップＳＰ２に戻っ
て、ステップ５Ｐ３−３Ｐ４−３Ｐ５の処理ループを繰
り返す。
プＳＰ２及びステップＳＰ３において求めたすべての隣
合う節点間における各制御線ベクトルの大きさ及び方向
が（３３）式で表される２乗和Ｇ１を最小にし得ないこ
とを表しており、ＣＰＵは上述のステップＳＰ２に戻っ
て、ステップ５Ｐ３−３Ｐ４−３Ｐ５の処理ループを繰
り返す。
これに対してステップＳＰ５において肯定結果を得ると
、このことは上述のステップＳＰ２及びステップＳＰ３
において求めたすべての隣合う節点間における各制御線
ベクトルの大きさ及び方向が（３３）式で表される２乗
和Ｇ１を最小にし得ることを表しており、ＣＰＵは続く
ステップＳＰ６に移って、当該自由曲線の制御点作成処
理プログラムＲＴＯを終了する。
、このことは上述のステップＳＰ２及びステップＳＰ３
において求めたすべての隣合う節点間における各制御線
ベクトルの大きさ及び方向が（３３）式で表される２乗
和Ｇ１を最小にし得ることを表しており、ＣＰＵは続く
ステップＳＰ６に移って、当該自由曲線の制御点作成処
理プログラムＲＴＯを終了する。
かくして上記自由曲線の制御点作成処理プログラムによ
って求められた隣合う節点間の第１及び第２の制御点に
従って自由曲線を作成することにより、第５図に示すよ
うに、デザイナによって設定された隣合う節点を結ぶ各
直線に近似した滑らかな自由曲線を作成し得る。
って求められた隣合う節点間の第１及び第２の制御点に
従って自由曲線を作成することにより、第５図に示すよ
うに、デザイナによって設定された隣合う節点を結ぶ各
直線に近似した滑らかな自由曲線を作成し得る。
以上の方法によれば、デザイナによって設定された節点
間において、制御線ベクトル及び求めようとする第１の
制御点から第２の制御点に向かうベクトルの２乗和を最
小にし得る制御点を求めた後、当該制御点に基づいて自
由曲線を作成したことにより、隣合う節点を結ぶ直線に
近似した滑らかな自由曲線を作成することができる。
間において、制御線ベクトル及び求めようとする第１の
制御点から第２の制御点に向かうベクトルの２乗和を最
小にし得る制御点を求めた後、当該制御点に基づいて自
由曲線を作成したことにより、隣合う節点を結ぶ直線に
近似した滑らかな自由曲線を作成することができる。
（Ｇ４）自由曲線作成の第２実施例
第１の実施例においては、３次のベジェ曲線上の隣合う
節点（Ｐ ｊ ％ Ｐ ｊ＋＋ 、・・・・・・）間の
制御線ベクトルとして、３次のベジェ式をパラメータｔ
について１同機分して得られる 次式 ％式％ で表わされる微分式の係数（Ｖ ａ 、 、 Ｖ ｃ
ｊＶ ａ ｊｖｌｌｊ、ＶＩｌｊ）の２乗和を最小にす
る場合について述べたが、さらに（４５）式をパラメー
タｔで微分して得られる、次式 ％式％ について、（１−ｔ”）及びｔの係数（すなわち隣合う
各節点間において、各節点を結ぶ直線に対する制御線ベ
クトルの変位量）の２乗和を最小にするようにしても良
い。
節点（Ｐ ｊ ％ Ｐ ｊ＋＋ 、・・・・・・）間の
制御線ベクトルとして、３次のベジェ式をパラメータｔ
について１同機分して得られる 次式 ％式％ で表わされる微分式の係数（Ｖ ａ 、 、 Ｖ ｃ
ｊＶ ａ ｊｖｌｌｊ、ＶＩｌｊ）の２乗和を最小にす
る場合について述べたが、さらに（４５）式をパラメー
タｔで微分して得られる、次式 ％式％ について、（１−ｔ”）及びｔの係数（すなわち隣合う
各節点間において、各節点を結ぶ直線に対する制御線ベ
クトルの変位量）の２乗和を最小にするようにしても良
い。
すなわち（１−ｔ）及びｔの係数の２乗和Ｇ２を整理し
て、次式 ％式％ で表すと、当該（４７）式に制御線ベクトルを表す（３
５）式及び（３６）式を代入して、次式＋（α、Ｎ、＋
２βＪ ４１ Ｎ ｊ。１Ｖｃｊ）”） ・・・・・・ （４８） を得る。
て、次式 ％式％ で表すと、当該（４７）式に制御線ベクトルを表す（３
５）式及び（３６）式を代入して、次式＋（α、Ｎ、＋
２βＪ ４１ Ｎ ｊ。１Ｖｃｊ）”） ・・・・・・ （４８） を得る。
ここで、（４８）式が最小になるような制御線ベクトル
の大きさαｊ及びβｊ＋１を求めるために、当該（４８
）式を制御線ベクトルの大きさα、及びβｊ＋１で微分
すると、次式 ％式％ 従って、当該（４９）式及び（５０）式をαｊ及びβ４
．、について解くことにより、（４８）式（すなわち（
４６）式における（１− ｔ’）及びｔの係数の２乗和
を表す）を最小にするαｊ及びβ、１を求めることがで
きる。
の大きさαｊ及びβｊ＋１を求めるために、当該（４８
）式を制御線ベクトルの大きさα、及びβｊ＋１で微分
すると、次式 ％式％ 従って、当該（４９）式及び（５０）式をαｊ及びβ４
．、について解くことにより、（４８）式（すなわち（
４６）式における（１− ｔ’）及びｔの係数の２乗和
を表す）を最小にするαｊ及びβ、１を求めることがで
きる。
さらに当該α１及びβ、。１を用いて２乗和Ｇ２が最小
になる制御線ベクトルの方向（すなわち接線ベクトルＮ
、）を求める。
になる制御線ベクトルの方向（すなわち接線ベクトルＮ
、）を求める。
すなわち上記（４８）式に制御線ベクトルの大きさαｊ
及びβｊ＋１を代入した後、これを制御線ベクトルの方
向Ｎ、で微分することにより、次式％式％（２ これをマトリクスで表すと、 次式 を得る。
及びβｊ＋１を代入した後、これを制御線ベクトルの方
向Ｎ、で微分することにより、次式％式％（２ これをマトリクスで表すと、 次式 を得る。
因にＦ、は（５１）式より、次式
Ｆ ｊ ＝ ３ （Ｗ ｊ αｊＶｃ＝ ＋Ｗｉ
−＋ β ｊＶｃ （ｊ−ｕ）・・・・・・ （５３
） で表される。
−＋ β ｊＶｃ （ｊ−ｕ）・・・・・・ （５３
） で表される。
従って（５２）式及び（５３）式よりＮ、を求めると共
に、与えられたすべての節点について同様の演算を行う
ことにより、デザイナによって入力された各節点におい
て２乗和Ｇ２を最小にする制御線ベクトルの方向を求め
ることができる。
に、与えられたすべての節点について同様の演算を行う
ことにより、デザイナによって入力された各節点におい
て２乗和Ｇ２を最小にする制御線ベクトルの方向を求め
ることができる。
さらにＮ、の大きさを数値１に規格化した後、２乗和Ｇ
２を最小にするようにして求められた制御線ベクトルの
大きさα４、β、。、及び節点Ｐ。
２を最小にするようにして求められた制御線ベクトルの
大きさα４、β、。、及び節点Ｐ。
における制御線ベクトルの方向Ｎ、を２乗和ＧＺを表す
（４７）式に代入して、当該２乗和Ｇ２が前回に求めた
２乗和Ｇ２より小さいか否かを判断し、肯定結果が得ら
れるまで２乗和Ｇ、を最小にする制御線ベクトルの大き
さα４、β１゜１ 及び節点Ｐ、における制御線ベクト
ルの方向Ｎ、を求める。
（４７）式に代入して、当該２乗和Ｇ２が前回に求めた
２乗和Ｇ２より小さいか否かを判断し、肯定結果が得ら
れるまで２乗和Ｇ、を最小にする制御線ベクトルの大き
さα４、β１゜１ 及び節点Ｐ、における制御線ベクト
ルの方向Ｎ、を求める。
かくして上記自由曲線の制御点作成処理手順によって求
められた制御点に従って自由曲線を作成することにより
、第６図に示すように、デザイナによって設定された節
点間の直線に近似した滑らかな自由曲線を作成し得る。
められた制御点に従って自由曲線を作成することにより
、第６図に示すように、デザイナによって設定された節
点間の直線に近似した滑らかな自由曲線を作成し得る。
以上の方法によれば、デザイナによって設定されたすべ
ての隣合う節点間において、３次のベジェ曲線を表す式
をパラメータｔで２同機分して得られる３次のベジェ曲
線上において、デザイナによって与えられた隣合う各節
点を結ぶ直線に対する制御線ベクトルの変位量を求めた
後、当該変位量の２乗和Ｇ２を最小にする制御線ベクト
ルの大きさα４、βｊ、Ｉ及び節点Ｐ、における制御線
ベクトルの方向Ｎｊをすべての節点について求めた後、
当該制御線ベクトルによって決まる制御点に基づいて自
由曲線を作成したことにより、隣合う節点間を結ぶ直線
に近似した滑らかな自由曲線を作成することができる。
ての隣合う節点間において、３次のベジェ曲線を表す式
をパラメータｔで２同機分して得られる３次のベジェ曲
線上において、デザイナによって与えられた隣合う各節
点を結ぶ直線に対する制御線ベクトルの変位量を求めた
後、当該変位量の２乗和Ｇ２を最小にする制御線ベクト
ルの大きさα４、βｊ、Ｉ及び節点Ｐ、における制御線
ベクトルの方向Ｎｊをすべての節点について求めた後、
当該制御線ベクトルによって決まる制御点に基づいて自
由曲線を作成したことにより、隣合う節点間を結ぶ直線
に近似した滑らかな自由曲線を作成することができる。
Ｈ発明の効果
上述のように本発明によれば、３次元空間中に複数の節
点のみが与えられている際に、隣合う各節点間において
、接線連続の条件の下に制御線ベクトル及び第１の制御
点から第２の制御点に向かうベクトルの２乗和、又は隣
合う節点を結ぶ直線に対する制御線ベクトルの変位量の
２乗和を最小にし得る制御線ベクトルの大きさ及び方向
を算出するようにして制御点を求めたことにより、隣合
う各節点間を結ぶ直線に近似した自由曲線を作成するこ
とができる。
点のみが与えられている際に、隣合う各節点間において
、接線連続の条件の下に制御線ベクトル及び第１の制御
点から第２の制御点に向かうベクトルの２乗和、又は隣
合う節点を結ぶ直線に対する制御線ベクトルの変位量の
２乗和を最小にし得る制御線ベクトルの大きさ及び方向
を算出するようにして制御点を求めたことにより、隣合
う各節点間を結ぶ直線に近似した自由曲線を作成するこ
とができる。
かくするにつき、デザイナによって与えられた各節点間
において、曲線部が部分的に凹むような従来の問題点を
回避し得、これによりデザイナの使い勝手を格段的に向
上し得る自由曲線作成方法を実現できる。
において、曲線部が部分的に凹むような従来の問題点を
回避し得、これによりデザイナの使い勝手を格段的に向
上し得る自由曲線作成方法を実現できる。
第１図は本発明の一実施例を示すフローチャート、第２
図は自由曲線の原理を示す路線図、第３図は接線連続の
条件の下での曲線セグメントの接続の説明に供する路線
図、第４図〜第６図は実施例よる自由曲線の作成を示す
路線図、第７図は従来方法によって作成された自由曲線
を示す路線図、第８図及び第９図はその問題点の説明に
供する路線図である。 ＫｓＧ＋ −、Ｋｓｅｓ ｓ Ｋｓｅｓ 、Ｋｓａｒｗ
ｔｗ、Ｋ！ｌｉ！ＮＥＷ・・・・・・曲線セグメント、
Ｐ（。Ｈ〜３、Ｐ（３）ｔ〜１、β４、ｐ 、 、 、
・・・・・・節点、Ｐ（１）１〜１、Ｐ（りｔ〜３ ・
・・・・・制御点、ＶＡＪ、Ｖｌｊ・・・・・・制御線
ベクトル。
図は自由曲線の原理を示す路線図、第３図は接線連続の
条件の下での曲線セグメントの接続の説明に供する路線
図、第４図〜第６図は実施例よる自由曲線の作成を示す
路線図、第７図は従来方法によって作成された自由曲線
を示す路線図、第８図及び第９図はその問題点の説明に
供する路線図である。 ＫｓＧ＋ −、Ｋｓｅｓ ｓ Ｋｓｅｓ 、Ｋｓａｒｗ
ｔｗ、Ｋ！ｌｉ！ＮＥＷ・・・・・・曲線セグメント、
Ｐ（。Ｈ〜３、Ｐ（３）ｔ〜１、β４、ｐ 、 、 、
・・・・・・節点、Ｐ（１）１〜１、Ｐ（りｔ〜３ ・
・・・・・制御点、ＶＡＪ、Ｖｌｊ・・・・・・制御線
ベクトル。
Claims (2)
- （１）第１及び第２の節点と上記第１及び第２の節点の
接線ベクトルに基づいて、上記第１及び第２の節点間に
第１及び第２の制御点を設定し、上記第１及び第２の節
点と上記第１及び第２の制御点を用いて、所定のベクト
ル関数で表現される自由曲線を生成する自由曲線作成方
法において、上記第１の節点から上記第１の制御点に向
かう第１のベクトルと、上記第１の制御点から上記第２
の制御点に向かう第２のベクトルと、上記第２の制御点
から上記第２の節点に向かう第３のベクトルとを得、 上記第１、第２及び第３のベクトルの２乗和が小さくな
るように上記第１及び第２の制御点を設定した ことを特徴とする自由曲線作成方法。 - （２）第１及び第２の節点と上記第１及び第２の節点の
接線ベクトルに基づいて、上記第１及び第２の節点間に
第１及び第２の制御点を設定し、上記第１及び第２の節
点と上記第１及び第２の制御点を用いて、所定のベクト
ル関数で表現される自由曲線を生成する自由曲線作成方
法において、上記第１の節点から上記第１の制御点に向
かう第１のベクトルと、上記第２の制御点から上記第２
の節点に向かう第２のベクトルとを得、 上記第１及び第２の節点を結ぶ直線に対する、上記第１
及び第２のベクトルの変位量の２乗和が小さくなるよう
に上記第１及び第２の制御点を設定した ことを特徴とする自由曲線作成方法。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP63275059A JPH02121075A (ja) | 1988-10-31 | 1988-10-31 | 自由曲線作成方法 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP63275059A JPH02121075A (ja) | 1988-10-31 | 1988-10-31 | 自由曲線作成方法 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH02121075A true JPH02121075A (ja) | 1990-05-08 |
Family
ID=17550274
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP63275059A Pending JPH02121075A (ja) | 1988-10-31 | 1988-10-31 | 自由曲線作成方法 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JPH02121075A (ja) |
Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JPH0785302A (ja) * | 1993-06-28 | 1995-03-31 | Just Syst Corp | 情報処理装置 |
-
1988
- 1988-10-31 JP JP63275059A patent/JPH02121075A/ja active Pending
Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JPH0785302A (ja) * | 1993-06-28 | 1995-03-31 | Just Syst Corp | 情報処理装置 |
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