JPH02287821A - 高速計算を行うための方法及び装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 ［産業上の利用分野］ 本発明はコンピュータのハードウェア及びソフトウェア
の分腎に関するものである。さらに詳しくは本発明はサ
イン５　コサイン及びその類の、特に固定小数点ハード
ウェアのような算数関数の計算に関する改良された方法
及び装置を提供するものである。

〔従来の技術〕

浮動小数点演算を使用づるほとんどのコンピプ。

−タにおいて単精度浮動小数点数ｉ；Ｉ：１０−”から
１０”］ｌまでの数を表現する。１つの数［Ｊ指数及び
仮数による浮動小数点書式によって表現される。指数は
８ビツト指数で、仮数は実効的に２４ビット仮数である
。浮動小数点数の数は下記の指数及び仮数によって決定
される。

値−＋／−２°″ｐ　×仮数　　　　・・・（１）指数
は仮数が１と２の間となる。１、うに選ばれろ。

２つの単精度浮動小数点数の乗算は次の手順によって行
われる。

１）　指数と仮数を２つの入力に夫々分離すること。

２）　仮数を乗算ずろこと。

３）　結果として得られた仮数を２４ヒソＩ・に丸める
こと。

４）　入力の指数を加算すること。

５）　結果を正規化すること、即ち仮数が１〜２となる
ように指数を調整すること。

６）　得られた指数及び仮数を浮動小数点書式にバンク
すること。

２つの単精度浮動小数点数の加算は現在下記の手順によ
って行われる。

１）２つの入力の夫々を指数及び仮数に分に１すること
。

２）　入力をそれらの指数が等しくなるように、即ち小
数点が並ぶように桁移動すること。

３）　仮数を加算すること。

４）　得られた仮数を２４ビットに丸めること。

５）　得られた結果を正規化すること。即ち仮数が１〜
２となるように調整すること。

６）　得られた指数及び仮数を浮動小数点書式ヘパツク
すること。

固定小数点を使用している計算装置においては一般に数
は２−１２と（１，−２−”）との間の３２ビットの整
数によって表現される。２つの固定小数点数の乗算は３
２ビツトと３２ビットの２つの整数を乗算して得られた
６４ピノＩ・の始めの３２ピツ］・を取って結果とする
ことで完了する。

２つの固定小数点数を加算するには単に３２ヒツトの整
数を加算する以−１−のものを必要としない。

あふれは計算に先立って行われる解析によってさげろこ
とができる。

固定小数点計算の主要な利点は速度である。固定小数点
計算を行う従来技術の２つの欠点は縮小された範囲及び
縮小された可変精度である。

サイン、コサイン、アークタンジェント１指数平方根及
び対数（以後ば夫々ｓｉｎ、　Ｃ，Ｏ８，ａｌ、；＋ｎ
ｅｘｐ、５ｑｒｔ及び１ｎと略ず）のルーチンはコンピ
ュータ演算において浮動小数点演算法を使用するルーチ
ンの代表である。現在これらのルーチンの実行のために
広く用いられている２゛つの方法がある。

第１の方法は例えばウアレリオの「コープイックを用い
た超越的な近似法Ｊ　（１９８８）に説明されているよ
うに「コープイック」方法と呼ばれるものである。コー
プイック方法は長い除算のよ・うに「桁送りしてから減
産する」ようにして実行される。

コープイック方法は例えばインテル８０８７及び８０３
８７、及びモトロラ６Ｅ１８８１及び６８８８２におい
て用いられている。

第２の一般的に用いられている方法は多項式展開として
知られているように高い浮動小数点能力を持ったシステ
ム、及びソフトウェア浮動小数点だけを持ったシステム
によって用いられる方法である。多項式展開法において
は一般に次の形の無限級数の多項式は例えばサインの値
［ｘ］の計算に用いられる。

ｓｉｎ（ｘ）＝　ａ　十ｘ’　＊（ｂ　＋ｘ’＊（ｃ→
−Ｘ　”）＊・）　　・＋２）こごにおいてａ、ｂ、ｃ
は定数、β、ｍ、ｎは整数である。

級数は誤差が許容され得るある点で打切られる。

この変形はｃｏｓ、　ａｔａｎ、　ｅｘρのような関数
についても用いられる。多項式展開は例えば本文におい
て、あらゆる目的について弓用しているハート等による
［コンピュータによる近似法Ｊ　（１，９６１’ｌ）に
おいて説明されている。

［発明が解決しようとする課題〕 多項式による方法は現在は非常に多くのコンピュータ時
間を使用している。特にザン３／６０の、Ｖ、うな、標
準的に固定小数点モードで作！ＦＪＩする装：ξにおい
てはそうである。したがって極めて高速で特に固定小数
点法によるコンピュータハートつＴ、゛）′システムに
適した、Ｓ！ｎ＋　Ｃ０３Ｉ　ａｒｃ：ｔ＋＋ｎ、　　
Ｅ　ｎ、Ｌ！Ｘｐｓｑｒｔ及び同類の計算を行うための
方法及び装置ｌ：を提供することが要求されている。

〔課題を解決するだめの手段〕

計算装置において演算機能を行うための改良された方法
及び装置がここに開示される。この方法及び装置は１個
又はそれ以にの中間結果からの指数を計算も記４．１も
しないので特に高速である。この方法及び装置は例えば
固定小数点機械、又はウェイチック社によって製作され
たＸ１８０００．　Ｘ１８００のような独立した３２ビ
ットの乗算機能を１）った機械に応用することができる
。

この方法／装置は入力として浮動小数点値を使用し、出
力として浮動小数点値をη１成するが、内部的には固定
小数点演算法を使用する。この方法／装置は固定小数点
機械における縮小された範囲の問題を避けて極めて改善
された実行時間を可能にした。

１つの実施例においてこの方法は１つの関数を計算する
のに多項式展開を応用する。中間結果は中間結果の指数
（位セリ因数）を計算したり記憶することなしに計算さ
れる。その代わりに多項式展開の各項に対する位取り因
数は中間結果の指数を計算したり記憶する必要なしに、
結果の指数か用意に計算の後で配置されるよ・うに予め
選択される。最も好ましい実施例においては位取り因数
はどのような電子的形式にも表現されない。この方法は
多項式方法を用いた現在のどの装置に用いられている方
式よりもはるかに高速である。更にこの方法はコーデイ
ソク方法のハードウェアによる実行よりも高速でかつ安
価であり、より多方面に応用できる。

したがっである実施例においてこの方法は、多項式展開
において第１の中間結果を決定するステップ、中間結果
の出力を与えるために第１の中間結果と第１の入力値と
を演算するステップ、前記演算は加算と減算から成る群
から選ばれ、第１の入力値は第１中間結果及び第１入力
値とが同し指数を持つように調整された指数を１２」つ
数によって表される第１の入力値から選ばれたＡＩＹに
ついてｊｉ！ｉ算を行い、そして中間結果の出力に対応
して該関数の値を提供するステップを有している。

他の実施例においてはこの方法は既知の位取り因数を持
った入力値の代表を記憶し、中間結果を提供する第１及
び第２の入力を乗算し、中間（１’＋と入力値の１つと
の桁移動と胡算を行い、）Ｊｌｌ　’（’Ｉｃ及び減算
より成る群から選ばれたれ１ｉ算を行い、既知の位取り
因数に答える桁移動を行い、関数の値の出力を提供する
ステップを有している。

〔実施例〕

目次 Ａ、　全般 Ｂ、　−π／４からπ／４までのｓｊｎの計算Ｃ，ｃｏ
ｓの計算 り、　　八ｔａｎの計算 Ｅ、　他の関数の計算 Ｆ、　他の方法との比較又は効果 八、　　全般 位取りは固定小数点演算において用いられ得る数の範囲
を拡張するために一般に用いられる。こごに開示された
方法を用いれば、位取り因数は多項式の計算におりる変
数、定数、及び中間値に対して前もって選定される。選
定された位取り因数は好ましい実施例におけるものと同
じ位取り因数を待った中間結果に帰着する。

ここに開示する方法は単純多項式の評価方法によってま
ず図解される。この例においては仮説１゜進法機械が３
桁加算及び３桁と３桁の乗算によって６桁の結果をもた
らすように使用される。多項式 ｆ　ｆｘ）　＝　ｘ　＊５．０　＋　０．００３２４は
Ｘが（０，０１，０，２）１７）範囲に拘束されており
、ｆ　（０，０１８９）及びｆ　（０，０１９９）が用
いられた場合を例にとって固定小数点て評価される。

表１は計算における値にとって位取り因数の選択がいか
に計算及び採集結果に影響を与えるかということを示し
ている。第１行に選択されたイ１ン取り因数は２個の有
意桁を持った正しい結果をもたらす。第２行は答えにお
いて３個の有意桁を８′１ず位取り因数の選択を示す。

３番眼の有意桁は乗算の後、加算の前における】０−１
の乗算の結果を位取りしてもたらされる。第３行は許容
範囲（０，０１，０の最大に近い入力Ｘの場合を示して
おり、第２行において用いられた位取り因数はあぶれの
原因となっている。従って第２行及び第３行の荀取り因
数は許容できない。第４行は位取り因数の選択がいかに
不必要に結果の精度を落とすかを示してＪ３す、この場
合には存意］ｉｉが１桁に終わっている。

（以下余白） ２〕 第２行と第３行においてｘ＊５．０の全６桁の結果は夫
々、０８９５００及び、０９９５であるが１．００３２
４との加算に用いられた３桁は夫々、８９５及び、９９
５であることに注意されたい。実際にはこれは乗算の結
果が加算の行われる前に桁移動されていなければならな
いごとを示している。この理由から第１行の位取り因数
はもしあぶれの心配がないと（−１でも、それらは乗算
と加算との間で桁移動を必要としないことから第２行の
位取り因数よりも大いに好ましい。×し体系において、
桁移動ができない乗算のアンロードの時でも加算を実行
することができるので、第１行に示し、た位取り因数の
事前選択及び桁移動の省略によって乗算及び加算に要求
されるサイクル数を１０から８に減少させることができ
る。

位取り因数は中間結果を加算するだめの桁移動をうまく
やるように選択されるが中間結果の指数は既知であるか
ら、桁移動の複雑性を減少さ−ｌること、つまり桁移動
の小数点位置の数を予め知ることができることはこの技
術に熟練している者には明らかであろう。

変数、定数及び中間値の位取り因数の選択については３
つが関与する。

１、　あふれは避りられねばならない。

２、　精度の過度の低下は避りられねばならない。

３、位取り因数は中間加算において等しくなりればなら
ない。

あふれは各項が入力範囲を引受げろように最大規模を計
算することによって避りることかできる。

これは用いることができる最も小さい位取り因数を与え
ることを、啄味している。

同等でない位取り因数は加算における２つの入力の内の
１つを加算の寸前に位取りすることによって避りること
かできる。これは表１の第２行及び第３行において実行
されている。しかし実行時における位取りは位取り因数
の事前選択によってしばしば省略することができる。

［３，−π／４からπ／４までのｓｉｎの引算−ヒ記に
説明された方法はＸの範囲が一π／４からπ／４におけ
るｓ　ｉ　ｎ　（ｘ）の計算に応用された場合の例とし
て下記に図解されている。ディジタル計算機によってｓ
ｉｎ（又は他の多くの関数のなかの１つ）の計算を行う
ために、加、減５乗及び／又は除算によって履行される
問題の計算を減少さ−（！ろことか必要である。例えば
ｓ　ｉ　ｎ　（ｘ）の値を計算Ｊるにあたり、次の形の
多項式展開が応用される。

ａ＋ｂｘ’　＋ｃｘ’（ｄ４−ｅｘ’（ｆ＋（Ｈｘｏ（
ｈ・−）））（：３） ここにおいて、ａ、ｂ、ｃは定数であり、ｐｍ、ｎは整
数である。

本発明は上記の形式に関してここに説明されているが、
例えばｆ　（ｘｉ　／　ｇ　（ｘ）を含めて、３Ｉ：常
に多様な形式に適用され得るごとは、この技術に熟練し
ている者には当然理解されるであろう。

特に次の多項式展開はこごてｓｉｎの計算に使われる。

ｓｉｎ　（ｘ）−ｘ＋　ｘ＊ｘ２＊（ｃ＋＋ｘ２＊（Ｃ
２＋ｘ２＊（７，））・（４） ここにおいてｃｌ＋ｃ２及びＣ３は定数である。

最も好ましい実施例においてｃｌ、Ｃ２及び（，３は夫
々−０，１６６、−０，００８３３及び−０，０００１
９５である。

ｘ＋　　Ｘ２＋　　ＣＩ　＋　　Ｃ２及びＣ３の小数点
位置は夫々の加算（又は減算）が既知の指数についての
加数と、好ましい実施例における同し指数を持った加数
との間にあるように調節される。

例えばもし×２はその指数が１１」で０３はその↑指数
が１−３」で代表されるとするならば、Ｃ，３＊Ｘ２の
結果は指数「−２」を持っているはずである。そこでＣ
３＊ｘ２の結果とＣ２が同じ小数点位置を持つようにＣ
２は指数「−２」を持った数で代表される。ｘ２＊（Ｃ
２→−ｘ２＊ｃ３）の結果はそれ故指数「−１」を持つ
から、したがってＣ１の値は指数「−１」を持った数で
代表される。このプロセスはできるだけ多くの「足し」
　（又は［弓き１）は同じ小数点位置を持った数で導か
れるように行われる。指数の選択は実際には一般に上記
とは逆に導かれることば認識されるべきである。

特にｘ２はまず第１に計算されその含意指数が「１」で
ある整数によって表現される。即ち×２は小数点がピノ
Ｉ・３０とビット３１との間にある整数によって代表さ
れる。逆に働いた場合、その小数点がビット３０とビッ
ト３１との間にある数の×２を乗算すると、その小数点
がまたビット２９とビット３０との間にある結果を生ず
ることが知られていン）。

しかし小数点がピノ１−３１とヒｙ　ｌ・３２との間に
ある数ｘ２の乗算は小数点がビット３０とヒツト３１と
の間にある結果を生ずる。それ故ｃ、ＬＪできるかぎり
多くの桁により代表されるべきであり、小数点はビット
３０とビット３１との間におかれろ。ｃ　７本ｘ　２の
乗算の結果はそれ故ビット３０とビット３］との間にあ
るべきである。ｃ２の小数点は従ってヒツト３１とヒツ
ト３２との間におかれろ。同様に（５，の小数点はＣ３
＊Ｘ２の小数点がｃ２の小数点と並ぶようにするために
ヒツト３２とビット３３との間にあイ）べきである。

この方法はさらにｓｉｎ（０，５）の計算に応用された
場合について図解される。ｓｉｎ（０，５）の泪算に・
て）いての多項式の展開は、 ０、５−０．　ｓ＊ｏ、　２５＊（０，１６６−０，２
５−（０，００８３３−０，２５＊Ｏ，ＯＯＯ］９！’
１））この式にはｘ、ｘ２．Ｃ，、ｃ２及びｃＪの５つ
の入力がある。夫々は含意指数を持った１６進法の数を
代表する。］６進法はそれが２進法よりも読みやすいの
でここで応用されるが１０進法よりは機械に密接な表現
である。下記のすべての１６進数はＨ、すべての１０進
数はＤの添字を付している。

下記の表２は選択された含意指数及び１６進法表現に伴
う、式の各入力を供給するものである。真の１６進法値
は計算に用いられた値に伴って供給されている。

表　　　２ 入力計算値の例 表３は上記の入力値を使用してｓｉｎ計算を検索するも
のである。示されているように各入力（ｉ５の１０進法
位置は各加算または減算が同し含意指数にについて２つ
の値を包含するように選択されている。従って桁移動は
加算又は減算には要求されない。

表　　　３ ｓｉｎ計算の検索 Ｇ 行うことができる。これに比較して、もし乗算及び加算
をソフレシェア浮動小数点ルーヂンを代用して行った場
合には、乗算及び加算に８０サイクル（乗算に３５サイ
クルと加算に４５勺イクル）必要とするであろう。更に
計算のソフＩ・ウェア浮動小数点は、それらが取扱わな
Ｉ′Ｊればならない特殊な場合の大きな数のために極め
て低速である。（例えば正の数と負の数の加算とか、小
さい数と大きい数の加算等々。）また更にそれらは浮動
小数点数を指数５符号、及び仮数に分離しなければなら
ず、その後で部分を「再組み立て」しなければならない
。上記の問題のすべてはここに示す方法を使用して避け
ることができる。

Ｃ，ｃｏｓの計算 好ましい実施例においてｓｉｎ、　ｃｏｓ、及び類似の
関数の計算には範囲低減のためのイ］加的ステップを応
用する。ｃｏｓのための範囲低減は例として用いられて
いる。

π／４より大きいＸなる値に対して範囲低減は「Ｘ′」
が下記のような入力値Ｘになるように適ＸＬ体系におい
ては乗算及び加算は８サイクルで用される。

ａ）　　ａｂｓ（ｘ　’）　＜π／４ ｂ）　　ｃｏｓ　（ｘ）−（ｉ）　　ｓｉｎ（ｘ　’）
（ｉｉ）　　−ｓｉｎ（ｘ　’　） （ｉｉｉ）　　ｃｏｓ（ｘ　’　） （ｉｖ）　　−ｃｏｓ（ｘ　’　） 範囲低減を行うためにｒ　ｎ−１なる値は次式を満足さ
ゼるように計算される。

ｎ　＝　１ｎｔ（ｘ　＊２／π＋０．５）　　　・・（
６）Ｘ′の値は次式から計算される。

ｘ””ｘ−ｎ＊π／２　　　・・（７）ｎの値に基づい
て適当な式ｂ　　（ｉ）　、　　ｔ、＋　　（ｉｉ）ｔ
）（ｉｉｉ）又はｂ（ｉｖ）が選択される。

特に ａ）もしｎ＝ｏ、ならば、式’）（ｉｉｉ）が用いられ
、ｂ）もしｎ−■、ならば、式ｌ〕（ｉｉ）が用いらね
１、Ｃ）もしｎ＝２、ならば、式’）（ｉｖ）が用いら
れ、ｄ）もしｎ＝３、ならば、式１）輸）が用いられる
。

更に本方法は図１８から１０までに示されたフロチャー
１・に図解される。Ｘなる値はまず最初にそれがπ／４
より大きいかどうかを決めるために検査される。もし値
がπ／４より小さければＸは２より大きいかどうか決定
するために検査される。

もし大きくなければ、丁度「１」であると言う結果がリ
ターンされる。もしＸが２−１２よりも大きいがπ／４
よりは小さいとｃｏｓ展開式、ｃｏｓ（ｘｌ＝　ｌ　＋
ｘ２＊（ｃ、＋　ｘ２（ｃ２＋　Ｘ２Ｃ３））が適用さ
れる。符号ビットはＯ（正）にセットされ指数は−１に
七ノドされ、結果がリターンされる。もちろん好ましい
実施例において上記のｃｏｓ展開は中間の１足し」及び
「引き」の指数が同じになるように実行される。もしＸ
がπ／４より大きｉすれば、ｎ及びＸは上記したように
計算される。

ｎなる値に基づいてＣＯ３は図１０に示されたｓｉｎル
ーチン又は図１ｂに示されたｃｏｓルーチンを用いて計
算される。

図１ｂに示したように、もしＣＯＳルーチンが使用され
ればＸ′なる（直は２−１２より大きいかどうか決定す
るように検査される。もし小さければ１１」なる値がリ
ターンされる。もし太きｉＪればｃｏｓｆｘ）はＸ′に
基づいて」１記に説明された多項式展開を使用して計算
される。ｃｏｓ（ｘｌの符号はｎに基ついて七ノドされ
、指数は−１にセノＩ・されＣＯ！（（ｘ！なるイ直が
リターンされる。

図１０に示されたように、もしｓｉｎルーチンか使用さ
れればｓ　ｉ　ｎ　（ｘｌは多項式展開を使用して４算
される。計算は多項式中の中間の「足し−１及び回き」
が既知の指数に近似した加数を持つように、好ましい実
施例においては等しい指数をＢｉつように進められる。

ｎなる値は竹刀ヒツトが０　（正）か又は１　（負）か
どうかを決定するために検査される。もしｎ−３ならば
、ｓ　ｉ　ｎ　（Ｘ）は負であり、もしｎ≠３ならば、
ｓ　ｉ　ｎ　（ｘ）は正である。

加算及び減算された加数が同し小数位置となるような範
囲低減式の内のすべての中間結果の指数値を適正にセッ
トすることによって計算の計：ｘ’ｔ　Ｎ速度をさらに
早くすることがてきろ。も−し、例えばＸなる値が０．
５から１の間であれば、最終減算が同じ小数位置を持っ
た２つの値の間で行われるようにＸの小数点はビット２
９と２８との間にセットされる。２／πに対する小数位
置はビ・ノＩ・３１と３０との間にセットされ、Ｘ＊２
／πに対する小数位置はビン）２１と２６との間にセン
トされ、π／２に対する小数位置はビット３０と２９と
の間にセットされる。

範囲低減式の最終結果（Ｘ′）は０．５と１との間のＸ
の値に対して小数位置ビット２９と２８との間の値を持
つことになる。上記に説明したようにｓｉｎの計算にお
いてビット３１と３０との間に小数位置を持つことが望
ましい。Ｘ′の小数位置は従って２ヒソ１〜だけ左へ桁
移動され指数はそれに従って調整される。０．５より小
さいＸなる値に対しては範囲低減は行われない。■より
大きいＸなる値に対しては小数位置は、より大きいＸな
る値を説明できるようにさらに桁移動される。小数位置
はＸか１より大きい２の漏数が１増加する毎に１ビット
ずつ左へ桁移動される。

表４はここに開示されたコサインルーチンの疑似コード
説明を提供している。好ましい実施例においては木刀法
は例えばウェイチック×１．８０００又は×１．８２０
０についてのアセンブリ言語を回行する。−１ζ記の疑
偵コートは３１ピノ１＝３１ビット乗算に基づいている
。それは３２ピッ１−−３２ビット乗℃１にもそのまま
応用ずろことができる。

表　　　４ コサインのための疑（以コート コサインのための疑似コー（・ ｉｆ　　（ａｂｓｆｘｌ　＜　Ｉ’ｉ　／イ）ｉｆ　　
（ａｂｓｆｘ）　＜　２　才＊　　１２）ｒｅｓｕｌｔ
−１，０ ｅｌｓｅ（ａｈｓ（ｘ）　＜　２　＊＊−１，２）ｘｓ
ｑ　＝　ｘ　＊　ｘ　［ｉｍｐｌｉｅｄ　ｃｘｐｏｎｃ
ｎ１７１　］ｒｅｓｕｌｔ＝１．０　　＋ｘｓｑ＊（ｃ
ｌ　　＋ｘｓｑ傘（ｃ２Ｉ−ｘ：；ｑ＊ｃ３）ｓｉ（Ｈ
ｎ＝　０　（ｐｏｓｉｔｉｖｅ）ｅｘｐｏｎｅｎｔ−−
１ ｅｎｃｌｉｆ　（ａｂｓ（Ｘ１２＊＊−１２）ｅｌｓｅ
　　（ａｂｓｆｘｌ＜Ｐｉ／４）ｇｏｔｏ　ｒａｎｇｅ
　ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｃｏｓｉｎｅｅｎｄｉ
ｆ　　（ａｂｓｆｘ）＜Ｐｉ／　４　）（１）　　　Ｘ
＜２−１２ならば、ｘ＝１．０、この特殊な場合には他
のすべてのＸは、絶対（ｉｆｆ　ｆｘ）　＜π／４、ｃ
ｏｓｆｘｌ　＜　１．０、 下記（５）を参照。

まず仮数は閂ＳＢ（つまり陰ビット）が３０ヒツトとな
るように桁移りｊされる。これは仮数が含意指数２＋ｅ
ｘｐを持っていることを意味している。それから仮数は
平方されて含意指数４＋２柁χｐを持つｘ２を生ずる。

それからＸ平方は３　＋　２　＊ｅｘｐだＬＪ右に桁移
動されて含意指数１を持ったｘ２を生ずる。

（４＋２　＊ｅｘｐ　−（３→−２＊ｅｘｐ））　＝　
１註：もしｅｘｐ−−１ならばこれは実際には左へ１桁
だけ、桁移動することを意味する。指数は、絶対値（×
）＜π／４なので−１よりも大で有り得ない。

下記の表は弐の右側の５つの値の夫々の含意指数及び計
算における中間値のいくつかを示している。

１、Ｏ ３ｑ Ｉ ＸＳＱ＊Ｃ３ ｃ２＋ｘｓｑ＊ｃ３ ｘｓｑ木（ｃ２　　→−χ５ｑ＊ｃ３）ｃｌ＋ｘｓｑ＊
（ｃ２　＋ｘｓｑ＊ｃ３）ｘｓｑ＊　（ｃｌ＋ｘｓｑ＊
　（ｃ２＋ｘｓｑ＊ｃ３））１、Ｑ　　＋ｘｓｑ＊　　
（Ｃ１＋ＸＳＱ＊　　（Ｃ２−１−ＸＳＱ＊Ｃ３））（
４）　もし絶対値（×）〈π／４、ｃｏｓ（ｘ）＞ば、
符号−〇、 （５）　もし２−１２　＜絶対値（×）＜π／４．１．
０　＞　ｃｏｓ（ｘ）　＞０．５ならば指数−コサイン
の範囲低減 ｎ　＝　１ｎｔ（ｘ　＊　２　／　Ｐｉ　４０．５）ｘ
　’　＝ｘ−ｎ　＊ｐｉ／　２ ｘｓｑ　＝　ｘ　’　＊　ｘ　’　　［ｉｍｐｌｉｅｄ
　ｃｘｐｏｎｅｎｔ＝含■冊数−一−− ＋１−２−１ ■ １　＋−１＝　０ １　　＋　０　＝　１ ０なら １］ ｉｆ　　ｓｉｎｅ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　　ｉ、ｅ、（
（ｎ　　ｍｏｄ２　）　　＝　１　）ｇｏ　　ｔｏ　　
ｓｉｎｅ　　ｅｘｐａｎｓｉｏｎｅｌｓｅ　ｓｉｎｅ　
ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　　ｉ、Ｃ，（（ｎ　　ｍｏｄ２）
＝　１）ｇｏ　ｔｏ　ｃｏｓｉｎｅ　ｅｘｐａｎｓｉｏ
ｎｅｎｄｉｆ　　ｓｉｎｅ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　　ｉ
、ｅ、　　（（ｎ　　ｍｏｄ２　）　　＝　］　）ステ
ップ６及び７は範囲低減を行うために結合する。

（６）　下表はこの式の右側の値の含意指数及びこの計
算の中間値を示すものである。

Ｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　４　＋　ｅｘｐ２／Ｐｉ　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　１ｘ　＊２／　Ｐｉ　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　５　＋！！Ｘｌｌ０．
５　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
３１　　　　Ｉｆｉｎｔ　　ｎ　−（ｘ＊２／Ｐｉ）＞
＞（２６−ｅｘｐ）　　　　　　３１　　　１１２ｉｎ
ｔ　　ｎ　＋０．５　　　　　　　　　　　　　　　　
３１ｎ　−１ｎｔ　　ｎ　＋０．５）＞＞１　　　　　
　　　　　　　　３２　　　１１３１１１、含意指数３
１についての０．５は１とする。

＋１２．中間値ｎは０．５と同し含意指数を持つ。

１１３、含意指数３２についての中間値ｎは、小数部は
完全に桁移動されてしまってい るごとを意味している。

（７）　下表はどのようにｘ　’　＝ｘ−η＊π／２を
計算するかを示している。この計算ε、１正確に行われ
る。丸め、又は切り捨てによるビットｆｊ％失があって
はならない。我々のｄｌ算機のπ／２の仙としては３１
ヒソｊ・のバ／２を使用した。

４．０、指上− ｎ＝ｎ＜＜（３Ｑ　　−ｅｘｐ）　　　　　　　　　　
　２＋ｅｘｐ　　　１１０Ｐｉ／２　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　２ｎ＊Ｉ’ｉ／２　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　／Ｉ　トｅｘｐ　　　月４＋
ｅｘｐ　　（ｊ二記参１１７Ｊ　）ｘ　−ｎ　＊４’ｉ
／２　　　　　　　　　　　　　４＋ｏｘｐ　　　１！
２ｘ　　’　　−（ｘ　　−ｎ　　＊ｌ”＋／２）　　
＜＜（２１（沫ｐ）　　２　　　　　　　　１１３Ｉ１
１．この乗算の後ではピノＬ　１４切捨てられない。結
果の全６４ビツトは保全されている。

牡、これは全６４ピツ１〜の゛成算である。

＋１３．ごれは６４ヒツトの数から、６４ビット数の上
半部までの桁移動である。結果の ６４ビット数の後半の３２ビツトはゼ１コとなるので計
算しない。結果の６４ヒント数の後半の３２ピツＩ・は
ステップ１１０によりゼロとなり、目盛りをセロに合わ
せ る（３０−ｅｘｐ）が桁移１）Ｊされ、そしてステップ
１１３で他の目盛りをゼロに合わせる（２＋ｅｘｐ）が
桁移動されて入ってくる。（（３０−ｅｘｐ）＋　　（
２＋ｅｘｐ））　　−３２゜それ故に後半の３２ヒソＩ
・はゼロである。

絶対値（Ｘ′）はπ／４より小さいこ とが判っているので左側に桁移動させ るビットは無い。従ってこの範囲低減 ステップは正確に行われる。

（８）　下表はどのように含意指数−１に基づいてＸ平
方＝Ｘ′＊ｘ′を計算したかを示す。

含″指 値 ｘ’＊ｘ’　　　　　　　　　　　　　　　２＋２＝４
ｘｓｑ　　＝　　（ｘ’　　＊ｘ’）＜＜３　　　　　
　／ｌ−３＝］コザインの展開 ＋　ｆ　　ａｂｓ（ｘ）　＞　２牢よ一１２ｒｃｓｕｌ
ｔ＝１．０ ｅｌｓｅａｂｓ（ｘ）　＞　２　＊＊　−１２ｒｅｓｕ
ｌｔ　＝　１．０　＋　ｘｓｑ＊（ｃｌ　−１−Ｘ５（
Ｉ＊（Ｃ２→ｘｓｑｓ：ｃ３）ｉｆ　　（（ｎ　ｍｏｄ
　４）　−２）ｓｉｇｎ＝　Ｏ（ｐｏｓｉｔｉｖｅ）　
　ＩＩＪ二ｉ己グラフ参１１（（ｅｌｓｅ（（ｎ　ｍｏ
ｄ　４　）　＝　２　）ｓｉ８ｎ＝　］　　（ｎｅ５ａ
１．１ｖｅ）　　ＩＩ上記グラフ参照ｅｎｄｉｆ　（（
ｎ　ｎｏｄ　４　）　＝　２）ｅｘｐｏｎｅｎｔ＝　−
］ ｅｎｄｉｆ　　　ａｂｓ（Ｘｉ＞　　２＋本−１２サイ
ンの展開 ｘ　　＝ａｂｓ（ｘ　’　） ｒｅｓｕｌｔ＝　ｘ　”　＋　ｘ　＊ｘｓｑ　（ｓｉ　
　十ｘｓｑ　　＊　　（ｓ２→−ＸＳＱ　＋５３）） ｉｆ　　（（ｎ　ｍｏｄ　４）　−３）ｓｉｇｎ＝ｏｐ
ｐｏｓｉｔｅ　ｏｆ　ｓｉｇｎ　ｏｆ　　ｘｅｌｓｅ（
（ｎ　ｍｏｄ　　４　）　−３）Ｓｌｇｎ−３＋１ｍｅ
　ａｓ　Ｓｉｇｎ　ｏｆ　　Ｘｅｎｄｉｆ　　（（ｎ　
ｎｏｄ　　４　）　　＝　３　）ｎｏｒｌＩｌａｌ＋ｚ
ｅ　　ｒｅｓｕＮ［Ｉ　　　Ｘ”の正の数字について計
算する方が容易である。

（２）　下表はどのように、結果−ｘＮ　＋　ｘＩＩ　
＊Ｘ平方（ｓｌ＋ｘ平方＊（３２＋Ｘ平方ｍ５３））を
計算するかを示す。

値 Ｘ　′ ｘ　　　−ａｌｌｓ＜ｘ　　’　） ＸＳＱ ｘ　　”　　＝　　ｘ　　”＜＜１ ｘｓｑ＊５３ ｓ２−１−　ｘｓｑ＊５３ ＸＳＱ＊　　（ｓ２　＋　ｘｓｑ＊５３）ｓｌ＋ｘｓｑ
＊　（ｓ２＋ｘｓｑ＊５３）Ｘｓｑ＊（ｓｌ　　＋ｘｓ
ｑ＊　　（ｓ２＋ｘｓＱ１３））ｘ　＊ｘｓｑ＊（ｓｌ
　＋ｘｓｑ＊　　（ｓ２＋ｘｓｑ＊５３））ｘ　”　＋
　ｘ　”　＊ＸＳＱ＊（３１＋ＸＳＱ＊　（ｓ２＋ｘｓ
ｑ＊５３））含意指数 ２　（上記より） １　（」１記より） ２−１＝］ １＋−３＝−２ １−＋−−２−−１ １＋−１＝０ １＋Ｏ＝１ （３）及び（４）　上のグラフの範囲低減セクションを
参照。

結果の正規化はＭＳＢをヒツト２３へ移動させることを
含んでおり（ｉｃｅｃフメー”ンノト中の陰ビット）指
数を計算しそれらを一１′Ｈに合併する。我々は最初の
１の前の（ｆ’　ｌ：ｌの数をビット３２から始めて計
数してどこに結果のＭＳ［ｌがあるかを告げるｒｆｆｏ
　ｉ命令を用いた。それから結果をこのビットがヒツト
２３となるように桁移動した。指数は、Ｉ（結果の内の
最有意ビット上の１」盛りをゼロに合ね−ｌる数）であ
る。

（Ｃ）著作権１９８９．　ウェイチック　コーボレーシ
ｍｌンＤ、　アーククンジエンＩ・の計算 ここに開示する方法は多項式によって代表されるどの関
数にも応用するごとかできろ。例えばａＬａｎは入力値
によって７つの異な−２だ展開の内の１・つから計算す
ることができる。ｘ　Ｊ＞＜１’Ｊ、　（７）時のａｌ
：ｂｎ（ｘｌの記号（４入力の絶対値のａｊａｎの負で
ある。０から１．３までの範囲の正の入力の場合だけ単
純化について下記で議論される。他の多項式は他の範囲
で用いられる。

８Ｘ１０−５より小さい入力値についてはａｔａｎ（Ｘ
ｉは近似的にＸに等しい。８Ｘ１０−５と０．．１７３
の間の入］ｊ埴についてはａｔａｎｆ×）は多項式の形
で代表される。

ａｌ、ａｎ（ｘｌ＝　ｘ＊（ｃｏ−ｘ２＊（ｃ、　−ｘ
２＊（Ｃ２ｘ”０３　　Ｘ　’　Ｃ、））））　　　　
−ｆ９１ここで、好ましい実施例においては ｃ　ｏ−，９９９９９９９３９９ ｃ、　−，３３３３１９５４０４ Ｃ２−，１９９４８９０５９９ ｃ　、３＝　、　１３６］０３７０２５ｃ　、　＝　、
０７２８３５２９２］ ４７３と、８６８との間の入力値については、すべての
値は位取り因数２°で代表され下記の多項式が用いられ
る。

ａｔａｎ（ｘ）＝　ｃ　ｏ＋　ｘ＊（ｃ　、＋　ＸＩ（
Ｃ２−ＸＩ（Ｃ３Ｘ＊（Ｃ＜　　ＸＩＣ５））））　　
　　−００１ここて、 ＣＯ２ Ｃ２゜ Ｃ３″ ．９８９８２５７９２０ ．５３２６４８２６１９ ３４０８Ｂ２３ｄ３１ ．０７６３９６６２３４７ 表　　　５ ８６８より大きい入力値及び１３より小さい入力値につ
いては、下記の多項式が用いられろ。

Ｃｏ−ＸＩ（Ｃ，−ｘ＊（Ｃ２−１−ＸＩ（Ｃ３−ｘ＊
（ｃ、、−ｘ＊ｃ、、））））Ｑｌ） Ｘ及びＣ１についての位取り因数は、これらの２つの数
が３２の有意ピノｌ−の精度を持つようにセ・ノドされ
る。他の定数及び中間値についての位取り因数は表５に
示されるように加算の前の乗ｆｆＱの結果を桁移動しな
くても良いようにセットされる。

（以下余白） Ｂ、　他の関数 この技術に熟練した者には明らかなようにここに開示さ
れた方法は多項式によって代表される多くの関数のどれ
にもずく応用することができ、上記に説明されるｓｉｎ
、　ｃｏｓ及びａｔａｎは単に実例となったにすぎない
。例えば本方法はｅｘｐ、βｎ、　５ｑｒｔ双曲線関数
及び類１νのものの計算に応用できる。

更に本技術にｙ１練した者には明らかなように」−記に
説明された方法は、より多くの回数の勺イクルが要求さ
れるにせよ、倍精度計算にも直らに応用することができ
る。

Ｆ、　他の方法との比較又は効果 ９５〜９８％が整数で２〜５％が浮動小数点であるよう
なコストに敏感な混合演算に関する利用か多（有る。こ
れらの利用の任意選択しよ予めＩＩＩられている。この
ような利用はどれも１１−１間の９５〜９８％Ｌｅｔ遊
んでいる浮動小数点コブ１コセノ４Ｊのポートスペース
かシリコンに重点を置いている。反ｔ、１４こ、整数演
算の３００″ｙｏも長い浮動小数点Ｉ山笠（全体の２〜
５％）に注目することができる。

ここに提示された技術すよ×し体系の超高速ソフトウェ
ア浮動小数点の実行と連結されて第３の任意選択、つま
り専用ハードウェアを必要としない、相当の浮動小数点
性能を提供する。

表６はウェイチック×１、■及び×１．０ナツプについ
て使用された本発明の方法と、ナン３／６０とソフＩ・
ウェア浮動小数点を用いた場合、及びインテル６８８１
チツプの場合との対比を示し−Ｃいる。またナツプ計算
における８０９６０の速度も示している。

（以下余白） 表６から判るように本発明の方法はリンブーレットフオ
ームにおける浮動小数点又はソフ］・ウェア実行のいず
れよりもはるかに高速なＳ］算待時間対処できている。

さらに８０９（ｉｏと比較しても１１じ６Ｑ）性能を持
っていることが判る。

表６のすべての時間は命令当たりのマイクＩ−２秒単位
で表わされている。すべてのルーチンζＪ：（ｉ８８８
１だけが倍精度で行われている以外は単精度である。

８０９６０を除外してすべての時間が測定された。時間
は、８０９６０データ及びｓ　ｉ　ｎ　ｆｓ）及びｃｏ
乏＋ｆ！＋）計算を除外して、０から１０．０までの範
囲の入力についての平均である。ｃｏｓｆｓ）及びｓｉ
　ｎ　ｆｓ）は０から０．５の範囲で入力された。８０
９６０についての時間はｒ８０９６０ＫＢプログラムの
参考マニュアル」から入手した。入力範囲は明記されて
いない。２５Ｍ１ｌｚのクロック周波数が実行時間を計
算するのに用いられた。

ボエットストン結果を表７に示す。（ｊｌ（位（Ｊキロ
ホエソトストンである。）すべての肋間は８０９６０を
除外して測定した。

以上に開示したところを要約する。ディジタルコンピュ
ータにおいて、ザイン、コサイン及び頻憤の関数の計算
のための方法及び装置を公開する。

多項式展開が応用される。展開の中間結果の指数は記憶
されない。その代わりに最終結果の指数は多項式内の定
数の調整された指数と、入力値の指数とに基づいて決定
される。この方法は固定小数点装置に使用するのに特に
適している。

上記の説明は実例的であり、制限的なものではないよう
に考慮していることを理解すべきである。

多くの実施例は」１記の説明を再考すればこの技術に熟
練した者には明らかになるであろう。それ故本発明の範
囲は、上記の説明によって限定されるものではなく、こ
れらのフレイムが権利を与えられるものの全範囲にわた
って添付のフレイムによって規定されるべきである。

本特許書類の開示の一部分は著作権保護の対象となるも
のを含んでいる。著作権所有昔は、特許庁の特許ファイ
ル又は記録に載っている場合については特許書類又は特
許公開のファクシミリ複写を誰が行っても異議を中し立
てないが、それ以外の場合に関しては何であろうとも、
すべての著作権の権利を保有する。

【図面の簡単な説明】

図１ａ、　Ｉｂ、　ｌｃはｃｏｓｉｎｅ計算に応用され
た場合の本発明の演算を図解するフローヂャ−１・を示
ず。 特　許　出願人　ウェイチック・コーポレーショ゛／代
理人　弁理士　河　　野　　登　　人手続補正書（自発
） 平成２年５月１５日 平成２年特許願第９２９６７勺 発明の名称 高速計算を行うための方法及び装置 補正をする者 事件との関係　特許出願人 所在地　アメリカ合衆国　カリフォルニア９４０８６サ
ニーヘイル　アー力ス　アへニュー１０６０ウエイチツ
ク・コーポレーション 代表者　ジョン・エイチ・スタインハート称 名 １ミ ４、代理人 住　所　■５４３大阪市天王寺区四天王寺１丁目１４番
２２号　日進ヒル２０７号 阿り！目１許事務所（几１．０６−７７９−３０８８）
図面及び優先権証明書 ６、　補正の内容 ６−１図面 全図を別紙のとおりに訂正ずろ。 ６−２優先権証明書 優先権証明書を提出する。 ７、添付書類の目録 （１）訂正図面 （２）優先権証明書（訳文部イ」）

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、ディジタル計算手段において入力値を持った多項式
   展開による部分を少なくとも一部に有する関数の値を計
   算する方法において、 ａ）多項式展開の第１の中間結果を決定するステップ、 ｂ）該第１の中間結果及び第２の中間結果出力を与える
   前記入力値の第１のものについ て演算を行うステップ、 該演算は加算及び減算から成る群から選 ばれ、前記入力値の少なくとも一部分は前 記第１の中間結果及び前記第１の入力値が 同じ指数を持つように調整された指数を持 った数により前記計算手段において表され ており、 ｃ）前記第２の中間結果出力に対応して前記関数の値を
   与えるステップ を有することを特徴とする方法。 ２、少なくとも部分的に多項式展開により表され、該多
   項式展開は入力値を持っている固定小数点プロセッサに
   おける関数の評価方法において、 ａ）前記入力値の代表を記憶するステップ、該入力値は
   既知の位取り因数を持つ、 ｂ）中間結果を得るために前記入力値の第１部分及び第
   ２部分を乗算するステップ、 ｃ）前記中間結果及び前記入力値の１つについて桁移動
   及び演算を行うステップ、 該演算は加算及び減算より成る群から選 ばれたものについて行われ、前記桁移動ス テップは前記既知の位取り因数に対応して おり、 ｄ）該関数の値を出力として与えるステップを有するこ
   とを特徴とする方法。 ３、前記関数がサイン、コサイン及びアークタンジェン
   トより成る群から選ばれたものであることを特徴とする
   請求項１又は２に記載の方法。 ４、前記関数はｆ（ｘ）／ｇ（ｘ）の形の多項式により
   表されるものであることを特徴とする請求項１又は２に
   記載の方法。 ５、前記関数は ｆ（ｘ）＝ａ＋ｂｘ＾ｌ＋ｃｘ＾ｍ（ｄ＋ｅｘ＾ｎ（ｆ
   ＋ｇｘ＾ｏ（ｈ…）））の形の無限級数多項式により表
   されるものであることを特徴とする請求項１又は２に記
   載の方法。 但し、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ、ｇ及びｈ は定数、 ｌ、ｍ、ｎ及びｏは整数。 ６、 ａ）前記関数はサイン関数であり、 ｂ）前記多項式展開は ｓｉｎ（ｘ）＝ｘ＋ｘ＊ｘ＾２＊（ｃ＿１＋ｘ＾２＊（
   ｃ＿２＋ｘ＾２＊ｃ＿３））の形の式である請求項１又
   は２に記載の方 法。 但し、ｃ＿１、ｃ＿２及びｃ＿３は定数。 ７、ｘ、ｘ＾２、ｃ＿１、ｃ＿２及びｃ＿３の小数位置
   は ａ）ｘ＾２＊ｃ＿３の結果がｃ＿２と同じ小数位置を持
   ち、 ｂ）ｘ＾２（ｃ＿２＋ｘ＾２＊ｃ＿３）の結果がｃ＿３
   と同じ小数位置を持ち、 ｃ）ｘ＊ｘ＾２＊（ｃ＿１＋ｘ＾２＊（ｃ＿２＋ｘ＾２
   ＊ｃ＿３））がｘと同じ小数位置を持つ ように調整される請求項６に記載の方法。 ８、前記関数はサイン関数であり、さらに入力値の範囲
   低減のステップを含み、該範囲低減は範囲低減入力値を
   持つ請求項１又は２に記載の方法。 ９、その中間結果が同じ指数を持つ前記範囲低減入力値
   の小数位置を調整するステップをさらに含む請求項８に
   記載の方法。 １０、前記関数はコサイン関数であり、さらに範囲低減
   ステップを含み、該範囲低減ステップはさらに ａ）ｎ＝ｉｎｔ（ｘ＊２／π＋０．５）のような値ｎを
   決定し、 ｂ）ｘ′＝ｘ−ｎπ／２のような値ｘ′を決定し、 ｃ）ｉ）もしｎ＝０又は２ならばｘ′のコサインを計算
   し、 ｉｉ）もしｎ＝１又は３ならばｘ′のサインを計算する ことによってｘのコサインを決定するステップを含む請
   求項１又は２に記載の方法。 １１、前記関数はコサイン関数であり、前記多項式は ｃｏｓ（ｘ）＝１＋ｘ＾２＊（ｃ＿１＋ｘ＾２（ｃ＿２
   ＋ｘ＾２ｃ＿３））の形であり、ここにおいてｃ＿１、
   ｃ＿２及びｃ＿３は定数である請求項１又は２に記載の
   方法。 １２、前記関数の値はディジタルコンピュータからの出
   力を得るために用いられる請求項１又は２に記載の方法
   。 １３、ディジタル処理手段から出力を与える方法におい
   て、 ａ）前記ディジタル処理手段内に入力を受けるステップ
   、 ｂ）該入力の関数の値を計算するステップ、該計算ステ
   ップはさらに ｉ）前記関数の多項式の代表を与えるステ ップ、 該多項式の代表は少なくとも第１中間 結果を持つ ｉｉ）前記入力の１つの小数位置の少なくとも１つが、
   該第１の中間結果の加算又は 減算が少なくとも１つの入力の小数位置 と等しくなるように調整されるステップ ｉｉｉ）前記多項式が関数値を与えるように計算するス
   テップ を含み、 ｃ）前記関数値に基づいて前記出力を与えるステップ を有することを特徴とする方法。 １４、前記関数は３角関数である請求項１３に記載の方
   法。 １５、前記３角関数はサイン関数であり、前記多項式は ｓｉｎ（ｘ）＝ｘ＋ｘ＊ｘ＾２＊（ｃ＿１ｘ＾２＊（ｃ
   ＿２＋ｘ＾２＊ｃ＿３））の形であり、ここにおいてｃ
   ＿１、ｃ＿２及びｃ＿３は定数である請求項１４に記載
   の方法。 １６、前記３角関数はコサイン関数であり、前記多項式
   は ｃｏｓ（ｘ）＝１＋ｘ＾２＊（ｃ＿１ｘ＾２（ｃ＿２ｘ
   ＾２ｃ＿３））の形であり、ここにおいてｃ＿１、ｃ＿
   ２及びｃ＿３は定数である請求項１４に記載の方法。 １７、関数の値を与える装置において、 ａ）入力値を受取るための手段、 ｂ）ｉ）中間結果を持った多項式関数に前記関数の多項
   式代表を与え、 ｉｉ）前記入力値に基づく前記多項式の展開中に使用さ
   れる値を与え、前記使用され る値は加算される値と等しい小数位置を 持つ中間結果の少なくとも１つを与える ように適応され、 ｉｉｉ）前記使用される値と前記多項式展開に基づいて
   前記値の前記関数を計算するよ うにプログラムされた、前記入力値の前 記関数を計算する手段、及び ｃ）前記関数の値を与える手段 を備えることを特徴とする装置。 １８、固定小数点装置である請求項１７に記載の装置。 １９、前記多項式の代表はサイン関数の代表である請求
   項１７記載の装置。 ２０、前記関数を計算するためにアセンブリ言語により
   プログラムされている請求項１７に記載の装置。 ２１、前記サイン関数は、 ｓｉｎ（ｘ）＝ｘ＋ｘ＊ｘ＾２（ｃ＿１ｘ＾２＊（ｃ＿
   ２＋ｘ＾２＋ｃ＿３））の形式の式に基づいて計算され
   、ここにおいてｃ＿１、ｃ＿２及びｃ＿３は定数である
   請求項１９に記載の装置。 ２２、前記ディジタルコンピュータは ｃｏｓ（ｘ）＝１＋ｘ＾２＊（ｃ＿１＋ｘ＾２（ｃ＿２
   ＋ｘ＾２ｃ＿３））の形式の多項式に基づくコサイン関
   数を計算するようにプログラムされている請求項１７に
   記載の装置。 ２３、ディジタル処理手段における、入力値を持った多
   項式展開により少なくとも一部分が表される関数の値を
   引算する方法において、 ａ）前記多項式展開において第１の中間値を決定するス
   テップ、 ｂ）前記第１の中間結果及び前記入力値の第１のものに
   ついて演算を行うステップ、 該演算は加算及び減算より成る群から選 ばれ、前記入力値の少なくとも一部分は前 記第１の中間結果と、前記第１の入力値と が同じ指数を持つように調整された指数を 持つ数により表され、 ｃ）前記演算の結果に基づき、前記関数の値を与えるス
   テップ を有することを特徴とする方法。 ２４、固定小数点ハードウェアの浮動小数点数の計算実
   行方法において、 ａ）浮動小数点数を入力するステップ、 ｂ）前記固定小数点ハードウェア内の前記浮動小数点数
   の関数を評価するステップ、 該評価ステップはさらに、 ｉ）前記浮動小数点数の代表と第１入力値 とを乗算して中間結果を得るステップ、 ｉｉ）第２入力値による前記中間結果と、浮動小数点数
   の前記代表の位取り因数と、 前記第１入力値と、前記中間結果と前記 第２入力値とが等しい位取り因数を持つ ように選ばれた前記第２入力値について 加算又は減算を行い、該加算ステップは 出力値を生成するステップを含み、 ｃ）前記固定小数点ハードウェアからの出力を与えるた
   めに前記出力値を使用するステ ップ を有することを特徴とする方法。