JPH0276690A - ロボットアームの軌道制御方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 ［産業上の利用分野］ 本発明はロボットアームにおいて、特に指定した目標軌
道に高速応答させ、しかも誤差なく追従させるための制
御方法に関するものである。

［従来の技術］ 従来のロボットアームの制＋Ｉｉ　ｂ針法は数学モデル
の線形化の考え方に基づいていることが多く、非線形力
である重力、遠心力とコリオリカなどはフィードフォー
ワード制御によって補償されていた。これらの力はロボ
ットアームの物理パラメータとこれに加える負荷に依存
しているので、物理パラメータや負荷を予め正確に知ら
なければ、フィードフォーワード補償は適用できなかっ
た。また、負荷が変化した場合、当初の制御性能を維持
するためには制御則も変えねばならないので、産業用ロ
ボットのように負荷が変動する作業内容を想定した時に
は実用的な制御とは言えなかった。

また通常のロボットアームでは、制御設計のための簡略
化、物性値の不確かさ、非線形特性の影響によって、得
られる数学モデルにはモデル誤差が生じるのは不可避な
ので、この非線形項をフィードフォーワードによって正
確に補償することには問題があった。

［発明が解決しようとする問題点１ 以上の問題点を解決するためには、本発明ではスライデ
ィングモード制御を使う。スライディングモード制御は
、システムの状態をある切り換え面に持っていき、切り
撓え面に到着したのち不連続入力によって、切り換え面
を湧りながら原点に収束させることを特徴としている。

この場合、システムの挙動は切り撓え面に拘束され、切
り換え而の特性だけで一意に決まる。この切り換え面の
特性はプラントの物理パラメータや外乱とは無関係なの
で、制御性能はそれらに対してロバスト性がある。すな
わち、制御を掛けるためにロボットアームの物理パラメ
ータやそれに加える負荷を予め知っておく必要はないの
である。また、制御性能もロボットアームの物理パラメ
ータの変動や外乱の存在とは無関係なのである。

〔問題点を解決するための手段〕

ロボットアームの運動方程式はよく知られているように
、各リンク間の角度ベクトル９をθ＝［θ１．θ２．・
・・、θ、、］■と置くと Ｍ　（θ）　　ｉ！ｌ＋Ｂ　　（θＪ）＋Ｄ　／ｊ＋Ｇ
　　（θ）＝ｕ＋肖 ・・・（１） と表わされる。ここで、各記号の意味は以下の通りであ
る。

Ｍ（θ）：姿勢θによって決まる慣性行列で、止定対称
行列である。

Ｂ　（ａ、ｔｊ）　：遠心力とコリオリカ項りゆ二粘性
摩擦力項 Ｄ　＝　ｄ　ｌ　ａ　ｇ　（Ｄ　＋　、Ｄ　２＋””　
＋　Ｄ　ｎ　）　：粘性摩擦係数Ｇ（θ）：重力項 Ｕ：各リンク間の入力トルク Ｗ：例えば、静止摩擦などの外乱を表わす注意すべきこ
とは、一般のロボットアームの慣性行列の客要素は物理
パラメータであるリンク長重心位置、質量、重心位置に
関する慣性モーメントとリンク角度のｓｉｎ、ｃｏｓ（
Ｉｉの加算と減算とかけ算で組合されたものであるので
、上・下有界性を有することである。他の項である遠心
力・コリオリカと重力の係数も同様に上・下有界である
。

以下、（１）式の運動方程式に基づいて本発明の制御則
を導出する。

目標軌道、目標追従速度をそれぞれ／ｊ　ａ　、ＩＩ　
ａ　と記す。すると、角度誤差ｅ（ｔ）、角速度誤差も
（ｔ）はそれぞれ ｅ（ｔ）＝θ（１）−θａ（をン・・・（２）心　　（
ｔ　）　　：　ゆ　　（１）　　　−〇　、＋　　（１
）　　　　　　　　　　　・・・　　（３）となる。ま
た、ｎ　＋ＩＩの切り換え而ｓ、＝Ｏ（ｉ＝１、・・・
、ｎ）をまとめて次式のベクトル　で書く。

Ｓ＝［Ｓ＋＋　Ｓ２＋・・・＋ｓ、］Ｔただし、Ｓｌは Ｓ、＝ｃ、ｅ、＋４．．ａ、＞０ と定義する。よって、 ｓ　＝　Ｃｅ　＋　ｂ　　　　　　　　　＝　（４ａ　
）Ｃ＝　ｄ　ｉ　ａｇ　（ＣＩ、Ｃ２，・、Ｃ，）　＝
・・（４ｂ　）となる。

システムの状態を任意の初期状態から切り換え面へ収束
させるために、リャプノフ関数をＶ　（ｔ）＝　（１／
２）ｓ’Ｍ　（＃）ｓ　−（５）と選ぶ。このとき、Ｖ
　（ｔ　）　＜　Ｏ（ｓ≠０）を満足させれば、ｔ→■
でＶ（ｔ）→０となりシステムの状態の収束性が保証さ
れる。ただし、上けき記号°゛・′は時間微分を意味し
ている。従って、Ｖ（ｔ）は Ｖ　（ｔ　）　＝　（１／　２）ｓ’Ｍ（６１）ｓ　＋
　ｓ”Ｍ（ａ）Ａ＝（１／２）Ｓ’Ｍ（ＩＪ）ｓ＋ｓ　
ＴＭ（θ）（Ｃｔ４＋り＝　　（１／　　２　　）ｓ’
Ｍ（θ　）ｓ＋ｓ’［Ｍ（θ　）Ｃ６＋Ｍ（θ）　　ｌ
ｊ−Ｍ　　（／７）　　＃ｖ］・・・　（６） となり、（１）式から分るように Ｍ（θ）／Ｊ＝ｕ＋ｗ−Ｂ（θ、θ） −Ｄυ−Ｇ（θ）　　　　・・・（７）と書け、これを
（６）式に代入すると、Ｘ：、／（ｔ）は ｖ　（ｔ）＝（１／２）ｓ’Ｍ（θ）Ｓ＋　　ｓ”［Ｍ
　　（θ　）Ｃ！＋ｕ＋ｗ−Ｍ（θ＞　　ＩＪ　、、＋
　Ｂ＜　　θ、ハ）−Ｄ　θ−Ｇ　（θ）〕・・・　（
８） になる。（８）式において、もし、括弧［］内をＭ（θ
）　Ｃ６＋　ＬＪ＋Ｗ−Ｍ　（θ）ｂ。

−Ｂ　（Ｇ、ｄ）−Ｄθ−Ｇ（θ）＝−Ｐ（ｔ）ｓ・・
・　（９） Ｐ　（ｔ）＝ｄｉａｇ　［Ｐ：（ｔ）］とすることがで
きれば、９（ｔ）は ？（ｔ）＝（１／２）ｓ”ｒｏ’！（θ）ｓ　−ｓ’Ｐ
　（ｔ　）ｓ・・・　（１０） となり、ｐ：（ｔ）を ｐ：（ｔ）＞ΣＪＩ　　Ｍｔ）／２　１　　＋に、　　
　−（１１）ｋ　、＞　Ｏ：任意の正定数 ととるとき、（１０）式から次式が帰られる。

Ｖ　（ｔ　）　＝−ｓ’ｄ　ｉ　ａｇ　（ＬＣ＋）　Ｓ
・・・（１２） ゲシュゴリンの定理より、（１２）式の右辺第２項は負
定になる。従って、 Ｖ（ｔ）＜−ｓＴｄｉａｇ（ｋ、ン５−−−（Ｌ３）と
おけ、ｖ（ｔ）は負定になりシステムの状態が切り換え
面上に収束することは保証される。また切り換え面上Ｓ
＝Ｏに到達したときは（４）式で示したように、ａ、＞
０．ｉ＝１〜ｎととって安定に設定したので原点への収
束も保証でき、よってシステム全体の安定性も保証でき
る。以下では（９）と（１１）式を満足させるような制
御則Ｕを求める。

さて、物理パラメータ　Ｍ　、Ｂ　、Ｄ　、Ｇの真値を
（１４）式のようにそれぞれの公称値と、それからの変
動分で表す。

Ｍ（θ）＝Ｍ”（θ）＋　７Ｍ（θ） Ｂ（Ｃ１）＝Ｂ”（θ、θ）＋　ΔＢ（θＪ）Ｄ＝Ｄ”
＋ΔＤ　　　　　　　　　　・・・（１４）Ｇ　（θ）
＝Ｇ”（θ）’　　＋　Ａ　Ｇ　　（θ）但し、Ａ６は
Ａの公称値を表し、ＡＡは公称値からの変動分である。

次に、その上限値を“°″付きの英字で表す。すなわち
、 ｌＪＭ１５１　≦θす １　Δ　Ｂ、ｌ　　≦０゜ ｌ　　Ａ　　Ｄ　１１　　≦０．　　　　　　　　　　
　・・・　（１５）ｌ　　Ａ　Ｇ、ｌ　　≦Ｃ１ とする。　入力を二つに分けて Ｕｗａ＋ΔＵ　　　　　　　　・・・（１６）とする。

但し、０は Ｃ１＝　Ｂ”　（θＪ）＋Ｄ”　θ十Ｇ”　　（θ）−
Ｍ（θ〉０合　　　　　　　・・・（１７）と定義する
。よって、（１を求めることは、Ｉ！ｌｕを求めること
に相当することになる。（９）式に（１４）、（１６）
、（１７）式を代入して、Ｕの１番目の要素を取り出し
て（１８〉式を得る。

Ａｕ、＋ｗニーＭ：（θ）ａ、−ｄＢ：（θ、々）−Ｉ
ＩＤ、θ、−７４Ｇ、（θ）＋＃Ｍ、Ｃ，４＝　　−ｐ
：（ｔ）Ｓ、　　　　　　　　　・・・（１８）Ｓ、≠
０の時、（１８）式の両辺を−８，で削ると −［ｄｕ、＋ｗ、−Ｍ、（θ）、ａ、−７Ｂ　、　（θ
、υ）−ｉＪ　　Ｄ　ｌり、−，６Ｇ、（θ）＋　　Ａ
　Ｍ、Ｃ合］／Ｓ１＝　　ｐ　１（ｔ）　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　・・・　（１９）が得ら
れる。（１１）式の条件より −［ｄ　ｕ　、＋ｗ、−Ｍ、（θ）＃ｄ−ＡＢＩ（θ、
υ）−ａＤ、ｌｉニーａａＡｅ＞　＋ａＭ、ｃａｌ／ｓ
。

≧Σ１　Ｍ、／２　１　　＋　ｋ　、　　　　　　・・
・　（２０）が成り立つ。これを整理すると ［ｔｕ、十に１Ｓ１］／Ｓ１ ≦［−ｗ、＋Ｍ１（θ）ａ、＋ａＢ、（θ、θ）＋−Ｉ
　Ｄ　、θ、−１１１Ｍ１ｃ！］−１−ｚｌＧ＋（θ）
］／Ｓ、Σ・ｌ　　Ｍ　Ｉｐ／　２　１　　　　　　　
　　　　　　　・・・　（２１）となる。ここで、外乱
Ｗ１と目標角加速度θ、は一般性を失うことなく有界と
仮定できる。θ４が有界慣性行列Ｍ（θ）も上に有界で
あるので、Ｍ。

（θ）θ、も有界となる。そこで、Ｗｌ　と　Ｍ、（θ
）ｉ、の上界をそれぞれ　・シン、と　Ｑｌと記すこと
にする。すなわち、 ＩＷ口≦會 １Ｍ１（θ）　ｌＪ、Ｉ≦９．　　　　　　・・・（２
２）Ｉ　Ｍシフ１　≦Ｆ＞１＋） である。　ここで、Ｍ、（８）は　Ｍ（θ）の第１行ベ
クトルである。（２１）式の不等式が常に成立つために
、（２１）式左辺が開式右辺の上限のマイナス値を取る
ように１！ｌｕＩを下式のように決める。

［／３ｕ：＋に１ｓｌ／ｓ、 ＝　−［Ｖ／、＋　９：＋　Ｂ：　（θ、θ）十Ｇ１（
θ）＋ΣＪ（ＭＣ）＋）Ｉ白１１＋　Ｄｌｌ　０．１　
　］　　／　　ｌ　　ｓ　、１・−ΣＪＭ　１４／　２
・・・（２３） すなわち、ｌ　ｓ　ｌ　ｓｇｎ　（ｓ）　＝ｓの関係式
を使って、７！ｌｕ、を Ａ　ｕ　、＝　−ｋ　、ｓ　、−Σ４　Ｍ　１１　／　
２　Ｓ　ニーＳ　ｇ　ｎ　　（Ｓ　１）［＠、＋　ウ、
＋＠、＜　θ、　ｂ　＞　　＋　ｔ−ｌ＜　　θ）＋Σ
、（Ｍｃ）、Ｊｌ　　合、ｌ＋Ｄ、ｌ　　θ１１　］・
・・（２４） と取れば、（１１）式の不等式は常に成り立つ。

ただし、（ｒＧ’１ｃ）１１はＩＱｃのｉ行ｊ列目の要
素を表す。よって、リアブノフの安定性理論よりシステ
ムの安定性は保証される。このとき、（２４）式、（１
６）式、（１７）式により、本発明の制御則ｕ１は最終
的に ｕ、＝Ｂ”、（θ、θ）＋Ｄ’、θ　＋　Ｇ”、Ｃ＆）
−Ｍｌｏ　（θ）　　Ｃ＠ｋ　：　Ｓ　　Ｉ−２ｗ　Ｉ
ＶＩ　；　Ｊ／　２　　ｓ　　ニーｓｇｎ　（Ｓｌ）［
の１十つ、＋９：＜θ、θ）十Ｇ、（θ）＋Σ・（簡Ｃ
）ｌｄ　　合１１　＋亡・１１　θ、１］・・・　（２
５） となる。すなわち、（２５）式の制御則は遠心力とコリ
オリ力の公称値Ｂ°、（θ、θ）、粘性摩擦力の公称値
Ｄ０．θ、 重力の公称ｊｍＧ”、＜θ）、 慣性行列の公称値に切り替え面の係数と角速度誤差を乗
じた一Ｍど　（θ）ＣΦ、 任意の正定数と切り替え面の状態の積−に、ｓ、、慣性
項１行要素の各上界値の加算値の半分の量と切り替え面
の状態の積−Σ４ｒ’Ａ　Ｌ）／　２　ｓ　。

それぞれの加算値と、 外乱の上界値　の１、 慣性行列と目標角加速度の積の上界値９１、遠心力とコ
リオリ力の上界値色、（θ、Ｊ）、重力の上界値Ｃ，（
θ）、 慣性行列の上界値に切り替え面の係数と角速度誤差の絶
対値を乗じたΣ、Ｍｌ；ＩＩＣ）　、＋　ｅ：ｌ、およ
び粘性摩擦係数の上界（ａ　［）　、に角速度の絶対値
Ｉθ１１を乗じた粘性摩擦力の上界ｆ直ｆｉ、ｌ　Ｊ、
１、それぞれの加算１直が切り替え面の符号によって正
負に切り替わる量 との和で構成されているのである。この制御則をロボッ
トアームに適用したときの構成は第１図になる。同図に
おいて、測定できるロボットアームの状態量は関節角度
θと関節の角速度４９である。

これらの測定から、（２）、（３）式で表された誤差を
それぞれ計算する。しかるｊ麦に、（２５ン式で表現し
たように、物理パラメータの公称値を使った演算を実時
間で行ない補償を掛ける。また同時に、現在のロボット
アームの状態は（４）式で定義した切り替え変数で監視
されており、この切り替え変数の符号によって、各上界
値の加算量を正負に切り換えて全体の制御が完了してい
る。

さて、（２５）式の制御ｆｆ１ｊは正確な物理パラメー
タを使わなくても良い制御ができることを示しているが
、このままの形で適用した場合、もしロボットアームの
数学モデル化において、省略した高周波数ダイナミクス
が存在する場合には、これを刺激して機械共振など好ま
しくない応答を引き起こす恐れがある。そこで、高周波
ダイナミクスを有し、しかもそれがロボットアームの数
学モデルに含まれない場合に対して有効な制ｍ　ｕｆｒ
を以下に求める。

（１５）式から分かるように、入力は不連続となるが、
その原因は符号関数ｓｇｎ（ｓ）を使っているためであ
る。システムの状態が切り換え而ｓ　、＝　Ｏの近くに
入ると、ｓｇｎ（ｓ＋）によって入力は不連続になり、
激しく変動する。実際に多リンクアーム系に通用する時
には、システムの中にモデル化されていない高周波数ダ
イナミクス部分、すなわち機械共振などを励振してしま
い発振の原因になりつると思われる。そこで、入力を連
続とし、機械共振などの望ましくない応答を避けるため
に、ｓｇｎ　（ｓ）の代りに連続な飽和間数ｓａｔ　（
ｓ／ε）を用いることもできる。すなわち、（２５）式
のｓｇｎ（ｓ）の代わりに５ａｔ（ｓ／ε）を用いて、
人力ｕ５を ｕ　、＝　Ｂ　、″　（θ、θ）＋Ｄどθ、十Ｇ１°　
（θ）−Ｍ、。　（θ）　　Ｃｈ　　　ｋ　：　ｓ　１
−ΣＪ＋ＶＩ　Ｌ４／　２　Ｓ　ｌ−５ａｔ（Ｓ、／６
１）［ｇＶ、＋Ｑｌ＋Ｅｌｌ（θ、θ）十〇、（θ）＋
Σパ閂Ｃ）Ｌ、（１＋４Ｉｌ　＋　Ｄ＋Ｉ力ロ］・・・
（２６） とするのである。この制御則を実行する時の制御系構成
は第１図と同様である。（２５）式の場合各上界値の加
算量を切り換える関数は符号関数であったが、（２６）
式では単にそれが飽和関数となるだけである。さて、ｓ
ｇｎ（ｓ：）と　５ａｔ（Ｓ、／εｌ）関数の特性は第
２図と第３図に示している。両図から分かるように、ｉ
ｓ、ｌ＞ε、の時、ｓａｔ　（ｓＩ／ε：）＝ｓｇｎ　
（ｓ：）　　であるから、（２６）式の入力は（２５）
式のものと一致する。よって、ｌｓ：ｌ＞６１の時の切
り撓え面方向への収束は保証される。　しかし、Ｉｓ、
ｌ＜６１の・時は５ａｔ（ｓ：／ε１）≠ｓｇｎ（ｓ：
）なので、収束性は保証されなく、切り撓え面で反発す
る可能性がある。ａ１合的にみると第４図に示すような
システム状態の薄い層１ｓ１１≦６１への収束だけが保
証される。この場合、入力は連続になるが、欠点として
誤差も生ずる。この誤差は以下のように見積られる。

まず、システムの状態が薄い層１ｓ、Ｉ≦８１に入って
いると仮定する。すなわち、 ｓｉ＝ξ（ｔ）、（ｌｓ（ｔ）１≦εＩ）とすると、（
４）式により Ｓ　１”　ＣＨｅ　＋＋　６１＝ξ（ｔ）　　　・　（
２７）よって、１＝０のとき、初期値が目標軌道上ｅ（
０）＝０にあるとすると、（２７〉式の解は６、＝、ｒ
’Ｈξ（ｒ　）　ｅ　ｘ　ｐ　（−ｃ　１（ｔ　−ｒ　
））　ｄ　ｒとなる。よって、 Ｉｅ、ｌｉ／：ξ（ｒ）ｅ　ｘ　ｐ　（−ｃ　＋（ｔ　
−ｒ））ｄ　τ１≦　／：１ξ（ｒ）Ｉ　ｅｘｐ（７ｃ
：（ｔ−ｒ））ａτ≦　犬ε１ｅ　ｘ　ｐ　（−ｃ　：
（を−τ））ｄτ≦ε＋／ＣＩ（１−ｅｘｐ（−ｃ：ｔ
））≦ε１／Ｃ１・・・（２８） と展開できる。すなわち、誤差をε、／ｃ１以内に抑え
ることができる。従って、ｃｌ　を大きくとれば目標値
への収束は速くなり、しかも誤差を小さくすることがで
きる。Ｂ１を大きく取ると、人力は一層なめらかになる
が、誤差は大きくなってしまう。よって、（２６）式の
制御則を実際に使うときには、収束速度と誤差間のトレ
ードオフを考慮する必要がある。

［作用］ 本発明の制ｆＪ１則は（２５）式とく２６）式で示した
ように数式で表現しているため、その作用を厳密に説明
することは難しいが、簡単に本発明の制御則の作用を説
明すると以下のようになる。すなわち、ロボットアーム
の物理パラメータの概略の値、すなわち公称値を使用し
て荒い制御をまず掛けておくのである。この概略値は真
値とは異なっているのでこのままのｔｅｌｌ　ｆＨでは
、とても目標軌道に追従させることはできない。そこで
物理パラメータの真値を公称値とそれからの変動分の上
界値で表わした時、先の制御によって目標軌道に追従し
きれなかった部分を、物理パラメータの公称値からの変
動分の上界値を与え、これを制御に使ｍして補正を掛け
ているのである。

［実施例］ 第５図のような２リンクアームに対して本発明の制御則
を適用した結果を示す。この２リンクアームの運動方程
式は、（１）式で示したようにＭ　（θ）＃＋Ｂ　Ｃｅ
、ｌＩ）＋ＤＪ＋Ｇ　（／？）＝　Ｕ　十　冑 と表され、物理パラメータ　Ｍ、Ｇ、Ｂ　　は次式とな
る。

Ｍ　１１＝　Ｊ　）　＋　Ｊ　２　＋　ｍ　１．ｒ　２
２＋　ｍ　２　（ｒ２’　＋　１１２）＋２　ｍ２１　
、ｒ２ｃ　ｏ　ｓθ２ Ｍ、２＝Ｍ２．＝　ｍ２ｒ２”＋　Ｊ２＋　ｍ２１　、
ｒ２ｃ　ｏ　ｓθ２Ｍ　２２　＝　ｍ　２　ｒ　２２＋
　Ｊ　２Ｂ＋（６１，θ）＝−２ｍ２１．ｒ２ｓｉｎθ
２＃　＋７２−ｍ２１　、ｒ２ｓ　ｉ　ｎθ２θ２２Ｂ
２（θ、θ）＝　ｍ２１　、ｒ２Ｓ　ｉ　ｎθ２沙、２
Ｇ、（θ）＝　　（ｍ、ｒ、＋ｍ２１ｔ）ｇｃＯ５θ。

＋ｍ２ｒ２ｇｃｏｓ（θ１＋θ２） Ｇ、（θ）＝ｍ２ｒ、ｇｃｏｓ　　（θ１十０２）ただ
し、ｍｌ、ｍ２：　　リンク１，２のｊｔｆｌｔＪ、、
Ｊ２：　　リンク１．２の重心位置に関する慣性モーメ
ント １、．１２：　　リンク１，２のリンク長ｒ　Ｉｎ　　
ｒ　２：　　リンク１．２の重心位置ｇ；重力加速度 である。ここで、（２５）式の公称ｆａＢ”（θ、θ）
ｔ　　Ｍ＠（θ）Ｃｅを Ｂ’　　（θ、θ）＝Ｏ Ｍ”　　（θ）Ｃ合＝０ と置くことにする。すなわち、公称値を零と置いて、生
ずる誤差をすべて変動の中に含めてしまうのである。こ
の場合、Ｅｌ、（θ、θ）　、ＩＡｉｃはその項の上界
値になり ９、（θ、Ｊ）＝　（ｍ、、ｌ　＋ｒ２）、、Ｋ（２Ｉ
汐、θ、Ｉ＋θ２２） Ｂ２（θ、ａ　＞　＝　＜　ｍ　２１１　ｒ　２）　１
１１１−０１２Ｍ＋ＣＩ　Ａ’ｌ　＝Ｍ＋＋ＣＩＩ　”
＋Ｉ　＋Ｍ＋２Ｃ２１白、ｌ＝　［Ｊ、＋Ｊ２＋ｍ、ｒ
２”＋ｍ２（ｒ２’＋　１　＋”）＋２１７１２１＋２
”２１　＋＋ａ＋ｅｌｌ　ｅｅ１＋　　（ｍ２ｒ２２＋
Ｊ２＋ｍ２１　、ｒ２）　１１．、ｃ　２１　　ｅ２ｔ
Ｍ２ＣＩ　　白　ｌ＝Ｍ、２ｃ、ｌ　　白、１　＋　「
切２２Ｃ２ｊ　　合、１＝　（ｍ２ｒ　２２＋　　Ｊ２
＋ｍ２１　　＋ｒ　２）ｎａ＋ｃ　　１　ｌ　　ｅ＋Ｉ
十　　（ｍ、、ｒ　　２２＋　　Ｊ　　２　ン　　ｍａ
：ｒ　　ｃ　２　　＋　　　６　２　１と取ればよい。

Ｄ”、Ｇ”　　（θ）は物理パラメータの同定値を取る
。この時６（θ）、０は同定誤差を意味する。

本発明の制御則を検証するために３のリンク１と４のリ
ンク２を有する第５図の２リンクアームを対象として数
値実験を行った。＠値実験するときに使ったリンク長さ
、重心位置、質量、慣性モーメント、粘性摩擦係数の公
称値と同定値は下表に示す。下表のようにに、大体１０
パーセントの差を取っている。

表　２リンクアームの物理パラメータの真価と公称値 また、外乱としては顔大値が１である乱数関数をロボッ
トアーム側に印加している。以下では数値実験の結果を
示す。

第６図、第７図は（２５）式の制御則を使って直線軌道
： ｘ＝０．３　　　　　　　　　　　［ｍ］ｙ＝０．２−
０．２ｔ　　　［ｍｌ　　（ｔ＜２ｓｅｃ）に追従させ
たときの入力と追従誤差である。第７図に示すように誤
差はほとんどゼロに収束するが第６図の入力は激しく変
動している。

第８図、第９図、第１０図は制御則（２６）式を使った
時の直線追従の模様であり、それぞれ直線軌道追従の様
子を示すスティック線図、入力、追従誤差である。ここ
では、ｃ、＝ｃ、、＝５．ε、＝ε２±０．０２とした
。−１入力は連続となっているので、機械共振などを励
振することなくなめらかに動作させることができる。し
かし、追従誤差が生じている。

第１１図、第１２図、１３は円軌道： ｘ！０．２７＋０．１１５ｓｉｎ（３，１４ｔ）　　　
［ｍｌｙｌＩ０．１１５＋０．１１５ｃｏｓ（３，１４
ｔ）　　［ｍｌ（ｔ＜２ｓｅｃ） すなわち、 （ｘ−０，２７）２＋（ｙ−０，１１５）２１ＩＯ，１
１５２に追従させたときの模様であり、それぞれ円軌道
追従の様子を示すスティック線図、人力、追従誤差であ
る。ただし、ｃ　、＝　ｃ　２＝　３　、ε１＝ε２＝
０゜０５としている。若干の追従誤差はあるもののなめ
らかに円軌道を描いている。

数値実験の結果は本制御方法の有効性と、パラメータ変
動や外乱に対するロバスト性を示している。また、第９
図と第１２図から明らかなように飽和関数を使った場合
には、入力がほとんど連続となった。従って、ロボット
アームのモデル化を省略した高周波ダイナミックス部分
を刺激して機械共振を励振することなく目標軌道に追従
させることができる。

尚、本実施例では２リンクアームを制御対象としてその
制御性能を示したが、多リンクアームの場合でも同様の
制御性能を得ることができる。

さらに、ロボットアームに限らず、位置決めテーフ゛ル
、電動機などを制御対象とした機械システム全般への制
御にも本発明の制御則は適用可能である。

［発明の効果］ 本発明の効果を箇条書きにすると以下の通りである。

（１）ロボットアームの物理パラメータ変動と外乱に対
してロバスト性がある。

（２）制御則には慣性行列の逆行列計算を必要としない
ため、設計は非常に簡便となり、且つ制御則の実現も容
易である。他の制御設計法では慣性行列の逆行列Ｍ−１
を計算する必要があるので、制御則は複雑になる。特に
リンク数が増えると、格段に制御設計が困難になること
は容易に理解できよう。

（３）応答特性を簡単に調整できる。よく調整すると入
力計算は簡単になり、計算量を大幅に減らすことができ
る。

（４）計算量の減少量は、多リンク系の場合にその効果
が一層顕著となる。

（５）本発明の制御則は、ポイント間の位置決め制御（
Ｐａ１ｎｔ　ｔｏ　Ｐａ１ｎｔ　Ｃｏｎｔｒｏｌ）にも
直接適用することができる。以下、上記項目で述べたこ
とを含めて本発明の効果を詳細に説明していく。

さて、軌道制御は普通、有限の時間で済むので定常特性
よりも応答の連応性が要求されている。

スライディングモード制御を利用する場合には、切り換
え面≦＝０への収束の速さが特に要求される。これは（
２５）式の定数に１と関連しており、ｋｌが大きくとら
れると、（１３）式により収束は速い。システムの状態
が切り換え面・ｓ＝０に入ったら、挙動は　白、＋　ｃ
　、ｅ　、＝　Ｏで決められ、ｎ個の一次微分方程式で
表されているので、各リンク間の干渉が取除かれていて
、ｎ　ｉｌｌの独立な単リンク系のようになる。誤差を
速くゼロに収束させようとする時には単にＣ１を大きく
とればよい。

従って、制御則の適用は非常（こ簡単であり、実用性が
高い。

また、（２５）式の制御則は、ロボットアームの物理パ
ラメータの公称値と、公称値から離れる偏差の上界値と
、外乱の最大値で表され、ｒＸ値を全く用いていない。

すなわち、ロボットアームの物理パラメータ変動や外乱
の値がその限界値以内に入ればシステムの定常特性は変
らないので、パラメータ変動と外乱に対してロバスト性
があることを示している。すなわち、制御則が公称値と
限界値で記述されているので、設計の簡便性を示してい
る。何故ならば、普通は物理パラメータの同定値をとる
のであるが、ここでの公称値は設計者が自分で任意に決
定することもできるので、これによって、いろいろと特
徴のある制御則が作れるからである。実際使うとき、具
体的な制御対象と使える制御９Ｍ置に応じて一番適用し
やすい制御則を作ればよい。

次に制御の計算量の低減について述べる。計算量の問題
はロボットアーム制御部の一つの頭の痛い問題であった
。すなわち、ｌサンプリングの制御超周期内にたくさん
の演算をしなければならない。

計算量を減らすことは従来から注目されていて、いろい
ろな工夫がされてきている。しかし、ロボットアームの
制御では、三角関数（正弦、余弦）の計算が多いので、
これらを実時間で計算するのは大変時間がかかる。しか
し、本制御ｌ去は物理パラメータの公称値とその上限値
のみを使っているので、三角関数の有界性を利用してこ
れら三角関数の計算を除くことが可能である。例えば、
コリオリカと遠心力Ｂ（θ、θ）を考えると、Ｂ　（θ
、θ）＝Σ　ｆ　Ｌ）（ｓ　　ｉ　　ｎ　θ、ＣＯＳ　
　θ）θ、θ。

は時変の係数ｆ　（ｓ　ｉ　ｎθ、ＣＯＳθ）のため実
時間で計算するとき時間がかかり、また値がそれほど大
きくはない。ここでは、Ｂ’　　（θ、Ｊ）　　をゼロ
と置くと、會（θ、ユンは（１４）式により　Ｂ（θ、
４）の上界ｆ鋼になり、１θ、１の二次多項式％式％ θ）の係数は一つの定数になってしまうので、計算、量
を大幅に減らすことができる。ほかの項、例えば重力な
どの項も原則として同じように処理することができる。

しかし、そうすると、（２５）式の［］内の値が大きく
なり、状態が切り撓え面の近くに入ると、不連続な符号
関数ｓｇｎ（ｓ）によって、入力の不連続変動の幅が大
きくなり機械共振を励振するなど望ましくないことにな
る。

つまり、正確なパラメータを使わなくても簡単に制御は
できるのであるが、正確な物理パラメータにより近い値
を使えば、入力の変動幅を抑えることができる。実際に
設計するときには、計算量と入力の変動幅のトレードオ
フを考慮する必要がある。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の制御則をロボットアームに適用する時
の構成を示す図、第２図は符号関数ｓｇｎ、、（ｓ）を
説明するための図、第３図は飽和関数ｓａｔ　（ｓ／ε
）を説明するための図、第４図はシステム状態の収束が
保証される薄い層を説明するための図、第５図は２リン
クアームのモデル図第６図は制御則（２５）式を用いた
時の直線軌道追従に於ける入力の変化を示す図、第７図
は制御則（２５）式を用いた時の直線軌道追従に於け、
る追従誤差を示す図、第８図は制御則（２６）式を用い
た時の直線軌道追従の様子を示すスティック線図、第９
図は制御則（２６）式を用いた時の直線軌道追従の入力
の変化を示す図、第１０図は制御則く２６）式を用いた
時の直線軌道追従誤差を示す図、第１１図は制御則（２
５）式を用いた時の円軌道追従の様子を示すスティック
線図、第１２図は制御則（２６）式を用いた時の円軌道
追従時の入力変化を示す図、第１３図は制御則（２６）
式を用いたときの円軌道追従誤差を示す図である。 １・・・ロボットアーム ２・・・制御則（２５）式 ％式％ 木宛明の制御和則εロホ゛ット了−ムに遅月イる吟ハ填
族乞示寸図第　１　図 ■ 符号関数ｓｇｎ（Ｓ）ミニを明１ろための図第２０ 第３図 第４図 ２リンフ了−４のモデル図 第５図 制御ｊｌ’＋　（２５）代゛乞出いｒｃ哨の直線戟選追
促に７廻する入力の変化乞ホＴ図 第６図 第７図 第８図 第９図 第１０図 第１１図 第１２図 第１３図

Claims (3)

【特許請求の範囲】
1. （１）ロボットアームの軌道制御において、前記ロボッ
   トアームの物理パラメータである慣性モーメント、リン
   ク長さ、重心位置、質量、粘性摩擦係数それぞれの概略
   の値である公称値を使って入力トルクを算出して軌道制
   御を掛けておき前記物理パラメータそれぞれの真値に対
   する公称値の誤差を上界値として設定しこれを制御量と
   し、 この制御量は、関節角度と目標関節角度との偏差と、関
   節角速度と目標関節角速度との偏差で形成された平面に
   設定する切り換え面上で切り換えられた入力トルクであ
   り、 この切り換え入力トルクによって前記軌道からのずれを
   補正したことを特徴とするロボットアームの軌道制御方
   法。
2. （２）ロボットアームにおいて、各関節への入力トルク
   を与える制御則は、 遠心力とコリオリ力の公称値、 粘性摩擦力の公称値、 重力の公称値、 慣性行列の公称値に切り替え面の係数と角速度誤差を乗
   じたもの、 任意の正定数と切り替え面の状態の積、および慣性項ｉ
   行要素の各上界値の加算値の半分の量と切り替え面の状
   態の積それぞれの加算値と、 外乱の上界値、 慣性行列と目標角加速度の積の上界値、 遠心力とコリオリ力の上界値、 重力の上界値、 慣性行列の上界値に切り替え面の係数と角速度誤差の絶
   対値を乗じたもの、および 粘性摩擦係数の上界値に角速度の絶対値を乗じた粘性摩
   擦力の上界値、それぞれの加算値が、切り替え面の符号
   によって正負に切り替わる量との和で構成されているこ
   とを特徴とする特許請求の範囲第１項記載のロボットア
   ームの軌道制御方法。
3. （３）前記入力トルクを与える制御則の中で、符号関数
   を飽和関数にしたことを特徴とする特許請求の範囲第２
   項記載のロボットアームの軌道制御方法。