JPH03211680A - 超要素の多重化方式 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明は、有限要素法にもとづいて構造解析を行うシス
テムに係り、大規模構造解析を高速、がつ、高精度に実
行可能とする超要素の多重化方式〔従来の技術〕 従来、大規模な構造解析を行うにあたり、部分構造法を
用いて解析計算を行う手法として、多くの方法が用いら
れている。その中でＣｒａｉｇ　−Ｂａｗｐｔｏｎの手
法にもとづく部分構造モード合成法により作成される超
要素を解析要素に用いることによって、ある程度大規模
な解析を行う場合でも計算機容量の不足は補うことがで
きる。一方、高速演算、大容量演算を可能とするスーパ
ーコンピュータ等のコンピュータ能力の向上に伴い、大
規模構造系の解析に対するニーズが高まってきた。

また、有効要素分割に対する技術の発達により大規模構
造物の解析モデル作成も容易になってきた。

しかし、構造解析では構造物が大規模、かつ、複雑にな
ればなる程、計算機容量や計算に要する時間は増加の傾
向をたどる。

また、超要素を用いて振動応答計算を行う場合、その精
度向上のために、超要素の作成において規準モードに外
力項を考慮した一般化座標を用いる方法がある。この方
法は、例えば、特開昭６１−２７０６３６号公報に記載
されている。

〔発明が解決しようとする課題〕

上記従来技術は、複雑、かつ、大規模構造解析を行う場
合には多くの超要素ができ、結果的には大規模系を解く
ことになる。このため計算機容量の節約、計算時間の短
縮には限度があった。

一方、超要素の作成をくり返し、多重化を進めていくと
、応答計算での振動応力の精度が低下する場合がある。

本発明の第一の課題は、トラス要素、梁要素。

シェル要素、ソリッド要素等の一般有限要素（以下、単
に一般有限要素と呼ぶ。）を用いて超要素を作成し、そ
の作成された超要素と一般有限要素を用いて、さらに新
たな超要素を作成し、この新たな超要素を作成する課程
をくり返し行′うことにより、大規模構造解析を効率よ
く、かつ、高精度に行うにある。

本発明の第二の課題は、一般有限要素を用いて超要素を
作成し、その作成された超要素を二つ以上用いて、さら
に新たな超要素を作成し、この新たな超要素を作成する
課題をくり返し行うことにある。

〔課題を解決するための手段〕

上記課題は、構造解析で解析要素に超要素を用いる解析
方法に、拘束モードを計算する手順と、規準モードを計
算する手順と、拘束モードと規準モードを用いて、一般
的有限要素より超要素を作成する手順と、超要素と一般
有限要素より超要素を作成する手順と、を備えることに
より達成される。

〔作用〕

超要素は一般有限要素と同様に質量マトリックス・剛性
マトリックス・要素荷重ベクトルを持っていることから
、超要素も一般有限要素と同様に扱うことにより、超要
素を多重化して作成することが可能となる。また、規準
モードの計算に、外力項を考慮した一般化座標を用いる
ことにより、振動応答計算での振動応力の計算精度が向
上する。

〔実施例〕

本発明の一実施例を第１図により説明する。まず一般有
限要素から超要素を作成する各手順について説明する。

超要素を構成する節点データを作成しくステップ１）、
一般有限要素の剛性マトリックス、質量マトリックス、
応力マトリックス等の要素マトリックス（以下要素マト
リックスと呼ぶ。）を作成しくステップ２）、それらを
全体マトリックスに重ね合わせ（ステップ３）、要素荷
重ベクトルを作成しくステップ４）、規準モードの計算
を行い（ステップ５）、拘束モードの計算（ステップ６
）を行った後、規準モードと拘束モードを用いて超要素
マトリックスを作成（ステップ７）する。このステップ
１〜７の各手順を作成する超要素の数だけ繰り返し、結
果をファイルＡに出力しておく。次に、多重化された超
要素を作成する各手順について説明する。超要素を構成
する節点データを作成しくステップ８）、要素マトリッ
クスを作成しくステップ９）、それらを全体マトリック
スに重ね合わせ（ステップ１０）、要素荷重ベクトルを
作成しくステップ１１）、規準モードの計算（ステップ
１２）を行い、拘束モードの計算（ステップ１３）を行
った後、規準モードと拘束モードを用いて超要素を作成
（ステップ１４）する。このステップ８〜１４の各手順
を多重化して作成する超要素の数だけ繰り返し、結果を
ファイルＢに出力しておく。ここで手順（ステップ９）
では一般有限要素とファイルＡ、ファイルＢに出力され
である超要素のデータをそれぞれ入力できるようにして
おく。こうして作成された超要素を全体系の解析（ステ
ップ１５）に使用する。

本発明の概念を第２図ないし第４図を用いて説明する。

まず、一般有限要素３１より超要素Ａ・３２を作成する
。次に、超要素Ａ・３２を三つ用いて超要素Ｂ・３３を
作成する。その結果、第４図に示すように全体系は、超
要素Ａが一要素、超要素Ｂが三要素から構成されること
になる。

本発明で使用する超要素について第５図ないし第９図に
より説明する。

連続体を第５図のように有限要素でモデル化すると、そ
の運動方程式は、 ［Ｍ］（Ｍ）＋［［］（ｕ）＝（ｆ　）　　　　　　　
　・＝（１）となる。ここで［Ｍコは質量マトリックス
、［Ｋ］は剛性マトリックス、（Ｍ）は加速度ベクトル
、（Ｕ）は変位ベクトル、（ｆ）は外方ベクトルである
。減衰項は省略しである。式（１）に対して、−膜化変
位（ｑ）を導入し、 （ｕ）＝［’Ｆ］（ｑ）　　　　　　　　　　　　・・
・（２）の変数変換を行ない、左から［ＩＰ］Ｔをかけ
ると［Ｖコ”［Ｍ］［ｖｌ（Ｍ）＋［：ｖｌ”［Ｋコ［
ψ′コ（ｑ）＝［Ｗ］”（ｆ　）−（３）さらに ［Ｍ　傘］＝［Ｖコ”［Ｍ］［’ψ゛］　　　　　　　
　　　　　　　　　　　・・・（４）［Ｋ串］＝［’！
’］”［Ｋ］［マ］　　　　　　　　　　・・・（５）
（ｇ）＝［マ］”（ｆ　）　　　　　　　　　　　　・
・・（６）とおけば、式（３）は ［Ｍ傘］＝（眉＋［Ｋ傘コ（ｑ）＝（ｇ）　　　　　　
　・・・（７）と書ける。ここで、［Ｖ］は（Ｕ）と（
ｑ）について−討論に対応する変換を与える正方マトリ
ックスである０式（７）を解いて（ｑ＞を求め１式（２
）の変数変換で元に戻せば、求めるべき解（ｕ）が得ら
れる。

そこで、計算の精度や効率の点で有利にするために［ｔ
Ｆ］として何を用いるかを以下に説明する。

第５図の有限要素モデルの節点を２種類に分ける。一方
はＯ印で示す点で、これを境界点と呼ぶ。

他方は、・印で示す点で、これを内部点と呼ぶ。

モデル全体は境界点で区切られこの例では３個の部分に
分けられる。［ｖコとして第６図に示すような形のもの
を用いる。［ΦＣ］は拘束モードで、境界点の各自由度
について、その自由度以外の全境界点の自由度を拘束し
て、その自由度に単位量の強制変位を与えた時の変形モ
ードであり、境界点の自由度の個数だけ存在する。［Φ
Ｎ］は規準モードで、境界点をすべて拘束した時の固有
振動モードであり内部点の自由度の個数だけ存在する。

［Ｖ］は正方マトリックスである。第５図の全体モデル
で境界点、内部点を５１〜５７のようにまとめて、それ
ぞれに対応した拘束モード、規準モードをまとめて並べ
れば第６図に示すようにマトリックスの中に全成分がＯ
の部分マトリックスができる。

次に、方程式を境界点の方程式と内部点の方程式に分け
、前者にＢ、後者に工の添字をつけて表すと、式（１）
の運動方程式は ・・・（８） 式 （２）の変数変換は となる。右辺のｕＢはｑＢと表すべきものであるかもし
れないが、左辺のｕＢと同じ値になるので同じ記号を用
いた。ｑＮは規準モードに対応する一般化変位である。

［Ｖ］は であるが、上半分がＸａ、Ｏとなることは拘束モードと
規準モードの定義から明らかである。たたし、■Ｂは単
位マトリックスである。

式 ％式％［ ］［ 式 （５）の［Ｋ傘］は ［Ｋ拳コ＝しψ］”［Ｋ］［’ψ“］ となる。

ただし、 ここで拘束モード ［ΦＣ］ が ［ＫＩ！］［Φｃ］＋［Ｋ！Ｂ］＝［Ｏコ・・・（１３
） を満たすことを利用した。

拘束モードは、 式 （１３） で、［Ｋ！Ｉ］と［ＫＩＢ］を与えて計算している。

式（６）の−膜化荷重ベクトル（ｇ）は（ｑ）＝［ψ］
”（ｆ） 第１７図は、以上の結果を用いて式（７）のマトリック
スの形を図示したものである。規準モードは境界点を固
定した時の固有振動モードであるから、固有モードの直
交性より、［ΦＮ］”［Ｍ”］［ΦＮ］および、［ΦＮ
］”［Ｋｆ■］［ΦＮ］は対角マトリックスとなる。さ
らに、［ΦＮ］を［ＭＩ＋］で正規化して［ΦＮ］”［
Ｍ　Ｉ　Ｉ　］　［ΦＮ］を単位マトリックスにすれば
、［ΦＮ］Ｔ［Ｋ目］［ΦＮ］の対角成分は、各規準モ
ードに対応する固有角周波数の自乗となる。その部分を
［Ω２］の記号で示す、第７図でマトリックスの各′成
分が零にならない部分をハツチングで示した。剛性マト
リックスについては式（１２）で求めたように内部点の
方程式と境界点の方程式の達成部分は零となるが、質量
マトリックスについては式（１１）で求めたように零と
はならない。この式で全部の方程式を考慮すれば１元の
式（１）を解くことと同じであるので、両者の結果は一
致するが、それでは計算の効率は向上しない。そこで、
規準モードのうち、低次のものだけを残して、高次の規
準モードを省略して自由度を縮小する。剛性マトリック
スについては、第８図で示したように高次の規準モード
に対応する方程式は他の方程式と連成していない。

一方、質量マトリックスについては、高次モードでは質
量項の影響は小さいと考えられるので、高次モードが拘
束モードと連成する部分を無視しても影響は小さいと考
える。

こうして作成された部分構造のマトリックスには、一般
有限要素と同様に質量マトリックス、剛性マトリックス
、要素荷重ベクトルがあり、この部分構造を超要素と呼
んでいる。

ここで、荷重項については式（１４）のΦＮｆ■のうち
高次の規準モードに関する部分を省略することになるが
、この部分が零ではないので、特に超要素の内部に荷重
が加わった時の応力の計算値が不正確になる場合がある
。そこで、本発明では、超要素に低次の規準モード［Φ
Ｎｍ］に加えて、高次の規準モードの代わりに、［ｖＮ
　ｒ　］と［ｖｓ　ｈ　］とからなる一般化座標を適用
する。−膜化座標とはｎ自由度系におけるｎ個の量のこ
とをいう。この手法を用いることにより、上記問題点が
解決される。

ここで、高次の規準モードの代わりに用いる一般化座１
１１［ψｓｒ］と［マＮｈ］がどういうものかについて
説明する。

今、考えている超要素の要素荷重ベクトルとして用意す
べき荷重ベクトルを（Ｆｅｔ）（ｉ　＝　１１２　Ｔ・
Ｑ）とする、この（Ｆｅｔ）に対して、境界点を固定し
て静解析をする。すなわち、 口ＣＩ］（ｕｔ）＝（Ｆｅｔ）　　　　　　　　　　−
・−（ｘｓ）これを解いて得られる（ｕｔＨｉ＝１．２
．・・・Ｑ）を［ΦＮｍ］と［Ｋ　Ｉ　Ｉ　］について
直交させる。′さらにその２個を互いに［ＫＩＴ］につ
いて直交させ［Ｍ’ｌ］で正規化して得られるベクトル
を列ベクトルとするマトリックスが［’Ｆｓ−１である
。したがって、［ｖＮｒ］は Ｃ”４’　Ｎ　ｒ　］　”　［Ｋ　”　］　［ΦＮ−］
　＝　［Ｏ］　　　　　　　　　　　　　−（１６）［
’Ｖ　Ｎｒコ’［Ｋ　”］［’ＦＮｒ］　＝　［Ｑ　Ｈ
ｒコ　　　　　　　　　・　（１７）［Ωｓｒｌは対角
マトリックスである。［Φｓａ］は境界点を固定した時
の固有ベクトルで、［マ計コは［ΦＮｇ］に対して［Ｋ
　Ｉ　１　］直交させたものであるから［ψＮｒ］”［
Ｍ　■■コ〔ΦＮ−１＝［Ｏ］　　　　　　　　　　　
　・・・（１８）となる。［ｖＮｒ］の２個の列ベクト
ルが、［ＭＩＩ］について必ずしも直交している必要は
ないが、実際に用いている方法では、直交化させてしま
っている。［マｓｈ］については、　［ＫＩＩ］につい
て［ΦＮＮココ［ｖＮ　ｒ　Ｅと直交し、また、それら
相互も［Ｋ　ｒ　Ｉ　］について直交するベクトルを用
意することができる。

すなわち、［ｖＮｈｌは ［ψ、ｈ］Ｔ［Ｋ１１コ［Φｓ＊］＝［０コ　　　　　
　　　　　　・・・（１９）［マｓｈｌ”［Ｋ”コ［Φ
Ｎｒ］　＝　［Ｏ］　　　　　　　　　　　　”・（２
０）［ｖ＊ｈｌ”［Ｋ”］［ｖＮｈ］＝［Ω貴ｈｌ　　
　　　　”・（２１）を満たす。ここで［Ωｓｈ］は対
角マトリックスである。

以上のようにして得られる［　’Ｆ　Ｎ　ｈ　］につい
ては、［ＶＮｈ］”（Ｆｅ１）＝（０）（ｉ　＝　１　
、　２、−２　）−（２２）となる。したがって、第８
図の［ｑ、］は、［Ｏ］になる　［ｙｌ　１１　］につ
いては ［ｖＮｈコ”［Ｍ　”コ［ＯＮ　＊コニ［Ｏ］　　　　
　　　　　　　　　−（２３）となるが、 ［’Ｆ　Ｎｈコ”［Ｍ　”コ［ΦＮｒ］≠［０コ　　　
　　　　　　　　　　−（２４）である。以上のように
して座標変換後の方程式を第８図のような形にする座標
変換マトリックス［ψ］＝［ΦＣΦＮ、ψＮ　ｒ　ｖＮ
　ｈ　］が存在する。ただし、実際に計算する必要があ
るのは、ΦＣ４ΦＩ、ψＮ。

までで、ψＮｈについては対応する外力項が（０）にな
ることがわかっているため計算不要である。

以上に述べた一般化座標の計算方法は第９図の計算方法
をそのまま用いることが可能である。前半はサブスペー
ス法による固有値解析でｐ個の固有ベクトル（規準モー
ド）が求められる。次に得られた２個モードに対し、式
（１５）要素荷重ベクトル（Ｆｅ＋）（ｉ　＝　１　、
２　、　・・・１２）を第９図に示すように直交化させ
［Ｆｒ］を求める。［Φ］に［Ｍ］をかけて得られる［
Ｙｋ］と［Ｆ、］を合わせた（ｐ＋Ｑ）個を列ベクトル
とするマトリックス［Ｙ＆］を用意する。

そして、 ［ＫＩＩ］［Ｘａ］＝［Ｙａ］　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　−（２５）を解き、［Ｘａｌ
を得る。この［Ｘａｌを用いて［Ｍ”］ｔ［Ｋ”］を部
部分量に縮小する。部分空間での剛性マトリックス［Ｋ
、］は、 ［Ｌコニ［又盈コＴ［Ｋ夏！］［Ｘａｌ　　　　　　　
　　　　　　　　・・・（２６）であるが、式（２５）
を考慮して、 ［Ｋ＆コ＝［Ｘａｌ］丁［ｙ　ａｌ　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　−（２７）によって計算で
きる。部分空間での質量マトリックス［Ｍ＆］は ［Ｍ　ａｌ　＝　［又ａ］Ｔ［Ｍ■！］［又ａコ　　　
　　　　　　　　　　　−（２８）ｃＫａ］、［Ｍａ］
について１部分空間での固有値問題ＥＫ＆コ［Ｑａ］＝
［Ｍａコ［Ｑ、ＨΩａ］　　　　　　　　　　　　”・
（２９）を解いて〔Ｑ＆〕を求める。最終的に［ΦＮｔ
マｓｒ］が［Ｏｓ　ａ　’Ｆ　Ｎ　ｒ　］　＝　［Ｘ　
ａコ［Ｑａｌ　　　　　　　　　　　　　　　　　−（
３０）として計算される。さらに、元の空間での要素荷
重ベクトル［Ｆｅ３から、拘束モード、規準モードで変
換した空間での要素荷重ベクトル［Ｇｓｌが、［ａｅ］
＝［ΦＮｌψｓｒ］”［Ｆ　ｅｌ　　　　　　　　−（
３１）で得られ、これは式（１４）の右辺の下半分に相
当するものである。上半分は別に計算して、両方を合わ
せて、一般有限要素の等細筒点荷重にあたるものとなる
。

〔発明の効果〕

本発明によれば、超要素を多重化して作成できるため、
−度に解く系の自由度が少なくなり計算機容量の大幅な
省力化が実現できる。それに伴い、計算量が減少するの
で計算時間の短縮化も実現できる。また、多重化する超
要素には規準モードに外力項を考慮した一般化座標を用
いて作成した超要素を用いるので、省略する高次の規準
モードに対応する外力項を零にでき、高精度な解析結果
を得ることができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は、本発明の一実施例の説明図、第２図は、一般
有限要素から超要素を作成する″説明図、第３図は、超
要素を用いて超要素を作成する説明図、第４図は、全体
系を表す説明図、第５図は。 連続体を一般有限要素でモデル化した説明図、第６図は
、第５図に示す有限要素モデルに用いられる正方変換マ
トリックス［ψ］を示す説明図、第７図は、変換された
運動方程式をマトリックスの形にした説明図、第８図は
、外力項を考慮した一般化座標を用いて表した［ψ］と
その［ψ］を用いて変換した運動方程式の説明図、第９
図は外カ項を考慮した一般化座標の計算方法の一例を示
す説明図である。 ５．１２・・・規準モードの計算、６，１３・・・拘束
モードの計算、７．１４・・・超要素マトリックスの作
成、９・・・要素マトリックスの作成、８１・・・外力
項名１１￥１ ＃２ 閲 ｖ７４刀 第３ｎ ３ 第５ の １ 第４因 慕 ７ ［朝（ロ）閏 図［に取１ ［斬（Ｊ 第９ 困 躬 ｆｔａ’［Ｋｌ［刺 ［？１［旬

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、計算機を用いた構造解析で、解析要素に超要素を用
   いる解析方法において、 解析系を境界自由度と内部自由度に分け、境界の各自由
   度について単位の強制変位量を与えた時の静的変形モー
   ドを計算する手段と、境界点を固定した時の固有振動モ
   ードを計算する手順と、前記静的変形モードと前記固有
   振動モードを用いて、トラス要素、梁要素、シェル要素
   、ソリッド要素等の一般有限要素より超要素を作成する
   手順と、前記超要素と前記一般有限要素とより前記超要
   素を作成する手順とを備えていることを特徴とする超要
   素の多重化方式。