JPH0478961A - 図形処理装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 ［産業上の利用分野］ 本発明は、指定された面上の点に、面の表面を表す特性
的な線を、付加して表示することにより、面上の点が面
上に存在することを識別できるようにした図形処理装置
に関するものである。

［従来の技術］ 従来、３次元空間の点の表示は、点の位置を画面上に、
例えばＸ印を表示するというものであった。なお、この
種の技術は、特開昭６２−２２６３７６号公報等に開示
される。

［発明が解決しようとする課題］ 上記従来技術では表示されている点がいずれの面上に存
在するか識別できないという問題点があった。本発明の
目的は、点が面上に存在することを識別できる図形処理
装置を提供することにある。

［課題を解決するための手段］ 上記課題を解決するためには、少なくとも、入力部と表
示部を有する図形処理装置において、前記入力部から入
力された立体空間に存在する面を示す情報と面上の点を
指定する情報と立体空間の面を視る方向を示す情報に基
づいて、面上の点を得て、面の表面を表す特性的な線を
求めて、前記面上の点に関る部分に付加して前記表示部
に表示すればよい。

［作用］ 立体空間に存在する面を示す情報と面上の点を指定する
情報と立体空間の面を視る方向を示す情報に基づいて、
面上の点を得て、面の表面を表す特性的な線を求めて、
前記面上の点に関る部分に付加して前記表示部に表示す
ることにより、面上の点が面上に存在することを識別で
きる。

［実施例］ 本発明の一実施例を以下図面を用いて詳細に説明する６
第１図は１本発明の関わる図形処理装置の構成とデータ
の流れの一例を示したものである。

本実施例は、入力部４と表示部５と処理部３とから構成
され、処理部３は面と面上の点を指定する情報から面上
の点を得る第１手段１と面と面上の点と必要に応じて視
線方向がら面の表面を表す特性的な線を、面上の点に付
加して、視線方向を用いて表示する第２手段２を含むも
のとして構成される。なお、面と面上の点を指定する情
報から面上の点を得るまでを第一手段１面上の点に面の
表面を表わす特性的な線を付加して表示するのを第二手
段としている。入力部４は、キーボード、マウス、ライ
トペン、デイスプレィ、タブレット等からなり、表示部
５はデイスプレィ等からなる。

第２図は、本発明の関わる図形処理装置を用いたとき、
デイスプレィの画面に表示される形の例である。

先ず、立体空間に存在する１つの面が与えられたとする
。その例を第３図に示す。

次に、その面上の１つの点を指定する情報として、例え
ば第４図に示す形態で画面上の１つの点が与えられたと
する。

次に、上記第３図の面を、該面を視る方向（視線方向）
を用いて、画面に表示した場合の例を第５図に示す。こ
のような立体空間に存在する面を視線方向を与えて表示
するということは、立体空間の図形を記憶、表示する図
形処理装置では一般的である。

ここで、処理部３の第１手段１は、面（第３図の例）と
面上の１つの点を指定する情報（例えば面上の点と視線
方向）から第４図の例の画面上の点を通り、前記視線方
向に平行な直線が、第３図の例に示す面と交わる点を面
上の点とする方法により面上の点を算出する。その形態
を第６図に示す。なお、面上の点を得る情報として画面
上の点と視線方向を用いたが、この面上の点を決定する
方法は、この例だけではなく、例えば、立体空間の数値
による座標値を与えて、これを面上の点とするとか、或
いは、該数値による座標値から面上に歪線を下ろし、得
られた垂線の足を面上の点とする方法などでもよい。

次に、処理部３の第２手段２は、面（例えば第３図の例
）と、上記第１手段１の結果として得られる面上の点と
、視線方向とから、面の表面を表す特性的な線を１例え
ば第７図の破線で示すように、面上の面上の１つの点に
関る部分に付加して表示する。第７図の場合は、面の形
に沿って面上の１つの点から該面を構成する辺に向けて
、方向は辺に平行なイメージで付加したものである。第
７図から面上の１つの点が、破線がつながる四辺形で構
成される面にあたかも乗っているように見えることが理
解されると思われる。

また、他の例を第８図に示す。第８図は、球面上に存在
する面上の１つの点を表現した場合である。いずれも該
面上の１つの点を通る面上の２つの線を用いて表現して
いる。このような意味をもつのが上記の特性的な線であ
る。

次に、第１手段ｌについて説明する。処理部３の第１手
段１は、面（例えば第３図の例）と面上の１つの点を指
定する情報（例えば第４図の例）とから１面上の１つの
点を算出する。以下に例を用いて説明する。また、第２
４図のフローチャトを説明に併用する。ここでは、面（
第６図を参照）として、次の値を与えるものとする。第
２４図のフローチャートではステップ２１に示すもので
ある。面上で基準とする原点をＰ。、基準方向を示す第
１軸をＰ。からＰ２に向かう方向としてｕ（ｌｕｌ＝１
）、第１軸に直交する第２軸、第６図ではＰ。からＰ、
に向かう方向をＶ（ｌＶｌ＝１）とし、これらの各要素
を次で表すとする。

第１軸・・・・・・・・ｕ　＝　（Ｕｘ、Ｕｙ、Ｕｚ）
　　　・・・・・・・・（１）第２軸・・・・・・・・
・ｖ　＝　（Ｖｘ、Ｖｙ、Ｖｚ）　　　・・・・　・・
・（２）原点・・・・・・・・・・・・Ｐ、＝（Ｘｏ、
Ｙｏ、Ｚｏ）　　　・・・・・・・・・・・・（３）ま
た、視線方向にとしては、次の値を与えるものとする。

視線方向・・・・・・ｋ　　＝　（Ｋｘ、Ｋｙ、Ｋｚ）
　　　・・・・・・・・・・・・（４）また、第４図の
例の画面上の点（画面上の視線の位置Ｐ工）としては、
次の値を与えるものとする。

画面上の点・・・ｐ、＝（ｘ工、Ｙｌ、Ｚ□）　　・・
・・・・・・・・・・（５）以上の条件で、前記視線方
向に平行な直線が、第６図の例に示すＰ。、Ｐ２、Ｐ３
３点で決まる面と交わる点を面上の１つの点とする方法
により算出する場合、その手順は、次のようになる。

先ず、式（１）と（２）とから第１軸、第２軸、第３軸
にて右手系を構成する第３軸Ｗをつぎの式で求める。第
２４図のフローチャートではステップ２２を参照する。

第３軸・・・・・ｗ＝ｕｘｖ　　　・・・・・・・・・
（６）成分値で表すと次の形となる。

ｗ　＝　（Ｗｘ、Ｗｙ、Ｗｚ）　−−−−−−（７）と
すれば、 Ｗｘ　＝　ＵｙＶｚ　−ＵｚＶｙ　−−−−（８）Ｗｙ
　＝　ＵｚＶｘ　−ＵｘＶｚ　・・・・・・−−（９）
Ｗｚ　＝ＵｘＶｙ−ＵｙＶｘ−−−−−＝−（１０）で
ある。これで、式（１）　（２）　（３）　（６）を用
いれば、Ｕ−ｖ−ｗ座標系ができたことになる。

ここで、式（５）の画面上の視線の位置Ｐ１の座標値を
ｕ−ｖ−ｗ座標系の値に変換する。第２４図のフローチ
ャートではステップ２３を参照する。

Ｐ□のｕ−ｖ−ｗ座標系での値を（Ｐ□ｕ、Ｐｌｖ、Ｐ
ｏｗ）とすれば、次の形となる。

ｐＨＪ＝　（Ｌｘ−Ｘｏ）Ｕｘ＋　（Ｙｘ　−Ｙｏ）Ｌ
Ｉｙ＋　（ｚｉ−Ｚｏ）Ｕｚ・・・・・・・・・・・（
１１） ＰＸｖ＝　（Ｘｌ−Ｘｏ）Ｖｘ＋　（Ｙ□−Ｙｏ）Ｖｙ
＋　（Ｚ□−Ｚ、）Ｖｚ・・・　・・・・・（１２） Ｐ１ｗ＝　（Ｘ、−Ｘ。）ｌｄｘ　＋　（Ｙ、　−Ｙ、
　）Ｗｙ　＋　（Ｚ□−Ｚｏ）すＺ・・・・・・・・・
・（１３） 次に、視線方向を示すベクトルｋをｕ−ｖ−ｗ座標系の
値に変換する。第２４図のフローチャトではステップ２
４を参照する。ベクトルにのＵ−ｖ−ｗ座標系での値を
（Ｋｕ、Ｋｖ、Ｋｗ）とすれば、次の形となる。

Ｋｕ＝Ｋｘ・Ｕｘ＋Ｋｙ−Ｕｙ＋Ｋｚ−Ｕｚ　　　　　
−−（１４）Ｋｖ＝Ｋｘ−Ｖｘ＋Ｋｙ−Ｖｙ＋Ｋｚ−Ｖ
ｚ　　　−−−・・（１５）Ｋｗ＝Ｋｘ−Ｗｘ＋Ｋｙ−
Ｗｙ＋Ｋｚ−Ｗｚ　　　・＝−−−−＝・（１６）ここ
で、画面上の視線の位置Ｐ１を通り、視線方向を示すベ
クトルに方向を向く直線上の点Ｐｉが、面上にあるとき
のＰｉの値を求める。該Ｐｉの値が求める面上の１つの
点の本例での値である。

第２４図のフローチャートではステップ２５を参照する
。ステップ２５では求める式のみを示した。

該式を得るまでの過程を以下に述べる。画面上の視線の
位置Ｐ工を通り、視線方向を示すベクトルに方向を向く
直線上の点Ｐｉは、次の形で表せる。

Ｐｊ＝ａ−に＋Ｐエ　・・・・・・・・・・・・（１７
）これを、各座標値で表現すると、Ｐｉのｕ−ｖ−Ｗ座
標系での値を（Ｐｉｕ、Ｐｉｖ、Ｐｉｔｌｌ）とすれば
、次の形となる。

Ｐｉｕ＝ａ−Ｋｕ＋Ｐ１ｕ　　−−・・−・（１８）Ｐ
ｉｖ＝ａ−Ｋｖ＋Ｐ、ｖ　　・・−＝・−・（１９）Ｐ
ｉＩｌｌ＝ａ−にす＋Ｐ工ｗ・・・・・・・・・・・・
（２０）ここで、直線上の点Ｐｉが、ｕ−ｖ面と交わる
点は、 Ｐｉ菅＝０　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・（２１）のときの点である。この条件で式
（２０）を用いれば、ａは、次の値となる。

ａ　　＝　−Ｐ１讐／Ｋｗ　　・・・・・・・・・・・
・（２２）このａの値からｕ−ｖ面上での点Ｐｉの（Ｐ
ｉｕ、Ｐｉｖ）は、式（１８）、（１９）を用いてつぎ
の形で得られる。

Ｐｉｕ＝（−Ｐ１ｔｙ／Ｋｗ）４ｕ＋Ｐ、ｕ　　−−・
・−・（２３）Ｐｉｖ＝（−Ｐ１ｗ／Ｋｗ）４ｖ＋Ｐ、
ｖ　　−・・・（２４）ここで得られた（Ｐｉｕ、Ｐｉ
ｖ）は、ｕ−ｖ−ｗ座標系での値である。これをｘ−ｙ
−ｚ座標系での値に変換するとつぎのようになる。第２
４図のフロチャートではステップ２６を参照する。この
場合は、ｕ−ｖ−ｗ座標系での（Ｐｉｕ　、　Ｐｉｖ　
、　Ｏ）をｘ−ｙ＝２座標系での値に戻せばよいので、
求めるＰ］を（Ｘｉ　、　Ｙｉ　、　Ｚｉ）とすれば、
Ｘ１＝Ｐｉｕ−Ｕｘ＋Ｐｉｖ−Ｖｘ＋Ｘｏ−−（２５）
Ｙｉ＝Ｐｉｕ−Ｕｙ＋Ｐｉｖ−Ｖｙ＋Ｙｏ−−（２６）
Ｚｉ＝Ｐｉｕ（Ｉｚ＋Ｐｉｖ−Ｖｚ＋Ｚ。−−−（２７
）という形で求められる。

面上の１つの点を、デイスプレィ画面上の値として用い
る場合など、２次元平面上に投影された値として用いる
場合は上記結果（Ｐｉｕ、Ｐｉｖ）を、立体空間内の位
置を表すものとして３次元の値として用いる場合は上記
結果（Ｘｉ、Ｙｉ、Ｚｉ）を用いればよい。

次に第２手段２について説明する。処理部３の第２手段
２は、面（例えば第３図の例）と、前記第１手段の結果
として得られる面上の１つの点と。

視線方向とから、面の表面を表す特性的な線を、面上の
面上の１つの点に関る部分に付加して、且つ表示する。

以下例を用いて説明する。

先ず、第７図の場合は、面が３次元空間内で、正方形ま
たは、長方形のときの例である。第２５図のフローチャ
ートを説明に併用する。この場合は第７図に示すように
、面上の１つの点から該面を構成する辺に向けて、方向
は向かう辺に隣合う辺に平行なイメージの線分を破線で
付加する。この場合、与えられる情報としては、次のも
のがある（第１０図を参照）。第２５図のフローチャー
トでは、ステップ３１を参照する。

面上の１つの点として、 Ｐｉ＝：（Ｘｉ、Ｙｉ、Ｚｉ）　　−・・・・・（３０
）長方形の頂点の座標値として、 Ｐ２＝（Ｘ、、Ｙ２．Ｚ２）　　−＝−（：ｎ）ｐ３＝
（Ｘ、、Ｙ３−Ｚ３）　　−・−・＝（３２）Ｐ、＝（
Ｘ、、Ｙ、、Ｚ４）　　＝＝・・−・−（３３）ｐ、＝
ｃｘ９．ｖｓ、ｚｓ）　　・−・・−・（３４）また、
結果として得るものは、例えば、第１１図に示すように
、付加する２つの破線の端点Ｐ６、Ｐ７、ｐＩｌ、ｐ、
がある。それらを、Ｐ、＝（Ｘｓ、ＹＧ、ＺＧ）　　・
＝＝−・−（３５）Ｐ　７　＝　（Ｘ７　、Ｙ７　、Ｚ
７）　　・・・・・・・・・（３６）Ｐ８＝（Ｘ、、Ｙ
、、Ｚ８）　　・・・・・・・・（３７）Ｐ９＝（Ｘ、
、Ｙｉ、Ｚ９）　　・＝−・旧・・（３８）とする。

まず最初にＰ２がらＰ５へ向がうユニットベクトルＷ□
、Ｐ２からＰ、へ向がうユニットベクトルｗ２を作る。

第２５図のフローチャートでは、ステップ３２を参照す
る。Ｗ工、ｗ２の成分値を、ｗｘ　＝　（Ｗｘｘ　ｔｗ
ｙｔ　ｒｗｚｌ）　−・・・・＝　（３９）Ｗ２　＝　
（Ｖｘ、　ｔＷｙｚ　ｔｗｚ２　）　”’　”’　”’
　（４０）とすれば、 ｗｋｌ＝＝Ｘ、　　ｘ２−・・・旧−（４１）ｗｋ２＝
Ｙ５−Ｙ２・・・・・・・・（４２）ｖｋ３　＝　Ｚ、
−２２−−−（４３）ｗｋ４＝　ｖ’　（ｗｋ１２＋ｗ
ｋ２”　＋ｔｙｋ３２）−−”　（４４）Ｗｘ□＝ｗｋ
ｌ／１ｇｋ４　　　−−−−−−−−−（４ｓ）Ｗｙ、
　＝　ｗｋ２／　ｗｋ４　　　−−　・・・（４６）Ｗ
ｚ、＝ｗｋ３／ｗｋ４　　　　−（４７）ｗｋ５＝ｘ、
−Ｘ２・・・・・・・・（４８）ｔｌｌｋ６　＝　Ｙ、
　−Ｙ２　　　　　　　・・　・・・・（４９）ｖｋ７
　＝　Ｚ、　−Ｚ２・＝　・・・・・・（５０）冒に８
　＝　Ｊ　（ｔｌｌｋ５２＋　ｗｋ６２＋すに７２）・
・・・　・・・（５１）Ｗｘ、＝　ｗｋ５　／　ｗｋ８
　　　　−−−　（５２）すＹｚ＝讐に６／υに８　　
　　・・・・・・・（５３）すＺ２＝　ｔｌｌｋ７　／
　ｔｉｋ８　　　　　・・・・・・・（５４）という手
順で得られる。

次に、Ｐ２＝（Ｘ２．Ｙ２．Ｚ２）を始点、Ｐｉ＝（Ｘ
ｉ＋Ｙｉ。

Ｚｉ）を終点とする方向ベクトルＷ３を求める。第２５
図のフローチャートでは、ステップ３３を参照する。

Ｗ３　＝　（ｗｘ、　ｔｌｌｌｙａ　、Ｗｘ３）　・＝
−・−（５５）とすれば、 讐ｘ３＝Ｘｉ−Ｘ２　　　　　・・・・・・・・・（５
６）Ｗｙａ　＝　Ｙｉ　−Ｙ２　　　　−・−−−−−
−−（５７）Ｗｚ、＝ｚｉ−Ｚ２・・・・・・・・・（
５８）にて得られる。ここで、Ｐ２を始点、Ｐｉを終点
とする方向ベクトルのＷ□、Ｗ２方向の成分値ｄ１、ｄ
２を求める。第２５図のフローチャートでは、ステップ
３４を参照する。、それらｄｌ、ｄ２は次の形で得ら九
る。

ｄ、　＝Ｗｘ３・Ｗｘ１＋Ｗｙ、・Ｗｙ、＋ｌｉ’ｚ、
・Ｗｚｌ−・−・・（５９）ｄ２＝Ｗｘ３・Ｗｘ２＋１
ｊｙ３・Ｗｙ２＋Ｉｊｚ３・Ｗｚ２−・−・・（６０）
ここで得られたｄ□、ｄ２を用いてＰ、、、Ｐ７、Ｐ３
、Ｐ、は、次の形で得られる。第２５図のフローチャー
トでは、ステップ３５を参照する。

Ｐ、＝ｄ１・Ｗ１＋Ｐ２　　・・・・・・・・・（６１
）Ｐ７＝ｄ２・Ｗ２＋Ｐ２　　　・・・・・・・・・（
６２）Ｐ、＝ｄ□・Ｗ工＋Ｐ３　　　・・・・・・・・
（６３）Ｐ９＝ｄ２・Ｗ２＋ＰＳ　　・・・・・・・・
・（６４）これを、各座標値に展開すると次の形となる
。

Ｘ、　＝ｄ１・Ｗｘ１＋Ｘ、　　　　−（６５）Ｙ、　
＝ｄ工・ｗｙ１＋ｙ２　　　　・・・・・・・・・（６
６）Ｚ、　＝ｄ１６Ｗｚ１＋Ｚ２・・−−４６７）ｘ７
＝ｄ２−ＩＩｌｘ２＋ｘ、　　　　−・−−−１６８）
Ｙ、　＝ｄ２・νｙ２＋Ｙ２　　　　・・・・・・・・
（６９）Ｚ７＝ｄ２・Ｗｚ２＋ｚ２・・・・・・・・・
（７０）Ｘ、　＝ｄ工・すχ１＋ｘ３　　　・・・・・
・・・・（７１）Ｙ、　　＝ｄ１・−ｙ工＋Ｙ３　　　
　　・・・・・　（７２）Ｚ、　　＝ｄ１・Ｗｚ、＋Ｚ
、　　　　　−−・＝−（７３）Ｘｇ＝ｄ２・Ｗｘ２＋
Ｘ、　　　　　−−−（７４）Ｙ、　　＝ｄ２・Ｗｙ２
＋Ｙ、　　　　　・・・・・・・　（７５）ｚｇ＝ｄ２
・ＷＺ２＋Ｚ、・・・・・・・（７６）あとは、ｐ、、
　ｐ８を結ぶ線分を破線で、またＰ７、Ｐ９を結ぶ線分
を破線で表示すれば、目的のものが得られる。第２５図
のフローチャートでは、ステップ３６を参照する。

次に、第９図の場合は、相対する辺が平行ではない一般
的な四辺形のときの例である。また、第２６図のフロー
チャートを説明に併用する。この場合、与えられる情報
としては、次のものがある。

第２６図のフローチャートでは、ステップ４１を参照す
る。面上の１つの点として、 ｐｉ＝＝（ｘｉ、ｙｉ、ｚｉ）　　・−・−・−・−・
（１００）四辺形の頂点の座標値として、 ＰＺ”（Ｘ２．Ｙ２−２２）　　・・・・・・・・・（
１０１）Ｐ３＝（Ｘ３．Ｙ３．Ｚ、）　　・・・・・・
・・（１０２）Ｐ４＝（Ｘ４．Ｙ４．Ｚ４）　　・・・
・・・・・・（１０３）Ｐ５＝（Ｘ９．Ｙ９．Ｚ、）　
　−・・・−−（１０４）また、結果として得るものは
、例えば、第９図に示すように、付加する２つの破線の
端点Ｐ０、Ｐ７、Ｐい　Ｐ、がある。それらを、 Ｐ６＝（Ｘ６．ＹＧ、Ｚ、）　　・・・・・・・・（１
０５）Ｐ　７＝　（Ｘ７．Ｙ、　、Ｚ７）　　・・・・
・・・・（１０６）Ｐ８＝（Ｘ、ｌ、Ｙ８．Ｚ、）　　
−・・・・・・・（１０７）Ｐ９”（Ｘ９．Ｙ９．Ｚ９
）　　””””’（１０８）とする。

先ず、相対する辺Ｐ２Ｐ、、辺Ｐ、Ｐ４上で等分割した
ときの対応する位置を表現するために、各々をｎ等分し
たときの長さを求める。第２６図のフローチャートでは
、ステップ４２を参照する。辺ｐ、ｐ、をｎ等分したと
きの長さをｄ３、辺Ｐ５Ｐ４をｎ等分したときの長さを
ｄ４とすればｄ３とｄ４はつぎの式で得られる。なおｎ
は結果の式を得たときに消える変数であが、面を構成す
る場合、２つの線を各々同じ等分数で分割し、対応する
線を結ぶ方法があり、これは面のイメージをよく表現す
るので用いた。

ｄ、＝ＩＰ３−Ｐ２Ｉ／ｎ・・・・・・・・（１０９）
ｄ　４＝＝　ｌ　Ｐ４−　Ｐ、ｌ　／　ｎ　−−（１１
０）つぎに、Ｐ２からＰ、へ向かうユニットベクトルｗ
、、　ｐ、からＰ４へ向かうユニットベクトルＷ、を作
る。第１２図を参照する。なお第２６図のフローチャー
トでは、ステップ４３を参照する。

Ｗ３、Ｗ４の成分値を、 Ｗｚ　”＝　（ＷＸ３　Ｊｙ３１１１１Ｚ３）　　−’
　”−・・・（１１１）Ｗ４＝（ＷＸ４１Ｗｙ４１ＷＺ
４）　　−・・山−・（１１２）とすれば、 ｖｋｌ＝Ｘ、　　Ｘ２−−−（１１３）ｔｉｋ２＝Ｙ、
　−Ｙ２　　　　　・・・・・・・・（１１４）ｗｋ３
：Ｚ３　　ｚ２　　　　　＋＋＋　・＋＋　＋＋＋　（
１１５）ｗｋ４＝　ｖ’　（ｗｋ１２＋ｔｇｋ２２＋ｗ
ｋ３２）・＝　”・川（１１６）ｖｘ３＝　ｔｙｋｌ／
　ｗｋ４　　　−−−　（１１７）Ｗｙ、　＝＝ｗｋ２
／　ｗｋ４　　　　・＝　・−−（１１８）Ｗｚ３＝　
ｗｋ３／　ｗｋ４　　　−−−　（１１９）ｗｋ５＝Ｘ
、　−Ｘ、　　　　　・・・・旧・・（１２０）ｗｋ６
　＝　Ｙ４−　ＹＳ−−−（１２１）ｗｋ７　＝　Ｚ、
　−Ｚ、　　　　　＝・−・−−−−（１２２）リに８
　＝　Ｊ　（ｗｋ５２＋すに６２＋ωに７２）・　　　
（１２３）Ｗｘ、　＝　ｔｙｋ５　／　ｔｙｋ８　　　
　　・−・・・・（］　２４）Ｗｙ４＝　ｗｋ６／　ｗ
ｋ８　　　　−−−　（１２５）ｌＪｚ、＝　ｗｋ７／
　ｗｋ８　　　　　・−−（１２６）という手順で得ら
れる。

上記で得られたｄ３、Ｗ、を用いると、Ｐ２を基準にし
た辺Ｐ２Ｐ３上の点Ｐｗ、が次の形で得られる。

第２９図のフローチャートでは、ステップ４４を参照す
る。

Ｐｔｙ３＝ｂ−ｄ３Ｗ３＋Ｐ２　・・・・・・・・・（
］、２７）また、上記で得られたｄ４、Ｗ４を用いると
、Ｐ。

を基準にした辺Ｐ５Ｐ４上の点Ｐｗ４が次の形で得られ
る。

Ｐｗ４＝ｂ−ｄ４Ｗ４＋Ｐ、　　　−−（１２８）ここ
で、線分Ｐｖ３Ｐｗ４が、与えられた面上の１つの点Ｐ
ｉを通るように変数すを定めれば、目的の１つの線分が
得られる。言い替えれば、線分Ｐｗ。

Ｐｗ４上にＰｊが乗る条件を決めればよい。そのために
は、Ｐｉ３を原点とし、Ｐｗ３からＰｗ、へ向かう方向
を基準軸とする座標系を導入し、該基準軸からのＰｉの
離れ具合で判定すればよい。

先ず、原点は Ｐｔｖ３＝ｂ−ｄ、Ｗ、＋Ｐ２−・−（＋２９）次に、
基準軸は Ｖ／、　＝Ｐ１．１４−Ｐ讐、　　・・・・　（１，３
０）＝ｂ（ｄ４Ｗ、−ｃ１３Ｗ、）＋ＰＳ−Ｐ。

離れ具合を判定するには、基準軸に直交する軸が必要で
、該軸をＷ、とすれば、Ｗｒ、はつぎの手順で得る。

Ｗ　ｂ　”　Ｗ　ｓ　Ｘ　Ｗ　３　　　　　・・・・（
１３１）ここで、Ｗ５、Ｗ６を ＷＳ　＝　（Ｗｘ６１すｙｓ＋ＷＺ５）　　””””’
（１３２）Ｗｅ　＝　（Ｗｘ、　、ＷｙＧｔＷＺ６　）
　　−−−（１３３）とすれば、先ず、Ｗ、の各成分値
は、次の形で得られる。

Ｗｘｓ　＝　ｂ　（ｄ　４Ｗｘ４−ｄ　３すＸ３）＋　
ＣＸ、−Ｘ２）・−・−＝　（１３４）シｙ、＝ｂ（ｄ
４すｙ４ｄ　ａ’ｌ’）’ｚ）＋　（ＹＳ　　Ｙ２）・
・・・・・（１３５）すＺｓ　＝　ｂ　（ｄ　４Ｗｚ４
−　ｄ　３Ｗｚ、）＋　（Ｚ、−Ｚ２）−−（１３６）
次に、Ｗ６の各成分値は、次の形で得られる。

ＷｘＧ：Ｗｙ、Ｗｚ、　−ＷｚｓＷｙ、　−・−＝・＝
・（１３７）Ｗｙ、＝ＷｚＪｘ３−Ｗｘ、Ｗｚ３−−−
（１３８）Ｗｚ、＝Ｗｘ５Ｗｙ、−Ｗｙ、Ｗｘ３−−−
（１３９）ここてＷ３を用いたのは、Ｗ５に直交するベ
クトルを求めるためのものでＷ、に平行でなく、既知の
値のものなら、何でもよい。ＷＧが得られると、次の式
を用いてｂを求めることができる。

（Ｐ　ｉ　−Ｐ　ｗ３）・Ｗ、　＝　Ｏ−−・・（１４
０）ここで、Ｗ６の各成分値を示すと次のようになる。

ＩＪｘ６＝　Ｗｙ、　Ｗｘ３−１ｉ１ｚ、　Ｗｙ。

”　（ｂ　（ｄ　ＪＹ＊　　ｄ　３Ｗｙｌ）＋　（ＹＳ
　　Ｙ２））ＷＺ３（ｂ　（ｄ　４’ｊＺ４　　ｄ　３
ＷＺａ）＋（ｚｓ　　Ｚｚ））Ｗｙａ＝ｂ”ｄ４（Ｗｙ
４Ｗｚ３ＷＺＪｙ３）＋（Ｙｓ　　Ｙ２）ｌｌ’Ｚ３（
ｚｓ　　Ｌ）Ｗｙ３　　　　　　　　・・・・・・（１
４１）Ｗｙ、　＝　Ｗｚ、　ｂｘ、　−１１１Ｘ、　Ｗ
ｚ。

”　（ｂ　（ｄ　４ＷＺ４　　ｄ　３ＷＺ３）　＋　Ｃ
１０−Ｚ２））ＷＸｊ（ｂ　（ｄ４ｗｘ４ａ　ＪＸ＋）
＋（ＸＳ　　ｘｚ））ｗｚｉ＝　ｂ−ｄ　４（Ｉｌｚ４
Ｗｘ３−ＩＮｘ４ｗｚ３）＋（Ｚｓ　−Ｚ２）Ｗｘ。

（ＸＳ　　Ｘ２）ＷＺ３　　　　　　　・・・・・・・
・・（１４２）Ｉｊｚ６＝　Ｗｘ５Ｗｙ３−　Ｗｙ、’
Ｊｘ３”　（ｂ　（ｄ　４１ｉ１ｘ４ｄ　３ＬＪＸａ）
　＋　（Ｘｓ　　Ｌ））Ｉｌ’ｙａ（ｂ　（ｄ　Ｊｙ＊
　　ｄ　ｘＷｙｉ）＋　（Ｙｓ　　Ｙ、＋））ＷＸ＋＝
ｂ−ｄ４（Ｗｘ、Ｗｙ、　　’７４’Ｘ３）十（Ｘｓ　
　Ｘ２）Ｗｙ３（Ｙｓ　　Ｙ２）Ｗｘ３−−・・（１４
３）ここで、スカラー積（Ｐｉ　　Ｐｗ、）・Ｗ、を作
ると、次のようになる。

（Ｐｉ−Ｐｗ、）”（Ｘｉ、Ｙｉ、Ｚｉ）　　”・・−
（１４４）Ｐｗ３＝ｂ−ｄ、Ｗ３＋Ｐ２　　−−・・・
（１４５）先ず、 （Ｐｉ　−Ｐｗ、）＝（Ｘｗ３．Ｙｗ、、Ｚｗ、）−・
−・（１４６）とすれば、各成分値は１次のようになる
。

Ｘｗ、＝Ｘｉ−ｂ−ｄ３Ｗｘ３−Ｘ２＝（１４６）Ｙｗ
３＝Ｙｉ−ｂ−ｄ３Ｉｌｌｙ３−Ｙ２・・・・・・・・
・（１４７）Ｚｔｉ、＝Ｚｉ−ｂ−ｄ、１ｉｌｚ３−Ｚ
２−（１４８）ここで、 （Ｐ　ｉ　−Ｐ　Ｗ３）・ｗ。

＝　　Ｘｗ３Ｗｘ、　＋Ｙｗ、Ｗｙ６＋Ｚｗ３Ｗｚ、　
−−（１４９）であるから、各項を示せば、 Ｘｗ３すｘ６ ＝（Ｘｉ　　ｂ−ｄ３ｗｘ３　　Ｘｚ）（ｂ’ｄ４（１
’ｙ４ｗＺ：＋　　ＷＺ４Ｗｙａ）＋（Ｙ、−Ｙ２）Ｗ
ｚ３＝（Ｚ５−Ｚ２）Ｗｙ、）　　−−−−−（１５０
）＝ｂ２（ｄａｄ４（ＷｘＪｚ、Ｉｄｙ４ＷＸ３Ｗｙ３
ＩＩＺ４））＋　ｂ　（−ｄ　３Ｗｘ、Ｗｚ、　（ｙ、
−ＹＺ）＋　ｄ　ａＷｘ３Ｗｙ、　（ｚ５−２２）＋　
ａ　４（Ｗｚ４ＷＬ＋−１’ｙＪｚＪ（Ｘｉ−Ｌ））＋
　（Ｘｉ−ＸＺ）（（ＹＳ−Ｙｚ）ＷＸ３−　（ｚｓ　
−２２）ＷＸ３）ｗ３Ｗｙｓ ＝（Ｙｘ　　ｂ”ｄｉＷｙｉ　　ＹＺ）（ｂ−ｄ４（Ｗ
ｚＪｘｌ　　Ｗｘ４Ｗｚ３）十（Ｚｓ−Ｚｚ）Ｗｘ３（
Ｘｓ　−ＸＺ）ｔｉｔｚ３）　　””””’（１５１）
＝　ｂ２（ｄ３ｄｏ（Ｗｘ、ＷｙａＷｚ４−Ｗｙ３ＷＺ
ｒＷＸｊ）十ｂ　（−ｄ　３１ＡＸ３Ｖｙ３　（２５−
ｚ２）＋　ｄ　３’ＪＹ３’ＪＺ３　（ＸＳ　−ＸＺ）
＋　ｄ　、　（Ｙｉ　−Ｙｚ）（Ｗｘ、Ｗｘ４−Ｗｚ３
Ｗｘ４））＋　（Ｙｉ−Ｙｚ）（（Ｚｓ−Ｚｚ）Ｗｘ３
−　（ＸＳ−ＸＺ）Ｗｚ３）Ｚｗ、ＷｚＧ ＝　（Ｚｉ−ｂ　−ｄ　３１ｉ１ｚｉ−ｚｚ）（ｂ　−
ｄ　、（Ｉｉｌｘ４Ｗｙ、　−１ｉ１ｙ、ＷＸ、）＋（
ｘｓ−ｘｚ）ＷＸ３−（ｖｓ−ｙｚ）ｗｘ３）　　　・
−−−・・・−・（１５２）＝ｂ”（ｄ、ｄ４（Ｗｚ、
ＷｙＪｘ４　Ｗ；ｈＷＸｉＷｙＪ）＋ｂ（ａ３ｗｙ３ｗ
ｚ３（ｘ５　　ＸＺ）＋ｄ３Ｗｘ、Ｗｚ３（Ｙ、　　Ｙ
Ｚ）＋　ｄ４　（ＺｊＺｚ）（ＷＸ４Ｗｙ３Ｗｙ＋Ｗｘ
３））＋　（ｚｉ　　ｚｚ）（（ｘｓ　　Ｌ）Ｗｙａ　
　（ＹＳ　　ｙｚ）’１ｘ３）ここで、スカラー積（Ｘ
ｌｌ１．　Ｗｘ、　＋　Ｙｗ、　（ｉｌｙ６＋　Ｚｔｇ
３Ｗｚ、　）を作成すると、 Ｘｗ］Ｗｘ、＋Ｙｗ、Ｗｙ６　＋Ｚｗ、ｌｊｚ。

＝　　ｂ２（ｄ３ｄ、（ＷＸ、ＷＺ、Ｗｘ４−ＷＸ、Ｗ
ｙ、１ＪＺ４））＋　ｂ”（ｄ、　ｄ４（Ｗｘ、Ｗｙ３
１ｄｚ４−Ｗｙ、すｚ、Ｗｘ、））＋ｂ”（ｄ３ｄ４（
−Ｚａｈａｌ＆Ｘ４　ＷＺ３ＷＸ、ＷＹｊ）十ｂ　（−
ｄ　３Ｗｘ、ｗｘ３（ＹＳ−ＹＺ）＋　ｄ　、ＷｘＪｙ
３（Ｚ、　−Ｚ２）＋　ｄ　４　（ＷＸ３１’ｙｑ　　
Ｉ’）’ｚ　’Ｚ４　）　（ＸＩ　　ＸＺ　））十ｂ　
（−ｄ　３ＷＸ３Ｗｙｉ　（ｚｓ−Ｚ２）＋　ｄ　ｉｌ
ｌ’ｙＪＺｉ　（ｘｓ　−ＸＺ）＋ｄ４（Ｙｉ　　Ｙｚ
）（Ｗｘ３Ｗｚ４−Ｗｚ３Ｗｘｊ）＋　ｂ　（−ｄ　３
Ｗｙ、ＷＸ３（Ｘ、−ＸＺ）十ｄ　、ＷＸ３ＷＺ３　（
Ｙ、　−ＹＺ）＋　ｄ　４　Ｃ７ｌ　　Ｌ）（ＷＸ４ｗ
ｙｒ　　ｌ’／４ＷＸｚ））＋　（Ｘｉ　　ＸＺ　）　
（（Ｙｓ　　ＹＺ　ＭＺ３　　（２５２２）Ｉ’ｙｉ　
）＋　（ｙｉ−ｙｚ）（（ｚｓ　　ｚｚ）ｗｘ３（ＸＳ
　　Ｘｚ）Ｗｚｄ＋　（ｚｉ−Ｚｚ）（（Ｘｓ−Ｘｚ）
ｌｌ’ｙ３−（ＹＳ　−Ｙｚ）Ｗｘ３）＝十ｂ　（ｄ　
３’ｉＬ−呻Ｕ□：ゴちつ□＋ｄ３兄Ｌ−９急バｌ工＝
≦しつ。

−ｄ・■己ム■ｇニー＋ｄ、股」竪己ムユ入ｄ−ｄ３Ｗ
　　Ｗｚ、（Ｘ　−Ｘ　）＋ｄ、Ｗｘ　Ｗｚ　　Ｙ　−
Ｙａ＋　ｄ４　（Ｗｚ３Ｗｙ　４　　ｗｙ３　Ｗｘ４）
　（Ｘｉ　　ＸＺ　）＋　ｄ４（Ｗｘ、Ｗｘ４−１ｄｚ
、Ｗｘ４）（Ｙｉ−ＹＺ）十ｄ　４（ｗＹ３ＷＩＣ４Ｗ
Ｘ３’ＪＹ４）ＣＺｊ２２））＋（Ｘｉ　　Ｘｚ　）　
（（Ｙ、、ＹＺ　）Ｗｊｈ　　（ＺＳ　　２２　）Ｗｙ
ｉ　）＋　（ｙｉ−ｙｚ）（（ｚｓ　−２２）ＷＸ３−
　（ｘｓ　−ＸＺ）Ｗｘ３）＋　（Ｚｉ−２２）（（Ｘ
ｉ−Ｘｚ）Ｗｙａ　−（ＹＳ　−ＹＺ）ＷＸ３）＝　十
ｂ　（十ｄ　、（ＷｚＪｙ４−Ｗｙ３１１１ｚ４）（Ｘ
ｉ−ＸＺ）＋　ｄ、（ｗｘ、ｗｘ４−Ｗｚ、Ｗｘ、）（
Ｙｉ−ＹＺ）十ｄ４（Ｗｙ、Ｗｘ４Ｗｘ３Ｗｙ、５）（
Ｚｌ−２ｚ））＋　（Ｘｉ−ＸＺ）（（ＹＳ　−ＹＺ）
ＷＸ３−　（ｚｓ　−Ｚ２）Ｗｙａ）＋（ＹＩ　　ＹＺ
）（（ＺＳ　　Ｚｚ）Ｗｘ、　　（ｘ５　　ｘｚ）ｂｉ
ｚ３）＋　（Ｚｉ　　Ｚｚ）（（Ｌ　　Ｘｚ）ＷＸ３（
ＹＳ　　ＹＺ）ＷＸ３）・・・・・・・・・・・・・・
・・・（１５３）スカラー積（Ｘｗ３Ｗｘ、　＋Ｙｗ３
Ｗｙ６＋ＺｗＪｚｓ）　＝　Ｏからｂを求める。

ｂ＝（：　　（ＸｊＸｉ）（（ＹＳ　　ＹＺ）１１’ｚ
３（ＺＳ　　ｚｚ）ｗｙ３）（ＹＩ　　ＹＺ）（（２５
２２）ＷＸ３　　（ＸＳ　　Ｘｚ）Ｗｘ３）−（ｚｉ−
Ｚ２）（（Ｘｉ　−ｘｚ）ｗｙｉ　−（’ｙｓ　−ｙｚ
）ｗｘａ））／（十ｄ４（ＷＺ３１＋ｌｙ４　　Ｗｙ３
ＷＺ４）（Ｘｉ’−ＸＺ）十ｄ　、（Ｗｘ３Ｗｚ４−Ｗ
ｚ３Ｗｘ、）（Ｙｉ−ＹＺ）十ｄ　４　（Ｗｙａ　Ｗｘ
４Ｖｘ３１１１＞’＊　）　（ＺＩ　　Ｚｚ　））＝（
−１／ｄ４）（（ｐｉ−Ｐ、）・（（Ｐ、−Ｐ２）ＸＷ
、））／（（Ｗ、　Ｘ　Ｗ３）・（Ｐｉ　　Ｐ２））・
・・・・・・・・・・・・・・・・・（１５４）ここで
えられたｂを用いて前述の次の式からＰｗ、、２ｗ４を
求めれば、それらが各々目的のＰ７、Ｐ、となる。第２
６図のフローチャートでは、ステップ４５を参照する。

式で示せば次の形で得られる。

Ｐ７＝Ｐす、＝　ｂ−ｃｉ、ｗ、＋　ｐ２＝ｗ、（−ｃ
ｉ３／ｄ４）［（ｐｉ−ｐ２）−（（ｐ５−ｐ２）　ｘ
ｗ、））／（（Ｗ、　Ｘ　Ｗ３）・（Ｐｉ−Ｐ２））　
＋　Ｐ２”−ＷＩＰｉ−Ｐ２１Ｃ（Ｐｉ−Ｐ２）・（（
ｐ５−ｐ２）ｘｗ３））／（ｌＰ４−Ｐｓｉ（Ｗ４ＸＷ
３）・（Ｐｉ　　Ｐｚ））　十Ｐ２・・（１５５） Ｐ　ｇ　＝Ｐ　１４＝＝　ｂ−ｄ　４　Ｗ　４　＋　Ｐ
　＝。

＝Ｗ４（−ｄ４／ｄ、）（（Ｐｉ−Ｐ２）・ＣＣＰＳ−
Ｐ２）Ｘ　Ｗ３））／（（Ｗ４ＸＷ、）・（Ｐｉ　−Ｐ
ｚ））＋　Ｐｓ＝　−Ｗ　４（（Ｐ　ｘ−Ｐ　ｚ　）・
（（ｐ５−ｐ２）ｘｗ、））／（（Ｗ４ＸＷ３）・（Ｐ
ｉ　−Ｐ２））十Ｐ５・・・・・・・・（１５６） 次に、他の１組の相対する辺Ｐ２Ｐ５、辺Ｐ、　Ｐ４上
で等分割したときの対応する位置を表現するために、各
々をｎ等分したときの長さを求める。第１３図を参照す
る。なお、第２６図のフローチャトでは、ステップ４６
を参照する。辺Ｐ２Ｐ、をｎ等分したときの長さをｄ　
ｘｚ、辺Ｐ、Ｐ、をｎ等分したときの長さをｄ　ｉ４と
すれば、ｄ　１３とｄ　１４はつぎの式で得られる。

ｄ、、＝　ｌ　Ｐ５−Ｐ２１　／　ｎ　−４２０１）ｄ
　１４＝　ｌ　ｐ４−　Ｐ３１　／　ｎ　＝（２０２）
つぎに、Ｐ２からＰ５へ向かうユニットベクトルＷ　１
３、Ｐ３からＰ４へ向かうユニットベクトルＷ工。

を作る。第２６図のフローチャートでは、ステップ４７
を参照する。Ｗ□３、Ｗ１４の成分値を、Ｗｌ３　＝（
ＩＮ）ｈ３＋Ｗｙｘ３．ＩｊＺ□ｉ）　　””””’（
２０３）Ｗ１＋　＝　（ＷＸ１＊　＋Ｗｙｘｏ　＋ＷＺ
１４）”’　”’　”’　（２０４）とすれば、Ｗｌａ
の成分値は、 すに１＝ｘ、−Ｘ２・・・・・・・・・（２０５）ｗｋ
２　＝　Ｙ、−Ｙ２−−−（２０６）ｗｋ３　＝　Ｚ、
−Ｚ２−（２０７） すに４　＝　（（υｋ１２＋讐に２２＋υに３２）・・
・・・・・・・（２０８）すＸよ、＝υにしへに４　　
　−−−−−・＝−（２０９）Ｗｙ、３＝　ｔｉｋ２／
ｗｋ４　　　−−（２１０）Ｗｚ□３＝＝　ｗｋ３／　
ｗｋ４　　　　・・・・＝　・・・（２１１）Ｗ１４の
成分値は、 ｗｋ５　＝　Ｘ４−Ｘ、　　　　　・−・＝・・（２１
２）υに６　＝　Ｙ４−Ｙ３　　　　　・・・・・（２
１３）ｗｋ７　＝　２４−２．　　　　−（２１４）ｗ
ｋ８　＝　ｖ’（ｔｙｋ５２＋ｗｋ６２＋ｗｋ７２）−
−−（２１５）Ｗｘ１４＝υに５／υに８・・・・・・
・・・（２１６）しｙ□４＝すに６／すに８　　　　・
　・・・・・（２１７）Ｗｚ１４＝：　ｗｋ７／　ｗｋ
８　　　　・・・・・・−（２１８）という手順で得ら
れる。

上記で得られたｄ□３、Ｗｌ３を用いると、Ｐ２を基準
にした辺Ｐ２Ｐ５上の点Ｐｗ工３が次の形で得られる。

第２６図のフローチャートでは、ステップ４８を参照す
る。

Ｐす、３＝ｂ−ｄｌ、Ｗ工、＋Ｐ２　・・・・・・・・
・（２１９）また、上記で得られたｄ　１４、Ｗｌ４を
用いると、Ｐ３を基準にした辺Ｐ３Ｐ４上の点Ｐｗ０．
が次の形で得られる Ｐｗ１４＝ｂ−ｄ１４Ｗ１４＋Ｐ３　　・・・・・・・
・・（２２０）ここで、線分Ｐｗ□、Ｐｗ０．が、与え
られた面上の１つの点Ｐｉを通るように変数すを定めれ
ば、目的の他の１つの線分が得られる。言い替えれば、
線分Ｐｗ１．Ｐｗ１．上にＰｉが乗る条件を決めればよ
い。そのためには、Ｐ　ｗ、、を原点とし、Ｐｗ□３か
らＰ−□４へ向かう方向を基準軸とする座標系を導入し
、該基準軸からのＰｉの離れ具合で判定すればよい。先
ず、原点は Ｐｉ、、＝ｂ−ｄ１３Ｗ□３＋Ｐ２・・・・・・・・・
（２２１）次に、基準軸は Ｗ、＝Ｐｗ１４−Ｐｗ、３−・・・・−＝（２２２）＝
ｂ（ｄ１４Ｗ□、−ｄ工、Ｗ工、）十ｐ３−ｐ２離れ具
合を判定するには、基準軸に直交する軸が必要で、該軸
をＷｌ６とすれば、Ｗｌ、はっぎの手順で得る。

Ｗｉｇ　＝Ｗ１．ＸＷ□、　　　・・・・・・・・・（
２２３）ここで、Ｗｌ、、　Ｗｌ、を Ｗｌｇ　＝（Ｗｘｘｓ＋Ｗｙ１ｓ＋’Ｚ□ｓ）　　・’
＝□＝”（２２４）Ｗ□ｃ　＝（Ｗｘ１ｓ＋ＷｙｘｓＪ
Ｚｚｓ）　　””””’（２２５）とすれば、先ず、Ｗ
、５の各成分値は、次の形で得られる。

Ｗｘ、、　　＝　ｂ　（ｄ　Ｌ４ｗｘ１４　　ｄ　ｔＪ
Ｘｉｉ）＋　（Ｘ３　　Ｘ２）・・・（２２６） Ｗｙ□ｓ　　＝　ｂ　（ｄ　ｘ４ｗｙ１４ｄ　ｔｉＩｌ
ｌｙｔ３）＋（Ｙ３　　Ｙ２）・・・・・・・・（２２
７） ｂＺｘｓ　　＝　ｂ　（ｄ　１４”ｚｉ４　　ｄ　１Ｊ
Ｚｔａ）＋　（Ｚｌ　　Ｚ２）・・・・・・・・・（２
２ｇ） 次に、Ｗ、Ｇの各成分値は、次の形で得られる。

Ｗｘ、、　＝Ｊ’ｘｓ１１１Ｚ１ｉ　　ＷＺｘｓｌ’１
ｙ１ａ　”’　”’　”’　（２２９）１１’ｙＨ；　
＝ＷＺｘｓＷＸ□ｉ　　Ｗｘ、ｓＷｚ、、　”’　”’
　”’　（２３０）Ｗｚ１６＝ｌ’ＸｘｓＷｙ１３１１
’）’ｘｓｌ’Ｘ１ｚ　”’　”’　”・（２３１）Ｗ
□、が得られると、次の式を用いてｂを求めることがで
きる。

（Ｐｉ−Ｐｗ、３）・Ｗ、ｓ＝　Ｏ−−−（２３２）こ
こで、Ｗ５の各成分値を示すと次のようになる。

Ｗｘ１ｓ＝　Ｗｙ□ＪＺｚ３ＷＺｚｓＷｙ、３”　　（
ｂ（ｄｘＪｙｘ＋−ス、■、）”（Ｙ３Ｙｚ））ＷＺｘ
ｉ（ｂ　（ｄ　１４ｗｚ１４−Ａ１秋、）＋（ｚａ　　
ｚｚ））ｕｙｘａ”　ｂ　’　ｄ　１４（Ｉｌ’ｙｘ４
ｗＺ１３ＷＺｔ４１’ｙｘｚ　）＋（Ｙ３　　Ｙｚ）Ｗ
Ｚｔ３（Ｚ３Ｌ）Ｗｙ□：＋”’（２３３）’ｄＹ１ｂ
　＝　ＷＺｘｓＷＸｔ３Ｗｘ１ｓＷｚ１゜”　　（ｂ　
（ｄ　ｉ４ｗＺｉ。−ｄ　　Ｗｚ　　）　＋　（Ｚ、　
−２２））Ｗｘ、。

（ｂ　（ｄ　１４ｖｘ１４　　□）＋（Ｘｌ　　Ｘｚ）
）ＷＺｚｒ＝　ｂ　°ｄ　、４（ＷｚｚｊＷｘ□、　−
Ｗｘ１４Ｗｚ、、　）＋　（Ｚｌ　−Ｚ２）ｌｉｌｘ、
、　−（Ｘｌ−Ｘｚ）ＷＺ１３＝−（２３４）’Ｚｘｒ
、　　＝　　’ｘ１ｓｌ’ｙ１３’ＪＹｘＳ’ＪＸ□３
”　　（ｂ（ｄｔＪＸｔ４ｍ）＋（Ｘｉ　　Ｘ２））’
！＋’ｘ３（ｂ　（ｄ　ＩＪＹｘｑ−Ａヨ辻しユ）＋　
（Ｙｒ　　Ｙｚ））ＷＸｔｉ＝　ｂ　”　ｄ　ｘ４（Ｗ
Ｘ１＋Ｉ’ｙｘ３’ＪＹｘｊ’Ｘｘ３）＋（Ｘｌ　　Ｌ
）Ｗｙ□３（Ｙｚ　　Ｙｚ）Ｗｘ、３”’（２３５）こ
こで、スカラー積（Ｐｉ−Ｐｗ□３）・Ｗ工、を作ると
、次のようになる。

Ｐｉ＝（Ｘｉ、Ｙｉ、Ｚｉ）　　−（２３６）Ｐｗ、３
＝ｂ−ｄｌ、Ｗ、、＋Ｐ２　−・−・−−−−（２３７
）先ず、 （Ｐｉ　　ＰＷｚｉ）＝（Ｘｗｔ３＋ＹＷｘ３＋ＺＷｔ
ｚ）””””’（２３８）とすれば、各成分値は、次の
ようになる。

Ｘｗ１３＝Ｘｉ−ｂ−ｄｌ、Ｗｘｌ、−Ｘ２−（２３９
）Ｙす□、＝Ｙｉ−ｂ−ｄ工、讐ｙ□３−Ｙ２　・・・
・・・・・・（２４０）Ｚｉ＋、、＝Ｚｉ−ｂ−ｄ、３
Ｗｚ、３−Ｚ２・−・−・（２４１）ここで、 （Ｐｉ−Ｐす、３）・Ｗ工。

＝ＸＩＩ□１Ｗｘ１６＋Ｙｔｎｔ３１１ｙｅ＋Ｚｗｉ３
Ｗｚｃ　　−−−−（２４２）であるから、右辺の各項
を示すと、 Ｘ讐□３Ｗｘよ。

＝（Ｘｘ　　ｂ−ｄ、３１ｕｘ１３Ｘｚ）（ｂ’ｄｔｑ
（ＷｙｘＪＺｘ３’ＪＺｘＪ’／ｘ３）十（ＹＪ　　Ｙ
ｚ）ｕＺｌ）　　（Ｚ３Ｚｚ）Ｉ’ｙ１ａ）・・・・・
・・（２４３） ＝ｂ２（ｄ□ａｄ１４（ＷＸｔｉＷＺｘａＷｙ１４１Ｎ
Ｘ□ｉｌ’ｙｘａ’Ｚ１ｊ）＋　ｂ　（ｄ　１１］’ｘ
ｌ　３ＷＺｚ３　（Ｙｚ　　Ｙｚ　）　＋　ｄ　１３”
ｘｉ３１’Ｙｘ。

（２３Ｚｚ）＋ｄ、４Ｃ’ＪＺｘ３’ＪＹ１４ＷｙｚＪ
Ｚ□Ｊ（Ｘｌ−Ｘ２）） ＋（Ｘｉ　　Ｘ２）（（Ｙｌ　　Ｙｚ）Ｗｚ１３−　（
Ｚ３−Ｚ２）Ｗｙ□３）Ｙす□３すｙ１６ ＝（Ｙｉ−ｂ−ｄ□３すｙ□ａ　　Ｙｚ）（ｂ　’　ｄ
　１４　（ＷＺ、ＪＸｔｚＷｘ１４Ｗｚ□３）＋　（Ｚ
３　　Ｚｚ）ＷＸｚ３（Ｘｌ　−Ｘｚ）ＷＺ□ａ）・・
・・・・・・・（２４４） ＝ｂ２（ｄｉ３ｄｔ４（ＷＸｘｘＷＹ１３ＷＺｘ４Ｗｙ
１３１１’Ｚ＋３ＷＸ□＊））十ｂ　（ｄ　１：＋Ｉ’
＋ｈ：＋ｌ’ｙｘｚ　（’ｚ３ｚ２）十ｄ１ｉ’ｙｘａ
’Ｚｉａ（Ｘ３Ｘ２）　＋ｄ１４（ＹＩ　　Ｙｚ）（Ｗ
ｘｔ：１Ｗｚｔ４’ＪｚｘｇｌＩｌｘ□４）） ＋（Ｙｉ　　Ｙｚ）（（Ｚ３　　Ｚｚ）ＷＸｔｉ　　（
Ｌ　　Ｘｚ）ｌ’Ｚｔｉ）２讐□３すＺＩＧ ”（Ｚｌ　　ｂ−ｄ１３Ｗｚ□、　　Ｌ）（ｂ’ｄｚ４
（ＷＸｔ４ＷｙｚａＷｙｔＪＸｘａ）＋（Ｌ　　Ｘｚ）
Ｗ３ｈ３（Ｙｚ　　Ｙｚ）ＷＸｉ３）・・・・・・・・
・（２４５） ”　ｂ”（ｄｘｉｄｔ４（ＷＺｔ３１’ｙｔＪＸ１４−
リＺｘｘｌｌ’Ｘｔ３ＷｙｔＪ）＋　ｂ　（ｄ　１Ｊｙ
ｘｙ’ｄＺ□ａ　（Ｘｌ　　Ｘ２）＋　ｄ　１３”ｘｌ
ｆｆｗ”４３（Ｙｚ　　Ｙｚ）＋　ｄ　□＊（ＺＩ　　
Ｚｚ）（１’ｌＸｔ＊ｌ’ｙｘａ　　ＷｙｔＪＸｔ３）
）＋　（ＺＩ　　Ｚ２）（（Ｘｌ　　Ｘｚ）Ｗｙｉｉ　
　（Ｙｘ　　Ｙｚ）ＷＸ１３）ここで、 スカラー積（Ｘ１１ｚＪＸｔＧ＋ＹＶｚ３１１’ｙｔｓ
＋ＺＷ□３ＷＺＢ）　ヲ作成すると、 Ｘｗ、３Ｗｘ１．　＋Ｙｔ＋、、Ｊｙ、、　＋ＺｔＩ＋
、、Ｗｚ１゜＝　　ｂ　”　（ｄ　１３　ｄ　１４（Ｗ
ＸｘａＷＺｚ３Ｗｙ□ｑ　　ＷＸｔｉＷｙｔｚＷＺｘＪ
）＋　ｂ２（ｄｚａｄｘ４（ＷＸｔ３ＷｙｔａＷＺｚ＋
　　Ｗ３’ｚ３ＷＺ１ｉＷＸｘＪ）十ｂ”（ｄｘａｄ１
４（ＷＺｔ２１１１ｙｚ３ＷＸｚ４−ｗｚ１３すＸｔａ
Ｗ３’□Ｊ）＋　ｂ　（ｄ　１３ｖｘ１３ｗｚＬ３　（
Ｙ３Ｙ２）十ｄ　□ａＷＸｘｘＷｙｔａ　（Ｚ３　２２
）＋ｄ□４（ＷＺｘ３ｗｙｘ４Ｗｙ１３ＷＺｔ４）（Ｘ
ｉ　　Ｘｚ））十ｂ　（ｄ　□ａｔｌ’ＸｚａＷｙｚｚ
　（２３Ｚ２）＋　ｄ　１３ｗｙｚｉＷＺｚ３（Ｘｌ　
　Ｘ２）十ｄ　１４　（Ｙｘ　　Ｙｚ）（１’Ｘｘ３Ｗ
Ｚｚ４ＷＺｚａｌ’ｘｔｉ））＋　ｂ　（ｄ　１３’１
ｌＹｔｙ’Ｚｘｙ　（Ｘｌ　　Ｘ２）＋　ｄ　１．Ｗｘ
□、Ｗｚｌｊ（Ｙｚ−Ｙｚ）＋ｄｔ４（ＺＩ　　Ｚｚ）
（ＷＸｘＪｙｔ３１１’ｙｔＪＸｘｉ））＋　（Ｘｉ　
　Ｘ２）（（Ｙｚ　　Ｙｚ）ＷＺ１３（Ｚ３　　Ｚｚ）
Ｗｙｘ：＋）＋　（ＹＩ　　Ｙｚ）（（Ｚ３Ｚｚ）ＷＸ
ｔ３（Ｘｌ　　Ｌ）Ｗｚｌａ）＋（ＺＩ　　Ｚ２）（（
Ｌ　　Ｘｚ）Ｗｙ１３（Ｙｚ　　Ｙｚ）ＷＸｘａ）・・
・・・・・・・（２４６） これからｂは、次の式で得られる。

ｂ　”　（−（ｘｉ−Ｘ２）（（Ｙｚ−Ｙｚ）Ｗｚ１３
−　（２Ｇ−Ｚｚ）Ｗｙｚａ）（ＹＩ　　Ｙｚ）（（Ｚ
３　　Ｚ２）ｌｌ’Ｘ１３　　（Ｘｌ　　Ｌ）ｌ’Ｚｔ
ａ）−（ｚｊ−ｚｚ）（（ｘ３−Ｌ）Ｗｙｚｉ　−（Ｙ
ｚ−ｙｚ）”’ｘ１３））／（＋ｄ１４（ＷＺｚａＷｙ
ｘ４ＷｙｚＪＺｚ４）（Ｘｉ　　Ｘｚ）＋　ｄ　１ｑ　
（ＷＸｔＪＺ１４Ｗｚ１３Ｗｘ１４）（ＹｊＹｚ）＋ｄ
□４（Ｗｙｘ３ＷＸｘ４ＷＸｘ：＋ｗｙｚ４）（ＺＩ　
　Ｚ２））＝（１／ｄ１４）（（Ｐｉ　Ｐ２）・（（Ｐ
３　Ｐ２）ＸＷｚｉ）：１／（（Ｗ１４ＸＷ□３）・（
Ｐｊ　Ｐ２））・・・・・・・・・（２４７） ここでえられたｂを用いて前述の次の式からＰｗ工３、
Ｐ　ｗｏ、を求めれば、それらが各々目的のＰ５、Ｐ８
となる。、すなわち、第２６図のフローチャートでは、
ステップ４９を参照する。

Ｐ６＝Ｐす、３＝ｂ−ｄ□３ｗｉ、”　Ｐ　２＝Ｗ工３
（−ｄ工＞／ｄ、４）（（Ｐｉ−Ｐ２）・（（Ｐｌ−Ｐ
２）Ｘｗｉｓ））／（（Ｗｔ＜ｘｗｔｘ）’（ｐｉ　Ｐ
２））＋Ｐ２＝−Ｗ□３１Ｐ−Ｐ２１（（ＰＬ−Ｐ２）
・（（ｐ３−ｐｚ）ｘｗｔａ）］／（ＩＦ５−Ｐ、１（
Ｗ１４ＸＷ工、）・（Ｐｉ　−ｐ２））＋　ｐ２・・・
・・・・（２４８） Ｐａ”Ｐｗｚ４＝ｂ−ｄｉ４Ｗ、、＋Ｐ３＝　Ｗｌ、　
（−ｄ　１．／　ｄ工４）［（Ｐ　ｉ−Ｐ　２）・（（
Ｐ３−Ｐ２）ｘＷ工３　））　／　（（Ｗｌ４　Ｘ　Ｗ
□、）・（Ｐｉ−Ｐ２））＋　Ｐ。

＝−Ｗよ４　（（Ｐ　ｉ−Ｐ　２）・（（Ｐ３−Ｐ２）
　×ｗ１３））／　（（Ｗｌ４　ｘ　Ｗｌａ　）・（ｐ
ｊ−ｐ２））十ｐ３・・・・・・・・（２４９） あとは、上記で得られた結果からＰ７、Ｐ９を結ぶ線分
と、ＰＧ、ＰＩｌを結ぶ線分とを破線で出力すればよい
。第２６図のフローチャートではステップ５０を参照す
る。

次は、第１４図に示すように、面が３次元空間内で、平
行四辺形のときの例について説明する。

なお、第２７図のフローチャートを説明に併用する。こ
の場合は第１４図に示すように、面上の１つの点から該
面を構成する辺に向けて、方向は向かう辺に隣合う辺に
平行なイメージの線分を破線で付加する。この考え方は
、例えば、面領域が三角形の場合などのときにも有効で
ある。三角形の場合の例を第１５図に示す。三角形の場
合、第１６図に示すように三角形の各頂点から面上の１
つの点に破線を引くとか、第１７図に示すように面上の
１つの点から各辺に垂線を下ろす形で破線を引くことが
考えられる。しかしながら、それらを３次元の形として
見るとき、前者は面上の１つの点が４面体の頂点に見え
やすく、後者は面上の１つの点から各辺に鎖を張ってい
るように見えやすい。それらに比べ、第１５図の場合は
、破線に平行に沿う線が強調されて見えるので面上の１
つの点が面上にあるように見えやすい。この場合、与え
られる情報としては、次のものがある（第１４図を参照
）。第２７図のフローチャートでは、ステップ６１を参
照する。

面上の１つの点として、 Ｐｉ＝（Ｘｉ、Ｙｉ、Ｚｉ）　　＝（３００）平行四辺
形の頂点の座標値として、 Ｐ２＝（Ｘ、、Ｙ、、Ｚ２）　　−＝−・−（３０１）
Ｐ、＝（Ｘ３．Ｙ、、２３）　　・−・・・・・−・（
３０２）Ｐ４＝（Ｘ４．Ｙ、、Ｚ４）　　−・−−−−
・・（３０３）Ｐｓ＝（Ｘｓ＋ＹｓｙＺｓ）　　−・・
−・・・（３０４）また、結果として得るものは、例え
ば、第１４図に示すように、付加する２つの破線の端点
Ｐ６、Ｐ７、ｐｉ、ｐ、がある。それらを、 Ｐ＋；＝（Ｘｓ＋Ｙｓ＋Ｚｓ）　　・−・・＝＝−（３
０５）Ｐ７＝（Ｘ７．Ｙ７．Ｚ、）　　・・−−−−・
・−（３０６）ｐＨ＝（Ｘ、、ＹＩｌ、Ｚ、）　　・−
−−−・−・・（３０７）ｐ、＝（ｘ、、ｙ、、ｚ、）
　　−・−−−−−−−（３０８）とする。

最初に、Ｐ２からＰ３へ向がうユニットベクトルＵ□、
Ｐ２からＰｓへ向かうユニットベクトルＶ工を作る。第
２７図のフローチャートでは、ステップ６２を参照する
。Ｕｌ、■□の成分値を、Ｕｘ”（ＬＪＸｔｔｌＪ７ｘ
＋ｔｌＺｘ）　　−−−−−−−−−（３０９）■□＝
（ＶＸｔ＋Ｖｙ工、Ｙｚ工）　・・・・・・・・（３１
０）とすれば、 ｗｋ１＝Ｘ、−Ｘ２・・・・・・・・・（３１］）讐に
２＝Ｙ、−Ｙ２　　　　　・・・・・・・・・（３１２
）警に３＝Ｚ、−Ｚｚ　　　　　・・・・・・・・・（
３１３）ｗｋ４　＝　ｖ’　（ｗｋ１２＋ｗｋ２”　＋
　ｗｋ３”　）−−−（３１４）ｌｘ□＝ｗｋｌ／ｗｋ
４　　　−−・・・−・（３１ｓ）Ｕｙ□＝すに２／ｗ
ｋ４・・・・・・・・・（３１６）Ｕｚ□＝　ｗｋ３　
／　ｔｌｌｋ４　　　−　・・・−（３１７）ｗｋ５＝
Ｘ、−Ｘ２−−　・・・（３１８）ｗｋ６　＝　Ｙ、　
−Ｙ２・＝　−・・・（３１９）ｗｋ７　＝　Ｚ、　−
Ｚ２・＝　−−（３２０）ｗｋ８＝ｖ’　（ｔｇｋ５”
　＋ｗｋ６２＋ｗｋ７２）−・−−−−−−−（３２１
）Ｖｘ１＝　ｔｇｋ５／　ｗｋ８　　　　・−・−＝−
（３２２）Ｖｙ、　＝　ｗｋ６／　ｗｋ８　　　−−−
　（３２３）Ｖｚ□＝ｗｋ７／ｗｋ８　　　　・−・・
・・・−（：３２４）という手順で得られる。

次に、Ｐ　ｚ　”　（Ｘ２．Ｙｚ、Ｚｚ）を始点、　Ｐ
ｉ＝（Ｘｉ、ＹｉｔＺｉ）を終点とする方向ベクトルＷ
、を求める。第２７図のフローチャートでは、ステップ
６３を参照する。

Ｗ３＝（Ｗｘ、、Ｖｙ３．Ｗｘ３）　　−（３２５）と
すれば、 Ｗｘ３＝　Ｘｉ　−Ｘ２−−−　（３２６）Ｗｙ、　：
　Ｙｉ　−Ｙ２　　　　　・・・・・・・・（３２７）
１ｉｚ３＝　Ｚｉ　−Ｚ２−−−　（３２８）にて得ら
れる。

ここで、方向ベクトルＷ３をユニットベクトルＵ□、■
□で表現すると、次の形となる。これは、Ｗ、とＵ工と
ｖｌとが同一平面上に存在するからである。

Ｗ３＝ｃ１Ｕ１＋ｃ２Ｖ１・・−−４３２９）これらの
０１と０２とをここでは求める。第２７図のフローチャ
ートでは、ステップ６４を参照する。

それらを成分値で表すと次の形となる。

Ｘｌ−Ｘ２＝　ｃ　１Ｕｘ１＋　ｃ　２Ｖｘ、　−−−
（３３０）Ｙｉ−Ｙ２＝　ｃ　、Ｕｙ□十ｃ　２Ｖｙ、
・−−−（３３１）Ｚｉ−Ｘ２＝　ｃｍＵｚ□＋　ｃ２
Ｖｚ１６−（３３２）この３つの式から０１と０２を求
めれば、Ｐ６、Ｐ７、Ｐ、１．Ｐ、は次の形で得られる
。

Ｐ、＝ｃ２Ｖ工＋Ｐ２　−（３３３） Ｐ、＝Ｃ，Ｕ１＋Ｐ２　　・・・・＝−（３３４）Ｐ８
＝ｃ２■、十Ｐ　３　　・・・・・−（３３５）Ｐ、＝
ｃ１Ｕ１＋Ｐ５　−（３３６） このＣ工と０２は、上記式（３３０）　（３３１）　（
３３２）の３つから求めればよいが、変数は、２つなの
で１次の２つの式を用いる。

Ｘｌ−Ｘ２＝　ｃ　１Ｕｘ、　＋　ｃ　２Ｖｘ□＋＋＋
　＋＋＋　・・・（３３７）Ｙｉ−Ｙ２　＝　ＣｘＵｙ
ｘ　＋　ｃ　ｚＶｙｔ　−＝　＝・−・（３３８）ｖｙ
□（３３７）　−Ｖｘ□（３３ｇ）をつくると、Ｖｙ、
　（Ｘｊ−Ｘ２）＝Ｖｙ１ｃ　１Ｕｘ□＋Ｖｙ、　ｃ　
２Ｖｘ□ＶＸ　　Ｙｉ−Ｙ　　＝Ｖｘ　ｃ　Ｕ　　＋Ｖ
ｘ　ｃ　ＶＶｙｌ（Ｘｉ　−Ｘ２）　−Ｖｘｌ（Ｙｉ　
−Ｙ２）”　（ＶｙｘＵＸｘ　　ＶｘｌＵｙｔ）　Ｃ□
ｃ　□＝　（Ｖｙｘ　（Ｘｉ　　Ｘ２　）　　ＶＸ□（
ＹＩ　　Ｙ２　））／（ＶｙｉＵｘｘ−ＶＸ１Ｕ！／□
）・−・・・−・・（３３９）これを、式（３３７）に
代入してｃ２をもとめると、ｃ　ｚ　””　（（Ｘｉ　
　Ｘ２）　　ｃ　１Ｕｘ□）／　Ｖｘｘ＝　（Ｘｉ−Ｘ
２）／ＶＬＩ　−０１（ｌｘ□／　Ｖｘ□）＝（Ｘｉ　
　Ｘ２）／Ｖｘ１ （Ｖｙｉ（Ｘｘ　　Ｘ２）　　Ｖｘｌ（ＹｉＹｚ））（
Ｕｘｔ／ＶＸ□）／（ＶｙｌｌＪｘｌ　　ｖｘｔｕｙＪ ＝（ＸｊＸｚ）（ＶｙｘＵｘｘ　　ＶｘｔＵｙ□）／（
ＶＸｔ（ＶｙｘＵＸｚ　　Ｖｘ４Ｕ３’ｚ））−（Ｖｙ
ｔ　（ｘｉ　−Ｘ２）　−Ｖｘ、　（Ｙｉ　−Ｙ２　）
）　（ＵＸｌ　／　Ｖｘｌ）Ｖｘｔ／　（（ＶｙｘＵｘ
、−Ｖｘ□Ｕｙ１）Ｖｘ、）＝　（Ｖｘ、　（Ｙｉ　　
Ｙ２）ＵＸｌＶｘｔＵｙｘ　（Ｘｘ　　Ｘｚ））／（（
ＶｙｚＵＸｔ　　ＶＸｘＵｙｔ）ＶＸＪ−’−ｃｚ＝（
ｕｘｌ（ｙｉ−ｙｚ）−ｕｙｘ（ｘｉ−ｘｚ））／（（
ＶｙｔＵｘｔ−ＶｘｚＵｙｔ））−−・−・−・（３４
０）ここで求めたｃｉと０２の値を用い、上記式（３３
３）％式％ Ｐ８、Ｐ９が得られる。第２７図のフローチャートでは
、ステップ６５を参照する。

後は、Ｐ６とｐＨを結ぶ線分、Ｐ７とＰ９を結ぶ線分と
を破線で作成すれば、目的の線の表示が得られる。第２
７図のフローチャートでは、ステップ６６を参照する。

最後に示す例は、面が３次元空間内で１球面の場合であ
る。例を第１８図に示す。従って、面上の１つの点は、
球面上にある。また、第２８図のフローチャートを説明
に併用する。この場合は、球の中心を中心とし、与えら
れた面」二の１つの点を通る円を面の表面を表す特性的
な線として用いる。この場合、与えられる情報としては
、次のものがある。第２８図のフローチャートでは、ス
テップ７１を参照する。

面上の１つの点として、 Ｐｉ＝（Ｘｉ、Ｙｉ、Ｚｉ）　　・−・−・・・−＝−
・（３００）球の中心として、 Ｐｃ＝（Ｘｃ、Ｙｃ、Ｚｃ）　　・−・・−−−−−−
（３０１）球の半径として、 ｒ　　・・・・・・・・・・・・・・・（３０２）視線
方向としてとして、 ｋ　＝　（Ｋｘ、Ｋｙ、Ｋｚ）　　−−−−・・・（３
０３）画面上の視線の位置として、 Ｐ１＝（Ｘｌ、Ｙ、、Ｚｌ）　　−−−−＝−・−・＝
−（３０４）とする。球面の様に面の形を表す辺が無い
場合は、視線方向から見える部分に特徴的な線を付加す
る必要があるので、特徴的な線を得る場合に視線方向を
用いる。

先ず、球の種々の位置を算出するための基準となる軸（
以下これを基準軸と呼ぶ）を作る。ここでの基準軸は、
球の中心から指定した方向を向くベクトルＱ工で与える
ことにする。

Ｑｔ　＝　（Ｑｘ□、ＱｙｌｙＱｚｔ）・・・−・−・
・−−−−−（３０５）ここで Ｑ□１＝１　　・・・・・・・・・・・・・・・（３０
６）とする。このとき、基準軸Ｑ上方向で球面上の点Ｐ
ｒ□は、次の形で得られる。

Ｐｒ、＝　ｒ　Ｑ、十Ｐｃ・・・・・・・・・・・・・
・（３０７）この球面上の点Ｐｒ１を用いて、面の表面
を表す特性的な線をつぎに述べる形態で作る。先ず、最
初の特性的な線は、与えられた面上の１つの点Ｐｉと、
上記で得られた球面上の点Ｐｒ１とを通り、中心が球の
中心Ｐｃの円で作る。また、他の１つの特性的な線は、
与えられた面上の１つの点Ｐｉを通り、既に作られてい
る最初の特性的な線に直交する円として作る。

また、ここで１つの例として用いる図形処理装置は、３
次元図形を表示する場合、図形処理装置のもつ基準座標
系の２軸を上方向に見えるように表示する機能をもつも
のとする。

ここで基準軸Ｑ□を５正面に正立するように作る。

そのためには、先ず一視線方向の逆方向（−ｋ）から図
形処理装置のもつ基準座標系のＺ軸方向へ９０度回転し
た位置に基準軸Ｑ１を作ればよい。

最初に（−ｋ）から２軸を正面に見て右側に、（−ｋ）
とＺ軸とに直交する軸Ｂを作成する。第２８図のフロー
チャートでは、ステップ７２を参照する。

Ｂ　＝　（Ｂｘ、Ｂｙ、Ｂｚ）　−−−−＝・（３０８
）とすれば、Ｂは次のベクトル積で得られる。

Ｂ　＝　（０，０，１）　ｘ　（−ｋ　）・・・・・・
・・・・・・・・・（３０９）成分値で示せば、次の通
り。

Ｂｘ＝−０４ｚ＋ｌ４ｙ ＝Ｋｙ　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・
（３］、０）Ｂｙ＝−１４ｘ＋０４ｚ ＝　−Ｋｘ　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・
・（３１１）Ｂｚ＝−０４ｙ＋０４ｘ 二〇　　　　　　　・・・・・山川・・・（３１２）こ
こで、Ｂをユニットベクトル化したものＢ□を求める。

その成分値を Ｊ＝（Ｂｘｔ、Ｂｙ、、Ｂｚｔ）町−・旧・・＝−（３
１３）とすれば、Ｂ１は次の形で得られる。第２８図の
フローチャートでは、ステップ７３を参照する。

３）（１＝　　Ｋｙ／ｖ’（Ｋｙ２＋Ｋｘ２）Ｂｙｘ＝
　　Ｋｘ／Ｖ７″（Ｋｙ２＋Ｋｘ２）Ｂｚ工＝０ 次に、目的の基準軸Ｑ□は、次のベクトル積で得られる
。第２８図のフローチャートでは、ステップ７４を参照
する。

Ｑ、＝（−ｋ）ｘＢ□・・・・・・・・・町・・（３１
４）その成分値で示せば、次の通り。

Ｑｘ□＝−Ｋｙ−Ｂｚ１＋Ｋｚ−Ｂｙ。

＝十Ｋｚ−Ｂｙ１ ＝　−ＫｘＫｚ／　ｖ’　（Ｋｙ”　＋　Ｋｘ”　）−
・旧・・町・・（３１５）Ｑｙｘ　＝−Ｋｚ−Ｂｘ□＋
Ｋｘ−Ｂｚ□”　−Ｋｚ−Ｂｘｌ ＝　−ＫｚＫｙ／　Ｊ　（Ｋｙ２＋Ｋｘ２）　−−・・
・叫・・（３１６）Ｑｚ１＝−Ｋｘ−Ｂｙ、＋Ｋｙ−Ｂ
ｘ１＝　＋　（ＫｘＫｘ　＋　ＫｙＫｙ）　／　ｖ’　
（Ｋｙ２＋　Ｋｘ２）”ｖ’　（Ｋｙ２＋Ｋｘ２）　　
　　　　−−−−−（３１７）これで１つの基準軸が設
定されたことになる。この基準軸を用いて表示した場合
の例を第１９図に示す。図に示すように、この場合は、
最初に設定される円（図では破線の円の１つ）が直立し
た円になる。これは、基準軸が直立しているからである
。

では、これを、少し斜めにしたときの例を第２０図に示
す。例えば、見た目に角度θで右に回転したときの手ｊ
＠を以下に示す。

先ず、基準軸Ｑ□を、Ｂｉ軸方向に見た目に角度θで右
に回転したときのＱ上方向の成分値はＣＯ５θ、Ｂ１方
向の成分値はｓｉｎθである（第２１図を参照）。

従って、見た目に角度θで基準軸Ｑ□をＢ１方向に回転
したときの方向を示すＱ２は次の式で得られる。第２８
図のフローチャートでは、ステップ７５を参照する。

Ｑｚ＝（ｃｏｓθ）Ｑｉ＋（ｓｉｎθ）　Ｂ　、　−”
　・−・−・−−−−（３１８）成分値で示せば、 Ｑ２　＝　（Ｑｌ２　＋Ｑｙｚ　、ＱＩ２　）−＝−・
−−−−＝−（３１９）として、次の通り。

Ｑｘ２：　（−ＫｘＫｚ　ｃｏｓθ＋Ｋｙ　ｓｉｎθ）
／（（Ｋｙ２＋Ｋｘ２）・・・・・・・・・・・・・・
・（３２０）Ｑｙ２＝　（−ＫｙＫｚ　ｃｏｓθ−Ｋｘ
　ｓｉｎθ）　／　Ｊ　（Ｋｙ２＋　Ｋｘ”　）・・・
・・・・・・・・・・・・（３２１）Ｑｚ２＝　（ｃｏ
ｓθ）ｖ’　（Ｋｙ２＋　Ｋｘ２）　　　−−−−−（
３２２）また、見た目に手前方向に基準軸を回転させた
い場合もある。その時の形態を第２２図に示す。

この場合、軸回転の形態を第２３図に示す。この場合、
すなわち、見た目に手前方向に、角度αで基準軸Ｑ２を
回転したときの方向を示すＱ３は次の式で得られる。第
２８図のフローチャートでは、ステップ７６を参照する
。

Ｑ　３＝　Ｑ　、　（ｃｏｓ　ａ　）　（ｃｏｓθ）＋
　（−ｋ　）（ｓｉｎ　ａ　）（ｃｏｓθ）・・・・・
・・・・・・・・・（３２３）成分値で示せば、 Ｑ３　＝　（ＱＩ３　、Ｑｘ３　ｔＱＺ３）”’　・”
・−・・−（３２４）として、次の通り。

Ｑｘ、　＝　（ｃｏｓ　ａ　）（ｃｏｓθ）（−ＫｘＫ
ｚ／Ｊ　（Ｋｙ２＋Ｋｘ２））＋　（ｓｉｎ　ａ　）　
（ｃｏｓθ）（−Ｋｘ）　−−−・−−（３２５）Ｑｘ
３　＝　（ｃｏｓ　ａ　）（ｃｏｓθ）（ＫｚＫｙ／　
ｖ’　（Ｋｙ２＋Ｋｘ２））＋　（ｓｉｎ　ａ　）　（
ｃｏｓθ）　（−Ｋｙ）　−−−−＝・−・−・（３２
６）Ｑｚ３＝　（ｃｏｓ　ａ　）（ｃｏｓθ）（ｖ’　
（Ｋｙ２＋　ＫＸ２））＋　（ｓｉｎ　ａ　）（ｃｏｓ
　ｅ　）（−Ｋｚ）　−−＝−・＝−（３２７）次に、
上記で得られた基準軸Ｑ１方向の直線が、球面と交わる
点Ｐｒ１と与えられた面上の１つの点Ｐｉを通り、中心
が球の中心Ｐｃの円Ｃ工を作成する。この場合の円周上
の点Ｐｊ１は以下の手順で得られる。また、その算出の
仕方は、例えば、ＰｉからＰｒ１の方向へ角度βを与え
てＰｊｘを算出するものとする。なお、Ｑ２、Ｑ、の場
合も同様であり、その場合はＱｌをＱ２、Ｑ３に各々読
み変えてやれば良い。

先ず、ベクトル（Ｐｃ、Ｐｉ）をベクトル（Ｐｃ、Ｐｒ
、）の方向へ９０度回転した位置に軸Ｑ４を作る。第２
８図のフローチャートでは、ステップ７７を参照する。

そのために、ベクトル（Ｐｃ、Ｐｉ）をユニットベクト
ル化したものをＱｉとすれば、Ｑｉ＝Ｐｉ−Ｐｃ　　　
・・・・・・・・・・・・・・（３２８）ベクトル（Ｐ
ｃ、Ｐｒ工）のユニットベクトル化したものはＱｌであ
るから、ＱｉとＱ□とに直交する軸Ｂ２は次のベクトル
積で得られる。

Ｂ　２　”　Ｑ　ｘ　Ｘ　Ｑ□・・・・・・・・・・・
・・・（３２９）これを用い、求める軸Ｑ４は次のベク
トル積で得られる。

Ｑ、＝・Ｂ２ＸＱｊ／　Ｂ２×Ｑｉ　・・・・・・・・
・・・・・・・（３３０）ここで、Ｑｉを第１軸、Ｑ４
を第２軸とする平面座標系を考え、ＱｉからＱ４方向へ
角度β□で回転した位置は、軸成分値で次の値となる。

第１軸成分値＝　ｃｏｓβ１　　・・・・・・・・・・
・・・・・（３３１）第２軸成分値＝　ｓｉｎβ１　　
・・・・・・・・・・・・・・・（３３２）従って、円
周上の求める点Ｐｊｚは、次の式で得られる。第２８図
のフローチャートでは、ステップ７８を参照する。

Ｐ　ｊ、　＝　ｒ　（ｃｏｓβ１）Ｑｉ＋　ｒ　（ｓｉ
ｎβ１）Ｑ４＋ＰＣ・・・・・・・・・・・・・・・（
３３３）後は、Ｐｊ□を用いて必要な値を出力すればよ
い。

次に、上記で得られた円Ｃ工、すなわち、基準軸Ｑ１方
向の直線が、球面と交わる点Ｐｒ□と与えられた面上の
１つの点Ｐｉを通り、中心が球の中心Ｐｃの円Ｃ１に直
交し、面上の１つの点Ｐｉを通り、中心が球の中心Ｐｃ
の円Ｃ２を作成する。この場合は、上記で得られたＱｉ
を第１軸、Ｂ２をユニットベクトル化したＱ５を第２軸
とする平面座標系を考える。先ず、Ｑ、は次の式で得ら
れる。第２８図のフローチャートでは、ステップ７９を
参照する。なお、Ｑ２、Ｑ３の場合も同様であり、その
場合はＱｌをＱ２、Ｑ３に各々読み変えてやれば良い。

ＱＳ”　（ＱＩ　Ｘ　Ｑｌ）／　ｌ　ＱＩ　Ｘ　Ｑｌｌ
　−・・・−−−（３３４）ここでＱｉを第１軸、Ｑ５
を第２軸とする平面座標系で、ＱｉからＱ５方向へ角度
β２で回転した位置は、軸成分値で次の値となる。

第１軸成分値＝　ｃｏｓβ２　　・・・・・・・・・・
・・・・・（３３５）第２軸成分値＝　ｓｉｎβ２　　
・・・・・・・・・・・・・・・（３３６）従って、円
周上の求める点Ｐｊ２は、次の式で得られる。第２８図
のフローチャートでは、ステップ８ｏを参照する。

Ｐ　ｊ２＝　ｒ　（ｃｏｓβ、）Ｑｉ＋　ｒ　（ｓｉｎ
β２）ＱＳ＋Ｐｃ後゛は、ＰＪｚを用いて必要な値を８
力すればよい。

［発明の効果］ 表示されている点が、面上にあるかどうかを、見た目で
識別できるようになる。

【図面の簡単な説明】 第１図は本発明の関わる図形処理装置の構成とデータの
流れの一例を示す図。 第２図は画面に表示される形の例を示す図。 第３図は立体空間に存在する１つの面の例を示す図。 第４図は面上の１つの点を指定する情報として画面上の
１つの点を与えた例を示す図。 第５図は面を視線方向を用いて、画面に表示した場合の
例を示す図。 第６図は面上の１つの点（画面上の点を通り視線方向に
平行な直線が、与えられた面と交わる点）を決定する例
を示す図。 第７図は面の表面を表す特性的な線を、面上の面上の１
つの点に関る部分に付加して表示した例を示す図。 第８図は球面上に存在する面上の１つの点に、面の表面
を表す特性的な線を付加して表示した例を示す図。 第９図は、一般の四辺形上に存在する面上の１つの点に
、面の表面を表す特性的な線を付加した例を示す図。 第１０図は、長方形の場合に与えられる情報の例を示す
図。 第１１図は、長方形の場合に結果として得られる情報の
例を示す図。 第１２図は、一般の四辺形の場合の考え方の例を示す図
。 第１３図は、一般の四辺形の場合の考え方の例を示す図
。 第１４図は、平行四辺形の例で変数の割り当てを示す図
。 第１５図は、三角形に平行四辺形の場合の考え方を適用
したときの例を示す図。 第１６図は、三角形に適用して、好ましくない考え方の
例を示す図。 第１７図は、三角形に適用して、好ましくない考え方の
例を示す図。 第１８図は、球面上に存在する面上の１つの点に、面の
表面を表す特性的な線を付加した例を示す図。 第１９図は、面の表面を表す特性的な線に円を用いて付
加したとき基準軸を円が直立するように設定した例を示
す図。 第２０図は１面の表面を表す特性的な線に円を用いて付
加したとき基準軸を円が左右へ傾くように設定した例を
示す図。 第２１図は、３次元空間の円を、見た目の位置で左右へ
傾ける考え方の説明図。 第２２図は、面の表面を表す特性的な線に円を用いて付
加したとき基準軸を円が手前方向、または後方向へ傾く
ように設定した例を示す図。 第２３図は、３次元空間の円を、見た目の位置で前後へ
傾ける考え方の説明図。 第２４図は、第１手段１の動作の例のフローチャト。 第２５図は、長方形の場合のフローチャート。 第２６図は、一般の四辺形の場合のフローチャート。 第２７図は、平行四辺形の場合のフローチャート。 第２８図は、球面の場合のフローチャートである。 符号の説明 １・・・第１手段、 ２・・・第２手段、 ３・・・処理部、 ４・・・入力部、 ５・・・出力部。 第２０ 第Ｇ図 足７■ １９図 第３■ ギ千〇 画面ｊ／ｌ直、 第９の 窩 １？圀 第１９目 ４■ 第２５区 第２ｂ口（む１） 第２７閃 和ｇＪ（ぞｎ２）

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、少なくとも、入力部と表示部を有する図形処理装置
   において、前記入力部から入力された立体空間に存在す
   る面を示す情報と面上の点を指定する情報と立体空間の
   面を視る方向を示す情報に基づいて、面上の点を得て、
   面の表面を表す特性的な線を求めて、前記面上の点に関
   る部分に付加して前記表示部に表示することを特徴とす
   る図形処理装置。 ２、少なくとも、入力部と表示部を有する図形処理装置
   において、前記入力部から入力された、立体空間に存在
   する面を示す情報と、面上の点を指定する情報と、立体
   空間の面を視る方向を示す情報とを得て、前記立体空間
   に存在する面を示す情報と前記面上の点を指定する情報
   とから、面上の点を求めて、前記面上の点と前記立体空
   間に存在する面を示す情報と必要に応じて前記立体空間
   の面を見る方向を示す情報とから、面の表面を表す特性
   的な線を求め、前記面上の点に関る部分に付加して、前
   記立体空間の面を見る方向を示す情報を用いて前記表示
   部に表示することを特徴とする図形処理装置。