JPH05107330A - 通信衛星による三次元位置測定 - Google Patents
通信衛星による三次元位置測定Info
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- JPH05107330A JPH05107330A JP12320591A JP12320591A JPH05107330A JP H05107330 A JPH05107330 A JP H05107330A JP 12320591 A JP12320591 A JP 12320591A JP 12320591 A JP12320591 A JP 12320591A JP H05107330 A JPH05107330 A JP H05107330A
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- radio wave
- ground station
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Abstract
(57)【要約】 （修正有）
【目的】 位置を突き止めようとする物体、衛星搭載の
電波中継機及び固定地上局（以後、三局と呼称する。）
の間で、ある手順で電波の送受信を行うことにより、位
置を突き止めようとする物体の三次元位置を測距精度１
ｍｍ以内の精度で測定する。 【構成】 １．三局間で、ある手順で送受信される電波
は、固定地上局に接続されている電子計算機の記憶装置
に格納される。 ２．三局間で送受信される電波の伝搬時間から、三局間
の距離を測定する。 ３．三局間の電波伝搬時間の測定を多数回実施し、統計
的手法を用いて三局に備え付けの経時機構を固定地上局
備え付けの経時機構を基準にして相関をとる。 ４．大気ガスの影響により、電波は屈折するため、大気
圏を通る電波の経路長の補正の計算を行う。 ５．三局間の距離を瞬時に測定するため、この三局間を
送受信される電波の仰角及び方位角を、この三局間の電
波伝搬時間から確定する。
電波中継機及び固定地上局（以後、三局と呼称する。）
の間で、ある手順で電波の送受信を行うことにより、位
置を突き止めようとする物体の三次元位置を測距精度１
ｍｍ以内の精度で測定する。 【構成】 １．三局間で、ある手順で送受信される電波
は、固定地上局に接続されている電子計算機の記憶装置
に格納される。 ２．三局間で送受信される電波の伝搬時間から、三局間
の距離を測定する。 ３．三局間の電波伝搬時間の測定を多数回実施し、統計
的手法を用いて三局に備え付けの経時機構を固定地上局
備え付けの経時機構を基準にして相関をとる。 ４．大気ガスの影響により、電波は屈折するため、大気
圏を通る電波の経路長の補正の計算を行う。 ５．三局間の距離を瞬時に測定するため、この三局間を
送受信される電波の仰角及び方位角を、この三局間の電
波伝搬時間から確定する。
Description
【０００１】
【発明が解決しようとする課題】この発明は人工地球衛
星による無線位置測定方式、更に具体的に言えば、一つ
の通信衛星を用いて位置を監視する方法に関する。地表
面上及び空中にある物体の位置を距離測定によって突き
止めるには、一つの衛星で十分である。無線信号が光速
で進行し、衛星経由物体と地上固定局間で送受されると
きの伝搬遅延時間から位置と距離が決定される。衛星の
時間的位置が判明すれば、時間的位置が異なる一つの衛
星から物体の位置線を計算することができ、観測位置は
三つの位置線の交点にある。そして、観測位置の測距精
度は１ｍｍ以内である。
星による無線位置測定方式、更に具体的に言えば、一つ
の通信衛星を用いて位置を監視する方法に関する。地表
面上及び空中にある物体の位置を距離測定によって突き
止めるには、一つの衛星で十分である。無線信号が光速
で進行し、衛星経由物体と地上固定局間で送受されると
きの伝搬遅延時間から位置と距離が決定される。衛星の
時間的位置が判明すれば、時間的位置が異なる一つの衛
星から物体の位置線を計算することができ、観測位置は
三つの位置線の交点にある。そして、観測位置の測距精
度は１ｍｍ以内である。
【０００２】
【従来の技術】無線信号を使う事によって位置観測を行
う無線測定に通信衛星を使うことを考えた場合、二つの
衛星を必要とすることが難点として挙げられる場合が多
い。この発明は、一つの通信衛星しか必要としないこと
により、この難点を屈服する。又、一つの通信衛星（及
び能動性距離測定衛星）で行う観測位置決定システムも
あるが、同等の機能を発揮するには、更に二つのタイミ
ング信号衛星を必要とする難点がある。その上、観測位
置の測距精度は１００ｍから１５００ｍである。
う無線測定に通信衛星を使うことを考えた場合、二つの
衛星を必要とすることが難点として挙げられる場合が多
い。この発明は、一つの通信衛星しか必要としないこと
により、この難点を屈服する。又、一つの通信衛星（及
び能動性距離測定衛星）で行う観測位置決定システムも
あるが、同等の機能を発揮するには、更に二つのタイミ
ング信号衛星を必要とする難点がある。その上、観測位
置の測距精度は１００ｍから１５００ｍである。
【０００３】
【産業上の利用分野及び発明の効果】この発明は、現在
の又は将来考えられる衛星を用いて、位置の監視、即ち
人間、乗り物及び航空機の位置の追跡を固定地上局で早
期に実施するのに有力である。考えられる用途として
は、長さ、面積、高さの測定、即ち測量、災難の予防並
びに環境保護の為に、オイル・タンカー並びにその他の
危険な貨物を積んだ船舶の位置の監視、最近定められた
２００海里の限界内にある外国船舶の効果的な監視、交
通管制の為の航空機の洋上監視、陸上からの商業用船舶
の航行及び船舶位置の監視、及び陸上移動車両の位置の
監視がある。その他大陸間弾道弾の位置制御や衛星の軌
道修正及び姿勢制御その他ミサイルの追跡等がある。こ
の方法は世界的な規模でそのサービスを広げることがで
き、高い精度を達成することができ、他に提案されてい
る方式に比べて費用が格安である。
の又は将来考えられる衛星を用いて、位置の監視、即ち
人間、乗り物及び航空機の位置の追跡を固定地上局で早
期に実施するのに有力である。考えられる用途として
は、長さ、面積、高さの測定、即ち測量、災難の予防並
びに環境保護の為に、オイル・タンカー並びにその他の
危険な貨物を積んだ船舶の位置の監視、最近定められた
２００海里の限界内にある外国船舶の効果的な監視、交
通管制の為の航空機の洋上監視、陸上からの商業用船舶
の航行及び船舶位置の監視、及び陸上移動車両の位置の
監視がある。その他大陸間弾道弾の位置制御や衛星の軌
道修正及び姿勢制御その他ミサイルの追跡等がある。こ
の方法は世界的な規模でそのサービスを広げることがで
き、高い精度を達成することができ、他に提案されてい
る方式に比べて費用が格安である。
【０００４】
【課題を解決するための手段】・
１． 電波伝搬制御 （１） 前記物体から放射される電波の伝搬制御 位置を突き止めようとする物体の送信機アンテナ位置
（以後、送信機アンテナ位置と呼称する。）は、時刻Ｔ
Ｍ１１のとき、点Ｍ１１にある。衛星に搭載されている
電波中継機のアンテナ位置（以後、電波中継機アンテナ
位置と呼称する。）は、時刻ＴＭ１１のとき、点Ｐ１１
にある。固定地上局のアンテナ位置は、時刻ＴＭ１１の
とき、点Ｗ１１にある。時刻ＴＭ１１のとき、送信機ア
ンテナ位置より、電波が放射され、その電波が電波中継
機アンテナ位置に到達した時刻をＴＰ１２とする。時間
（ＴＰ１２−ＴＭ１１）の間に、送信機アンテナ位置
は、点Ｍ１１から点Ｍ１２に、電波中継機アンテナ位置
は点Ｐ１１から点Ｐ１２に、そして固定地上局アンテナ
位置は、点Ｗ１１から点Ｗ１２に移動する。電波中継機
の電波中継時間をΔτとすると、時刻ＴＰ１２のとき電
波中継機に到達した電波は、時刻（ＴＰ１２＋Δτ）の
とき、電波中継機から放射される。時刻（ＴＰ１２＋Δ
τ）のとき、送信機アンテナ位置は、点Ｍ１３に、電波
中継機アンテナ位置は、点Ｐ１３に、そして固定地上局
アンテナ位置は、点Ｗ１３に移動する。時刻（ＴＰ１２
＋Δτ）のとき、電波中継機アンテナ位置から放射され
た電波が、固定地上局アンテナ位置に到達した時刻をＴ
Ｗ１４とする。時刻ＴＷ１４のとき、送信機アンテナ位
置は、点Ｍ１４に、電波中継機アンテナ位置は、点Ｐ１
４に，固定地上局のアンテナ位置は、点Ｗ１４に移動す
る。以上をまとめると、表１の様になる。又、以上を図
示すると、図１の様になる。時刻ＴＭＸのとき、送信機
アンテナ位置より放射された電波が、電波中継機アンテ
ナ位置に到達した時刻が、（ＴＰ１２＋Δτ）であると
き、電波中継機が点Ｐ１２から点Ｐ１３に移動したとき
に丁度到達した電波であるから、大気ガスの屈折率によ
る電波経路長の誤差を無視して、Ｃ（（ＴＰ１２＋Δ
τ）−ＴＭＸ）は，点ＭＸと点Ｐ１３の距離である。
（表２の電波中継機アンテナに電波が到達した時刻欄の
中で、ＴＰ１２＋Δτと等しい電波が、これに該当す
る。）時刻ＴＭＸを確定する為に、まず、送信機アンテ
ナ位置より、ある一定時間、ある一定時間間隔で、電波
を電波中継機に向け放射され、これらの電波は電波中継
機を経由して、固定地上局に到達する。固定地上局で
は、これらの受信電波を固定地上局に接続された電子計
算機の記憶装置上に表２の様に記憶する。表２を用い、
第４図のフロー・チャートに従い、点ＭＸと点Ｐ１３と
の間の距離を確定する。
（以後、送信機アンテナ位置と呼称する。）は、時刻Ｔ
Ｍ１１のとき、点Ｍ１１にある。衛星に搭載されている
電波中継機のアンテナ位置（以後、電波中継機アンテナ
位置と呼称する。）は、時刻ＴＭ１１のとき、点Ｐ１１
にある。固定地上局のアンテナ位置は、時刻ＴＭ１１の
とき、点Ｗ１１にある。時刻ＴＭ１１のとき、送信機ア
ンテナ位置より、電波が放射され、その電波が電波中継
機アンテナ位置に到達した時刻をＴＰ１２とする。時間
（ＴＰ１２−ＴＭ１１）の間に、送信機アンテナ位置
は、点Ｍ１１から点Ｍ１２に、電波中継機アンテナ位置
は点Ｐ１１から点Ｐ１２に、そして固定地上局アンテナ
位置は、点Ｗ１１から点Ｗ１２に移動する。電波中継機
の電波中継時間をΔτとすると、時刻ＴＰ１２のとき電
波中継機に到達した電波は、時刻（ＴＰ１２＋Δτ）の
とき、電波中継機から放射される。時刻（ＴＰ１２＋Δ
τ）のとき、送信機アンテナ位置は、点Ｍ１３に、電波
中継機アンテナ位置は、点Ｐ１３に、そして固定地上局
アンテナ位置は、点Ｗ１３に移動する。時刻（ＴＰ１２
＋Δτ）のとき、電波中継機アンテナ位置から放射され
た電波が、固定地上局アンテナ位置に到達した時刻をＴ
Ｗ１４とする。時刻ＴＷ１４のとき、送信機アンテナ位
置は、点Ｍ１４に、電波中継機アンテナ位置は、点Ｐ１
４に，固定地上局のアンテナ位置は、点Ｗ１４に移動す
る。以上をまとめると、表１の様になる。又、以上を図
示すると、図１の様になる。時刻ＴＭＸのとき、送信機
アンテナ位置より放射された電波が、電波中継機アンテ
ナ位置に到達した時刻が、（ＴＰ１２＋Δτ）であると
き、電波中継機が点Ｐ１２から点Ｐ１３に移動したとき
に丁度到達した電波であるから、大気ガスの屈折率によ
る電波経路長の誤差を無視して、Ｃ（（ＴＰ１２＋Δ
τ）−ＴＭＸ）は，点ＭＸと点Ｐ１３の距離である。
（表２の電波中継機アンテナに電波が到達した時刻欄の
中で、ＴＰ１２＋Δτと等しい電波が、これに該当す
る。）時刻ＴＭＸを確定する為に、まず、送信機アンテ
ナ位置より、ある一定時間、ある一定時間間隔で、電波
を電波中継機に向け放射され、これらの電波は電波中継
機を経由して、固定地上局に到達する。固定地上局で
は、これらの受信電波を固定地上局に接続された電子計
算機の記憶装置上に表２の様に記憶する。表２を用い、
第４図のフロー・チャートに従い、点ＭＸと点Ｐ１３と
の間の距離を確定する。
【０００５】（２） 固定地上局から放射される電波の
伝搬制御 固定地上局より電波が放射された時刻をＴＷＸ、この時
刻ＴＷＸにおける固定地上局の位置を点ＷＸとする。こ
の電波が、再び固定地上局に戻って来たときの時刻をＴ
ＷＹ、この時刻ＴＷＹの固定地上局の位置を点ＷＹとす
る。送信機アンテナ位置より電波が放射された時刻がＴ
Ｍ１１の電波は、時刻ＴＷ１４のとき固定地上局に到達
する。このときの固定地上局の位置は点Ｗ１４である。
今、時刻ＴＷＹが時刻ＴＷ１４同じであれば、時刻Ｔ
ＷＸのとき固定地上局から放射された電波は、電波中継
機に到達後、時刻ＴＭ１１のとき送信機アンテナ位置よ
り放射された電波と同一の経路を通る。時刻ＴＷＸを確
定する為に、まず、固定地上局よりある一定時間、ある
一定時間間隔で、電波が放射され、これらの電波は固定
地上局に設置された電子計算機の記憶装置上に、表３の
様に記憶される。表３を用い、図５のフロー・チャート
に従い、点ＷＸと点Ｐ１２との間の距離を求めることが
できる。
伝搬制御 固定地上局より電波が放射された時刻をＴＷＸ、この時
刻ＴＷＸにおける固定地上局の位置を点ＷＸとする。こ
の電波が、再び固定地上局に戻って来たときの時刻をＴ
ＷＹ、この時刻ＴＷＹの固定地上局の位置を点ＷＹとす
る。送信機アンテナ位置より電波が放射された時刻がＴ
Ｍ１１の電波は、時刻ＴＷ１４のとき固定地上局に到達
する。このときの固定地上局の位置は点Ｗ１４である。
今、時刻ＴＷＹが時刻ＴＷ１４同じであれば、時刻Ｔ
ＷＸのとき固定地上局から放射された電波は、電波中継
機に到達後、時刻ＴＭ１１のとき送信機アンテナ位置よ
り放射された電波と同一の経路を通る。時刻ＴＷＸを確
定する為に、まず、固定地上局よりある一定時間、ある
一定時間間隔で、電波が放射され、これらの電波は固定
地上局に設置された電子計算機の記憶装置上に、表３の
様に記憶される。表３を用い、図５のフロー・チャート
に従い、点ＷＸと点Ｐ１２との間の距離を求めることが
できる。
【０００６】（３）受信モードにあるときの前記物体及
び前記固定地上局における電波伝搬制御 前記物体及び前記固定地上局では、送信モードと受信モ
ードの２モードを順次繰り返す。送信モードにあるとき
は、到来電波の受信は行われず、電波を放射するか又は
何も行わないかのいずれかである。受信モードにあると
きは、電波の放射は行われず、到来電波を受信するか又
は何も行わないかのいずれかである。 （ａ）前記物体が受信モードのとき。 電波がアンテナに到来すると、到来電波はダイプレクサ
経由受信データ・バッフアに格納される。次に、前記物
体備え付けの経時機構により、アンテナから受信データ
・バッフアまでの遅延時間を考慮して、電波のアンテナ
到達時の時刻を確定する。そして、その電波到達時刻を
受信データ・バッフアに格納されているデータの末尾に
付加する。前記物体が送信モードに切り替わると、受信
データ・バッフアの内容が送信機に送られ、更にダイプ
レクサ経由アンテナより放射される。尚、受信データ・
バッフア内のデータは、前記物体が受信モードから送信
モードとなり、そして次の受信モードになるときまで保
証される。受信データ・バッフア内に格納されているデ
ータは、表４の様になる。 （ｂ）受信モードにあるときの前記固定地上局の電波伝
搬制御 到来電波の到達時刻を前記固定地上局内の経時機構によ
り確定し、受信電波の内容を、前記固定地上局に接続さ
れている電子計算機により処理する。
び前記固定地上局における電波伝搬制御 前記物体及び前記固定地上局では、送信モードと受信モ
ードの２モードを順次繰り返す。送信モードにあるとき
は、到来電波の受信は行われず、電波を放射するか又は
何も行わないかのいずれかである。受信モードにあると
きは、電波の放射は行われず、到来電波を受信するか又
は何も行わないかのいずれかである。 （ａ）前記物体が受信モードのとき。 電波がアンテナに到来すると、到来電波はダイプレクサ
経由受信データ・バッフアに格納される。次に、前記物
体備え付けの経時機構により、アンテナから受信データ
・バッフアまでの遅延時間を考慮して、電波のアンテナ
到達時の時刻を確定する。そして、その電波到達時刻を
受信データ・バッフアに格納されているデータの末尾に
付加する。前記物体が送信モードに切り替わると、受信
データ・バッフアの内容が送信機に送られ、更にダイプ
レクサ経由アンテナより放射される。尚、受信データ・
バッフア内のデータは、前記物体が受信モードから送信
モードとなり、そして次の受信モードになるときまで保
証される。受信データ・バッフア内に格納されているデ
ータは、表４の様になる。 （ｂ）受信モードにあるときの前記固定地上局の電波伝
搬制御 到来電波の到達時刻を前記固定地上局内の経時機構によ
り確定し、受信電波の内容を、前記固定地上局に接続さ
れている電子計算機により処理する。
【０００７】（４） 電波伝搬制御を利用した電波経路
長の測定 点Ｍ１１と点Ｐ１２との間の距離をＬ１とする。大気
ガスの屈折率の影響により、 Ｌ１＝［〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα１ｉ＋｛ｃ（ＴＰ１２−ＴＭ１１ ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１ｉ）｝ｓｉｎα１０〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ１２−ＴＭ１１）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１ｉ）｝ ｃｏｓα１０〕２］１／２ ｎｈは点Ｍ１１から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率
が１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高
度差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中に
おける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、ＴＭ１１は点Ｍ１１から電波の放射された時刻α
１ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各大気圏平行平面層への
電波の入射角、α１０は点Ｍ１１から高さｎｈｋｍの上
空の大気圏平行平面層への電波の屈折角である。スネル
の法則から、平行平面層（ｎ＝１〜１２）においては、 ｎ１Ｂｓｉｎα１Ｂ＝ｎ１１ｓｉｎα１１＝ｎ１２ｓｉ
ｎα１２＝・・・・・＝ｎ１ｉｓｉｎα１ｉ＝・・・・
＝ｎ１１２ｓｉｎα１１２＝ｎ１０ｓｉｎα１０ ｎ１０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。又、
ｎ１Ｂは点Ｍ１１における大気ガスの屈折率であり、点
Ｍ１１の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定することに
より求まる。ｎ１１，ｎ１２，・・・・・ｎ１ｉ・・・
・・ｎ１１２はｎ１Ｂ及び点Ｍ１１の上空１ｋｍの大気
ガスの屈折指数が判れば、実験式より求まる。平行球面
層（ｎ＝１２〜５００）においては、 （ｎ１１２＋１２／ａ）ｓｉｎα１１２＝（ｎ１１３＋
１３／ａ）ｓｉｎα１１３＝・・・・・＝（ｎ１ｉ＋ｉ
／ａ）ｓｉｎα１ｉ＝・・・・・＝（ｎ１５００＋５０
０／ａ）ｓｉｎα１５００＝ｎ１０ｓｉｎα１０ 但し、ａは地球の半径、ｎ１１２，ｎ１１３，・・・・
・ｎ１ｉ，・・・・・ｎ１５００は成層圏の大気ガスの
屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より安定して
おり、実験的に求めておく。又、α１０は仰角の計算方
法から、 ｃｏｓα１０＝ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／｛（ＴＰ１２−ＴＭ１ １）（ｃ±Ｖ）｝ より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、Ｋはα１０に
対応する比例定数である。以上から、Ｌ１は定まる。即
ち、点Ｍ１１と点Ｐ１２との間の最短距離は確定する。 点Ｐ１３と点Ｗ１４との間の距離をＬ３とする。大気
ガスの屈折率の影響により、 Ｌ３＝［〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα３ｉ＋｛ｃ（ＴＷ１４−（ＴＰ１２ ＋Δτ））−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα３ｉ）｝ｓｉｎα３０〕２＋〔ｎ ｈ＋｛ｃ（ＴＷ１４−（ＴＰ１２）＋Δτ））−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα３ ｉ）｝ｃｏｓα３０〕２］１／２ ｎｈは地表面から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、ＴＭ１１は点Ｍ１１から電波の放射された時刻、Ｔ
Ｗ１４は点Ｍ１１から、時刻ＴＭ１１のとき放射された
電波が、電波中継機経由固定地上局アンテナ位置Ｗ１４
に到達した時刻、α３ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各大
気圏平行平面層への電波の屈折角、α３０は地表面から
高さｎｈｋｍの上空の大気圏平行平面層への電波の入射
角である。スネルの法則から、平行平面層（ｉ＝１〜１
２）においては、 ｎ３Ｂｓｉｎα３Ｂ＝ｎ３１ｓｉｎα３１＝ｎ３２ｓｉ
ｎα３２＝・・・・・＝ｎ３ｉｓｉｎα３ｉ・・・・・
＝ｎ３１２ｓｉｎα３１２＝ｎ３０ｓｉｎα３０ ｎ３０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。又、
ｎ３ＢはＷ１４における大気ガスの屈折率であり、Ｗ１
４の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定することにより
求まる。ｎ３１，ｎ３２・・・・・ｎ３ｉ・・・・・ｎ
３１２はｎ３Ｂ及びＷ１４の上空１ｋｍの大気ガスの屈
折指数が判れば、実験式より求まる。平行球面層（ｉ＝
１２〜５００）においては、 （ｎ３１２＋１２／ａ）ｓｉｎα３１２＝（ｎ３１３＋
１３／ａ）ｓｉｎα３１３＝・・・・・＝（ｎ３ｉ＋ｉ
／ａ）ｓｉｎα３ｉ＝・・・・・＝（ｎ３５００＋５０
０／ａ）ｓｉｎα３５００＝ｎ３０ｓｉｎα３０ 但し、ａは地球の半径、ｎ３１２，ｎ３１３，・・・・
・ｎ３ｉ・・・・・ｎ３５００は成層圏の大気ガスの屈
折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より安定してお
り、実験的に求めておく。又、α３０は仰角の計算方法
から、 ｃｏｓα３０＝ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／〔｛ＴＷ１４−（ＴＰ １２ ＋Δτ）｝（ｃ±Ｖ）〕 より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、Ｋはα３０に
対応する比例定数である。以上から、Ｌ３は定まる。即
ち、点Ｐ１３と点Ｗ１４との間の最短距離は確定する。 点ＷＸと点Ｗ１４との間の距離をＬ５とする。 Ｌ５＝Ｖ（ＴＷ１４−ＴＷＸ） Ｖは地球の自転速度。ＴＷ１４は送信機アンテナ位置Ｍ
１１から時刻ＴＭ１１のとき放射された電波が、電波中
継機経由固定地上局アンテナ位置Ｗ１４に到達した時
刻。ＴＷＸは電波中継機アンテナ位置Ｐ１２に到達した
時刻がＴＰ１２であるように、固定地上局アンテナ位置
ＷＸから放射された電波の放射時刻。ＴＰ１２は送信機
アンテナ位置Ｍ１１から、時刻ＴＭ１１のとき放射され
た電波が、電波中継機アンテナ位置Ｐ１２に到達した時
刻。 点Ｐ１２と点ＷＸとの間の距離をＬ６とする。大気ガ
スの屈折率の影響により、 Ｌ６＝［〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ６ｉ＋｛ｃ（ＴＰ１２−ＴＷＸ）− ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα６ｉ）｝ｓｉｎα６０〕２＋〔ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ１ ２ −（ＴＷＸ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα６ｉ）｝ｃｏｓα６０〕２］１／ ２ ｎｈは地表面から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、ＴＷＸは電波中継機アンテナ位置Ｐ１２に到達した
時刻がＴＰ１２であるように、固定地上局アンテナ位置
ＷＸから放射された電波の放射時刻。α６ｉ（ｉ＝１〜
ｎ）は厚さｈの各大気圏平行平面層への電波の入射角、
α６０は地表面から高さｎｈｋｍの上空の大気圏平行平
面層への電波の屈折角である。スネルの法則から平行平
面層（ｉ＝１〜１２）においては、 ｎ６Ｂｓｉｎα６Ｂ＝ｎ６１ｓｉｎα６１＝ｎ６２ｓｉ
ｎα６２＝・・・・・＝ｎ６ｉｓｉｎα６ｉ＝・・・・
・＝ｎ６１２ｓｉｎα６１２＝ｎ６０ｓｉｎα６０ ｎ６０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。又、
ｎ６Ｂは点ＷＸにおける大気ガスの屈折率であり、点Ｗ
Ｘの大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定することにより
求まる。ｎ６１，ｎ６２・・・・ｎ６ｉ・・・・・ｎ
６１２はｎ６Ｂ及び点ＷＸの上空１ｋｍの大気ガスの屈
折指数が判れば、実験式より求まる。平行球面層（ｉ＝
１２〜５００）においては、 （ｎ６１２＋１２／ａ）ｓｉｎα６１２＝（ｎ６１３＋
１３／ａ）ｓｉｎα６１３＝・・・・・＝（ｎ６ｉ＋ｉ
／ａ）ｓｉｎα６ｉ＝・・・・・＝（ｎ６５００＋５０
０／ａ）ｓｉｎα６５００＝ｎ６０ｓｉｎα６０ 但し、ａは地球の半径、ｎ６１２，ｎ６１３，・・・・
・ｎ６ｉ・・・・・ｎ６５００は成層圏の大気ガスの屈
折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より安定であ
り、実験的に求めておく。又、α６０は仰角の計算方法
から、 ｃｏｓα６０＝ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／｛（ＴＰ１２−ＴＷＸ ）（ｃ±Ｖ）｝ より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、Ｋはα６０に
対応する比例定数である。以上から、Ｌ６が定まる。即
ち、点Ｐ１２と点ＷＸとの間の最短距離は確定する。 点Ｐ１３と点ＭＸとの間の距離をＬ７とする。大気ガ
スの屈折率の影響により、 Ｌ７＝［〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ７ｉ＋｛ｃ（（ＴＰ１２＋Δτ）− ＴＭＸ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα７ｉ）｝ｓｉｎα７０〕２＋〔ｎｈ＋｛ ｃ（（ＴＰ１２＋Δτ）−ＴＭＸ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα７ｉ）｝ｃｏ ｓα７０〕２］１／２ ｎｈは点Ｍ１１から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率
が１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高
度差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中に
おける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、ＴＭＸは電波中継機アンテナ位置Ｐ１３に到達した
時刻がＴＰ１２＋Δτであるように、送信機アンテナ位
置ＭＸから放射された電波の放射時刻。α７ｉ（ｉ＝１
〜ｎ）は厚さｈの各大気圏平行平面層への電波の入射
角、α７０は点ＭＸから高さｎｈｋｍの上空の大気圏平
行平面層への電波の屈折角である。スネルの法則から、
平行平面層（ｉ＝１〜１２）においては、 ｎ７Ｂｓｉｎα７Ｂ＝ｎ７１ｓｉｎα７１＝ｎ７２ｓｉ
ｎα７２＝・・・・・＝ｎ７ｉｓｉｎα７ｉ＝・・・・
・＝ｎ７１２ｓｉｎα７１２＝ｎ７０ｓｉｎα７０ ｎ７０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。又、
ｎ７Ｂは点Ｍ１１における大気ガスの屈折率であり、点
Ｍ１１の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定することに
より求まる。ｎ７１，ｎ７２，・・・・・ｎ７ｉ・・・
・・ｎ７１２はｎ７Ｂ及び点Ｍ１１の上空１ｋｍの大気
ガスの屈折指数が判れば、実験式より求まる。平行球面
層（ｉ＝１２〜５００）においては、 （ｎ７１２＋１２／ａ）ｓｉｎα７１２＝（ｎ７１３＋
１３／ａ）ｓｉｎα７１３＝・・・・・＝（ｎ７ｉ＋ｉ
／ａ）ｓｉｎα７ｉ＝・・・・＝（ｎ７５００＋５００
／ａ）ｓｉｎα７５００＝ｎ７０ｓｉｎα７０ 但し、ａは地球の半径、ｎ７１２，ｎ７１３，・・・・
・ｎ７ｉ・・・・・ｎ７５００は成層圏の大気ガスの屈
折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より安定してお
り、実験的に求めておく。又、α７０は仰角の計算方法
から、 ｃｏｓα７０＝ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／｛（（ＴＰ １２ ＋Δτ）−ＴＷＸ）（ｃ±Ｖ）｝ より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、Ｋはα７０に
対応する方位角の比例定数である。以上から、Ｌ７は定
まる。即ち、点Ｐ１３と点ＭＸとの間の最短距離は確定
する。 点Ｍ１１と点ＭＹとの間の距離をＬ９、点Ｐ１２と点
ＭＹとの間の距離をＬ１０とする。時刻ＴＭ１１のと
き、送信機アンテナ位置Ｍ１１から電波中継機に向け放
射された電波は、時刻ＴＰ１２のとき、この電波中継機
に到達する。この時刻ＴＰ１２のとき、この電波中継機
から地上の受信モードにある測量者に向け放射される電
波を選択する。この選択された電波が、地上の受信モー
ドにある測量者に到達する時刻をＴＭＹとする。又、時
刻ＴＭＹのときの地上の受信モードにある測量者の位置
を点ＭＹとする。 Ｌ９＝Ｖ（ＴＭＹ−ＴＭ１１） Ｖは地球の自転速度。ＴＭ１１は送信機アンテナ位置Ｍ
１１から、電波中継機に向け電波が放射された時刻。大
気ガスの屈折率の影響により、 Ｌ１０＝［〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ１０ｉ＋｛ｃ（（ＴＭＹ−ＴＰ１ ２ ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１０ｉ）｝ｓｉｎα１００〕２＋〔ｎｈ＋｛ ｃ（ＴＭＹ−ＴＰ１２）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１０ｉ）｝ｃｏｓα１０ ０ 〕２］１／２ ｎｈは点Ｍ１１から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率
が１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高
度差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中に
おける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、α１０ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各大気圏平行平
面層への電波の屈折角、α１００は点Ｍ１１から高さｎ
ｈｋｍの上空の大気圏平行平面層への電波の入射角であ
る。スネルの法則から平行平面層（ｉ＝１〜１２）にお
いては、 ｎ１０Ｂｓｉｎα１０Ｂ＝ｎ１０１ｓｉｎα１０１＝ｎ
１０２ｓｉｎα１０２・・・・＝ｎ１０ｉｓｉｎα
１０ｉ＝・・・・・＝ｎ１０１２ｓｉｎα１０１２＝ｎ
１００ｓｉｎα１００ ｎ１００は真空中の電波の屈折率で既知の値である。
又、ｎ１０Ｂは点ＭＸにおける大気ガスの屈折率であ
り、点Ｍ１１の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定する
ことにより求まる。ｎ１０１，ｎ１０２，・・・・・ｎ
１０ｉ・・・・・ｎ１０１２はｎ１０Ｂ及び点ＭＩ１の
上空１ｋｍの大気ガスの屈折指数が判れば、実験式より
求まる。平行球面層（ｉ＝１２〜５００）においては、 （ｎ１０１２＋１２／ａ）ｓｉｎα１０１２＝（ｎ
１０１３＋１３／ａ）ｓｉｎα１０１３＝・・・・・＝
（ｎ１０ｉ＋ｉ／ａ）ｓｉｎα１０ｉ＝・・・・・＝
（ｎ１０５００＋５００／ａ）ｓｉｎα１０５００＝ｎ
１００ｓｉｎα１００ 但し、ａは地球の半径、ｎ１０１２，ｎ１０１３，・・
・・・ｎ１０ｉ・・・・・ｎ１０５００は成層圏の大気
ガスの屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より安
定しており実験的に求めておく。又、α１００は仰角の
計算方法から ｃｏｓα１００＝ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／｛（ＴＭ Ｙ −ＴＰ１２）（ｃ±Ｖ）｝ より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、Ｋはα１００
に対応する比例定数である。以上から、Ｌ１０は定ま
る。即ち、点Ｐ１２と点ＭＹとの間の最短距離は確定す
る。 点Ｍ１１と点Ｐ１３との間の距離をＬ８とする。点Ｍ
１１と点ＭＸとの間の距離をＬ１１とする。 Ｌ１１＝Ｖ（ＴＭＸ＝ＴＭ１１） Ｖは地球の自転速度。ＴＭＸは衛星搭載の電波中継機の
アンテナ位置Ｐ１３に到達した時刻がＴＰ１２＋Δτと
なるように、送信機アンテナ位置ＭＸから電波が放射さ
れた時刻。三角形の余弦第２法則により、 Ｌ１０ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ９ ２−２Ｌ１Ｌ９ｃｏｓｐ∠Ｐ１２・Ｍ１１・ ＭＹ ∴ｃｏｓ∠Ｐ１２・Ｍ１１・ＭＹ＝（Ｌ１ ２＋Ｌ９ ２−Ｌ１０ ２）／ ２Ｌ１Ｌ９・・・・・・・・・・（Ｂ−１） 点Ｐ１２と点ＭＸとの間の距離をＬ１２とすると、 Ｌ１２ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ１１ ２−２Ｌ１Ｌ１１ｃｏｓ∠Ｐ１２・Ｍ１ １・ＭＹ・・・・・・・・・・（Ｂ−２） 式（Ｂ−１）を式（Ｂ−２）へ代入する。 Ｌ１２ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ１１ ２−（２Ｌ１Ｌ１１）・｛（Ｌ１ ２＋Ｌ９ ２ −Ｌ１０ ２）／２Ｌ１Ｌ９｝＝Ｌ１ ２＋Ｌ１１ ２−Ｌ１１（Ｌ１ ２＋Ｌ９ ２− Ｌ１０ ２）／Ｌ９・・・・・・・・・・（Ｂ−３） 式（Ｂ−３）より、点Ｐ１２と点ＭＸとの間の距離Ｌ
１２は確定する。∠Ｐ１３・Ｐ１２・ＭＸ＝γ、∠Ｍ１
１・Ｐ１２・ＭＸ＝δとする。 Ｌ７ ２＝Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−２Ｌ２Ｌ１２ｃｏｓγ ∴ｃｏｓγ＝（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／２Ｌ２Ｌ１２・・・・・・ ・・・・（Ｂ−４） Ｌ１１ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−２Ｌ１Ｌ１２ｃｏｓδ ∴ｃｏｓδ＝（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／２Ｌ１Ｌ１２・・・・ ・・・・・・・（Ｂ−５） ∠Ｍ１１・Ｐ１２・Ｐ１３＝γ＋δである。 Ｌ８ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ２ ２−２Ｌ１Ｌ２ｃｏｓ（γ＋δ） ＝Ｌ１ ２＋Ｌ２ ２−２Ｌ１Ｌ２（ｃｏｓγｃｏｓδ−ｓｉｎγｓｉｎ δ）・・・・・・・・・（Ｂ−６） ｓｉｎγ＝（１−ｃｏｓ２γ）１／２＝〔１−｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２ −Ｌ７ ２）／（２Ｌ２Ｌ１２）｝２〕１／２・・・・・（Ｂ−７） ｓｉｎδ＝（１−ｃｏｓ２δ）１／２＝〔１−｛（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２ −Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝２〕１／２・・・・・（Ｂ−８） 式（Ｂ−４）、（Ｂ−５）、（Ｂ−７）及び（Ｂ−８）
を式（Ｂ−６）へ代入する。 Ｌ８ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ２ ２−２Ｌ１Ｌ２［｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／（ ２Ｌ２Ｌ１２）｝｛（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝−〔 １−｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／（２Ｌ２Ｌ１２）｝２〕１／２・〔１− ｛（Ｌ１２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝２〕１／２］ Ｌ８＝＜Ｌ１ ２＋Ｌ２ ２−２Ｌ１Ｌ２［｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／（ ２Ｌ２Ｌ１２）｝｛（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝−〔 １−｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／（２Ｌ２Ｌ１２）｝２〕１／２・〔１− ｛（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝２〕１／２］１／２＞１／２ 以上からＬ８は確定する。 点ＷＹと点Ｗ１４との間の距離をＬ２１とする。 Ｌ２１＝Ｖ（ＴＷ１４−ＴＷＹ） Ｖは地球の自転速度。ＴＷ１４（は送信機アンテナ位置
Ｍ１１から時刻ＴＭ１１のとき放射された電波が、電波
中継機経由固定地上局アンテナ位置Ｗ１４に到達した時
刻。ＴＷＹは時刻ＴＰ１２のとき電波中継機アンテナ位
置Ｐ１２から放射された電波が固定地上局位置ＷＹに到
達した時刻。 点Ｐ１２と点ＷＹとの間の距離をＬ２０とする。大気
ガスの屈折率の影響により、 Ｌ２０＝［〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα２０ｉ＋｛ｃ（ＴＷＹ−ＴＰ１ ２ ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα２０ｉ）｝ｓｉｎα２００〕２＋〔ｎｈ＋｛ ｃ（ＴＷＹ−ＴＰ１２）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα２０ｉ）｝ｃｏｓα２０ ０ 〕２］１／２ ｎｈは地表面から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達した時
刻、α２０ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各大気圏平行平
面層への電波の屈折角、α２００は点ＭＹから高さｎｈ
ｋｍの上空の大気圏平行平面層への電波の入射角であ
る。スネルの法則から平行平面層（ｉ＝１〜１２）にお
いては、 ｎ２０Ｂｓｉｎα２０Ｂ＝ｎ２０１ｓｉｎα２０１＝ｎ
２０２ｓｉｎα２０２＝・・・・・ｎ２０ｉｓｉｎα
２０ｉ＝・・・・・ｎ２０１２ｓｉｎα２０１２＝ｎ
２００ｓｉｎα２００ ｎ２００は真空中の電波の屈折率で既知の値である。
又、ｎ２０Ｂは点ＭＹにおける大気ガスの屈折率であ
り、点ＭＹの大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定するこ
とにより求まる。ｎ２０１，ｎ２０２・・・・・ｎ
２０ｉ・・・・・ｎ２０１２はｎ２０Ｂ及び点ＭＹの上
空１ｋｍの大気ガスの屈折指数が判れば、実験式より求
まる。平行球面層（ｉ＝１２〜５００）においては、 （ｎ２０１２＋１２／ａ）ｓｉｎα２０１２＝（ｎ
２０１３＋１３／ａ）ｓｉｎα２０１３＝・・・・・＝
（ｎ２０ｉ＋ｉ／ａ）ｓｉｎα２０ｉ＝・・・・・＝
（ｎ２０５００＋５００／ａ）ｓｉｎα２０５００＝ｎ
２００ｓｉｎα２００ 但し、ａは地球の半径、ｎ２０１２，ｎ２０１３，・・
・・・ｎ２０ｉ，・・・・・ｎ２０５００は成層圏の大
気ガスの屈折率出あり、対流圏の大気ガスの屈折率より
安定しており、実験的に求めておく。又、α２００は仰
角の計算方法から、 ｃｏｓα２００＝ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／｛（ＴＷ Ｙ −ＴＰ１２）（ｃ±Ｖ）｝ より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、Ｋはα２００
に対応する比例定数である。以上から、Ｌ２０は定ま
る。即ち、点Ｐ１２と点ＷＹとの間の最短距離は確定す
る。 ▲１０▼点Ｐ１２と点Ｗ１４との間の距離をＬ１３とす
る。点Ｗ１４を原点とする点Ｐ１２の座標をＰ１２
（Ｘ，Ｙ）とする。 （Ｘ−Ｌ５）２＋Ｙ２ ２＝Ｌ６ ２・・・・・・・・・・・（Ｃ−１） （Ｘ−Ｌ２１）２＋Ｙ２＝Ｌ２０ ２・・・・・・・・・・（Ｃ−２） 式（Ｃ−１）及び（Ｃ−２）より、 Ｘ＝（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２−Ｌ５ ２＋Ｌ２１ ２）／２（Ｌ２１−Ｌ５） ・・・・・・・・・・・・（Ｃ−３） 式（Ｃ−３）を式（Ｃ−１）へ代入。 Ｙ＝〔Ｌ６ ２−｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２−２Ｌ５Ｌ２１＋Ｌ５ ２ ）／２（Ｌ２１−Ｌ５）｝２〕１／２・・・・・・（Ｃ−４） 式（Ｃ−３）及び（Ｃ−４）より、 Ｌ１３ ２＝Ｘ２＋Ｙ２＝｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２−Ｌ５ ２＋Ｌ２１ ２） ／２（Ｌ２１−Ｌ５）｝２＋［〔Ｌ６ ２−｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２−２ Ｌ５Ｌ２１＋Ｌ５ ２）／２（Ｌ２１−Ｌ５）｝２〕１／２］２ ∴Ｌ１３＝［｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２−Ｌ５ ２＋Ｌ２１ ２）／２（Ｌ２１ −Ｌ５）｝２＋〔Ｌ６ ２−｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２−２Ｌ５Ｌ２１＋Ｌ５ ２ ）／２（Ｌ２１−Ｌ５）｝２〕］１／２ ▲１１▼時刻ＴＷ１４のときの固定地上局の位置Ｗ１４
を原点として、時刻ＴＰ１２のときの電波中継機の位置
Ｐ１２の座標をＰ１２（ＸＰ１２，ＹＰ１２，
ＺＰ１２） とする。点Ｐ１２から放射された電波が、
固定地上局の位置ＷＹに到達したときの電波の仰角をβ
２０ｎとすると、項から仰角β２０ｎは確定してい
る。 ＸＰ１２ ２＋ＹＰ１２ ２＋ＺＰ１２ ２＝Ｌ１３ ２・・・・・・・・・ ・・・・・（Ｇ−１） ＸＰ１２ ２＋（ＹＰ１２−Ｌ２１）２＋ＺＰ１２ ２＝Ｌ２０ ２・・・ ・・・・・・・・・（Ｇ−２） ＺＰ１２＝Ｌ２０ｓｉｎβ２０ｎ・・・・・・・・・・・（Ｇ−３） 式（Ｇ−１），（Ｇ−２）より、 ＹＰ１２＝（Ｌ１３ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２）／２Ｌ２１・・・・・ ・・・・・・・・・（Ｇ−４） 式（Ｇ−１），（Ｇ−３）及び（Ｇ−４）より、 ＸＰ１２〔Ｌ１３ ２−｛（Ｌ１３ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２）／（２Ｌ２１ ）｝２−Ｌ２０ ２ｓｉｎ２β２０ｎ〕１／２・・（Ｇ−５） Ｌ１３、Ｌ２０、Ｌ２１及びβ２０ｎは確定しているか
ら、点Ｐ１２の座標Ｐ１２（ＸＰ１２，ＹＰ１２，Ｚ
Ｐ１２）も確定する。 ▲１３▼点ＷＺと点Ｐ１３との間の距離をＬ１８とす
る。大気ガスの屈折率の影響により、 Ｌ１８＝［〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα１８ｉ＋｛ｃ（（ＴＰ１２＋Δτ）− ＴＷＺ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１８ｉ）｝ｓｉｎα１８０〕２＋〔ｎｈ ＋｛ｃ（（ＴＰ１２＋Δτ）−ＴＷＺ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１８ｉ ）｝ｃｏｓα１８０〕２］１／２ ｎｈは地表面から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達した時
刻、ＴＷＺは電波中継機アンテナ位置Ｐ１３に到達した
時刻がＴＰ１２＋Δτであるように、固定地上局アンテ
ナ位置ＷＺから放射された電波の放射時刻。α
１８ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各大気圏平行平面層へ
の電波の入射角、α１８０は地表面から高さｎｈｋｍの
上空の大気圏外平面平行層への電波の屈折角である。ス
ネルの法則から、平行平面層（ｉ＝１〜１２）において
は、 ｎ１８Ｂｓｉｎα１８Ｂ＝ｎ１８１ｓｉｎα１８１＝ｎ
１８２ｓｉｎα１８２・・・・・＝ｎ１８ｉｓｉｎα
１８ｉ＝・・・・・＝ｎ１８１２ｓｉｎα１８１２＝ｎ
１８０ｓｉｎα１８０ ｎ１８０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。
又、ｎ１８Ｂは点Ｗ１４における大気ガスの屈折率であ
り、点Ｗ１４の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定する
ことにより求まる。ｎ１８１，ｎ１８２，・・・・・ｎ
１８ｉ・・・・・ｎ１８１２はｎ１８Ｂ及び点Ｗ１４の
上空１ｋｍの大気ガスの屈折指数が判れば、実験式より
求まる。平行球面層（ｉ＝１２〜５００）においては、 （ｎ１８１２＋１２／ａ）ｓｉｎα１８１２＝（ｎ
１８１３＋１３／ａ）ｓｉｎα１８１３＝・・・・・＝
（ｎ１８ｉ＋ｉ／ａ）ｓｉｎα１８ｉ＝・・・・・・＝
（ｎ１８５００＋５００／ａ）ｓｉｎα１８５００＝ｎ
１８０ｓｉｎα１８０ 但し、ａは地球の半径、ｎ１８１２，ｎ１８１３，・・
・・ｎ１８ｉ・・・・ｎ１８５００は成層圏の大気ガス
屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より安定して
おり、実験的に求めておく。又、α１８０は仰角の計算
方法から、 ｃｏｓα１８０＝ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／｛（（Ｔｐ１２＋Δ τ）−ＴＷＺ）（ｃ±Ｖ）｝ より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、Ｋはα１８０
に対応する比例定数である。以上から、Ｌ１８は定ま
る。即ち、点ＷＺと点Ｐ１３との間の距離Ｌ１８が確定
する。 ▲１４▼点ＷＺと点Ｗ１４との間の距離をＬ２２とす
る。 Ｌ２２＝Ｖ（ＴＷ１４−ＴＷＺ） Ｖは地球の自転速度。ＴＷ１４は送信機アンテナ位置Ｍ
１１から時刻ＴＭ１１のとき放射された電波が、電波中
継機経由地上局アンテナ位置Ｗ１４に到達した時刻。Ｔ
ＷＺは電波中継機アンテナ位置Ｐ１３に到達した時刻が
ＴＰ１２＋Δτであるように、固定地上局アンテナ位置
ＷＺから放射された電波の放射時刻。 ▲１５▼時刻ＴＷ１４のときの固定地上局の位置Ｗ１４
を原点として、時刻ＴＴＰ１２＋Δτのときの電波中継
機の位置Ｐ１３の座標をＰ１３（ＸＰ１３，ＹＰ１３，
ＺＰ１３）とする。点Ｐ１３から放射された電波が、固
定地上局の位置Ｗ１４に到達したときの電波の仰角をβ
３ｎとすると、項より、仰角β３ｎは確定しているか
ら、 ＸＰ１３ ２＋ＹＰ１３ ２＋ＺＰ１３ ２＝Ｌ３ ２・・・・・・・・・・ ・・・（Ｈ−１） ＸＰ１３ ２＋（ＹＰ１３−Ｌ２２）２＋ＺＰ１３ ２＝Ｌ１８ ２・・・ ・・・・・・・・・・（Ｈ−２） ＺＰ１３＝Ｌ３ｓｉｎβ３ｎ・・・・・・・・・・・・・（Ｈ−３） 式（Ｈ−１），（Ｈ−２）より、 ＹＰ１３＝（Ｌ３ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ２２ ２）／２Ｌ２２・・・・・・ ・・・・・・（Ｈ−４） 式（Ｈ−１），（Ｈ−３）及び（Ｈ−４）より、 ＸＰ１３＝〔Ｌ３ ２−｛（Ｌ３ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ２２ ２）／２Ｌ２２ ｝２−Ｌ３ ２ｓｉｎ２β３ｎ〕１／２・・・・・・（Ｈ−５） Ｌ３、Ｌ１８、Ｌ２２及びβ３ｎは確定しているから、
点Ｐ１３の座標Ｐ１３（ＸＰ１３，ＹＰ１３，
ＺＰ１３）も確定する。 ▲１６▼点Ｐ１２と点Ｐ１３との間の距離をＬ２とす
る。 Ｌ２＝｛（ＸＰ１２−ＸＰ１３）２＋（ＹＰ１２−ＹＰ１３）２＋（ ＺＰ１２−ＺＰ１３）２｝１／２ 点Ｐ１２及及び点Ｐ１３の座標は確定しているから，Ｌ
２も確定する。 ▲１７▼点Ｐ１２から点ＭＹを通る水平面に垂線を下ろ
し、その足を点Ｑ１２とする。時刻ＴＭ１１のとき、送
信機アンテナ位置Ｍ１１から電波中継機に向け放射され
た電波は、時刻ＴＰ１２のとき、この電波中継機に到達
する。この時刻ＴＰ１２のとき、この電波中継機から地
上の受信モードにある測量者に向け放射される電波を選
択する。この選択された電波が、地上の受信モードにあ
る測量者に到達する時刻をＴＭＹとする。点Ｐ１２と点
Ｑ１２との間の距離をＬ１０Ｚとすると、 Ｌ１０Ｚ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＭＹ−ＴＰ１２）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃ ｏｓα１０ｉ）｝ｃｏｓα１００ ｎｈは点ＭＹから高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、α１０ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各大気圏平行平
面層への電波の屈折角、α１００は地表面から高さｎｈ
ｋｍの上空の大気圏平行平面層への電波の入射角であ
る。項からＬ１０Ｚは確定する。
長の測定 点Ｍ１１と点Ｐ１２との間の距離をＬ１とする。大気
ガスの屈折率の影響により、 Ｌ１＝［〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα１ｉ＋｛ｃ（ＴＰ１２−ＴＭ１１ ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１ｉ）｝ｓｉｎα１０〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ１２−ＴＭ１１）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１ｉ）｝ ｃｏｓα１０〕２］１／２ ｎｈは点Ｍ１１から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率
が１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高
度差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中に
おける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、ＴＭ１１は点Ｍ１１から電波の放射された時刻α
１ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各大気圏平行平面層への
電波の入射角、α１０は点Ｍ１１から高さｎｈｋｍの上
空の大気圏平行平面層への電波の屈折角である。スネル
の法則から、平行平面層（ｎ＝１〜１２）においては、 ｎ１Ｂｓｉｎα１Ｂ＝ｎ１１ｓｉｎα１１＝ｎ１２ｓｉ
ｎα１２＝・・・・・＝ｎ１ｉｓｉｎα１ｉ＝・・・・
＝ｎ１１２ｓｉｎα１１２＝ｎ１０ｓｉｎα１０ ｎ１０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。又、
ｎ１Ｂは点Ｍ１１における大気ガスの屈折率であり、点
Ｍ１１の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定することに
より求まる。ｎ１１，ｎ１２，・・・・・ｎ１ｉ・・・
・・ｎ１１２はｎ１Ｂ及び点Ｍ１１の上空１ｋｍの大気
ガスの屈折指数が判れば、実験式より求まる。平行球面
層（ｎ＝１２〜５００）においては、 （ｎ１１２＋１２／ａ）ｓｉｎα１１２＝（ｎ１１３＋
１３／ａ）ｓｉｎα１１３＝・・・・・＝（ｎ１ｉ＋ｉ
／ａ）ｓｉｎα１ｉ＝・・・・・＝（ｎ１５００＋５０
０／ａ）ｓｉｎα１５００＝ｎ１０ｓｉｎα１０ 但し、ａは地球の半径、ｎ１１２，ｎ１１３，・・・・
・ｎ１ｉ，・・・・・ｎ１５００は成層圏の大気ガスの
屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より安定して
おり、実験的に求めておく。又、α１０は仰角の計算方
法から、 ｃｏｓα１０＝ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／｛（ＴＰ１２−ＴＭ１ １）（ｃ±Ｖ）｝ より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、Ｋはα１０に
対応する比例定数である。以上から、Ｌ１は定まる。即
ち、点Ｍ１１と点Ｐ１２との間の最短距離は確定する。 点Ｐ１３と点Ｗ１４との間の距離をＬ３とする。大気
ガスの屈折率の影響により、 Ｌ３＝［〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα３ｉ＋｛ｃ（ＴＷ１４−（ＴＰ１２ ＋Δτ））−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα３ｉ）｝ｓｉｎα３０〕２＋〔ｎ ｈ＋｛ｃ（ＴＷ１４−（ＴＰ１２）＋Δτ））−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα３ ｉ）｝ｃｏｓα３０〕２］１／２ ｎｈは地表面から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、ＴＭ１１は点Ｍ１１から電波の放射された時刻、Ｔ
Ｗ１４は点Ｍ１１から、時刻ＴＭ１１のとき放射された
電波が、電波中継機経由固定地上局アンテナ位置Ｗ１４
に到達した時刻、α３ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各大
気圏平行平面層への電波の屈折角、α３０は地表面から
高さｎｈｋｍの上空の大気圏平行平面層への電波の入射
角である。スネルの法則から、平行平面層（ｉ＝１〜１
２）においては、 ｎ３Ｂｓｉｎα３Ｂ＝ｎ３１ｓｉｎα３１＝ｎ３２ｓｉ
ｎα３２＝・・・・・＝ｎ３ｉｓｉｎα３ｉ・・・・・
＝ｎ３１２ｓｉｎα３１２＝ｎ３０ｓｉｎα３０ ｎ３０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。又、
ｎ３ＢはＷ１４における大気ガスの屈折率であり、Ｗ１
４の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定することにより
求まる。ｎ３１，ｎ３２・・・・・ｎ３ｉ・・・・・ｎ
３１２はｎ３Ｂ及びＷ１４の上空１ｋｍの大気ガスの屈
折指数が判れば、実験式より求まる。平行球面層（ｉ＝
１２〜５００）においては、 （ｎ３１２＋１２／ａ）ｓｉｎα３１２＝（ｎ３１３＋
１３／ａ）ｓｉｎα３１３＝・・・・・＝（ｎ３ｉ＋ｉ
／ａ）ｓｉｎα３ｉ＝・・・・・＝（ｎ３５００＋５０
０／ａ）ｓｉｎα３５００＝ｎ３０ｓｉｎα３０ 但し、ａは地球の半径、ｎ３１２，ｎ３１３，・・・・
・ｎ３ｉ・・・・・ｎ３５００は成層圏の大気ガスの屈
折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より安定してお
り、実験的に求めておく。又、α３０は仰角の計算方法
から、 ｃｏｓα３０＝ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／〔｛ＴＷ１４−（ＴＰ １２ ＋Δτ）｝（ｃ±Ｖ）〕 より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、Ｋはα３０に
対応する比例定数である。以上から、Ｌ３は定まる。即
ち、点Ｐ１３と点Ｗ１４との間の最短距離は確定する。 点ＷＸと点Ｗ１４との間の距離をＬ５とする。 Ｌ５＝Ｖ（ＴＷ１４−ＴＷＸ） Ｖは地球の自転速度。ＴＷ１４は送信機アンテナ位置Ｍ
１１から時刻ＴＭ１１のとき放射された電波が、電波中
継機経由固定地上局アンテナ位置Ｗ１４に到達した時
刻。ＴＷＸは電波中継機アンテナ位置Ｐ１２に到達した
時刻がＴＰ１２であるように、固定地上局アンテナ位置
ＷＸから放射された電波の放射時刻。ＴＰ１２は送信機
アンテナ位置Ｍ１１から、時刻ＴＭ１１のとき放射され
た電波が、電波中継機アンテナ位置Ｐ１２に到達した時
刻。 点Ｐ１２と点ＷＸとの間の距離をＬ６とする。大気ガ
スの屈折率の影響により、 Ｌ６＝［〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ６ｉ＋｛ｃ（ＴＰ１２−ＴＷＸ）− ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα６ｉ）｝ｓｉｎα６０〕２＋〔ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ１ ２ −（ＴＷＸ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα６ｉ）｝ｃｏｓα６０〕２］１／ ２ ｎｈは地表面から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、ＴＷＸは電波中継機アンテナ位置Ｐ１２に到達した
時刻がＴＰ１２であるように、固定地上局アンテナ位置
ＷＸから放射された電波の放射時刻。α６ｉ（ｉ＝１〜
ｎ）は厚さｈの各大気圏平行平面層への電波の入射角、
α６０は地表面から高さｎｈｋｍの上空の大気圏平行平
面層への電波の屈折角である。スネルの法則から平行平
面層（ｉ＝１〜１２）においては、 ｎ６Ｂｓｉｎα６Ｂ＝ｎ６１ｓｉｎα６１＝ｎ６２ｓｉ
ｎα６２＝・・・・・＝ｎ６ｉｓｉｎα６ｉ＝・・・・
・＝ｎ６１２ｓｉｎα６１２＝ｎ６０ｓｉｎα６０ ｎ６０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。又、
ｎ６Ｂは点ＷＸにおける大気ガスの屈折率であり、点Ｗ
Ｘの大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定することにより
求まる。ｎ６１，ｎ６２・・・・ｎ６ｉ・・・・・ｎ
６１２はｎ６Ｂ及び点ＷＸの上空１ｋｍの大気ガスの屈
折指数が判れば、実験式より求まる。平行球面層（ｉ＝
１２〜５００）においては、 （ｎ６１２＋１２／ａ）ｓｉｎα６１２＝（ｎ６１３＋
１３／ａ）ｓｉｎα６１３＝・・・・・＝（ｎ６ｉ＋ｉ
／ａ）ｓｉｎα６ｉ＝・・・・・＝（ｎ６５００＋５０
０／ａ）ｓｉｎα６５００＝ｎ６０ｓｉｎα６０ 但し、ａは地球の半径、ｎ６１２，ｎ６１３，・・・・
・ｎ６ｉ・・・・・ｎ６５００は成層圏の大気ガスの屈
折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より安定であ
り、実験的に求めておく。又、α６０は仰角の計算方法
から、 ｃｏｓα６０＝ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／｛（ＴＰ１２−ＴＷＸ ）（ｃ±Ｖ）｝ より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、Ｋはα６０に
対応する比例定数である。以上から、Ｌ６が定まる。即
ち、点Ｐ１２と点ＷＸとの間の最短距離は確定する。 点Ｐ１３と点ＭＸとの間の距離をＬ７とする。大気ガ
スの屈折率の影響により、 Ｌ７＝［〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ７ｉ＋｛ｃ（（ＴＰ１２＋Δτ）− ＴＭＸ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα７ｉ）｝ｓｉｎα７０〕２＋〔ｎｈ＋｛ ｃ（（ＴＰ１２＋Δτ）−ＴＭＸ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα７ｉ）｝ｃｏ ｓα７０〕２］１／２ ｎｈは点Ｍ１１から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率
が１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高
度差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中に
おける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、ＴＭＸは電波中継機アンテナ位置Ｐ１３に到達した
時刻がＴＰ１２＋Δτであるように、送信機アンテナ位
置ＭＸから放射された電波の放射時刻。α７ｉ（ｉ＝１
〜ｎ）は厚さｈの各大気圏平行平面層への電波の入射
角、α７０は点ＭＸから高さｎｈｋｍの上空の大気圏平
行平面層への電波の屈折角である。スネルの法則から、
平行平面層（ｉ＝１〜１２）においては、 ｎ７Ｂｓｉｎα７Ｂ＝ｎ７１ｓｉｎα７１＝ｎ７２ｓｉ
ｎα７２＝・・・・・＝ｎ７ｉｓｉｎα７ｉ＝・・・・
・＝ｎ７１２ｓｉｎα７１２＝ｎ７０ｓｉｎα７０ ｎ７０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。又、
ｎ７Ｂは点Ｍ１１における大気ガスの屈折率であり、点
Ｍ１１の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定することに
より求まる。ｎ７１，ｎ７２，・・・・・ｎ７ｉ・・・
・・ｎ７１２はｎ７Ｂ及び点Ｍ１１の上空１ｋｍの大気
ガスの屈折指数が判れば、実験式より求まる。平行球面
層（ｉ＝１２〜５００）においては、 （ｎ７１２＋１２／ａ）ｓｉｎα７１２＝（ｎ７１３＋
１３／ａ）ｓｉｎα７１３＝・・・・・＝（ｎ７ｉ＋ｉ
／ａ）ｓｉｎα７ｉ＝・・・・＝（ｎ７５００＋５００
／ａ）ｓｉｎα７５００＝ｎ７０ｓｉｎα７０ 但し、ａは地球の半径、ｎ７１２，ｎ７１３，・・・・
・ｎ７ｉ・・・・・ｎ７５００は成層圏の大気ガスの屈
折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より安定してお
り、実験的に求めておく。又、α７０は仰角の計算方法
から、 ｃｏｓα７０＝ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／｛（（ＴＰ １２ ＋Δτ）−ＴＷＸ）（ｃ±Ｖ）｝ より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、Ｋはα７０に
対応する方位角の比例定数である。以上から、Ｌ７は定
まる。即ち、点Ｐ１３と点ＭＸとの間の最短距離は確定
する。 点Ｍ１１と点ＭＹとの間の距離をＬ９、点Ｐ１２と点
ＭＹとの間の距離をＬ１０とする。時刻ＴＭ１１のと
き、送信機アンテナ位置Ｍ１１から電波中継機に向け放
射された電波は、時刻ＴＰ１２のとき、この電波中継機
に到達する。この時刻ＴＰ１２のとき、この電波中継機
から地上の受信モードにある測量者に向け放射される電
波を選択する。この選択された電波が、地上の受信モー
ドにある測量者に到達する時刻をＴＭＹとする。又、時
刻ＴＭＹのときの地上の受信モードにある測量者の位置
を点ＭＹとする。 Ｌ９＝Ｖ（ＴＭＹ−ＴＭ１１） Ｖは地球の自転速度。ＴＭ１１は送信機アンテナ位置Ｍ
１１から、電波中継機に向け電波が放射された時刻。大
気ガスの屈折率の影響により、 Ｌ１０＝［〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ１０ｉ＋｛ｃ（（ＴＭＹ−ＴＰ１ ２ ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１０ｉ）｝ｓｉｎα１００〕２＋〔ｎｈ＋｛ ｃ（ＴＭＹ−ＴＰ１２）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１０ｉ）｝ｃｏｓα１０ ０ 〕２］１／２ ｎｈは点Ｍ１１から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率
が１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高
度差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中に
おける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、α１０ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各大気圏平行平
面層への電波の屈折角、α１００は点Ｍ１１から高さｎ
ｈｋｍの上空の大気圏平行平面層への電波の入射角であ
る。スネルの法則から平行平面層（ｉ＝１〜１２）にお
いては、 ｎ１０Ｂｓｉｎα１０Ｂ＝ｎ１０１ｓｉｎα１０１＝ｎ
１０２ｓｉｎα１０２・・・・＝ｎ１０ｉｓｉｎα
１０ｉ＝・・・・・＝ｎ１０１２ｓｉｎα１０１２＝ｎ
１００ｓｉｎα１００ ｎ１００は真空中の電波の屈折率で既知の値である。
又、ｎ１０Ｂは点ＭＸにおける大気ガスの屈折率であ
り、点Ｍ１１の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定する
ことにより求まる。ｎ１０１，ｎ１０２，・・・・・ｎ
１０ｉ・・・・・ｎ１０１２はｎ１０Ｂ及び点ＭＩ１の
上空１ｋｍの大気ガスの屈折指数が判れば、実験式より
求まる。平行球面層（ｉ＝１２〜５００）においては、 （ｎ１０１２＋１２／ａ）ｓｉｎα１０１２＝（ｎ
１０１３＋１３／ａ）ｓｉｎα１０１３＝・・・・・＝
（ｎ１０ｉ＋ｉ／ａ）ｓｉｎα１０ｉ＝・・・・・＝
（ｎ１０５００＋５００／ａ）ｓｉｎα１０５００＝ｎ
１００ｓｉｎα１００ 但し、ａは地球の半径、ｎ１０１２，ｎ１０１３，・・
・・・ｎ１０ｉ・・・・・ｎ１０５００は成層圏の大気
ガスの屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より安
定しており実験的に求めておく。又、α１００は仰角の
計算方法から ｃｏｓα１００＝ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／｛（ＴＭ Ｙ −ＴＰ１２）（ｃ±Ｖ）｝ より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、Ｋはα１００
に対応する比例定数である。以上から、Ｌ１０は定ま
る。即ち、点Ｐ１２と点ＭＹとの間の最短距離は確定す
る。 点Ｍ１１と点Ｐ１３との間の距離をＬ８とする。点Ｍ
１１と点ＭＸとの間の距離をＬ１１とする。 Ｌ１１＝Ｖ（ＴＭＸ＝ＴＭ１１） Ｖは地球の自転速度。ＴＭＸは衛星搭載の電波中継機の
アンテナ位置Ｐ１３に到達した時刻がＴＰ１２＋Δτと
なるように、送信機アンテナ位置ＭＸから電波が放射さ
れた時刻。三角形の余弦第２法則により、 Ｌ１０ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ９ ２−２Ｌ１Ｌ９ｃｏｓｐ∠Ｐ１２・Ｍ１１・ ＭＹ ∴ｃｏｓ∠Ｐ１２・Ｍ１１・ＭＹ＝（Ｌ１ ２＋Ｌ９ ２−Ｌ１０ ２）／ ２Ｌ１Ｌ９・・・・・・・・・・（Ｂ−１） 点Ｐ１２と点ＭＸとの間の距離をＬ１２とすると、 Ｌ１２ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ１１ ２−２Ｌ１Ｌ１１ｃｏｓ∠Ｐ１２・Ｍ１ １・ＭＹ・・・・・・・・・・（Ｂ−２） 式（Ｂ−１）を式（Ｂ−２）へ代入する。 Ｌ１２ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ１１ ２−（２Ｌ１Ｌ１１）・｛（Ｌ１ ２＋Ｌ９ ２ −Ｌ１０ ２）／２Ｌ１Ｌ９｝＝Ｌ１ ２＋Ｌ１１ ２−Ｌ１１（Ｌ１ ２＋Ｌ９ ２− Ｌ１０ ２）／Ｌ９・・・・・・・・・・（Ｂ−３） 式（Ｂ−３）より、点Ｐ１２と点ＭＸとの間の距離Ｌ
１２は確定する。∠Ｐ１３・Ｐ１２・ＭＸ＝γ、∠Ｍ１
１・Ｐ１２・ＭＸ＝δとする。 Ｌ７ ２＝Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−２Ｌ２Ｌ１２ｃｏｓγ ∴ｃｏｓγ＝（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／２Ｌ２Ｌ１２・・・・・・ ・・・・（Ｂ−４） Ｌ１１ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−２Ｌ１Ｌ１２ｃｏｓδ ∴ｃｏｓδ＝（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／２Ｌ１Ｌ１２・・・・ ・・・・・・・（Ｂ−５） ∠Ｍ１１・Ｐ１２・Ｐ１３＝γ＋δである。 Ｌ８ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ２ ２−２Ｌ１Ｌ２ｃｏｓ（γ＋δ） ＝Ｌ１ ２＋Ｌ２ ２−２Ｌ１Ｌ２（ｃｏｓγｃｏｓδ−ｓｉｎγｓｉｎ δ）・・・・・・・・・（Ｂ−６） ｓｉｎγ＝（１−ｃｏｓ２γ）１／２＝〔１−｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２ −Ｌ７ ２）／（２Ｌ２Ｌ１２）｝２〕１／２・・・・・（Ｂ−７） ｓｉｎδ＝（１−ｃｏｓ２δ）１／２＝〔１−｛（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２ −Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝２〕１／２・・・・・（Ｂ−８） 式（Ｂ−４）、（Ｂ−５）、（Ｂ−７）及び（Ｂ−８）
を式（Ｂ−６）へ代入する。 Ｌ８ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ２ ２−２Ｌ１Ｌ２［｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／（ ２Ｌ２Ｌ１２）｝｛（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝−〔 １−｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／（２Ｌ２Ｌ１２）｝２〕１／２・〔１− ｛（Ｌ１２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝２〕１／２］ Ｌ８＝＜Ｌ１ ２＋Ｌ２ ２−２Ｌ１Ｌ２［｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／（ ２Ｌ２Ｌ１２）｝｛（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝−〔 １−｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／（２Ｌ２Ｌ１２）｝２〕１／２・〔１− ｛（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝２〕１／２］１／２＞１／２ 以上からＬ８は確定する。 点ＷＹと点Ｗ１４との間の距離をＬ２１とする。 Ｌ２１＝Ｖ（ＴＷ１４−ＴＷＹ） Ｖは地球の自転速度。ＴＷ１４（は送信機アンテナ位置
Ｍ１１から時刻ＴＭ１１のとき放射された電波が、電波
中継機経由固定地上局アンテナ位置Ｗ１４に到達した時
刻。ＴＷＹは時刻ＴＰ１２のとき電波中継機アンテナ位
置Ｐ１２から放射された電波が固定地上局位置ＷＹに到
達した時刻。 点Ｐ１２と点ＷＹとの間の距離をＬ２０とする。大気
ガスの屈折率の影響により、 Ｌ２０＝［〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα２０ｉ＋｛ｃ（ＴＷＹ−ＴＰ１ ２ ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα２０ｉ）｝ｓｉｎα２００〕２＋〔ｎｈ＋｛ ｃ（ＴＷＹ−ＴＰ１２）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα２０ｉ）｝ｃｏｓα２０ ０ 〕２］１／２ ｎｈは地表面から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達した時
刻、α２０ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各大気圏平行平
面層への電波の屈折角、α２００は点ＭＹから高さｎｈ
ｋｍの上空の大気圏平行平面層への電波の入射角であ
る。スネルの法則から平行平面層（ｉ＝１〜１２）にお
いては、 ｎ２０Ｂｓｉｎα２０Ｂ＝ｎ２０１ｓｉｎα２０１＝ｎ
２０２ｓｉｎα２０２＝・・・・・ｎ２０ｉｓｉｎα
２０ｉ＝・・・・・ｎ２０１２ｓｉｎα２０１２＝ｎ
２００ｓｉｎα２００ ｎ２００は真空中の電波の屈折率で既知の値である。
又、ｎ２０Ｂは点ＭＹにおける大気ガスの屈折率であ
り、点ＭＹの大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定するこ
とにより求まる。ｎ２０１，ｎ２０２・・・・・ｎ
２０ｉ・・・・・ｎ２０１２はｎ２０Ｂ及び点ＭＹの上
空１ｋｍの大気ガスの屈折指数が判れば、実験式より求
まる。平行球面層（ｉ＝１２〜５００）においては、 （ｎ２０１２＋１２／ａ）ｓｉｎα２０１２＝（ｎ
２０１３＋１３／ａ）ｓｉｎα２０１３＝・・・・・＝
（ｎ２０ｉ＋ｉ／ａ）ｓｉｎα２０ｉ＝・・・・・＝
（ｎ２０５００＋５００／ａ）ｓｉｎα２０５００＝ｎ
２００ｓｉｎα２００ 但し、ａは地球の半径、ｎ２０１２，ｎ２０１３，・・
・・・ｎ２０ｉ，・・・・・ｎ２０５００は成層圏の大
気ガスの屈折率出あり、対流圏の大気ガスの屈折率より
安定しており、実験的に求めておく。又、α２００は仰
角の計算方法から、 ｃｏｓα２００＝ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／｛（ＴＷ Ｙ −ＴＰ１２）（ｃ±Ｖ）｝ より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、Ｋはα２００
に対応する比例定数である。以上から、Ｌ２０は定ま
る。即ち、点Ｐ１２と点ＷＹとの間の最短距離は確定す
る。 ▲１０▼点Ｐ１２と点Ｗ１４との間の距離をＬ１３とす
る。点Ｗ１４を原点とする点Ｐ１２の座標をＰ１２
（Ｘ，Ｙ）とする。 （Ｘ−Ｌ５）２＋Ｙ２ ２＝Ｌ６ ２・・・・・・・・・・・（Ｃ−１） （Ｘ−Ｌ２１）２＋Ｙ２＝Ｌ２０ ２・・・・・・・・・・（Ｃ−２） 式（Ｃ−１）及び（Ｃ−２）より、 Ｘ＝（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２−Ｌ５ ２＋Ｌ２１ ２）／２（Ｌ２１−Ｌ５） ・・・・・・・・・・・・（Ｃ−３） 式（Ｃ−３）を式（Ｃ−１）へ代入。 Ｙ＝〔Ｌ６ ２−｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２−２Ｌ５Ｌ２１＋Ｌ５ ２ ）／２（Ｌ２１−Ｌ５）｝２〕１／２・・・・・・（Ｃ−４） 式（Ｃ−３）及び（Ｃ−４）より、 Ｌ１３ ２＝Ｘ２＋Ｙ２＝｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２−Ｌ５ ２＋Ｌ２１ ２） ／２（Ｌ２１−Ｌ５）｝２＋［〔Ｌ６ ２−｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２−２ Ｌ５Ｌ２１＋Ｌ５ ２）／２（Ｌ２１−Ｌ５）｝２〕１／２］２ ∴Ｌ１３＝［｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２−Ｌ５ ２＋Ｌ２１ ２）／２（Ｌ２１ −Ｌ５）｝２＋〔Ｌ６ ２−｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２−２Ｌ５Ｌ２１＋Ｌ５ ２ ）／２（Ｌ２１−Ｌ５）｝２〕］１／２ ▲１１▼時刻ＴＷ１４のときの固定地上局の位置Ｗ１４
を原点として、時刻ＴＰ１２のときの電波中継機の位置
Ｐ１２の座標をＰ１２（ＸＰ１２，ＹＰ１２，
ＺＰ１２） とする。点Ｐ１２から放射された電波が、
固定地上局の位置ＷＹに到達したときの電波の仰角をβ
２０ｎとすると、項から仰角β２０ｎは確定してい
る。 ＸＰ１２ ２＋ＹＰ１２ ２＋ＺＰ１２ ２＝Ｌ１３ ２・・・・・・・・・ ・・・・・（Ｇ−１） ＸＰ１２ ２＋（ＹＰ１２−Ｌ２１）２＋ＺＰ１２ ２＝Ｌ２０ ２・・・ ・・・・・・・・・（Ｇ−２） ＺＰ１２＝Ｌ２０ｓｉｎβ２０ｎ・・・・・・・・・・・（Ｇ−３） 式（Ｇ−１），（Ｇ−２）より、 ＹＰ１２＝（Ｌ１３ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２）／２Ｌ２１・・・・・ ・・・・・・・・・（Ｇ−４） 式（Ｇ−１），（Ｇ−３）及び（Ｇ−４）より、 ＸＰ１２〔Ｌ１３ ２−｛（Ｌ１３ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２）／（２Ｌ２１ ）｝２−Ｌ２０ ２ｓｉｎ２β２０ｎ〕１／２・・（Ｇ−５） Ｌ１３、Ｌ２０、Ｌ２１及びβ２０ｎは確定しているか
ら、点Ｐ１２の座標Ｐ１２（ＸＰ１２，ＹＰ１２，Ｚ
Ｐ１２）も確定する。 ▲１３▼点ＷＺと点Ｐ１３との間の距離をＬ１８とす
る。大気ガスの屈折率の影響により、 Ｌ１８＝［〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα１８ｉ＋｛ｃ（（ＴＰ１２＋Δτ）− ＴＷＺ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１８ｉ）｝ｓｉｎα１８０〕２＋〔ｎｈ ＋｛ｃ（（ＴＰ１２＋Δτ）−ＴＷＺ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１８ｉ ）｝ｃｏｓα１８０〕２］１／２ ｎｈは地表面から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達した時
刻、ＴＷＺは電波中継機アンテナ位置Ｐ１３に到達した
時刻がＴＰ１２＋Δτであるように、固定地上局アンテ
ナ位置ＷＺから放射された電波の放射時刻。α
１８ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各大気圏平行平面層へ
の電波の入射角、α１８０は地表面から高さｎｈｋｍの
上空の大気圏外平面平行層への電波の屈折角である。ス
ネルの法則から、平行平面層（ｉ＝１〜１２）において
は、 ｎ１８Ｂｓｉｎα１８Ｂ＝ｎ１８１ｓｉｎα１８１＝ｎ
１８２ｓｉｎα１８２・・・・・＝ｎ１８ｉｓｉｎα
１８ｉ＝・・・・・＝ｎ１８１２ｓｉｎα１８１２＝ｎ
１８０ｓｉｎα１８０ ｎ１８０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。
又、ｎ１８Ｂは点Ｗ１４における大気ガスの屈折率であ
り、点Ｗ１４の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定する
ことにより求まる。ｎ１８１，ｎ１８２，・・・・・ｎ
１８ｉ・・・・・ｎ１８１２はｎ１８Ｂ及び点Ｗ１４の
上空１ｋｍの大気ガスの屈折指数が判れば、実験式より
求まる。平行球面層（ｉ＝１２〜５００）においては、 （ｎ１８１２＋１２／ａ）ｓｉｎα１８１２＝（ｎ
１８１３＋１３／ａ）ｓｉｎα１８１３＝・・・・・＝
（ｎ１８ｉ＋ｉ／ａ）ｓｉｎα１８ｉ＝・・・・・・＝
（ｎ１８５００＋５００／ａ）ｓｉｎα１８５００＝ｎ
１８０ｓｉｎα１８０ 但し、ａは地球の半径、ｎ１８１２，ｎ１８１３，・・
・・ｎ１８ｉ・・・・ｎ１８５００は成層圏の大気ガス
屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より安定して
おり、実験的に求めておく。又、α１８０は仰角の計算
方法から、 ｃｏｓα１８０＝ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／｛（（Ｔｐ１２＋Δ τ）−ＴＷＺ）（ｃ±Ｖ）｝ より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、Ｋはα１８０
に対応する比例定数である。以上から、Ｌ１８は定ま
る。即ち、点ＷＺと点Ｐ１３との間の距離Ｌ１８が確定
する。 ▲１４▼点ＷＺと点Ｗ１４との間の距離をＬ２２とす
る。 Ｌ２２＝Ｖ（ＴＷ１４−ＴＷＺ） Ｖは地球の自転速度。ＴＷ１４は送信機アンテナ位置Ｍ
１１から時刻ＴＭ１１のとき放射された電波が、電波中
継機経由地上局アンテナ位置Ｗ１４に到達した時刻。Ｔ
ＷＺは電波中継機アンテナ位置Ｐ１３に到達した時刻が
ＴＰ１２＋Δτであるように、固定地上局アンテナ位置
ＷＺから放射された電波の放射時刻。 ▲１５▼時刻ＴＷ１４のときの固定地上局の位置Ｗ１４
を原点として、時刻ＴＴＰ１２＋Δτのときの電波中継
機の位置Ｐ１３の座標をＰ１３（ＸＰ１３，ＹＰ１３，
ＺＰ１３）とする。点Ｐ１３から放射された電波が、固
定地上局の位置Ｗ１４に到達したときの電波の仰角をβ
３ｎとすると、項より、仰角β３ｎは確定しているか
ら、 ＸＰ１３ ２＋ＹＰ１３ ２＋ＺＰ１３ ２＝Ｌ３ ２・・・・・・・・・・ ・・・（Ｈ−１） ＸＰ１３ ２＋（ＹＰ１３−Ｌ２２）２＋ＺＰ１３ ２＝Ｌ１８ ２・・・ ・・・・・・・・・・（Ｈ−２） ＺＰ１３＝Ｌ３ｓｉｎβ３ｎ・・・・・・・・・・・・・（Ｈ−３） 式（Ｈ−１），（Ｈ−２）より、 ＹＰ１３＝（Ｌ３ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ２２ ２）／２Ｌ２２・・・・・・ ・・・・・・（Ｈ−４） 式（Ｈ−１），（Ｈ−３）及び（Ｈ−４）より、 ＸＰ１３＝〔Ｌ３ ２−｛（Ｌ３ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ２２ ２）／２Ｌ２２ ｝２−Ｌ３ ２ｓｉｎ２β３ｎ〕１／２・・・・・・（Ｈ−５） Ｌ３、Ｌ１８、Ｌ２２及びβ３ｎは確定しているから、
点Ｐ１３の座標Ｐ１３（ＸＰ１３，ＹＰ１３，
ＺＰ１３）も確定する。 ▲１６▼点Ｐ１２と点Ｐ１３との間の距離をＬ２とす
る。 Ｌ２＝｛（ＸＰ１２−ＸＰ１３）２＋（ＹＰ１２−ＹＰ１３）２＋（ ＺＰ１２−ＺＰ１３）２｝１／２ 点Ｐ１２及及び点Ｐ１３の座標は確定しているから，Ｌ
２も確定する。 ▲１７▼点Ｐ１２から点ＭＹを通る水平面に垂線を下ろ
し、その足を点Ｑ１２とする。時刻ＴＭ１１のとき、送
信機アンテナ位置Ｍ１１から電波中継機に向け放射され
た電波は、時刻ＴＰ１２のとき、この電波中継機に到達
する。この時刻ＴＰ１２のとき、この電波中継機から地
上の受信モードにある測量者に向け放射される電波を選
択する。この選択された電波が、地上の受信モードにあ
る測量者に到達する時刻をＴＭＹとする。点Ｐ１２と点
Ｑ１２との間の距離をＬ１０Ｚとすると、 Ｌ１０Ｚ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＭＹ−ＴＰ１２）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃ ｏｓα１０ｉ）｝ｃｏｓα１００ ｎｈは点ＭＹから高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、α１０ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各大気圏平行平
面層への電波の屈折角、α１００は地表面から高さｎｈ
ｋｍの上空の大気圏平行平面層への電波の入射角であ
る。項からＬ１０Ｚは確定する。
【０００８】（５）．電波伝搬制御による前記物体の三
次元位置の確定 点Ｗ１４を原点として、点Ｍ１１の座標Ｍ１１（Ｘ，
Ｙ，Ｚ）を求める。点Ｍ１１は、中心が点Ｐ１２、半径
がＬ１の球と中心が点Ｐ１３、半径がＬ８の球が交差し
て生じる円と点ＭＹを通る水平面との交点であるから、 （Ｘ−ＸＰ１２）２＋（Ｙ−ＹＰ１２）２＋（Ｚ−ＺＰ１２）２＝Ｌ１ ２ ・・・・・・・・・・・（Ｋ−１） （Ｘ−ＸＰ１３）２＋（Ｙ−ＹＰ１３）２＋（Ｚ−ＺＰ１３）２＝Ｌ８ ２ ・・・・・・・・・・・（Ｋ−２） Ｚ＝ＺＰ１２−Ｌ１０Ｚ・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−３） （Ｋ−１），（Ｋ−２）より、 ２（ＸＰ１３−ＸＰ１２）Ｘ＋２（ＹＰ１３−ＹＰ１２）Ｙ＋２（ＺＰ１３ −ＺＰ１２）Ｚ＝Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−（ＸＰ１２ ２＋ＹＰ１２ ２＋ＺＰ１２ ２ ）＋（ＸＰ１３ ２＋ＹＰ１３ ２＋ＺＰ１３ ２）・・・・・（Ｋ−４） ▲１１▼項より、 ＸＰ１２ ２＋ＹＰ１２ ２＋ＺＰ１２ ２＝Ｌ１３ ２・・・・・・・・・ ・・・・（Ｋ−５） ▲１５▼項より、 ＸＰ１３ ２＋ＹＰ１３ ２＋ＺＰ１３ ２＝Ｌ３ ２・・・・・・・・・・ ・（Ｋ−６） （Ｋ−５），（Ｋ−６）を（Ｋ−４）へ代入して、 （ＸＰ１３−ＸＰ１２）Ｘ＋（ＹＰ１３−ＹＰ１２）Ｙ＋（ＺＰ１３ −ＺＰ１２）Ｚ＝（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ３ ２）／２・・・・・・・・ ・・・・・（Ｋ−７） ＸＰ１２，ＸＰ１３， ＹＰ１２，ＹＰ１３，ＺＰ１２
およびＺＰ１３は、▲１１▼項、▲１５▼項及び▲１２
▼項から確定しているから、ＸＰ１３−ＸＰ１２＝ａ，
ＹＰ１３−ＹＰ１２＝ｂ及びＺＰ１３−ＺＰ１２＝ｄと
おくと、（Ｋ−７）は、 ａＸ＋ｂＹ＋ｄＺ＝（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ３ ２）／２ Ｙ＝｛（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋Ｌ１３ ２）／２−ａＸ−ｄＺ｝／ｂ・・・・ ・・・・・・・・（Ｋ−８） （Ｋ−３）及び２９頁▲１７▼項より、Ｚは確定してい
る。（Ｋ−３）を（Ｋ−１）、（Ｋ−２）へ代入して、 （Ｘ−ＸＰ１２）２＋（Ｙ−ＹＰ１２）２＋（ＺＰ１２−Ｌ１０Ｚ− ＺＰ１２）２＝Ｌ１ ２・・・・・・・・（Ｋ−９） （Ｘ−ＸＰ１３）２＋（Ｙ−ＹＰ１３）２＋（ＺＰ１２−Ｌ１０Ｚ− ＺＰ１３）２＝Ｌ８ ２・・・・・・・（Ｋ１０） （Ｋ−９）より、 （Ｘ−ＸＰ１２）２＋（Ｙ−ＹＰ１２）２＋Ｌ１０Ｚ ２＝Ｌ１ ２・・ ・・・・・・・・・（Ｋ−１１） （Ｋ−１０）より、 （Ｘ−ＸＰ１３）２＋（Ｙ−ＹＰ１３）２＋（ＺＰ１２−ＺＰ１３）２ −２（ＺＰ１２−ＺＰ１３）Ｌ１０Ｚ＋Ｌ１０Ｚ ２＝Ｌ８ ２ ＺＰ１３−ＺＰ１２＝ｄから、 （Ｘ−ＸＰ１３）２＋（Ｙ−ＹＰ１３）２＋ｄ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋Ｌ１０Ｚ ２ ＝Ｌ８ ２・・・・・・・・・・（Ｋ−１２） （Ｋ−１１）−（Ｋ−１２）から、 ２ａＸ＋２ｂＹ＝Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａ（ＸＰ１ ２ ＋ＸＰ１３）＋ｂ（ＹＰ１２＋ＹＰ１３）・・・・・（Ｋ−１３） ＸＰ１２＋ＸＰ１３＝ｅ、ＹＰ１２＋ＹＰ１３＝ｆとす
ると、（Ｋ−１３）は、 ２ａＸ＋２ｂＹ＝Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ Ｙ＝（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ａＸ）／２ｂ ・・・・・・・・・（Ｋ−１４） （Ｋ−１４）を（Ｋ−１）へ代入する。 （Ｘ−ＸＰ１２）２＋｛（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂ ｆ−２ａＸ）／２ｂ−ＹＰ１２｝２＋（ＺＰ１２−Ｌ１０Ｚ−ＺＰ１２）２＝Ｌ１ ２ （１＋ａ２／ｂ２）Ｘ２＋２｛（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２−ＸＰ１２）｝Ｘ＋（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄ Ｌ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２）２／４ｂ２＋ＸＰ１２ ２＋Ｌ１０ Ｚ ２ −Ｌ１ ２＝０ Ｘ＝［−（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ− ２ｂＹＰ１２−ＸＰ１２）±〔｛（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２−ＸＰ１２）｝２−（１＋ａ２／ｂ２）｛（Ｌ１ ２ −Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２）２／４ｂ２） ＋ＸＰ１２ ２＋Ｌ１０Ｚ ２−Ｌ１ ２｝〕１／２］／（１＋ａ２／ｂ２）・・・・ ・・・・・・・・・（Ｋ−１５） （Ｋ−１５）を（Ｋ−８）へ代入する。 Ｙ＝（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ３ ２）／２−ａ［−（ａ／ｂ）（ Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２−ＸＰ１２） ±〔｛（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２ −ＸＰ１２）｝２−（１＋ａ２／ｂ２）｛（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０ Ｚ ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２）２／４ｂ２）＋ＸＰ１２ ２＋Ｌ１０Ｚ ２ −Ｌ１ ２｝〕１／２］ 従って、点Ｍ１１の位置は確定する。
次元位置の確定 点Ｗ１４を原点として、点Ｍ１１の座標Ｍ１１（Ｘ，
Ｙ，Ｚ）を求める。点Ｍ１１は、中心が点Ｐ１２、半径
がＬ１の球と中心が点Ｐ１３、半径がＬ８の球が交差し
て生じる円と点ＭＹを通る水平面との交点であるから、 （Ｘ−ＸＰ１２）２＋（Ｙ−ＹＰ１２）２＋（Ｚ−ＺＰ１２）２＝Ｌ１ ２ ・・・・・・・・・・・（Ｋ−１） （Ｘ−ＸＰ１３）２＋（Ｙ−ＹＰ１３）２＋（Ｚ−ＺＰ１３）２＝Ｌ８ ２ ・・・・・・・・・・・（Ｋ−２） Ｚ＝ＺＰ１２−Ｌ１０Ｚ・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−３） （Ｋ−１），（Ｋ−２）より、 ２（ＸＰ１３−ＸＰ１２）Ｘ＋２（ＹＰ１３−ＹＰ１２）Ｙ＋２（ＺＰ１３ −ＺＰ１２）Ｚ＝Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−（ＸＰ１２ ２＋ＹＰ１２ ２＋ＺＰ１２ ２ ）＋（ＸＰ１３ ２＋ＹＰ１３ ２＋ＺＰ１３ ２）・・・・・（Ｋ−４） ▲１１▼項より、 ＸＰ１２ ２＋ＹＰ１２ ２＋ＺＰ１２ ２＝Ｌ１３ ２・・・・・・・・・ ・・・・（Ｋ−５） ▲１５▼項より、 ＸＰ１３ ２＋ＹＰ１３ ２＋ＺＰ１３ ２＝Ｌ３ ２・・・・・・・・・・ ・（Ｋ−６） （Ｋ−５），（Ｋ−６）を（Ｋ−４）へ代入して、 （ＸＰ１３−ＸＰ１２）Ｘ＋（ＹＰ１３−ＹＰ１２）Ｙ＋（ＺＰ１３ −ＺＰ１２）Ｚ＝（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ３ ２）／２・・・・・・・・ ・・・・・（Ｋ−７） ＸＰ１２，ＸＰ１３， ＹＰ１２，ＹＰ１３，ＺＰ１２
およびＺＰ１３は、▲１１▼項、▲１５▼項及び▲１２
▼項から確定しているから、ＸＰ１３−ＸＰ１２＝ａ，
ＹＰ１３−ＹＰ１２＝ｂ及びＺＰ１３−ＺＰ１２＝ｄと
おくと、（Ｋ−７）は、 ａＸ＋ｂＹ＋ｄＺ＝（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ３ ２）／２ Ｙ＝｛（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋Ｌ１３ ２）／２−ａＸ−ｄＺ｝／ｂ・・・・ ・・・・・・・・（Ｋ−８） （Ｋ−３）及び２９頁▲１７▼項より、Ｚは確定してい
る。（Ｋ−３）を（Ｋ−１）、（Ｋ−２）へ代入して、 （Ｘ−ＸＰ１２）２＋（Ｙ−ＹＰ１２）２＋（ＺＰ１２−Ｌ１０Ｚ− ＺＰ１２）２＝Ｌ１ ２・・・・・・・・（Ｋ−９） （Ｘ−ＸＰ１３）２＋（Ｙ−ＹＰ１３）２＋（ＺＰ１２−Ｌ１０Ｚ− ＺＰ１３）２＝Ｌ８ ２・・・・・・・（Ｋ１０） （Ｋ−９）より、 （Ｘ−ＸＰ１２）２＋（Ｙ−ＹＰ１２）２＋Ｌ１０Ｚ ２＝Ｌ１ ２・・ ・・・・・・・・・（Ｋ−１１） （Ｋ−１０）より、 （Ｘ−ＸＰ１３）２＋（Ｙ−ＹＰ１３）２＋（ＺＰ１２−ＺＰ１３）２ −２（ＺＰ１２−ＺＰ１３）Ｌ１０Ｚ＋Ｌ１０Ｚ ２＝Ｌ８ ２ ＺＰ１３−ＺＰ１２＝ｄから、 （Ｘ−ＸＰ１３）２＋（Ｙ−ＹＰ１３）２＋ｄ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋Ｌ１０Ｚ ２ ＝Ｌ８ ２・・・・・・・・・・（Ｋ−１２） （Ｋ−１１）−（Ｋ−１２）から、 ２ａＸ＋２ｂＹ＝Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａ（ＸＰ１ ２ ＋ＸＰ１３）＋ｂ（ＹＰ１２＋ＹＰ１３）・・・・・（Ｋ−１３） ＸＰ１２＋ＸＰ１３＝ｅ、ＹＰ１２＋ＹＰ１３＝ｆとす
ると、（Ｋ−１３）は、 ２ａＸ＋２ｂＹ＝Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ Ｙ＝（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ａＸ）／２ｂ ・・・・・・・・・（Ｋ−１４） （Ｋ−１４）を（Ｋ−１）へ代入する。 （Ｘ−ＸＰ１２）２＋｛（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂ ｆ−２ａＸ）／２ｂ−ＹＰ１２｝２＋（ＺＰ１２−Ｌ１０Ｚ−ＺＰ１２）２＝Ｌ１ ２ （１＋ａ２／ｂ２）Ｘ２＋２｛（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２−ＸＰ１２）｝Ｘ＋（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄ Ｌ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２）２／４ｂ２＋ＸＰ１２ ２＋Ｌ１０ Ｚ ２ −Ｌ１ ２＝０ Ｘ＝［−（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ− ２ｂＹＰ１２−ＸＰ１２）±〔｛（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２−ＸＰ１２）｝２−（１＋ａ２／ｂ２）｛（Ｌ１ ２ −Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２）２／４ｂ２） ＋ＸＰ１２ ２＋Ｌ１０Ｚ ２−Ｌ１ ２｝〕１／２］／（１＋ａ２／ｂ２）・・・・ ・・・・・・・・・（Ｋ−１５） （Ｋ−１５）を（Ｋ−８）へ代入する。 Ｙ＝（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ３ ２）／２−ａ［−（ａ／ｂ）（ Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２−ＸＰ１２） ±〔｛（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２ −ＸＰ１２）｝２−（１＋ａ２／ｂ２）｛（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０ Ｚ ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２）２／４ｂ２）＋ＸＰ１２ ２＋Ｌ１０Ｚ ２ −Ｌ１ ２｝〕１／２］ 従って、点Ｍ１１の位置は確定する。
【０００９】２ 計時機構の同期の取り方 固定地上局、衛星に搭載されている電波中継機及び位置
を突き止めようとする物体は、各々独自の精密な計時機
構を持つ。いま、これら計時機構の同期の取り方につい
て説明する。 （１）．位置を突き止めようとする物体の計時機構と固
定地上局の計時機構との同期化 位置を突き止めようとする物体（以後、前記物体と呼称
する。）と固定地上局（以後、前記固定地上局と呼称す
る。）とから同時刻に衛星に搭載されている電波中継機
（以後、前記電波中継機と呼称する。）に向け電波を放
射する。この二つの電波は前記電波中継機経由、前記固
定地上局と前記物体で受信される。前記物体Ｍ１１から
放射された電波が伝搬して、前記電波中継機Ｐ１２に到
達したときに、該電波中継機から前記固定地上局Ｗ１Ｙ
に向け放射される電波を選択する。この選択された電波
の前記電波中継機からの放射時刻ＴＰ１２、前記固定地
上局への到達時刻ＴＷ１Ｙ、方位角βＷ１Ｙ及び仰角α
Ｗ１Ｙは、前記固定地上局に接続されている電子計算機
の記憶装置上に記録される。該電波が、前記電波中継機
に到達後、電波中継時間経過すると、再び前記電波中継
機Ｐ１３より前記固定地上局Ｗ１４へ向け電波が放射さ
れる。この電波の前記電波中継機からの放射時刻Ｔ
Ｐ１３，前記固定地上局への到達時刻ＴＷ１４及び前記
固定地上局に於ける仰角αＷ１４及び方位角βＷ１４を
前記固定地上局に接続されている電子計算機の記憶装置
上に記憶しておく。又、前記固定地上局Ｗ１１から放射
された電波が伝搬して、前記電波中継機Ｐ２２に到達し
たときに、該電波中継機から前期固定地上局Ｗ２Ｙに向
け放射される電波を選択する。この選択された電波の前
記電波中継機からの放射時刻ＴＰ２２、前記固定地上局
への到達時刻ＴＷ２Ｙ、方位角βＷ２Ｙ、及び仰角α
Ｗ２Ｙは、固定地上局に接続さた電子計算機の記憶装置
上に記録される。該電波が、前記電波中継機に到達後、
電波中継時間経過したとき、前記物体Ｍ２４に向け放射
される電波の外に、前記固定地上局Ｗ３Ｙへ向け放射さ
れる電波がある。この前記固定地上局へ向け放射される
電波の前記電波中継機からの放射時刻ＴＰ２３，前記固
定地上局への到達時刻ＴＷ３Ｙ及び前記固定地上局に於
ける仰角αＷ３Ｙ，方位角βＷ３Ｙを、前記固定地上局
に接続されている電子計算機の記憶装置上に記憶してお
く。（表４参照） 点Ｐ１２の点Ｗ１Ｙを原点としたときの座標をＰ１２
（ＸＰ１２，ＹＰ１２，ＺＰ１２），点Ｐ１３の点Ｗ１
４を原点としたときの座標をＰ１３（ＸＰ１３，Ｙ
Ｐ１３，ＺＰ１３），点Ｐ２２の点Ｗ２Ｙを原点とした
ときの座標をＰ２２（ＸＰ２２，ＹＰ２２，ＺＰ２２）
及び点Ｐ２３の点Ｗ３Ｙを原点としたときの座標をＰ２
３（ＸＰ２３，ＹＰ２３，ＺＰ２３）とする。大気ガス
の屈折率による電波経路長の誤差を無視すると（図８参
照） 点Ｐ１２と点Ｗ１Ｙとの間の見かけの最短距離はｃ（Ｔ
Ｗ１Ｙ−ＴＰ１２）であるから、 ＸＰ１２＝ｃ（ＴＷ１Ｙ−ＴＰ１２）ｃｏｓαＷ１Ｙ・ｓｉｎβＷ１ Ｙ ＹＰ１２ ＝ｃ（ＴＷ１Ｙ−ＴＰ１２）ｃｏｓαＷ１Ｙ・ｃｏｓβＷ１ Ｙ ＺＰ１２＝ｃ（ＴＷ１Ｙ−ＴＰ１２）ｓｉｎαＷ１Ｙ Ｔ Ｗ１Ｙ −ＴＰ１２＝ＴＷ３Ｙ−ＴＰ２３，αＷ１Ｙ＝αＷ３Ｙ （１） ＴＷ２Ｙ−ＴＰ２２＝ＴＷ１４−ＴＰ２３、αＷ１４＝αＷ２Ｙ （２） ならば、電波経路Ｍ１１→Ｐ１２→Ｐ１３→Ｗ１４と電
波経路Ｗ１１→Ｐ２２→Ｐ２３→Ｍ２４は時間的に等長
であり、前記物体への電波の到達時刻ＴＭ２４と固定地
上局への電波の到達時刻ＴＷ１４との間に差異があれ
ば、その差異が前記物体と固定地上局の各経時機構の時
間的なずれとなる。故に、上式（１）、（２）の関係を
満足するような電波を、固定地上局に接続されている電
子計算機の記憶装置の中から選択し、前記物体の経時機
構と固定地上局の経時機構の同期化を計る。
を突き止めようとする物体は、各々独自の精密な計時機
構を持つ。いま、これら計時機構の同期の取り方につい
て説明する。 （１）．位置を突き止めようとする物体の計時機構と固
定地上局の計時機構との同期化 位置を突き止めようとする物体（以後、前記物体と呼称
する。）と固定地上局（以後、前記固定地上局と呼称す
る。）とから同時刻に衛星に搭載されている電波中継機
（以後、前記電波中継機と呼称する。）に向け電波を放
射する。この二つの電波は前記電波中継機経由、前記固
定地上局と前記物体で受信される。前記物体Ｍ１１から
放射された電波が伝搬して、前記電波中継機Ｐ１２に到
達したときに、該電波中継機から前記固定地上局Ｗ１Ｙ
に向け放射される電波を選択する。この選択された電波
の前記電波中継機からの放射時刻ＴＰ１２、前記固定地
上局への到達時刻ＴＷ１Ｙ、方位角βＷ１Ｙ及び仰角α
Ｗ１Ｙは、前記固定地上局に接続されている電子計算機
の記憶装置上に記録される。該電波が、前記電波中継機
に到達後、電波中継時間経過すると、再び前記電波中継
機Ｐ１３より前記固定地上局Ｗ１４へ向け電波が放射さ
れる。この電波の前記電波中継機からの放射時刻Ｔ
Ｐ１３，前記固定地上局への到達時刻ＴＷ１４及び前記
固定地上局に於ける仰角αＷ１４及び方位角βＷ１４を
前記固定地上局に接続されている電子計算機の記憶装置
上に記憶しておく。又、前記固定地上局Ｗ１１から放射
された電波が伝搬して、前記電波中継機Ｐ２２に到達し
たときに、該電波中継機から前期固定地上局Ｗ２Ｙに向
け放射される電波を選択する。この選択された電波の前
記電波中継機からの放射時刻ＴＰ２２、前記固定地上局
への到達時刻ＴＷ２Ｙ、方位角βＷ２Ｙ、及び仰角α
Ｗ２Ｙは、固定地上局に接続さた電子計算機の記憶装置
上に記録される。該電波が、前記電波中継機に到達後、
電波中継時間経過したとき、前記物体Ｍ２４に向け放射
される電波の外に、前記固定地上局Ｗ３Ｙへ向け放射さ
れる電波がある。この前記固定地上局へ向け放射される
電波の前記電波中継機からの放射時刻ＴＰ２３，前記固
定地上局への到達時刻ＴＷ３Ｙ及び前記固定地上局に於
ける仰角αＷ３Ｙ，方位角βＷ３Ｙを、前記固定地上局
に接続されている電子計算機の記憶装置上に記憶してお
く。（表４参照） 点Ｐ１２の点Ｗ１Ｙを原点としたときの座標をＰ１２
（ＸＰ１２，ＹＰ１２，ＺＰ１２），点Ｐ１３の点Ｗ１
４を原点としたときの座標をＰ１３（ＸＰ１３，Ｙ
Ｐ１３，ＺＰ１３），点Ｐ２２の点Ｗ２Ｙを原点とした
ときの座標をＰ２２（ＸＰ２２，ＹＰ２２，ＺＰ２２）
及び点Ｐ２３の点Ｗ３Ｙを原点としたときの座標をＰ２
３（ＸＰ２３，ＹＰ２３，ＺＰ２３）とする。大気ガス
の屈折率による電波経路長の誤差を無視すると（図８参
照） 点Ｐ１２と点Ｗ１Ｙとの間の見かけの最短距離はｃ（Ｔ
Ｗ１Ｙ−ＴＰ１２）であるから、 ＸＰ１２＝ｃ（ＴＷ１Ｙ−ＴＰ１２）ｃｏｓαＷ１Ｙ・ｓｉｎβＷ１ Ｙ ＹＰ１２ ＝ｃ（ＴＷ１Ｙ−ＴＰ１２）ｃｏｓαＷ１Ｙ・ｃｏｓβＷ１ Ｙ ＺＰ１２＝ｃ（ＴＷ１Ｙ−ＴＰ１２）ｓｉｎαＷ１Ｙ Ｔ Ｗ１Ｙ −ＴＰ１２＝ＴＷ３Ｙ−ＴＰ２３，αＷ１Ｙ＝αＷ３Ｙ （１） ＴＷ２Ｙ−ＴＰ２２＝ＴＷ１４−ＴＰ２３、αＷ１４＝αＷ２Ｙ （２） ならば、電波経路Ｍ１１→Ｐ１２→Ｐ１３→Ｗ１４と電
波経路Ｗ１１→Ｐ２２→Ｐ２３→Ｍ２４は時間的に等長
であり、前記物体への電波の到達時刻ＴＭ２４と固定地
上局への電波の到達時刻ＴＷ１４との間に差異があれ
ば、その差異が前記物体と固定地上局の各経時機構の時
間的なずれとなる。故に、上式（１）、（２）の関係を
満足するような電波を、固定地上局に接続されている電
子計算機の記憶装置の中から選択し、前記物体の経時機
構と固定地上局の経時機構の同期化を計る。
【００１０】（２）．衛星に搭載されている電波中継機
の同期化（図９参照） 前記物体からＴＭ０１のとき、前記電波中継機に向け電
波を放射する。該電波が前記電波中継機に到達する時刻
をＴＰ０２とする。又、前記固定地上局から時刻Ｔ
Ｗ０１のとき、前記電波中継機に向け電波を放射する。
該電波が前記電波中継機に到達する時刻がＴＰ０２とな
るように前記固定地上局から放射するものとする。前記
物体と前記電波中継機との間の距離をＬ１とする。又、
前記電波中継機が時刻ＴＰ０２＋αのときの位置と時刻
ＴＷ０４のときの前記固定地上局との間の距離をＬ２と
する。但し、αは前記電波中継機の電波中継時間であ
り、又ＴＷ０４は前記物体から、時刻ＴＭ０１のとき放
射された電波が、前記電波中継機経由前記固定地上局に
到達する時刻である。 Ｌ１＝ｃ（ＴＰ０２−ＴＭ０１） （４） Ｌ２＝ｃ（ＴＰ０２−ＴＷ０１） （５） Ｌ１＋Ｌ２＝ｃ（ＴＷ０４−ＴＭ０１−α） （６） （４）、（５）、（６）から ＴＰ０２＝（ＴＷ０４＋ＴＷ０１−α）／２ 故に、ＴＷ０４、ＴＷ０１及びαは既知であるから、時
刻ＴＰ０２の真値が確定する。従って、この真値により
前記電波中継機の経時機構を補正する。但し、前記物体
より放射された電波が、前記電波中継機に到達したとき
の前記電波中継器の位置と、該電波が前記電波中継機に
到達後、前記電波中継機の電波中継時間経過したときの
前記電波中継機との位置とが、前記固定地上局からみ
て、相対的に同位置にある電波を選択する。即ち、電波
伝搬時間及び仰角の等しい二つの電波を選択するという
ことである。
の同期化（図９参照） 前記物体からＴＭ０１のとき、前記電波中継機に向け電
波を放射する。該電波が前記電波中継機に到達する時刻
をＴＰ０２とする。又、前記固定地上局から時刻Ｔ
Ｗ０１のとき、前記電波中継機に向け電波を放射する。
該電波が前記電波中継機に到達する時刻がＴＰ０２とな
るように前記固定地上局から放射するものとする。前記
物体と前記電波中継機との間の距離をＬ１とする。又、
前記電波中継機が時刻ＴＰ０２＋αのときの位置と時刻
ＴＷ０４のときの前記固定地上局との間の距離をＬ２と
する。但し、αは前記電波中継機の電波中継時間であ
り、又ＴＷ０４は前記物体から、時刻ＴＭ０１のとき放
射された電波が、前記電波中継機経由前記固定地上局に
到達する時刻である。 Ｌ１＝ｃ（ＴＰ０２−ＴＭ０１） （４） Ｌ２＝ｃ（ＴＰ０２−ＴＷ０１） （５） Ｌ１＋Ｌ２＝ｃ（ＴＷ０４−ＴＭ０１−α） （６） （４）、（５）、（６）から ＴＰ０２＝（ＴＷ０４＋ＴＷ０１−α）／２ 故に、ＴＷ０４、ＴＷ０１及びαは既知であるから、時
刻ＴＰ０２の真値が確定する。従って、この真値により
前記電波中継機の経時機構を補正する。但し、前記物体
より放射された電波が、前記電波中継機に到達したとき
の前記電波中継器の位置と、該電波が前記電波中継機に
到達後、前記電波中継機の電波中継時間経過したときの
前記電波中継機との位置とが、前記固定地上局からみ
て、相対的に同位置にある電波を選択する。即ち、電波
伝搬時間及び仰角の等しい二つの電波を選択するという
ことである。
【００１１】３ 大気屈折率による衛星の位置誤差の補
正 電波の通る空間を固定地上局Ｑｎを通る地表面に平行な
厚さｈの平面層に分割する。そして各平行平面層の屈折
率をそれぞれｎ０、ｎ１、・・・・・、ｎｎとする。衛
星の実際の位置をＰ１、衛星の見かけの位置をＰ２とす
る。衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波の、屈折
率ｎ０の媒質から屈折率ｎ１の媒質への入射点をＱ０、
屈折率ｎ１の媒質から屈折率ｎ２の媒質への入射点をＱ
１、屈折率ｎ２の媒質から屈折率ｎ３の媒質への入射点
をＱ２、屈折率ｎ３の媒質から屈折率ｎ４の媒質への入
射点をＱ４、・・・・・屈折率ｎｉ−１から屈折率ｎｉ
の媒質への入射点をＱｉ−１、・・・・・地表面への入
射点、即ち、固定地上局の位置をＱｎとする。点Ｑ０か
ら屈折率ｎ１とｎ２の界面に下ろした垂線の足を
Ｎ１）、点Ｑ１から屈折率ｎ２とｎ３の界面に下ろした
垂線の足をＮ２、Ｑ２から屈折率ｎ３とｎ４の界面に下
ろした垂線の足をＮ３、・・・・・点Ｑｉから屈折率ｎ
ｉ＋１とｎｉ＋２の界面に下ろした垂線の足をＮｉ＋１
・・・・点Ｑｎ−１から地表面に下ろした垂線の足をＮ
ｎ、又、Ｑ０から地表面に下ろした垂線の足をＩとす
る。衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波の屈折率
ｎ０の媒質と屈折率ｎ１の媒質の界面への入射角を
α０、屈折角をα１、屈折率ｎ１の媒質と屈折率ｎ２の
媒質の界面への屈折角をα２，屈折率ｎ２の媒質と屈折
率ｎ３の媒質の界面への屈折角をα３、・・・・・、屈
折率ｎｉ−１の媒質と屈折率ｎｉの媒質の界面への屈折
角をαｉ、・・・・・、屈折率ｎｎ−１の媒質と屈折率
ｎｎの媒質の界面への屈折率をαｎとする。逆に地表面
から衛星に向け電波を放射する場合、屈折率ｎ１からｎ
ｎまでの媒質中に於いては、屈折角を入射角に置き換え
れば良い。又屈折率ｎ０の媒質への屈折角はα０とな
る。衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波が、屈折
率ｎ０の媒質から折率ｎ１の媒質へ入射した時、その入
射点Ｑ１で屈折せずそのまま直進して地表面に到達した
と仮定して、地表面への入射点をＪとする。屈折率ｎ０
の界面から地表面までにある厚さｈの平行平面層の個数
をｎとして、 ＩＪ／ＩＱ０＝ｔａｎα０ ∴ＩＪ＝ＩＱ０ｔａｎα０＝ｎｈ・ｔａｎα０ Ｎ１Ｑ１／Ｎ１Ｑ０＝ｔａｎα１ ∴Ｎ１Ｑ１＝Ｎ１Ｑ０ｔａｎα１＝ｈ・ｔａｎα１ Ｎ２Ｑ２／Ｎ２Ｑ１＝ｔａｎα２ ∴Ｎ２Ｑ２＝Ｎ２Ｑ１ｔａｎα２＝ｈ・ｔａｎα２ Ｎ３Ｑ３／Ｎ３Ｑ２＝ｔａｎα３ ∴Ｎ３Ｑ３＝Ｎ３Ｑ２ｔａｎα３＝ｈ・ｔａｎα３ ・ ・ ＮｉＱｉ／ＮｉＱｉ−１＝ｔａｎαｉ ∴ＮｉＱｉ＝ＮｉＱｉ−１ｔａｎαｉ＝ｈ・ｔａｎαｉ ・ ・ ＮｎＱｎ／ＮｎＱｎ−１＝ｔａｎαｎ ∴ＮｎＱｎ＝ＮｎＱｎ−１ｔａｎαｎ＝ｈ・ｔａｎαｎ ＩＱｎ＝Ｎ１Ｑ１＋Ｎ２Ｑ２＋Ｎ３Ｑ３＋・・・・＋ＮｉＱｉ＋・・・ ・ＮｎＱｎ ＝ｈ（ｔａｎα１＋ｔａｎα２＋ｔａｎα３＋・・・・・＋ｔａｎαｉ ＋・・・・・＋ｔａｎαｎ） ＪＱｎ＝ＩＪ−ＩＱｎ＝ｎｈ・ｔａｎα０−ｈ（ｔａｎα１＋ｔａｎα２ ＋ｔａｎα３＋・・・・・＋ｔａｎαｉ＋・・・・・ｔａｎαｎ） ＝ｈ ｛ｎｔａｎα０−（ｔａｎα１＋ｔａｎα２＋ｔａｎα３＋・・・・・＋ｔａｎ αｉ＋・・・・・ｔａｎαｎ）｝ Ｎ１Ｑ０／Ｑ０Ｑ１＝ｃｏｓα１ ∴Ｑ０Ｑ１＝Ｎ１Ｑ０／ｃｏｓα１＝ｈ／ｃｏｓα１ 電波がＱ０Ｑ１を通過するのに要する時間をｔ１とする
と、電波伝搬速度をｃとして ｃｔ１＝Ｑ０Ｑ１ ∴ｔ１＝Ｑ０Ｑ１／ｃ＝ｈ／（ｃｏｓα１・
ｃ） Ｎ２Ｑ１／Ｑ１Ｑ２＝ｃｏｓα２ ∴Ｑ１Ｑ２＝Ｎ２Ｑ１／ｃｏｓα２＝ｈ／ｃｏ
ｓα２ 電波がＱ１Ｑ２を通過するのに要する時間をｔ２とする
と、電波伝搬速度をｃとして ｃｔ２＝Ｑ１Ｑ２ ∴ｔ２＝Ｎ２Ｑ１／ｃｏｓα２・ｃ＝ｈ／（ｃｏｓα２・ｃ） Ｎ３Ｑ２／Ｑ２Ｑ３＝ｃｏｓα３ ∴Ｑ２Ｑ３＝Ｎ３Ｑ２／ｃｏｓα３＝ｈ／ｃｏｓα３ 電波がＱ２Ｑ３を通過するのに要する時間をｔ３とする
と、電波伝搬速度をｃとして ｃｔ３＝Ｑ２Ｑ３ ∴ｔ３＝Ｑ２Ｑ３／ｃ＝ｈ／（ｃｏｓα３・
ｃ） ・ ・ ＮｉＱｉ−１／Ｑｉ−１Ｑｉ＝ｃｏｓαｉ ∴Ｑｉ−１Ｑ１＝ＮｉＱｉ−１／ｃｏｓαｉ 電波がＱｉ−１Ｑｉを通過するに要する時間をｔｉとす
ると、電波伝搬速度をｃとして ｃｔｉ＝Ｑｉ−１Ｑｉ ∴ｔ１＝Ｑｉ−１Ｑ１＝ｈ／（ｃｏｓαｉ・ｃ） ・ ・ ＮｎＱｎ−１／Ｑｎ−１Ｑｎ＝ｃｏｓαｎ ∴Ｑ ｎ−１ Ｑｎ＝ＮｎＱｎ−１／ｃｏｓαｎ＝ｈ／ｃｏｓαｎ 電波がＱｎ−１Ｑｎを通過するに要する時間をｔｎとす
ると、電波伝搬速度をｃとして ｃｔｎ＝Ｑｎ−１Ｑｎ ∴ｔｎ＝Ｑｎ−１Ｑｎ／ｃ＝ｈ／（ｃｏｓαｎ
・ｃ） 電波が点Ｐ１と点Ｑ０のを通過するのに要する時間をＴ
ｐとする。点Ｐ１に於ける電波の放射時刻をＴｐ１、点
Ｑｎに於ける電波の到達時刻をＴｑｎとすると、 Ｔｑｎ−Ｔｐ１＝（ｔ１＋ｔ２＋ｔ３＋・・・・・＋ｔ
ｉ＋・・・・・＋ｔｎ）＋Ｔｐ ∴Ｔｐ＝（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−（ｔ１＋ｔ２＋
ｔ３＋・・・＋ｔｉ＋・・・ｔｎ） ＝（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−（ｈ／ｃｏｓα１・ｃ＋ｈ／ｃ
ｏｓα２・ｃ＋ｈ／ｃｏｓα３・ｃ＋・・・＋ｈ／ｃｏ
ｓαｉ・ｃ＋・・・＋ｈ／ｃｏｓαｎ・ｃ） ＝（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−（ｈ／ｃ）（１／ｃｏｓα１＋
１／ｃｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋・・・＋１／ｃｏｓ
αｉ＋・・・＋１／ｃｏｓαｎ）点Ｐ１と点Ｑ０との間
の距離をＬｐ１ｑ０とすると、媒質の屈折率はｎ０（＝
１）であるから、 Ｌｐ１ｑ０＝ｃ・Ｔｐ＝ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈ（１／ｃｏｓα１ ＋１／ｃｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋・・・・＋１／ｃｏｓαｉ＋・・・・＋１ ／ｃｏｓαｎ） 点Ｐ１から放射された電波が、点Ｑ０で屈折せず直進す
ると仮定すると、点Ｑ０と点Ｊとのとの間の距離をＬ
ＪＱ０とすると、電波が点Ｑ０を通過してから、地表面
上の点Ｊに到達するまでの時間Ｔｊｑ０は、媒質の屈折
率はｎ０（＝１）であるから、 Ｔｊｑ０＝Ｌｊｑ０／ｃ＝ＪＱ０／ｃ＝（１／ｃ）（ＩＱ０／ｃｏｓ α０）＝ｎｈ／（ｃｏｓα０・ｃ） 衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波が、屈折率ｎ
０（＝１）の媒質を通過して地表面に到達する時刻をＴ
ｉとすると、（媒質が全て一様で屈折率がｎ０とす
る。） Ｔｉ＝Ｐ１Ｑ０／ｃ＋ＪＱ０／ｃ＝Ｌｐ１ｑ０／ｃ＋Ｌｉｑ０／ｃ＝ （Ｔｑｎ−Ｔｐ１）＋（ｈ／ｃ）｛ｎ／ｃｏｓα０−（１／ｃｏｓα１＋１／ｃ ｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋・・・＋１／ｃｏｓαｉ＋・・・・・＋１／ｃｏｓ αｎ）｝ 衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波が、屈折率ｎ
０（＝１）の一様な媒質を通過するに要する時間と屈折
率ｎ０、ｎ１、ｎ２、ｎ３、・・・・・、ｎｉ、・・・
・及びｎｎの媒質を通過するときに要する時間との差を
Ｔｓとすると、 Ｔｓ＝Ｔｉ−（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）＝（ｈ／ｃ）｛ｎ／ｃｏｓα０−（１／ ｃｏｓα１＋１／ｃｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋・・・＋１／ｃｏｓαｉ＋・・ ・・・＋１／ｃｏｓαｎ） 衛星の見かけの位置Ｐ２から放射された電波の固定地上
局での仰角を（π／２−αｎ）衛星の実際の位置Ｐ１か
ら放射された電波の点Ｑ０での仰角を（π／２−α０）
とすると、、スネルの法則から、 ｎ０ｓｉｎα０＝ｎｎｓｉｎαｎ ∴ｓｉｎα０＝（ｎｎ／ｎ０）ｓｉｎαｎ ∴α０＝ｓｉｎ−１（ｎｎ／ｎ０）ｓｉｎα
ｎ｝ 従って、衛星の実際の位置は、固定地上局の後方点Ｊ
で、固定地上局からの距離が、ｈ｛ｎ・ｔａｎα０−
（ｔａｎα１＋ｔａｎα２＋ｔａｎα３＋・・・・・＋
ｔａｎαｉ＋・・・・・＋ｔａｎαｎ）｝にある虚地上
局で、仰角は π／２−ｓｉｎ−１｛（ｎｎ／ｎ０）ｓｉｎαｎ｝ 電波の到達時刻は、電波が固定地上局に到達するまでの
時間に比べて、（ｈ／ｃ）｛ｎ／ｃｏｓα０−（１／ｃ
ｏｓα１＋１／ｃｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋・・・＋
１／ｃｏｓαｉ＋・・・＋１／ｃｏｓαｎ）だけ多くな
る。固定地上局の位置Ｑｎを原点として、Ｑｎ−１、Ｑ
ｎ−２、・・・・、Ｑｉ、・・・・・、Ｑ３，Ｑ２、Ｑ
１、Ｑ０、及びＰ１の座標を、それぞれ（Ｘｎ−１，Ｙ
ｎ−１）、（Ｘｎ−２，Ｙｎ−２）、・・・・・、（Ｘ
ｉ，Ｙｉ）、・・・・・（Ｘ３，Ｙ３）、（Ｘ２，
Ｙ２）、（Ｘ１，Ｙ１）（Ｘ０，Ｙ０）及び（Ｘｐ１，
Ｙｐ１）とする。 Ｘｎ−１＝ＮｎＱｎ＝ＮｎＮｎ−１ｔａｎαｎ＝ｈ・ｔａｎαｎ Ｙｎ−１＝ＮｎＱｎ−１＝ｈ Ｘｎ−２＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＝ｈ・ｔａｎαｎ＝ｈ・ｔａｎαｎ−１ Ｙｎ−２＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＝２ｈ Ｘｉ＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１） Ｙｉ＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＝（ ｎ−ｉ）ｈ Ｘ３＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ４ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１＋ｔａｎα４ ） Ｙ３＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ３＝（ｎ−３）ｈ Ｘ２＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１＋・ ・・・＋Ｎ４Ｑ４＋Ｎ３Ｑ３ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１＋・・・・・ ＋ｔａｎα４＋ｔａｎα３） Ｙ２＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋・ ・・・＋Ｎ４Ｑ３＋Ｎ３Ｑ２＝（ｎ−２）ｈ Ｘ１＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ４＋Ｎ３Ｑ３＋Ｎ２Ｑ２ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１＋・・・・・ ＋ｔａｎα４＋ｔａｎα３＋ｔａｎα２） Ｙ１＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋・ ・・＋Ｎ４Ｑ４＋Ｎ３Ｑ３＋Ｎ２Ｑ２＋Ｎ１Ｑ１＝（ｎ−１）ｈ Ｘ０＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ４＋Ｎ３Ｑ３＋Ｎ２Ｑ２＋Ｎ１Ｑ１ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・ｔａｎαｉ＋１＋・・・・・＋ ｔａｎα４＋ｔａｎα３＋ｔａｎα２＋ｔａｎα１） Ｙ０＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋・ ・・・＋Ｎ４Ｑ３＋Ｎ３Ｑ２＋Ｎ２Ｑ１＋Ｎ１Ｑ０＝ｎｈ Ｘｐ１＝Ｘ０＋Ｐ１Ｑ０ｓｉｎα０ ＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋Ｌｐ１ｑ０ｓｉｎα０＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋ ｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０ Ｙｐ１＝Ｙ０＋Ｐ１Ｑ０ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０ 衛星の実際の位置から地上局又は観測点に向け放射され
た電波が、又は地上局あるいは観測点から衛星に向け放
射された電波が、屈折率ｎ０から屈折率ｎ１に変る又は
その逆の地表面に平行な界面への電波の入射点を原点と
して、この原点において屈折率ｎ０から屈折率ｎ１に変
わるまたはその逆の地表面に平行な界面にたてた法線を
Ｘ軸とし、このＸ軸と電波経路が構成する平面内にある
Ｘ軸に直交する直線をＹ軸とするＸＹ−平面において、
衛星の実際の位置から地上局又は観測点までの電波の経
路長の水平距離ＬＸＰ１と垂直距離ＬＹＰ１を求める
と、入射角、屈折角の基準線をＸ軸の正方向とし、反時
計回りを正として ＬＸＰ１＝−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ（π＋αｉ）＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１） ＋ ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋αｉ））｝ｓｉｎα０ ＝−ｈｔａｎαｉ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１） −ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０ ＬＹＰ１＝ｎｈ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）＋ ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋αｉ））｝ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）− ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０ 故に、衛星の実際の位置Ｐ１と固定地上局の位置Ｑｎと
の間の最短距離をＬｐ１ｑｎとすると、 Ｌ
ｐ１ｑｎ＝（ＬＸｐ１ ２＋ＬＹｐ１ ２）１／２ ＝
［〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−
Ｔｐ１）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα
０〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈΣ
ｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０〕２］１／２
正 電波の通る空間を固定地上局Ｑｎを通る地表面に平行な
厚さｈの平面層に分割する。そして各平行平面層の屈折
率をそれぞれｎ０、ｎ１、・・・・・、ｎｎとする。衛
星の実際の位置をＰ１、衛星の見かけの位置をＰ２とす
る。衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波の、屈折
率ｎ０の媒質から屈折率ｎ１の媒質への入射点をＱ０、
屈折率ｎ１の媒質から屈折率ｎ２の媒質への入射点をＱ
１、屈折率ｎ２の媒質から屈折率ｎ３の媒質への入射点
をＱ２、屈折率ｎ３の媒質から屈折率ｎ４の媒質への入
射点をＱ４、・・・・・屈折率ｎｉ−１から屈折率ｎｉ
の媒質への入射点をＱｉ−１、・・・・・地表面への入
射点、即ち、固定地上局の位置をＱｎとする。点Ｑ０か
ら屈折率ｎ１とｎ２の界面に下ろした垂線の足を
Ｎ１）、点Ｑ１から屈折率ｎ２とｎ３の界面に下ろした
垂線の足をＮ２、Ｑ２から屈折率ｎ３とｎ４の界面に下
ろした垂線の足をＮ３、・・・・・点Ｑｉから屈折率ｎ
ｉ＋１とｎｉ＋２の界面に下ろした垂線の足をＮｉ＋１
・・・・点Ｑｎ−１から地表面に下ろした垂線の足をＮ
ｎ、又、Ｑ０から地表面に下ろした垂線の足をＩとす
る。衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波の屈折率
ｎ０の媒質と屈折率ｎ１の媒質の界面への入射角を
α０、屈折角をα１、屈折率ｎ１の媒質と屈折率ｎ２の
媒質の界面への屈折角をα２，屈折率ｎ２の媒質と屈折
率ｎ３の媒質の界面への屈折角をα３、・・・・・、屈
折率ｎｉ−１の媒質と屈折率ｎｉの媒質の界面への屈折
角をαｉ、・・・・・、屈折率ｎｎ−１の媒質と屈折率
ｎｎの媒質の界面への屈折率をαｎとする。逆に地表面
から衛星に向け電波を放射する場合、屈折率ｎ１からｎ
ｎまでの媒質中に於いては、屈折角を入射角に置き換え
れば良い。又屈折率ｎ０の媒質への屈折角はα０とな
る。衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波が、屈折
率ｎ０の媒質から折率ｎ１の媒質へ入射した時、その入
射点Ｑ１で屈折せずそのまま直進して地表面に到達した
と仮定して、地表面への入射点をＪとする。屈折率ｎ０
の界面から地表面までにある厚さｈの平行平面層の個数
をｎとして、 ＩＪ／ＩＱ０＝ｔａｎα０ ∴ＩＪ＝ＩＱ０ｔａｎα０＝ｎｈ・ｔａｎα０ Ｎ１Ｑ１／Ｎ１Ｑ０＝ｔａｎα１ ∴Ｎ１Ｑ１＝Ｎ１Ｑ０ｔａｎα１＝ｈ・ｔａｎα１ Ｎ２Ｑ２／Ｎ２Ｑ１＝ｔａｎα２ ∴Ｎ２Ｑ２＝Ｎ２Ｑ１ｔａｎα２＝ｈ・ｔａｎα２ Ｎ３Ｑ３／Ｎ３Ｑ２＝ｔａｎα３ ∴Ｎ３Ｑ３＝Ｎ３Ｑ２ｔａｎα３＝ｈ・ｔａｎα３ ・ ・ ＮｉＱｉ／ＮｉＱｉ−１＝ｔａｎαｉ ∴ＮｉＱｉ＝ＮｉＱｉ−１ｔａｎαｉ＝ｈ・ｔａｎαｉ ・ ・ ＮｎＱｎ／ＮｎＱｎ−１＝ｔａｎαｎ ∴ＮｎＱｎ＝ＮｎＱｎ−１ｔａｎαｎ＝ｈ・ｔａｎαｎ ＩＱｎ＝Ｎ１Ｑ１＋Ｎ２Ｑ２＋Ｎ３Ｑ３＋・・・・＋ＮｉＱｉ＋・・・ ・ＮｎＱｎ ＝ｈ（ｔａｎα１＋ｔａｎα２＋ｔａｎα３＋・・・・・＋ｔａｎαｉ ＋・・・・・＋ｔａｎαｎ） ＪＱｎ＝ＩＪ−ＩＱｎ＝ｎｈ・ｔａｎα０−ｈ（ｔａｎα１＋ｔａｎα２ ＋ｔａｎα３＋・・・・・＋ｔａｎαｉ＋・・・・・ｔａｎαｎ） ＝ｈ ｛ｎｔａｎα０−（ｔａｎα１＋ｔａｎα２＋ｔａｎα３＋・・・・・＋ｔａｎ αｉ＋・・・・・ｔａｎαｎ）｝ Ｎ１Ｑ０／Ｑ０Ｑ１＝ｃｏｓα１ ∴Ｑ０Ｑ１＝Ｎ１Ｑ０／ｃｏｓα１＝ｈ／ｃｏｓα１ 電波がＱ０Ｑ１を通過するのに要する時間をｔ１とする
と、電波伝搬速度をｃとして ｃｔ１＝Ｑ０Ｑ１ ∴ｔ１＝Ｑ０Ｑ１／ｃ＝ｈ／（ｃｏｓα１・
ｃ） Ｎ２Ｑ１／Ｑ１Ｑ２＝ｃｏｓα２ ∴Ｑ１Ｑ２＝Ｎ２Ｑ１／ｃｏｓα２＝ｈ／ｃｏ
ｓα２ 電波がＱ１Ｑ２を通過するのに要する時間をｔ２とする
と、電波伝搬速度をｃとして ｃｔ２＝Ｑ１Ｑ２ ∴ｔ２＝Ｎ２Ｑ１／ｃｏｓα２・ｃ＝ｈ／（ｃｏｓα２・ｃ） Ｎ３Ｑ２／Ｑ２Ｑ３＝ｃｏｓα３ ∴Ｑ２Ｑ３＝Ｎ３Ｑ２／ｃｏｓα３＝ｈ／ｃｏｓα３ 電波がＱ２Ｑ３を通過するのに要する時間をｔ３とする
と、電波伝搬速度をｃとして ｃｔ３＝Ｑ２Ｑ３ ∴ｔ３＝Ｑ２Ｑ３／ｃ＝ｈ／（ｃｏｓα３・
ｃ） ・ ・ ＮｉＱｉ−１／Ｑｉ−１Ｑｉ＝ｃｏｓαｉ ∴Ｑｉ−１Ｑ１＝ＮｉＱｉ−１／ｃｏｓαｉ 電波がＱｉ−１Ｑｉを通過するに要する時間をｔｉとす
ると、電波伝搬速度をｃとして ｃｔｉ＝Ｑｉ−１Ｑｉ ∴ｔ１＝Ｑｉ−１Ｑ１＝ｈ／（ｃｏｓαｉ・ｃ） ・ ・ ＮｎＱｎ−１／Ｑｎ−１Ｑｎ＝ｃｏｓαｎ ∴Ｑ ｎ−１ Ｑｎ＝ＮｎＱｎ−１／ｃｏｓαｎ＝ｈ／ｃｏｓαｎ 電波がＱｎ−１Ｑｎを通過するに要する時間をｔｎとす
ると、電波伝搬速度をｃとして ｃｔｎ＝Ｑｎ−１Ｑｎ ∴ｔｎ＝Ｑｎ−１Ｑｎ／ｃ＝ｈ／（ｃｏｓαｎ
・ｃ） 電波が点Ｐ１と点Ｑ０のを通過するのに要する時間をＴ
ｐとする。点Ｐ１に於ける電波の放射時刻をＴｐ１、点
Ｑｎに於ける電波の到達時刻をＴｑｎとすると、 Ｔｑｎ−Ｔｐ１＝（ｔ１＋ｔ２＋ｔ３＋・・・・・＋ｔ
ｉ＋・・・・・＋ｔｎ）＋Ｔｐ ∴Ｔｐ＝（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−（ｔ１＋ｔ２＋
ｔ３＋・・・＋ｔｉ＋・・・ｔｎ） ＝（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−（ｈ／ｃｏｓα１・ｃ＋ｈ／ｃ
ｏｓα２・ｃ＋ｈ／ｃｏｓα３・ｃ＋・・・＋ｈ／ｃｏ
ｓαｉ・ｃ＋・・・＋ｈ／ｃｏｓαｎ・ｃ） ＝（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−（ｈ／ｃ）（１／ｃｏｓα１＋
１／ｃｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋・・・＋１／ｃｏｓ
αｉ＋・・・＋１／ｃｏｓαｎ）点Ｐ１と点Ｑ０との間
の距離をＬｐ１ｑ０とすると、媒質の屈折率はｎ０（＝
１）であるから、 Ｌｐ１ｑ０＝ｃ・Ｔｐ＝ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈ（１／ｃｏｓα１ ＋１／ｃｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋・・・・＋１／ｃｏｓαｉ＋・・・・＋１ ／ｃｏｓαｎ） 点Ｐ１から放射された電波が、点Ｑ０で屈折せず直進す
ると仮定すると、点Ｑ０と点Ｊとのとの間の距離をＬ
ＪＱ０とすると、電波が点Ｑ０を通過してから、地表面
上の点Ｊに到達するまでの時間Ｔｊｑ０は、媒質の屈折
率はｎ０（＝１）であるから、 Ｔｊｑ０＝Ｌｊｑ０／ｃ＝ＪＱ０／ｃ＝（１／ｃ）（ＩＱ０／ｃｏｓ α０）＝ｎｈ／（ｃｏｓα０・ｃ） 衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波が、屈折率ｎ
０（＝１）の媒質を通過して地表面に到達する時刻をＴ
ｉとすると、（媒質が全て一様で屈折率がｎ０とす
る。） Ｔｉ＝Ｐ１Ｑ０／ｃ＋ＪＱ０／ｃ＝Ｌｐ１ｑ０／ｃ＋Ｌｉｑ０／ｃ＝ （Ｔｑｎ−Ｔｐ１）＋（ｈ／ｃ）｛ｎ／ｃｏｓα０−（１／ｃｏｓα１＋１／ｃ ｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋・・・＋１／ｃｏｓαｉ＋・・・・・＋１／ｃｏｓ αｎ）｝ 衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波が、屈折率ｎ
０（＝１）の一様な媒質を通過するに要する時間と屈折
率ｎ０、ｎ１、ｎ２、ｎ３、・・・・・、ｎｉ、・・・
・及びｎｎの媒質を通過するときに要する時間との差を
Ｔｓとすると、 Ｔｓ＝Ｔｉ−（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）＝（ｈ／ｃ）｛ｎ／ｃｏｓα０−（１／ ｃｏｓα１＋１／ｃｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋・・・＋１／ｃｏｓαｉ＋・・ ・・・＋１／ｃｏｓαｎ） 衛星の見かけの位置Ｐ２から放射された電波の固定地上
局での仰角を（π／２−αｎ）衛星の実際の位置Ｐ１か
ら放射された電波の点Ｑ０での仰角を（π／２−α０）
とすると、、スネルの法則から、 ｎ０ｓｉｎα０＝ｎｎｓｉｎαｎ ∴ｓｉｎα０＝（ｎｎ／ｎ０）ｓｉｎαｎ ∴α０＝ｓｉｎ−１（ｎｎ／ｎ０）ｓｉｎα
ｎ｝ 従って、衛星の実際の位置は、固定地上局の後方点Ｊ
で、固定地上局からの距離が、ｈ｛ｎ・ｔａｎα０−
（ｔａｎα１＋ｔａｎα２＋ｔａｎα３＋・・・・・＋
ｔａｎαｉ＋・・・・・＋ｔａｎαｎ）｝にある虚地上
局で、仰角は π／２−ｓｉｎ−１｛（ｎｎ／ｎ０）ｓｉｎαｎ｝ 電波の到達時刻は、電波が固定地上局に到達するまでの
時間に比べて、（ｈ／ｃ）｛ｎ／ｃｏｓα０−（１／ｃ
ｏｓα１＋１／ｃｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋・・・＋
１／ｃｏｓαｉ＋・・・＋１／ｃｏｓαｎ）だけ多くな
る。固定地上局の位置Ｑｎを原点として、Ｑｎ−１、Ｑ
ｎ−２、・・・・、Ｑｉ、・・・・・、Ｑ３，Ｑ２、Ｑ
１、Ｑ０、及びＰ１の座標を、それぞれ（Ｘｎ−１，Ｙ
ｎ−１）、（Ｘｎ−２，Ｙｎ−２）、・・・・・、（Ｘ
ｉ，Ｙｉ）、・・・・・（Ｘ３，Ｙ３）、（Ｘ２，
Ｙ２）、（Ｘ１，Ｙ１）（Ｘ０，Ｙ０）及び（Ｘｐ１，
Ｙｐ１）とする。 Ｘｎ−１＝ＮｎＱｎ＝ＮｎＮｎ−１ｔａｎαｎ＝ｈ・ｔａｎαｎ Ｙｎ−１＝ＮｎＱｎ−１＝ｈ Ｘｎ−２＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＝ｈ・ｔａｎαｎ＝ｈ・ｔａｎαｎ−１ Ｙｎ−２＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＝２ｈ Ｘｉ＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１） Ｙｉ＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＝（ ｎ−ｉ）ｈ Ｘ３＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ４ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１＋ｔａｎα４ ） Ｙ３＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ３＝（ｎ−３）ｈ Ｘ２＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１＋・ ・・・＋Ｎ４Ｑ４＋Ｎ３Ｑ３ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１＋・・・・・ ＋ｔａｎα４＋ｔａｎα３） Ｙ２＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋・ ・・・＋Ｎ４Ｑ３＋Ｎ３Ｑ２＝（ｎ−２）ｈ Ｘ１＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ４＋Ｎ３Ｑ３＋Ｎ２Ｑ２ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１＋・・・・・ ＋ｔａｎα４＋ｔａｎα３＋ｔａｎα２） Ｙ１＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋・ ・・＋Ｎ４Ｑ４＋Ｎ３Ｑ３＋Ｎ２Ｑ２＋Ｎ１Ｑ１＝（ｎ−１）ｈ Ｘ０＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ４＋Ｎ３Ｑ３＋Ｎ２Ｑ２＋Ｎ１Ｑ１ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・ｔａｎαｉ＋１＋・・・・・＋ ｔａｎα４＋ｔａｎα３＋ｔａｎα２＋ｔａｎα１） Ｙ０＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋・ ・・・＋Ｎ４Ｑ３＋Ｎ３Ｑ２＋Ｎ２Ｑ１＋Ｎ１Ｑ０＝ｎｈ Ｘｐ１＝Ｘ０＋Ｐ１Ｑ０ｓｉｎα０ ＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋Ｌｐ１ｑ０ｓｉｎα０＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋ ｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０ Ｙｐ１＝Ｙ０＋Ｐ１Ｑ０ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０ 衛星の実際の位置から地上局又は観測点に向け放射され
た電波が、又は地上局あるいは観測点から衛星に向け放
射された電波が、屈折率ｎ０から屈折率ｎ１に変る又は
その逆の地表面に平行な界面への電波の入射点を原点と
して、この原点において屈折率ｎ０から屈折率ｎ１に変
わるまたはその逆の地表面に平行な界面にたてた法線を
Ｘ軸とし、このＸ軸と電波経路が構成する平面内にある
Ｘ軸に直交する直線をＹ軸とするＸＹ−平面において、
衛星の実際の位置から地上局又は観測点までの電波の経
路長の水平距離ＬＸＰ１と垂直距離ＬＹＰ１を求める
と、入射角、屈折角の基準線をＸ軸の正方向とし、反時
計回りを正として ＬＸＰ１＝−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ（π＋αｉ）＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１） ＋ ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋αｉ））｝ｓｉｎα０ ＝−ｈｔａｎαｉ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１） −ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０ ＬＹＰ１＝ｎｈ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）＋ ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋αｉ））｝ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）− ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０ 故に、衛星の実際の位置Ｐ１と固定地上局の位置Ｑｎと
の間の最短距離をＬｐ１ｑｎとすると、 Ｌ
ｐ１ｑｎ＝（ＬＸｐ１ ２＋ＬＹｐ１ ２）１／２ ＝
［〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−
Ｔｐ１）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα
０〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈΣ
ｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０〕２］１／２
【００１２】４ 仰角の決定 地球の周囲を図１１の様に三つの領域に分類する。地表
面から高さ１２ｋｍ上空までの領域を水平層、地表面か
らの高さ１２ｋｍから５００ｋｍまでの領域を球面層、
そして地表面からの高さ５００ｋｍ以上の領域を電波直
進層と呼ぶことにする。いま、赤道上空にある静止衛星
から電波が放射され、この電波が伝搬して地表面上にあ
る地上局に到達したときのこの電波の経路について考察
する。（図１２参照） 電波の通過する媒体を、地上局を通る水平面に平行な厚
さｈの平行平面層に分割する。 点Ａは時刻ＴＡのときの地上局の位置 点Ｂは時刻ＴＢのときの地上局の位置 点Ｃは時刻ＴＣのときの地上局の位置 点Ｐは時刻ＴＰのときの衛星搭載の電波中継機の位置 点Ｑは点ＰからＸＹ−平面に下ろした垂線の足 点線ＡＰは時刻ＴＡのとき地上局位置Ａから仰角（π／
２−αｎ）で電波中継機に向け放射され、時刻ＴＰのと
き電波中継機位置Ｐに到達した電波 点線ＰＢは時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐから地上局
に向け放射され、時刻ＴＢのとき仰角（π／２−βｎ）
で地上局位置Ｂに到達した電波 点線ＰＣは時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐから地上局
に向け放射され、時刻ＴＣのとき仰角（π／２−γｎ）
で地上局位置Ｃに到達した電波 太線ＡＰは時刻ＴＡのときの地上局位置Ａと時刻ＴＰの
ときの電波中継機位置Ｐとの間の最短距離 太線ＰＢは時刻ＴＢのときの地上局位置Ｂと時刻ＴＰの
ときの電波中継機位置Ｐとの間の最短距離 太線ＰＣは時刻ＴＣのときの地上局位置Ｃと時刻ＴＰの
ときの電波中継機位置Ｐとの間の最短距離 Ｌ１は時刻ＴＰのときの電波中継機の位置Ｐの高さ Ｌ２は時刻ＴＡのときの地上局位置Ａと時刻Ｔｐのとき
の電波中継機位置Ｐとの間の水平距離 Ｌ４は時刻ＴＢのときの地上局位置Ｂと時刻Ｔｐのとき
の電波中継機位置Ｐとの間の水平距離 Ｌ６は時刻ＴＣのときの地上局位置Ｃと時刻Ｔｐのとき
の電波中継機位置Ｐとの間の水平距離 δは時刻ＴＢのときの地上局位置Ｂと時刻Ｔｐのときの
電波中継機の位置ＰからＸＹ−平面に下ろした垂線の足
Ｑとを結ぶ直線がＹ軸の正方向となす角度 Ｌ３は時刻ＴＡのときの地上局位置Ａと時刻ＴＢのとき
の地上局位置Ｂとの間の最短距離 Ｌ５は時刻ＴＢのときの地上局位置Ｂと時刻ＴＣのとき
の地上局位置Ｃとの間の最短距離 （図１３参照） △ＡＢＱにおいて、余弦第二法則より、 Ｌ２ ２＝Ｌ３ ２＋Ｌ４ ２−２Ｌ３Ｌ４ｃｏｓδ （１） △ＢＣＱにおいて、余弦第二法則より、 Ｌ６ ２＝Ｌ４ ２＋Ｌ５ ２−２Ｌ４Ｌ５ｃｏｓ（π−δ）＝Ｌ４ ２＋Ｌ５ ２ ＋２Ｌ４Ｌ５ｃｏｓδ （２） （１）より、 ２Ｌ３Ｌ４ｃｏｓδ＝Ｌ３ ２＋Ｌ４ ２−Ｌ２ ２ ∴ｃｏｓδ＝（Ｌ３ ２＋Ｌ４ ２−Ｌ２ ２）／２Ｌ３Ｌ４ （３） （２）より、 ２Ｌ４Ｌ５ｃｏｓδ＝Ｌ６ ２−Ｌ４ ２−Ｌ５ ２ ∴ｃｏｓδ＝（Ｌ６ ２−Ｌ４ ２−Ｌ５ ２）／２Ｌ４Ｌ５ （４） （３）、（４）より、 （Ｌ３ ２＋Ｌ４ ２−Ｌ２ ２）／２Ｌ３Ｌ４＝（Ｌ６ ２−Ｌ４ ２−Ｌ５ ２ ）／２Ｌ４Ｌ５ Ｌ３ ２Ｌ５＋Ｌ４ ２Ｌ５−Ｌ２ ２Ｌ５−Ｌ３Ｌ６ ２＋Ｌ３Ｌ４ ２＋Ｌ３ Ｌ５ ２＝０ （５） 衛星の位置Ｐから放射された電波が、電波直進層と球面
層との界面ＹＹ’上の一点Ｏに突入したとする。点Ｏに
おいて電波直進層と球面層との界面ＹＹ’にたてた法線
をＸＸ’とする。電波の進行方向を半直線ＯＸを基準と
して、反時計回り方向を正とすると（図１４参照）、大
気屈折率による衛星の位置誤差の補正により、 Ｌ１＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋αｉ）） ｝ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋βｉ））｝ｃｏ ｓβ０ （６） ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＢ−Ｔｐ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓβｉ）｝ｃｏｓβ０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＣ−ＴＰ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋γｉ））｝ｃｏ ｓγ０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＣ−Ｔｐ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓγｉ）｝ｃｏｓγ０ Ｌ２＝−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ（π＋αｉ）＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ （１／ｃｏｓ（π＋αｉ）｝ｓｉｎα０ ＝−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ αｉ）｝ｓｉｎα０ （７） Ｌ４＝−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎβｉ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ ｃｏｓβｉ）｝ｓｉｎβ０ （８） Ｌ６＝−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎγｉ＋｛ｃ（ＴＣ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ ｃｃｓγｉ）｝ｓｉｎγ０ （９） Ｌ３＝Ｖ（ＴＢ−ＴＡ） （１０） Ｌ５＝Ｖ（ＴＣ−ＴＢ） （１１） 但し、ｎは大気圏を地表面又は位置を突き止めようとす
る物体の存在する水平面に平行な厚さｈの層に分割した
ときの個数。ｃは電波伝搬速度。α０は地上局の位置Ａ
から時刻ＴＡのとき、電波中継機に向け放射された電波
が、球面層と電波直進層との界面へ突入したとき、この
突入点においてこの平行平面の界面にたてた法線と電波
とのなす角度。αｉは時刻ＴＡのときの地上局の位置Ａ
から電波中継機に向け放射された電波が、地表面又は位
置を突き止めようとする物体の存在する水平面に平行な
厚さｈの下面からｉ番目の平行平面層へ突入するときの
入射角。β０は電波中継機の位置Ｐから時刻ＴＰのと
き、地上局に向け放射され、時刻ＴＢのとき地上局の位
置Ｂに到達した電波が、球面層と電波直進層との界面へ
突入したとき、この突入点において、この平行平面の界
面にたてた法線と電波とのなす角度。βｉは時刻Ｔｐの
ときの電波中継機の位置Ｐから時刻ＴＢのときの地上局
の位置Ｂに向け放射された電波が、地表面又は位置を突
き止めようとする物体の存在する水平面に平行な厚さｈ
の下面からｉ番目の平行平面層へ突入したときの屈折
角。γ０は電波中継機の位置Ｐから時刻ＴＰのとき、地
上局に向け放射され、時刻ＴＣのとき地上局の位置Ｃに
到達した電波が、球面層と電波直進層との界面へ突入し
たとき、この突入点においてこの平行平面層の界面にた
てた法線と電波とのなす角度。γｉは時刻Ｔｐのときの
電波中継機の位置Ｐから時刻ＴＣのときの地上局の位置
Ｃに向け放射された電波が、地表面又は位置を突き止め
ようとする物体の存在する水平面に平行な厚さｈの下面
からｉ番目の平行平面層へ突入したときの屈折角。 Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎα０／ｃｏｓαｉ） ＝Σｉ＝１ ｎ｛ｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２αｉ）１／２｝ ＝Σｉ＝１ ｎ〔ｓｉｎα０／｛１−（ｓｉｎα０／ｎｉ）２｝１／２〕 ＝Σｉ＝１ ｎ〔ｓｉｎα０／｛（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）／ｎｉ ２｝１ ／２ 〕 ＝Σｉ＝１ ｎ｛ｎｉｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２｝ ≒Σｉ＝１ ｎ｛ｎｉｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２α０）１／２｝ ＝Σｉ＝１ ｎ（ｎｉｓｉｎα０／ｃｏｓα０） ＝Σｉ＝１ ｎ（ｎｉｔａｎα０） 上式において、ｎｉ≒１とおいたことにより、誤差が発
生する。この誤差の発生を防止するため、 ｎｉｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ＝Ｋ｛ｎｉｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２α０）１／２｝ Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎα０／ｃｏｓαｉ） ＝ＫΣｉ＝１ ｎ（ｎｉｔａｎα０） （１２） （１２）と同様に Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎβ０／ｃｏｓβｉ） ＝ＫΣｉ＝１ ｎ（ｎｉｔａｎβ０） （１３） Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎγ０／ｃｏｓγｉ） ＝ＫΣｉ＝１ ｎ（ｎｉｔａｎγ０） （１４） ｔａｎαｉ＝ｓｉｎαｉ／ｃｏｓαｉ ＝（ｓｉｎα０／ｎｉ）／｛１−（ｓｉｎα０／ｎｉ）２｝１／２ ＝（ｓｉｎα０／ｎｉ）／｛（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２／ｎｉ｝ ＝ｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ≒ｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２α０）１／２ ＝ｓｉｎα０／ｃｏｓα０ ＝ｔａｎα０ 上式において、ｎｉ≒１とおいたことにより、誤差が発
生する。この誤差の発生を防止するため、 ｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ＝Ｋ｛ｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２α０）１／２｝ ＝Ｋ（ｓｉｎα０／ｃｏｓα０） ｔａｎαｉ＝Ｋｔａｎα０ （１５） （１５）と同様に ｔａｎβｉ＝Ｋｔａｎβ０ （１６） ｔａｎγｉ＝Ｋｔａｎγ０ （１７） 但し、ｎｉは地表面又は位置を突き止めようとする物体
の存在する水平面に平行な厚さｈの下面からｉ番目の平
行平面層の電波の屈折率。（６）、（１２）より、 ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）ｃｏｓ α０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）（ｓｉ ｎα０／ｓｉｎα０）ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎ（ｓｉｎα０／ｃｏｓαｉ ）（ｃｏｓα０／ｓｉｎα０） ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ＫｈΣｉ＝１ ｎ（ｎｉｔａｎα０）（１ ／ｔａｎα０） ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ＫｈΣｉ＝１ ｎｎｉ （１８） （６）、（１３）より、 ｎｈ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓβｉ）｝ｃｏｓβ０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＢ−ＴＰ）ｃｏｓβ０−ＫｈΣｉ＝１ ｎｎｉ （１９） （６）、（１４）より、 ｎｈ＋｛ｃ（ＴＣ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓγｉ）｝ｃｏｓγ０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＣ−ＴＰ）ｃｏｓγ０−ＫｈΣｉ＝１ ｎｎｉ （２０） （６）、（１８）、（１９）より、 ｎｈ＋ｃ（ＴＢ−ＴＰ）ｃｏｓβ０−ＫｈΣｉ＝１ ｎｎｉ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ −ＴＡ）ｃｏｓα０−ＫｈΣｉ＝１ ｎｎｉ ∴ｃｏｓβ０＝｛（ＴＰ−ＴＡ）／（ＴＢ−ＴＰ）｝ｃｏｓα０ （２１） 同様にして、（６）、（１８）、（２０）より、 ｃｏｓγ０＝｛（ＴＰ−ＴＡ）／（ＴＣ−ＴＰ）｝ｃｏｓα０（２２） （７）、（１２）、（１５）より、 Ｌ２＝−ＫｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα０＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｓｉｎα０ −ＫｈΣｉ＝１ ｎｎｉｔａｎα０ ＝−Ｋｈ（Σｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）ｔａｎα０＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｓｉｎα０ ＝｛−Ｋ（ｈ／ｃｏｓα０）Σｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）｝ｓｉ ｎα０ （２３） 同様にして、（８）、（１３）、（１６）より、 Ｌ４＝｛−Ｋ（ｈ／ｃｏｓβ０）Σｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）＋ｃ（ＴＢ −ＴＰ）｝ｓｉｎβ０ （２４） 同様にして、（９）、（１４）、（１７）より、 Ｌ６＝｛−Ｋ（ｈ／ｃｏｓγ０）Σｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）＋ｃ（ＴＣ −ＴＰ）｝ｓｉｎγ０ （２５） いま、計算を簡略にするため、 −ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）＝ｋ （２６） ＴＰ−ＴＡ＝ｐ （２７） ＴＢ−ＴＰ＝ｑ （２８） ＴＣ−ＴＰ＝ｒ （２９） とすると、（２１）、（２７）、（２８）より、 ｃｏｓβ０＝（ｐ／ｑ）ｃｏｓα０ （３０） （２２）、（２７）、（２９）より ｃｏｓγ０＝（ｐ／ｒ）ｃｏｓα０ （３１） （２３）、（２７）より、 Ｌ２＝（ｋ／ｃｏｓα０＋ｃｐ）ｓｉｎα０ （３２） （２１）、（２６）、（２７）、（２８）より、 Ｌ４＝（ｋ／ｃｏｓβ０＋ｃｑ）ｓｉｎβ０ ＝｛（ｋｑ／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃｑ｝｛１−（ｐ／ｑ）２ｃｏｓ２α０ ｝１／２ （３３） （２２）、（２６）、（２７）、（２９）より、 Ｌ６＝（ｋ／ｃｏｓγ０＋ｃｒ）ｓｉｎγ０ ＝｛（ｋｒ／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃｒ｝｛１−（ｐ／ｒ）２ｃｏｓ２α０ ｝１／２ （３４） （１０）、（２７）、（２８）より、 Ｌ３＝Ｖ（ｐ＋ｑ） （３５） （１１）、（２８）、（２９）より、 Ｌ５＝Ｖ（ｒ−ｑ） （３６） （３５）、（３６）より、 Ｌ３ ２Ｌ５＝Ｖ３（ｐ＋ｑ）２（ｒ−ｑ） （３７） （３３）、（３６）より、 Ｌ４ ２Ｌ５＝Ｖ（ｒ−ｑ）｛（ｋ２ｑ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０ ）＋２（ｃｋｑ２／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｑ２−ｋ２−２ｃｋｐ・ｃｏ ｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ （３８） （３２）、（３６）より、 Ｌ２ ２Ｌ５＝Ｖ（ｒ−ｑ）｛ｋ２（１／ｃｏｓ２α０）＋２ｃｋｐ（ １／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｐ２−ｋ２−２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２ α０｝ （３９） （３４）、（３５）より、 Ｌ３Ｌ６ ２＝Ｖ（ｐ＋ｑ）｛（ｋ２ｒ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０ ）＋２（ｃｋｒ２／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｒ２−ｋ２−２ｃｋｐ・ｃｏ ｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ （４０） （３３）、（３５）より、 Ｌ３Ｌ４ ２＝Ｖ（ｐ＋ｑ）｛（ｋ２ｑ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０ ）＋２ｃｋｑ２／ｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｑ２−ｋ２−２ｃｋｐ・ｃｏｓα０ −ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ （４１） （３５）、（３６）より、 、 Ｌ３Ｌ５ ２＝Ｖ３（ｐ＋ｑ）（ｒ−ｑ）２ （４２） （３７）、（３８）、（３９）、（４０）、（４１）、
（４２）を（５）へ代入すると、 Ｌ３ ２Ｌ５＋Ｌ４ ２Ｌ５−Ｌ２ ２Ｌ５−Ｌ３Ｌ６ ２＋Ｌ３Ｌ４ ２＋Ｌ３ Ｌ５ ２ ＝Ｖ３ （ｐ＋ｑ）２（ｒ−ｑ） ＋Ｖ（ｒ−ｑ）｛（ｋ２ｑ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０） ＋２（ｃｋｑ２／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｑ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ −Ｖ（ｒ−ｑ）｛ｋ２（１／ｃｏｓ２α０） ＋２ｃｋｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｐ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ −Ｖ（ｐ＋ｑ）｛（ｋ２ｒ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０） ＋２（ｃｋｒ２／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｒ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ ＋Ｖ（ｐ＋ｑ）｛（ｋ２ｑ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０） ＋２ｃｋｑ２／ｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｑ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ ＋Ｖ３（ｐ＋ｑ）（ｒ−ｑ）２ ＝（ｋ２／ｐ２）（ｐ＋ｑ）（ｑ−ｒ）（ｒ＋ｐ）Ｖ（１／ｃｏｓ２α０）＋２ ｃｋ（ｐ＋ｑ）（ｑ−ｒ）（ｒ＋ｐ）Ｖ／ｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２（ｐ＋ｑ ）（ｑ−ｒ）（ｒ＋ｐ）Ｖ＝０ ＝（ｐ＋ｑ）（ｑ−ｒ）（ｒ＋ｐ）Ｖ｛（ｋ２／ｐ２）（１／ｃｏｓα０）２＋ ２ｃｋ／ｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２−Ｖ２｝＝０ ｑ≠ｒから、 （ｋ２／ｐ２）（１／ｃｏｓα０）２＋２ｃｋ／ｐ（１／ｃｏｓα０）＋ ｃ２−Ｖ２＝０ ∴１／ｃｏｓα０＝−ｃｋ／ｐ±｛（ｃｋ／ｐ）２−（ｋ２／ｐ２）（ｃ２−Ｖ２ ）｝１／２〕／（ｋ２／ｐ２） ∴１／ｃｏｓα０＝（ｃｋ／ｐ±Ｖｋ／ｐ）／（ｋ２／ｐ２）＝ｐ（ｃ±Ｖ）／ ｋ ∴ｃｏｓα０＝ｋ／ｐ（ｃ±Ｖ）＝ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／（ＴＰ−ＴＡ ）（ｃ±Ｖ）｝ （４３） （４３）を（２１）及び（２２）へ代入する。 ｃｏｓβ０＝｛（ＴＰ−ＴＡ）／（ＴＢ−ＴＰ）｝｛ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ ）／（ＴＰ−ＴＡ）（ｃ±Ｖ）｝ ＝｛ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／（ＴＢ−ＴＰ）（ｃ±Ｖ）｝ （４４） ｃｏｓγ０＝｛ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／（ＴＣ−ＴＰ）（ｃ±Ｖ）｝ （４５） 従って、時刻ＴＡのとき地上局位置Ａから電波中継機に
向け放射され、時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐに到達
した電波の地上局位置Ａに於ける仰角は、 π／２−ｓｉｎ−１［（１／ｎｎ）〔１−｛ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ ｎｉ）／（ＴＰ−ＴＡ）（ｃ±Ｖ）｝１／２］ 時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐから地上局に向け放射
され、時刻ＴＢのとき地上局位置Ｂに到達した電波の地
上局位置Ｂに於ける仰角は、 π／２−ｓｉｎ−１［（１／ｎｎ）〔１−｛ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ ）／（ＴＢ−ＴＰ）（ｃ±Ｖ）｝１／２］ 時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐから地上局に向け放射
され、時刻ＴＣのとき地上局位置Ｃに到達した電波の地
上局位置Ｃに於ける仰角は、 π／２−ｓｉｎ−１［（１／ｎｎ）〔１−｛ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ ）／（ＴＣ−ＴＰ）（ｃ±Ｖ）｝１／２］ である。但し、ｎｎは地上局の位置する大気ガス層の電
波の屈折率である。
面から高さ１２ｋｍ上空までの領域を水平層、地表面か
らの高さ１２ｋｍから５００ｋｍまでの領域を球面層、
そして地表面からの高さ５００ｋｍ以上の領域を電波直
進層と呼ぶことにする。いま、赤道上空にある静止衛星
から電波が放射され、この電波が伝搬して地表面上にあ
る地上局に到達したときのこの電波の経路について考察
する。（図１２参照） 電波の通過する媒体を、地上局を通る水平面に平行な厚
さｈの平行平面層に分割する。 点Ａは時刻ＴＡのときの地上局の位置 点Ｂは時刻ＴＢのときの地上局の位置 点Ｃは時刻ＴＣのときの地上局の位置 点Ｐは時刻ＴＰのときの衛星搭載の電波中継機の位置 点Ｑは点ＰからＸＹ−平面に下ろした垂線の足 点線ＡＰは時刻ＴＡのとき地上局位置Ａから仰角（π／
２−αｎ）で電波中継機に向け放射され、時刻ＴＰのと
き電波中継機位置Ｐに到達した電波 点線ＰＢは時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐから地上局
に向け放射され、時刻ＴＢのとき仰角（π／２−βｎ）
で地上局位置Ｂに到達した電波 点線ＰＣは時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐから地上局
に向け放射され、時刻ＴＣのとき仰角（π／２−γｎ）
で地上局位置Ｃに到達した電波 太線ＡＰは時刻ＴＡのときの地上局位置Ａと時刻ＴＰの
ときの電波中継機位置Ｐとの間の最短距離 太線ＰＢは時刻ＴＢのときの地上局位置Ｂと時刻ＴＰの
ときの電波中継機位置Ｐとの間の最短距離 太線ＰＣは時刻ＴＣのときの地上局位置Ｃと時刻ＴＰの
ときの電波中継機位置Ｐとの間の最短距離 Ｌ１は時刻ＴＰのときの電波中継機の位置Ｐの高さ Ｌ２は時刻ＴＡのときの地上局位置Ａと時刻Ｔｐのとき
の電波中継機位置Ｐとの間の水平距離 Ｌ４は時刻ＴＢのときの地上局位置Ｂと時刻Ｔｐのとき
の電波中継機位置Ｐとの間の水平距離 Ｌ６は時刻ＴＣのときの地上局位置Ｃと時刻Ｔｐのとき
の電波中継機位置Ｐとの間の水平距離 δは時刻ＴＢのときの地上局位置Ｂと時刻Ｔｐのときの
電波中継機の位置ＰからＸＹ−平面に下ろした垂線の足
Ｑとを結ぶ直線がＹ軸の正方向となす角度 Ｌ３は時刻ＴＡのときの地上局位置Ａと時刻ＴＢのとき
の地上局位置Ｂとの間の最短距離 Ｌ５は時刻ＴＢのときの地上局位置Ｂと時刻ＴＣのとき
の地上局位置Ｃとの間の最短距離 （図１３参照） △ＡＢＱにおいて、余弦第二法則より、 Ｌ２ ２＝Ｌ３ ２＋Ｌ４ ２−２Ｌ３Ｌ４ｃｏｓδ （１） △ＢＣＱにおいて、余弦第二法則より、 Ｌ６ ２＝Ｌ４ ２＋Ｌ５ ２−２Ｌ４Ｌ５ｃｏｓ（π−δ）＝Ｌ４ ２＋Ｌ５ ２ ＋２Ｌ４Ｌ５ｃｏｓδ （２） （１）より、 ２Ｌ３Ｌ４ｃｏｓδ＝Ｌ３ ２＋Ｌ４ ２−Ｌ２ ２ ∴ｃｏｓδ＝（Ｌ３ ２＋Ｌ４ ２−Ｌ２ ２）／２Ｌ３Ｌ４ （３） （２）より、 ２Ｌ４Ｌ５ｃｏｓδ＝Ｌ６ ２−Ｌ４ ２−Ｌ５ ２ ∴ｃｏｓδ＝（Ｌ６ ２−Ｌ４ ２−Ｌ５ ２）／２Ｌ４Ｌ５ （４） （３）、（４）より、 （Ｌ３ ２＋Ｌ４ ２−Ｌ２ ２）／２Ｌ３Ｌ４＝（Ｌ６ ２−Ｌ４ ２−Ｌ５ ２ ）／２Ｌ４Ｌ５ Ｌ３ ２Ｌ５＋Ｌ４ ２Ｌ５−Ｌ２ ２Ｌ５−Ｌ３Ｌ６ ２＋Ｌ３Ｌ４ ２＋Ｌ３ Ｌ５ ２＝０ （５） 衛星の位置Ｐから放射された電波が、電波直進層と球面
層との界面ＹＹ’上の一点Ｏに突入したとする。点Ｏに
おいて電波直進層と球面層との界面ＹＹ’にたてた法線
をＸＸ’とする。電波の進行方向を半直線ＯＸを基準と
して、反時計回り方向を正とすると（図１４参照）、大
気屈折率による衛星の位置誤差の補正により、 Ｌ１＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋αｉ）） ｝ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋βｉ））｝ｃｏ ｓβ０ （６） ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＢ−Ｔｐ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓβｉ）｝ｃｏｓβ０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＣ−ＴＰ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋γｉ））｝ｃｏ ｓγ０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＣ−Ｔｐ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓγｉ）｝ｃｏｓγ０ Ｌ２＝−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ（π＋αｉ）＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ （１／ｃｏｓ（π＋αｉ）｝ｓｉｎα０ ＝−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ αｉ）｝ｓｉｎα０ （７） Ｌ４＝−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎβｉ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ ｃｏｓβｉ）｝ｓｉｎβ０ （８） Ｌ６＝−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎγｉ＋｛ｃ（ＴＣ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ ｃｃｓγｉ）｝ｓｉｎγ０ （９） Ｌ３＝Ｖ（ＴＢ−ＴＡ） （１０） Ｌ５＝Ｖ（ＴＣ−ＴＢ） （１１） 但し、ｎは大気圏を地表面又は位置を突き止めようとす
る物体の存在する水平面に平行な厚さｈの層に分割した
ときの個数。ｃは電波伝搬速度。α０は地上局の位置Ａ
から時刻ＴＡのとき、電波中継機に向け放射された電波
が、球面層と電波直進層との界面へ突入したとき、この
突入点においてこの平行平面の界面にたてた法線と電波
とのなす角度。αｉは時刻ＴＡのときの地上局の位置Ａ
から電波中継機に向け放射された電波が、地表面又は位
置を突き止めようとする物体の存在する水平面に平行な
厚さｈの下面からｉ番目の平行平面層へ突入するときの
入射角。β０は電波中継機の位置Ｐから時刻ＴＰのと
き、地上局に向け放射され、時刻ＴＢのとき地上局の位
置Ｂに到達した電波が、球面層と電波直進層との界面へ
突入したとき、この突入点において、この平行平面の界
面にたてた法線と電波とのなす角度。βｉは時刻Ｔｐの
ときの電波中継機の位置Ｐから時刻ＴＢのときの地上局
の位置Ｂに向け放射された電波が、地表面又は位置を突
き止めようとする物体の存在する水平面に平行な厚さｈ
の下面からｉ番目の平行平面層へ突入したときの屈折
角。γ０は電波中継機の位置Ｐから時刻ＴＰのとき、地
上局に向け放射され、時刻ＴＣのとき地上局の位置Ｃに
到達した電波が、球面層と電波直進層との界面へ突入し
たとき、この突入点においてこの平行平面層の界面にた
てた法線と電波とのなす角度。γｉは時刻Ｔｐのときの
電波中継機の位置Ｐから時刻ＴＣのときの地上局の位置
Ｃに向け放射された電波が、地表面又は位置を突き止め
ようとする物体の存在する水平面に平行な厚さｈの下面
からｉ番目の平行平面層へ突入したときの屈折角。 Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎα０／ｃｏｓαｉ） ＝Σｉ＝１ ｎ｛ｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２αｉ）１／２｝ ＝Σｉ＝１ ｎ〔ｓｉｎα０／｛１−（ｓｉｎα０／ｎｉ）２｝１／２〕 ＝Σｉ＝１ ｎ〔ｓｉｎα０／｛（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）／ｎｉ ２｝１ ／２ 〕 ＝Σｉ＝１ ｎ｛ｎｉｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２｝ ≒Σｉ＝１ ｎ｛ｎｉｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２α０）１／２｝ ＝Σｉ＝１ ｎ（ｎｉｓｉｎα０／ｃｏｓα０） ＝Σｉ＝１ ｎ（ｎｉｔａｎα０） 上式において、ｎｉ≒１とおいたことにより、誤差が発
生する。この誤差の発生を防止するため、 ｎｉｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ＝Ｋ｛ｎｉｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２α０）１／２｝ Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎα０／ｃｏｓαｉ） ＝ＫΣｉ＝１ ｎ（ｎｉｔａｎα０） （１２） （１２）と同様に Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎβ０／ｃｏｓβｉ） ＝ＫΣｉ＝１ ｎ（ｎｉｔａｎβ０） （１３） Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎγ０／ｃｏｓγｉ） ＝ＫΣｉ＝１ ｎ（ｎｉｔａｎγ０） （１４） ｔａｎαｉ＝ｓｉｎαｉ／ｃｏｓαｉ ＝（ｓｉｎα０／ｎｉ）／｛１−（ｓｉｎα０／ｎｉ）２｝１／２ ＝（ｓｉｎα０／ｎｉ）／｛（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２／ｎｉ｝ ＝ｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ≒ｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２α０）１／２ ＝ｓｉｎα０／ｃｏｓα０ ＝ｔａｎα０ 上式において、ｎｉ≒１とおいたことにより、誤差が発
生する。この誤差の発生を防止するため、 ｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ＝Ｋ｛ｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２α０）１／２｝ ＝Ｋ（ｓｉｎα０／ｃｏｓα０） ｔａｎαｉ＝Ｋｔａｎα０ （１５） （１５）と同様に ｔａｎβｉ＝Ｋｔａｎβ０ （１６） ｔａｎγｉ＝Ｋｔａｎγ０ （１７） 但し、ｎｉは地表面又は位置を突き止めようとする物体
の存在する水平面に平行な厚さｈの下面からｉ番目の平
行平面層の電波の屈折率。（６）、（１２）より、 ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）ｃｏｓ α０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）（ｓｉ ｎα０／ｓｉｎα０）ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎ（ｓｉｎα０／ｃｏｓαｉ ）（ｃｏｓα０／ｓｉｎα０） ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ＫｈΣｉ＝１ ｎ（ｎｉｔａｎα０）（１ ／ｔａｎα０） ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ＫｈΣｉ＝１ ｎｎｉ （１８） （６）、（１３）より、 ｎｈ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓβｉ）｝ｃｏｓβ０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＢ−ＴＰ）ｃｏｓβ０−ＫｈΣｉ＝１ ｎｎｉ （１９） （６）、（１４）より、 ｎｈ＋｛ｃ（ＴＣ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓγｉ）｝ｃｏｓγ０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＣ−ＴＰ）ｃｏｓγ０−ＫｈΣｉ＝１ ｎｎｉ （２０） （６）、（１８）、（１９）より、 ｎｈ＋ｃ（ＴＢ−ＴＰ）ｃｏｓβ０−ＫｈΣｉ＝１ ｎｎｉ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ −ＴＡ）ｃｏｓα０−ＫｈΣｉ＝１ ｎｎｉ ∴ｃｏｓβ０＝｛（ＴＰ−ＴＡ）／（ＴＢ−ＴＰ）｝ｃｏｓα０ （２１） 同様にして、（６）、（１８）、（２０）より、 ｃｏｓγ０＝｛（ＴＰ−ＴＡ）／（ＴＣ−ＴＰ）｝ｃｏｓα０（２２） （７）、（１２）、（１５）より、 Ｌ２＝−ＫｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα０＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｓｉｎα０ −ＫｈΣｉ＝１ ｎｎｉｔａｎα０ ＝−Ｋｈ（Σｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）ｔａｎα０＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｓｉｎα０ ＝｛−Ｋ（ｈ／ｃｏｓα０）Σｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）｝ｓｉ ｎα０ （２３） 同様にして、（８）、（１３）、（１６）より、 Ｌ４＝｛−Ｋ（ｈ／ｃｏｓβ０）Σｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）＋ｃ（ＴＢ −ＴＰ）｝ｓｉｎβ０ （２４） 同様にして、（９）、（１４）、（１７）より、 Ｌ６＝｛−Ｋ（ｈ／ｃｏｓγ０）Σｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）＋ｃ（ＴＣ −ＴＰ）｝ｓｉｎγ０ （２５） いま、計算を簡略にするため、 −ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）＝ｋ （２６） ＴＰ−ＴＡ＝ｐ （２７） ＴＢ−ＴＰ＝ｑ （２８） ＴＣ−ＴＰ＝ｒ （２９） とすると、（２１）、（２７）、（２８）より、 ｃｏｓβ０＝（ｐ／ｑ）ｃｏｓα０ （３０） （２２）、（２７）、（２９）より ｃｏｓγ０＝（ｐ／ｒ）ｃｏｓα０ （３１） （２３）、（２７）より、 Ｌ２＝（ｋ／ｃｏｓα０＋ｃｐ）ｓｉｎα０ （３２） （２１）、（２６）、（２７）、（２８）より、 Ｌ４＝（ｋ／ｃｏｓβ０＋ｃｑ）ｓｉｎβ０ ＝｛（ｋｑ／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃｑ｝｛１−（ｐ／ｑ）２ｃｏｓ２α０ ｝１／２ （３３） （２２）、（２６）、（２７）、（２９）より、 Ｌ６＝（ｋ／ｃｏｓγ０＋ｃｒ）ｓｉｎγ０ ＝｛（ｋｒ／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃｒ｝｛１−（ｐ／ｒ）２ｃｏｓ２α０ ｝１／２ （３４） （１０）、（２７）、（２８）より、 Ｌ３＝Ｖ（ｐ＋ｑ） （３５） （１１）、（２８）、（２９）より、 Ｌ５＝Ｖ（ｒ−ｑ） （３６） （３５）、（３６）より、 Ｌ３ ２Ｌ５＝Ｖ３（ｐ＋ｑ）２（ｒ−ｑ） （３７） （３３）、（３６）より、 Ｌ４ ２Ｌ５＝Ｖ（ｒ−ｑ）｛（ｋ２ｑ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０ ）＋２（ｃｋｑ２／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｑ２−ｋ２−２ｃｋｐ・ｃｏ ｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ （３８） （３２）、（３６）より、 Ｌ２ ２Ｌ５＝Ｖ（ｒ−ｑ）｛ｋ２（１／ｃｏｓ２α０）＋２ｃｋｐ（ １／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｐ２−ｋ２−２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２ α０｝ （３９） （３４）、（３５）より、 Ｌ３Ｌ６ ２＝Ｖ（ｐ＋ｑ）｛（ｋ２ｒ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０ ）＋２（ｃｋｒ２／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｒ２−ｋ２−２ｃｋｐ・ｃｏ ｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ （４０） （３３）、（３５）より、 Ｌ３Ｌ４ ２＝Ｖ（ｐ＋ｑ）｛（ｋ２ｑ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０ ）＋２ｃｋｑ２／ｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｑ２−ｋ２−２ｃｋｐ・ｃｏｓα０ −ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ （４１） （３５）、（３６）より、 、 Ｌ３Ｌ５ ２＝Ｖ３（ｐ＋ｑ）（ｒ−ｑ）２ （４２） （３７）、（３８）、（３９）、（４０）、（４１）、
（４２）を（５）へ代入すると、 Ｌ３ ２Ｌ５＋Ｌ４ ２Ｌ５−Ｌ２ ２Ｌ５−Ｌ３Ｌ６ ２＋Ｌ３Ｌ４ ２＋Ｌ３ Ｌ５ ２ ＝Ｖ３ （ｐ＋ｑ）２（ｒ−ｑ） ＋Ｖ（ｒ−ｑ）｛（ｋ２ｑ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０） ＋２（ｃｋｑ２／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｑ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ −Ｖ（ｒ−ｑ）｛ｋ２（１／ｃｏｓ２α０） ＋２ｃｋｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｐ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ −Ｖ（ｐ＋ｑ）｛（ｋ２ｒ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０） ＋２（ｃｋｒ２／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｒ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ ＋Ｖ（ｐ＋ｑ）｛（ｋ２ｑ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０） ＋２ｃｋｑ２／ｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｑ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ ＋Ｖ３（ｐ＋ｑ）（ｒ−ｑ）２ ＝（ｋ２／ｐ２）（ｐ＋ｑ）（ｑ−ｒ）（ｒ＋ｐ）Ｖ（１／ｃｏｓ２α０）＋２ ｃｋ（ｐ＋ｑ）（ｑ−ｒ）（ｒ＋ｐ）Ｖ／ｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２（ｐ＋ｑ ）（ｑ−ｒ）（ｒ＋ｐ）Ｖ＝０ ＝（ｐ＋ｑ）（ｑ−ｒ）（ｒ＋ｐ）Ｖ｛（ｋ２／ｐ２）（１／ｃｏｓα０）２＋ ２ｃｋ／ｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２−Ｖ２｝＝０ ｑ≠ｒから、 （ｋ２／ｐ２）（１／ｃｏｓα０）２＋２ｃｋ／ｐ（１／ｃｏｓα０）＋ ｃ２−Ｖ２＝０ ∴１／ｃｏｓα０＝−ｃｋ／ｐ±｛（ｃｋ／ｐ）２−（ｋ２／ｐ２）（ｃ２−Ｖ２ ）｝１／２〕／（ｋ２／ｐ２） ∴１／ｃｏｓα０＝（ｃｋ／ｐ±Ｖｋ／ｐ）／（ｋ２／ｐ２）＝ｐ（ｃ±Ｖ）／ ｋ ∴ｃｏｓα０＝ｋ／ｐ（ｃ±Ｖ）＝ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／（ＴＰ−ＴＡ ）（ｃ±Ｖ）｝ （４３） （４３）を（２１）及び（２２）へ代入する。 ｃｏｓβ０＝｛（ＴＰ−ＴＡ）／（ＴＢ−ＴＰ）｝｛ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ ）／（ＴＰ−ＴＡ）（ｃ±Ｖ）｝ ＝｛ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／（ＴＢ−ＴＰ）（ｃ±Ｖ）｝ （４４） ｃｏｓγ０＝｛ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／（ＴＣ−ＴＰ）（ｃ±Ｖ）｝ （４５） 従って、時刻ＴＡのとき地上局位置Ａから電波中継機に
向け放射され、時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐに到達
した電波の地上局位置Ａに於ける仰角は、 π／２−ｓｉｎ−１［（１／ｎｎ）〔１−｛ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ ｎｉ）／（ＴＰ−ＴＡ）（ｃ±Ｖ）｝１／２］ 時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐから地上局に向け放射
され、時刻ＴＢのとき地上局位置Ｂに到達した電波の地
上局位置Ｂに於ける仰角は、 π／２−ｓｉｎ−１［（１／ｎｎ）〔１−｛ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ ）／（ＴＢ−ＴＰ）（ｃ±Ｖ）｝１／２］ 時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐから地上局に向け放射
され、時刻ＴＣのとき地上局位置Ｃに到達した電波の地
上局位置Ｃに於ける仰角は、 π／２−ｓｉｎ−１［（１／ｎｎ）〔１−｛ＫｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ ）／（ＴＣ−ＴＰ）（ｃ±Ｖ）｝１／２］ である。但し、ｎｎは地上局の位置する大気ガス層の電
波の屈折率である。
【００１３】５ 衛星の位置精度の向上 地球の周囲を図１１の様に三つの領域に分類する。地表
面から高さ１２ｋｍ上空までの領域を水平層、地表面上
からの高さが１２ｋｍから５００ｋｍまでの領域を球面
層、そして地表面上から高さ５００ｋｍ以上の領域を電
波直進層と呼ぶことにする。いま、赤道上空にある静止
衛星から電波が放射され、この電波が伝搬して、地表面
上にある地上局に到達したときのこの電波の経路につい
て考察する（図１２参照）。衛星の位置をＰ、地表面上
の地上局の位置をＱとする。点Ｐから放射された電波
は、電波直進層を通過して、球面層界面上の点Ｒに突入
し、その後球面層を通過して、水平層界面上の点Ｓを通
って、地表面上の地上局の位置Ｑに到達する。電波の通
る媒体を、点Ｑを通る水平面に平行な厚さｈの平行平面
層に分割する。電波直進層から球面層界面上の点Ｒに突
入したときの電波の進行方向と、点Ｒに於いて平行平面
層に立てた法線とのなす角度をα０、電波の各平行平面
層への屈折角をαｉ、平行平面層の個数をｎとする。点
Ｐから点Ｑを通る水平面に下ろした垂線の足をＨとする
と、 ＰＨ＝ｎｈ＋｛ｃｐ−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０（１） となる。但し、Ｃは電波の速さ、ｐは電波伝搬時間であ
る。大気の屈折率をｎ、屈折指数をＮとすると、 ｎ＝１＋Ｎ×１０−６ Ｎはそれぞれの場所における気象条件によって異なり、
実験的に一般に Ｎ＝７７．６（Ｐ／Ｔ）＋３．７３×１０５（ｅ／Ｔ２） （ＮＵ） と表すことができる。ここでＰは大気圧（ｍｂ）、ｅは
水蒸気圧（ｍｂ）、Ｔは絶対温度（Ｋ）である。実際の
大気は高度とともに希薄となるため、この屈折指数は指
数関数的に減少し、その高度特性は実験的に一般に、 Ｎ（ｈ）＝Ｎｓ｛ｅｘｐ（−Ｃｅ・ｈ）｝ （ＮＵ） Ｃｅ＝ｌｎ｛Ｎｓ／Ｎ（１ｋｍ）｝＝ｌｎ｛Ｎｓ／（Ｎｓ＋ΔＮ）｝ ここでＮｓは地表面における屈折指数、ｈは地表面から
の高さ（ｋｍ）である。以上から、各平行平面層におけ
る大気ガスの屈折率は算出できる。いま、各平行平面層
における大気ガスの屈折率をｎｉとすると、 （１）水平層領域において、スネルの法則から、 ｎｉｓｉｎαｉ＝ｎ０ｓｉｎα０ ∴ｓｉｎαｉ ＝（ｎ０／ｎｉ）ｓｉｎα０ 但し、ｎ０
は真空中における電波の屈折率である。 ∴ｃｏｓαｉ＝（１−ｓｉｎ２α０）１／２ ＝｛１−（ｎ０ ２／ｎｉ ２）ｓｉｎ２α０｝１／２ 従って、式（１）から水平層領域における電波の経路長
は、 ｈΣｉ＝１ １２〔１／｛１−（ｎ０ ２／ｎｉ ２）ｓｉｎ２α０｝１／ ２〕 （２） （２）球面層領域において、スネルの法則から （ｎｉ＋ｈｉ／ａ）ｓｉｎαｉ＝ｎ０ｓｉｎα０ ∴ｓｉｎαｉ＝｛ｎ０／（ｎｉ＋ｈｉ／ａ）｝ｓｉｎα０ ∴ｃｏｓαｉ＝（１−ｓｉｎ２α０）１／２ ＝〔１−｛ｎ０ ２／（ｎｉ＋ｈｉ／ａ）２｝ｓｉｎ２α０〕１／２ 従って、式（１）から球面層領域における電波の経路長
は、 ｈΣｉ＝１２ ５００ 〔１−｛ｎ０ ２／（ｎｉ＋ｈｉ／ａ）２｝ｓ ｉｎ２α０〕１／２ （３） （３）電波直進層領域においては、実験的に一般に、 ｈΣｉ＝５００ ｎ（１／ｃｏｓαｉ） ＝ｈΣｉ＝５００ ｎ（ｃｏｓα０／ｃｏｓαｉ）（１／ｃｏｓα０） ＝ｈｋΣｉ＝５００ ｎ（ｎ０／ｃｏｓα０） （４） と表される。ここで、ｋはｃｏｓα０により異なる定数
である。式（２）、（３）から平行水平面層及び平行球
面層を通過する電波の経路長は、α０により唯一つ定ま
る。いま、平行水平面層及び平行球面層を通過する電波
の経路長の第ｉ次近似値をＬｉとすると、 Ｌｉ−｛Σｉ＝１ １２（１／ｃｏｓαｉ）＋Σｉ＝１２ ５００（１／ ｃｏｓαｉ）｝≠０ ∴ Ｌｉ＝Σｉ＝１ １２（１／ｃｏｓαｉ）＋Σ１＝１２ ５００±ｘ（１ ／ｃｏｓαｉ） 従って、ＰＱ間の電波経路長は、 Σｉ＝１ １２（１／ｃｏｓαｉ）＋Σｉ＝１２ ５００（１／ｃｏｓαｉ ） ＋Σｉ＝５００ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）±Σｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ） となり、ＰＱ間の電波経路長の真値に比べて、±Σ
ｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ）だけ異なる。故に、Σ
ｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ）→０となるようにすれ
ば、 Σｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ）≒０ となったときのα０が求めるα０である。ｃｏｓα０を
パラメータとして、平行水平面層領域及び平行球面層領
域における電波の経路長を表すと、式（２）、（３）か
ら図１５の様になる。図１５の曲線上に二点Ａ、Ｂを取
り、図１５の曲線を二点Ａ、Ｂを通る直線として近似す
る。従って、平行水平面層領域及び平行球面層領域にお
ける電波の経路長は、 ａ１ｃｏｓα０＋ｂ１ （５） で表される。これを平行水平面層領域及び平行球面層領
域における電波の経路長一次近似値と呼称する。α０が
定まれば、各平行平面層の屈折率から、αｉ、も定ま
る。従って、各平行平面層を通過する電波の経路長が定
まる。故に、α０こ対応した唯一つの平行平面層領域及
び平行球面層領域の電波の経路長が定まる。これを平行
水平面層領域及び平行球面層領域における電波経路長の
実験値と呼称する。平行水平面層領域及び平行球面層領
域における電波の経路長一次近似値と平行水平面層領域
及び平行球面層領域における電波経路長の実験値の差、
即ち図１５の１は、放物線で近似される。これを ｃ１ｃｏｓ２α０＋ｄ１ｃｏｓα０＋ｅ１ （６） と表す。式（４）、（５）及び（６）を式（１）へ代入
して、 ＰＨ＝ｎｈ＋ｃｐｃｏｓα０−ｈ｛（ａ１ｃｏｓα０＋ｂ１）−（ｃ１ ｃｏｓ２α０＋ｄ１ｃｏｓα０＋ｅ１）｝ｃｏｓα０−ｈｋ（ｎ−５００） （７） となる。しかるに、 ＰＨ＝ｈ（１＋ｋ）ｎ （８） ｃｏｓα０＝ｈｋ（２ｎ＋ｍ）／（ｃ＋Ｖ）ｐ （９） ｋ＝ｕ ｃｏｓα０＋ｗ （１０） ここで、Ｖは地球の自転速度、ｍは平行水平面層領域及
び平行球面層領域における電波の屈折率によって定まる
定数である。又、ｕ、ｗはｃｏｓα０によって定る定数
である。式（８）、（９）及び（１０）を式（７）代入
すると、式（７）の左辺はｃｏｓα０の三次方程式とな
る。即ち、ｃｏｓα０＝ｘとおいて、 ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｆ１ｘ２＋ｇ１ｘ＋ｈ１＝０ （１１） 式（１１）の根を求めることにより、ｃｏｓα０が定ま
り、従って（９）からｎが定まる。いま求めたｃｏｓα
０及びｎが、第一次近似値である。このｃｏｓα０の第
一次近似値から、図１５において、平行水平層領域及び
平行球面層領域における経路長の範囲を狭め、且つｃｏ
ｓα０の相隣る値の差を小さくし、図１５の曲線上に二
点Ｃ及びＤを取り、図１５の曲線を二点Ｃ、Ｄを通る直
線として二回目の近似をする。従って、平行水平面層領
域及び平行球面層領域における電波の経路長は、 ａ２ｃｏｓα０＋ｂ２ で近似される。これを平行水平面層領域及び平行球面層
領域における電波の経路長二次近似値と呼称する。平行
水平面層領域及び平行球面層領域における電波の経路長
二次近似値と、平行水平面層領域及び平行球面層領域に
おける電波経路長の実験値との差、即ち図１５の２は、
第一回と同様放物線で近似される。これを ｃ２ｃｏｓ２α０＋ｄ２ｃｏｓα０＋ｅ２ （１２） と表す。前と同様なことを繰り返すことにより、ｃｏｓ
α０及びｎの第二近似値が求まる。図１５及び式（６）
及び（１２）から ｃ１ｃｏｓ２α０＋ｄ１ｃｏｓα０＋ｅ１＞ｃ２ｃｏｓ
２α０＋ｄ２ｃｏｓα０＋ｅ２＞・・・・・・・・＞ｃ
ｉｃｏｓ２α０＋ｄｉｃｏｓα０＋ｅｉ となり、Σｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ）が次第に０
に近ずいていることが判る。よって、ｃｏｓα０は次第
に真値に近ずいて行く。以上の操作を繰り返して行く
と、しまいに平行水平面領域及び平行球面層領域におけ
る電波の経路長ｉ次近似値と平行水平面層領域及び平行
球面層領域における電波経路長の実験値との差が放物線
で近似されなくなり、フェリー級数展開となり、その解
を求めることが困難となる。この時点で、ｃｏｓα０の
第ｉ次近似値の前後の幅を縮め、実験値が直線で表され
る範囲において、平行水平面層領域及び平行球面層領域
における電波の経路長を求めて行く。即ち相隣るｃｏｓ
α０の二つの値ｘとｘ＋ΔｈでΔｈを小さくして行くこ
とにより、平行水平面層領域及び平行球面層領域におけ
る電波の経路長第ｉ次近似値を平行水平面層領域及び平
行球面層領域における電波の経路長の実験値との差を限
りなく０に近ずけることができ、従ってこの方法でｃｏ
ｓα０及びｎがその真値に近ずくことになる。その結
果、衛星の位置は限りなくその真値に近ずくことが判
る。
面から高さ１２ｋｍ上空までの領域を水平層、地表面上
からの高さが１２ｋｍから５００ｋｍまでの領域を球面
層、そして地表面上から高さ５００ｋｍ以上の領域を電
波直進層と呼ぶことにする。いま、赤道上空にある静止
衛星から電波が放射され、この電波が伝搬して、地表面
上にある地上局に到達したときのこの電波の経路につい
て考察する（図１２参照）。衛星の位置をＰ、地表面上
の地上局の位置をＱとする。点Ｐから放射された電波
は、電波直進層を通過して、球面層界面上の点Ｒに突入
し、その後球面層を通過して、水平層界面上の点Ｓを通
って、地表面上の地上局の位置Ｑに到達する。電波の通
る媒体を、点Ｑを通る水平面に平行な厚さｈの平行平面
層に分割する。電波直進層から球面層界面上の点Ｒに突
入したときの電波の進行方向と、点Ｒに於いて平行平面
層に立てた法線とのなす角度をα０、電波の各平行平面
層への屈折角をαｉ、平行平面層の個数をｎとする。点
Ｐから点Ｑを通る水平面に下ろした垂線の足をＨとする
と、 ＰＨ＝ｎｈ＋｛ｃｐ−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０（１） となる。但し、Ｃは電波の速さ、ｐは電波伝搬時間であ
る。大気の屈折率をｎ、屈折指数をＮとすると、 ｎ＝１＋Ｎ×１０−６ Ｎはそれぞれの場所における気象条件によって異なり、
実験的に一般に Ｎ＝７７．６（Ｐ／Ｔ）＋３．７３×１０５（ｅ／Ｔ２） （ＮＵ） と表すことができる。ここでＰは大気圧（ｍｂ）、ｅは
水蒸気圧（ｍｂ）、Ｔは絶対温度（Ｋ）である。実際の
大気は高度とともに希薄となるため、この屈折指数は指
数関数的に減少し、その高度特性は実験的に一般に、 Ｎ（ｈ）＝Ｎｓ｛ｅｘｐ（−Ｃｅ・ｈ）｝ （ＮＵ） Ｃｅ＝ｌｎ｛Ｎｓ／Ｎ（１ｋｍ）｝＝ｌｎ｛Ｎｓ／（Ｎｓ＋ΔＮ）｝ ここでＮｓは地表面における屈折指数、ｈは地表面から
の高さ（ｋｍ）である。以上から、各平行平面層におけ
る大気ガスの屈折率は算出できる。いま、各平行平面層
における大気ガスの屈折率をｎｉとすると、 （１）水平層領域において、スネルの法則から、 ｎｉｓｉｎαｉ＝ｎ０ｓｉｎα０ ∴ｓｉｎαｉ ＝（ｎ０／ｎｉ）ｓｉｎα０ 但し、ｎ０
は真空中における電波の屈折率である。 ∴ｃｏｓαｉ＝（１−ｓｉｎ２α０）１／２ ＝｛１−（ｎ０ ２／ｎｉ ２）ｓｉｎ２α０｝１／２ 従って、式（１）から水平層領域における電波の経路長
は、 ｈΣｉ＝１ １２〔１／｛１−（ｎ０ ２／ｎｉ ２）ｓｉｎ２α０｝１／ ２〕 （２） （２）球面層領域において、スネルの法則から （ｎｉ＋ｈｉ／ａ）ｓｉｎαｉ＝ｎ０ｓｉｎα０ ∴ｓｉｎαｉ＝｛ｎ０／（ｎｉ＋ｈｉ／ａ）｝ｓｉｎα０ ∴ｃｏｓαｉ＝（１−ｓｉｎ２α０）１／２ ＝〔１−｛ｎ０ ２／（ｎｉ＋ｈｉ／ａ）２｝ｓｉｎ２α０〕１／２ 従って、式（１）から球面層領域における電波の経路長
は、 ｈΣｉ＝１２ ５００ 〔１−｛ｎ０ ２／（ｎｉ＋ｈｉ／ａ）２｝ｓ ｉｎ２α０〕１／２ （３） （３）電波直進層領域においては、実験的に一般に、 ｈΣｉ＝５００ ｎ（１／ｃｏｓαｉ） ＝ｈΣｉ＝５００ ｎ（ｃｏｓα０／ｃｏｓαｉ）（１／ｃｏｓα０） ＝ｈｋΣｉ＝５００ ｎ（ｎ０／ｃｏｓα０） （４） と表される。ここで、ｋはｃｏｓα０により異なる定数
である。式（２）、（３）から平行水平面層及び平行球
面層を通過する電波の経路長は、α０により唯一つ定ま
る。いま、平行水平面層及び平行球面層を通過する電波
の経路長の第ｉ次近似値をＬｉとすると、 Ｌｉ−｛Σｉ＝１ １２（１／ｃｏｓαｉ）＋Σｉ＝１２ ５００（１／ ｃｏｓαｉ）｝≠０ ∴ Ｌｉ＝Σｉ＝１ １２（１／ｃｏｓαｉ）＋Σ１＝１２ ５００±ｘ（１ ／ｃｏｓαｉ） 従って、ＰＱ間の電波経路長は、 Σｉ＝１ １２（１／ｃｏｓαｉ）＋Σｉ＝１２ ５００（１／ｃｏｓαｉ ） ＋Σｉ＝５００ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）±Σｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ） となり、ＰＱ間の電波経路長の真値に比べて、±Σ
ｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ）だけ異なる。故に、Σ
ｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ）→０となるようにすれ
ば、 Σｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ）≒０ となったときのα０が求めるα０である。ｃｏｓα０を
パラメータとして、平行水平面層領域及び平行球面層領
域における電波の経路長を表すと、式（２）、（３）か
ら図１５の様になる。図１５の曲線上に二点Ａ、Ｂを取
り、図１５の曲線を二点Ａ、Ｂを通る直線として近似す
る。従って、平行水平面層領域及び平行球面層領域にお
ける電波の経路長は、 ａ１ｃｏｓα０＋ｂ１ （５） で表される。これを平行水平面層領域及び平行球面層領
域における電波の経路長一次近似値と呼称する。α０が
定まれば、各平行平面層の屈折率から、αｉ、も定ま
る。従って、各平行平面層を通過する電波の経路長が定
まる。故に、α０こ対応した唯一つの平行平面層領域及
び平行球面層領域の電波の経路長が定まる。これを平行
水平面層領域及び平行球面層領域における電波経路長の
実験値と呼称する。平行水平面層領域及び平行球面層領
域における電波の経路長一次近似値と平行水平面層領域
及び平行球面層領域における電波経路長の実験値の差、
即ち図１５の１は、放物線で近似される。これを ｃ１ｃｏｓ２α０＋ｄ１ｃｏｓα０＋ｅ１ （６） と表す。式（４）、（５）及び（６）を式（１）へ代入
して、 ＰＨ＝ｎｈ＋ｃｐｃｏｓα０−ｈ｛（ａ１ｃｏｓα０＋ｂ１）−（ｃ１ ｃｏｓ２α０＋ｄ１ｃｏｓα０＋ｅ１）｝ｃｏｓα０−ｈｋ（ｎ−５００） （７） となる。しかるに、 ＰＨ＝ｈ（１＋ｋ）ｎ （８） ｃｏｓα０＝ｈｋ（２ｎ＋ｍ）／（ｃ＋Ｖ）ｐ （９） ｋ＝ｕ ｃｏｓα０＋ｗ （１０） ここで、Ｖは地球の自転速度、ｍは平行水平面層領域及
び平行球面層領域における電波の屈折率によって定まる
定数である。又、ｕ、ｗはｃｏｓα０によって定る定数
である。式（８）、（９）及び（１０）を式（７）代入
すると、式（７）の左辺はｃｏｓα０の三次方程式とな
る。即ち、ｃｏｓα０＝ｘとおいて、 ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｆ１ｘ２＋ｇ１ｘ＋ｈ１＝０ （１１） 式（１１）の根を求めることにより、ｃｏｓα０が定ま
り、従って（９）からｎが定まる。いま求めたｃｏｓα
０及びｎが、第一次近似値である。このｃｏｓα０の第
一次近似値から、図１５において、平行水平層領域及び
平行球面層領域における経路長の範囲を狭め、且つｃｏ
ｓα０の相隣る値の差を小さくし、図１５の曲線上に二
点Ｃ及びＤを取り、図１５の曲線を二点Ｃ、Ｄを通る直
線として二回目の近似をする。従って、平行水平面層領
域及び平行球面層領域における電波の経路長は、 ａ２ｃｏｓα０＋ｂ２ で近似される。これを平行水平面層領域及び平行球面層
領域における電波の経路長二次近似値と呼称する。平行
水平面層領域及び平行球面層領域における電波の経路長
二次近似値と、平行水平面層領域及び平行球面層領域に
おける電波経路長の実験値との差、即ち図１５の２は、
第一回と同様放物線で近似される。これを ｃ２ｃｏｓ２α０＋ｄ２ｃｏｓα０＋ｅ２ （１２） と表す。前と同様なことを繰り返すことにより、ｃｏｓ
α０及びｎの第二近似値が求まる。図１５及び式（６）
及び（１２）から ｃ１ｃｏｓ２α０＋ｄ１ｃｏｓα０＋ｅ１＞ｃ２ｃｏｓ
２α０＋ｄ２ｃｏｓα０＋ｅ２＞・・・・・・・・＞ｃ
ｉｃｏｓ２α０＋ｄｉｃｏｓα０＋ｅｉ となり、Σｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ）が次第に０
に近ずいていることが判る。よって、ｃｏｓα０は次第
に真値に近ずいて行く。以上の操作を繰り返して行く
と、しまいに平行水平面領域及び平行球面層領域におけ
る電波の経路長ｉ次近似値と平行水平面層領域及び平行
球面層領域における電波経路長の実験値との差が放物線
で近似されなくなり、フェリー級数展開となり、その解
を求めることが困難となる。この時点で、ｃｏｓα０の
第ｉ次近似値の前後の幅を縮め、実験値が直線で表され
る範囲において、平行水平面層領域及び平行球面層領域
における電波の経路長を求めて行く。即ち相隣るｃｏｓ
α０の二つの値ｘとｘ＋ΔｈでΔｈを小さくして行くこ
とにより、平行水平面層領域及び平行球面層領域におけ
る電波の経路長第ｉ次近似値を平行水平面層領域及び平
行球面層領域における電波の経路長の実験値との差を限
りなく０に近ずけることができ、従ってこの方法でｃｏ
ｓα０及びｎがその真値に近ずくことになる。その結
果、衛星の位置は限りなくその真値に近ずくことが判
る。
【００１４】６ 方位角の測定 時刻ＴＡのときの地上局の位置Ａから、衛星搭載の電波
中継機に向け電波を放射する。該電波が伝搬して、時刻
ＴＰのとき前記電波中継機に到達したとする。そして、
前記電波中継機に前記地上局からの電波が到達した同時
刻に、前記電波中継機から前記地上局に向け電波が放射
される。この電波が伝搬して、時刻ＴＢのとき前記地上
局に到達し、このときの前記地上局の位置をＢとする。
（図１６参照）点ＰからＸＹ−平面に下した垂線の足を
Ｑとする。点Ａより点Ｐに向け放射された電波の点Ａに
おける仰角をαｎ、点Ｐより点Ｂに向け放射された電波
の点Ｂにおける仰角をβｎ、地表面上の大気ガスの屈折
率をｎｎとする。又、点Ａより、点Ｐに向け放射された
電波の大気圏から大気圏外への屈折角をα０、点Ｐより
点Ｂに向け放射された電波の大気圏外から大気圏内への
入射角をβ０とする。（Ａ’Ｂ’Ｑ’平面が大気圏の境
目で、ＸＹ−平面より約５００ｋｍ位の上空にある。）
尚、地球の自転方向とＹ軸は平行である。直線ＡＱ、Ｂ
ＱとＸ軸とのなす角度を、おのおのγ、δ、点Ｐの座標
をＰ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）とすると、 〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ （１／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０〕ｃｏｓγ ＝〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎβｉ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓβｉ）｝ｓｉｎβ０〕ｃｏｓδ （１） 〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓαｉ）｝ｓｉｎα０〕ｓｉｎγ＋Ｖ（ＴＢ−ＴＡ） ＝〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎβｉ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓβｉ）｝ｓｉｎβ０〕ｓｉｎδ （２） 但し、αｉ、βｉは、地上局Ａ及びＢを通るＸＹ−平面
に平行な厚さｈの平行平面層を通過する電波の入射角又
は屈折角である。 −ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１ ／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０＝Ａ −ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎβｉ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃ ｏｓβｉ）｝ｓｉｎβ０＝Ｂ Ｖ（ＴＢ−ＴＡ）＝Ｃ とする。但し、Ｖは地球の自転速度である。（１）は、 Ａｃｏｓγ＝Ｂｃｏｓδ （３） （２）は、 Ａｓｉｎγ＋Ｃ＝Ｂｓｉｎδ （４） ｃｏｓγ＝（１−ｓｉｎ２γ）１／２、ｃｏｓδ＝（１
−ｓｉｎ２δ）１／２を（３）へ代入。 Ａ（１−ｓｉｎ２γ）１／２＝Ｂ（１−ｓｉｎ２δ）１／２ （５） （５）の両辺を二乗して、 Ａ２（１−ｓｉｎ２γ）＝Ｂ２（１−ｓｉｎ２δ） Ａ２−Ａ２ｓｉｎ２γ＝Ｂ２−Ｂ２ｓｉｎ２δ （６） （４）を（６）へ代入して、 Ａ２−Ａ２ｓｉｎ２γ＝Ｂ２−Ｂ２｛（Ａｓｉｎγ＋Ｃ）／Ｂ）２＝ Ｂ２−（Ａ２ｓｉｎ２γ＋２ＡＣｓｉｎγ＋Ｃ２）２ＡＣｓｉｎγ＝Ｂ２−Ｃ２ −Ａ２ ∴ ｓｉｎγ＝（Ｂ２−Ｃ２−Ａ２）／２ＡＣ （７） （４）より、 ｓｉｎγ＝（Ｂｓｉｎδ−Ｃ）／Ａ （８） （８）を（６）へ代入して、 Ａ２−Ａ２｛（Ｂｓｉｎδ−Ｃ）／Ａ｝２＝Ｂ２−Ｂ２ｓｉｎ２δ Ａ２−（Ｂ２ｓｉｎ２δ−２ＢＣｓｉｎδ＋Ｃ２）＝Ｂ２−Ｂ２ｓｉ ｎ２δ ２ＢＣｓｉｎδ＝Ｂ２−Ａ２＋Ｃ２ ∴ ｓｉｎδ＝（Ｂ２−Ａ２＋Ｃ２）／２ＢＣ （９） 時刻ＴＡ，ＴＢ，ＴＰ，が確定すれば、Ｃ、α０，
β０，αｉ及びβｉが確定する。従って、Ａ及びＢが確
定するから、（８）、（９）から、γ、δは確定する。
中継機に向け電波を放射する。該電波が伝搬して、時刻
ＴＰのとき前記電波中継機に到達したとする。そして、
前記電波中継機に前記地上局からの電波が到達した同時
刻に、前記電波中継機から前記地上局に向け電波が放射
される。この電波が伝搬して、時刻ＴＢのとき前記地上
局に到達し、このときの前記地上局の位置をＢとする。
（図１６参照）点ＰからＸＹ−平面に下した垂線の足を
Ｑとする。点Ａより点Ｐに向け放射された電波の点Ａに
おける仰角をαｎ、点Ｐより点Ｂに向け放射された電波
の点Ｂにおける仰角をβｎ、地表面上の大気ガスの屈折
率をｎｎとする。又、点Ａより、点Ｐに向け放射された
電波の大気圏から大気圏外への屈折角をα０、点Ｐより
点Ｂに向け放射された電波の大気圏外から大気圏内への
入射角をβ０とする。（Ａ’Ｂ’Ｑ’平面が大気圏の境
目で、ＸＹ−平面より約５００ｋｍ位の上空にある。）
尚、地球の自転方向とＹ軸は平行である。直線ＡＱ、Ｂ
ＱとＸ軸とのなす角度を、おのおのγ、δ、点Ｐの座標
をＰ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）とすると、 〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ （１／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０〕ｃｏｓγ ＝〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎβｉ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓβｉ）｝ｓｉｎβ０〕ｃｏｓδ （１） 〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓαｉ）｝ｓｉｎα０〕ｓｉｎγ＋Ｖ（ＴＢ−ＴＡ） ＝〔−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎβｉ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓβｉ）｝ｓｉｎβ０〕ｓｉｎδ （２） 但し、αｉ、βｉは、地上局Ａ及びＢを通るＸＹ−平面
に平行な厚さｈの平行平面層を通過する電波の入射角又
は屈折角である。 −ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１ ／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０＝Ａ −ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎβｉ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃ ｏｓβｉ）｝ｓｉｎβ０＝Ｂ Ｖ（ＴＢ−ＴＡ）＝Ｃ とする。但し、Ｖは地球の自転速度である。（１）は、 Ａｃｏｓγ＝Ｂｃｏｓδ （３） （２）は、 Ａｓｉｎγ＋Ｃ＝Ｂｓｉｎδ （４） ｃｏｓγ＝（１−ｓｉｎ２γ）１／２、ｃｏｓδ＝（１
−ｓｉｎ２δ）１／２を（３）へ代入。 Ａ（１−ｓｉｎ２γ）１／２＝Ｂ（１−ｓｉｎ２δ）１／２ （５） （５）の両辺を二乗して、 Ａ２（１−ｓｉｎ２γ）＝Ｂ２（１−ｓｉｎ２δ） Ａ２−Ａ２ｓｉｎ２γ＝Ｂ２−Ｂ２ｓｉｎ２δ （６） （４）を（６）へ代入して、 Ａ２−Ａ２ｓｉｎ２γ＝Ｂ２−Ｂ２｛（Ａｓｉｎγ＋Ｃ）／Ｂ）２＝ Ｂ２−（Ａ２ｓｉｎ２γ＋２ＡＣｓｉｎγ＋Ｃ２）２ＡＣｓｉｎγ＝Ｂ２−Ｃ２ −Ａ２ ∴ ｓｉｎγ＝（Ｂ２−Ｃ２−Ａ２）／２ＡＣ （７） （４）より、 ｓｉｎγ＝（Ｂｓｉｎδ−Ｃ）／Ａ （８） （８）を（６）へ代入して、 Ａ２−Ａ２｛（Ｂｓｉｎδ−Ｃ）／Ａ｝２＝Ｂ２−Ｂ２ｓｉｎ２δ Ａ２−（Ｂ２ｓｉｎ２δ−２ＢＣｓｉｎδ＋Ｃ２）＝Ｂ２−Ｂ２ｓｉ ｎ２δ ２ＢＣｓｉｎδ＝Ｂ２−Ａ２＋Ｃ２ ∴ ｓｉｎδ＝（Ｂ２−Ａ２＋Ｃ２）／２ＢＣ （９） 時刻ＴＡ，ＴＢ，ＴＰ，が確定すれば、Ｃ、α０，
β０，αｉ及びβｉが確定する。従って、Ａ及びＢが確
定するから、（８）、（９）から、γ、δは確定する。
（ａ）図１は地上局に電子計算機が接続されていない場
合に、地上局・電波中継機間の電波伝搬時間を知る為の
電波伝搬制御方法を表した図である。 （ｂ）図２は方位角測定方法を表した図である。この図
において、点Ｐは衛星の位置、そして点Ａ、Ｂは地上局
の位置を表す。又、γ、δは衛星からＸＹ平面に下ろし
た垂線の足と各地上局とを結ぶ直線と地球の自転方向に
対して直角なＸ軸とのなす角度である。 （ｃ）図３は前記物体及び前記固定地上局から放射され
る電波の伝搬制御方法を表した図である。Ｐｉｊは衛星
の時刻Ｔｉｊにおける位置を表し、Ｍｉｊは前記物体の
時刻Ｔｉｊの位置、そしてＷｉｊは時刻Ｔｉｊにおける
固定地上局の位置を表す。 （ｄ）図４は、前記物体と前記電波中継機との間を伝搬
する電波のある状態に於ける最短距離を求める為の方法
を表した図である。 （ｅ）図５は、前記固定地上局と前記電波中継機間のあ
る状態における最短距離を求める為の電波の選択方法を
表す図である。Ｌ６はある状態に於ける前記固定地上局
と前記電波中継機間の最短距離を表す。 （ｆ）図６及び図７は、電波伝搬制御を利用して、電波
経路長を測定する場合の前記物体、前記電波中継機及び
前記固定地上局間の最短距離を表した図である。図６に
おいて、Ｍ×、Ｍ××は前記物体の各時刻における位置
を表し、Ｐ××は前記電波中継機の各時刻における位置
である。又、Ｌ××は前記物体と前記電波中継機間、前
記物体間及び前記電波中継機間の最短距離を表す。図７
においてＷ×、Ｗ××は前記固定地上局の各時刻におけ
る位置を表し、その他は図６と同じである。 （ｇ）図８は、電波伝搬制御を利用して、前記物体の経
時機構と前記固定地上局の経時機構の同期化を計る為の
図である。Ｐｉｊ、Ｍｉｊ及びＷｉｊは前記電波中継
機、前記物体及び前記固定地上局の時刻Ｔｉｊに於ける
位置を表す。 （ｈ）図９は、電波伝搬制御を利用して、前記電波中継
機の経時機構と前記固定地上局の経時機構の同期化を計
る為の図である。Ｐｉｊ、Ｍｉｊ及びＷｉｊは前記電波
中継機、前記物体及び前記固定地上局の時刻Ｔｉｊに於
ける位置を表す。 （ｉ）図１０は、前記電波中継機が点Ｐ１２あるとき、
前記固定地上局のある時刻に於ける位置を原点とする座
標ＸＹＺにおける電波の仰角、方位角を表す図である。 （Ｊ）図１１は、地球の周囲を三つの層に分割したとき
の図である。１は地球を表し、２は平行平面層、３は球
面層そして４は電波直進層を表す。 （ｋ）図１２は、衛星（又は、地上局）から放射された
電波が地上局（又は衛星）に到達するまでの電波経路を
表した図である。 （ｌ）図１３は、電波の仰角を電波伝搬時間から求める
ときの図である。点Ｐは時刻ＴＰのときの衛星の位置を
表す。点Ｑは点ＰからＸＹ平面に下ろした垂線の足であ
り、点Ａ、Ｂ、及びＣは時刻ＴＡ、ＴＢ及びＴＣのとき
の地上局の位置である。 （ｍ）図１４は、電波が球面層から電波直進層（又はそ
の逆）へ突入するとき、その突入点において、地表面に
平行な界面に立てた法線と電波経路のなす角度を表す図
である。この法線から反時計回りの角度を正とする。 （ｎ）図１５は、電波が球面層から電波直進層（または
その逆）へ突入したとき、その突入点においてその界面
にたてた法線と電波進行方向とのなす角度の余弦をＸ軸
とし、球面層及び平行水平面層を通過する電波の経路長
をＹ軸で表したときの電波経路長の変化を表す図であ
る。 （ｏ）図１６は、方位角の測定方法を表した図である。
点Ｐは衛星の位置、点Ａは時刻ＴＡのときの地上局の位
置、点Ｂ時刻ＴＢのときの地上局の位置である。又、点
Ｑは点ＰからＸＹ平面に下ろした垂線の足、点Ａ’、
Ｂ’は電波が電波直進層と球面層の界面への突入点、点
Ｑ’は直線ＰＱが電波直進層と球面層の界面との交点で
ある。γ、δは地上局の位置が点Ａ及びＢであるときの
地上局の方位角を表す。α０、β０は電波直進層と球面
層の界面への電波の突入点にたてた法線と電波進行方向
とのなす角度である。 （ｐ）図１７は、デジタル時刻符号を受信し、該符号の
受信時刻を確定し、任意の時間経過後に、無線信号を送
信する為に、通信衛星に設けられる基本的な電波中継装
置を示す。到来無線信号をアンテナ１で受信し、ダイプ
レクサ２を介して受信機３に送る。次に、計時機構４に
より該受信無線信号の到達時刻を計数確定し、処理装置
５により、該無線信号の編集を行い、指定時間内部記憶
装置６に蓄積しておく。指定時間経過後、該信号を混合
機８で局部発振器７によって発生された中間周波数を組
み合わせる。混合器の出力信号は、受信信号とは異なる
周波数を持ち、送信機９を通ってダイプレクサ２に送ら
れ、アンテナ１から放射される。 （ｑ）図１８は、一個の通信衛星を用いて、適当な間隔
を置いて電波を送受信して、三次元位置の監視を行う位
置を突き止めようとする物体に設けられる電子装置を略
図で示す。この装置は無人にすることができる。処理装
置内の制御プログラムにより、ある時間間隔で受信モー
ドと送信モードを順次繰り返す。送信モードのとき、処
理装置内のコントロール・プログラムにより、計時機構
よりその時の時刻信号を受け取り、処理装置１９内の時
刻発生プログラムにより、アンテナから放射されるまで
の遅延時間を考慮したデジタル時刻信号を発生させる。
該信号をデジタル時刻信号として、デジタル時刻信号発
生装置１８で発生させ、送信機１９、ダイプレクサ１１
を経由して、アンテナ１０より放射する。受信モードの
とき、到来無線信号をアンテナ１０で受信し、ダイプレ
クサ１１を介して受信機１２に送る。次に計時機構１３
により、該受信無線信号の到達時刻を計数すると共に受
信データを受信データ・バッフアへ転送する。そして、
処理装置で、この計数結果をアンテナ受信時から経時機
構到達時までの遅延時間を考慮して、補正する。その補
正結果を受信データ・バッフア内に格納されているデジ
タル時刻符号の末尾に付加するという編集作業を行う。
そしてつぎの送信の時に、計時機構１３より、アンテナ
までの遅延時間を考慮したデジタル時刻符号を編集し、
編集済みのデジタル時刻符号の末尾に付加し、テジタル
時刻信号発生装置１８によりデジタル時刻符号に変換
し、この変換信号を局部発信機１７で発生させた中間周
波数で変調し、この変調出力即ち混合機の出力を、送信
機１９を介して、ダイプレクサ１１経由アンテナ１０か
ら放射する。 （ｒ）図１９は、固定地上局に設けられる電子装置の略
図を示す。デジタル時刻信号を受信し、該受信デジタル
時刻符号の固定地上局に到達した時刻を確定し、これら
受信信号を計算機処理装置内の電波伝搬制御プログラム
により処理し、衛星に搭載されている電波中継機の時刻
毎の位置、及び固定地上局及び位置を突き止めようとす
る物体相互間の時刻毎の距離を観測計数し、前記物体の
三次元位置を突き止めようとする為に固定地上局に設け
られた基本的な電子装置の略図である。処理装置内の制
御プログラムにより、ある時間間隔毎に送信モード、受
信モードに切り替わる。いま、受信モードのときに、到
来電波信号をアンテナ２０経由受信機２１で受信する。
この受信信号を計時機構２４で、到来電波信号の受信時
刻を計数する。この計数結果を計算機処理装置内の時刻
発生プログラムにより受け取り、アンテナ２０から、計
時機構までの遅延時間を考慮して、到来電波信号の固定
地上局での受信時刻を補正する。次に、処理装置２４内
の編集プログラムにより、到来電波信号が表すデジタル
時刻符号の末尾に、該到来電波信号の固定地上局での受
信時刻の補正値を付加する。その後、該データ信号を記
憶装置２５に格納する。送信モードのとき、計時機構よ
り読み取ったデジタル時刻信号を、処理装置２４でアン
テナから放射するまでの遅延時間を考慮し、処理装置２
４内の時刻発生プログラムにより、電波放射時刻を補正
し、デジタル時刻信号発生器で、デジタル時刻符号化
し、送信機２９へ送り出し、アンテナ３０から放射す
る。尚、２２は混合器で、２６は局部発振器である。 （ｓ）表１は送信機、電波中継機及び固定地上局の時間
的位置を表す。 （ｔ）表２は電波の発着時刻を表す。 （ｕ）表３は固定地上局から放射された電波の放射時刻
を表す。 （ｖ）表４は前記物体が受信モードのときの受信データ
・バッファ内に格納されているデータを表す。 （ｗ）表５は電波経路と電波伝搬時間を表す。
合に、地上局・電波中継機間の電波伝搬時間を知る為の
電波伝搬制御方法を表した図である。 （ｂ）図２は方位角測定方法を表した図である。この図
において、点Ｐは衛星の位置、そして点Ａ、Ｂは地上局
の位置を表す。又、γ、δは衛星からＸＹ平面に下ろし
た垂線の足と各地上局とを結ぶ直線と地球の自転方向に
対して直角なＸ軸とのなす角度である。 （ｃ）図３は前記物体及び前記固定地上局から放射され
る電波の伝搬制御方法を表した図である。Ｐｉｊは衛星
の時刻Ｔｉｊにおける位置を表し、Ｍｉｊは前記物体の
時刻Ｔｉｊの位置、そしてＷｉｊは時刻Ｔｉｊにおける
固定地上局の位置を表す。 （ｄ）図４は、前記物体と前記電波中継機との間を伝搬
する電波のある状態に於ける最短距離を求める為の方法
を表した図である。 （ｅ）図５は、前記固定地上局と前記電波中継機間のあ
る状態における最短距離を求める為の電波の選択方法を
表す図である。Ｌ６はある状態に於ける前記固定地上局
と前記電波中継機間の最短距離を表す。 （ｆ）図６及び図７は、電波伝搬制御を利用して、電波
経路長を測定する場合の前記物体、前記電波中継機及び
前記固定地上局間の最短距離を表した図である。図６に
おいて、Ｍ×、Ｍ××は前記物体の各時刻における位置
を表し、Ｐ××は前記電波中継機の各時刻における位置
である。又、Ｌ××は前記物体と前記電波中継機間、前
記物体間及び前記電波中継機間の最短距離を表す。図７
においてＷ×、Ｗ××は前記固定地上局の各時刻におけ
る位置を表し、その他は図６と同じである。 （ｇ）図８は、電波伝搬制御を利用して、前記物体の経
時機構と前記固定地上局の経時機構の同期化を計る為の
図である。Ｐｉｊ、Ｍｉｊ及びＷｉｊは前記電波中継
機、前記物体及び前記固定地上局の時刻Ｔｉｊに於ける
位置を表す。 （ｈ）図９は、電波伝搬制御を利用して、前記電波中継
機の経時機構と前記固定地上局の経時機構の同期化を計
る為の図である。Ｐｉｊ、Ｍｉｊ及びＷｉｊは前記電波
中継機、前記物体及び前記固定地上局の時刻Ｔｉｊに於
ける位置を表す。 （ｉ）図１０は、前記電波中継機が点Ｐ１２あるとき、
前記固定地上局のある時刻に於ける位置を原点とする座
標ＸＹＺにおける電波の仰角、方位角を表す図である。 （Ｊ）図１１は、地球の周囲を三つの層に分割したとき
の図である。１は地球を表し、２は平行平面層、３は球
面層そして４は電波直進層を表す。 （ｋ）図１２は、衛星（又は、地上局）から放射された
電波が地上局（又は衛星）に到達するまでの電波経路を
表した図である。 （ｌ）図１３は、電波の仰角を電波伝搬時間から求める
ときの図である。点Ｐは時刻ＴＰのときの衛星の位置を
表す。点Ｑは点ＰからＸＹ平面に下ろした垂線の足であ
り、点Ａ、Ｂ、及びＣは時刻ＴＡ、ＴＢ及びＴＣのとき
の地上局の位置である。 （ｍ）図１４は、電波が球面層から電波直進層（又はそ
の逆）へ突入するとき、その突入点において、地表面に
平行な界面に立てた法線と電波経路のなす角度を表す図
である。この法線から反時計回りの角度を正とする。 （ｎ）図１５は、電波が球面層から電波直進層（または
その逆）へ突入したとき、その突入点においてその界面
にたてた法線と電波進行方向とのなす角度の余弦をＸ軸
とし、球面層及び平行水平面層を通過する電波の経路長
をＹ軸で表したときの電波経路長の変化を表す図であ
る。 （ｏ）図１６は、方位角の測定方法を表した図である。
点Ｐは衛星の位置、点Ａは時刻ＴＡのときの地上局の位
置、点Ｂ時刻ＴＢのときの地上局の位置である。又、点
Ｑは点ＰからＸＹ平面に下ろした垂線の足、点Ａ’、
Ｂ’は電波が電波直進層と球面層の界面への突入点、点
Ｑ’は直線ＰＱが電波直進層と球面層の界面との交点で
ある。γ、δは地上局の位置が点Ａ及びＢであるときの
地上局の方位角を表す。α０、β０は電波直進層と球面
層の界面への電波の突入点にたてた法線と電波進行方向
とのなす角度である。 （ｐ）図１７は、デジタル時刻符号を受信し、該符号の
受信時刻を確定し、任意の時間経過後に、無線信号を送
信する為に、通信衛星に設けられる基本的な電波中継装
置を示す。到来無線信号をアンテナ１で受信し、ダイプ
レクサ２を介して受信機３に送る。次に、計時機構４に
より該受信無線信号の到達時刻を計数確定し、処理装置
５により、該無線信号の編集を行い、指定時間内部記憶
装置６に蓄積しておく。指定時間経過後、該信号を混合
機８で局部発振器７によって発生された中間周波数を組
み合わせる。混合器の出力信号は、受信信号とは異なる
周波数を持ち、送信機９を通ってダイプレクサ２に送ら
れ、アンテナ１から放射される。 （ｑ）図１８は、一個の通信衛星を用いて、適当な間隔
を置いて電波を送受信して、三次元位置の監視を行う位
置を突き止めようとする物体に設けられる電子装置を略
図で示す。この装置は無人にすることができる。処理装
置内の制御プログラムにより、ある時間間隔で受信モー
ドと送信モードを順次繰り返す。送信モードのとき、処
理装置内のコントロール・プログラムにより、計時機構
よりその時の時刻信号を受け取り、処理装置１９内の時
刻発生プログラムにより、アンテナから放射されるまで
の遅延時間を考慮したデジタル時刻信号を発生させる。
該信号をデジタル時刻信号として、デジタル時刻信号発
生装置１８で発生させ、送信機１９、ダイプレクサ１１
を経由して、アンテナ１０より放射する。受信モードの
とき、到来無線信号をアンテナ１０で受信し、ダイプレ
クサ１１を介して受信機１２に送る。次に計時機構１３
により、該受信無線信号の到達時刻を計数すると共に受
信データを受信データ・バッフアへ転送する。そして、
処理装置で、この計数結果をアンテナ受信時から経時機
構到達時までの遅延時間を考慮して、補正する。その補
正結果を受信データ・バッフア内に格納されているデジ
タル時刻符号の末尾に付加するという編集作業を行う。
そしてつぎの送信の時に、計時機構１３より、アンテナ
までの遅延時間を考慮したデジタル時刻符号を編集し、
編集済みのデジタル時刻符号の末尾に付加し、テジタル
時刻信号発生装置１８によりデジタル時刻符号に変換
し、この変換信号を局部発信機１７で発生させた中間周
波数で変調し、この変調出力即ち混合機の出力を、送信
機１９を介して、ダイプレクサ１１経由アンテナ１０か
ら放射する。 （ｒ）図１９は、固定地上局に設けられる電子装置の略
図を示す。デジタル時刻信号を受信し、該受信デジタル
時刻符号の固定地上局に到達した時刻を確定し、これら
受信信号を計算機処理装置内の電波伝搬制御プログラム
により処理し、衛星に搭載されている電波中継機の時刻
毎の位置、及び固定地上局及び位置を突き止めようとす
る物体相互間の時刻毎の距離を観測計数し、前記物体の
三次元位置を突き止めようとする為に固定地上局に設け
られた基本的な電子装置の略図である。処理装置内の制
御プログラムにより、ある時間間隔毎に送信モード、受
信モードに切り替わる。いま、受信モードのときに、到
来電波信号をアンテナ２０経由受信機２１で受信する。
この受信信号を計時機構２４で、到来電波信号の受信時
刻を計数する。この計数結果を計算機処理装置内の時刻
発生プログラムにより受け取り、アンテナ２０から、計
時機構までの遅延時間を考慮して、到来電波信号の固定
地上局での受信時刻を補正する。次に、処理装置２４内
の編集プログラムにより、到来電波信号が表すデジタル
時刻符号の末尾に、該到来電波信号の固定地上局での受
信時刻の補正値を付加する。その後、該データ信号を記
憶装置２５に格納する。送信モードのとき、計時機構よ
り読み取ったデジタル時刻信号を、処理装置２４でアン
テナから放射するまでの遅延時間を考慮し、処理装置２
４内の時刻発生プログラムにより、電波放射時刻を補正
し、デジタル時刻信号発生器で、デジタル時刻符号化
し、送信機２９へ送り出し、アンテナ３０から放射す
る。尚、２２は混合器で、２６は局部発振器である。 （ｓ）表１は送信機、電波中継機及び固定地上局の時間
的位置を表す。 （ｔ）表２は電波の発着時刻を表す。 （ｕ）表３は固定地上局から放射された電波の放射時刻
を表す。 （ｖ）表４は前記物体が受信モードのときの受信データ
・バッファ内に格納されているデータを表す。 （ｗ）表５は電波経路と電波伝搬時間を表す。
【発明の効果】任意の点の三次元位置を瞬時に測距精度
１ｍｍ以内で瞬時に知ることができる。
１ｍｍ以内で瞬時に知ることができる。
─────────────────────────────────────────────────────
【手続補正書】
【提出日】平成４年２月２５日
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正内容】
【書類名】 明細書
【発明の名称】 通信衛星による三次元位置測定
【特許請求の範囲】
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明が解決しようとする課題】この発明は人工地球衛
星による無線位置測定方式、更に具体的に言えば、一つ
の通信衛星を用いて位置を監視する方法に関する。地表
面上及び空中にある物体の位置を距離測定によって突き
止めるには、一つの衛星で十分である。無線信号が光速
で進行し、衛星経由物体と地上固定局間で送受されると
きの伝搬遅延時間から位置と距離が決定される。衛星の
時間的位置が判明すれば、時間的位置が異なる一つの衛
星から物体の位置線を計算することができ、観測位置は
三つの位置線の交点にある。そして、観測位置の測距精
度は１ｍｍ以内である。
星による無線位置測定方式、更に具体的に言えば、一つ
の通信衛星を用いて位置を監視する方法に関する。地表
面上及び空中にある物体の位置を距離測定によって突き
止めるには、一つの衛星で十分である。無線信号が光速
で進行し、衛星経由物体と地上固定局間で送受されると
きの伝搬遅延時間から位置と距離が決定される。衛星の
時間的位置が判明すれば、時間的位置が異なる一つの衛
星から物体の位置線を計算することができ、観測位置は
三つの位置線の交点にある。そして、観測位置の測距精
度は１ｍｍ以内である。
【０００２】
【従来の技術】無線信号を使う事によって位置観測を行
う無線測定に通信衛星を使うことを考えた場合、二つの
衛星を必要とすることが難点として挙げられる場合が多
い。この発明は、一つの通信衛星しか必要としないこと
により、この難点を屈服する。又、一つの通信衛星（及
び能動性距離測定衛星）で行う観測位置決定システムも
あるが、同等の機能を発揮するには、更に二つのタイミ
ング信号衛星を必要とする難点がある。その上、観測位
置の測距精度は１００ｍから１５００ｍである。
う無線測定に通信衛星を使うことを考えた場合、二つの
衛星を必要とすることが難点として挙げられる場合が多
い。この発明は、一つの通信衛星しか必要としないこと
により、この難点を屈服する。又、一つの通信衛星（及
び能動性距離測定衛星）で行う観測位置決定システムも
あるが、同等の機能を発揮するには、更に二つのタイミ
ング信号衛星を必要とする難点がある。その上、観測位
置の測距精度は１００ｍから１５００ｍである。
【０００３】
【産業上の利用分野及び発明の効果】この発明は、現在
の又は将来考えられる衛星を用いて、位置の監視、即ち
人間、乗り物及び航空機の位置の追跡を固定地上局で早
期に実施するのに有力である。考えられる用途として
は、長さ、面積、高さの測定、即ち測量、災難の予防並
びに環境保護の為に、オイル・タンカー並びにその他の
危険な貨物を積んだ船舶の位置の監視、最近定められた
２００海里の限界内にある外国船舶の効果的な監視、交
通管制の為の航空機の洋上監視、陸上からの商業用船舶
の航行及び船舶位置の監視、及び陸上移動車両の位置の
監視がある。その他大陸間弾道弾の位置制御や衛星の軌
道修正及び姿勢制御その他ミサイルの追跡等がある。こ
の方法は世界的な規模でそのサービスを広げることがで
き、高い精度を達成することができ、他に提案されてい
る方式に比べて費用が格安である。
の又は将来考えられる衛星を用いて、位置の監視、即ち
人間、乗り物及び航空機の位置の追跡を固定地上局で早
期に実施するのに有力である。考えられる用途として
は、長さ、面積、高さの測定、即ち測量、災難の予防並
びに環境保護の為に、オイル・タンカー並びにその他の
危険な貨物を積んだ船舶の位置の監視、最近定められた
２００海里の限界内にある外国船舶の効果的な監視、交
通管制の為の航空機の洋上監視、陸上からの商業用船舶
の航行及び船舶位置の監視、及び陸上移動車両の位置の
監視がある。その他大陸間弾道弾の位置制御や衛星の軌
道修正及び姿勢制御その他ミサイルの追跡等がある。こ
の方法は世界的な規模でそのサービスを広げることがで
き、高い精度を達成することができ、他に提案されてい
る方式に比べて費用が格安である。
【０００４】
【課題を解決するための手段】・
【作用】 １． 電波伝搬制御 （１） 前記物体から放射される電波の伝搬制御 位置を突き止めようとする物体の送信機アンテナ位置
（以後、送信機アンテナ位置と呼称する。）は、時刻Ｔ
Ｍ１１のとき、点Ｍ１１にある。衛星に搭載されている
電波中継機のアンテナ位置（以後、電波中継機アンテナ
位置と呼称する。）は、時刻ＴＭ１１のとき、点Ｐ１１
にある。固定地上局のアンテナ位置は、時刻ＴＭ１１の
とき、点Ｗ１１にある。時刻ＴＭ１１のとき、送信機ア
ンテナ位置より、電波が放射され、その電波が電波中継
機アンテナ位置に到達した時刻をＴＰ１２とする。時間
（ＴＰ１２−ＴＭ１１）の間に、送信機アンテナ位置
は、点Ｍ１１から点Ｍ１２に、電波中継機アンテナ位置
は点Ｐ１１から点Ｐ１２に、そして固定地上局アンテナ
位置は、点Ｗ１１から点Ｗ１２に移動する。電波中継機
の電波中継時間をΔτとすると、時刻ＴＰ１２のとき電
波中継機に到達した電波は、時刻（ＴＰ１２＋Δτ）の
とき、電波中継機から放射される。時刻（ＴＰ１２＋Δ
τ）のとき、送信機アンテナ位置は、点Ｍ１３に、電波
中継機アンテナ位置は、点Ｐ１３に、そして固定地上局
アンテナ位置は、点Ｗ１３に移動する。時刻（ＴＰ１２
＋Δτ）のとき、電波中継機アンテナ位置から放射され
た電波が、固定地上局アンテナ位置に到達した時刻をＴ
Ｗ１４とする。時刻ＴＷ１４のとき、送信機アンテナ位
置は、点Ｍ１４に、電波中継機アンテナ位置は、点Ｐ１
４に，固定地上局のアンテナ位置は、点Ｗ１４に移動す
る。以上をまとめると、表１の様になる。又、以上を図
示すると、図３の様になる。時刻ＴＭＸのとき、送信機
アンテナ位置より放射された電波が、電波中継機アンテ
ナ位置に到達した時刻が、（ＴＰ１２＋Δτ）であると
き、電波中継機が点Ｐ１２から点Ｐ１３に移動したとき
に丁度到達した電波であるから、大気ガスの屈折率によ
る電波経路長の誤差を無視して、Ｃ（（ＴＰ１２＋Δ
τ）−ＴＭＸ）は、点ＭＸと点Ｐ１３の距離である。
（表２の電波中継機アンテナに電波が到達した時刻欄の
中で、ＴＰ１２＋Δτと等しい電波が、これに該当す
る。）時刻ＴＭＸを確定する為に、まず、送信機アンテ
ナ位置より、ある一定時間、ある一定時間間隔で、電波
を電波中継機に向け放射され、これらの電波は電波中継
機を経由して、固定地上局に到達する。固定地上局で
は、これらの受信電波を固定地上局に接続された電子計
算機の記憶装置上に表２の様に記憶する。表２を用い、
第４図のフロー・チャートに従い、点ＭＸと点Ｐ１３と
の間の距離を確定する。
（以後、送信機アンテナ位置と呼称する。）は、時刻Ｔ
Ｍ１１のとき、点Ｍ１１にある。衛星に搭載されている
電波中継機のアンテナ位置（以後、電波中継機アンテナ
位置と呼称する。）は、時刻ＴＭ１１のとき、点Ｐ１１
にある。固定地上局のアンテナ位置は、時刻ＴＭ１１の
とき、点Ｗ１１にある。時刻ＴＭ１１のとき、送信機ア
ンテナ位置より、電波が放射され、その電波が電波中継
機アンテナ位置に到達した時刻をＴＰ１２とする。時間
（ＴＰ１２−ＴＭ１１）の間に、送信機アンテナ位置
は、点Ｍ１１から点Ｍ１２に、電波中継機アンテナ位置
は点Ｐ１１から点Ｐ１２に、そして固定地上局アンテナ
位置は、点Ｗ１１から点Ｗ１２に移動する。電波中継機
の電波中継時間をΔτとすると、時刻ＴＰ１２のとき電
波中継機に到達した電波は、時刻（ＴＰ１２＋Δτ）の
とき、電波中継機から放射される。時刻（ＴＰ１２＋Δ
τ）のとき、送信機アンテナ位置は、点Ｍ１３に、電波
中継機アンテナ位置は、点Ｐ１３に、そして固定地上局
アンテナ位置は、点Ｗ１３に移動する。時刻（ＴＰ１２
＋Δτ）のとき、電波中継機アンテナ位置から放射され
た電波が、固定地上局アンテナ位置に到達した時刻をＴ
Ｗ１４とする。時刻ＴＷ１４のとき、送信機アンテナ位
置は、点Ｍ１４に、電波中継機アンテナ位置は、点Ｐ１
４に，固定地上局のアンテナ位置は、点Ｗ１４に移動す
る。以上をまとめると、表１の様になる。又、以上を図
示すると、図３の様になる。時刻ＴＭＸのとき、送信機
アンテナ位置より放射された電波が、電波中継機アンテ
ナ位置に到達した時刻が、（ＴＰ１２＋Δτ）であると
き、電波中継機が点Ｐ１２から点Ｐ１３に移動したとき
に丁度到達した電波であるから、大気ガスの屈折率によ
る電波経路長の誤差を無視して、Ｃ（（ＴＰ１２＋Δ
τ）−ＴＭＸ）は、点ＭＸと点Ｐ１３の距離である。
（表２の電波中継機アンテナに電波が到達した時刻欄の
中で、ＴＰ１２＋Δτと等しい電波が、これに該当す
る。）時刻ＴＭＸを確定する為に、まず、送信機アンテ
ナ位置より、ある一定時間、ある一定時間間隔で、電波
を電波中継機に向け放射され、これらの電波は電波中継
機を経由して、固定地上局に到達する。固定地上局で
は、これらの受信電波を固定地上局に接続された電子計
算機の記憶装置上に表２の様に記憶する。表２を用い、
第４図のフロー・チャートに従い、点ＭＸと点Ｐ１３と
の間の距離を確定する。
【０００５】（２） 固定地上局から放射される電波の
伝搬制御 固定地上局より電波が放射された時刻をＴＷＸ、この時
刻ＴＷＸにおける固定地上局の位置を点ＷＸとする。こ
の電波が、再び固定地上局に戻って来たときの時刻をＴ
ＷＹ、この時刻ＴＷＹの固定地上局の位置を点ＷＹとす
る。送信機アンテナ位置より電波が放射された時刻がＴ
Ｍ１１の電波は、時刻ＴＷ１４のとき固定地上局に到達
する。このときの固定地上局の位置は点Ｗ１４である。
今、時刻ＴＷＹが時刻ＴＷ１４と同じであれば、時刻Ｔ
ＷＸのとき固定地上局から放射された電波は、電波中継
機に到達後、時刻ＴＭ１１のとき送信機アンテナ位置よ
り放射された電波と同一の経路を通る。時刻ＴＷＸを確
定する為に、まず、固定地上局よりある一定時間、ある
一定時間間隔で、電波が放射され、これらの電波は固定
地上局に設置された電子計算機の記憶装置上に、表３の
様に記憶される。表３を用い、図５のフロー・チャート
に従い、点ＷＸと点Ｐ１２との間の距離を求めることが
できる。
伝搬制御 固定地上局より電波が放射された時刻をＴＷＸ、この時
刻ＴＷＸにおける固定地上局の位置を点ＷＸとする。こ
の電波が、再び固定地上局に戻って来たときの時刻をＴ
ＷＹ、この時刻ＴＷＹの固定地上局の位置を点ＷＹとす
る。送信機アンテナ位置より電波が放射された時刻がＴ
Ｍ１１の電波は、時刻ＴＷ１４のとき固定地上局に到達
する。このときの固定地上局の位置は点Ｗ１４である。
今、時刻ＴＷＹが時刻ＴＷ１４と同じであれば、時刻Ｔ
ＷＸのとき固定地上局から放射された電波は、電波中継
機に到達後、時刻ＴＭ１１のとき送信機アンテナ位置よ
り放射された電波と同一の経路を通る。時刻ＴＷＸを確
定する為に、まず、固定地上局よりある一定時間、ある
一定時間間隔で、電波が放射され、これらの電波は固定
地上局に設置された電子計算機の記憶装置上に、表３の
様に記憶される。表３を用い、図５のフロー・チャート
に従い、点ＷＸと点Ｐ１２との間の距離を求めることが
できる。
【０００６】（３）受信モードにあるときの前記物体及
び前記固定地上局における電波伝搬制御 前記物体及び前記固定地上局では、送信モードと受信モ
ードの２モードを順次繰り返す。送信モードにあるとき
は、到来電波の受信は行われず、電波を放射するか又は
何も行わないかのいずれかである。受信モードにあると
きは、電波の放射は行われず、到来電波を受信するか又
は何も行わないかのいずれかである。 （ａ）前記物体が受信モードのとき。 電波がアンテナに到来すると、到来電波はダイプレクサ
経由受信データ・バッフアに格納される。次に、前記物
体備え付けの経時機構により、アンテナから受信データ
・バッフアまでの遅延時間を考慮して、電波のアンテナ
到達時の時刻を確定する。そして、その電波到達時刻を
受信データ・バッフアに格納されているデータの末尾に
付加する。前記物体が送信モードに切り替わると、受信
データ・バッフアの内容が送信機に送られ、更にダイプ
レクサ経由アンテナより放射される。尚、受信データ・
バッフア内のデータは、前記物体が受信モードから送信
モードとなり、そして次の受信モードになるときまで保
証される。受信データ・バッフア内に格納されているデ
ータは、表４の様になる。 （ｂ）受信モードにあるときの前記固定地上局の電波伝
搬制御 到来電波の到達時刻を前記固定地上局内の経時機構によ
り確定し、受信電波の内容を、前記固定地上局に接続さ
れている電子計算機により処理する。
び前記固定地上局における電波伝搬制御 前記物体及び前記固定地上局では、送信モードと受信モ
ードの２モードを順次繰り返す。送信モードにあるとき
は、到来電波の受信は行われず、電波を放射するか又は
何も行わないかのいずれかである。受信モードにあると
きは、電波の放射は行われず、到来電波を受信するか又
は何も行わないかのいずれかである。 （ａ）前記物体が受信モードのとき。 電波がアンテナに到来すると、到来電波はダイプレクサ
経由受信データ・バッフアに格納される。次に、前記物
体備え付けの経時機構により、アンテナから受信データ
・バッフアまでの遅延時間を考慮して、電波のアンテナ
到達時の時刻を確定する。そして、その電波到達時刻を
受信データ・バッフアに格納されているデータの末尾に
付加する。前記物体が送信モードに切り替わると、受信
データ・バッフアの内容が送信機に送られ、更にダイプ
レクサ経由アンテナより放射される。尚、受信データ・
バッフア内のデータは、前記物体が受信モードから送信
モードとなり、そして次の受信モードになるときまで保
証される。受信データ・バッフア内に格納されているデ
ータは、表４の様になる。 （ｂ）受信モードにあるときの前記固定地上局の電波伝
搬制御 到来電波の到達時刻を前記固定地上局内の経時機構によ
り確定し、受信電波の内容を、前記固定地上局に接続さ
れている電子計算機により処理する。
【０００７】（４） 電波伝搬制御を利用した電波経路
長の測定 点Ｍ１１と点Ｐ１２との間の距離をＬ１とする（図６
参照）。大気ガス（電離層を含む。）の屈折率の影響に
より、 Ｌ１＝［〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα１ｉ＋｛ｃ（ＴＰ１２−ＴＭ１１） −ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１ｉ）｝ｓｉｎα１０〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ１２−ＴＭ１１）−ｈΣｉ＝１ ｎ（ １／ｃｏｓα１ｉ）｝ｃｏｓα１０〕２］１／２ ｎｈは点Ｍ１１から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率
が１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高
度差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中に
おける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、ＴＭ１１は点Ｍ１１から電波の放射された時刻、α
１ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各平行平面層への電波の
入射角、α１０は点Ｍ１１から高さｎｈｋｍの上空の平
行平面層への電波の屈折角である。スネルの法則から、
平行平面層（ｎ＝１〜１２）においては、 ｎ１Ｂｓｉｎα１Ｂ＝ｎ１１ｓｉｎα１１＝ｎ１２ｓｉ
ｎα１２＝・・・・・＝ｎ１ｉｓｉｎα１ｉ＝・・・・
・＝ｎ１１２ｓｉｎα１１２＝ｎ１０ｓｉｎα１０ ｎ１０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。又、
ｎ１Ｂは点Ｍ１１における大気ガスの屈折率であり、点
Ｍ１１の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定することに
より求まる。ｎ１１，ｎ１２，・・・・・ｎ１ｉ・・・
・・ｎ１１２はｎ１Ｂ及び点Ｍ１１の上空１ｋｍの大気
ガスの屈折指数が判れば、実験式より求まる。平行球面
層（ｎ＝１２〜５００）においては、 （ｎ１１２＋１２／ａ）ｓｉｎα１１２＝（ｎ１１３＋
１３／ａ）ｓｉｎα１１３＝・・・・・・＝（ｎ１ｉ＋
ｉ／ａ）ｓｉｎα１ｉ＝・・・・・＝（ｎ１５００＋５
００／ａ）ｓｉｎα１５００＝ｎ１０ｓｉｎα１０ 但し、ａは地球の半径、ｎ１１２，ｎ１１３・・・・・
ｎ１ｉ，・・・・・ｎ１５００は成層圏及び電離層の大
気ガスの屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より
安定しており，特許願い３−１２８４８９記載の方法で
求めておく。又、α１０は仰角の計算方法から、 より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、ｋｉはα１０
に対応する比例定数である。以上から、Ｌ１は定まる。
即ち、点Ｍ１１と点Ｐ１２との間の最短距離は確定す
る。 点Ｐ１３と点Ｗ１４との間の距離をＬ３とする（図７
参照）。大気ガス（電離層を含める。）の屈折率の影響
により、 Ｌ３＝［〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα３ｉ＋｛ｃ（ＴＷ１４−（ＴＰ１２＋Δ τ））−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα３ｉ）｝ｓｉｎα３０〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（ＴＷ１４−（ＴＰ１２＋Δτ））−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓα３ｉ）｝ｃｏｓα３０〕２］１／２ ｎｈは地表面から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、ＴＭ１１は点Ｍ１１から電波の放射された時刻、Ｔ
Ｗ１４は点Ｍ１１から時刻ＴＭ１１のとき放射された電
波が、電波中継機経由固定地上局アンテナ位置Ｗ１４に
到達した時刻、α３ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各平行
平面層への電波の屈折角、α３０は地表面から高さｎｈ
ｋｍの上空の平行平面層への電波の入射角である。スネ
ルの法則から、平行平面層（ｉ＝１〜１２）において
は、 ｎ３Ｂｓｉｎα３Ｂ＝ｎ３１ｓｉｎα３１＝ｎ３２ｓｉ
ｎα３２＝・・・・・＝ｎ３ｉｓｉｎα３１・・・・・
＝ｎ３１２ｓｉｎα３１２＝ｎ３０ｓｉｎα３０ ｎ３０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。又、
ｎ３ＢはＷ１４における大気ガスの屈折率であり、点Ｗ
１４の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定することによ
り求まる。ｎ３１，ｎ３２，・・・・・ｎ３ｉ・・・・
・ｎ３１２はｎ３Ｂ及び点Ｗ１４の上空１ｋｍの大気ガ
スの屈折指数が判れば、実験式より求まる。平行球面層
（ｉ＝１２〜５００）においては、 （ｎ３１２＋１２／ａ）ｓｉｎα３１２＝（ｎ３１３＋
１３／ａ）ｓｉｎα３１３＝・・・・・＝（ｎ３ｉ＋ｉ
／ａ）ｓｉｎα３ｉ＝・・・・・・・・・・・＝（ｎ
３５００＋５００／ａ）ｓｉｎα３５００＝ｎ３０ｓｉ
ｎα３０ 但し、ａは地球の半径、ｎ３１２，ｎ３１３，・・・・
・ｎ３ｉ・・・・・ｎ３５００は成層圏及び電離層の大
気ガスの屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より
安定しており、特許願い３−１２８４８９記載の方法で
求めておく。 又、α３０は仰角の計算方法から、 より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、ｋｉα３０に
対応する比例定数である。以上から、Ｌ３は定まる。即
ち、点Ｐ１３と点Ｗ１４との間の最短距離は確定する。 点ＷＸと点Ｗ１４との間の距離をＬ５とする（図７参
照）。 Ｌ５＝Ｖ（ＴＷ１４−ＴＷＸ） Ｖは地球の自転速度。ＴＷ１４は送信機アンテナ位置Ｍ
１１から時刻ＴＭ１１のとき放射された電波が、電波中
継機経由固定地上局アンテナ位置Ｗ１４に到達した時
刻。ＴＷＸは電波中継機アンテナ位置Ｐ１２に到達した
時刻がＴＰ１２であるように、固定地上局アンテナ位置
ＷＸから放射された電波の放射時刻。ＴＰ１２は送信機
アンテナ位置Ｍ１１から、時刻ＴＭ１１のとき放射され
た電波が、電波中継機アンテナ位置Ｐ１２に到達した時
刻。 点Ｐ１２と点ＷＸとの間の距離をＬ６とする（図７参
照）。大気ガス（電離層を含める。）の屈折率の影響に
より、 Ｌ６＝［〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ６ｉ＋｛ｃ（ＴＰ１２−ＴＷＸ）−ｈΣｉ−１ ｎ （１／ｃｏｓα６ｉ）｝ｓｉｎα６０〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ１２−ＴＷＸ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓα６ｉ）｝ｃｏｓα６０〕２］１／２ ｎｈは地表面から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、ＴＷＸは電波中継機アンテナ位置Ｐ１２に到達した
時刻がＴＰ１２であるように、固定地上局アンテナ位置
ＷＸから放射された電波の放射時刻。α６ｉ（ｉ＝１〜
ｎ）は厚さｈの各平行平面層への電波の入射角、α６０
は地表面から高さｎｈｋｍの上空の平行平面層への電波
の屈折角である。スネルの法則から、平行平面層（ｉ＝
１〜１２）においては、 ｎ６Ｂｓｉｎα６Ｂ＝ｎ６１ｓｉｎα６１＝ｎ６２ｓｉ
ｎα６２＝・・・・＝ｎ６ｉｓｉｎα６ｉ＝・・・・＝
ｎ６１２ｓｉｎα６１２＝ｎ６０ｓｉｎα６０ ｎ６０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。又、
ｎ６Ｂ点ＷＸにおける大気ガスの屈折率であり、点ＷＸ
の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定することにより求
まる。ｎ６１，ｎ６２，・・・・・ｎ６ｉ・・・・・ｎ
６１２はｎ６Ｂ及び点ＷＸの上空１ｋｍの大気ガスの屈
折指数が判れば、実験式より求まる。平行球面層（ｉ＝
１２〜５００）においては、 （ｎ６１２＋１２／ａ）ｓｉｎα６１２＝（ｎ６１３＋
１３／ａ）ｓｉｎα６１３＝・・・・・＝（ｎ６ｉ＋ｉ
／ａ）ｓｉｎα６ｉ＝・・・・・・・・＝（ｎ６５００
＋５００／ａ）ｓｉｎα６５００＝ｎ６０ｓｉｎα６０ 但し、ａは地球の半径、ｎ６１２，ｎ６１３，・・・・
・ｎ６ｉ・・・・・ｎ６５００は成層圏及び電離層の大
気ガスの屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より
安定であり，特許願い３−１２８４８９記載の方法で求
めておく。又、α６０は仰角の計算方法から、 より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、ｋｉはα６０
に対応する比例定数である。以上から、Ｌ６ が定ま
る。即ち、点Ｐ１２と点ＷＸとの間の最短距離は確定す
る。 点Ｐ１３と点ＭＸとの間の距離をＬ７とする（図６参
照）。大気ガス（電離層を含める。）の屈折率の影響に
より、 Ｌ７＝［〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ７ｉ＋｛ｃ（（ＴＰ１２＋Δτ）−ＴＭ Ｘ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα７ｉ）｝ｓｉｎα７０〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（（ＴＰ１２＋Δτ）−ＴＭＸ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα７ｉ ）｝ｃｏｓα７０〕２］１／２ ｎｈは点Ｍ１１から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率
が１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高
度差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中に
おける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、ＴＭＸは電波中継機アンテナ位置Ｐ１３に到達した
時刻がＴＰ１２＋Δτであるように、送信機アンテナ位
置ＭＸから放射された電波の放射時刻。α７ｉ（ｉ＝１
〜ｎ）は厚さｈの各平行平面層への電波の入射角、α
７０は点ＭＸから高さｎｈｋｍの上空の平行平面層への
電波の屈折角である。スネルの法則から、平行平面層
（ｉ＝１〜１２）においては、 ｎ７Ｂｓｉｎα７Ｂ＝ｎ７１ｓｉｎα７１＝ｎ７２ｓｉ
ｎα７２＝・・・・・＝ｎ７ｉｓｉｎα７ｉ＝・・・・
・・・・・・＝ｎ７１２ｓｉｎα７１２＝ｎ７０ｓｉｎ
α７０ ｎ７０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。又、
ｎ７Ｂは点Ｍ１１における大気ガスの屈折率であり、点
Ｍ１１の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定することに
より求まる。ｎ７１，ｎ７２，・・・・・ｎ７ｉ・・・
・・ｎ７１２はｎ７Ｂ及び点Ｍ１１の上空１ｋｍの大気
ガスの屈折指数が判れば、実験式より求まる。平行球面
層（ｉ＝１２〜５００）においては、 （ｎ７１２＋１２／ａ）ｓｉｎα７１２＝（ｎ７１３＋
１３／ａ）ｓｉｎα７１３＝・・・・・＝（ｎ７ｉ＋ｉ
／ａ）ｓｉｎα７ｉ＝・・・・・・・・＝（ｎ７５００
＋５００／ａ）ｓｉｎα７５００＝ｎ７０ｓｉｎα ７０ 但し、ａは地球の半径、ｎ７１２，ｎ７１３，・・・・
・ｎ７ｉ・・・・・ｎ７５００は成層圏及び電離層の大
気ガスの屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より
安定しており、特許願い３−１２８４８９記載の方法で
求めておく。 又、α７０は仰角の計算方法から、 より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、ｋ１はα７０
に対応する比例定数である。以上から、Ｌ７は定まる。
即ち、点Ｐ１３と点ＭＸとの間の最短距離は確定する。 点Ｍ１１と点ＭＹとの間の距離をＬ９、点Ｐ１２と点
ＭＹとの間の距離をＬ１０とする（図６参照）。時刻Ｔ
Ｍ１１のとき、送信機アンテナ位置Ｍ１１から電波中継
機に向け放射された電波は、時刻ＴＰ１２のとき、この
電波中継機に到達する。この時刻ＴＰ１２のとき、この
電波中継機から地上の受信モードにある測量者に向け放
射される電波を選択する。この選択された電波が、地上
の受信モードにある測量者に到達する時刻をＴＭＹとす
る。又、時刻ＴＭＹのときの地上の受信モードにある測
量者の位置を点ＭＹとする。 Ｌ９＝Ｖ（ＴＭＹ−ＴＭ１１） Ｖは地球の自転速度。ＴＭ１１は送信機アンテナ位置Ｍ
１１から、電波中継機に向け電波が放射された時刻。大
気ガス（電離層を含める。）の屈折率の影響により、 Ｌ１０＝［〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ１０ｉ＋｛ｃ（（ＴＭＹ−ＴＰ１２ ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１０ｉ）｝ｓｉｎα１００〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（ＴＭＹ−ＴＰ１２）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１０ｉ）｝ ｃｏｓα１００〕２］１／２ ｎｈは点Ｍ１１から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率
が１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高
度差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中に
おける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１からから時
刻ＴＭ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達す
る時刻、α１０ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各平行平面
層への電波の屈折角、α１００は点Ｍ１１から高さｎｈ
ｋｍの上空の平行平面層への電波の入射角である。スネ
ルの法則から平行平面層（ｉ＝１〜１２）においては、 ｎ１０Ｂｓｉｎα１０Ｂ＝ｎ１０１ｓｉｎα１０１＝ｎ
１０２ｓｉｎα１０２・・・・・＝ｎ１０ｉｓｉｎα
１０ｉ＝・・・・・＝ｎ１０１２ｓｉｎα１０１２＝ｎ
１００ｓｉｎα１００ ｎ１００は真空中の電波の屈折率で既知の値である。
又、ｎ１０Ｂは点ＭＸにおける大気ガスの屈折率であ
り、点Ｍ１１の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定する
ことにより求まる。ｎ１０１，ｎ１０２，・・・・・ｎ
１０ｉ・・・・・ｎ１０１２はｎ１０Ｂ及び点Ｍ１１の
上空１ｋｍの大気ガスの屈折指数が判れば、実験式より
求まる。平行球面層（ｉ＝１２〜５００）においては、 （ｎ１０１２＋１２／ａ）ｓｉｎα１０１２＝（ｎ
１０１３＋１３／ａ）ｓｉｎα１０１３＝・・・・・＝
（ｎ１０ｉ＋ｉ／ａ）ｓｉｎα１０ｉ＝・・・・・・・
・・・＝（ｎ１０５００＋５００／ａ）ｓｉｎα
１０５００＝ｎ１００ｓｉｎα１００ 但し、ａは地球の半径、ｎ１０１２，ｎ１０１３，・・
・・・ｎ１０ｉ・・・・・ｎ１０５００は成層圏及び電
離層の大気ガスの屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈
折率より安定しており、特許願い３−１２８４８９記載
の方法で求めておく。又、α１００は仰角の計算方法か
ら、 より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、ｋｉはα
１００に対応する比例定数である。以上から、Ｌ１０は
定まる。即ち、点Ｐ１２と点ＭＹとの間の最短距離は確
定する。 点Ｍ１１と点Ｐ１３との間の距離をＬ８とする（図６
参照）。点Ｍ１１と点ＭＸとの間の距離をＬ１１とす
る。 Ｌ１１＝Ｖ（ＴＭＸ−ＴＭ１１） Ｖは地球の自転速度。ＴＭＸは衛星搭載の電波中継機の
アンテナ位置Ｐ１３に到達した時刻がＴＰ１２＋Δτと
なるように、送信機アンテナ位置ＭＸから電波が放射れ
た時刻。三角形の余弦第２法則により、 Ｌ１０ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ９ ２−２Ｌ１Ｌ９ｃｏｓ∠Ｐ１２・Ｍ１１・Ｍ Ｙ ∴ｃｏｓ∠Ｐ１２・Ｍ１１・ＭＹ＝（Ｌ１ ２＋Ｌ９ ２−Ｌ１０ ２）／２Ｌ１Ｌ９ ・・・・・・・・・・・・・（Ｂ−１） 点Ｐ１２と点ＭＸとの間の距離をＬ１２とすると、 Ｌ１２ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ１１ ２−２Ｌ１Ｌ１１ｃｃｓ∠Ｐ１２・Ｍ１１ ・ＭＹ・・・・・・・・・・・・・・（Ｂ−２） 式（Ｂ−１）を式（Ｂ−２）へ代入する。 Ｌ１２ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ１１ ２−（２Ｌ１Ｌ１１）・｛（Ｌ１ ２＋Ｌ９ ２ −Ｌ１０ ２）／２Ｌ１Ｌ９｝ ＝Ｌ１ ２＋Ｌ１１ ２−Ｌ１１（Ｌ１ ２＋Ｌ９ ２−Ｌ１０ ２）／Ｌ９・・・・・・ ・・・・・・・・・（Ｂ−３） 式（Ｂ−３）より、点Ｐ１２と点ＭＸとの間の距離Ｌ
１２は確定する。∠Ｐ１３・Ｐ１２・ＭＸ＝γ、∠Ｍ１
１・Ｐ１２・ＭＸ＝δとする。 Ｌ７ ２＝Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−２Ｌ２Ｌ１２ｃｏｓγ ∴ｃｏｓγ＝（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／２Ｌ２Ｌ１２・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・（Ｂ−４） Ｌ１１ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−２Ｌ１Ｌ１２ｃｏｓδ ∴ｃｏｓδ＝（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／２Ｌ１Ｌ１２・・・・・・・ ・・・・・・・・・（Ｂ−５） ∠Ｍ１１・Ｐ１２・Ｐ１３＝γ＋δである。 Ｌ８ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ２ ２−２Ｌ１Ｌ２ｃｏｓ（γ＋δ） ＝Ｌ１ ２＋Ｌ２ ２−２Ｌ１Ｌ２（ｃｏｓγｃｏｓδ−ｓｉｎγｓｉ ｎδ）・・・・・・・・・・・・・・・（Ｂ−６） ｓｉｎγ＝（１−ｃｏｓ２γ）１／２＝〔１−｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２ ）／（２Ｌ２Ｌ１２）｝２〕１／２・・・・・（Ｂ−７） ｓｉｎδ＝（１−ｃｏｓ２δ）１／２＝〔１−｛（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２ ）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝２〕１／２・・・・・（Ｂ８） 式（Ｂ−４）、（Ｂ−５）、（Ｂ−７）及び（Ｂ−８）
を式（Ｂ−６）へ代入する。 Ｌ８ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ２ ２−２Ｌ１Ｌ２［｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／（ ２Ｌ２Ｌ１２）｝｛Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝ −〔１−｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／（２Ｌ２Ｌ１２）｝２１／２・〔１ −｛（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝２〕１／２］ Ｌ８＝＜Ｌ１ ２＋Ｌ２ ２−２Ｌ１Ｌ２［｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／（２ Ｌ２Ｌ１２）｝｛（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝ −〔１−｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／（２Ｌ２Ｌ１２）｝２〕１／２・〔 １−｛（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝２〕１／２］１／ ２ ＞１／２ 以上からＬ８は確定する。 点ＷＹと点Ｗ１４との間の距離をＬ２１とする（図７
参照）。 Ｌ２１＝Ｖ（ＴＷ１４−ＴＷＹ） Ｖは地球の自転速度。ＴＷ１４は送信機アンテナ位置Ｍ
１１から時刻ＴＭ１１のとき放射された電波が、電波中
継機経由固定地上局アンテナ位置Ｗ１４に到達した時
刻。ＴＷＹは時刻ＴＰ１２のとき電波中継機アンテナ位
置Ｐ１２から放射された電波が固定地上局位置ＷＹに到
達した時刻。 点Ｐ１２と点ＷＹとの間の距離をＬ２０とする（図７
参照）。大気ガス（電離層を含める。）の屈折率の影響
により、 Ｌ２０＝［〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα２０ｉ＋｛ｃ（ＴＷＹ−ＴＰ１２ ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα２０ｉ）｝ｓｉｎα２００〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（ＴＷＹ−ＴＰ１２）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα２０ｉ）｝ ｃｏｓα２００〕２］１／２ ｎｈは地表面から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表に平行に分割したときの高度差
で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中におけ
る電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達した時
刻、α２０ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各平行平面層へ
の電波の屈折角、α２００は点ＭＹから高さｎｈｋｍの
上空の平行平面層への電波の入射角である。スネルの法
則から平行平面層（ｉ＝１〜１２）においては、 ｎ２０Ｂｓｉｎα２０Ｂ＝ｎ２０１ｓｉｎα２０１＝ｎ
２０２ｓｉｎα２０２＝・・・・・・＝ｎ２０ｉｓｉｎ
α２０ｉ＝・・・・・・＝ｎ２０１２ｓｉｎα２０１２
＝ｎ２００ｓｉｎα２００ ｎ２００は真空中の電波の屈折率で既知の値である。
又、ｎ２０Ｂは点ＭＹにおける大気ガスの屈折率であ
り、点ＭＹの大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定するこ
とにより求まる。ｎ２０１，ｎ２０２，・・・・・ｎ
２０ｉ・・・・・ｎ２０１２はｎ２０Ｂ及び点ＭＹの上
空１ｋｍの大気ガスの屈折指数が判れば、実験式より求
まる。平行球面層（ｉ＝１２〜５００）においては、 （ｎ２０１２＋１２／ａ）ｓｉｎα２０１２＝（ｎ
２０１３＋１３／ａ）ｓｉｎα２０１３＝・・・・・・
＝（ｎ２０ｉ＋ｉ／ａ）ｓｉｎα２０ｉ＝・・・・・・
・・・・・・＝（ｎ２０５００＋５００／ａ）ｓｉｎα
２０５００＝ｎ２００ｓｉｎα２００ 但し、ａは地球の半径、ｎ２０１２，ｎ２０１３，・・
・・・ｎ２０ｉ・・・・・ｎ２０５００は成層圏及び電
離層の大気ガスの屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈
折率より安定しており、特許願い３−１２８４８９記載
の方法で求めておく。又、α２００は仰角の計算方法か
ら、 より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、ｋｉはα
２００に対応する比例定数である。以上から、Ｌ２０は
定まる。即ち、点Ｐ１２と点ＷＹとの間の最短距離は確
定する。 ▲１０▼点Ｐ１２と点Ｗ１４との間の距離をＬ１３とす
る（図７参照）。点Ｗ１４を原点とする点Ｐ１２の座標
をＰ１２（Ｘ，Ｙ）とする。 （Ｘ−Ｌ５）２＋Ｙ２ ２＝Ｌ６ ２・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・（Ｃ−１） （Ｘ−Ｌ２１）２＋Ｙ２＝Ｌ２０ ２・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・（Ｃ−２） 式（Ｃ−１）及び（Ｃ−２）より、 Ｘ＝（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２−Ｌ５ ２＋Ｌ２１ ２）／２（Ｌ２１−Ｌ５） ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｃ−３） 式（Ｃ−３）を式（Ｃ−１）へ代入。 Ｙ＝〔Ｌ６ ２−｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２−２Ｌ５Ｌ２１＋Ｌ５ ２ ）／２（Ｌ２１−Ｌ５）｝２〕１／２・・・・・・（Ｃ−４） 式（Ｃ−３）及び（Ｃ−４）より、 Ｌ１３ ２＝Ｘ２＋Ｙ２＝｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２−Ｌ５ ２＋Ｌ２１ ２） ／２（Ｌ２１−Ｌ５）｝２＋［〔Ｌ６ ２−｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２−２ Ｌ５Ｌ２１＋Ｌ５ ２）／２（Ｌ２１−Ｌ５）｝２〕１／２］２ ∴Ｌ１３＝［｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２−Ｌ５ ２＋Ｌ２１ ２）／２（Ｌ２１ −Ｌ５）｝２ ＋〔Ｌ６ ２−｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２−２Ｌ５Ｌ２１＋Ｌ５ ２ ）／２（Ｌ２１−Ｌ５）｝２〕］１／２ 以上から、Ｌ１３は定まる。即ち、点Ｐ１２と点Ｗ１４
との間の最短距離は確定する。 ▲１１▼時刻ＴＷ１４のときの固定地上局の位置Ｗ１４
を原点として、時刻ＴＰ１２のときの電波中継機の位置
Ｐ１２の座標をＰ１２（ＸＰ１２，ＹＰ１２，
ＺＰ１２）とする（図７参照）。点Ｐ１２から放射され
た電波が、固定地上局の位置ＷＹに到達したときの電波
の仰角をβ２０ｎとすると、項から仰角β２０ｎは確
定している。 ＸＰ１２ ２＋ＹＰ１２ ２＋ＺＰ１２ ２＝Ｌ１３ ２・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・（Ｇ−１） ＸＰ１２ ２＋（ＹＰ１２−Ｌ２１）２＋ＺＰ１２ ２＝Ｌ２０ ２・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｇ−２） ＺＰ１２＝Ｌ２０ｓｉｎβ２０ｎ・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・（Ｇ−３） 式（Ｇ−１），（Ｇ−２）より、 ＹＰ１２＝（Ｌ１３ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２）／２Ｌ２１・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｇ−４） 式（Ｇ−１），（Ｇ−３）及び（Ｇ−４）より、 ＸＰ１２＝〔Ｌ１３ ２−｛（Ｌ１３ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２）／（２ Ｌ２１）｝２−Ｌ２０ ２ｓｉｎ２β２０ｎ〕１／２・・（Ｇ−５） Ｌ１３、Ｌ２０、Ｌ２１及びβ２０ｎは確定しているか
ら、点Ｐ１２の座標Ｐ１２（ＸＰ１２，ＹＰ１２，Ｚ
Ｐ１２）も確定する。 ▲１２▼点ＷＺと点Ｐ１３との間の距離をＬ１８とする
（図７参照）。大気ガス（電離層を含める。）の屈折率
の影響により、 Ｌ１８＝［〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα１８ｉ＋｛ｃ（（ＴＰ１２＋Δτ）−ＴＷＺ ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１８ｉ）｝ｓｉｎα１８０〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（（ＴＰ１２＋Δτ）−ＴＷＺ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓα１８ｉ）｝ｃｏｓα１８０〕２］１／２ ｎｈは地表面から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達した時
刻、ＴＷＺは電波中継機アンテナ位置Ｐ１３に到達した
時刻がＴＰ１２＋Δτであるように、固定地上局アンテ
ナ位置ＷＺから放射された電波の放射時刻。α
１８ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各平行平面層への電波
の入射角、α１８０は地表面から高さｎｈｋｍの上空の
平面平行層への電波の屈折角である。スネルの法則か
ら、平行平面層（ｉ＝１〜１２）においては、 ｎ１８Ｂｓｉｎα１８Ｂ＝ｎ１８１ｓｉｎα１８１＝ｎ
１８２ｓｉｎα１８２・・・・・・＝ｎ１８ｉｓｉｎα
１８ｉ＝・・・・・・＝ｎ１８１２ｓｉｎα１８１２＝
ｎ１８０ｓｉｎα１８０ ｎ１８０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。
又、ｎ１８Ｂは点Ｗ１４における大気ガスの屈折率であ
り、点Ｗ１４の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定する
ことにより求まる。ｎ１８１，ｎ１８２・・・・・ｎ
１８ｉ・・・・・・ｎ１８１２はｎ１８Ｂ及び点Ｗ１４
の上空１ｋｍの大気ガスの屈折指数が判れば、実験式よ
り求まる。平行球面層（ｉ＝１２〜５００）において
は、 （ｎ１８１２＋１２／ａ）ｓｉｎα１８１２＝（ｎ
１８１３＋１３／ａ）ｓｉｎα１８１３＝・・・・・・
＝（ｎ１８ｉ＋ｉ／ａ）ｓｉｎα１８ｉ＝・・・・・・
＝（ｎ１８５００＋５００／ａ）ｓｉｎα１８５００＝
ｎ１８０ｓｉｎα１８０ 但し、ａは地球の半径、ｎ１８１２，ｎ１８１３・・・
・・・ｎ１８ｉ・・・・・・ｎ１８５００は成層圏及び
電離層の大気ガスの屈折率であり、対流圏の大気ガスの
屈折率より安定しており、特許願い３−１２８４８９記
載の方法で求めておく。又、α１８０は仰角の計算方法
から、 より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、ｋｉはα
１８０に対応する比例定数である。以上から、Ｌ１８は
定まる。即ち、点ＷＺと点Ｐ１３との間の距離Ｌ１８が
確定する。 ▲１３▼点ＷＺと点Ｗ１４との間の距離をＬ２２とする
（図７参照）。 Ｌ２２＝Ｖ（ＴＷ１４−ＴＷＺ） Ｖは地球の自転速度。ＴＷ１４は送信機アンテナ位置Ｍ
１１から時刻ＴＭ１１のとき放射された電波が、電波中
継機経由地上局アンテナ位置Ｗ１４に到達した時刻。Ｔ
ＷＺは電波中継機アンテナ位置Ｐ１３に到達した時刻が
ＴＰ１２＋Δτであるように、固定地上局アンテナ位置
ＷＺから放射された電波の放射時刻。以上から、Ｌ２２
は定まる。即ち、点ＷＺと点Ｗ１４との間の最短距離は
確定する。 ▲１４▼時刻ＴＷ１４のときの固定地上局の位置Ｗ１４
を原点として、時刻ＴＰ１２＋Δτのときの電波中継機
の位置Ｐ１３の座標をＰ１３（ＸＰ１３，ＹＰ１３，Ｚ
Ｐ１３）とする（図７参照）。点Ｐ１３から放射された
電波が、固定地上局の位置Ｗ１４に到達したときの電波
の仰角をβ３ｎとすると、項より、仰角β３ｎは確定
しているから、 ＸＰ１３ ２＋ＹＰ１３ ２＋ＺＰ１３ ２＝Ｌ３ ２・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・（Ｈ−１） ＸＰ１３ ２＋（ＹＰ１３−Ｌ２２）２＋ＺＰ１３ ２＝Ｌ１８ ２・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｈ−２） ＺＰ１３＝Ｌ３ｓｉｎβ３ｎ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・（Ｈ−３） 式（Ｈ−１），（Ｈ−２）より、 ＹＰ１３＝（Ｌ３ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ２２ ２）／２Ｌ２２・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｈ−４） 式（Ｈ−１），（Ｈ−３）及び（Ｈ−４）より、 ＸＰ１３＝〔Ｌ３ ２−｛（Ｌ３ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ２２ ２）／２Ｌ２２ ｝２−Ｌ３ ２ｓｉｎ２β３ｎ〕１／２・・・・・・・・・・（Ｈ−５） Ｌ３、Ｌ１８、Ｌ２２及びβ３ｎは確定しているから、
点Ｐ１３の座標Ｐ１３（ＸＰ１３，ＹＰ１３，
ＺＰ１３）も確定する。 ▲１５▼点Ｐ１２と点Ｐ１３との間の距離をＬ２とする
（図７参照）。 Ｌ２＝｛（ＸＰ１２−ＸＰ１３）２＋（ＹＰ１２−ＹＰ１３）２＋（ ＺＰ１２−ＺＰ１３）２｝１／２ 点Ｐ１２及び点Ｐ１３の座標は確定しているから，Ｌ２
も確定する。 ▲１６▼点Ｐ１２から点ＭＹを通る水平面に垂線を下ろ
し、その足を点Ｑ１２とする。時刻ＴＭ１１のとき、送
信機アンテナ位置Ｍ１１から電波中継機に向け放射され
た電波は、時刻ＴＰ１２のとき、この電波中継機に到達
する。この時刻ＴＰ１２のとき、この電波中継機から地
上の受信モードにある測量者に向け放射される電波を選
択する。この選択された電波が、地上の受信モードにあ
る測量者に到達する時刻をＴＭＹとする。点Ｐ１２と点
Ｑ１２との間の距離をＬ１０Ｚとすると、 Ｌ１０Ｚ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＭＹ−ＴＰ１２）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃ ｏｓα１０ｉ）｝ｃｏｓα１００ ｎｈは点ＭＹから高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、α１０ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各平行平面層へ
の電波の屈折角、α１００は地表面から高さｎｈｋｍの
上空の平行平面層への電波の入射角である。従って、Ｌ
１０Ｚは確定する。
長の測定 点Ｍ１１と点Ｐ１２との間の距離をＬ１とする（図６
参照）。大気ガス（電離層を含む。）の屈折率の影響に
より、 Ｌ１＝［〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα１ｉ＋｛ｃ（ＴＰ１２−ＴＭ１１） −ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１ｉ）｝ｓｉｎα１０〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ１２−ＴＭ１１）−ｈΣｉ＝１ ｎ（ １／ｃｏｓα１ｉ）｝ｃｏｓα１０〕２］１／２ ｎｈは点Ｍ１１から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率
が１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高
度差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中に
おける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、ＴＭ１１は点Ｍ１１から電波の放射された時刻、α
１ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各平行平面層への電波の
入射角、α１０は点Ｍ１１から高さｎｈｋｍの上空の平
行平面層への電波の屈折角である。スネルの法則から、
平行平面層（ｎ＝１〜１２）においては、 ｎ１Ｂｓｉｎα１Ｂ＝ｎ１１ｓｉｎα１１＝ｎ１２ｓｉ
ｎα１２＝・・・・・＝ｎ１ｉｓｉｎα１ｉ＝・・・・
・＝ｎ１１２ｓｉｎα１１２＝ｎ１０ｓｉｎα１０ ｎ１０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。又、
ｎ１Ｂは点Ｍ１１における大気ガスの屈折率であり、点
Ｍ１１の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定することに
より求まる。ｎ１１，ｎ１２，・・・・・ｎ１ｉ・・・
・・ｎ１１２はｎ１Ｂ及び点Ｍ１１の上空１ｋｍの大気
ガスの屈折指数が判れば、実験式より求まる。平行球面
層（ｎ＝１２〜５００）においては、 （ｎ１１２＋１２／ａ）ｓｉｎα１１２＝（ｎ１１３＋
１３／ａ）ｓｉｎα１１３＝・・・・・・＝（ｎ１ｉ＋
ｉ／ａ）ｓｉｎα１ｉ＝・・・・・＝（ｎ１５００＋５
００／ａ）ｓｉｎα１５００＝ｎ１０ｓｉｎα１０ 但し、ａは地球の半径、ｎ１１２，ｎ１１３・・・・・
ｎ１ｉ，・・・・・ｎ１５００は成層圏及び電離層の大
気ガスの屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より
安定しており，特許願い３−１２８４８９記載の方法で
求めておく。又、α１０は仰角の計算方法から、 より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、ｋｉはα１０
に対応する比例定数である。以上から、Ｌ１は定まる。
即ち、点Ｍ１１と点Ｐ１２との間の最短距離は確定す
る。 点Ｐ１３と点Ｗ１４との間の距離をＬ３とする（図７
参照）。大気ガス（電離層を含める。）の屈折率の影響
により、 Ｌ３＝［〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα３ｉ＋｛ｃ（ＴＷ１４−（ＴＰ１２＋Δ τ））−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα３ｉ）｝ｓｉｎα３０〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（ＴＷ１４−（ＴＰ１２＋Δτ））−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓα３ｉ）｝ｃｏｓα３０〕２］１／２ ｎｈは地表面から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、ＴＭ１１は点Ｍ１１から電波の放射された時刻、Ｔ
Ｗ１４は点Ｍ１１から時刻ＴＭ１１のとき放射された電
波が、電波中継機経由固定地上局アンテナ位置Ｗ１４に
到達した時刻、α３ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各平行
平面層への電波の屈折角、α３０は地表面から高さｎｈ
ｋｍの上空の平行平面層への電波の入射角である。スネ
ルの法則から、平行平面層（ｉ＝１〜１２）において
は、 ｎ３Ｂｓｉｎα３Ｂ＝ｎ３１ｓｉｎα３１＝ｎ３２ｓｉ
ｎα３２＝・・・・・＝ｎ３ｉｓｉｎα３１・・・・・
＝ｎ３１２ｓｉｎα３１２＝ｎ３０ｓｉｎα３０ ｎ３０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。又、
ｎ３ＢはＷ１４における大気ガスの屈折率であり、点Ｗ
１４の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定することによ
り求まる。ｎ３１，ｎ３２，・・・・・ｎ３ｉ・・・・
・ｎ３１２はｎ３Ｂ及び点Ｗ１４の上空１ｋｍの大気ガ
スの屈折指数が判れば、実験式より求まる。平行球面層
（ｉ＝１２〜５００）においては、 （ｎ３１２＋１２／ａ）ｓｉｎα３１２＝（ｎ３１３＋
１３／ａ）ｓｉｎα３１３＝・・・・・＝（ｎ３ｉ＋ｉ
／ａ）ｓｉｎα３ｉ＝・・・・・・・・・・・＝（ｎ
３５００＋５００／ａ）ｓｉｎα３５００＝ｎ３０ｓｉ
ｎα３０ 但し、ａは地球の半径、ｎ３１２，ｎ３１３，・・・・
・ｎ３ｉ・・・・・ｎ３５００は成層圏及び電離層の大
気ガスの屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より
安定しており、特許願い３−１２８４８９記載の方法で
求めておく。 又、α３０は仰角の計算方法から、 より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、ｋｉα３０に
対応する比例定数である。以上から、Ｌ３は定まる。即
ち、点Ｐ１３と点Ｗ１４との間の最短距離は確定する。 点ＷＸと点Ｗ１４との間の距離をＬ５とする（図７参
照）。 Ｌ５＝Ｖ（ＴＷ１４−ＴＷＸ） Ｖは地球の自転速度。ＴＷ１４は送信機アンテナ位置Ｍ
１１から時刻ＴＭ１１のとき放射された電波が、電波中
継機経由固定地上局アンテナ位置Ｗ１４に到達した時
刻。ＴＷＸは電波中継機アンテナ位置Ｐ１２に到達した
時刻がＴＰ１２であるように、固定地上局アンテナ位置
ＷＸから放射された電波の放射時刻。ＴＰ１２は送信機
アンテナ位置Ｍ１１から、時刻ＴＭ１１のとき放射され
た電波が、電波中継機アンテナ位置Ｐ１２に到達した時
刻。 点Ｐ１２と点ＷＸとの間の距離をＬ６とする（図７参
照）。大気ガス（電離層を含める。）の屈折率の影響に
より、 Ｌ６＝［〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ６ｉ＋｛ｃ（ＴＰ１２−ＴＷＸ）−ｈΣｉ−１ ｎ （１／ｃｏｓα６ｉ）｝ｓｉｎα６０〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ１２−ＴＷＸ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓα６ｉ）｝ｃｏｓα６０〕２］１／２ ｎｈは地表面から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、ＴＷＸは電波中継機アンテナ位置Ｐ１２に到達した
時刻がＴＰ１２であるように、固定地上局アンテナ位置
ＷＸから放射された電波の放射時刻。α６ｉ（ｉ＝１〜
ｎ）は厚さｈの各平行平面層への電波の入射角、α６０
は地表面から高さｎｈｋｍの上空の平行平面層への電波
の屈折角である。スネルの法則から、平行平面層（ｉ＝
１〜１２）においては、 ｎ６Ｂｓｉｎα６Ｂ＝ｎ６１ｓｉｎα６１＝ｎ６２ｓｉ
ｎα６２＝・・・・＝ｎ６ｉｓｉｎα６ｉ＝・・・・＝
ｎ６１２ｓｉｎα６１２＝ｎ６０ｓｉｎα６０ ｎ６０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。又、
ｎ６Ｂ点ＷＸにおける大気ガスの屈折率であり、点ＷＸ
の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定することにより求
まる。ｎ６１，ｎ６２，・・・・・ｎ６ｉ・・・・・ｎ
６１２はｎ６Ｂ及び点ＷＸの上空１ｋｍの大気ガスの屈
折指数が判れば、実験式より求まる。平行球面層（ｉ＝
１２〜５００）においては、 （ｎ６１２＋１２／ａ）ｓｉｎα６１２＝（ｎ６１３＋
１３／ａ）ｓｉｎα６１３＝・・・・・＝（ｎ６ｉ＋ｉ
／ａ）ｓｉｎα６ｉ＝・・・・・・・・＝（ｎ６５００
＋５００／ａ）ｓｉｎα６５００＝ｎ６０ｓｉｎα６０ 但し、ａは地球の半径、ｎ６１２，ｎ６１３，・・・・
・ｎ６ｉ・・・・・ｎ６５００は成層圏及び電離層の大
気ガスの屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より
安定であり，特許願い３−１２８４８９記載の方法で求
めておく。又、α６０は仰角の計算方法から、 より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、ｋｉはα６０
に対応する比例定数である。以上から、Ｌ６ が定ま
る。即ち、点Ｐ１２と点ＷＸとの間の最短距離は確定す
る。 点Ｐ１３と点ＭＸとの間の距離をＬ７とする（図６参
照）。大気ガス（電離層を含める。）の屈折率の影響に
より、 Ｌ７＝［〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ７ｉ＋｛ｃ（（ＴＰ１２＋Δτ）−ＴＭ Ｘ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα７ｉ）｝ｓｉｎα７０〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（（ＴＰ１２＋Δτ）−ＴＭＸ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα７ｉ ）｝ｃｏｓα７０〕２］１／２ ｎｈは点Ｍ１１から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率
が１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高
度差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中に
おける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、ＴＭＸは電波中継機アンテナ位置Ｐ１３に到達した
時刻がＴＰ１２＋Δτであるように、送信機アンテナ位
置ＭＸから放射された電波の放射時刻。α７ｉ（ｉ＝１
〜ｎ）は厚さｈの各平行平面層への電波の入射角、α
７０は点ＭＸから高さｎｈｋｍの上空の平行平面層への
電波の屈折角である。スネルの法則から、平行平面層
（ｉ＝１〜１２）においては、 ｎ７Ｂｓｉｎα７Ｂ＝ｎ７１ｓｉｎα７１＝ｎ７２ｓｉ
ｎα７２＝・・・・・＝ｎ７ｉｓｉｎα７ｉ＝・・・・
・・・・・・＝ｎ７１２ｓｉｎα７１２＝ｎ７０ｓｉｎ
α７０ ｎ７０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。又、
ｎ７Ｂは点Ｍ１１における大気ガスの屈折率であり、点
Ｍ１１の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定することに
より求まる。ｎ７１，ｎ７２，・・・・・ｎ７ｉ・・・
・・ｎ７１２はｎ７Ｂ及び点Ｍ１１の上空１ｋｍの大気
ガスの屈折指数が判れば、実験式より求まる。平行球面
層（ｉ＝１２〜５００）においては、 （ｎ７１２＋１２／ａ）ｓｉｎα７１２＝（ｎ７１３＋
１３／ａ）ｓｉｎα７１３＝・・・・・＝（ｎ７ｉ＋ｉ
／ａ）ｓｉｎα７ｉ＝・・・・・・・・＝（ｎ７５００
＋５００／ａ）ｓｉｎα７５００＝ｎ７０ｓｉｎα ７０ 但し、ａは地球の半径、ｎ７１２，ｎ７１３，・・・・
・ｎ７ｉ・・・・・ｎ７５００は成層圏及び電離層の大
気ガスの屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈折率より
安定しており、特許願い３−１２８４８９記載の方法で
求めておく。 又、α７０は仰角の計算方法から、 より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、ｋ１はα７０
に対応する比例定数である。以上から、Ｌ７は定まる。
即ち、点Ｐ１３と点ＭＸとの間の最短距離は確定する。 点Ｍ１１と点ＭＹとの間の距離をＬ９、点Ｐ１２と点
ＭＹとの間の距離をＬ１０とする（図６参照）。時刻Ｔ
Ｍ１１のとき、送信機アンテナ位置Ｍ１１から電波中継
機に向け放射された電波は、時刻ＴＰ１２のとき、この
電波中継機に到達する。この時刻ＴＰ１２のとき、この
電波中継機から地上の受信モードにある測量者に向け放
射される電波を選択する。この選択された電波が、地上
の受信モードにある測量者に到達する時刻をＴＭＹとす
る。又、時刻ＴＭＹのときの地上の受信モードにある測
量者の位置を点ＭＹとする。 Ｌ９＝Ｖ（ＴＭＹ−ＴＭ１１） Ｖは地球の自転速度。ＴＭ１１は送信機アンテナ位置Ｍ
１１から、電波中継機に向け電波が放射された時刻。大
気ガス（電離層を含める。）の屈折率の影響により、 Ｌ１０＝［〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ１０ｉ＋｛ｃ（（ＴＭＹ−ＴＰ１２ ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１０ｉ）｝ｓｉｎα１００〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（ＴＭＹ−ＴＰ１２）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１０ｉ）｝ ｃｏｓα１００〕２］１／２ ｎｈは点Ｍ１１から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率
が１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高
度差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中に
おける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１からから時
刻ＴＭ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達す
る時刻、α１０ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各平行平面
層への電波の屈折角、α１００は点Ｍ１１から高さｎｈ
ｋｍの上空の平行平面層への電波の入射角である。スネ
ルの法則から平行平面層（ｉ＝１〜１２）においては、 ｎ１０Ｂｓｉｎα１０Ｂ＝ｎ１０１ｓｉｎα１０１＝ｎ
１０２ｓｉｎα１０２・・・・・＝ｎ１０ｉｓｉｎα
１０ｉ＝・・・・・＝ｎ１０１２ｓｉｎα１０１２＝ｎ
１００ｓｉｎα１００ ｎ１００は真空中の電波の屈折率で既知の値である。
又、ｎ１０Ｂは点ＭＸにおける大気ガスの屈折率であ
り、点Ｍ１１の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定する
ことにより求まる。ｎ１０１，ｎ１０２，・・・・・ｎ
１０ｉ・・・・・ｎ１０１２はｎ１０Ｂ及び点Ｍ１１の
上空１ｋｍの大気ガスの屈折指数が判れば、実験式より
求まる。平行球面層（ｉ＝１２〜５００）においては、 （ｎ１０１２＋１２／ａ）ｓｉｎα１０１２＝（ｎ
１０１３＋１３／ａ）ｓｉｎα１０１３＝・・・・・＝
（ｎ１０ｉ＋ｉ／ａ）ｓｉｎα１０ｉ＝・・・・・・・
・・・＝（ｎ１０５００＋５００／ａ）ｓｉｎα
１０５００＝ｎ１００ｓｉｎα１００ 但し、ａは地球の半径、ｎ１０１２，ｎ１０１３，・・
・・・ｎ１０ｉ・・・・・ｎ１０５００は成層圏及び電
離層の大気ガスの屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈
折率より安定しており、特許願い３−１２８４８９記載
の方法で求めておく。又、α１００は仰角の計算方法か
ら、 より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、ｋｉはα
１００に対応する比例定数である。以上から、Ｌ１０は
定まる。即ち、点Ｐ１２と点ＭＹとの間の最短距離は確
定する。 点Ｍ１１と点Ｐ１３との間の距離をＬ８とする（図６
参照）。点Ｍ１１と点ＭＸとの間の距離をＬ１１とす
る。 Ｌ１１＝Ｖ（ＴＭＸ−ＴＭ１１） Ｖは地球の自転速度。ＴＭＸは衛星搭載の電波中継機の
アンテナ位置Ｐ１３に到達した時刻がＴＰ１２＋Δτと
なるように、送信機アンテナ位置ＭＸから電波が放射れ
た時刻。三角形の余弦第２法則により、 Ｌ１０ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ９ ２−２Ｌ１Ｌ９ｃｏｓ∠Ｐ１２・Ｍ１１・Ｍ Ｙ ∴ｃｏｓ∠Ｐ１２・Ｍ１１・ＭＹ＝（Ｌ１ ２＋Ｌ９ ２−Ｌ１０ ２）／２Ｌ１Ｌ９ ・・・・・・・・・・・・・（Ｂ−１） 点Ｐ１２と点ＭＸとの間の距離をＬ１２とすると、 Ｌ１２ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ１１ ２−２Ｌ１Ｌ１１ｃｃｓ∠Ｐ１２・Ｍ１１ ・ＭＹ・・・・・・・・・・・・・・（Ｂ−２） 式（Ｂ−１）を式（Ｂ−２）へ代入する。 Ｌ１２ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ１１ ２−（２Ｌ１Ｌ１１）・｛（Ｌ１ ２＋Ｌ９ ２ −Ｌ１０ ２）／２Ｌ１Ｌ９｝ ＝Ｌ１ ２＋Ｌ１１ ２−Ｌ１１（Ｌ１ ２＋Ｌ９ ２−Ｌ１０ ２）／Ｌ９・・・・・・ ・・・・・・・・・（Ｂ−３） 式（Ｂ−３）より、点Ｐ１２と点ＭＸとの間の距離Ｌ
１２は確定する。∠Ｐ１３・Ｐ１２・ＭＸ＝γ、∠Ｍ１
１・Ｐ１２・ＭＸ＝δとする。 Ｌ７ ２＝Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−２Ｌ２Ｌ１２ｃｏｓγ ∴ｃｏｓγ＝（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／２Ｌ２Ｌ１２・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・（Ｂ−４） Ｌ１１ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−２Ｌ１Ｌ１２ｃｏｓδ ∴ｃｏｓδ＝（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／２Ｌ１Ｌ１２・・・・・・・ ・・・・・・・・・（Ｂ−５） ∠Ｍ１１・Ｐ１２・Ｐ１３＝γ＋δである。 Ｌ８ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ２ ２−２Ｌ１Ｌ２ｃｏｓ（γ＋δ） ＝Ｌ１ ２＋Ｌ２ ２−２Ｌ１Ｌ２（ｃｏｓγｃｏｓδ−ｓｉｎγｓｉ ｎδ）・・・・・・・・・・・・・・・（Ｂ−６） ｓｉｎγ＝（１−ｃｏｓ２γ）１／２＝〔１−｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２ ）／（２Ｌ２Ｌ１２）｝２〕１／２・・・・・（Ｂ−７） ｓｉｎδ＝（１−ｃｏｓ２δ）１／２＝〔１−｛（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２ ）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝２〕１／２・・・・・（Ｂ８） 式（Ｂ−４）、（Ｂ−５）、（Ｂ−７）及び（Ｂ−８）
を式（Ｂ−６）へ代入する。 Ｌ８ ２＝Ｌ１ ２＋Ｌ２ ２−２Ｌ１Ｌ２［｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／（ ２Ｌ２Ｌ１２）｝｛Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝ −〔１−｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／（２Ｌ２Ｌ１２）｝２１／２・〔１ −｛（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝２〕１／２］ Ｌ８＝＜Ｌ１ ２＋Ｌ２ ２−２Ｌ１Ｌ２［｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／（２ Ｌ２Ｌ１２）｝｛（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝ −〔１−｛（Ｌ２ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ７ ２）／（２Ｌ２Ｌ１２）｝２〕１／２・〔 １−｛（Ｌ１ ２＋Ｌ１２ ２−Ｌ１１ ２）／（２Ｌ１Ｌ１２）｝２〕１／２］１／ ２ ＞１／２ 以上からＬ８は確定する。 点ＷＹと点Ｗ１４との間の距離をＬ２１とする（図７
参照）。 Ｌ２１＝Ｖ（ＴＷ１４−ＴＷＹ） Ｖは地球の自転速度。ＴＷ１４は送信機アンテナ位置Ｍ
１１から時刻ＴＭ１１のとき放射された電波が、電波中
継機経由固定地上局アンテナ位置Ｗ１４に到達した時
刻。ＴＷＹは時刻ＴＰ１２のとき電波中継機アンテナ位
置Ｐ１２から放射された電波が固定地上局位置ＷＹに到
達した時刻。 点Ｐ１２と点ＷＹとの間の距離をＬ２０とする（図７
参照）。大気ガス（電離層を含める。）の屈折率の影響
により、 Ｌ２０＝［〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα２０ｉ＋｛ｃ（ＴＷＹ−ＴＰ１２ ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα２０ｉ）｝ｓｉｎα２００〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（ＴＷＹ−ＴＰ１２）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα２０ｉ）｝ ｃｏｓα２００〕２］１／２ ｎｈは地表面から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表に平行に分割したときの高度差
で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中におけ
る電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達した時
刻、α２０ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各平行平面層へ
の電波の屈折角、α２００は点ＭＹから高さｎｈｋｍの
上空の平行平面層への電波の入射角である。スネルの法
則から平行平面層（ｉ＝１〜１２）においては、 ｎ２０Ｂｓｉｎα２０Ｂ＝ｎ２０１ｓｉｎα２０１＝ｎ
２０２ｓｉｎα２０２＝・・・・・・＝ｎ２０ｉｓｉｎ
α２０ｉ＝・・・・・・＝ｎ２０１２ｓｉｎα２０１２
＝ｎ２００ｓｉｎα２００ ｎ２００は真空中の電波の屈折率で既知の値である。
又、ｎ２０Ｂは点ＭＹにおける大気ガスの屈折率であ
り、点ＭＹの大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定するこ
とにより求まる。ｎ２０１，ｎ２０２，・・・・・ｎ
２０ｉ・・・・・ｎ２０１２はｎ２０Ｂ及び点ＭＹの上
空１ｋｍの大気ガスの屈折指数が判れば、実験式より求
まる。平行球面層（ｉ＝１２〜５００）においては、 （ｎ２０１２＋１２／ａ）ｓｉｎα２０１２＝（ｎ
２０１３＋１３／ａ）ｓｉｎα２０１３＝・・・・・・
＝（ｎ２０ｉ＋ｉ／ａ）ｓｉｎα２０ｉ＝・・・・・・
・・・・・・＝（ｎ２０５００＋５００／ａ）ｓｉｎα
２０５００＝ｎ２００ｓｉｎα２００ 但し、ａは地球の半径、ｎ２０１２，ｎ２０１３，・・
・・・ｎ２０ｉ・・・・・ｎ２０５００は成層圏及び電
離層の大気ガスの屈折率であり、対流圏の大気ガスの屈
折率より安定しており、特許願い３−１２８４８９記載
の方法で求めておく。又、α２００は仰角の計算方法か
ら、 より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、ｋｉはα
２００に対応する比例定数である。以上から、Ｌ２０は
定まる。即ち、点Ｐ１２と点ＷＹとの間の最短距離は確
定する。 ▲１０▼点Ｐ１２と点Ｗ１４との間の距離をＬ１３とす
る（図７参照）。点Ｗ１４を原点とする点Ｐ１２の座標
をＰ１２（Ｘ，Ｙ）とする。 （Ｘ−Ｌ５）２＋Ｙ２ ２＝Ｌ６ ２・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・（Ｃ−１） （Ｘ−Ｌ２１）２＋Ｙ２＝Ｌ２０ ２・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・（Ｃ−２） 式（Ｃ−１）及び（Ｃ−２）より、 Ｘ＝（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２−Ｌ５ ２＋Ｌ２１ ２）／２（Ｌ２１−Ｌ５） ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｃ−３） 式（Ｃ−３）を式（Ｃ−１）へ代入。 Ｙ＝〔Ｌ６ ２−｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２−２Ｌ５Ｌ２１＋Ｌ５ ２ ）／２（Ｌ２１−Ｌ５）｝２〕１／２・・・・・・（Ｃ−４） 式（Ｃ−３）及び（Ｃ−４）より、 Ｌ１３ ２＝Ｘ２＋Ｙ２＝｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２−Ｌ５ ２＋Ｌ２１ ２） ／２（Ｌ２１−Ｌ５）｝２＋［〔Ｌ６ ２−｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２−２ Ｌ５Ｌ２１＋Ｌ５ ２）／２（Ｌ２１−Ｌ５）｝２〕１／２］２ ∴Ｌ１３＝［｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２−Ｌ５ ２＋Ｌ２１ ２）／２（Ｌ２１ −Ｌ５）｝２ ＋〔Ｌ６ ２−｛（Ｌ６ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２−２Ｌ５Ｌ２１＋Ｌ５ ２ ）／２（Ｌ２１−Ｌ５）｝２〕］１／２ 以上から、Ｌ１３は定まる。即ち、点Ｐ１２と点Ｗ１４
との間の最短距離は確定する。 ▲１１▼時刻ＴＷ１４のときの固定地上局の位置Ｗ１４
を原点として、時刻ＴＰ１２のときの電波中継機の位置
Ｐ１２の座標をＰ１２（ＸＰ１２，ＹＰ１２，
ＺＰ１２）とする（図７参照）。点Ｐ１２から放射され
た電波が、固定地上局の位置ＷＹに到達したときの電波
の仰角をβ２０ｎとすると、項から仰角β２０ｎは確
定している。 ＸＰ１２ ２＋ＹＰ１２ ２＋ＺＰ１２ ２＝Ｌ１３ ２・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・（Ｇ−１） ＸＰ１２ ２＋（ＹＰ１２−Ｌ２１）２＋ＺＰ１２ ２＝Ｌ２０ ２・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｇ−２） ＺＰ１２＝Ｌ２０ｓｉｎβ２０ｎ・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・（Ｇ−３） 式（Ｇ−１），（Ｇ−２）より、 ＹＰ１２＝（Ｌ１３ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２）／２Ｌ２１・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｇ−４） 式（Ｇ−１），（Ｇ−３）及び（Ｇ−４）より、 ＸＰ１２＝〔Ｌ１３ ２−｛（Ｌ１３ ２−Ｌ２０ ２＋Ｌ２１ ２）／（２ Ｌ２１）｝２−Ｌ２０ ２ｓｉｎ２β２０ｎ〕１／２・・（Ｇ−５） Ｌ１３、Ｌ２０、Ｌ２１及びβ２０ｎは確定しているか
ら、点Ｐ１２の座標Ｐ１２（ＸＰ１２，ＹＰ１２，Ｚ
Ｐ１２）も確定する。 ▲１２▼点ＷＺと点Ｐ１３との間の距離をＬ１８とする
（図７参照）。大気ガス（電離層を含める。）の屈折率
の影響により、 Ｌ１８＝［〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎα１８ｉ＋｛ｃ（（ＴＰ１２＋Δτ）−ＴＷＺ ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓα１８ｉ）｝ｓｉｎα１８０〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（（ＴＰ１２＋Δτ）−ＴＷＺ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓα１８ｉ）｝ｃｏｓα１８０〕２］１／２ ｎｈは地表面から高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達した時
刻、ＴＷＺは電波中継機アンテナ位置Ｐ１３に到達した
時刻がＴＰ１２＋Δτであるように、固定地上局アンテ
ナ位置ＷＺから放射された電波の放射時刻。α
１８ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各平行平面層への電波
の入射角、α１８０は地表面から高さｎｈｋｍの上空の
平面平行層への電波の屈折角である。スネルの法則か
ら、平行平面層（ｉ＝１〜１２）においては、 ｎ１８Ｂｓｉｎα１８Ｂ＝ｎ１８１ｓｉｎα１８１＝ｎ
１８２ｓｉｎα１８２・・・・・・＝ｎ１８ｉｓｉｎα
１８ｉ＝・・・・・・＝ｎ１８１２ｓｉｎα１８１２＝
ｎ１８０ｓｉｎα１８０ ｎ１８０は真空中の電波の屈折率で既知の値である。
又、ｎ１８Ｂは点Ｗ１４における大気ガスの屈折率であ
り、点Ｗ１４の大気圧、蒸気圧及び絶対温度を測定する
ことにより求まる。ｎ１８１，ｎ１８２・・・・・ｎ
１８ｉ・・・・・・ｎ１８１２はｎ１８Ｂ及び点Ｗ１４
の上空１ｋｍの大気ガスの屈折指数が判れば、実験式よ
り求まる。平行球面層（ｉ＝１２〜５００）において
は、 （ｎ１８１２＋１２／ａ）ｓｉｎα１８１２＝（ｎ
１８１３＋１３／ａ）ｓｉｎα１８１３＝・・・・・・
＝（ｎ１８ｉ＋ｉ／ａ）ｓｉｎα１８ｉ＝・・・・・・
＝（ｎ１８５００＋５００／ａ）ｓｉｎα１８５００＝
ｎ１８０ｓｉｎα１８０ 但し、ａは地球の半径、ｎ１８１２，ｎ１８１３・・・
・・・ｎ１８ｉ・・・・・・ｎ１８５００は成層圏及び
電離層の大気ガスの屈折率であり、対流圏の大気ガスの
屈折率より安定しており、特許願い３−１２８４８９記
載の方法で求めておく。又、α１８０は仰角の計算方法
から、 より求まる。但し、Ｖは地球の自転速度、ｋｉはα
１８０に対応する比例定数である。以上から、Ｌ１８は
定まる。即ち、点ＷＺと点Ｐ１３との間の距離Ｌ１８が
確定する。 ▲１３▼点ＷＺと点Ｗ１４との間の距離をＬ２２とする
（図７参照）。 Ｌ２２＝Ｖ（ＴＷ１４−ＴＷＺ） Ｖは地球の自転速度。ＴＷ１４は送信機アンテナ位置Ｍ
１１から時刻ＴＭ１１のとき放射された電波が、電波中
継機経由地上局アンテナ位置Ｗ１４に到達した時刻。Ｔ
ＷＺは電波中継機アンテナ位置Ｐ１３に到達した時刻が
ＴＰ１２＋Δτであるように、固定地上局アンテナ位置
ＷＺから放射された電波の放射時刻。以上から、Ｌ２２
は定まる。即ち、点ＷＺと点Ｗ１４との間の最短距離は
確定する。 ▲１４▼時刻ＴＷ１４のときの固定地上局の位置Ｗ１４
を原点として、時刻ＴＰ１２＋Δτのときの電波中継機
の位置Ｐ１３の座標をＰ１３（ＸＰ１３，ＹＰ１３，Ｚ
Ｐ１３）とする（図７参照）。点Ｐ１３から放射された
電波が、固定地上局の位置Ｗ１４に到達したときの電波
の仰角をβ３ｎとすると、項より、仰角β３ｎは確定
しているから、 ＸＰ１３ ２＋ＹＰ１３ ２＋ＺＰ１３ ２＝Ｌ３ ２・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・（Ｈ−１） ＸＰ１３ ２＋（ＹＰ１３−Ｌ２２）２＋ＺＰ１３ ２＝Ｌ１８ ２・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｈ−２） ＺＰ１３＝Ｌ３ｓｉｎβ３ｎ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・（Ｈ−３） 式（Ｈ−１），（Ｈ−２）より、 ＹＰ１３＝（Ｌ３ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ２２ ２）／２Ｌ２２・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｈ−４） 式（Ｈ−１），（Ｈ−３）及び（Ｈ−４）より、 ＸＰ１３＝〔Ｌ３ ２−｛（Ｌ３ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ２２ ２）／２Ｌ２２ ｝２−Ｌ３ ２ｓｉｎ２β３ｎ〕１／２・・・・・・・・・・（Ｈ−５） Ｌ３、Ｌ１８、Ｌ２２及びβ３ｎは確定しているから、
点Ｐ１３の座標Ｐ１３（ＸＰ１３，ＹＰ１３，
ＺＰ１３）も確定する。 ▲１５▼点Ｐ１２と点Ｐ１３との間の距離をＬ２とする
（図７参照）。 Ｌ２＝｛（ＸＰ１２−ＸＰ１３）２＋（ＹＰ１２−ＹＰ１３）２＋（ ＺＰ１２−ＺＰ１３）２｝１／２ 点Ｐ１２及び点Ｐ１３の座標は確定しているから，Ｌ２
も確定する。 ▲１６▼点Ｐ１２から点ＭＹを通る水平面に垂線を下ろ
し、その足を点Ｑ１２とする。時刻ＴＭ１１のとき、送
信機アンテナ位置Ｍ１１から電波中継機に向け放射され
た電波は、時刻ＴＰ１２のとき、この電波中継機に到達
する。この時刻ＴＰ１２のとき、この電波中継機から地
上の受信モードにある測量者に向け放射される電波を選
択する。この選択された電波が、地上の受信モードにあ
る測量者に到達する時刻をＴＭＹとする。点Ｐ１２と点
Ｑ１２との間の距離をＬ１０Ｚとすると、 Ｌ１０Ｚ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＭＹ−ＴＰ１２）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃ ｏｓα１０ｉ）｝ｃｏｓα１００ ｎｈは点ＭＹから高さ１ｋｍ単位に大気ガスの屈折率が
１となる高さまでを地表面に平行に分割したときの高度
差で通常ｈ＝１、ｎ＝５００である。ｃは、真空中にお
ける電波の伝搬速度、ＴＰ１２は点Ｍ１１から時刻Ｔ
Ｍ１１のとき放射された電波が電波中継機に到達する時
刻、α１０ｉ（ｉ＝１〜ｎ）は厚さｈの各平行平面層へ
の電波の屈折角、α１００は地表面から高さｎｈｋｍの
上空の平行平面層への電波の入射角である。従って、Ｌ
１０Ｚは確定する。
【０００８】（５） 電波伝搬制御による前記物体の三
次元位置の確定 点Ｗ１４を原点として、点Ｍ１１の座標Ｍ１１（Ｘ，
Ｙ，Ｚ）を求める。点Ｍ１１は、中心が点Ｐ１２、半径
がＬ１の球と中心が点Ｐ１３、半径がＬ８の球が交差し
て生じる円と点ＭＹを通る水平面との交点であるから、 （Ｘ−ＸＰ１２）２＋（Ｙ−ＹＰ１２）２＋（Ｚ−ＺＰ１２）２＝Ｌ１ ２ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−１） （Ｘ−ＸＰ１３）２＋（Ｙ−ＹＰ１３）２＋（Ｚ−ＺＰ１３）２＝Ｌ８ ２ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−２） Ｚ＝ＺＰ１２−Ｌ１０Ｚ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・（Ｋ−３） （Ｋ−１），（Ｋ−２）より、 ２（ＸＰ１３−ＸＰ１２）Ｘ＋２（ＹＰ１３−ＹＰ１２）Ｙ＋２（ＺＰ１３ −ＺＰ１２）Ｚ＝ Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−（ＸＰ１２ ２＋ＹＰ１２ ２＋ＺＰ１２ ２）＋（ＸＰ１ ３２＋ＹＰ１３ ２＋ＺＰ１３ ２）・・・・・・（Ｋ−４） ▲１１▼項より、 ＸＰ１２ ２＋ＹＰ１２ ２＋ＺＰ１２ ２＝Ｌ１３ ２・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−５） ▲１５▼項より、 ＸＰ１３ ２＋ＹＰ１３ ２＋ＺＰ１３ ２＝Ｌ３ ２・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−６） （Ｋ−５），（Ｋ−６）を（Ｋ−４）へ代入して、 （ＸＰ１３−ＸＰ１２）Ｘ＋（ＹＰ１３−ＹＰ１２）Ｙ＋（ＺＰ１３ −ＺＰ１２）Ｚ＝ （Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ３ ２）／２・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−７） ＸＰ１２，ＸＰ１３，ＹＰ１２，ＹＰ１３，ＺＰ１２お
よびＺＰ１３は、▲１１▼項、▲１５▼項及び▲１２▼
項から確定しているから、ＸＰ１３−ＸＰ１２＝ａ，Ｙ
Ｐ１３−ＹＰ１２＝ｂ及びＺＰ１３−ＺＰ１２＝ｄとお
くと、（Ｋ−７）は、 ａＸ＋ｂＹ＋ｄＺ＝（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ３ ２）／２ Ｙ＝｛（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ３ ２）／２−ａＸ−ｄＺ｝／ｂ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−８） （Ｋ−３）及び２９頁▲１７▼項より、Ｚは確定してい
る。（Ｋ−３）を（Ｋ−１）、（Ｋ−２）へ代入して、 （Ｘ−ＸＰ１２）２＋（Ｙ−ＹＰ１２）２＋（ＺＰ１２−Ｌ１０Ｚ− ＺＰ１２）２＝Ｌ１ ２・・・・・・・・・・・・（Ｋ−９） （Ｘ−ＸＰ１３）２＋（Ｙ−ＹＰ１３）２＋（ＺＰ１２−Ｌ１０Ｚ− ＺＰ１３）２＝Ｌ８ ２・・・・・・・・・・・・（Ｋ−１０） （Ｋ−９）より、 （Ｘ−ＸＰ１２）２＋（Ｙ−ＹＰ１２）２＋Ｌ１０Ｚ ２＝Ｌ１ ２・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−１１） （Ｋ−１０）より、（Ｘ−ＸＰ１３）２＋（Ｙ−Ｙ
Ｐ１３）２＋（ＺＰ１２−ＺＰ１３）２−２（ＺＰ１２
−ＺＰ１３）Ｌ１０Ｚ＋Ｌ１０Ｚ ２＝Ｌ８ ２ＺＰ１３−
ＺＰ１２＝ｄから、 （Ｘ−ＸＰ１３）２＋（Ｙ−ＹＰ１３）２＋ｄ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋Ｌ１０Ｚ ２ ＝Ｌ８ ２・・・・・・・・・・・・（Ｋ−１２） （Ｋ−１１）−（Ｋ−１２）から、 ２ａＸ＋２ｂＹ＝Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａ（ＸＰ１ ２ ＋ＸＰ１３）＋ｂ（ＹＰ１２＋ＹＰ１３）・・・・・・（Ｋ−１３） ＸＰ１２＋ＸＰ１３＝ｅ、ＹＰ１２＋ＹＰ１３＝ｆとす
ると、（Ｋ−１３）は、 ２ａＸ＋２ｂＹ＝Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ Ｙ＝（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ａＸ）／ ２ｂ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−１４） （Ｋ−１４）を（Ｋ−１）へ代入する。 （Ｘ−ＸＰ１２）２＋｛（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａ ｅ＋ｂｆ−２ａＸ）／２ｂ−ＹＰ１２｝２ ＋（ＺＰ１２−Ｌ１０Ｚ−ＺＰ１２）２＝Ｌ１ ２ （１＋ａ２／ｂ２）Ｘ２＋２｛（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２Ｘ−Ｐ１２）｝Ｘ ＋（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２）２／４ ｂ２＋ＸＰ１２ ２＋Ｌ１０Ｚ ２−Ｌ１ ２＝０ Ｘ＝［−（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ− ２ｂＹＰ１２−ＸＰ１２） ±〔｛（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ −２ｂＹＰ１２−ＸＰ１２）｝２ −（１＋ａ２／ｂ２）｛（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２）２／４ｂ２） ＋ＸＰ１２ ２＋Ｌ１０Ｚ ２−Ｌ１ ２｝〕１／２］／（１＋ａ２／ｂ２） ・・・・・・・・・・・・（Ｋ−１５） （Ｋ−１５）を（Ｋ−８）へ代入する。 Ｙ＝（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ３ ２）／２ −ａ［−（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２−ＸＰ１２） ±〔｛（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２−ＸＰ１２）｝２ −（１＋ａ２／ｂ２）｛（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａ ｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２）２／４ｂ２）＋ＸＰ１２ ２ ＋Ｌ１０Ｚ ２−Ｌ１ ２｝〕１／２］ 従って、点Ｍ１１の位置は確定する。
次元位置の確定 点Ｗ１４を原点として、点Ｍ１１の座標Ｍ１１（Ｘ，
Ｙ，Ｚ）を求める。点Ｍ１１は、中心が点Ｐ１２、半径
がＬ１の球と中心が点Ｐ１３、半径がＬ８の球が交差し
て生じる円と点ＭＹを通る水平面との交点であるから、 （Ｘ−ＸＰ１２）２＋（Ｙ−ＹＰ１２）２＋（Ｚ−ＺＰ１２）２＝Ｌ１ ２ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−１） （Ｘ−ＸＰ１３）２＋（Ｙ−ＹＰ１３）２＋（Ｚ−ＺＰ１３）２＝Ｌ８ ２ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−２） Ｚ＝ＺＰ１２−Ｌ１０Ｚ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・（Ｋ−３） （Ｋ−１），（Ｋ−２）より、 ２（ＸＰ１３−ＸＰ１２）Ｘ＋２（ＹＰ１３−ＹＰ１２）Ｙ＋２（ＺＰ１３ −ＺＰ１２）Ｚ＝ Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−（ＸＰ１２ ２＋ＹＰ１２ ２＋ＺＰ１２ ２）＋（ＸＰ１ ３２＋ＹＰ１３ ２＋ＺＰ１３ ２）・・・・・・（Ｋ−４） ▲１１▼項より、 ＸＰ１２ ２＋ＹＰ１２ ２＋ＺＰ１２ ２＝Ｌ１３ ２・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−５） ▲１５▼項より、 ＸＰ１３ ２＋ＹＰ１３ ２＋ＺＰ１３ ２＝Ｌ３ ２・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−６） （Ｋ−５），（Ｋ−６）を（Ｋ−４）へ代入して、 （ＸＰ１３−ＸＰ１２）Ｘ＋（ＹＰ１３−ＹＰ１２）Ｙ＋（ＺＰ１３ −ＺＰ１２）Ｚ＝ （Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ３ ２）／２・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−７） ＸＰ１２，ＸＰ１３，ＹＰ１２，ＹＰ１３，ＺＰ１２お
よびＺＰ１３は、▲１１▼項、▲１５▼項及び▲１２▼
項から確定しているから、ＸＰ１３−ＸＰ１２＝ａ，Ｙ
Ｐ１３−ＹＰ１２＝ｂ及びＺＰ１３−ＺＰ１２＝ｄとお
くと、（Ｋ−７）は、 ａＸ＋ｂＹ＋ｄＺ＝（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ３ ２）／２ Ｙ＝｛（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ３ ２）／２−ａＸ−ｄＺ｝／ｂ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−８） （Ｋ−３）及び２９頁▲１７▼項より、Ｚは確定してい
る。（Ｋ−３）を（Ｋ−１）、（Ｋ−２）へ代入して、 （Ｘ−ＸＰ１２）２＋（Ｙ−ＹＰ１２）２＋（ＺＰ１２−Ｌ１０Ｚ− ＺＰ１２）２＝Ｌ１ ２・・・・・・・・・・・・（Ｋ−９） （Ｘ−ＸＰ１３）２＋（Ｙ−ＹＰ１３）２＋（ＺＰ１２−Ｌ１０Ｚ− ＺＰ１３）２＝Ｌ８ ２・・・・・・・・・・・・（Ｋ−１０） （Ｋ−９）より、 （Ｘ−ＸＰ１２）２＋（Ｙ−ＹＰ１２）２＋Ｌ１０Ｚ ２＝Ｌ１ ２・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−１１） （Ｋ−１０）より、（Ｘ−ＸＰ１３）２＋（Ｙ−Ｙ
Ｐ１３）２＋（ＺＰ１２−ＺＰ１３）２−２（ＺＰ１２
−ＺＰ１３）Ｌ１０Ｚ＋Ｌ１０Ｚ ２＝Ｌ８ ２ＺＰ１３−
ＺＰ１２＝ｄから、 （Ｘ−ＸＰ１３）２＋（Ｙ−ＹＰ１３）２＋ｄ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋Ｌ１０Ｚ ２ ＝Ｌ８ ２・・・・・・・・・・・・（Ｋ−１２） （Ｋ−１１）−（Ｋ−１２）から、 ２ａＸ＋２ｂＹ＝Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａ（ＸＰ１ ２ ＋ＸＰ１３）＋ｂ（ＹＰ１２＋ＹＰ１３）・・・・・・（Ｋ−１３） ＸＰ１２＋ＸＰ１３＝ｅ、ＹＰ１２＋ＹＰ１３＝ｆとす
ると、（Ｋ−１３）は、 ２ａＸ＋２ｂＹ＝Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ Ｙ＝（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ａＸ）／ ２ｂ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（Ｋ−１４） （Ｋ−１４）を（Ｋ−１）へ代入する。 （Ｘ−ＸＰ１２）２＋｛（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａ ｅ＋ｂｆ−２ａＸ）／２ｂ−ＹＰ１２｝２ ＋（ＺＰ１２−Ｌ１０Ｚ−ＺＰ１２）２＝Ｌ１ ２ （１＋ａ２／ｂ２）Ｘ２＋２｛（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２Ｘ−Ｐ１２）｝Ｘ ＋（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２）２／４ ｂ２＋ＸＰ１２ ２＋Ｌ１０Ｚ ２−Ｌ１ ２＝０ Ｘ＝［−（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ− ２ｂＹＰ１２−ＸＰ１２） ±〔｛（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ＋ｂｆ −２ｂＹＰ１２−ＸＰ１２）｝２ −（１＋ａ２／ｂ２）｛（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２）２／４ｂ２） ＋ＸＰ１２ ２＋Ｌ１０Ｚ ２−Ｌ１ ２｝〕１／２］／（１＋ａ２／ｂ２） ・・・・・・・・・・・・（Ｋ−１５） （Ｋ−１５）を（Ｋ−８）へ代入する。 Ｙ＝（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２−Ｌ１３ ２＋Ｌ３ ２）／２ −ａ［−（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａｅ ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２−ＸＰ１２） ±〔｛（ａ／ｂ）（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ ａｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２−ＸＰ１２）｝２ −（１＋ａ２／ｂ２）｛（Ｌ１ ２−Ｌ８ ２＋２ｄＬ１０Ｚ＋ｄ２＋ａ ｅ＋ｂｆ−２ｂＹＰ１２）２／４ｂ２）＋ＸＰ１２ ２ ＋Ｌ１０Ｚ ２−Ｌ１ ２｝〕１／２］ 従って、点Ｍ１１の位置は確定する。
【０００９】２ 計時機構の同期の取り方 固定地上局、衛星に搭載されている電波中継機及び位置
を突き止めようとする物体は、各々独自の精密な計時機
構を持つ。いま、これら計時機構の同期の取り方につい
て説明する。 （１） 位置を突き止めようとする物体の計時機構と固
定地上局の計時機構との同期化 位置を突き止めようとする物体（以後、前記物体と呼称
する。）と固定地上局（以後、前記固定地上局と呼称す
る。）とから同時刻に衛星に搭載されている電波中継機
（以後、前記電波中継機と呼称する。）に向け電波を放
射する。この二つの電波は前記電波中継機経由、前記固
定地上局と前記物体で受信される。前記物体Ｍ１１から
放射された電波が伝搬して、前記電波中継機Ｐ１２に到
達したときに、該電波中継機から前記固定地上局Ｗ１Ｙ
に向け放射される電波を選択する。この選択された電波
の前記電波中継機からの放射時刻ＴＰ１２、前記固定地
上局への到達時刻ＴＷ１Ｙ、方位角βＷ１Ｙ及び仰角α
Ｗ１Ｙは、前記固定地上局に接続されている電子計算機
の記憶装置上に記録される。該電波が、前記電波中継機
に到達後、電波中継時間経過すると、再び前記電波中継
機Ｐ１３より前記固定地上局Ｗ１４へ向け電波が放射さ
れる。この電波の前記電波中継機からの放射時刻Ｔ
Ｐ１３、前記固定地上局への到達時刻ＴＷ１４及び前記
固定地上局に於ける仰角αＷ１４及び方位角βＷ１４を
前記固定地上局に接続されている電子計算機の記憶装置
上に記憶しておく。又、前記固定地上局Ｗ１１から放射
された電波が伝搬して、前記電波中継機Ｐ２２に到達し
たときに、該電波中継機から前期固定地上局Ｗ２Ｙに向
け放射される電波を選択する。この選択された電波の前
記電波中継機からの放射時刻ＴＰ２２、前記固定地上局
への到達時刻ＴＷ２Ｙ、方位角βＷ２Ｙ及び仰角α
Ｗ２Ｙは、固定地上局に接続さた電子計算機の記憶装置
上に記録される。該電波が、前記電波中継機に到達後、
電波中継時間経過したとき、前記物体Ｍ２４に向け放射
される電波の外に、前記固定地上局Ｗ３Ｙへ向け放射さ
れる電波がある。この前記固定地上局へ向け放射される
電波の前記電波中継機からの放射時刻ＴＰ２３、前記固
定地上局への到達時刻ＴＷ３Ｙ及び前記固定地上局に於
ける仰角αＷ３Ｙ、方位角βＷ３Ｙを、前記固定地上局
に接続されている電子計算機の記憶装置上に記憶してお
く。（表５参照） 点Ｐ１２の点Ｗ１Ｙを原点としたときの座標をＰ１２
（ＸＰ１２，ＹＰ１２，ＺＰ１２），点Ｐ１３の点Ｗ１
４を原点としたときの座標をＰ１３（ＸＰ１３，Ｙ
Ｐ１３，ＺＰ１３），点Ｐ２２の点Ｗ２Ｙを原点とした
ときの座標をＰ２２（ＸＰ２２，ＹＰ２２，ＺＰ２２）
及び点Ｐ２３の点Ｗ３Ｙを原点としたときの座標をＰ２
３（ＸＰ２３，ＹＰ２３，ＺＰ２３）とする。大気ガス
の屈折率による電波経路長の誤差を無視すると（図８参
照）点Ｐ１２と点Ｗ１Ｙとの間の見かけの最短距離はｃ
（ＴＷ１Ｙ−ＴＰ１２）であるから、 ＸＰ１２＝ｃ（ＴＷ１Ｙ−ＴＰ１２）ｃｏｓαＷ１Ｙ・ｓｉｎβＷ１ Ｙ ＹＰ１２＝ｃ（ＴＷ１Ｙ−ＴＰ１２）ｃｏｓαＷ１Ｙ・ｃｏｓβＷ１ Ｙ ＺＰ１２＝ｃ（ＴＷ１Ｙ−ＴＰ１２）ｓｉｎαＷ１Ｙ ＴＷ１Ｙ−ＴＰ１２＝ＴＷ３Ｙ−ＴＰ２３、αＷ１Ｙ＝αＷ３Ｙ （１） ＴＷ２Ｙ−ＴＰ２２＝ＴＷ１４−ＴＰ１３、αＷ１４＝αＷ２Ｙ （２） ならば、電波経路Ｍ１１→Ｐ１２→Ｐ１３→Ｗ１４と電
波経路Ｗ１１→Ｐ２２→Ｐ２３→Ｍ２４は時間的に等長
であり、前記物体への電波の到達時刻ＴＭ２４と固定地
上局への電波の到達時刻ＴＷ１４との間に差異があれ
ば、その差異が前記物体と固定地上局の各経時機構の時
間的なずれとなる。故に、上式（１）、（２）の関係を
満足するような電波を、固定地上局に接続されている電
子計算機の記憶装置の中から選択し、前記物体の経時機
構と固定地上局の経時機構の同期化を計る。
を突き止めようとする物体は、各々独自の精密な計時機
構を持つ。いま、これら計時機構の同期の取り方につい
て説明する。 （１） 位置を突き止めようとする物体の計時機構と固
定地上局の計時機構との同期化 位置を突き止めようとする物体（以後、前記物体と呼称
する。）と固定地上局（以後、前記固定地上局と呼称す
る。）とから同時刻に衛星に搭載されている電波中継機
（以後、前記電波中継機と呼称する。）に向け電波を放
射する。この二つの電波は前記電波中継機経由、前記固
定地上局と前記物体で受信される。前記物体Ｍ１１から
放射された電波が伝搬して、前記電波中継機Ｐ１２に到
達したときに、該電波中継機から前記固定地上局Ｗ１Ｙ
に向け放射される電波を選択する。この選択された電波
の前記電波中継機からの放射時刻ＴＰ１２、前記固定地
上局への到達時刻ＴＷ１Ｙ、方位角βＷ１Ｙ及び仰角α
Ｗ１Ｙは、前記固定地上局に接続されている電子計算機
の記憶装置上に記録される。該電波が、前記電波中継機
に到達後、電波中継時間経過すると、再び前記電波中継
機Ｐ１３より前記固定地上局Ｗ１４へ向け電波が放射さ
れる。この電波の前記電波中継機からの放射時刻Ｔ
Ｐ１３、前記固定地上局への到達時刻ＴＷ１４及び前記
固定地上局に於ける仰角αＷ１４及び方位角βＷ１４を
前記固定地上局に接続されている電子計算機の記憶装置
上に記憶しておく。又、前記固定地上局Ｗ１１から放射
された電波が伝搬して、前記電波中継機Ｐ２２に到達し
たときに、該電波中継機から前期固定地上局Ｗ２Ｙに向
け放射される電波を選択する。この選択された電波の前
記電波中継機からの放射時刻ＴＰ２２、前記固定地上局
への到達時刻ＴＷ２Ｙ、方位角βＷ２Ｙ及び仰角α
Ｗ２Ｙは、固定地上局に接続さた電子計算機の記憶装置
上に記録される。該電波が、前記電波中継機に到達後、
電波中継時間経過したとき、前記物体Ｍ２４に向け放射
される電波の外に、前記固定地上局Ｗ３Ｙへ向け放射さ
れる電波がある。この前記固定地上局へ向け放射される
電波の前記電波中継機からの放射時刻ＴＰ２３、前記固
定地上局への到達時刻ＴＷ３Ｙ及び前記固定地上局に於
ける仰角αＷ３Ｙ、方位角βＷ３Ｙを、前記固定地上局
に接続されている電子計算機の記憶装置上に記憶してお
く。（表５参照） 点Ｐ１２の点Ｗ１Ｙを原点としたときの座標をＰ１２
（ＸＰ１２，ＹＰ１２，ＺＰ１２），点Ｐ１３の点Ｗ１
４を原点としたときの座標をＰ１３（ＸＰ１３，Ｙ
Ｐ１３，ＺＰ１３），点Ｐ２２の点Ｗ２Ｙを原点とした
ときの座標をＰ２２（ＸＰ２２，ＹＰ２２，ＺＰ２２）
及び点Ｐ２３の点Ｗ３Ｙを原点としたときの座標をＰ２
３（ＸＰ２３，ＹＰ２３，ＺＰ２３）とする。大気ガス
の屈折率による電波経路長の誤差を無視すると（図８参
照）点Ｐ１２と点Ｗ１Ｙとの間の見かけの最短距離はｃ
（ＴＷ１Ｙ−ＴＰ１２）であるから、 ＸＰ１２＝ｃ（ＴＷ１Ｙ−ＴＰ１２）ｃｏｓαＷ１Ｙ・ｓｉｎβＷ１ Ｙ ＹＰ１２＝ｃ（ＴＷ１Ｙ−ＴＰ１２）ｃｏｓαＷ１Ｙ・ｃｏｓβＷ１ Ｙ ＺＰ１２＝ｃ（ＴＷ１Ｙ−ＴＰ１２）ｓｉｎαＷ１Ｙ ＴＷ１Ｙ−ＴＰ１２＝ＴＷ３Ｙ−ＴＰ２３、αＷ１Ｙ＝αＷ３Ｙ （１） ＴＷ２Ｙ−ＴＰ２２＝ＴＷ１４−ＴＰ１３、αＷ１４＝αＷ２Ｙ （２） ならば、電波経路Ｍ１１→Ｐ１２→Ｐ１３→Ｗ１４と電
波経路Ｗ１１→Ｐ２２→Ｐ２３→Ｍ２４は時間的に等長
であり、前記物体への電波の到達時刻ＴＭ２４と固定地
上局への電波の到達時刻ＴＷ１４との間に差異があれ
ば、その差異が前記物体と固定地上局の各経時機構の時
間的なずれとなる。故に、上式（１）、（２）の関係を
満足するような電波を、固定地上局に接続されている電
子計算機の記憶装置の中から選択し、前記物体の経時機
構と固定地上局の経時機構の同期化を計る。
【００１０】（２） 衛星に搭載されている電波中継機
の同期化（図９参照） 前記物体から時刻ＴＭ０１のとき、前記電波中継機に向
け電波を放射する。該電波が前記電波中継機に到達する
時刻をＴＰ０２とする。又、前期固定地上局から時刻Ｔ
Ｗ０１のとき、前記電波中継機に向け電波を放射する。
該電波が前記電波中継機に到達する時刻がＴＰ０２とな
るように前記固定地上局から放射するものとする。前記
物体と前記電波中継機との間の距離をＬ１とする。又、
前期電波中継機が時刻ＴＰ０２＋αのときの位置と時刻
ＴＷ０４のときの前記固定地上局との間の距離をＬ２と
する。但し、αは前記電波中継機の電波中継時間であ
り、又ＴＷ０４は前記物体から時刻ＴＭ０１のとき放射
された電波が、前記電波中継機経由前記固定地上局に到
達する時刻である。 Ｌ１＝ｃ（ＴＰ０２−ＴＭ０１） （４） Ｌ２＝ｃ（ＴＰ０２−ＴＷ０１） （５） Ｌ１＋Ｌ２＝ｃ（ＴＷ０４−ＴＭ０１−α） （６） （４）、（５）、（６）から ＴＰ０２＝（ＴＷ０４＋ＴＷ０１−α）／２ 故に、ＴＷ０４、ＴＷ０１及びαは既知であるから、時
刻ＴＰ０２の真値が確定する。従って、この真値により
前記電波中継機の経時機構を補正する。但し、前記物体
より放射された電波が、前記電波中継機に到達したとき
の前記電波中継器の位置と、該電波が前記電波中継機に
到達後、前記電波中継機の電波中継時間経過したときの
前記電波中継機との位置とが、前記固定地上局からみ
て、相対的に同位置にある電波を選択する。即ち、電波
伝搬時間及び仰角の等しい二つの電波を選択するという
ことである。
の同期化（図９参照） 前記物体から時刻ＴＭ０１のとき、前記電波中継機に向
け電波を放射する。該電波が前記電波中継機に到達する
時刻をＴＰ０２とする。又、前期固定地上局から時刻Ｔ
Ｗ０１のとき、前記電波中継機に向け電波を放射する。
該電波が前記電波中継機に到達する時刻がＴＰ０２とな
るように前記固定地上局から放射するものとする。前記
物体と前記電波中継機との間の距離をＬ１とする。又、
前期電波中継機が時刻ＴＰ０２＋αのときの位置と時刻
ＴＷ０４のときの前記固定地上局との間の距離をＬ２と
する。但し、αは前記電波中継機の電波中継時間であ
り、又ＴＷ０４は前記物体から時刻ＴＭ０１のとき放射
された電波が、前記電波中継機経由前記固定地上局に到
達する時刻である。 Ｌ１＝ｃ（ＴＰ０２−ＴＭ０１） （４） Ｌ２＝ｃ（ＴＰ０２−ＴＷ０１） （５） Ｌ１＋Ｌ２＝ｃ（ＴＷ０４−ＴＭ０１−α） （６） （４）、（５）、（６）から ＴＰ０２＝（ＴＷ０４＋ＴＷ０１−α）／２ 故に、ＴＷ０４、ＴＷ０１及びαは既知であるから、時
刻ＴＰ０２の真値が確定する。従って、この真値により
前記電波中継機の経時機構を補正する。但し、前記物体
より放射された電波が、前記電波中継機に到達したとき
の前記電波中継器の位置と、該電波が前記電波中継機に
到達後、前記電波中継機の電波中継時間経過したときの
前記電波中継機との位置とが、前記固定地上局からみ
て、相対的に同位置にある電波を選択する。即ち、電波
伝搬時間及び仰角の等しい二つの電波を選択するという
ことである。
【００１１】３ 大気屈折率による衛星の位置誤差の補
正（図２０参照） 電波の通る空間を固定地上局Ｑｎを通る地表面に平行な
厚さｈの平面層に分割する。そして各平行平面層の屈折
率をそれぞれｎ０、ｎ１、・・・・・、ｎｎとする。衛
星の実際の位置をＰ１、衛星の見かけの位置をＰ２とす
る。衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波の、屈折
率ｎ０の媒質から屈折率ｎ１の媒質への入射点をＱ０、
屈折率ｎ１の媒質から屈折率ｎ２の媒質への入射点をＱ
１、屈折率ｎ２の媒質から屈折率ｎ３の媒質への入射点
をＱ２、屈折率ｎ３の媒質から屈折率ｎ４の媒質への入
射点をＱ３、・・・・・屈折率ｎ１−１から屈折率ｎ１
の媒質への入射点をＱ１−１、・・・・・地表面への入
射点、即ち、固定地上局の位置をＱｎとする。点Ｑ０か
ら屈折率ｎ１とｎ２の界面に下ろした垂線の足をＮ１、
点Ｑ１から屈折率ｎ２とｎ３の界面に下ろした垂線の足
をＮ２、点Ｑ２から屈折率ｎ３とｎ４の界面に下ろした
垂線の足をＮ３、・・・・・点Ｑｉから屈折率ｎｉ＋１
とｎｉ＋２の界面に下ろした垂線の足をＮｉ＋１・・・
・・点Ｑｎ−１から地表面に下ろした垂線の足をＮｎ、
又、点Ｑ０から地表面に下ろした垂線の足をＩとする。
衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波の屈折率ｎ０
の媒質と屈折率ｎ１の媒質の界面への入射角をα０屈折
角をα１、屈折率ｎ１の媒質と屈折率ｎ２の媒質の界面
への屈折角をα２、屈折率ｎ２の媒質と屈折率ｎ３の媒
質の界面への屈折角をα３、・・・・・、屈折率ｎ
ｉ−１の媒質と屈折率ｎｉの媒質の界面への屈折角をα
ｉ、・・・・・、屈折率ｎｎ−１の媒質と屈折率ｎｎの
媒質の界面への屈折率をαｎとする。逆に地表面から衛
星に向け電波を放射する場合、屈折率ｎ１からｎｎまで
の媒質中に於いては、屈折角を入射角に置き換えれば良
い。又屈折率ｎ０の媒質への屈折角はα０となる。衛星
の実際の位置Ｐ１から放射された電波が、屈折率ｎ０の
媒質から屈折率ｎ１の媒質へ入射した時、その入射点Ｑ
０で屈折せずそのまま直進して地表面に到達したと仮定
して、地表面への入射点をＪとする。屈折率ｎ０の界面
から地表面までにある厚さｈの平行平面層の個数をｎと
して、 ＩＪ／ＩＱ０＝ｔａｎα０ ∴ＩＪ＝ＩＱ０ｔａｎα０＝ｎｈ・ｔａｎα０ Ｎ１Ｑ１／Ｎ１Ｑ０＝ｔａｎα１ ∴Ｎ１Ｑ１＝Ｎ１Ｑ０ｔａｎα１＝ｈ・ｔａｎα１ Ｎ２Ｑ２／Ｎ２Ｑ１＝ｔａｎα２ ∴Ｎ２Ｑ２＝Ｎ２Ｑ１ｔａｎα２＝ｈ・ｔａｎα２ Ｎ３Ｑ３／Ｎ３Ｑ２＝ｔａｎα３ ∴Ｎ３Ｑ３＝Ｎ３Ｑ２ｔａｎα３＝ｈ・ｔａｎα３ ・ ・ ＮｉＱｉ／ＮｉＱｉ−１＝ｔａｎαｉ ∴ＮｉＱｉ＝ＮｉＱｉ−１ｔａｎαｉ＝ｈ・ｔａｎαｉ ・ ・ ＮｎＱｎ／ＮｎＱｎ−１＝ｔａｎαｎ ∴ＮｎＱｎ＝ＮｎＱｎ−１ｔａｎαｎ＝ｈ・ｔａｎαｎ ＩＱｎ＝Ｎ１Ｑ１＋Ｎ２Ｑ２＋Ｎ３Ｑ３＋・・・＋ＮｉＱｉ＋・・・＋ ＮｎＱｎ ＝ｈ（ｔａｎα１＋ｔａｎα２＋ｔａｎα３＋・・・・・＋ｔａ ｎαｉ＋・・・・・＋ｔａｎαｎ） ＪＱｎ＝ＩＪ−ＩＱｎ＝ｎｈ・ｔａｎα０−ｈ（ｔａｎα１＋ｔａｎ α２＋ｔａｎα３＋・・・・・＋ｔａｎαｉ＋・・・・・ｔａｎαｎ） ＝ｈ｛ｎｔａｎα０−（ｔａｎα１＋ｔａｎα２＋ｔａｎα３＋ ・・・・・＋ｔａｎαｉ＋・・・・・＋ｔａｎαｎ）｝ Ｎ１Ｑ０／Ｑ０Ｑ１＝ｃｏｓα１ ∴Ｑ０Ｑ１＝Ｎ１Ｑ０／ｃｏｓα１＝ｈ／ｃｏｓα１ 電波がＱ０Ｑ１を通過するのに要する時間をｔ１とする
と、電波伝搬速度をｃとして ｃｔ１＝Ｑ０Ｑ１ ∴ｔ１＝Ｑ０Ｑ１／ｃ＝ｈ（ｃｏｓα１・ｃ） Ｎ２Ｑ１／Ｑ１Ｑ２＝ｃｏｓα２ ∴Ｑ１Ｑ２＝Ｎ２Ｑ１／ｃｏｓα２＝ｈ／ｃｏ
ｓα２ 電波がＱ１Ｑ２を通過するのに要する時間をｔ２とする
と、電波伝搬速度をｃとして ｃｔ２＝Ｑ１Ｑ２ ∴ｔ２＝（Ｎ２Ｑ１／ｃｏｓα２）／ｃ＝ｈ／（ｃｏｓα２・ｃ） Ｎ３Ｑ２／Ｑ２Ｑ３＝ｃｏｓα３ ∴Ｑ２Ｑ３＝Ｎ３Ｑ２／ｃｏｓα３＝ｈ／ｃｏｓα３ 電波がＱ２Ｑ３を通過するのに要する時間をｔ３とする
と、電波伝搬速度をｃとして ｃｔ３＝Ｑ２Ｑ３ ∴ｔ３＝Ｑ２Ｑ３／ｃ＝ｈ／（ｃｏｓα３・ｃ） ・ ・ ＮｉＱｉ−１／Ｑｉ−１Ｑｉ＝ｃｏｓαｉ ∴Ｑｉ−１Ｑｉ＝ＮｉＱｉ−１／ｃｏｓαｉ＝ｈ／ｃｏｓαｉ 電波がＱｉ−１Ｑｉを通過するに要する時間をｔｉとす
ると、電波伝搬速度をｃとして ｃｔｉ＝Ｑｉ−１Ｑｉ ∴ｔｉ＝Ｑｉ−１Ｑｉ＝ｈ／（ｃｏｓαｉ・ｃ） ・ ・ ＮｎＱｎ−１／Ｑｎ−１Ｑｎ＝ｃｏｓαｎ ∴Ｑｎ−１Ｑｎ＝ＮｎＱｎ−１／ｃｃｓａｎ＝ｈ／ｃｏｓαｎ 電波がＱｎ−１Ｑｎを通過するに要する時間をｔｎとす
ると、電波伝搬速度をｃとして ｃｔｎ＝Ｑｎ−１Ｑｎ ∴ｔｎ＝Ｑｎ−１Ｑｎ／ｃ＝ｈ／（ｃｏｓαｎ
・ｃ） 電波が点Ｐ１と点Ｑ０の間を通過するのに要する時間を
Ｔｐとする。点Ｐ１に於ける電波の放射時刻をＴｐ１、
点Ｑｎに於ける電波の到達時刻をＴｑｎとすると、 Ｔｑｎ−Ｔｐ１＝（ｔ１＋ｔ２＋ｔ３＋・・・＋ｔｉ＋・・・＋ｔｎ） ＋Ｔｐ ∴Ｔｐ＝（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−（ｔ１＋ｔ２＋ｔ３＋・・・＋ｔｉ＋・・ ・ｔｎ） ＝（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−｛ｈ／（ｃｏｓα１・ｃ）＋ｈ／（ｃｏｓ α２・ｃ）＋ｈ／（ｃｏｓα３・ｃ）＋・・・＋ｈ／（ｃｏｓαｉ・ｃ） ＋・・・＋ｈ／（ｃｏｓαｎ・ｃ）｝ ＝（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−（ｈ／ｃ）（１／ｃｏｓα１＋１／ｃｏｓα２＋ １／ｃｏｓα３＋・・・＋１／ｃｏｓαｉ＋・・・＋１／ｃｏｓαｎ） 点Ｐ１と点Ｑ０との間の距離をＬｐ１ｑ０とすると、媒
質の屈折率はｎ０（＝１）であるから、 Ｌｐ１ｑ０＝ｃ・Ｔｐ＝ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈ（１／ｃｏｓα１ ＋１／ｃｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋ ・・・・＋１／ｃｏｓαｉ＋・ ・・＋１／ｃｏｓαｎ） 点Ｐ１から放射された電波が、点Ｑ０で屈折せず直進す
ると仮定すると、点Ｑ０と点Ｊとのとの間の距離をＬ
ＪＱ０とすると、電波が点Ｑ０を通過してから、地表面
上の点Ｊに到達するまでの時間Ｔｊｑ０は、媒質の屈折
率はｎ０（＝１）であるから、 Ｔｊｑ０＝Ｌｊｑ０／ｃ＝ＪＱ０／ｃ＝ （１／ｃ）（ＩＱ０／ｃｏｓα０）＝ｎｈ／（ｃｏｓα０・ｃ） 衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波が、屈折率ｎ
０（＝１）の媒質を通過して地表面に到達する時刻をＴ
ｊとすると、（媒質が全て一様で屈折率がｎ０とす
る。） Ｔｊ＝Ｐ１Ｑ０／ｃ＋ＪＱ０／ｃ ＝Ｌｐ１ｑ０／ｃ＋Ｌｊｑ０／ｃ ＝（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）＋（ｈ／ｃ）｛ｎ／ｃｏｓα０−（１／ｃ ｏｓα１＋１／ｃｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋ ・・・＋１／ｃｏｓαｉ＋・・・・・＋１／ｃｏｓ αｎ）｝ 衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波が、屈折率ｎ
０（＝１）の一様な媒質を通過するに要する時間と屈折
率ｎ０、ｎ１、ｎ２、ｎ３、・・・・・、ｎｉ、・・・
・・及びｎｎの媒質を通過するときに要する時間との差
をＴｓとすると、 Ｔｓ＝Ｔｊ−（Ｔｑｎ−Ｔｐ１） ＝（ｈ／ｃ）｛ｎ／ｃｏｓα０−（１／ｃｏｓα１＋１／ｃ ｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋ ・・・・＋１／ｃｏｓαｉ＋・・・＋１ ／ｃｏｓαｎ） 衛星の見かけの位置Ｐ２から放射された電波の固定地上
局での仰角を（π／２−αｎ）衛星の実際の位置Ｐ１か
ら放射された電波の点Ｑ０での仰角を（π／２−α０）
とすると、、スネルの法則から、 ｎ０ｓｉｎα０＝ｎｎｓｉｎαｎ ∴ｓｉｎα０＝（ｎｎ／ｎ０）ｓｉｎαｎ ∴α０＝ｓｉｎ−１｛（ｎｎ／ｎ０）ｓｉｎ
αｎ｝ 従って、衛星の実際の位置は、固定地上局の後方点Ｊ
で、固定地上局からの距離が、 ｈ｛ｎ・ｔａｎα０−（ｔａｎα１＋ｔａｎα２＋ｔａ
ｎα３＋・・・・・＋ｔａｎαｉ＋・・・・・＋ｔａｎ
αｎ）｝ にある虚地上局で、仰角は π／２−ｓｉｎ−１｛（ｎｎ／ｎ０）ｓｉｎαｎ｝ 電波の到達時刻は、電波が固定地上局に到達するまでの
時間に比べて、 （ｈ／ｃ）｛ｎ／ｃｏｓα０−（１／ｃｏｓα１＋１／
ｃｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋・・・＋１／ｃｏｓαｉ
＋・・・＋１／ｃｏｓαｎ） だけ多くなる。固定地上局の位置Ｑｎを原点として、点
Ｑｎ−１、Ｑｎ−２、・・・・・、Ｑｉ、・・・・・、
Ｑ３、Ｑ２、Ｑ１、Ｑ０、及びＰ１の座標を、それぞれ
（Ｘｎ−１，Ｙｎ−１）、（Ｘｎ−２、Ｙｎ−２）、・
・・・・、（Ｘｉ，Ｙｉ）、・・・・・（Ｘ３，
Ｙ３）、（Ｘ２，Ｙ２）、（Ｘ１，Ｙ１）、（Ｘ０，Ｙ
０）及び（Ｘｐ１，Ｙｐ１）とする。 Ｘｎ−１＝ＮｎＱｎ＝ＮｎＱｎ−１ｔａｎαｎ＝ｈ・ｔａｎαｎ Ｙｎ−１＝ＮｎＱｎ−１＝ｈ Ｘｎ−２＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＝ｈ・ｔａｎαｎ＋ｈ・ｔａｎαｎ−１ Ｙｎ−２＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＝２ｈ Ｘｉ＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１） Ｙｉ＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＝（ ｎ−ｉ）ｈ Ｘ３＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ４ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１＋ ・・・・・＋ｔａｎα４） Ｙ３＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ３＝（ｎ−３）ｈ Ｘ２＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ４＋Ｎ３Ｑ３ ＝ｈ（ｔａｎα ｎ ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１＋ ・・・・・＋ｔａｎα４＋ｔａｎα３） Ｙ２＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ３＋Ｎ３Ｑ２＝（ｎ−２）ｈ Ｘ１＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ４＋Ｎ３Ｑ３＋Ｎ２Ｑ２ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１＋ ・・・・・＋ｔａｎα４＋ｔａｎα３＋ｔａｎα２） Ｙ１＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋・ ・・＋Ｎ４Ｑ４＋Ｎ３Ｑ３＋Ｎ２Ｑ２＋Ｎ１Ｑ１＝（ｎ−１）ｈ Ｘ０＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ４＋Ｎ３Ｑ３＋Ｎ２Ｑ２＋Ｎ１Ｑ１ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１＋ ・・・・・＋ｔａｎα４＋ｔａｎα３＋ｔａｎα２＋ｔａｎα１） Ｙ０＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋・ ・・・＋Ｎ４Ｑ３＋Ｎ３Ｑ２＋Ｎ２Ｑ１＋Ｎ１Ｑ０＝ｎｈ Ｘｐ１＝Ｘ０＋Ｐ１Ｑ０ｓｉｎα０ ＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋Ｌｐ１ｑ０ｓｉｎα０＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａ ｎαｉ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１） −ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０ Ｙｐ１＝Ｙ０＋Ｐ１Ｑ０ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ ｃｏｓα０ 衛星の実際の位置から地上局又は観測点に向け放射され
た電波が、又は地上局あるいは観測点から衛星に向け放
射された電波が、屈折率ｎ０から屈折率ｎ１に変わる又
はその逆の地表面に平行な界面への電波の入射点を原点
として、この原点において屈折率ｎ０から屈折率ｎ１に
変わるまたはその逆の地表面に平行な界面にたてた法線
をＸ軸とし、このＸ軸と電波経路が構成する平面内にあ
るＸ軸に直交する直線をＹ軸とするＸＹ−平面におい
て、衛星の実際の位置から地上局又は観測点までの電波
の経路長の水平距離ＬＸＰ１と垂直距離ＬＹＰ１を求め
ると、入射角、屈折角の基準線をＸ軸の正方向とし ＬＸＰ１＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ（π＋αｉ）＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１） ＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋αｉ））｝ｓｉｎα０ ＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈΣｉ＝１ ｎ （１／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０ ＬＹＰ１＝ｎｈ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／（ｃｏ ｓ（π＋αｉ））｝ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ ）｝ｃｏｓα０ 故に、衛星の実際の位置Ｐ１と固定地上局の位置Ｑｎと
の間の最短距離をＬｐ１ｑｎとすると、 Ｌｐ１ｑｎ＝（ＬＸｐ１ ２＋ＬＹｐ１ ２）１／２ ＝［〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈ Σｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃ ｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０〕２］１／２
正（図２０参照） 電波の通る空間を固定地上局Ｑｎを通る地表面に平行な
厚さｈの平面層に分割する。そして各平行平面層の屈折
率をそれぞれｎ０、ｎ１、・・・・・、ｎｎとする。衛
星の実際の位置をＰ１、衛星の見かけの位置をＰ２とす
る。衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波の、屈折
率ｎ０の媒質から屈折率ｎ１の媒質への入射点をＱ０、
屈折率ｎ１の媒質から屈折率ｎ２の媒質への入射点をＱ
１、屈折率ｎ２の媒質から屈折率ｎ３の媒質への入射点
をＱ２、屈折率ｎ３の媒質から屈折率ｎ４の媒質への入
射点をＱ３、・・・・・屈折率ｎ１−１から屈折率ｎ１
の媒質への入射点をＱ１−１、・・・・・地表面への入
射点、即ち、固定地上局の位置をＱｎとする。点Ｑ０か
ら屈折率ｎ１とｎ２の界面に下ろした垂線の足をＮ１、
点Ｑ１から屈折率ｎ２とｎ３の界面に下ろした垂線の足
をＮ２、点Ｑ２から屈折率ｎ３とｎ４の界面に下ろした
垂線の足をＮ３、・・・・・点Ｑｉから屈折率ｎｉ＋１
とｎｉ＋２の界面に下ろした垂線の足をＮｉ＋１・・・
・・点Ｑｎ−１から地表面に下ろした垂線の足をＮｎ、
又、点Ｑ０から地表面に下ろした垂線の足をＩとする。
衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波の屈折率ｎ０
の媒質と屈折率ｎ１の媒質の界面への入射角をα０屈折
角をα１、屈折率ｎ１の媒質と屈折率ｎ２の媒質の界面
への屈折角をα２、屈折率ｎ２の媒質と屈折率ｎ３の媒
質の界面への屈折角をα３、・・・・・、屈折率ｎ
ｉ−１の媒質と屈折率ｎｉの媒質の界面への屈折角をα
ｉ、・・・・・、屈折率ｎｎ−１の媒質と屈折率ｎｎの
媒質の界面への屈折率をαｎとする。逆に地表面から衛
星に向け電波を放射する場合、屈折率ｎ１からｎｎまで
の媒質中に於いては、屈折角を入射角に置き換えれば良
い。又屈折率ｎ０の媒質への屈折角はα０となる。衛星
の実際の位置Ｐ１から放射された電波が、屈折率ｎ０の
媒質から屈折率ｎ１の媒質へ入射した時、その入射点Ｑ
０で屈折せずそのまま直進して地表面に到達したと仮定
して、地表面への入射点をＪとする。屈折率ｎ０の界面
から地表面までにある厚さｈの平行平面層の個数をｎと
して、 ＩＪ／ＩＱ０＝ｔａｎα０ ∴ＩＪ＝ＩＱ０ｔａｎα０＝ｎｈ・ｔａｎα０ Ｎ１Ｑ１／Ｎ１Ｑ０＝ｔａｎα１ ∴Ｎ１Ｑ１＝Ｎ１Ｑ０ｔａｎα１＝ｈ・ｔａｎα１ Ｎ２Ｑ２／Ｎ２Ｑ１＝ｔａｎα２ ∴Ｎ２Ｑ２＝Ｎ２Ｑ１ｔａｎα２＝ｈ・ｔａｎα２ Ｎ３Ｑ３／Ｎ３Ｑ２＝ｔａｎα３ ∴Ｎ３Ｑ３＝Ｎ３Ｑ２ｔａｎα３＝ｈ・ｔａｎα３ ・ ・ ＮｉＱｉ／ＮｉＱｉ−１＝ｔａｎαｉ ∴ＮｉＱｉ＝ＮｉＱｉ−１ｔａｎαｉ＝ｈ・ｔａｎαｉ ・ ・ ＮｎＱｎ／ＮｎＱｎ−１＝ｔａｎαｎ ∴ＮｎＱｎ＝ＮｎＱｎ−１ｔａｎαｎ＝ｈ・ｔａｎαｎ ＩＱｎ＝Ｎ１Ｑ１＋Ｎ２Ｑ２＋Ｎ３Ｑ３＋・・・＋ＮｉＱｉ＋・・・＋ ＮｎＱｎ ＝ｈ（ｔａｎα１＋ｔａｎα２＋ｔａｎα３＋・・・・・＋ｔａ ｎαｉ＋・・・・・＋ｔａｎαｎ） ＪＱｎ＝ＩＪ−ＩＱｎ＝ｎｈ・ｔａｎα０−ｈ（ｔａｎα１＋ｔａｎ α２＋ｔａｎα３＋・・・・・＋ｔａｎαｉ＋・・・・・ｔａｎαｎ） ＝ｈ｛ｎｔａｎα０−（ｔａｎα１＋ｔａｎα２＋ｔａｎα３＋ ・・・・・＋ｔａｎαｉ＋・・・・・＋ｔａｎαｎ）｝ Ｎ１Ｑ０／Ｑ０Ｑ１＝ｃｏｓα１ ∴Ｑ０Ｑ１＝Ｎ１Ｑ０／ｃｏｓα１＝ｈ／ｃｏｓα１ 電波がＱ０Ｑ１を通過するのに要する時間をｔ１とする
と、電波伝搬速度をｃとして ｃｔ１＝Ｑ０Ｑ１ ∴ｔ１＝Ｑ０Ｑ１／ｃ＝ｈ（ｃｏｓα１・ｃ） Ｎ２Ｑ１／Ｑ１Ｑ２＝ｃｏｓα２ ∴Ｑ１Ｑ２＝Ｎ２Ｑ１／ｃｏｓα２＝ｈ／ｃｏ
ｓα２ 電波がＱ１Ｑ２を通過するのに要する時間をｔ２とする
と、電波伝搬速度をｃとして ｃｔ２＝Ｑ１Ｑ２ ∴ｔ２＝（Ｎ２Ｑ１／ｃｏｓα２）／ｃ＝ｈ／（ｃｏｓα２・ｃ） Ｎ３Ｑ２／Ｑ２Ｑ３＝ｃｏｓα３ ∴Ｑ２Ｑ３＝Ｎ３Ｑ２／ｃｏｓα３＝ｈ／ｃｏｓα３ 電波がＱ２Ｑ３を通過するのに要する時間をｔ３とする
と、電波伝搬速度をｃとして ｃｔ３＝Ｑ２Ｑ３ ∴ｔ３＝Ｑ２Ｑ３／ｃ＝ｈ／（ｃｏｓα３・ｃ） ・ ・ ＮｉＱｉ−１／Ｑｉ−１Ｑｉ＝ｃｏｓαｉ ∴Ｑｉ−１Ｑｉ＝ＮｉＱｉ−１／ｃｏｓαｉ＝ｈ／ｃｏｓαｉ 電波がＱｉ−１Ｑｉを通過するに要する時間をｔｉとす
ると、電波伝搬速度をｃとして ｃｔｉ＝Ｑｉ−１Ｑｉ ∴ｔｉ＝Ｑｉ−１Ｑｉ＝ｈ／（ｃｏｓαｉ・ｃ） ・ ・ ＮｎＱｎ−１／Ｑｎ−１Ｑｎ＝ｃｏｓαｎ ∴Ｑｎ−１Ｑｎ＝ＮｎＱｎ−１／ｃｃｓａｎ＝ｈ／ｃｏｓαｎ 電波がＱｎ−１Ｑｎを通過するに要する時間をｔｎとす
ると、電波伝搬速度をｃとして ｃｔｎ＝Ｑｎ−１Ｑｎ ∴ｔｎ＝Ｑｎ−１Ｑｎ／ｃ＝ｈ／（ｃｏｓαｎ
・ｃ） 電波が点Ｐ１と点Ｑ０の間を通過するのに要する時間を
Ｔｐとする。点Ｐ１に於ける電波の放射時刻をＴｐ１、
点Ｑｎに於ける電波の到達時刻をＴｑｎとすると、 Ｔｑｎ−Ｔｐ１＝（ｔ１＋ｔ２＋ｔ３＋・・・＋ｔｉ＋・・・＋ｔｎ） ＋Ｔｐ ∴Ｔｐ＝（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−（ｔ１＋ｔ２＋ｔ３＋・・・＋ｔｉ＋・・ ・ｔｎ） ＝（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−｛ｈ／（ｃｏｓα１・ｃ）＋ｈ／（ｃｏｓ α２・ｃ）＋ｈ／（ｃｏｓα３・ｃ）＋・・・＋ｈ／（ｃｏｓαｉ・ｃ） ＋・・・＋ｈ／（ｃｏｓαｎ・ｃ）｝ ＝（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−（ｈ／ｃ）（１／ｃｏｓα１＋１／ｃｏｓα２＋ １／ｃｏｓα３＋・・・＋１／ｃｏｓαｉ＋・・・＋１／ｃｏｓαｎ） 点Ｐ１と点Ｑ０との間の距離をＬｐ１ｑ０とすると、媒
質の屈折率はｎ０（＝１）であるから、 Ｌｐ１ｑ０＝ｃ・Ｔｐ＝ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈ（１／ｃｏｓα１ ＋１／ｃｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋ ・・・・＋１／ｃｏｓαｉ＋・ ・・＋１／ｃｏｓαｎ） 点Ｐ１から放射された電波が、点Ｑ０で屈折せず直進す
ると仮定すると、点Ｑ０と点Ｊとのとの間の距離をＬ
ＪＱ０とすると、電波が点Ｑ０を通過してから、地表面
上の点Ｊに到達するまでの時間Ｔｊｑ０は、媒質の屈折
率はｎ０（＝１）であるから、 Ｔｊｑ０＝Ｌｊｑ０／ｃ＝ＪＱ０／ｃ＝ （１／ｃ）（ＩＱ０／ｃｏｓα０）＝ｎｈ／（ｃｏｓα０・ｃ） 衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波が、屈折率ｎ
０（＝１）の媒質を通過して地表面に到達する時刻をＴ
ｊとすると、（媒質が全て一様で屈折率がｎ０とす
る。） Ｔｊ＝Ｐ１Ｑ０／ｃ＋ＪＱ０／ｃ ＝Ｌｐ１ｑ０／ｃ＋Ｌｊｑ０／ｃ ＝（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）＋（ｈ／ｃ）｛ｎ／ｃｏｓα０−（１／ｃ ｏｓα１＋１／ｃｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋ ・・・＋１／ｃｏｓαｉ＋・・・・・＋１／ｃｏｓ αｎ）｝ 衛星の実際の位置Ｐ１から放射された電波が、屈折率ｎ
０（＝１）の一様な媒質を通過するに要する時間と屈折
率ｎ０、ｎ１、ｎ２、ｎ３、・・・・・、ｎｉ、・・・
・・及びｎｎの媒質を通過するときに要する時間との差
をＴｓとすると、 Ｔｓ＝Ｔｊ−（Ｔｑｎ−Ｔｐ１） ＝（ｈ／ｃ）｛ｎ／ｃｏｓα０−（１／ｃｏｓα１＋１／ｃ ｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋ ・・・・＋１／ｃｏｓαｉ＋・・・＋１ ／ｃｏｓαｎ） 衛星の見かけの位置Ｐ２から放射された電波の固定地上
局での仰角を（π／２−αｎ）衛星の実際の位置Ｐ１か
ら放射された電波の点Ｑ０での仰角を（π／２−α０）
とすると、、スネルの法則から、 ｎ０ｓｉｎα０＝ｎｎｓｉｎαｎ ∴ｓｉｎα０＝（ｎｎ／ｎ０）ｓｉｎαｎ ∴α０＝ｓｉｎ−１｛（ｎｎ／ｎ０）ｓｉｎ
αｎ｝ 従って、衛星の実際の位置は、固定地上局の後方点Ｊ
で、固定地上局からの距離が、 ｈ｛ｎ・ｔａｎα０−（ｔａｎα１＋ｔａｎα２＋ｔａ
ｎα３＋・・・・・＋ｔａｎαｉ＋・・・・・＋ｔａｎ
αｎ）｝ にある虚地上局で、仰角は π／２−ｓｉｎ−１｛（ｎｎ／ｎ０）ｓｉｎαｎ｝ 電波の到達時刻は、電波が固定地上局に到達するまでの
時間に比べて、 （ｈ／ｃ）｛ｎ／ｃｏｓα０−（１／ｃｏｓα１＋１／
ｃｏｓα２＋１／ｃｏｓα３＋・・・＋１／ｃｏｓαｉ
＋・・・＋１／ｃｏｓαｎ） だけ多くなる。固定地上局の位置Ｑｎを原点として、点
Ｑｎ−１、Ｑｎ−２、・・・・・、Ｑｉ、・・・・・、
Ｑ３、Ｑ２、Ｑ１、Ｑ０、及びＰ１の座標を、それぞれ
（Ｘｎ−１，Ｙｎ−１）、（Ｘｎ−２、Ｙｎ−２）、・
・・・・、（Ｘｉ，Ｙｉ）、・・・・・（Ｘ３，
Ｙ３）、（Ｘ２，Ｙ２）、（Ｘ１，Ｙ１）、（Ｘ０，Ｙ
０）及び（Ｘｐ１，Ｙｐ１）とする。 Ｘｎ−１＝ＮｎＱｎ＝ＮｎＱｎ−１ｔａｎαｎ＝ｈ・ｔａｎαｎ Ｙｎ−１＝ＮｎＱｎ−１＝ｈ Ｘｎ−２＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＝ｈ・ｔａｎαｎ＋ｈ・ｔａｎαｎ−１ Ｙｎ−２＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＝２ｈ Ｘｉ＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１） Ｙｉ＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＝（ ｎ−ｉ）ｈ Ｘ３＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ４ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１＋ ・・・・・＋ｔａｎα４） Ｙ３＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ３＝（ｎ−３）ｈ Ｘ２＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ４＋Ｎ３Ｑ３ ＝ｈ（ｔａｎα ｎ ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１＋ ・・・・・＋ｔａｎα４＋ｔａｎα３） Ｙ２＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ３＋Ｎ３Ｑ２＝（ｎ−２）ｈ Ｘ１＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ４＋Ｎ３Ｑ３＋Ｎ２Ｑ２ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１＋ ・・・・・＋ｔａｎα４＋ｔａｎα３＋ｔａｎα２） Ｙ１＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋・ ・・＋Ｎ４Ｑ４＋Ｎ３Ｑ３＋Ｎ２Ｑ２＋Ｎ１Ｑ１＝（ｎ−１）ｈ Ｘ０＝ＮｎＱｎ＋Ｎｎ−１Ｑｎ−１＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋１＋・ ・・・・＋Ｎ４Ｑ４＋Ｎ３Ｑ３＋Ｎ２Ｑ２＋Ｎ１Ｑ１ ＝ｈ（ｔａｎαｎ＋ｔａｎαｎ−１＋・・・・・・＋ｔａｎαｉ＋１＋ ・・・・・＋ｔａｎα４＋ｔａｎα３＋ｔａｎα２＋ｔａｎα１） Ｙ０＝ＮｎＱｎ−１＋Ｎｎ−１Ｑｎ−２＋・・・・・＋Ｎｉ＋１Ｑｉ＋・ ・・・＋Ｎ４Ｑ３＋Ｎ３Ｑ２＋Ｎ２Ｑ１＋Ｎ１Ｑ０＝ｎｈ Ｘｐ１＝Ｘ０＋Ｐ１Ｑ０ｓｉｎα０ ＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋Ｌｐ１ｑ０ｓｉｎα０＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａ ｎαｉ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１） −ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０ Ｙｐ１＝Ｙ０＋Ｐ１Ｑ０ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ ｃｏｓα０ 衛星の実際の位置から地上局又は観測点に向け放射され
た電波が、又は地上局あるいは観測点から衛星に向け放
射された電波が、屈折率ｎ０から屈折率ｎ１に変わる又
はその逆の地表面に平行な界面への電波の入射点を原点
として、この原点において屈折率ｎ０から屈折率ｎ１に
変わるまたはその逆の地表面に平行な界面にたてた法線
をＸ軸とし、このＸ軸と電波経路が構成する平面内にあ
るＸ軸に直交する直線をＹ軸とするＸＹ−平面におい
て、衛星の実際の位置から地上局又は観測点までの電波
の経路長の水平距離ＬＸＰ１と垂直距離ＬＹＰ１を求め
ると、入射角、屈折角の基準線をＸ軸の正方向とし ＬＸＰ１＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ（π＋αｉ）＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１） ＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋αｉ））｝ｓｉｎα０ ＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈΣｉ＝１ ｎ （１／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０ ＬＹＰ１＝ｎｈ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／（ｃｏ ｓ（π＋αｉ））｝ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ ）｝ｃｏｓα０ 故に、衛星の実際の位置Ｐ１と固定地上局の位置Ｑｎと
の間の最短距離をＬｐ１ｑｎとすると、 Ｌｐ１ｑｎ＝（ＬＸｐ１ ２＋ＬＹｐ１ ２）１／２ ＝［〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈ Σｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０〕２ ＋〔ｎｈ＋｛ｃ（Ｔｑｎ−Ｔｐ１）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃ ｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０〕２］１／２
【００１２】４ 仰角の決定 地球の周囲を図１１の様に三つの領域に分類する。地表
面から高さ１２ｋｍ上空までの領域を水平層、地表面か
らの高さ１２ｋｍから５００ｋｍまでの領域を球面層、
そして地表面からの高さ５００ｋｍ以上の領域を電波直
進層と呼ぶことにする。いま、上空にある衛星から電波
が放射され、この電波が伝搬して地表面上にある地上局
に到達したときのこの電波の経路について考察する。
（図１２参照）電波の通過する媒体を、地上局を通る水
平面に平行な厚さｈの平行平面層に分割する。 点Ａは時刻ＴＡのときの地上局の位置 点Ｂは時刻ＴＢのときの地上局の位置 点Ｃは時刻ＴＣのときの地上局の位置 点Ｐは時刻ＴＰのときの衛星搭載の電波中継機の位置 点Ｑは点ＰからＸＹ−平面に下ろした垂線の足 点線ＡＰは時刻ＴＡのとき地上局位置Ａから仰角（π／
２−αｎ）で電波中継機に向け放射され、時刻ＴＰのと
き電波中継機位置Ｐに到達した電波 点線ＰＢは時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐから地上局
に向け放射され、時刻ＴＢのとき仰角（π／２−βｎ）
で地上局位置Ｂに到達した電波 点線ＰＣは時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐから地上局
に向け放射され、時刻ＴＣのとき仰角（π／２−γｎ）
で地上局位置Ｃに到達した電波 太線ＡＰは時刻ＴＡのときの地上局位置Ａと時刻ＴＰの
ときの電波中継機位置Ｐとの間の最短距離 太線ＰＢは時刻ＴＢのときの地上局位置Ｂと時刻ＴＰの
ときの電波中継機位置Ｐ 太線ＰＣは時刻ＴＣのときの地上局位置Ｃと時刻ＴＰの
ときの電波中継機位置Ｐとの間の最短距離 Ｌ１は時刻ＴＰのときの電波中継機の位置Ｐの高さ Ｌ２は時刻ＴＡのときの地上局位置Ａと時刻ＴＰのとき
の電波中継機位置Ｐとの間の水平距離 Ｌ４は時刻ＴＢのときの地上局位置Ｂと時刻ＴＰのとき
の電波中継機位置Ｐとの間の水平距離 Ｌ６は時刻ＴＣのときの地上局位置Ｃと時刻ＴＰのとき
の電波中継機位置Ｐとの間の水平距離 δは時刻ＴＢのときの地上局位置Ｂと時刻ＴＰのときの
電波中継機の位置ＰからＸＹ−平面に下ろした垂線の足
Ｑとを結ぶ直線がＹ軸の正方向となす角度 Ｌ３は時刻ＴＡのときの地上局位置Ａと時刻ＴＢのとき
の地上局位置Ｂとの間の最短距離 Ｌ５は時刻ＴＢのときの地上局位置Ｂと時刻ＴＣのとき
の地上局位置Ｃとの間の最短距離 （以上、図１３参照のこと。）△ＡＢＱにおいて、余弦
第二法則より、 Ｌ２ ２＝Ｌ３ ２＋Ｌ４ ２−２Ｌ３Ｌ４ｃｏｓδ （１） △ＢＣＱにおいて、余弦第二法則より、 、 Ｌ６ ２＝Ｌ４ ２＋Ｌ５ ２−２Ｌ４Ｌ５ｃｏｓ（π−δ）＝Ｌ４ ２＋Ｌ５ ２ ＋２Ｌ４Ｌ５ｃｏｓδ （２） （１）より、 ２Ｌ３Ｌ４ｃｏｓδ＝Ｌ３ ２＋Ｌ４ ２−Ｌ２ ２ ∴ｃｏｓδ＝（Ｌ３ ２＋Ｌ４ ２−Ｌ２ ２）／２Ｌ
３Ｌ４ （３） （２）より、 ２Ｌ４Ｌ５ｃｏｓδ＝Ｌ６ ２−Ｌ４ ２−Ｌ５ ２ ∴ｃｏｓδ＝（Ｌ６ ２−Ｌ４ ２−Ｌ５ ２）／２Ｌ
４Ｌ５ （４） （３）、（４）より、 、 （Ｌ３ ２＋Ｌ４ ２−Ｌ２ ２）／２Ｌ３Ｌ４＝（Ｌ６ ２−Ｌ４ ２−Ｌ５ ２ ）／２Ｌ４Ｌ５ Ｌ３ ２Ｌ５＋Ｌ４ ２Ｌ５−Ｌ２ ２Ｌ５−Ｌ３Ｌ６ ２＋Ｌ３Ｌ４ ２＋Ｌ３ Ｌ５ ２＝０ （５） 衛星の位置Ｐから放射された電波が、電波直進層と球面
層との界面ＹＹ’上の一点Ｏに突入したとする。点Ｏに
おいて電波直進層と球面層との界面ＹＹ’にたてた法線
をＸＸ’とする。電波の進行方向を半直線ＯＸを基準と
して、 （１） 電波が、衛星から地上の観測点へ向かって放射
される場合、図１４−１から、 界面ＹＹ’への電波の入射角；α０ 界面ＹＹ’からｉ番目の平行平面層の電波の
屈折角；αｉ＋π スネルの法則から、 ｎ０ｓｉｎα０＝−ｎｉｓｉｎ（αｉ＋π） （∵ｎ０ｓｉｎα０＝ ｎｉｓｉｎαｉ） （２） 電波が、地上の観測点から衛星へ向かって放射
される場合、図１４−２から、 界面ＹＹ’からの電波の屈折角；α０＋π 界面ＹＹ’からｉ番目の平行平面層への電波の入射角；
αｉ スネルの法則から、 ｎｉｓｉｎαｉ＝−ｎ０ｓｉｎ（α０＋π） （∵ｎ０ｓｉｎα０ ＝ｎｉｓｉｎαｉ） 大気屈折率による衛星の位置誤差の補正により、 Ｌ１＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋αｉ）） ｝ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０ （６−１） ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋βｉ））｝ｃ ｏｓβ０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓβｉ）｝ｃｏｓβ０ （６−２） ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＣ−ＴＰ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋γｉ））｝ ｃｏｓγ０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＣ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓγｉ）｝ｃｏｓγ０ （６−３） Ｌ２＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ（π＋αｉ）＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ （１／ｃｏｓ（π＋αｉ））｝ｓｉｎα０ （７） Ｌ４＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ（π＋βｉ）＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ （１／ｃｏｓ（π＋βｉ））｝ｓｉｎβ０ （８） Ｌ６＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ（π＋γｉ）＋｛ｃ（ＴＣ−ＴＰ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ （１／ｃｏｓ（π＋γｉ））｝ｓｉｎγ０ （９） Ｌ３＝Ｖ（ＴＢ−ＴＡ） （１０） Ｌ５＝Ｖ（ＴＣ−ＴＢ） （１１） 但し、ｎは大気ガス層及び電離層を地表面又は位置を突
き止めようとする物体の存在する水平面に平行な厚さｈ
の層に分割したときの個数。ｃは電波伝搬速度。α０は
地上局の位置Ａから時刻ＴＡのとき、電波中継機に向け
放射された電波が、電離層と電波直進層との界面へ突入
したとき、この突入点においてこの平行平面の界面にた
てた法線ＯＸ’と電波とのなす角度（図１４−２参
照）。αｉは時刻ＴＡのときの地上局の位置Ａから電波
中継機に向け放射された電波が、地表面又は位置を突き
止めようとする物体の存在する水平面に平行な厚さｈの
下面からｉ番目の平行平面層へ突入するときの入射角
（図１４−２参照）。β０は電波中継機の位置Ｐから時
刻ＴＰのとき、地上局に向け放射され、時刻ＴＢのとき
地上局の位置Ｂに到達した電波が、電離層と電波直進層
との界面へ突入したとき、この突入点において、この平
行平面の界面にたてた法線ＯＸと電波とのなす角度（図
１４−１参照）。βｉは時刻ＴＰのときの電波中継機の
位置Ｐから時刻ＴＢのときの地上局の位置Ｂに向け放射
された電波が、地表面又は位置を突き止めようとする物
体の存在する水平面に平行な厚さｈの下面からｉ番目の
平行平面層へ突入したときの屈折角（図１４−１参
照）。γ０は電波中継機の位置Ｐから時刻ＴＰのとき、
地上局に向け放射され、時刻ＴＣのとき地上局の位置Ｃ
に到達した電波が、電離層と電波直進層との界面へ突入
したとき、この突入点においてこの平行平面層の界面に
たてた法線ＯＸと電波とのなす角度（図１４−１参
照）。γｉは時刻ＴＰのときの電波中継機の位置Ｐから
時刻ＴＣのときの地上局の位置Ｃに向け放射された電波
が、地表面又は位置を突き止めようとする物体の存在す
る水平面に平行な厚さｈの下面からｉ番目の平行平面層
へ突入したときの屈折角（図１４−１参照）。 Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎα０／ｃｏｓαｉ） ＝Σｉ＝１ ｎ｛ｓｉｎα０／（１／ｓｉｎ２αｉ）１／２｝ ＝Σｉ＝１ ｎ〔ｓｉｎα０／｛１−（ｓｉｎα０／ｎｉ）２｝１／２ 〕 ＝Σｉ＝１ ｎ〔ｓｉｎα０／｛（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）／ｎｉ ２｝１／２ 〕 ＝Σｉ＝１ ｎ｛ｎｉｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２｝ ≒Σｉ＝１ ｎ｛ｎｉｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２α０）１／２｝ ＝Σｉ＝１ ｎ（ｎｉｓｉｎα０／ｃｏｓα０） ＝Σｉ＝１ ｎ（ｎｉｔａｎα０） 上式において、ｎｉ≒１とおいたことにより、誤差が発
生する。この誤差の発生を防止するため、 ｎｉｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ＝ｋｉ｛ｎｉｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２α０）１／２｝ Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎα０／ｃｏｓαｉ） ＝Σｉ＝１ ｎｋｉ（ｎｉｔａｎα０） （１２） 尚、このｋｉは受発信局の位置によっても異なり、又受
発信局の位置が同一であっても、通過する平行平面層そ
れぞれについても異なる。 （１２）と同様に Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎβ０／ｃｏｓβｉ） ＝Σｉ＝１ ｎｌｉ（ｎｉｔａｎβ０） （１３） Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎγ０／ｃｏｓγｉ） ＝Σｉ＝１ ｎｍｉ（ｎｉｔａｎγ０） （１４） ｔａｎαｉ＝ｓｉｎαｉ／ｃｏｓαｉ ＝（ｓｉｎα０／ｎｉ）／｛１−（ｓｉｎα０／ｎｉ）２｝１／２ ＝（ｓｉｎα０／ｎｉ）／｛（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２／ｎｉ｝ ＝ｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ≒ｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２α０）１／２ ＝ｓｉｎα０／ｃｏｓα０ ＝ｔａｎα０ 上式において、ｎｉ≒１とおいたことにより、誤差が発
生する。この誤差の発生を防止するため、 ｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ＝ｋｉ｛ｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２α０）
１／２｝ ＝ｋｉ（ｓｉｎα０／ｃｏｓα０） ｔａｎαｉ＝ｋｉｔａｎα０ （１５） （１５）と同様に ｔａｎβｉ＝ｌｉｔａｎβ０ （１６） ｔａｎγｉ＝ｍｉｔａｎγ０ （１７） 但し、ｎｉは地表面又は位置を突き止めようとする物体
の存在する水平面に平行な厚さｈの下面からｉ番目の平
行平面層の電波の屈折率。（６−１）、（１２）より、 ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）ｃ ｏｓα０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）（ ｓｉｎα０／ｓｉｎα０）ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎ（ｓｉｎα０／ｃｏｓ αｉ）（ｃｏｓα０／ｓｉｎα０） ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎｋｉ（ｎｉｔａｎα０ ）（１／ｔａｎα０） ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎｋｉｎｉ （１８） （６−２）、（１３）より、 ｎｈ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓβｉ）｝ｃｏｓβ０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＢ−ＴＰ）ｃｏｓβ０−ｈΣｉ＝１ ｎｌｉｎｉ （１９） （６−３）、（１４）より、 ｎｈ＋｛ｃ（ＴＣ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓγｉ）｝ｃｏｓγ０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＣ−ＴＰ）ｃｃｓγ０−ｈΣｉ＝１ ｎｍｉｎｉ （２０） （６−１）、（６−２）、（１８）、（１９）より、 ｎｈ＋ｃ（ＴＢ−ＴＰ）ｃｏｓβ０−ｈΣｉ＝１ ｎｌｉｎｉ＝ｎｈ＋ｃ（ ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎｋｉｎｉ ∴ｃｏｓβ０＝｛（ＴＰ−ＴＡ）／（ＴＢ−ＴＰ）｝ｃｏｓα０ （ ∵ｌｉ≒ｋｉ） （２１） 同様にして、（６−１）、（６−３）、（１８）、（２
０）より、 ｃｏｓγ０＝｛（ＴＰ−ＴＡ）／（ＴＣ−ＴＰ）｝ｃｏｓα０ （∵ ｍｉ≒ｋｉ） （２２） （７）、（１２）、（１５）より、 Ｌ２＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ（π＋αｉ）＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ （１／ｃｏｓ（π＋αｉ））｝ｓｉｎα０ ＝ｈΣｉ＝１ ｎ｛ｓｉｎ（π＋αｉ）／ｃｏｓ（π＋αｉ）｝ ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓ（π＋αｉ））｝ｓｉｎα０ ＝ｈΣｉ＝１ ｎｓｉｎ（π＋αｉ）／｛１−ｓｉｎ２（π＋αｉ） ｝１／２ ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓ（π＋αｉ））｝ｓｉｎα０ （２２−１） 然るに、スネルの法則から ｎ０ｓｉｎα０＝ｎｉｓｉｎαｉ 従って、 ｓｉｎ（π＋αｉ）＝ｓｉｎπｃｏｓαｉ＋ｃｏｓπｓｉｎαｉ ＝−ｓｉｎαｉ ＝−（ｎ０／ｎｉ）ｓｉｎα０ ＝−ｓｉｎα０／ｎｉ （２２−２） （２２−１）及び（２２−２）から、 Ｌ２＝ｈΣｉ＝１ ｎ（−ｓｉｎα０／ｎｉ）／｛１−（−ｓｉｎα０ ／ｎｉ）２｝１／２ ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓαｉ）｝ｓｉｎα０ ＝ｈΣｉ＝１ ｎ（−ｓｉｎα０／ｎｉ）／（１−ｓｉｎ２α０／ｎｉ ２ ）１／２ ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓαｉ）｝ｓｉｎα０ ＝ｈΣｉ＝１ ｎ｛−ｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ｝ ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓαｉ）｝ｓｉｎα０ ＝−ｈΣｉ＝１ ｎ｛ｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ｝（ｃｏｓα０／ｃｏｓα０） ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓαｉ）｝ｓｉｎα０ ＝−ｈΣｉ＝１ ｎ｛ｃｏｓα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ｝（ｓｉｎα０／ｃｏｓα０） ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓαｉ）｝ｓｉｎα０ （２２−３） 然るに、 ｋｉ＝（１−ｓｉｎ２α０）／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ （２２−４） （２２−３）及び（２２−４）から、 Ｌ２＝−ｈΣｉ＝１ ｎｋｉｔａｎα０＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ ＝１ ｎ （１／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０ ＝−ｈΣｉ＝１ ｎｋｉｔａｎα０＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｓｉｎα０−ｈ Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎα０／ｃｏｓαｉ） （２２−５） （２２−５）及び（１２）から、 Ｌ２＝−ｈΣｉ＝１ ｎｋｉｔａｎα０＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｓｉｎα０− ｈΣｉ＝１ ｎｋｉｎｉｔａｎα０ ＝−ｈΣｉ＝１ ｎｋｉ（１＋ｎｉ）ｔａｎα０＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｓ ｉｎα０ ＝｛−（ｈ／ｃｏｓα０）Σｉ＝１ ｎｋｉ（１＋ｎｉ）＋ｃ（ＴＰ −ＴＡ）｝ｓｉｎα０ （２３） 同様にして、（８）、（１３）、（１６）より、 Ｌ４＝｛−（ｈ／ｃｏｓβ０）Σｉ＝１ ｎｌｉ（１＋ｎｉ）＋ｃ（ＴＢ −ＴＰ）｝ｓｉｎβ０ （２４） 同様にして、（９）、（１４）、（１７）より、 Ｌ６＝｛−（ｈ／ｃｏｓγ０）Σｉ＝１ ｎｍｉ（１＋ｎｉ）＋ｃ（ＴＣ −ＴＰ）｝ｓｉｎγ０ （２５） いま計算を簡略にするため、（∵ｋｉ≒ｌｉ≒ｍｉ） −ｈΣｉ＝１ ｎｋｉ（１＋ｎｉ）≒−ｈΣｉ＝１ ｎｌｉ（１＋ｎｉ） ≒ｈΣｉ＝１ ｎｍｉ（１＋ｎｉ）＝ｋ （２６） ＴＰ−ＴＡ＝ｐ （２７） ＴＢ−ＴＰ＝ｑ （２８） ＴＣ−ＴＰ＝ｒ （２９） とすると、（２１）、（２７）、（２８）より、 ｃｏｓβ０＝（ｐ／ｑ）ｃｏｓα０ （３０） （２２）、（２７）、（２９）より、 ｃｏｓγ０＝（ｐ／ｒ）ｃｏｓα０ （３１） （２３）、（２７）より、 Ｌ２＝（ｋ／ｃｏｓα０＋ｃｐ）ｓｉｎα０ （３２） （２１）、（２６）、（２７）、（２８）より、 Ｌ４＝（ｋ／ｃｏｓβ０＋ｃｑ）ｓｉｎβ０ ＝｛（ｋｑ／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃｑ｝｛１−（ｐ／ｑ）２ ｃｏｓ２α０｝１／２ （３３） （２２）、（２６）、（２７）、（２９）より、 Ｌ６＝（ｋ／ｃｏｓγ０＋ｃｒ）ｓｉｎγ０ ＝｛（ｋｒ／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃｒ｝｛１−（ｐ／ｒ）２ ｃｏｓ２α０｝１／２ （３４） （１０）、（２７）、（２８）より、 Ｌ３＝Ｖ（ｐ＋ｑ） （３５） （１１）、（２８）、（２９）より、 Ｌ５＝Ｖ（ｒ−ｑ） （３６） （３５）、（３６）より、 Ｌ３ ２Ｌ５＝Ｖ３（ｐ＋ｑ）２（ｒ−ｑ） （３７） （３３）、（３６）より、 Ｌ４ ２Ｌ５＝Ｖ（ｒ−ｑ）｛（ｋ２ｑ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０ ）＋２（ｃｋｑ２／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｑ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ ２ｐ２ ｃｏｓ２α０｝ （３８） （３２）、（３６）より、 Ｌ２ ２Ｌ５＝Ｖ（ｒ−ｑ）｛ｋ２（１／ｃｏｓ２α０）＋２ｃｋｐ（ １／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｐ２−ｋ２−２ｃｋｐ・ｃｏｓα０ −ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ （３９） （３４）、（３５）より、 Ｌ３Ｌ６ ２＝Ｖ（ｐ＋ｑ）｛（ｋ２ｒ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０ ）＋２（ｃｋｒ２／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｒ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ ｃｏｓ２α０｝ （４０） （３３）、（３５）より、 Ｌ３Ｌ４ ２＝Ｖ（ｐ＋ｑ）｛（ｋ２ｑ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０ ）＋２ｃｋｑ２／ｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｑ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ ｐ２ｃｏｓ２α０｝（４１） （３５）、（３６）より、 Ｌ３Ｌ５ ２＝Ｖ３（ｐ＋ｑ）（ｒ−ｑ）２ （４２） （３７）、（３８）、（３９）、（４０）、（４１）、
（４２）を（５）へ代入すると、 Ｌ３ ２Ｌ５＋Ｌ４ ２Ｌ５−Ｌ２ ２Ｌ５−Ｌ３Ｌ６ ２＋Ｌ３Ｌ４ ２＋Ｌ３ Ｌ５ ２ ＝Ｖ３（ｐ＋ｑ）２（ｒ−ｑ） ＋Ｖ（ｒ−ｑ）｛（ｋ２ｑ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０） ＋２（ｃｋｑ２／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｑ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ −Ｖ（ｒ−ｑ）｛ｋ２（１／ｃｏｓ２α０） ＋２ｃｋｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｐ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ −Ｖ（ｐ＋ｑ）｛（ｋ２ｒ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０） ＋２（ｃｋｒ２／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｒ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ ＋Ｖ（ｐ＋ｑ）｛（ｋ２ｑ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０） ＋２ｃｋｑ２／ｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｑ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ ＋Ｖ３（ｐ＋ｑ）（ｒ−ｑ）２ ＝（ｋ２／ｐ２）（ｐ＋ｑ）（ｑ−ｒ）（ｒ＋ｐ）Ｖ（１／ｃｏｓ２α０ ）＋２ｃｋ（ｐ＋ｑ）（ｑ−ｒ）（ｒ＋ｐ）Ｖ／ｐ（１／ｃｏｓα０） ＋ｃ２（ｐ＋ｑ）（ｑ−ｒ）（ｒ＋ｐ）Ｖ＝０ ＝（ｐ＋ｑ）（ｑ−ｒ）（ｒ＋ｐ）Ｖ｛（ｋ２／ｐ２）（１／ｃｏｓα０ ）２＋２ｃｋ／ｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２−Ｖ２｝＝０ ｑ≠ｒから、 （ｋ２／ｐ２）（１／ｃｏｓα０）２＋２ｃｋ／ｐ（１／ｃｏｓα０） ＋ｃ２−Ｖ２＝０ ∴１／ｃｏｓα０＝−ｃｋ／ｐ±｛（ｃｋ／ｐ）２−（ｋ２／ｐ２）（ｃ２ −Ｖ２）｝１／２〕／（ｋ２／ｐ２） （４３）を（２１）及び（２２）へ代入する。 従って時刻ＴＡのとき地上局位置Ａから電波中継機に向
け放射され、時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐに到達し
た電波の地上局位置Ａに於ける仰角は、 時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐから地上局に向け放射
され、時刻ＴＢのとき地上局位置Ｂに到達した電波の地
上局位置Ｂに於ける仰角は、 時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐから地上局に向け放射
され、時刻ＴＣのとき地上局位置Ｃに到達した電波の地
上局位置Ｃに於ける仰角は、 である。但し、ｎｎは地上局の位置する大気ガス層の電
波の屈折率である。
面から高さ１２ｋｍ上空までの領域を水平層、地表面か
らの高さ１２ｋｍから５００ｋｍまでの領域を球面層、
そして地表面からの高さ５００ｋｍ以上の領域を電波直
進層と呼ぶことにする。いま、上空にある衛星から電波
が放射され、この電波が伝搬して地表面上にある地上局
に到達したときのこの電波の経路について考察する。
（図１２参照）電波の通過する媒体を、地上局を通る水
平面に平行な厚さｈの平行平面層に分割する。 点Ａは時刻ＴＡのときの地上局の位置 点Ｂは時刻ＴＢのときの地上局の位置 点Ｃは時刻ＴＣのときの地上局の位置 点Ｐは時刻ＴＰのときの衛星搭載の電波中継機の位置 点Ｑは点ＰからＸＹ−平面に下ろした垂線の足 点線ＡＰは時刻ＴＡのとき地上局位置Ａから仰角（π／
２−αｎ）で電波中継機に向け放射され、時刻ＴＰのと
き電波中継機位置Ｐに到達した電波 点線ＰＢは時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐから地上局
に向け放射され、時刻ＴＢのとき仰角（π／２−βｎ）
で地上局位置Ｂに到達した電波 点線ＰＣは時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐから地上局
に向け放射され、時刻ＴＣのとき仰角（π／２−γｎ）
で地上局位置Ｃに到達した電波 太線ＡＰは時刻ＴＡのときの地上局位置Ａと時刻ＴＰの
ときの電波中継機位置Ｐとの間の最短距離 太線ＰＢは時刻ＴＢのときの地上局位置Ｂと時刻ＴＰの
ときの電波中継機位置Ｐ 太線ＰＣは時刻ＴＣのときの地上局位置Ｃと時刻ＴＰの
ときの電波中継機位置Ｐとの間の最短距離 Ｌ１は時刻ＴＰのときの電波中継機の位置Ｐの高さ Ｌ２は時刻ＴＡのときの地上局位置Ａと時刻ＴＰのとき
の電波中継機位置Ｐとの間の水平距離 Ｌ４は時刻ＴＢのときの地上局位置Ｂと時刻ＴＰのとき
の電波中継機位置Ｐとの間の水平距離 Ｌ６は時刻ＴＣのときの地上局位置Ｃと時刻ＴＰのとき
の電波中継機位置Ｐとの間の水平距離 δは時刻ＴＢのときの地上局位置Ｂと時刻ＴＰのときの
電波中継機の位置ＰからＸＹ−平面に下ろした垂線の足
Ｑとを結ぶ直線がＹ軸の正方向となす角度 Ｌ３は時刻ＴＡのときの地上局位置Ａと時刻ＴＢのとき
の地上局位置Ｂとの間の最短距離 Ｌ５は時刻ＴＢのときの地上局位置Ｂと時刻ＴＣのとき
の地上局位置Ｃとの間の最短距離 （以上、図１３参照のこと。）△ＡＢＱにおいて、余弦
第二法則より、 Ｌ２ ２＝Ｌ３ ２＋Ｌ４ ２−２Ｌ３Ｌ４ｃｏｓδ （１） △ＢＣＱにおいて、余弦第二法則より、 、 Ｌ６ ２＝Ｌ４ ２＋Ｌ５ ２−２Ｌ４Ｌ５ｃｏｓ（π−δ）＝Ｌ４ ２＋Ｌ５ ２ ＋２Ｌ４Ｌ５ｃｏｓδ （２） （１）より、 ２Ｌ３Ｌ４ｃｏｓδ＝Ｌ３ ２＋Ｌ４ ２−Ｌ２ ２ ∴ｃｏｓδ＝（Ｌ３ ２＋Ｌ４ ２−Ｌ２ ２）／２Ｌ
３Ｌ４ （３） （２）より、 ２Ｌ４Ｌ５ｃｏｓδ＝Ｌ６ ２−Ｌ４ ２−Ｌ５ ２ ∴ｃｏｓδ＝（Ｌ６ ２−Ｌ４ ２−Ｌ５ ２）／２Ｌ
４Ｌ５ （４） （３）、（４）より、 、 （Ｌ３ ２＋Ｌ４ ２−Ｌ２ ２）／２Ｌ３Ｌ４＝（Ｌ６ ２−Ｌ４ ２−Ｌ５ ２ ）／２Ｌ４Ｌ５ Ｌ３ ２Ｌ５＋Ｌ４ ２Ｌ５−Ｌ２ ２Ｌ５−Ｌ３Ｌ６ ２＋Ｌ３Ｌ４ ２＋Ｌ３ Ｌ５ ２＝０ （５） 衛星の位置Ｐから放射された電波が、電波直進層と球面
層との界面ＹＹ’上の一点Ｏに突入したとする。点Ｏに
おいて電波直進層と球面層との界面ＹＹ’にたてた法線
をＸＸ’とする。電波の進行方向を半直線ＯＸを基準と
して、 （１） 電波が、衛星から地上の観測点へ向かって放射
される場合、図１４−１から、 界面ＹＹ’への電波の入射角；α０ 界面ＹＹ’からｉ番目の平行平面層の電波の
屈折角；αｉ＋π スネルの法則から、 ｎ０ｓｉｎα０＝−ｎｉｓｉｎ（αｉ＋π） （∵ｎ０ｓｉｎα０＝ ｎｉｓｉｎαｉ） （２） 電波が、地上の観測点から衛星へ向かって放射
される場合、図１４−２から、 界面ＹＹ’からの電波の屈折角；α０＋π 界面ＹＹ’からｉ番目の平行平面層への電波の入射角；
αｉ スネルの法則から、 ｎｉｓｉｎαｉ＝−ｎ０ｓｉｎ（α０＋π） （∵ｎ０ｓｉｎα０ ＝ｎｉｓｉｎαｉ） 大気屈折率による衛星の位置誤差の補正により、 Ｌ１＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋αｉ）） ｝ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０ （６−１） ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋βｉ））｝ｃ ｏｓβ０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓβｉ）｝ｃｏｓβ０ （６−２） ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＣ−ＴＰ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓ（π＋γｉ））｝ ｃｏｓγ０ ＝ｎｈ＋｛ｃ（ＴＣ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓγｉ）｝ｃｏｓγ０ （６−３） Ｌ２＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ（π＋αｉ）＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ （１／ｃｏｓ（π＋αｉ））｝ｓｉｎα０ （７） Ｌ４＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ（π＋βｉ）＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ （１／ｃｏｓ（π＋βｉ））｝ｓｉｎβ０ （８） Ｌ６＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ（π＋γｉ）＋｛ｃ（ＴＣ−ＴＰ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ （１／ｃｏｓ（π＋γｉ））｝ｓｉｎγ０ （９） Ｌ３＝Ｖ（ＴＢ−ＴＡ） （１０） Ｌ５＝Ｖ（ＴＣ−ＴＢ） （１１） 但し、ｎは大気ガス層及び電離層を地表面又は位置を突
き止めようとする物体の存在する水平面に平行な厚さｈ
の層に分割したときの個数。ｃは電波伝搬速度。α０は
地上局の位置Ａから時刻ＴＡのとき、電波中継機に向け
放射された電波が、電離層と電波直進層との界面へ突入
したとき、この突入点においてこの平行平面の界面にた
てた法線ＯＸ’と電波とのなす角度（図１４−２参
照）。αｉは時刻ＴＡのときの地上局の位置Ａから電波
中継機に向け放射された電波が、地表面又は位置を突き
止めようとする物体の存在する水平面に平行な厚さｈの
下面からｉ番目の平行平面層へ突入するときの入射角
（図１４−２参照）。β０は電波中継機の位置Ｐから時
刻ＴＰのとき、地上局に向け放射され、時刻ＴＢのとき
地上局の位置Ｂに到達した電波が、電離層と電波直進層
との界面へ突入したとき、この突入点において、この平
行平面の界面にたてた法線ＯＸと電波とのなす角度（図
１４−１参照）。βｉは時刻ＴＰのときの電波中継機の
位置Ｐから時刻ＴＢのときの地上局の位置Ｂに向け放射
された電波が、地表面又は位置を突き止めようとする物
体の存在する水平面に平行な厚さｈの下面からｉ番目の
平行平面層へ突入したときの屈折角（図１４−１参
照）。γ０は電波中継機の位置Ｐから時刻ＴＰのとき、
地上局に向け放射され、時刻ＴＣのとき地上局の位置Ｃ
に到達した電波が、電離層と電波直進層との界面へ突入
したとき、この突入点においてこの平行平面層の界面に
たてた法線ＯＸと電波とのなす角度（図１４−１参
照）。γｉは時刻ＴＰのときの電波中継機の位置Ｐから
時刻ＴＣのときの地上局の位置Ｃに向け放射された電波
が、地表面又は位置を突き止めようとする物体の存在す
る水平面に平行な厚さｈの下面からｉ番目の平行平面層
へ突入したときの屈折角（図１４−１参照）。 Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎα０／ｃｏｓαｉ） ＝Σｉ＝１ ｎ｛ｓｉｎα０／（１／ｓｉｎ２αｉ）１／２｝ ＝Σｉ＝１ ｎ〔ｓｉｎα０／｛１−（ｓｉｎα０／ｎｉ）２｝１／２ 〕 ＝Σｉ＝１ ｎ〔ｓｉｎα０／｛（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）／ｎｉ ２｝１／２ 〕 ＝Σｉ＝１ ｎ｛ｎｉｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２｝ ≒Σｉ＝１ ｎ｛ｎｉｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２α０）１／２｝ ＝Σｉ＝１ ｎ（ｎｉｓｉｎα０／ｃｏｓα０） ＝Σｉ＝１ ｎ（ｎｉｔａｎα０） 上式において、ｎｉ≒１とおいたことにより、誤差が発
生する。この誤差の発生を防止するため、 ｎｉｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ＝ｋｉ｛ｎｉｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２α０）１／２｝ Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎα０／ｃｏｓαｉ） ＝Σｉ＝１ ｎｋｉ（ｎｉｔａｎα０） （１２） 尚、このｋｉは受発信局の位置によっても異なり、又受
発信局の位置が同一であっても、通過する平行平面層そ
れぞれについても異なる。 （１２）と同様に Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎβ０／ｃｏｓβｉ） ＝Σｉ＝１ ｎｌｉ（ｎｉｔａｎβ０） （１３） Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎγ０／ｃｏｓγｉ） ＝Σｉ＝１ ｎｍｉ（ｎｉｔａｎγ０） （１４） ｔａｎαｉ＝ｓｉｎαｉ／ｃｏｓαｉ ＝（ｓｉｎα０／ｎｉ）／｛１−（ｓｉｎα０／ｎｉ）２｝１／２ ＝（ｓｉｎα０／ｎｉ）／｛（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２／ｎｉ｝ ＝ｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ≒ｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２α０）１／２ ＝ｓｉｎα０／ｃｏｓα０ ＝ｔａｎα０ 上式において、ｎｉ≒１とおいたことにより、誤差が発
生する。この誤差の発生を防止するため、 ｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ＝ｋｉ｛ｓｉｎα０／（１−ｓｉｎ２α０）
１／２｝ ＝ｋｉ（ｓｉｎα０／ｃｏｓα０） ｔａｎαｉ＝ｋｉｔａｎα０ （１５） （１５）と同様に ｔａｎβｉ＝ｌｉｔａｎβ０ （１６） ｔａｎγｉ＝ｍｉｔａｎγ０ （１７） 但し、ｎｉは地表面又は位置を突き止めようとする物体
の存在する水平面に平行な厚さｈの下面からｉ番目の平
行平面層の電波の屈折率。（６−１）、（１２）より、 ｎｈ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）｝ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）ｃ ｏｓα０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）（ ｓｉｎα０／ｓｉｎα０）ｃｏｓα０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎ（ｓｉｎα０／ｃｏｓ αｉ）（ｃｏｓα０／ｓｉｎα０） ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎｋｉ（ｎｉｔａｎα０ ）（１／ｔａｎα０） ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎｋｉｎｉ （１８） （６−２）、（１３）より、 ｎｈ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓβｉ）｝ｃｏｓβ０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＢ−ＴＰ）ｃｏｓβ０−ｈΣｉ＝１ ｎｌｉｎｉ （１９） （６−３）、（１４）より、 ｎｈ＋｛ｃ（ＴＣ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏｓγｉ）｝ｃｏｓγ０ ＝ｎｈ＋ｃ（ＴＣ−ＴＰ）ｃｃｓγ０−ｈΣｉ＝１ ｎｍｉｎｉ （２０） （６−１）、（６−２）、（１８）、（１９）より、 ｎｈ＋ｃ（ＴＢ−ＴＰ）ｃｏｓβ０−ｈΣｉ＝１ ｎｌｉｎｉ＝ｎｈ＋ｃ（ ＴＰ−ＴＡ）ｃｏｓα０−ｈΣｉ＝１ ｎｋｉｎｉ ∴ｃｏｓβ０＝｛（ＴＰ−ＴＡ）／（ＴＢ−ＴＰ）｝ｃｏｓα０ （ ∵ｌｉ≒ｋｉ） （２１） 同様にして、（６−１）、（６−３）、（１８）、（２
０）より、 ｃｏｓγ０＝｛（ＴＰ−ＴＡ）／（ＴＣ−ＴＰ）｝ｃｏｓα０ （∵ ｍｉ≒ｋｉ） （２２） （７）、（１２）、（１５）より、 Ｌ２＝ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎ（π＋αｉ）＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ （１／ｃｏｓ（π＋αｉ））｝ｓｉｎα０ ＝ｈΣｉ＝１ ｎ｛ｓｉｎ（π＋αｉ）／ｃｏｓ（π＋αｉ）｝ ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓ（π＋αｉ））｝ｓｉｎα０ ＝ｈΣｉ＝１ ｎｓｉｎ（π＋αｉ）／｛１−ｓｉｎ２（π＋αｉ） ｝１／２ ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）＋ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓ（π＋αｉ））｝ｓｉｎα０ （２２−１） 然るに、スネルの法則から ｎ０ｓｉｎα０＝ｎｉｓｉｎαｉ 従って、 ｓｉｎ（π＋αｉ）＝ｓｉｎπｃｏｓαｉ＋ｃｏｓπｓｉｎαｉ ＝−ｓｉｎαｉ ＝−（ｎ０／ｎｉ）ｓｉｎα０ ＝−ｓｉｎα０／ｎｉ （２２−２） （２２−１）及び（２２−２）から、 Ｌ２＝ｈΣｉ＝１ ｎ（−ｓｉｎα０／ｎｉ）／｛１−（−ｓｉｎα０ ／ｎｉ）２｝１／２ ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓαｉ）｝ｓｉｎα０ ＝ｈΣｉ＝１ ｎ（−ｓｉｎα０／ｎｉ）／（１−ｓｉｎ２α０／ｎｉ ２ ）１／２ ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓαｉ）｝ｓｉｎα０ ＝ｈΣｉ＝１ ｎ｛−ｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ｝ ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓαｉ）｝ｓｉｎα０ ＝−ｈΣｉ＝１ ｎ｛ｓｉｎα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ｝（ｃｏｓα０／ｃｏｓα０） ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓαｉ）｝ｓｉｎα０ ＝−ｈΣｉ＝１ ｎ｛ｃｏｓα０／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ ｝（ｓｉｎα０／ｃｏｓα０） ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ｃｏ ｓαｉ）｝ｓｉｎα０ （２２−３） 然るに、 ｋｉ＝（１−ｓｉｎ２α０）／（ｎｉ ２−ｓｉｎ２α０）１／２ （２２−４） （２２−３）及び（２２−４）から、 Ｌ２＝−ｈΣｉ＝１ ｎｋｉｔａｎα０＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ ＝１ ｎ （１／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０ ＝−ｈΣｉ＝１ ｎｋｉｔａｎα０＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｓｉｎα０−ｈ Σｉ＝１ ｎ（ｓｉｎα０／ｃｏｓαｉ） （２２−５） （２２−５）及び（１２）から、 Ｌ２＝−ｈΣｉ＝１ ｎｋｉｔａｎα０＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｓｉｎα０− ｈΣｉ＝１ ｎｋｉｎｉｔａｎα０ ＝−ｈΣｉ＝１ ｎｋｉ（１＋ｎｉ）ｔａｎα０＋ｃ（ＴＰ−ＴＡ）ｓ ｉｎα０ ＝｛−（ｈ／ｃｏｓα０）Σｉ＝１ ｎｋｉ（１＋ｎｉ）＋ｃ（ＴＰ −ＴＡ）｝ｓｉｎα０ （２３） 同様にして、（８）、（１３）、（１６）より、 Ｌ４＝｛−（ｈ／ｃｏｓβ０）Σｉ＝１ ｎｌｉ（１＋ｎｉ）＋ｃ（ＴＢ −ＴＰ）｝ｓｉｎβ０ （２４） 同様にして、（９）、（１４）、（１７）より、 Ｌ６＝｛−（ｈ／ｃｏｓγ０）Σｉ＝１ ｎｍｉ（１＋ｎｉ）＋ｃ（ＴＣ −ＴＰ）｝ｓｉｎγ０ （２５） いま計算を簡略にするため、（∵ｋｉ≒ｌｉ≒ｍｉ） −ｈΣｉ＝１ ｎｋｉ（１＋ｎｉ）≒−ｈΣｉ＝１ ｎｌｉ（１＋ｎｉ） ≒ｈΣｉ＝１ ｎｍｉ（１＋ｎｉ）＝ｋ （２６） ＴＰ−ＴＡ＝ｐ （２７） ＴＢ−ＴＰ＝ｑ （２８） ＴＣ−ＴＰ＝ｒ （２９） とすると、（２１）、（２７）、（２８）より、 ｃｏｓβ０＝（ｐ／ｑ）ｃｏｓα０ （３０） （２２）、（２７）、（２９）より、 ｃｏｓγ０＝（ｐ／ｒ）ｃｏｓα０ （３１） （２３）、（２７）より、 Ｌ２＝（ｋ／ｃｏｓα０＋ｃｐ）ｓｉｎα０ （３２） （２１）、（２６）、（２７）、（２８）より、 Ｌ４＝（ｋ／ｃｏｓβ０＋ｃｑ）ｓｉｎβ０ ＝｛（ｋｑ／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃｑ｝｛１−（ｐ／ｑ）２ ｃｏｓ２α０｝１／２ （３３） （２２）、（２６）、（２７）、（２９）より、 Ｌ６＝（ｋ／ｃｏｓγ０＋ｃｒ）ｓｉｎγ０ ＝｛（ｋｒ／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃｒ｝｛１−（ｐ／ｒ）２ ｃｏｓ２α０｝１／２ （３４） （１０）、（２７）、（２８）より、 Ｌ３＝Ｖ（ｐ＋ｑ） （３５） （１１）、（２８）、（２９）より、 Ｌ５＝Ｖ（ｒ−ｑ） （３６） （３５）、（３６）より、 Ｌ３ ２Ｌ５＝Ｖ３（ｐ＋ｑ）２（ｒ−ｑ） （３７） （３３）、（３６）より、 Ｌ４ ２Ｌ５＝Ｖ（ｒ−ｑ）｛（ｋ２ｑ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０ ）＋２（ｃｋｑ２／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｑ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ ２ｐ２ ｃｏｓ２α０｝ （３８） （３２）、（３６）より、 Ｌ２ ２Ｌ５＝Ｖ（ｒ−ｑ）｛ｋ２（１／ｃｏｓ２α０）＋２ｃｋｐ（ １／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｐ２−ｋ２−２ｃｋｐ・ｃｏｓα０ −ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ （３９） （３４）、（３５）より、 Ｌ３Ｌ６ ２＝Ｖ（ｐ＋ｑ）｛（ｋ２ｒ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０ ）＋２（ｃｋｒ２／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｒ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ ｃｏｓ２α０｝ （４０） （３３）、（３５）より、 Ｌ３Ｌ４ ２＝Ｖ（ｐ＋ｑ）｛（ｋ２ｑ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０ ）＋２ｃｋｑ２／ｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｑ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ ｐ２ｃｏｓ２α０｝（４１） （３５）、（３６）より、 Ｌ３Ｌ５ ２＝Ｖ３（ｐ＋ｑ）（ｒ−ｑ）２ （４２） （３７）、（３８）、（３９）、（４０）、（４１）、
（４２）を（５）へ代入すると、 Ｌ３ ２Ｌ５＋Ｌ４ ２Ｌ５−Ｌ２ ２Ｌ５−Ｌ３Ｌ６ ２＋Ｌ３Ｌ４ ２＋Ｌ３ Ｌ５ ２ ＝Ｖ３（ｐ＋ｑ）２（ｒ−ｑ） ＋Ｖ（ｒ−ｑ）｛（ｋ２ｑ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０） ＋２（ｃｋｑ２／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｑ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ −Ｖ（ｒ−ｑ）｛ｋ２（１／ｃｏｓ２α０） ＋２ｃｋｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｐ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ −Ｖ（ｐ＋ｑ）｛（ｋ２ｒ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０） ＋２（ｃｋｒ２／ｐ）（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｒ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ ＋Ｖ（ｐ＋ｑ）｛（ｋ２ｑ２／ｐ２）（１／ｃｏｓ２α０） ＋２ｃｋｑ２／ｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２ｑ２−ｋ２ −２ｃｋｐ・ｃｏｓα０−ｃ２ｐ２ｃｏｓ２α０｝ ＋Ｖ３（ｐ＋ｑ）（ｒ−ｑ）２ ＝（ｋ２／ｐ２）（ｐ＋ｑ）（ｑ−ｒ）（ｒ＋ｐ）Ｖ（１／ｃｏｓ２α０ ）＋２ｃｋ（ｐ＋ｑ）（ｑ−ｒ）（ｒ＋ｐ）Ｖ／ｐ（１／ｃｏｓα０） ＋ｃ２（ｐ＋ｑ）（ｑ−ｒ）（ｒ＋ｐ）Ｖ＝０ ＝（ｐ＋ｑ）（ｑ−ｒ）（ｒ＋ｐ）Ｖ｛（ｋ２／ｐ２）（１／ｃｏｓα０ ）２＋２ｃｋ／ｐ（１／ｃｏｓα０）＋ｃ２−Ｖ２｝＝０ ｑ≠ｒから、 （ｋ２／ｐ２）（１／ｃｏｓα０）２＋２ｃｋ／ｐ（１／ｃｏｓα０） ＋ｃ２−Ｖ２＝０ ∴１／ｃｏｓα０＝−ｃｋ／ｐ±｛（ｃｋ／ｐ）２−（ｋ２／ｐ２）（ｃ２ −Ｖ２）｝１／２〕／（ｋ２／ｐ２） （４３）を（２１）及び（２２）へ代入する。 従って時刻ＴＡのとき地上局位置Ａから電波中継機に向
け放射され、時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐに到達し
た電波の地上局位置Ａに於ける仰角は、 時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐから地上局に向け放射
され、時刻ＴＢのとき地上局位置Ｂに到達した電波の地
上局位置Ｂに於ける仰角は、 時刻ＴＰのとき電波中継機位置Ｐから地上局に向け放射
され、時刻ＴＣのとき地上局位置Ｃに到達した電波の地
上局位置Ｃに於ける仰角は、 である。但し、ｎｎは地上局の位置する大気ガス層の電
波の屈折率である。
【００１３】５ 衛星の位置精度の向上 地球の周囲を図１１の様に三つの領域に分類する。地表
面から高さ１２ｋｍ上空までの領域を水平層、地表面上
からの高さが１２ｋｍから５００ｋｍまでの領域を球面
層、そして地表面上から高さ５００ｋｍ以上の領域を電
波直進層と呼ぶことにする。いま、上空にある衛星から
電波が放射され、この電波が伝搬して、地表面上にある
地上局に到達したときのこの電波の経路について考察す
る（図１２参照）。衛星の位置をＰ、地表面上の地上局
の位置をＱとする。点Ｐから放射された電波は、電波直
進層を通過して、球面層界面上の点Ｒに突入し、その後
球面層を通過して、水平層界面上の点Ｓを通って、地表
面上の地上局の位置Ｑに到達する。電波の通る媒体を、
点Ｑを通る水平面に平行な厚さｈの平行平面層に分割す
る。電波直進層から球面層界面上の点Ｒに突入したとき
の電波の進行方向と、点Ｒに於いて平行平面層に立てた
法線とのなす角度をα０、電波の各平行平面層への屈折
角をαｉ、平行平面層の個数をｎとする。点Ｐから点Ｑ
を通る水平面に下ろした垂線の足をＨとすると、 ＰＨ＝ｎｈ＋｛ｃｐ−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ＣＯＳαｉ）｝ＣＯＳα０ （１） となる。但し、ｃは電波の速さ、ｐは電波伝搬時間であ
る。大気の屈折率をｎ、屈折指数をＮとすると、 ｎ＝１＋Ｎ×１０−６ Ｎはそれぞれの場所における気象条件によって異なり、
実験的に一般に Ｎ＝７７．６（Ｐ／Ｔ）＋３．７３×１０５（ｅ／Ｔ２） （ＮＵ ） と表すことができる。ここでＰは大気圧（ｍｂ）、ｅは
水蒸気圧（ｍｂ）、Ｔは絶対温度（Ｋ）である。実際の
大気は高度とともに希薄となるため、この屈折指数は指
数関数的に減少し、その高度特性は実験的に一般に、 Ｎ（ｈ）＝Ｎｓ｛ｅｘｐ（−Ｃｅ・ｈ）｝ （ ＮＵ） Ｃｅ＝ｌｎ｛Ｎｓ／Ｎ（１ｋｍ）｝＝ｌｎ｛Ｎｓ／（Ｎｓ＋ΔＮ）｝ ここでＮｓは地表面における屈折指数、ｈは地表面から
の高さ（ｋｍ）である。以上から、各平行平面層におけ
る大気ガスの屈折率は算出できる。大気ガス、電離層に
おける電波の屈折率は、特許願い平３−１２８４８９記
載の方法で求める。いま、各平行平面層における大気ガ
スの屈折率をｎｉとすると、 （１）水平層領域において、スネルの法則から、 ｎｉｓｉｎαｉ＝ｎ０ｓｉｎα０ ∴ ｓｉｎαｉ＝（ｎ０／ｎｉ）ｓｉｎα０ 但
し、ｎ０は真空中における電波の屈折率である。 ∴ ｃｏｓαｉ＝（１−ｓｉｎ２αｉ）１／２ ＝｛１−（ｎ０ ２／ｎｉ ２）ｓｉｎ２α０｝
１／２ 従って、式（１）から水平層領域における電波の経路長
は、 ｈΣｉ＝１ １２〔１／｛１−（ｎ０ ２／ｎｉ ２）ｓｉｎ２α０｝
１／２〕 （２） （２）球面層領域において、スネルの法則から （ｎｉ＋ｈｉ／ａ）ｓｉｎαｉ＝ｎ０ｓｉｎα０ ∴ ｓｉｎαｉ＝｛ｎ０／（ｎｉ＋ｈｉ／ａ）｝ｓｉｎα０ ∴ ｃｏｓαｉ＝（１−ｓｉｎ２αｉ）１／２ ＝〔１−｛ｎ０ ２／（ｎｉ＋ｈｉ／ａ）２｝ｓｉｎ２α０〕１／２ 従って、式（１）から球面層領域における電波の経路長
は、 ｈΣｉ＝１２ ５００〔１−｛ｎ０ ２／（ｎｉ＋ｈｉ／ａ）２｝ｓｉｎ２ α０〕１／２ （３） （３）電波直進層領域においては、ｋｉ＝１、ｎ０＝１
から、 ｈΣｉ＝５００ ｎ（１／ｃｏｓαｉ） ＝ｈΣｉ＝５００ ｎ（ｃｏｓα０／ｃｏｓαｉ）（１／ｃｏｓα０ ） ＝ｈΣｉ＝５００ ｎｋ（ｎ０／ｃｏｓα０） ＝ｈΣｉ＝５００ ｎ（１／ｃｏｓα０） （４） と表される。式（２）、（３）から平行水平面層及び平
行球面層を通過する電波の経路長は、α０により唯一つ
定まる。いま、平行水平面層及び平行球面層を通過する
電波の経路長の第ｉ次近似値をＬｉとすると、 Ｌｉ−｛Σｉ＝１ １２（１／ｃｏｓαｉ）＋Σｉ＝１２ ５００（１／ ｃｏｓαｉ）｝≠０ ∴ Ｌｉ＝Σｉ＝１ １２（１／ｃｏｓαｉ）＋Σｉ＝１２ ５００±ｘ（１ ／ｃｏｓαｉ） 従って、ＰＱ間の電波経路長は、 Σｉ＝１ １２（１／ｃｏｓαｉ）＋Σｉ＝１２ ５００（１／ｃｏｓαｉ ） ＋Σｉ＝５００ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）±Σｉ＝５００ ｘ（１／ ｃｏｓαｉ） となり、ＰＱ間の電波経路長の真値に比べて、±Σ
ｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ）だけ異なる。故に、Σ
ｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ）→０となるようにすれ
ば、 Σｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ）≒０ となったときのα０が求めるα０である。ｃｏｓα０を
パラメータとして、平行水平面層領域及び平行球面層領
域における電波の経路長を表すと、式（２）、（３）か
ら図１５の様になる。図１５の曲線上に二点Ａ、Ｂを取
り、図１５の曲線を二点Ａ、Ｂを通る直線として近似す
る。従って、平行水平面層領域及び平行球面層領域にお
ける電波の経路長は、 ａ１ｃｏｓα０＋ｂ１ （５） で表される。これを平行水平面層領域及び平行球面層領
域における電波の経路長一次近似値と呼称する。α０が
定まれば、各平行平面層の屈折率から、αｉも定まる。
従って、各平行平面層を通過する電波の経路長が定ま
る。故に、α０に対応した唯一つの平行平面層領域及び
平行球面層領域の電波の経路長が定まる。これを平行水
平面層領域及び平行球面層領域における電波経路長の実
験値と呼称する。平行水平面層領域及び平行球面層領域
における電波の経路長一次近似値と平行水平面層領域及
び平行球面層領域における電波経路長の実験値の差、即
ち図１５の１は、放物線で近似される。これを ｃ１ｃｏｓ２α０＋ｄ１ｃｏｓα０＋ｅ１ （６） と表す。式（４）、（５）及び（６）を式（１）へ代入
して、 ＰＨ＝ｎｈ＋ｃｐ ｃｏｓα０−ｈ｛（ａ１ｃｏｓα０＋ｂ１） −（ｃ１ｃｏｓ２α０＋ｄ１ｃｏｓα０＋ｅ１）｝ｃｏｓα０−ｈ（ｎ−５００ ） （７） となる。しかるに、 ＰＨ＝ｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｋｉ） （８） 又、３５°≦α０≦４５°では、実験的に一般に、 ｋｉ＝０．９６ （１ ０） 式（８）、（９）は、式（１０）から、 ＰＨ＝ｈ（１＋ｋ）ｎ （８− １） ここで、Ｖは地球の自転速度、ｍは平行水平面層領域及
び平行球面層領域における電波の屈折率によって定まる
定数である。式（８−１）、（９−１）及び（１０）を
式（７）へ代入すると、式（７）の左辺はｃｏｓα０の
三次方程式となる。即ち、ｃｏｓα０＝ｘとおいて、 ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｆ１ｘ２＋ｇ１ｘ＋ｈ１＝０ （１ １） 式（１１）の根を求めることにより、ｃｏｓα０が定ま
り、従って式（９）からｎが定まる。いま求めたｃｏｓ
α０及びｎが、第一次近似値である。このｃｏｓα０の
第一次近似値から、図１５において、平行水平層領域及
び平行球面層領域における経路長の範囲を狭め、且つｃ
ｏｓα０の相隣る値の差を小さくし、図１５の曲線上に
二点Ｃ及びＤを取り、図１５の曲線を二点Ｃ、Ｄを通る
直線として二回目の近似をする。従って、平行水平面層
領域及び平行球面層領域における電波の経路長は、 ａ２ｃｏｓα０＋ｂ２ で近似される。これを平行水平面層領域及び平行球面層
領域における電波の経路長二次近似値と呼称する。平行
水平面層領域及び平行球面層領域における電波の経路長
二次近似値と、平行水平面層領域及び平行球面層領域に
おける電波経路長の実験値との差、即ち図１５の２は、
第一回と同様放物線で近似される。これを ｃ２ｃｏｓ２α０＋ｄ２ｃｏｓα０＋ｅ２ （１２） と表す。前と同様なことを繰り返すことにより、ｃｏｓ
α０びｎの第二近似値が求まる。図１５及び式（６）及
び（１２）から ｃ１ｃｏｓ２α０＋ｄ１ｃｏｓα０＋ｅ１＞ｃ２ｃｏｓ
２α０＋ｄ２ｃｏｓα０＋ｅ２＞・・・・・・・・＞ｃ
ｉｃｏｓ２α０＋ｄｉｃｏｓα０＋ｅｉ となり、Σｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ）が次第に０
に近ずいていることが判る。よって、ｃｏｓα０は次第
に真値に近ずいて行く。以上の操作を繰り返して行く
と、しまいに平行水平面領域及び平行球面層領域におけ
る電波の経路長ｉ次近似値と平行水平面層領域及び平行
球面層領域における電波経路長の実験値との差が放物線
で近似されなくなり、フェリー級数展開となり、その解
を求めることが困難となる。この時点で、ｃｏｓα０の
第ｉ次近似値の前後の幅を縮め、実験値が直線で表され
る範囲において、平行水平面層領域及び平行球面層領域
における電波の経路長を求めて行く。即ち相隣るｃｏｓ
α０の二つの値ｘとｘ＋ΔｈでΔｈを小さくして行くこ
とにより、平行水平面層領域及び平行球面層領域におけ
る電波の経路長第ｉ次近似値を平行水平面層領域及び平
行球面層領域における電波の経路長の実験値との差を限
りなく０に近ずけることができ、従ってこの方法でｃｏ
ｓα０及びｎがその真値に近ずくことになる。その結
果、衛星の位置は限りなくその真値に近ずくことが判
る。
面から高さ１２ｋｍ上空までの領域を水平層、地表面上
からの高さが１２ｋｍから５００ｋｍまでの領域を球面
層、そして地表面上から高さ５００ｋｍ以上の領域を電
波直進層と呼ぶことにする。いま、上空にある衛星から
電波が放射され、この電波が伝搬して、地表面上にある
地上局に到達したときのこの電波の経路について考察す
る（図１２参照）。衛星の位置をＰ、地表面上の地上局
の位置をＱとする。点Ｐから放射された電波は、電波直
進層を通過して、球面層界面上の点Ｒに突入し、その後
球面層を通過して、水平層界面上の点Ｓを通って、地表
面上の地上局の位置Ｑに到達する。電波の通る媒体を、
点Ｑを通る水平面に平行な厚さｈの平行平面層に分割す
る。電波直進層から球面層界面上の点Ｒに突入したとき
の電波の進行方向と、点Ｒに於いて平行平面層に立てた
法線とのなす角度をα０、電波の各平行平面層への屈折
角をαｉ、平行平面層の個数をｎとする。点Ｐから点Ｑ
を通る水平面に下ろした垂線の足をＨとすると、 ＰＨ＝ｎｈ＋｛ｃｐ−ｈΣｉ＝１ ｎ（１／ＣＯＳαｉ）｝ＣＯＳα０ （１） となる。但し、ｃは電波の速さ、ｐは電波伝搬時間であ
る。大気の屈折率をｎ、屈折指数をＮとすると、 ｎ＝１＋Ｎ×１０−６ Ｎはそれぞれの場所における気象条件によって異なり、
実験的に一般に Ｎ＝７７．６（Ｐ／Ｔ）＋３．７３×１０５（ｅ／Ｔ２） （ＮＵ ） と表すことができる。ここでＰは大気圧（ｍｂ）、ｅは
水蒸気圧（ｍｂ）、Ｔは絶対温度（Ｋ）である。実際の
大気は高度とともに希薄となるため、この屈折指数は指
数関数的に減少し、その高度特性は実験的に一般に、 Ｎ（ｈ）＝Ｎｓ｛ｅｘｐ（−Ｃｅ・ｈ）｝ （ ＮＵ） Ｃｅ＝ｌｎ｛Ｎｓ／Ｎ（１ｋｍ）｝＝ｌｎ｛Ｎｓ／（Ｎｓ＋ΔＮ）｝ ここでＮｓは地表面における屈折指数、ｈは地表面から
の高さ（ｋｍ）である。以上から、各平行平面層におけ
る大気ガスの屈折率は算出できる。大気ガス、電離層に
おける電波の屈折率は、特許願い平３−１２８４８９記
載の方法で求める。いま、各平行平面層における大気ガ
スの屈折率をｎｉとすると、 （１）水平層領域において、スネルの法則から、 ｎｉｓｉｎαｉ＝ｎ０ｓｉｎα０ ∴ ｓｉｎαｉ＝（ｎ０／ｎｉ）ｓｉｎα０ 但
し、ｎ０は真空中における電波の屈折率である。 ∴ ｃｏｓαｉ＝（１−ｓｉｎ２αｉ）１／２ ＝｛１−（ｎ０ ２／ｎｉ ２）ｓｉｎ２α０｝
１／２ 従って、式（１）から水平層領域における電波の経路長
は、 ｈΣｉ＝１ １２〔１／｛１−（ｎ０ ２／ｎｉ ２）ｓｉｎ２α０｝
１／２〕 （２） （２）球面層領域において、スネルの法則から （ｎｉ＋ｈｉ／ａ）ｓｉｎαｉ＝ｎ０ｓｉｎα０ ∴ ｓｉｎαｉ＝｛ｎ０／（ｎｉ＋ｈｉ／ａ）｝ｓｉｎα０ ∴ ｃｏｓαｉ＝（１−ｓｉｎ２αｉ）１／２ ＝〔１−｛ｎ０ ２／（ｎｉ＋ｈｉ／ａ）２｝ｓｉｎ２α０〕１／２ 従って、式（１）から球面層領域における電波の経路長
は、 ｈΣｉ＝１２ ５００〔１−｛ｎ０ ２／（ｎｉ＋ｈｉ／ａ）２｝ｓｉｎ２ α０〕１／２ （３） （３）電波直進層領域においては、ｋｉ＝１、ｎ０＝１
から、 ｈΣｉ＝５００ ｎ（１／ｃｏｓαｉ） ＝ｈΣｉ＝５００ ｎ（ｃｏｓα０／ｃｏｓαｉ）（１／ｃｏｓα０ ） ＝ｈΣｉ＝５００ ｎｋ（ｎ０／ｃｏｓα０） ＝ｈΣｉ＝５００ ｎ（１／ｃｏｓα０） （４） と表される。式（２）、（３）から平行水平面層及び平
行球面層を通過する電波の経路長は、α０により唯一つ
定まる。いま、平行水平面層及び平行球面層を通過する
電波の経路長の第ｉ次近似値をＬｉとすると、 Ｌｉ−｛Σｉ＝１ １２（１／ｃｏｓαｉ）＋Σｉ＝１２ ５００（１／ ｃｏｓαｉ）｝≠０ ∴ Ｌｉ＝Σｉ＝１ １２（１／ｃｏｓαｉ）＋Σｉ＝１２ ５００±ｘ（１ ／ｃｏｓαｉ） 従って、ＰＱ間の電波経路長は、 Σｉ＝１ １２（１／ｃｏｓαｉ）＋Σｉ＝１２ ５００（１／ｃｏｓαｉ ） ＋Σｉ＝５００ ｎ（１／ｃｏｓαｉ）±Σｉ＝５００ ｘ（１／ ｃｏｓαｉ） となり、ＰＱ間の電波経路長の真値に比べて、±Σ
ｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ）だけ異なる。故に、Σ
ｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ）→０となるようにすれ
ば、 Σｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ）≒０ となったときのα０が求めるα０である。ｃｏｓα０を
パラメータとして、平行水平面層領域及び平行球面層領
域における電波の経路長を表すと、式（２）、（３）か
ら図１５の様になる。図１５の曲線上に二点Ａ、Ｂを取
り、図１５の曲線を二点Ａ、Ｂを通る直線として近似す
る。従って、平行水平面層領域及び平行球面層領域にお
ける電波の経路長は、 ａ１ｃｏｓα０＋ｂ１ （５） で表される。これを平行水平面層領域及び平行球面層領
域における電波の経路長一次近似値と呼称する。α０が
定まれば、各平行平面層の屈折率から、αｉも定まる。
従って、各平行平面層を通過する電波の経路長が定ま
る。故に、α０に対応した唯一つの平行平面層領域及び
平行球面層領域の電波の経路長が定まる。これを平行水
平面層領域及び平行球面層領域における電波経路長の実
験値と呼称する。平行水平面層領域及び平行球面層領域
における電波の経路長一次近似値と平行水平面層領域及
び平行球面層領域における電波経路長の実験値の差、即
ち図１５の１は、放物線で近似される。これを ｃ１ｃｏｓ２α０＋ｄ１ｃｏｓα０＋ｅ１ （６） と表す。式（４）、（５）及び（６）を式（１）へ代入
して、 ＰＨ＝ｎｈ＋ｃｐ ｃｏｓα０−ｈ｛（ａ１ｃｏｓα０＋ｂ１） −（ｃ１ｃｏｓ２α０＋ｄ１ｃｏｓα０＋ｅ１）｝ｃｏｓα０−ｈ（ｎ−５００ ） （７） となる。しかるに、 ＰＨ＝ｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｋｉ） （８） 又、３５°≦α０≦４５°では、実験的に一般に、 ｋｉ＝０．９６ （１ ０） 式（８）、（９）は、式（１０）から、 ＰＨ＝ｈ（１＋ｋ）ｎ （８− １） ここで、Ｖは地球の自転速度、ｍは平行水平面層領域及
び平行球面層領域における電波の屈折率によって定まる
定数である。式（８−１）、（９−１）及び（１０）を
式（７）へ代入すると、式（７）の左辺はｃｏｓα０の
三次方程式となる。即ち、ｃｏｓα０＝ｘとおいて、 ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｆ１ｘ２＋ｇ１ｘ＋ｈ１＝０ （１ １） 式（１１）の根を求めることにより、ｃｏｓα０が定ま
り、従って式（９）からｎが定まる。いま求めたｃｏｓ
α０及びｎが、第一次近似値である。このｃｏｓα０の
第一次近似値から、図１５において、平行水平層領域及
び平行球面層領域における経路長の範囲を狭め、且つｃ
ｏｓα０の相隣る値の差を小さくし、図１５の曲線上に
二点Ｃ及びＤを取り、図１５の曲線を二点Ｃ、Ｄを通る
直線として二回目の近似をする。従って、平行水平面層
領域及び平行球面層領域における電波の経路長は、 ａ２ｃｏｓα０＋ｂ２ で近似される。これを平行水平面層領域及び平行球面層
領域における電波の経路長二次近似値と呼称する。平行
水平面層領域及び平行球面層領域における電波の経路長
二次近似値と、平行水平面層領域及び平行球面層領域に
おける電波経路長の実験値との差、即ち図１５の２は、
第一回と同様放物線で近似される。これを ｃ２ｃｏｓ２α０＋ｄ２ｃｏｓα０＋ｅ２ （１２） と表す。前と同様なことを繰り返すことにより、ｃｏｓ
α０びｎの第二近似値が求まる。図１５及び式（６）及
び（１２）から ｃ１ｃｏｓ２α０＋ｄ１ｃｏｓα０＋ｅ１＞ｃ２ｃｏｓ
２α０＋ｄ２ｃｏｓα０＋ｅ２＞・・・・・・・・＞ｃ
ｉｃｏｓ２α０＋ｄｉｃｏｓα０＋ｅｉ となり、Σｉ＝５００ ｘ（１／ｃｏｓαｉ）が次第に０
に近ずいていることが判る。よって、ｃｏｓα０は次第
に真値に近ずいて行く。以上の操作を繰り返して行く
と、しまいに平行水平面領域及び平行球面層領域におけ
る電波の経路長ｉ次近似値と平行水平面層領域及び平行
球面層領域における電波経路長の実験値との差が放物線
で近似されなくなり、フェリー級数展開となり、その解
を求めることが困難となる。この時点で、ｃｏｓα０の
第ｉ次近似値の前後の幅を縮め、実験値が直線で表され
る範囲において、平行水平面層領域及び平行球面層領域
における電波の経路長を求めて行く。即ち相隣るｃｏｓ
α０の二つの値ｘとｘ＋ΔｈでΔｈを小さくして行くこ
とにより、平行水平面層領域及び平行球面層領域におけ
る電波の経路長第ｉ次近似値を平行水平面層領域及び平
行球面層領域における電波の経路長の実験値との差を限
りなく０に近ずけることができ、従ってこの方法でｃｏ
ｓα０及びｎがその真値に近ずくことになる。その結
果、衛星の位置は限りなくその真値に近ずくことが判
る。
【００１４】６ 方位角の測定 時刻ＴＡのときの地上局の位置Ａから、衛星搭載の電波
中継機に向け電波を放射する。該電波が伝搬して、時刻
ＴＰのとき前記電波中継機の位置Ｐに到達したとする。
そして、前記電波中継機に前記地上局からの電波が到達
した同時刻に、前記電波中継機から前記地上局に向け電
波が放射される。この電波が伝搬して、時刻ＴＢのとき
前記地上局に到達し、このときの前記地上局の位置をＢ
とする。（図１６参照） 点ＰからＸＹ−平面に下した垂線の足をＱとする。点Ａ
より点Ｐに向け放射された電波の点Ａにおける仰角をα
ｎ、点Ｐより点Ｂに向け放射された電波の点Ｂにおける
仰角をβｎ、地表面上の大気ガスの屈折率をｎｎとす
る。又、点Ａより点Ｐに向け放射された電波の電離層と
電波直進層の界面を通過するときの屈折角をα０、点Ｐ
より点Ｂに向け放射された電波の電離層と電波直進層の
界面へ突入したときの入射角をβ０とする。（Ａ’Ｂ’
Ｑ’平面が電離層と電波直進層との界面で、ＸＹ−平面
より約５００ｋｍ位の上空にある。）尚、地球の自転方
向とＹ軸は平行である。直線ＡＱ、ＢＱとＸ軸とのなす
角度を、おのおのγ、δ、点Ｐの座標をＰ（Ｘ，Ｙ，
Ｚ）とすると、 〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１ ／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０〕ｃｏｓγ ＝−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎβｉ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ ＝１ｎ（１／ｃｏｓβｉ）｝ｓｉｎβ０〕ｃｏｓδ（１） 〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（ １／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０〕ｓｉｎγ＋Ｖ（ＴＢ−ＴＡ） ＝〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎβｉ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ ＝１ｎ（１／ｃｏｓβｉ）｝ｓｉｎβ０〕ｓｉｎδ （２） 但し、αｉ、βｉは、地上局Ａ及びＢを通るＸＹ−平面
に平行な厚さｈの平行平面層を通過する電波の入射角又
は屈折角である。 ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１ ／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０＝Ａ ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎβｉ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１ ／ｃｏｓβｉ）｝ｓｉｎβ０＝Ｂ Ｖ（ＴＢ−ＴＡ）＝Ｃ とする。但Ｌ，Ｖは地球の自転速度である。（１）は、 Ａｃｏｓγ＝Ｂｃｏｓδ （３） （２）は、 Ａｓｉｎγ＋Ｃ＝Ｂｓｉｎδ （４） ｃｏｓγ＝（１−ｓｉｎ２γ）１／２、ｃｏｓδ＝（１
−ｓｉｎ２δ）１／２を（３）へ代入。 Ａ（１−ｓｉｎ２γ）１／２＝Ｂ（１−ｓｉｎ２δ）１／２ （５） （５）の両辺を二乗して、 Ａ２（１−ｓｉｎ２γ）＝Ｂ２（１−ｓｉｎ２δ） Ａ２−Ａ２ｓｉｎ２γ＝Ｂ２−Ｂ２ｓｉｎ２δ （６） （４）を（６）へ代入して、 Ａ２−Ａ２ｓｉｎ２γ＝Ｂ２−Ｂ２｛（Ａｓｉｎγ＋Ｃ）／Ｂ）２＝ Ｂ２−（Ａ２ｓｉｎ２γ＋２ＡＣｓｉｎγ＋Ｃ２） ２ＡＣｓｉｎγ＝Ｂ２−Ｃ２−Ａ２ ∴ ｓｉｎγ＝（Ｂ２−Ｃ２−Ａ２）／２ＡＣ （７） （４）より、 ｓｉｎγ＝（Ｂｓｉｎδ−Ｃ）／Ａ （８） （８）を（６）へ代入して、 Ａ２−Ａ２｛（Ｂｓｉｎδ−Ｃ）／Ａ｝２＝Ｂ２−Ｂ２ｓｉｎ２δ Ａ２−（Ｂ２ｓｉｎ２δ−２ＢＣｓｉｎδ＋Ｃ２）＝Ｂ２−Ｂ２ｓｉ ｎ２δ ２ＢＣｓｉｎδ＝Ｂ２−Ａ２＋Ｃ２ ∴ ｓｉｎδ＝（Ｂ２−Ａ２＋Ｃ２）／２ＢＣ （９） 時刻ＴＡ，ＴＢ，ＴＰが確定すれば、Ｃ、α０，β０，
αｉ及びβｉが確定する。従って、Ａ及びＢが確定する
から、（８）、（９）から、γ、δは確定する。但し、
大気ガス及び電離層の電波屈折率は既知であるとする。
尚、電波屈折率の測定方法は、特許願い平３−１２８４
８９参照のこと。
中継機に向け電波を放射する。該電波が伝搬して、時刻
ＴＰのとき前記電波中継機の位置Ｐに到達したとする。
そして、前記電波中継機に前記地上局からの電波が到達
した同時刻に、前記電波中継機から前記地上局に向け電
波が放射される。この電波が伝搬して、時刻ＴＢのとき
前記地上局に到達し、このときの前記地上局の位置をＢ
とする。（図１６参照） 点ＰからＸＹ−平面に下した垂線の足をＱとする。点Ａ
より点Ｐに向け放射された電波の点Ａにおける仰角をα
ｎ、点Ｐより点Ｂに向け放射された電波の点Ｂにおける
仰角をβｎ、地表面上の大気ガスの屈折率をｎｎとす
る。又、点Ａより点Ｐに向け放射された電波の電離層と
電波直進層の界面を通過するときの屈折角をα０、点Ｐ
より点Ｂに向け放射された電波の電離層と電波直進層の
界面へ突入したときの入射角をβ０とする。（Ａ’Ｂ’
Ｑ’平面が電離層と電波直進層との界面で、ＸＹ−平面
より約５００ｋｍ位の上空にある。）尚、地球の自転方
向とＹ軸は平行である。直線ＡＱ、ＢＱとＸ軸とのなす
角度を、おのおのγ、δ、点Ｐの座標をＰ（Ｘ，Ｙ，
Ｚ）とすると、 〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１ ／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０〕ｃｏｓγ ＝−ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎβｉ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ ＝１ｎ（１／ｃｏｓβｉ）｝ｓｉｎβ０〕ｃｏｓδ（１） 〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（ １／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０〕ｓｉｎγ＋Ｖ（ＴＢ−ＴＡ） ＝〔ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎβｉ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ ＝１ｎ（１／ｃｏｓβｉ）｝ｓｉｎβ０〕ｓｉｎδ （２） 但し、αｉ、βｉは、地上局Ａ及びＢを通るＸＹ−平面
に平行な厚さｈの平行平面層を通過する電波の入射角又
は屈折角である。 ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎαｉ＋｛ｃ（ＴＰ−ＴＡ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１ ／ｃｏｓαｉ）｝ｓｉｎα０＝Ａ ｈΣｉ＝１ ｎｔａｎβｉ＋｛ｃ（ＴＢ−ＴＰ）−ｈΣｉ＝１ ｎ（１ ／ｃｏｓβｉ）｝ｓｉｎβ０＝Ｂ Ｖ（ＴＢ−ＴＡ）＝Ｃ とする。但Ｌ，Ｖは地球の自転速度である。（１）は、 Ａｃｏｓγ＝Ｂｃｏｓδ （３） （２）は、 Ａｓｉｎγ＋Ｃ＝Ｂｓｉｎδ （４） ｃｏｓγ＝（１−ｓｉｎ２γ）１／２、ｃｏｓδ＝（１
−ｓｉｎ２δ）１／２を（３）へ代入。 Ａ（１−ｓｉｎ２γ）１／２＝Ｂ（１−ｓｉｎ２δ）１／２ （５） （５）の両辺を二乗して、 Ａ２（１−ｓｉｎ２γ）＝Ｂ２（１−ｓｉｎ２δ） Ａ２−Ａ２ｓｉｎ２γ＝Ｂ２−Ｂ２ｓｉｎ２δ （６） （４）を（６）へ代入して、 Ａ２−Ａ２ｓｉｎ２γ＝Ｂ２−Ｂ２｛（Ａｓｉｎγ＋Ｃ）／Ｂ）２＝ Ｂ２−（Ａ２ｓｉｎ２γ＋２ＡＣｓｉｎγ＋Ｃ２） ２ＡＣｓｉｎγ＝Ｂ２−Ｃ２−Ａ２ ∴ ｓｉｎγ＝（Ｂ２−Ｃ２−Ａ２）／２ＡＣ （７） （４）より、 ｓｉｎγ＝（Ｂｓｉｎδ−Ｃ）／Ａ （８） （８）を（６）へ代入して、 Ａ２−Ａ２｛（Ｂｓｉｎδ−Ｃ）／Ａ｝２＝Ｂ２−Ｂ２ｓｉｎ２δ Ａ２−（Ｂ２ｓｉｎ２δ−２ＢＣｓｉｎδ＋Ｃ２）＝Ｂ２−Ｂ２ｓｉ ｎ２δ ２ＢＣｓｉｎδ＝Ｂ２−Ａ２＋Ｃ２ ∴ ｓｉｎδ＝（Ｂ２−Ａ２＋Ｃ２）／２ＢＣ （９） 時刻ＴＡ，ＴＢ，ＴＰが確定すれば、Ｃ、α０，β０，
αｉ及びβｉが確定する。従って、Ａ及びＢが確定する
から、（８）、（９）から、γ、δは確定する。但し、
大気ガス及び電離層の電波屈折率は既知であるとする。
尚、電波屈折率の測定方法は、特許願い平３−１２８４
８９参照のこと。
【発明の効果】任意の点の三次元位置を測距精度１ｍｍ
以内で瞬時に知ることができる。
以内で瞬時に知ることができる。
【図面の簡単な説明】 （ａ）図１は地上局に電子計算機が接続されていない場
合に、地上局・電波中継機間の電波伝搬時間を知る為の
電波伝搬制御方法を表した図である。 （ｂ）図２は方位角測定方法を表した図である。この図
において、点Ｐは衛星の位置、そして点Ａ、Ｂは地上局
の位置を表す。又、γ、δは衛星からＸＹ平面に下ろし
た垂線の足と各地上局とを結ぶ直線と地球の自転方向に
対して直角なＸ軸とのなす角度である。 （ｃ）図３は前記物体及び前記固定地上局から放射され
る電波の伝搬制御方法を表した図である。Ｐｉｊは衛星
の時刻Ｔｉｊにおける位置を表し、Ｍｉｊは前記物体の
時刻Ｔｉｊの位置、そしてＷｉｊは時刻Ｔｉｊにおける
固定地上局の位置を表す。 （ｄ）図４は、前記物体と前記電波中継機との間を伝搬
する電波のある状態に於ける最短距離を求める為の方法
を表した図である。 （ｅ）図５は、前記固定地上局と前記電波中継機間のあ
る状態における最短距離を求める為の電波の選択方法を
表す図である。Ｌ６はある状態に於ける前記固定地上局
と前記電波中継機間の最短距離を表す。 （ｆ）図６及び図７は、電波伝搬制御を利用して、電波
経路長を測定する場合の前記物体、前記電波中継機及び
前記固定地上局間の最短距離を表した図である。図６に
おいて、Ｍ×、Ｍ××は前記物体の各時刻における位置
を表し、Ｐ××は前記電波中継機の各時刻における位置
である。又、Ｌ××は前記物体と前記電波中継機間、前
記物体間及び前記電波中継機間の最短距離を表す。図７
においてＷ×、Ｗ××は前記固定地上局の各時刻におけ
る位置を表し、その他は図６と同じである。 （ｇ）図８は、電波伝搬制御を利用して、前記物体の経
時機構と前記固定地上局の経時機構の同期化を計る為の
図である。Ｐｉｊ、Ｍｉｊ及びＷｉｊは前記電波中継
機、前記物体及び前記固定地上局の時刻Ｔｉｊに於ける
位置を表す。 （ｈ）図９は、電波伝搬制御を利用して、前記電波中継
機の経時機構と前記固定地上局の経時機構の同期化を計
る為の図である。Ｐｉｊ、Ｍｉｊ及びＷｉｊは前記電波
中継機、前記物体及び前記固定地上局の時刻Ｔｉｊに於
ける位置を表す。 （ｉ）図１０は、前記電波中継機が点Ｐ１２あるとき、
前記固定地上局のある時刻に於ける位置を原点とする座
標ＸＹＺにおける電波の仰角、方位角を表す図である。 （Ｊ）図１１は、地球の周囲を三つの層に分割したとき
の図である。１は地球を表し、２は平行平面層、３は球
面層そして４は電波直進層を表す。 （ｋ）図１２は、衛星（又は、地上局）から放射された
電波が地上局（又は衛星）に到達するまでの電波経路を
表した図である。 （１）図１３は、電波の仰角を電波伝搬時間から求める
ときの図である。点Ｐは時刻ＴＰのときの衛星の位置を
表す。点Ｑは点ＰからＸＹ平面に下ろした垂線の足であ
り、点Ａ、Ｂ、及びＣは時刻ＴＡ、ＴＢ及びＴＣのとき
の地上局の位置である。 （ｍ）図１４−１は、衛星から地上の観測点に向け放射
された電波が、電波直進層と電離層の界面へ突入したと
きの、地表面に平行な界面に立てた法線と電波経路のな
す角度から、電波の入射角及び屈折角の定義方法を表す
図である。又、図１４−２は、地上の観測点から衛星に
向け放射された電波が、電離層と電波直進層の界面へ突
入したときの、地表面に平行な界面に立てた法線と電波
経路のなす角度から、電波の入射角及び屈折角の定義方
法を表す図である。尚、は電波直進層の領域、は電
離層及び大気ガス層の領域を表す。 （ｎ）図１５は、電波が球面層から電波直進層（または
その逆）へ突入したとき、その突入点においてその界面
にたてた法線と電波進行方向とのなす角度の余弦をＸ軸
とし、球面層及び平行水平面層を通過する電波の経路長
をＹ軸で表したときの電波経路長の変化を表す図であ
る。 （ｏ）図１６は、方位角の測定方法を表した図である。
点Ｐは衛星の位置、点Ａは時刻ＴＡのときの地上局の位
置、点Ｂは時刻ＴＢのときの地上局の位置である。又、
点Ｑは点ＰからＸＹ平面に下ろした垂線の足、点Ａ’、
Ｂ’は電波が電波直進層と球面層の界面への突入点、点
Ｑ’は直線ＰＱが電波直進層と球面層の界面との交点で
ある。γ、δは地上局の位置が点Ａ及びＢであるときの
地上局の方位角を表す。α０、β０は電波直進層と球面
層の界面への電波の突入点にたてた法線と電波進行方向
とのなす角度である。 （ｐ）図１７は、デジタル時刻符号を受信し、該符号の
受信時刻を確定し、任意の時間経過後に、無線信号を送
信する為に、通信衛星に設けられる基本的な電波中継装
置を示す。到来無線信号をアンテナ１で受信し、ダイプ
レクサ２を介して受信機３に送る。次に、計時機構４に
より該受信無線信号の到達時刻を計数確定し、処理装置
５により、該無線信号の編集を行い、指定時間内部記憶
装置６に蓄積しておく。指定時間経過後、該信号を混合
機８で局部発振器７によって発生された中間周波数を組
み合わせる。混合器の出力信号は、受信信号とは異なる
周波数を持ち、送信機９を通ってダイプレクサ２に送ら
れ、アンテナ１から放射される。 （ｑ）図１８は、一個の通信衛星を用いて、適当な間隔
を置いて電波を送受信して、三次元位置の監視を行う位
置を突き止めようとする物体に設けられる電子装置を略
図で示す。この装置は無人にすることができる。処理装
置内の制御プログラムにより、ある時間間隔で受信モー
ドと送信モードを順次繰り返す。送信モードのとき、処
理装置内のコントロール・プログラムにより、計時機構
よりその時の時刻信号を受け取り、処理装置１９内の時
刻発生プログラムにより、アンテナから放射されるまで
の遅延時間を考慮したデジタル時刻信号を発生させる。
該信号をデジタル時刻信号として、デジタル時刻信号発
生装置１８で発生させ、送信機１９、ダイプレクサ１１
を経由して、アンテナ１０より放射する。受信モードの
とき、到来無線信号をアンテナ１０で受信し、ダイプレ
クサ１１を介して受信機１２に送る。次に計時機構１３
により、該受信無線信号の到達時刻を計数すると共に受
信データを受信データ・バッフアヘ転送する。そして、
処理装置で、この計数結果をアンテナ受信時から経時機
構到達時までの遅延時間を考慮して、補正する。その補
正結果を受信データ・バッフア内に格納されているデジ
タル時刻符号の末尾に付加するという編集作業を行う。
そしてつぎの送信の時に、計時機構１３より、アンテナ
までの遅延時間を考慮したデジタル時刻符号を編集し、
編集済みのデジタル時刻符号の末尾に付加し、テジタル
時刻信号発生装置１８によりデジタル時刻符号に変換
し、この変換信号を局部発信機１７で発生させた中間周
波数で変調し、この変調出力即ち混合機の出力を、送信
機１９を介して、ダイプレクサ１１経由アンテナ１０か
ら放射する。 （ｒ）図１９は、固定地上局に設けられる電子装置の略
図を示す。デジタル時刻信号を受信し、該受信デジタル
時刻符号の固定地上局に到達した時刻を確定し、これら
受信信号を計算機処理装置内の電波伝搬制御プログラム
により処理し、衛星に搭載されている電波中継機の時刻
毎の位置、及び固定地上局及び位置を突き止めようとす
る物体相互間の時刻毎の距離を観測計数し、前記物体の
三次元位置を突き止めようとする為に固定地上局に設け
られた基本的な電子装置の略図である。処理装置内の制
御プログラムにより、ある時間間隔毎に送信モード、受
信モードに切り替わる。いま、受信モードのときに、到
来電波信号をアンテナ２０経由受信機２１で受信する。
この受信信号を計時機構２４で、到来電波信号の受信時
刻を計数する。この計数結果を計算機処理装置内の時刻
発生プログラムにより受け取り、アンテナ２０から、計
時機構までの遅延時間を考慮して、到来電波信号の固定
地上局での受信時刻を補正する。次に、処理装置２４内
の編集プログラムにより、到来電波信号が表すデジタル
時刻符号の末尾に、該到来電波信号の固定地上局での受
信時刻の補正値を付加する。その後、該データ信号を記
憶装置２５に格納する。送信モードのとき、計時機構よ
り読み取ったデジタル時刻信号を、処理装置２４でアン
テナから放射するまでの遅延時間を考慮し、処理装置２
４内の時刻発生プログラムにより、電波放射時刻を補正
し、デジタル時刻信号発生器で、デジタル時刻符号化
し、送信機２９へ送り出し、アンテナ３０から放射す
る。尚、２２は混合器で、２６は局部発振器である。 （ｓ）図２０は、観測点から上空５００ｋｍまでの領域
を、観測点を通る水平面に平行な厚さｈ（１ｋｍ）の平
行平面層に分割し、各平行平面層を通過する電波の経路
を表した図である。 （ｔ）表１は送信機、電波中継機及び固定地上局の時間
的位置を表す。 （ｕ）表２は電波の発着時刻を表す。 （ｖ）表３は固定地上局から放射された電波の放射時刻
を表す。 （ｗ）表４は前記物体が受信モードのときの受信データ
・バッファ内に格納されているデータを表す。 （ｘ）表５は電波経路と電波伝搬時間を表す。
合に、地上局・電波中継機間の電波伝搬時間を知る為の
電波伝搬制御方法を表した図である。 （ｂ）図２は方位角測定方法を表した図である。この図
において、点Ｐは衛星の位置、そして点Ａ、Ｂは地上局
の位置を表す。又、γ、δは衛星からＸＹ平面に下ろし
た垂線の足と各地上局とを結ぶ直線と地球の自転方向に
対して直角なＸ軸とのなす角度である。 （ｃ）図３は前記物体及び前記固定地上局から放射され
る電波の伝搬制御方法を表した図である。Ｐｉｊは衛星
の時刻Ｔｉｊにおける位置を表し、Ｍｉｊは前記物体の
時刻Ｔｉｊの位置、そしてＷｉｊは時刻Ｔｉｊにおける
固定地上局の位置を表す。 （ｄ）図４は、前記物体と前記電波中継機との間を伝搬
する電波のある状態に於ける最短距離を求める為の方法
を表した図である。 （ｅ）図５は、前記固定地上局と前記電波中継機間のあ
る状態における最短距離を求める為の電波の選択方法を
表す図である。Ｌ６はある状態に於ける前記固定地上局
と前記電波中継機間の最短距離を表す。 （ｆ）図６及び図７は、電波伝搬制御を利用して、電波
経路長を測定する場合の前記物体、前記電波中継機及び
前記固定地上局間の最短距離を表した図である。図６に
おいて、Ｍ×、Ｍ××は前記物体の各時刻における位置
を表し、Ｐ××は前記電波中継機の各時刻における位置
である。又、Ｌ××は前記物体と前記電波中継機間、前
記物体間及び前記電波中継機間の最短距離を表す。図７
においてＷ×、Ｗ××は前記固定地上局の各時刻におけ
る位置を表し、その他は図６と同じである。 （ｇ）図８は、電波伝搬制御を利用して、前記物体の経
時機構と前記固定地上局の経時機構の同期化を計る為の
図である。Ｐｉｊ、Ｍｉｊ及びＷｉｊは前記電波中継
機、前記物体及び前記固定地上局の時刻Ｔｉｊに於ける
位置を表す。 （ｈ）図９は、電波伝搬制御を利用して、前記電波中継
機の経時機構と前記固定地上局の経時機構の同期化を計
る為の図である。Ｐｉｊ、Ｍｉｊ及びＷｉｊは前記電波
中継機、前記物体及び前記固定地上局の時刻Ｔｉｊに於
ける位置を表す。 （ｉ）図１０は、前記電波中継機が点Ｐ１２あるとき、
前記固定地上局のある時刻に於ける位置を原点とする座
標ＸＹＺにおける電波の仰角、方位角を表す図である。 （Ｊ）図１１は、地球の周囲を三つの層に分割したとき
の図である。１は地球を表し、２は平行平面層、３は球
面層そして４は電波直進層を表す。 （ｋ）図１２は、衛星（又は、地上局）から放射された
電波が地上局（又は衛星）に到達するまでの電波経路を
表した図である。 （１）図１３は、電波の仰角を電波伝搬時間から求める
ときの図である。点Ｐは時刻ＴＰのときの衛星の位置を
表す。点Ｑは点ＰからＸＹ平面に下ろした垂線の足であ
り、点Ａ、Ｂ、及びＣは時刻ＴＡ、ＴＢ及びＴＣのとき
の地上局の位置である。 （ｍ）図１４−１は、衛星から地上の観測点に向け放射
された電波が、電波直進層と電離層の界面へ突入したと
きの、地表面に平行な界面に立てた法線と電波経路のな
す角度から、電波の入射角及び屈折角の定義方法を表す
図である。又、図１４−２は、地上の観測点から衛星に
向け放射された電波が、電離層と電波直進層の界面へ突
入したときの、地表面に平行な界面に立てた法線と電波
経路のなす角度から、電波の入射角及び屈折角の定義方
法を表す図である。尚、は電波直進層の領域、は電
離層及び大気ガス層の領域を表す。 （ｎ）図１５は、電波が球面層から電波直進層（または
その逆）へ突入したとき、その突入点においてその界面
にたてた法線と電波進行方向とのなす角度の余弦をＸ軸
とし、球面層及び平行水平面層を通過する電波の経路長
をＹ軸で表したときの電波経路長の変化を表す図であ
る。 （ｏ）図１６は、方位角の測定方法を表した図である。
点Ｐは衛星の位置、点Ａは時刻ＴＡのときの地上局の位
置、点Ｂは時刻ＴＢのときの地上局の位置である。又、
点Ｑは点ＰからＸＹ平面に下ろした垂線の足、点Ａ’、
Ｂ’は電波が電波直進層と球面層の界面への突入点、点
Ｑ’は直線ＰＱが電波直進層と球面層の界面との交点で
ある。γ、δは地上局の位置が点Ａ及びＢであるときの
地上局の方位角を表す。α０、β０は電波直進層と球面
層の界面への電波の突入点にたてた法線と電波進行方向
とのなす角度である。 （ｐ）図１７は、デジタル時刻符号を受信し、該符号の
受信時刻を確定し、任意の時間経過後に、無線信号を送
信する為に、通信衛星に設けられる基本的な電波中継装
置を示す。到来無線信号をアンテナ１で受信し、ダイプ
レクサ２を介して受信機３に送る。次に、計時機構４に
より該受信無線信号の到達時刻を計数確定し、処理装置
５により、該無線信号の編集を行い、指定時間内部記憶
装置６に蓄積しておく。指定時間経過後、該信号を混合
機８で局部発振器７によって発生された中間周波数を組
み合わせる。混合器の出力信号は、受信信号とは異なる
周波数を持ち、送信機９を通ってダイプレクサ２に送ら
れ、アンテナ１から放射される。 （ｑ）図１８は、一個の通信衛星を用いて、適当な間隔
を置いて電波を送受信して、三次元位置の監視を行う位
置を突き止めようとする物体に設けられる電子装置を略
図で示す。この装置は無人にすることができる。処理装
置内の制御プログラムにより、ある時間間隔で受信モー
ドと送信モードを順次繰り返す。送信モードのとき、処
理装置内のコントロール・プログラムにより、計時機構
よりその時の時刻信号を受け取り、処理装置１９内の時
刻発生プログラムにより、アンテナから放射されるまで
の遅延時間を考慮したデジタル時刻信号を発生させる。
該信号をデジタル時刻信号として、デジタル時刻信号発
生装置１８で発生させ、送信機１９、ダイプレクサ１１
を経由して、アンテナ１０より放射する。受信モードの
とき、到来無線信号をアンテナ１０で受信し、ダイプレ
クサ１１を介して受信機１２に送る。次に計時機構１３
により、該受信無線信号の到達時刻を計数すると共に受
信データを受信データ・バッフアヘ転送する。そして、
処理装置で、この計数結果をアンテナ受信時から経時機
構到達時までの遅延時間を考慮して、補正する。その補
正結果を受信データ・バッフア内に格納されているデジ
タル時刻符号の末尾に付加するという編集作業を行う。
そしてつぎの送信の時に、計時機構１３より、アンテナ
までの遅延時間を考慮したデジタル時刻符号を編集し、
編集済みのデジタル時刻符号の末尾に付加し、テジタル
時刻信号発生装置１８によりデジタル時刻符号に変換
し、この変換信号を局部発信機１７で発生させた中間周
波数で変調し、この変調出力即ち混合機の出力を、送信
機１９を介して、ダイプレクサ１１経由アンテナ１０か
ら放射する。 （ｒ）図１９は、固定地上局に設けられる電子装置の略
図を示す。デジタル時刻信号を受信し、該受信デジタル
時刻符号の固定地上局に到達した時刻を確定し、これら
受信信号を計算機処理装置内の電波伝搬制御プログラム
により処理し、衛星に搭載されている電波中継機の時刻
毎の位置、及び固定地上局及び位置を突き止めようとす
る物体相互間の時刻毎の距離を観測計数し、前記物体の
三次元位置を突き止めようとする為に固定地上局に設け
られた基本的な電子装置の略図である。処理装置内の制
御プログラムにより、ある時間間隔毎に送信モード、受
信モードに切り替わる。いま、受信モードのときに、到
来電波信号をアンテナ２０経由受信機２１で受信する。
この受信信号を計時機構２４で、到来電波信号の受信時
刻を計数する。この計数結果を計算機処理装置内の時刻
発生プログラムにより受け取り、アンテナ２０から、計
時機構までの遅延時間を考慮して、到来電波信号の固定
地上局での受信時刻を補正する。次に、処理装置２４内
の編集プログラムにより、到来電波信号が表すデジタル
時刻符号の末尾に、該到来電波信号の固定地上局での受
信時刻の補正値を付加する。その後、該データ信号を記
憶装置２５に格納する。送信モードのとき、計時機構よ
り読み取ったデジタル時刻信号を、処理装置２４でアン
テナから放射するまでの遅延時間を考慮し、処理装置２
４内の時刻発生プログラムにより、電波放射時刻を補正
し、デジタル時刻信号発生器で、デジタル時刻符号化
し、送信機２９へ送り出し、アンテナ３０から放射す
る。尚、２２は混合器で、２６は局部発振器である。 （ｓ）図２０は、観測点から上空５００ｋｍまでの領域
を、観測点を通る水平面に平行な厚さｈ（１ｋｍ）の平
行平面層に分割し、各平行平面層を通過する電波の経路
を表した図である。 （ｔ）表１は送信機、電波中継機及び固定地上局の時間
的位置を表す。 （ｕ）表２は電波の発着時刻を表す。 （ｖ）表３は固定地上局から放射された電波の放射時刻
を表す。 （ｗ）表４は前記物体が受信モードのときの受信データ
・バッファ内に格納されているデータを表す。 （ｘ）表５は電波経路と電波伝搬時間を表す。
【表１】
【表２】
【表３】
【表４】
【表５】
【手続補正２】
【補正対象書類名】図面
【補正対象項目名】全図
【補正方法】変更
【補正内容】
【図１】
【図３】
【図２】
【図４】
【図９】
【図１１】
【図５】
【図６】
【図１４−１】
【図１７】
【図７】
【図８】
【図１４−２】
【図１０】
【図１８】
【図１９】
【図１２】
【図１５】
【図１３】
【図１６】
【図２０】
Claims (6)
- 【請求項１】１ 電波伝搬制御 電波中継機（以後前記電波中継機と呼称する。）を搭載
した位置の判っていない一個の衛星（以後前記衛星と呼
称する。）を使って、その位置を突き止めようとする物
体（以後前記物体と呼称する。）の三次元位置を確定す
る方法に於いて、 （１）．前記物体から放射された電波の伝搬制御 （ａ）前記物体から電波が放射された時刻を表すデータ
を含む信号を、前記物体から前記衛星に搭載された前記
電波中継機に向け放射する。尚、”前記物体から電波が
放射された時刻を表すデータを含む信号”を、以後”前
記物体から放射された時刻信号”と呼称する。 （ｂ）前記電波中継機は、前記物体から放射された時刻
信号を、前記物体から受信して、そして前記物体から放
射された時刻信号の受信時刻を確定し、前記物体から放
射された時刻信号の末尾に、前記物体から放射された時
刻信号を前記電波中継機が受信した時刻を表すデータを
含む信号を付加する。尚、”前記物体から放射された時
刻信号を前記電波中継機が受信した時刻を表すデータを
含む信号”を、以後”前記電波中継機の前記物体からの
受信時刻信号”と呼称する。 （ｃ）前記電波中継機は、前記物体から放射された時刻
信号を受信してから、前記電波中継機の電波中継時間経
過後に、前記物体から放射された時刻信号と前記電波中
継機の前記物体からの受信時刻信号から成る一連の信号
を、固定地上局（以後前記固定地上局と呼称する。）に
向け放射する。 （ｄ）前記固定地上局では、前記物体から放射された時
刻信号と前記電波中継機の前記物体からの受信時刻信号
から成る一連の信号を受信する。 （ｅ）前記固定地上局では、前記物体から放射された時
刻信号と前記電波中継機の前記物体からの受信時刻信号
から成る一連の信号の前記固定地上局における受信時刻
を確定する。 （ｆ）前記固定地上局では、前記物体から放射され前記
電波中継機に到達した電波の前記物体から送信されたと
きの仰角及び前記物体から放射された時刻信号と前記電
波中継機の前記物体からの受信時刻信号を載せた電波を
前記固定地上局で受信したときの仰角を後述の仰角計算
方法により確定する。 （ｇ）前記固定地上局では、前記物体から放射され、前
記電波中継機に到達した電波の前記物体から送信したと
きの方位角及び前記物体から放射された時刻信号と前記
電波中継機の前記物体からの受信時刻信号を載せた電波
の前記固定地上局で受信したときの方位角を、後述の方
位角計算方法により確定する。 （ｈ）前記物体から放射された時刻信号と前記電波中継
機の前記物体からの受信時刻信号と、前記固定地上局が
前記物体から放射された時刻信号と前記電波中継機の前
記物体からの受信時刻信号とを受信した時刻を表すデー
タを含む信号を、前記固定地上局に接続された電子計算
機の記憶装置上に蓄積する。尚、”前記固定地上局が前
記物体から放射された時刻信号と前記電波中継機の前記
物体からの受信時刻信号とを受信した時刻を表すデータ
を含む信号”を、以後”前記固定地上局の前記物体及び
前記電波中継機からの受信時刻信号”と呼称する。 （ｉ）前記物体から放射され、前記電波中継機に到達し
た電波の前記物体から送信されたときの仰角、及び前記
物体から放射された時刻信号と前記電波中継機の前記物
体からの受信時刻信号とを載せた電波の前記固定地上局
受信時の仰角を、前記固定地上局に接続された電子計算
機の記憶装置上に蓄積する。 （ｊ）前記物体から放射され、前記電波中継機に到達し
た電波の前記物体から送信されたときの方位角、及び前
記物体から放射された時刻信号と前記電波中継機の前記
物体からの受信時刻信号とを載せた電波の前記固定地上
局受信時の方位角を、前記固定地上局に接続された電子
計算機の記憶装置上に蓄積する。 （２）．前記固定地上局から放射された電波の伝搬制御 （ａ）前記固定地上局から電波が放射された時刻を表す
データを含む信号を、前記固定地上局から前記電波中継
機に向け放射する。但し、前記固定地上局から放射する
電波の周波数は、前記物体から放射される電波の周波数
とは異なる様にする。尚、”前記固定地上局から電波が
放射された時刻を表すデータを含む信号”を、以後”前
記固定地上局から放射された時刻信号”と呼称する。
又、前記電波中継機に向け前記固定地上局から放射され
た時刻信号を載せた電波の前記固定地上局送信時の仰角
及び方位角を後述の仰角及び方位角計算方法により確定
する。 （ｂ）前記電波中継機は、前記固定地上局から放射され
た時刻信号を、前記固定地上局から受信する。そして、
前記電波中継機は、前記固定地上局から放射された時刻
信号の受信時刻を確定し、前記固定地上局から放射され
た時刻信号の末尾に、前記固定地上局から放射された時
刻信号の受信時刻を表すデータを含む信号を付加する。
尚、”前記固定地上局から放射された時刻信号の受信時
刻を表すデータを含む信号”を、以後”前記電波中継機
の前記固定地上局からの受信時刻信号”と呼称する。 （ｃ）前記電波中継機は、前記固定地上局から放射され
た時刻信号を受信してから前記電波中継機の電波中継時
間後に、前記固定地上局から放射された時刻信号と前記
電波中継機の前記固定地上局からの受信時刻信号から成
る一連の信号を、前記固定地上局に向け放射する。 （ｄ）前記固定地上局では、前記固定地上局から放射さ
れた時刻信号と前記電波中継機の前記固定地上局からの
受信時刻信号から成る一連の信号を受信する。 （ｅ）前記固定地上局では、前記固定地上局から放射さ
れた時刻信号と前記電波中継機の前記固定地上局からの
受信時刻信号から成る一連の信号の前記固定地上局にお
ける受信時刻を確定する。 （ｆ）前記固定地上局から放射された時刻信号と前記電
波中継機の前記固定地上局からの受信時刻信号と前記固
定地上局が、前記固定地上局から放射された時刻信号と
前記電波中継機の前記固定地上局からの受信時刻信号か
ら成る一連の信号を受信した時刻を表すデータを含む信
号と更に前記電波中継機に向け前記固定地上局から放射
された時刻信号を載せた電波の前記固定地上局送信時の
仰角及び方位角を、後述の仰角計算方法及び方位角計算
方法から確定し、前記固定地上局に接続された電子計算
機の記憶装置上に蓄積する。尚、”前記固定地上局が、
前記固定地上局から放射された時刻信号と前記電波中継
機の前記固定地上局からの受信時刻信号から成る一連の
信号を受信した時刻を表すデータを含む信号”を、以
後”前記固定地上局の前記固定地上局及び前記電波中継
機からの受信時刻信号”と呼称する。 （ｇ）前記固定地上局では、前記固定地上局から放射さ
れた時刻信号と前記電波中継機の前記固定地上局からの
受信時刻信号を載せた電波の前記固定地上局受信時の仰
角を、後述の仰角計算方法により確定する。 （ｈ）前記固定地上局では、前記固定地上局から放射さ
れた時刻信号と前記電波中継機の前記固定地上局からの
受信時刻信号を載せた電波の前記固定地上局受信時の方
位角を、後述の方位角計算方法により確定する。 （ｉ）前記固定地上局から放射された時刻信号と前記電
波中継機の前記固定地上局からの受信時刻信号を載せた
電波の前記固定地上局受信時の仰角と方位角を、前記固
定地上局に接続された電子計算機の記憶装置上に蓄積す
る。 （ｊ）前記固定地上局に接続されている電子計算機の記
憶装置上に蓄積されている前期固定地上局から放射され
た時刻信号、前記電波中継機の前記固定地上局からの受
信時刻信号及び前記固定地上局の前記固定地上局及び前
記電波中継機からの受信時刻信号から成る一連の信号の
中から、前記電波中継機が前記固定地上局から放射され
た時刻信号を受信した時刻が、前記物体から放射された
時刻信号を受信した時刻と同時刻の信号を選択する。 （３）．受信モードに於ける前記物体及び前記固定地上
局の電波の伝搬制御 （ａ）前記電波中継機は、前記物体から放射された時刻
信号を受信してから、前記電波中継機の電波中継時間経
過後に、前記物体から放射された時刻信号と前記電波中
継機の前記物体からの受信時刻信号から成る一連の信号
を、前記物体及び前記固定地上局に向け放射する。 （ｂ）前記物体及び前記固定地上局では、前記物体から
放射された時刻信号と前記電波中継機の前記物体からの
受信時刻信号から成る一連の信号を前記電波中継機から
受信する。 （ｃ）前記物体及び前記固定地上局では、前記物体から
放射された時刻信号と前記電波中継機の前記物体からの
受信時刻信号から成る一連の信号を前記電波中継機から
受信した時刻を確定する。 （ｄ）前記物体では、前記物体から放射された時刻信号
と前記電波中継機の前記物体からの受信時刻信号の末尾
に、前記物体から放射された時刻信号と前記電波中継機
の前記物体からの受信時刻信号から成る一連の信号を受
信した時刻を表すデータを含む信号を付加する。尚、”
前記物体から放射された時刻信号と前記電波中継機の前
記物体からの受信時刻信号を受信した時刻を表すデータ
を含む信号”を、以後”前記物体の前記物体及び前記電
波中継機からの受信時刻信号”と呼称する。 （ｅ）前記物体では、前記物体から放射された時刻信号
と前記電波中継機の前記物体からの受信時刻信号と前記
物体の前記物体及び前記電波中継機からの受信時刻信号
の末尾に、受信モードから送信モードに切り替わった前
記物体から電波が放射される時刻を表すデータを含む信
号の付加された一連の信号が、前記電波中継機に向け放
射される。該電波は、前記電波中継機経由前記固定地上
局に受信され、前記固定地上局に接続されている電子計
算機の記憶装置上に、該電波の内容即ち前記物体から放
射された時刻信号、前記電波中継機の前記物体からの受
信時刻信号、前記物体の前記物体及び前記電波中継機か
らの受信時刻信号及び受信モードから送信モードに切り
替わった前記物体から電波が放射された時刻等が蓄積さ
れる。又前記物体から放射された時刻信号と前記電波中
継機の前記物体からの受信時刻信号から成る一連の信号
を載せた電波の前記物体で受信したときの仰角及び方位
角を後述の仰角、方位角計算方法により確定し、その値
を前記固定地上局に接続されている電子計算機の記憶装
置上に蓄積する。 （ｆ）前記固定地上局に接続されている電子計算機の記
憶装置上に蓄積されている前項（ｅ）の電波の中から、
前記電波中継機の前記物体からの受信時刻から前記電波
中継機の電波中継時間経過したときに、たまたま、前記
電波中継機に前記物体から放射された電波が到達してい
るような電波を選択する。 （ｇ）前記電波中継機が、前記物体から放射された時刻
信号を受信後、前記電波中継機の電波中継時間が経過し
たときの前記電波中継機に、前記物体から放射された電
波が到達するように前記物体から電波を放射できるよう
に、前記物体から放射する時刻、時間及びその間隔を適
当に調節して行う。 （ｈ）前記固定地上局から放射された時刻信号を、前記
電波中継機が受信したとき、前記電波中継機から前記固
定地上局に向け、前記物体からの時刻信号と前記電波中
継機の前記物体からの受信時刻信号から成る一連の信号
とを放射するように、前記物体及び前記固定地上局から
の電波を放射する時刻、時間及び時間間隔を調整して行
う。 （４）．電波伝搬制御を利用した距離測定 前記１、２、３項の電波伝搬制御を前記物体の位置を変
えずに、ある一定時間、ある一定時間間隔で行うことよ
り、（但し、前記物体の位置を変えずとは、前記物体と
地球との相対的位置が変わらないこと言う。） （ａ）前記物体から電波が放射されたときの前記物体の
位置と、該電波が伝搬して前記電波中継機に該電波が到
達したときの前記電波中継機の位置との間の最短距離を
求める。 （ｂ）前記物体から放射された電波が伝搬して、前記電
波中継機に到達してから、前記電波中継機の電波中継時
間を経過したときの前記電波中継機の位置と、該電波が
前記電波中継機経由前記固定地上局に到達したときの前
記固定地上局の位置との間の最短距離を求める。 （ｃ）前記固定地上局より放射された電波が、前記電波
中継機経由前記固定地上局へ到達したときの前記固定地
上局の位置と、前記固定地上局から放射された電波の前
記電波中継機への到達時刻が、前記物体から放射された
電波の前記電波中継機への到達時刻と一致するように、
前記固定地上局から電波が放射されたときの前記固定地
上局の位置との間の最短距離を求める。 （ｄ）前記固定地上局から放射された電波の前記電波中
継機への到達時刻が、前記物体から放射された電波の前
記電波中継機への到達時刻と一致するように、前記固定
地上局から電波が放射されたときの前記固定地上局の位
置と、該電波が伝搬して、前記電波中継機へ到達したと
きの前記電波中継機の位置との間の最短距離を求める。 （ｅ）前記電波中継機への前記物体からの時刻信号の到
達後、前記電波中継機の電波中継時間を経過した同時刻
に、前記物体から放射された電波が前記電波中継機へ到
達するよう、前記物体から電波が放射されたときの前記
物体の位置と、該電波が伝搬して、前記電波中継機へ到
達したときの前記電波中継機の位置との間の最短距離を
求める。 （ｆ）前記電波中継機への前記固定地上局からの時刻信
号の到達後、前記電波中継機の電波中継時間を経過した
同時刻に、前記固定地上局から放射された電波か、前記
電波中継機へ到達するよう、前記固定地上局から電波が
放射されたときの前記固定地上局の位置と、該電波が伝
搬して、前記電波中継機へ到達したときの前記電波中継
機の位置との間の最短距離を求める。 （ｇ）前記物体から電波が放射されたときの前記物体の
位置と、該電波が伝搬して、前記電波中継機へ到達した
同じ時刻に、たまたま、前記電波中継機から前記物体に
向け電波が放射され、該電波が伝搬して、前記物体へ到
達したときの前記物体の位置との間の最短距離を求め
る。 （ｈ）前記物体からの電波が前記電波中継機へ到達した
ときの前記電波中継機の位置と、前記物体からの電波が
前記電波中継機へ到達した同じ時刻に、前記電波中継機
から前記物体に向け電波が放射され、該電波が伝搬し
て、前記物体に到達したときの前記物体の位置との間の
最短距離を求める。 （ｉ）前記物体から前記電波中継機に向け、電波が放射
されたときの前記物体の位置と、前記物体から放射され
た電波が前記電波中継機へ到達後、前記電波中継機の電
波中継時間経過したときに、たまたま、前記電波中継機
へ電波が到達するように前記物体から電波を放射したと
きの前記物体の位置との間の最短距離を求める。 （ｊ）前記物体から放射された時刻信号が、前記電波中
継機に到達したときの前記電波中継機の位置と、前記物
体から放射された電波が前記電波中継機に到達した後、
電波中継時間経過後の前記電波中継機に電波が到達する
よう前記物体から電波が放射されたときの前記物体の位
置との最短距離を求める。 （ｋ）前記物体から時刻信号が放射されたときの前記物
体の位置と、前記物体から放射された電波が前記電波中
継機に到達してから、電波中継時間経過後の前記電波中
継機の位置との間の最短距離を求める。 （ｌ）前記物体から放射された時刻信号が前記電波中継
機に到達した同時刻に、前記電波中継機から前記固定地
上局に向け電波が放射されたときの前記電波中継機の位
置と、該電波が伝搬して、前記固定地上局に到達したと
きの前記固定地上局の位置との間の最短距離を求める。 （ｍ）前記物体から放射された時刻信号が前記電波中継
機に到達した同時刻に、前記電波中継機から前記固定地
上局に向け電波が放射され、該電波が伝搬して、前記固
定地上局に到達したときの前記固定地上局の位置と前記
物体から放射された電波が、前記電波中継機経由前記固
定地上局に到達したときの前記固定地上局の位置との間
の最短距離を求める。 （ｎ）前記物体から放射された電波が前記電波中継機に
到達したときの前記電波中継機の位置と前記物体から放
射された電波が、前記電波中継機経由前記固定地上局に
到達したときの前記固定地上局の位置との間の距離を求
める。 （ｏ）前記物体から放射された電波が伝搬して、前記電
波中継機に到達したときの前記電波中継機の位置のＸ−
Ｙ−Ｚ座標を、該電波が前記電波中継機経由前記固定地
上局に到達したときの前記固定地上局の位置を原点
（０，０，０）として求める。 （ｐ）前記物体から放射された電波が伝搬して、前記電
波中継機に到達後、前記電波中継機の電波中継時間を経
過したときの前記電波中継機の位置のＸ−Ｙ−Ｚ座標
を、該電波が前記電波中継機経由前記固定地上局に到達
したときの前記固定地上局の位置を原点（０，０，０）
として求める。 （ｑ）前記物体から放射された電波が伝搬して、前記電
波中継機に到達したときの前記電波中継機の位置と該電
波が、前記電波中継機に到達後、前記電波中継機の電波
中継時間を経過したときの前記電波中継機の位置との間
の最短距離を求める。 （ｒ）前記物体から放射された電波が、前記電波中継機
に到達後、前記電波中継機の電波中継時間経過したとき
の前記電波中継機に、前記固定地上局から放射された電
波が到達するよう前記固定地上局から電波が放射された
ときの前記固定地上局の位置と、前記物体から放射され
た電波が前記電波中継機経由前記固定地上局に到達した
ときの前記固定地上局の位置との間の距離を求める。 （５）．電波伝搬制御による前記物体の三次元位置の確
定 （ａ）前記物体から放射された時刻信号が、前記電波中
継機に到達したときの前記電波中継機の位置と該時刻信
号が放射されたときの前記物体の位置と該時刻信号が前
記電波中継機に到達したときの前記電波中継機の位置と
の間の最短距離から、第一の位置面を計算する。 （ｂ）前記物体から放射された時刻信号が、前記電波中
継機に到達してから、前記電波中継機の電波中継時間を
経過したときの前記電波中継機の位置と、該時刻信号が
前記物体から放射されたときの前記物体の位置と該時刻
信号が前記電波中継機に到達してから前記電波中継機の
電波中継時間を経過したときの前記電波中継機の位置と
の間の最短距離から、第二の位置面を計算する。 （ｃ）前記物体から放射された時刻信号が、前記電波中
継機に到達した同時刻に、前記電波中継機から前記物体
に向け電波を放射する。該電波が伝搬して前記物体に到
達したときの前記物体を通る水平面の前記固定地上局か
らの高さは確定するから、この前記物体を通る水平面を
第三の位置面とする （ｄ）前記第一の位置面、第二の位置面及び第三の位置
面の交点が、前記物体の三次元位置である。 - 【請求項２】 経時機構の同期化 １． 前記物体の経時機構と前記固定地上局の経時機構
の同期化 前記物体と前記固定地上局より同時刻に、前記電波中継
機に向け電波を放射する。そして、この放射された電波
を、それぞれ前記固定地上局及び前記物体で受信する。
今、前記物体より放射された電波が、前記電波中継機経
由前記固定地上局へ到達する経路について考える。前記
物体より放射された電波が、前記電波中継機に到達した
とき、該電波中継機より前記固定地上局へ向け放射され
る電波を選択する。この電波の前記電波中継機からの放
射時刻、前記固定地上局への到達時刻及び前記固定地上
局に於ける仰角、方位角を、前記固定地上局に接続され
ている電子計算機の記憶装置上に記憶する。該電波が、
前記電波中継機に到達後、電波中継時間経過すると、再
び前記電波中継機より前記固定地上局へ向け電波が放射
される。この電波の前記電波中継機からの放射時刻、前
記固定地上局への到達時刻、及び前記固定地上局に於け
る仰角及び方位角を前記固定地上局に接続されている電
子計算機の記憶装置上に記憶しておく。次に、前記固定
地上局より放射された電波が、前記電波中継機経由前記
物体に到達する経路を考える。前記固定地上局より放射
された電波が、前記電波中継機へ到達したとき、該電波
中継機より前記固定地上局へ向け放射される電波を選択
する。この電波の前記電波中継機からの放射時刻、前記
固定地上局への到達時刻、及び前記固定地上局に於ける
仰角、方位角を前記固定地上局に接続されている電子計
算機の記憶装置上に記憶しておく。該電波が前記電波中
継機に到達後、電波中継時間経過したとき、前記物体に
向け放射される電波の外に、前記固定地上局へ向け放射
される電波がある。この前記固定地上局に向け放射され
る電波の前記電波中継機からの放射時刻、前記固定地上
局への到達時刻及び前記固定地上局に於ける仰角、方位
角を、前記固定地上局に接続されている電子計算機の記
憶装置上に記憶しておく。以上の操作をかなりの回数実
行する。このようにして、前記固定地上局に接続されて
いる電子計算機の記憶装置上に記憶された無数の電波の
中から、前記物体より放射された電波が、前記電波中継
機に到達したとき、前記電波中継機から前記固定地上局
へ向け放射される電波の中から前記電波中継機からの放
射時刻と、前記固定地上局への到達時刻の差及び仰角
が、前記固定地上局から放射された電波が、前記電波中
継機に到達後、電波中継時間経過したとき前記電波中継
機から前記物体に向け放射される電波の外に、前記固定
地上局へ向け放射される電波の前記電波中継機からの放
射時刻と、前記固定地上局への到達時刻の差及び仰角と
おのおの同じ電波を選択する。 この選択された二つの
電波の一方の電波で、前記物体より放射された電波が、
前記電波中継機に到達後、電波中継時間経過したとき、
再び前記電波中継機から前記固定地上局へ向け放射され
る電波の前記電波中継機からの放射時刻と、前記固定地
上局への到達時刻の差及び仰角が、もう一方の電波であ
る前記固定地上局から放射された電波が、前記電波中継
機に到達したとき、該電波中継機から前記固定地上局へ
向け放射される電波の前記電波中継機からの放射時刻
と、前記固定地上局への到達時刻の差及び仰角とおのお
の同じであるなら、この選択された二つの電波の時間的
経路長は、同じになる。 故に、かかる二つの電波を選
択することにより、この二つの電波の前記固定地上局と
前記物体との受信時刻の差が、前記物体の経時機構と前
記固定地上局の経時機構との時間的ずれとなる。かよう
な作業を数回行い、この平均値により、前記固定地上局
の経時機構を基準として、前記物体の経時機構の補正を
行う。（図８参照） ２． 前記電波中継機の経時機構の同期化 前記物体と前記固定地上局の各経時機構の同期化を行っ
た後に、本同期化を行う。前記物体及び前記固定地上局
より、前記電波中継機に向け、電波を放射し、前記物体
からの電波と前記固定地上局からの電波とが、同時刻に
前記電波中継機に到達するようにする。前記固定地上局
から電波を放射した時刻、前記固定地上局に該電波が到
達した時刻及び前記電波中継機の電波中継時間から、前
記電波中継機に該電波が到達した時刻の真値が求まる。
この真値により、前記電波中継機の経時機構の同期化を
行う。但し、前記物体より放射された電波が、前記電波
中継機に到達したとき、該電波中継機から前記固定地上
局へ向け電波が放射される。この電波が伝搬して前記固
定地上局へ到達したときの前記固定地上局の位置からの
前記物体より放射された電波の前記電波中継機に到達し
たときの前記電波中継機との相対的位置が、前記物体よ
り放射された電波が前記電波中継機に到達後、電波中継
時間経過したとき、再び前記電波中継機より前記固定地
上局へ向け電波が放射され、この電波が伝搬して、前記
固定地上局に到達したときの前記固定地上局の位置から
の電波中継時間経過したときの前記電波中継機の相対的
位置とが同じである経路を通る電波を選択する。（図９
参照） 固定地上局、衛星に搭載されている電波中継機及び位置
を突き止めようとする物体は、それぞれ非常に精巧な経
時機構を備えている。位置を突き止めようとする物体
が、固定地上局と交信を開始するとき、及び交信開始
後、時々、電波伝搬制御により、固定地上局の経時機構
を基準にして、衛星に搭載されている電波中継機の経時
機構と位置を突き止めようとする物体の経時機構の同期
化を行う。 - 【請求項３】 大気屈折率による衛星の位置誤差の補正 大気ガスの屈折指数は、地表面からの高さに従い、段階
的に変化することが実験的に証明されている。その結
果、衛星から放射された電波は、大気圏に突入すると、
大気ガスの影響により屈折現象を起こし、衛星の実際の
位置から放射された電波が、地表面上の固定地上局へ到
達する電波経路は直線ではなく、少しカーブする。従っ
て、衛星の実際の位置からの電波の放射時刻、地表面上
の固定地上局への電波の到達時刻及び地表面上の固定地
上局への到達電波の仰角から、電波は直進するものとし
て計算すると、その計算結果は、衛星の実際の位置と地
表面上の固定地上局の位置との間の最短距離からかなり
ずれる。 １．衛星の実際の位置から放射された電波の大気圏への
突入点と地表面上の固定地上局の位置との間を、高さが
１２ｋｍ未満の場合と１２ｋｍ以上の場合に分け、衛星
の実際の位置からの電波の放射時刻、地表面上の固定地
上局への電波の到達時刻及び電波の大気圏への突入点に
立てた法線と到来電波のなす角度から衛星の実際の位置
を算出する。逆に、地表面上の固定局又は可搬局から衛
星に向け電波を放射する場合にも、衛星の位置誤差の補
正はこの方法により可能である。 ２．電波の通過する空間を、地上局又は観測点を通る地
表面に平行な厚さｈの平行平面層に分割し、各平行平面
層の電波屈折率を求める。 ３．地表面から屈折率がｎ１から、ｎ０に変わる界面ま
での各平行平面層を通過する各電波経路長の水平距離と
垂直距離を求め、更にその各電波経路長の水平距離の和
と垂直距離の和を求める（但し、ｎ０は真空中の電波の
屈折率）。 ４．衛星の実際の位置から放射された電波が、又は地上
局あるいは観測点から衛星に向け放射された電波が、屈
折率ｎ０から屈折率ｎ１に変わる地表面に平行な界面へ
入射する点を原点とする。そして、この原点において屈
折率ｎ０から屈折率ｎ１に変わる地表面に平行な界面に
たてた法線をＸ軸とし、このＸ軸と電波経路が構成する
平面内にあるＸ軸に直交する直線をＹ軸とするＸＹ平面
内において、衛星の実際の位置から地上局又は観測点ま
での電波の経路長の水平距離と垂直距離を、各平行平面
層を通過するときの電波の入射角及び屈折角と、衛星と
地上局又は観測点間の電波伝搬時間及び平行平面層の個
数から求める。尚、入射角及び屈折角の基準線は正方向
のＸ軸で、反時計回りを正とする。（図１４参照） - 【請求項４】 到来電波及び放射電波の仰角の決定 １． 地上局・電波中継機間の電波伝搬時間の測定 （１）地上局に電子計算機が接続されている場合。 地上局より衛星搭載の電波中継機に向け電波を放射す
る。該電波が伝搬して電波中継機に到達した同時刻に、
この電波中継機より地上局に向け放射される電波を選択
する。地上局での電波の受発信時刻及び電波中継機での
電波の受発信時刻を、おのおのに搭載している計時機構
により測定する。そして、この測定データを地上局に接
続されている電子計算機に記憶させる。 （２）地上局に電子計算機が接続されていない場合。
（図１参照） 地上局の位置Ｍ１１から、衛星搭載の電波中継機に向
け、時刻ＴＭ１１のとき電波を放射する。該電波が伝搬
して、電波中継機の位置Ｐ１２に時刻ＴＰ１２のとき到
達したとする。この時刻ＴＰ１２のとき、電波中継機の
位置Ｐ１２から地上局に向け放射される電波がある。即
ち、地上局の位置Ｍ０１から衛星搭載の電波中継機に向
け、時刻ＴＭ０１のとき放射された電波である。電波中
継機の位置Ｐ１２から時刻ＴＰ１２のとき放射された電
波が地上局の位置Ｍ０４及びＭ０４’に到達したときの
時刻をそれぞれＴＭ０４及びＴＭ０４’とする。（▲注
▼時刻ＴＭ０４とＴＭ０４’は極めて接近しており、実
際の計測は不可能であると思われるが、論理的には存在
する。何故なら電波経路長Ｐ１２Ｍ０４≠Ｐ
１２Ｍ０４’である。）地上局の位置Ｍ１１から放射さ
れた電波は、電波中継機経由固定地上局の位置Ｗ１４に
時刻ＴＷ１４のとき到達し、この固定地上局に接続され
ている電子計算機に記憶される。即ち、電波経路Ｍ１１
−Ｐ１２−Ｐ１３−Ｗ１４を通過した電波は、固定地上
局に接続されている電子計算機内にＴＭ１１・ＴＰ１２
・ＴＰ１３・ＴＷ１４から成るデータとして記憶さてい
る。地上局の位置Ｍ０４及びＭ０４’に時刻ＴＭ０４及
びＴＭ０４’のとき到達した電波は、地上局の送信機バ
ッファー内に、ＴＭ０１・ＴＰ０２・ＴＰ０３・Ｔ
Ｍ０４及びＴＭ０１・ＴＰ０２・ＴＰ０３・ＴＭ０４’
なるデータとして保持される。そして時刻ＴＭ２１の
時、地上局の位置Ｍ２１から電波中継機に向け、地上局
内の送信機バッファー内に保持されていたデータが放射
され、時刻ＴＷ２４のとき、固定地上局の位置Ｗ２４に
到達する。（▲注▼地上局が次の受信モードになるまで
の時間を地上局データ保持時間と呼称し、この地上局デ
ータ保持時間だけ、地上局受信データは保証される。）
そして、この固定地上局に接続されている電子計算機に
記憶される。即ち、電波経路Ｍ０１−Ｐ０２−Ｐ０３−
Ｍ０４（又はＭ０４’）−Ｍ２１−Ｐ２２−Ｐ２３−Ｗ
２４を通過した電波は、固定地上局に接続されている電
子計算機内にＴＭ０１・ＴＰ０２・ＴＭ０４（又はＴ
Ｍ０４’）・ＴＭ２１・ＴＰ２２・ＴＷ２４から成るデ
ータとして記憶されている。 ２． 地上局・電波中継機間の電波経路長の測定 大気圏は地表面よりＨｋｍ（５００）上空までの範囲と
して、この大気圏のガスの屈折率の影響による電波経路
長誤差を補正した最短距離を、衛星搭載の電波中継機と
地上局との間で求める。この様にして求めた時間と距離
から地上局で受発信した電波の仰角を求める。 （１）衛星は常に地上局より右側に位置し、又、地上局
及び衛星に搭載されている電波中継機の計時機構は、固
定地上局備え付けの計時機構に完全に同期しているもの
とする。 （２）地上局より衛星搭載の電波中継機に向け電波を放
射した時刻及び該電波が伝搬して電波中継機に到達した
時刻を、各々に搭載している計時機構により測定する。
この時間差と地上局より電波中継機に向け放射された電
波の各平行平面層における屈折角及び入射角を変数とし
て、大気ガスの影響から起きる電波の屈折による電波経
路長誤差を補正して、衛星搭載の電波中継機の位置と地
上局の位置との間の最短距離を求める。 （３）地上局より放射された電波が電波中継機に到達し
た同時刻に、該電波中継機よりこの地上局へ向け放射さ
れる電波を選択する。該電波が伝搬して、地上局に到達
する電波は二種あり、各電波の到達時刻を地上局搭載の
計時機構により測定する。この二種の電波について各
々、電波中継機より放射された時刻と地上局で受信した
時刻との時間差及び地上局で受信した電波の各平行平面
層における屈折角及び入射角を変数として、衛星搭載の
電波中継機の位置と地上局の位置との間の最短距離を求
める。 （４）地球の自転方向をＹ軸に選び、そのＹ軸上の一点
を原点として、ＸＹＺ−空間内における地上局の三つの
位置の座標及び電波中継機の位置の座標を確定する。但
し、地上局の三つの座標位置はＹ軸上にあるものとす
る。これより、地上局より送受信した電波の仰角を求め
る。即ち、（ｂ）項及び（ｃ）項より求めた距離から電
波伝搬時間、電波の速度、地球の自転速度、地表面に平
行な地上局を通厚さｈの平行平面層の屈折率と地上局よ
り５００ｋｍ上空の地表面に平行な界面への電波の入射
角（又は屈折角）の余弦との間に次の関係式が成立す
る。 ｃｏｓα０＝ｋｈΣｉ＝１ ｎ（１＋ｎｉ）／（ｃ±Ｖ）ｐ 但し、ｃは電波の速度、Ｖは地球の自転速度、ｐは地上
局との衛星との間の電波伝搬時間、ｈは地表面に平行な
平行平面層の厚さ、ｎｉは表面に平行な平行平面層の屈
折率そしてｋは比例定数 - 【請求項５】 前記物体の位置精度の向上 これまでは、前記物体及び前記電波中継機の位置の測定
方法を記述したが、次に前記物体の測定位置の精度の向
上方法について記述する。前記物体の位置の測定方法か
ら、前記物体の位置精度の向上の為には、衛星の位置精
度を向上させる必要がある。そこで、衛星の位置精度を
向上させる為には、次の事を行う。 １． 地球の周囲を水平層、球面層及び電波直進層の三
つに分ける。そして、電波の通る媒体を観測点を通る水
平面に平行な厚さｈの平行平面層に分割する。そして、
水平層、球面層の各平行平面層の電波の屈折率を測定す
る。又、電波直進層における電波の屈折率は１とする。 ２． 電波直進層と球面層の界面への電波の突入点にた
てた法線とこの電波の進行方向とのなす角度（入射角又
は屈折角）が定まれば、水平層、球面層の各平行平面層
の電波の屈折率が前項から判っているから、各平行平面
層への電波の屈折角（又は入射角）が定まる。従って、
各平行平面層を通る電波の各経路長が求まる。故に、電
波直進層と球面層の界面への電波の突入点にたてた法線
とこの電波の進行方向とのなす角度（入射角又は屈折
角）に対応する唯一つの水平層領域及び球面層領域を通
る電波経路長が定まる。 ３． 電波直進層と球面層の界面への電波の突入点にた
てた法線とこの電波の進行方向とのなす角度（入射角又
は屈折角）の余弦をパラメータとして、前項２より、水
平領域及び球面領域を通る電波経路長を求め、これをグ
ラフに表す。この場合、電波直進層と球面層領域の界面
への電波の突入点にたてた法線とこの電波の進行方向と
のなす角度（入射角又は屈折角）の余弦をＸ軸にとり、
前項３により求めた水平層領域及び球面層領域を通る電
波経路長をＹ軸にとる。 ４． 前項３で求めた曲線上に２点Ａ、Ｂを取る。この
２点Ａ、Ｂの座標をそれぞれ（ＡＸ，ＡＹ），（ＢＸ，
ＢＹ）とすると、２点Ａ、Ｂを通る直線は、 （Ｙ−ＡＹ）／（Ｘ−ＡＸ）＝（ＡＹ−ＢＹ）／（ＡＸ
−ＢＸ） 但し、｜ＡＸ｜＜｜ＢＸ｜ 曲線ＡＢと直線ＡＢとで囲まれた部分は、電波直進層と
球面層の界面への電波の突入点にたてた法線とこの電波
の進行方向とのなす角度（入射角又は屈折角）の余弦を
変数とする二次曲線ＡＢで表される。従って、曲線ＡＢ
は、直線ＡＢと二次曲線ＡＢで表される。 ５． 衛星と観測点を通る水平面との間の距離を、厚さ
ｈの平行平面層の個数（この個数をｎとする。）、電波
伝搬速度及び観測点を通る水平面から高さｎｈまでの間
の電波経路長で表され、又厚さｈの平行平面層の個数
（ｎ）と比例定数ｋで表される。電波直進層と球面層の
界面への電波の突入点にたてられた法線とこの電波の進
行方向とのなす角度（入射角又は屈折角ょの余弦は、厚
さｈの平行平面層の個数（ｎ）、電波の速度、電波伝搬
時間、地球の自転速度及び比例定数ｋで表される。従っ
て前項とから、電波直進層と球面層の界面への電波の突
入点にたてられた法線とこの電波の進行方向とのなす角
度（入射角又は屈折角）の余弦を変数とする三次方程式
が成立する。この三次方程式の解が、電波直進層と球面
層の界面への電波の突入点にたてた法線とこの電波の進
行方向とのなす角度（入射角又は屈折角）の求めるもの
である。これから厚さｈの平行平面層の個数（ｎ）が求
まる。従って、衛星と観測点との間の水平距離、垂直距
離が求まる。 ６． 前項で求めた電波直進層と球面層の界面への電波
の突入点にたてた法線とこの電波の進行方向とのなす角
度（入射角又は屈折角）の余弦を中心として、その前後
値をパラメータとして、項３より測定精度を１０倍上げ
て、水平層領域及び球面層領域を通る電波経路長を求
め、これをグラフに表す。 ７． 前項で求めた曲線上に２点Ｃ、Ｄを取る。この２
点Ｃ、Ｄの座標をそれぞれ（ＣＸ，ＣＹ），（ＤＸ，Ｄ
Ｙ）として、｜ＣＸ｜＞｜ＡＸ｜、｜ＤＸ｜＜＜｜ＢＸ
｜とするなら、２点Ｃ、Ｄを通る直線は、次ぎの式で表
される。 （Ｙ−ＣＹ）／（Ｘ−ＣＸ）＝（ＣＹ−ＤＹ）／（ＣＸ
−ＤＸ）但し、｜ＣＸ｜＜｜ＤＸ｜ 曲線ＣＤと直線ＣＤとで囲まれた部分は、電波直進層と
球面層の界面層の界面への電波の突入点にたてた法線と
この電波の進行方向とのなす角度（入射角又は屈折角）
の余弦を変数とする二次曲線ＣＤで表される。従って、
曲線ＣＤは、直線ＣＤと二次曲線ＣＤで表される。そし
て、項５に戻る。もし、二次曲線で表すことができなく
なったら項７へ行く。 ８． 前項で求めた曲線上に２点を取り、この２点を通
る直線と曲線で囲まれた部分が二次曲線で表されなくな
ったら、この直前に求めた電波直進層と球面層の界面へ
の電波の突入点にたてた法線と、この電波の進行方向と
のなす角度（入射角又は屈折角）の余弦と曲線の交点を
中心として、曲線上に２点を取り、この２点を通る直線
がほぼ曲線と重なるように２点を選ぶ。その結果、電波
直進層と球面層の界面への電波の突入点にたてた法線と
この電波の進行方向とのなす角度（入射角又は屈折角）
の余弦を変数とする二次方程式が成立する。この二次方
程式の解が求めるものである。この様にして求めた解と
曲線の交点を中心として、曲線上に２点を取り、この２
点を通る直線がほぼ重なるように取れるまで行う。 - 【請求項６】 方位角の決定 地上局より電波中継機に向け電波を放射する。この電波
が伝搬して電波中継機に到達した同時刻に、電波中継機
から地上局に向け放射された電波を選択する。この電波
中継機から放射された電波を、先の地上局で受信する。
このとき、地上局より電波が放射された時刻、及びこの
電波の電波中継機に到達した時刻、電波中継機から放射
された電波の地上局への到達時刻から、方位角を測定す
る。γ、δが求める方位角である。（図２参照）
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP12320591A JPH05107330A (ja) | 1991-03-04 | 1991-03-04 | 通信衛星による三次元位置測定 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP12320591A JPH05107330A (ja) | 1991-03-04 | 1991-03-04 | 通信衛星による三次元位置測定 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH05107330A true JPH05107330A (ja) | 1993-04-27 |
Family
ID=14854803
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP12320591A Pending JPH05107330A (ja) | 1991-03-04 | 1991-03-04 | 通信衛星による三次元位置測定 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JPH05107330A (ja) |
Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US8749431B2 (en) | 2008-07-24 | 2014-06-10 | Ses Astra S.A. | Spacecraft position estimating system and method |
-
1991
- 1991-03-04 JP JP12320591A patent/JPH05107330A/ja active Pending
Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US8749431B2 (en) | 2008-07-24 | 2014-06-10 | Ses Astra S.A. | Spacecraft position estimating system and method |
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