JPH05509171A - 分散補償回折格子 - Google Patents

Abstract

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Description

【発明の詳細な説明】 分散補償回折格子 ［発明の背景］ ［産業上の利用分野］ 本発明は光学システムにおける色分散を補正するための回折格子の使用に関する ０本発明が意図する主な応用は、パイプ式昼光照明システムに使用される高集中 太陽光集光装置の集光素子として使用されるフレネルレンズの光学的性能を改善 することにある。他の潜在的応用には制限されたスペクトル帯に亘って動作する 光学計器及び結像システムが含まれるであろう。

［従来の技術〕 光学システムにおける色分散は、一般に、異なる分散能を有する光学材料からな る接着した、または至近距離で１１１間させた２枚のレンズ素子を備えてダブレ ットによって最小になる。ダブレットの２枚の素子間の光学的倍率を適性に平衡 させることによって、この組合せを２つの特定設計波長において精密に無色とす ることができる。２波長よりも多（の波長における色補正は、光学システム内に ３またはそれ以上のガラス材料を使用することによって達成することができる。

これらのシステムは優れた無色結像性能を呈するが、この分散補償方法は材料費 が高いこと、レンズ素子の重量が大きくなること及び多素子レンズシステムに伴 って複雑であることのために、多くの応用に対しては実際的ではない、特にこの 方法は、集中太陽光集光装置のようにフレネルレンズシステムには不適当である 。

光学システ４は１回折により誘起される色分散がある角度を密度よりも１桁以上 低い（この線密度は、レンズの固有屈折性分散を平衡させるのには少量の屈折性 分散しか必要としないのでこのように低いのである）、線形の斜面のフレネル型 ファセット構造は主回折次数（これは１次または一１次であろう）における回折 効率を最大ならしめる。（この型のファセット形態を有する格子を“輝く”格子 と名付ける。）ファセットの側面高は典型的には全レンズ口径に亘って４ＸＩＯ −’インチ程度である（１０００本／インチの線密度の場合、ファセットの高さ 対幅比は１／２５程度である）。

現在考えている分散補償格子の主な応用は太陽エネルギ集光装置として使用され るフレネルレンズの光学性能を改善することである。図２は分散補償フレネルレ ンズの側面ジオメトリを示す。レンズ表面３は２層のファセット構造を有する。

即ち、大尺度（例えば２５本／インチ）フレネルファセット４の上に小尺度（例 えば１０００本／インチ）格子ファセット５が重ねられている。フレネルファセ ットはレンズの光学的能力の大部分を与え、格子構造は色分散を補償する他にあ る付加的な光学的能力を与える。

２つの選択された設計波長間の色分散は、単一のレンズ表夏上に形成された格子 構造によって除去することができる。可視スペクトルに亘る残留分散は、典型的 には未補正レンズよりも１ＸＩＯ程度まで低い、太陽エネルギ応用の場合には、 この分数補正レベルによってフレネルレンズの熊手面内に１０，０００倍の程度 までの幾可学的集中を達成することができる。もしシステムを太陽スペクトルの 限られた部分のみに使用するのであれば、回折効率は極めて高くなる。現在考え ているバイブ式照明システムにおける太陽集光装置としての応用では、分散補償 フレネルレンズは典型的な気団ｌの太陽光スペクトルを用いた時主次数において スペクトル的に平均した回折効率の損失は約２％にしか過ぎにない。集光装置光 起電応用の場合には、光電池の特性に依存してこの効率損失はより大きく、多分 １０％程度まで高まる。また全太陽スペクトルを利用する太陽熱応用の場合には 、典型的な気団１の太陽照射スペクトルを用いた時の効率損失は３０％程度であ る（回折効率損失は異常回折次数に回折するエネルギを表わす）。このエネルギ はレンズの熊手面において集光のレベルとしては比較的低い。

分散補償格子は従来の回折格子に対して極めて低い線密度と極めて低いファセッ ト側面ジオメトリを有しているから、この構造は標準のレンズ成型プロセスによ って製造することができる。フレネルレンズの場合には製造プロセスに何等の変 更も必要なく、格子構造を成型加工設計内に組込むだけでよい、成型加工は典型 的には格子ファセット表面を限定するために直線状の刃を有する単結晶ダイヤモ ンドカッタを使用する精密回転操作によって行われる。

幾つかの特色が本発明を前述の従来技術と区別する０本発明の格子素子は、ビー ム形成及び分散補償素子の両方として機能する屈折性光学素子の一体部分として 形成されるが、フォスター（１９５８年）及びローマン（１９７０年）の発明で は、格子は屈折性光学的能力を有していない分離した異質の光学素子を形成する 。本発明に使用される輝く格子構造は、ローマンのシステムの１　／−ｎＬ”強 度損失を回避する。フォスタの発明は特に２つの回折格子を必要とし、単一の格 子素子をからなる分散補償メカニズムを示唆するものではない。

本発明は１つの格子表面のみを必要とするが、この長所は１またはそれ以上の他 の素子を直列配列として組合せることを排除するものではない。本発明の型とフ ォスターの２格子システムとの間の本質的な差は、フォスターの発明が２波長無 色化を達成するために２つの格子を必要とするのに対して、本発明を使用した組 合せ内の付加格子は単に残留分散（後注参照）を最小にする（例えば２つの格子 表面は特定入射波面の４波長無色化を達成するような充分な自由度を有する）か 、もしくは他の光収差を軽減するために機能するに過ぎない。２波長を無色化す るのであれば１つの格子だけでよい、ｌより多い分散補償格子を使用する組合せ システムは後に簡単に説明するが、これらのシステムの一般的な取扱いは本発明 の範囲外にあり、本発明の請求の範囲には記載されていない（但し、このような 組合せ内の個々の分散補償格子素子を請求する）。

本発明で説明する分散補償手段は明らかに反射格子並びに透過格子にも拡張可能 であるが、後者の型だけが本発明として請求されている。

Ｃ注）フォスター（１９５８年）が定義した“残留分散“の用法は本明細書とは 異なっている。一般に用いられているように、本明細書では“残留分散”を無色 システムの出力ビーム内に残る分散と定義するが、フォスターは分散発生素子と 分散補償素子との間のビームの部分内の分散と定義している。

［図面の簡単な説明］ ［図１］　典型的な分散補償レンズの側面ジオメトリ（即ち格子線を横切る面内 の断面形態）であり、［図２］　分散補償フレネルレンズの側面フジオメトリで あり、 ［図３］　平面波面によって照明された時の均質格子構造の断面図であり、 ［図４］　位相整合原理に基づいて格子方程式を誘導するための図であり、 ［図５］　位相整合原理に基づいて輝（状態を誘導するための図であり、 ［図６］　格子効率公式を導くのに使用される座標系を限定する図であり、 ［図７］　普通の屈折レンズ表面を設計する簡単な問題に対して位相整合原理の 適用を示し。

［図８］　分散補償回折格子の構造素子を示す図であり、［図９］　格子サブス トレート上の位相の特定から回折したビームの位相分布を決定でとる手順を示し 、［図１０１　分散補償素子とそれが形成されている屈折性光学素子との間の構 造的な差異を示す図である。

〔発明の詳細な説明］ 均質格子形態 分散補償格子の理論を説明する前に、回折格子に関する若干の基本的厚層を先ず 概述する６図３は始めに検討する形態を示す、格子は、屈折率ｎをｎｏ及びｎ＋ ’で示す２つの光学媒体を分離する表面上に設けた一組の平行なみぞ（もしくは 線、例えば図３にはみぞ６が断面図的に示しである）を備えている。みぞに接す る仮想表面７を“格子サブストレート”と呼ぶことにする。先ず“均質な゛格子 構造を説明すると、これは次のような特性であることを特徴としている。サブス トレートが平坦であり、みぞ構造が格子線に平行は方向に並進対称を有し、構造 が格子線に対して直角で且つサブストレートに平行な方向に周期的対称を有する 。さらに、入射ビームは平行化されている（即ちその波面が平面である）ものと 仮定する。

分散補償格子は典型的には非均質であるが、均質格子モデルは格子構造が実質的 に均質である格子口径上の任意の小寸法領域（即ち、格子周期に比して大きいが 、格子口径寸法及びサブストレートの曲率半径、格子線、及び入射波面に比して は小さい領域）の回折ジオメトリをかなり正確に表わす。

始めに入射ビームの伝播方向が格子線に対して直角であるような回折ジオメトリ のみを考える。（後により一般的な“円錐回折”の場合も含むように解析を拡張 する。）図３において、入射平面波面８は格子サブストレートに対して入射各θ で屈折率ｎ。の媒体内の格子に衝突する。格子はビームを複数の平行化され回折 されたビームに散乱させる。図３に示すその１つの平面波９はサブストレートに 対して退出角θ′で屈折率ｎ０°の媒体内へ透過する。

回折次数の退出角θ″　（図３）は位相整合条件によって決定できる。２つの参 照波面、即ち入射ビーム内の波面と回折したビーム内の波面を考えると、隣接す るみぞ（例えば隣接するトラフ）上の対応点を横切る２つの光線に沿うこれら２ つの波面間の光路長は、ある整数波長だけ異ならなければならない、これは図４ に示しである。即ち、光線セグメント１０及び１１は波面１２から波面１３に至 るまでに隣接する点１４及び１５を通って格子を横切る。屈折率ｎｏの媒体内の セグメント１１の部分はセグメント１０の部分よりも差Ｌ＝△ｓｉｎθだけ長（ （Δは格子周期）、また屈折率ｎｏ’　の媒体内のセグメント１０の部分はセグ メント１１の部分より差Ｌ’＝Δｓｉｎθ”だけ長い、従って、位相整合原理か ら、ｍをある整数とじてか暗示される。但しえ。及びλ。゛は屈折率ｎ０の媒体 及び屈折率ｎｏ’の媒体内の波長である。λ０及びん。゛は各々自由空間波長λ より屈折率の係数だけ小さい、即ちえ。＝λ／　ｎ　ｏ、ん。’＝　ｔ、、’　 ｎｏ’　−（２１式（１）はｍ番目の回折次数のための“格子方程式”である、 一般に、各整数ｍ毎に分離した回折次数が屈折率ｎｏ’内に発生する。（対応す る反射次数も屈折率ｎ０の媒体内へ散乱して戻されるが、これらはこの応用に対 しては興味がない、）分散補償光学システムは一般に１次回折のみを利用するか ら、１次回折に注目して式（１）のｍを１に設定する。即ちｍ＝１　・・・（３ ） これを代入すれば格子方程式（１）は１次に対してｎｏ’ｓ１ｎθ’　＝　ｎ　 ｏｓｌｎθ＋λ／Δ（１次）　−１４１若干の場合には、分散補償格子の主回折 次数は実際には−１指定方向に同時に回折させ得る（波長に対するｎｏ及びｎｏ ’の依存性を考慮に入れて）ような長所を取り入れることができる別の自由度を 持つことになる。先ず、２つの極めて接近した波長λ、及びえ、＋δλ（δλは 小さい量）に対して、如何にしてこれが達成できるかを考えよう、（もしδλを 微小量であるものとすれば波長に対する退出角の導関数ｄθ°／δλは設計波長 λ、においてＯである。）可視スペクトルに亘って良好な分数補償性能を得るた めには、設計波長λ、は典型的にスペクトルの縁部分に選択されよう（従って“ ｇ”を添字しである）。

格子設計を説明する前に次の２つのことを仮定する。先ず、２つの設計波長は同 一の源から発するが格子に遮ぎられる前に先行する分散性素子を透過したために 格子サブストレートにおける入射角θが僅かに発散されるものとする。（もし格 子が例えばレンズ素子の背面に形成されていれば、格子に遮ぎられる前にレンズ 前面において屈折するためにビームに色分散が誘起される。）波長え、及びλ１ ＋δ先の入射角をθ及びθ＋δθで示す。次に２つの設計波長は共通の焦点に導 びかれるが、格子を通った後に格子に後続する光界面における色分散を打消すた めに若干発散させる必要があるものとする。（もし格子が例えばレンズ素子の前 面に位置していれば、背面における屈折によって誘起された分散を打消すために 格子ビームにある色分散を誘起する必要があろう。）波長え、及びん、＋δ尤の 退出角をそれぞれθ゛及びθ′＋δθ°で示すこととする。

入射分散角δθ及び退出分散角δθ゛は分っているが、格子特表千５−５０９１ ７１　（５） のサブストレートの配向は予め定められていないから、θ及びθ°は始めに特定 されない１代りに、波長λ１における入射ビームと退出ビームとの間の偏向角ψ を特定する。ψはθとθ゛との間の差である。即ち ψ＝θ゛−θ　・−Ｔ７＋ 格子方程式（４）から波長λ１の回折ジオメトリはｎｏ’Ｂｉｎθ’　＝　ｎ　 ｏ　ｓｉｎθ＋え、　／Ａ　−１ｓ）の関係によって制約されている。ここにｎ ｏ及びｎｏ’は格子の入射側及び退出側での先＝ん、における屈折率である。λ ＝λ、＋δλにおける対応屈折率値をｎ０＋δｎ０及びｎ、′＋δｎ０°とすれ ば、同様に （ｎ、°＋δｎｏ’）　ｓｉｎ　（θ°＋δθ°）＝（ｎ０＋６ｎｏｔ　ｓｉｎ 　（θ＋δθ）÷（λ１＋δλｌ／Ａ−１９１が得られる１式（８）を式（９） から差引き、１次微分近似を用いると （δｎｏ’９ｉｎθ’＋ｎｅ’δθ’　ｃｏｓθ゛）＝（δｎｏ８ｉｎθ＋ｎ０ δθ　ｃｏｓθ）＋δλ／Δ　−１１０１が得られる。

式（７）、（８）、及び（１０）を使用すれば、３つの未知数θ、θ°、及びΔ を解くことができる６式（７）を用いて式（８）及び（ｌＯ）内のθ°を消去し 、次で式（８）と（１０）との間のΔを消去し、θに関して解けば１次の解がめ られる。

・・・（１１） （式（１１）内の微小量の比は導関数、例えばδｎｏ／δん＝ｄｎｏ／ｄλｌえ ＝λ１と解釈することができる。）式（１１）は入射ビームに対する格子サブス トレートの配向を決定し、θを与えることによって式（７）及び（８）からθ“ 及びΔをめる。（この手順によってΔが負の値となり、格子が実際には一１次で 動作していることを指示するかも知れない。）λ、付近の波長で回折効率を最大 にするために、全てのパラメタを設計波長λ、において評価して式〔６）によっ て格子ファセット角αを限定することができる。

上述の設計手順は狭帯域応用に対しては優れた分散補正をもたらすが、広いスペ クトル帯に関して設計する場合には広く分離した２つの設計歩調え、及びλ。（ 典型的にはこれらの波長はそれぞれスペクトルの赤及び青部分内にある）を使用 することによってより良い性能を得ることができる。波長え、及びん。

の入射角をそれぞれθ、及びθ。とじ、退出角を同様にθ、゛及びθゎ゛とする 。また以下の設計パラメタを特定する。即ち、赤及び青天射光線間の分散角Δθ は △θ＝θ、−θ。　・・・（１２） また赤及び青光線のそれぞれの偏向角ψ、及びψ。はψ１＝θ、°−θ、　・・ ・（１３） ψ。＝θ。°−θゎ　・・・（１４） 格子方程式（４）を適用すれば、 ｎ　ｒ　’　Ｓｉｎ　ｅ　ｒ’　＝　ｎ　ｒｓ１ｎθ、　＋　Ｌ　／Ｌ　、・（ １５）ｎ＋＋’ｓＸｎθｂ　’　＝　ｎ　ｂｓ１ｎθ。＋λ、　／Ｌ　−（１６ １が得られる。ここにｎｒ及びｎ　ｒ　’はそれぞれ格子の入射角及び二 退出側の波長え、における屈折率値（先にｎｏ及びｎ０°で示したもの）であり 、ｎ、及びｎ　！、’は波長λ。に対する対応屈折率値である。格子形態は５つ の未知偵θ１、θ、、θ、°、θゎ、及びΔに関して５つの式（１２）−（１４ ）を解くことによって決定される。式（１２）−（１４）を用いて式（１５）及 び（１６）内のθ２、θ１゛、及びθ。゛を消去し、次で式（１５）と（１６） との間のΔを消去し、θ。に関して解くと・・・（１７） が得られる。θ１を与えれば式（１４）からθ、゛がめられ、次で式（１６）か ら八を決定できる。またθ、及びθ、°は式（１２）及び（１３）から決定され る。

広帯域用の格子を設計する場合、ファセットの側面形状は格子のスペクトル的に 平均化された回折効率のある尺度を最大にするように（昼光応用の場合の太陽照 射スペクトルのような適切なスペクトル重み付は関数を使用して）設計される。

前記の直ＩＩｉ！側面型の輝く格子側面形状は単一の設計波長における効率を最 大にするように設計されているが、広帯域応用の場合には湾曲したファセット側 面の曲率及びそれによって得られる性能長所の最適の程度は取るに足らないであ ろうから、実際には格子は帯域内平均効率を最大にするように選択した輝く波長 を有する簡単な直線状側面構造を有することになろう、（入射角及び波長の関数 としての輝く格子の回折効率は、一般的な効率公式（後述の式（３５））を使用 して予測することができる。）格子サブストレートの配向及び周期が（式（１７ ）、（１４）及び（１６）から）決定されると、スペクトル帯の中心付近に適切 な輝く波長を選択し、この波長の退出角θ゛を格子方程式（４）から決定し、そ して輝く条件（６）を使用してαを計算することによってファセット角αを限定 することができる。

回折効率 分散補償格子の設計を最適化し、その性能を完全に発揮させるためには、波長及 び入射角の関数としてのその回折効率を定量化できなければならない、ここでは 、次数が１で透過した放射エネルギの小部分として定義する均質格子の回折効率 のための一般的公式を説明する。（表面反射損失はこの効率係数には含まれない が、反射損失は本質的には普通の屈折レンズ表面の反射損失と同等でありフレネ ルの反射式から決定することができる。反反射被膜のような標準手段を使用して 格子表面における反射損失を弱めることができる。） 図６は以下の解析に使用される座標系を示す。格子側面は、 ｙ＝ｆ　（ｘ）なる関係によって限定される。ここにｆ　（ｘ）　＝ｘ　ｔａｎ ａ、但しｌｘｌ＜ｌ△／　２１　−＋１８＋ｆ（ｘ＋Δ）　＝ｆ　（ｘ）　＝ｉ １９１である。（前述のように、格子周期Ａは負の量として予め定義することが できる。）屈折率ｎは ｎ＝ｎｏ　、ｙ＜ｆ　（ｘ）に対して、及びｎ　”　ｎ　ｏｏ、ｙ＞ｆ　（ｘ） に対して　−＋２０１この解析では、入射ビームはｘ’ｙ面に平行な（即ち格子 線に垂直な）伝播方向を有して平行化されているものとし、またビームの偏波ベ クトルはｘ”ｙ面に１角である（横方向電気偏波の場合）ものとする、電界は複 素スカラ振幅分布Ｅで表わし、時間依存性ｅｘｐ（−４（２π／μん）ｃｔ）を 導関数に持つ、（１は時間軸であり、Ｃは自由空間光速であり、えは自由空間波 長である。）空間ｙ＜ｆ（Ｘ）内の電界はＥ＝Ａ＋ｅｘｐ（ｉΦ、１　（＋後方 散乱成分）ｙ＜ｆ　（ｘ）に対して　・・・（２１）の形状を有する。ここにＡ 、は入射電界振幅（Ａ、は一定）であり、Φ１は入射電界の位相分布であってΦ ｔｌｘ、　ｙ＝２ｉ−（ｘ　ｓｉｎθＯ＋ｙｃｏｓθ、１　・＋２２１え の形状を有する。θ。は格子サブストレートにおけるビームの入射角（図６）で ある、（式（２１）内の“後方散乱成分”は反射した回折次数であるが、この解 析のためには興味がない、） 一般的に１分散補償格子の周期Ａは波長λより少なくとも１または２桁大きく、 従って格子ファセットの真近の電界はΔが無限大に近づ（限界においてそれが取 る形状によってかなり正確に表わすことができる。この限界では、透過した電界 は平行化ビームの形状を有し、その伝播角θｔ（図６）は格子表面においてスネ ルの法則を適用することによって決定される。

ｎ０°ｓｉｎ　Ｉθ、＋α）　＝ｎａ　５ｉｎ（θ。＋α）　・・・（２３）透 過電界のこの表示法は、普通のフレネルレンズのファセット側壁の近傍に発生す るシャドウィング効果及びブロッキング効果に類似した縁散乱効果によって電界 の平面波形が乱されるようなファセット境界の真近では有効ではない、しかしこ れらの効果は一般に、格子の極めて低い側面ファセット構造のために無視できる 。（分散補償格子では、ファセット角αは典型的には２．３度またはそれ以下の 範囲である。）スネルの法則による透過した電界の平面波の式〔式（２３））は 、多くの格子ファセットの口径回折パターンが重なり合うような格子表面から離 れた領域内においても有効ではないが、上記の式がｙ＝１△／］ｔａｎαにおけ るファセットビークのレベルまで成立するものと考えているに過ぎない。特定格 子ファセットの真近の透過電界を近似的に Ｅ　−−Ａ　ｔｅｘｐ　（ｉΦ、）、ｌ　ｘ　ｌ　＜ＩＡ／２　ｌ及びｆ　（ｘ ）＜ｙ＜ｌΔ／２１ｔａｎａに対して　−（２４１で表わすこととする。但しＡ ｔは透過電界の振幅であり、Φ。

はその位相分布であって （格子ファセットの真近の反射電界も同様に、格子表面に反射の法則を適用によ って伝播方間が決定される平行化ビームとして近似的に表わすことができる。透 過電界振幅Ａ、及び反射振幅は、格子表面の電界及びその導関数に連続条件を適 用することによって決定できる。しかしこの解析の目的から反射効果に興味はな く、透過したエネルギを解析次数間に如何に割当てるかを決定することに係って いるので、Ａｔを未決定のままとする。） 格子の周期的対称の結果として、格子領域の外側の透過した電界を Ｅ：ΣＡｓ’ｅｘｐ（ｉΦ１°） ｙ＞ｌΔ／２１ｔａｎα　に対して　・・・（２６）の形のレイリーの展開によ って表わすことができる。但しＡ、゛はｍ番目の透過次数の振幅であり、Φ、° はその位相分布であって、 ・・・（２７） θ、°はｍ次伝播角であって、格子方程式によって次のように決定される。

ｎ０°ｓｉｎ０ｍ”　＝　ｎ　ｏｓ１ｎθ。＋ｍλ／Δ　・・・（２８）面ｙ＝ ｌ△／２１ｔａｎａに衝突する合計透過東はｌ　Ａ＝’ｌ”δΦ、／ａｙに比例 し、これはｌ　Ａｔｌ”ｆ２　ｘ　ｎ、’／λｌ　ｃｏｓθ。

に等しい。またｍ次数でこの面を去る束はＩＡ、１２ａΦ１゛／ａｙに比例し、 ｌ　Ａｍ’ｌ”　（２ｘｎｏ°／λ）　ｃｏｓθヨ゛に等価である。

ｍ次回折効率ｎｍ　（ｍ次内の束の合計透過東に対する比）はレイリー係数Ａ、 ゛は、ｙ＝ｌΔ／２１ｔａｎａにおいて式（２４）と（２６）を等しく置くこと によって推定できる。

Ａｓ　ｅｘｐ　［＋Φ、）＝ΣＡａ’　ｅｘｐ（ｉΦ１゛）ｙ＝ｌΔ／２１ｔａ ｎαに対して　・−＋３０１この式の両辺にｅｘｐ（−ｉΦ１′）を乗じ、Ｘニ ーム／２からＸ＝Δ／２まで積分することによってＡ　ｒ　’の式が得られ、そ れを式（２９）に代入すると またレイリー系数は、ｙ＝ｌΔ／２１ｔａｎａにおけるａＥ／ａｙに連続条件を 適用することによっても推定できる。

ｙ＝ｌ△／２１ｔａｎａに対して　−（３２１この条件から出発して、余弦項を 変換したことを除けば式（３１）に似た回折効率推定をめる。

・・・（３３） 格子領域における（２４）による透過電界の式において行った簡易近似の結果、 効率は式（３１）と（３３）とでは精密には一致していないが、１Δ１）λの場 合これらの式中の５ｉｎｅ”項はθ、がθヨ′にほぼ等しい時に重要な大きさに なるだけであり、この場合には余弦項が実際的に等しくなる。従って余弦項間の 差は省略でき、回折効率を ７７ｍ＝Ｓ１ｎｅ・（（に。（３，。θ１，３．。ｅ、・１１　−１３４）λ として表わすことができる０ｍ次゛輝く条件”θ、゛；θ、を満足させれば（即 ち、格子方程式（２８）によって限定されるｍ次回折角θ、“が、格子ファセッ ト表面にスネルの法則（式％式％（７） （２３））を適用することによって限定され葛屈折角θ、に一致させれば）、η 、は最大となり、１に等しくなる。

式（３４）と（２８）との間のｓｉｎθ、°項を消去することによって、η１の 別の式が得られる。即ちλ。

η、・５ｉｎｅズ（πｆ−−ｍ））　・・・（３５）λ 但し、λ、は λ、＝Δ（ｎａ’　ｓｉｎθｔ−ｎｏＢｉｎθ６）・＋３６）によって限定され る“輝く波長“である、（Δの符号は便宜的に１口が正の量となるように限定さ れる。）回折ジオメトリが固定されている場合にはえ、は一定であり、１次の効 率はえ＝λ１である時に最大になる０式（３５）から、効率公式（３４）はエネ ルギ保存の関係 Ση１＝１　・・・（３７） を満足することになる。

分散補償格子は必ずしも１次（もしくは−１次）回折次数で動作させる必要はな い０式（３５）によれば、輝（波長λ、；ｍλを選択することによって、どの特 定設計波長においてもｍ次において高い回折効率を得ることができる。しかし高 い回折次数を用いると、回折帯域中が極めて低くなるので、実際の分散補償格子 では１次（もしくは−１次）で動作させる必要があろう。

円錐回折ジオメトリ 上述の解析は、入射ビームの伝播方向が格子線に直角であるような平面回折ジオ メトリのみに適用される。（回折効率を誘導するのにも横方向電気偏波を仮定し ている。）より一般的な場合に関しても図６に示す回折ジオメトリを考えるが、 入射ビームの伝播方向は図の面（即ち格子線に直角な面）に対して角φだけ傾斜 しているものとする。格子線に平行に走るＺ軸と共に第３の座標２を導入し、入 射媒体中の電界ベクトルＥをＥ＝Ａ＋　ｅＸｐ　（ｉΦ、＋　（＋後方散乱成分 ）、ｙ＜ｆ（ｘ）に対して　・・ｆ３８＋ ここでＡ、は入射電界の振幅幅ベクトルであり、Φ、はその位相分布であって Φｌｌ　ｘ、ｙ、　ｚ＝　２　π”−（［ｘｓｉｎθｏ＋ｙｃｏｓθｏ）−ｃｏ ｓ　＊＋ｚ　ｓｉｎφ１え ・・・（３９） の形状である。但し、θ。は入射ビームの投影された伝播角（即ち、サブストレ ート垂線つまり図６のｙ軸と図６の面内のビームの伝播方向の投影とがなす角） である。

特定ファセットの直近の透過電界は屈折された平面波の近似形 Ｅ　ｚ　Ａ　ｔｅｘｐ　（ｉΦ＋）、ｌ　ｘ　ｌ　＜　ｌ　Ａ／　２　ｌ及びｆ 　（ｘ）＜ｙ＜ｌΔ／２１　ｔａｎ　ａに対して　・（４０１を有する。Ａｔは 透過電界の振幅ベクトルであり、Φ、はその位相分布である。即ち Φｔ　ｌｘ、ｙ、　ｚ＝　２７Ｃ−”−（（ｘｓｉｎθ、＋ｙｃｏｓθＪ、ｃｏ ｓφ’＋ｚｓｉ。φ°）λ ・・・（４１） 図６の面に対する透過電界の伝播方向の傾斜◆°、及び同図の面内のその投影さ れた伝播角θ、は、以下の一般化されたスネルの法則関係によって決定される。

ｎｏ’　１ｌｉｎφ’　＝　ｎ　ｏ　Ｓｉｎφ　・＋４２１ｎｏ’５ｉｎ（θ、 ＋（２１ｃ０８φ’　＝ｎｏＳｊｎφ（θ。÷ａｌｃｏｓφ・（４３）格子領域 の外側では、電界は一般化されたレイリーの展開の形状を有する。

Ｅ＝ΣＡｍ’ｅｘｐ　ｆｉΦ、’ｌ　・＋４４まただし、Ａ、“はｍ番目の回折 次数の振幅ベクトルであり、Φ１゜はその位相分布である。

回折した光線は次数の共通傾斜角Φ°によって限定される円錐扇形を形成する０ ｍ次の投影された伝播角θ１゛は一般化された格子方程式 ％式％ によって限定される。（回折次数の傾斜角φ゛の分散はスネルの法則（式（４２ ））のみによって決定され、従って格子によって影響または補正することはでき ないから、典型的には円錐回折ジオメトリに分散補償格子が遭遇することはない 、しがし若干の光学形態では格子表面における屈折によって誘起する分散φ“は 別の光学素子内の分散によって相殺することができるかも知れないので、分散補 償格子を円錐回折モードで動作させることができる。） 前述の解析に似た解析によってｍ次回折効率ηｍの一般化した公式が得られる。

ｎ　ａ　＝　５ｉｎｃ”　（π−Ａ　（ｓｉｎθｔ−５ｉｎθ、’１ｃｏｓφ’ ）　−１４７）λ または等測的に 但し、輝く波長λ、は え３　：Δ　（ｎｏ’　ｓｉｎθｔＣＯ３φ’　ｎｏｓｉｎθｏｅＯ３φｌ−＋ ４９１によって限定される。

非均質格子設計手順 上記解析は均質格子構造からの平行化ビームの回折のみを考えている。このモデ ルは格子上の如何なる小さい局所化された領域の非均質格子の回折特性もかなり 正確に表わすことができる。しかし一般的な設計目的のためには、局所化された 均質格子ジオメトリの連続体を継ぎ合わせることによって設計を図るのではなく 、非均質構造に直接適用される設計手順を使用する方が便利であろう。以下に説 明する一般化された設計手順は、位相整合原理の翻案を使用する。

この手順を導入するために、先ず普通の屈折レンズ表面を設計する簡単な問題に 対してどのように位相整合原理を適用できるかを考える。入射及び屈折ビームの 設計ジオメトリは、位置座標の関数であるそれらの位相分布Φ及びΦ“によって 限定される。ビームの急回学的波面は定位相の表面であり、また懸回学的光線は 位相勾配に接する軌線である（即ち、波面に垂直である）０図７において、レン ズ表面２２の近傍の任意の点Ｐに関して、入射ビームの位相分布φは、Ｐへの入 射ビーム内の指定された参照波面２３から光学的位相距離Φ１２（即ち、２πＸ 波長数）を限定する。同様に、屈折ビームの位相分布Φ°は。

Ｐへの入射ビーム内の指定された参照波面２４からの位相距離をΦ１２を限定す る０便宜上、位相関数の符号は、関数がビームの伝播方向に増加するように選択 する。従ってレンズの近傍においてはΦ′は負である。懸回学的距１ｔＬ及びＬ ’　（図７参Ｍ）に関して、光学的位相距離ΦＩＰ及びΦ“）２はとして限定さ れる。え。及びえ。“はそれぞれレンズの入射側及び退出側の波長である。（式 （２）はえ。及びん。°を自由空間波長え、及び入射及び退出光学媒体の屈折率 ｎ０及びｎ０°に関して定義している。）両位相分布は表面の両側の空間をカバ ーするためにレンズ表面２２を横切って伸ばされている（図７に破線波面で示す ）。

位相分布は、定数を加えることによって何れかの分布を変化させても、その分布 によって表わされるビームの構造に影響を与えることなく単に参照波面の位置を 移動させるに過ぎないから、かけがえのないものではない０図７の光学表面があ る光学システムの成分であれば、位相Φ及びΦ°はシステム内の他の光学素子を 横切る可能性があり、参照波面はシステムの外側に位置するであろう、（反射表 面の前面空間におけるように、ビームがそれ自体を横切るような領域では、位相 分布は多値であろう。）一般に、点ＰにおけるΦまたはΦ°の値は、光線が横切 る異なる光学媒体の光線セグメントの中の参照波面とＰとを結ぶ光線区分に和光 学的位相長を加え合わせることによって計算される。（もし光線が格子素子によ って遣えぎられれば格子が光線を遮えぎる点において発生する不連続位相跳躍も 計算に含ませなければならない。透過格子を横切る位相の不連続の計算方法は後 述する。） 図７のレンズ表面２２上に位置する任意の一般点Ｐに関し、Ｐを通過する光線は 参照波面２３と２４との間の合計位相距離（Φ−Φ’）ｌ、を走行する（表示法 “（Φ−Φ′）ＩＰ”は点Ｐにおける関数Φ−Φ′の値を表わす）。位相整合原 理によれば、この位相距離は波面を結ぶ全ての光線セグメントと同一でなければ ならないから、関数Φ−Φ°はレンズ表面全体に亘って一定の筈である。

（Φ−Φ’＋　１．＝レンズ上の任意の点Ｐに対してＣ・・−（５１）Ｃは固定 された定数である。従って、レンズの形状はレンズ表面上の任意の特定点Ｐ。の 位置を特定し、任意の他の表面点Ｐにおける位相関数Φ−Φ゛をＰ。におけるそ の値に等しくすべきものと規定することによって決定できる。即ち、表面はレン ズ上の任意点Ｐに対して　・・・（５２）なる関係によって限定される。

異なる格子の設計に対しても位相整合原理を適用できる。再び入射ビーム及び回 折ビームをそれらの設計位相分布Φ及びΦ′　（特定の設計波長に対する）によ って特定し、先ず格子サブストレートのジオメトリも特定されているものとする 。

（“格子サブストレート”とは格子みぞに接する仮想の滑らかな表面のことであ る。この表面はどの波長尺度領域に亘ってもこの表面が実質的に平坦である点で “滑らか”なのである。）前述の均質格子の場合のように、設計は２段階で遂行 される。

先ず各ゾーン境界上の位相間数Φ−Φ°がその境界では一定となり、また隣接境 界の間で２πだけ異なるように、格子サブストレートをファセットゾーンに区分 けする。（均質格子の場合には、この条件が格子周期Δを決定する。）ファセッ トゾーンジオメトリは回折ビームのジオメトリを決定し、特定ゾーン構造は主回 折次数（これは１次または一１次であろう。もし隣接ゾーン境界間の相差が２π ｍであればｍまたは−ｍ番目の回折次数）の特定ビームジオメトリを生成する。

ファセットゾーン構造を限定した後、各ゾーン境界がファセットゾーン表面の境 界（その上ではΦ−Φ′が一定）を限定することを特定することによって、ファ セット表面ジオメトリを限定する。（この条件は、均質格子の場合にはファセッ ト角αを限定している。）ファセット表面形状は回折次数間のエネルギ分布を決 定し、この特定が主次数における効率を最大にする。

図８の格子設計の拡大部分２５には格子表面を示しである。

ｆｌ、＝Ｏ，サブストレート上の任意点Ｐに対して　・・・（５３）の形の関係 によって格子表面２６を限定する。ここにｆは位置座標の特定関数であり、ｆｔ ｐは点Ｐにおけるその値である。設計の第１段階は、サブストレートを複数のフ ァセットゾーンに（例えば図８のゾーン２７に）仕切ることである。各ファセッ ト面はゾーン境界２９の１つ上でサブストレートと交叉する。

これらのファセットゾーンは、位相関数Φ−Φ°が各ゾーン境界では一定となり 、隣接境界間では２πだけ異なる条件によって限定される。従って各ゾーン境界 上のΦ−Φ゛の値は２πｍ＋ｃ　（ｍはその境界に対応付けられたある整数、Ｃ は定数）となる、整数ｍはこれらのゾーン境界及び関連交叉ファセットを分類す る指標を識別するのに役立つ、従って格子ゾーンジオメトリの仕様は ｆし＝０及び（Φ−Φ’）　ｌｐ＝　２　ｘ　ｍ　＋　Ｃ境界ｍ上の任意点Ｐに 対して　・・・（５４）と表わすことができる０式（５４）の２つの関係は２つ の表面（図８に破線で示す）を限定し、その交差は境界ｍを限定する。（上記仕 様のＣには任意の値を選択してよい、）各ファセット側壁３０（図８）はゾーン 境界２９と交差し、サブストレートを横切る大よそ直線状の側面を有していて差 支えない、側壁の詳細形状及び配向は実際的な配慮から決定してもよいし、より 精巧な光学的解析によって最適化してもよいが、もし格子ファセット角が小さい のであれば側壁ジオメトリは光学的性能に重大な影響を及ぼすものではない。側 壁ジオメトリに賦課される唯一の普遍的要求は、その側面３０をファセット表面 の側面２８（図８）に対して極めて短か（すべきであるということである。

各ファセット面２８（図８）は相隣る２つの側壁によって境界を画されており、 これらの境界間のファセットｍの表面の形特表平５−５０９１７１　（９） 状は位相整合条件によって限定される。

（Φ−Φ’ｌ　Ｉ、＝　２πｍ＋ｃ ファセット面ｍ上の任意点Ｐに対して　−＋５５）（式（５５）によって限定さ れるファセット側面形状は一般に入射ビーム及び回折ビームの波面曲率に起因し て僅かに湾曲しているが、レンズ工具を簡易化するために理想的な設計側面に接 するほぼ同等な直線状側面を少な（とも格子の高周波数領域に使用しても、多分 光学的性能を重大に損うことはあるまい。） 上記設計手順は、特定の設計波長において入射ビームを特定形状の退出ビームに 効率的に回折させる格子構造を限定する。

〔式（５４）によって限定される格子ゾーン構造は回折ビームジオメトリを決定 し、式（５５）によって限定されるファセット表面形状は主回折次数における効 率を最大にする。）もし格子サブストレートの形状が予め定められていなければ 、この余分な自由度によって少な（とも２つの波長の無色結像を達成するための ゾーン構造を設計することができる。先ず、極めて接近した２つの波長え、及び λ１＋δλ（δλは微小量）に対して、如何にしてこれが達成できるかを考えよ う６位相分布Φ及びΦ°はλ１を含むあるスペクトル帯に亘って波長の関数とし て限定される。入射位相関数Φは格子に先行する素子によって誘起される色分散 効果を考慮してお（ことができ、また回折位相関数Φ°は格子に統く素子が誘起 する分散を補償するように限定することができる。即ち、格子は他の光学素子に よって誘起される分散の他に、格子素子自体において屈折により誘起される分散 も補償できる。

式（５４）の条件を波長λ１に適用すればｆ　ｌＰ＝　Ｏ及び（Φ−Φ’］ＩＰ 、　λ、＝　２　ｉ　ｍ　＋　ＣＩ　Ｌｌ・・・（５６） が得られる。”定数”項Ｃはこの場合波長に依存させることができる。（添字“ Ｐ”及び“λ、”は、これらの関数が評価される位置Ｐ及び波長λ１を表わす。

）波長え、＋δえに関しても補償条件 境界ｍ上の任意点Ｐに対して　−・・（５７）をめる。式（５７）と式（５６） の第２式との差を取ってδλで除し、δλ−〇の限界を取れば 境界ｍ上の任意点に対して　・・・（５８）が得られる。

式（５８）は、もしサブストレートの定義関数ｆをによって定義すれば、式（５ ３）と一致しよう。定数項ｄＣ／ｄえ１λ、はサブストレート上に任意の特定点 Ｐａの位置を特定しこの点において条件（５３）を規定することによって決定で きる。次で式（５９）を ％式％（６０） に変える。Ｐｏは特定済みであり、サブストレートジオメトリは式（５３）によ って限定され、格子ゾーン境界は式（５６）によって限定され、そして設計波長 の回折効率を最大にするなめに波長λ１における条件（５５）を適用することに よってゾーンｍ内のファセット形状を限定することができる。即ち（Φ−Φ’＋ １　＝２πｍ＋ｃｌλ。

Ｐ、え、 ファセット上の任意点Ｐに対して　・・・（６１）（式（５６）及び（６１）の 定数項０１え、の値は任意に選択してよい、、） 広いスペクトル帯に対して格子ジオメトリを最適化するには広く離れた２つの設 計波長え、及びλ。を使用することによって改善された分散補償性能を得ること ができる。条件（５４）の第２式をゾーン境界に適用することによって（Φ−Φ ’＋１　＝２πｍ＋ＣＩえ。

Ｐ、λ２ 境界ｍ上の任意点Ｐに対して　・・・（６２）なる条件が波長ん、に関して得ら れ。

（Φ−Φ’＋１　＝２πｍ＋ＣＩλ。

Ｐ、丸。

境界ｍ上の任意点Ｐに対して　・−・（６３）なる条件が波長λ。に関して得ら れる。ＣＩえ、及びＣ１え。

は波長λ、及びλ。に対応付けられた独特な定数である０式（６２）及び（６３ ）は、もしサブストレートの定義関数ｆを ｆｌ：（Φ−Φ’）ｌＰ、え：（Φ−Φ’）ｌＰ、え、ｉ　Ｃｌえ；Ｃｌｔ、） ・・・（６４） によって定義すれば式（５３）と一致しよう０式（６４）内の定数項（ＣＩえ、 −０１λ。）は、サブストレート上に任意の特定点を特定しこの点において条件 （５３）を規定することによって決定できる０次いでｆを ｆ＋　＝（ｆΦ−Φ’＋１　−（Φ−Φ’）ＩＰ、え。）ＰＰ、λ。

−（（Φ−Φ’＋１　−（Φ−Φ°）１．。、え、）Ｐ、、Ｌ。

・・・（６５） に変え、サブストレートジオメトリを式（５３）によって限定する。このように ｆを定義することによって式（６２）及び（６３）は冗長となるとで、格子ゾー ン境界は式（５３）と条件（６２）または（６３）の何れかとの組合せによって 限定することができる（定数項ＣＩえ、またはＣ１λ、に任意値を使用）。

格子の残留分散を決定するには、格子構造の使用及び入射位相分布Φを与えて任 意の一般的波長λに関して屈折ビームの位相分布Φ゛を計算可能ならしめる必要 がある。主回折次数のビームジオメトリは位相整合条件 （Φ−Φ’＋１　＝２πｍ＋Ｃｌλ Ｐ、え 境界ｍ上の任意点に対して　・・・（６６）によって限定される。Ｃは波長の任 意関数である０式（６６）はファセット境界上のΦ゛を暗示的に限定する。（式 （６６）によって限定される位相分布Φ°と、波長え、及びえわにおけるその予 め限定された値との間の一致を維持するために、λ＝λ、及びλ＝λゎの場合の ０１λの値を式（６２）及び（６３）内の（直Ｃ１λ、及びＣ１λ１と一致させ るべきである。）Φ゛はファセット境界間を滑らかに補間することができる。も し格子構造を上述の２波長分散補償手順によって限定すれば、Φ°１１．えは式 （６６）と式（６２）または（６３）の何れかとの間の２πｍ項を消去し、得ら れた同値をサブストレート全体に拡張することによって格子サブストレート上に 暗示的に限定できる０例えば式（６２）を用いてＰ、λ　λ　−Ｃ１ （Φ−Φ’＋１　−ＣＩ　＝（Φ−Φ’＋１．え、　え、サブストレート上の任 意点Ｐに対して　・・・（６７）が得られる。但し、φ゛１１．え、は予め定め られている。

（均質格子の場合とは対称的に、一般的な非均質格子の回折した電界内の１次ま たは一１次回折次数を識別し、区別するための精密な数学的基準は存在しない、 しかし、局所的な格子ジオメトリが実質的に均質であるサブストレートの任意の 小領域では、上述のように限定された位相分布Φ°は主次数の位相と一致する。

ファセット境界間を“滑らかに補間する”方法は、“実質的に”均質であるとす る局所的格子ジオメトリの記述も不明確であることだけが不明確である。ファセ ット側面寸法が格子開口寸法、及びサブストレート、ファセット境界及び入射波 面の曲率半径に比して小さければ、この記述に伴うあいまいさは生じない、） 格子サブストレート上のΦ°が決定されれば、回折ビーム全体に亘るその価は容 易にめることができる０図９において、サブストレート３２上の点Ｐから発する 回折光１１３１（任意の特定波長λ）の方向はＰにおける勾配ベクトルΦ゛（“ は位置座標に対する勾配演算子である。この勾配ベクトルΦ゛は図９に３３で示 されている）に平行である。Φ゛がサブスト計手順を幾分か一般化することがで きる。この−膜化を適用する際には、所望の出力位相分布をＬ　ｒ＋λ塾とを含 む全波長範囲に亘って限定することになろう、しかし、単一の格子素子で利用で きる自由度では出力位相関数を２波長より多くにおいて予め定めることはできな いから、利用出力位相分布Φ′理想と実際の位相分布Φ°とを区別しなければな らない。

式（６５）の代りに、一般的にサブストレートの定義関数ｆをｆ　Ｉ　”（（Ｏ Ｏ’　Ｅｌ！！り　’　Ｐ、　（Ｌ−１ｐ　ｌｐ −（４１−４＋’理想）ｌ、（λ。１．）−（（ｏ　−ｏ°理ｐ）　ｌ　ｐｏ、 　（ｚ　、ｌ、。１−　（４１−４）°理想）’ｐｏ、ｆχ。１．。）・−（７ ０１ によって限定する。ここではり、及びλ。の依存性が明示されている０式（６２ ）を−膜化する、即ち一２πｍ＋Ｃｔ （＠−４１’理想）ｌｐ、（λｔ１．「境界ｍ上の任意点Ｐに対して　・・・（ ツー）によってファセットゾーン構造を限定することができる。但しＣ１は固定 された定数である。（式（６２）の定数項Ｃ１λ１（Ｃは波長の滑らかな関数） の形状の位置の弱をｃｌ、え、ＩＰ） （変化する関数に置換することができるが、この−膜化によって得られる余分な 自由度は既にλ、の波長依存性によって与えられているので定数Ｃｒを単にＣ１ λ、に置換したのである。）サブストレートジオメトリ及びゾーン構造が限定さ れると、回折ビームの実際の位相分布Φ°が式（６６）によって暗示的に決定さ れる。（式（６２）及び（６６）のΦ°関数が同一であるためには式（６２）の ＣＩＬ、と式（６６）のＣ１え、が矛盾なく限定されている必要があるが、式（ ７１）と（６６）ではΦ゛及びΦ理想が区別されているのでこのような一致は必 要でない、） 次で式（６９）を−膜化する、即ち ＝２ｉｍ＋Ｃｌ　（λ、１．） （Φ−Φ’）Ｉ、（え、１．） ファセット面ｍ上の任意点Ｐに対して　・・・（７２）によってファセット表面 ジオメトリを限定できる。（Ｃは随意に定義した波長の関数でよいが、式（６６ ）及び（７２）と矛盾なく限定すべきである。） 一般的仕様 上述の設計手順は、システムの設計形態（格子自体を除（）が既に特定されてい ることを条件に、システムの色分散を最小にするような光学システム内で機能す る格子素子の設計に適用できる。実際には、光学システムの設計形態は通常予め 定められておらず、格子設計と共に同時に最適化されるであろうから一般的には より精巧な設計方法を使用する必要があろう、しかし、上述した設計原理は本発 明を明確にし、他の格子応用と区別するのに役立つであろう、この目的のために 、設計形態が特定されている光学システムの成分を形成する分散補償格子を考え 、その格子素子の形状及び機能を特定する上で格子に先行または後続する何等か の光学素子に関する設計仕様を使用する。

光学システムは、最も簡単な形態では、格子素子自体のみからなり得る。一般的 には、格子がシステム内の唯一の分散補償素子を構成している必要はない。例え ば、システムは２またはそれ以上の分散補償格子を直列に使用して高レベルの分 散補償を達成することが可能であり、その場合各素子には以下の仕様が独立的に 適用されよう。

格子は、屈折性光学素子の表面に浮彫りパターンとして形成される。ここでは“ 屈折性光学素子”とは透過性素子であり、格子と共に格子表面の二次的な分散補 償機能とは区別される一次的な光学的機能を遂行するが、−次的機能だけは格子 表面の代りに普通の屈折性表面を用いて達成することができる。この機能的な区 別を明確にするために、格子と、格子が形成されている屈折性素子との間の構造 的な区別を次のように限定することができる（図１０９照）。屈折率ｎ０及びｎ ０°を有する２つの光学媒体を分ける格子表面３６を考える。この格子は屈折率 ｎ０の媒体内のサブストレート３７と屈折率００°の媒体内のサブストレート表 面３８との間の空間の領域からなる薄膜素子として考えることができる。格子の 屈折率ｎ０側上の光学素子は分離した普通の屈折性素子と考えることができ、そ の表面はサブストレート輪郭３７によって限定される。（格子はこれらの２つの 素子の間に挟むことができる。）屈折性素子は薄い（即ち厚みＯ）の間隙（その 中の屈折率はｎ０′）によって格子から物理的に分離されているものと考えるこ とができる。例えば屈折率がｎ。の媒体から格子に衝突する光線は、２つの手段 によって、即ち始めに光線が屈折率ｎ０°の間隙に進入する時に純粋に屈折性の 手段によって、次いで光線が格子を通って屈折率ｎｏ’の退出媒体内へ進む時に 純粋に回折性の手段によって、偏向させられる。このようにして、格子及び屈折 性素子は組合って屈折及び回折の両方の一次光学機能を遂行する。（典型的には 、格子はそれらの組合せ光学能力に限界的に貢献するに過ぎないから、−次光学 機能だけならば、格子を除去し屈折性素子の表面ジオメトリを若干変更すること によって達成することができる。）この−次機能を遂行する他に、格子はそれ自 体の回折によって誘起する分散を介して二次的な分散補償機能（例えば、屈折性 素子内の屈折により誘起する分散の平行）も遂行する。

以上の説明では、格子表面の二次的な“分散補償機能“とは一般的に、光学シス テムの出力ビーム内の色分散を、格子表面が最適に形成された普通の屈折性表面 に置換された時に得られるレベルよりも遥かに低いレベルまで減少させることと 定義している。この定義は、格子がその上に形成されている屈折性素子が普通の 無色ダブレット（その−次的機能は色分散の軽減を含む）の一部を構成している 場合でさえ、格子の一次的及び二次的機能を区別する。（例えばダブレットは２ 波長色補正を可能とするべく設計に充分な自由度を与えるように機能でき、一方 格子は３波長色補正を達成する充分な付加的な自由度を与えるように機能できる 。） 光学システムは、特定された空間的にコヒーレントな多色入射ビームを、これも また実質的に空間的にコヒーレントな（考え得る設計変更の範囲内で可能な程度 に）出力ビームに導くように機能する。入力ビームは、システムの最初の光学表 面に先行するビームの通路の部分内の任意の特定点が１つの（多色）光のみによ って横切られることから“空間的にコヒーレント”なのである。従ってこれらの 各点は単一の入射波面をも遮ぎり、入力ビームジオメトリを限定する際の基準と して・この波面の１つを使用する。

入力ビームを空間的にコヒーレントとして特定する際に、実際の動作状態の下で システムが空間的に非コヒーレントなビームを受け入れるように機能するかも知 れないという確率を排除するのではなく、システムの分散補償メカニズムは、シ ステムに良好な分散補償性能を呈させようとしている特定の空間的にコヒーレン トな入射ビームに関連してのみ特定することにす−る。（例えば、直接日光を集 束するように設計されているシステムの分散特性は、太陽円板の中心の点から発 する完全に平行化された入射ビームに関連していることを特徴とする。）“多色 ”ビームは、２波長しか含まない、または連続した波長帯からなる指定された設 計スペクトル内の１またはそれ以上の波長の放射を含む。システムの色分散効果 のために、ビームの異なる色成分は一般的にシステムを通るビームとして発散し 、分散補償素子は出力ビーム内の色分散を最小にするためにこの効果を相殺する ように機能する。実際には、出力ビームは一般的にある残留分散を呈するが、こ こではシステムを、もし色分散を除去することができればシステムが入力ビーム を理想的に導くような、特定の無分散（即ち空間的にコヒーレントな）多色出力 ビームに関して説明する。（出力ビーム内の色分特表千５−５０９１７１　（１ ２） 敗は企図した目的には役立たず、もし残留分散が出力ビーム内に存在しなければ システムの光学的性能は最滴化され、また実際の出力ビームは特定の理想的ビー ムジオメトリに合致するようになる。）システムの最後の光学素子の後の特定波 面は、理想的な出力ビームジオメトリを限定するための基準として働く。

入力ビームはその位相分布Φ（これは位置座標及び波長の関数である）に関して 特定される。設計スペクトル内の任意の特定波長えに対して、Φ１１．え＝Ｏの 関係を満足する点Ｐの集合は入力参照波面に合致する表面を限定する。この関係 が全ての波長先のための共通波面を限定することを規定することによって、入力 ビームが空間的にコヒーレントであることを暗示的に特定するものとする。Φは 入力参照波面と格子表面との間の領域全体を限定することになる。参照波面ジオ メトリの仕様から、波面から光学システム内へ光線を追跡することによって、こ の領域内のどの点におけるΦも決定することができる。格子近傍のΦの形状は格 子に先行する全ての光学表面の設計仕様に依存し、またそれらの色分散特性には Φの波長依存性が影響する。

理想的な出力ビームは、その位相分布Φ理想に関して限定される。ΦＢ！！！” 、　’　Ｐ、え＝０となる関係（設計スペクトル内の任意の波長λに対して）を 満足する点Ｐの集合は出力参照波面を限定する。この関係が全ての波長んの共通 波面を限定することを規定することによって、出力ビームが（理想的に）無分散 であることを暗示的に特定するものとする。Φ°理想は格子表面と出力参照波面 との間の領域全体を限定する。参照波面ジオメトリの仕様から、波面から光学シ ステム内へ光線を逆追跡することによって、この領域内のどの点におけるΦ°理 想も決定することができる。格子近傍のΦ°理想の形状は格子に続く全ての光学 表面の形態に依存し、またそれらの色分散特性はΦ°理想の波長依存性に影響さ れる。

システムが実際に発生する出力ビームは、格子表面と出力参照波面との合いの領 域全体を通して決定されるその位相分布Φ″によって限定される。Φ°は格子を 通るビームから光線追跡によって計算できる。

格子構造は、先ずサブストレートジオメトリを限定し、次でサブストレートをど のようにファセットゾーンに仕切るかを限定し、そして各ゾーンに亘ってファセ ット表面ジオメトリを限定することによって特定される。サブストレートジオメ トリ及びゾーンジオメトリは、格子が入射ビームを出力ビームの特定形状に実質 的に整合する主（１次または一１次）回折次数に回折させるように限定され、フ ァセット表面ジオメトリは主次数における回折効率を最大にするように決定され る。

サブストレートジオメトリは、位相関数Φ−Φ゛理想を実質的にある滑らかな関 数Ω（位置のみに依存する）とある関数Ｃ（波長のみに依存する）の和としてサ ブストレート上に表わすことができるように決定される形状を有している。即ち （Φ−Φ°理！りｌ、、え　〜ΩＩ、＋Ｃｌえサブストレート上の任意点Ｐ及び 設計スペクトル内の任意波長λに対して　・・・（７３）（式（７３）及び以下 に示す他の関係に用いる“二”記号は、後述する意味で“実質的に等しい”こと を意味する。各ゾーン境界は、ΩＩＰが２πｍに等しいサブストレート上の点Ｐ の軌跡として限定される０ｍはその境界に対応付けられたある整数であり、ゾー ン境界を分類する指標を識別するのに役立つ。

Ωｌ　＝２πｍ、境界上の任意点Ｐに対して　・・・（７４）サブストレートの 形状及びゾーン構造の仕様を与えれば、回折ビームの位相分布Φ′は式（６６） によってゾーン境界上に暗示的に限定される。

（Φ−Φ’）　ｌｐ、　Ｌ　＝２１ｍ　＋　ＣＩ　１境界ｍ上の任意点Ｐに対し て　・・・（７５）式（７５）の開数Ｃは式（７３）の開数Ｃに対応するように 選択する。ゾーン境界間を保管することによって、Φ°は次の関係によってサブ ストレート全体に亘って暗示的に限定される。

（Φ−Φ’）ｌ、λ＝ΩｌＰ＋Ｃｌλ サブストレート上の任意点Ｐに対して　・・−（７６）式（７３）と（７６）と の差を取れば、特定格子構造が主回折次数を発生することが解る。主回折次数の 位相誤差（Φ゛−Φ’理、）はサブストレート全体に亘って実質的に消滅してい る。

（Φ′　−Φ゛理、！ｌり　ｌＰ、ん＝０サブストレート上の任意点Ｐ及び 設計スペクトル内の任意波長λに対して　・・・（７７）従って、回折ビーム全 体から位相誤差が実質的に消滅する。

もし格子サブストレート構造ジオメトリを正確に式（７３）の条件を満足するよ うに選択できれば、回折ビームの位相分布はその理想的形状Φ゛理想精密に整合 し、光学システムの出力ビームから色分散が完全に除去される。しかし一般的に は、この条件を正確に満足するサブストレート形状の選択に利用可能な充分な自 由度は存在しないから、条件（７３）に近づけるためにはある整理が必要である 。

サブストレートの設計条件（７３）は、設計スペクトル内の任意の２波長λ、及 びん１間の位相関数の差（Φ−Φ’　理！りが実質的にサブストレート上の位置 Ｐには無関係であることを規定することによって透過的に述べることができる。

即ち（Φ−Φ−！！ｌ　ｌｐ、　ｔ；ｆΦ−Φｉ想１１Ｐ、Ｌ、〜ＣＩＬ、−Ｃ Ｉえ。

サブストレート上の任意点Ｐ及び 設計スペクトル内の任意波長り、及びλ８に対してこれは式（７３）から直接得 られる０式（７８）から、（Φ−Φ’理、１１．，１７Ｃｌえが実質的に波長λ には無関係であり、従ってサブストレートに亘る点Ｐのみに依存するある関数Ω に近似的に等しくできることがわかる。即ち（Φ−Φ′理想）１１．え−Ｃ１え 〜Ω１゜サブストレート上の任意点Ｐ及び 設計スペクトル内の波長λに対して　−（７９）即ち、条件（７３）も式（７８ ）から得られる。（式（７８）特表千５−５０９１７１　（ｊ３） の関数Ｃは、任意の特定波長λ、に対するその値を随意に限定し、次いで式（７ ８）から任意の他の一般的波長λ８に対するその値Ｃ１λ１を決定することによ って決定できる。）一般的にサブストレートは関係（７８）を正確に満足するよ うに形作ることはできないので、サブストレートの形状は式（７８）の左辺をサ ブストレート全体に亘って位置感受性が最小になるように選択する０式（７８） の位置感受性の最小化を可能にする一つの方法は、関係（７８）を２つの特定波 長λ。

及びＬｌにおいて精密に保つべき条件によってサブストレートを限定することで ある。（例えば、λ１＝λ１、及びλ８＝λ、＋δλとし、λ１を選択した設計 波長に、またδλを微小量にする）、（式（７８）内の定数Ｃ１λ１またはＣ１ λ３の一方は随意に選択してよく、他方はサブストレートが特定点を通る用に１ 選択する。）この設計条件から式（５３）及び（５９）がめられ、式（５６）に おいて限定されたゾーン構造を用いると位相誤差（Φ゛−Φ’−Φ’理！、えＰ び波長λに関するその導関数（δ（Φ−Φ“理！！り／ａλ）ｌ、、Ｌ、はサブ ストレート上の任意点Ｐにおいて消滅する。従って、回折ビームの位相分布Φ° はλ、を含む狭いスペクトル帯内のその理想的形状Φ“　に実質的に整合する。

また実際に、この設理想 計形態は典型的にかなり広いスペクトル範囲に亘って良好な分散補償性能を呈す る。（もし光学システムが他の分散補償素子を含んでいれば、式（５３）及び（ ５９）によって限定されるサブストレート形状は、サブストレート上の任意点Ｐ において、関数（Φ−Φ’　＋ｌ　−ＣＩ、の波長先に関する１次理想　Ｐ、λ 導関数及び多分高次導関数が先＝λ、において消滅させる特性も有する。従って 位相誤差（Φ°−Φ’　理、ｌ　＋、、えの対応導関数もえ＝λ１において消滅 し、さらに改善された広帯域性能が得られる。） 広帯域応用に対しては、サブストレートジオメトリを、式（７８）が広（離間し た設計波長λ、：λ、及びλ２＝先。において成立するように規定することによ って限定してもよい。

この設計条件からは式（５３）及び〔６４）が得られる０式（６２）において限 定されたゾーン構造を用いれば、位相誤差（Φ°−Φ’理想＋１．．えはサブス トレート点の全範囲に亘って先＝え、および先二λ。において消滅する。中間波 長及び近辺波長においては位相誤差は一般にかなり小さく、広いスペクトル帯に 亘って良好な分散補償性能がもたらされる。（もし光学システムが他の分散補償 素子を含んでいれば、式（５３）及び（６４）によって限定されるサブストレー ト形態は、任意のサブストレート点Ｐにおいて、関数（Φ−Φ“）ＩＰ、え−Ｃ １え力。

χ、及びχ。を含む３またはそれ以上の波長において同一となる特性も有する６ 式（６２）によって限定されるゾーン構造を用いれば、位相誤差（Φ゛−Φ’理 、１１．．えはこれらの全ての設計波長において消滅するのでさらに改善された 広帯域性能が得られる。） 上述の２つの設計方法は何れもサブストレートジオメトリを限定するために使用 可能であり、また或はより精巧な方法を使用してもよい（例えば（式（７０）に 示すようにλ、及びλ。

をサブストレート上でゆるやかに変化する位置の関数として限定してもよい、） 一般的な懸回学的観点から、これらの設計方法はサブストレートジオメトリを以 下のように限定することによって式（７８）の位置感受性を最小にする。すなわ ち、任意の特定サブストレート点Ｐにおいて、λが設計スペクトルに亘って変化 するにつれて勾配ベクトル（Φ−Φ　Ｂ！！想）　ＩＰ、　Ｌが広がる空間曲線 にサブストレート表面がほぼ垂直になるようにするのである。（式（７８）の左 辺の勾配はこの空間曲線上の２点のベクトル差に等しく、従って点Ｐにおいてサ ブストレートにほぼ垂直となるので、式（７８）の左辺はサブストレート上で最 低の位置感受性を呈する。）サブストレート上で式（７８）の左辺の位置感受性 を最小にするために使用されるどの合理的設計方策によっても、格子表面の代わ りに普通の屈折レンズ表面を使用するシステムに対して光学システムの色分散を 劇的に減少させる格子設計がもたらされるので、格子サブストレートジオメトリ を最も一般的な形状に特定する際に使用する精密な設計方法を明示的に限定する 必要はない、もし選択したサブストレートジオメトリが設計スペクトル内の任意 波長′Ａ、Ｉ及びλ２において、式（７８）内の関数（Φ−Φ゛理！りＩＰ、え 、−（Φ−Φ°理！！＋＋、、、、がサブストレート表面上の位置Ｐに対して格 子表面に置換するように設計された最適に形作られた普通の屈折性表面よりも感 受性が遥かに小さい特性を有していれば、色分散が大幅に減少するので、この一 般的特性は許容されるサブストレートジオメトリの範囲を特定するのに役立て得 る。（関数の表面上の位置感受性の度合いは、その表面上への関数の勾配ベクト ルの接線投影の大きさによって定量化することができる。）関数がサブストレー ト上で、普通の屈折性表面よりも遥かに位置感受性が小さいことを規定する際に 、この比較が一般的に、共通の入射光が通る任意に２点（即ち一方はサブストレ ート上で、他方は屈折性表面上）間で行われることを理解すべきである（即ち、 サブストレート点Ｐにおけるサブストレート上への関数の勾配ベクトルの接続投 影は、Ｐを通る同一の入射光が通るある表面点における普通の屈折性表面への勾 配ベクトルの接線投影よりも大きさが遥かに小さい）、一般に、異なる光線が通 る２点間では比較は行わない、（例えば、分散補償レンズの周縁ゾーンは一般的 に未補償レンズの軸ゾーンが発生する分散を越えるので、格子サブストレートの 周縁領域における関数の位置感受性は典型的には普通の屈折性表面の軸傾域にお けるその感受性を越えるであろう、） 式（７８）の左辺がサブストレート上で最小になるか、もしくは中庸の位置感受 性を呈すれば、右辺の関数Ｃは任意の特定波長λ１に対するその値Ｃ１λ１を随 意選択し、次いで任意のほかの波長λオのに対する素の値Ｃ１λ、を条件（７８ ）が実質的に成立するように限定することによって限定することができる。（式 （７８）内の誤差は、実際にはＣ１え７ＣＩえζサブストレート上で式（７８） の左辺の平均値または中央値に等しくすることによって最小にすることができる 。）格子のゾーン構造は式（７４）によって限定される６式（７４）内の定義関 数Ωは、ある特定設計波長λにおける関係（７９）を規定することによって限定 できる１例えば、式（７９）を（７４）に代入し、λの代わりにλ、を使用する と式（５６）の第２式が得られる。またλに設計波長λ、を用いれば式（６２） が得られる。（設計波長λ１は、式（７１）と同様に、サブストレート上でゆる やかに変化する位置の関数であってよい、）Ωを限定するために使用する特定の 設計方法を無視すれば、条件（７８）から関係（７９）の左辺がサブストレート 上で位置Ｐには実質的に無関係となり、従って条件（７９）を実質的に満足する ある波長に無関係な関数Ωを選択出来ることが明白である。任意の関数Ωを、ゾ ーンジオメトリを限定するために式（７４）に用いてよい、（式（７９）の左辺 の波長依存性に起因する関係（７９）の誤差が光学システムの出力ビーム内に残 留色分散をもたらし、この誤差は実際的には設計スペクトル全体に亘って式（７ ９）の左辺の平均値または中央値としてΩ１．を限定することによって最小にす ることができる。） 各ゾーン境界は隣接するファセット面の境をなし、境界ｍによって境界を画され ている面を“面ｍ”と呼ぶ、各ファセット面は２つの隣接するゾーン境界間のサ ブストレートゾーンに亘って伸び、面ｍの一方の側は境界ｍによって、また他方 の側は面ｍを隣接するファセット面に結合する短い側面側壁によって境界を画さ れている。（側壁の側面寸法はファセット面側に比して極めて小さい、）面ｍの 表面形状は実質的に式（７２）によって限定される形状である。

ＦＩＧ、ｊ。

ＦＩＬ４゜ ＦＩＧ、Ｊ。

ＦＩＧ、−６゜ ゝ（３２ ＦｉＬ９゜

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 ［請求項１］屈折性光学素子の表面に浮彫りパターンとして形成され、光学シス テム内で動作して色分散を最小にする分散補償透過格子であって、 該システムは、指定された設計スペクトル内の複数の波長の分布からなる多色放 射のビームを導びく１またはそれ以上の光学表面（格子を含む）を具備し、 格子に先行するビームの部分内のビームの位相は関数Φで表すことができ、また 格子に後続する部分内のその位相は関数Φ′で表すことができ、 Φ及びΦ′は位置及び波長の関数であり（一般的な位置的な点Ｐ及び波長λにお けるΦ及びΦ′の値は“Φｌｐ，λ”または“Φ′ｌｐ，λ”として示され）、 関係Φｌｐ，λ＝０は、任意の特定波長λに対して、ビームを遮えぎる最初の表 面に先行する波面表面からなる点Ｐの集合を限定し、波長には無関係であり（す なわち、システムの最初の表面における入射ビームは空間的にコヒーレントであ り）、そして システムの計画動作モードではΦ′は理想的な位相分布Φ′理想と実質的に整合 するように意図され、Φ′理想ｌＰ，λ＝０は、任意の特定波長λに対して、ビ ームを遮えぎる最後の表面に追随する波面表面からなる点Ｐの集合を限定し、波 長には無関係であり（即ち、システムの最後の表面における退出ビームは実質的 に無分散であることが意図されており）、格子サブストレートは、設計スペクト ル内の任意の２波長λ１及びλ２に対して、関数 （Φ−Φ′理想）ｌｐ，λ１−（Φ−Φ′理想）ｌｐ，λ２が格子表面上で、格 子表面に代替するように設計された最適に形作られた普通の屈折性表面上よりも 位置Ｐに対して遥かに低感受的であり、それによってこの関数が、Ｃを波長のみ に依存するある関数として、 （Φ−Φ′理想）ｌｐ，λ１−（Φ−Φ′理想）ｌｐ，λ２〜Ｃｌλ１−Ｃｌλ ２ なる形の近似関係を満足し、従って項（Φ−Φ′理想）ｌｐ，λ−Ｃｌλが実質 的に波長λに無関係であって、位置Ｐのみに依存するある関数Ωによって実質的 に表すことができる、即ち（Φ−Φ′理想）ｌｐ，λ−Ｃｌλ〜Ωｌｐ格子サブ ストレートは複数のゾーンに区分され、各ゾーン境界は独特な整数指標ｍに対応 付けされ、ゾーン境界ｍは式Ωｌｐ＝２πｍ が成立するサブストレート点Ｐの集合からなり、それによって格子は主（１次ま たは−１次）回折次数を発生し、この主回折次数の位相関数Φ′は式 （Φ−Φ′）ｌｐ，λ＝Ωｌｐ＋Ｃｌλによって任意の波長λ及びサブシトレー ト点において暗示的に限定され、これからΦ′とΦ′理想はサブストレート上で 及び主回折次数全体に亘って実質的に同一、即ちΦ′〜Φ′理想 となり、そして 各指標ｍ毎に、ゾーン境界ｍは“面ｍ”と名付けられた格子ファセット面に独特 に対応付けられ、各ファセット面は隣接する２つのゾーン境界間のサブストレー トゾーン上に伸び、面ｍは一方の側をゾーン境界ｍによって、また他方の側を面 ｍを隣接するファセット面に結合する短い側面のファセット側壁によって境界を 画され、これらの境界面の面ｍは、λ■を輝く波長（位置Ｐの弱く変化する関数 であってよい）として（Φ−Φ′）ｌｐ，（λａｌｐ）〜２πｍ＋Ｃｌ（λ■ｌ ｐ）によって限定される点Ｐの集合からなり、それによって一般的なサブストレ ート点Ｐの近傍の格子領域がλ■ｌｐ付近の波長において高い回折効率を呈する 分散補償格子。 ［請求項２］請求項１の光学システムはフレネルレンズであり、請求項１の屈折 性光学素子は格子が成型された小尺度格子ファセットのパターンとして形成され ている大尺度のフレネルファセット面であり、そして格子はレンズ及び他のフレ ネルファセット上に形成された他の類似格子素子と組合って多色入射ビームを集 束させて集束した像の色収差を最小にするように機能する請求項１に記載の分散 補償格子。