JPH0554057A - 非線形最適化方法及びその装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【目的】 非線形最適化問題の解の探索を実行する非線
形最適化装置における求解効率と精度の向上を図り、更
に使い勝手の向上を図る。 【構成】 非線形最適化装置を、非線形最適化問題の目
的関数および制約関数の偏導関数を記号処理により自動
的に作成する偏導関数作成機能と、該目的関数，制約関
数及びこれらの偏導関数に基づいて最適化計算を実行す
る最適化計算機能で構成する。これにより、数値微分計
算が排除され、最適化計算の効率と精度を向上でき、ま
た手作業での偏導関数作成の手間が無くなるので、非線
形最適化装置としての使い勝手が向上する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は非線形最適化方法及びそ
の装置に係り、特に、解を高速に求めるのに好適な非線
形最適化方法及びその装置に関する。

【０００２】

【従来の技術】与えられた制約条件のもとで、非線形最
適化問題の目的関数の解（最小値あるいは最大値）また
は局所解（極小値あるいは極大値）を求める場合、従来
は、目的関数に数値を代入して計算して極値を求めた
り、あるいは、目的関数の数値微分を行いこれが極値で
あるか否かを判定していた。

【０００３】尚、非線形最適化問題を求める従来技術と
して、例えば特開平１−１９３９７１号や、特開平２−
７１３５８号等がある。

【０００４】

【発明が解決しようとする課題】従来の様に、目的関数
に数値を代入したり数値微分をしたりして問題を解決す
る方法は、問題領域を小領域に分割し各小領域において
目的関数に数値代入を行い計算すれば、極値を求めるこ
とはできる。しかし、これは、問題領域を無数の無限小
領域に分割した場合の話であって、計算時間が膨大とな
り、実用的でない。そこで、問題領域を有限個の小領域
に分割し各小領域で数値微分等を行い、解を求めること
になるが、求めた解が真の解や局所解である精度は悪く
なってしまう。

【０００５】本発明の目的は、精度の高い解あるいは局
所解を短時間で求めることができる非線形最適化方法及
びその装置を提供することにある。

【０００６】

【課題を解決するための手段】上記目的は、非線形最適
化問題の解の探索を実行する場合において、非線形最適
化問題の目的関数および制約関数の偏導関数を記号処理
に基づいて自動的に作成し、作成した偏導関数及びその
目的関数，制約関数に基づいて最適化計算を実行するこ
とで、達成される。

【０００７】

【作用】本発明の非線形最適化では、数値微分ではな
く、数式微分を採用するので、短時間に高精度の解ある
いは局所解を求めることが可能となる。

【０００８】

【実施例】以下、本発明の一実施例を図面を参照して説
明する。先ず最初に、非線形最適化問題について説明す
る。与えられた制約条件の下で、少なくとも１つの変数
によって記述される目的関数を最大化あるいは最小化す
る最適化問題のうち、目的関数と制約関数の少なくとも
一方が非線形関数であるものを非線形最適化問題と呼
ぶ。非線形最適化問題は、一般に次の数式１で表され
る。

【０００９】

【数１】

【００１０】ここで、ｆ(ｘ) ：目的関数、 ｇi(ｘ)：不等号制約関数、 ｈj(ｘ)：等号制約関数、 ＭＩ ：不等号制約条件の添字集合、 ＭＥ ：等号制約条件の添字集合、 ｘ ：ｎ次元空間内の一点の座標であり、非線形最
適化問題のｎ個の変数を表している。

【００１１】非線形最適化問題に対しては現在のとこ
ろ、線形計画問題における単体法やカ−マ−カ法に対応
するような決定的な求解手法は得られていない。代表的
な非線形最適化手法としては、今野浩，山下浩著の「非
線形計画法」（日科技連、１９７８）に書かれているよ
うに、目的関数と制約関数とを融合した関数を最適化す
る変換法、線形計画における単体法を非線形最適化の場
合に拡張した簡約勾配法、二次計画を繰返し実行して探
索点を改善する逐次二次計画法等が挙げられる。いずれ
の手法も、基本的には探索の開始点から目的関数を改善
する方向に探索点を更新して行き、最終的に目的関数の
値をそれ以上改善できない最適点に収束させるという考
え方に基づいている。

【００１２】このような最適化手法を初めとして、現在
有効とされる非線形最適化手法の多くは、探索方向を目
的関数および制約関数の勾配に基づいて決定している。
例えば、逐次二次計画法の実行の過程においては、探索
方向は次ぎの数式２に示すような二次計画問題を解いて
決定される。

【００１３】

【数２】

【００１４】ここで、ｘk ：非線形最適化問題における
ｋ番目の探索点、 Ｂ ：非線形最適化問題のラグランジュ関数のヘッセ行
列、 ｄ ：二次計画法における探索点、 ∇ ：勾配列ベクトル であり、この二次計画問題を解くためには、ｆ，ｇi，
ｈjの全ての変数に関する勾配値を求める必要がある。

【００１５】関数の勾配値の計算には以下の二つの方法
が考えられる。 （ａ）値微分法（数値的な反復計算）により勾配値を近
似的に求める。

【００１６】（ｂ）関数の偏導関数をあらかじめ求めて
おき、探索点の座標を代入することにより勾配値を計算
する。

【００１７】上記の（ａ）の数値微分は、近似計算であ
る以上、計算誤差は避けられない。このため、非線形最
適化問題の解を高い精度で求めることは難しい。また、
反復計算を必要とするため、特に非線形性の強い関数の
勾配値を求めようとした場合に計算時間が長くなってし
まう。このように、数値微分を非線形最適化計算の中で
用いることは、計算の精度と効率とを低下させる原因の
一つとなっている。また、最適化手法の中には二階の偏
導関数値を用いるものがあるが、この場合、数値微分法
では、計算の精度と効率とがさらに悪化してしまう。

【００１８】一方、（ｂ）の手法は、計算誤差と計算効
率とを数値微分法より改善することができる。しかし、
変数の数が多い場合や関数の形が複雑である場合には、
手作業による偏導関数作成に要する労力が極めて大きく
なり、実際上これを採用することは不可能である。

【００１９】また、近年開発されてきたＲＥＤＵＣＥや
ＭＡＣＳＹＭＡといった数式処理システムを用いて目的
関数や制約関数の偏導関数を作成することは可能である
が、偏導関数を最適化計算で使用できるフォ−マットに
書き換えるためには人間の介在を必要とするため、使い
勝手の点で問題がある。

【００２０】図２は、本発明の一実施例に係る非線形最
適化装置の構成図であり、キーボード等の入力装置１
と、ＣＲＴ等の画像表示装置８と、演算装置とからな
り、演算装置は、入力装置１に接続される入力部２と、
作業記憶領域３と、第１記憶領域４と、第２記憶領域５
と、演算処理部６と、画像表示装置８に接続された出力
部７とからなる。

【００２１】入力装置１から入力された非線形最適化問
題は、入力部２を介して作業記憶領域３に記憶される。
また第１記憶領域４には偏導関数作成機能が、第２記憶
領域５には最適化計算機能が、夫々逐次的な処理手続き
として記憶される。これらの処理手続きは、演算処理部
６に逐一読み込まれ実行される。

【００２２】この非線形最適化装置では、まず、偏導関
数作成機能の処理手続きを実行する。この機能の詳細に
ついては後述する。偏導関数作成機能の実行の結果、非
線形最適化問題の目的関数，制約関数およびこれらの関
数の偏導関数を計算する計算手続きが作成され、作業記
憶領域３に記憶される。次に、最適化計算機能の処理手
続きを実行する。最適化計算機能は、偏導関数作成機能
の実行の結果作成された非線形最適化問題の目的関数，
制約関数およびこれらの関数の偏導関数を計算する計算
手続きを用いて非線形最適化計算を実行し、非線形最適
化問題の解を求めて、これを作業記憶領域３に記憶す
る。作業記憶領域３に記憶されたデ−タは、処理手続き
の中に書かれた参照要求や、ユ−ザから入力された参照
要求に応じて、出力部７を介し画像出力装置８に出力さ
れる。

【００２３】図１は、偏導関数作成機能の詳細説明図で
ある。本実施例において、偏導関数作成機能は３つのス
テップから構成されている。第１ステップでは、目的関
数および制約関数を、偏導関数作成に適した内部表現に
変換する。ここで、偏導関数作成に適した内部表現と
は、関数の演算順序が陽に表された関数記述形式のこと
を言う。例えば、Ｆortranの記述形式で書かれた関数
は、計算ステップが陽に表現されない。すなわち、

【００２４】

【数３】Ａ×Ｂ＋（Ｃ−Ｄ）／Ｅ という数式３において、“×”演算の実行が、“＋”演
算より優先するということは、この数式３からは直接読
み取ることはできない。これに対してこの数式３を、例
えば、

【００２５】

【数４】 （＋ （× Ａ Ｂ）（／ （− Ｃ Ｄ） Ｅ）） と記述すると、演算の実行順序が明確になる。ここで用
いた内部表現は、図３に示すように、関数の計算過程を
表した計算グラフに対応付けられる。計算グラフにおい
て、グラフの頂点は関数の中間変数に、分岐点は関数の
基本演算子にそれぞれ相当する。

【００２６】偏導関数の作成に際しては、関数の実行順
序が明確である必要がある。偏導関数作成機能の第１ス
テップでは、数式３を数式４で示すような関数記述形式
に変換する処理を行う。数式４は、与えられた数式を、
より基本的な算術要素へと展開していく過程で生成され
る。算術要素とは、算術式，項，因子，一次子の総称で
あり、これらは図４に示すように再帰的な形で定義され
る。ここで再帰的とは、一次子の引数として算術式を記
述できることを指す。図５に簡単な数式を内部表現に展
開していく処理手順を示す。

【００２７】図５において、与えられた算術式（次ぎの
数式５）

【００２８】

【数５】３＊Ａ＋Ｂ＊＊２／sin（Ｃ＋Ｄ） に対し、先ず、項への展開を試みる。この場合、算術式
は［３＊Ａ］と［Ｂ＊＊２／sin（Ｃ＋Ｄ）］の２つの
項に展開可能である。次ぎに、第１の項［３＊Ａ］に対
して、因子への展開を試みる。この結果、［３＊Ａ］は
［３］という算術定数と、［Ａ］という算術変数に展開
される。［３］も［Ａ］もこれ以上は展開不可能であ
る。

【００２９】次ぎに、第２の項［Ｂ＊＊２／sin（Ｃ＋
Ｄ）］の因子への展開を試みる。この結果、この項は、
［Ｂ＊＊２］と［sin（Ｃ＋Ｄ）］の２つの因子に展開
される。これらは更に、［Ｂ］，［２］，［Ｃ＋Ｄ］と
いう３つの一次子へと展開される。［Ｂ］，［２］はそ
れぞれ算術変数，算術定数であるため、これ以上は展開
できない。これに対し、［Ｃ＋Ｄ］は、更に項へと展開
可能である。このように、与えられた算術式を、項→因
子→一次子→項→…と繰り返し展開して行くことによ
り、図５に示す様な算術グラフを得ることができる。こ
の処理は、全ての算術要素が算術定数、または算術変数
に展開されるまで繰り返される。

【００３０】また、この計算グラフは、

【００３１】

【数６】（＋ （＊ ３ Ａ） （／ （＊＊ Ｂ
２） （sin （＋Ｃ Ｄ）））） なる内部表現で記憶される。

【００３２】図１の第２ステップでは、内部表現に変換
された目的関数および制約関数の偏導関数を作成する。
ここでは、偏導関数作成手法として、ＦＡＤ（高速自動
微分法）を用いる場合について説明する。ＦＡＤの実行
に際しては、まず前述した計算グラフにおいて、上位の
頂点ｕ１から下位の頂点ｕ２とを結ぶ辺上に、要素的偏
導関数、∂ｕ１／∂ｕ２を求めて対応付ける。ここで、
関数Ｆの入力変数Ｘに関する偏導関数は、計算グラフ上
で頂点Ｘから頂点Ｆへいたるパス上の各辺の要素的偏導
関数の積を作り、そのような積を、頂点Ｘから頂点Ｆへ
のあらゆるパスに関して加え合わせたものである。

【００３３】図６に、本実施例で用いたＦＡＤのアルゴ
リズムを示す。このアルゴリズムは計算グラフを深さ優
先でたどることにより偏導関数を作成する。

【００３４】図７に、ＦＡＤの具体例として、

【００３５】

【数７】Ｆ＝sin（Ｘ1＋Ｘ2）／（Ｘ2−２Ｘ3） なる関数に対応する計算グラフ、およびこの計算グラフ
を用いて求めた偏導関数を示す。この図７では、説明の
ために、各中間変数はＦortranの記述形式で書かれてい
るが、実際は、これらの変数は内部表現の形をしてい
る。

【００３６】次ぎに、図７の計算グラフにおいて、図６
のアルゴリズムがどのように働くかを説明する。算術式
は、予め計算グラフに展開されているものとする。先ず
ステップ１では、入力関数の計算グラフ及び入力変数を
ユーザが与える。図７の例では、入力変数はＸ1，Ｘ2，
Ｘ3の３つである。ステップ２では、偏導関数の初期化
を行う。即ち、入力変数Ｘ1，Ｘ2，Ｘ3の夫々について
の偏導関数∂ｆ／∂Ｘ1，∂ｆ／∂Ｘ2，∂ｆ／∂Ｘ3に
全て“０”を代入する。ステップ３では、偏導関数作成
のための仮引数ｆｏｒｍに“１”を代入する。ステップ
４では、偏導関数作成を実行する関数ＦＡＤを、ｆ及び
ｆｏｒｍを引数として呼び出す。

【００３７】ステップ５では、ｆの種類により処理を分
岐する。ｆは“／”をオペレータ、“sin（Ｘ1＋Ｘ
2）”を第１オペランドとし、“Ｘ2−２Ｘ3”を第２オ
ペランドとする二項演算式であるから、最後の条件文に
マッチングされ、ステップ１０以下の処理が実行され
る。ステップ１０では、ｕ1にｆの第１オペランドを代
入する。この例では、ｕ1＝sin（Ｘ1＋Ｘ2）であり、ｕ
1は図７の中間変数ｖ1に対応する。ステップ１１では、
∂ｆ／∂ｕ1＝１よりｆｏｒｍ’＝cos（Ｘ1＋Ｘ2）／
（Ｘ2−２Ｘ3）が求められる。次ぎのステップ１２で
は、ｕ1＝Ｘ1，ｆｏｒｍ’＝cos（Ｘ1＋Ｘ2）／（Ｘ2−
２Ｘ3）を引数として、ＦＡＤを再帰的に呼び出す。

【００３８】ステップ４では、ｆにはｕ1が対応付けら
れ、ｆｏｒｍにはｆｏｒｍ’が対応付けられる。ステッ
プ５では、ｆの種類により処理が分岐される。ｆ＝ｕ1
＝Ｘ1は入力変数であるから、ステップ６の処理が実行
される。このステップ６においては、Ｘ1の偏導関数∂
ｆ／∂Ｘ1にｆｏｒｍ’を加える処理を行う。この処理
により、ＦＡＤ（Ｘ1，cos（Ｘ1＋Ｘ2）／（Ｘ2−２Ｘ
3））の計算は終了する。即ち、ＦＡＤ（Ｘ1，cos（Ｘ1
＋Ｘ2）／（Ｘ2−２Ｘ3））の計算におけるステップ1２
の処理を終了し、ステップ１３の処理を再開する。この
ステップ１３では、ｕ2＝Ｘ2とする。

【００３９】ステップ１４では、ｆ＝Ｘ1＋Ｘ2のｕ2＝
Ｘ2に関する偏導関数を求めて、これをｆｏｒｍ＝cos
（Ｘ1＋Ｘ2）／（Ｘ2−２Ｘ3）に乗じ、ｆｏｒｍ’に代
入する。この例では、∂ｆ／∂ｕ2＝１より、ｆｏｒ
ｍ’＝cos（Ｘ1＋Ｘ2）／（Ｘ2−２Ｘ3）を引数として
ＦＡＤを再帰的に呼び出す。

【００４０】以下、同様に図６に示すアルゴリズムを実
行することにより、与えられた入力関数ｆの全ての入力
変数Ｘ1，Ｘ2，Ｘ3に関する偏導関数を作成することが
できる。作成された変動関数は、次ぎの数式８となる。

【００４１】

【数８】

【００４２】偏導関数の作成手法としては、ＦＡＤ以外
にも、パタ−ンマッチングに基づく手法がある。これ
は、例えば、

【００４３】

【数９】Ｆ＝ｆ(ｘ)×ｇ(ｘ) という関数の偏導関数を求める場合に、

【００４４】

【数１０】

【００４５】なる公式を適用する。この公式によると、
∂Ｆ／∂ｘを求めるためには、∂ｆ（ｘ）／∂ｘおよ
び、∂ｇ（ｘ）／∂ｘが求まらなければならない。この
ように、与えられた問題を小問題に分割して行き、小問
題を解くことにより最終的な解を得るという考え方に基
づいている。

【００４６】図１の第３ステップでは、第２ステップで
求めた偏導関数を最適化計算機能の入力フォ−マットに
変換して出力する。基本的には、第１ステップの逆の考
え方に基づいて変換処理を実行する。第３ステップにお
いて、例えば、（＊ ３ Ａ）なる内部表現を、３＊Ａ
なる算術式に変換する。括弧が多く使われている内部表
現の変換は、内側の括弧から行う。即ち、

【００４７】

【数１１】（sin （＋ Ｃ Ｄ））→（sin Ｃ＋Ｄ）
→sin（Ｃ＋Ｄ） この手順に従うと、複雑な内部表現も、

【００４８】

【数１２】

【００４９】という順序でＦortran形式の算術式に変換
することができる。

【００５０】次ぎに、偏導関数の計算ルーチンの作成手
順について説明する。システムには、サブルーチンの雛
型が予め最適化計算のために入力データ記憶領域に用意
されている。本実施例においては、入力データ記憶領域
として、図１の作業記憶領域３に次ぎのサブルーチンの
雛型を用意する。この雛型では、例えば∂ｆ／∂Ｘ1の
計算ルーチンの名前をＤＦＤＸ１としてある。

【００５１】 ＳＵＢＲＯＵＴＩＮＥ ＤＦＤＸ１（Ｎ，Ｘ，ＶＡＬＵ
Ｅ） ＤＩＭＥＮＳＩＯＮ Ｘ（Ｎ） ＶＡＬＵＥ＝＊＊＊＊＊＊＊＊ ＲＥＴＵＲＮ ここで、 Ｎ：入力変数の数 Ｘ：入力変数の座標ベクトル ＶＡＬＵＥ：∂ｆ／∂Ｘ1の値を代入する変数 同様に、ＤＦＤＸ２，ＤＦＤＸ３の雛型も用意してお
く。

【００５２】次ぎに、前記雛型の「＊＊＊＊＊＊＊＊」
の部分に、ＦＡＤを用いて作成した偏導関数∂ｆ／Ｘ1
の内部表現を変換した算術式を当てはめる。この結果、
先の例では、 ＳＵＢＲＯＵＴＩＮＥ ＤＦＤＸ１（Ｎ，Ｘ，ＤＦＤＸ
１） ＤＩＭＥＮＳＩＯＮ Ｘ（Ｎ） ＤＦＤＸ１＝cos（Ｘ1＋Ｘ2）／（Ｘ2−２Ｘ3） ＲＥＴＵＲＮ なる偏導関数（∂ｆ／∂Ｘ1）値計算サブルーチンほを
完成する。このサブルーチンは最適化計算のための入力
データ記憶領域に記憶され、最適化計算の実行時に用い
られる。

【００５３】最適化計算機能で用いる最適化手法は、逐
次二次計画法，勾配法，変換法など、その計算過程で目
的関数や制約関数の一階または二階の偏導関数を用いる
ものであれば適用可能である。

【００５４】次ぎに、上述した実施例に係る非線形最適
化装置を用いた、資源の最適配分決定装置を説明する。
ここで資源とは、対象とする問題がスケジュ−リング問
題である場合には人員や機材、経済問題である場合には
資金や賃金、生産計画問題である場合には原材料の投入
量や電力の供給量などを指している。

【００５５】ここでは、図８に示すような生産システム
の最適制御を考える。この生産システムは、原料Ａと原
料Ｂとを用いて、ある製品を生産する。原料ＡをＸａ単
位、原料ＢをＸｂ単位使用した場合の製品の生産高Ｐ
は、

【００５６】

【数１３】 Ｐ（Ｘａ，Ｘｂ）＝Ｃ−１００（Ｘｂ−Ｘａ）−（１−Ｘａ） なる式で与えられるものとする。ここでＣは外部から与
えられる定数であるとする。また、制約条件として、 ０＜Ｘａ＜５ ０＜Ｘｂ＜５ を設定する。本発明による資源の最適配分決定装置を実
際に利用するためには、まず対象とする問題が最適化問
題として定式化されている必要がある。定式化された最
適化問題は、最適化問題記憶装置に記憶される。次に最
適化問題は、最適化問題記憶装置から読み出され、非線
形最適化装置に入力される。非線形最適化装置は、偏導
関数作成機能および最適化計算機能から構成されてお
り、偏導関数作成機能により求められた目的関数および
制約関数の偏導関数を用いて、最適化計算機能により非
線形最適化問題の最適解を求める。この問題において
は、偏導関数作成機能の結果得られる、Ｐの一階の偏導
関数は以下のようなものである。

【００５７】

【数１４】

【００５８】また、最適化計算機能の実行の結果得られ
るＰを最大とする最適化問題の解は、Ｘａ＝Ｘｂ＝１と
なる。従って、この問題では、生産システムは原料Ａお
よび原料ＢをそれぞれＸａ、Ｘｂ単位用い、製品をＰ単
位生産することになる。

【００５９】

【発明の効果】本発明によれば、非線形最適化計算過程
において用いられる勾配の値を高精度に求めることがで
き、求解の精度が向上する。また、数値微分で必要とさ
れる繰返し計算を必要としないため、求解の効率が向上
する。さらに、偏導関数を自動的に求められるため、使
い勝手が向上する。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の一実施例に係る非線形最適化装置の構
成図である。

【図２】図１に示す非線形最適化装置における偏導関数
作成機能の処理手順を示すフローチャートである。

【図３】目的関数，制約関数の内部表現の説明図であ
る。

【図４】算術式の構成説明図である。

【図５】目的関数，制約関数の内部表現への展開手順の
説明図である。

【図６】偏導関数作成手法の一実施例の説明図である。

【図７】偏導関数の作成例を示す図である。

【図８】図１に示す非線形最適化装置の一実施例を適用
した生産システムの構成図である。

【符号の説明】

１…入力装置、２…入力部、３…作業記憶領域、４…第
１記憶領域、５…第２記憶領域、６…演算処理部、７…
出力部、８…画像出力装置。

Claims (12)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 非線形最適化問題の解の探索を実行する
   非線形最適化方法において、非線形最適化問題の目的関
   数および制約関数の偏導関数を記号処理に基づいて自動
   的に作成し、作成した偏導関数及びその目的関数，制約
   関数に基づいて最適化計算を実行することを特徴とする
   非線形最適化方法。
2. 【請求項２】 非線形最適化問題の解の探索を実行する
   非線形最適化装置において、非線形最適化問題の目的関
   数および制約関数の偏導関数を記号処理に基づいて自動
   的に作成する偏導関数作成手段と、該目的関数，制約関
   数およびこれらの偏導関数に基づいて最適化計算を実行
   する最適化計算手段とから構成されることを特徴とする
   非線形最適化装置。
3. 【請求項３】 非線形最適化問題の解の探索を実行する
   非線形最適化方法において、非線形最適化問題の目的関
   数および制約関数の偏導関数を計算する計算手続きを記
   号処理に基づいて自動的に作成し、これらの偏導関数と
   その目的関数，制約関数に基づいて最適化計算を実行す
   ることを特徴とする非線形最適化方法。
4. 【請求項４】 非線形最適化問題の解の探索を実行する
   非線形最適化装置において、非線形最適化問題の目的関
   数および制約関数の偏導関数を計算する計算手続きを記
   号処理に基づいて自動的に作成する偏導関数作成手段
   と、該目的関数，制約関数およびこれらの偏導関数に基
   づいて最適化計算を実行する最適化計算手段とから構成
   されることを特徴とする非線形最適化装置。
5. 【請求項５】 請求項１または請求項３において、偏導
   関数を自動的に作成するとき、入力された目的関数およ
   び制約関数を計算機の内部表現に変換するステップと、
   内部表現に変換された数式の偏導関数を作成するステッ
   プと、該偏導関数を最適化計算機能の入力フォ−マット
   に変換するステップとで行うことを特徴とする非線形最
   適化方法。
6. 【請求項６】 請求項２または請求項４において、偏導
   関数作成手段が、入力された目的関数および制約関数を
   計算機の内部表現に変換する手段と、内部表現に変換さ
   れた数式の偏導関数を作成する手段と、該偏導関数を最
   適化計算機能の入力フォ−マットに変換する手段とから
   構成されることを特徴とする非線形最適化装置。
7. 【請求項７】 請求項１または請求項３において、偏導
   関数を自動的に作成するときに、入力された目的関数お
   よび制約関数を計算機の内部表現に変換するステップ
   と、内部表現に変換された数式の一階および二階偏導関
   数を作成するステップと、該偏導関数を最適化計算機能
   の入力フォ−マットに変換するステップとで行うことを
   特徴とする非線形最適化方法。
8. 【請求項８】 請求項２または請求項４において、偏導
   関数作成手段が、入力された目的関数および制約関数を
   計算機の内部表現に変換する手段と、内部表現に変換さ
   れた数式の一階および二階偏導関数を作成する手段と、
   該偏導関数を最適化計算機能の入力フォ−マットに変換
   する手段とから構成されることを特徴とする非線形最適
   化装置。
9. 【請求項９】 請求項１，３，５，７のいずれかに記載
   の非線形最適化方法を用いて、資源の最適配分計算を行
   い計算結果を出力することを特徴とする資源最適配分計
   算方法。
10. 【請求項１０】 請求項２，４，６，８のいずれかに記
    載の非線形最適化装置を備え、資源の最適配分計算を行
    い計算結果を出力する手段を備えることを特徴とする資
    源最適配分計算装置。
11. 【請求項１１】 非線形最適化問題の目的関数の極値を
    該非線形最適化問題の制約関数のもとで探索する非線形
    最適化方法において、数式微分にて前記極値を探索すべ
    く該目的関数の偏導関数を求め、該偏導関数により最適
    化計算を行うことを特徴とする非線形最適化方法。
12. 【請求項１２】 非線形最適化問題の目的関数の極値を
    該非線形最適化問題の制約関数のもとで探索する非線形
    最適化装置において、数式微分にて前記極値を探索すべ
    く該目的関数の偏導関数を求める手段と、該偏導関数に
    より最適化計算を行う手段とを備えることを特徴とする
    非線形最適化装置。