JPH0565803A - 動翼の同期振動モニター装置及び方法 - Google Patents

動翼の同期振動モニター装置及び方法

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JPH0565803A
JPH0565803A JP4040214A JP4021492A JPH0565803A JP H0565803 A JPH0565803 A JP H0565803A JP 4040214 A JP4040214 A JP 4040214A JP 4021492 A JP4021492 A JP 4021492A JP H0565803 A JPH0565803 A JP H0565803A
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ウイリアム アイノルフ ジユニア チヤールス
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フランシス ロゼル ポール
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Abstract

(57)【要約】 【目的】 本発明は、限られた数のセンサー（１，２，
３）を不均一な間隔で配置したタービン装置のロータの
動翼振動モニター装置及び方法を提供する。 【構成】 シリンダの周りに配置した少なくとも３つの
センサーが動翼（１２）の到達を検出する。センサー位
置はデータへの誤差の影響を最小限に抑えるように選択
する。この目的で、またセンサーの設置を容易にするた
め、センサーの間隔を不均一にする。フーリエ変換を行
うため各センサーの位置をロータ回転比で表わした各セ
ンサーへの動翼の到達時間を用いて決定する。Ｍ個の調
波が同時に分析できるようにＭ個の調波よりなる所定の
個別セットにつき変換行列を形成する。同時に分析可能
な調波の数は使用するセンサーの数と関係がある。ロー
タ回転比で表わした各センサーへの動翼到達時間データ
を分析してそのセットから選択した各調波における動翼
の振動振幅を求める。最初のセットに含まれていない調
波でかなりの振動がある場合結果を正確に解釈するた
め、上記の計算を種々の調波セットにつき繰り返す。

Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明はタービン装置のロータの
動翼振動をモニターする装置及び方法に関し、さらに詳
細には蒸気タービンまたはガスタービンの動翼の同期振
動をモニターする装置及び方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】タービン装置の動作時、回転する動翼は
調波と呼ばれるロータ回転周波数の整数倍に一致する周
波数の振動を受け易い。かかる振動は同期振動と呼ばれ
る。動翼の同期振動は、タービン装置の周面の周りの空
間で異なる作動流体流量の非均一性により誘起されるこ
とがある。かかる非均一性は（ｉ）抽出パイプ及び補強
リブのような特殊な部分及び（ｉｉ）静翼の形状及び間
隔の不完全性により生じる。単一の回転周波数またはそ
れに非常に近い周波数で作動するよう意図されたタービ
ン装置では、動翼はその固有周波数のうちの１つまたは
２以上がロータ回転周波数の調波と一致しないように設
計するのが普通である。
【０００３】タービン装置の動作時、動翼はロータ回転
周波数の調波とは一致しない周波数の振動も受け易い。
かかる振動を非同期振動と呼ぶ。動翼の非同期振動は、
（ｉ）作動流体に生じるランダムな乱流、または（ｉ
ｉ）動翼の振動との相互作用による流量の変化による場
合が最も多いが時間的に変化する作動流体の流量の非均
一性により惹き起こされる。この後者の振動を自己励起
振動と呼ぶ。動翼の非同期振動はまたロータの軸方向或
いは捩じれ方向の振動により誘起されることがある。か
かる振動はロータ装置の共振に関係がある。
【０００４】非同期振動をモニターする方法の１つが本
願の出願人に譲渡された米国特許第４，８８７，４６８
号（発明者：ＭｃＫｅｎｄｒｅｅ ａｎｄ Ｒｏｚｅｌ
ｌｅ）に記載されているが、これを本明細書の一部を形
成するものとして引用する。この特許の方式によれば、
動翼の周囲に最大２個の固定センサーが設置する。これ
らのセンサーはセンサー位置への各動翼先端部の到達時
間を測定する。予想される動翼の到達時間に対する実際
の到達時間の偏差に基づいて振動による動翼先端部の撓
みを求める。該特許に記載されるように、従来のフーリ
エ解析により各周波数の振動成分の振幅を求める。この
方式では同期振動の存否を検出できるが、２つのセンサ
ーまたはプローブでは発生の可能性のある種々の整数調
波を区別するに十分なデータが得られない。
【０００５】同じく本願の出願人に譲渡された米国特許
第４，５７３，３５８号では、等しい間隔で設置した大
きなセンサーアレーにより完全な振幅及び位相情報を得
ることができる。最大でセンサー数の１／２の振動調波
を判別可能である。これよりも高い調波も検出される
が、これはそれよりも低い調波での応答として表われ
る。高い調波が低い調波として表われる現象はエイリア
シングとして知られている。
【０００６】センサー数をかかる完全な情報を得るに必
要な数よりも少ない値に減少させるのが望ましい。これ
は、動翼を囲むシリンダー上にはセンサーの設置場所と
しては限られた数の位置しか普通存在しないからであ
る。さらに、既存のタービンでは、シリンダーの下半分
にセンサーを取り付けるにはロータを取り外す必要があ
り、取り付け作業が著しく複雑になる。また、伝統的な
フーリエ解析法は一様なサンプリングレートで得たデー
タについての使用に適しているに過ぎないという事実の
ためこの作業はさらに複雑となる。その結果、センサー
をシリンダー周面の周りに均一な間隔で設置する必要が
ある。（ここで均一な間隔とはセンサーの間隔が３６０
°をセンサーの数で割った値に等しいことをいう）。し
かしながら、均一な間隔で設置するのはパイプや支持体
があるため困難である。
【０００７】
【発明が解決しようとする課題】従って、限られた数の
センサーを均一でない間隔で設置することによりタービ
ン装置の動翼の同期振動をモニターする方法及び装置を
提供することが望ましい。
【０００８】本発明の目的は、蒸気タービンまたはガス
タービンのようなタービン装置における動翼の同期振動
をモニターする装置及び方法を提供することにある。
【０００９】本発明の別の目的は、振動振幅の計算値に
対するデータの誤差の影響を最小限に抑えるようにセン
サー位置の最適の組合わせを求めることにある。
【００１０】本発明のさらに別の目的は、均一でない間
隔で設置したセンサーから得たデータの正確なフーリエ
解析を可能にすることにある。
【００１１】上記及び他の目的は、タービン装置の動翼
振動モニター装置であって、周面に列状に配置されター
ビン装置の動作時振動し易い複数の動翼を備えたロータ
と、ロータ回転周波数の調波に等しい周波数で振動する
動翼の振動成分をモニターする振動モニターとより成
り、前記振動モニターが、動翼列の周りの円周位置に配
置され動翼が到達すると信号を発生する少なくとも３つ
のセンサー、センサーからの信号に応答して各動翼が各
センサーに実際に到達する時間を表わすデータを発生す
る手段、各動翼が各センサーへ到達する予想到達時間を
表わすデータを発生する手段、各動翼が各センサーへ到
達する実際到達時間と予想到達時間との間の偏差を求め
る手段より成り、少なくとも２つのセンサー間の間隔が
他のセンサー間の間隔と比べて均一でなく、前記振動モ
ニターが前記偏差から各動翼の振動成分を求める手段を
さらに具備することを特徴とする振動モニター装置によ
り実現される。
【００１２】本発明はまた、動翼振動の調波を求める方
法であって、（ａ）第１のセンサーを基準とする複数の
第２のセンサーの各々の角位置を決定し、（ｂ）セット
内の調波の数が１／２（Ｎ−１）に等しい調波セットを
選択し、（ｃ）ロータを第１の速度で回転して基準マー
カの前記第１のセンサーへの到達時間を基準として各動
翼の前記第２のセンサーの各々への到達時間を求め、
（ｄ）ステップ（ａ）で求めた前記角位置及びステップ
（ｂ）において選択した前記調波セットを用いて前記到
達時間データを周波数領域へ変換するためにフーリエ変
換行列を求め、（ｅ）ステップ（ｃ）で求めた前記到達
時間データによるベクトルを形成し且つステップ（ｄ）
で求めた前記フーリエ変換行列を掛け合わせて動翼先端
部の変位ベクトルを求めるステップよりなることを特徴
とする方法により実現される。
【００１３】以下、添付図面を参照して本発明を実施例
につき詳細に説明する。
【００１４】
【実施例】
Ｉ．理論 図１は、蒸気タービンのようなタービン装置或いはガス
タービンのタービン部またはコンブレッサー部の断面図
である。図１に示すように普通シリンダーと呼ばれるハ
ウジング７は１または２以上のディスク１４を有するロ
ータ１６を包囲する。このロータのディスク１４の周面
には複数の動翼１２が列を形成するように配置されてい
る。一列で１００個以上の動翼が設けられる場合が多
い。各動翼１２の先端部１３はシリンダー７の内側表面
を掃引して半径１１の円を描く。
【００１５】各動翼の先端部は、ロータの回転による角
速度だけでなく動翼の振動により揺動してたわむ。図３
（ａ）及び３（ｂ）は動翼の先端部がその中性点からた
わんだ結果として生じる２つの軌跡を時間の関数で示
す。図３（ａ）は動翼が単一周波数、最大振幅Ｚｍａｘ
で振動するときの動翼先端部のたわみを示し、波形は純
粋な正弦波形である。波形の周期Ｔがロータの１完全回
転に必要な時間周期に等しいとき、即ち、動翼の振動周
波数がロータ回転周波数に等しい場合、動翼はロータ回
転周波数の第１調波（ｈ＝１）で振動していると言われ
る。発電プラントでは、１つの共通ロータ回転周波数は
６０Ｈｚである。振動をモニターするにあたり、動翼先
端部のたわみの最大振幅Ｚｍａｘを求めることが重要で
あるが、これはその値が動翼の振動応力を示すからであ
る。
【００１６】タービンの動翼は幾つかの周波数で同時に
振動する場合が非常に多い。その結果、図３（ｂ）に示
すように動翼先端部のたわみが複雑な波形を描く。よく
知られているように、このような複雑な波形はフーリエ
級数の一連の正弦関数で近似することが可能である。
【００１７】
【数１】 累算表示法を用いると数式（１）は以下のようになる。
【００１８】
【数２】 任意特定の調波ｈｋの振動成分に関連する先端部のたわ
みの最大振幅Ｄｈｋは以下の通りである。
【００１９】
【数３】 図３（ｂ）に示したような時間領域のフーリエ解析波形
は、図３（ｃ）に示したような周波数領域の表示へ変換
される。図３（ｃ）に示したデータは動翼先端部のたわ
み波形であり、これは主として第３及び第５調波におけ
る動翼振動が複合されたものである。６０Ｈｚで作動す
るロータの場合、これは動翼が１８０Ｈｚ及び３００Ｈ
ｚの周波数で振動することを意味する。図３（ｃ）に示
したＤｈ３及びＤｈ５の値は、それぞれ第３及び第５調
波の動翼振動成分の振幅を表わす。
【００２０】上記米国特許第４，８８７，４６８号に記
載されているように、動翼振動に関する情報は、シリン
ダー上に設置した第１センサーのセットへの動翼先端部
の到達時間を、同じくセンサー上に設置した第２のセン
サーへのロータ基準マーカの到達時間を基準として測定
することにより得ることができる。図１は本発明による
動翼センサー１、２、３、ロータ基準マーカ２２及び基
準マーカセンサー２０を示す。
【００２１】もし動翼に振動がなければ、各センサーへ
の動翼の到達時間はロータ速度と各構成要素の幾何学的
形状だけの関数であろう。さらに詳しく説明すると、
（ｉ）検討対象となる動翼先端部１３と基準マーカ２２
との間のロータ１６上の角度と、（ｉｉ）各動翼センサ
ー１、２、３と基準マーカセンサー２０との間のシリン
ダー７上の角度との関数であろう。動翼振動がない場合
の動翼到達時間を動翼の予想到達時間と呼ぶ。動翼が振
動すると実際の到達時間と予想到達時間との間に△ｔの
偏差が生じる。動翼先端部が動翼の回転方向にある振動
サイクル部分の時は、実際到達時間は予想到達時間より
も短いが、動翼先端部の変位がロータ回転方向とは反対
の方向にある場合は実際到達時間は予想到達時間よりも
長くなる。かくして、予想到達時間からの実際到達時間
の偏差△ｔを求めると動翼先端部のたわみに関する情報
が得られる。さらに詳しく説明すると、動翼がセンサー
を通過するときの動翼先端部のたわみの振幅Ｚは予想到
達時間からの偏差△ｔと下記の式で示すような関係があ
る。
【００２２】
【数４】 以下に説明するように、動翼先端部のたわみに関するデ
ータをロータの各回転につき多数回サンプリングする
と、各調波周波数における動翼振動の振幅に関する情報
が得られる。
【００２３】動翼センサー１、２、３の各位置は、その
位置と基準マーカセンサー２０の位置との間の角度θｉ
により定義できる。図１において、センサー１の角度は
０°、またセンサー２及び３の角度を参照番号４及び５
でそれぞれ示す。式（４）から、動翼がｉ番目のセンサ
ーへ到達する到達時間の偏差△ｔは動翼先端部がそのセ
ンサーを通過するときの変位Ａと下記の式に示すような
関係がある。
【００２４】
【数５】 式（２）を式（５）に代入すると、動翼信号の調波成分
ｄｐに基づく到達時間の偏差のフーリエ級数式が得られ
る。
【００２５】
【数６】 本発明によれば、振動解析を、以下に述べる理由で式
（６）が下記の式（７）になるようにＭ個の調波の個別
セットＨ＝（ｈｉ、ｈ２，・・・ｈＭ）についてのみ行
うことができる。
【００２６】
【数７】 センサー数がＮである場合、式（７）は下記の行列に展
開可能である。
【００２７】
【数８】 式（８）をコンパクトな形にすると下記の式（９）のよ
うになる。
【００２８】
【数９】 ［Ａ］はセットＨ内の調波ｈｋよりなる周波数領域の動
翼先端たわみデータを時間領域へ変換する離散フーリエ
変換行列であることに注意されたい。［Ａ］行列の逆行
列［Ａ］−１が存在すれば式（９）を解いて調波成分ｄ
ｐの振幅を求めることが可能である。よく知られた数学
的原理によれば、［Ａ］−１は［Ａ］が正方行列であっ
て［Ａ］の列が線形的に独立である場合にのみ存在す
る。従って、センサー数Ｎは式Ｎ＝２Ｍ＋１またはＭ＝
（Ｎ−１）／２で示すようにセットＨの調波ｈｋの数Ｍ
と関係がある。もしこの条件が満足されれば、式（９）
を以下に示すように解いてＤ（調波成分の振幅Ｄｈｋが
Ｄベクトルの要素である）を求めることができる。
【００２９】
【数１０】 ［Ａ］−１はセンサー位置においてサンプルした時間領
域データをセットＨの調波ｈｋよりなる周波数領域へ変
換する離散フーリエ変換行列であることに注意された
い。［Ａ］行列の逆変換は、部分ピボット演算を用いる
下部／上部三角法のような多数のよく知られた方法のう
ちの１つにより行うことが可能である。
【００３０】図１に示すように、本発明の重要な特徴は
センサーをシリンダー７の周りに間隔を不規則にして配
置した点にある。この特徴によりフーリエ解析を行うた
めにセンサーの間隔を一様にすることが必要な従来技術
の振動モニター装置と比べて３つの重要な利点を得る。
第１の利点は、センサーを十分なスペースのあるシリン
ダーの任意の領域へ取り付けるのが容易なことである。
このため、シリンダーの或る領域にセンサーの設置を妨
げる障害物があってもこの方法の実施が全く不可能とい
うことはない。さらに、本発明によれば、センサー位置
をシリンダー７のカバー、即ち上半分８だけに限定する
ことが可能である。シリンダー７の基部、即ち下半分９
に取り付けるにはロータ１６と取り外す必要があるた
め、この特徴により本発明装置を既存のタービン装置へ
取り付けるのが極めて容易になる。
【００３１】第２の利点は、センサーの１つが故障して
もそのセンサーからのデータが失われるに過ぎないとい
う点である。センサーの間隔を一様にすることが必要な
従来技術の装置では、センサーが１つ故障するとデータ
のサンプリング間隔を均一に維持するために残りのセン
サーの一部のデータを無視する必要がある。例えば、６
個のセンサーを用いる場合であって２番目のセンサーが
故障すると、４番目及び６番目のセンサーのデータを無
視する必要がある。
【００３２】３番目の利点として、センサーが均一な間
隔で配置されている場合であって調波を分析しようとす
ると、ノイズや量子化エラー等による不可避的な誤差に
より見掛け上の低次の調波振動成分が生じるため分析結
果に大きな影響がでる。これは、分析対象である振動と
同様、誤差がロータ回転数の各倍数に導入されるという
理由のため起こる。従って、本発明の重要な特徴によれ
ば、ノイズや量子化エラーによる動翼到達時間データの
偏差△ｔが以下に説明するように式（１０）により振動
振幅ｄｐの最終値に波及する程度を最小限に抑えるよう
に、センサーの位置の最適化が行われる。調波振幅デー
タの偏差と到達時間データの偏差（かかる偏差は主とし
て動翼通過時間の偏差△ｔによる零平均ガウス誤差の結
果生じる）とは以下のような関係がある。
【００３３】
【数１１】 最終結果に対するＮ個のセンサーのそれぞれからのデー
タの偏差の影響を最小限に抑えるのが目的であるから、
性能規準は下記のように定義できる。
【００３４】
【数１２】 式（１１）を式（１２）へ代入してσｔ２及びαの項を
除くと（それらはセンサー位置の関数ではないため）、
Ｓ個の調波セットにつき行った分析の性能規準は下式の
ように定義できる。
【００３５】
【数１３】 かくして、調波振幅データに対する動翼到達時間データ
の偏差の影響は、Ｓ個の調波セットＨの各々につき
［Ａ］−１行列の要素ｂｉｊの平方の和を最小限にする
ことにより最小限に抑えられる。Ｐを最小にするｂｉｊ
（ｋ）の値は反復勾配サーチ法により求めることが可能
である。かかる方法は下式により表わすことができる。
【００３６】
【数１４】 この用途ではＴｋ＝δＰ／δθｉであるのを示すことが
できる。かくして、［Ａ］−１行列の要素ｂｉｊ（ｋ）
がＰの最小値を生ぜしめる、センサーの角度θｉのセッ
トは以下の式から求めることが可能である。
【００３７】
【数１５】 本発明者は１．０がυの適当な値であることを発見して
いる。
【００３８】勾配サーチ法を式（１４）へ適用するのは
δＰ／δθｉを分析的に求めることにより行うことが可
能である。しかしながら、このように分析的に解くのは
極端に難しいため、特にＮが大きい場合は勾配の値を有
限差分法を用いて下式により近似することができる。
【００３９】
【数１６】 本発明者は０．０５がεの適当な値であることを発見し
ている。さらに、このようにして近似した勾配の値は非
常に大きくなって（即ち４０°よりも大きい）収束プロ
セスが不安定になる可能性があるため、本発明者は勾配
の大きさを０．１に抑えるのが望ましいことを発見して
いる。
【００４０】この勾配サーチ法は、シリンダーのある特
定の領域（即ち、θのある範囲にわたって）アクセスが
制限されることによる上述の制約があるため、結果が安
定的な解に収束するまで式（１５）に基づき各センサー
ｉ＝１、２、３、・・・Ｎにつき行う。この解により動
翼センサー位置の最適セット、即ち、動翼の到達時間デ
ータの偏差が与えられた場合調波成分の振幅データの偏
差が最小になる要素ｂｉｊ（ｋ）を有する［Ａ］−１行
列のセットを生ぜしめるθの値のセットが得られる。
【００４１】ＩＩ．応用 上述した理論的な枠組みに基づき、本発明は以下に示す
ように実施される。図１及び２に示した本発明装置及び
図４−９に示したフローチャートを参照されたい。
【００４２】図１は、動翼先端部を感知するセンサー
１、２、３、基準センサー２０、基準マーカ２２、動翼
振動プロセッサ１５及びアナライザ１７よりなる本発明
の動翼振動モニター装置を示す。図１には動翼先端部を
感知する３個のセンサーを示しているが、これは以下に
示すように本発明に従って使用可能なセンサーの最小値
であるからである。しかしながら、３個よりも多い数の
センサーを用いてもよい。
【００４３】好ましい実施例のこれらのセンサーは渦電
流タイプである。しかしながら、本発明をマイクロ波ま
たは光学的方法を含む（これらに限定されない）動翼通
過を感知する任意の適当な方法を用いて実施することが
可能である。センサー１、２、３はシリンダー７に取り
付けられており、動翼１２の列の周りの円周位置に配置
してある。各センサーが感知する磁束は動翼先端部がセ
ンサーを通過するとき最大値になる。図２に示すセンサ
ーの出力電圧３２はこの磁束の時間に関する導関数であ
り、その波形は動翼先端部がセンサーを通過した瞬間お
いて零交差する。センサー２０は通常動翼列と同じ面に
は取り付けられてはいないが同じようにシリンダー７に
固定してある。ロータ１６上には基準マーカ２２が配置
されていて割出し手段として働き、これにより各動翼を
この基準マーカ２２に関する位置によって識別すること
が可能である。さらに、この基準マーカ２２によりセン
サー２０は同様な出力信号３６を発生する。基準マーカ
２２がセンサー２０を通過する瞬間においてセンサー出
力３６が零交差するが、これはロータの１回転につき一
度起こる（ＯＰＲ）。かくして、センサー出力３２、３
６がそれぞれ零交差することにより示される動翼の通過
及びＯＰＲを検出することにより、ＯＰＲと各動翼先端
部１３が各センサー１、２、３に到達した時間との間の
経過時間を求めることができる。この経過時間を動翼到
達時間と呼ぶ。
【００４４】図１に示すように、センサー１、２、３及
び２０からの出力３２、３６は動翼振動プロセッサ１５
へ入力される。図２に示すように、この動翼振動プロセ
ッサ１５では、信号３２、３６が動翼の通過に応答して
出力パルスを発生する通過検出器４０へ入力される。動
翼の通過に応答して出力パルスを発生する適当な回路は
公知である。例えば本明細書の一部を形成するものとし
て引用する米国特許第４，５９３，５６６号を参照され
たい。基準センサー２０からの信号３６は４番目の通過
検出器４０へ入力される。通過検出器４０からの信号４
２は動翼センサー信号３２の場合は動翼１３の通過を、
また基準センサー２０の場合は基準マーカ２２の検出を
示し、これらはそれぞれラッチ４４へ入力される。
【００４５】２４ＭＨｚのクロック４６または他の適当
な周波数のクロックが各ラッチ４４のクロック入力端子
４８へクロック信号４３入力を供給する。各通過検出器
４０が発生する信号４２によりラッチがそのクロック入
力４８へ入力される現在のクロック時間を蓄積する。か
くして、各ラッチ４４の出力で得られる信号４５は、動
翼がセンサー１、２、または３を通過した時間或いは基
準マーカ２２がセンサー２０を通過した時間を表わす。
図２には４つの通過検出器４４及びラッチ４４を示す
が、動翼センサーをさらに増加させると検出器及びラッ
チの数を増やす必要がある。
【００４６】デジタル・マルチプレクサ５０は、各ラッ
チ４４からの信号４５を多重化してデジタル的に多重化
された信号５２をマイクロプロセッサ５４へ送る。この
マイクロプロセッサ５４は制御ライン５６を介してマル
チプレクサ５０を通るデータの流れを制御し、またラッ
チ４４をリセットする能力を有する。
【００４７】マイクロプロセッサ５４は、信号４５を用
いて、ＯＰＲの時点ＴＯＰＲを基準とする各動翼の各動
翼センサーへの到達時間ｔｍｉを計算する。また、ＴＯ
ＰＲの順次の測定値の間の差を求めることによって、ロ
ータの回転周波数の逆数であるロータの１完全回転に必
要な経過時間Ｔｒｅｖを計算する。さらに、このマイク
ロプロセッサー５４は後述するように他の計算を行う。
【００４８】図４に示すように、図１及び２に示した装
置を用いる本発明の方法は４つの主要なフェースによ
り、即ちセンサー位置の最適化、「静かな」ＲＰＭにお
ける標準化、試行ＲＰＭにおけるデータ収集、及びその
データの分析によって実施される。
【００４９】センサー位置の最適化に必要なステップを
図５及び図６に示す。ステップ６０では、調波ＨＬの各
セットに含めるべき調波ｈｋの数Ｍ、即ち同時に分析す
べき調波の数を選択する。ステップ６１において、ステ
ップ６０で選択したＭの値に基づきセンサーの数Ｎを決
定する。上述したように、変位ベクトルＤの式（９）を
解くためには条件Ｎ＝２Ｍ＋１を満足する必要がある。
従って、シリンダーに取り付けることが可能なセンサー
の数に対する制約が、同時に分析可能な調波の数に対す
る制約となる。
【００５０】振動がたった１つの調波に発生していると
言う確信があれば、センサーを３個だけ設置すればよい
ためＭ＝１を選択すると有利である。しかしながら、静
的で且つ第１調波によるたわみの存在が予想できるた
め、分析には零及び第１調波を含めるのが普通である。
従って、最適の方法として少なくとも５つのセンサーを
用いるのがよい。
【００５１】しかしながら、時としてそうであるよう
に、動翼の振動が幾つかの調波における振動の複合であ
る場合、十分な数の調波を同時に分析しないと誤差が生
じる。これは、以下に説明するような分析法によると、
正弦及び余弦項の係数、即ち、式（７）のｄｐの値を、
選択した調波周波数だけを用いて動翼先端部の変位の実
際の波形にできるだけマッチするように解くため、そう
なるのである。選択されなかった調波における振動がか
なり存在する場合は、この振動が選択した調波成分の振
幅に誤差として表われる。従って、動翼振動が第３及び
第５調波における振動を複合したものであり且つ一度に
たった１つの調波だけを分析する（Ｍ＝１）場合、第３
及び第５調波を個別に分析するとこれらの調波のいずれ
かにおける振動成分の実際の振幅を正確に求めることが
できない。従って、同時に分析すべき調波の数は存在す
ると予想される振動、即ち存在するであろう調波の数、
及び多数のセンサーを取り付ける困難性に基づき注意深
く選択する必要がある。さらに、数セットの調波を用い
て分析を繰り返し行い、その結果を比較してこの分析に
使用すべき調波の適当なセットを決定する必要がある。
【００５２】これまで、ロータ回転周波数の調波である
周波数における動翼振動についてのみ述べた。しかしな
がら発生する振動は調波でない振動を複合したものであ
る場合があることを認識すべきである。しかしながら、
かかる非調波振動を検出するのは本発明の目的ではな
い。さらに、以下に説明するように、かかる非調波振動
は平均化によりデータから除かれる。
【００５３】ステップ６２では、シリンダーにおけるセ
ンサー位置の制約について検討する。上述したように、
シリンダー７のある特定の領域ではパイプやフランジ等
のためアクセスが制限されることもあってセンサーの取
り付けが不可能である。さらに、取り付けるセンサーの
間隔をある特定の最小距離以下にすることはできない。
従って、θｉにはある特定の値をとらないように決めな
ければならないと言う制約がある。上述したように、本
発明によると、センサーをシリンダー７の周りに等間隔
で取り付ける必要はない。従って、ステップ６２で検討
する制約には、全てのセンサーをシリンダー７のカバー
となる上半分８に取り付けることができるようにθの値
が９０°と２７０°の間の値（頂部の死点が０°であ
る）を越えないようにする条件を含めることができる。
これらの制約は図６に示すステップ７１の値θｉにも適
用される。
【００５４】ステップ６３において、分析すべき調波セ
ットの数Ｌ及び各調波セットＨＬの調波の値ｈｋを、各
セットにＭ個の値ｈｋだけを含めることができるが任意
の数の調波セットを選択可能であることを考慮して選択
する。選択するｈｋの値は予想される調波に基づいて決
める。一般的に、第１調波は常に存在するため、これが
存在しない確信がある場合を除き各セットに含める必要
がある（ｈ１＝１）。
【００５５】ステップ６４−８７において、センサーの
最適位置を決定する。ステップ６５において、ランダム
数発生器を用いてθｉの試行セットを選択する。或いは
下式を用いる対数的な間隔決定により可能性のあるθｉ
の試行セットを求めることができる。
【００５６】
【数１７】 図６に示すステップ７２−７７において、式（１０）に
示す２組の離散フーリエ変換行列［Ａ］０Ｌ−１及び
［Ａ］１Ｌ−１を形成するが、これらの行列のそれぞれ
選択した各調波セットＨＬに対して形成される。最初
に、［Ａ］０Ｌ−１行列のセットをステップ６５で選択
したθｉの試行セットにつき求める。次いで、［Ａ］１
Ｌ−１行列のセットを、θ１，即ちセンサー１の位置
（ステップ６９において決定される、このセンサーの位
置がロック状態にないと仮定して）がステップ７４にお
いてεだけ増加している場合を除き、θｉの同じセット
につき求める。上述したように、εの好ましい値は０．
０５°である。ステップ７９において、性能基準Ｐ０及
びＰ１の値を式（１３）を用いて［Ａ］０Ｌ−１及び
［Ａ］１Ｌ−１行列セットにつき求める。ステップ７９
において、θｉの試行セットにおける勾配Ｔの値を式
（１６）から近似する。ステップ８０、８１においてＴ
の値を最大値Ｔｍａｘを越えないように制限してこの手
順に不安定性が生じるのを防止する。上述したように、
Ｔｍａｘの好ましい値は０．１°である。
【００５７】ステップ８２において、θ１の新しい値を
ステップ７９において決定した勾配の値だけそれを減少
させることにより求める。次いでステップ７１−８２を
繰り返すが、今度はθ２の新しい値を求める。ステップ
６８−７０において、ステップ７１−８２を各センサー
につきステップ８２においてθｉの新しい値が計算され
るまでＮ回繰り返す。ステップ８３、８４において、ス
テップ６７−８２をＩｍａｘ回繰り返すが、各反復によ
り上述したようにステップ８２で求めた勾配の値だけ各
θｉを減少することによってθｉの新しい値を計算す
る。本発明者はＩｍａｘ＝５００であれば収束が得られ
ることを確かめた。
【００５８】ステップ７１において加えた制約により、
θｉのこの勾配は最終的に制約すれすれに近付くため収
束するとしても各θｉの勾配が零になることを意味する
ものではない。さらに、ステップ６５−８４による方法
を用いると性能基準が局所的に最小となるに過ぎないこ
とを認識すべきである。従って、ステップ８５及び８６
において、毎回θｉの新しい試行セットを用いてステッ
プ６５−８４をＴ回繰返すことにより性能基準の大域的
最小値を見つける可能性が増す。この目的のためには少
なくとも３回（Ｔ＝３）傾斜サーチを行うことを推奨す
る。
【００５９】本発明者が行ったセンサー位置の１つの最
適化では、シリンダー基部の下半分にセンサーの取り付
けを回避するようにした。かくして、θｉが１８０°か
ら３６０°の間の値をとらないように制限した（この場
合０°を左方の水平なジョイントとした）。さらに、カ
バーとなる上半分の位置１０°−１５°及び６０°−６
５°にはセンサー取り付けに十分なアクセススペースが
ないことが分かった。さらに、センサーを互いに３°以
内の間隔で取り付けるべきでないことが分かった。これ
ら全ての制約を考慮して分析を行なった。振動を正確に
モニターするには１１個のセンサーが必要であることが
予想された。また、分析を行うために２セットの調波を
選択した。即ち、Ｈ１＝１、５、６、７、８及びＨ２＝
１、５、６、１４、１５。上述したように、θｉの１０
個の試行セット，５００回の反復（Ｉｍａｘ＝５００）
及びＴｍａｘ＝０．１となるように制限した勾配を用い
てセンサー位置の最適化法を実施した。この例では、セ
ンサー位置の最適セットとして０°、１０°、２４°、
４５．５°、６６．８°、８６．８°、１１３．２°、
１２５．９°、１４０．７°、１６９．７°及び１８０
°を得た。
【００６０】センサー位置の最適セットが得られると、
ステップ８８においてシリンダー７へセンサーの取り付
けを行う。センサーの取り付け方法は、本明細書の一部
を形成するものとして引用する本出願人へ譲渡された米
国特許第４，９０７，４５６号（発明者；Rozelle ）に
開示されている。
【００６１】図７に示すように標準化フェースをステッ
プ１３０−１４５において行う。本発明によれば、存在
する動翼振動が無視できる場合に得られる動翼の実際到
達時間データを用いてθｉを決定する。従って、ステッ
プ１３０において、動翼振動が無視できる「静かな」速
度ＲＰＭＱにおいてロータを作動させる。ＲＰＭＱの値
はモニター対象である動翼の特定の設計（即ち、動翼の
固有周波数）及び動翼が作動する特定のタービン装置に
存在する動翼の励振源に依存する。ステップ１３２にお
いて、ＯＰＲを基準とする動翼到達時間ｔｅｉは、ロー
タの１回転にわたる順次のＯＰＲ間の経過時間Ｔｒｅｖ
と共に、各センサーにおいて各動翼につき検出される。
後述するステップ１３７−１４４により検証されるよう
に動翼がＲＰＭＱにおいて受ける振動は無視できると仮
定されるから、動翼の各先端部はその中性点にある。従
って、動翼の到達時間ｔｅｉは動翼の予想到達時間、即
ち動翼の先端部に振動によるたわみが無い場合の到達時
間であると見做される。
【００６２】各動翼の先端部は、ロータ速度と共に変化
する遠心力及び流体負荷による静的たわみを受けること
に注意されたい。同一速度でデータの収集と標準化を行
う場合は、その両方について静的たわみは同一であり、
従って予想到達時間に偏差は生じない。標準化速度とデ
ータ収集速度との間に実質的な差があって静的たわみに
変動が生じると、零調波におけるたわみ成分として分析
結果に表われる。
【００６３】ステップ１３３において、動翼の到達時間
を下式で示すように各動翼の各センサーへの到達に対応
するロータ回転比ｑｅｉとして表わすことにより規準化
される。
【００６４】
【数１８】 センサー位置は下式のごとく定義されるから、
【００６５】
【数１９】 式（１８）を式（１９）へ代入すると以下のようにな
る。
【００６６】
【数２０】 式（２０）によると、センサー位置は動翼がそのセンサ
ーに到達する時間に関連するロータ回転の比率で表わす
ことができる。従って、本発明によれば、動翼到達時間
はセンサーの幾何学的位置θｉの代わりに用いることの
できるロータ回転の比ｑｅｉとして表わすことにより規
準化される。一列に動翼が１００個あり７個のセンサー
を用いる場合には、ロータの各回転につきｑｅｉの値が
７００個得られる。
【００６７】本発明の重要な特徴は、ｔｅｉ及びＴｒｅ
ｖの収集及びｑｅｉの計算をＱ回転につき行うことであ
る。各センサーにおける各動翼の最終値ｑｅｉは、ステ
ップ１３６においてｑｅｉの値をＱ回転にわたり平均化
することにより求めることができる。この平均化により
非同期振動に起因する誤差が最小限に抑えられるが、こ
れは動翼振動の任意の非同期成分によりロータの順次の
回転間において任意の所与のセンサーにおいて検出され
る動翼先端部のたわみが変化すると定義されるからであ
る。。何回かの回転の間、到達時間はこの非同期振動に
より増加するが、その他の回転の間到達時間は減少する
であろう。従って、到達時間データｑｅｉを平均化する
ことによりこの動翼の非同期成分を分析結果から除外す
る。
【００６８】ステップ１３７−１４５において、標準化
フェースのＲＰＭＱが適当かどうかのテストを行う。前
述したように、この標準化を同期振動がかなり存在する
ロータ速度で行うと分析精度が落ちるが、これはこの振
動によりｑｅｉで示されるセンサー位置の計算に誤差が
入るからである。ＲＰＭＱの「静かさ」は、後述するよ
うにデータを収集して、ＲＰＭＱよりも僅かに高いか僅
かに低い速度での振動成分Ｄｈｌｋ及びＤｈ２ｋをそれ
ぞれ計算することにより求める。著しい励振が無い場
合、速度が少し変化しても振動にはっきり分かるような
変動が生じないため、ステップ１４０及び１４５におい
てこれらの振動成分Ｄｈ１ｋ及びＤｈ２ｋを所定の振動
レベルＤｈＴと比較する。もしそれらの成分がこのレベ
ルより大きければ、ＲＰＭＱは標準化を行うには十分に
「静か」でないと判定し、ステップ１４１において元の
ＲＰＭＱを少しずつ変化させて新しいＲＰＭＱを選択す
る。次いでステップ１３１−１４５を繰り返す。本発明
者は、ステップ１３７及び１４２における速度増分△Ｒ
ＰＭがほぼ３０ＲＰＭであれば標準化速度の「静かさ」
をテストするのに十分大きいこと、またその速度が十分
に「静か」とは振動成分が１０ミルレベル以下であるこ
とが分かった。
【００６９】振動解析を行う試験速度ＲＰＭＴでのデー
タ収集は、図８に示すようにステップ１０１−１０７に
おいて行う。ステップ１０３において、各センサーへの
各動翼の到達時間ｔｍｉをＴｒｅｖと一緒にＱ回転のそ
れぞれにつき求める。本発明の重要な特徴の１つは、セ
ンサーへの動翼の到達に対応するロータ回転比ｑは、上
述したように標準化フェースにおいてセンサー位置ｑｅ
ｉを求めるのに使用するだけでなく、動翼先端部が振動
によりたわんでいる場合動翼の実際到達時間ｑｍｉを表
わすのにも使用する点である。従って、ｑｍｉの値を式
ｑｍｉ＝ｔｍｉ／Ｔｒｅｖにより各回転につき計算す
る。
【００７０】測定時間ｔｍｉそれ自体でなくて回転比ｑ
ｍｉを用いる利点は、ｑｍｉがロータ回転の周期Ｔｒｅ
ｖにより規準化されていることである。従って、データ
収集時ロータ速度が僅かに変化しても結果には影響がな
い。標準化フェースにおけると同様、ｑｍｉの値を非同
期振動の影響を除くためＱ回転にわたり平均化する。
【００７１】振動の解析は図９に示すステップ１１０−
１２０において行う。標準化フェースのステップ１３６
からのｑｅｉの値及びデータ収集フェースのステップ１
０４からのｑｍｉの値を用いると、ロータ回転比△ｑｉ
で表わした、各センサーへの各動翼の実際到達時間の予
想到達時間からの偏差△ｔｉは下記の式から計算可能で
ある。
【００７２】
【数２１】 前述したように、任意の所与のセンサーにおける動翼の
予想到達時間からの実際到達時間の偏差△ｔｉ（及びそ
の代わりのものとしての△ｑｉ）はそのセンサーに到達
した時点での動翼先端部のたわみを、従って動翼の振動
振幅を示す。
【００７３】ステップ１１１において、△Ｑベクトルを
ステップ１１０において各センサーにつき求めた△ｑｉ
の値から形成する。別の△Ｑベクトルを各動翼につき形
成する。式（１８）を調べると、以下のことが明らかに
なる。
【００７４】
【数２２】 式（２０）及び（２２）を式（８）へ代入すると下記の
ようになる。
【００７５】
【数２３】 ［Ａ］行列の２Ｍ＋１列には１が並んでおり、これは先
端部の静的たわみを表わしており零調波とも呼ばれる。
変位ベクトルＤについて解くと、式（２３）は次のよう
になる。
【００７６】
【数２４】 式（２４）は各調波の正弦及び余弦成分の振幅の計算に
用いる式の実際的な形である。［Ａ］−１行列は時間領
域の動翼振動波形（到達時間データで示されている）を
周波数領域へ変換する離散フーリエ変換行列である。本
発明によると、この変換行列はロータ回転比ｑｉ或いは
センサーの幾何学的位置θｉのいずれかで表わすことが
できる。この変換はＭ個の所定の調波ｈｋ（例えばｈｋ
＝１、３、７）により表わされる周波数領域に限定され
る。
【００７７】ステップ１１３において、［Ａ］−１変換
行列を、ステップ１３６で求めた各センサーに関するｑ
ｅｉの値、またステップ６３で選択した調波セットＨＬ
により形成する。ステップ１１４において、ステップ１
１３で形成した変換行列［Ａ］−１と、ステップ１１１
で求めたロータ回転ベクトル比△Ｑで表わした動翼到達
時間の偏差とを用い、各動翼及び調波セットに関連する
変位ベクトルＤにつき式（２４）を解く。ステップ１１
５−１１８において、ＨＬセットで選択したＭ個の調波
ｈｋの各々における動翼振動成分の振幅を式（３）から
計算する。ステップ１１３−１１９をステップ６３で選
択した各調波セットＨＬにつき繰り返し、もし分析のた
め１０個の調波セット（Ｓ＝１０）を選択する場合、１
０個の異なる［Ａ］−１変換行列及び１０セットの調波
の振幅が各動翼につき得られるようにする。ステップ１
２０に示すように、所望であれば他のロータ速度につき
データ収集フェース及び分析フェースを繰り返すことが
可能である。
【００７８】各調波セットＨＬにつき４つの調波ｈｋ
（Ｍ＝４）及び４つの異なる調波セットに基づく分析を
用いる単一の動翼の振動データの仮想セットを表１に示
す（振幅値の単位はミルである）。ｈ０のデータは最後
の標準化点からの先端部の静的たわみを表わす。
【００７９】
【表１】 かなりの振動が生じる調波を前もってある確度で知って
いる場合を除き、データを適正に分析するには種々の調
波セットを選択する必要がある。従って、表１に示すデ
ータは第１及び第３調波セットにつき分析すると零及び
第１調波の値が高いことを示しているが、第２及び第４
調波セットのこれらの調波はたわみの発生を示していな
い。第１及び第３のセットがこれらのセットの全ての調
波で大きい値を持つということは、動翼が振動する実際
の調波がこれらのセットに含まれていないことを示す。
表１からの結論としては、第３調波において１００ミル
の振動が存在するということである。
【００８０】この分析により得られる各調波成分の振幅
に基づき、動翼にかかる振動応力を計算することが可能
である。
【００８１】本発明はその精神及び範囲から逸脱するこ
となく種々の変形例及び設計変更が可能である。従っ
て、本発明の範囲を指示するものとしては上述の発明の
詳細な説明ではなくて頭書した特許請求の範囲を参照さ
れたい。
【図面の簡単な説明】
【図１】図１はタービン装置の横断面図であり、回転す
る動翼と本発明による動翼の同期振動モニター装置を示
す。
【図２】図２は図１の動翼振動プロセッサの詳細を示
す。
【図３】図３（ａ）及び（ｂ）は時間領域における典型
的な動翼先端部のたわみ波形を示し、図３（ｃ）は第３
及び第５調波の振動よりなる動翼先端部たわみ波形のフ
ーリエ解析の結果を示す。
【図４】図４は本発明による振動モニター方法全体を示
すフローチャートである。
【図５】図５は図４に示した動翼センサー位置の最適化
フェースのステップを示すフローチャートである。
【図６】図６は図４に示した動翼センサー位置の最適化
フェースのステップを示すフローチャートである。
【図７】図７は図４に示した標準化フェースのステップ
を示すフローチャートである。
【図８】図８は図４に示したデータ収集フェースのステ
ップを示すフローチャートである。
【図９】図９は図４に示した振動解析フェースのステッ
プを示すフローチャートである。
【符号の説明】
１、２、３ センサー ７ ハウジング １２ 動翼 １３ 動翼先端部 １４ ロータディスク １６ ロータ ２０ 基準マーカセンサー ２２ 基準マーカ １５ 動翼振動プロセッサ １７ アナライザー
───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 フランシス スピード マツケンドリー アメリカ合衆国 ペンシルベニア州 ピツ ツバーグ ラバーン ストリート 105 (72)発明者 チヤールス ウイリアム アイノルフ ジ ユニア アメリカ合衆国 ペンシルベニア州 エク スポート モンテイセロ アベニユー 219 アール デイー ４ (72)発明者 ポール フランシス ロゼル アメリカ合衆国 フロリダ州 フアーン パーク コーク ライト ドライブ 760 (72)発明者 ロジヤー ウオルター ヘイニツグ アメリカ合衆国 フロリダ州 ココア ビ ーチ ヨツト ヘブン 32

Claims (12)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】 タービン装置の動翼振動モニター装置で
    あって、周面に列状に配置されタービン装置の動作時振
    動し易い複数の動翼を備えたロータと、ロータ回転周波
    数の調波に等しい周波数で振動する動翼の振動成分をモ
    ニターする振動モニターとより成り、前記振動モニター
    が、動翼列の周りの円周位置に配置され動翼が到達する
    と信号を発生する少なくとも３つのセンサー、センサー
    からの信号に応答して各動翼が各センサーに実際に到達
    する時間を表わすデータを発生する手段、各動翼が各セ
    ンサーへ到達する予想到達時間を表わすデータを発生す
    る手段、各動翼が各センサーへ到達する実際到達時間と
    予想到達時間との間の偏差を求める手段より成り、少な
    くとも２つのセンサー間の間隔が他のセンサー間の間隔
    と比べて均一でなく、前記振動モニターが前記偏差から
    各動翼の振動成分を求める手段をさらに具備することを
    特徴とする振動モニター装置。
  2. 【請求項２】 前記振動成分を求める手段が、ロータの
    各回転につき動翼の実際到達時間を規準化する手段をさ
    らに備えてなることを特徴とする請求項１に記載のモニ
    ター装置。
  3. 【請求項３】 前記規準化手段が、ロータの１完全回転
    に必要な時間周期を求める手段と、ロータの前記１完全
    回転に対する各実際到達時間の比を求める手段とよりな
    ることを特徴とする請求項２に記載のモニター装置。
  4. 【請求項４】 前記実際到達時間のデータを発生する手
    段が、クロックと、センサーからの信号に応答してクロ
    ックのカウント値をラッチする複数のラッチとよりなる
    ことを特徴とする請求項１、２または３に記載のモニタ
    ー装置。
  5. 【請求項５】 前記振動成分を求める手段が、ロータ上
    に形成した基準となる基準マーカと、前記基準マーカが
    到達すると信号を発生する別のセンサーとよりなること
    を特徴とする請求項１、２または３に記載のモニター装
    置。
  6. 【請求項６】 前記振動成分を求める手段が１／２（Ｎ
    −１）に等しいＭ個の調波より成る選択セットから調波
    に等しい周波数で振動する前記振動成分を求めるために
    センサーが検出したデータでフーリエ変換行列を形成す
    る手段を有し、前記フーリエ変換行列形成手段が実際到
    達時間と予想到達時間との偏差を前記選択セットの前記
    調波に等しい周波数における周波数領域のデータへ変換
    する手段を有することを特徴とする請求項１乃至５のう
    ち任意の１項に記載のモニター装置。
  7. 【請求項７】 前記予想到達時間のデータを発生する手
    段が「静かな」ロータ速度における実際到達時間データ
    を求める手段よりなることを特徴とする請求項１乃至６
    のうち任意の１項に記載のモニター装置。
  8. 【請求項８】 請求項１乃至７のうち任意の１項に記載
    した装置を用いて動翼振動の調波を求める方法であっ
    て、 （ａ）第１のセンサーを基準とする複数の第２のセンサ
    ーの各々の角位置を決定し、 （ｂ）セット内の調波の数が１／２（Ｎ−１）に等しい
    調波セットを選択し、 （ｃ）ロータを第１の速度で回転して基準マーカの前記
    第１のセンサーへの到達時間を基準として各動翼の前記
    第２のセンサーの各々への到達時間を求め、 （ｄ）ステップ（ａ）で求めた前記角位置及びステップ
    （ｂ）において選択した前記調波セットを用いて前記到
    達時間データを周波数領域へ変換するためにフーリエ変
    換行列を求め、 （ｅ）ステップ（ｃ）で求めた前記到達時間データによ
    るベクトルを形成し且つステップ（ｄ）で求めた前記フ
    ーリエ変換行列を掛け合わせて動翼先端部の変位ベクト
    ルを求めるステップよりなることを特徴とする方法。
  9. 【請求項９】 前記第１のセンサーを基準として第２の
    センサーの各々の各位置を求めるステップが、ロータを
    第２の速度で回転させて、第２のセンサーの各々への各
    動翼の到達時間を第１のセンサーへの基準マーカの順次
    到達時点間の経過時間に対する比として、求めるステッ
    プよりなることを特徴とする請求項８に記載の方法。
  10. 【請求項１０】 前記到達時間データによりベクトルを
    形成するステップが、第１のセンサーへの基準マーカの
    ２つの順次到達時点間の時間周期を検出し、前記到達時
    間データを前記時間周期により割算してロータの各回転
    に関し前記到達時間データを規準化するステップよりな
    ることを特徴とする請求項８または９に記載の方法。
  11. 【請求項１１】 （ａ）第２のセンサー位置の前記セッ
    トのうちの所与の１つにつき前記調波成分の振幅の偏差
    に対する前記到達時間データの偏差の影響を表わす性能
    規準を形成し、 （ｂ）勾配サーチ法により前記性能規準が最小値をとる
    第２のセンサー位置の前記セットを求めるステップを用
    いることにより、 前記到達時間データの所与の偏差に対して前記調波成分
    の振幅の偏差が最小となる第２のセンサー位置のセット
    を求めることにより、センサーをロータの周りの円周位
    置に配置することを特徴とする請求項８、９または１０
    に記載の方法。
  12. 【請求項１２】 ロータ回転周波数のＭ個の調波ｈｋに
    おける動翼の振動振幅Ｄｈｋを求める方法であって、ロ
    ータが基準マーカを有し、動翼が半径Ｒの或る長さを持
    ち、Ｎ個のセンサーが動翼の回転面の周りの円周位置に
    配置されて動翼がセンサー位置に到達すると信号を発生
    し、Ｎは少なくとも３に等しい整数であり、 （ａ）各センサーの角位置θｉを求め、 （ｂ）式Ｍ＝１／２（Ｎ−１）により第１のセンサーの
    数Ｎから求まる、分析すべきロータ回転周波数のＭ個の
    調波ｈｋのセットＨを選択し、 を用いてそれぞれステップ（ａ）及び（ｂ）からのθｉ
    及びｈｋの値により行列Ａの要素ａｉｊの値を計算し、 （ｄ）ステップ（ｃ）により求めた行列Ａの逆行列
    ［Ａ］−１を計算し、 （ｅ）前記軸をある速度で回転させてロータの前記速度
    での１完全回転に必要な時間に対する比率ｑｍｉとして
    各センサーへの動翼の到達時間を求めてｑｍｉ値からベ
    クトルを形成し、 （ｆ）式Ｄ＝２πＲ［Ａ］−１からベクトルＤの要素の
    値ｄｐを計算し、 （ｇ）式Ｄｈｋ＝［ｄ２２ｋ−１＋ｄ２２ｋ］１／２か
    らセットＨの前記調波ｈｋの各々の振幅Ｄｈｋを計算す
    るステップよりなることを特徴とする請求項８に記載し
    た方法。
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