JPH06130114A - 配線故障解析方法 - Google Patents
配線故障解析方法Info
- Publication number
- JPH06130114A JPH06130114A JP4306317A JP30631792A JPH06130114A JP H06130114 A JPH06130114 A JP H06130114A JP 4306317 A JP4306317 A JP 4306317A JP 30631792 A JP30631792 A JP 30631792A JP H06130114 A JPH06130114 A JP H06130114A
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- JP
- Japan
- Prior art keywords
- grain boundary
- elements
- atoms
- diffusion
- failure analysis
- Prior art date
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- Pending
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- Testing Of Short-Circuits, Discontinuities, Leakage, Or Incorrect Line Connections (AREA)
Abstract
(57)【要約】
【目的】 ポテンシャル解析のための要素分割が歪んだ
４角形要素や３角形要素を用いるなど複雑であってもス
ムーズに解析すること。 【構成】 配線形状に従ってボロノイ分割等により結晶
組織を生成し（Ｓ１）、有限要素法により電流密度を求
める（Ｓ２）。次に、電流により発生するジュール熱を
熱源として、有限要素法により温度分布を求める（Ｓ
３）。次に、電流によって原子が粒界で拡散する量を求
める（Ｓ４）。原子の拡散によりボイドが発生した場合
には、ボイド部分の要素に電流が流れないように電気抵
抗を無限大とする（Ｓ５）。ボイドが成長して断線に戻
るまで前記Ｓ２〜Ｓ５の処理を繰り返す。
４角形要素や３角形要素を用いるなど複雑であってもス
ムーズに解析すること。 【構成】 配線形状に従ってボロノイ分割等により結晶
組織を生成し（Ｓ１）、有限要素法により電流密度を求
める（Ｓ２）。次に、電流により発生するジュール熱を
熱源として、有限要素法により温度分布を求める（Ｓ
３）。次に、電流によって原子が粒界で拡散する量を求
める（Ｓ４）。原子の拡散によりボイドが発生した場合
には、ボイド部分の要素に電流が流れないように電気抵
抗を無限大とする（Ｓ５）。ボイドが成長して断線に戻
るまで前記Ｓ２〜Ｓ５の処理を繰り返す。
Description
【０００１】
【技術分野】本発明は、配線故障解析方法に関し、より
詳細には、有限要素法によるポテンシャル解析と粒界拡
散の解析とを組み合わせて行うエレクトロマイグレーシ
ョンによる配線故障解析方法に関する。
詳細には、有限要素法によるポテンシャル解析と粒界拡
散の解析とを組み合わせて行うエレクトロマイグレーシ
ョンによる配線故障解析方法に関する。
【０００２】
【従来技術】本発明に係る従来技術を記載した公知文献
としては、P.J.Marcoux et al.,「HEWLETT-PACKARD JOUR
NAL」(JUNE,1989,P.79)がある。これは、有限要素法によ
り電流密度と温度の値を求め、その値を用いて、ボロノ
イ分割により生成した結晶組織での粒界での原子の流束
を解いてエレクトロマイグレーションによる配線故障の
解析を行なっている従来例がある。この従来例では、有
限要素法によるポテンシャル解析は大きさの等しい長方
形の要素に分割して行っているため、粒界の頂点が属す
る要素は簡単に特定でき、また、頂点が属する要素を特
定するだけで、粒界がどの要素を横切っているかの判定
は容易に行なえる。しかし、有限要素法は任意の形状を
要素分割できるという特徴があり、３角形要素や歪んだ
４角形要素を用いることが多く、要素の形状を自由にと
るとき粒界が属する要素を知る方法はこれまで示されて
いなかった。
としては、P.J.Marcoux et al.,「HEWLETT-PACKARD JOUR
NAL」(JUNE,1989,P.79)がある。これは、有限要素法によ
り電流密度と温度の値を求め、その値を用いて、ボロノ
イ分割により生成した結晶組織での粒界での原子の流束
を解いてエレクトロマイグレーションによる配線故障の
解析を行なっている従来例がある。この従来例では、有
限要素法によるポテンシャル解析は大きさの等しい長方
形の要素に分割して行っているため、粒界の頂点が属す
る要素は簡単に特定でき、また、頂点が属する要素を特
定するだけで、粒界がどの要素を横切っているかの判定
は容易に行なえる。しかし、有限要素法は任意の形状を
要素分割できるという特徴があり、３角形要素や歪んだ
４角形要素を用いることが多く、要素の形状を自由にと
るとき粒界が属する要素を知る方法はこれまで示されて
いなかった。
【０００３】
【目的】本発明は、上述のごとき実情に鑑みてなされた
もので、有限要素法によるポテンシャル解析と粒界拡散
の解析とを組み合わせて行うエレクトロマイグレーショ
ンによる配線故障解析方法において、ポテンシャル解析
のために要素分割が歪んだ４角形要素や３角形要素を用
いるなど複雑であってもスムーズに解析することを可能
にした配線故障解析方法を提供することを目的としてな
されたものである。
もので、有限要素法によるポテンシャル解析と粒界拡散
の解析とを組み合わせて行うエレクトロマイグレーショ
ンによる配線故障解析方法において、ポテンシャル解析
のために要素分割が歪んだ４角形要素や３角形要素を用
いるなど複雑であってもスムーズに解析することを可能
にした配線故障解析方法を提供することを目的としてな
されたものである。
【０００４】
【構成】本発明は、上記目的を達成するために、（１）
少なくとも有限要素法によるポテンシャル解析と結晶組
織の粒界での原子の拡散の解析とからなるエレクトロマ
イグレーションによる配線故障解析方法において、前記
粒界の頂点が属する要素を求めるルーチンと、粒界の線
分が横切る要素を求めるルーチンとを用いて、粒界が属
する要素を求めること、更には、（２）要素Ｅの頂点が
右回りにＰ1(ｘ1,ｙ1)，Ｐ2(ｘ2,ｙ2)，Ｐ3(ｘ3,ｙ3)，
Ｐ4(ｘ4,ｙ4)からなる４角形要素、あるいはＰ1(ｘ1,ｙ
1)，Ｐ2(ｘ2,ｙ2)，Ｐ3(ｘ3,ｙ3)からなる３角形要素の
とき、結晶粒の頂点をＣ(ｘc,ｙc)とすると、Ｓ＝(ｘc
−ｘa)(ｙc＋ｙa)＋(ｘa−ｘb)(ｙa＋ｙb)＋(ｘb−ｘc)
(ｙb＋ｙc)において、４角形要素のとき(ａ，ｂ)＝
(１，２)，(２，３)，(３，４)，(４，１)、３角形要素
のとき(ａ，ｂ)＝(１，２)，(２，３)，(３，１)とした
ときのすべてのＳの値が０以上であるときに頂点Ｃは要
素Ｅに属すると決定すること、或いは、（３）少なくと
も有限要素法によるポテンシャル解析と結晶組織の粒界
での原子の拡散の解析とからなるエレクトロマイグレー
ションによる配線故障解析方法において、一つの粒界が
異なるポテンシャル値を持つ複数の要素に属するとき、
粒界が属する要素のポテンシャルの平均値を用いてポテ
ンシャルの関数である原子の粒界拡散量を求めることを
特徴としたものである。以下、本発明の実施例に基づい
て説明する。
少なくとも有限要素法によるポテンシャル解析と結晶組
織の粒界での原子の拡散の解析とからなるエレクトロマ
イグレーションによる配線故障解析方法において、前記
粒界の頂点が属する要素を求めるルーチンと、粒界の線
分が横切る要素を求めるルーチンとを用いて、粒界が属
する要素を求めること、更には、（２）要素Ｅの頂点が
右回りにＰ1(ｘ1,ｙ1)，Ｐ2(ｘ2,ｙ2)，Ｐ3(ｘ3,ｙ3)，
Ｐ4(ｘ4,ｙ4)からなる４角形要素、あるいはＰ1(ｘ1,ｙ
1)，Ｐ2(ｘ2,ｙ2)，Ｐ3(ｘ3,ｙ3)からなる３角形要素の
とき、結晶粒の頂点をＣ(ｘc,ｙc)とすると、Ｓ＝(ｘc
−ｘa)(ｙc＋ｙa)＋(ｘa−ｘb)(ｙa＋ｙb)＋(ｘb−ｘc)
(ｙb＋ｙc)において、４角形要素のとき(ａ，ｂ)＝
(１，２)，(２，３)，(３，４)，(４，１)、３角形要素
のとき(ａ，ｂ)＝(１，２)，(２，３)，(３，１)とした
ときのすべてのＳの値が０以上であるときに頂点Ｃは要
素Ｅに属すると決定すること、或いは、（３）少なくと
も有限要素法によるポテンシャル解析と結晶組織の粒界
での原子の拡散の解析とからなるエレクトロマイグレー
ションによる配線故障解析方法において、一つの粒界が
異なるポテンシャル値を持つ複数の要素に属するとき、
粒界が属する要素のポテンシャルの平均値を用いてポテ
ンシャルの関数である原子の粒界拡散量を求めることを
特徴としたものである。以下、本発明の実施例に基づい
て説明する。
【０００５】図１は、本発明による配線故障解析方法の
一実施例を説明するためのフローチャートである。以
下、各ステップに従って順に説明する。このフローチャ
ートは、有限要素法により電流密度・温度分布を求め、
それをもとに原子の粒界拡散量を算出するエレクトロマ
イグレーションによる配線故障解析方法を説明するため
のフローチャートである。まず、配線形状に従ってボロ
ノイ分割等により結晶組織を生成する（step１）。次
に、有限要素法により電流密度を求める（step２）。次
に、電流により発生するジュール熱を熱源として、有限
要素法により温度分布を求める（step３）。次に、電流
によって原子が粒界で拡散する量を求める（step４）。
この時、原子の拡散量は、電流密度と温度の関数であ
る。次に、原子の拡散によりボイドが発生した場合に
は、ボイド部分の要素に電流が流れないように電気抵抗
を無限大とする（step５）。ボイドが成長して断線に至
るまでstep２〜５の処理を繰り返す。
一実施例を説明するためのフローチャートである。以
下、各ステップに従って順に説明する。このフローチャ
ートは、有限要素法により電流密度・温度分布を求め、
それをもとに原子の粒界拡散量を算出するエレクトロマ
イグレーションによる配線故障解析方法を説明するため
のフローチャートである。まず、配線形状に従ってボロ
ノイ分割等により結晶組織を生成する（step１）。次
に、有限要素法により電流密度を求める（step２）。次
に、電流により発生するジュール熱を熱源として、有限
要素法により温度分布を求める（step３）。次に、電流
によって原子が粒界で拡散する量を求める（step４）。
この時、原子の拡散量は、電流密度と温度の関数であ
る。次に、原子の拡散によりボイドが発生した場合に
は、ボイド部分の要素に電流が流れないように電気抵抗
を無限大とする（step５）。ボイドが成長して断線に至
るまでstep２〜５の処理を繰り返す。
【０００６】前記step２とstep３の有限要素法のメッシ
ュは共通のものを使うが、一般に有限要素法のメッシュ
と結晶組織とは一致しないので、step４で電流密度と温
度の関数として粒界拡散量を求めるとき、粒界がどの要
素と重なっているのかを知る必要がある。要素が大きさ
の等しい長方形だけであれば容易に知ることができる。
しかし、有限要素法では、任意の形状に合わせて要素分
割するために、３角形要素や歪んだ４角形要素を用いる
ことが多く、粒界がどの要素に重なっているかを求める
のは煩雑であり、これまで具体的な方法は示されていな
かった。
ュは共通のものを使うが、一般に有限要素法のメッシュ
と結晶組織とは一致しないので、step４で電流密度と温
度の関数として粒界拡散量を求めるとき、粒界がどの要
素と重なっているのかを知る必要がある。要素が大きさ
の等しい長方形だけであれば容易に知ることができる。
しかし、有限要素法では、任意の形状に合わせて要素分
割するために、３角形要素や歪んだ４角形要素を用いる
ことが多く、粒界がどの要素に重なっているかを求める
のは煩雑であり、これまで具体的な方法は示されていな
かった。
【０００７】図２（ａ）〜（ｃ）は、結晶粒が粒界Ｇ1
〜Ｇnからなる多角形で近似できるとき、各粒界がどの
要素に属するかを求めるための説明図である。先ず、粒
界Ｇ1の２つの頂点Ｇ1，Ｇ2が属する要素を求める。こ
のとき、Ｇ1，Ｇ2が属する要素が同一であれば、粒界Ｇ
1は同一要素内に含まれているとみなすことができる。
Ｇ1，Ｇ2が含まれている要素が異なれば、粒界Ｇ1は複
数個の要素と重なりを持つので、次に、粒界Ｇ1と交点
を持つ辺を含む要素を探しだす。この２つのルーチンに
より粒界が重なる要素をもれなく検出できる。
〜Ｇnからなる多角形で近似できるとき、各粒界がどの
要素に属するかを求めるための説明図である。先ず、粒
界Ｇ1の２つの頂点Ｇ1，Ｇ2が属する要素を求める。こ
のとき、Ｇ1，Ｇ2が属する要素が同一であれば、粒界Ｇ
1は同一要素内に含まれているとみなすことができる。
Ｇ1，Ｇ2が含まれている要素が異なれば、粒界Ｇ1は複
数個の要素と重なりを持つので、次に、粒界Ｇ1と交点
を持つ辺を含む要素を探しだす。この２つのルーチンに
より粒界が重なる要素をもれなく検出できる。
【０００８】図３（ａ）,（ｂ）は、粒界の頂点が含ま
れる要素を求めるための説明図である。要素Ｅの頂点が
右回りにＰ1(ｘ1,ｙ1)，Ｐ2(ｘ2,ｙ2)，Ｐ3(ｘ3,ｙ3)，
Ｐ4(ｘ4,ｙ4)からなる４角形要素、あるいはＰ1(ｘ1,ｙ
1)，Ｐ2(ｘ2,ｙ2)，Ｐ3(ｘ3,ｙ3)からなる３角形要素の
とき、結晶粒の頂点をＣ(ｘc,ｙc)とすると、 ４角形要素のとき Ｓ1＝(ｘc−ｘ1)(ｙc＋ｙ1)＋(ｘ1−ｘ2)(ｙ1＋ｙ2)＋
(ｘ2−ｘc)(ｙ2＋ｙc) Ｓ2＝(ｘc−ｘ2)(ｙc＋ｙ2)＋(ｘ2−ｘ3)(ｙ2＋ｙ3)＋
(ｘ3−ｘc)(ｙ3＋ｙc) Ｓ3＝(ｘc−ｘ3)(ｙc＋ｙ3)＋(ｘ3−ｘ4)(ｙ3＋ｙ4)＋
(ｘ4−ｘc)(ｙ4＋ｙc) Ｓ4＝(ｘc−ｘ4)(ｙc＋ｙ4)＋(ｘ4−ｘ1)(ｙ4＋ｙ1)＋
(ｘ1−ｘc)(ｙ1＋ｙc) ３角形要素のとき Ｓ1＝(ｘc−ｘ1)(ｙc＋ｙ1)＋(ｘ1−ｘ2)(ｙ1＋ｙ2)＋
(ｘ2−ｘc)(ｙ2＋ｙc) Ｓ2＝(ｘc−ｘ2)(ｙc＋ｙ2)＋(ｘ2−ｘ3)(ｙ2＋ｙ3)＋
(ｘ3−ｘc)(ｙ3＋ｙc) Ｓ3＝(ｘc−ｘ3)(ｙc＋ｙ3)＋(ｘ3−ｘ1)(ｙ3＋ｙ1)＋
(ｘ1−ｘc)(ｙ1＋ｙc)
れる要素を求めるための説明図である。要素Ｅの頂点が
右回りにＰ1(ｘ1,ｙ1)，Ｐ2(ｘ2,ｙ2)，Ｐ3(ｘ3,ｙ3)，
Ｐ4(ｘ4,ｙ4)からなる４角形要素、あるいはＰ1(ｘ1,ｙ
1)，Ｐ2(ｘ2,ｙ2)，Ｐ3(ｘ3,ｙ3)からなる３角形要素の
とき、結晶粒の頂点をＣ(ｘc,ｙc)とすると、 ４角形要素のとき Ｓ1＝(ｘc−ｘ1)(ｙc＋ｙ1)＋(ｘ1−ｘ2)(ｙ1＋ｙ2)＋
(ｘ2−ｘc)(ｙ2＋ｙc) Ｓ2＝(ｘc−ｘ2)(ｙc＋ｙ2)＋(ｘ2−ｘ3)(ｙ2＋ｙ3)＋
(ｘ3−ｘc)(ｙ3＋ｙc) Ｓ3＝(ｘc−ｘ3)(ｙc＋ｙ3)＋(ｘ3−ｘ4)(ｙ3＋ｙ4)＋
(ｘ4−ｘc)(ｙ4＋ｙc) Ｓ4＝(ｘc−ｘ4)(ｙc＋ｙ4)＋(ｘ4−ｘ1)(ｙ4＋ｙ1)＋
(ｘ1−ｘc)(ｙ1＋ｙc) ３角形要素のとき Ｓ1＝(ｘc−ｘ1)(ｙc＋ｙ1)＋(ｘ1−ｘ2)(ｙ1＋ｙ2)＋
(ｘ2−ｘc)(ｙ2＋ｙc) Ｓ2＝(ｘc−ｘ2)(ｙc＋ｙ2)＋(ｘ2−ｘ3)(ｙ2＋ｙ3)＋
(ｘ3−ｘc)(ｙ3＋ｙc) Ｓ3＝(ｘc−ｘ3)(ｙc＋ｙ3)＋(ｘ3−ｘ1)(ｙ3＋ｙ1)＋
(ｘ1−ｘc)(ｙ1＋ｙc)
【０００９】前記４角形要素の時のＳ1〜Ｓ4、あるい
は、３角形要素の時のＳ1〜Ｓ3の値が全て０以上である
とき、点Ｃは要素Ｅに属するとみなす。また、電流によ
る粒界での原子流束Ｊは、Huntington の式により次の
ように与えられる。 Ｊ＝ＤＮＺｅ／ｋＴρｊ Ｄ ；粒界拡散係数 Ｎ ；粒界での原子の密度 Ｚｅ；実効電荷 ｋ ；ボルツマン定数 Ｔ ；絶対温度 ρ ；電気抵抗 ｊ ；電流密度 粒界拡散量を求めるとき、粒界の頂点間での原子の収支
を考えるが、粒界が絶対温度Ｔや電流密度ｊの異なる複
数の要素に属するとき、一方の頂点が属する要素の絶対
温度Ｔや電流密度ｊの値を使うと収支が合わなくなる。
そこで本発明では、粒界が属する要素の絶対温度Ｔや電
流密度ｊの平均値を用いた。
は、３角形要素の時のＳ1〜Ｓ3の値が全て０以上である
とき、点Ｃは要素Ｅに属するとみなす。また、電流によ
る粒界での原子流束Ｊは、Huntington の式により次の
ように与えられる。 Ｊ＝ＤＮＺｅ／ｋＴρｊ Ｄ ；粒界拡散係数 Ｎ ；粒界での原子の密度 Ｚｅ；実効電荷 ｋ ；ボルツマン定数 Ｔ ；絶対温度 ρ ；電気抵抗 ｊ ；電流密度 粒界拡散量を求めるとき、粒界の頂点間での原子の収支
を考えるが、粒界が絶対温度Ｔや電流密度ｊの異なる複
数の要素に属するとき、一方の頂点が属する要素の絶対
温度Ｔや電流密度ｊの値を使うと収支が合わなくなる。
そこで本発明では、粒界が属する要素の絶対温度Ｔや電
流密度ｊの平均値を用いた。
【００１０】
【効果】以上の説明から明らかなように、本発明による
と、以下のような効果がある。 （１）請求項１に対応する効果：要素の形状が歪んだ４
角形や３角形であっても、粒界が属する要素を漏れなく
求めることができる。 （２）請求項２に対応する効果：要素の形状が歪んだ４
角形や３角形であっても、粒界の頂点が属する要素を容
易に特定することができる。 （３）請求項３に対応する効果：粒界拡散による原子の
収支を矛盾なく求めることができる。
と、以下のような効果がある。 （１）請求項１に対応する効果：要素の形状が歪んだ４
角形や３角形であっても、粒界が属する要素を漏れなく
求めることができる。 （２）請求項２に対応する効果：要素の形状が歪んだ４
角形や３角形であっても、粒界の頂点が属する要素を容
易に特定することができる。 （３）請求項３に対応する効果：粒界拡散による原子の
収支を矛盾なく求めることができる。
【図１】 本発明による配線故障解析方法の一実施例を
説明するためのフローチャートである。
説明するためのフローチャートである。
【図２】 本発明による結晶粒が粒界から成る多角形で
近似できるとき、各粒界がどの要素に属するかを求める
ための説明図である。
近似できるとき、各粒界がどの要素に属するかを求める
ための説明図である。
【図３】 本発明による粒界の頂点が含まれる要素を求
めるための説明図である。
めるための説明図である。
Claims (3)
- 【請求項１】 少なくとも有限要素法によるポテンシャ
ル解析と結晶組織の粒界での原子の拡散の解析とからな
るエレクトロマイグレーションによる配線故障解析方法
において、前記粒界の頂点が属する要素を求めるルーチ
ンと、粒界の線分が横切る要素を求めるルーチンとを用
いて、粒界が属する要素を求めることを特徴とする配線
故障解析方法。 - 【請求項２】 要素Ｅの頂点が右回りにＰ1(ｘ1,ｙ1)，
Ｐ2(ｘ2,ｙ2)，Ｐ3(ｘ3,ｙ3)，Ｐ4(ｘ4,ｙ4)からなる４
角形要素、あるいはＰ1(ｘ1,ｙ1)，Ｐ2(ｘ2,ｙ2)，Ｐ
3(ｘ3,ｙ3)からなる３角形要素のとき、結晶粒の頂点を
Ｃ(ｘc,ｙc)とすると、Ｓ＝(ｘc−ｘa)(ｙc＋ｙa)＋(ｘ
a−ｘb)(ｙa＋ｙb)＋(ｘb−ｘc)(ｙb＋ｙc)において、
４角形要素のとき(ａ，ｂ)＝(１，２)，(２，３)，
(３，４)，(４，１)、３角形要素のとき(ａ，ｂ)＝
(１，２)，(２，３)，(３，１)としたときのすべてのＳ
の値が０以上であるときに頂点Ｃは要素Ｅに属すると決
定することを特徴とする請求項１記載の配線故障解析方
法。 - 【請求項３】 少なくとも有限要素法によるポテンシャ
ル解析と結晶組織の粒界での原子の拡散の解析とからな
るエレクトロマイグレーションによる配線故障解析方法
において、一つの粒界が異なるポテンシャル値を持つ複
数の要素に属するとき、粒界が属する要素のポテンシャ
ルの平均値を用いてポテンシャルの関数である原子の粒
界拡散量を求めることを特徴とする配線故障解析方法。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP4306317A JPH06130114A (ja) | 1992-10-20 | 1992-10-20 | 配線故障解析方法 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP4306317A JPH06130114A (ja) | 1992-10-20 | 1992-10-20 | 配線故障解析方法 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH06130114A true JPH06130114A (ja) | 1994-05-13 |
Family
ID=17955657
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP4306317A Pending JPH06130114A (ja) | 1992-10-20 | 1992-10-20 | 配線故障解析方法 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JPH06130114A (ja) |
Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| WO2014200375A1 (en) | 2013-06-09 | 2014-12-18 | Active Space Technologies, Actividades Aeroespaciais, Lda. | Method and system for monitoring electrical wire aging |
-
1992
- 1992-10-20 JP JP4306317A patent/JPH06130114A/ja active Pending
Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| WO2014200375A1 (en) | 2013-06-09 | 2014-12-18 | Active Space Technologies, Actividades Aeroespaciais, Lda. | Method and system for monitoring electrical wire aging |
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