JPH06223200A - ３次元のスカラー・フイールドの任意の断面をデイスプレイする方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【目的】 立体的な幾何学的形状を通る任意の切断面上
に、スカラー・フイールドの輪郭線を効果的に発生させ
ること。 【構成】 スカラー・フイールドの輪郭線は、独立した
立体的な幾何学的形状と交差する複数の任意の断面上に
マツプされ、複数の断面上にマツプされた輪郭線は、任
意の順序で、目視することのできる媒体上にマツプする
ことができる。本発明において、スカラー・フイールド
は、アイソ面表示に区切られており、そして、本発明
は、独立した立体的な幾何学的形状の立方体エレメント
を横断し、その断面により交差された立方体エレメント
中に含まれたアイソ面の部分だけに交差する交差部分を
用いる。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、コンピユータで実行可
能であり、３次元のスカラー・フイールドの任意の断面
の動的な表示を発生するための方法及び装置に係り、よ
り詳細に言えば、独立した立体的な幾何学的形状を介し
て、任意の断面上にスカラー・フイールドの輪郭をマツ
プする方法及び装置に関し、これにより、視覚で確認で
きる媒体上に、断面上の輪郭を任意の順番で投影するこ
とができる。

【０００２】

【従来の技術】本発明の背景を記載し、本発明を説明す
るために、以下の用語が使用される。 （１） 「スカラー・フイールド」とは、スカラー値の
組を意味する用語であり、各スカラー値は、単一の実数
であつて、３次元空間中のポイント（位置）と関連する
値である。 （２） 「アイソ面（isosurface）」とは、３次元空間
中の面を意味する用語であり、アイソ面上において、す
べてのスカラー・フイールド値は一定である。 （３） 「輪郭ライン（contour line）」とは、３次元
空間における曲線を意味する用語であつて、この曲線上
において、すべてのスカラー・フイールド値は一定であ
る（つまり、スカラー・フイールド値は等しい）。 （４） 「三角形」とは、共通の頂点を有し、３つのエ
ツジによつて区切られた面にマツプすることのできる領
域を意味する用語である。 （５） 「多面体」とは、複数の面により区切られた立
体的な領域を意味する用語である。特に、「四面体（te
trahedron）（三角錐とも言う）」とは、共通のエツジ
を持つ４個の三角形によつて区切られた領域のことであ
る。 （６） 「アイソレベル」とは、アイソ面か、または、
輪郭線のいずれかに対応するスカラー値を意味する用語
である。 （７） 「アイソフアセツト（isofacet）」とは、アイ
ソ面を再分割して、区切つた面を意味する用語である。

【０００３】科学分析及び工学分析を行なうために、有
限のエレメントを分析する分野において、「メツシユ
（mesh）」と呼ばれる分離した立方体を介してマツプ
（分布）されたスカラー・フイールドを調べることが、
しばしば、要求される。

【０００４】このようなスカラー・フイールドは、機械
的な目的物の中の歪の大きさとか、流体の圧力、または
温度のような物理的な現象や、または、立体的な領域の
境界、または、立体的な領域中に発生する他の物理的現
象を表わす。

【０００５】３次元空間において測定可能な現象の傾向
を視覚的に捕えるための、一定のスカラー・バリユー
（スカラー値）のアイソ面をユーザに与えるために、デ
イジタル・コンピユータを用いて対話的に測定結果をデ
イスプレイすることが、高く要望されている。

【０００６】市場で入手可能なグラフイツク・プログラ
ムのパツケージを使用してグラフイツク表示を発生する
のに使うことのできるアイソ面のイメージ・データを計
算する手段は、公知であり、この手段は、本明細書にお
いて「アイソ面ゼネレータ」と呼ばれる。通常、アイソ
面全体の形を、閉鎖された線の形式で表現することはで
きず、従来のアイソ面ゼネレータは、アイソ面のイメー
ジを実際に与えるのに使用されるアイソ面のイメージ・
データを発生するための近似法を使用する。

【０００７】幾何学的形状及びスカラー・フイールドの
データを入力するために、高次の曲面を大域的に当て嵌
める近似法を含む幾つかの近似法が知られている。曲面
を大域的に当て嵌める近似法に依存しないでアイソ面を
作るための他のアプローチは、多面体を用いる近似技術
を用いる。これに関連して、１９８６年発行の分子グラ
フイツクス誌の第４号（Journal of Molecular Graphic
s 4）に記載された「Polyhedra Approximation Approac
h to Molecular Orbital Graphics」と題するコイデ（K
oide）等の論文の１４９頁乃至１６０頁を参照された
い。この論文によると、スカラー・フイールドをメツシ
ユにマツプし、メツシユを四面体のエレメントに分解
し、四面体のエレメントのエツジ上のアイソフアセツト
の頂点を識別し、そして、三角形のアイソフアセツトを
形成するために、頂点を３値、即ちトリツプレツト（tr
iplet）として組合せることが記載されている。１つの
アイソ面は、一組の三角形のアイソフアセツトで構成さ
れている。

【０００８】アイソ面を発生する記述は、例えば、１９
９１年１月発行のIBM Journal of Research and Develo
pement第３５号の刊行物の「FEMvis: An Interactive Vi
sualization Tool for Mechanical Analysis」と題する
バラ（G. Bala）の論文の４頁乃至１１頁に記載されて
おり、アイソ面を発生する特定の実行例は、上記と同じ
刊行物に記載されたコヤマダ（K. Koyamada）等の「Vol
ume Visualization of 3-D Finite Element Method Res
ults」と題する論文の１２頁乃至２５頁に記載されてい
る。これらの文献において、前者の文献は、３次元で区
切られた幾何学的図形のメツシユの記述形式でデータ・
ストラクチヤを発生することと、３次元のスカラー・フ
イールドのデータをメツシユにマツプすることとを開示
している。後者の文献は、中間的な幾何学的図形を使用
し、あるいは、中間的な幾何学的図形を使用しないで、
アイソフアセツトの組から取り出されたアイソ面の発生
と、その視覚化とに関連している。

【０００９】また、前者の文献は、アイソ面を用いて３
次元的にモデル化されている目的物の断面の視覚化を開
示している。特に、モデル化された目的物の表面の輪郭
は、目的物の外面とアイソ面との交差（intersection）
により作られている。目的物の内部断面は、「カツト面
（cutplane）」でモデルをスライスすることにより作ら
れている。対話的に視覚化することは、目的物中に、ユ
ーザが任意に位置付けたユーザの視線に沿つてカツト面
を位置付けることができる。

【００１０】

【発明が解決しようとする課題】従来の技術において、
３次元的にモデル化された目的物の断面の形を発生する
ための主要なモードは、目的物の断面を指定し、次に、
その断面に関するすべての輪郭線セグメントの端部ポイ
ントを取り出した後、スライス上に輪郭線を形成するた
めに、それらのポイントをつなぎ合わせることであつ
た。

【００１１】従つて、本発明の主目的は、アイソ面から
作られる３次元の目的物の断面の輪郭を決定するため
に、アイソ面の構成部分を使用することにある。

【００１２】本発明の特定の目的は、切断面でアイソ面
を構成するアイソフアセツトを横切ることによつて断面
の輪郭を決定することにある。

【００１３】

【課題を解決するための手段】本発明は、多面体のアイ
ソ面を使用して、カツト面でアイソフアセツトを交差さ
せることによつて、交差部分の輪郭線セグメントを黙示
的に決定することに基礎がある。このアプローチは、輪
郭を決定するために、カツト面によつて横断されたすべ
てのアイソフアセツトの交差部分の輪郭線セグメントを
連結する。然しながら、本発明の良好な実施例は、輪郭
線セグメントの計算を最小限にとどめるために、幾何学
的形状を基礎とした決定を行なうことによつて交差部分
の計算処理の不要な演算処理を除去する。

【００１４】特に、本発明は、コンピユータで実行可能
であり、３次元のスカラー・フイールドの任意の断面の
動的なデイスプレイを発生するための方法であつて、下
記の要件を含んでいる。つまり、それらの要件は、３次
元の幾何学的図形の区切られたメツシユの記述のような
データ・ストラクチヤが発生されることと、メツシユは
多面体の面を持つていることと、３次元のスカラー・フ
イールドの標識が発生され、データ・ストラクチヤにマ
ツプされることと、各多面体の面と、その面を区切る他
方の立方体との間の断面参照子のテーブルが作成される
ことと、多面体の面を横切り、かつ、カツト面により交
差された面によつて区切られた立方体の中にあるアイソ
面の平坦面フアセツトにより断面を定義する切断面で交
差することによつて、断面が動的に作成されることと、
作成された各断面は、計画された順序、または、無計画
な順序でデイスプレイ面にマツプされることとを含んで
いる。

【００１５】本発明は、切断面により交差されない３次
元の幾何学的図形の部分中のアイソフアセツトの処理を
回避するために、幾何学的図形に基づく決定を行なうこ
とによつて、交差部分の計算処理の負担を軽減する。

【００１６】

【実施例】本発明は、図１に示されているようなプログ
ラム可能なデイジタル式の汎用コンピユータ・システム
において実施される。図１のコンピユータ・システム
は、ストレージ装置１０２中に含まれているプログラム
及びデータに応答して論理的で数学的な機能を遂行する
中央処理装置（ＣＰＵ）１００を含んでいる。また、こ
のコンピユータ・システムは、ＣＰＵ１００から処理さ
れたデータを受け取り、そして、ＣＲＴデイスプレイの
ような出力装置を動作するのに必要なデータ・ストラク
チヤを得るためにデータを処理するデイスプレイ装置１
０３を含んでいる。コンピユータ・システムのユーザ
は、ユーザの意図に従つてコンピユータ・システムを動
作させるコマンド、データ及びプログラムを与えるため
の入力装置１０４を用いる。

【００１７】コンピユータ・システム１００、１０２及
び１０４は、例えば、ＩＢＭ ＲＴＵｎｉｘベースのワ
ークステーシヨン、または、これと等価のＩＢＭのＲＳ
６０００のようなコンピユータ・システムであるのが望
ましい。デイスプレイ装置１０３は、可視的なイメージ
を形成するＣＲＴ装置のスクリーン上に可視的なポイン
トを置くために、ＣＰＵ１００から受け取られたデータ
を処理するグラフイツク・アダプタを含むのが望まし
い。このようなアダプタは、例えば、ＩＢＭの５０８０
型アダプタであつてよい。

【００１８】従つて、図１のコンピユータ・システム
は、現在デイスプレイされているイメージに対して、ユ
ーザが主導する対話の可視的な表示をサポートするデイ
スプレイ・システムを形成している。

【００１９】本発明の良好な実施例において、本発明
は、図１のコンピユータ・システムによつてコンパイル
され、実行することのできるアプリケーシヨン・プログ
ラムとして実施するものとして説明する。従つて、本発
明は、本発明の目的を達成するために遂行される細部の
処理、これらの処理を遂行するのに用いられるデータ・
ストラクチヤ及び必要な処理入力の見地から見て以下の
ものを含むものとして説明する。それらは、（１） ３
次元空間内のポイント（位置）の組のデータ表示と、
（２） 幾何学的な図形を形成するために、どのように
して、それらのポイントが結合されるかに関する結合の
情報と、（３） 立方体のデータを可視的にする目的の
ために、例えば、温度、応力、または、流量を表示する
単一のスカラー値の与えられたポイントの組の中の各ポ
イントと関連したスカラー・フイールドとである。

【００２０】図２は、本発明がどのようにして、汎用コ
ンピユータ支援デザイン（ＣＡＤ）の環境に適合される
かを説明する図である。本質的には、この図は、本発明
に従つた処理の流れを高レベルで表わした流れ図であ
る。本発明を実施するために、ジオメトリ・モデラ及び
メツシヤ１１０と、スカラー・フイールド・ゼネレータ
１１２とが与えられる。ジオメトリ・モデラ及びメツシ
ヤ１１０は、３次元の幾何学的図形を区切るメツシユの
記述（descriptive）のようなデータ・ストラクチヤを
設定する。スカラー・フイールド・ゼネレータ１１２
は、３次元的なスカラー・フイールドの標識を発生す
る。メツシユ及びスカラー・フイールドの両方は、アイ
ソ面のイメージ・データを発生するアイソ面ゼネレータ
１１４に与えられるデータ・ストラクチヤによつて表わ
され、それらのデータ・ストラクチヤは、アイソフアセ
ツト・カタログ１１５を経てアクセスされるターンポイ
ント・カタログ１１６中にストアされるデータである。
本発明により、または、本発明によらずに、アイソ面ゼ
ネレータ１１４は、グラフイツクス・ドライバ１１９を
含むデイスプレイ装置１１８にデイスプレイ・データを
与えることができる。アイソ面ゼネレータ１１４により
与えられるデータは、輪郭線セグメントの形式の図形プ
リミテーブを含んでいる。例えば、平坦面のコンテクス
トにおいて、このような輪郭線セグメントは、端部ポイ
ント及びカラーによつて表わされる。

【００２１】本発明の技術は、断面ゼネレータ１２２の
中に含まれており、これは、アイソ面ゼネレータ１１４
によつて発生されたアイソフアセツトを、アイソフアセ
ツト・カタログ１１５における直接アクセスのトリツプ
レツト（３値）の参照子の形式で、増加（augmented）
ターンポイント・カタログ１１６中のエントリに使用す
る。また、断面ゼネレータ１２２は、ユーザの入力装置
によつて与えられるカツト面を定義する機能ブロツク１
２３から、カツト面を定義するデータを受け取る。

【００２２】本発明の理解を助ける目的のために、「メ
ツシユ」の形式にあり、特別に区切られた３次元の幾何
学的図形を参照して以下に本発明の実施例を説明する。
メツシユのデータ表示は、図２のジオメトリ・モデラ及
びメツシヤ１１０によつて与えられる。

【００２３】メツシユは、立方体エレメントの集合によ
つて表わされる。各立方体エレメントは面の集合によつ
て表わされ、転じて、各面は、座標の位置を参照する一
連のノードによつて表わされる。面は、平面であつても
よいし、予め特定された曲面であつてもよい。各面は、
１つ、またはそれ以上の立方体エレメントで形成され
る。

【００２４】図３において、メツシユは、立方体３５０
の形式にある区切られた３次元の幾何学的図形として表
示されており、本発明の原理を説明するために使用され
る。この立方体３５０は、デイスプレイ装置のスクリー
ンを限定する境界線３７５の内側に示されている。メツ
シユの立方体３５０は、２７個の６面体エレメントで構
成されたメツシユに分解される。６面体の各立方体エレ
メントは、６つの平面の四辺形面により区切られてお
り、６４個のメツシユ・ノードの８個の組合せを含んで
いる。図３に示された６４個のノードは、ノード１乃至
６４とラベルが付されており、立方体エレメントは、３
０１乃至３２７とラベルが付されている。

【００２５】スカラー・フイールド・ゼネレータ１１２
によつて与えられたスカラー・フイールドは、メツシユ
３５０のノードにおいて独立した所定のバリユー（値）
によつて表わされる。図３において示され、区切られた
３次元の幾何学的図形に関連して、スカラー・フイール
ド・ゼネレータ１１２によつてスカラー・フイールドの
バリユー表示が、下記の表１に示したように、メツシユ
・ノード１乃至６４に割り当てられている。

【００２６】

【表１】 ノード バリユー ノード バリユー １ １．０ ３３ ２５．０ ２ １．２ ３４ ２５．５ ３ ２．５ ３５ ２６．５ ４ ３．０ ３６ ２７．０ ５ ３．０ ３７ ２７．０ ６ ３．５ ３８ ２７．５ ７ ４．５ ３９ ２８．５ ８ ５．０ ４０ ２９．０ ９ ７．０ ４１ ３１．０ １０ ７．５ ４２ ３１．５ １１ ８．５ ４３ ３２．５ １２ ９．０ ４４ ３３．０ １３ ９．０ ４５ ３３．０ １４ ９．５ ４６ ３３．５ １５ １０．５ ４７ ３４．５ １６ １１．０ ４８ ３５．０ １７ ９．０ ４９ ３３．０ １８ ９．５ ５０ ３３．５ １９ １０．５ ５１ ３４．５ ２０ １１．０ ５２ ３５．０ ２１ １１．０ ５３ ３５．０ ２２ １１．０ ５４ ３５．５ ２３ １１．５ ５５ ３６．５ ２４ １２．５ ５６ ３７．０ ２５ １５．０ ５７ ３９．０ ２６ １５．５ ５８ ３９．５ ２７ １６．５ ５９ ４０．５ ２８ １７．０ ６０ ４１．０ ２９ １７．０ ６１ ４１．０ ３０ １７．５ ６２ ４１．５ ３１ １８．５ ６３ ４２．５ ３２ １９．０ ６４ ４３．０

【００２７】従つて、図３及び表１は、アイソ面を決定
し、該当するアイソ面のイメージ・データを発生するア
イソ面ゼネレータ１１４への入力を構成する。

【００２８】アイソ面ゼネレータ１１４は、メツシユ３
５０の各立方体エレメントを、一緒に嵌め込まれて立方
体エレメントを形成するための小さな四面体のビルデイ
ング・ブロツクの組（「テトラセツト（三角錐の組）」
と言う）に再分割（subdivide）する。各四面体のビル
デイング・ブロツク、即ち、テトラセツトは、テトラセ
ツト夫々の頂点が立方体エレメントの夫々の頂点と同じ
位置にある４個の頂点を含んでいる。各テトラセツト
は、ノード識別子を有する４値のデータ、即ちクワドラ
プル（quadruple）の集合としての１つのテーブル中に
ストアすることができ、各クワドラプルが特定の四面体
のビルデイング・ブロツクの頂点を識別することができ
るのは、この道の専門家であれば容易に理解できるであ
ろう。

【００２９】立方体エレメントの再分割に続いて、アイ
ソ面ゼネレータ１１４は、入力されたスカラー・フイー
ルドのバリユーの範囲を、ユーザが特定した等間隔の
「バリユー・ステツプ」に再分割する。

【００３０】８５個のカラー・スペクトルが、表１に示
された最低バリユー（１．０）から最高バリユー（４
３．０）までのバリユー範囲に跨がるように使用される
ものと仮定する。次に、ユーザは、１０の数値でバリユ
ー・ステツプの密度を減少したいものとする。これに関
連して、バリユー・ステツプの間の増分は以下の通りで
ある。 （４３−１．０）／（８５／１０）＝４．９４１１７６

【００３１】この割り算は、発生されるアイソ面が１．
０＋０×４．９４１１７６から、１．０＋８×４．９４
１１７６までの範囲に跨がる９個のスカラー・バリユー
のレベルを表わすことを意味する。

【００３２】バリユーの範囲の分解に続いて（若し、必
要ならば）、アイソ面ゼネレータ１１４は、各立方体エ
レメント中に含まれたアイソ面を決定するために、各立
方体エレメントを処理する。

【００３３】これに関連して、アイソ面ゼネレータ１１
４は、図３のメツシユを立方体エレメント毎に表わすデ
ータ・ストラクチヤを横切る。各立方体エレメントに対
して、アイソ面がテトラセツトの四面体、即ち四面体を
横断するか否かを決定するために、立方体エレメントの
テトラセツトが検査される。この決定処理において、立
方体エレメントのテトラセツト中の各四面体に対して以
下の処理ステツプが発生する。

【００３４】（１） テトラセツトの四面体の６つのエ
ツジは、その頂点と合致参照(crossreference）され
る。各エツジは、夫々のラベルによつて表示され、その
端部ポイントを形成する立方体エレメントのノードによ
つて夫々表示される。例えば、図３のメツシユにおい
て、参照数字３２７により示された立方体エレメント
と、図４に示された立方体エレメントのテトラセツト中
の四面体とを考えてみる。四面体５０１のエツジは、ｅ
１乃至ｅ６で識別され、そして、それらを定義する端部
ポイントを形成する２値、即ち、ダブレツト（double
t）によつて表わされる。従つて、例えば、エツジｅ１
は、その端部を形成するノード４４及び６０を表わすダ
ブレツト（４４、６０）によつて定義される。

【００３５】（２） 四面体の各エツジは、その長さに
沿つて存在する「ターンポイント」を決定するために検
査される。これに関連して説明すると、「ターンポイン
ト」とは、所定のバリユー・ステツプの１つに対応する
バリユーを持つスカラー・フイールドのあるエツジの座
標位置である。ターンポイントは、アイソフアセツトの
頂点として用いられる。エツジ・ポイントにおけるスカ
ラー・バリユーの間の補間は、エツジの端部ポイント
（端部の位置）を決定するのに適用される。 （ａ） 各ターンポイントが見出された時、ターンポイ
ントの記述（description）は、ターンポイント・カタ
ログ１１６として図２に参照されているデータ・ストラ
クチヤの中に置かれる。各ターンポイントの記述は、以
下のものを含む。即ち、それらは、（i） エツジの端
部の開始ポイントからのエツジ長の分画（fraction）、
ｔとして表示されたターンポイントの位置と、（ii）
位置、ｔにおいて見出されたバリユー・ステツプ、ｓと
である。図４に示された四面体と、図４に示された四面
体の表示の意味から、少なくとも２つの予め決められた
バリユー・ステツプ、５７＝１．０＋７×４．９４１１
７６＝３５．５８８２３４及び５８＝１．０＋８×４．
９４１１７６＝４０．５２９４１１が、エツジｅ１、ｅ
２及びｅ３の頂点のバリユーの間にあることに注意を払
う必要がある。従つて、形式ｔ（エツジ、バリユー・ス
テツプ）にあるターンポイントは、以下のようにターン
ポイント・カタログの中に置かれる。即ち、それらは、
ｔ（ｅ１、５７）＝（３５．５８８２３４−３３．０）
／（４１．０−３３．０）＝０．３２３５２９と、ｔ
（ｅ１、５８）＝（４０．５２９４１１−３３．０）／
（４１．０−３３．０）＝０．９４１１７６と、ｔ（ｅ
２、５７）＝（３５．５８８２３４−３３．０）／（４
２．５−３３．０）＝０．２７２４４６と、ｔ（ｅ２、
５８）＝（４０．５２９４１１−３３．０）／（４２．
５−３３．０）＝０．７９２５７０と、ｔ（ｅ３、５
７）＝（３５．５８８２３４−３３．０）／（４３．０
−３３．０）＝０．２５８８２３と、ｔ（ｅ３、５８）
＝（４０．５２９４１１−３３．０）／（４３．０−３
３．０）＝０．７５２９４１とである。 （ｂ） ターンポイント・カタログの中の各ターンポイ
ント・エントリは、ターンポイントのバリユー・ステツ
プと合致参照され、そして、この合致参照子は、アイソ
フアセツトを組立てるために、アイソ面ゼネレータ１１
４で使用される。

【００３６】（３） ターンポイントの決定の間で見出
された各バリユー・ステツプのために、対応するアイソ
面のアイソフアセツトは、四面体中の同じバリユー・ス
テツプのターンポイントの参照子(reference)をアイソ
フアセツトの頂点として連結することによつて組立てら
れる。これは、図４において、アイソフアセツト５０２
は、バリユー・ステツプ５７のターンポイントに対応す
る頂点を連結することによつて発生されたことが示され
ている。同様に、アイソフアセツト５０３は、バリユー
・ステツプ５８のターンポイントの頂点を連結したもの
を示している。

【００３７】図５は、アイソフアセツトのストレージの
ためのデータ・ストラクチヤを示す図である。これに関
連して付言すると、アイソフアセツト・カタログは、立
方体エレメント識別子によつて指標付けて作られる、即
ちインデツクスされて作られる。各立方体エレメント
は、立方体エレメント中のアイソフアセツトを表示する
トリツプレツト（３値）の組にインデツクスされる。ト
リツプレツトの各組は、ターンポイント・カタログ中の
３つのターンポイントにインデツクスされる。転じて、
各ターンポイント・カタログは、その端部ポイントに対
応する２つのメツシユ・ノードによつて決められた四面
体のエツジを参照する。例えば、図４及び図５を参照し
て、バリユー・ステツプ、ｓ７のためのすべてのアイソ
フアセツトは、赤色で表示されるが、他方、バリユー・
ステツプｓ８に関連したアイソフアセツトで作られたア
イソ面は青色で表示される。立方体エレメント３２７に
対して、四面体５０１のアイソフアセツト・カタログの
エントリは、夫々のトリツプレツトとして表示され、各
トリツプレツトは、ターンポイント・カタログ６１５中
の特定のターンポイントへの参照子を含んでいる。従つ
て、アイソフアセツト５０２に対して、トリツプレツト
（ｔ１、ｔ２、ｔ３）は、ターンポイント・カタログ６
１５中のターンポイントｔ１（ｅ１、ｓ７）、ｔ２（ｅ
２、ｓ７）及びｔ３（ｅ３、ｓ７）を索引する。ターン
ポイント・カタログ１１６中の３つのエントリの各組
は、アイソフアセツトの三角形を描くのに充分な情報を
含むか、または、表示する。特に、ターンポイントｔ
１、ｔ２及びｔ３の３つのエントリは、夫々のエツジ、
その端部ポイントの間のエツジ上の位置及びバリユー・
ステツプを表示する。各エツジは、３次元のモデル空間
中のエツジを位置付ける端部ポイントの組を決める。識
別されたエツジのターンポイントの位置は、エツジの開
始端部ポイントからエツジの長さのフラクシヨン、即
ち、分画として与えられる。バリユー・ステツプは、カ
ラーをマツプする。ターンポイントの連結の順序は、ア
イソフアセツト・カタログ６１６中のトリツプレツトの
順番に対応する。

【００３８】次に、図３のメツシユにおいて発生する９
個のアイソ面（図６においては、アイソ面７０１乃至７
０９として示されている）の組を示す図６を参照して説
明を続ける。

【００３９】アイソ面ゼネレータによつて出力されたア
イソフアセツトは、本発明を実施することのできるデイ
ジタル・コンピユータのストレージ・コンポーネント中
に、上述のカタログの形式に基づいて、立方体エレメン
ト毎にストアされている。各立方体エレメントに対し
て、アイソフアセツトのリストは、アイソフアセツト・
カタログ中にストアされて、各アイソフアセツトは、直
接の参照子のトリツプレツトによつてターンポイント・
カタログ中のエントリに表示される。ターンポイント
は、アプリケーシヨンによつて要求された時に、リニヤ
なセグメントによるか、または、より高次のセグメント
によつて参照され、結合することができる。

【００４０】図６において、９個のアイソ面（９個のバ
リユー・ステツプを表わす）のすべてのアイソフアセツ
トが、メツシユ中で散布されて示されている。本発明の
１つの特徴に従うと、すべてのバリユー・ステツプに対
するアイソ面は、市販の３次元グラフイツク・プログラ
ムのパツケージを利用して、ストアされたアイソフアセ
ツトの三角形を単純にデイスプレイすることができる。
他の案として、ストアされたアイソフアセツトの三角形
は、ユーザが特定したバリユー・ステツプの順序の関数
として選択的にデイスプレイすることができる。デイス
プレイするために、アイソフアセツトの三角形が選択さ
れる本発明のこの実施例においては、ユーザが特定した
二次的な順序内に含まれるバリユー・ステツプを処理す
るだけで実際にデイスプレイされる。

【００４１】科学分析及び工学分析において、メツシユ
上にマツプされたスカラー・フイールドの断面スライス
を検査することが、しばしば要求される。断面スライス
は、ユーザの意図に有用な任意の形であつてよい。例え
ば、スライスは、平坦面であつてもよく、切断面（また
は「カツト面」）により行なわれてもよい。モデル化さ
れた目的物の切断面は、アイソ面を持つカツト面の断面
を表わす一組の輪郭線として表わされる。カツト面の方
向を対話処理で変更できるように、カツト面の位置付け
の変更による輪郭線の変化を迅速に再計算することが非
常に望ましい。本発明の技術は、カツト面と、アイソ面
ゼネレータにより発生されたアイソフアセツトとの間の
断面計算をストリームライン処理（効率的な演算処理）
するために設計された幾何学的図形の基準で組み合わさ
れたアイソ面ゼネレータによつて行なわれる、予め計算
されたアイソ面の多面体の近似法を使用する技術であ
る。

【００４２】アイソ面がメツシユ、スカラー・フイール
ド及びバリユー・ステツプに基づいて発生された後に、
モデル化された目的物の断面は、本発明に従つて、以下
のステツプによつて発生することができる。

【００４３】（１） メツシユの各面は、１つ、または
２つの立方体エレメントにマツプされ、区切られる。こ
れら２つの立方体エレメントは、「右」側エレメント及
び「左」側エレメントと呼ばれる。メツシユ面がメツシ
ユの境界にある場合には、メツシユの輪郭の外部に露出
された面の側に対応する組に無効値がセツトされる。図
３のメツシユにおいて、ノード２、１８、２２、６によ
り輪郭付けられた面は、立方体エレメント３０１をその
左側に持ち、そして、立方体エレメント３０２をその右
側に持つている。ノード１、１７、２１、５によつて輪
郭付けられた面においては、立方体エレメント１を有
し、そして、その左側にある立方体エレメントに対応す
る面に無効バリユーが設定される。水平面において、上
側の立方体エレメントは「左」側エレメントと見做さ
れ、そして、下側の立方体エレメントは「右」側エレメ
ントと見做される。従つて、ノード５、６、２２、２１
によつて輪郭付けられたメツシユ面に対しては、左側立
方体エレメントは３０１であり、他方、右側立方体エレ
メントは３０４である。

【００４４】（２） 図３に示したメツシユのジオメト
リに対して、切断面（cutting surface）の位置が、入
れられる。例えば、図３のメツシユのジオメトリに対す
るカツト面の位置は、広く知られている下記の一次方程
式によつて入力することができる。 ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０

【００４５】（３） 切断面の位置付けに続いて、メツ
シユが切断面によつて横断されているか否かについて、
メツシユの各面が検査される。若し、切断面が平面であ
れば、カツト面（cutplane）及びメツシユの面は、夫々
の一次方程式によつて定義され、カツト面の間の交差の
決定及びすべてのメツシユ面は、それら２つの夫々の一
次方程式を同時に解くことによつて単純に見出される。
若し、カツト面がメツシユの面に交差するならば、メツ
シユ面のいずれかの側にある立方体エレメントは、カツ
ト面と、立方体エレメントのためにストアされたアイソ
フアセツトとの間の交差を決定するために、「訪問」さ
れる。他方、若し、カツト面がメツシユ面を交差しなけ
れば、メツシユ面がマツプされている立方体エレメント
は、訪問されない。交差された立方体はすべて考慮され
るが、しかし、カツト面により交差された立方体エレメ
ントだけが「訪問された」ことを補償するために、メツ
シユのすべての面が分析される。本発明の顕著な効果
は、交差されない立方体エレメント中のアイソフアセツ
トの分析を回避することである。

【００４６】特に、以下のステツプに従つて、ユーザと
システムとの間の切断面の交差が実行される。 （１） すべての立方体エレメントに対して、切断面の
交差を決めるための「訪問」がなされなかつた立方体エ
レメントを、先ず表示する。 （２） 各メツシユ面に対して、予め計算された立方体
エレメント対メツシユ面のマツピングを使用して、メツ
シユ面の両側（右側及び左側）の立方体エレメントが、
「訪問」されたか否かのチエツクを行なう。若し、いず
れの側の立方体エレメントも訪問されていなければ、メ
ツシユ面それ自身に切断面の交差があるか否かがチエツ
クされる。若し、メツシユ面がカツト面で交差されてい
れば、 （ａ） 左側の立方体エレメントが「訪問」されていな
い場合には、（i） 立方体エレメントのためのアイソ
フアセツトのリストを用いて、立方体エレメント中のア
イソフアセツトがカツト面により交差されており、そし
て、部分的に線状の形のカーブのセグメントが形成され
て交差個所が表示される。これに関連して言えば、カツ
ト面及び上述の三角形のアイソフアセツトとの間の交差
部分は、カツト面によつて交差され、アイソフアセツト
を横断する線状セグメントである。そして、（ii） 立
方体エレメントは、「訪問」されたことを示すフラグが
付される。 （ｂ） 右側立方体エレメントが「訪問」されていない
場合には、左側の立方体エレメントと同じ処理が右側の
立方体エレメントに遂行される。

【００４７】上述の処理が完了した時に、複雑な輪郭計
算アルゴリズムを必要とせずに、輪郭のカーブの完全な
表示が切断面の表示装置にデイスプレイされる。本質的
に言えば、輪郭のカーブは、夫々のアイソ面の線状のセ
グメントを連結したものである。

【００４８】図７を参照すると、図３に示したメツシユ
と実質的に等価であるメツシユ８０１の立方体エレメン
トの組の３次元的な正面図に含まれたカツト面８００が
示されている。面２、１８、３２、６が処理された時、
この面はカツト面と交差していることが見出される。そ
の結果、面１、１７、３１、５のような前の面を処理し
た時に、若し、それらアイソフアセツトが既に「訪問」
されていなければ、立方体エレメント中のアイソフアセ
ツトの左側及び右側の交差部分が、計算され、表示され
る。

【００４９】既に理解できるように、交差部分を決定す
る前に、以前に「訪問」した立方体エレメントを確認す
ることを組合せたメツシユ面をテストする本発明の技術
は、交差部分の計算処理の量を著しく減少することがで
きる。

【００５０】カツト面によつて交差された立方体エレメ
ントをテストすることを考えてみる。図７に示した立方
体エレメントにおいて、すべてのアイソフアセツトは、
カツト面による交差部分がテストされる。この例示にお
いて、切断面はカツト面なので、メツシユ面とカツト面
との間の交差部分のテストと同じ態様により、つまり、
２つの面をあらわす２つの一次方程式を同時に解くこと
によつて、テストを遂行することができる。ゼロの解
は、交差がないことを表わし、ゼロでない解は、面の間
に交差する線の解を与えて、線状セグメントの端部ポイ
ントを決定するために解くことができる。線状セグメン
トのカラーは、アイソフアセツトが対応するバリユー・
ステツプによつて決定される。平坦面のアイソフアセツ
トの係数は、アイソ面ゼネレータ１１４によつて発生さ
れる集計データから取り出すことができ、図５に示され
ている。

【００５１】本発明の処理ステツプを示す流れ図が図８
に示されており、ステツプ９００において、すべての立
方体エレメントがカタログ化され、そして、これらの立
方体エレメントで区切られたメツシユ面にこれらの立方
体エレメントがマツプされる。このステツプの処理の結
果は、各メツシユ面を１つ以上の立方体エレメントに関
連付けることと、メツシユ面に関して「右側」、または
「左側」として立方体エレメントをマーク付けすること
である。対話的な処理ステツプ９０２において、切断面
の形及び位置が入力される。この例は、切断面が平面で
あると仮定している。従つて、ステツプ９０４において
入力される新しい各カツト面の位置に対する各立方体エ
レメントは、「訪問されていない」とフラグされてい
る。次に、ステツプ９０７において、所定の繰り返し順
序でメツシユ面を取り上げ、そして、ステツプ９０８に
おいて、メツシユ面上にある立方体エレメントのすべて
が「訪問された」か否かを決定するために、各メツシユ
面に対して、メツシユ面対立方体エレメントのマツピン
グをチエツクする。繰り返し処理の後者の段階におい
て、すべての立方体エレメントが以前に「訪問」されて
いるメツシユ面が見出される。メツシユ面上の立方体エ
レメントのすべてが「訪問」された場合には、「すべて
訪問された」と記載された図８の出口に出ることによつ
て、メツシユ面及びカツト面間の交差部分の計算動作が
回避される。たつた１つの立方体エレメントにも訪問さ
れていない場合には、ステツプ９０８において、「訪問
されず」と記載された図８の出口に出て、メツシユ面が
カツト面と交差しているか否かのチエツクがなされる。
若し、メツシユ面がカツト面によつて交差されていなけ
れば、ステツプ９１０において、「交差されず」の出口
を取り、そして、次のメツシユ面が取り上げられる。
「交差されず」の出口へ出ることは、このメツシユ面に
よつて区切られた立方体エレメントのためのアイソ面
を、カツト面による交差部分を分析する必要がないこと
を意味する。

【００５２】然しながら、ステツプ９１０において、メ
ツシユ面がカツト面と交差した場合に出る「交差」と示
された出口が取られたと仮定する。この場合、ステツプ
９１２が実行される。ステツプ９１２において、交差さ
れたメツシユ面により区切られた各立方体エレメント
は、その立方体エレメントが前に「訪問」されたか否か
を決定するために検査される。若し、以前に訪問されて
いれば、その立方体エレメントに対しては交差部分の計
算は行なわれず、交差されたそのメツシユ面により区切
られた他方の立方体エレメントが、訪問されたか否かの
検査を行なう。

【００５３】交差されたメツシユ面によつて区切られた
すべての立方体エレメントが処理順序９１２の前の繰り
返しの間で訪問されなかつた場合には、処理順序９１２
ａ、９１２ｂ、９１２ｃの処理が遂行される。９１２ａ
において、立方体エレメント中に含まれた各アイソフア
セツトがアイソフアセツト・カタログから検索され、そ
の変数値は一次方程式のための係数に変換され、そし
て、その一次方程式は、交差の結果の線（若し、あれ
ば）の端部ポイントを決定するために、切断面のための
一次方程式により同時に解が得られる。ステツプ９１２
ａにおいて、交差部分の輪郭の線状セグメントが決定さ
れ、次に、ステツプ９１２ｂにおいて、発生された線状
セグメントの端部ポイント及びカラーの結果が、デイス
プレのコマンドによりグラフイツク・ドライバに送られ
る。最後に、訪問された立方体エレメント中のすべての
アイソフアセツトがカツト面と交差する分析を終了した
時、ステツプ９１２ｃにおいて、立方体エレメントは
「訪問された」ことを表示するフラグが与えられて、次
の立方体エレメントか、次のメツシユ面がアクセスされ
るか否かが決定される。

【００５４】本発明の上述の実施例によつて、３次元で
構成された幾何学的な図形中のスカラー・フイールドの
断面の輪郭を発生するための効果的な方法が説明され
た。この効果は、本発明の幾つかの新規な特徴の結果生
じたものである。

【００５５】本発明は、切断面と交差されたアイソ面の
予め計算された構造を使用して、輪郭部分の線状セグメ
ントを黙示的に発生する。従来の方法においては、先
ず、カツト面上に２次元のメツシユを発生するために、
立方体エレメントが切断面で交差される。次に、２次元
のメツシユは、図形化を容易にし、かつ、認識された図
形の曲線を増加するために、３角形に再分割される。立
方体エレメントにより切断面を横断するポイント（位
置）に基づいて補間が行なわれて、２次元のメツシユ・
ポイントにおけるスカラー・バリユーが決定される。次
に、３角形の部分のサーチを経て、輪郭を形成するため
に結合される輪郭線のターニング・ポイントを決定する
ために、切断面のメツシユのエツジに沿つて、補間が再
度行なわれる。

【００５６】輪郭線を結合する処理に対する本発明の利
点を度外視しても、従来の方法は、多くの設定の補間を
含み、コンピユータの計算処理に大きな負担をかける。
切断面のメツシユ上で１つの３角形毎のベースで行なわ
れる処理の場合、そのような処理は、３角形のアイソフ
アセツトの交差部分を計算する本発明の処理量の４倍の
処理量に等しい。本発明の図形化の寄与を考慮に入れる
と、単一の図形セグメントにより横切られる３角形の処
理量は、本発明に従つたアイソフアセツトの交差部分の
計算処理量の約４倍に等しく、付加的な各図形セグメン
トにより更に増大する。換言すれば、２個の図形セグメ
ントにより交差される同じ３角形は、２個のアイソフア
セツトの交差と同じ量の計算の負担を増加する。

【００５７】例えば、１６個のアイソフアセツトの２つ
のアイソ面の領域を含む例えば図３の幾何学的図形のメ
ツシユ中の立方体エレメントを考えてみる。本発明に従
つて１６個のアイソフアセツトの交差部分が計算されな
ければならない。従来の通常の方法を使用して、立方体
エレメントによるカツト面の矩形の交差部分は２次元の
メツシユ・エレメントを発生する。次に、この矩形は、
メツシユ・エレメントの対角線を作ることによつて４個
の３角形に再分割される。４個の３角形は、本発明のプ
ロシージヤの３角形の数に匹敵する解を必要とする。次
に、カツト面上にこの領域を輪郭付けるために、この領
域は４個の３角形を含んでいるから、アイソフアセツト
の交差部分の数は（４＋２×４）×４＝４８である。従
つて、この場合の速度増加率は４８／１６＝３倍であ
る。

【００５８】本発明の第２の特徴は、アイソフアセツト
を含む立方体エレメントによりインデツクスされるアイ
ソ面の利点にある。本発明の方法は、メツシユのすべて
のアイソ面を交差することによつて実施できるけれど
も、本発明の良好な実施例は、アイソフアセツトを交差
する前に、交差している立方体エレメントをテストす
る。立方体エレメントの交差部分のテストの処理量は、
たつた１回のアイソフアセツトの交差テストの処理と同
じ負担である。従つて、本発明の良好な実施例を実行す
ることによつて、多くの不必要な計算処理を回避するこ
とができる。例えば、図６において、５２４個のアイソ
フアセツトがあり、その内１９６個は、図７に示された
カツト面によつて交差される１０個（２７個の内から）
の立方体エレメントの中に含まれている。このデータか
ら、本発明の良好な実施例によつて得られる速度増加は
５２４／（１９６＋１０）であり、これは、５／２倍の
速度増加である。実験によると、速度増加のフアクタ
は、２倍以上であることが判つている。

【００５９】

【発明の効果】本発明は、切断面により交差されない３
次元の幾何学的図形の部分中のアイソフアセツトの処理
を回避するために、幾何学的図形に基づく決定を行なう
ことによつて、交差部分の計算処理の負担を軽減して、
処理時間を短縮することができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明を実施するのに必要なコンピユータ・シ
ステムの基本的な要素を示すブロツク図である。

【図２】コンピユータ支援デザイン（ＣＡＤ）の環境に
おいて、本発明の方法を実施する処理ステツプを示す流
れ図である。

【図３】２７個の６面体の立方体エレメントの集合で構
成され、区切られた３次元の幾何学的図形のメツシユ記
述を示す斜視図である。

【図４】図３に示されたメツシユの立方体エレメント中
に発生された３角形内に位置する２つのアイソフアセツ
トを示す図である。

【図５】アイソフアセツトを表にするために用いられる
カタログ・データ・ストラクチヤを示す図である。

【図６】図３に示されたメツシユの中で占めたアイソ面
の組を示す図である。

【図７】メツシユの中のアイソ面をカツト面で交差した
部分に対応する輪郭ラインを有する図３のメツシユにお
いて、立方体エレメントの前面の組の中に位置付けられ
たカツト面を示す図である。

【図８】本発明の原理的な処理ステツプを示す流れ図で
ある。

【符号の説明】 １乃至６４ メツシユのノード １００ 中央演算装置（ＣＰＵ） １０２ ストレージ装置 １０３、１１８ デイスプレイ装置 １０４ ユーザの入力装置 １１０ ジオメトリ・モデラ及びメツシヤ １１２ スカラー・フイールド・ゼネレータ １１４ アイソ面ゼネレータ １１５ アイソフアセツト・カタログ １１６、６１５ ターンポイント・カタログ １１９ グラフイツク・ドライバ １２２ 断面ゼネレータ １２３ カツト面の定義機能 ３０１乃至３２７ 立方体エレメント ３５０、８０１ メツシユの立方体 ５０１ 四面体 ５０２、５０３ アイソフアセツト ７０１乃至７０９ アイソ面 ８００ カツト面

Claims (10)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 コンピユータで実行する方法であつて、
   ３次元のスカラー・フイールドの任意の断面のデイスプ
   レイを発生する方法において、 複数個の面及び複数個の立方体エレメントを含む立体的
   メツシユの第１のデータ・ストラクチヤ表示を発生する
   ステツプを含み、上記複数個の面の各面は、メツシユの
   １つ、または、それ以上の立方体エレメントを区切つて
   いることと、 スカラー・フイールドのデータ表示を発生し、かつ、ス
   カラー・フイールドの表示を立体的メツシユ表示にマツ
   プするステツプと、 複数個のアイソ面表示を発生するステツプを含み、各ア
   イソ面表示は、スカラー・フイールドのすべてのバリユ
   ーが一定である立体的メツシユ中の平面に対応すること
   と、各アイソ面は複数個のアイソフアセツトを含むこと
   と、各アイソフアセツトは、アイソ面の区切られた再分
   割部分を含んでいることと、 面を区切つている１つ、または、それ以上の立方体エレ
   メントを持つ各面に対応する第２のデータ・ストラクチ
   ヤを発生するステツプと、 １つ、または、それ以上のアイソ面に交差する切断面の
   表示を発生するステツプと、 （ａ） 切断面により交差された各面に対して、切断面
   と、上記面により区切られた各立方体エレメントの中の
   各アイソフアセツトとの間で交差する部分の線を作るス
   テツプと、 （ｂ） デイスプレイ面上に、ステツプ（ａ）で作られ
   た交差部分のすべての線をデイスプレイするステツプと
   からなる３次元のスカラー・フイールドの任意の断面を
   デイスプレイする方法。
2. 【請求項２】 １つ、または、それ以上のアイソ面を交
   差する面は平面であることを特徴とする請求項１に記載
   の３次元のスカラー・フイールドの任意の断面をデイス
   プレイする方法。
3. 【請求項３】 上記（ａ）のステツプは、 （ａ１） 上記面及び上記平面の間の交差部分の線を決
   定するステツプと、 （ａ２） 若し、交差部分の線がゼロならば、他の面に
   対して上記ステツプ（ａ１）を繰り返すステツプと、 （ａ３） 上記面によつて区切られたすべての立方体エ
   レメントに対して、上記平面と、立方体エレメント中に
   含まれたアイソフアセツトとの間の交差部分の線を決定
   するステツプと、 （ａ４） すべての上記面が上記平面によつて交差され
   るまで、上記ステツプ（ａ１）乃至（ａ３）を遂行する
   ステツプとを含むことを特徴とする請求項２に記載の３
   次元のスカラー・フイールドの任意の断面をデイスプレ
   イする方法。
4. 【請求項４】 上記ステツプ（ｂ）は、上記平面と、ゼ
   ロでないアイソフアセツトとの間の交差部分のすべての
   線をデイスプレイするステツプを含むことを特徴とする
   請求項３に記載の３次元のスカラー・フイールドの任意
   の断面をデイスプレイする方法。
5. 【請求項５】 上記ステツプ（ａ３）は、 （ａ３i） 上記面により区切られた各立方体エレメン
   トに対して、立方体エレメントがマークされたか否かを
   決定するステツプと、 （ａ３ii） 若し、立方体エレメントがマークされてい
   なければ、上記平面と、立方体エレメント中に含まれた
   アイソフアセツトとの間の交差部分の線を決定し、次
   に、立方体エレメントをマークするステツプと、 （ａ３iii） 若し、立方体エレメントがマークされて
   いるならば、上記面によつて区切られた他の立方体エレ
   メントに対して上記ステツプ（ａ３i）を遂行するステ
   ツプとを含むことを特徴とする請求項３に記載の３次元
   のスカラー・フイールドの任意の断面をデイスプレイす
   る方法。
6. 【請求項６】 コンピユータで実行し、スカラー・フイ
   ールドの断面をデイスプレイする方法において、 （ａ） 多面体の面を有し、３次元的な幾何学的形状の
   区切られたメツシユの記述のようなデータ・ストラクチ
   ヤを発生するステツプと （ｂ） ３次元のスカラー・フイールドの標識を発生
   し、かつ、上記標識を上記データ・ストラクチヤにマツ
   プするステツプと、 （ｃ） 各メツシユ・エレメントの多面体の面と、該多
   面体の面を区切る片方の立方体エレメントとの間で断面
   参照子を設定するステツプと、 （ｄ） すべての面を横断し、そして、上記カツト面に
   より交差された面により区切られた立方体エレメント中
   に包含されたアイソ面の平面フアセツトで断面を定義す
   る平面を交差することによつて、動的に断面を作るステ
   ツプと、 （ｅ） 上記ステツプ（ｃ）及び（ｄ）において作られ
   た各断面をデイスプレイ面上に、計画的な順序か、ある
   いは、無計画な順序でマツプするステツプとからなるス
   カラー・フイールドの断面をデイスプレイする方法。
7. 【請求項７】 上記ステツプ（ｄ）の面は平面であるこ
   とを特徴とする請求項６に記載のスカラー・フイールド
   の断面をデイスプレイする方法。
8. 【請求項８】 上記ステツプ（ｄ）は、 （ｄ１） 上記面と上記平面との間の交差部分の線を決
   定するステツプと、 （ｄ２） 若し、交差部分の線がゼロならば、他の面に
   上記ステツプ（ｄ１）を反復するステツプと、 （ｄ３） 上記面によつて区切られたすべての立方体エ
   レメントに対して、上記平面と、立方体エレメント中に
   含まれたアイソフアセツトとの間の交差部分の線を決定
   するステツプと、 （ｄ４） すべての上記面が上記平面と交差されるま
   で、上記ステツプ（ｄ１）乃至（ｄ３）を遂行するステ
   ツプとを含むことを特徴とする請求項７に記載のスカラ
   ー・フイールドの断面をデイスプレイする方法。
9. 【請求項９】 上記ステツプ（ｅ）は、上記平面と、ゼ
   ロでないアイソフアセツトとの間の交差部分のすべての
   線をデイスプレイするステツプを含むことを特徴とする
   請求項８に記載のスカラー・フイールドの断面をデイス
   プレイする方法。
10. 【請求項１０】 上記ステツプ（ｄ３）は、 （ｄ３i） 上記面によつて区切られた各立方体エレメ
    ントに対して、立方体エレメントがマークされたか否か
    を決定するステツプと、 （ｄ３ii） 若し、立方体エレメントがマークされてい
    なければ、上記平面と、立方体エレメント中に含まれた
    アイソフアセツトとの間の交差部分の線を決定するステ
    ツプと、 （ｄ３iii） 若し、立方体エレメントがマークされて
    いれば、上記面によつて区切られている他の立方体エレ
    メントに対して上記ステツプ（ｄ３i）を遂行するステ
    ツプとを含むことを特徴とする請求項８に記載のスカラ
    ー・フイールドの断面をデイスプレイする方法。