JPH06508681A - 力学系アナライザ - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるため要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 力学系アナライザ 本発明は、力学系アナライザに係わり、更に特に、数学的意味において非線形又 はカオス性であり得る力学系の解析に適用可能な、そうした装置に係わる。

非線形力学系の調査は、公知の電子スペクトル解析ツールが不適切であるが故に 、著しい困難さを呈する。例えば、その挙動が特徴的である電子信号を生じさせ るように構成されたカオス的な非線形力学系を考察されたい。そうした信号がそ のスペクトルに対して実質的に連続した成分を有することがあり得るということ が、力学系の研究から知られている。ＳＮ比を改善するための時間フィルタリン グ又は周波数フィルタリングは、フィルタリングされた信号に認められるように 、系の力学を歪ませるか変化させる可能性がある。このことは、Ｒａｄｉｉ他の 論文（ＰｔｒｙｌＲｅｙ、Ｌｅｆｔ、　６０　（１９８８１ｐ、９７９）とＭｉ ｌ＋ｃｔ＋＋ｋｅ他の論文（Ｐｈｙ＋、　ＲＣマ　Ａ３７　（１９８８）　ｐ、 ４５１８）によって例示されている。

更に、（単純な関係を有する１組の調和関数とは対照的に）データが決定論的カ オスを示し、結果的に連続スペクトルを与える時には、出カスベクトル解析は、 系の力学を特徴付けるには不十分である。これは、［カオス的振動（“Ｃｈ＊ｏ ｌｉｅＶｉｂ＋ｔ＋ｉｏｎ＋″）　Ｊ　（Ｗｉｌｅ７−１ｎｌｅｒ＋ｅｉｅｎｅ ｅ）と表題された著作においてＦ　ＣＭｏｏｎによって論じられている。解析を 単純化することが意図された、この種のスペクトル選択信号処理（ｓｐｅｃｌｕ ｌ１７５ｅｌｅｃｌｉｙｅ　＋ｉｇｎ＊ｌ　ｐ＋ｏｃｅ■ｉＢ）は、その系の見 掛は挙動をより一層複雑化する可能性がある。

力学系の挙動は、一般的に、多次元の位相空間における曲線によって表現される 。この曲線上の連続点が、時間に応じたその系の推移を表示する。この線は「軌 道（ｌｒｌｉｅｅｌｏｒｙ）　Ｊと呼ばれ、任意時間後にその線が閉じ込められ る位相空間の領域が「アトラフター（＋ｔｌ＋ａｃ＋ｏ＋　）　Ｊと呼ばれる。

力学系がカオス的である場合には、この領域は「ストレンジ・アトラフター（＋ ＋＋ｔＢｅ　！ｔｔ＋ｘｃｌｏ＋　）　Ｊと呼ばれる。このアトラフターは、系 の挙動がその中に局所化される位相空間領域であり、系の挙動がこの位相空間領 域に「引きつけられる（！口重ｅｌｅｄ　）　Ｊと言い表されることが可能であ る。

従来の手法が、非線形系の見掛は挙動を識別可能な成分に変更するのではなく、 この見掛は挙動を単に複雑化するだけであるが故に、非線形系の解析に適用可能 な装置が必要とされている。フーリエ・スペクトル解析のような公知の手法は、 限られた数の調和モードの線形重畳としてモデル化されることが可能な系に対し て、適用可能であるにすぎない。

正規の系挙動からカオス的挙動への変化を検出することが可能な装置が特に必要 とされている。これは、航空機用エンジンと他の機械的動力源の分野において特 に重要である。そうした出力源は、正常運転時における高度に規則的な振動挙動 及び／又は回転挙動によって特徴付けられるが、破局的な故障に至る前に不規則 的な特徴を発現させる。磨損に関連した不規則的挙動の開始を検出することが可 能な装置は、事前の運転停止と修理とによって、破局的故障を予測し回避するた めの手段を与える。この装置は、系の挙動がそれを保証する限りメンテナンスが 免除されることが可能であるが故に、維持修理コストを低下させることも可能に する。

本発明の目的は、力学系アナライザを提供することである。

本発明は、下記の諸手段を含むことを特徴とする力学系アナライザを提供する。

１）力学系からの信号の時系列から位相空間座標の集合の系列を発生させるため の手段。各々の座標集合は、前記信号の時系列又は別のそうした系列の特異値分 解において得られる特異ベクトル集合上への各々のＴｘｋｅｎ＋ベクトル（Ｔｘ ｋｅ＋＋’　ｙｅｅｌｏ＋）の射影である。

！２）基準データへの近似（１０）を生じさせるために位相空間座標集合の変換 を行い、この位相空間座標集合の変換に関連付けられた数学的模型を作り出すよ うに構成された発見的処理手段（ｈｅｕｒｉｓｔｉｃ　ｐｒｏｃｃ＋＋ｉｎｇ　 ｍｅｔａｓ）。

本発明は、力学系の数学的模型を作り出すという利点をもたらし、非線形系の解 析に適用可能である。後述されるように、発見的処理手段によって生成される数 学的模型は、先行する挙動に基づいて未来の力学系挙動の予測を生じさせるため に使用されることが可能である。或いは、相似又は変化の解析のために、別々の 力学系から得られる数学的模型が、互いに比較されることが可能である。

好ましい実施例では、本発明は、下記の諸手段を含む力学系アナライザを提供す る。

＋１）力学系から信号の時系列を得るための手段。

＋２）比較系の雑音レベルより大きい各々の特異値に各々が関連付けられた特異 ベクトルの集合を、前記時系列から生成するための手段。この特異ベクトルの集 合は位相空間を画定し、前記時系列の特異値分解からのベクトル集合の部分集合 に対応する。

ｒ３１位相空間座標集合の系列の形に前記時系列を変換するための手段。

ｆ４）数学的模型を生成するために、前記系列の（本明細書で定義される）ＱＲ 分解と基準データへの最小２乗フィッティング（Ｉｅｔｕ　１ＱＯＩＩｅｌ　Ｉ ｉ日ｉＢ　）とを行う学習モード（ｔｒａｉｎｉｎｇｗａｄｅ）で動作するべく 構成された発見的処理手段。

この発見的処理手段は更に、別の位相空間座標系列を変換して、数学的模型に基 づいて予測的出力値を与える試験モード（ｔｅｌｌ　ｍｏｄｅ　）で作動するよ うに構成されることが可能である。

この実施例では、本発明は、数学的模型を生成するために基準データに従って学 習可能であるという利点を与える。これは、基準データが選択されることと、再 学習が必要とされる場合に基準データが取り換えられることとを可能にする。

この発見的処理手段は、学習モードにおいて、時系列と、この時系列から得られ る位相空間座標集合の系列の一方又は両方のどちらかである基準データを使用す るように、構成されることが可能である。この基準データは、ＱＲ分解と最小２ 乗フィッティングのために、前記系列の入力に対して相対的な先行時間間隔を伴 って、発見的処理手段に入力される。この先行時間間隔は、その最大リャグラフ 成分によって示されるような力学系の固有の予測可能なタイムスケールよりも大 きくはないように構成される。この場合には、学習モードにおいて生じさせられ る数学的模型は、先行時間間隔の範囲内で時間的に先んじて、位相空間の軌道及 び／又は力学系の時系列を外挿するために必要とされる数学的模型である。試験 モードでは、その出力値は、上記の位相空間座標の更に別の系列を生じさせた試 験系の未来の挙動の予測に相当する。これらの値は、学習モードにおいて得られ た数学的模型に基づいて予測されるその試験系の位相空間座標及び／又は時系列 であってよい。

この代わりに、又は、これに加えて、その発見的処理手段は、その試験系の位相 空間座標及び／又は時系列の数学的模型の予測を、時間的に後で測定されるこれ らのパラメタの実際値と比較するように、構成されてもよい。この場合には、誤 差値は、各々の予測と各々の測定パラメタとの間に生じる。大きな誤差値は、位 相空間軌道の予測された外挿からの著しい逸脱を示す。

機械系では、これは、破局的な故障か、他の望ましくない挙動変化とに関連付け られるだろう。

前記生成手段は、力学系の時系列の特異値分解を行うようにプログラムされたデ ィジタルコンピュータであってよい。これは、一括計算であってよく、その場合 に、その計算結果が、必要に応じた使用のために、記憶装置内に格納されてよい 。

力学系は、機能的に受入れ可能な初期状態にある（機械装置又は電子装置のよう な）系であってよい。この力学系と比較されるべき試験系は、一定期間に亙って の運転中に劣化が生じた後の同一の力学系であってよい。これは、（例えば）大 型機械のメンテナンス要件が、挙動変化に基づいて評価されることを可能にする だろう。

前記変換手段は有限インパルス応答（ＮＲ）フィルタリング装置であってよく、 この装置は、（下記で定義される）　Ｔ＠ｋｅｎｉベクトルの形式で時系列を入 力し、特異値分解によって得られる特異値ベクトル集合の各々の上への各々のＴ ｘｋｅ＋＋ｓベクトルの射へを計算し、これらＴ！ｋｅｎ＋ベクトル各々に関し て各々の位相空間座標集合を与えるように構成される。

前記発見的処理手段は概ね、特許協力条約に従ってＮｏ　ＷＯ９０１０９６４３ とシテ公開された国際特許出願Ｎｏ　ＰＣＴ／ＧＢ９０１００＋４２　ｉ：説明 されている通りであることが好ましい。

本発明の力学系アナライザは、各々の力学系の数学的横型を与えるために学習モ ードで動作する発見的処理手段と共に使用されてよい。この時、数学的模型は、 各々の系の間の類似性の度合いの表示を与えるために互いに比較されることが可 能である。１つの力学系の時系列から得られる特異ベクトルが、各々の系の時系 列の各々に関する位相空間座標の生成に使用されることが可能である。或いは、 各々の系の時系列が、発見的処理手段による特異値分解と変換の両方のために使 用されてもよい。

本発明が更に十分に理解され得るように、下記の添付図面を参照して、本発明の 実施例が以下で説明される。

図１は、予測装置の形の本発明の力学系アナライザの略ブロック図である。

図１８は、図１の一部分を更に詳細に示す。

図２は、図１の装置に対する人力のための信号の時系列のグラフである。

図３は、図２の時系列の自己相関関数のグラフである。

図４は、図２の時系列の特異値分解の結果を表し、ディジタ重量子化雑音を上回 る系雑音レベルを示す。

図５は、当該の系の雑音レベルがディジタル量子化雑音を下回るということを除 いて、図４と同等である。

図６は、系の予測可能性を決定するために構成された本発明の別の実施例を概略 的に示す。

図７は、図６の実施例から得られることが可能な種類の結果を示すグラフである 。

Ａ　図１と図１ａを参照すると、これらの図には、全体として参照符号１０で示 される本発明の力学系アナライザ装置の略ブロック図が示されている。

装置ＩＱは、非線形系１４上に装着されたセンサ・トランスデユーサ１２を含み 、このセンサ・トランスデユーサ１２は、その系の挙動に特徴的なアナログ電気 信号Ａ　（ｔ）を得る。センサー２からの出力信号は、＾Ｄ変換器（ＡＤＣＩ　 １６に送り込まれる。ＡＤ変換器１６は、連続時点ｔ　ｔｌ、、、ｔＭにおいて 定間隔ｔで信号成された入力Ｓ／Ｉｔを有する。ここではｔ　は次式によって与 えられる。

ｔ、＝ｉ　−４−（ｉ−１）　τ　（１）アナログ信号Ａ　ｆ１＋　と標本化時 点ｔｌ等は、グラフ１８に示されでいる。信号の個々の標本が時系列Ａ（ｔ、） （但しｉ＝１〜Ｍ）を形成する。これらは、ディジタル時系列Ｖ　（ｔ、　）を 生じさせるためにＡＤＣＩ６によってディジタル化され、この場合、Ｖ　（ｔ、 　）は、ｉ＝１〜Ｍに関して各々の場合にＡ　（ｔ、　）にＩ 対応する。

八〇ＣＩ６は、標本化クロック２０の制御を受けて動作し、この標本化クロック ２０は、τだけ離れた各時点においてタイミングパルスを供給する。τの大きさ はコンピュータ２２によって設定され、このコンピュータ２２は、所要の標本化 間隔を指示するクロック２０に対してディジタルワードを供給する。

一般項Ｖ　（ｔ、　）を有するディジタル時系列が、コンビューり入力バス２４ を経由してビットパラレル形式でコンピュータ２２にＡＤＣ１６Ｗから出力され る。コンピュータ２２はこの時系列をハードディスク上に格納し、時系列項Ｖ　 （ｔ、　）〜Ｖ（ｔＭ）の平均と分散を計算する。それは、その時系列の正規化 バージョンを生じさせ、その後で、特異値分解をもたらすために、この正規化バ ージョンを処理する。この分解は、より詳細に後述されるだろう。この分解は、 特異ベクトルｆ　−ｆｄの集合を生じさせ、これらの特異ベクトルの各々は、一 連のｎ個の連続した値として表現される数学的関数である。これらのベクトルの 幾つかが、２８のような囲みの中に概略的に図示され、それらの対応する特異値 スペクトルが、２９に概略的に示されている。

コンピュータ２２は、第１の出力バス３２を経由してランダムアクセスメモリ！ ＲＡＭ＋３０の中に特異ベクトルｆ１〜ｆｄをロードする。ＲＡＭ３０は、ベク トルｆ　−ｆｄに対応する各々の部分３０　〜３０　を何する。３０．のような 各部分が、ベクトル１つ当ｄ たりｎつの値を格納し、例えばｆｌの場合には’　１１””　ｆＩｎ＠格納する 。ＲＡＭ３０は、多次元有限インパルス応答（ＦＩＲ）フィルタ３４の中に組み 入れられ、このＮＲフィルタは、ｎ個のマルチビット遅延ランチ３６１〜３６１ １のチェーン（山ｉｎ　）　３６も含む。

詳細には図解されていないＲＡＭ３０とう・ソチのチェーン３６の一部分が、点 線で示される。このＦＩＲフィルタ３４は、一般的に公知てあり、且つ市販品と して入手可能な種類である。ＲＡＭ３０とラソ壬羊エーン３６とを含むそうした ＦＩＲフィルタの１つが、カナダ企業であるＣ＋１ｍ＋＋　ＳＨｌｅｍ＋　Ｉｎ ｃ、によって１９８５年５月に市販された。或いは、ＦＡＲフィルタ３４は、米 国特許第４．８８５．７１５号と同第１．８３３．６３５号に開示される、相関 器（ｃｏ＋＋ｅｌｉｔｏ＋）及びコンボルバ−（ｃｏｎマ０１マｅｒ　）と呼ば れる装置に基づくものであってもよい。

ランチチェーン３６が、第２の出力バス３８の枝３８畠を経由してコンピュータ ２２からＶ（ｔ、）のような格納されたディジタル時系列値の入力を受け取る。

バス３８は、ＦＩＲフィルタ３４ヘクロック信号も供給する。これは、ディジタ ル時系列中の連続値Ｖ　（ｔ、　）等が、チェーン３６の最終ラッチ３６　の中 にクロックされることを可能にする。各々の値はマルチビット並列ディンタルワ ードであり、そのビットが同期入力される。入力後に、各々の時系列値が、１つ のクロックサイクル毎に１つのラッチの割合で、第１のラッチ３６．に向けて、 ラッチチェーンを先へとクロックされる。ｎ個のクロックサイクル後に、ディジ タル時系列の部分Ｖ　（ｔ、　）〜Ｖ　（ｔ、　）が、各々にラッチ３６１〜３ ６　上に格納される。これは、電子工学では遅延レジスタ・プレフィル動作（ｄ ｓ１１７　＋ｅｇｉ＋ｌｅ＋　ｐ＋ｅｆｉｌｌ　ｏｐｅ＋１ｉｏｎ）として知ら れている。このプレフィル（ｐ＋ｅｌｉｌｌ　）の後に、コンピュータ２２は、 　Ｆｌｉｔフィルタのフィルタリング動作を開始させるために、　ＦＩＲフィル タ月に起動クロック信号を供給する。フィルタ３４ノ動作は、ｖ（ｔ、）ｆ　− Ｖ（ｔ　）ｒ　＋７）ような積１　１１　ｉ＋ｎ−１１ｎ を生じさせるために、図１で水平方向に反対側にある各々の特異ベクトルを各々 の時系列値に乗じることである。各々のクロックサイクル毎に生じさせられる積 が、各々の特異ベクトル毎に各々の合計を与えるために加算される。

ディジタル時系列信号又は要素Ｖ（ｔ、）がＦＩＲフィルタ３４の中にそのクロ ックサイクル中にロードされるフィルタクロ・ツクサイクルとして第１のフィル タクロックサイクルを定義する時に、　目Ｒフィルタは、ｉ番目のフィルタクロ ックサイクルにおいて、次式で与えられる座標ｇ、（ｉ）〜ｇ、（ｉ）を出力す る。

方程式　（２１）〜（２ｄ）は、１組の座標ｇ、（ｉ）〜ｇ、（ｉ）を形成する ために、１番目のディンタル時系列値Ｖ　（ｔ、　）がＦＩＲフィルタ３４によ って使用されるということを示して（する。

これらの座標は、ｎ個の連続した値Ｖ（ｔｌ）〜Ｖ（ｔ、＋。−１）の時系列部 分集合に応じて生じさせられ、各々の基底ベクトルｆ　−ｆ　によって定義され るｄの次元を有す動電空間ｄ における、非線形系を表すベクトルの時点ｔ１における位置を表す。一般座標ｇ ｋい）は、時系列部分集合Ｖ（ｔ、）〜Ｖ（１，＋。−■）の一般基底ベクトル （特異ベクトル）ｆｋ上への射影である。ｎ個の値Ｖ　（ｔ、　）〜Ｖ（ｔ、□ −１）の部分集合は、Ｆ　Ｔｉｋ！ｎｓ、“０ｅｌｔｅｌｉＢ　Ｓｌ＋ＩＢｅ　 Ａｌ＋口ｃｈｏｒｔ　１ｎＴｏ＋ｂｏｌｅｎｃｅ”　（乱流におけるストレンジ ・アトラフターの検出）　、Ｌｅｃｔｕｒｅ　Ｎｏ１ｅ＋　ｉｎ　Ｍａｔｈｅｍ ａｔｉｃｓ、　Ｄ、Ａ、Ｒｔａｄ及びり、Ｓ、Ｙｏａａｇ編、Ｓｐ＋ｉＢｅ＋Ｓ Ｂｔ＋ｌｉｎ、　１９１１Ｌ　ｐ、３６６に従って、Ｔｏｋｅｎｓベクトルと呼 ばれる。ｉ番目のＴｏｋｅｎｓベクトルは、次式で定義される１番目の要素Ｔ＋ （ｉｌ　有する。

Ｔ　（ｉｌ　＝Ｖ　（ｔ１＋、−１）　Ｈ１要素番号１を１からｎに変化させる ことが、Ｖ　（ｔ、　）〜Ｖ（ｔ　）を生成する。ｉ番目のフィルタクロ・ツク サイクロロー１ ルにおいて生成される一般座標ｇｋ［１は、ｉ番目のＴｔｋｅａｓベクトルの、 ｋ番目の特異ベクトルの値ｆｋｌ””　ｆｋｎの系列との相関と見なされること が可能である。数学的には、これは、ｉ番目のＴｘｋｅ＋ｕベクトルの、ｋ番目 の特異ベクトル上への射影である。

座１１１ｇ　ｊｉ）　〜ｇ（１）は、　ＦＩＲフィルタ３４からフイルタノくｌ 　ｄ ス４０上に並列に且つ同期して出力される。連続した座標集合ｇ　ｆｉｎ）〜ｇ 　ｄ（ｉｌｌｌ　、ｇ　１Ｎ＋２１〜ｇａ　（＋＋２ｊ等が、連続したクロック サイクルにおいて出力される。フイルタノくス４０（ヨ第１の技４０８を有し、 この第１の枝４０鳳は、マルチポールブルスロー０スイツチ（ｍａｌｌｉｐｏｌ ｅ，　ｄｏｕｂｌｅ　ｌｈ＋ｏｖ　ｓマｉｔｃｈ）　ｌこ接続され、従って、全 体として４４で示される発見的プロセッサ（ｈ＋ｕ＋ｉＮｉｃ　ｐ＋ｏｃｅ＋＋ ｏ＋　）の応答出力Ａｌｌこ接続される。本明細書では術語「発見的プロセッサ 」は、後述される要素Ａ１、ＤＩ。

及びＳθ〜６８ｂを示す。スイッチ４２の動きが、フイルタノくスの第１の枝４ ０ｉ又はゼロ信号（図示されていなー））のどちら力１１こ応答入力ＡＩを接続 する。フィルターくス４０の第２の枝Ｂｈｉｔ遅延ユニット４らに接続され、遅 延ユニ・シト４６１係数ｇ（１）〜ｇｄ′１）の各々を同一の時間間隔ｐτだけ 遅延させる。本明細書ではｐは整数であり、τはクロ・ツクサイクルの長さであ り、従って、その遅延は、係数ｇ　１（　ｌ　ｌ　〜ｇ，（ｉ）の各々１こ関し て、同一整数個のクロックサイクルである。

遅延ユニット＋６は、遅延比カッくス４８番二よって、発見的ブロモ、せ１４の データ入力バスＤＩに接続される０第２のコンピュータ出力バス３８の第２の枝 ３８ｂは、スイッチ４２を経由して、発見的プロセッサ４４の補助応答入力バス ＳＡ＋に接続される。プロセッサ４４の入力インタフェースが鎖線５０で示され る。

発見的プロセッサ４４は公知の種類である。その構造と動作モードの詳細が、国 際特許公開Ｎｏ　Ｔｏ　９Ｇ１０９６４３として１９９０年８月２３日付で特許 協力条約（ＰＣＴ）に従って公開された国際出願Ｎ。

ＰＣＴ／ＧＢ９０１００１４２に説明されている。その特徴が概略的に言及され るだろう。

発見的プロセッサ４４は、ディジタル算術演算ユニット５２を含む。このディジ タル算術演算ユニット５２は、長方形として示される算術演算回路Ｐ１□〜Ｐｄ ＋を含む。これらの算術演算回路は、Ｐ　とに配置される。パラメタｄは、前述 のように、座標ｇｌｄ＋ （１）等の次元数である。パラメタｒは、ユニット５２に入力されるデータがそ れに変換される空間の次元の数である。ユニット５２は、菱形として示される記 憶装置Ｍ１〜Ｍ，も含む。これらの記憶装置の各々は、例えば記憶装置Ｍ１の場 合にはＰＩＩ＝　Ｐｄｌというように、算術演算ユニットの各々の列から出力信 号を受け取るように配置される。明確には図解されていない種類Ｐ又はＭの装置 が、鎖線で示される。

ディジタル算術演算ユニットからの出力が、発見的プロセッサ４４の一部分であ る三角シストリックアレイ（Ｉ「目Ｂｗｌｘｒ＋Ｈ１ｏｌｉｃ　＆＋＋Ｂ）　５ ４に送られる。この三角アレイ５４は、図解の都合から垂直方向に縮小されてい る。この三角アレイ５４は、円で示される境界セルＢＩｆ−Ｂ＋＋と、正方形で 示される内部セル’１２〜’　＋−１，ｔとを含む。明確には図示されていない 構造が鎖線で示されている。三角アレイ５４の境界セル（全体的にＢと呼ばれる ）の各々が、上方から入力されるデータから回転パラメタ（＋ｏＨＩｉｏ口ｐｓ ＋＋ｍｅｌ＋＋）を計算し、格納された行列要素の各々を更新し、そのパラメタ を横方向に右に出力するように配置される。三角アレイ５４の内部セル（全体的 に■と呼ばれる）の各々が、左から回転パラメタを受け取り、これらの回転パラ メタを上方から受け取られたデータに適用し、下方に出力を発生させ、格納され た行列要素の各々を更新し、回転パラメタを右に送るように配置される。これら の機能は各々のクロックサイクルにおいて生じ、発見的プロセッサ４４が伝送線 ５６を経由してコンピュータ２２からクロック信号を受け取る。このクロック信 号は、発見的プロセッサ４４の各要素に中継される。

境界セルＢと内部セル■は、算術演算機能を果たすようにプログラムされたトラ ンスピユータ（ｆ＋ｘｎ＋ｐｗ＋ｅ＋）である。これらのセルは、回転アルゴリ ズムを実行するように設計されている。変換データの行列が、クロックサイクル １つ当たり１つの行列行の割合でディジタル算術演算ユニット５２から出方され る。′これは、同じ割合で三角アレイ５４に出力され、これらの行の要素が、行 １つ毎に１つの要素の割合で、回転アルゴリズムに従って一連の回転によって漸 進的に削除される。その結果は、ユニット５２からの変換データの行列が、この 行列を三角行列に変換する回転を受ける。三角行列５４が使用可能な回転アルゴ リズムは幾つかある。そうしたアルゴリズムの１つは、各々の回転角変のサイン とコサインから成る１対の回転パラメタを使用する。境界セルＢと内部セル■は 、この三角行列の行列要素に格納し、それを更新する。計算上において一層好適 な他のアルゴリズムは、上記のサインとコサインと行列要素とに数学的に関係付 けられた、回転パラメタと、格納された要素とを生じさせる。特に、１つのアル ゴリズムでは、境界セルＢが第１の種類の行列に格納し、内部セル■が、三角行 列を生成するために第１の種類の行列を乗算するように使用される第２の種類の 行列に格納する。

一連の平面回転によって行列を三角化する処理が、ＱＲ分解として知られており 、Ｑが回転パラメタの行列であり、Ｒが三角行列である。回転アルゴリズムを実 行するための三角アレイ処理機能が、上記の国際出願のような従来技術で公知で あり、従って、更に詳細に説明されることはない。

回転パラメタは最上行Ｂｌｌ’＝　’　ｌ＋のようなセルの行に沿って〜Ｉ　の 長 送られる。回転パラメタは、内部セルＩ１．　＋＋ｌ　＋−１万形アレイ５８と 、六角形で表される乗数セルＭ＋＋ｌ、＋＋ｌ〜町よ１．１ｈｄｆｌ中とに送ら れる。境界セルＢ１１〜ＢＩＴは、それらのコサイン回転パラメタ（又は、他の アルゴリズムではコサイノ状のパラメタ）を累積乗算するという追加の機能を有 する。

例えば、第１の境界セルＢ１１が１つのクロックサイクルにおいてサイン・パラ メタとコサイン・パラメタを生成し、これらのパラメタを右側に内部セル’１２ に出力する時に、この第１の境界セルＢ１１は、コサイン・パラメタを対角方向 に右下に第２の行の第２の列の境界セル（図示されていないが、Ｂ２２と表され るだろう）にも出力する。このセルは、クロックサイクル２つ後に生成されるそ のコサイン・パラメタを乗じ、１つの境界セルからの対角出力と、第１のそうし たセルの出方を含むその対角隣接セルからの同様の出力との間に、２つのクロッ クサイクル分の遅延がある。この対角境界セル機能が、累積乗算されたコサイン ・パラメタから得られる積を生成し、これらの積の各々は、ディジタル算術演算 ユニット５２からの行列出力の各々の入力行から生成される。各々の積は、乗数 器セルＭ４，１〜Ｍ、ヤ１．　ｒ＋ｄ＋１の行に送られ、クロックサイクル１つ 当たり１つの乗数器セルの割合で乗数器セルに沿って送られる。同様に、三角ア レイ５４の行に沿って送られる回転パラメタは、長方形アレイ５８の各々の行の 中に送り込まれる。上方から受け取られたデータを回転させ、格納された要素の 各々を更新し、出力を下方に与え、パラメタを右に送るために、これらの回転パ ラメタが、長方形アレイの内部セルＩ　等によって使用される。

１、ｒ＋１ 即ち、長方形アレイの内部セルは、三角アレイ５４の動作と正確に同一な仕方で 動作する。

乗数器セル（全体としてＭと呼ばれる）は、上方からデータを受け取り、左側か らの入力をそのデータに乗じ、その積を下方に出力し、右側に左側の人力に送る という処理機能を有する。

この積は、算術演算ユニット５２からの変換データを、各々の場合に適切な乗数 器セルの上にある列を下方に通過するデータにフィッティングさせる際に得られ る、スカラー最小２乗剰余誤差である。長方形アレイ５８によって出力される剰 余の集合が、各々の最小２乗剰余ベクトルを形成する。

長方形アレイ５８は、多列部分５８１と単一列部分５８ｂとに概念的に分割され る。

三角アレイ５４と長方形アレイ５８は、異なった入力データを受け取る。三角ア レイ５４は、上記のようにディジタル算術演算ユニット５２内で変換され終わっ た入力Ｄ１からのデータを受け取る。

長方形アレイは、ラッチのチェーン（詳細には図示されていない）を経由して応 答入力Ａ１から入力データを受け取る。これらは、発見的プロセッサ４４内に組 み込まれたＬ字形遅延装置６０として図示されている。装置６０は、長方形アレ イ５８の部分５８１．５８ｂの各々に接続された多チヤネル部分６０息と単一チ ャネル部分６Ｇｂとに概念的に分割される。

データ入力バスＤ１は、三角形６２によって示される時間スキュー装置（Ｉｅｍ ｐｏ口ｌ　＋ｋｅｖｉｎｇ　ｄｅｙｉｃｅ　）を経由して一算術演算ユニット５ ２に接続される。この装置は、クロックされたラッチ（図示されていない）の三 角アレイである。この装置は、入力バス［１１に応じて大きさが変化する時間遅 延をもたらす。この遅延は、入力バスＤ１の上部端ではゼロであり、バスのセグ メント（図示されていない）１つ当たり１つのクロック時間間隔τずつ増大し、 このバスの下部端では（ｄ　−１）τとなる。同様に、第２の時間スキュー装置 ６４が、応答大カバスＡｉ内の６４１において同様のスキュー遅延変化をもたら すと共に、補助応答入力バスＳＡＩ内の６４ｂにおいて遅延ｄτをもたらす。長 方形アレイ５８からの出力が、装置６２に類似した時間デスキュー装置（ｌｅｍ ｐｏｒｒｌ　ｄｅ＋ｋｅｙｉｎｇ　ｄｅｙｉｃｅ　）　６６を通過する。この時 間デスキュー装置６６は、セル１　〜Ｍ １、　＋＋１　＋＋１．　＋＋１の列におけるｄτから、セル■Ｉ、　ｒ＋ｄ＋ １　＋＋１．　＋＋ｄ＋１の右端の列におけるゼロ〜Ｍ へと変化する、長方形アレイの出力遅延をもたらす。この遅延は、列１つ当たり １つのクロックサイクル時間間隔τずつ低減する。

入力遅延装置６２．６４の目的は、データ経路に無関係に、発見的プロセッサ要 素５２．５４．５８ａ　、５８ｂ内のデータの到着の適正なタンミングを確保す ることである。デスキュー遅延袋ｆ１６６は、Ｄｌ、Ａｌ５ＳＡ＋において同時 に入力されるデータが、線６８によって示される出力インタフェースにおいて同 期出力を生じさせることを可能にする。線６８は、長方形アレイの部分５８１． ５８ｂからの出力に各々に対応する部分６！Ｉｓ　、６１ｔｂを有する。６２． ６４．５６のようなりロックされたラッチの長方形アレイの使用は、シストリッ クアレイ処理方法において公知であり、本明細書では更に詳細に説明されること はない。

発見的プロセッサ４４は、入力Ｔｒ／Ｔｅに与えられる信号によって選択可能な ２つの二者択一の動作モードを有する。高レベル（２進数で「１」）の信号は、 Ｔｔ　（１＋＋ｉｎｉｎｇ　：学習）モードを与え、低レベル（２進数で「０」 ）の信号は、Ｔｔ　（ｊｅｔｔｉｎｇ　：試験）モードを与える。このモード選 択信号は、算術演算ユニット５２内の適切な遅延装置（図示されていない）と、 接続部分７０とを経由して、三角アレイ５４と長方形アレイ５８に送られる。

学習モードにおいては、上述のように、コンピュータ２２とＦＡＲフィルタ３Ｇ とを経由して非線形系１４から学習データが得られ、この学習データが遅延装置 ４６の後にデータ入力バスＤＩに送り込まれる。学習データの非遅延バージョン が応答入力ＡＩに送り込まれ、スイッチ４２がバス４０ａ　と＾１を接続するよ うにセットされるっ遅延されたデータは、ディジタル算術演算ユニット５２内で 変換される。これは、中心（幾何学的起点）の集合の各々からの各データベクト ルのユークリッドｅノルム（Ｅｕｃｌｉｄｅ＊ａｎｏｒｆｆｉ）　（幾何学的距 離）の計算を含む。この場合、各々のデータベクトルは、位相空間座標の各々の 集合である。その後で、そうしたノルムの各々は非線形変換を受ける。更に、こ の変換の結果は、三角アレイ５４内でＱＲ分解を受ける。これは、遅延装置６０ を経由して受け取られる長方形アレイ５８内の（ｐ個のクロックサイクルだけ先 行する）非遅延データに対して用いるための回転パラメタを与える。学習モード では、境界及び内部セルＢＩＩ〜’　１．　＋＋ｄ＋ｌの全てが適応的に働き、 即ち、回転パラメタの各々の生成と適用の際に、これらのセルが、新たな入力の 集合の各々に従って、クロックサイクル毎に、それらのセルの格納済の行列要素 を各々に更新する。

学習モードにおける動作の結果は、ｐ個のクロックサイクル（時間間隔ｐτ）だ け遅延させられたデータが変換され、非遅延データに最小２乗フィッティングさ れる。このフィッティングの精度は、発見的プロセッサ出方６８に現れる剰余値 （誤差）によって表示される。許容可能なだけ正確であるフィッティングが、僅 かな変動する剰余値によって表示される◇その中に格納された各々の行列要素を 有する。第１の（多列）長方形アレイ部分５８１においては、その要素が、ｄ次 元位相空間内の軌道上に座標ｇ　ｋ（＋）　（ｋ　＝　１〜ｄ）を有する点を、 その軌道上のｐつのステップだけ後方の位置にあり且つ座標　ｇ　ｉ　ｊ　１　 ＋　ｐ）を有する点の上に写像する。第２の（単−例）長方形アレイ部分５８ｂ では、その行列要素が、点ｇｋ（１）（ｋ＝１〜ｄ）を、ｐつのステップだけ前 方のディジタル化時系列値Ｖ（ｔ、　）上に写像する。

＋＋＋＋−１＋ｐ 学習の完了時には、モード制御人力丁＋／Ｔ！が、試験モードを実行するために 低電圧信号レベル（２進数「０」）にセットされる。これは、接続部分７０を経 由して三角アレイ５４と長方形アレイ５８とに中継される。それは、これらのア レイ内の境界セルＢと内部セル■の全てを、内部行列の要素の更新が抑止される モードに切り換える。しかし、セルＢ内とセル■内の回転パラメタの評価と適用 は続けられる。従って、学習中に得られた格納済の行列要素によって表現される 数学的模型が凍結される。

スイッチ１２の設定に応じて、２つの二者択一の動作試験モードがある。両方の モードとも、「既知の」又は「比較」非線形系１４が、この非線形系１４と比較 されることがめられる［未知の」非線形系によって置き換えられる。第１のモー ドは、学習モード設定のままであるスイッチ４２を含み、従って、バスの枝４０ ｚを応答入力層に接続する。その後で、その未知の系から得られるデータが、既 知の系１４から得られる特異ベクトルｆ１〜ｆｄを使用する　ＦＩＲフィルタ３ ４によって、座標ｇｋ′　（皿）に変換される。

スイッチ４２の設定の故に、座標ｇ’（ｉｌ　等が応答入力ＡＩにに 直接送り込まれる。これらの座標は、遅延装置４６を経由してデータ入力［１１ にも送られる。関連した時系列値Ｖ’（ｔ、）が補助応答入力ＳＡＩに送り込ま れる。ＤＩにおける人力が、算術演算ユニット５２によってｒ次元空間の形に非 線形的に変換される。

ユニット５２からの出力は、三角アレイ５４と長方形アレイ５８の中に格納され た凍結された数学的模型によって、更に変換される。

この更に別の変換の後に、ユニット５２からの出力が、長方形アレイ５８内にお いて、遅延装置６Ｇから受け取られた座標と時系列値とから減算される。これは 、プロセッサ出力６８において誤差値を生じさせる。各々の誤差値は、未知の非 線形系からの各々の測定値と、発見的プロセッサ４４によってその凍結された数 学的模型から計算された、それに関連した予測値との間の差である。誤差値が十 分に小さい場合には、その未来の挙動が既知系の挙動に基づいてｐつのステップ だけ先行して予測可能であるが故に、この未知の非線形系は既知系１４と同等で あることが示される。この予測可能性は、位相空間（長方形アレイ部分５８１） 内と、これに関連する時系列（長方形アレイ部分５８ｂ）内との両方で生じるだ ろう。これは、試験系からの信号が、前もって観測された「標準」系からの信号 に対するその類似性を検出し定量化するために使用可能であるということを示し ている。

この第１の試験動作モードは、数学的意味においてカオス的ではあるが決定性で あり得る系の動作の変化を検出するためにも重要である。例えば、揺動する機械 軸受のような振動系は、その軸受がその一部分をなす装置のパラメタを監視する ように構成されたトランスデユーサからの読取りに対して、悪影響を与える可能 性がある。この場合には、学習に使用される「既知の」非線形系１４は、良好な 作動状態中にある軸受を有する装置であろう。同様に、（軸受の揺動を含む）上 記トランスデユーサの出力は、「未知の」系である。試験モード中の６８におけ る「誤差値」出力は、その軸受が正常に作動する限りは小さいだろう。二の誤差 値は、その軸受が磨耗によって劣化するにつれて増大するだろう。これは、複数 の系からの信号が異なったものになる時に、これらの信号が本発明によって分離 可能であるということを示す。

第２の試験動作モードは、スイッチ４２がその第２の位置にセットされることを 必要とする。これはバスの枝４０ｔを断路し、応答入力ＡＩの各セグメントに２ 進数ｒＯＪ信号レベルを与える。

他の点では、この第２の試験モードにおける動作は第１の試験モードの動作と同 じである。従って、ＤＩにおいて入力され５２．５４．５８において変換された データが、遅延装置６ｏから長方形アレイ５８に入力されるゼロ信号に対して比 較される。従って、出力インタフェース６８に現れる誤差値は、実際には、ゼロ 信号との比較から発生させられる。従って、これらの値は、各々の場合ともｐつ のステップ（クロックサイクル）だけ未来における、「未知の」系の位相空間内 の座標の推定値（出力６８１）と時系列の推定値（出力６８ｂ）である。これら の予測は、三角アレイ５４と長方形アレイ５８の学習中に形成され且つこれらの アレイの中に格納される多次元行列モデルに基づいて生じさせられる。

これは、予測装置１１０が、非線形力学系の未来状態の予測を生じさせる能力を 有するということを示している。

さて次に、コンピュータ２２の動作モードが更に詳細に説明されるだろう。コン ピュータ２２は、一連の動作シーケンスを行うようにプログラムされる。これは 、「既知の」系１４からの種類Ｖ　（ｔ、　）の時系列データの特異値分解を生 じさせる。この動作シーケンスは次の通りである。

！＋）位相空間内の次元の数ｎとして受入れ可能な値を決定する。　ｌｂｌ　位 相空間のための基底を定義するために、時系列Ｖ（１，）等の特異値分解を行う 。

区 Ｉｃｌ　ｄ次元の部分空間を生じさせるために、（ｂ）において生じさせられた 「雑音で損なわれた」特異関数を発見し、これらの関数を排除する。

ｆｄ＋　特異ベクトルをＦＩＲフィルタ３４の中にロードする。

ｆｃｌＶ（ｔ、）等を読み込むために、クロック信号によってＦＩＲフィルタ３ ４を起動する。

七ソサ４４を起動する。

上記の諸動作を行うために、コンピュータ２２は、一般項Ｖ（ｔ、）（但しｉ＝ １〜Ｍ）を有するディジタル化時系列を読み込む。Ｍの典型的な値は５０．００ ０である。コンピュータ２２は、この時系列中の項の統計的な平均値と分散を計 算し、平均値を各項から減じ、その結果を前記分散によって割ることによって、 この時系列中の項を正規化された値の集合に変換する。便宜上から、標本抽出さ れたへ〇〇出力信号Ｖ（ｔ、）から得られ且つそれと等価な正規化時系列値も、 以下でＶ　（ｔ、　）と呼ばれるだるう。

試験のために、「既知の」非線形系１４が構成された。これは、レースの形状の 機械軸受と、このレースの中心に接触するアルミニウム棒と、このアルミニウム 棒に接触する位置トランスデユーサとから構成された。このトランスデユーサは 、家庭用レコードプレーヤにおいてレコードに接触するために使用される種類の 圧電クリスタルピックアップだった。このトランスデユーサは、軸受の揺動（即 ち、望ましくない、少なくとも部分的には決定性の非線形軸受振動）を示す電気 出力を与えた。

このトランスデユーサは、５０．０００の（即ちＭ）値の時系列を生じさせた。

これらの値の最初の２０４８つが、コンピュータ２２による正規化の後のディジ タル化形式において、図２に示されている。

（上記定義の通りの）動作＋１）を行い、位相空間次元の受入れ可能な数ｎを決 定するために、コンピュータ２２は、（現時点では正規化された）時系列Ｖ　（ ｔ、　）等の自己相関関数を計算する。方程式の複雑さを低減させるために、こ の正規化された時系列の一般項をＶ　（ｔ、　）の代わりにＶ　と書き表すと、 その自己相関関数Ｇは、次式によって定義される種類Ｇｋの連続値を有し、 前式中でに＝ｏ、１．２，３．．．．　（Ｋ−１）であり、Ｋはｋの最大値であ り、且つ、ＫくＭである。

図３は、図２に示される正規化時系列データに関する自己相関関数Ｇを示す。コ ンピュータ２２は、ｋ１１１〜１２８に亙って関数Ｇを計算し、図３では値Ｇ、 が、ｋに対比して、任意の単位でプロットされる形で示されている。

この自己相関関数Ｇは、ｋ軸（即ち、Ｇ、＝Ｏ）で概ねに＝２８において交差す る。位相空間次元の数ｎの適切な値が、Ｇｋ＝０である第１のｋの値に等しいと いうことが、実験によって発見された。従って、このｎの値は２８であるように 選択される。

さて次に、コンピュータ２２は、動作（ｂ）、即ち、時系列の特異値分解を実行 する。これを行うために、コンピュータ２２は、その連続打が連続Ｔ＊ｋｃｍ＋ ベクトルＴ　等である行列Ｘを形成すす る。Ｔ８ｋｅｎ＋ベクトルＴ　は次式によって定義される。

Ｔ、＝［Ｖ、、Ｖ、、、、、Ｖ、　］　（５）１１０１ｕｎ−１ 方程式（５）は、ｉ番目のＴ＊ｋｅｉ富ベクトルＴ　（但しｉ＝ｌ〜！ Ｍ−ｎ＋１）は、■　で始まるｎつの連続した時系列値の系列であす るベクトル要素を有する。これは、”ＤｅｌｅｃｌｉＢ　Ｓｔ日ｆｉｌｅＡ目ｒ ｅｃｔｏ「ｓ　ｉｎ　Ｔｕ＋ｂａｌｅｎｅｅ”　、Ｌｅｃｔｕｒｅ　Ｎｏｔｃ＋ 　ｉｎ　Ｍｔｆｈｅｍｔ！ｉｃ寥、Ｄ６＾　Ｒｔｎｄ及びり、Ｓ、　Ｙｏ■（編 、Ｓｐ口Ｂｅ＋、Ｂｅｒｌｉｎｓ　１９８１．９３６６において、Ｆ　Ｔ＊ｋｅ ｎｓｌこよって論じられている。従って、Ｘは次式によって与えられる。

Ｘの転置値は、次式で与えられるＸＴである。

ｘＴ・【τＴ０１．輻−ｎｕｌｌ　（７１即ち、 この自己共分散行列Ｅは次式によって定義される。

この後で請求められる特異値分解を与えるために、Ｅがコンピュータ２２によっ て処理される。この行列は、公知の対角化の数学的処理を受ける。この処理は、 この行列の三重対角形式へのハウスホルダー変換と、それに続く、固有値を与え るためのＱＲアルゴリズムの適用とから成る。これらの固有値は、所要の固有値 の２乗である。これは、’Ｎａｍｅｒｉｅｓｌ　Ｒｅｃｉｐ＊＋−Ｔｈｅ＾＋Ｉ 　ｏｆ　５ｃｉｅｎｔｉｆｉｃ　ＣｏｍｐｕｌｉＢ　（数値的方法−科学計算の 技法）　”　、ＣＡｍｂ＋ｉｄＢ　、　ｐ、３５Ｏ等において、Ｗ　ＨＰ＋ｓ＋ ＋他によって説明されている。或いは、その分解は、数学的関数ｆ１〜ｆ、を定 義するディジタル値の集合として表現される、ｎつの特異ベクトル（本実施例で はｎ＝２１１）から成る１つの集合をもたらす。各々の特異ベクトルが、各々の 特異値Ｓ　Ｉ””！１７に関連付けられ、これらの特異値は広い意味で各々のベ クトルの強さと呼ばれることが可能である。この分解は、各々の特異ベトクルに よって示されるように方向付けられた軸と、各々の特異値によって与えられる軸 方向−長さとを有する楕円体の、より高次元の等価物を生じさせると考えられる ことが可能である。

これは、（上記で言及されたように）　Ｗ　ＨＰｒｅ■他によってＰ。

５２〜６４で論じられている。

特異ベクトルの長さ又は強さ、即ち、特異ベクトル各々の特異値は、ｊがｆ　（ 但しｊ＝１〜ｎ）におけるベクトル重数である場合に、ｊが増大するにつれて単 調に減少するように構成される。この特異値は一般的に、ｊがｎに達する前に、 非線形系の雑音レベルへと減少するだろう。これは、小さな特異値に関連付けら れる特異ベクトルが、雑音によって著しく損なわれているということを示してい る。従って、そうしたベクトルは取り除かれるべきである。従って、特異値ｓ　 −９，の大きさが雑音レベルよりも大きい場合には、位相空間の次元数がｎから ｄへと減少する。

適正に設計されたアナライザー０においては、ＡＤＣ１６は、雑音レベルを、そ の八〇〇の出力ディジタル語の最下位ビットに概ね等しいがそれよりも大きいレ ベルにするように構成されるだろう。

特異値分解を切り捨てる（　ｔｒｕｎｃａｔｅ）ように及び適切にタイミングが とられたデータとクロック信号を供給するように方程式　！４１〜（９）を取り 扱うためのコンピュータのプログラミングは、容易であり、説明されないだろう 。上記の文脈における特異値分解は、Ｂ＋ｏｏｍｈｅｇｄ他によってＰｈ７ｔｉ ｃｔ　２００．　＋９８６．　ｐ。

２＋７で説明されている。

さて、図４を参照すると、この図には、上記のレース軸受から得られた５０．０ ００の正規化ディジタル時系列値の特異値分解の結果が示されている。全体的に 参照符号８０で示されるグラフは、この分解において生じさせられる特異値５１ 〜Ｓ、のスペクトルを与える。本実施例では、ｎ＝２８であり、従って、その値 は、１＝１〜２８である一般値Ｓ　を有する３１〜３２８である。グラフ８０は 、数１が１〜２Ｂである特異値（又は特異ベクトル）に関する　ｌｏｇ、Ｑｓ　 、の単調に減少する曲線８２を示す。１；１においでは、曲線８２は、約４の相 対量に相当する約０．６の対数値を有する。１＝２Ｂにおいては、曲線８２は、 約５　Ｘ　Ｉｔｌ−３に等しい約−２３の対数値に低下する。曲線８２は、Ａ［ １Ｃ１６の（鎖線８４で示される）雑音レベルとは交差しない。しかし、水平鎖 線８Ｇと垂直鎖線８７とが交差する点８５に示されるように、急屈曲部が曲線８ ２中に出現する。垂直線８７の左側では、曲線８２は特異値数ｉに応じて急速に 変化し、垂直線８７の右側では、ｉに応じたｌｏｇ　、ｏｓ　、の変化は些少で ある。垂直線８７はｉ＝７にある。ｉが８以上である場合には、系Ｉ４とセンサ トランスデユーサ１２とにおいて生じる雑音によって１９つの特異値が損なわれ るということが、推論されることが可能である。雑音が一様に分布させられ、一 般的にスペクトルの変動の欠如が系の雑音レベルに関連付けられるが故に、この 推論が成り立つことが可能である。

従って、（ＡＤＣ量子化雑音レベル８４とは対照的に）水平鎖線８６は、系の雑 音レベルとして取り扱われる。従って、ｉ〉７の場合の特異ベクトルは、雑音に よって許容不可能なほど損なわれていると考えられる。関数ｆ　−ｆ７の特異ベ クトルは、許容可能な程度の雑音を有する。従って、これらは存続させられ、ｆ ８〜ｆ２８は排除される。これは、雑音が低減された非線形系の部分空間を生じ させ、本実施例では、この部分空間は７つの次元を有する。従って、方程式（２ ，ｄ）におけるパラメタｄの値は７である。

図４は、本実施例における特異値分解によって発生させられる２８つの特異ベク トルも示し、これらのベクトルは、ｆ１〜ｆ２Ｂと表示された曲線として示され る。

図４を従来のフーリエ解析と比較すると、フーリエ解析は無限に長い（従って非 実際的な）時系列をとるということが特に指摘される。フーリエ解析は、離散的 な周波数（線スペクトル）によって線形系を特徴付ける。広範な帯域スペクトル を示す非線形系の場合には、フーリエ解析は無効である。

必要に応じて、図１におけるスイッチ４２によって与えられる代替物を組み合わ せることが可能である。これは、スイッチ４２が取り除かれ、第３の部分５８（ 図示されていない）が長方形アレイ５８に付加されることを必要とする。部分５ ８ｅは、組み合わされた部分５８Ｉ、　５８ｂと同じ構成となるだろう。学習モ ードにおいては、部分５８ｃが、この目的のために分枝させられる＾］から人力 を受け取るだろう。試験モードでは、部分５８ｃがゼロ入力を受け取るだろう。

更に、第３の出力（即ち６８Ｃ）が座標と時系列との予測値を与え、一方、これ らの値と測定パラメタとの間の誤差が６８３　と６８ｂとに現れるだろう。

さて次に図５を参照すると、この図には、図４に示される結果に類似しているが 、変形Ｖｚｎ　ｄｅｔ　Ｐｏｌ電子発振器から得られる結果が示されている。こ うした発振器は非常に小さな固有雑音を有する。信号処理過程で現れる雑音は全 て、へ〇Ｃ量子化に起因する。図５は、概ね１＝１３においてＡＤＣ量子化レベ ル９１の推定値を下回る特異値スペクトル９Ｇを示す。レベル９１は、関連した ＡＤＣの最下位ビットチャネルにおける、１によって割り算された当該の時系列 の標準偏差である。スペクトル９０は、概ね！＝２０において均一化する。従っ て、ＡＤＣ量子化雑音がその結果を支配し、そのスペクトルはｉ　＝１３（ｄ＝ １３を与える）における切捨て（ｔＴｕｎｃ＊ｔｉｏｎ）を必要とする。より高 感度のＡＤＣ１６の場合には、ｌ；２０にまで切捨てが及ぶ可能性がある。

図５は、特異値分解で得られる特異ベクトル又は関数の形態も示す。これらの特 異ベクトルは３８つあり、即ち、ｉ＝１〜３８である。

さて次に図６を参照すると、本発明の更に別の実施例１１０の一部分の機能ブロ ック図が示される。これは、図１に示されるアナライザの変形である力学系アナ ライザであり、前述された諸部分と同等である諸部分は、同一の参照符号を有す る。数字の参照符号の場合には、各々に１００が加えられる。

アナライザー０とアナライザ１１０の間の類似性を考慮して、アナライザ＋１０ の説明は相違点の側面にだけ集中させられるだろう。

アナライザ１１０は、上述の発見的プロセッサと　ＦＩＲフィルタと同等の発見 的プロセッサー４と　ＦＩＲフィルター３４とを有する。

ＮＲフィルタ＋３４は、そのラッチチェーン１３６が右側に示されるように横向 きにして図示される。ラッチチェーン１３６は、ラッチチェーン３６に比較して 、３つの追加のラッチ＋３６．＋、、＋３６、＋３６　だけ延ばされる。ラッチ １３６　〜＋３６ｆｉ＋３ｎ＋２　ｎ＋３　０ は、補助応答入力ＳＡＩを集合的に形成する入力５ＡＩｏ〜Ｓ＾１３の各々に接 続される。入力ＳＡＩ　、ＳＡＩ　ＳＳＡ＋３は、各々の人力遅延ユニット１１ ５　〜１１５３を経由して、発見的プロセラす１４４に組み入れられた遅延装置 １６０に接続される。スイッチ１２の同等物はない。入力遅延ユニット　ｌ１５ ．１Ｉ５２．１Ｉ５３■ は、遅延τ、２τ、３τの各々を与え、この場合にτは上記と同様に１つのクロ ックサイクルである。

組み合わさって１つの入力アレイ１５８ｂを形成する列Ｃａ−Ｃ３各々の中に遅 延装置１６Ｇから信号が送られる。アレイ１５８ｂは、正規化時系列データに対 する最小２乗フィッティングが行われた上記の実施例の列５ａｂの多列バージラ ンに等しい。列Ｃｏ１Ｃｌ、Ｃ２は各々に、出方遅延ユニット　１１７０．　ｌ １７．．１１７、と直列である。出力遅延ユニット　１１７　、＋１７．、１１ ７２は各々に、遅延３τ、２τ、τを与え、従って、出方インタフェース１６８ に達する信号は、（列Ｃｏ　””　Ｃ３からの同等の出力に比較して）時間的に デスキュー（ｄｅｔｋｅｖ）される。

系アナライザー１０は次のように動作する。上記の学習手順に等しい学習手順が 使用される。比較系（図示されていない）が信号の時系列を与え、この信号時系 列から特異値分解と切捨てとによって特異ベクトルｆｌ−ｆｄが導き出される。

これらのベクトルはＦＩＲフィルター３４の中にロードされ、時系列Ｖ　、、、 Ｖ、、、、がラッチチェーン１３６に沿ってクロック同期Ｉ される。学習モードにおいては、ＦＩＲフィルター３４からの位相空間座標出力 が、上記の実施例１０に関して説明されたように、非線形的に変換され、ＱＲ分 解され、時系列データにフィッティングされる。しかし、本実施例では、装置４ ６内における単−数（ｐ）クロックサイクルの遅延の代わりに、０のクロックサ イクル（時間間隔τ）の遅延と、１個のクロックサイクルの遅延と、２つのクロ ックサイクルの遅延と、３個の夕ロツクサイクルの遅延という４つの別個の遅延 がある。これを実行するために、その遅延回路構成部分は、ある程度は再構成さ れており、ラブチチェーン１３６を使用し、連続する列Ｃａ　””　Ｃ３の間を 通過する回転パラメタに及ぼされる遅延に関して調節を行う。入力遅延ユニット 　１１５１等がその調節をもたらす。

従って、位相空間座標のｉ番目の集合ｇ（１）〜ｇｄ（＋）の学習の間に、発見 的プロセッサ４４によって、ＦＩＲフィルター３４からの出力が、時系列点”　 ’　”　’　”ｉ＋ｎ＋ｌ、ｉｌａ−１＋十〇 ■　の各々に関連付けられる。これは、列ｃｏ−０３の各＋＋ｎ＋２ 々の中で行われ、即ち、列Ｃが、ｇ、（ｉｌ　〜ｇ、＋＋）の変ｑ＋１ 換バージョンをＶ　にフィッティングする役割を果たす＋＋ｅ＋ｑ （但し、ｑは−１，０，１又は２であり、且つｐ−ｔに等しい）。

列ｃ　−ｃ　は、ｇ（１）〜ｇｄ（ｉｌ　の変換バージョンと、ｖ、　、ｖ、、 ｖ、　、ｖ、□＋２との間の誤差値を与え＋＋ｎ−１ｕｎ　＋＋ｎＮ る。予測時間間隔は列Ｃ−０３の間で０つのクロックサイクルから３つクロック サイクルに増大し、従って、不一致、即ち、誤差も、増大する可能性がある。

図７は、アナライザー１０に類似しているが１１つの出力列Ｃ。

〜Ｃ１ｏ（図示されていない）を有するアナライザからの出方と想定され得るも のの図示である。図７は、予測時間間隔に対比した１ＭＳ予測誤差の底１ｏの対 数のグラフ２００であり、予測時間間隔はクロックサイクル時間間隔（τ）の数 ｐである。この場合には、ｐは０から１０であり、各々の場合に、各々の出方列 ＣＳＣ１Ｃ、、、、、、Ｃ１０ノ添字である。グラフ２０Ｇ（７）ようなグラフ は、非線形力学系の予測可能性の度合いを識別するために使用されることが可能 である。図７に示される１ＭＳ予測誤差は、その予測誤差がそのレベルで飽和す る一定の最大レベルにまで、ｐの増大と共に増大すると見なされる。この飽和レ ベルは、発生可能な最悪の推測をアナライザが生じさせる場合にさえも、予測誤 差が、［アトラフター・サイズ（１ｆｔ＋ｔｃｌｏ＋ｔｉｄｅ）　Ｊの学習と処 理によって決定される一定の最大値に制限されるだろうということに起因する。

図７に示される結果は次のように計算される。値Ｘ　（但し、ｔ＝Ｑ〜４００Ｇ ）の系列が、次の差分方程式を反復することによって生じさせられる。

Ｘ　＝１−ａ　（Ｘ、、　）　’　＋βＸ１２　（１０）パラメタα、βは、α ＝１．４及びβ＝０．３の値を有する定数である。これらの値は、その系列がカ オス的であるように選択され、Ｘｏに関しては小さな開始値が使用される。Ｘ、 （但し、ｔ＝１００１〜２０００）の値の系列が、点（２，２）、（２，−２） 、（−２，−２）、（−２，２）によって限られた平面の全体に亙って一様に分 布させられる３６個の中心を使用して、力学系アナライザを学習させるために使 用される。更に、ｘｌ　（但し、ｔ＝３００１〜４００Ｇ）の値の系列が処理さ れ、１ＭＳ予測誤差のｌｏｇ　が、出力列Ｃ−０１Ｇの各々から現れる１０００ つの誤差値の各々の集合を使用して計算される。

本発明は、上記の仕方とは別の仕方で実行されることが可能である。例えば、ア ナライザ１０は、連続した学習及び試験モードにおいて動作させられた。しかし 、１つのアナライザにおける学習手順が、別の装置によって使用される結果を生 じさせることが可能である。再び図１と図１ａを参照すると、発見的プロセッサ ４４における学習手順が、行列要素の１つの集合を生じさせる。学習の終了時に 、これらの行列要素の値が完結させられ、個々の内部セルＩと境界セルＢとに格 納される。試験モードにおいては、これらの値は凍結され、ディジタル算術演算 ユニット５２から出力されるデータに対する数学的（行列）変換を行い、このデ ィジタル算術演算ユニット５２自体は、中心の集合に関する非線形展開を行う。

この行列変換は、重みベクトル（ｗｅｉｇｈｔ　ｖｅｃｔｏｒ　）又は重み行列 （ｗｅｉｇｈｔ　ＩＩ＊ｌ＋ｉｔ　）による乗算と同等である。重みベクトル又 は重み行列の個々の要素は、学習済の発見的プロセッサから得られることが可能 である。この手順は、上記のＰＣＴ出願Ｎｏ、ＰＣＴ／ＧＢ９０１００１４２に 説明され、従って、本明細書では詳細に説明されないだろう。しかし、学習手順 において決定されるそうした重み付は要素と特異ベクトルを、学習において使用 される中心と非線形変換（ユニット５２）と共に有するが故に、試験モードにお ける動作は、ディジタル算術演算ユニット５２の出力上で動作する単純な重み付 は装置によるものであってよい。これは、試験装置の装置要件が減じられること を可能にする。

本発明が、特定の状況において、予測される挙動からの力学系の僅かな逸脱に対 して過剰に敏感となる可能性があるということが発見されている。言い換えれば 、僅かな逸脱が、大きな誤差を与える可能性がある。この場合には、次に説明さ れるように、異なった仕方で本発明を使用することが可能である。

既に説明したように、学習モードで動作する発見的プロセッサ４４は、重み行列 に関係付けられた格納された要素を生じさせる。重み行列の要素は、ＰＣＴ／Ｇ Ｂ９０１００１４２に説明される通りに三角シストリックアレイ５４に対する単 位ベクトルの入力によって出力６８において得られることが可能である。これは 、発見的プロセッサ４４内でその力学系が生じさせる重み行列の要素によって、 力学系が特徴付けられることを可能にする。従って、比較力学系からのデータが 、本発明のアナライザに入力され、このアナライザ内で、後続の読出しのために 重み行列要素を生成するために使用されることが可能である。その後では、これ らの要素は、あらゆる試験系の重み行列要素との比較のために使用可能である。

その比較系の重み行列と試験系の重み行列とが類似している場合には、これらの ２つの系は類似している。

試験系と比較系とを比較するために、内部セル■と境界セルＢとに格納された要 素を重み行列に変換することは、実際上は、不可欠であるというわけではない。

格納された要素の各々の集合が重み行列に直接的に関係付けられ、その関係が不 変であるが故に、試験系と比較系とからの格納された要素が、重み行列への変換 を介在させることなしに、直接的に比較されることが可能である。

試験系の重み行列を得るには２つの方法がある。１つの方法は、試験系からのデ ータを使用するアナライザ１ｏを保有することである。即ち、アナライザ１ｏが 比較系データを使用して学習させられ終わった後に、比較系の重み行列が読み出 され、前述の学習手順全体が再度行われる。従って、コンピュータ２０は、試験 系から得られたデータの特異値分解を行い、その分解において得られた特異ベク トルをＦＩＲフィルタ３４にロードする。その後で、発見的プロセッサ４４が、 内部セルと境界セルとに格納される要素を生じさせるために、上記のようにＦＩ Ｒフィルタ３４の出力を処理する。

第２の方法は、発見的プロセッサ４４が学習モードのために上記のように動作す ることであるが、ＦＩＲフィルタ３４が、比較系からのデータの特異値分解から 導き出される特異関数をロードされる。試験系データのそうした分解はない。従 って、試験系のデータが、比較系の特異関数を使用して、位相空間座標に変換さ れる。従って、そのように生じさせられた位相空間座標は、重み行列に関係付け られた格納要素の試験系集合を生じさせるために、上述のように、発見的プロセ ッサ内での処理を受ける。

図４゜ 図５゜ 図７゜ 予測時間間隔　（クロックサイクル） 補正書の写しく翻訳文）提出書（特許法第１８４条の８）平成５年９月２１日 １、特許出願の表示　ＰＣＴ／ＧＢ　９２１００３７４２、発明の名称　力学系 アナライザ ３、特許出願人 住　所　イギリス国、ロンドン・ニス・ダブリュ・トエイ・２・エイチ・ビイ、 ホワイトホール（番地なし）名　称　イギリス国 ４、代　理　人　東京都新宿区新宿１丁目１番１４号　山田ビル５、補正書の提 出年月日　１９９３年１月２５日（２）基準データへの近似（（２）を生じさせ るために前記系列の変換を行い、この変換に関連付けられた数学的模型を作り出 すように構成された発見的処理手段（ｈＣＩｌｒ口１ｔｃ　ｐ＋ｏｃｅ寥ｓｉｎ （ｍｓ＊ｎ＋ｌ。

本発明は、力学系の数学的模型を作り出すという利点をもたらし、非線形系の解 析に適用可能である。後述されるように、発見的処理手段によって生成される数 学的模型は、先行する挙動に基づいて未来の力学系挙動の予測を生じさせるため に使用されることが可能である。或いは、相似又は変化の解析のために、別々の 力学系から得られる数学的模型が、互いに比較されることが可能である。

好ましい実施例では、本発明は、下記の諸手段を含む力学系アナライザを提供す る。

′１）力学系から信号の時系列を得るための手段。

（２）前記力学系の雑音レベルより大きい各々の特異値に各々が関連付けられた 特異ベクトルの集合を、前記時系列から生成するための手段。この特異ベクトル の集合は位相空間を画定し、前記時系列の特異値分解からのベクトル集合の部分 集合に対応する。

（３）位相空間座標集合の系列の形に前記時系列を変換するための手段。

テ４）前記系列が（本明細書で定義される）　Ｑ１１分解と基準データへの最小 ２乗フィッティング（ｌｅ＊ｓ＋　５ｑｕａｒｅｓ　ｌ１ＮｉＢ）　とを受ける 変換を該変換に関係付けられた数学的模型を生成するために行う学習モード（ｌ ｒｘｉｎｉｎｇ　ｍｏｄｅ）で動作するべ（構成された発見的処理手段。

この発見的処理手段は更に、別の位相空間座標系列を変換して、数学的模型に基 づいて予測的出力値を与える試験モードＩＩ！ＩＩ　ｍｏｄｅｌ　で作動するよ うに構成されることが可能である。

この実施例では、本発明は、数学的模型を生成するために基準データに従って学 習可能であるという利点を与える。これは、基準データが選択されることと、再 学習が必要とされる場合に基準データが取り換えられることとを可能にする。

この発見的処理手段は、学習モードにおいて、時系列と、この時系列から得られ る位相空間座標集合の系列の一方又は両方のどちらかである基準データを使用す るように、構成されることが可能である。この基準データは、ＱＲ分解と最小２ 乗フィッティングのために、前記系列の入力に対して相対的な先行時間間隔を伴 って、発見的処理手段に人力される。この先行時間間隔は、その最大リャブノフ 成分によって示されるような力学系の固有の予測可能なタイムスケールよりも大 きくはないように構成される。この場合には、学習モードにおいて生じさせられ る数学的模型は、先行時間間隔の範囲内で時間的に先んじて、位相空間の軌道及 び／又は力学系の時系列を外挿するために必要とされる数学的模型である。試験 モードでは、その出力値は、上記の位相空間座標の更に別の系列を生じさせた試 験系の未来の挙動の予測に相当する。これらの値は、学習モードにおいて得られ た数学的模型に基づいて予測されるその試験系の位相空間座標及び／又は時系列 であってよい。

この代わりに、又は、これに加えて、その発見的処理手段は、その試験系の位相 空間座標及び／又は時系列の数学的模型の予測を、時間的に後で測定されるこれ らのパラメタの実際値と比較するように、構成されてもよい。

請求の範囲 １、力学系アナライザであって、 （１１力学系からの信号の時−系列又は別のそうした系列の特異値分解において 得られる特異ベクトル集合上への各々のＴｏｋｅｎｓベクトルの射影である位相 空間座標集合の系列を、前記信号の時系列から生じさせるための手段と、 （２）基準データへのフィッティングを生じさせるために前記系列の変換を行い 、この変換に関連した数学的模型を生成するように構成された発見的処理手段と を含むことを特徴とする前記力学系アナライザ。

２、　（１１力学系から信号の時系列を導き出すための手段と、（２）前記力学 系の雑音レベルより大きい各々の特異値に各々が関連付けられ、位相空間を画定 し且つ前記時系列の特異値分解の部分集合に対応する特異ベクトルの集合を、前 記時系列から生成するための手段（２２）と、 （３）位相空間座標集合の系列に前記時系列を変換するための手段と、 （＋）前記系列が（本明細書で定義される）　ＱＲ分解と基準デーけられた数学 的模型を生成するために行う学習モードで動作するべく構成された発見的処理手 段とを含むことを特徴とする力学系アナライザ。

３、　前記発見的処理手段が更に、位相空間座標の更に別の系列を変換する試験 モードで動作し、前記数学的模型に基づいて予測的な出力値を生じさせるように 構成されることを特徴とする請求項２に記載のアナライザ。

４、　前記発見的処理手段が、学習モードにお（１て、時系列とこの時系列から 得られた位相空間座標集合の系列との一方又は両方を含む基準データを使用し、 前記アナライザが、ＱＲ分解と最小２乗フィッティングとのために、前記系列の 入力１こ対して相対的な先行時間間隔を伴って、前記基準データを前記発見的処 理手段に供給するための基準データ入力手段を含むことを特徴とする請求項２又 は３に記載のアナライザ０５、　前記発見的処理手段が更に、試験モードにお０ ても入力基準データを受け取るように構成され、前記基準データが１（１）試験 系から得られ且つ前記先行時間間隔を有する位相空間座標と、 ｆｂｌ　試験系から得られ且つ前記先行時間間隔を有する時系列と、 ｊｃ）ゼロデータ とのいずれか１つ以上から成ることを特徴とする請求項４に記載のアナライザ。

６゜　前記生成手段が、前記力学系の時系列の特異値分解を行うようにプログラ ムされたディジタルコンピュータであることを特徴とする請求項２．３．４又は ５に記載のアナライザ。

７、　前記変換手段が有限インパルス応答フィルタであり、前記有限インパルス 応答フィルタが、本明細書で上記において定義された通りの一連のＴｓｋｅｎｓ ベクトルの形式で前記時系列を入力すると共に、各々の前記Ｔｓｋｅｎ＋ベクト ルに関して位相空間内の座標の各々の集合を与えるために各々の特異値の集合の 上への前記Ｔｏｋｅｎｓベクトルの各々の射影を計算するように構成されている ことを特徴とする請求項２から６のいずれか一項に記載のアナライザ。

フロントページの続き （７２）発明者　ジョーンズ、ロビン イギリス国、ウスターシャー・ダブリュ・アール・１４・トユー・７、マルバー ン・リンク、サンドパイパー・クレツセント・（７２）発明者　ジョンソン、マ ーティンイギリス国、ウスターシャー・ダブリュ・アール・１４、マルバーン・ ウェルズ、フルーツランズ・１１

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １．力学系アナライザであって、 （１）力学系からの信号の時系列又は別のそうした系列の特異値分解において得 られる特異ベクトル集合上への各々のＴａｋｅｎｓベクトルの射影である位相空 間座標集合の系列を、前記信号の時系列から生じさせるための手段（３４）と、 （２）基準データヘのフィッティングを生じさせるために前記位相空間座標集合 の変換を行い、前記位相空間座標集合の変換に関連した数学的模型を生成するよ うに構成された発見的処理手段（４４）とを含むことを特徴とする前記力学系ア ナライザ。 ２．（１）力学系（１４）から信号の時系列を導き出すための手段（１２，１６ ）と、 （２）比較系の雑音レベルより大きい各々の特異値に各々が関連付けられ、位相 空間を画定し且つ前記時系列の特異値分解の部分集合に対応する特異ベクトルの 集合を、前記時系列から生成するための手段（２２）と、 （３）位相空間座標集合の系列に前記時系列を変換するための手段（３４）と、 （４）数学的模型を生成するために前記時系列の（本明細書で定義される）ＯＲ 分解と基準データヘの最小２乗フィッティングとを行う学習モードで動作するべ く構成される発見的処理手段（４４）と を含むことを特徴とする力学系アナライザ。 ３．前記発見的処理手段（４４）が更に、位相空間座標の更に別の系列を変換す る試験モードで動作し、前記数学的模型に基づいて予測的な出力値を生じさせる ように構成されることを特徴とする請求項２に記載のアナライザ。 ４．前記発見的処理手段（４４）が、学習そードにおいて、時系列とこの時系列 から得られた位相空間座標集合の系列との一方又は両方を含む基準データを使用 し、前記アナライザ（１０）が、ＱＲ分解と最小２乗フィッティングとのために 、前記系列の入力に対して相対的な先行時間間隔を伴って、前記基準データを前 記発見的処理手段（４４）に供給するための、基準データ入力手段（４０ａ，Ａ ｌ．ＳＡｌ，６４ａ，６４ｂ）を含むことを特徴とする請求項２又は３に記載の アナライザ。 ５．前記発見的処理手段（４４）が更に、試験モードにおいても入力基準データ を受け取るように構成され、前記基準データが、（ａ）試験系から得られ且つ前 記先行時間間隔を有する位相空間座標と、 （ｂ）試験系から得られ且つ前記先行時間間隔を有する時系列と、 （ｃ）ゼロデータ とのいずれか１つ以上から成ることを特徴とする請求項４に記載のアナライザ。 ６．前記生成手段が、前記力学系（１４）の時系列の特異値分解を行うようにプ ログラムされたディジタルコンピュータ（２２）であることを特徴とする請求項 ２、３、４又は５に記載のアナライザ。 ７．前記変換手段が有限インパルス応答フィルタ（３４）であり、前記有限イン パルス応答フィルタ（３０が、本明細書で上記において定義された通りの一連の Ｔａｋｅｎｓベクトルの形式で前記時系列を入力すると共に、各々の前記Ｔａｋ ｅｎｓベクトルに関して位相空間内の座標の各々の集合を与えるために各々の特 異値の集合の上への前記Ｔａｋｅｎｓベクトルの各々の射影を計算するように構 成されていることを特徴とする請求項２から６のいずれか一項に記載のアナライ ザ。