JPH0680481B2

JPH0680481B2 - 積分制御型最適追従制御器

Info

Publication number: JPH0680481B2
Application number: JP58181378A
Authority: JP
Inventors: 常広武田; 義樹岸
Original assignee: Agency of Industrial Science and Technology
Current assignee: National Institute of Advanced Industrial Science and Technology AIST
Priority date: 1983-09-29
Filing date: 1983-09-29
Publication date: 1994-10-12
Anticipated expiration: 2009-10-12
Also published as: JPS6073701A

Description

【発明の詳細な説明】本発明は、初期値補償付きの積分制御型最適追従制御器
に関するものである。

従来、一般に多用されている追従制御器は、第１図に示
すようなPID制御器を用いている。これは、比例（k
p）、積分（k_I/S）、微分（k_DS）の各制御要素をもち、
それらのパラメータを調節することにより、入力ｒに出
力ｙがオフセットなく追従できる利点を有しているが、
即応性に限界があり、１入出力系しか扱えないという問
題もある。他方、第２図に示すようないわゆる現代制御
理論による最適レギュレータ制御器は、制御対象の状態
変数に、定数Ｋを乗じてフィードバックすると共に、
入力に対して定数Ｎを乗じたものをフィードフォワード
するもので、即応性はいくらかでも改善でき、多入出力
系に対して適用できるが、PID制御器における積分制御
要素に相当するものがないために、制御対象のパラメー
タが変動したときにオフセットを生じる欠点があり、実
用に向かないとされている。

本発明は、上記PID制御器の利点と最適レギュレータ制
御器の利点を兼ね備えた積分制御型最適追従制御器を提
供しようとするものである。即ち、上記第１図のPID制
御器における積分制御要素は、入力と出力の差に
ついての積分制御を行うので、差がある限り制御動作
が働いてオフセットをなくすことができるが、この制御
動作を第２図の最適レギュレータ制御器に組入れること
により、その最適レギュレータ制御器における上記欠点
を解決しようとするものである。

而して、本発明の積分制御型最適追従制御器は、入力と
出力との差に対して定数を乗じる要素及び積分制御要素
を備えた積分制御系と、制御対象の状態変数に対して定
数を乗じてフィードバックするフィードバック制御系
と、システムの起動もしくは設定値の大巾な変化があっ
たことを検出した信号により操作量をサンプルホールド
してフィードバックする補償制御系とを備え、これらの
各制御系の出力の代数和を操作量として出力させること
を特徴とするものである。

このような構成を有する本発明の積分制御型最適追従制
御器は、高次多入出力系を一般的に扱える状態変数フィ
ードバックを持った最適制御系を提供するものであり、
積分制御器の初期値と同じく、状態変数の初期値が制御
成績に悪影響を与えることに対しても、解決する手段を
与えている。

即ち、いわゆる現代制御理論による最適レギュレータ制
御器においては、即応性はいくらでも改善でき、且つ多
入出力系に対しても適用できることから、本発明におい
ては、その点に着目して、最適レギュレータ制御器にお
いて、制御パラメータの変動などによりオフセットを生
じるという欠点を、最適レギュレータ型論へPID制御器
における積分制御動作を組入れることにより解消してい
る。そのため、積分制御系及びフィードバック制御系と
共に、システムの起動もしくは設定値の大きな変化があ
ったことを検出した信号により操作量をサンプルホール
ドとしてフィードバックする補償制御系を備えたもので
ある。

以下に本発明の実施例を図面を参照しながら詳述する。

第３図に示す積分制御型最適追従制御器は、基本的に
は、入力と出力の差に対して定数K₂を乗じる要素
及びその結果に対して積分制御を施す積分制御要素を備
えた積分制御系と、制御対象の状態変数を定数K₁の要
素を経て上記積分制御系の出力側にフィードバックする
フィードバック制御系とを備えている。

また、これらの制御系では、積分制御要素に初期値があ
る場合に好ましくない制御動作があらわれるので、それ
を除去するための操作量の初期値補償を行うために、次
のような補償制御系が付加されている。この補償制御系
は、システムの起動時に操作量の値をサンプリングし
てＯ次ホールド回路にホールドさせ、その値をフィード
バックして上記積分制御系の出力から減算することによ
り、上記初期値の影響をなくすようにしたものである。
この補償制御系について他の具体的な実現法としては、
第４図に示したように、入力の微分値が一定値を越え
たときに操作量の値をサンプルし、その値をボールド
するような機能を持つ素子により実現することもでき
る。また、過度に操作量をサンプルホールドしないた
め、サンプラに不応素子を付加してもよい。

ここで、本発明の積分制御型最適追従制御器の設計法に
ついて説明する。

まず、多入出力線形定常で、かつ可制御・可観測な次の
（１），（２）式で表現される制御対象を考える。

（ｔ）＝Ax（ｔ）＋Bu（ｔ）（１）ｙ（ｔ）＝Cx（ｔ）（２）ここで、ｘ（ｔ）はｎ次元の状態変数、ｕ（ｔ）,y
（ｔ）はｍ次元の操作変数と制御変数である。A,B,Cは
ｎ×n,n×m,m×ｎの定数行列である（ｎ＞ｍ）。

次に、ステップ入力ｒが入った場合にオフセットなく
「最適」に制御できるようにするために、入力成分ごと
に１つの積分器を入力側にカスケード結合して、ｖ
（ｔ）＝（ｔ）を新たな操作量とする次の（３），
（４）式で表現される拡大系_０を考え、これを仮想的
な制御対象とする。

ここで、，，と（ｔ）は、（５）式で定義され
る（Imはｍ次元の単位行列である）ものであり、また、
ｖ（ｔ）は仮想的な拡大系に対する制御入力である。

ここで、適当な状態フィードバックにより制御系を構成
したとき、それにステップ入力a₀が入った場合の平衡状
態の値に添字ｓをつけ、ｓ＝（xs^T,us^T）^T,vs,ys と表す（添字^Ｔは転置を意味する）。オフセットが零と
なるためには、（４）式より、 ys＝Cxs＝a₀ （６）でなければならない。（６）式より、xsは定数なので、
ｓ＝０となる。よって（３），（５）式より Axs＋Bus＝０（７）である。（６），（７）式をまとめると（８）式にな
る。

ここで、次のような行列をＺを定義する。

任意のa₀に対し、（８）式が解けるためには、 |Z|≠０（｜・｜は行列式）（10）でなければならない。（10）式は、任意の平衡状態を実
現するためには、制御対象が原点に零点をもってはなら
ないことを意味している。実在の系の多くは（10）式を
満たすので、この条件は厳しいものではないと考えられ
る。（10）式が成立するとき、（10）式の解は、ｓ＝Z^-1a₀ （11）となる。また、vs＝ｓであるから、次式が成り立つ。

vs＝０（12）次に、上記の平衡状態の値を基準にして計った変数に添
え字ｅを付けて表すと、（ｔ）＝ｅ（ｔ）＋ｓ（13）ｖ（ｔ）＝ve（ｔ）＋vs （14）ｙ（ｔ）＝ye（ｔ）＋ys （15）となる。これを（３）（４）式へ代入すると、（８）式
より平衡移動された変数は、次の状態方程式を満たす。

よって、前記系ｏにステップ入力が入った場合にオフ
セットをもたないように設計するためには、ｅ（０）＝（０）＋ｓ（18）という初期値をもつ（16）（17）式の系の状態変数が、
零の平衡状態をとるように設定すればよいことになる。

本発明では、このようなステップ入力が入ったときの定
常状態からの偏差を取った変数系に対し、既によく知ら
れている線形最適レギュレータ理論を、即ち、（19）式
の二次形式評価関数を適用する。同（19）式のｙは、整
定値からの偏差の意味を持っている。この評価関数は、
拡大系を制御対象と考えた時、通常の最適レギュレータ
理論で用いられる２次形式評価関数である。従って、操
作量の２乗、即ちエネルギにＲの重みをつけ、出力の変
動をできるだけ早く整定させようという評価関数になっ
ている。なお、Ｒの絶対値を小さくしていくと、エネル
ギの消費量が多くなるが、応答はどんどん早くなる。

ここで、Q,Wはｍ×ｍの正定対称行列である。すると、
（16）（17）式の系の最適制御則は（20）式のようにな
る。

ve（ｔ）＝−R^-1 ^Ｔｅ（ｔ）＝−ｅ（ｔ）（20） :m×（ｎ＋ｍ）行列ここで、（20）式のは、（21）式の（ｔ）に関する
行列リカッチ方程式の定常解である。

（ｔ）＝^Ｔ（ｔ）＋（ｔ）−（ｔ）R^-1 ^Ｔ（ｔ）＋^TQ,
P（０）：任意（21）ただし、（ｔ）は（ｎ＋ｍ）×（ｎ＋ｍ）の対称行列
である。

（11）〜（15）式を使うと、_０の最適制御則は、ｖ（ｔ）＝−（ｔ）＋K₂a₀ （22） K₂＝Z^-1 （23）となる、よって拡大系_０の最適レギュレータ系ｃの
状態方程式は（24），（25）式のようになる。

以上の議論より、ｃは計算上オフセットを生じない筈
である。しかし、K₂はシステム行列の公称値（状態方程
式の係数行列，，）に基づいて計算されるもので
あるから、パラメータ変動があった場合にはオフセット
を生じる。これを以下に式で簡単に説明する。なお、パ
ラメータ変動する制御対象のシステム行列と区別するた
めに、公称値とそれに基づいて計算される値に添字_Ｎを
つけることにする。このときのステップ応答ｙ（ｓ）
（ｓはラプラス変換のパラメータ）は、ｙ(s)＝（sIn₊m−＋_Ｎ）^-1 _2,Na₀/S （26）となる。よって、ｙ（ｔ）の最終値ｙ_（∞）はｙ_（∞）＝（−＋_Ｎ）^-1Ｋ_2,Na₀ （27）となる。ところで、簡単な計算によりＫ_2,N＝_NZ_N ^-1 _Ｎ＝｛_Ｎ（−_Ｎ＋_Ｎ _Ｎ）^-1 _Ｎ｝^-1 （28）となる。したがって、（27），（28）式より制御対象が
公称値どおりであればオフセットが生じないが、パラメ
ータ変動するとそれが生じることがわかる。

よって、つぎにｃを変形して制御偏差をＩ動作によっ
て制御する構造をもつ系を導出する。

（３）（４）式を分解して整理すると、となる。再び|Z|≠０ならば、（29）式は解け、となる。（30）式を（22）式へ代入して整理すると、となる。（ｔ）＝ｖ（ｔ）を使い、（31）式の両辺を
積分すると、実際の制御対象S₀の操作量ｕ（ｔ）の最適
制御則は、となる。よって、最終的に設計された最適追従制御系の
状態方程式は（35），（36）式のようになる。

ここで、ｒはステップ入力を意味する。また、K₁,K₂は
（37），（38）式で定義される。

Ｋ＝−R^-1 ^Ｔ（37）［K₁K₂］＝KZ^-1 （38）なお、（35）式右辺第３項が本発明の初期値補償器に相
当するもので、z₃はこの項を打ち消し、過度なゆき過ぎ
を防止する働きをする。即ち、先に説明したように、ｔ
＝０で、状態変数が零でない時、第３項が大きく寄与し
て、第５図及び第６図に示すように大きく乱れた応答を
することになるが、z₃でこれを打ち消しておくと、第７
図及び第８図に示すように、大きな乱れのない早い制御
が実現される。

従って、上記積分制御型最適追従制御器において、操作
量は、制御対象の状態変数に定数K₁を乗じてフィー
ドバックした成分z₁と、入力と出力の差に定数K₂
を乗じたものを積分制御した成分z₂と、入力が大きく
変動したときに操作量をサンプルホールドしてその値
をフィードバックした成分z₃の加減算により構成され
る。即ち、（35）式の最適制御則に対し、過度な行き過
ぎ量を与える第３項を打ち消すように構成すると第３図
のようになる。

なお、上記積分制御型最適追従制御器において、状態変
数は、制御対象の次数が小さい場合は、出力を何回か微
分することによって得ることが可能である。しかし、高
次微分は一般にノイズを増幅するので好ましくない。そ
の場合は、周知のオブザーバを用いて推定するのが望ま
しい。

ここで、定数K₁,K₂は、操作量の自乗値、即ち、エネ
ルギをできるだけ小さく抑えつつ、出力が入力にで
きるだけ速く追従できるように調整される。これらの定
数K₁,K₂は、上述したところからわかるように、２次形
式評価関数を最小化して得られるが、この方法によらず
に定数K₁,K₂を決定する方法も可能である。しかし、そ
の場合でも適応性を増すために定数K₁,K₂を大きくする
と、システム起動時に好ましくない初期変動を起すの
で、上記初期値補償系は不可欠である。

次に、本発明の積分制御型最適追従制御器による制御例
を第２図の制御器による場合との比較において説明す
る。

二つの３次遅れ系が結合された制御対象に対して第２図
の最適レギュレータ制御器を用いて制御した結果を第５
図及び第６図に、また第３図の本発明による積分制御型
最適追従制御器を用いて制御した結果を第７図及び第８
図に示した。

第５図及び第７図においては、初期値が1.00及び0.00で
ある出力を目標値0.50及び1.00にするための制御を行
っているが、本発明の制御器により初期変動が小さくな
り、整定時間が大幅に短縮されることがわかる。また、
第６図と第８図から、本発明の制御器では、操作量の大
きさの絶対値が1/8程度になることがわかる。

上述したところをさらに詳細に説明すると、第２図によ
って説明した最適レギュレータ制御器における現代制御
理論は、本来、平衡点の近傍で系の動特性を線形微分方
程式で記述することによって成立している。そのため、
初期値は全て零またはほぼ零に等しい状態から出発し
て、外乱が入った時の系の安定化や、小さな設定値の変
更があった時の制御性について論じている。

従って、その現代制御論理による線形最適レギュレータ
系では、操作量（ｕ）の大きさに制限がなければ、安定
性が保証され、いくらでも早く応答する系が設計できる
が、それは一般に大きなフィードバック係数によって実
現される。すると、初期値が零でない場合、非常に大き
な初期操作量が作り出され、好ましくない乱れが生じて
から制御系の整定が行われるため、相対的に長い整定時
間が必要となる。第９図及び第10図は、第５〜８図に使
用したものと同じ制御対象において、のシステム行列で記述された系に対し、なるに二次形式評価関数の操作量への重み係数ρを、10
^-1,10^-3,10＝^-5として設計し、全ての初期値を零とした
時の目標値ｒ＝（0.5,0.1）ｔに対するステップ応答で
ある。なお、図中のyij,uijの添字ｉは、変数の番号を
示し、添字ｊは上記３種の重み係数ρその順序で１〜３
として示している。

このように、初期値が全ての零の場合には、好ましい応
答を得ることができる。第５図及び第６図は、ρ＝10^-5
で設計された系において、初期値がx₁（０）＝1.0で、
他が全て零の時の同じ目標値に対する応答であり、明ら
かにy₁（ｔ）の応答が大きく乱れていることを示してい
る。

すなわち、第５図において、出力y₁は、一度−0.2付近
まで行き過ぎてから0.5に漸近し、他方、第７図ではそ
のようなことがなく、レギュレータ系で理想とされてい
る５％程度の行き過ぎを持った応答をしており、整定時
間も第５図に比べて半分位である。また、第６図の操作
量u₁・u₂は、ｔ＝０において−120,70もの大きさになっ
ているが、第８図では、不明確ではあるが、ｔ＝０でu₁
＝ｕ＝_２＝０からスタートし、最大値でも−20,＋20程
度に押さえられている。

このように、本発明による場合には、第７図及び第８図
において、初期値補償系によりy₁の乱れが大小に減少
し、きれいな応答となっていることが明確に示されてい
る。

また、本発明者らが明らかにしているように、評価関数
において操作量への重みを小さくしていくと、設計され
た最適レギュレータ系は次第に非干渉化される。第５図
及び第７図の例でも、ρ＝10^-5と小さくして設計されて
いるため、殆ど非干渉化され、x₁（０）＝1.0の影響はy
₂（ｔ）に殆どあられていない。従って、図示の例にも
本発明の有効性が示されていると言える。

さらに、本発明のような初期値補償を行えば、第８図の
ｔ＝０で示されるように、０から徐々に必要な大きさの
操作量になることにより、ｔ＝０における第６図のよう
な不連続的な操作量によって、出力が望ましくない方向
に急激に振れすぎたことによる悪影響を避けることがで
きる。実際のシステムにおいても、起動時に瞬間的に大
きな操作量を発生させることは物理的にも不可能である
ので、本発明は極めて実用的なものであり、本発明者ら
による３次元オプトメータ内のガルバノミラーの制御に
おいてもその実効性が実証されている。

以上に詳述したように、本発明の積分制御型最適追従制
御器によれば、従来の最適レギュレータ制御器において
オフセットが生じるという問題を解決し、しかも制御の
ためのエネルギ消費をできるだけ抑えつつ、短時間に設
定値に追従するように制御することができ、またPID制
御器が１入出力系しか扱えないのと異なり、多入出力系
をも同時に扱えるという特徴がある。

【図面の簡単な説明】

第１図及び第２図は従来のPID制御器及び最適レギュレ
ータ制御器のブロック構成図、第３図は本発明の積分制
御型最適追従制御器のブロック構成図、第４図は本発明
の他の実施例のブロック構成図、第５図ないし第10図は
第２図の制御器及び本発明の制御器を用いた制御の結果
を示す線図である。

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】入力と出力との差に対して定数を乗じる要
素及び積分制御要素を備えた積分制御系と、制御対象の
状態変数に対して定数を乗じてフィードバックするフィ
ードバック制御系と、設定値の大巾な変化があったこと
を検出した信号により操作量をサンプルホールドしてフ
ィードバックする補償制御系とを備え、これらの各制御
系の出力の代数和を操作量として出力させることを特徴
とする積分制御型最適追従制御器。