JPH07220112A - 投影用ボリューム・レンダリングのための方法およびシステム - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【目的】 コンピュータ内にディジタル情報として蓄積
されている複雑な３次元構造を視覚化することが、科学
者、技術者、デザイナーや医療診断専門家に必要とされ
ている。グラフィクス用コンピュータは、Ｘ線写真に類
似した一連の２次元投影像を表示することにより、３次
元構造の有効な視覚化像を生成する。 【構成】 僅かづつ置き換えた方向からの動きのある一
連の透視像を表示すれば、その構造は観察者の前の空間
に回転されつつ現われる。しかし、レイ・トレーシング
技術に依存した通常のボリューム・レンダリング法にお
いて実行するとすれば、投影像を計算するために必要と
される高価な時間のために実際の適用は制限されてしま
う。本発明は、高速フーリエ変換（ｃ，ｇ）および逆の
投影−スライス定理（ｆ）に基いて投影像を生成する他
の手段を実現した。このアプローチは、映像生成のため
にずっと少ない計算を必要とし、そして、フィルタリン
グの組織的な適用を可能とし、かつ、専門的なコンピュ
ータの最適な利用を提供するという利点を有している。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、２次元の平面上に３次
元の情報を表示するためのシステムおよび方法である。
特に、本発明は、ボリューム・レンダリング（立体描
画、ｖｏｌｕｍｅ ｒｅｎｄｅｒｉｎｇ）に関してい
る。

【０００２】

【従来の技術】ボリューム・レンダリングとは、３次元
のデータセットを視覚化するために用いられる方法のこ
とである。ここに記述される方法は、典型的には一連の
視角において、対象物の２次元投影像を発生させるもの
である。実際には、この技術は、任意の位置に配置され
る観察者の方向において、データセットに従った平行な
通路に沿うレイ・トレーシング（光線追跡法、ｒａｙ
ｔｒａｃｉｎｇ）を利用している。最も有効な形態とし
ては、ボリューム・レンダリングはいくつかのずれた
（オフセット）方向から一連の透視像（ｖｉｅｗ）を形
成することにより実現される。これらの透視像を形成す
るには、通常、莫大な計算が必要である。事実、それ
は、多くの時間を必要とする独立した計算のために、今
日の商業用システムにおいては投影形ボリューム・レン
ダリングはオフラインで行われなければならないという
ほどの大量の資源を必要とする。固定された一組の視角
に沿って映像が発生され、そして、その後のディスプレ
イのために蓄積される。本発明は、３次元構造の２次元
投影された映像を計算することをフーリエ関連技術を用
いることによりより高速に実行することができるという
認識に基いて、（レイ・トレーシングではなく）代替の
計算技術を用いることによってそれらの透視像を形成す
るものである。

【０００３】ボリューム・ビジュアライゼーション（立
体視覚）システムに関して、多くの米国特許が発行され
ている。立体分割システム（Ｄｉｖｉｄｉｎｇ Ｃｕｂ
ｅｓｓｙｓｔｅｍ，米国特許第４，７１９，５８５号）
および立体境界付けシステム（Ｍａｒｃｈｉｎｇ Ｃｕ
ｂｅｓ ｓｙｓｔｅｍ，米国特許第４，７１０，８７６
号）は、共に、幾何学的ディスプレイシステムにおける
再現のために、立体データから面の輪郭を抽出するもの
である。フーリエ描画法（Ｆｏｕｒｉｅｒｒｅｎｄｅｒ
ｉｎｇ）も同様な技術を用いており、そこでは、立体デ
ータがコンピュータのメモリに蓄えられ、そして、結果
としての透視像は２次元のスクリーン上にディスプレイ
される。フーリエ描画は、それが立体の投影時の不透明
率（ｏｐａｃｉｔｙ）を生成している点において、これ
ら２つの方法とは異なっており、そこでは、データセッ
トにおける各点に所定の不透明率値が割り当てられて、
直接的に２次元映像を生成するようになされている。立
体分割および立体境界付けにおいては、データ値が所定
の閾値を超えるような位置を求めてデータを走査するこ
とにより、立体データから面の輪郭が抽出され、小さな
三角形の斑点の形で面の幾何学的な表現を発生し、続い
て、２次元のスクリーン上のディスプレイのために描画
される。フーリエ描画法により生成された投影時の不透
明率は、直接的にはＸ線写真に類似しており、そこで
は、密度の高い対象物は低密度のものより高い不透明率
を有している。これらの方法の間の他の差異としては、
立体分割および立体境界付けシステムは通常のデカルト
空間において入力データを走査しているのに対して、フ
ーリエ描画法はフーリエ領域（すなわち周波数空間）に
おいてデータに操作を施している点がある。この方法
は、この差異により、基本的に上記特許の技術と異って
いる。この異った方法はそれぞれ利点をもっているが、
フーリエ描画法は実に独特なものであり、そして、レイ
・トレース法（ｒａｙ ｔｒａｃｅ ｍｅｔｈｏｄｓ）
を用いた投影型立体描画にとってスピードを大きく増加
させるものである。

【０００４】本発明の主要な利点は、コンピュータ演算
のスピード増大であり、逆に、同様に、その方法がレイ
・トレーシング・アルゴリズムにおいてより実行可能性
の少ない、すなわち、よりコンピュータ処理向の膨大さ
のあるフィルタ技術を通常に適用することを基にした種
々のイメージ処理手法の採用を可能とすることである。
特に、本方法によれば、フーリエ領域におけるディジタ
ルフィルタの適用に基礎を置いたイメージ処理技術の多
くの成果を利用することが直ちに可能となる。

【０００５】ボリューム・レンダリングには多くの広範
囲な応用があり、それには、医学用および産業用のＣ
Ｔ，ＮＭＲ（核磁気共鳴）によるイメージング、エンジ
ニアリングおよびデザイン、流体力学シミュレーション
における模擬結果のディスプレイ、および、その他の科
学的な計算、電子雲の模擬、そして地震や地質のデータ
のディスプレイなどがある。事実、いかに莫大な３次元
データセットでも本技術を用いて視覚化することができ
る。３次元データセットについて立体描画を実行するこ
との有益性および可能性により、高速のコンピュータお
よびコンピュータ・グラフィックスの新しい応用が切り
開かれたのであり、それは新しいクラスの高性能グラフ
ィックス用ワークステーションにより証明されている。

【０００６】

【発明が解決しようとする課題】立体のためのレイ・ト
レーシングの実行には大規模な計算が必要とされるの
で、ユーザはしばしば適当な量の時間において視覚化が
行われるようにデータセットのサイズを減少せざるをえ
なくなる。あるいは、ユーザは、利用可能なデータのほ
んの一部による立体的なイメージを生じることができる
にすぎない程度の速い時間により実験的な適用を行って
データを修得してしまうこととなる。本発明によれば、
ユーザは更により速くボリューム・レンダリングを実行
することができ、そして、より大規模なデータセットが
より短時間の期間において描画されることとなる。

【０００７】

【課題を解決するための手段】本発明は、ディスプレイ
装置上に３次元のデータセットの２次元の表現を生成す
るための方法である。本方法の数学的操作は以下に詳細
に述べられている。本方法は、３次元の信号パターンｆ
（ｘ₁ ，ｘ₂ ，ｘ₃ ）を得るステップと、３次元物体に
関連し、その物体内における規則正しい間隔の格子の位
置における少なくとも一つの物理的な特性値を表現する
ステップと、その対象物の３次元フーリエ変換を実行し
て

【０００８】

【数１】

【０００９】を得るステップと、ｆ（ν₁ ，ν₂ ）を決
定するステップであって、ここでν₁ およびν₂ は、ω
₁ ，ω₂ ，ω₃ の周波数空間における原点を通り、か
つ、物理空間における投影面に平行である平面内におけ
る直交座標であるものと、その函数ｆ（ν₁ ，ν₂ ）に
２次元フーリエ逆変換を施して

【００１０】

【数２】

【００１１】すなわち所望のイメージ（ν₁ ，ν₂ の平
面において選択された座標値に平行なｙ₁ およびｙ₂ に
対する座標値をもっている）を得るステップと、およ
び、そのイメージを２次元のディスプレイ装置上に表示
するステップとを含んでいる。高速フーリエ変換（ＦＦ
Ｔ）による描画システムおよび本発明による方法は、逆
の投影−スライス定理（ｉｎｖｅｒｓｅ Ｐｒｏｊｅｃ
ｔｉｏｎ−Ｓｌｉｃｅｔｈｅｏｒｅｍ）を実行するもの
である。投影−スライス定理とは、３次元のデータ・フ
ィールドを通る投影の２次元フーリエ変換はそのデータ
・フィールドの３次元フーリエ変換における２次元スラ
イスに等しくなるというものである。この定理は、標本
あるいは患者の３次元像を形成するために一連のＸ線投
影が集められて合成されるＸ線断層撮影（ＣＴ）の基本
原理となっている。ＦＦＴ描画システムは、本質的には
ＣＴとは逆の実行であり、そこでは立体イメージが２次
元のディスプレイ上に投影されることとなる。ＦＦＴ描
画システムは、逆の投影−スライス定理を実行するため
に、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）を利用している。

【００１２】不透明率の投影は、次の手順により得るこ
とができる。（図８のブロック図参照）： （１）立体データセットをメモリ中にロードする。（図
８、ａ） （２）ルックアップテーブルを基にして各ボクセル（ボ
リューム要素、ｖｏｘｅｌ）に不透明率の値を割り振
る。（図８、ｂ） （３）立体データに３次元高速フーリエ変換（ＦＦＴ）
を施す。（図８、ｃ） （４）変換函数を適用して、フーリエ領域のデータをフ
ィルタする。（図８、ｄ） （５）周波数すなわちフーリエ領域におけるスライス平
面に対する法線ベクトルを定義する視線方向を選択す
る。（図８、ｅ） （６）３次元周波数領域の場から与えられた法線ベクト
ルに関する２次元のスライス平面を補間（ｉｎｔｅｒｐ
ｏｌａｔｅ）する。（図８、ｆ） （７）そのスライス平面上で２次元高速フーリエ逆変換
を実行する。（図８、ｇ） （８）ステップ５において与えられた補間エラーによっ
て発生される人工物（ａｒｔｉｆａｃｔ）を除去するた
めに、生成された投影にウィンドウ機能を掛け合わせ
る。（図８、ｈ） （９）投影を２次元スクリーン上に映像として表示す
る。（図８、ｉ）．多重透視像（ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｖ
ｉｅｗ）を発生させるため、あるいは、投影像の配置方
向を相互作用的に回転させるためには、ステップ５乃至
９が３次元ＦＦＴを再度実行することなく繰返えされ
る。これにより、いかなるデータセットに対しても唯一
度だけ最初の３次元ＦＦＴを実行した後は、サイズＮ×
Ｎ×Ｎの立体データセットについて各投影のために必要
な計算の回数がＯ（Ｎ² ｌｏｇＮ）のオーダーまで減少
される。これは、投影される映像のサイズがＮ×Ｎであ
る場合に、Ｏ（Ｎ² ｌｏｇＮ）回の操作のみによりＮ³
のボクセル全部を用いた全投影を生成することができる
唯一のレンダリング法である。本発明により生成された
投影例が図３に示されている。

【００１３】

【実施例】コンピュータによる形状設計および実験デー
タの収集の双方における急速な進歩のために、大量の３
次元データを表示するという課題が科学者、技術者、デ
ザイナー、医療診断学者およびその他の専門家にとって
危機的なまでに増大してきている。

【００１４】明らかな一つのアプローチとしては、外観
面のみ（図１に示すように）により立体データを単純に
表示することがある。内部のデータ値を視るためには、
立体がいずれかの面から順にスライスされて取り除かれ
るような一連の画像が必要となる。この方法は、安上が
り（Ｎ×Ｎ×Ｎ立体のデータ値に対する映像当りＯ（Ｎ
² ）回の操作）ではあるが、３次元構造の良好な表現の
ためには常に適当であるとは限らない。

【００１５】イソサーフェース・レンダリング（ｉｓｏ
ｓｕｒｆａｃｅ ｒｅｎｄｅｒｉｎｇ）として知られて
いるもう一つのアイデアが、図２に示されている。３次
元データセットの中でデータが特別の値をもつことに基
いて、境界面（ｃｏｎｔｏｕｒ ｓｕｒｆａｃｅ）を識
別するアルゴリズムが用いられる。この操作において、
境界面を照明したり、陰影をつけるための技術の一つを
用いて視覚化される一つあるいは複数の２次元表面が定
義される。再度（常用されているように）、いくつかの
視角から、あるいは、異なった照明における一連の画像
が３次元データにおける深さの感覚をもたらすために必
要となる。

【００１６】このアプローチの変形としては、対象物を
作為的に半透明に出現させるものがある（図３）。各透
視図は、放射線写真としてのＸ線像（これは、初めて最
も好都合なもの以外の特徴を透明に処理したものであ
る）を連想させる。明らかに、そのような画の各々の計
算にはＮ³ データ要素の全てが採り入れられており、順
方向レイ・トレーシングを用いれば、単純には全体コス
トがＯ（Ｎ³ ）回の操作（極めて大きい定数をもってい
る）となることになる。本発明は、各画についてこのケ
ースのコストをＯ（Ｎ² ｌｏｇＮ）回操作（Ｏ（Ｎ³ ｌ
ｏｇＮ）回操作のコストである最初の変換に続くもの
で、各対象物について唯一度実行される）にまで減少さ
せることのできる新しいアルゴリズムを含んでいる。

【００１７】Ｎを１０² から１０³ の範囲として、高速
の投影用ボリューム・レンダリング・アルゴリズムによ
る節減は、典型的には数オーダーの大きさに達してい
る。長期間のオフラインでの計算により映像を生成し、
そして、続くディスプレイのためにそれらを蓄積してお
く代わりに、この新しい方法はボリューム・レンダリン
グを相互作用的に実行することを可能とする（例えば、
観察者が、結果からみれば多くのものが殆ど有益でない
いくつかの予め定められた固定的な視角の設定に対応さ
せられることなく、最も関心のある視点に集中すること
が可能となる）。

【００１８】高速の投影用ボリューム・レンダリング法
が、投影−スライス定理を用いている断層撮影法の逆変
換のためのアルゴリズムとして作成されている。この方
法は、初期の研究によりいくつかの問題（ゴースト像
等）があると指摘されたことから、殆ど用いられること
がなかった。それ故、殆どの断層撮影法の適用において
は、代わりにより高価な逆投影法が用いられてきた。し
かしながら、１９９１年２月５日発行のＲｏｂｅｒｇｅ
およびＦｌａｎｎｅｒｙの米国特許第４，９９１，０９
３号によって、これらの疑問とされた問題を解消しうる
ことが示され、そして、彼等はマイクロ断層撮影法のた
めにＦＦＴに基いたアルゴリズムを適用した。本発明に
よる高速の投影用ボリューム・レンダリング法は、この
ＦＦＴに基いた断層撮影法における手順の逆操作を行
い、そして、その適用を断層撮影法における平面的な対
象物から３次元対象物の視覚化にまで拡大するものであ
る。

【００１９】

【演算方法】以下に纏められている追加説明には、可変
の減衰係数ｆ（ｘ₁ ，ｘ₂ ，ｘ₃ ）を以って３次元対象
物の２次元投影像ｇ（ｙ₁ ，ｙ₂ ）を計算するためのコ
ンピュータ演算手法の数学的導出過程が提示されてい
る。図４に例示されているように、映像ｇ（ｙ₁ ，
ｙ₂ ）は、座標軸（ｙ₁ ，ｙ₂ ）によって定義されてい
る映像平面に垂直である特定の方向から、対象物を通過
する一様で平面に平行な（ｐｌａｎｅ−ｐａｒａｌｌｅ
ｌ）放射である照明ビームの減衰に対応することとな
る。追加説明は、ｇの２次元フーリエ変換がｆの３次元
フーリエ変換の平面状切断面に一致することを説明して
いる。周波数空間における平面状切断面は原点を通り、
かつ、図５に示されているように実空間における投影面
の傾斜角に一致する角度に方向付けされる。

【００２０】任意の視角からの３次元対象物の投影像を
数式表現するために： （１）一度だけ、対象物の３次元フーリエ変換を実行し
て、

【００２１】

【数３】

【００２２】を得る。 （２）所定の２次元投影のために、まず、∧ｆ（ν₁ ，
ν₂ ）を得る。ここで、ν₁ およびν₂ は（ω₁ ，
ω₂ ，ω₃ ）周波数空間における原点を通る平面におけ
る（直交）座標であり、かつ、（ν₁ ，ν₂ ）平面の方
向は物理空間における投影面（ｙ₁ ，ｙ₂ ）に平行であ
る。

【００２３】（３）次いで、函数∧ｆ（ν₁ ，ν₂ ）に
対して２次元フーリエ逆変換を施して、所望の映像

【００２４】

【数４】

【００２５】を得る。実際的な計算用アルゴリズムを得
るためには、上述の理論的なアルゴリズムの３ステップ
に対して近似が施されることとなる（追加説明参照）。 （１）無限空間における全ての点について定義されるｆ
（ｘ₁ ，ｘ₂ ，ｘ₃ ）を用いる代わりに、Ｎ×Ｎ×Ｎの
格子における等しく離隔された位置においてのみ値を利
用する。連続する３次元フーリエ変換が離散的な３次元
高速フーリエ変換（３ＤＦＦＴ）に置き換えられる。

【００２６】（２）３次元の（ω₁ ，ω₂ ，ω₃ ）周波
数空間において正則の多項式補間（第２次および第６次
のオーダの精度の間で変化する）を用いて、２次元（ν
₁ ，ν₂ ）周波数空間における等しく離隔された直交座
標格子（Ｃａｒｔｅｓｉａｎｇｒｉｄ）の点における変
換値を数値化する。 （３）２次元高速フーリエ逆変換（２ＤＦＦＴ）により
映像ｇ（ｙ₁ ，ｙ₂ ）が得られる。

【００２７】図６は、信号空間におけるイソサーフェー
ス映像（ｉｓｏｓｕｒｆａｃｅ ｉｍａｇｅ）に示され
ている人頭の３次元のボリュームデータセットと投影映
像との間の関係を示す例示であり、そこには、周波数空
間での対応する（振幅のみの）３次元フーリエ変換（図
中最上段の列）、３次元フーリエ変換の周波数空間にお
ける投影面の方向付け（図中第２段目の列）、投影映像
に関連する平面における２次元フーリエ変換（図中第３
段目の列）、およびいくつかの視角から視た投影映像
（図中最下段の列）が示されている。

【００２８】この計算手順には、莫大な数の独立した１
次元高速フーリエ変換１ＤＦＦＴ（２ＤＦＦＴおよび３
ＤＦＦＴに合成される）およびデータ補間が含まれてい
る。基本的にはいかなるプログラム言語も、また、いか
なる型式のコンピュータ（ベクトルおよびパラレル型を
含む）でも極めて効果的に利用することができる。唯一
の大きな束縛として、多大な量のメモリ（全３次元デー
タを保持するため）とディスクのスペース（多くのデー
タセットと映像を便利よく取扱うため）とを必要とする
ことがある。ここに提示されている結果は、Ａｒｄｅｎ
ｔ Ｔｉｔａｎグラフィック・ワークステーションにお
いてＣおよびフォートラン７７を用いて得られたもので
ある。

【００２９】高速フーリエ変換を種々の方法により実行
することができる。最も容易であるものは、全てに複素
数演算を用いることである。二組の３次元データセット
が視覚化される場合には、それらを変換のための入力に
おいて実数および虚数部分として置くことができ、そし
て、全実数による変換をより多く実行するものに比較し
て計算コストに損失をなくすことができる。同じこと
が、個々の投影を再構築するためにも適用される。すな
わち、全実数による変換は多少多く実行することが必要
とされるが、単一の映像のみが生成される場合には２回
の実行を節約することができる。全ての場合に、殆どの
高速フーリエ変換コードは、このアルゴリズムにおいて
（これは周波数原点がデータセットのセンターにあると
仮定している）、自然なものとは異なる方法でデータを
要求することになるという点に留意しなければならな
い。

【００３０】映像の質に関する要点は、周波数空間にお
ける補間ステップにある。第４次のオーダーの精度が最
適であり、それ以下のオーダーでは投影像中に顕著な人
工物が導入される。４次より高次のオーダーの補間は、
ある例においては、より高い精度をもたらすが、それら
は映像の質を低下させることとなるオーバーシュートを
もたらす（しかも、それらはかなりの程度でより高価と
なる）。

【００３１】変換空間における映像の各点に対して、第
４次オーダーの精度の補間が３つの空間方向において１
次元の補間の一連のものとして（補間の次元問題を連続
的に減少させつつ）実行される。第１の方向においては
１６回の１次元補間が必要とされ、第２の方向では４
回、第３の方向では１回必要とされ、全ては４つのデー
タ点にわたって拡張される。これら３つのセットの補間
の各々において、値を求めたい点はそれらデータ点に関
係した同一の点に存在することとなる。最も速い手順と
しては、データ点に適用されるウェイトを決定すること
がある（３つのケースのそれぞれについて唯一度だ
け）。Ｂ．Ｆｏｒｎｂｅｒｇ著「Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ
ｓ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ」５１，６９９，１
９８８年発行（導函数あるいは零次のオーダー、すなわ
ち、補間の特殊ケースにおいて）により提示されている
アルゴリズムは、任意の間隔を有する格子においてのあ
らゆる次元の補間に対して極めて速くそのようなウェイ
トを与えることができる。ここでの特定のケース（第４
次オーダーの精度と等間隔の格子）においては、４つの
ウェイトの計算は、合計でわずか１２回の演算操作（決
定された補間式が適用される各時点において実行される
他の４回の乗算と３回の加算とともに）にまで減少され
る。それ故、各映像点（変換空間における）は、３×１
２＋（１６＋４＋１）×７＝１８０回の演算操作により
得られることとなる。

【００３２】ここでの実行は全複素数によるものであ
り、かつ、投影像におけるダイナミックレンジを完全に
確保するために３２ビットの浮動小数点演算を用いてい
る。最終的な映像の輝度とコントラストが、最良の視覚
化を達成するように相互作用的に調整される。

【００３３】

【発明の効果】投影用ボリューム・レンダリングのため
のフーリエ法は、レイ・トレーシング・アルゴリズムに
おいては殆ど実行不能である映像増強や映像操作に対し
て多大の便宜を提供することができる。ともかくフーリ
エ空間内にあるデータの簡単なベクトル乗算は、例えば
エッジ強調あるいはスムージング（ともに信号空間での
より精巧な旋回を必要としている）を可能とする。赤、
緑および青の分離映像のレンダリングにより着色効果が
可能となる（しかし、完全な不透明率視覚化と結合され
てはいない）。中間調（ｇｒａｙ−ｓｃａｌｅ）映像も
不透明率に含まれるとすれば、４つの映像が、２つづつ
全複素数コードを経験しながら、極めて効率的に処理さ
れることとなる。

【００３４】本発明は、縮小された計算回数であること
から、極めて増大されたスピードでボリューム・レンダ
リングを実行するものである。近い将来において、リア
ルタイムで本発明のボリューム・レンダリング法を実行
することができるクラスのコンピュータを期待すること
ができ、そこで、ユーザが映像の回転、変換や拡縮を相
互に関連させて選択し、そして、コンピュータがそれら
を発生させるようにすることができる。ボリューム・レ
イ・トレーシングは、ユーザがアニメーションのために
予め一連の映像を発生し、それらの映像を後続のディス
プレイのためのディスクファイルに蓄積することを要求
する場合には、コンピュータ処理には厳しいものであ
る。レンダリング処理が十分速く行われるならば、後続
のディスプレイのために映像を蓄積する必要がなくなる
ので、より少ないディスク容量で済むこととなる。

【００３５】映像のフィルタリングが周波数領域におい
て処理されることが可能であり、そこでは、空間領域に
おけるフィルタリングよりも少ない計算で済み、また、
特定の目的に適当なフィルタの適用のために有益な莫大
な経験の利益を簡単にユーザが享受することができる。
映像を、３つの経路による技術を用いて、フルカラーで
描画することができる。換言すれば、データセットは、
原色である赤、緑および青の各々についてルックアップ
技術を用いて、一度描画される。そして、それらの映像
は後続のディスプレイのために合成される。

【００３６】特定の構造要素について、特定の特徴を強
調する構造的な値をリマップすることにより、強調され
た映像を得ることができる。例えば、医学用の映像の高
密度区域（骨）は、より密度の低い区域（組織）を強調
するために、透明であるように選択的に描画することが
できる。これはレイ・トレーシングによっても行うこと
ができるが、非常に低速であるので、診断のために最も
有益な映像を生じさせるために必要となる異なったマッ
ピングによるいくつかの形式のディスプレイを計画する
ことはより困難となる。

【００３７】高速フーリエ変換において、補間平面の形
状とサイズを簡単に変化させることにより、データ上で
の幾何学的な変換を達成することができる。補間平面の
アスペクト比を変えることは、結果の投影を引き伸ばす
ことになってしまう。図７は、当面のフーリエ投影用レ
ンダリング法の実行と、Ｓｔａｒｄｅｎｔコンピュータ
において実行される商用のビジュアリゼーション・パッ
ケージソフトを用いた対応するレイ（ｒａｙ）に基づく
方法とを比較している。

【００３８】

【追加説明】

−フーリエに基いた投影用ボリューム・レンダリング− 投影用ボリューム・レンダリング（ＰＶＲ）の基礎とな
る物理的類比、放射線写真伝送および高速フーリエ変換
（ＦＦＴ）方法を用いてＰＶＲを実行するための数学
が、以下に説明される。対象物に可変の減衰係数ｆ（ｘ
₁ ，ｘ₂ ，ｘ₃ ）を与え（そこでは、より高い値はより
低い透明度に対応し、したがって、ｆ＝０は対象物の外
側となる）、図４に例示するように、座標軸（ｙ₁ ，ｙ
₂ ）によって定義されている映像平面に垂直である特定
の方向から、対象物を通過する一様で平面に平行な（ｐ
ｌａｎｅ−ｐａｒａｌｌｅｌ）放射である照明ビームの
減衰に対応する投影された２次元の映像ｇ（ｙ₁ ，
ｙ₂ ）を発生させる。

【００３９】まず、放射線写真と投影像との間の類比が
説明される。減衰係数ｆをもった対象物を通る光線に沿
って伝播する強度Ｉの放射の平行ビームを考える。強度
は次式（Ａ１）に従って減少する。 ｄＩ／ｄｓ＝−Ｉｆ（ｘ₁ ，ｘ₂ ，ｘ₃ ） （Ａ１） 無限のサイズの対象物に対して、入射強度Ｉ_O と伝送強
度Ｉ_T との間の関係は、次式（Ａ２）となる。

【００４０】 Ｉ_T ＝Ｉ_O ｅｘｐ（−τ） （Ａ２） ここで、光学的な深さτは減衰係数の線型積分によって
次式（Ａ３）のように与えられる。

【００４１】

【数５】

【００４２】ＰＶＲは、減衰された強度Ｉ_T （あるいは
減衰光学的深さτ、これはしばしばｆの投影Ｐとして言
及される）を例示する対象物の透視像（ｖｉｅｗ）を発
生する。明らかに、これらは完全な３次元の対象物のＸ
線写真において生成される減衰映像と直接類比すること
ができる。例えば、ｘ₃ 軸に沿って透視される３次元の
対象物ｆ（ｘ₁ ，ｘ₂ ，ｘ₃ ）の２次元のＰＶＲ映像ｇ
（ｙ₁ ，ｙ₂ ）は、次式（Ａ４）となる。

【００４３】

【数６】

【００４４】連続函数に対するフーリエ法を用いたＰＶ
Ｒの数学の証明は、次の３つのステップを含んでい
る。： （１）透視方向が一つの軸に沿っている、すなわち、ｘ
₁ 方向であり、かつ、（ｙ₁ ，ｙ₂ ）方向が（ｘ₂ ，ｘ
₃ ）方向（図４に示されているように）に一致して選択
されているとして、結果を証明する。一般的に、次式
（Ａ５）が成立つ。

【００４５】

【数７】

【００４６】図４における配置に対しては、ω₁ ＝０、
ω₂ ＝ν₁ 、ω₃ ＝ν₃ 、ｘ₂ ＝ｙ₁、ｘ₃ ＝ｙ₂ であ
るので、次式（Ａ６）が成立ち、

【００４７】

【数８】

【００４８】それ故、式（Ａ４）の投影像は、次式（Ａ
７）の２次元フーリエ逆変換により与えられる。

【００４９】

【数９】

【００５０】（２）種々の方向から透視される固定され
た対象物を考える代わりに、物体が任意の方法で回転さ
せられる（そして、透視方向は固定されたままである）
として、映像上の効果を考える。 （３）物体は（ｘ₁ ，ｘ₂ ，ｘ₃ ）空間において回転さ
れるが、そのフーリエ変換は（ω₁ ，ω₂ ，ω₃ ）周波
数空間における同じ回転を単純に経験し、かつ、
（ｙ₁ ，ｙ₂ ）および（ν₁ ，ν₂ ）平面における回転
については２次元で経験することを示す。

【００５１】まず、回転が（ｘ₁ ，ｘ₂ ，ｘ₃ ）空間に
おけるようなものであれば、新しい位置は、ｘ₁ ，ｘ₂
およびｘ₃ 軸の周りで連続的に実行される３つの分離し
た回転の一連によって、同様に得ることができることを
示す。これらの３つの方向はフーリエ変換の公式では全
く対称的な様式で現われるので、任意の角度Θを通る、
すなわち、ｘ₃ 軸の周りの（ｘ₁ ，ｘ₂ ，ｘ₃ ）の回転
がω₃ 軸の周りの同じ回転を経験した結果としてのフー
リエ変換∧ｆ（ω₁ ，ω₂ ，ω₃ ）を発生させることが
十分示されている。

【００５２】角度Θを通る、すなわち、ｘ₃ 軸の周りの
軸ｘ₁ ，ｘ₂ から軸ｘ₁ ′，ｘ₂ ′への回転変換を考え
ると、次式（Ａ８）となる。 ｘ₁ ′＝ｘ₁ ｃｏｓΘ＋ｘ₂ ｓｉｎΘ ｘ₂ ′＝ｘ₁ ｓｉｎΘ＋ｘ₂ ｃｏｓΘ ｘ₃ ′＝ｘ₃ すなわち、 ｘ₁ ＝ｘ₁ ′ｃｏｓΘ−ｘ₂ ′ｓｉｎΘ ｘ₂ ＝ｘ₁ ′ｓｉｎΘ−ｘ₂ ′ｃｏｓΘ ｘ₃ ＝ｘ₃ ′ （Ａ８） 回転される対象物について、フーリエ変換は次式（Ａ
９）となる。

【００５３】

【数１０】

【００５４】そこで、物理空間における対象物の回転
は、次式（Ａ１０）に示す周波数空間におけるフーリエ
変換の等価な回転を発生する。

【００５５】

【数１１】

【００５６】これにより、種々の視角から視られた３次
元対象物の投影像が、対象物の３次元フーリエ変換の２
次元スライスから得ることができることを説明する導出
過程が完成する。そこでは、その視角により定義される
投影面の方向に関連した幾何学が信号空間から周波数空
間に直接的に描かれる。上述の導出過程は、連続函数に
関するものであって、そのフーリエ変換は±∞の積分範
囲にわたる積分によって計算されるものである。それは
数学的には正確であるが、実際の計算においては、一様
な直交座標格子（Ｃａｒｔｅｓｉａｎｇｒｉｄ）上で定
義される有限のデータセットが処理される。離散的フー
リエ変換（ＤＦＴ）に基いた近似アルゴリズムが、高速
フーリエ変換のある変形を用いることにより、最良の状
態で実行される。完全なものとするため、以下にＤＦＴ
公式を示す。

【００５７】説明に当って最も簡単であるのは、各空間
方向において奇数番目の点、すなわち、２Ｎ＋１におい
て定義される函数の場合を説明することである（反射周
波数（ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ）を
処理するためのよく知られている手順は、高速の偶数番
目の点でのＦＦＴの非常に効果的な利用を可能にす
る）。いま、減衰函数Ｆ（ｘ₁ ，ｘ₂ ，ｘ₃ ）が利用で
き、かつ、Δｘ＝２Ｌ／（２Ｎ＋１）として−Ｌ≦
ｘ₁ ，ｘ₂ ，ｘ₃ ≦Ｌの物理的範囲の立体を通して、等
間隔の格子点 ｘ_1,l ＝ｌΔｘ、ｘ₂,_m 、ｘ₃,_n ＝ｎΔｘ ｌ，ｍ，ｎ＝−Ｎ，…，−１，０，１，…，Ｎ （Ａ１１） において値Ｆ_lmn をもつと仮定する。周波数空間
（ω₁ ，ω₂ ，ω₃ ）における、α，β、γを付された
等間隔の格子点、すなわち ω₁,α＝αΔω，ω₂,β＝βΔω，ω₃,γ＝γΔω α，β，γ＝−Ｎ，…，−１，０，１，…，Ｎ （Ａ１２） においては、データ∧Ｆ（ω₁ ，ω₂ ，ω₃ ）≡∧Ｆα
βγの３次元ＤＦＴは次式（Ａ１３）により与えられ
る。

【００５８】

【数１２】

【００５９】３つの論証の各々において、函数∧Ｆαβ
γは（２Ｎ＋１）の周期をもっている。それは、周波数
間隔−Ω≦ω₁ ，ω₂ ，ω₃ ≦Ωにわたる∧Ｆのサンプ
ルを提供する。Ω＝１／（２Δｘ）であるところでは、
Δω＝２Ω／（２Ｎ＋１）である。ＦＦＴアルゴリズム
が、Ｏ（Ｎ³ ｌｏｇＮ）回の操作のトータルコストによ
り、その完全な論証全てにおける∧Ｆの計算を与える。

【００６０】投影像が∧Ｆの平面状切断面の逆ＤＦＴに
より与えられ、そこでは２次元ＤＦＴの係数が、周波数
空間における原点を通り、かつ、透視面に平行な２次元
格子中の等間隔の直交座標点（Ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｐ
ｏｉｎｔ）において、順方向補間（典型的には局部的な
第２次あるいは第４次のオーダーの精度での）により得
られる。周波数空間と信号空間における、ＭΔη≦Ω，
ΔｙΔη＝１／（２Ｍ＋１）として η₁,μ＝μΔη，η₂,ν＝νΔη μ，ν＝−Ｍ，…，−１，０，１，…，Ｍ （Ａ１４） ｙ₁,ｊ＝ｊΔｙ，ｙ₂,ｋ＝ｋΔｙ ｊ，ｋ＝−Ｍ，…，−１，０，１，…，Ｍ （Ａ１５） によって与えられる座標に対して、離散的な投影像Ｇ_jk
が、離散的な２次元フーリエ変換Ｆμνから、次式（Ａ
１６）の逆ＦＦＴを演算することにより得られる。

【００６１】

【数１３】

【００６２】これらの２つのステップを演算するために
必要な操作の回数は、Ｏ（Ｍ² ）の補間およびＯ（Ｍ²
ｌｏｇＭ）の逆ＦＦＴである。

【図面の簡単な説明】

【図１】外表面のみが視覚できる立体データのディスプ
レイ例である金属組織を示す写真である。

【図２】データが所定の値以内に低下された立体データ
のディスプレイ例である金属組織を示す写真である。

【図３】対象物を人為的に半透明に出現させるようにし
たデータのディスプレイ例であるＸ線撮影像を示す写真
である。

【図４】本発明による対象物の処理の概念を説明するた
めの概念図である。

【図５】本発明の方法を概念的に説明する図である。

【図６】フーリエ空間における構造をもつ原データセッ
トと投影像との間の関係を示している本発明の方法の概
念を説明するためのＸ線撮影像を示す写真である。

【図７】本発明の方法による計算時間とボリューム・レ
イ・トレーシングによる場合の時間とを比較するグラフ
である。

【図８】本発明によるシステムの概念的構成図である。

【符号の説明】

ａ…３次元データの蓄積 ｃ…３次元離散型高速フーリエ変換 ｆ…補間スライス平面発生 ｇ…２次元離散型高速フーリエ逆変換 ｈ…ディスプレイ処理

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (51)Int.Cl.⁶ 識別記号 庁内整理番号 ＦＩ 技術表示箇所 Ｇ０６Ｔ 5/20 Ｇ０６Ｆ 15/68 ４００ Ａ

Claims (6)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 ディスプレイ装置上に、３次元のデータ
   セットの投影された２次元表示を生成するための方法で
   あって、以下のステップ： ａ．３次元の信号パターンｆ（ｘ₁ ，ｘ₂ ，ｘ₃ ）を蓄
   積することであって、該信号パターンは３次元の物体に
   関連し、該物体内部の規則正しく間隔を置かれた格子点
   における少なくとも一つの物理的特性の値を示すもので
   あることと、 ｂ．上記対象物体の離散的な３次元高速フーリエ変換を
   実行して∧ｆ（ω₁ ，ω₂ ，ω₃ ）を得ることであっ
   て、ここでω₁ ，ω₂ ，ω₃ は信号空間におけるｘ₁ ，
   ｘ₂ ，ｘ₃ に対応する周波数空間における直交座標であ
   ることと、 ｃ．∧ｆ（ν₁ ，ν₂ ）を決定することであって、ここ
   でν₁ およびν₂ は上記周波数空間ω₁ ，ω₂ ，ω₃ に
   おける原点を通る平面内の直交座標であり、かつ、該平
   面ν₁ ，ν₂ は物理空間における投影面に平行であるこ
   とと、 ｄ．上記函数∧ｆ（ν₁ ，ν₂ ）に対して離散的な２次
   元フーリエ逆変換を実行して所望の映像ｇ（ｙ₁ ，
   ｙ₂ ）（ｙ₁ およびｙ₂ に対する座標方向は上記ν₁ ，
   ν₂ 平面内で選択されたものと平行である）を得ること
   と、および ｅ．上記映像を２次元のディスプレイ装置上に表示する
   こととを含む方法。
2. 【請求項２】 請求項１に記載の方法であって、 ステップｃ，ｄおよびｅが３次元フーリエ係数から一連
   の視角における一連の映像を生成するように実行される
   ことを特徴とする方法。
3. 【請求項３】 請求項１に記載の方法であって、 映像が周波数領域においてフィルタされることを特徴と
   する方法。
4. 【請求項４】 ディスプレイ装置上に、３次元のデータ
   セットの投影された２次元表示を生成するためのシステ
   ムであって、以下の手段： ａ．３次元の信号パターンｆ（ｘ₁ ，ｘ₂ ，ｘ₃ ）を蓄
   積するための手段であって、該信号パターンは３次元の
   物体に関連し、該物体内部の規則正しく間隔を置かれた
   格子点における少なくとも一つの物理的特性の値を示す
   ものと、 ｂ．上記対象物体の離散的な３次元高速フーリエ変換を
   実行して∧ｆ（ω₁ ，ω₂ ，ω₃ ）を得るための手段
   と、 ｃ．∧ｆ（ν₁ ，ν₂ ）を決定するための手段であっ
   て、ここでν₁ およびν₂ はω₁ ，ω₂ ，ω₃ 空間にお
   ける原点を通る平面内の直交座標であり、かつ、物理空
   間における投影面に平行であるものと、 ｄ．上記函数∧ｆ（ν₁ ，ν₂ ）に対して離散的な２次
   元フーリエ逆変換を実行して所望の映像ｇ（ｙ₁ ，
   ｙ₂ ）（ｙ₁ およびｙ₂ に対する座標方向は上記ν₁ ，
   ν₂ 平面内で選択されたものと平行である）を得るため
   の手段と、および、 ｅ．上記映像を２次元のディスプレイ装置上に表示する
   ための手段とを備えたシステム。
5. 【請求項５】 請求項４に記載のシステムであって、 手段ｃ，ｄおよびｅが３次元フーリエ係数から一連の視
   角における一連の映像を生成するように実行されるもの
   であることを特徴とするシステム。
6. 【請求項６】 請求項５に記載のシステムであって、 映像が周波数領域においてフィルタされるものであるこ
   とを特徴とするシステム。