JPH0724076B2 - Ｃａｄ／ｃａｍシステムにおける面交線抽出方式 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 （発明の技術分野） この発明は、CAD（computer Aided Design）やCAM（Com
puter Aided Manufacturing）における自動車、流体機
器、家電機器、OA機器等の自由曲面形状と数式化形状を
合わせ持つ形状モデルの面交線抽出方式に関するもので
ある。

（発明の技術的背景とその問題点） 金型等の形状加工を、NC（Numerical Control）加工を
主体とするCAD/CAMの概念を用いて実現しようとする場
合、加工オペレータが加工現場における迅速な工具経路
の変更等のオペレータのノウハウを十分反映できるよう
な機能を持たせることが重要になる。この点を考慮して
形状加工システムを考えた場合、以下に示すような要求
〜を満たす必要がある。

形状定義機能と工具経路生成機能とが完全に分離さ
れていること リアルタイムで工具経路の自動生成が可能であるこ
と 数式形状と自由曲面形状を同一プロセッサで処理可
能なこと それらの組合せのセットオペレーションが可能なこ
と CADシステムとの結合が容易なこと システムソフトウエアがコンパクトであること ところで、形状モデリングは３次元物体の数学モデルを
コンピュータ内部に構築し、それを要求された問題に適
する形に加工し、外部表現することである。したがっ
て、先ず数学モデルが作成されていなければならず、数
学モデルの作成としては上述のCSG又はＢ−Repsの２つ
の手法が主に存在している。

先ず、CSGに基づくモデルは曲面によって２つに分割さ
れた３次元空間の片側、すなわち半空間領域の集まりに
よって、３次元空間内に閉じた点集合領域を３次元物体
形状モデルとして作り出すものである。ここで、３次元
物体形状は３次元ユークリッド空間の部分集合としてモ
デル化できる。モデルは物理的な物体を表わすから、内
部を閉じた３次元空間の部分集合である。今、与えられ
た物体に対応する３次元空間の閉じた領域をＳ（Ｘ）と
し、この点集合をＳとすると、 Ｓ＝｛X:X∈Ｓ（Ｘ）｝ ……（１） と表現することができる。Ｓ（Ｘ）は閉じた領域なので
半空間領域の集まりと考えることができ、Ｓを更にいく
つかの部分集合による集合演算で表現することができ
る。ＳをSi（ｉ＝1,2,…,n）の部分集合に分解し、逐次
的にＳをこれらの部分集合を使って集合演算φｉで構成
する。ここで利用する集合演算φｉは、和，積及び差集
合演算であるとする。こうすると としてＳを表現できる。φｉは和集合演算ならばPi＝φ
（Pi−1,Si）＝SiUPi−１、積集合演算ならばPi＝φｉ
（Pi−1,Si）＝Si∩Pi−１、差集合演算ならば （〜を補集合演算とする）とする。Siをいくつかの部分
集合の積で表わし、Siの内部を閉じるとする。すなわ
ち、 Si＝Si1∩Si2∩…∩Sim ……（３） と置く。（３）式のSijを半空間領域に対応させると、 Sij＝｛X:fij（Ｘ）≧０｝ ……（４） と書け、こうして３次元物体形状を半空間領域による数
学モデルとして表現できた。形状モデリングでは、Siの
部分集合であるSij（ｊ＝1,2,…,m）の１つあるいはい
くつかは、解析的に特徴のある半空間領域を表わし、残
りはこの半空間領域を閉じるため使用されることが多
い。このSiの特徴をSiの名前に使用し、あらかじめ準備
されたSiの種類をそれぞれプリミティブと呼ぶ。

一方、Ｂ−Repsは物体の点，辺，曲面等のトポロジー関
係とトポロジー関係の要素である頂点，辺，曲面の幾何
形状情報を与え、３次元空間内に閉じた２次元マニフォ
ールドを創成して３次元物体の形状モデルとするもので
ある。

従来のCADやCAMシステムにおいて形状定義する場合、CS
Gのように数式により表現できる単純形状を組合せて表
現する方法が通例であり、その組合せの方法としては前
述のように論理演算（セットオペレーション）の原理を
用いている。

しかし、金型形状の場合、全てを数式で表現できる形状
の組合せで定義することができない場合がある。実際に
は所望形状の一部に数式表現可能な形状を用い、その他
に点群により定義される自由曲面を用いて両者の組合せ
により表現する形状が多い。

ここに、自由曲面とは曲面形状を数式化できない曲面、
たとえばＦ（x,y,z）＝０のような式で表現できない曲
面である。このため曲面は第２図に示すように、点群２
をデータ構造に持ち、点群２の点と点の間はたとえばCo
ons式やBezier式で補間することで曲面１を詳細に表現
できる。さらに、自由曲面は複雑な形状を有するので、
補間曲面式は全てパラメータ表示された式となる。具体
的には、便宜上第17図で示すような２次元の点列（ノー
ド;node）を考えると、ノード2A〜2Cを必らず通り、か
つ滑らかに結ぶ曲線は無数に存在するが、これら曲線群
の中から必らず１つの曲線を定義する曲線式が必要であ
る。ノードの数をｎとすると、（ｎ−１）次多項式で上
述の条件を満たす曲線式を求めることができる。しか
し、多項式の次数が高くなればなるほどランジェ効果に
より曲線は振動し、この効果はノードを一部ずつ結ぶ低
次の多項式を用いることにより軽減される。これが局所
補間又はスプライン補間である。スプライン補間は、ノ
ードとノードの間を低次多項式で表現するもので、ノー
ドの数をｎとすると（ｎ−１）の式を得ることになる。
全式の接続性は、隣接する式の端条件をノード上で一致
させることで容易に保つことができる。

曲面の場合は、４つのノードで囲まれた曲面を１単位
（パッチと呼ぶ）として曲面式を設定し、上述の２次元
の場合と同様に（ただし、３次元の考察が必要）それら
の連続性をパッチの境界上で持たせればよい。曲面式
は、一般にCoonsの式、Bezeirの式、Ｂ−Splineパッチ
のいずれかを用いている。Coons補間式は第18図に示す
ような曲面Ｐ（u,v）に対して ただし、 F0（ｔ）＝2t3−3t2＋1,G0（ｔ）＝t3−2t2＋ｔ F1（ｔ）＝−2t3＋3t2,G1（ｔ）＝t3−t2 で与えられ、このCoons補間式は実空間座標系に存在し
ないベクトル式である。また、上記Coons補間式はパラ
メトリックな表現法を用いている。このパラメトリック
空間と実空間との間の関係は、第３図に示すように曲面
１のパラメータ空間（uv座標系）で補間したパラメータ
を用い、XYZ座標系の実空間への補間を行なう。このこ
とは曲面１がパラメータ空間により表現されることを意
味し、実空間内だけでは曲面の存在を認識することは不
可能である。このような曲面をCADやCAMの一要素として
加えた場合、球形状や平面のような数式面等の他の要素
との関係を調べなければならないが、これは明らかに実
空間での解析であり、上記問題点のために非常に困難
で、自由曲面取扱い上の欠点となっていた。つまり、CS
Gにおいては、球形状や平面のような数式面の認識は実
空間の任意の点がそれらの面に対してどのような位置に
あるかが特定できれば可能であるといえるが、自由曲面
は上述のようにパラメータ表現をしているので曲面上の
点は特定できても、実空間上の任意の点が自由曲面とど
のような位置関係にあるかは解析不可能であった。

したがって、CSGにおける従来のセットオペレーション
は数式表現の形状間のみで行なわなければならず、数式
表現による形状と自由曲面による形状が混在する形状を
処理して加工データを生成する場合、それぞれの形状に
対して別個のアルゴリズムを用いて処理しなければなら
ないのが現状である。

一方、第３図において、曲面１の各境界線（辺）はパラ
メータ空間上の曲面領域を示す矩形領域３の各境界線に
対応している。このことが、以下に示す現象を起すこと
である。すなわち、第４図に示すようにパラメータ空間
上で直線的な補間をしても曲面上で歪んでしまう。この
補間を工具軌跡とすると、実空間においてＡとＢに示す
工具のピッチ（ピックフィード）が一定とならず、ある
所では広く、またある所では狭くなり、この現象が加工
効率に大きく影響してしまう。次に加工の工程を考える
と、第５図に示すように特定の領域Ａ′を指定してその
部分だけの部分加工が当然考えられる。しかし、その領
域指定の際も実空間（Ａ′）とパラメータ空間（Ａ″）
との対応が困難である。加工領域Ａ′は実空間で指定す
るが、それに対してパラメータ空間での対応付け
（Ａ″）が不可能（解析的）である。さらに、第６図に
示すように曲面が極端に曲っている場合、従来のパラメ
ータ補間を行なうと左図に示すような工具軌跡TTを発生
する。しかし、加工の際は右図に示すような工具軌跡生
成TT′の要求もあり、このような工具軌跡は従来のパラ
メータ補間では不可能である。

以上のような経緯より、形状モデリング主体に開発され
てきたCADの機能を拡張することを目的として、自由曲
面式をモデリングに取入れる研究が現在進められてお
り、一般的には自由曲面のデータ構造を判断して、自由
曲面をＢ−Reps（Boundary Representation）として認
識することにより処理の統一を計っている。

ここで、Ｂ−Repsによる従来のシステム例を第７図に示
して説明する。

たとえば第８図に示すような立体形状200を想定した場
合、形状データ入力装置10で入力された形状データは所
定の演算処理で第９図に示すような立体を構成する境界
要素201〜209に分解されると共に、各要素の連結関係を
示す物体構造データ21と、各要素の頂点座標，辺の方程
式，面の方程式を示す数式化形状データ22とに分離され
て整理される。立体形状200が自由曲面を有する場合
は、前述したような点群と補間曲面で表わせる自由曲面
データ23を有するが、Ｂ−Repsの自由曲面データ23は必
らず交線データを含んでいるものでなければならない。
このようにして求められた形状データ20は、工具半径，
工具送り方向，切削速度，加工領域等の加工情報31と共
に、数式化形状処理部30に入力されてデータポインタの
追跡処理が行なわれる。つまり、Ｂ−Repsでは形状要素
の境界情報を有しているので、この境界をドット情報で
追跡して行けば、CRT等の表示装置で画面表示処理（10
1）したり、NC加工のための工具軌跡を生成（102）した
り、材料，大きさ等に関する物体特性を求めるマスプロ
パティ演算処理（103）を行なったりすることができ
る。

次に、具体的にＢ−Reps表現におけるセットオペレーシ
ョンがどのような処理過程を経るかを説明する。今、第
13図（Ａ）に示すように２つの立体B1,B2があり、立体B
1,B2は各々６つの面,12の辺,8の頂点を持つ。つまり、 B1について： F1＝6,E1＝12,V1＝8,H1＝0,R1＝0,B1＝１ B2について： F2＝6,E2＝12,V2＝8,H2＝0,R2＝0,B2＝１ ただし、Ｆ＝面,E＝辺,V＝頂点,H＝穴,R＝穴輪郭（Rin
g）,B＝立体である。

となる。これは、多面体の必要条件であるオイラーポア
ンカレの式 Ｖ−Ｅ＋Ｆ−Ｒ＋2H−2B＝０ ……（５） を満たしている。この２つの立体B1及びB2に対し、第13
図（Ｂ）に示すように重ね合わせ、その和をとると同図
（Ｃ）に示す形状B3ができ、この形状B3について F3＝11,E3＝24,V3＝16,H3＝0,R3＝1,B3＝１ となり、これもオイラーポアンカレの式を満たしてい
る。つまり、“B1"＝（8,12,6,0,1），“B2"＝（8,12,
6,0,0,1）で“B3"＝“B1"＋“B2"のとき“B3"＝（16,2
4,11,0,1,1）となるために必要な “τ”＝（0,0,−1,1,0,−１） ただし、各成分は（v,e,f,r,h,b） の処理を実施する必要がある。“τ”の処理は立体，面
を１つ消去して穴輪郭を１つ作る処理である。このよう
にしてR1＝0,R2＝０からはR3＝１になることにより、Ｒ
は穴輪郭としているがこれはまぎれもなく立体と立体の
交差線を示すものである。これは、トポロジーモデル
（連結関係モデル）においてセットオペレーションを行
なわせるためには、対称となる立体同志の交差線が求め
られればよいことを意味している。また、第14図〜第16
図はプリミティブのセットオペレーションの例を示して
おり、第14図はプリミティブP1とP2の和によって形状モ
デルP3が作成される様子を示している。第15図はプリミ
ティブP4とP5との差によって形状モデルP6が作成される
様子を、第16図はプリミティブP7とP8の積によって形状
モデルP9が作成される様子をそれぞれ示している。

以上で説明したＢ−Repsでは立体形状等を境界の関数に
分解しているので、形状データの数が多くなってしまう
と共に、幾何学的に存在し得ないような形状を定義して
しまったり、形状要素の入力ミスによって立体ではあり
得ない形状を入力してしまうといった欠点がある。

また、Ｂ−Repsの場合、CSG（Constructive Solid Geom
etry）に比べデータ構造が複雑であり、また処理が繁雑
となるため、CAMの機能としてセットオペレーションを
実現しようとすると、前述の要求仕様を満たすのは困
難となる。

ところで、実際の形状加工を考慮し、Ｚ軸方向に１価以
上の形状（オーバーハングした形状等）は処理しないと
仮定し、形状の存在する領域を境界曲面からＺ軸一方向
に固定すれば、第１図に示すように、基本形状A,B毎の
Ｚ軸を比較することでセットオペレーションは実現でき
る。すなわち、論理和の場合はＺ値の最大値を選択し、
論理積の場合は最小値を選択することで所望の形状を得
ることができる。しかしながら、上述の仮定に反するよ
うな形状の処理は困難であり、厳密な意味でセットオペ
レーションを実現しているとは言えない。

最後に、CSGによる従来のシステム例は第10図に示すよ
うな構成となっており、形状データ入力装置10から入力
された形状データは物体構造データ21及び数式化形状デ
ータ22に分離され、これらデータは境界を示す面の情報
を含んでいる。したがって、第８図の立体形状は第11図
の形状要素（プリミティブ）210〜212に分解され、プリ
ミティブ211及212を加算した形状からプリミティブ210
を減算すれば立体形状200となる。このように、CSGシス
テムでは境界を示す関数情報が必要であることから、従
来のCSGでは自由曲面データを取扱うことができず、形
状データ20にも含まれていない。形状データ20は形状抽
出処理部40に送られ、表示や工具軌跡生成等のアプリケ
ーション対応の処理（43）に応じた空間情報SPを入力し
て立体の全体形状情報TSを生成する。すなわち、数式化
形状データ22と空間情報SPは数式化形状処理41で合成さ
れ、合成された数式化形状SSPが物体構造データ21と共
にセットオペレーション42されることによって全体形状
情報TSが生成される。この全体形状情報TSが画面表示処
理（101）されたり、NC工具の軌跡を生成（102）した
り、マスプロパティ演算処理（103）されたり、面交線
演算処理（104）されたりすると共に、これらアプリケ
ーション対応の処理を示すアプリケーション情報S1〜S4
が出力され、アプリケーション対応の処理43で空間情報
SPに変換される。

前述のように、CSGにおいては、球形状や平面のような
数式面の認識は実空間の任意の点がそれらの面に対して
どのような位置にあるかが特定できれば可能であるとい
えるが、自由曲面はパラメータ表現をしているので曲面
上の点は特定できても、実空間上の任意の点が自由曲面
とどのような位置関係にあるかは解析不可能であった。

以上のように、従来のCSGでは形状データ20として自由
曲面を取扱っていないので、自由曲面を含んだ形状に対
してアプリケーションを行ない得ない欠点があった。

これに対してCSGの場合、データ構造が簡潔であり、処
理方法から判断して高速処理が可能と考えられる。

ゆえに、以上の点からCSGの方法において自由曲面も含
めてセットオペレーションが行なえる処理方法の開発が
望まれている。

一方、以上の説明とは別に、曲面の一部の所定形状のみ
を加工するとか、２つの曲面の交差部に丸味Ｒを付けて
加工するとか、面取り等を行なう場合、２つの曲面の交
差線を知る必要がある。交差線は平面と平面の場合は直
線となるが、一般には複雑な曲線となる。また、数式化
可能な曲面や自由曲面等の多種にわたる基本形状要素に
対して、その交差線を求めるのは非常に困難である。特
に数式化可能な曲面と自由曲面、自由曲面と自由曲面の
交差線を求めることは、数式化曲面と自由曲面のデータ
構造が基本的に異なっているため、処理を行なうのが難
しい問題となっている。従来は、数式曲面データを一旦
自由曲面データと同一のデータ構造に変換してから交差
線を求めるようにしている。しかしながら、データ変換
という別の工程を実施しなくてはならず、データ量も増
大してしまう欠点があった。

（発明の目的） この発明は上述のような事情からなされたものであり、
この発明の目的は、CSG方式の利点を生かしつつ、自由
曲面形状と数式化形状を同一のアルゴリズムで交線計算
が扱えるようにするCAD/CAMシステムにおける面交線抽
出方式を提供することにある。

（発明の概要） この発明は、形状データ及び物体構造データが入力され
る入力装置と、前記形状データ及び前記物体構造データ
を用いてセットオペレーションを行う形状抽出処理部
と、前記形状抽出処理部から出力される全体形状情報に
基づいて画面表示処理等を行なうアプリケーション処理
部とを具備したCAD/CAMシステムにおいて、前記形状デ
ータとして実空間内で数式化形状を表す数式化形状デー
タ及び／又はパラメータ空間内で自由曲面形状を表す自
由曲面データを入力し、前記数式化形状データ及び／又
は前記自由曲面データが複数ある場合、それらのうち任
意の２つの形状データを取出し、取り出した形状データ
を用いた収束演算により、一方の形状データが表す面上
の任意の位置から他方の形状データが表す面への面法線
ベクトルを求めてその距離を求めるという処理を繰返
し、前記距離の大きさが零となったときは前記任意の２
つの形状データが表す面が交差しているとして、当該交
差面が作る面交線上に前記距離の大きさが零となったと
きの前記任意の位置が存在するとする一連の処理を繰返
して前記面交線を抽出し、抽出した面交線を表す前記形
状データを用いて前記セットオペレーションを行うよう
にしたものである。

（発明の実施例） 第12図はこの発明方式を実現するシステム例を第10図に
対応させて示すものある。先ず、形状データ入力装置10
より形状データを入力する。形状入力の方法は人間が直
感的に理解し易く、しかも表現能力の豊かなものが望ま
れ、ここではプリミティブによる入力とセットオペレー
ションとの組合せを用いている。複雑な形状は段階を追
って作られていくため、形状の変形や付加，削除などの
変更操作も形状を構築する上で大きな役割を演じてい
る。

プリミティブによる入力は、直方体，円柱等の単純な図
形を基本形状として登録しておき、これを必要に応じて
取り出す方法である。

CSGによる形状データ20としては境界を示す面の関数情
報が用いられ、自由曲面データ23は境界データを含んで
いない。

そこで、画面表示処理101等のアプリケーション処理の
１つが実行されると、その処理からのデータS1等がアプ
リケーション対応の処理43,44に入力される。アプリケ
ーション対応の処理43はそれをSP1として数式化形状処
理41に送る。アプリケーション対応の処理44はそれをSP
2として自由曲面演算処理45に送る。数式化形状処理41
は数式化形状データ22の個々のデータについてSP1に基
づく評価・判定を行ない、その結果を形状情報スタック
エリア46に格納する。一方、自由曲面評価演算処理45は
自由曲面データ23の個々のデータについてSP2に基づく
評価・判定を行ない、その結果を形状情報スタックエリ
ア46に格納する。数式化形状処理41及び自由曲面評価演
算処理45における評価・判定については後に詳述する。
セットオペレーション42は、形状情報スタックエリア46
に格納された個々の形状データについての評価結果に対
して物体構造データ20に基づいてセットオペレーション
を行なう。その結果のTSは画面表示処理101等のアプリ
ケーション処理に返される。

例えば、画面表示処理101について説明する。全体形状
を表示させるには実空間上の任意の点についてその点が
全体形状の内側にあるか外側にあるかが判定可能であれ
ばよい。したがっって、画面表示装置101からの座標情
報について個々の形状データに対して数式化形状処理41
もしくは自由曲面評価演算処理45が内側か外側かすなわ
ちどちらの半空間側かの評価を行ない、その評価結果に
対して物体構造データ21に基づいてセットオペレーショ
ンを行なうことにより、その座標位置が全体形状につい
て内側にあるか外側にあるかが判定できる。全体形状の
輪郭を表示したければ、内側でもなく外側でもなく評価
値が０である座標位置を探索すればよいことになる。

次に、自由曲面評価演算処理45における処理を詳細に説
明する。すなわち、自由曲面についてある座標位置がそ
の自由曲面で区切られる半空間のどちら側にあるかを評
価する処理である。

そこで、第19図に示すように実空間内で指定した座標値
（x,y,z）が、パラメータ表示（u,v）された曲面１に対
してどのような位置関係にあるかを演算する。その演算
手法は収束演算を利用するもので、以下収束演算の概略
を述べ、次にその詳細を説明する。

半空間領域化の基本概念は自由曲面の空間における評価
の実現である。今、第20図に示すように、自由曲面上方
に点Ｐを想定し、曲面１上の任意の点Ｎから与点Ｐまで
の距離をＥとする。曲面１上に無数に存在する任意の位
置全てに対し、この距離Ｅを計算し、距離Ｅが同じ値を
とる曲面１上の点を結ぶと第21図に示すように、曲面１
上に距離Ｅの等高線を描くことができる。これを、Ｅ軸
と曲面上の系u,v軸とで表わした図を第22図に示す。こ
れは曲面１から与点Ｐへの距離関数となり、この関数を
Ψ（u,v）とおく。そして、この関数に対して、曲面１
上のｕ方向について方向微分係数を求めると、 となる。を単位ベクトルとして、gradΨとの作る角を
θ１とすると、 を得る。同様にｖ方向について を得る。今、このポテンシャル関数の最小値を求める場
合、 なる条件を満たす必要がある。また、 であるから｜▽Ψ｜≠０とすると、cosθ１＝0,cosθ２
＝０である必要がある。故に、θ１＝90°，θ２＝90°
となる。ここで、θは曲面上の各方向とgradΨのなす角
であることから、ポテンシャル関数値の最小をとるＥは
与点Ｐに向う面法線方向での与点Ｐとの距離となる。

ポテンシャル最小値とは、与点の曲面に対する最短距離
を示すものであり、これはパラメトリックに表現された
曲面を空間的に評価する値となる。曲面補間式を（u,
v）とすると、そのときポテンシャル値は Ψ（u,v）＝｜−（u,v）｜ ……（12） となり、さらにポテンシャルの発生する向きを考えると （u,v）＝−（u,v） ……（13） となる。今、ポテンシャル最小値を与える曲面上の点を
u1,v1とすると、ポテンシャルベクトルは、 （u1,v1）＝−（u1,v1） ……（14） となる。ポテンシャル最小値を与えるu1,v1上の面法線
と（u1,v1）の向きは一致するので、u1,v1の面法線ベ
クトルをとすると Ｓ＝（u1,v1）・ ……（15） を行なうことによってポテンシャルの符号が決定でき、
その結果半空間領域の向き付けを行なうことができる。

ポテンシャル最小なる曲面上のパラメータ値（u1,v1）
を求めれば、自由曲面に対し半空間の領域分けを行なう
ことができる。

以上のことに基づいてパラメータ値（u1,v1）を求めれ
ばよいのであるが、解析的に（u1,v1）を求めることは
不可能なため、探索法を用いて求める必要がある。すな
わち、曲面上に探索初期位置（u0,v0）を設定し、その
時のΨ（u0,v0）に対してその極小値は−grad Ψ（u0,
v0）方向にあることは理解できる。

ここで となるので−▽Ψ＝ −｜▽Ψ|cosθ１−｜▽Ψ|cosθ２ ……（17） となる。これは、（−｜▽Ψ|cosθ1,−｜▽Ψ|cosθ
２）方向に求めたい解があることを示している。ここ
で、Ψ（u0,v0）は明らかに与点Ｐとの距離であるの
で、次に求める位置は u1＝−Ψ（u0,v0）｜▽Ψ|cosθ１＋u0 v1＝−Ψ（u0,v0）｜▽Ψ|cosθ２＋v0 ……（18） となる。ここで、＝（u,v）とすると上記（18）式は
一般に、 ｉ＝−Ψ（ｉ−１）▽Ψ（ｉ−１）＋ｉ−１…
…（19） と書ける。Ψ（ｉ−１）は探索ステップ，−▽Ψ（
ｉ−１）は探索方向を示している。この式により次の探
索位置を求め、その探索位置毎に Ｓ＝（−（ｉ）・＝Ｓ（は面法線） ……（2
0） をモニタすればよい。Ｓ≒１又はＳ≒−１となった時の
Xiがポテンシャル最小の位置である。

以上の理論を具体的に説明する。

第23図に示すように、曲面１は２つのパラメータu,vで
表現され、実空間で任意に指定したた点の位置ベクトル Ｐとする。今、初期パラメータ値を（Pu,Pv）とし、曲
面１上の位置ベクトル（Pu,Pv）とすると、ベクトル
は ＝−（Pu,Pv） ……（21） となり、このベクトルに対して ＝∂／∂ｕ×∂／∂ｖ ……（22） /|｜≒/|｜ ……（23） であれば、｜｜は曲面１から任意点に対する最短距離
にある。

次に、上記（23）式を満足するようなパラメータ（Pu,P
v）を求める手法を説明する。第24図はパラメータ（Pu,
Pv）点での曲面１の接平面1Aを示すもので、接平面1Aに
はu,v各方向に接線ベクトルが存在する。この接平面1A
にベクトルを投影した′を計算すると、 ′＝（×）× ……（24） によってベクトルの方向を計算し、後に ′＝｜|sinθ′/|′｜ ……（25） の計算をすることによって求めることができる。そし
て、このベクトル′に対して、接平面1A上に存在する
u,v方向の接線ベクトル（u,ｖ）向きの成分を計算
する。その計算は、各方向成分を各々TU,TVとし、ｕ
とｘ軸，ｖとｙ軸のなす角をθ，Ψとすると TU＝Ｖ′×cosθ−Vy sinθ ……（26） TV＝−Ｖ′×sinΨ−Vy cosΨ ……（27） となる。このTU,TVを基にそれに見合う大きさのパラメ
ータ量分だけ、初期のパラメータから移動させたパラメ
ータが、より上記（23）式を満足させる可能性のある曲
面位置を示しているといえる。このパラメータの計算は
面のu,v方向の曲面の境界線長さをDU,DVとすると PUnew＝PU＋TU/DU ……（28） PVnew＝PV＋TV/DV ……（29） で行なわれる。この結果を基に再び（20）式へ戻り、
（23）式が満足されるまでこの処理を繰り返す。（23）
式を満足した｜｜は、面からの距離を表わす。しか
し、このままでは面の表裏どちらの方向か明確化しない
ので、次に説明する極性判定を行なう必要がある。

そこで、上記（23）式を したＶ′に対して の計算を行なうと、以下に示すようにと′の開き角
が90°以上の時にANは負、90°以下の時にANは正とな
る。また、と′はほぼ同一直線上に存在するので AN≒1;面法線ベクトルと同方向 −1;面法線ベクトルと逆方向 となり、評価関数値を とすれば、形状内外の判定可能な評価関数となる。

面境界での評価関数の取扱いとして、評価関数の適用可
能な領域範囲が存在する。評価関数は任意のスキャン点
に対して形状を表現する面の面法線方向の距離で表わ
す。そのため、第27図に示すような適用範囲が存在す
る。しかし、評価関数の演算を行なわせる際、上記（2
8）及（29）式の結果がこの領域外になることがある。
この位置は曲面１上に存在しないため、その位置からス
キャン点に対して面法線を立てるのは不可能であり、領
域外の評価関数の取扱いについて特別に考慮しなくては
ならない。

ここでは、第28図に示すようなベクトルを評価ベクト
ルとする。すなわち、パッチ４の境界線５に垂直な面法
線６に対して、境界線５に直交するベクトルを考え、そ
の垂直方向ベクトルを評価ベクトルとするのである。
このような評価ベクトルを用いると、評価関数は近似
的にではあるが第29図に示すようにパッチ曲面４からの
距離を明確化し、かつ面４に対する上下関係（表裏関
係）を明確化する。その演算法は上記（28）及び（29）
式の結果が第30図に示すＡ〜Ｈの領域のどこに属するか
を判定する。これはパラメータ空間上での領域判定であ
る。この判定は、パラメータ空間上で形状内部を表現す
る領域を負とするようなＦ（u,v）≦０なる関係を各境
界線毎に用意し（４本）、その値を全て比較することで
容易に行なうことができる。次に、第31図に示すよう
に、パラメータ空間上での前回の探索位置P1と、上記
（28）及び（29）式の結果P2から求めることができる直
線と形状境界との交点IPを求める。直線の式は であるので、交点IPは容易に求めることができる。この
パラメータを基に再び′を求める処理を行なう。この
処理を経ても尚（28）及び（29）式の結果P2が領域外で
あるなら、境界線とスキャン点に対し第32図で示すよう
な探索を行なって行き、 ′・＝０ ……（45） となるようなu,vパラメータを求め、第27図に示すよう
な評価関数値を求める極性は前述と同一である。なお、
第32図は境界線５に上の点（u,v）とスキャン点SCとの
間をベクトル′で表わし、点（u,v）における接線ベ
クトルをで示している。そして、（45）式の結果を得
る手法は第33図に示す通りである。

以上が自由曲面評価演算処理45における自由曲面に対す
る評価方法である。

以上のように自由曲面の評価が可能になったことによ
り、次に示すような２つの自由曲面間の交線を求めるこ
とができる。第25図に示すように、２つの曲面4A及び4B
のどちらか一方の面上にスキャンライン７を設定し、そ
のライン７上の点について上記手法に基づく評価法を用
いる。この際、この評価法によって計算される評価関数
とスキャンラインとの関係は第26図のようになり、この
評価関数の０となる位置がスキャンライン７と面4Aとの
交点となり、全てのスキャンライン７についてこの交点
を求めると、その交点群は曲面4A及び4B間の交線を表わ
すことになる。

以上の処理は数式化形状処理41においても同様である。

面交線の抽出を、第34図のフローチャートを参照して詳
細に説明する。面交線の抽出は第12図に示す面交線演算
処理104で行なわれるものであり、アプリケーション対
応の処理43には１つの曲面上に乗っている走査ライン上
の位置ベクトルが与えられる。なお、走査ラインはパラ
メータ空間上で設定される。

先ず第25図に示すような２つの曲面4A及び4Bを考え、た
とえば曲面4B上の境界線にSSPを始点とするスタート走
査ライン7Aを設定し（ステップS1）、曲面4B上の点を上
述した方法でパラメータ補間する（ステップS2）。そし
て、曲面4B上の点に対して曲面4Aからの面法線ベクトル
を計算し（ステップS3）、ベクトルの大きさが零である
か否かを判定し（ステップS4）、零でない場合はベクト
ルの大きさに合せ、曲面4B上の点を走査ライン7Aに沿っ
て移動し（ステップS7）、上記ステップS2にリターンす
る。また、ベクトルの大きさが零の場合はこれを交線座
標としてメモリにストアし（ステップS5）、曲面4Bの全
面について終了したか否かを判定する（ステップS6）。
全面終了でない場合は、次の走査ライン7Bを設定し（ス
テップS8）、上記ステップS2にリターンする。

ここで、第34図に示した処理を第12図に基づいて説明す
る。第25図に示した曲面4Aは、形状データ入力装置10を
介して自由曲面データ23に格納される。そこで、面交線
演算処理104は、先ず走査線を発生させる曲面4Bを用い
てパラメータ補間により探索点Snを発生させる。その探
索点Snは、アプリケーション対応の処理44へ渡される。
アプリケーション対応の処理44は、複数のアプリケーシ
ョン（101〜104）に対応する入力切換を行なっており、
したがって探索点SnはSP2として自由曲面評価演算処理4
5へ渡される。自由曲面評価演算処理45においては、前
述した探索法による処理が行なわれる。即ち、探索点SP
2への曲面4Aからの法線ベクトルが求められ、形状情報
スタックエリア46へ渡される。この場合には形状データ
20には１つの曲面しか可能されていないので、形状情報
スタックエリア46のデータはセットオペレーション42へ
渡され、その結果TSとして得られる。曲面線演算処理10
4は、このTSに基づいて次の探索点を求める。そして、
以上の処理をTSの値即ちベクトルの大きさが０になるま
で繰り返し、０になると次の走査線に対して同様の処理
を行なう。

一方、複数の曲面が形状データ20に格納されているとす
ると、それぞれの曲面に対する自由曲面評価演算処理45
における処理結果は、形状情報スタックエリア46へ一度
格納される。即ち、全ての曲面について評価演算処理が
行なわれる。全ての曲面についての処理が終ると、セッ
トオペレーション42の処理が行なわれる。これは、例え
ば第11図，第14図，第15図及び第16図にあるように複数
の曲面が組合わさって１つの物体を構成しているとき、
その物体からの法線ベクトルを求める処理とする。即
ち、個々の曲面の各々について法線ベクトルとして用い
るのに最も適したものを選び出すという処理である。
尚、個々の曲面がどのように組合あわさっているかは、
形状データ20中の物体構造データ21として記述される。

第35図は、NC装置300内に上述の如き工具軌跡生成機能
を組込んだ際の処理の流れを示す。通常の処理は紙テー
プ307のNCの情報を読込み（303）、そのNC情報を表わし
ているキャラクタイメージのデータをバイナリ変換する
（304）。そのバイナリデータを基に指令情報の解析処
理を行ない（305）、サーボ処理（306）を行なってその
出力を工作機械308に与える。NC装置300に工具軌跡生成
機能302を組込むと、直接バイナリデータを出力できる
こと、直線補間の連続であるため指令情報解析が不要で
あること等の利点があり、これにより処理の高速化が期
待できる。このため、NC装置300が工具軌跡生成機能を
有することは有効であり、形状データ301を入力して工
具軌跡TPを生成してサーボ処理（306）すれば、入力さ
れた形状データに従った加工を行なうことができる。よ
って、前述の形状抽出処理部40をNC装置300内に工具軌
跡生成処理302として組込めば、セットオペレーション
された全体形状情報TSを工具軌跡TPとして利用すること
ができる。この場合、複雑形状の加工の際に必要となる
NC指令情報は膨大な量となりその取扱いが問題となる
が、それに対して工具軌跡生成処理（302）をするため
の形状データ301は非常にコンパクトな量であり、その
取扱いも容易である。また、第36図は上記NC装置300の
ハードウエアの構成例を示し、工具軌跡生成処理部312
と従来のNCコントロール部の接続は２通り考えられる。
１つは、工具軌跡生成処理部312を内部に置く利点を十
分に生かす方法であり、これは図示実線で示すように工
具軌跡生成処理部312及びNCコントロール部のCPU310が
共通に利用可能なRAM311を設け、このRAM311を介して相
互に情報伝達するものである。これによるとデータ転送
時のロス時間がなくなり、高速処理が可能である。もう
１つは、従来のNCコントロール部との間に、図示破線部
のようにインターフェース313を設けて接続する方法で
ある。この方法を用いると処理速度にデータ転送速度の
影響が含まれるので、全体的に処理速度が遅くなる。

なお、第35図の例では、形状データ301をNC装置300内で
直接工具軌跡生成処理（302）するようにしているが、
第37図に示すようにNC情報と共に紙テープ307に入力
し、指令情報の読込み時に、NC情報か形状データかを判
定して振分けるようにすることも可能である。

（発明の効果） 以上のようにこの発明のCAD/CAMシステムにおける面交
線抽出方式によれば、CSG方式に自由曲面を適用して面
交線を抽出することができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は２次元図形についてのセットオペレーションを
説明するための図、第２図は曲面の点群による表示例を
示す図、第３図はXYZ実空間とuvパラメータ空間の関係
を示す図、第４図〜第６図は実空間とパラメータ空間と
の間の関係を説明するための図、第７図はＢ−Repsによ
る従来のシステム例を示すブロック図、第８図は立体形
状の一例を示す図、第９図及び第11図は第８図の立体形
状の分解例を説明するための図 第10図はCSGによる従来のシステム例を示すブロック
図、第12図はこの発明方法を実現するシステム例を示す
ブロック図、第13図〜第16図はセットオペレーションを
説明するための図第17図は曲面の補間を説明するための
図第18図はCoons補間式を説明するための図第19図〜第2
4図はこの発明による自由曲面の評価の原理を説明する
ための図第25図及び第26図はこの発明の自由曲面の具体
的な評価を説明するための図第27図〜第33図は自由曲面
の極性判定の手法を説明するための図第34図はこの発明
方式を示すフローチャート、第35図及び第36図はNC装置
に対する具体的応用例を示すブロック構成図、第37図は
更に別の例を示すブロック構成図である。 １……曲面、1A……接平面、２……点群（ノード）、３
……矩形領域、４……パッチ、10……形状データ入力装
置、20……形状データ、30……数式化形状処理部、31…
…加工情報、40……形状抽出処理部、41……数式化形状
処理、42……セットオペレーション、43,44……アプリ
ケーション対応の処理、45……自由曲面評価演算処理、
46……形状情報スタックエリア、200……立体形状。

Claims (1)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】形状データ及び物体構造データが入力され
   る入力装置と、前記形状データ及び前記物体構造データ
   を用いてセットオペレーションを行う形状抽出処理部
   と、前記形状抽出処理部から出力される全体形状情報に
   基づいて画面表示処理等を行なうアプリケーション処理
   部とを具備したCAD/CAMシステムにおいて、前記形状デ
   ータとして実空間内で数式化形状を表す数式化形状デー
   タ及び／又はパラメータ空間内で自由曲面形状を表す自
   由曲面データを入力し、前記数式化形状データ及び／又
   は前記自由曲面データが複数ある場合、それらのうち任
   意の２つの形状データを取出し、取り出した形状データ
   を用いた収束演算により、一方の形状データが表す面上
   の任意の位置から他方の形状データが表す面への面法線
   ベクトルを求めてその距離を求めるという処理を繰返
   し、前記距離の大きさが零となったときは前記任意の２
   つの形状データが表す面が交差しているとして、当該交
   差面が作る面交線上に前記距離の大きさが零となったと
   きの前記任意の位置が存在するとする一連の処理を繰返
   して前記面交線を抽出し、抽出した面交線を表す前記形
   状データを用いて前記セットオペレーションを行うよう
   にしたことを特徴とするCAD/CAMシステムにおける面交
   線抽出方式。