JPH07306247A - 誘導電動機の定数同定方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【目的】 誘導電動機の定数同定を、速度センサを用い
たりすることなく高精度に実現すること。 【構成】 電動機力率をＰf 、一次端子電圧をＶ_１φ、
一次抵抗をＲ₁ 、一次電流をＩ₁ 、電源角周波数をω、
一次漏れインダクタンスをＬ₁₁、励磁インダクタンスを
Ｌ_m として、ステータ方程式 Ｐf Ｖ_１φ−Ｒ₁ Ｉ₁ ＝｛（Ｖ_１φ（１−Ｐf ² ）^1/2 −ωＬ₁₁Ｉ₁ ）×（ω
（Ｌ₁₁＋Ｌ_m ）Ｉ₁ −Ｖ_１φ（１−Ｐf ² ）^1/2 ）｝
^1/2 を定義し、この定義に基づいて立てた連立方程式の解と
して一次漏れインダクタンスＬ₁₁、励磁インダクタンス
Ｌ_m および一次抵抗Ｒ₁ を同定し、その同定結果を用い
て二次等価抵抗Ｒ₂₁および鉄損抵抗Ｒ_h1を同定する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、誘導電動機の定数同定
方法、より詳細には、誘導電動機における一次抵抗、一
次漏れインダクタンス、励磁インダクタンス、鉄損抵抗
および二次抵抗を同定する方法に関する。

【０００２】

【従来の技術】誘導電動機の固有の各定数を用いてそれ
を等価回路に表現することができ、それを特性解析に用
いうることは周知のところである。誘導電動機の等価回
路における定数としては、一次抵抗、一次漏れインダク
タンス、鉄損抵抗、励磁インダクタンスおよび二次抵抗
並びにすべりなどが存在する。

【０００３】以上のような等価回路を完成させ所望の特
性解析を行うために、古くから最も多く用いられてきた
定数同定方法のための手段として、無負荷試験、拘束試
験、および直流による一次抵抗測定を行い、近似的に各
定数を同定する方法が知られている。

【０００４】この同定方法のための測定試験は通常、誘
導電動機が現実に設置されている現場で行われるため、
種々の困難を伴うのが第一の欠点である。そもそもこの
試験による同定方法は近似的なものであり、そうなる最
大の原因は、負荷運転時において常に誘導電動機におい
て成立する、諸定数間の相関方程式が不明であったこと
による。さらに、冒頭に述べた諸定数を同定するために
行われる上述の無負荷試験というのは、望ましくはあく
までも誘導電動機にとって完全無負荷（二次抵抗無限
大）の状態で行うべきであるが、回転子の質量がゼロと
いうことが現実にはありえない以上、本当の意味の無負
荷試験は現実にはありえない。従って、この方法による
定数同定方法はあくまで近似的なものにならざるをえな
い。

【０００５】誘導電動機を直流機なみに高精度に制御す
るための技術としてベクトル制御と称される制御技術が
最近広く用いられている。ところが、この制御方式は温
度変化や磁気飽和による定数変動の影響を受けやすいた
め、その影響を可及的に回避するための一つの手段とし
て、適応制御による定数の同定方法が提案されている
（海田英俊「適応磁束演算による誘導機の高精度トルク
制御」、平２電学全大、ＩＥＡ−９０−３２）。しか
し、この方法を実施するには速度センサを必要するた
め、機械装置に組み込み済の場合などのように、これを
取り付けるのが困難な場合には適用することができな
い。仮に取り付け可能としても、漏れインダクタンス同
定器や一次抵抗設定器という同定器のほかに、磁束演算
部を必要とし、ソフトウェアおよびハードウェアの両面
で重装備かつ高コストになる。さらに、この方法の場
合、無負荷低速で一次抵抗を測定し、消費電力から機械
損の影響を可及的に除去し設定する必要がある。この一
次抵抗は電源周波数および温度により常に変化し、ま
た、その設定誤差が存在すると、二次磁束、出力トルク
および二次抵抗の演算にも影響が波及し、誘導電動機の
制御性能が低下するので初期設定の再調整を必要とす
る。このように初期設定および調整を必要とする点も、
この方法の不都合な点である。

【０００６】

【発明が解決しようとする課題】従って、本発明は上述
の欠点のない誘導電動機の定数同定方法を提供すること
を目的とする。さらに詳述するならば、本発明の目的
は、誘導電動機の定数同定を、速度センサを用いたりす
ることなく高精度に実現しうる誘導電動機の定数同定方
法を提供することにある。

【０００７】

【課題を解決するための手段】請求項１による発明は、
電動機力率をＰf 、一次端子電圧をＶ_１φ、一次抵抗を
Ｒ₁ 、一次電流をＩ₁ 、電源角周波数をω、一次漏れイ
ンダクタンスをＬ₁₁、励磁インダクタンスをＬ_m とし
て、ステータ方程式 Ｐf Ｖ_１φ−Ｒ₁ Ｉ₁＝｛（Ｖ_１φ（１−Ｐf ² ）^1/2
−ωＬ₁₁Ｉ₁ ）×（ω（Ｌ₁₁＋Ｌ_m ）Ｉ₁ −Ｖ_１φ（１
−Ｐf ² ）^1/2 ）｝^1/2 を定義し、電源角周波数ωを一定として、前記ステータ
方程式に基づく３つの連立方程式の解として一次漏れイ
ンダクタンスＬ₁₁、励磁インダクタンスＬ_m および一次
抵抗Ｒ₁ を同定する誘導電動機の定数同定方法を要旨と
するものである。

【０００８】請求項２の発明は、請求項１に記載の定数
同定方法において、３つの異なる電源角周波数ωのもと
で、前記ステータ方程式に基づく３つの連立方程式の解
として一次漏れインダクタンスＬ₁₁、励磁インダクタン
スＬ_m および一次抵抗Ｒ₁ を同定する誘導電動機の定数
同定方法を要旨とするものである。

【０００９】請求項３による発明は、電動機力率をＰf
、一次端子電圧をＶ_１φ、一次抵抗をＲ₁ 、一次電流
をＩ₁ 、電源角周波数をω、一次漏れインダクタンスを
Ｌ₁₁、励磁インダクタンスをＬ_m として、ステータ方程
式 Ｐf Ｖ_１φ−Ｒ₁ Ｉ₁＝｛（Ｖ_１φ（１−Ｐf ² ）^1/2
−ωＬ₁₁Ｉ₁ ）×（ω（Ｌ₁₁＋Ｌ_m ）Ｉ₁ −Ｖ_１φ（１
−Ｐf ² ）^1/2 ）｝^1/2 を定義し、電源角周波数ωを一定値に維持したまま、３
つの異なる値の一次端子電圧Ｖ_１φ（ｉ），Ｖ
_１φ（ｊ），Ｖ_１φ（ｋ）に対応する一次電流Ｉ
₁ （ｉ），Ｉ₁ （ｊ），Ｉ₁ （ｋ）および電動機力率Ｐ
f （ｉ），Ｐf （ｊ），Ｐf （ｋ）をそれぞれ測定し、
その測定結果および前記ステータ方程式に基づいて一次
漏れインダクタンスＬ₁₁、励磁インダクタンスＬ_m およ
び一次抵抗Ｒ₁ を同定する誘導電動機の定数同定方法を
要旨とするものである。

【００１０】請求項４の発明は、電動機力率をＰf 、一
次端子電圧をＶ_１φ、一次等価抵抗をＲ₁ 、一次電流を
Ｉ₁ 、電源角周波数をω、一次漏れインダクタンスをＬ
₁₁、励磁インダクタンスをＬ_m として、ステータ方程式 Ｐf Ｖ_１φ−Ｒ₁ Ｉ₁＝｛（Ｖ_１φ（１−Ｐf ² ）^1/2
−ωＬ₁₁Ｉ₁ ）×（ω（Ｌ₁₁＋Ｌ_m ）Ｉ₁ −Ｖ_１φ（１
−Ｐf ² ）^1/2 ）｝^1/2 を定義し、３つの異なる値の電源角周波数ω_i ，ω_j ，
ω_k に対応する一次電流Ｉ₁ （ｉ），Ｉ₁ （ｊ），Ｉ₁
（ｋ）および電動機力率Ｐf （ｉ），Ｐf （ｊ），Ｐf
（ｋ）をそれぞれ測定し、その測定結果および前記ステ
ータ方程式に基づいて一次漏れインダクタンスＬ₁₁、励
磁インダクタンスＬ_m および一次抵抗Ｒ₁を同定する誘
導電動機の定数同定方法を要旨とするものである。

【００１１】請求項５による発明は、請求項１ないし４
のいずれかに記載の定数同定方法において、二次等価抵
抗をＲ₂₁、ｋ₀ およびｋ₁ を誘導電動機固有の定数（た
だし、ｋ₀ ＞ｋ₁ ＞０）として、等価鉄損抵抗Ｒ_h1を、 Ｒ_h1＝Ｒ₂₁（ω＋ｋ₁ ）／（ｋ₀ ω） として定義するとともに、すべりをｓとして、等価トル
クパラメータＺおよび見掛けトルクパラメータＺ_o を、 Ｚ＝ｓωＬ_m ， Ｚ_o ＝Ｚ＋ωＬ_m ／Ｒ_h1 として、３つの異なる値の電源角周波数ω_i ，ω_j ，ω
_k のもとで拘束試験（すべりｓ＝１）を行い、その試験
結果に従って定数ｋ₀ ，ｋ₁ を同定し、その同定された
定数ｋ₀ ，ｋ₁ に基づいて鉄損抵抗Ｒ_h1を同定する誘導
電動機の定数同定方法を要旨とするものである。

【００１２】

【作用】請求項１による発明は、ステータ方程式 Ｐf Ｖ_１φ−Ｒ₁ Ｉ₁＝｛（Ｖ_１φ（１−Ｐf ² ）^1/2
−ωＬ₁₁Ｉ₁ ）×（ω（Ｌ₁₁＋Ｌ_m ）Ｉ₁ −Ｖ_１φ（１
−Ｐf ² ）^1/2 ）｝^1/2 を定義し、電源角周波数ωを一定として、ステータ方程
式に基づく３つの連立方程式の解として一次漏れインダ
クタンスＬ₁₁、励磁インダクタンスＬ_m および一次抵抗
Ｒ₁ を同定する。この同定方法によれば、高精度のステ
ータ方程式に基づいて各定数を同定するので、速度セン
サを用いたりすることなく、高精度の定数同定を実現す
ることができる。

【００１３】請求項２ないし４の発明は、誘導電動機駆
動用電源装置として可変周波数・可変電圧を出力しうる
インバータ装置を備えている場合に有利に実施しうるも
のであって、各定数同定を高精度に実現することができ
る。

【００１４】請求項５による発明は、請求項１ないし４
のいずれかに記載の定数同定方法によって求められた一
次漏れインダクタンスＬ₁₁、励磁インダクタンスＬ_m お
よび一次抵抗Ｒ₁ を用い、さらに等価トルクパラメータ
Ｚおよび見掛けトルクパラメータＺ_o を介して定数
ｋ₀ ，ｋ₁ を求め、その求められた定数ｋ₀ ，ｋ₁ に基
づいて鉄損抵抗Ｒ_h1を同定することにより、鉄損抵抗Ｒ
_h1の同定を高精度に実現することができる。

【００１５】

【実施例】まず、本発明による定数同定方法の説明に先
立ち、前提とする等価回路と、論理の展開過程で用いる
符号について一応の説明をしておく。

【００１６】図２は本発明が前提とする誘導電動機の等
価回路を示すものである。この等価回路は等価鉄損抵抗
を考慮した１相分のＴ−Ｉ型等価回路を示すものであ
り、各定数の符号並びに電流・電圧を次の通りに定め
る。なお、電圧・電流は、本来はベクトル表示をすべき
ものであるが、表記の都合上、ここではベクトル表記を
省略する。 Ｒ₁ ： 一次等価抵抗 ［Ω］ Ｒ_h1 ： 等価鉄損抵抗 ［Ω］ Ｒ₂₁ ： 二次等価抵抗 ［Ω］ Ｌ₁₁ ： 一次等価漏れインダクタンス ［Ｈ］ Ｌ_m1 ： 等価励磁インダクタンス ［Ｈ］ ｓ ： すべり ω ： 電源角周波数 [rad／sec] Ｖ_１φ： 一次端子電圧 ［Ｖ］ Ｉ₁ ： 一次電流 ［Ａ］ Ｉ_Rh1 ： 鉄損電流 ［Ａ］ Ｉ_i ： ＝Ｉ₁ −Ｉ_Rh1 ［Ａ］ Ｃ ： 励磁電流 ［Ａ］ Ｉ₂₁ ： 二次電流 ［Ａ］ さて、図２の等価回路において、電圧および電流に関し
次の電圧方程式および電流方程式が成立する。 電圧方程式 Ｖ_１φ＝（Ｒ₁ ＋ｊωＬ₁₁）Ｉ₁ ＋Ｒ_h1
Ｉ_Rh1 ０＝ｊωＬ_m1Ｃ−Ｒ_h1Ｉ_Rh1 ０＝（Ｒ₂₁／ｓ）Ｉ₂₁＋ｊωＬ_m1Ｃ 電流方程式 Ｉ₁ ＝Ｉ_i ＋Ｉ_Rh1 Ｃ＝Ｉ_i ＋Ｉ₂₁ ここで、等価トルクパラメータＺ、および見掛けトルク
パラメータＺ_o を次のように定義する。 Ｚ＝（ｓωＬ_m1）／Ｒ₂₁ Ｚ_o ＝Ｚ＋（ωＬ_m1）／Ｒ_h1 また、補助パラメータＡ_o ，Ｂ_o を次のように定義す
る。 Ａ_o ＝Ｒ₁ −ωＬ₁₁Ｚ_o ＝Ｒ₁ −Ｘ₁₁Ｚ_o Ｂ_o ＝Ｒ₁ Ｚ_o ＋ω（Ｌ₁₁＋Ｌ_m1） ＝Ｒ₁ Ｚ_o ＋Ｘ₁₁＋Ｘ_m1 ここで励磁電流Ｃを基準として考え、その振幅をＣ_o と
すれば、 Ｃ＝Ｃ_o ｅ^ｊθ （ｊ² ＝−１） であり、電圧・電流方程式から、 Ｖ_１φ＝（Ａ_o ＋ｊＢ_o ）Ｃ …（１） Ｉ₁ ＝（１＋ｊＺ_o ）Ｃ …（２） Ｉ₂₁＝−ｊＺＣ …（３） Ｉ_i ＝（１＋ｊＺ）Ｃ Ｉ_Rh1 ＝ｊ（Ｚ_o −Ｚ）Ｃ の結果を得ることができる。

【００１７】従って、振幅（実効値）表示（スカラ）
は、 Ｖ_１φ＝Ｃ_o （Ａ_o ² ＋Ｂ_o ² ）^1/2 ［Ｖ］ …（４） Ｉ₁ ＝Ｃ_o （１＋Ｚ_o ² ）^1/2 ［Ａ］ …（５） Ｉ₂₁＝Ｃ_o Ｚ ［Ａ］ …（６） （Ｉ_i ＝Ｃ_o （１＋Ｚ² ）^1/2 Ｉ_Rh1 ＝（Ｘ_m ／Ｒ_h1）Ｃ_o 、ただし、Ｘ_m ＝ωＬ_m1 ） となる。

【００１８】次に、図３を参照しながら電圧Ｖ_１φと電
流Ｉ₁ の位相差φを考える。また、θ_V1，θ_I1はそれぞ
れ電圧Ｖ_１φおよび電流Ｉ₁ の位相であるとする。

【００１９】前述の通り、Ｃ＝Ｃ_o ｅ^ｊθ であるか
ら、 Ｖ_１φ＝（Ａ_o ² ＋Ｂ_o ² ）^1/2 ×（Ａ_o ／（Ａ_o ² ＋
Ｂ_o ² ）^1/2 ＋ｊＢ_o ／（Ａ_o ² ＋Ｂ_o ² ）^1/2 ）Ｃ ＝Ｃ_o （Ａ_o ² ＋Ｂ_o ² ）^1/2 ｅ^ｊθV1 Ｉ₁ ＝（１＋Ｚ_o ² ）^1/2 ×（１／（１＋
Ｚ_o ² ）^1/2 ）＋ｊＺ_o ／（１＋Ｚ_o ² ）^1/2 ）Ｃ ＝Ｃ_o （１＋Ｚ_o ² ）^1/2 ｅ^ｊθI1 図３に示すごとく、φ＝θ_V1−θ_I1であるから、力率Ｐ
f ＝cos φは、 Ｐf ＝cos （θ_V1−θ_I1）＝cos θ_V1cos θ_I1＋sin θ
_V1sin θ_I1 ＝（Ｂ_o Ｚ_o ＋Ａ_o ）／（（１＋Ｚ_o ² ）^1/2 （Ａ_o ²
＋Ｂ_o ² ）^1/2 ） を得る。つまり、 Ｐf ＝（Ａ_o ＋Ｂ_o Ｚ_o ） ／（（１＋Ｚ_o ² ）^1/2 （Ａ_o ² ＋Ｂ_o ² ）^1/2 ） …（７） よって、入力すなわち消費電力Ｐ_i ［Ｗ］は、三相機の
場合、 Ｐ_i ＝３Ｖ_１φＩ₁ ＝３Ｃ_o ² （Ａ_o ＋Ｂ_o Ｚ_o ） ＝３Ｃ_o ² （Ｘ_m Ｚ_o ＋（１＋Ｚ_o ² ）Ｒ₁ ） となる。

【００２０】また、一次銅損（オーム損）Ｗ_1c、二次銅
損Ｗ_2cおよび鉄損Ｗ_hiはそれぞれ次のようになる。 Ｗ_1c＝３Ｒ₁ Ｉ₁ ² ＝３Ｃ_o ² （１＋Ｚ_o ² ）Ｒ₁ Ｗ_2c＝３Ｒ₂₁Ｉ₂₁ ² ＝３Ｃ_o ² Ｚ² Ｒ₂₁ Ｗ_hi＝３Ｒ_h1Ｉ_Rh1 ² ＝３Ｃ_o ² Ｘ_m ² ／Ｒ_h1 であるから、全損失Ｗ_H は、 Ｗ_H ＝３Ｃ_o ² （（１＋Ｚ_o ² ）Ｒ₁ ＋Ｚ² Ｒ₂₁＋Ｘ_m
² ／Ｒ_h1） となり、二次入力Ｐ_i2は、 Ｐ_i2＝３（Ｒ₂₁／ｓ）Ｉ₂₁ ² ＝３Ｃ_o ² Ｒ₂₁（Ｚ／ｓ）
Ｚ ＝３Ｃ_o ² Ｘ_m Ｚ よって、出力Ｐ_o は、 Ｐ_o ＝Ｐ_i2−Ｗ_2c＝３Ｃ_o ² （Ｘ_m −Ｒ₂₁Ｚ）Ｚ となる。

【００２１】機械回転の角周波数ω_m は、Ｐ_e を電動機
の極数とすれば、Ｚ＝ｓＸ_m ／Ｒ₂₁を用いて、 ω_m ＝（２／Ｐ_e ）（１−ｓ）ω ＝（２／Ｐ_e ）（（Ｘ_m −Ｒ₂₁Ｚ）／Ｘ_m ）ω ＝２（Ｘ_m −Ｒ₂₁Ｚ）／（Ｐ_e Ｌ_m1） となるから、誘導電動機の出力トルクＴq ［Ｎ・ｍ］
は、Ｐ_o ＝ω_m Ｔq に基づき、 Ｔq ＝Ｐ_o ／ω_m ＝３Ｐ_e Ｌ_m1Ｃ_o ² Ｚ／２ となることが分かる。

【００２２】以上のことを要約すれば、 Ｐ_i ＝３Ｃ_o ² （Ｘ_m Ｚ_o ＋（１＋Ｚ_o ² ）Ｒ₁ ） …（８） Ｐ_o ＝３Ｃ_o ² （Ｘ_m −Ｒ₂₁Ｚ）Ｚ …（９） Ｗ_H ＝Ｐ_i −Ｐ_o ＝３Ｃ_o ² （（１＋Ｚ_o ² ）Ｒ₁ ＋Ｚ² Ｒ₂₁＋（Ｚ_o −Ｚ）Ｘ_m ） …（１０） Ｔq ＝３Ｐ_e Ｌ_m1Ｃ_o ² Ｚ／２ …（１１） ω_m ＝（２／Ｐ_e ）（１−ｓ）ω …（１２） となる。

【００２３】誘導電動機のエネルギー方程式によれば、
実効等価抵抗をＤ、実効等価リアクタンスをＭ、Ｘ₁₁＝
ωＬ₁₁として、 ｑ＝Ｖ_１φ／Ｉ₁ Ｄ＝（Ｖ_１φ／Ｉ₁ ）Ｐf ＝ｑ・Ｐf ＝Ｒ₁ ＋Ｘ_m Ｚ_o ／（１＋Ｚ_o ² ） 従って、 Ｄ−Ｒ₁ ＝Ｘ_m Ｚ_o ／（１＋Ｚ_o ² ） …（１３） また、Ｍに関しては、 Ｍ＝（Ｖ_１φ／Ｉ₁ ）（１−Ｐf ² ）^1/2 ＝ｑ（１−Ｐ
f ² ）^1/2 ＝Ｘ₁₁＋Ｘ_m ／（１＋Ｚ_o ² ） であるから、 Ｍ−Ｘ₁₁＝Ｘ_m ／（１＋Ｚ_o ² ） …（１４） である。また（１４）式を用いれば、 （Ｘ₁₁＋Ｘ_m ）−Ｍ＝Ｘ_m Ｚ_o ² ／（１＋Ｚ_o ² ） …（１５） （１３）式〜（１５）式の関係は、 Ｄ−Ｒ₁ ＝（（Ｍ−Ｘ₁₁）（Ｘ₁₁＋Ｘ_m −Ｍ））^1/2 …（１６） となる。この（１６）式は任意の負荷運転中に誘導電動
機のステータにおいて常に成立する関係を表している。

【００２４】すなわち、誘導電動機の負荷運転時、力率
Ｐf 、一次電圧（相電圧値）Ｖ_１φおよび一次電流値Ｉ
₁ を計測すれば、そのときの誘導電動機のステータ側に
おける、電動機定数間に存在する関係のすべては（１
６）式をより具体的に表現した次の（１７）式によって
記述することができる。なお、ｆは電源周波数［Ｈz ］
であり、ω＝２πｆである。 Ｐf Ｖ_１φ−Ｒ₁ Ｉ₁ ＝（（Ｖ_１φ（１−Ｐf ² ）^1/2 −Ｘ₁₁Ｉ₁ ） ×（（Ｘ₁₁＋Ｘ_m ）Ｉ₁ −Ｖ_１φ（１−Ｐf ² ）^1/2 ））^1/2 …（１７） この（１７）式をステータ方程式と呼称する。

【００２５】さて、一連の計測ルーチンについて図１を
参照しながら説明する。第１の方法 電源の角周波数ωすなわち周波数ｆを固定し、異なる３
つの電圧値 Ｖ_１φ＝Ｖ_１φ（ｉ） Ｖ_１φ＝Ｖ_１φ（ｊ） Ｖ_１φ＝Ｖ_１φ（ｋ） を誘導電動機に印加し、各場合の電流値Ｉ₁ （ｉ），Ｉ
₁ （ｊ），Ｉ₁ （ｋ）および入力電力値Ｐ_i （ｉ），Ｐ
_i （ｊ），Ｐ_i （ｋ）を測定する（図１：ステップ１
０）。印加すべき電圧値の具体例としては、定格電圧の
１００％、９０％，８０％でありうる。

【００２６】次にｉ，ｊ，ｋ３つの場合の測定値におい
てそれぞれの力率Ｐf （ｉ），Ｐf（ｊ），Ｐf （ｋ）
を計算する。

【００２７】Ｐf （ｉ）＝Ｐ_i （ｉ）／（Ｖ_１φ（ｉ）
・Ｉ₁ （ｉ）） Ｐf （ｊ）＝Ｐ_i （ｊ）／（Ｖ_１φ（ｊ）・Ｉ
₁ （ｊ）） Ｐf （ｋ）＝Ｐ_i （ｋ）／（Ｖ_１φ（ｋ）・Ｉ
₁ （ｋ）） このようにして得られた各データを用い、それぞれに対
応する（１３）式および（１４）式による（Ｄ−Ｒ₁ ）
および（Ｍ−Ｘ₁₁）に代入する。

【００２８】 Ｄ_i −Ｒ₁ ＝（Ｘ_m Ｚ_oi）／（１＋Ｚ_oi ² ） …（１８） Ｄ_j −Ｒ₁ ＝（Ｘ_m Ｚ_oj）／（１＋Ｚ_oj ² ） …（１９） Ｄ_k −Ｒ₁ ＝（Ｘ_m Ｚ_ok）／（１＋Ｚ_ok ² ） …（２０） Ｍ_i −Ｘ₁₁＝Ｘ_m ／（１＋Ｚ_oi ² ） …（２１） Ｍ_j −Ｘ₁₁＝Ｘ_m ／（１＋Ｚ_oj ² ） …（２２） Ｍ_k −Ｘ₁₁＝Ｘ_m ／（１＋Ｚ_ok ² ） …（２３） （１８），（１９）および（２１），（２２）式を用い
て、 Ｄ_ij＝Ｄ_i −Ｄ_j ＝（（Ｚ_oi−Ｚ_oj）（１−Ｚ_oiＺ_oj）） ／（（１＋Ｚ_oi ² ）（１＋Ｚ_oj ² ））Ｘ_m …（２４） Ｍ_ij＝Ｍ_i −Ｍ_j ＝−（（Ｚ_oi−Ｚ_oj）（Ｚ_oi＋Ｚ_oj）） ／（（１＋Ｚ_oi ² ）（１＋Ｚ_oj ² ））Ｘ_m …（２５） （２４），（２５）式から、 β_ij＝Ｄ_ij／Ｍ_ij＝（Ｚ_oiＺ_oj−１）／（Ｚ_oi＋Ｚ_oj） ∴ （Ｚ_oi＋Ｚ_oj）β_ij＝（Ｚ_oiＺ_oj−１） …（２６） 上記と同様にして次式を得ることができる。

【００２９】 （Ｚ_oj＋Ｚ_ok）β_jk＝（Ｚ_ojＺ_ok−１） …（２７） （Ｚ_ok＋Ｚ_oi）β_ki＝（Ｚ_okＺ_oi−１） …（２８） このようにして得られた（２６）〜（２８）式を解いて
Ｚ_oi，Ｚ_oj，Ｚ_okの値を求め、さらにＸ₁₁（＝ω
Ｌ₁₁），Ｘ_m1（＝ωＬ_m1），Ｒ₁ の同定を行う（ステッ
プ１１）。

【００３０】（２６）式から、 Ｚ_oi＝（β_ijＺ_oj＋１）／（Ｚ_oj−β_ij） …（２９） ∴ Ｚ_ok＋Ｚ_oi＝（β_ijＺ_oj＋（Ｚ_ojＺ_ok＋１）） ／（Ｚ_oj−β_ij） …（３０） Ｚ_okＺ_oi−１＝（β_ij（Ｚ_ojＺ_ok＋１）−（Ｚ_oj−Ｚ_ok）） ／（Ｚ_oj−β_ij） …（３１） （３０），（３１）式を（２８）式に代入して整理すれ
ば、 （β_ijβ_ki＋１）（Ｚ_oj−Ｚ_ok） ＋（β_ki−β_ij）（Ｚ_ojＺ_ok＋１）＝０ …（３２） また、（２７）式から、 Ｚ_ojＺ_ok＋１＝β_jk（Ｚ_oj＋Ｚ_ok）＋２ …（３３） よって、（３３）式を（３２）式に代入して整理すれ
ば、 Ｚ_oj＝（１／ｋ₁ ）（ｋ₂ Ｚ_ok−２（β_ki−β_ij）） ＝（１／ｋ₁ ）（ｋ₂ Ｚ_ok−（ｋ₁ −ｋ₂ ）／β_jk） …（３４） となる。

【００３１】 ただし、ｋ₁ ＝１−β_ijβ_jk＋β_jkβ_ki＋β_kiβ_ij …（３５） ｋ₂ ＝１＋β_ijβ_jk−β_jkβ_ki＋β_kiβ_ij …（３６） ２（β_ki−β_ij）＝（ｋ₁ −ｋ₂ ）／β_jk …（３７） である。

【００３２】従って、 Ｚ_oj＋Ｚ_ok＝（１／ｋ₁ ）（（ｋ₁ ＋ｋ₂ ）Ｚ_ok −（ｋ₁ −ｋ₂ ）／β_jk） …（３８） Ｚ_ojＺ_ok−１＝（１／ｋ₁ ）（（ｋ₂ Ｚ_ok ² −（ｋ₁ −ｋ₂ ）Ｚ_ok／β_jk−ｋ₁ ） …（３９） （３８）式，（３９）式を（２７）式に用いて、 Ｚ_ok ² −２ｋ₃ Ｚ_ok−１＝０ …（４０） となる。ただし、 ｋ₃ ＝（β_jk ² （ｋ₁ ＋ｋ₂ ）＋（ｋ₁ −ｋ₂ ））／（２ｋ₂ β_jk） …（４１） である。

【００３３】ここで、Ｚ_ok＞０であるから、（４０）式
から、Ｚ_okは、 Ｚ_ok＝ｋ₃ ＋（ｋ₃ ² ＋１）^1/2 …（４２） となる。

【００３４】よって、Ｚ_ojは（３４）式から、 Ｚ_oj＝（１／ｋ₁ ）（（ｋ₂ ｋ₃ −（ｋ₁ −ｋ₂ ）／β_jk） ＋ｋ₂ （ｋ₃ ² ＋１）^1/2 ） …（４３） また、Ｚ_oiは（２９）式から、 Ｚ_oi＝β_ij＋（（ｋ₁ β_ij ² ＋１） ／（（ｋ₂ ｋ₃ −（ｋ₁ −ｋ₂ ）／β_jk ＋ｋ₂ （ｋ₃ ² ＋１）^1/2 ）−ｋ₁ β_ij）） …（４４） となる。

【００３５】なお、実際の計算は、 ｋ₃ ＝（β_ijβ_jkβ_ki−β_ij＋β_jk＋β_ki）／（１＋β
_ijβ_jkβ_ki（（１／β_ki）−（１／β_ij）＋（１／
β_jk））） からＺ_okを算出して行う。

【００３６】このようにしてＺ_oi，Ｚ_oj，Ｚ_okの各値を
求めた後、Ｘ₁₁，Ｘ_m1，Ｒ₁ の同定を行う。まず、（２
５）式から、 Ｘ_m ＝Ｍ_ij（１＋Ｚ_oi ² ）（１＋Ｚ_oj ² ）／（Ｚ_oj ² −Ｚ_oi ² ） …（４５） ∴ Ｌ_m1＝Ｍ_ij（１＋Ｚ_oi ² ）（１＋Ｚ_oj ² ） ／（ω（Ｚ_oj ² −Ｚ_oi ² ）） …（４６） （４５）式を（２１）式に代入して、 Ｘ₁₁＝Ｍ_i −Ｘ_m ／（１＋Ｚ_oi ² ） ＝Ｍ_i −Ｍ_ij（１＋Ｚ_oj ² ）／（Ｚ_oj ² −Ｚ_oi ² ） ＝（Ｍ_i Ｍ_ij（Ｚ_oi ² −Ｚ_oj ² ）＋（１＋Ｚ_oj ² ）） ／（Ｚ_oi ² −Ｚ_oj ² ） ∴ Ｌ₁₁＝（Ｍ_i Ｍ_ij（Ｚ_oi ² −Ｚ_oj ² ）＋（１＋Ｚ_oj ² ）） ／（ω（Ｚ_oi ² −Ｚ_oj ² ）） …（４７） 次に、（４５）式を（１８）式に代入して、 Ｒ₁ ＝Ｄ_i −（Ｘ_m Ｚ_oi）／（１＋Ｚ_oi ² ） ＝Ｄ_i ＋Ｍ_ijＺ_oi（１＋Ｚ_oj ² ）／（Ｚ_oi ² −Ｚ_oj ² ） ＝（Ｄ_i （Ｚ_oi ² −Ｚ_oj ² ）＋Ｚ_oiＭ_ij（１＋Ｚ_oj ² ）） ／（Ｚ_oi ² −Ｚ_oj ² ） …（４８） 以上のようにして（４６）〜（４８）式の形で定数Ｌ_m1
（等価励磁インダクタンス）、Ｌ₁₁（一次等価漏れイン
ダクタンス）およびＲ₁ （一次等価抵抗）を同定するこ
とができた（ステップ１１）。

【００３７】一般に、一次電流Ｉ₁ が過大にならないよ
うに制御すれば、等価励磁インダクタンスＬ_m1および一
次等価漏れインダクタンスＬ₁₁は一定とみなすことがで
きるので、インダクタンスＬ_m1，Ｌ₁₁を一定とすれば、
温度変化に応じて変化する抵抗Ｒ₁ の値は、ｎ回目の値
として（４８）式に基にして、 Ｒ₁ (n) ＝Ｄ(n) −Ｘ_m (n) Ｚ_o (n) ／（１＋Ｚ_o (n) ² ）…（４９） として求めればよい。第２の方法 次に、角周波数ω＝２πｆ［ rad／sec ］を３つの値ω
_i ，ω_j ，ω_k のもとで電流・電圧の測定を行い各定数
を同定する方法について説明する。この場合、定格角周
波数をω_r として、例えば、ω_i ＝（１／３）ω_r ，ω
_j ＝（２／３）ω_r ，ω_k ＝（３／３）ω_r ＝ω_r であ
る。

【００３８】まず便宜上、各角周波数の逆数をとる。 Ｃ_i ＝１／ω_i ，Ｃ_j ＝１／ω_j ，Ｃ_k ＝１／ω_k …（５０） 角周波数ω_i ，ω_j ，ω_k のもとで電流Ｉ₁ (i) Ｉ
₁ (j) Ｉ₁ (k) および力率Ｐf (i) ，Ｐf (j) ，Ｐf
(k) を測定し、ｉ，ｊ，ｋそれぞれの場合について、Ｄ
_i ，Ｄ_j ，Ｄ_k ，Ｍ_i ，Ｍ_j ，Ｍ_k の値を演算すること
は、すでに述べたところと同一である。

【００３９】次に、以下のように定義する。 Ａ_i ＝Ｃ_i Ｄ_i ，Ａ_j ＝Ｃ_j Ｄ_j ，Ａ_k ＝Ｃ_k Ｄ_k …（５１） Ｂ_i ＝Ｃ_i Ｍ_i ，Ｂ_j ＝Ｃ_j Ｍ_j ，Ｂ_k ＝Ｃ_k Ｍ_k …（５２） 以上の定義に従い、（１８）〜（２３）式から、サフィ
ックスｎ＝ｉ，ｊ，ｋとして、 Ｄ_n −Ｒ₁ ＝ω_n Ｌ_m1Ｚ_on／（１＋Ｚ_on ² ） ∴ Ａ_n −Ｃ_n Ｒ₁ ＝Ｚ_onＬ_m1／（１＋Ｚ_on ² ） …（５３） Ｍ_n −ω_n Ｌ₁₁＝ω_n Ｌ_m1／（１＋Ｚ_on ² ） ∴ Ｂ_n −Ｌ₁₁＝Ｌ_m1／（１＋Ｚ_on ² ） …（５４） となる。

【００４０】また、 Ｚ_on＝（Ｄ_n −Ｒ₁ ）／（Ｍ_n −ω_n Ｌ₁₁） ＝（Ａ_n −Ｃ_n Ｒ₁ ）／Ｂ_n −Ｌ₁₁ ∴ Ｂ_n −Ｌ₁₁＝（Ａ_n −Ｃ_n Ｒ₁ ）／Ｚ_on …（５５） である。

【００４１】ここで、 Ａ_ij＝Ａ_i −Ａ_j ＝Ｃ_i Ｄ_i −Ｃ_j Ｄ_j Ｂ_ij＝Ｂ_i −Ｂ_j ＝Ｃ_i Ｍ_i −Ｃ_j Ｍ_j Ｃ_ij＝Ｃ_i −Ｃ_j ＝Ｃ_i Ｄ_i −Ｃ_j Ｄ_j と表すことにすれば、（５３）式から、 Ａ_ij−Ｃ_ijＲ₁ ＝Ｌ_m1（Ｚ_oj−Ｚ_oi）（Ｚ_oiＺ_oj−１） ／（（１＋Ｚ_oi ² ）（１＋Ｚ_oj ² ）） …（５６） 同様に、（５４），（５５）式から、 Ｂ_ij＝Ｌ_m1（Ｚ_oj−Ｚ_oi）（Ｚ_oi＋Ｚ_oj） ／（（１＋Ｚ_oi ² ）（１＋Ｚ_oj ² ）） …（５７） Ｂ_ij＝（１／（Ｚ_oiＺ_oj）） ×（（Ａ_i Ｚ_oj−Ａ_j Ｚ_oi）＋（Ｃ_j Ｚ_oi−Ｃ_i Ｚ_oj）Ｒ₁ ） …（５８） ∴ Ｒ₁ ＝（Ｂ_ijＺ_oiＺ_oj＋（Ａ_j Ｚ_oi−Ａ_i Ｚ_oj）） ／（Ｃ_j Ｚ_oi−Ｃ_i Ｚ_oj） …（５９） （５６），（５７）式からＬ_m1を消去し、それに（５
９）式を用いてＲ₁ を消去すれば、ｉ，ｊに関して、 （Ａ_i Ｃ_j −Ａ_j Ｃ_i ）（Ｚ_oi−Ｚ_oj）（Ｚ_oi＋Ｚ_oj） ＝Ｂ_ij（（Ｃ_i Ｚ_oi−Ｃ_j Ｚ_oj）Ｚ_oiＺ_oj −（Ｃ_j Ｚ_oi−Ｃ_i Ｚ_oj）） …（６０） 同様に、ｊ，ｋおよびｋ，ｉに関して、 （Ａ_j Ｃ_k −Ａ_k Ｃ_j ）（Ｚ_oj−Ｚ_ok）（Ｚ_oj＋Ｚ_ok） ＝Ｂ_jk（（Ｃ_j Ｚ_oj−Ｃ_k Ｚ_ok）Ｚ_ojＺ_ok −（Ｃ_k Ｚ_oj−Ｃ_j Ｚ_ok）） …（６１） （Ａ_k Ｃ_i −Ａ_i Ｃ_k ）（Ｚ_ok−Ｚ_oi）（Ｚ_ok＋Ｚ_oi） ＝Ｂ_ki（（Ｃ_k Ｚ_ok−Ｃ_i Ｚ_oi）Ｚ_okＺ_oi −（Ｃ_i Ｚ_ok−Ｃ_k Ｚ_oi）） …（６２） を得ることができる。なお、ここでは、 Ｚ_oi≠Ｚ_oj≠Ｚ_ok≠Ｚ_oi Ｚ_oiＺ_oj≠１ ，Ｚ_ojＺ_ok≠１ ，Ｚ_okＺ_oi≠１ Ｃ_j Ｚ_oi≠Ｃ_i Ｚ_oj，Ｃ_k Ｚ_oj≠Ｃ_j Ｚ_ok，Ｃ_i Ｚ_ok≠
Ｃ_k Ｚ_oi と前提しているが、この仮定は後述のごとく一般的に成
立するものである。

【００４２】（６０）〜（６２）式に基づいてＺ_oi，Ｚ
_oj，Ｚ_okを求めることにより、定数Ｒ₁ ，Ｌ₁₁，Ｌ_m1を
同定することができる。

【００４３】Ｚ_oi，Ｚ_oj，Ｚ_okの値が求まれば、次式か
ら定数Ｌ_m1，Ｌ₁₁，Ｒ₁ を同定することができる。 Ｌ_m1＝Ｂ_ij（１＋Ｚ_oi ² ）（１＋Ｚ_oj ² ）／（Ｚ_oj ² −Ｚ_oi ² ） …（６３） Ｌ₁₁＝（Ｍ_i ／ω_i ）−Ｌ_m1／（１＋Ｚ_oi ² ） …（６４） Ｒ₁ ＝Ｄ_i −ω_i Ｌ_m1Ｚ_oi／（１＋Ｚ_oi ² ） …（６５）第３の方法 ステータ方程式 Ｄ−Ｒ₁ ＝（（Ｍ−ωＬ₁₁）ω（Ｌ₁₁＋Ｌ_m1）−Ｍ）
^1/2 を直接適用して定数Ｌ_m1，Ｌ₁₁，Ｒ₁ を同定することも
できる。以下、ぞれについて説明する。

【００４４】 Ｘ_n ＝ｇ_n （Ｄ_n −Ｒ₁ ） ， Ａ_n ＝ｇ_n Ｍ_n ， ｌ＝２πＬ₁₁ ， Ｌ＝２π（Ｌ₁₁＋Ｌ_m1） ， １／ｆ_n ＝ｇ_n ， ω_n ＝２πｆ_n ＝２π／ｇ_n …（６６） と表すことにし、上記ステータ方程式をｉ，ｊ，ｋの３
状態に適用して、 Ｘ_i ＋Ａ_i ² ＋ｌＬ＝（ｌ＋Ｌ）Ａ_i …（６７） Ｘ_j ＋Ａ_j ² ＋ｌＬ＝（ｌ＋Ｌ）Ａ_j …（６８） Ｘ_k ＋Ａ_k ² ＋ｌＬ＝（ｌ＋Ｌ）Ａ_k …（６９） を得る。この（６７）〜（６９）式に基づいて定数
Ｌ_m1，Ｌ₁₁，Ｒ₁ の値を求める。

【００４５】 Ｂ_ij＝Ａ_i −Ａ_j ＝ｇ_i Ｍ_i −ｇ_j Ｍ_j Ｃ_ij＝Ａ_i ＋Ａ_j ＝ｇ_i Ｍ_i ＋ｇ_j Ｍ_j …（７０） とし、（６７）〜（６９）式に関する各２つの式の差に
基づき、ｌＬの項を消去した次式を得る。 （Ｘ_i ² −Ｘ_j ² ）＋Ｂ_ijＣ_ij＝（ｌ＋Ｌ）Ｂ_ij …（７１） （Ｘ_j ² −Ｘ_k ² ）＋Ｂ_jkＣ_jk＝（ｌ＋Ｌ）Ｂ_jk …（７２） （Ｘ_k ² −Ｘ_i ² ）＋Ｂ_kiＣ_ki＝（ｌ＋Ｌ）Ｂ_ki …（７３） 次に、Ｂ_ijＣ_ij＋Ｂ_jkＣ_jk＋Ｂ_kiＣ_ki＝０を利用し、
（７１）〜（７３）式から（ｌ＋Ｌ）の項を消去するた
めに、（７１）式×Ｃ_ij，（７２）×Ｃ_jk，さらに（７
３）式×Ｃ_kiの操作を行うことにより、 Ｂ_jkＸ_i ² ＋Ｂ_kiＸ_j ² ＋Ｂ_ijＸ_k ² ＋（Ｂ_ijＣ_ij ² ＋Ｂ_jkＣ_jk ² ＋Ｂ_kiＣ_ki ² ）＝０ …（７４） となる。

【００４６】ここで、 Ｂ_jkＸ_i ² ＝Ｂ_jk（ｇ_i （Ｄ_i −Ｒ₁ ））² ＝Ｂ_jkｇ_i ² （Ｒ₁ ² −２Ｒ₁ Ｄ_i ＋Ｄ_i ² 等を（７４）式に用いてＲ₁ で整理すれば、 Ｅ_ijk Ｒ₁ ² −２Ｆ_ijk Ｒ₁ ＋Ｇ_ijk ＝０ …（７５） を得る。ただし、 Ｅ_ijk ＝Ｂ_jkｇ_i ² ＋Ｂ_kiｇ_j ² ＋Ｂ_ijｇ_k ² …（７６） Ｆ_ijk ＝Ｂ_jkｇ_i ² Ｄ_i ＋Ｂ_kiｇ_j ² Ｄ_j ＋Ｂ_ijｇ_k ² Ｄ_k …（７７） Ｇ_ijk ＝（Ｂ_jkｇ_i ² Ｄ_i ² ＋Ｂ_kiｇ_j ² Ｄ_j ² ＋Ｂ_ijｇ_k ² Ｄ_k ² ） ＋（Ｂ_ijＣ_ij ² ＋Ｂ_jkＣ_jk ² ＋Ｂ_kiＣ_ki ² ） …（７８） である。

【００４７】ここで、演算のチェックのために、ｆ_i ＝
ｆ_j ＝ｆ_k とすれば、 ｇ_i ² ＝ｇ_j ² ＝ｇ_k ² ， Ｂ_ij＋Ｂ_jk＋Ｂ_ki＝０ すなわち、Ｅ_ijk ＝０である。

【００４８】 また、Ｍ_ij＝Ｍ_i −Ｍ_j 、Ｎ_ij＝Ｍ_i ＋Ｍ_j …（７９） とすれば、（７５）式から次式を得ることができる。

【００４９】 Ｒ₁ ＝（（Ｍ_jkＤ_i ² ＋Ｍ_kiＤ_j ² ＋Ｍ_ijＤ_k ² ） ＋（Ｍ_ijＮ_ij ² ＋Ｍ_jkＮ_jk ² ＋Ｍ_kiＮ_ki ² ）） ／（２（Ｍ_jkＤ_i ＋Ｍ_kiＤ_j ＋Ｍ_ijＤ_k ）） …（８０） このチェック処理を終えた後、ｆ_i ≠ｆ_j ≠ｆ_k ≠ｆ_i
の場合について説明する。ここで、Ｅ_ijk ≠０とすれ
ば、（７５）式はＲ₁ について整理して次のように変形
することができる。 Ｒ₁ ² −２（Ｆ_ijk ／Ｅ_ijk ）Ｒ₁ ＋（Ｇ_ijk ／Ｅ_ijk ）＝０ …（８１） 詳細は後述するが、Ｒ₁ が安定して存在するためには、
Ｒ₁ の解として得られる２つの根のうち、一つは正、他
の一つは負である必要がある。よって、 Ｅ_ijk ・Ｆ_ijk ＜０ …（８２） そして、このとき、（８１）式を解いて正の根をとり、 Ｒ₁ ＝（Ｄ_R1）^1/2 ＋（Ｆ_ijk ／Ｅ_ijk ） …（８３） ただし、 （Ｄ_R1）^1/2 ＝（Ｆ_ijk ² −Ｅ_ijk ・Ｆ_ijk ）^1/2 ／｜Ｅ_ijk ｜ …（８４） である。

【００５０】なお、Ｅ_ijk ・Ｆ_ijk ＜０であれば、 （Ｄ_R1）^1/2 ＞｜Ｆ_ijk ² ／Ｅ_ijk ｜ …（８５） である。また、概算としても、Ｄ_R1＝０は常に成立する
訳ではない。これについては後述する。

【００５１】よって求めるＲ₁ は、ｆ_i ≠ｆ_j ≠ｆ_k ≠
ｆ_i のとき、（８３），（８４）式で表されたＲ₁ の値
である。

【００５２】このようにして（８０），（８３）式でＲ
₁ が求まれば、Ｘ_i ，Ｘ_j ，Ｂ_ij，Ｃ_ij等の各値が定ま
るので、例えば（７１）式から（ｌ＋Ｌ）が、また（６
７）式から（ｌＬ）の値がそれぞれ求まる。そうすれ
ば、ｌ，Ｌの値は、ｔ² −（ｌ＋Ｌ）ｔ＋ｌＬ＝０ の
２根（Ｌ＞ｌ＞０）として求まる。すなわち、 Ｌ＝（１／２）（（ｌ＋Ｌ）＋（（ｌ＋Ｌ）² −４ｌＬ）^1/2 ） …（８６） ｌ＝（１／２）（（ｌ＋Ｌ）−（（ｌ＋Ｌ）² −４ｌＬ）^1/2 ） …（８７） よって、Ｌ₁₁＋Ｌ_m1＝Ｌ／（２π），Ｌ₁₁＝ｌ／（２
π）であるから、 Ｌ₁₁＝（１／４π）（（ｌ＋Ｌ）−（（ｌ＋Ｌ）² −４ｌＬ）^1/2 ） …（８８） Ｌ_m1＝（１／２π）（（ｌ＋Ｌ）² −４ｌＬ）^1/2 …（８９） として定まる。

【００５３】なお、Ｚ_oi，Ｚ_oj，Ｚ_okの値は、以上の結
果得られた定数を用いることにより求めることができ
る。

【００５４】以上の演算により、誘導電動機の一次側定
数は電動機のステータ方程式という自然法則を用いて直
接的に同定することができたことになる。

【００５５】従来は例えばＡＴＲ（オート・チューニン
グ・レギュレーション）での手法にに従い自然現象の結
果としての数値（例えばＶ_{1 φ}，Ｉ₁ 等）を用いて複数
回の演算を繰り返し行うことにより、Ｒ₁ ，Ｌ₁₁，Ｌ_m1
を同定していたのに対し、以上述べた本発明による同定
方法は、簡単化された技術であり、そのコストも低下す
る。

【００５６】次に等価鉄損抵抗Ｒ_h1の同定方法について
説明する。

【００５７】等価回路（図２参照）から明らかなよう
に、等価鉄損抵抗Ｒ_h1と二次抵抗Ｒ₂₁に係るＲ₂₁／ｓと
は並列接続関係にあるので、抵抗Ｒ_h1に発生する鉄損Ｗ
_hiは抵抗Ｒ₂₁の影響を受ける。この点に関して従来の理
論は不備なものであった。

【００５８】本発明による鉄損Ｗ_hiの表示式は角周波数
ωに対して変曲点を有しない。もし、変曲点があるとす
れば、回転子を構成する鉄心コイルの磁性体において、
そのヒステリシスおよび比抵抗が変曲点を与える特定の
角周波数ωの電磁波とエネルギーとの間に相互作用を有
していることを意味する。磁性体の物性理論は誘導電動
機に用いられる超低周波の電磁場領域におけるこのよう
な現象を否定している。すなわち、鉄損Ｗ_hiの表示に関
係する抵抗Ｒ_h1の表示式は指数形式ではなく、最も単純
化される場合には双曲線形式である。

【００５９】プランクの電磁放射論によれば、角周波数
に対する光子（電磁場）エネルギーのスペクトル強度は
一定の規則で示される。誘導電動機においては、電磁場
のエネルギーは機械仕事（出力）およびヒステリシス
（磁束Ｂと起磁力Ｈの位相のずれ）、渦電流（電磁誘
導）の各損失となって分岐するが、そのエネルギー損失
量の割合を決定するものは、その時の電磁場の振幅およ
び角周波数と各磁性体の透磁率、比抵抗およびスピン強
度の特性であるから、鉄損Ｗ_hiおよび抵抗Ｒ_h1の値は、
磁束密度および角周波数ωに対して一義的に定まるはず
である。

【００６０】因に、従来の鉄損表示式（スタインメッ
ツ、宮入等）は角周波数ωを固定（例えば、ｆ＝５０Ｈ
z または６０Ｈz ）した実験式であり、関数形式として
角周波数ωの拡大に対して現実面での矛盾点を有してい
る。よって、新しい鉄損表示式および鉄損抵抗表示式は
従来の鉄損実験式を、ｆ＝５０Ｈz または６０Ｈz にお
いて含み、かつ、ω→０に対しても安定して解析可能な
ものであることが必要である。

【００６１】以上の観点から本発明は鉄損Ｗ_hiおよび抵
抗Ｒ_h1に関し次の表示式を提案するものである。

【００６２】（７）式を導出した後で述べたように鉄損
Ｗ_hiは、 Ｗ_hi＝３Ｃ_o ² Ｘ_m ² ／Ｒ_h1＝３（Ｃ_o Ｌ_m1）² ω² ／
Ｒ_h1 である。

【００６３】ここで本発明においてはｋ₀ およびｋ₁ な
る電動機固有の係数（定数）を採用して、 Ｗ_hi＝３ｋ₀ （Ｃ_o Ｌ_m1）² ω³ ／（（ω＋ｋ₁ ）Ｒ₂₁）…（９０） と表現することにする。そうすれば、 Ｒ_hi＝（ω＋ｋ₁ ）Ｒ₂₁／（ｋ₀ ω） …（９２） この（９２）式は多くの実験結果を満足するものであ
り、係数ｋ₀ ，ｋ₁ の値を同定することにより、その結
果として運転中の誘導電動機のすべりｓおよび二次抵抗
Ｒ₂₁の値を、入力Ｐ_i を計測することにより順次同定す
ることができる。

【００６４】鉄損抵抗Ｒ_hiの表示式（９２式）中の係数
ｋ₀ ，ｋ₁ の同定方法について述べる。

【００６５】なお、ここでは、一次抵抗Ｒ₁ 、一次漏れ
インダクタンスＬ₁₁および励磁インダクタンスＬ_m はす
でに同定ずみであるとする。従って、見掛けトルクパラ
メータＺ_o の値も既知であるとする。見掛けトルクパラ
メータＺ_o は先の定義により、 Ｚ_o ＝（ｓωＬ_m1／Ｒ₂₁）＋（ωＬ_m1／Ｒ_hi） …（９３） である。ここで、Ｒ_hiに（９２）式を代入すれば、 Ｚ_o ＝ωＬ_m1｛（ｋ₀ ＋ｓ）ω＋ｋ₁ ｓ｝／｛（ω＋ｋ₁ ）Ｒ₂₁｝ …（９４） ここで、係数ｋ₀ ，ｋ₁ を同定するために、角周波数ω
を、ω_i ，ω_j ，ω_kの３点で誘導電動機の拘束（すべ
りｓ＝１）を行い、それぞれのときの見掛けトルクパラ
メータＺ_o の値として、Ｚ_oi，Ｚ_oj，Ｚ_okを計測する
（図１：ステップ１３，１４）。３つの角周波数の相互
関係は、同定精度を高めるために、 ω_j ＝２ω_i ， ω_k ＝３ω_i …（９５） とする。例えば、ω_i ＝２π・２０，ω_j ＝２π・４
０，ω_k ＝２π・６０である。

【００６６】次に、次のパラメータδ_kj，δ_ji，δ_kiを
導入する。 δ_kj＝（Ｚ_okω_j ）／（Ｚ_ojω_k ） …（９６） δ_ji＝（Ｚ_ojω_i ）／（Ｚ_oiω_j ） …（９７） δ_ki＝（Ｚ_okω_i ）／（Ｚ_oiω_k ） …（９８） この定義によれば、 δ_kj・δ_ji＝δ_ki …（９９） である。ここで、パラメータＺ_o および角周波数ωは既
知であるから、パラメータδ_kj，δ_ji，δ_kiの値も既知
であり、（９５）式の関係を用いれば、 （ω_k ／ω_j ）＞δ_kj＞１ （ω_j ／ω_i ）＞δ_ji＞１ （ω_k ／ω_i ）＞δ_ki＞１ であることも分かる。なおまた、 δ_ki−２δ_ji＋１＜０ ， ３δ_ki−４δ_ji＋１＞０ である。

【００６７】この同定のための計測は１秒ごとのデータ
を採用するので、二次抵抗Ｒ₂₁の値は不変とみなす。

【００６８】（９４）式を（９６），（９７）式に用い
ると、ｓ＝１であることを考慮して、 δ_kj＝（ω_j ＋ｋ₁ ）（（１＋ｋ₀ ）ω_k ＋ｋ₁ ） ／｛（ω_k ＋ｋ₁ ）（（１＋ｋ₀ ）ω_j ＋ｋ₁ ）｝ …（１００） δ_ji＝（ω_i ＋ｋ₁ ）（（１＋ｋ₀ ）ω_j ＋ｋ₁ ） ／｛（ω_j ＋ｋ₁ ）（（１＋ｋ₀ ）ω_i ＋ｋ₁ ）｝ …（１０１） （９５）式の値を採用し、かつω_i ＝ωと代表表示する
ことにすれば、上述の（１００），（１０１）式は、 （２ω＋ｋ₁ ）（３ω＋ｋ₁ ）（δ_kj−１）（１＋ｋ₀ ） ＝ｋ₀ ｋ₁ ｛（３ω＋ｋ₁ ）δ_kj−（２ω＋ｋ₁ ）｝ …（１０２） （ω＋ｋ₁ ）（２ω＋ｋ₁ ）（δ_ji−１）（１＋ｋ₀ ） ＝ｋ₀ ｋ₁ ｛（２ω＋ｋ₁ ）δ_ji−（ω＋ｋ₁ ）｝ …（１０３） となる。

【００６９】（１０２）式を（１０３）式で割算して整
理すれば、 （３ω＋ｋ₁ ）（δ_kj−１）／｛（ω＋ｋ₁ ）（δ_ji−１）｝ ＝（（３ω＋ｋ₁ ）δ_kj−（２ω＋ｋ₁ ）） ／｛（２ω＋ｋ₁ ）δ_ji−（ω＋ｋ₁ ）｝ …（１０４） となり、これをｋ₁ について解けば、 ｋ₁ ＝ω_i （４δ_ji−１−３δ_ki）／（δ_ki−２δ_ji＋１） （＞０） …（１０５） を得る。

【００７０】（１０５）式を（１０３）式に代入してｋ
₀ を求めれば、 ｋ₀ ＝｛（δ_ji−１）ｋ₁ ＋（２δ_ji−１）ω_i ｝ ／｛（２−δ_ji）ｋ₁ −２（δ_ji−１）ω_i ｝−１ ＝２｛（δ_ji−１）（δ_kj−１）（δ_ki−１）｝ ／｛４δ_kj−δ_ki−３）（２δ_ji−δ_ki−１）｝ ＞０ …（１０６） を得ることができる。

【００７１】以上のようにして係数ｋ₀ ，ｋ₁ を同定す
ることができ、さらに、それに基づき（９２）式に従っ
て等価鉄損抵抗Ｒ_h1を演算し（ステップ１５）、それら
の演算結果をメモリに格納し（ステップ１６）、以降
は、このｋ₀ ，ｋ₁ を既知数として運転中の誘導電動機
の二次等価抵抗Ｒ₂₁、およびその時のすべりｓを同定す
ることができる。

【００７２】以上述べたように、本発明によれば、基本
波の電圧、電流および電力測定に基づいて、基本波に対
する等価回路定数を同定する。その理由は、トルクおよ
び回転速度は基本波に依存し、トルクリップルおよび速
度リップルは他の原因によるものであることを（インバ
ータ・パワー・モジュールの短絡防止時間の存在、およ
び誘導電動機の電磁振動などでその対応は別技術で可能
であること）から基本波で精度よく等価定数を求めれば
必要十分であることによる。本発明による一次抵抗Ｒ₁
の同定精度は極めて高いものである。また、従来必要と
した専用の定数同定器および磁束演算部を必要としない
ため、従来方法に比し低コストで実施することができ
る。

【００７３】本発明は誘導電動機の容量を問わずに等価
回路定数を同定することができる。これは特に従来、定
数同定が現実的に不可能であった大型の誘導電動機を組
み込んだ機械装置に対して制御性の向上を計る上での基
礎となる意味で重要なことである。

【００７４】

【発明の効果】以上詳述したように本発明によれば、速
度センサを用いたりすることなく、独自に導出したステ
ータ方程式に基づいて誘導電動機における定数同定を高
精度に実現することができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明による定数同定方法を実施する方法の手
順を示すフローチャート。

【図２】本発明の定数同定方法に用いる誘導電動機の等
価回路を示す図。

【図３】誘導電動機の電圧・電流のベクトル図。

【符号の説明】

Ｒ₁ 一次等価抵抗 Ｒ_h1 等価鉄損抵抗 Ｒ₂₁ 二次等価抵抗 Ｌ₁₁ 一次等価漏れインダクタンス Ｌ_m1 等価励磁インダクタンス ｓ すべり ω 電源角周波数 Ｖ_１φ 一次端子電圧 Ｉ₁ 一次電流 Ｉ_Rh1 鉄損電流 Ｃ 励磁電流 Ｉ₂₁ 二次電流

Claims (5)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】電動機力率をＰf 、一次端子電圧を
   Ｖ_１φ、一次抵抗をＲ₁ 、一次電流をＩ₁、電源角周波
   数をω、一次漏れインダクタンスをＬ₁₁、励磁インダク
   タンスをＬ_m として、ステータ方程式 Ｐf Ｖ_１φ−Ｒ₁ Ｉ₁＝｛（Ｖ_１φ（１−Ｐf ² ）^1/2
   −ωＬ₁₁Ｉ₁ ）×（ω（Ｌ₁₁＋Ｌ_m ）Ｉ₁ −Ｖ_１φ（１
   −Ｐf ² ）^1/2 ）｝^1/2 を定義し、電源角周波数ωを一定として、前記ステータ
   方程式に基づく３つの連立方程式の解として一次漏れイ
   ンダクタンスＬ₁₁、励磁インダクタンスＬ_m および一次
   抵抗Ｒ₁ を同定する誘導電動機の定数同定方法。
2. 【請求項２】請求項１に記載の定数同定方法において、
   ３つの異なる電源角周波数ω（ｉ），ω（ｊ），ω
   （ｋ）のもとで、前記ステータ方程式に基づく３つの連
   立方程式の解として一次漏れインダクタンスＬ₁₁、励磁
   インダクタンスＬ_m および一次抵抗Ｒ₁ を同定する誘導
   電動機の定数同定方法。
3. 【請求項３】電動機力率をＰf 、一次端子電圧を
   Ｖ_１φ、一次抵抗をＲ₁ 、一次電流をＩ₁、電源角周波
   数をω、一次漏れインダクタンスをＬ₁₁、励磁インダク
   タンスをＬ_m として、ステータ方程式 Ｐf Ｖ_１φ−Ｒ₁ Ｉ₁＝｛（Ｖ_１φ（１−Ｐf ² ）^1/2
   −ωＬ₁₁Ｉ₁ ）×（ω（Ｌ₁₁＋Ｌ_m ）Ｉ₁ −Ｖ_１φ（１
   −Ｐf ² ）^1/2 ）｝^1/2 を定義し、電源角周波数ωを一定値に維持したまま、３
   つの異なる値の一次端子電圧Ｖ_１φ（ｉ），Ｖ
   _１φ（ｊ），Ｖ_１φ（ｋ）に対応する一次電流Ｉ
   ₁ （ｉ），Ｉ₁ （ｊ），Ｉ₁ （ｋ）および電動機力率Ｐ
   f （ｉ），Ｐf （ｊ），Ｐf （ｋ）をそれぞれ測定し、
   その測定結果および前記ステータ方程式に基づいて一次
   漏れインダクタンスＬ₁₁、励磁インダクタンスＬ_m およ
   び一次抵抗Ｒ₁ を同定する誘導電動機の定数同定方法。
4. 【請求項４】電動機力率をＰf 、一次端子電圧を
   Ｖ_１φ、一次等価抵抗をＲ₁ 、一次電流をＩ₁ 、電源角
   周波数をω、一次漏れインダクタンスをＬ₁₁、励磁イン
   ダクタンスをＬ_m として、ステータ方程式 Ｐf Ｖ_１φ−Ｒ₁ Ｉ₁＝｛（Ｖ_１φ（１−Ｐf ² ）^1/2
   −ωＬ₁₁Ｉ₁ ）×（ω（Ｌ₁₁＋Ｌ_m ）Ｉ₁ −Ｖ_１φ（１
   −Ｐf ² ）^1/2 ）｝^1/2 を定義し、３つの異なる値の電源角周波数ω_i ，ω_j ，
   ω_k に対応する一次電流Ｉ₁ （ｉ），Ｉ₁ （ｊ），Ｉ₁
   （ｋ）および電動機力率Ｐf （ｉ），Ｐf （ｊ），Ｐf
   （ｋ）をそれぞれ測定し、その測定結果および前記ステ
   ータ方程式に基づいて一次漏れインダクタンスＬ₁₁、励
   磁インダクタンスＬ_m および一次抵抗Ｒ₁を同定する誘
   導電動機の定数同定方法。
5. 【請求項５】請求項１ないし４のいずれかに記載の定数
   同定方法において、二次等価抵抗をＲ₂₁、ｋ₀ およびｋ
   ₁ を誘導電動機固有の定数（ただし、ｋ₀ ＞ｋ₁ ＞０）
   として、等価鉄損抵抗Ｒ_h1を、 Ｒ_h1＝Ｒ₂₁（ω＋ｋ₁ ）／（ｋ₀ ω） として定義するとともに、すべりをｓとして、等価トル
   クパラメータＺおよび見掛けトルクパラメータＺ_o を、 Ｚ＝ｓωＬ_m ， Ｚ_o ＝Ｚ＋ωＬ_m ／Ｒ_h1 として、３つの異なる値の電源角周波数ω_i ，ω_j ，ω
   _k のもとで拘束試験（すべりｓ＝１）を行い、その試験
   結果に従って定数ｋ₀ ，ｋ₁ を同定し、その同定された
   定数ｋ₀ ，ｋ₁ に基づいて鉄損抵抗Ｒ_h1を同定する誘導
   電動機の定数同定方法。