JPH08249480A

JPH08249480A - Ｃａｄシステム，ならびにｃａｄシステムにおけるベジェ曲線のデータ変換装置および方法

Info

Publication number: JPH08249480A
Application number: JP7346932A
Authority: JP
Inventors: Hiroshi Iwamoto; 啓岩本; Naohide Nishimine; 尚秀西峰
Original assignee: Kao Corp
Current assignee: Kao Corp
Priority date: 1994-12-15
Filing date: 1995-12-14
Publication date: 1996-09-27
Anticipated expiration: 2015-12-14
Also published as: JP2811430B2

Abstract

(57)【要約】【目的】３次ベジェ曲線を始点および終点における勾
配を保存し，かつ，ほぼ同じ形状になるように，５次ベ
ジェ曲線に変換する。【構成】３次ベジェ曲線上の点を与えるパラメータが
等間隔で計算される。計算されたパラメータと３次ベジ
ェ曲線を規定する制御点を用いて３次ベジェ曲線上の点
が計算される。３次ベジェ曲線の始点および終点におけ
る単位接線ベクトルが計算される。計算されたパラメー
タ，３次ベジェ曲線上の点，ならびに始点および終点に
おける単位接線ベクトルを用いて，５次ベジェ曲線を規
定する制御点が計算される。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【技術分野】この発明は，ＣＡＤ(Computer Aided Desi
gn) システム，ならびにＣＡＤシステムにおけるベジェ
曲線のデータ変換装置および方法に関する。

【０００２】

【背景技術】新しい製品をデザインするときにデザイナ
（またはイラストレイタ）とエンジニアが協働する場合
がある。デザイナが製品の新しい形状のイラストを作成
し，このイラストを基にエンジニアが技術的な観点から
詳細な設計（製品設計と呼ばれる）を行う。

【０００３】デザイナが製品のイラストを作成するとき
には，イラストの作成に適した（イラスト用プログラム
が組込まれた）ＣＡＤシステム（以下，「簡易ＣＡＤシ
ステム」という。）が使用される。この簡易ＣＡＤシス
テムにおいては，点，直線（線分），自由曲線（３次ベ
ジェ曲線等）等の図形要素（セグメントまたは部品と呼
ばれることがある）を用いて様々な製品のイラストを作
成することができる。簡易ＣＡＤシステムでは，製品の
作成されたイラストに関するデータがＥＰＳＦ(Encapsu
lated PostScript Format)のフォーマットにより記述さ
れる。

【０００４】エンジニアが製品の設計を行うときには，
設計支援用ＣＡＤシステムが用いられる。設計支援用Ｃ
ＡＤシステムにおいても，点，直線（線分），自由曲線
（たとえば，５次ベジェ曲線等）等の図形要素を用いて
様々な製品の形状を設計することができる。設計支援用
ＣＡＤシステムでは，製品の設計された形状に関するデ
ータがこのシステムに固有のフォーマットにより記述さ
れる。

【０００５】簡易ＣＡＤシステムと設計支援用ＣＡＤシ
ステムでは異なるフォーマットでデータが記述されるの
で，一方のＣＡＤシステムから他方のＣＡＤシステムへ
データ・ファイルを伝達することはできない。データ・
フォーマットの変換のためにデータ交換仕様が用意され
ている。データ交換仕様の一例としてＩＧＥＳ(Initial
Graphics Exchange Specification )がある。このデー
タ交換仕様によってデータ・フォーマット変換をすれ
ば，異なるシステム間でデータを授受することができる
ようになる。

【０００６】簡易ＣＡＤシステムでは自由曲線は３次ベ
ジェ曲線で表わされ，設計支援用ＣＡＤシステムでは高
い精度が要求されるので，自由曲線は高次（たとえば５
次）ベジェ曲線で表わされる。データ変換仕様によって
３次ベジェ曲線を表わすデータを５次ベジェ曲線を表わ
すデータに変換することはできない。このため，簡易Ｃ
ＡＤシステムで作成された自由曲線データを含む製品に
関するイラスト・データを，そのまま設計支援用ＣＡＤ
システムで利用することはできない。従来は，デザイナ
が簡易ＣＡＤシステムを用いて作成したイラストによっ
て表わされる製品の形状と同じものを，エンジニアはデ
ザイナが用いた簡易ＣＡＤシステムとは別の設計支援用
ＣＡＤシステムを用いてはじめから作成しなおさなけれ
ばならなかった。すなわち，簡易ＣＡＤシステムで作成
したイラスト・データを設計支援用ＣＡＤシステムにお
いて利用することができなかった。

【０００７】

【発明の開示】この発明は，簡易ＣＡＤシステム（第１
のＣＡＤシステム）で作成されたイラストに関するデー
タを，設計支援用ＣＡＤシステム（第２のＣＡＤシステ
ム）で利用できるようにするものである。とくに，簡易
ＣＡＤシステムのデータを，設計支援用ＣＡＤシステム
で利用するためにはベジェ曲線に関するデータの次数変
換が必要である。

【０００８】この発明は，ＣＡＤシステムにおいてｎ次
ベジェ曲線をこれより高次もしくは低次，または同次の
ｍ次ベジェ曲線に変換できるベジェ曲線のデータ変換装
置および方法を提供することを目的としている。この発
明はまた，このようなデータ変換装置を含むＣＡＤシス
テムを提供する。ここで，ｎおよびｍは３以上の整数で
ある。

【０００９】この発明によるＣＡＤシステムは，製品を
表わす画像を表示するために，その画像を表わすデータ
をビット・マップ・メモリ上に展開するために必要な基
礎データのファイルであって，製品の曲線を表わすｎ次
ベジェ曲線を規定する制御点データを含むＣＡＤデータ
・ファイルを記憶するＣＡＤデータ・ベースを備えてい
る。

【００１０】この発明による，ｎ次ベジェ曲線を規定す
る制御点データをｍ次ベジェ曲線を規定する制御点デー
タに変換するデータ変換装置は，上記ＣＡＤデータ・ベ
ースに記憶されたＣＡＤデータ・ファイルからｎ次ベジ
ェ曲線を表わすデータを抽出するベジェ曲線抽出手段，
ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点をそれぞれ与える
（ｍ＋１）個のパラメータを，あらかじめ定められたパ
ラメータのとりうる範囲内で等間隔に決定する第１のパ
ラメータ決定手段，上記第１のパラメータ決定手段によ
って決定された（ｍ＋１）個のパラメータと，ｎ次ベジ
ェ曲線を規定する制御点データとを用いてｎ次ベジェ曲
線上の（ｍ＋１）個の点を表す座標データを決定する座
標決定手段，ｎ次ベジェ曲線の始点および終点のそれぞ
れにおける勾配を表す２つの単位接線ベクトルを，ｎ次
ベジェ曲線を規定する制御点データを用いて決定する接
線ベクトル決定手段，ならびに上記ｎ次ベジェ曲線上の
（ｍ＋１）個の点をそれぞれ与える（ｍ＋１）個のパラ
メータと，上記ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点を
表す座標データと，上記ｎ次ベジェ曲線の始点および終
点のそれぞれにおける２つの単位接線ベクトルとに基づ
いて，ｎ次ベジェ曲線の始点および終点における勾配を
保存し，かつｎ次ベジェ曲線上の点またはその近傍を通
るように，ｍ次ベジェ曲線を規定する制御点データを決
定する制御点決定手段を備えている。

【００１１】この発明によるＣＡＤシステムにおけるベ
ジェ曲線のデータ変換方法は，上記ＣＡＤデータ・ベー
スに記憶されたＣＡＤデータ・ファイルからｎ次ベジェ
曲線を表わすデータを抽出し，ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ
＋１）個の点をそれぞれ与える（ｍ＋１）個のパラメー
タを，あらかじめ定められたパラメータのとりうる範囲
内で等間隔に決定し，上記（ｍ＋１）個のパラメータ
と，ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データとを用いて
ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点を表す座標データ
を決定し，ｎ次ベジェ曲線の始点および終点のそれぞれ
における勾配を表す２つの単位接線ベクトルを，ｎ次ベ
ジェ曲線を規定する制御点データを用いて決定し，上記
ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点をそれぞれ与える
（ｍ＋１）個のパラメータと，上記ｎ次ベジェ曲線上の
（ｍ＋１）個の点を表す座標データと，上記ｎ次ベジェ
曲線の始点および終点のそれぞれにおける２つの単位接
線ベクトルとに基づいて，ｎ次ベジェ曲線の始点および
終点における勾配を保存し，かつｎ次ベジェ曲線上の点
またはその近傍を通るように，ｍ次ベジェ曲線を規定す
る制御点データを決定するものである。

【００１２】この発明の一実施態様においては，３次ベ
ジェ曲線を規定する制御点データが５次ベジェ曲線を規
定する制御点データに変換される。すなわち，ｎ＝３で
あり，かつｍ＝５である。

【００１３】この発明は，低次から高次への変換（ｎ＜
ｍ）に限られず，高次から低次への変換（ｎ＞ｍ）も行
うことができる。また同一の次数（ｎ＝ｍ）に変換する
こともでき，これは特に制御点の縮退を無くするときに
有効である。

【００１４】この発明によるＣＡＤシステム，ならびに
データ変換装置および方法は次のようなデザイン・シス
テムにおいて特に有用である。

【００１５】このデザイン・システムは第１のＣＡＤシ
ステムと第２のＣＡＤシステムとから構成される。

【００１６】第１のＣＡＤシステムは第１のデータ・フ
ァイルと第１の変換手段とを備えている。第１のデータ
・ファイルは曲線をもつ製品のイラストを表わすデータ
の集まりであり，上記曲線を表わすｎ次ベジェ曲線を規
定する制御点データを含む。第１の変換手段は，上記第
１のデータ・ファイルを，複数種類のＣＡＤシステムに
共通のデータ・フォーマットを持つ共通データ・ファイ
ルに変換するものである。

【００１７】第２のＣＡＤシステムは第２の変換手段と
ＣＡＤデータ・ベースとを備えている。第２の変換手段
は，第１のＣＡＤシステムから伝達された上記共通デー
タ・ファイルを，第２のＣＡＤシステムに固有のデータ
・フォーマットを持つＣＡＤデータ・ファイルに変換す
るものである。ＣＡＤデータ・ベースは，ｎ次ベジェ曲
線を規定する制御点データを含む，変換後のＣＡＤデー
タ・ファイルを記憶するものである。

【００１８】この発明によるＣＡＤシステムは上記デザ
イン・システムにおいて，第２のＣＡＤシステムに相当
する。

【００１９】上述した例で言うと，簡易ＣＡＤシステム
が第１のＣＡＤシステムに，設計支援用ＣＡＤシステム
が第２のＣＡＤシステムに相当する。

【００２０】簡易ＣＡＤシステムにおいて作成されたイ
ラストを表わすデータは，共通データ・ファイルである
ＩＧＥＳデータ・ファイルに変換された上で出力され
る。設計支援用ＣＡＤシステムにおいては，ＩＧＥＳデ
ータ・ファイルがＣＡＤデータ変換手段によりＣＡＤデ
ータ・ファイルに変換され，ＣＡＤデータ・ベースに記
憶される。ＩＧＥＳデータ・ファイルに含まれる自由曲
線はｎ次（３次）ベジェ曲線により表わされているか
ら，ＣＡＤデータ・ベースに記憶されているＣＡＤデー
タ・ファイルに含まれる自由曲線もｎ次（３次）ベジェ
曲線により表わされる。

【００２１】この発明によると，ｎ次ベジェ曲線上の
（ｍ＋１）個の点をそれぞれ与える（ｍ＋１）個のパラ
メータがあらかじめ定められたパラメータのとりうる範
囲内で等間隔に決定される。この（ｍ＋１）個のパラメ
ータとｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データとを用い
てｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点を表す座標デー
タが決定される。ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点デー
タを用いてｎ次ベジェ曲線の始点および終点のそれぞれ
における２つの単位接線ベクトルが決定される。（ｍ＋
１）個のパラメータと，（ｍ＋１）個の点を表す座標デ
ータと，２つの単位接線ベクトルとに基づいて，ｎ次ベ
ジェ曲線の始点および終点における勾配を保存し，かつ
ｎ次ベジェ曲線上の点またはその近傍を通るように，ｍ
次ベジェ曲線を規定する制御点データが決定される。

【００２２】すなわち，簡易ＣＡＤシステムにおいて作
成された製品のイラストに関するＩＧＥＳデータ・ファ
イルを変換して得られるＣＡＤデータ・ファイルに含ま
れるｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データが，設計支
援用ＣＡＤシステムにおいて要求されるｍ次ベジェ曲線
を規定する制御点データに変換される。この変換後のＣ
ＡＤデータ・ファイルによって表されるイラスト（図
面）を基礎として，設計支援用ＣＡＤシステム上で製品
の形状を作成することができる。

【００２３】このようにして，簡易ＣＡＤシステムで作
成されたイラストを表わすデータを，設計支援用ＣＡＤ
システムにおいてＣＡＤデータとして利用することがで
きるようになる。設計支援用ＣＡＤシステムにおいてエ
ンジニアはＣＡＤデータを用いて製品の設計を行うこと
ができる。

【００２４】したがって，エンジニアは簡易ＣＡＤシス
テム上で作成した製品のイラストと同一の製品の形状
を，設計支援用ＣＡＤシステム上で最初からその全部を
作成しなおす必要がなくなり，その手間が省ける。ま
た，ｍ次ベジェ曲線の制御点データは，ｎ次ベジェ曲線
の始点および終点における勾配を保存し，かつｍ次ベジ
ェ曲線がｎ次ベジェ曲線上の点またはその近傍を通るよ
うに変換されるから，製品の形状は簡易ＣＡＤシステム
において作成された製品のイラストと同じまたは非常に
近い形状となる。

【００２５】この発明によるＣＡＤシステムは，このよ
うにして得られたＣＡＤデータに基づいて製品を表わす
画像を表示装置に表示するための表示制御手段を備えて
いる。

【００２６】この表示制御手段は，データ変換手段によ
り変換されたｍ次ベジェ曲線を規定する制御点データを
含むＣＡＤデータに基づいて製品を表示するためのデー
タを作成する手段，および上記表示データをビット・マ
ップ・メモリ上に展開する手段を備えている。ビット・
マップ・メモリ上に展開されたデータによって反映され
る製品の画像がＣＡＤシステムの表示装置に表示され
る。

【００２７】ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点が縮退し
ている場合がある。縮退とはベジェ曲線の始点または終
点において，２つの制御点が重なっていることことをい
う。制御点が縮退している始点または終点においては接
線ベクトルを定義できない。

【００２８】この発明によると，始点または終点におい
て制御点が縮退している場合にも，ｍ次ベジェ曲線を規
定する制御点データを算出できる。

【００２９】この発明の好ましい実施態様においては，
ｎ次ベジェ曲線の始点または終点において制御点が縮退
しているときには，単位接線ベクトルが近似して決定さ
れる。

【００３０】このようにして，始点または終点で制御点
が縮退していても，縮退した端点における単位接線ベク
トルを決定することができるから，ｍ次ベジェ曲線を規
定する制御点データを得ることができる。

【００３１】ｎ次ベジェ曲線の始点または終点において
制御点が縮退しているときは，次数変換後のｍ次ベジェ
曲線を規定する制御点も縮退したものとなることがあ
る。

【００３２】このような場合，この発明ではｍ次ベジェ
曲線を規定する制御点が縮退しないように，それらの制
御点を決定できるようにしている。

【００３３】この発明のさらに好ましい実施態様におい
ては，上記座標決定手段によって決定されたｎ次ベジェ
曲線上の（ｍ＋１）個の点を表す座標データを用いて，
ｎ次ベジェ曲線の始点から各点までのｎ次ベジェ曲線の
長さに応じた（ｍ＋１）個のパラメータを決定する第２
のパラメータ決定手段がさらに設けられる。上記制御点
決定手段は，上記第１のパラメータ決定手段によって等
間隔に決定されたパラメータの代わりに，上記第２のパ
ラメータ決定手段によってｎ次ベジェ曲線の長さに応じ
て決定されたパラメータを用いて，上記制御点データを
決定する。この制御点データの決定のやり方は制御点が
縮退していない場合にも利用できる。

【００３４】この実施態様によると，ｎ次ベジェ曲線上
の（ｍ＋１）個の点を表す座標データを用いて，ｎ次ベ
ジェ曲線の始点から各点までのｎ次ベジェ曲線の長さに
応じた（ｍ＋１）個のパラメータが決定される。このｎ
次ベジェ曲線の長さに応じた（ｍ＋１）個のパラメータ
と，ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点を表す座標デ
ータと，ｎ次ベジェ曲線の始点および終点のそれぞれに
おける２つの単位接線ベクトルとに基づいて，ｍ次ベジ
ェ曲線を規定する制御点データが決定される。

【００３５】したがって，ｎ次ベジェ曲線の始点または
終点において制御点が縮退している場合であっても，制
御点が縮退していないｍ次ベジェ曲線を規定する制御点
データを得ることができる。

【００３６】

【実施例】

目次１概要２ベジェ曲線３簡易ＣＡＤシステム 3.1 図形要素の描画 3.2 ＥＰＳＦデータ・ファイル 3.3 ＩＧＥＳデータ・ファイル４設計支援用ＣＡＤシステム 4.1 ＣＡＤデータ・ファイル 4.2 ３次ベジェ曲線から５次ベジェ曲線への次数変換
（縮退がない場合） 4.2.1 パラメータの計算 4.2.2 ３次ベジェ曲線上の点の計算 4.2.3 始点，終点における単位接線ベクトルの計算 4.2.4 ５次ベジェ曲線の制御点の計算 4.3 ３次ベジェ曲線から５次ベジェ曲線への次数変換
（縮退がある場合；その１） 4.3.1 始点，終点における単位接線ベクトルの近似計算 4.4 ３次ベジェ曲線から５次ベジェ曲線への次数変換
（縮退がある場合；その２） 4.4.1 パラメータの再計算 4.5 ｎ次ベジェ曲線からｍ次ベジェ曲線への次数変換５ベジェ曲線の描画 5.1 ハードウェア構成 5.2 ベジェ曲線の表示のための処理

【００３７】１概要図１は，簡易ＣＡＤシステムおよび設計支援用ＣＡＤシ
ステムにおけるソフトウェア上の構成の概要を示すブロ
ック図である。

【００３８】簡易ＣＡＤシステム10および設計支援用Ｃ
ＡＤシステム20はそれぞれ，プログラムされたコンピュ
ータ・システムによって実現される。簡易ＣＡＤシステ
ム10および設計支援用ＣＡＤシステム20は，通信ケーブ
ルまたはネットワークにより接続される。２台のＣＡＤ
システムが接続されていない場合には，データ・ファイ
ル等は，フロッピィ・ディスク等の記憶媒体を用いて簡
易ＣＡＤシステム10から設計支援用20に伝達される。簡
易ＣＡＤシステム10と設計支援用ＣＡＤシステム20とを
１台のコンピュータ・システムによって実現することも
できる。

【００３９】簡易ＣＡＤシステム10は公知のシステムで
あり，デザイナがマウス等を用いて製品のイラストを描
くことができるものである。

【００４０】簡易ＣＡＤシステム10は，ＥＰＳＦ(Encap
sulated PostScript Format)データ・ベース11およびＩ
ＧＥＳ(Initial Graphics Exchange Specification )デ
ータ変換処理12を備えている。

【００４１】ＥＰＳＦデータ・ベース11には，簡易ＣＡ
Ｄシステム10において作成された製品のイラストに関す
るＥＰＳＦデータ・ファイルが記憶される。ＥＰＳＦデ
ータ・ファイルは，詳細は後述するが，ページ記述言語
PostScriptで記述されたものである。

【００４２】ＩＧＥＳデータ変換処理12は，ＥＰＳＦデ
ータ・ファイルをＩＧＥＳデータ・ファイル（詳細は後
述する）に変換するものであり，既に知られているもの
である。

【００４３】設計支援用ＣＡＤシステム20はエンジニア
がマウス等を用いて，製品の形状を表わすデータを作成
するものである。

【００４４】設計支援用ＣＡＤシステム20は，ＣＡＤデ
ータ変換処理21，ＣＡＤデータ・ベース22および次数変
換処理23を備えている。

【００４５】ＣＡＤデータ変換処理21はＩＧＥＳデータ
・ファイルをＣＡＤデータ・ファイル（詳細は後述す
る）に変換するものであり，既に知られているものであ
る。

【００４６】ＣＡＤデータ・ベース22には，この設計支
援用ＣＡＤシステム20において設計された製品の形状を
表すＣＡＤデータ・ファイル，上記ＣＡＤデータ変換処
理21により変換されたＣＡＤデータ・ファイル，または
後述する次数変換処理23により変換されたＣＡＤデータ
・ファイルが記憶される。

【００４７】次数変換処理23は，後述する３次ベジェ曲
線を規定する制御点データを５次ベジェ曲線を規定する
制御点データに変換するものである。

【００４８】データ・ベース11，22はメモリ装置により
実現される。メモリ装置は半導体メモリ，磁気ディス
ク，光ディスク等を含み，コンピュータ・システムの内
部メモリであるか，外部メモリであるかを問わない。各
種処理12，21，23はそれぞれの目的を達成するためにコ
ンピュータ・システムがプログラムにしたがって行う系
統的な一連の動作または機能のまとまりを意味する。し
たがって，各種処理はコンピュータ・システムとその処
理をコンピュータに実行させるプログラムとの結合によ
って実現される。

【００４９】簡易ＣＡＤシステム10および設計支援用Ｃ
ＡＤシステム20上においては，点，直線，自由曲線，自
由曲面等の図形要素を複数組合わせることによって，製
品のイラストおよび形状がそれぞれ作成される。一般
に，自由曲線はベジェ曲線，有理Ｂスプライン曲線等に
より表される。簡易ＣＡＤシステム10においては自由曲
線が３次ベジェ曲線によって表され，設計支援用ＣＡＤ
システム20においては自由曲線が５次ベジェ曲線によっ
て表される。

【００５０】簡易ＣＡＤシステム10および設計支援用Ｃ
ＡＤシステム20においては，図形要素の客観的記述，図
形要素に対する処理および解析等を行うため，図形要素
は数学的に記述される。図形要素は，システム毎に，そ
のシステムにおいて処理等が容易に行えるフォーマット
でデータ・ファイルに記述される。簡易ＣＡＤシステム
10においてはデータ・ファイルがＥＰＳＦにより記述さ
れ，設計支援用ＣＡＤシステム20においてはそのシステ
ムに固有のフォーマットで記述される。

【００５１】このようにＣＡＤシステム毎に異なるフォ
ーマットのデータ・ファイルをもつため，異なるＣＡＤ
システム間においてデータ・ファイルを伝達することな
できない。データ・フォーマット変換のためのデータ交
換仕様が用意されており，このデータ交換仕様としてＩ
ＧＥＳがある。

【００５２】簡易ＣＡＤシステム10は，ＥＰＳＦデータ
・ファイルとＩＧＥＳデータ・ファイルとを相互に変換
するＩＧＥＳデータ変換処理12を備えており，ＩＧＥＳ
データ・ファイルを入，出力することができる。

【００５３】設計支援用ＣＡＤシステム20は，このシス
テムに固有のＣＡＤデータ・ファイルとＩＧＥＳデータ
・ファイルとを相互に変換するＣＡＤデータ変換処理21
を備えており，ＩＧＥＳデータ・ファイルを入，出力す
ることができる。

【００５４】デザイナが簡易ＣＡＤシステム10において
作成した製品のイラストを表わすデータを基礎データと
して利用して，設計支援用ＣＡＤシステム20上において
製品の形状を設計するためには，次のようにすればよ
い。

【００５５】簡易ＣＡＤシステム10において作成された
製品のイラストに関するＥＰＳＦデータ・ファイルをＥ
ＰＳＦデータ・ベース11から読出し，このＥＰＳＦデー
タ・ファイルをＩＧＥＳデータ変換処理12によりＩＧＥ
Ｓデータ・ファイルに変換する。このＩＧＥＳデータ・
ファイルが簡易ＣＡＤシステム10から設計支援用ＣＡＤ
システム20に，データ転送，または記録媒体を介して与
えられる。

【００５６】設計支援用ＣＡＤシステム20においては，
与えられるＩＧＥＳデータ・ファイルをＣＡＤデータ変
換処理21によりＣＡＤデータ・ファイルに変換し，この
ＣＡＤデータ・ファイルをＣＡＤデータ・ベース22に記
憶する。

【００５７】上述したように，簡易ＣＡＤシステム10に
おいては自由曲線が３次ベジェ曲線で表され，設計支援
用ＣＡＤシステム20においては自由曲線が５次ベジェ曲
線で表される。ＩＧＥＳデータ・ファイルから変換され
たＣＡＤデータ・ファイルから３次ベジェ曲線が抽出さ
れ，この３次ベジェ曲線に関する制御点データが次数変
換処理23により５次ベジェ曲線に関する制御点データに
変換される。

【００５８】エンジニアは，変換された５次ベジェ曲線
に関する制御点データを含むＣＡＤデータ・ファイルに
よって表される形状を基礎として設計支援用ＣＡＤシス
テム20上で製品の設計を行う。

【００５９】これにより，エンジニアは，デザイナが作
成した製品のイラストと同一の形状を表わすデータを最
初から作成する必要はなく，デザイナが作成した製品の
イラスト・データを利用して設計を行うことができる。

【００６０】２ベジェ曲線簡易ＣＡＤシステム10および設計支援用ＣＡＤシステム
20において自由曲線を表すために用いられるベジェ曲線
について説明する。

【００６１】一般に，ｎ次ベジェ曲線Ｐ（ｔ）は次のベ
クトル式によって表される。ただし，Ｐ（ｔ）＝（ｘ
（ｔ），ｙ（ｔ），ｚ（ｔ））である。

【００６２】

【数１】

【数２】

【００６３】式(1) において，Ｑ_iは，ｎ次ベジェ曲線
を規定する制御点である。制御点Ｑ_iはＸＹＺ三次元直
交座標を用いて，Ｑ_i＝（Ｑ_i,x，Ｑ_i,y，Ｑ_i,z）と
表わされる。制御点はｎ次ベジェ曲線ではＱ₀，Ｑ₁，
Ｑ₂，…，Ｑ_nの（ｎ＋１）個存在する。ｔはｎ次ベジ
ェ曲線上の点を与えるパラメータである。

【００６４】式(2) において，Ｂ_i,n（ｔ）は Bernste
in基底関数（Bernstein Basis Function）である。

【００６５】３次ベジェ曲線Ｐ（ｔ）は式(1) において
ｎ＝３と置くことにより次式で表される。

【００６６】

【数３】

【００６７】３次ベジェ曲線は４個の制御点Ｑ₀，
Ｑ₁，Ｑ₂およびＱ₃によって規定される。

【００６８】式(2) においてｎ＝３と置き，それを式
(3) に代入して整理すると，３次ベジェ曲線Ｐ（ｔ）は
次式で表される。

【００６９】Ｐ（ｔ）＝（−ｔ³＋３ｔ²−３ｔ＋１）Ｑ₀ ＋３（ｔ³−２ｔ²＋ｔ）Ｑ₁ ＋３（−ｔ³＋ｔ²）Ｑ₂ ＋ｔ³Ｑ₃ …(4)

【００７０】式(4) をｔ，ｔ²およびｔ³について整理
すると，３次ベジェ曲線Ｐ（ｔ）を表わす式は次のよう
になる。

【００７１】Ｐ（ｔ）＝（−Ｑ₀＋３Ｑ₁−３Ｑ₂＋Ｑ₃）ｔ³ ＋３（Ｑ₀−２Ｑ₁＋Ｑ₂）ｔ² ＋３（−Ｑ₀＋Ｑ₁）ｔ＋Ｑ₀ …(5)

【００７２】３次ベジェ曲線の始点は，式(5) において
ｔ＝０と置くことにより，次式で与えられる。

【００７３】Ｐ（０）＝Ｑ₀ …(6)

【００７４】３次ベジェ曲線の終点は，式(5) において
ｔ＝１と置くことにより，次式で与えれる。

【００７５】Ｐ（１）＝Ｑ₃ …(7)

【００７６】式(6) および式(7) から分かるように，３
次ベジェ曲線の始点Ｐ（０）は制御点Ｑ₀に一致し，終
点Ｐ（１）は制御点Ｑ₃に一致する。この性質は一般に
ｎ次ベジェ曲線においても成立つ。

【００７７】３次ベジェ曲線上の点Ｐ（ｔ）における接
線ベクトルは，式(5) の３次ベジェ関数Ｐ（ｔ）をパラ
メータｔで微分することにより得られ，それは次式で表
される。

【００７８】

【数４】

【００７９】３次ベジェ曲線の始点Ｐ（０）における接
線ベクトルは，式(8) においてｔ＝０と置けば得られ，
それは次式で与えられる。

【００８０】

【数５】

【００８１】また，３次ベジェ曲線の終点Ｐ（１）にお
ける接線ベクトルは，式(8) においてｔ＝１と置いて整
理することにより得られ，それは次式で与えられる。

【００８２】

【数６】

【００８３】式(9) および式(10)から分かるように，３
次ベジェ曲線の始点Ｐ（０）における接線ベクトルは制
御点Ｑ₀とＱ₁を用いて表され，終点Ｐ（１）における
接線ベクトルは制御点Ｑ₂とＱ₃を用いて表される。こ
の性質は一般にｎ次ベジェ曲線について成立つ。

【００８４】３簡易ＣＡＤシステム 3.1 図形要素の描画簡易ＣＡＤシステム10におけるイラストの作成について
簡単に説明にする。イラストは，上述のように，直線お
よび３次ベジェ曲線を複数組合わせることにより描かれ
る。

【００８５】３次ベジェ曲線を簡易ＣＡＤシステム10上
でデザイナが描く方法が図２ａ〜図２ｄおよび図３ａ〜
図３ｃに示されている。これらの図において矢印は簡易
ＣＡＤシステム10の表示画面上のカーソルの位置を表
す。

【００８６】図２ａ〜図２ｄを参照して，デザイナはま
ず，マウスを操作してカーソルを所望の位置（点Ａ）に
動かし，マウスのボタンをプレスして始点Ａを指定する
（図２ａ）。次にその始点Ａからマウスをドラッグして
カーソルを所望の位置（点Ｂ）まで動かして始点におけ
る接線方向（接線ベクトル）を決め，マウスのボタンを
リリースする（図２ｂ）。始点Ａにおける接線方向がよ
く分るように，点Ａを中心として点Ｂと点対象の位置
と，点Ｂとをつなぐ直線が表示される。続いてマウスを
操作してカーソルを所望の位置（点Ｃ）まで動かし，マ
ウスのボタンをプレスして終点Ｃを指定する（図２
ｃ）。最後にその終点Ｃからマウスをドラッグしてカー
ソルを所望の位置（点Ｄ）まで動かして終点における接
線方向を決め，マウスのボタンをリリースする。すると
点Ｃを中心として点Ｄと点対称の位置に点Ｅが指定され
ることになる（図２ｄ）。点Ａから点Ｃまでの曲線が３
次ベジェ曲線であり，４点Ａ，Ｂ，ＥおよびＣがそれぞ
れ制御点Ｑ₀，Ｑ₁，Ｑ₂およびＱ₃となる。

【００８７】このようにして描かれた３次ベジェ曲線に
関するＥＰＳＦのデータは次のようになる。

【００８８】Ｑ_0,xＱ_0,yｍＱ_1,xＱ_1,yＱ_2,xＱ_2,yＱ_3,xＱ_3,yｃ

【００８９】「ｍ(moveto)」は，このコマンド「ｍ」の
前に記述された点が始点をであることを示すグラフィッ
クス・コマンドであり，「ｃ(curveto) 」は，このコマ
ンド「Ｃ」の前に記述された点を制御点として３次ベジ
ェ曲線を描くべきことを示すグラフィックス・コマンド
である。簡易ＣＡＤシステム10は二次元のイラストを描
くものであるから，制御点の座標データはｘ座標および
ｙ座標のみである。３次ベジェ曲線は，２つのグラフィ
ックス・コマンドと，４組の制御点データとによって規
定される。

【００９０】上記のＥＰＳＦのデータによって表わされ
る３次ベジェ曲線に連続して他の３次ベジェ曲線または
直線が描かれるときには，上記他の３次ベジェ曲線また
は直線を表わすＥＰＳＦのデータはＱ_3,x，Ｑ_3,yを始
点として上記ＥＰＳＦのデータに続いて記述される。

【００９１】マウスのボタンをプレスして点Ｃを指定し
た後（図２ｃ），終点Ｃにおける接線方向（点Ｄ）を指
定することなくマウスのボタンをリリースしても，点Ａ
から点Ｃまでの３次ベジェ曲線が描かれる。この場合に
は，点Ｅが定義されていないので，制御点Ｑ₂が定義さ
れないことになる。

【００９２】このようにして描かれた３次ベジェ曲線に
関するデータは，以下のように記述される。

【００９３】Ｑ_0,xＱ_0,yｍＱ_1,xＱ_1,yＱ_3,xＱ_3,yｙ

【００９４】「ｙ」も３次ベジェ曲線を描くべきことを
示すグラフィックス・コマンドである。グラフィックス
・コマンドが「ｙ」のときには制御点Ｑ₂の座標データ
がないので，制御点Ｑ₂は強制的に制御点Ｑ₃と同一の
座標データをもつことになる。すなわち，制御点Ｑ₂と
Ｑ₃が一致することになる。このように２つの制御点が
一致することを縮退といい，終点（制御点Ｑ₃）と制御
点Ｑ₂とが一致していることを終点が縮退しているとい
う。

【００９５】３次ベジェ曲線は次のようにして描くこと
もできる。

【００９６】図３ａ〜図３ｃを参照して説明する。デザ
イナはマウスを操作してカーソルを所望の位置（点Ａ）
まで動かし，マウスをクリックして始点Ａを指定する
（図３ａ）。次にマウスを操作して所望の位置（点Ｂ）
まで動かしてマウスのボタンをプレスして終点Ｂを指定
する（図３ｂ）。最後に終点Ｂからマウスをドラッグし
てカーソルを所望の位置（点Ｃ）まで動かして接線方向
を決め，マウスのボタンをリリースして点Ｃを指定する
（図３ｃ）。このとき，点Ｂを中心として点Ｃと点対称
の位置に点Ｄが指定される。点Ａから点Ｂまでの曲線が
３次ベジェ曲線である。３点Ａ，ＤおよびＢがそれぞれ
制御点Ｑ₀，Ｑ₂およびＱ₃となり，制御点Ｑ₁は定義
されない。

【００９７】このようにして描かれた３次ベジェ曲線に
関するデータは次のように記述される。

【００９８】Ｑ_0,xＱ_0,yｍＱ_2,xＱ_2,yＱ_3,xＱ_3,yｖ

【００９９】「ｖ」は３次ベジェ曲線を描くべきことを
示すグラフィックス・コマンドである。グラフィックス
・コマンドが「ｖ」のときには制御点Ｑ₁の座標データ
がないので，制御点Ｑ₁は強制的に制御点Ｑ₀と同一の
座標データを持つことになる。すなわち，制御点Ｑ₀と
Ｑ₁が一致することになる。このように，始点（制御点
Ｑ₀）と制御点Ｑ₁とが一致していることを，始点が縮
退しているという。

【０１００】直線は次のように描かれる。

【０１０１】図３ａおよび図３ｂを参照して，デザイナ
はマウスを操作してカーソルを所望の位置（点Ａ）まで
動かしてマウスをクリックして始点Ａを指定し（図３
ａ），他の所望の位置（点Ｂ）でマウスをクリックして
終点Ｂを指定する（図３ｂ）。始点Ａから終点Ｂまでの
間に直線が描かれる。

【０１０２】直線に関するＥＰＳＦのデータは次のよう
に表わされる。

【０１０３】ｘ₀ｙ₀ｍｘ₁ｙ₁ｌ

【０１０４】ｘ₀，ｙ₀は始点Ａの座標，ｘ₁，ｙ₁は
終点Ｂの座標をそれぞれ表す。「ｌ(lineto)」は直線を
描くべきことを示すグラフィックス・コマンドである。

【０１０５】以上のようにして，簡易ＣＡＤシステムに
おいて図形要素が描かれる。

【０１０６】3.2 ＥＰＳＦデータ・ファイル図４は簡易ＣＡＤシステムにおいて描かれた製品のイラ
ストの一例を示す。この製品のイラストはボトルを表し
たものであり，ボトルの上面図と正面図とである。ハッ
チングで示す領域は実際には着色されている。

【０１０７】図５，６および７はＥＰＳＦデータ・ファ
イルの一例を示し，図４に示すボトルのイラストの一部
を表わすＥＰＳＦデータを含む。このＥＰＳＦデータ・
ファイルは，簡易ＣＡＤシステム10のＥＰＳＦデータ・
ベース11に記憶される。

【０１０８】このＥＰＳＦデータ・ファイルにおいて，
最初の「%!PS-*d*b*-3.0 … %%Endsetup」（図５第１
行〜図６第６行）の部分には作成システム（ソフトウェ
ア）名，作成者名，ファイル名，作成日時等のコメン
ト，色等の設定パラメータ等が記述される。最後の「%%
PageTrailer … %%EOF 」（図７下から９行〜末
行）の部分には，設定パラメータの終了が記述される。
これらの間に図形要素に関するデータが記述される。

【０１０９】たとえば，このＥＰＳＦデータ・ファイル
において，最初の図形要素（３次ベジェ曲線（縮退な
し））に関するデータ（図６第15行〜第16行）は図８に
示す要素Ｃ１に関するものである。図７第１行〜第２行
は要素Ｌ21を表わす直線に関するデータであり，それに
続く図７第３行は要素Ｃ22を表わす図形要素（３次ベジ
ェ曲線（始点が縮退している））に関するデータであ
る。

【０１１０】3.3 ＩＧＥＳデータ・ファイルＥＰＳＦデータ・ベース11に記憶されたＥＰＳＦデータ
・ファイルは上述したように，ＩＧＥＳデータ変換処理
12によりＩＧＥＳデータ・ファイルに変換される。

【０１１１】図９，10および11はＩＧＥＳデータ・ファ
イルの一例を示す。このＩＧＥＳデータ・ファイルは図
５，６および７に示すＥＰＳＦデータ・ファイルを変換
することにより得られたものである。

【０１１２】ＩＧＥＳデータ・ファイルは開始部
（Ｓ），グローバル部（Ｇ），ディレクトリィ部
（Ｄ），パラメータ部（Ｐ）および終結部（Ｔ）から構
成される。

【０１１３】開始部にはコメント等が記述される。開始
部は第73桁がＳで表されている。

【０１１４】グローバル部には精度，単位等が記述され
る。グローバル部は第73桁がＧで表されている。

【０１１５】ディレクトリィ部には図形要素（直線また
は有理Ｂスプライン関数）毎に，図形要素の種類を表す
番号（直線：TYPE 110，有理Ｂスプライン関数：TYPE 1
26），レベル，線幅等が記述される。ディレクトリィ部
は第73桁がＤで表されている。

【０１１６】パラメータ部には，図形要素がそれぞれ異
なる形式で記述される。パラメータ部は第73桁がＰであ
り，その前の数値がディレクトリィ部における行番号を
表している。

【０１１７】直線に関するパラメータには，直線の始点
の座標と終点の座標がある。

【０１１８】有理Ｂスプライン関数に関するパラメータ
にはノット・ベクトル，ウェイト・ベクトル，制御点等
がある。ノット・ベクトルおよびウェイト・ベクトルを
適切に選択することにより，ＥＰＳＦデータ・ファイル
の３次ベジェ曲線を有理Ｂスプライン曲線によって正確
に表現することができる。有理Ｂスプライン関数とベジ
ェ曲線の次数は同じであり，有理Ｂスプライン関数の制
御点と３次ベジェ曲線の制御点とは等価である。

【０１１９】直線の始点，終点および有理Ｂスプライン
関数の制御点は，ｘ座標，ｙ座標およびｚ座標で表され
ている。ＥＰＳＦデータ・ファイルでは座標データがｘ
座標とｙ座標のみで表されていたので，ＩＧＥＳデータ
・ファイルではｚ座標はすべて「0.0 」となる。ＥＰＳ
Ｆデータ・ファイルとＩＧＥＳデータ・ファイルとでは
違う単位系を用いているのでｘ座標およびｙ座標の数値
は異なる。

【０１２０】終結部（Ｔ）には開始部，ディレクトリィ
部およびパラメータ部のレコード数（行数）が記述され
る。図９〜図11に示すＩＧＥＳデータ・ファイルでは，
開始部のレコード数Ｓが「１」であり，グローバル部の
レコード数Ｇが「３」であり，ディレクトリィ部のレコ
ード数Ｄが「78」であり，パラメータ部のレコード数Ｐ
が「 103」である。

【０１２１】ＩＧＥＳデータ変換処理12により変換され
たＩＧＥＳデータ・ファイルは簡易ＣＡＤシステム10か
ら設計支援用ＣＡＤシステム20に与えられる。

【０１２２】４設計支援用ＣＡＤシステム設計支援用ＣＡＤシステム20におけるデータ変換に関す
る処理手順を以下に説明する。図12は設計支援用ＣＡＤ
システム20における全体的な処理手順を示している。

【０１２３】簡易ＣＡＤシステム10から出力されたＩＧ
ＥＳデータ・ファイルが取込まれ（ステップ101 ），こ
のＩＧＥＳデータ・ファイルがＣＡＤデータ変換処理21
によりＣＡＤデータ・ファイルに変換される（ステップ
102 ）。この変換によって，有理Ｂスプライン関数は３
次ベジェ曲線に変換される。変換されたＣＡＤデータ・
ファイルはＣＡＤデータ・ベース22に記憶される（ステ
ップ103 ）。

【０１２４】ＣＡＤデータ・ベース22に記憶されたＣＡ
Ｄデータ・ファイルから３次ベジェ曲線を規定する制御
点データが要素毎に抽出され（ステップ104 ），３次ベ
ジェ曲線を規定する制御点データが５次ベジェ曲線を規
定する制御点データに次数変換処理23により変換される
（ステップ105 ）。ＣＡＤデータ・ファイルにおいて，
抽出された３次ベジェ曲線を規定する４個の制御点デー
タが，変換された５次ベジェ曲線を規定する６個の制御
点データに更新される（ステップ106 ）。ＣＡＤデータ
・ファイルに含まれるすべての３次ベジェ曲線につい
て，ステップ104〜106 の処理が行われる（ステップ107
）。

【０１２５】4.1 ＣＡＤデータ・ファイル図13はＣＡＤデータ・ファイルの一例を示す。これは図
９〜図11に示すＩＧＥＳデータ・ファイルをＣＡＤデー
タ変換処理21によって変換することにより得られたＣＡ
Ｄデータ・ファイルである。

【０１２６】ＣＡＤデータ・ファイルには，要素番号，
要素のタイプおよび座標データが含まれる。

【０１２７】要素番号は要素を識別するための番号であ
る。

【０１２８】要素のタイプは直線（LINE）であるか，ま
たは自由曲線（CRVE）であるかを表す。自由曲線は上述
のように５次ベジェ曲線である。要素のタイプは直線と
自由曲線の２つに限られず，その他に円，円弧等が用い
られることがあり，このような場合にはそれらのタイプ
を表す記号が用いられる。

【０１２９】座標データは，タイプがLINEの場合には直
線の始点および終点の座標データであり，タイプがCRVE
の場合には制御点の座標データである。

【０１３０】ＣＡＤデータ変換では，ＩＧＥＳデータ・
ファイルでTYPE 110（直線）の図形要素に関するパラメ
ータ部の始点と終点の座標データがそのまま，直線（LI
NE）の座標データとなり，TYPE 126の有理Ｂスプライン
関数の図形要素に関するパラメータ部の制御点の座標デ
ータがそのまま，自由曲線（CRVE）（３次ベジェ曲線の
制御点）の座標データとなる。

【０１３１】図14は，図13に示すＣＡＤデータ・ファイ
ルによって表される製品の図面である。この図は，図４
に示すボトルのイラストにおいて色彩が省略されたもの
と等価である（色彩に関する情報はＥＰＳＦデータ・フ
ァイルからＩＧＥＳデータ・ファイルに変換するときに
抜け落ちてしまう）。

【０１３２】図15は，３次ベジェ曲線である要素Ｃ１と
要素Ｃ22とについて制御点（「×」で表されている）を
表示した図である。要素Ｃ１は縮退していないので４個
の制御点が存在するが，要素Ｃ22については始点が縮退
しているので，見かけ上３つの制御点しか存在していな
い。

【０１３３】4.2 ３次ベジェ曲線から５次ベジェ曲線
への次数変換（縮退がない場合）次数変換処理23（図12；ステップ105 ）において行われ
る３次ベジェ曲線の５次ベジェ曲線への変換処理につい
て以下に詳述する。次数変換処理23における処理は，そ
の一部または全部を専用の演算回路（ハードウェア）に
より実現することも可能である。

【０１３４】上述のように，簡易ＣＡＤシステム10では
自由曲線が３次ベジェ曲線であり，設計支援用ＣＡＤシ
ステム20では５次ベジェ曲線である。

【０１３５】簡易ＣＡＤシステム10において作成された
製品のイラストと，設計支援用ＣＡＤシステム20におけ
る次数変換処理23により得られたデータによって表わさ
れる製品の形状とは，同一の形状でなければならない。

【０１３６】この要請を満たすために，３次ベジェ曲線
から５次ベジェ曲線への次数変換は，３次ベジェ曲線の
始点および終点における接線ベクトルがそれぞれ５次ベ
ジェ曲線において保存され，かつ５次ベジェ曲線が３次
ベジェ曲線とほぼ同じ形状になるように行われる。すな
わち，３次ベジェ曲線を規定する４個の制御点Ｑ_i（ｉ
＝０〜３）に基づいて，３次ベジェ曲線の始点および終
点における接線ベクトルをそれぞれ５次ベジェ曲線にお
いて保存し，かつ５次ベジェ曲線が３次ベジェ曲線とほ
ぼ同じ形状になるように，５次ベジェ曲線を規定する６
個の制御点を求める。

【０１３７】５次ベジェ曲線を規定する６個の制御点
を，Ｋ₀，Ｋ₁，Ｋ₂，Ｋ₃，Ｋ₄およびＫ₅と置く。
以下，５次ベジェ曲線の制御点を，Ｋ_i（ｉ＝０，１，
…，５）で表す。ただし，Ｋ_i＝（ａ_i，ｂ_i，ｃ_i）
である。５次ベジェ曲線の始点および終点はそれぞれ，
３次ベジェ曲線の始点および終点に一致する。

【０１３８】図16は３次ベジェ曲線から５次ベジェ曲線
への変換手順を示している。図17ａ〜図17ｃは３次ベジ
ェ曲線から５次ベジェ曲線への次数変換を説明する図で
ある。

【０１３９】4.2.1 パラメータの計算（図16；ステップ
121 ）３次ベジェ曲線を規定する４個の制御点Ｑ_i（ｉ＝０〜
３）に基づいて，３次ベジェ曲線の始点および終点にお
ける接線ベクトルを５次ベジェ曲線においてそれぞれ保
存し，かつ５次ベジェ曲線が３次ベジェ曲線とほぼ同じ
形状になるように，５次ベジェ曲線を規定する６個の制
御点Ｋ_i（ｉ＝０〜５）を計算するために，３次ベジェ
曲線上に６個の点を特定することが必要となる。３次ベ
ジェ曲線上の６個の点を計算するためには，それらの点
を与える６個のパラメータが必要となる。

【０１４０】ｔ＝０（３次ベジェ曲線の始点）からｔ＝
１（３次ベジェ曲線の終点）の間を５等分することによ
り，６個のパラメータｔ₀，ｔ₁，ｔ₂，ｔ₃，ｔ₄お
よびｔ₅を計算する。以下，３次ベジェ曲線上の点を与
える６個のパラメータを次式で表す。

【０１４１】ｔ_j＝ｊ／５（ｊ＝０，１，…，５） …(11)

【０１４２】算出された６個のパラメータｔ_j＝（ｊ＝
０〜５）は，次数変換処理23に付随するメモリに一時的
に記憶される。

【０１４３】4.2.2 ３次ベジェ曲線上の点の計算（図1
6；ステップ122 ）次に，算出された６個のパラメータｔ_j（ｊ＝０〜５）
を用いて３次ベジェ曲線上の６個の点を計算する（図17
ａ参照）。

【０１４４】ｔ＝ｔ_jにおける３次ベジェ曲線上の点を
Ｐ_j（＝（ｘ_j，ｙ_j，ｚ_j））と置く。点Ｐ_jは式
(3) から次式で表される。

【０１４５】

【数７】

【０１４６】式(12)を用いて点Ｐ_j（ｊ＝０〜５）を計
算すると演算量が膨大になり演算時間が長くなるため，
前進差分法により点Ｐ_j（ｊ＝０〜５）を計算すること
にする。Ｂ_i,3（ｔ_j）（ｉ＝０〜３，ｊ＝０〜５）は
定数であるから，これらをあらかじめ計算しておき，Ｐ
_j（ｊ＝０〜５）を式(12)にしたがって計算してもよ
い。前進差分法に代えて後進差分法を用いてもよいし，
その他の方法を用いてもよい。

【０１４７】前進差分法において，初期値（ｔ＝ｔ₀＝
０）における第０階差分Ｐ₀，第１階差分ΔＰ₀，第２
階差分Δ²Ｐ₀および第３階差分Δ³Ｐ₀が計算され
る。これらはそれぞれ，３次ベジェ曲線を規定する４個
の制御点Ｑ_i（ｉ＝０〜３）を用いて次式で表される。
ただし，δは前進差分である。

【０１４８】 δ＝１／５ …(13) Ｐ₀＝Ｐ（０）＝Ｑ₀ …(14) ΔＰ₀＝ΔＰ（０）＝Ｐ（δ）−Ｐ（０）＝（−Ｑ₀＋３Ｑ₁−３Ｑ₂＋Ｑ₃）δ³ ＋３（Ｑ₀−２Ｑ₁＋Ｑ₂）δ² ＋３（−Ｑ₀＋Ｑ₁）δ …(15) Δ²Ｐ₀＝Δ²Ｐ（０）＝ΔＰ（δ）−ΔＰ（０）＝６（−Ｑ₀＋３Ｑ₁−３Ｑ₂＋Ｑ₃）δ³ ＋６（Ｑ₀−２Ｑ₁＋Ｑ₂）δ² …(16) Δ³Ｐ₀＝Δ³Ｐ（０）＝Δ²Ｐ（δ）−Δ²Ｐ（０）＝６（−Ｑ₀＋３Ｑ₁−３Ｑ₂＋Ｑ₃）δ³ …(17)

【０１４９】ｔ＝ｔ_j（ｊ＝１〜５）における第０階差
分Ｐ_j，第１階差分ΔＰ_j，第２階差分Δ²Ｐ_jおよび
第３階差分Δ³Ｐ_jは，ｔ＝ｔ_j-1における第０階差分
Ｐ_j-1，第１階差分ΔＰ_j-1，第２階差分Δ²Ｐ_j-1お
よび第３階差分Δ³Ｐ_j-1を用いて次式で表される。

【０１５０】 Δ³Ｐ_j＝Δ³Ｐ_j-1 …(18) Δ²Ｐ_j＝Δ²Ｐ_j-1＋Δ³Ｐ_j …(19) ΔＰ_j＝ ΔＰ_j-1＋Δ²Ｐ_j …(20) Ｐ_j＝Ｐ_j-1＋ ΔＰ_j …(21)

【０１５１】ここで，点Ｐ₅は３次ベジェ曲線の終点で
あるので，式(7) からＰ₅＝Ｐ(1)＝Ｑ₃である。した
がって，点Ｐ₅は，前進差分法に基づいて計算すること
なく，Ｐ₅＝Ｑ₃により計算することもできる。

【０１５２】図18は，前進差分法による３次ベジェ曲線
上の６個の点Ｐ_j（ｊ＝０〜５）の計算手順を示してい
る。

【０１５３】ｊが０に初期化され（ステップ131 ），ｔ
＝ｔ₀における第０階差分Ｐ₀，第１階差分ΔＰ₀，第
２階差分Δ²Ｐ₀および第３階差分Δ³Ｐ₀がそれぞ
れ，式(13)〜(17)により計算される（ステップ132 ）。

【０１５４】ｊがインクリメントされ（ステップ133
），ｔ＝ｔ_jにおける第０階差分Ｐ_j，第１階差分ΔＰ
_j，第２階差分Δ²Ｐ_jおよび第３階差分Δ³Ｐ_jがそ
れぞれ，式(18)〜(21)により計算される（ステップ134
）。

【０１５５】ｊが５になるまで，ステップ133 ，134 の
処理が繰返される（ステップ135 ）。

【０１５６】このようにして，前進差分法により計算さ
れた第０階差分Ｐ₀，Ｐ₁，Ｐ₂，Ｐ₃，Ｐ₄およびＰ
₅の値が，３次ベジェ曲線上の６点をそれぞれ表わす値
となる。得られた点Ｐ₀，…，Ｐ₅は次数変換処理23に
付随するメモリに一時的に記憶される。

【０１５７】4.2.3 始点，終点における単位接線ベクト
ルの計算（図16；ステップ123 ）３次ベジェ曲線から５
次ベジェ曲線への次数変換において，３次ベジェ曲線の
始点および終点における接線ベクトルが保存されるとい
う条件を満たすために，，３次ベジェ曲線の始点におけ
る単位接線ベクトルＥ_iおよび終点における単位接線ベ
クトルＥ_fが計算される（図17ｂ参照）。

【０１５８】３次ベジェ曲線の始点における接線ベクト
ルは式(9) により与えられるから，その単位接線ベクト
ルＥ_iは制御点Ｑ₀とＱ₁の座標データを用いて次式に
より表される。

【０１５９】

【数８】

【０１６０】３次ベジェ曲線の終点における接線ベクト
ルは式(10)により与えられるから，その単位接線ベクト
ルＥ_fは制御点Ｑ₂とＱ₃の座標データを用いて次式に
より表される。

【０１６１】

【数９】

【０１６２】以上のようにして，３次ベジェ曲線の始点
における単位接線ベクトルＥ_iと，終点における単位接
線ベクトルＥ_fとが算出される。算出された単位接線ベ
クトルＥ_iおよびＥ_fは，次数変換処理23に付随するメ
モリに記憶される。

【０１６３】4.2.4 ５次ベジェ曲線の制御点の算出（図
16；ステップ124 ）３次ベジェ曲線上の点を与える６個のパラメータｔ
_j（ｊ＝０〜５）と，３次ベジェ曲線上の６個の点Ｐ_j
（ｊ＝０〜５）と，２つの単位接線ベクトルＥ_iおよび
Ｅ_fとに基づいて，３次ベジェ曲線の始点および終点に
おける接線ベクトルがそれぞれ保存され，かつ３次ベジ
ェ曲線とほぼ同じ形状にならなけらばならないという条
件にしたがって，５次ベジェ曲線を規定する６個の制御
点Ｋ_i（i ＝０〜５）を計算する（図17ｃ参照）。

【０１６４】５次ベジェ曲線が３次ベジェ曲線とほぼ同
じ形状にならなけらばならないという条件を満たすため
に，５次ベジェ曲線が３次ベジェ曲線上の６個の点Ｐ_j
（ｊ＝０〜５）またはその近傍を通るように，５次ベジ
ェ曲線の６個の制御点Ｋ_i（i ＝０〜５）を決定する。
すなわち，ｔ＝ｔ_jにおける５次ベジェ曲線上の点（式
(1) においてｎ＝５と置いたときのＰ（ｔ_j））と，３
次ベジェ曲線上の点Ｐ_jとの誤差（距離）が最小になる
ように，制御点Ｋ_i（i ＝０〜５）を計算する。

【０１６５】ｔ＝ｔ_j（ｊ＝０〜５）における５次ベジ
ェ曲線上の点Ｐ（ｔ_j）と，３次ベジェ曲線上の点Ｐ_j
との誤差ｒは次式で表される。

【０１６６】

【数１０】

【０１６７】５次ベジェ曲線の始点および終点をそれぞ
れ，３次ベジェ曲線の始点Ｐ₀および終点Ｐ₅と一致さ
せるためには，次式が成立つように，５次ベジェ曲線の
６個の制御点Ｋ_i（i ＝０〜５）を決定する。

【０１６８】

【数１１】

【数１２】

【０１６９】式(25)および(26)を用いて式(24)を整理す
ると，次式が得られる。

【０１７０】

【数１３】

【０１７１】５次ベジェ曲線の始点Ｋ₀における単位接
線ベクトルと，３次ベジェ曲線の始点Ｐ₀における単位
接線ベクトルＥ_iとが同一になり，かつ５次ベジェ曲線
の終点Ｋ₅における単位接線ベクトルが３次ベジェ曲線
の終点Ｐ₅における単位接線ベクトルＥ_fと同一となる
ようにするという条件を利用して，５次ベジェ曲線の制
御点Ｋ₁およびＫ₄を以下のように求める。

【０１７２】５次ベジェ曲線の始点における単位接線ベ
クトルが３次ベジェ曲線のそれと同一になるようにする
ためには，制御点Ｋ₁は制御点Ｋ₀を始点として単位接
線ベクトルＥ_iを延長した延長線上にある必要がある。
制御点Ｋ₀とＫ₁との間の距離をｄ_iと置くと，制御点
Ｋ₁は制御点Ｋ₀，単位接線ベクトルＥ_iおよび距離ｄ
_iを用いて次式で表される。

【０１７３】Ｋ₁＝Ｋ₀＋ｄ_iＥ_i …(28)

【０１７４】制御点Ｋ₄についても同様に，制御点Ｋ₅
とＫ₄との距離をｄ_fと置くと，制御点Ｋ₄は制御点Ｋ
₅，単位接線ベクトルＥ_fおよび距離ｄ_fを用いて次式
で表される。

【０１７５】Ｋ₄＝Ｋ₅＋ｄ_fＥ_f …(29)

【０１７６】また，３次ベジェ曲線の始点Ｐ₀および終
点Ｐ₅をそれぞれ５次ベジェ曲線の始点および終点と一
致させ，さらに５次ベジェ曲線の始点および終点をそれ
ぞれ制御点Ｋ₀およびＫ₅に一致させるという条件から
次式が成立する。

【０１７７】Ｋ₀＝Ｐ₀ …(30) Ｋ₅＝Ｐ₅ …(31)

【０１７８】式(30)を式(28)に代入し，式(31)を式(29)
に代入すると，５次ベジェ曲線の制御点Ｋ₁およびＫ₄
はそれぞれ次式により表される。

【０１７９】Ｋ₁＝Ｐ₀＋ｄ_iＥ_i …(32) Ｋ₄＝Ｐ₅＋ｄ_fＥ_f …(33)

【０１８０】式(27)において，Σ内の各項のうちi ＝
０，１，４および５につ関する項をΣの外に出し，式(3
2)および(33)を代入すると，次式が得られる。

【０１８１】

【数１４】

【０１８２】式(34)に，Ｐ_j＝（ｘ_j，ｙ_j，ｚ_j），
Ｋ_i＝（ａ_i，ｂ_i，ｃ_i），Ｅ_i＝（Ｅ_i,x，
Ｅ_i,y，Ｅ_i,z）およびＥ_f＝（Ｅ_f,x，Ｅ_f,y，Ｅ
_f,z）を代入すると次式が得られる。

【０１８３】

【数１５】

【０１８４】式(35)において，未知数は，ｄ_i，ｄ_f，
ａ₂，ａ₃，ｂ₂，ｂ₃，ｃ₂およびｃ₃である。

【０１８５】誤差ｒが最小になる条件は誤差ｒを各未知
数により偏微分して得られる偏微分値をそれぞれ０と置
くことによって表わされる。

【０１８６】

【数１６】

【数１７】

【数１８】

【数１９】

【数２０】

【数２１】

【数２２】

【数２３】

【０１８７】式(35)により表される誤差ｒを未知数ｄ_i
により偏微分すると次式が得られる。

【０１８８】

【数２４】

【０１８９】式(44)を整理すると，次式が得られる。

【０１９０】

【数２５】

【０１９１】式(35)により表される誤差ｒを未知数ｄ_f
により偏微分すると次式が得られる。

【０１９２】

【数２６】

【０１９３】式(46)を整理すると，次式が得られる。

【０１９４】

【数２７】

【０１９５】ここで，単位接線ベクトルＥ_iおよびＥ_f
は単位ベクトルであるから，次式が成立する。

【０１９６】｜Ｅ_i｜＝（Ｅ_i,x ²＋Ｅ_i,y ²＋Ｅ_i,z ²）^1/2＝１ …(48) ｜Ｅ_f｜＝（Ｅ_f,x ²＋Ｅ_f,y ²＋Ｅ_f,z ²）^1/2＝１ …(49)

【０１９７】また，図17ｂに示すように，単位接線ベク
トルＥ_iを延長した直線とＥ_fを逆方向に延長した直線
との交点における角をθと置くと次式が成立つ。

【０１９８】Ｅ_i・Ｅ_f＝Ｅ_i,xＥ_f,x＋Ｅ_i,yＥ_f,y＋Ｅ_i,zＥ_f,z ＝｜Ｅ_i｜｜Ｅ_f｜ cosθ ＝ cosθ ∴ cosθ＝Ｅ_i,xＥ_f,x＋Ｅ_i,yＥ_f,y＋Ｅ_i,zＥ_f,z …(50)

【０１９９】式(48)，(49)および(50)を用いて式(42)お
よび(43)を整理するとそれぞれ次のようになる。

【０２００】

【数２８】

【数２９】

【０２０１】式(35)により表される誤差ｒを未知数
ａ₂，ａ₃，ｂ₂，ｂ₃，ｃ₂およびｃ₃により偏微分
するとそれぞれ次式が得られる。

【０２０２】

【数３０】

【数３１】

【数３２】

【数３３】

【数３４】

【数３５】

【０２０３】ここで，式(51)〜(58)における定数項を式
(59)〜式(61)のように置き，式(36)〜(43)を用いて整理
すると，式(62)〜式(69)に示す方程式が得られる。

【０２０４】

【数３６】

【数３７】

【数３８】

【数３９】

【数４０】

【数４１】

【数４２】

【数４３】

【数４４】

【数４５】

【数４６】

【０２０５】ここで，未知数ｄ_i，ｄ_f，ａ₂，ａ₃，
ｂ₂，ｂ₃，ｃ₂およびｃ₃を，次のように，ベクトル
により表現する。

【０２０６】

【数４７】

【０２０７】また，式(62)〜(69)をまとめてベクトル方
程式により表現すると，ＡおよびＢを定数行列として，
次式により表現できる。

【０２０８】ＡＸ＝Ｂ …(71)

【０２０９】定数行列Ａは，次のように表現される。

【０２１０】

【数４８】

【数４９】

【数５０】

【０２１１】Ａ(i,k) は行列Ａのi 行ｋ列の要素を表
し，Ａ₀(i,k) は行列Ａ₀のi 行ｋ列の要素を表す。Ｃ
_j(i) は行列Ｃ_jのi 列の要素を表し，Ｃ_j(k) は行列
Ｃ_jのｋ列の要素を表す。

【０２１２】また定数行列Ｂは次のように表現される。

【０２１３】

【数５１】

【数５２】

【０２１４】定数行列ＡおよびＢは既知であるから，式
(71)〜(76)により表される方程式にガウスの消去法を適
用することにより未知ベクトルＸが計算される。すなわ
ち，制御点Ｋ₀とＫ₁との距離ｄ_i，制御点Ｋ₅とＫ₄
との距離ｄ_f，ならびに制御点Ｋ₂＝（ａ₂，ｂ₂，ｃ
₂）およびＫ₃＝（ａ₃，ｂ₃，ｃ₃）が計算されるこ
とになる。

【０２１５】ガウスの消去法をコンピュータ（ディジタ
ル計算機）上で実行する具体的な方法（ソフトウェア）
については一般に知られており，たとえば，「サイエン
ス社ＵＮＩＸワークステーションによる科学技術計算ハ
ンドブック［基礎篇Ｃ言語版］ pp 148〜 151」に記載
されている。

【０２１６】制御点Ｋ₁およびＫ₄はそれぞれ，算出さ
れた距離ｄ_iおよびｄ_fを用いて式(32)および(33)によ
り計算される。

【０２１７】図19は５次ベジェ曲線を規定する制御点の
計算手順を示している。

【０２１８】以下，この計算手順を，５次ベジェ曲線の
制御点データの計算をコンピュータにより実行する処理
として説明する。この計算処理は，その一部または全部
を専用の演算回路（ハードウェア）により実現すること
もできる。

【０２１９】始点Ｐ₀および終点Ｐ₅の座標データがメ
モリから読出され，制御点Ｋ₀およびＫ₅が式(30)およ
び(31)により計算される（ステップ151 ）。

【０２２０】パラメータｔ_j（ｊ＝０〜５），点Ｐ
_j（ｊ＝０〜５），ならびに単位接線ベクトルＥ_iおよ
びＥ_fがメモリから読出され，式(72)〜(74)により定数
行列Ａが計算され，式(75)および(76)にしたがって定数
行列Ｂが計算される（ステップ152 ）。

【０２２１】算出された定数行列ＡおよびＢを用いてガ
ウスの消去法を実行することにより未知ベクトルＸ（距
離ｄ_iおよびｄ_fと制御点Ｋ₂およびＫ₃）が計算され
る（ステップ153 ）。

【０２２２】算出された距離ｄ_iおよびｄ_fに基づい
て，式(32)および(33)を用いて，制御点Ｋ₁およびＫ₄
がそれぞれ計算される（ステップ154 ）。

【０２２３】以上のようにして，５次ベジェ曲線を規定
する６個の制御点Ｋ_i（i ＝０〜５）が算出される。

【０２２４】たとえば，図13に示すＣＡＤデータ・ファ
イルにおいて，要素Ｃ１について次数変換を行うと，図
20に示す制御点の座標データが得られる。この要素Ｃ１
について次数変換により得られる制御点Ｋ₀〜Ｋ₅は図
21に示すようになる。

【０２２５】4.3 ３次ベジェ曲線から５次ベジェ曲線
への次数変換（縮退がある場合；その１） 4.3.1 始点，終点における単位接線ベクトルの近似計算３次ベジェ曲線の始点において制御点が縮退していると
きは，Ｑ₁＝Ｑ₀であるから式(9) においてＰ（０）／
ｄｔ＝０となり，始点おける単位接線ベクトルＥ_iが計
算できない。同様に，３次ベジェ曲線の終点において制
御点が縮退しているときは，Ｑ₂＝Ｑ₃であるから式(1
0)においてＰ（１）／ｄｔ＝０となり，終点における単
位接線ベクトルＥ_fが計算できない。

【０２２６】このように，縮退しているときには始点お
よび終点における単位接線ベクトルＥ_iおよびＥ_fが得
られないため，上述した「4.2.4 ５次ベジェ曲線の制御
点の計算」の方法によると，５次ベジェ曲線の制御点を
算出することができない，すなわち，３次ベジェ曲線を
５次ベジェ曲線に次数変換できない。

【０２２７】３次ベジェ曲線の始点または終点において
制御点が縮退しているとき，単位接線ベクトルを次のよ
うにして近似計算する。

【０２２８】３次ベジェ曲線の始点Ｐ₀において制御点
が縮退しているときは，Ｑ₁＝Ｑ₀であるから，式(8)
においてＱ₁＝Ｑ₀と置くと次式が得られる。

【０２２９】

【数５３】

【０２３０】式(8) において，ｔ→０とするとき，第１
項（ｔ²の項）は第２項（ｔの項）に比して無視できる
から，第２項の係数６（−Ｑ₀＋Ｑ₂）は接線ベクトル
を表わすと考えることができる。したがって，始点にお
ける単位接線ベクトルＥ_iは，制御点Ｑ₀とＱ₂の座標
データを用いて次式により近似計算できる。

【０２３１】

【数５４】

【０２３２】３次ベジェ曲線の終点において制御点が縮
退しているときにも，始点の場合と同様にして，終点に
おける単位接線ベクトルＥ_fが，制御点Ｑ₁およびＱ₃
の座標データを用いて次式により近似計算される。

【０２３３】

【数５５】

【０２３４】このようにして，３次ベジェ曲線の始点に
おける単位接線ベクトルＥ_iと，終点における単位接線
ベクトルＥ_fが近似計算される。

【０２３５】図22は，制御点が縮退しているとき，３次
ベジェ曲線から５次ベジェ曲線への次数変換の処理手順
を示している。この図22において，図16に示す処理と同
一処理には同一符号を付して重複説明を避ける。３次ベ
ジェ曲線の始点と終点における単位接線ベクトルを近似
計算するステップ123Aにおける処理のみが図16に示すも
のと異なる。

【０２３６】図23はステップ123Aにおける単位接線ベク
トルの計算処理手順を示している。

【０２３７】制御点Ｑ₀とＱ₁と一致しているかどう
か，すなわち，始点において制御点が縮退しているかど
うかが判断される（ステップ161 ）。

【０２３８】Ｑ₀≠Ｑ₁のときには（ステップ161 でN
O），始点が縮退していないので制御点Ｑ₀とＱ₁の座
標データを用いて式(22)にしたがって単位接線ベクトル
Ｅ_iが計算される（ステップ162 ）。

【０２３９】Ｑ₀＝Ｑ₁のときには（ステップ161 でYE
S ），始点が縮退しているので制御点Ｑ₀とＱ₂の座標
データを用いて，式(78)にしたがって単位接線ベクトル
Ｅ_iが近似計算される（ステップ163 ）。

【０２４０】制御点Ｑ₂とＱ₃とが一致しているかどう
か，すなわち，終点において制御点が縮退しているかど
うかが判断される（ステップ164 ）。

【０２４１】Ｑ₂≠Ｑ₃のときには（ステップ164 でN
O），終点が縮退していないので制御点Ｑ₂とＱ₃の座
標データを用いて，式(23)にしたがって単位接線ベクト
ルＥ_fが計算される（ステップ165 ）。

【０２４２】Ｑ₂＝Ｑ₃のときには（ステップ164 でYE
S ），終点が縮退しているので制御点Ｑ₁とＱ₃の座標
データを用いて，式(79)にしたがって終点における単位
接線ベクトルＥ_fが近似計算される（ステップ166 ）。

【０２４３】以上のようにして，３次ベジェ曲線の始点
における単位接線ベクトルＥ_iと，終点における単位接
線ベクトルＥ_fが算出される。

【０２４４】このようにして算出された単位接線ベクト
ルＥ_iおよびＥ_fを用いて，制御点が縮退していても３
次ベジェ曲線を５次ベジェ曲線に次数変換できることに
なる。

【０２４５】たとえば，図20に示すＣＡＤデータ・ファ
イルにおいて，始点が縮退している要素Ｃ22について次
数変換を行うと，図24に示す座標データが得られる。こ
の要素Ｃ22について次数変換して得られる制御点Ｋ₀〜
Ｋ₅は図25に示すようになる。図25および図24から分か
るように，要素Ｃ22の５次ベジェ曲線において，次数変
換する前の３次ベジェ曲線と同じように始点Ｋ₀，Ｋ₁
が縮退したままになっている。

【０２４６】4.4 ３次ベジェ曲線から５次ベジェ曲線
への次数変換（縮退がある場合；その２）３次ベジェ曲線の始点または終点で制御点が縮退してい
る場合は，上述の「4.3 ３次ベジェ曲線から５次ベジェ
曲線への次数変換（縮退がある場合；その１）」におい
て説明したように，縮退している点における単位接線ベ
クトルを近似計算することにより，３次ベジェ曲線を５
次ベジェ曲線に次数変換することができる。

【０２４７】しかし，３次ベジェ曲線の始点において制
御点が縮退しているときには（Ｑ₀＝Ｑ₁），得られた
５次ベジェ曲線の制御点Ｋ_i（i ＝０〜５）のうち，制
御点Ｋ₁とＫ₀とは同じ値またはほぼ同じ値になり，変
換後も縮退はとれないままである。３次ベジェ曲線の終
点において制御点が縮退しているとき（Ｑ₂＝Ｑ₃）に
も同様である。

【０２４８】図26は，制御点の縮退を無くすることので
きる次数変換の処理手順を示している。この図26におい
て，図22に示す処理と同一処理には同一符号を付し詳細
な説明を省略する。図26では，ステップ124Aにおける処
理が加わっている。この処理では，ステップ121 におい
てパラメータｔの軸上で等間隔に設定したパラメータｔ
_j（ｊ＝０〜５）を，制御点の縮退を無くするために，
再計算するものである。

【０２４９】4.4.1 パラメータの再計算パラメータｔ_jは，３次ベジェ曲線の始点Ｐ₀から曲線
上の点Ｐ_jまでの長さを，始点Ｐ₀から終点Ｐ₅までの
全長を用いて正規化することにより再計算される。

【０２５０】パラメータｔ_jを再計算することによっ
て，５次ベジェ曲線の始点と終点の間で制御点Ｋ_j（ｊ
＝０〜５）をほぼ均等に分散させることができる。これ
により次数変換後の制御点Ｋ_jの縮退を無くすることが
できる。

【０２５１】図27を参照して，３次ベジェ曲線を，３点
Ｐ_j，Ｐ_j+1およびＰ_j+2（ｊ＝０〜３）を通る円とし
て近似する。

【０２５２】直線分Ｐ_jＰ_j+1，直線分Ｐ_j+1Ｐ_j+2お
よび直線分Ｐ_jＰ_j+2のそれぞれを表すベクトルを，
ｕ，ｖおよびｗと置くと，これらのベクトルは次式で表
される。

【０２５３】ｕ＝（ｘ_j+1−ｘ_j ，ｙ_j+1−ｙ_j ，ｚ_j+1−ｚ_j ） …(80) ｖ＝（ｘ_j+2−ｘ_j ，ｙ_j+2−ｙ_j ，ｚ_j+2−ｚ_j ） …(81) ｗ＝（ｘ_j+2−ｘ_j+1，ｙ_j+2−ｙ_j+1，ｚ_j+2−ｚ_j+1） …(82)

【０２５４】３点Ｐ_j，Ｐ_j+1およびＰ_j+2を通る円の
半径Ｒは，ベクトルｕ，ｖおよびｗを用いて次式で表さ
れる。

【０２５５】

【数５６】

【０２５６】弧Ｐ_jＰ_j+1の弧長Ｌ_2j+1および弧Ｐ_j+1
Ｐ_j+2の弧長Ｌ_2j+2は，次式で与えられる。

【０２５７】Ｌ_2j+1＝２Ｒ・arcsin（｜ｕ｜／２Ｒ） …(84) Ｌ_2j+2＝２Ｒ・arcsin（｜ｗ｜／２Ｒ） …(85)

【０２５８】ｊを０から３まで１ずつインクリメントし
ながら，弧長Ｌ₁〜Ｌ₈を計算する。

【０２５９】３次ベジェ曲線を円に近似したときの点Ｐ
₀から点Ｐ_j（ｊ＝１〜５）までの長さＭ_j（ｊ＝１〜
５）は，次式によって算出される。

【０２６０】Ｍ₁＝Ｌ₁ …(86) Ｍ₂＝Ｌ₁＋（Ｌ₂＋Ｌ₃）／２＝Ｍ₁＋（Ｌ₂＋Ｌ₃）／２ …(87) Ｍ₃＝Ｌ₁＋（Ｌ₂＋Ｌ₃）／２＋（Ｌ₄＋Ｌ₅）／２＝Ｍ₂＋（Ｌ₄＋Ｌ₅）／２ …(88) Ｍ₄＝Ｌ₁＋（Ｌ₂＋Ｌ₃）／２＋（Ｌ₄＋Ｌ₅）／２＋（Ｌ₆＋Ｌ₇）／２＝Ｍ₃＋（Ｌ₆＋Ｌ₇）／２ …(89) Ｍ₅＝Ｌ₁＋（Ｌ₂＋Ｌ₃）／２＋（Ｌ₄＋Ｌ₅）／２＋（Ｌ₆＋Ｌ₇）／２＋Ｌ₈ ＝Ｍ₄＋Ｌ₈ …(90)

【０２６１】上記の式(86)〜(90)において，（Ｌ₂＋Ｌ
₃）／２は３次ベジェ曲線上の点Ｐ₁から点Ｐ₂までの
曲線の長さを表わし，ｊ＝０とおいたときの弧Ｐ₁Ｐ₂
の弧長Ｌ₂と，ｊ＝１とおいたときの弧Ｐ₁Ｐ₂の弧長
Ｌ₃との平均値である。同様に，（Ｌ₄＋Ｌ₅）／２は
３次ベジェ曲線上の点Ｐ₂から点Ｐ₃までの曲線の長さ
を表わし，ｊ＝１とおいたときの弧Ｐ₂Ｐ₃の弧長Ｌ₄
と，ｊ＝２とおいたときの弧Ｐ₂Ｐ₃の弧長Ｌ₅との平
均値であり，（Ｌ₆＋Ｌ₇）／２は３次ベジェ曲線上の
点Ｐ₃から点Ｐ₄までの曲線の長さを表わし，ｊ＝２と
おいたときの弧Ｐ₃Ｐ₄の弧長Ｌ₆と，ｊ＝３とおいた
ときの弧Ｐ₃Ｐ₄の弧長Ｌ₇との平均値である。

【０２６２】パラメータｔ_jの再計算は，点Ｐ₀からＰ
_j（ｊ＝０〜５）までの３次ベジェ曲線の長さＭ_j（ｊ
＝１〜５）を，その全長Ｍ₅によって正規化することで
あるから，その計算は次式により表される。

【０２６３】ｔ₀＝０ …(91) ｔ₁＝Ｍ₁／Ｍ₅ …(92) ｔ₂＝Ｍ₂／Ｍ₅ …(93) ｔ₃＝Ｍ₃／Ｍ₅ …(94) ｔ₄＝Ｍ₄／Ｍ₅ …(95) ｔ₅＝１ …(96)

【０２６４】このようにして，新たなパラメータｔ
_j（ｊ＝０〜５）が得られる。

【０２６５】図28は，ステップ124Aにおけるパラメータ
の再計算処理の手順を示している。

【０２６６】ｊが０に初期化され（ステップ171 ），３
点Ｐ_j，Ｐ_j+1およびＰ_j+2が選択される（ステップ17
2 ）。選択された３点の座標データを用いて式(80)，(8
1)および(82)により，ベクトルｕ，ｖおよびｗが計算さ
れる（ステップ173 ）。

【０２６７】計算されたベクトルｕ，ｖおよびｗを用い
て式(83)により，３点Ｐ_j，Ｐ_j+1およびＰ_j+2を通る
円の半径Ｒが計算される（ステップ174 ）。計算された
半径Ｒ，ならびにベクトルｕおよびｗを用いて式(84)お
よび(85)により，弧Ｐ_jＰ_j+1の弧長Ｌ_2j+1および弧Ｐ
_j+1Ｐ_j+2の弧長Ｌ_2j+2が計算される（ステップ17
5）。

【０２６８】ｊをインクリメントしながら（ステップ17
7 ），ｊが３を超えるまでステップ172 〜175 の処理が
繰り返し行われる。ｊ＝３となれば，点Ｐ₀から点Ｐ_j
（ｊ＝１〜５）までの長さＭ_jを算出するのに必要な弧
長Ｌ_2j+1，Ｌ_2j+2の計算が終了したことになる。

【０２６９】ｊが４になると（ステップ176 でNO），点
Ｐ₀から点Ｐ_jまでの長さＭ_j（ｊ＝１〜５）が式(86)
〜(90)により計算される（ステップ178 ）。算出された
各点Ｐ_jまでの長さＭ_jを，点Ｐ₀から点Ｐ₅までの３
次ベジェ曲線の全長（長さＭ₅）により正規化すること
によって（式(91)〜(96)），新たなパラメータｔ_j（ｊ
＝０〜５）が得られる（ステップ179 ）。

【０２７０】以上のようにして，パラメータｔ_j（ｊ＝
０〜５）が再計算される。

【０２７１】図26，ステップ124 の処理においては，ス
テップ124Aにおいて再計算されたパラメータをｔ_j用い
て５次ベジェ曲線の制御点Ｋ_i（i ＝０〜５）が計算さ
れる。

【０２７２】たとえば，図13に示すＣＡＤデータ・ファ
イルにおいて，始点が縮退している要素Ｃ22について次
数変換を行うと，図29に示す座標データが得られる。こ
の要素Ｃ22についての次数変換後の制御点は，図30に示
すようになる。図25と図30を比較すると分かるように，
要素Ｃ22の５次ベジェ曲線の制御点は，パラメータｔ_j
を再計算する前は，図25のように，始点が縮退したまま
になっているが，再計算した後は，図30に示すように，
縮退がなくなり，６個の制御点Ｋ₀〜Ｋ₅が別個の位置
に現われている。

【０２７３】4.5 ｎ次ベジェ曲線からｍ次ベジェ曲線
への次数変換上述した３次ベジェ曲線から５次ベジェ曲線への変換を
一般的に，ｎ次ベジェ曲線からｍ次ベジェ曲線へ次数変
換に応用することができる。ここで，ｎおよびｍは３以
上の整数である。

【０２７４】次数変換には，低次から高次への変換（ｎ
＜ｍ）もしくは高次から低次への変換（ｎ＞ｍ），また
は同次の変換（ｎ＝ｍ）がある。

【０２７５】低次から高次への変換は，たとえば上述の
簡易ＣＡＤシステムから設計支援用ＣＡＤシステムへデ
ータ・ファイルを伝達する場合である。高次から低次へ
の変換は，たとえば設計支援用ＣＡＤシステムから簡易
ＣＡＤシステムへのデータ・ファイルを伝達する場合で
ある。同次の変換は，制御点の縮退を無くする場合に行
われる。

【０２７６】ｎ次ベジェ曲線からｍ次ベジェ曲線への変
換について説明する。

【０２７７】ｎ次ベジェ曲線からｍ次ベジェ曲線へ次数
変換するとき，（ｎ＋１）個の制御点Ｑ_i（i ＝０，
１，…，ｎ）を用いて，（ｍ＋１）個の制御点Ｋ_i（i
＝０，１，…，ｎ，…，ｍ）を計算することになる。

【０２７８】ｎ次ベジェ曲線がｍ次ベジェ曲線に変換さ
れるから，（ｍ＋１）個のｎ次ベジェ曲線上の点が必要
となる。（ｍ＋１）個のパラメータｔ_j（ｊ＝０〜ｍ）
が０〜１の間で１／ｍに等間隔に次式により計算され
る。

【０２７９】ｔ_j＝ｊ／ｍ …(97)

【０２８０】ｔ＝ｔ_jにおけるｎ次ベジェ曲線上の点を
Ｐ_jと置くと，点Ｐ_jは式(1) から次式で表される。

【０２８１】

【数５７】

【０２８２】式(98)を用いて（ｍ＋１）個の点Ｐ_j（ｊ
＝０〜ｍ）の座標を計算すると演算量が多大になり時間
を要するので，点Ｐ_jの座標は点Ｐ₀から順に前進差分
法により計算するとよい。この前進差分法は３次ベジェ
曲線から５次ベジェ曲線への次数変換の場合と同様であ
る。

【０２８３】ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点Ｐ_j
（ｊ＝０〜ｍ）の座標を計算し，ｎ次ベジェ曲線の始点
Ｐ₀から各点Ｐ_jまでの長さＭ_j（ｊ＝１〜ｍ）を近似
計算する。近似計算した各点Ｐ_j（ｊ＝１〜ｍ−１）ま
での長さＭ_j（ｊ＝１〜ｍ−１）をｎ次ベジェ曲線の全
長Ｍ_mを用いて正規化することによりパラメータｔ
_j（ｊ＝０〜ｍ）を再計算する。このパラメータの再計
算は，３次ベジェ曲線から５次ベジェ曲線への次数変換
の場合と同様である。

【０２８４】ｎ次ベジェ曲線の始点または終点おいて制
御点が縮退していないとき，始点および終点における単
位接線ベクトルＥ_iおよびＥ_fはそれぞれ，制御点Ｑ₀
とＱ₁およびＱ_n-1とＱ_nの座標データを用いて次式で
算出される。

【０２８５】

【数５８】

【数５９】

【０２８６】ｎ次ベジェ曲線の始点において制御点が縮
退しているときはＱ₀＝Ｑ₁であるから，ｎ次ベジェ曲
線の始点おける単位接線ベクトルＥ_iは，制御点Ｑ₀お
よびＱ₂を用いて次式で与えられる。

【０２８７】

【数６０】

【０２８８】ｎ次ベジェ曲線の終点において制御点が縮
退しているときはＱ_n＝Ｑ_n-1であるから，ｎ次ベジェ
曲線の終点おける単位接線ベクトルＥ_fは制御点Ｑ_nお
よびＱ_n-2を用いて次式で与えられる。

【０２８９】

【数６１】

【０２９０】ｍ次ベジェ曲線がｎ次ベジェ曲線上の点Ｐ
_j（ｊ＝０〜ｍ）またはその点の近傍を通るという条件
から，ｍ次ベジェ曲線上の点とｎ次ベジェ曲線上の点Ｐ
_jとの誤差ｒは，次式で表される。

【０２９１】

【数６２】

【０２９２】ここで，ｍ次ベジェ曲線の始点および終点
は，ｎ次ベジェ曲線の始点Ｐ₀および終点Ｐ_mと一致す
るから，次式が得られる。

【０２９３】

【数６３】

【数６４】

【０２９４】式(104) ，(105) を式(103) に代入する
と，次式が得られる。

【０２９５】

【数６５】

【０２９６】ｍ次ベジェ曲線の始点Ｐ₀および終点Ｐ_m
はそれぞれ，制御点Ｋ₀およびＫ_mに一致するから，次
式が成立つ。

【０２９７】Ｋ₀＝Ｐ₀ …(107) Ｋ_m＝Ｐ_m …(108)

【０２９８】制御点Ｋ₀とＫ₁との距離をｄ_iと置き，
制御点Ｋ_mとＫ_m-1との距離をｄ_fと置く。始点におけ
る単位接線ベクトルＥ_iおよび終点における単位接線ベ
クトルＥ_fがそれぞれ保存されるという条件から，ｍ次
ベジェ曲線の制御点Ｋ₁，Ｋ_m-1はそれぞれ，次式で表
される。

【０２９９】Ｋ₁ ＝Ｋ₀＋ｄ_iＥ_i …(109) Ｋ_m-1＝Ｋ_m＋ｄ_fＥ_f …(110)

【０３００】式(107) および(108) をそれぞれ，式(10
9) および(110) に代入すると，次式が得られる。

【０３０１】Ｋ₁ ＝Ｐ₀＋ｄ_iＥ_i …(111) Ｋ_m-1＝Ｐ_m＋ｄ_fＥ_f …(112)

【０３０２】式(111) および(112) を式(106) に代入す
ると次式が得られる。

【０３０３】

【数６６】

【０３０４】さらに，Ｐ_j＝（ｘ_j，ｙ_j，ｚ_j），Ｋ
_i＝（ａ_i，ｂ_i，ｃ_i），Ｅ_i＝（Ｅ_i,x，Ｅ_i,y，
Ｅ_i,z）およびＥ_f＝（Ｅ_f,x，Ｅ_f,y，Ｅ_f,z）を式
(113) にすることにより，次式が得られる。

【０３０５】

【数６７】

【０３０６】式(114) において，未知数はｄ_i，ｄ_f，
ａ₂，ａ₃，…，ａ_m-2，ｂ₂，ｂ₃，…，ｂ_m-2，ｃ
₂，ｃ₃，…，ｃ_m-2である。３次ベジェ曲線から５次
ベジェ曲線への変換と同様にして，式(112) の誤差ｒを
各未知数で偏微分して０と置き，それらによって得られ
るベクトル方程式をガウスの消去法を実行することによ
り解き未知数を得る。

【０３０７】このようにして，距離ｄ_iおよびｄ_fと，
制御点Ｋ₂〜Ｋ_m-2とが得られる。得られた距離ｄ_iお
よびｄ_fを用いて，式(109) および(110) から，制御点
Ｋ₁およびＫ_m-1が得られる。制御点Ｋ₀およびＫ
_mは，式(107) および(108) から得られる。

【０３０８】上記の説明では，単位接線ベクトルの近似
計算と，パラメータの再計算を含めて説明しているが，
制御点が縮退していなければそれらの処理を省くとこと
ができる。

【０３０９】以上のようにして，ｎ次ベジェ曲線の（ｎ
＋１）個の制御点Ｑ₀〜Ｑ_nから，ｍ次ベジェ曲線の
（ｍ＋１）個の制御点Ｋ₀〜Ｋ_mを算出することによ
り，ｎ次ベジェ曲線からｍ次ベジェ曲線への次数変換が
行われる。

【０３１０】５．ベジェ曲線の描画上述のようにして５次ベジェ曲線を表わすデータが設計
支援用ＣＡＤシステム20において得られた。このデータ
を用いてベジェ曲線をＣＲＴ表示画面上に描画する処理
について説明する。

【０３１１】5.1 ハードウエア構成図31は設計支援用ＣＡＤシステム20のハードウエア構成
の概要を示している。

【０３１２】設計支援用ＣＡＤシステム20は上述したよ
うにコンピュータ・システムによって構成され，ＣＰＵ
30を備えている。このＣＰＵ30には，ハードディスク・
ドライバ31，ＦＤ（フロッピーディスク）ドライバ32，
ＲＡＭ33，入力装置34，ＶＲＡＭ35，表示制御回路36等
が必要なインターフェイス（図示略）を介して接続され
ている。

【０３１３】ハードディスク・ドライバ31はハードディ
スク31A にデータ（プログラムを含む）書込む，または
ハードディスク31A からデータを読出すものである。ハ
ードディスク31A は上述したＣＡＤデータ・ベース22
（図１参照）として用いられる。また，ＣＡＤデータ変
換処理21，次数変換処理23，後述する表示処理等をＣＰ
Ｕ30に実行させるために，ＣＰＵ30を制御するプログラ
ムがハード・ディスク31A に格納されている。

【０３１４】ＦＤドライバ32はＦＤ32A にデータを書込
む，またはＦＤ32A からデータを読出すものである。Ｃ
ＡＤデータ・ベース22をＦＤ32A によって実現してもよ
い。ＣＡＤデータ変換処理21，次数変換処理23，表示処
理等のコンピュータ・プログラムをＦＤ32A に格納して
もよい。

【０３１５】ＲＡＭ33はＣＡＤデータ変換処理21および
次数変換処理23において生成されるデータの一時記憶，
その他の目的のためのワーク・メモリとして用いられ
る。

【０３１６】入力装置34はキーボード，マウス等を含
み，設計支援用ＣＡＤシステム20における一連の動作の
ための指令およびデータを入力するために用いられる。

【０３１７】ＶＲＡＭ35はビット・マップ・メモリとし
て用いられるもので，ＣＲＴ表示装置37に表示する画像
（図30に示されるような製品の設計図）を表わすデータ
を，ＣＲＴ表示装置37の表示面の画素ごとに記憶する。

【０３１８】表示制御回路36は，ＣＰＵ30の制御の下
に，ＶＲＡＭ35に記憶された画像データに基づいて製品
を表わす図形をＣＲＴ表示装置37に表示するための映像
信号を生成して出力する。

【０３１９】5.2 ベジェ曲線の表示のための処理ベジェ曲線Ｐ(t) は式(1) および式(2) においてｎ＝５
と置き，整理すると次式で表わされる（制御点の記号Ｑ
_iをＫ_iで置きかえる）。

【０３２０】Ｐ(t) ＝（１−５ｔ＋10ｔ²−10ｔ³＋５ｔ⁴＋ｔ⁵）Ｋ₀ ＋５（ｔ−４ｔ²＋６ｔ³−４ｔ⁴＋ｔ⁵）Ｋ₁ ＋10（ｔ²−３ｔ³＋３ｔ⁴＋ｔ⁵）Ｋ₂ ＋10（ｔ³−２ｔ⁴＋ｔ⁵）Ｋ₃ ＋５（ｔ⁴−ｔ⁵）Ｋ₄ ＋ｔ⁵Ｋ₅ （０≦ｔ≦１） …(115)

【０３２１】変換後の５次ベジェ曲線の一例として，図
30に示される曲線Ｃ１を考えると，その制御点Ｋ_i（i
＝０〜５）を表わす座標データは図29に示されており
（ＣＲＶＥ１のデータ），次の通りである。

【０３２２】Ｋ₀＝（Ｋ_0,x，Ｋ_0,y，Ｋ_0,z）＝（136.1315，248.0133，0.0 ）Ｋ₁＝（136.1315，248.3959，0.0 ）Ｋ₂＝（129.0745，266.662 ，0.0 ）Ｋ₃＝（117.4764，268.6526，0.0 ）Ｋ₄＝（109.691 ，269.6551，0.0 ）Ｋ₅＝（ 99.8779，269.6551，0.0 ）

【０３２３】式(115) で表わされる５次ベジェ曲線をＣ
ＲＴ表示装置37に表示するためのＣＰＵ30による表示処
理手順が図32に示されている。説明を簡単にするため
に，５次ベジェ曲線を表わすデータに，拡大，縮小また
は平行移動処理を施すことなく，このデータによって表
わされる５次ベジェ曲線をそのまま表示する処理につい
て説明する。また，図29に示す座標データではΖ座標は
すべて0.0 であるから，二次元平面上における表示とす
る。

【０３２４】ベジェ曲線の表示処理はパラメータｔを小
刻みに変化させながらベジェ曲線の座標を式(115) にし
たがって計算し，隣接する２つの座標の間に直線を引く
ものである。したがって，パラメータｔの変化分が小さ
ければ小さいほど，より多くの直線分によって曲線が表
わされるので，より滑らかな曲線表示が可能となる。

【０３２５】まず，ｔ＝０と置いて式(115) を計算し，
始点Ｐ(0) の座標を求める。この点Ｐ(0) のｘ，ｙ，座
標をＰ_x，Ｐ_yとする（ステップ181 ）。

【０３２６】次に，ｔ＋Δｔ（＝ｔ）と置いて式(115)
を計算し，ｔ＋Δｔによって規定されるベジェ曲線上の
点Ｐ（ｔ＋Δｔ）の座標を求める。この点Ｐ（ｔ＋Δ
ｔ）のｘ，ｙ座標をＰ_x+Δ，Ｐ_y+Δとする（ステップ18
2 ）。Δｔは画像の解像度（または拡大率）に応じて適
切に定めればよい。たとえばΔｔ＝0.02。

【０３２７】このようにして求めた２つの点（Ｐ_x，Ｐ
_y）から点（Ｐ_x+Δ，Ｐ_y+Δ）まで直線を引く（ＣＲＴ
表示装置37の表示画面上で直線を表示する）（ステップ
183）。

【０３２８】２つの点の座標を表わすデータが与えられ
たときに，それらの間に直線を描画するハードウエアは
知られている。表示制御回路36がこのハードウエアを含
んでいれば，このハードウエアに算出した２つの座標デ
ータを与えることにより直線描画を達成できる。ステッ
プ183 の処理をソフトウエアで実現する例については後
述する。

【０３２９】Ｐ_x+ΔをＰ_xと置き，Ｐ_y+ΔをＰ_yと置く
（ステップ184 ）。

【０３３０】この後，ステップ182 に戻り，先のｔ＋Δ
ｔを新たなｔと置いて，この新たなｔにΔｔを加算して
得られる新たなパラメータ（ｔ＋Δｔ）を用いて再びＰ
_x+Δ，Ｐ_y+Δを算出する。

【０３３１】ステップ182 〜184 の処理はｔ＝1.0 とな
るまで繰返される。

【０３３２】３次元ベジェ曲線の場合にも同じようにし
てその表示を行うことができる。この場合にはΖ座標に
ついても式(115) にしたがう計算が行なわれる。３次元
空間における座標点を２次元平面に撮影すれば，表示の
ためのデータが得られる。

【０３３３】ベジェ曲線を拡大，縮小または平行移動し
て表示する場合には，ＣＡＤデータ・ファイル内の座標
データ（図29に示すデータ）に拡大，縮小または平行移
動のための演算を施したのちに，図32に示す表示処理を
行えばよい。とくに，拡大，縮小の場合にはパラメータ
ｔの変化分Δｔを適切になるように変更する。たとえ
ば，拡大倍率を大きくしたときには変化分Δｔを小さく
することが好ましい。

【０３３４】ＣＲＴ表示装置37の画面上への表示のみな
らず，他の出力装置（たとえばプリンタ）を用いたベジ
ェ曲線の描画も同様に可能である。

【０３３５】ソフトウエアによる直線の表示処理（ステ
ップ183)について説明する。

【０３３６】ＣＲＴ表示装置37の表示画面の分解能また
は解像度（画素数）は装置に応じて定まっている。図33
はＣＲＴ表示画面の構造を模式的に示すものであり，格
子点が画素の中心である。一画素ピッチ以上離れた２つ
の点（Ｐ_x，Ｐ_y）と（Ｐ_x+Δ，Ｐ_y+Δ）とを結ぶ直線
を表示する場合には，これらの２点を結ぶ直線（鎖線で
示す）が通る画素（ハッチングで示す）を光らせる。

【０３３７】図34は直線表示処理ルーチンを示すもので
ある。このルーチンは既に知られているものであるから
簡単に説明する。２つの点（Ｐ_x，Ｐ_y），（Ｐ_x+Δ，
Ｐ_y+Δ）が与えられているものとする。これらの２つの
点を結ぶ直線を表わす方程式が作成される。

【０３３８】パラメータＩは表示すべき画素を求める計
算の基礎となるＸ軸上の位置を定めるものである。（表
示画面の座標のスケールとデータの座標のスケールとが
一致している場合には，Ｉによって表示画面上の画素が
Ｘ軸方向に１つずつ歩進される）。このパラメータＩが
１に設定される（ステップ191 ）。

【０３３９】上記の直線の方程式に基づいて，設定され
たパラメータＩにおいて，表示すべき（光らせるべき）
画面上の画素の座標（ｘ，ｙ）を求める（ステップ193
）。表示すべき画素は１個の場合と２個の場合とがあ
る。

【０３４０】このようにして求められた画素が表示画面
内にあれば（ステップ194 でＹＥＳ），その画素を光ら
せる（ステップ195 ）。求められた画素が表示画面内に
ない場合にはその画素の表示は行なわれない。

【０３４１】この後，パラメータＩがインクレメントさ
れ（Ｐ_x+Δ＞Ｐ_xの場合），またはデクレメント（Ｐ_x
＞Ｐ_x+Δの場合）され（ステップ196 ），ステップ192
に戻る。

【０３４２】パラメータＩが（Ｐ_x+Δ−Ｐ_x）よりも大
きくなるまで，ステップ193 〜196の処理が繰返される
（ステップ192 ）。

【０３４３】表示画面上の画素を光らせる処理（ステッ
プ195 ）は，ＶＲＡＭ35上で，その画素に対応する記憶
場所のビットを１にする（白黒表示の場合）ことにより
達成される。表示制御回路36の制御の下にＶＲＡＭ35内
のビット・マップ画像データがＣＲＴ表示装置37の表示
画面に反映される。

【０３４４】一般にビット・マップ・メモリは表示装置
37の各画素に対応する記憶場所を持っている。ＣＰＵ30
は，表示すべき画像データを，表示画面上の画素に対応
する記憶場所に書込む。カラー表示の場合には，一画素
の画像データは一般に複数ビットの三原色Ｒ．Ｇ．Ｂデ
ータから構成される。グレイ表示の場合には一画素の画
像データは複数ビットの画像データから構成され，白黒
表示の場合には画像データは一画素当り１ビットで表現
される。

【０３４５】白黒のビット・マップ・ディスプレイにつ
いて図35を参照して簡単に説明しておく。

【０３４６】表示画面のサイズを640 ×480 画素とす
る。画面の左上を原点としてＸＹ座標が設定される（ｘ
＝０〜639 ，ｙ＝479 ）。

【０３４７】ＶＲＡＭ35（ビット・マップ・メモリ）の
先頭アドレスをＡ0000番地とする。１つのアドレスによ
って指定される記憶場所には８ビットのデータ（すなわ
ち８画素分の表示データ）が格納できる。ＶＲＡＭ35の
アドレスは画面の水平，垂直走査の順に多くなるように
設定されている。

【０３４８】表示画面上の各画素の位置は，ＶＲＡＭ35
のアドレスによって指定される記憶場所内のビット位置
と対応している。たとえば，表示画面上の（ｘ，ｙ）＝
（０，12）の点Ｐは，ＶＲＡＭ35ではアドレスＡ0001番
地内の第５ビット目に対応する。

【０３４９】ＣＰＵ30は，表示すべき表示画面上の画素
のデータが求まると，その画素に対応するＶＲＡＭ35の
アドレスと，そのアドレス内のビット位置とを算出し，
そのビット位置に１ビット・データ「１」を書込む。こ
れが図34，ステップ195 における処理である。

【図面の簡単な説明】

【図１】簡易ＣＡＤシステムおよび設計支援用ＣＡＤシ
ステムのソフトウエア上の構成を示す機能ブロック図で
ある。

【図２】簡易ＣＡＤシステム上において，制御点が縮退
していない３次ベジェ曲線の描き方を説明する図であ
り，(A) は始点が指定された様子を示し，(B) は始点に
おける接線が指定された様子を示し，(C) は終点が指定
された様子を示し，(D) は終点における接線が指定され
た様子を示す。

【図３】簡易ＣＡＤシステム上において，制御点が縮退
した３次ベジェ曲線の描き方を説明する図であり，(A)
は始点が指定された様子を示し，(B) は終点が指定され
た様子を示し，(C) は終点における接線が指定された様
子を示す。

【図４】簡易ＣＡＤシステムによって描かれた製品のイ
ラストの一例を示す。

【図５】ＥＰＳＦデータ・ファイルの一例を示す。

【図６】ＥＰＳＦデータ・ファイルの一例を示す。

【図７】ＥＰＳＦデータ・ファイルの一例を示す。

【図８】図４に示すイラストにおいて，その一部の図形
要素を強調して示すものである。

【図９】ＩＧＥＳデータ・ファイルの一例を示す。

【図１０】ＩＧＥＳデータ・ファイルの一例を示す。

【図１１】ＩＧＥＳデータ・ファイルの一例を示す。

【図１２】設計支援用ＣＡＤシステムにおける次数変換
処理の全体的な手順を示すフロー・チャートである。

【図１３】ＣＡＤデータ・ファイルの一例を示す。

【図１４】設計支援用ＣＡＤシステム上で表示される，
ＣＡＤデータ・ファイルによって表される製品を示す。

【図１５】図14の製品を表す図において，一部の図形要
素について制御点を示すものである。

【図１６】３次ベジェ曲線から５次ベジェ曲線への次数
変換処理の手順を示すフロー・チャートである。

【図１７】３次ベジェ曲線から５次ベジェ曲線への次数
変換を説明するものであり，(A)は３次ベジェ曲線を規
定する４個の制御点と３次ベジェ曲線上の６個の点とを
示し，(B) は始点および終点における２つの単位接線ベ
クトルを示し，(C) は次数変換された５次ベジェ曲線を
規定する６個の制御点を示す。

【図１８】３次ベジェ曲線上の点を計算する処理手順を
示すフロー・チャートである。

【図１９】５次ベジェ曲線を規定する６個の制御点を計
算する処理手順を示すフロー・チャートである。

【図２０】縮退がない３次ベジェ曲線を次数変換して得
られるＣＡＤデータ・ファイルの一例を示す。

【図２１】縮退がない３次ベジェ曲線を次数変換して得
られるベジェ曲線の制御点を示す。

【図２２】３次ベジェ曲線の始点または終点において制
御点が縮退している場合の３次ベジェ曲線から５次ベジ
ェ曲線への次数変換の処理手順を示すフロー・チャート
である。

【図２３】３次ベジェ曲線の始点または終点において制
御点が縮退している場合の始点および終点における単位
接線ベクトルを計算する処理手順を示すフロー・チャー
トである。

【図２４】縮退をもつ３次ベジェ曲線を次数変換して得
られるＣＡＤデータ・ファイルの一例を示す。

【図２５】縮退をもつ３次ベジェ曲線を次数変換して得
られる５次ベジェ曲線の制御点を示す。

【図２６】３次ベジェ曲線の始点または終点において制
御点が縮退している場合の３次ベジェ曲線から５次ベジ
ェ曲線への次数変換処理の手順を示すフロー・チャート
である。

【図２７】５次ベジェ曲線上の点を与えるパラメータの
再計算を説明する図である。

【図２８】５次ベジェ曲線上の点を与えるパラメータの
再計算処理の手順を示すフロー・チャートである。

【図２９】３次ベジェ曲線を５次ベジェ曲線に次数変換
することによって得られるＣＡＤデータ・ファイルを示
す。

【図３０】３次ベジェ曲線を５次ベジェ曲線に次数変換
することによって得られるＣＡＤデータ・ファイルによ
り表される製品の形状を示す。

【図３１】設計支援用ＣＡＤシステムのハードウエア構
成を示すブロック図である。

【図３２】ベジェ曲線を表示する処理の手順を示すフロ
ー・チャートである。

【図３３】表示画面上で直線を描画する様子を示す。

【図３４】直線の描画の処理手順を示すフロー・チャー
トである。

【図３５】表示画面上の座標とビット・マップ・メモリ
の記憶場所のデータとの関係を示す。

【符号の説明】

10 簡易ＣＡＤシステム 11 ＥＰＳＦデータ・ベース 12 ＩＧＥＳデータ変換処理 20 設計支援用ＣＡＤシステム 21 ＣＡＤデータ変換処理 22 ＣＡＤデータ・ベース 23 次数変換処理

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】第１のＣＡＤシステムと第２のＣＡＤシ
ステムとから構成されるデザイン・システムであって，
上記第１のＣＡＤシステムは第１のデータ・ファイルと
第１の変換手段とを備え，上記第１のデータ・ファイル
は曲線をもつ製品のイラストを表わすデータの集まりで
あり，上記第１のデータ・ファイルは上記曲線を表わす
３次ベジェ曲線を規定する制御点データを含み，上記第
１の変換手段は，上記第１のデータ・ファイルを，複数
種類のＣＡＤシステムに共通のデータ・フォーマットを
持つ共通データ・ファイルに変換するものであり，上記
第２のＣＡＤシステムは第２の変換手段とＣＡＤデータ
・ベースとを備え，上記第２の変換手段は，上記第１の
ＣＡＤシステムから伝達された上記共通データ・ファイ
ルを，上記第２のＣＡＤシステムに固有のデータ・フォ
ーマットを持つＣＡＤデータ・ファイルに変換するもの
であり，上記ＣＡＤデータ・ベースは，３次ベジェ曲線
を規定する制御点データを含む，変換後の上記ＣＡＤデ
ータ・ファイルを記憶するものである，そのような上記
デザイン・システムにおいて，上記第２のＣＡＤシステ
ムはさらに，３次ベジェ曲線を規定する制御点データを
５次ベジェ曲線を規定する制御点データに変換するデー
タ変換手段と，このデータ変換手段によって変換された
ＣＡＤデータ・ファイルに基づいて製品を表わす画像を
表示装置に表示する表示制御手段とを備え，上記データ
変換手段は，上記ＣＡＤデータ・ベースに記憶されたＣ
ＡＤデータ・ファイルから３次ベジェ曲線を表わすデー
タを抽出するベジェ曲線抽出手段，３次ベジェ曲線上の
６個の点をそれぞれ与える６個の第１のパラメータを，
所定の範囲内で等間隔に決定する第１のパラメータ決定
手段，上記第１のパラメータ決定手段によって決定され
た６個の第１のパラメータと，３次ベジェ曲線を規定す
る制御点データとを用いて３次ベジェ曲線上の６個の点
を表す座標データを決定する座標決定手段，３次ベジェ
曲線の始点および終点のそれぞれにおける勾配を表す２
つの単位接線ベクトルを，３次ベジェ曲線を規定する制
御点データを用いて決定し，３次ベジェ曲線の始点また
は終点において制御点が縮退しているときには近似して
決定する接線ベクトル決定手段，上記座標決定手段によ
って決定された３次ベジェ曲線上の６個の点を表す座標
データを用いて，３次ベジェ曲線の始点から各点までの
３次ベジェ曲線の長さに応じた６個の第２のパラメータ
を決定する第２のパラメータ決定手段，ならびに上記３
次ベジェ曲線の長さに応じて決定された６個の第２のパ
ラメータと，上記３次ベジェ曲線上の６個の点を表す座
標データと，上記３次ベジェ曲線の始点および終点のそ
れぞれにおける２つの単位接線ベクトルとに基づいて，
３次ベジェ曲線の始点および終点における勾配を保存
し，かつ３次ベジェ曲線上の点またはその近傍を通るよ
うに，５次ベジェ曲線を規定する制御点データを決定す
る制御点決定手段を備え，上記表示制御手段は，上記デ
ータ変換手段により変換された５次ベジェ曲線を規定す
る制御点データを含むＣＡＤデータに基づいて製品を表
示するためのデータを作成する手段，および上記表示デ
ータをビット・マップ・メモリ上に展開する手段を備
え，上記表示データをビット・マップ・メモリ上に展開
たデータによって反映される製品の画像が上記表示装置
に表示される，ＣＡＤシステム。
【請求項２】３次ベジェ曲線を規定する制御点データ
を含むＣＡＤデータ・ファイルを記憶したＣＡＤデータ
・ベースと，上記３次ベジェ曲線を規定する制御点デー
タを５次ベジェ曲線を規定する制御点データに変換する
データ変換手段と，このデータ変換手段によって変換さ
れたＣＡＤデータ・ファイルに基づいて製品を表わす画
像を表示装置に表示する表示制御手段とを備え，上記デ
ータ変換手段は，上記ＣＡＤデータ・ベースに記憶され
たＣＡＤデータ・ファイルから３次ベジェ曲線を表わす
データを抽出するベジェ曲線抽出手段，３次ベジェ曲線
上の６個の点をそれぞれ与える６個の第１のパラメータ
を，所定の範囲内で等間隔に決定する第１のパラメータ
決定手段，上記第１のパラメータ決定手段によって決定
された６個の第１のパラメータと，３次ベジェ曲線を規
定する制御点データとを用いて３次ベジェ曲線上の６個
の点を表す座標データを決定する座標決定手段，３次ベ
ジェ曲線の始点および終点のそれぞれにおける勾配を表
す２つの単位接線ベクトルを，３次ベジェ曲線を規定す
る制御点データを用いて決定し，３次ベジェ曲線の始点
または終点において制御点が縮退しているときには近似
して決定する接線ベクトル決定手段，上記座標決定手段
によって決定された３次ベジェ曲線上の６個の点を表す
座標データを用いて，３次ベジェ曲線の始点から各点ま
での３次ベジェ曲線の長さに応じた６個の第２のパラメ
ータを決定する第２のパラメータ決定手段，ならびに上
記３次ベジェ曲線の長さに応じて決定された６個の第２
のパラメータと，上記３次ベジェ曲線上の６個の点を表
す座標データと，上記３次ベジェ曲線の始点および終点
のそれぞれにおける２つの単位接線ベクトルとに基づい
て，３次ベジェ曲線の始点および終点における勾配を保
存し，かつ３次ベジェ曲線上の点またはその近傍を通る
ように，５次ベジェ曲線を規定する制御点データを決定
する制御点決定手段を備え，上記表示制御手段は，上記
データ変換手段により変換された５次ベジェ曲線を規定
する制御点データを含むＣＡＤデータに基づいて製品を
表示するためのデータを作成する手段，および上記表示
データをビット・マップ・メモリ上に展開する手段を備
え，上記表示データをビット・マップ・メモリ上に展開
されたデータによって反映される製品の画像が上記表示
装置に表示される，ＣＡＤシステム。
【請求項３】第１のＣＡＤシステムと第２のＣＡＤシ
ステムとから構成されるデザイン・システムであって，
上記第１のＣＡＤシステムは第１のデータ・ファイルと
第１の変換手段とを備え，上記第１のデータ・ファイル
は曲線をもつ製品のイラストを表わすデータの集まりで
あり，上記第１のデータ・ファイルは上記曲線を表わす
ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データを含み，上記第
１の変換手段は，上記第１のデータ・ファイルを，複数
種類のＣＡＤシステムに共通のデータ・フォーマットを
持つ共通データ・ファイルに変換するものであり，上記
第２のＣＡＤシステムは第２の変換手段とＣＡＤデータ
・ベースとを備え，上記第２の変換手段は，上記第１の
ＣＡＤシステムから伝達された上記共通データ・ファイ
ルを，上記第２のＣＡＤシステムに固有のデータ・フォ
ーマットを持つＣＡＤデータ・ファイルに変換するもの
であり，上記ＣＡＤデータ・ベースは，ｎ次ベジェ曲線
を規定する制御点データを含む，変換後の上記ＣＡＤデ
ータ・ファイルを記憶するものである，そのような上記
デザイン・システムにおいて，上記第２のＣＡＤシステ
ムはさらに，ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データを
ｍ次ベジェ曲線を規定する制御点データに変換するデー
タ変換手段と，このデータ変換手段によって変換された
ＣＡＤデータ・ファイルに基づいて製品を表わす画像を
表示装置に表示する表示制御手段とを備え，上記データ
変換手段は，上記ＣＡＤデータ・ベースに記憶されたＣ
ＡＤデータ・ファイルからｎ次ベジェ曲線を表わすデー
タを抽出するベジェ曲線抽出手段，ｎ次ベジェ曲線上の
（ｍ＋１）個の点をそれぞれ与える（ｍ＋１）個の第１
のパラメータを，所定の範囲内で等間隔に決定する第１
のパラメータ決定手段，上記第１のパラメータ決定手段
によって決定された（ｍ＋１）個の第１のパラメータ
と，ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データとを用いて
ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点を表す座標データ
を決定する座標決定手段，ｎ次ベジェ曲線の始点および
終点のそれぞれにおける勾配を表す２つの単位接線ベク
トルを，ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データを用い
て決定し，ｎ次ベジェ曲線の始点または終点において制
御点が縮退しているときには近似して決定する接線ベク
トル決定手段，上記座標決定手段によって決定されたｎ
次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点を表す座標データを
用いて，ｎ次ベジェ曲線の始点から各点までのｎ次ベジ
ェ曲線の長さに応じた（ｍ＋１）個の第２のパラメータ
を決定する第２のパラメータ決定手段，ならびに上記ｎ
次ベジェ曲線の長さに応じて決定された（ｍ＋１）個の
第２のパラメータと，上記ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋
１）個の点を表す座標データと，上記ｎ次ベジェ曲線の
始点および終点のそれぞれにおける２つの単位接線ベク
トルとに基づいて，ｎ次ベジェ曲線の始点および終点に
おける勾配を保存し，かつｎ次ベジェ曲線上の点または
その近傍を通るように，ｍ次ベジェ曲線を規定する制御
点データを決定する制御点決定手段を備え，上記表示制
御手段は，上記データ変換手段により変換されたｍ次ベ
ジェ曲線を規定する制御点データを含むＣＡＤデータに
基づいて製品を表示するためのデータを作成する手段，
および上記表示データをビット・マップ・メモリ上に展
開する手段を備え，上記表示データをビット・マップ・
メモリ上に展開されたデータによって反映される製品の
画像が上記表示装置に表示される，ＣＡＤシステム。
【請求項４】ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データ
を含むＣＡＤデータ・ファイルを記憶したＣＡＤデータ
・ベースと，上記ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点デー
タをｍ次ベジェ曲線を規定する制御点データに変換する
データ変換手段と，このデータ変換手段によって変換さ
れたＣＡＤデータ・ファイルに基づいて製品を表わす画
像を表示装置に表示する表示制御手段とを備え，上記デ
ータ変換手段は，上記ＣＡＤデータ・ベースに記憶され
たＣＡＤデータ・ファイルからｎ次ベジェ曲線を表わす
データを抽出するベジェ曲線抽出手段，ｎ次ベジェ曲線
上の（ｍ＋１）個の点をそれぞれ与える（ｍ＋１）個の
第１のパラメータを，所定の範囲内で等間隔に決定する
第１のパラメータ決定手段，上記第１のパラメータ決定
手段によって決定された（ｍ＋１）個の第１のパラメー
タと，ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データとを用い
てｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点を表す座標デー
タを決定する座標決定手段，ｎ次ベジェ曲線の始点およ
び終点のそれぞれにおける勾配を表す２つの単位接線ベ
クトルを，ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データを用
いて決定し，ｎ次ベジェ曲線の始点または終点において
制御点が縮退しているときには近似して決定する接線ベ
クトル決定手段，上記座標決定手段によって決定された
ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点を表す座標データ
を用いて，ｎ次ベジェ曲線の始点から各点までのｎ次ベ
ジェ曲線の長さに応じた（ｍ＋１）個の第２のパラメー
タを決定する第２のパラメータ決定手段，ならびに上記
ｎ次ベジェ曲線の長さに応じて決定された（ｍ＋１）個
の第２のパラメータと，上記ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋
１）個の点を表す座標データと，上記ｎ次ベジェ曲線の
始点および終点のそれぞれにおける２つの単位接線ベク
トルとに基づいて，ｎ次ベジェ曲線の始点および終点に
おける勾配を保存し，かつｎ次ベジェ曲線上の点または
その近傍を通るように，ｍ次ベジェ曲線を規定する制御
点データを決定する制御点決定手段を備え，上記表示制
御手段は，上記データ変換手段により変換されたｍ次ベ
ジェ曲線を規定する制御点データを含むＣＡＤデータに
基づいて製品を表示するためのデータを作成する手段，
および上記表示データをビット・マップ・メモリ上に展
開する手段を備え，上記表示データをビット・マップ・
メモリ上に展開されたデータによって反映される製品の
画像が上記表示装置に表示される，ＣＡＤシステム。
【請求項５】製品を表わす画像を表示するために，そ
の画像を表わすデータをビット・マップ・メモリ上に展
開するために必要な基礎データのファイルであって，製
品の曲線を表わすｎ次ベジェ曲線を規定する制御点デー
タを含むＣＡＤデータ・ファイルを記憶するＣＡＤデー
タ・ベースを備えたＣＡＤシステムにおいて，ｎ次ベジ
ェ曲線を規定する制御点データをｍ次ベジェ曲線を規定
する制御点データに変換するデータ変換装置であり，上
記ＣＡＤデータ・ベースに記憶されたＣＡＤデータ・フ
ァイルからｎ次ベジェ曲線を表わすデータを抽出するベ
ジェ曲線抽出手段，ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の
点をそれぞれ与える（ｍ＋１）個のパラメータを，あら
かじめ定められたパラメータのとりうる範囲内で等間隔
に決定する第１のパラメータ決定手段，上記第１のパラ
メータ決定手段によって決定された（ｍ＋１）個のパラ
メータと，ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データとを
用いてｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点を表す座標
データを決定する座標決定手段，ｎ次ベジェ曲線の始点
および終点のそれぞれにおける勾配を表す２つの単位接
線ベクトルを，ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データ
を用いて決定する接線ベクトル決定手段，ならびに上記
ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点をそれぞれ与える
（ｍ＋１）個のパラメータと，上記ｎ次ベジェ曲線上の
（ｍ＋１）個の点を表す座標データと，上記ｎ次ベジェ
曲線の始点および終点のそれぞれにおける２つの単位接
線ベクトルとに基づいて，ｎ次ベジェ曲線の始点および
終点における勾配を保存し，かつｎ次ベジェ曲線上の点
またはその近傍を通るように，ｍ次ベジェ曲線を規定す
る制御点データを決定する制御点決定手段，を備えたＣ
ＡＤシステムにおけるベジェ曲線のデータ変換装置。
【請求項６】上記接線ベクトル決定手段は，ｎ次ベジ
ェ曲線の始点または終点において制御点が縮退している
とき，単位接線ベクトルを近似して決定するものであ
る，請求項５に記載のデータ変換装置。
【請求項７】上記座標決定手段によって決定されたｎ
次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点を表す座標データを
用いて，ｎ次ベジェ曲線の始点から各点までのｎ次ベジ
ェ曲線の長さに応じた（ｍ＋１）個のパラメータを決定
する第２のパラメータ決定手段をさらに備え，上記制御
点決定手段は，上記第１のパラメータ決定手段によって
等間隔に決定されたパラメータの代わりに，上記第２の
パラメータ決定手段によってｎ次ベジェ曲線の長さに応
じて決定されたパラメータを用いて，上記制御点データ
を決定するものである，請求項６に記載のデータ変換装
置。
【請求項８】ｍ次ベジェ曲線を規定する制御点データ
を含むＣＡＤデータに基づいて製品を表示するためのデ
ータを作成し，この表示データをビット・マップ・メモ
リ上に展開する手段をさらに備え，上記ビット・マップ
・メモリ上に展開されたデータによって反映される製品
の画像が表示装置に表示される，請求項５に記載のデー
タ変換装置。
【請求項９】ｎ＝３およびｍ＝５である，請求項５に
記載のデータ変換装置。
【請求項１０】製品を表わす画像を表示するために，
その画像を表わすデータをビット・マップ・メモリ上に
展開するために必要な基礎データのファイルであって，
製品の曲線を表わすｎ次ベジェ曲線を規定する制御点デ
ータを含むＣＡＤデータ・ファイルを記憶するＣＡＤデ
ータ・ベースを備えたＣＡＤシステムにおいて，ｎ次ベ
ジェ曲線を規定する制御点データをｍ次ベジェ曲線を規
定する制御点データに変換するデータ変換装置であり，
ｎ次ベジェ曲線上の点を与えるパラメータと，ｎ次ベジ
ェ曲線上の点を表す座標データと，ｎ次ベジェ曲線の始
点および終点のそれぞれにおける勾配を表す２つの接線
ベクトルとに基づいて，ｎ次ベジェ曲線の始点および終
点における勾配を保存し，かつｎ次ベジェ曲線上の点ま
たはその近傍を通るように，ｍ次ベジェ曲線を規定する
制御点データを決定する手段，および決定された制御点
データを上記ＣＡＤデータ・ベースに記憶する手段，を
備えたＣＡＤシステムにおけるベジェ曲線のデータ変換
装置。
【請求項１１】製品を表わす画像を表示するために，
その画像を表わすデータをビット・マップ・メモリ上に
展開するために必要な基礎データのファイルであって，
製品の曲線を表わすｎ次ベジェ曲線を規定する制御点デ
ータを含むＣＡＤデータ・ファイルを記憶するＣＡＤデ
ータ・ベースを備えたＣＡＤシステムにおいて，ｎ次ベ
ジェ曲線を規定する制御点データをｍ次ベジェ曲線を規
定する制御点データに変換するデータ変換方法であり，
上記ＣＡＤデータ・ベースに記憶されたＣＡＤデータ・
ファイルからｎ次ベジェ曲線を表わすデータを抽出し，
ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点をそれぞれ与える
（ｍ＋１）個のパラメータを，あらかじめ定められたパ
ラメータのとりうる範囲内で等間隔に決定し，上記（ｍ
＋１）個のパラメータと，ｎ次ベジェ曲線を規定する制
御点データとを用いてｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個
の点を表す座標データを決定し，ｎ次ベジェ曲線の始点
および終点のそれぞれにおける勾配を表す２つの単位接
線ベクトルを，ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データ
を用いて決定し，上記ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個
の点をそれぞれ与える（ｍ＋１）個のパラメータと，上
記ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点を表す座標デー
タと，上記ｎ次ベジェ曲線の始点および終点のそれぞれ
における２つの単位接線ベクトルとに基づいて，ｎ次ベ
ジェ曲線の始点および終点における勾配を保存し，かつ
ｎ次ベジェ曲線上の点またはその近傍を通るように，ｍ
次ベジェ曲線を規定する制御点データを決定する，ＣＡ
Ｄシステムにおけるベジェ曲線のデータ変換方法。
【請求項１２】ｎ次ベジェ曲線の始点または終点にお
いて制御点が縮退しているとき，単位接線ベクトルを近
似して決定する，請求項11に記載のデータ変換方法。
【請求項１３】上記ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個
の点を表す座標データを用いて，ｎ次ベジェ曲線の始点
から各点までのｎ次ベジェ曲線の長さに応じた（ｍ＋
１）個のパラメータを決定し，上記等間隔に決定された
パラメータの代わりに，上記ｎ次ベジェ曲線の長さに応
じて決定されたパラメータを用いて，上記ｍ次ベジェ曲
線を規定する制御点データを決定する，請求項12に記載
のデータ変換方法。
【請求項１４】ｍ次ベジェ曲線を規定する制御点デー
タを含むＣＡＤデータに基づいて製品を表示するための
データを作成し，この表示データをビット・マップ・メ
モリ上に展開する，請求項11に記載のデータ変換方法。
【請求項１５】ｎ＝３およびｍ＝５である，請求項11
に記載のデータ変換方法。
【請求項１６】製品を表わす画像を表示するために，
その画像を表わすデータをビット・マップ・メモリ上に
展開するために必要な基礎データのファイルであって，
製品の曲線を表わすｎ次ベジェ曲線を規定する制御点デ
ータを含むＣＡＤデータ・ファイルを記憶するＣＡＤデ
ータ・ベースを備えたＣＡＤシステムにおいて，ｎ次ベ
ジェ曲線を規定する制御点データをｍ次ベジェ曲線を規
定する制御点データに変換するデータ変換方法であり，
ｎ次ベジェ曲線上の点を与えるパラメータと，ｎ次ベジ
ェ曲線上の点を表す座標データと，ｎ次ベジェ曲線の始
点および終点のそれぞれにおける勾配を表す２つの接線
ベクトルとに基づいて，ｎ次ベジェ曲線の始点および終
点における勾配を保存し，かつｎ次ベジェ曲線上の点ま
たはその近傍を通るように，ｍ次ベジェ曲線を規定する
制御点データを決定し，決定した制御点データを上記Ｃ
ＡＤデータ・ベースに格納する，ＣＡＤシステムにおけ
るベジェ曲線のデータ変換方法。
【請求項１７】製品を表わす画像を表示するために，
その画像を表わすデータをビット・マップ・メモリ上に
展開するために必要なＣＡＤデータ・ファイルを記憶し
たＣＡＤデータ・ベースと，コンピュータとを備えたＣ
ＡＤシステムにおいて用いられる記録媒体であり，この
記録媒体には上記コンピュータが読取可能なプログラム
が記録されており，このプログラムは，製品の曲線を表
わすｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データをｍ次ベジ
ェ曲線を規定する制御点データに変換するデータ変換プ
ログラムを含み，このデータ変換プログラムは，上記Ｃ
ＡＤデータ・ベースに記憶されたＣＡＤデータ・ファイ
ルからｎ次ベジェ曲線を表わすデータを抽出する処理を
上記コンピュータに行なわせるためのベジェ曲線抽出コ
ード群，ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点をそれぞ
れ与える（ｍ＋１）個の第１のパラメータを，所定の範
囲内で等間隔に決定する処理を上記コンピュータに行な
わせるための第１のパラメータ決定コード群，上記第１
のパラメータ決定処理によって決定された（ｍ＋１）個
の第１のパラメータと，ｎ次ベジェ曲線を規定する制御
点データとを用いてｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の
点を表す座標データを決定する処理を上記コンピュータ
に行なわせるための座標決定コード群，ｎ次ベジェ曲線
の始点および終点のそれぞれにおける勾配を表す２つの
単位接線ベクトルを，ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点
データを用いて決定する処理を上記コンピュータに行な
わせるための接線ベクトル決定コード群，上記座標決定
処理によって決定されたｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）
個の点を表す座標データを用いて，ｎ次ベジェ曲線の始
点から各点までのｎ次ベジェ曲線の長さに応じた（ｍ＋
１）個の第２のパラメータを決定する処理を上記コンピ
ュータに行なわせるための第２のパラメータ決定コード
群，ならびに上記ｎ次ベジェ曲線の長さに応じて決定さ
れた（ｍ＋１）個の第２のパラメータと，上記ｎ次ベジ
ェ曲線上の（ｍ＋１）個の点を表す座標データと，上記
ｎ次ベジェ曲線の始点および終点のそれぞれにおける２
つの単位接線ベクトルとに基づいて，ｎ次ベジェ曲線の
始点および終点における勾配を保存し，かつｎ次ベジェ
曲線上の点またはその近傍を通るように，ｍ次ベジェ曲
線を規定する制御点データを決定する処理を上記コンピ
ュータに行なわせるための制御点決定コード群を含んで
いる，記録媒体。
【請求項１８】製品を表わす画像を表示するために，
その画像を表わすデータをビット・マップ・メモリ上に
展開するために必要なＣＡＤデータ・ファイルを記憶し
たＣＡＤデータ・ベースと，コンピュータとを備えたＣ
ＡＤシステムにおいて用いられる記録媒体であり，この
記録媒体には上記コンピュータが読取可能なプログラム
が記録されており，このプログラムは，製品の曲線を表
わすｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データをｍ次ベジ
ェ曲線を規定する制御点データに変換する，次のステッ
プからなる方法を遂行するためのものである；上記ＣＡ
Ｄデータ・ベースに記憶されたＣＡＤデータ・ファイル
からｎ次ベジェ曲線を表わすデータを抽出し，ｎ次ベジ
ェ曲線上の（ｍ＋１）個の点をそれぞれ与える（ｍ＋
１）個のパラメータを，あらかじめ定められたパラメー
タのとりうる範囲内で決定し，上記（ｍ＋１）個のパラ
メータと，ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データとを
用いてｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点を表す座標
データを決定し，ｎ次ベジェ曲線の始点および終点のそ
れぞれにおける勾配を表す２つの単位接線ベクトルを，
ｎ次ベジェ曲線を規定する制御点データを用いて決定
し，上記ｎ次ベジェ曲線上の（ｍ＋１）個の点をそれぞ
れ与える（ｍ＋１）個のパラメータと，上記ｎ次ベジェ
曲線上の（ｍ＋１）個の点を表す座標データと，上記ｎ
次ベジェ曲線の始点および終点のそれぞれにおける２つ
の単位接線ベクトルとに基づいて，ｎ次ベジェ曲線の始
点および終点における勾配を保存し，かつｎ次ベジェ曲
線上の点またはその近傍を通るように，ｍ次ベジェ曲線
を規定する制御点データを決定する。