JPH09319731A - データの補間方法及び補間装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 数値粘性誤差の少ない高精度のデータの補間
を行う。 【解決手段】 例えば２次元空間領域の点群の各点のス
カラー量及び空間微係数が既知であり、領域内の点Ｑの
スカラー量等を点群に属するＭ（＞２）個の点の情報か
ら補間する際、３Ｍ個の未知係数をもつ補間関数を設定
し、未知係数に関する３Ｍ個の連立一次方程式を解いて
補間関数を決定してこれにより点Ｑのスカラー量等を計
算する。この方法は２次元以外でも適用可能であり、２
次元では特に点Ｑを含む三角形の頂点を補間に用いるこ
とにより点の個数を最小化しかつ精度良く補間すること
ができる。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、流体の流れ現象を
記述するナビエ・ストークス方程式を解析することに代
表されるような、物理現象をコンピュータを用いてシミ
ュレーションする技術において必要となる、空間に分布
する点のデータから任意の点のデータを補間するデータ
の補間方法及び補間装置に関する。

【０００２】

【従来の技術】まず、１次元空間におけるデータの補間
方法について説明する。関数ｆ（ｘ）のｎ個の点ｘ₁ ，
ｘ₂ ，…，ｘ_n における値をそれぞれｆ₁ ，ｆ₂ ，…，
ｆ_n とする。またこの関数ｆ（ｘ）は適当な連続性をも
つものとする。このとき、ｎ個の点以外の点ｘ≠ｘ_i に
おけるｆ（ｘ）の値をｎ個の点（ｘ_i , ｆ_i ）を通る別
の関数で代用することを補間といい、補間のための関数
を補間関数あるいは補間式という。また、ｘの値がｎ個
の点ｘ_i の最小値と最大値の間に入っている場合には特
に補間または内挿と呼び、それ以外の場合には補外また
は外挿と呼ぶこともある。

【０００３】いくつかの補間方法のうち最も重要なもの
は、ｎ個の点（ｘ_i , ｆ_i ）を通るｎ−１次多項式で定
義されるラグランジュの補間多項式である。ラグランジ
ュ補間の中で最も単純で広く使われている例について、
図１を用いて説明する。符号１１を付した補間の対象と
なる点ｘに対し、点ｘにおける関数ｆの値を、点ｘをは
さむ符号１２を付した２点ｘ₁ ，ｘ₂ により補間を行
う。この２点ｘ₁ ，ｘ₂における関数ｆの値は既知であ
り、それぞれｆ₁ ，ｆ₂ で与えられるとする。このとき
補間式Ｆを Ｆ＝｛ｆ₁ （ｘ₂ −ｘ）＋ｆ₂ （ｘ−ｘ₁ ）｝／（ｘ₂
−ｘ₁ ） で与える。この補間式Ｆは図中符号１３の付された直線
であり、この補間はいわゆる線形補間である。

【０００４】しかし図中では実際の関数ｆが符号１４で
与えられたときには、符号１５で示される範囲の補間誤
差が生じる。このように、特にｘ₁ ，ｘ₂ をはさむ区間
内の関数ｆの分布が複雑な場合誤差を生じ、この誤差が
下記で述べる数値粘性誤差（人工粘性誤差とも呼ばれ
る。）の主たる原因となっている。このような誤差を減
らすためには、単なる１次関数の補間式ではなく、補間
多項式の次数を上げる必要があり、そのために補間に用
いる点の数を増やさねばならない。１次元空間が対象で
あれば点の数を増やすことにおいてそれほどの困難はな
いが、２次元以上の多次元が対象となる場合、図２に示
すように、補間に必要となる図中符号２２で示される点
がすべて枡目状に規則的に並んでいなければならないと
いう制約条件が問題となる。なお、図２で符号２１は補
間の対象となる点、符号２３は補間内挿の補助線を示
す。

【０００５】このような制約条件はラグランジュ補間法
に限らず、その他の、エルミート補間やスプライン補間
による方法でも同様である。一般的に、領域内の点群は
規則的に並んでいるとは限らず、また、領域が複雑な形
状の場合には規則的に点を配置することが困難である場
合が多い。したがって、不規則な並びの点群に対しても
適用できる精度の良い補間手法が必要となる。

【０００６】不規則な並びの点群に対する補間方法とし
て最も基本的なものは、三角形（２次元）や四面体（３
次元）の形状を基準とするものである。これは、例えば
２次元では図３に示すように、２次元領域３１内に点在
する点３２を適切な線分３３で結べば、領域３１が完全
に三角形に分割できるからである。

【０００７】以下２次元空間において、三角形を基準と
して補間する方法について説明する。三角形上の完全ｍ
次多項式を

【０００８】

【数１９】 とおくと、その未知係数ａ_ijは (m+1)(m+2)/2 個存在す
る。一方、三角形の各辺をｍ等分してこれらの等分点を
各辺に平行な直線で結ぶと、ｍ² 個の合同な小三角形が
得られる。またこれら小三角形の頂点はちょうど (m+1)
(m+2)/2 個存在する。したがって、この頂点すべてをも
との三角形上の補間のための節点にとり各点でスカラー
量ｆを与えれば、未知係数ａ_ijをすべて唯一に決定する
ことができる。

【０００９】最も単純な場合はｍ＝１の場合で、補間関
数は Ｆ₁ （ｘ，ｙ）＝ａ₀₀＋ａ₁₀ｘ＋ａ₀₁ｙ となり、図４に示した三角形４１の符号４２を付した３
頂点Ｐ₁ ，Ｐ₂ ，Ｐ₃ におけるスカラー量ｆ₁ ，ｆ₂ ，
ｆ₃ によってＦ₁ の未知係数ａ₀₀, ａ₁₀, ａ₀₁が求ま
り、三角形内の任意の点のスカラー量を求めることがで
きる。しかしＦ₁ は１次の多項式であるから、１次元の
ラグランジュ補間と同様に、三角形内のスカラー量の分
布が複雑な場合には対応できないため誤差が大きく精度
が低いため、数値粘性誤差の原因となる。したがって、
補間精度を高めるには高次の多項式を用いる必要が生じ
る。例えばｍ＝３の３次多項式を用いる場合、

【００１０】

【数２０】 となり、図５に示した三角形５２の符号５１を付した１
０点でのスカラー量を与えることにより、Ｆ₃ の１０個
の未知係数を決定する。このＦ₃ は３次多項式であるか
ら、三角形内のスカラー量の分布が複雑な場合にも対応
が可能となる。

【００１１】しかし実際は、領域内の点の配置が不規則
な場合に、このような点の配列を含む三角形５２を見つ
けることは不可能であり、逆に三角形５２内にこのよう
に多くの点をとることも困難である。したがって、補間
に利用する点の数をなるべく少なくしつつ、より高次の
補間を行うことが可能となる方法を開発する必要があ
る。

【００１２】

【発明が解決しようとする課題】物理現象をコンピュー
タを用いてシミュレーションする計算力学と呼ばれる技
術が、近年急速に発展しつつある。例えば、流体の流れ
現象を記述するナビエ・ストークス方程式に代表される
ような、物理現象を記述する微分方程式を計算機上で数
値的に解くためには、空間的、時間的に離散化する必要
がある。ここで、離散化に、連続体を対象にしたオイラ
ー（Euler ）系のモデルを用いるか、粒子系を対象とし
たラグランジュ（Lagrange）系の方法を用いるかで、そ
の解析手法は大きく異なる。

【００１３】有限差分法、有限要素法などで広く応用さ
れている座標格子を用いたオイラー系の方法では、すべ
ての情報を格子点に置き、その上で微分などの評価を行
って対象とする微分方程式を数値的に解析する。そのた
め、流動解析で表れるような移流項の計算において補間
が必要となり、従来の補間法では、良く知られている数
値粘性誤差が発生してしまう。また、境界が時間ととも
に変化するような問題を解くことも困難である。

【００１４】一方、移動境界問題を解くためいわゆるラ
グランジュ法が考えられている。この方法は、移流項以
外の項を格子点上で解いた後、格子点が流れとともに移
動することにより移流項を解くものである。特に、格子
点を流れとともに移動させることにより移流項を評価す
る部分をラグランジュ法と呼ぶこともある。しかし、こ
の方法も、時間が進むにつれて、点と点を結び体系を分
割する際基準となる図形（以後メッシュと呼ぶ。）の歪
みが大きくなり、それによる精度の悪化で計算が不可能
になることがある。

【００１５】このような問題を解決するため、オイラー
法とラグランジュ法の中間の方法としてＡＬＥ（Arbitr
ary Lagrangian Eulerian ）法が考えられたが、やはり
メッシュを基準としているための制約があった。

【００１６】また、移流が重要となる衝撃波を移流計算
による散逸を抑えて計算するために粒子法を用いたＰＩ
Ｃ（Particle In Cell）法が考えられた。この方法は、
ラグランジュ的に流体を追跡しながら、メッシュが歪ん
で計算精度が悪化することのないように物理量を粒子に
もたせる計算手法である。しかしこのようなラグランジ
ュ的な方法でも、計算点（粒子）をラグランジュ的に移
動させるだけでは計算点が集中したり計算領域を逸脱す
る可能性があるため、移流による移動とは別の、計算点
の再配置や移動を行わねばならない。その際には数値補
間を必要とするので、従来の補間法では多大な数値粘性
誤差の発生は避けられない。

【００１７】このように、流体の流れ現象を記述するナ
ビエ・ストークス方程式を解析する場合のように、物理
現象をコンピュータを用いてシミュレーションする計算
力学技術に共通する問題点として挙げられる誤差の原因
として最も重要なものは、領域内に、特に不規則に配置
されている点（あるいは格子点）上に定義されている物
理量から、それらの点以外の場所における物理量が必要
となった場合に行う補間の精度が低いことである。また
ほとんどの解析の手法においてこうした補間は極めて重
要である。本発明は上記課題に鑑みてなされたものであ
り、精度の高い、すなわち数値粘性誤差の小さいデータ
の補間方法を提供することを目的とする。

【００１８】

【課題を解決するための手段】上記の目的を達成するた
め、本発明では、点にスカラー量とその空間微係数を与
え、補間に用いる点群としては上記従来の技術で述べた
ような点と点を結ぶメッシュ形状に限定せず、また完全
多項式に限らず既知の情報量と同じ数の未知係数をもつ
関数を補間式として用い、必要とする点でのスカラー量
やその空間微係数を補間することにより、精度の高いデ
ータの補間方法及び装置を提供する。

【００１９】すなわち本発明では、Ｎ次元空間に対し、
Ｎ次元空間のある領域内に点群があり、この点群に属す
る各点におけるあるスカラー量及びそのＬ種類の空間微
係数が既知である場合に、前記領域内の任意の点Ｑにお
けるスカラー量及びその空間微係数を補間する方法にお
いて、前記点群から補間に用いるＭ個（ＭはＮ＋１以上
の整数）の点を選択し、（Ｌ＋１）×Ｍ個の未知係数を
もつ補間関数を設定し、前記Ｍ個の点でのスカラー量及
びそのＬ種類の空間微係数を用いて前記補間関数の未知
係数に関する（Ｌ＋１）×Ｍ個の連立方程式を立て、こ
の連立方程式を解いて補間関数の未知係数を求めること
により補間関数を決定し、さらにこの補間関数を用いて
点Ｑにおけるスカラー量及び空間微係数を求めることを
特徴とするデータの補間方法を提供する。

【００２０】また本発明では、Ｎ次元空間に対し、Ｎ次
元空間のある領域内に点群があり、この点群に属する各
点におけるあるスカラー量及びそのＬ種類の空間微係数
が既知である場合に、前記領域内の任意の点Ｑにおける
スカラー量及びその空間微係数を補間するデータの補間
装置において、前記点群に属する各点の座標値、スカラ
ー量、空間微係数及び点Ｑの座標値を入力する入力手段
と、前記点群から補間に用いるＭ個（ＭはＮ＋１以上の
整数）の点を選択する選択手段と、（Ｌ＋１）×Ｍ個の
未知係数をもつ補間関数を設定する補間関数設定手段
と、前記Ｍ個の点におけるスカラー量及びそのＬ種類の
空間微係数を用いて前記補間関数の未知係数に関する
（Ｌ＋１）×Ｍ個の連立方程式を立て、この連立方程式
を解いて補間関数の未知係数を求める補間関数決定手段
と、この補間関数を用いて点Ｑでのスカラー量及び空間
微係数を計算により決定する手段と、得られた結果を出
力する出力手段を具備することを特徴とするデータの補
間装置を提供する。

【００２１】

【発明の実施の形態】以下本発明の第１の実施の形態に
ついて、図を参照して説明する。図６に示すように、１
次元領域に点群とそのスカラー量ｆと空間微係数ｆ
（ｘ）が与えられているものとし、符号６１を付した点
Ｑ：ｘ＝ｑでのスカラー量と空間微係数を補間によって
求めることを考える。補間に用いる点として、例えば、
点Ｑからの距離がｒ以内の領域６３内の点として、符号
６４を付した３点Ｐ₁ ，Ｐ₂ ，Ｐ₃をとる。このとき既
知の情報量は３×２＝６であるから、６個の未知係数を
もつ関数を補間式６５として用いる。例えば、 Ｆ（ｘ，ｙ）＝ａ₀ ＋ａ₁ ｘ＋ａ₂ ｘ² ＋ａ₃ ｘ³ ＋ａ
₄ ｘ⁴ ＋ａ₅ ｘ⁵ あるいは、 Ｆ（ｘ，ｙ）＝ａ₀ ＋ａ₁ ｘ＋ａ₂ ｘ² ＋ａ₃ ｘ³ ＋ａ
₄ ／ｘ＋ａ₅ ／ｘ² とすればよい。いま、点Ｐ_i の座標をｘ_i とし、点Ｐ_i
でのスカラー量をｆ_i 、空間微係数をｆ^(x) _i とする。
点Ｐ₁ においてはスカラー量及び符号６２を付した勾配
すなわち空間微係数が分かっているから、点Ｐ₁ に対す
る方程式は、

【００２２】

【数２１】 の２つとなる。点Ｐ₂ ，Ｐ₃ に対しても同様の方程式を
立て、あわせて６個の方程式を連立させて未知係数ａ
₀ ，…，ａ₅ に関して解けば未知係数が求まり、補間式
Ｆ（ｘ，ｙ）が決定できる。この決定された補間式に基
づいて、点Ｑにおけるスカラー量と空間微係数は

【００２３】

【数２２】 として求めることができる。

【００２４】従来の方法では、本実施形態のように補間
に用いる点の数が３個の場合には、３個の未知係数をも
つ２次の補間多項式を利用していたため補間の誤差が大
きかったが、本実施形態では５次の多項式を利用するこ
とにより、補間の誤差を減少させ、精度を向上させるこ
とが可能となる。

【００２５】以下本発明の第２の実施形態について、図
を参照して説明する。図７に示すように、２次元領域７
１に点群７２が与えられ、この点群７２の各点でスカラ
ー量ｆと空間微係数ｆ^(x) ，ｆ^(y) が与えられているも
のとし、符号７３を付した点Ｑでのスカラー量と空間微
係数を補間によって求める場合を考える。補間に用いる
点として、例えば点Ｑからの距離がｒ以内の点、すなわ
ち点Ｑを中心とする半径ｒの円７４内の点として、符号
７５を付した５個の点Ｐ₁ ，…，Ｐ₅ をとる。このとき
既知の情報量は３×５＝１５であるから、１５個の未知
係数をもつ関数を補間式として用いる。例えば、

【００２６】

【数２３】 とすればよい。いま、点Ｐ_i の座標を（ｘ_i ，ｙ_i ）と
し、点Ｐ_i でのスカラー量をｆ_i 、空間微係数をｘ方向
がｆ^(x) _i 、ｙ方向がｆ^(y) _i とする。点Ｐ₁ に対する
方程式は、

【００２７】

【数２４】 の３つとなる。点Ｐ₂ ，…，Ｐ₅ に対しても同様の方程
式を立て、あわせて１５個の方程式を連立させて未知係
数ａ₀₀，…，ａ₁₃に関して解けば未知係数が求まり、補
間式Ｆ（ｘ，ｙ）が決定できる。この決定された補間式
を用いて、点Ｑにおけるスカラー量と空間微係数は、点
Ｑの座標を（ｑ_x ，ｑ_y ）とすると

【００２８】

【数２５】 と求めることができる。

【００２９】従来の方法では、本実施形態のように補間
に用いる点の数が５個の場合には、５個の未知係数をも
つ２次の補間多項式を利用していたため補間の誤差が大
きかったが、本実施形態では４次の多項式を利用するこ
とにより、補間の誤差を減少させ、精度を向上させるこ
とが可能となる。

【００３０】以下本発明の第３の実施形態について、図
を参照して説明する。図８に示すように、３次元領域８
１に点群８２が与えられ、点群８２に属する各点のスカ
ラー量ｆ及び空間微係数ｆ^(x) ，ｆ^(y) ，ｆ^(z) が与え
られているものとし、符号８３を付した点Ｑでのスカラ
ー量と空間微係数を補間によって求める場合を考える。
点群８２から補間に用いる点として、例えば点Ｑを中心
とする一辺の長さｒの立方体８４内の点として、５個の
点Ｐ₁ ，…，Ｐ₅ をとる。このとき既知の情報量は４×
５＝２０であるから、２０個の未知係数をもつ関数を補
間式として用いる。例えば、

【００３１】

【数２６】 とすればよい。いま、点Ｐ_i の座標を（ｘ_i ，ｙ_i ，ｚ
_i ）とし、点Ｐ_i でのスカラー量をｆ_i 、空間微係数を
ｘ方向がｆ^(x) _i 、ｙ方向がｆ^(y) _i 、ｚ方向がｆ^(z)
_i とする。点Ｐ₁ に対する方程式は、

【００３２】

【数２７】 の４つとなる。点Ｐ₂ ，…，Ｐ₅ に対しても同様の方程
式を立て、あわせて２０個の方程式を連立させて未知係
数ａ₀₀₀ ，…，ａ₁₁₁ に関して解けば未知係数が求ま
り、補間式Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が決定できる。この決定し
た補間式に基づいて、点Ｑにおけるスカラー量と空間微
係数は、点Ｑの座標を（ｑ_x ，ｑ_y ，ｑ_z ）とすると

【００３３】

【数２８】 と求めることができる。

【００３４】従来の方法では、本実施形態のように補間
に用いる点の数が５個の場合には、５個の未知係数をも
つ１次または２次の補間多項式を利用していたため補間
の誤差が大きかったが、本実施形態では３次の多項式を
利用することにより、補間の誤差を減少させ、精度を向
上させることが可能となる。

【００３５】以下本発明の第４の実施形態について、図
を参照して説明する。本実施形態に係るデータの補間方
法は、第２の実施形態の補間方法と同様の２次元空間で
の問題について、補間に用いる点の数を最小の３個とし
たものである。図９に示すように、２次元領域９１に点
群９２が与えられ、点群９２に属する各点のスカラー量
ｆと空間微係数ｆ^(x) ，ｆ^(y) が与えられているものと
し、符号９３を付した点Ｑでのスカラー量と空間微係数
を補間によって求める場合を考える。このとき補間に用
いる点として、点Ｑを内部に含む三角形９４を構成す
る、符号９５を付した３個の点Ｐ₁ ，Ｐ₂ ，Ｐ₃ を用い
る。点Ｐ_i の座標を（ｘ_i ，ｙ_i ）とし、点Ｐ_i でのス
カラー量をｆ_i 、空間微係数をｘ方向がｆ^(x) _i 、ｙ方
向がｆ^(y) _i とする。このとき既知の情報量は３×３＝
９であるから、９個の未知係数をもつ関数を補間式とし
て用いる。例えば、

【００３６】

【数２９】 あるいは

【００３７】

【数３０】 とすればよい。この後は第２の実施形態と同様の方法
で、点Ｐ₁ ，Ｐ₂ ，Ｐ₃ に関する９個の方程式を連立さ
せて解けば、未知係数が求められ、補間式が決定でき
る。

【００３８】しかし、この連立方程式は三角形の形状に
よって解けない場合が生ずる。それは、この連立一次方
程式の係数行列の行列式が０となるか、０に非常に近い
値となるためである。こうした問題を解決するには、以
下のような補間式を用いることが考えられる。いま、用
いる補間式をＦ_A （ｘ，ｙ）としたときに構成されるａ
₀₀，…，ａ₁₂に関する連立一次方程式

【００３９】

【数３１】 の係数行列の行列式をｄ_A とし、また用いる補間式をＦ
_B （ｘ，ｙ）としたときに構成されるａ₀₀，…，ａ₂₁に
関する連立一次方程式

【００４０】

【数３２】 の係数行列の行列式をｄ_B とする。ところで、用いる補
間式を

【００４１】

【数３３】 とすると、ａ₀₀，…，ａ₀₃及びｂに関する連立一次方程
式

【００４２】

【数３４】 の係数行列の行列式ｄ_C は ｄ_C ＝ｃｄ_A ＋ｅｄ_B となる。したがって、例えば

【００４３】

【数３５】 とすれば、３点Ｐ₁ ，Ｐ₂ ，Ｐ₃ が三角形を構成してい
ればｄ_A とｄ_B は同時に０にならないため、ｄ_C は０に
はならず、ａ₀₀，…，ａ₀₃及びｂに関する連立一次方程
式を解くことが可能である。

【００４４】この方法により、第２の実施形態と同様の
効果が得られると同時に、第２の実施形態よりも補間に
用いる点を少なくすることができる。以下本発明の第５
の実施形態について説明する。本実施形態に係るデータ
の補間方法は、第４の実施形態と同様、第２の実施形態
の補間方法と同様の２次元空間での問題について、補間
に用いる点の数を最小の３個としたものである。３点Ｐ
₁ ，Ｐ₂ ，Ｐ₃ のとり方や設定は第４の実施形態と同様
である。ここでは、座標系をデカルト座標系（ｘ，ｙ）
から、三角形Ｐ₁ Ｐ₂ Ｐ₃ に対し正規化された面積座標
系 （Ｌ₁ ，Ｌ₂ ，Ｌ₃ ）に変換する。変換は、以下の
関係式 ｘ＝ｘ₁ Ｌ₁ ＋ｘ₂ Ｌ₂ ＋ｘ₃ Ｌ₃ (1) ｙ＝ｙ₁ Ｌ₁ ＋ｙ₂ Ｌ₂ ＋ｙ₃ Ｌ₃ (2) １＝ Ｌ₁ ＋ Ｌ₂ ＋ Ｌ₃ (3) により行う。面積座標を用いて点Ｐ₁ ，Ｐ₂ ，Ｐ₃ の座
標を表すと、三角形の形状に関係なく Ｐ₁ ：（１，０，０） Ｐ₂ ：（０，１，０） Ｐ₃ ：（０，０，１） となる。ここで、補間式としては、ｃを適切なパラメー
タとして

【００４５】

【数３６】 を用いる。なお、パラメータｃとしては、例えば有限要
素法による構造解析の分野でよく用いられている ｃ＝１／２ を用いるとよい。ここで、

【００４６】

【数３７】 とおくと、

【００４７】

【数３８】 と書けることを考慮すると、第２の実施形態のように連
立一次方程式を解くことなく、簡単な計算により未知係
数ａ₁ ，ａ₂ ，ａ₃ 及びｂ₁₂，…，ｂ₁₃を以下のように
決定することができる。

【００４８】

【数３９】

【００４９】したがって、点Ｑの座標（ｑ_x ，ｑ_y ）を
式(1),(2),(3) の関係により面積座標に変換し、補間式
(4) と式(5),(6) の関係を用いて、点Ｑにおけるスカラ
ー量と空間微係数を求めることができる。

【００５０】この方法により、第４の実施形態と同様の
効果が得られる。さらに、第４の実施形態では、９×９
行列で表される連立一次方程式を解く必要があったが、
本実施形態ではその必要がなく、補間多項式の未知係数
を直接与えることができるため、演算時間の短縮を図る
ことができる。

【００５１】以下本発明の第６の実施形態について説明
する。本実施形態に係るデータの補間方法は、第３の実
施形態の補間方法と同様の３次元空間での問題につい
て、補間に用いる点の数を最小の４個としたものであ
る。３次元領域に点群が与えられ、この点群に属する各
点のスカラー量ｆと空間微係数ｆ^(x) ，ｆ^(y) が与えら
れているものとし、領域内の点Ｑのスカラー量と空間微
係数を補間によって求める場合を考える。このとき補間
に用いる点として、点Ｑを内部に含む四面体を構成する
４点Ｐ₁ ，Ｐ₂ ，Ｐ₃ ，Ｐ₄ を用いる。点Ｐ_i の座標を
（ｘ_i ，ｙ_i ，ｚ_i）とし、点Ｐ_i でのスカラー量をｆ_i
、空間微係数をｘ方向がｆ^(x) _i 、ｙ方向がｆ^(y)
_i 、ｚ方向がｆ^(z) _i とする。このとき既知の情報量は
４×４＝１６であるから、１６個の未知係数をもつ関数
を補間式として用いる。例えば、

【００５２】

【数４０】 とすればよい。この４点に関する１６個の連立一次方程
式

【００５３】

【数４１】 を未知係数ａ_ijに関して解くことにより未知係数が求ま
り、補間式を決定することができる。

【００５４】この方法により、第３の実施形態と同様の
効果が得られると同時に、第３の実施形態よりも補間に
用いる点の個数を少なくすることができる。以下本発明
の第７の実施形態について説明する。本実施形態に係る
データの補間方法は、第６の実施形態と同様、第３の実
施形態の補間方法と同様の３次元空間での問題につい
て、補間に用いる点の数を最小の４個としたものであ
る。４点Ｐ₁ ，Ｐ₂ ，Ｐ₃ ，Ｐ₄ のとり方や設定は第６
の実施形態と同様である。ここでは、座標系をデカルト
座標系（ｘ，ｙ，ｚ）から、四面体Ｐ₁ Ｐ₂ Ｐ₃ Ｐ₄ に
対し正規化された体積座標系（Ｌ₁ ，Ｌ₂ ，Ｌ₃ ，Ｌ
₄ ）に変換する。変換は、以下の関係式 ｘ＝ｘ₁ Ｌ₁ ＋ｘ₂ Ｌ₂ ＋ｘ₃ Ｌ₃ ＋ｘ₄ Ｌ₄ (7) ｙ＝ｙ₁ Ｌ₁ ＋ｙ₂ Ｌ₂ ＋ｙ₃ Ｌ₃ ＋ｙ₄ Ｌ₄ (8) ｚ＝ｚ₁ Ｌ₁ ＋ｚ₂ Ｌ₂ ＋ｚ₃ Ｌ₃ ＋ｚ₄ Ｌ₄ (9) １＝ Ｌ₁ ＋ Ｌ₂ ＋ Ｌ₃ ＋ Ｌ₄ (10) により行う。体積座標を用いて点Ｐ₁ ，Ｐ₂ ，Ｐ₃ ，Ｐ
₄ の座標を表すと、四面体の形状に関係なく Ｐ₁ ：（１，０，０，０） Ｐ₂ ：（０，１，０，０） Ｐ₃ ：（０，０，１，０） Ｐ₄ ：（０，０，０，１） となる。ここで、補間式としては、ｃ，ｄ，ｅ，ｇを適
切なパラメータとして

【００５５】

【数４２】 を用いる。なお、パラメータｃ，ｄ，ｅ，ｇとしては、
例えば有限要素法による構造解析の分野でよく用いられ
ている ｃ＝ｄ＝ｅ＝ｇ＝１／２ を用いるとよい。ここで、

【００５６】

【数４３】 とおくと、

【００５７】

【数４４】 と書けることを考慮すると、第６の実施形態のように連
立一次方程式を解くことなく、簡単な計算により未知係
数ａ₁ ，…，ａ₄ 及びｂ₁₂，…，ｂ₄₃を以下のように決
定することができる。

【００５８】

【数４５】

【００５９】したがって、点Ｑの座標（ｑ_x ，ｑ_y ，ｑ
_z ）を式(7),(8),(9),(10)の関係により体積座標に変換
し、補間式(11)と式(12),(13),(14)の関係を用いて、点
Ｑにおけるスカラー量と空間微係数を求めることができ
る。

【００６０】この方法により、第６の実施形態と同様の
効果が得られる。さらに、第６の実施形態では１６×１
６行列で表される連立一次方程式を解く必要があった
が、本実施形態ではその必要がなく、補間多項式の未知
係数を直接与えることができるため、演算時間の短縮を
図ることができる。

【００６１】以下本発明の第８の実施形態について、図
を参照して説明する。本実施形態に係るデータの補間方
法は、第２乃至第７の実施形態に係るデータの補間方法
を、物理現象をコンピュータを用いてシミュレーション
する計算力学の技術の一例として、流体の流れ現象を記
述するナビエ・ストークス方程式を計算機を用いて解析
する方法に応用したものである。本実施形態ではオイラ
ー系のモデルを用いた場合を想定する。２次元の空間に
対し、座標系をデカルト座標系（ｘ，ｙ）とし、流速ベ
クトルを（ｕ，ｖ）とし、スカラー量ｆの流れによる移
動を記述する移流型方程式

【００６２】

【数４６】 を考える。基本的なアルゴリズムとしては、ＣＩＰ（Cu
bic Interpolated Pseudo-prticle ）法を採用する。Ｃ
ＩＰ法では、点上にスカラー量ｆとその空間微係数ｆ
^(x) ，ｆ^(y) が変数として存在するため、この微係数に
関する方程式も必要となる。この方程式は(A) 式をｘ及
びｙで偏微分することにより得られ以下のようになる。

【００６３】

【数４７】

【００６４】一般に、このような方程式を解く際には、
ある時刻ｔでの解から次の時刻ｔ＋Δｔ（Δｔは十分小
さな時間）における解を求めるステップを繰り返すこと
により、時間に関する解の履歴を追跡する時間発展法が
用いられる。ＣＩＰ法では、(A),(B),(C) を解く際の１
ステップを、非アドベクション・フェーズ（Non-advect
ion Phase ）とアドベクション・フェーズ（Advection
Phase ）の二つに分けて処理する。非アドベクション・
フェーズでは、

【００６５】

【数４８】 を数値的に積分することにより、ｆ，ｆ^(x) ，ｆ^(y) の
中間段階の値としてｆ^*，ｆ^(x)*，ｆ^(y)* が求められ
る。アドベクション・フェーズでは、この中間段階の値
を用いて

【００６６】

【数４９】 を処理することになる。ここで、ゴドノフ（Godunov ）
法を用いると、(G) 型の方程式の座標（ｘ，ｙ）、時刻
ｔ＋Δｔにおける解ｆ（ｔ＋Δｔ，ｘ，ｙ）は以下のよ
うに近似できる。

【００６７】

【数５０】

【００６８】この式は、図１０に示す点Ｐの時刻ｔ＋Δ
ｔでのｆの値は、時刻ｔでの流れの（−ｕΔｔ，−ｖΔ
ｔ）だけ上流側の点Ｐ’の値に近似できることを意味す
る。したがって、(G),(H),(I) を解き時刻ｔ＋Δｔにお
ける解を求めるアドベクション・フェーズは、非アドベ
クション・フェーズで求めたｆ^* ，ｆ^(x)*，ｆ^（ｙ）＊
を用いて座標（ｘ−ｕΔｔ，ｙ−ｖΔｔ）におけるｆ，
ｆ^（ｘ） ，ｆ^(y) の値を補間する問題に帰着される。
ここで、２次元の場合の補間として、第２または第４あ
るいは第５の実施形態に係るデータの補間方法を用いる
ことができる。

【００６９】従来の方法では、補間に用いる点の数が３
個の場合には、３個の未知係数をもつ１次の補間多項式
を利用していたため補間の誤差が大きかったが、本実施
形態によれば、特に図１０に示すように符号１０１を付
した３個の点Ｐ₁ ，Ｐ₂ ，Ｐ₃ が三角形１０２をなす場
合には３次の補間多項式を利用することができるから、
補間の誤差を減少させ、精度を向上させることが可能と
なる。

【００７０】また同様の方法は３次元問題に対しても適
用できる。この場合の補間方法としては、第３または第
６あるいは第７の実施形態に係るデータの補間方法を用
いることになる。従来の方法では、補間に用いる点の数
が４個の場合には、４個の未知係数をもつ１次の補間多
項式を利用していたため補間の誤差が大きかったが、本
実施形態によれば、特に４個の点が四面体をなす場合に
は３次の補間多項式を利用することができるから、補間
の誤差を減少させ、精度を向上させることが可能とな
る。

【００７１】以下本発明の第９の実施形態について、図
を参照して説明する。本実施形態に係るデータの補間方
法は、第２乃至第７の実施形態に係るデータの補間方法
を、物理現象をコンピュータを用いてシミュレーション
する計算力学の技術の一例として、流体の流れ現象を記
述するナビエ・ストークス方程式を計算機を用いて解析
する方法に応用したものである。本実施形態ではラグラ
ンジュ系のモデルを用いた場合を想定する。２次元の空
間に対し、座標系をデカルト座標系（ｘ，ｙ）とし、流
速ベクトルを（ｕ，ｖ）とし、スカラー量ｆの流れによ
る移動を記述する移流型方程式

【００７２】

【数５１】 を考える。

【００７３】ラグランジュ型の方法では、物理量を点
（あるいは粒子）上に定義し、この点を流れにしたがっ
て移動させることにより移流現象をシミュレーションす
る。したがって、本発明に係るデータの補間方法をラグ
ランジュ型の方法に適用するには、点上にスカラー量ｆ
と空間微係数ｆ^(x) ，ｆ^(y) を変数として定義し、その
点を流れにしたがって移動させればよい。ただし、移動
の際にスカラー量は値を変えないが、空間微係数はスカ
ラー量ではなくベクトルであり、移動に伴う一種の座標
変換により方向が変えるため、修正が必要となる。

【００７４】すなわちラグランジュ型の方法では、図１
１に示すように、スカラー量と空間微係数の定義されて
いる点Ｐ₁ ，Ｐ₂ ，Ｐ₃ を、それぞれの場所での流速に
従って十分小さな時間Δｔだけ移動させることになる。
例えば点Ｐ₃ はΔｔ時刻後には符号１１３を付した流速
ベクトルに沿って流れの（ｕΔｔ，ｖΔｔ）だけ下流側
の点Ｐ₁ ’に移動する。図では符号１１１の位置から符
号１１２の位置に移動する。これに伴い三角形も符号１
１４の位置から符号１１５の位置に移動する。

【００７５】またこのとき空間微係数は、流れの影響に
より、例えば点Ｐ₂ における時刻ｔでのベクトル（ｆ
^(x) ，ｆ^(y) ）から、点Ｐ₂ ’における時刻ｔ＋Δｔで
のベクトル（ｆ^(x')，ｆ^(y')）へ変換されることにな
る。図では符号１１６の位置から符号１１７の位置に移
動する。

【００７６】以上の手順を、ある時刻ｔでの解から次の
時刻ｔ＋Δｔにおける解を求める１ステップとして時間
発展的に計算を進め、スカラー量などが定義されている
点以外での場所のスカラー量や空間微係数が必要となっ
た場合に、２次元の場合の補間として、第２または第４
あるいは第５の実施形態に係るデータの補間方法を用い
ることができる。

【００７７】従来の方法では、補間に用いる点の数が３
個の場合には、３個の未知係数をもつ１次の補間多項式
を利用していたため補間の誤差が大きかったが、本実施
形態によれば、特に図１１に示すように３個の点Ｐ₁ ，
Ｐ₂ ，Ｐ₃ が三角形１１４をなす場合には３次の補間多
項式を利用することができるから、補間の誤差を減少さ
せ、精度を向上させることが可能となる。

【００７８】また同様の方法は３次元問題に対しても適
用できる。この場合の補間方法としては、第３または第
６あるいは第７の実施形態に係るデータの補間方法を用
いることになる。従来の方法では、補間に用いる点の数
が４個の場合には、４個の未知係数をもつ１次の補間多
項式を利用していたため補間の誤差が大きかったが、本
実施形態によれば、特に４個の点が四面体をなす場合に
は３次の補間多項式を利用することができるから、補間
の誤差を減少させ、精度を向上させることが可能とな
る。

【００７９】以下本発明の第１０に実施形態について、
図を参照して説明する。本実施形態に係るデータの補間
装置は、第１乃至第７の実施形態に係るデータの補間方
法に基づくものである。図１２に示すように、このデー
タの補間装置は、入力手段２、補間に用いる点の選択手
段３、補間関数の設定手段４、補間関数の未知係数の決
定手段５、補間の対象となる点Ｑでのスカラー量及び空
間微係数の決定手段６及び出力手段７より成る。なお図
中の矢印１はデータの流れを示す。なお、ここでは特に
１乃至３次元空間におけるデータの補間装置について考
えることとし、次元数Ｎに対応して上述した第１乃至第
９の実施形態に係るデータの補間方法のうちのいずれか
を予め選んでおく。

【００８０】入力手段２に入力データとして、領域内の
点の座標値、スカラー量、空間微係数及び補間の対象と
なる点Ｑの座標値を入力する。この点Ｑに対して、選択
手段３により、上述したデータの補間方法に基づいて、
領域内の点群のうちから特に点Ｑの近傍点を補間に用い
る点として適宜個数だけ選択する。

【００８１】次に、上述した方法に基づき、補間関数設
定手段４で適宜個数の未知係数をもつ補間関数を設定
し、連立一次方程式をたて、これを未知係数決定手段５
において処理することにより未知係数を計算して補間関
数を決定する。

【００８２】こうして決定された補間関数を用いて、補
間の対象となる点Ｑでのスカラー量及び空間微係数の決
定手段６での処理を行い、出力手段７でこの処理結果を
出力する。

【００８３】この構成により、補間の誤差を減少させる
ことができる。なお、補間に用いる点の選択手段２にお
いては、特に第４乃至第７の実施形態における方法をと
ることにより、補間に用いる点の個数を少なくすること
ができる。また補間関数の設定手段３においては、特に
第５または第７の実施形態における方法をとることによ
り、連立一次方程式を解く手間を省略することで演算時
間の短縮を図ることができる。

【００８４】

【発明の効果】データの補間方法に関して誤差の原因と
して従来から問題にされてきた、領域内に特に不規則に
配置している点での物理量からそれらの点以外の場所で
の物理量を補間する際の精度の低さを、上で詳述した本
発明により改善し、メッシュ形状によらずに補間に用い
る点群を選択し、各点にスカラー量とその空間微係数を
与え、また補間関数としては完全多項式に限らず既知の
情報量と同じ数の未知係数をもつ関数を用いることによ
り、補間に利用する点の数をなるべく少なくしつつ、よ
り高次で、数値粘性誤差の少ない精度の高い補間を行う
ことが可能となる。

【００８５】これにより、流体の流れ現象を記述するナ
ビエ・ストークス方程式を解析する場合のように、物理
現象をコンピュータを用いてシミュレーションする計算
力学技術においてより高精度の、また演算時間の短い補
間を行うことができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】１次元の場合の線形補間とそれによる誤差の発
生を示したグラフである。

【図２】２次元の場合のラグランジェ補間を行う場合に
必要となる点群の配置の一例を示した説明図である。

【図３】２次元領域の三角形による分割例を示した説明
図である。

【図４】２次元の場合の三角形を基準とした、１次の多
項式補間に必要な点群を示した説明図である。

【図５】２次元の場合の三角形を基準とした、３次の多
項式補間に必要な点群を示した説明図である。

【図６】本発明の第１の実施形態の説明図である。

【図７】本発明の第２の実施形態の説明図である。

【図８】本発明の第３の実施形態の説明図である。

【図９】本発明の第４の実施形態の説明図である。

【図１０】本発明の第８の実施形態に係るデータの補間
方法に関して２次元移流方程式のオイラー系モデルを用
いた解析に必要となる補間の一例を示した説明図であ
る。

【図１１】本発明の第９の実施形態に係るデータの補間
方法に関して２次元移流方程式のラグランジュ系モデル
を用いた解析に必要となる補間の一例を示した説明図で
ある。

【図１２】本発明の第１０の実施形態に係るデータの補
間装置のブロック図である。

【符号の説明】

１ データの流れ ２ 入力手段 ３ 補間対象点の近傍点の選択手段 ４ 補間関数の設定手段 ５ 補間関数の未知係数の決定手段 ６ 補間対象点でのスカラー量及び空間微係数の決定手
段 ７ 出力手段 １３、６５ 補間関数 １５ 補間関数と実際の関数との補間誤差 ２３ 線形補間の補助線 ３１、７１、８１、９１ 対象領域 ３２、７２、８２、９２ 対象領域内の点群 １１、６１、７３、８３、９３、１０４ 補間の対象と
なる点 ６３、７４、８４、９４ 補間に用いる領域 １２、４１、５１、６４、７５、８５、９５、１０１
補間に用いる点 ３３、４２、５２、１０２ 補間領域を三角形に分割す
る線分 ６２ 点Ｐ₁ における勾配（空間微係数） １０３ 流速ベクトル １１１ 前時間ステップにおける点の位置 １１２ 次時間ステップにおける点の位置 １１３ 前時間ステップにおける流速ベクトル １１４ 前時間ステップにおける点間を結ぶ線分 １１５ 次時間ステップにおける点間を結ぶ線分 １１６ 前時間ステップにおける空間微分ベクトル １１７ 次時間ステップにおける空間微分ベクトル

Claims (16)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 Ｎ次元空間に対し、Ｎ次元空間のある領
   域内に点群があり、この点群に属する各点におけるある
   スカラー量及びそのＬ種類の空間微係数が既知である場
   合に、前記領域内の任意の点Ｑにおけるスカラー量及び
   その空間微係数を補間する方法において、前記点群から
   補間に用いるＭ個（ＭはＮ＋１以上の整数）の点Ｐ₁ ，
   Ｐ₂ , …，Ｐ_M を選択し、（Ｌ＋１）×Ｍ個の未知係数
   をもつ補間関数を設定し、前記点Ｐ₁ ，Ｐ₂ , …，Ｐ_M
   でのスカラー量及びそのＬ種類の空間微係数を用いて前
   記補間関数の未知係数に関する（Ｌ＋１）×Ｍ個の連立
   方程式を立て、この連立方程式を解いて前記補間関数の
   未知係数を求めることにより補間関数を決定し、さらに
   この決定された補間関数を用いて前記点Ｑにおけるスカ
   ラー量及び空間微係数を求めることを特徴とするデータ
   の補間方法。
2. 【請求項２】 座標ｘを有する１次元空間に対し、１次
   元空間のある領域内に点群があり、この点群に属する各
   点におけるあるスカラー量及びその１次の空間微係数が
   既知である場合に、前記領域内の任意の点Ｑ：ｘ＝ｑの
   スカラー量及びその１次の空間微係数を補間する方法に
   おいて、前記点群から補間に用いるＭ個（Ｍは２以上の
   整数）の点Ｐ₁ ，Ｐ₂ , …，Ｐ_M（点Ｐ_i の座標をｘ＝
   ｘ_i とする）を選択し、２Ｍ個の未知係数をもつ補間関
   数Ｆ（ｘ）を設定し、前記点Ｐ₁ ，Ｐ₂ ，…，Ｐ_M にお
   けるスカラー量ｆ₁ ，ｆ₂ ，…，ｆ_M 及びその１次の空
   間微係数 【数１】 を用いて前記補間空間の未知係数に関する以下の２Ｍ個
   の連立一次方程式 【数２】 を解いて前記補間関数の未知係数を求めることにより補
   間関数を決定し、この決定された補間関数Ｆ（ｘ）を用
   いて前記点Ｑにおけるスカラー量及びその１次の微係数
   を、 【数３】 によって求めることを特徴とするデータの補間方法。
3. 【請求項３】 デカルト座標系（ｘ，ｙ）を有する２次
   元空間に対し、２次元空間のある領域内に点群があり、
   この点群に属する各点におけるあるスカラー量及びその
   １次の空間微係数が既知である場合に、前記領域内の任
   意の点Ｑ：（ｘ，ｙ）＝（ｑ_x ，ｑ_y ）におけるスカラ
   ー量及びその１次の空間微係数を補間する方法におい
   て、前記点群から補間に用いるＭ個（Ｍは３以上の整
   数）の点Ｐ₁ ，Ｐ₂ , …，Ｐ_M（点Ｐ_i の座標を（ｘ，
   ｙ）＝（ｘ_i ，ｙ_i ）とする）を選択し、３Ｍ個の未知
   係数をもつ補間関数Ｆ（ｘ，ｙ）を設定し、前記点Ｐ
   ₁ ，Ｐ₂ ，…，Ｐ_M におけるスカラー量ｆ₁ ，ｆ₂ ，
   …，ｆ_M とその１次のｘ方向空間微係数 【数４】 及びｙ方向空間微係数 【数５】 を用いて前記補間関数の未知係数に関する以下の３Ｍ個
   の連立一次方程式 【数６】 を解いて前記補間関数の未知係数を求めることにより補
   間関数を決定し、この決定された補間関数Ｆ（ｘ，ｙ）
   を用いて前記点Ｑにおけるスカラー量及びその１次の各
   方向の空間微係数を、 【数７】 によって求めることを特徴とするデータの補間方法。
4. 【請求項４】 デカルト座標系（ｘ，ｙ，ｚ）を有する
   ３次元空間に対し、３次元領域のある領域内に点群があ
   り、この点群に属する各点におけるあるスカラー量及び
   その１次の空間微係数が既知である場合に、前記領域内
   の任意の点Ｑ：（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｑ_x ，ｑ_y ，ｑ_z ）
   におけるスカラー量及びその１次の空間微係数を補間す
   る方法において、前記点群から補間に用いるＭ個（Ｍは
   ４以上の整数）の点Ｐ₁ ，Ｐ₂ ，…，Ｐ_M（点Ｐ_i の座
   標を（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｘ_i ，ｙ_i ，ｚ_i ）とする）を
   選択し、４Ｍ個の未知係数をもつ補間関数Ｆ（ｘ，ｙ）
   を設定し、前記点Ｐ₁ ，Ｐ₂ ，…，Ｐ_M におけるスカラ
   ー量ｆ₁ ，ｆ₂ ，…，ｆ_M とその１次のｘ方向空間微係
   数 【数８】 とｙ方向空間微係数 【数９】 及びｚ方向空間微係数 【数１０】 を用いて前記補間関数の未知係数に関する以下の４Ｍ個
   の連立一次方程式 【数１１】 を解いて前記補間関数の未知係数を求めることにより補
   間関数を決定し、この決定された補間関数Ｆ（ｘ，ｙ，
   ｚ）を用いて前記点Ｑにおけるスカラー量及びその１次
   の各方向の空間微係数を、 【数１２】 によって求めることを特徴とするデータの補間方法。
5. 【請求項５】 請求項１記載のデータの補間方法におい
   て、Ｍ＝Ｎ＋１であり、かつ前記点群から選択する補間
   に用いる点は、前記点Ｑを内部に含むＮ次元の（Ｎ＋
   １）面多面体の（Ｎ＋１）個の頂点であることを特徴と
   するデータの補間方法。
6. 【請求項６】 請求項３記載のデータの補間方法におい
   て、Ｍ＝３であり、かつ前記点群から選択する補間に用
   いる点は、前記点Ｑを内部に含む三角形の３個の頂点Ｐ
   ₁ ，Ｐ₂ ，Ｐ₃ であることを特徴とするデータの補間方
   法。
7. 【請求項７】 請求項４記載のデータの補間方法におい
   て、Ｍ＝４であり、かつ前記点群から選択する補間に用
   いる点は、前記点Ｑを内部に含む四面体の４個の頂点Ｐ
   ₁ ，Ｐ₂ ，Ｐ₃ ，Ｐ₄ であることを特徴とするデータの
   補間方法。
8. 【請求項８】 請求項６記載のデータの補間方法におい
   て、前記点Ｐ_i の座標を（ｘ_i ，ｙ_i ）として、関係式 ｘ＝ｘ₁ Ｌ₁ ＋ｘ₂ Ｌ₂ ＋ｘ₃ Ｌ₃ (1) ｙ＝ｙ₁ Ｌ₁ ＋ｙ₂ Ｌ₂ ＋ｙ₃ Ｌ₃ (2) １＝ Ｌ₁ ＋ Ｌ₂ ＋ Ｌ₃ (3) によって座標系をデカルト座標系（ｘ，ｙ）から前記三
   角形Ｐ₁ Ｐ₂ Ｐ₃ の面積座標系（Ｌ₁ ，Ｌ₂ ，Ｌ₃ ）に
   変換し、かつ面積座標系で表記され所定のパラメータｃ
   を有する補間関数として 【数１３】 を用い、この補間関数Ｆ（Ｌ₁ ，Ｌ₂ ，Ｌ₃ ）の未知係
   数を、連立一次方程式を解くことなく前記各点Ｐ_i のス
   カラー量及び１次の空間微係数によって 【数１４】 として直接与えることで補間関数を決定し、さらに前記
   点Ｑの座標（ｑ_x ，ｑ_y ）を前記関係式 (1),(2),(3)に
   より面積座標に変換し、前記補間関数(4) 及び関係式 【数１５】 を用いて前記点Ｑにおけるスカラー量と空間微係数を求
   めることを特徴とするデータの補間方法。
9. 【請求項９】 請求項８記載のデータの補間方法におい
   て、前記パラメータは ｃ＝１／２ であることを特徴とするデータの補間方法。
10. 【請求項１０】 請求項７記載のデータの補間方法にお
    いて、前記点Ｐ_i の座標を（ｘ_i ，ｙ_i ，ｚ_i ）とし
    て、関係式 ｘ＝ｘ₁ Ｌ₁ ＋ｘ₂ Ｌ₂ ＋ｘ₃ Ｌ₃ ＋ｘ₄ Ｌ₄ (5) ｙ＝ｙ₁ Ｌ₁ ＋ｙ₂ Ｌ₂ ＋ｙ₃ Ｌ₃ ＋ｙ₄ Ｌ₄ (6) ｚ＝ｚ₁ Ｌ₁ ＋ｚ₂ Ｌ₂ ＋ｚ₃ Ｌ₃ ＋ｚ₄ Ｌ₄ (7) １＝ Ｌ₁ ＋ Ｌ₂ ＋ Ｌ₃ ＋ Ｌ₄ (8) によって座標系をデカルト座標系（ｘ，ｙ，ｚ）から前
    記四面体Ｐ₁ Ｐ₂ Ｐ₃Ｐ₄ の体積座標系（Ｌ₁ ，Ｌ₂ ，
    Ｌ₃ ，Ｌ₄ ）に変換し、かつ体積座標系で表記され所定
    のパラメータｃ，ｄ，ｅ，ｇを有する補間関数として 【数１６】 を用い、この補間関数Ｆ（Ｌ₁ ，Ｌ₂ ，Ｌ₃ ，Ｌ₄ ）の
    未知係数を、連立一次方程式を解くことなく前記各点Ｐ
    _i のスカラー量及び１次の空間微係数によって 【数１７】 として直接与えることで補間関数を決定し、さらに前記
    点Ｑの座標（ｑ_x ，ｑ_y ，ｑ_z ）を前記関係式(5),(6),
    (7),(8) により体積座標に変換し、前記補間関数(9) 及
    び関係式 【数１８】 を用いて前記点Ｑにおけるスカラー量と空間微係数を求
    めることを特徴とするデータの補間方法。
11. 【請求項１１】 請求項１０記載のデータの補間方法に
    おいて、前記パラメータは ｃ＝ｄ＝ｅ＝ｇ＝１／２ であることを特徴とするデータの補間方法。
12. 【請求項１２】 ２次元空間の熱流動現象における移流
    現象を表す移流方程式をオイラー系のモデルを用いて解
    析する２次元熱流動解析の数値解析の過程で、スカラー
    量及びその空間微係数の補間に使用されることを特徴と
    する請求項３、６または８記載のデータの補間方法。
13. 【請求項１３】 ２次元空間の熱流動現象における移流
    現象を表す移流方程式をラグランジュ系のモデルを用い
    て解析する２次元熱流動解析の数値解析の過程で、スカ
    ラー量及びその空間微係数が定義されている点を流れに
    したがってラグランジュ的に移動させることにより時間
    発展を実施したのち、スカラー量及びその空間微係数の
    補間に使用されることを特徴とする請求項３、６または
    ８記載のデータの補間方法。
14. 【請求項１４】 ３次元空間の熱流動現象における移流
    現象を表す移流方程式をオイラー系のモデルを用いて解
    析する３次元熱流動解析の数値解析の過程で、スカラー
    量及びその空間微係数の補間に使用されることを特徴と
    する請求項４、７または１０記載のデータの補間方法。
15. 【請求項１５】 ３次元空間の熱流動現象における移流
    現象を表す移流方程式をラグランジュ系のモデルを用い
    て解析する３次元熱流動解析の数値解析の過程で、スカ
    ラー量及びその空間微係数が定義されている点を流れに
    したがってラグランジュ的に移動させることにより時間
    発展を実施したのち、スカラー量及びその空間微係数の
    補間に使用されることを特徴とする請求項４、７または
    １０記載のデータの補間方法。
16. 【請求項１６】 Ｎ次元空間に対し、Ｎ次元空間のある
    領域内に点群があり、この点群に属する各点におけるあ
    るスカラー量及びそのＬ種類の空間微係数が既知である
    場合に、前記領域内の任意の点Ｑにおけるスカラー量及
    びその空間微係数を補間するデータの補間装置におい
    て、前記点群に属する各点の座標値、スカラー量、空間
    微係数及び前記点Ｑの座標値を入力する入力手段と、前
    記点群から補間に用いるＭ個（ＭはＮ＋１以上の整数）
    の点Ｐ₁ ，Ｐ₂ ，…，Ｐ_M を選択する選択手段と、（Ｌ
    ＋１）×Ｍ個の未知係数をもつ補間関数を設定する補間
    関数設定手段と、前記点Ｐ₁ ，Ｐ₂ ，…，Ｐ_M でのスカ
    ラー量及びそのＬ種類の空間微係数を用いて前記補間関
    数の未知係数に関する（Ｌ＋１）×Ｍ個の連立方程式を
    立て、この連立方程式を解いて補間関数の未知係数を求
    める補間関数決定手段と、この決定された補間関数を用
    いて前記点Ｑでのスカラー量及び空間微係数を計算によ
    り決定する手段と、得られた結果を出力する出力手段を
    具備することを特徴とするデータの補間装置。