JPH11203505A

JPH11203505A - オブジェクトの形状定義方法およびその方法を用いた装置

Info

Publication number: JPH11203505A
Application number: JP10037884A
Authority: JP
Inventors: Toshiyasu Kunii; 利▲泰▼ 國井
Original assignee: Monolith Co Ltd
Current assignee: Monolith Co Ltd
Priority date: 1998-01-14
Filing date: 1998-01-14
Publication date: 1999-07-30

Abstract

(57)【要約】【課題】理論的な裏付けに基づき、三次元オブジェク
トの曲面を効率的にモデリングする設計手法がないに等
しかった。【解決手段】オブジェクト形状定義装置１は、オブジ
ェクトのデータを入力するオブジェクト入力部２、オブ
ジェクト上に定義された関数の特異点の縮退を検出する
形状解析部３、縮退があればこれを解消する形状操作部
４、縮退のない状態でモース理論を適用し、オブジェク
トを符号化する符号化部５を含む。モース関数の特異点
に関する制約を緩和する新たな理論に基づき、符号化処
理を行う。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】この発明は、オブジェクトの
形状を定義する方法と装置に関する。この発明は、一例
としてコンピュータグラフィクス（ＣＧ）やコンピュー
タ支援設計（ＣＡＤ）などの分野に利用できる。

【０００２】

【従来の技術】ＣＧやＣＡＤの世界では、三次元オブジ
ェクトのモデリングに際し、おもにワイヤーフレーム、
サーフェス、ソリッドの３つのモデリング手法が利用さ
れている。ワイヤーフレームモデルは計算負荷の面で有
利であるが、オブジェクトの表示がいわゆる針金細工の
状態でなされるため、表示品質の点で満足できないこと
も多い。サーフェスモデルやソリッドモデルでは、オブ
ジェクトを実際の見え方に近い状態で表示できるため、
多くの商用システムに標準機能として実装されている。
これらのモデルのうち、オブジェクトの内部構造まで正
しく表現する必要がある場合、ソリッドモデルが用いら
れる。

【０００３】ＣＡＤシステムのソリッドモデルには、お
もに境界表現（ＢｏｕｎｄａｒｙＲｅｐｒｅｓｅｎｔａ
ｔｉｏｎｓ：Ｂ−ｒｅｐｓ）とＣＳＧ（Ｃｏｎｓｔｒｕ
ｃｔｉｖｅＳｏｌｉｄＧｅｏｍｅｔｒｙ）というふ
たつのアプローチがある。境界表現は、立体が面（ｆａ
ｃｅ）から、面が辺（ｅｄｇｅ）から、辺が頂点（ｖｅ
ｒｔｅｘ）からそれぞれ構成される事実に着目し、頂点
の座標と接続状態をモデリングデータとして扱う。一
方、ＣＳＧはプリミティブと呼ばれる比較的単純な形状
の立体をいくつか準備しておき、それらプリミティブ間
の集合演算（Ｂｏｏｌｅａｎｓｅｔｏｐｅｒａｔｉ
ｏｎｓ）によって立体を表現する。

【０００４】

【発明が解決しようとする課題】ＣＳＧは境界表現より
も一般にデータ構造が簡単でデータ量も少ないが、限ら
れたプリミティブを組み合わせるだけなので、複雑また
は微妙な曲面の設計には向かない。一方、境界表現は自
由曲面（ｆｒｅｅ−ｆｏｒｍｓｕｒｆａｃｅ）の記述
を妨げるものではなく、実際にオブジェクトの一部をそ
の形で表現することも多い。しかし、例えばいろいろな
形をとる手のひらを自由曲面で表現する場合、手のひら
の表面をどのように分割すればうまく曲面パッチが貼れ
るのか、また、必要最小限の分割はどのようになせばよ
いのか、などに理論的な裏付けを与えるシステムはなか
ったといってよい。

【０００５】こうした課題を解決すべく、本出願人は先
に特願平９−３０３２４６号で、位相幾何学をベース
に、オブジェクトに対して恒常的に、矛盾なく、一意的
に自由曲面を貼ることのできるシステムを提案してい
る。本願はそのシステムで利用することの可能な形状定
義方法および装置をさらに提案するものである。

【０００６】本発明のある目的は、数学的根拠に基づ
き、オブジェクトの形状を正しく定義することにある。
本発明の別の目的は、オブジェクトが正しくない状態で
定義されているときにはそれを検出することにある。

【０００７】本発明の裏付けとなる数学理論は、微分位
相幾何学におけるモース理論に関連するものであり、そ
れ自体数学上の価値を有する。その理論が産業上いろい
ろな形で利用できることは、以下の説明で明らかにな
る。

【０００８】

【課題を解決するための手段】本発明のオブジェクトの
形状定義方法は、多様体上の関数の特異点に関する制約
を緩和することによってモース理論を一般化し、この一
般化理論を用いて、多様体であるオブジェクトの形状を
定義するものである。オブジェクトは多様体であればよ
く、二次元図形、三次元立体のほか、さらに多次元の曲
面でもよい。三次元立体の場合も、例えば空間の温度分
布のように、なんらかの形で数値化できれば足り、とく
に立体でなくともよい。多次元の曲面の例として、たと
えば株価などの多変数関数をあげることができる。

【０００９】後述のごとくモース理論は、多様体上に決
められる関数の特異点が縮退しているときには適用でき
ない。本発明ではこうした制約を緩和してモース理論を
一般化する。しかる後、その一般化理論をもとにオブジ
ェクトの形状を表現、符号化または定義する。

【００１０】本発明のある態様では、前記一般化理論
は、特異点が縮退している箇所に仮想的な特異点を設け
て縮退を取り除くものである。例えば、頂上が平らな山
では、山頂が一点に決まらない。これが山頂の縮退であ
る。その際、山頂の一点に少し土を盛ってやれば、そこ
が唯一の山頂になる。本発明はこの事実を利用し、縮退
を除去する。つまり、縮退の除去と従来から知られるモ
ース理論の融合が一般化理論の骨子である。

【００１１】本発明のオブジェクトの形状定義装置は、
オブジェクトのデータを入力する手段と、入力されたオ
ブジェクト上に定義される関数の特異点とその縮退を検
出する手段と、特異点が縮退しているとき、仮想的な特
異点を設けて縮退を取り除く手段と、特異点に縮退がな
い状態でオブジェクトの形状を符号化する手段とを含
む。

【００１２】この装置では、入力されたオブジェクト上
に関数を決めたとき、その関数の特異点に縮退があれ
ば、まずその縮退を除去する。その後、オブジェクトの
形状が符号化される。

【００１３】

【発明の実施の形態】本発明の好適な実施形態を説明す
る。本発明を理解するに際し、基礎理論を説明すること
は有用である。このため、本発明者の指導のもと、その
研究室で書かれた論文（東京大学博士論文１９９３年品
川嘉久）の一部を引用する。この論文はモース理論に基
づく立体の符号化システムに関するものである。

【００１４】［基礎理論］三次元空間におけるオブジェ
クト、つまり立体や曲面の形状を符号化するとき、通常
これらをなんらかの記号の配列として表現する。自然界
に見られるオブジェクトの場合は、形状は非常に多くの
自由度をもつ。そのため符号化の際には一定の単純化が
必要となる。位相幾何学（トポロジー）はこうした単純
化を行うための数学的手段である。

【００１５】本システムは、位相幾何学におけるモース
（Ｍｏｒｓｅ）理論を数学的ツールとして三次元物体の
解釈を行う。この理論によってオブジェクトのモデリン
グをきわめて効率的かつ矛盾なく行うことができる。

【００１６】モース理論はもともと変分法を取扱うため
に提唱された。そしてその目的は、無限次元の道の空間
における汎関数の極小値を記述することにあった。この
ことから逆に、汎関数の極小値を利用することにより、
それ以外の方法での記述が困難であるような空間の位相
的な特徴を記述することが可能になる。以下、モース理
論の概要を説明する。

【００１７】◎可微分多様体モース理論を適用できる空間は可微分多様体である。有
限次元の多様体を考えてみる。いま任意の整数ｎについ
て、ｎ次元多様体は位相空間であって、そこではすべて
の点がｎ次元空間Ｒ^ｎの部分集合の上に一対一かつ両連
続に写像可能な近傍をもつとする。このような写像は
「チャート」と呼ばれ、その領域に含まれる点について
局所座標系を提供する。地球を例にとれば、緯度と経度
が局所座標系に当たる。多様体がｐ回微分可能であるた
めには、一方の座標系から他方の座標系への変換が、２
つの異なるチャートの値域に含まれる点についてｐ回微
分可能でなければならない。

【００１８】このため多様体は、可微分的に重なり合っ
たＲ^ｎの領域から構成されていると考えることができ
る。例えば、直線や円周は一次元多様体の構造を与えら
れる。また、球の表面は例えば北半球と南半球のよう
に、少なくとも２つのチャートを用いた二次元多様体を
用いて表現できる。同様にトーラスの表面は、少なくと
も４つのチャートを用いた二次元多様体によって表現で
きる。Ｒ^３から結び目のある円を取り除けば三次元多様
体の一例となる。

【００１９】◎可微分写像および特異点チャートを用いることにより、ｐ次元多様体からｎ次元
多様体への写像はＲ^ｐの各区分からＲ^ｎの各区分への写
像として（区分ごとに）数値表現することができる。こ
れらの写像については微分可能性を検証することができ
る。要素がｋ回連続的に微分可能であれば、その写像は
Ｃ^ｋ級である。

【００２０】ここで局所座標系の上で高さ関数を定義す
る。高さ関数は与えられた点の高さ（物体が埋め込まれ
ている三次元空間におけるｚ座標など）を返す関数であ
る。高さ関数ｈ：Ｒ^２→Ｒのヤコビ行列は、

【００２１】

【数１】

【００２２】で与えられる。ヤコビ行列は各点について
計算することができ、そのランクの最大値はｎとｐの小
さいほうである。ヤコビ行列のランクがこの最大値に等
しい点は「正則点」と呼ばれ、それ以外の点は「特異点
（ｓｉｎｇｕｌａｒｐｏｉｎｔ）」または「臨界点
（ｃｒｉｔｉｃａｌｐｏｉｎｔ）」と呼ばれる。例え
ば、高さ関数に関する特異点には、頂上点（ｐｅａ
ｋ）、鞍点（ｓａｄｄｌｅｐｏｉｎｔ）、谷底点（ｐ
ｉｔ）がある。別のいいかたをすれば、特異点はヤコビ
行列がゼロベクトルとなる点であり、特異点では法線ベ
クトルが高さ方向と同じ方向を向く。

【００２３】◎ヘッセ行列と指数ｎ次元多様体からＲへの写像（以下「多様体上の関数」
と呼ぶ）については、ある点における偏微分の値がすべ
て０の場合、その点が臨界点となる。そのような点にお
いて、前述の関数は二次偏微分に基づく二次形式によっ
て近似される。この行列表示はヘッセ行列と呼ばれ、そ
の要素は以下のように記述される。

【００２４】

【数２】

【００２５】特異点におけるヘッセ行列の負の固有値の
数をその特異点の指数（ｉｎｄｅｘ）と呼ぶ。指数は図
１に示すとおり、被約形式におけるマイナス符号の数に
等しい。すなわち、頂上点の指数は２、鞍点は１、谷底
点は０である。縦においたトーラスの場合、指数２、
１、０の臨界点はそれぞれ１個、２個、１個である。

【００２６】臨界点におけるヘッセ行列のランクがｎで
あるとき、その特異点は縮退していない、すなわち「非
縮退」と呼ばれる。どのようなＣ^２級関数でも、モース
関数によって近似することができる。モース関数とは、
臨界点の縮退がないような関数をいう。したがって、モ
ース関数の臨界点は孤立しているはずであり、コンパク
トな多様体に関する限り、臨界点は有限個しか存在しな
い。

【００２７】◎ホモトピーの型モース理論によれば、多様体とその多様体上のモース関
数が与えられ、その関数の特異点の指数の列び方が判明
すれば、各特異点に対応する一連の演算を行うことによ
って、その多様体と同じホモトピータイプの位相空間を
胞複体（ｃｅｌｌｃｏｍｐｌｅｘ）として構築するこ
とができる。

【００２８】高さを表す任意の実数について、セル（胞
体）はその実数の示す高さ以下の点からなる多様体の部
分に関するモデルを与える。Ｒが上下に走査されると
き、２つの連続する特異点間ではセルの位相は変化しな
いが、特異点を横切るたびに、それ以前のセルに対して
「ｋ次元セル」をつなげていくことにより、胞セルを作
り上げていくことができる。ここでｋは横切った特異点
の指数である。簡単にいえば、物体の形はその臨界点の
指数と同じ次元をもつセルというものを貼り合わせるこ
とで復元できる。

【００２９】図１は、特異点の指数、ｋ次元セルおよび
それによって符号化される物体の関係を示す図である。
ここでは物体としてトーラスを挙げている。同図のごと
く、注目する高さが臨界点を含む高さを横切るとき、そ
の高さより下の点によって構成される位相が変化する。
この変化は、位相的に見ればｋ次元セルをつないでいく
ことと同じである。同図のごとく、二次元セル（ｋ＝
２）はお椀を伏せたような形、一次元セル（ｋ＝１）は
紐のような形、０次元セル（ｋ＝０）はひとつの点で表
すことができる。もとの物体の形は、それらのセルをつ
なげた上で、粘土細工のように変形することで得られ
る。トーラスの場合、二次元セルを１個、一次元セルを
２個、０次元セルを１個つなげて得られる。

【００３０】以下、議論の対象をＣ^２級（三次元空間に
埋め込まれたＣ^２）のコンパクトな二次元多様体の表面
に限る。本システムが用いる曲面上のモース関数は、空
間における高さ関数から誘導する。事実、Ｃ^２曲面をわ
ずかに回転させれば臨界点の縮退をなくすことができる
ため、その高さ関数をモース関数にすることができる。

【００３１】モース理論によれば、２つの臨界レベル
（臨界点が含まれる平面の高さ）の間では断面の位相は
変化しない。このことから、曲り具合の異なる多くの円
筒を用いて、２つの臨界レベルの間の曲面をモデル化す
ることができる。この事実を利用してシステムを構築す
る。

【００３２】ここで符号化システムの概要を説明する。
このシステムでは、曲面に対してｋ次元セルを次々につ
ないでいくことにより曲面を表現する。ここで、セルの
接続を示す演算子を導入し、これらの演算子を用いて曲
面を符号化する。この符号化システムの最大の特徴は、
得られる符号化の結果が位相の正しさを保証することに
ある。

【００３３】セルを接続するための４つの演算子、Ｐｕ
ｔｅ０、Ｐｕｔｅ１ｍｅｒｇｅ、Ｐｕｔｅ１
ｄｉｖｉｄｅ、Ｐｕｔｅ２を定義する。これらがセル
を貼り付ける演算子である。以下、ｋ次元セルをｅ^ｋと
表示する。物体の構成は頂上から谷底に向けて進む。処
理は、それ以上セルを接続することができなくなった時
点で終了する。演算子によって構成しようとする曲面の
状態を示すために、各断面における輪郭線を用いる。図
２は、これらの演算子を用いてトーラスを構成する方法
を示す。以下この図を用いて演算子の機能を説明する。

【００３４】１．同図の一番上に示すとおり、ｅ^２を生
成するためにＰｕｔｅ２（０）を実行する。このパラ
メータ「０」は一番目の輪郭線＃１が、すべての輪郭線
を包含する仮想的な輪郭線＃０の内側に生成されること
を示す。このセルの断面は同図の「断面表示」の箇所に
示される。図のように、Ｐｕｔｅ２は断面の平面上に
輪郭線を生成する機能をもつ。演算子によって生成され
る輪郭線に生成順の数字を与えるため、Ｐｕｔｅ２
（０）によって生成された輪郭線は＃１である。

【００３５】新たに生成された輪郭線の状態は、初期値
として常に「イネーブル」である。イネーブルとは、そ
の輪郭線に対してセルを接続することが許される状態を
示す。ｅ^２のアイコン表示を同図「アイコン」の下に示
す。

【００３６】２．つづいて、Ｐｕｔｅ１ｄｉｖｉｄ
ｅ（１，ｎｉｌ，ｉｎｓｉｄｅ）により、ｅ^２に対して
ｅ^１を貼り付ける。新たに生成された輪郭線を＃２とす
る。パラメータ「ｉｎｓｉｄｅ」は＃２がＰａｒｅｎｔ
＃［１］＝０の子輪郭線として生成されることを示す。
ここで配列Ｐａｒｅｎｔ＃［］はある輪郭線の親輪郭線
（つまり、その輪郭線を包含する輪郭線）を示す。二番
目のパラメータは参照すべき子輪郭線のリストを示す。
ここでは２番目のパラメータが「ｎｉｌ」であり、ここ
では子輪郭線に対する操作、具体的には子輪郭線の削除
はない。

【００３７】３．つぎに、Ｐｕｔｅ１ｍｅｒｇｅ
（１，２）を用いて別のｅ^１を貼り付け、＃１と＃２を
マージする。この演算子は、１番目、２番目のパラメー
タによって示される輪郭線を１番目のパラメータの側に
マージする。マージによって２番目のパラメータの示す
輪郭線は消滅するため、それがその親輪郭線のもつ子輪
郭線のリストから削除される。同時に、その輪郭線の状
態が「イネーブル」から「ディセーブル」に変更され
る。したがって、この輪郭線に新たにセルを接続するこ
とができない。

【００３８】４．最後にＰｕｔｅ０（１）を用いてｅ
^０を貼り付け、＃１を閉じる。＃１の状態はイネーブル
からディセーブルに変更される。アイコンがこの変更を
反映している。ある輪郭線にセルｅ^０が接続されたと
き、その輪郭線のもつすべての子輪郭線が予めディセー
ブルされていなければならない。以上の手順により、イ
ネーブルの状態で残っている輪郭線がなくなるため、演
算子によるセルの貼り付けは完了する。

【００３９】［実施の形態］以上の基礎理論にもあった
ように、特異点が縮退しているとき、高さ方向、すなわ
ちｚ軸を多少傾けることで縮退を取り除くことができ
る。縮退がなくなればモース理論を適用することができ
る。しかし、ＣＡＤでオブジェクトを設計する際、いっ
たん決められた高さ方向を変更することは、幾何情報の
変化を招くため必ずしも有利ではない。設計者の自然な
感覚から軸の方向がずれることも同様である。例えば円
筒を立てておいた場合、鉛直方向を高さにとるのが自然
の発想である。にもかかわらず、そのような高さ方向に
ついて、円筒の上下の面がいずれも縮退した特異点の集
合となる。こうして考えていくと、人工物の場合、ふつ
うに鉛直方向を高さ方向にとれば、通常は辺や面が特異
点の縮退として現れることに気づく。

【００４０】本実施の形態はそうした知見をもとになさ
れたものであり、自然な高さ方向を生かしたまま、縮退
のある場合でも適用可能な一般化理論を導入してオブジ
ェクトの形状を定義するものである。

【００４１】図３は実施の形態に係るオブジェクト形状
定義装置１の構成図である。これらの構成はハードウエ
アで実現してもよいし、ソフトウエアモジュールで実現
してもよい。ここではモース関数として高さ関数を用い
る。

【００４２】装置１は、オブジェクト入力部２と、オブ
ジェクトのデータが示す形状を解析する形状解析部３
と、特異点に縮退があればそれを解消する形状操作部４
と、縮退が解消した状態でオブジェクトを符号化する符
号化部５と、符号化データすなわち符号が示す形状の正
当性を判定する符号評価部６を含む。

【００４３】オブジェクト入力部２は、ユーザが新たに
オブジェクトを設計する際に利用する編集機能に当たる
オブジェクト編集部２０と、ユーザが既存のオブジェク
トデータを利用する際に二次記憶装置１０から所望のデ
ータを読み出すオブジェクトデータ読出部２１を含む。
本発明ではオブジェクト編集部２０の機能は特に問わな
いため、従来一般的なＣＡＤの図形入力機能を採用して
もよい。オブジェクト編集部２０、オブジェクトデータ
読出部２１のいずれかを介して入力されたオブジェクト
データは形状解析部３へ送られる。

【００４４】形状解析部３は、オブジェクトデータをも
とにそのオブジェクトの特異点を検出する特異点検出部
３０と、検出された特異点の縮退を検出する縮退検出部
３１を含む。特異点に関する情報は符号化部５へ伝えら
れ、特異点に縮退がある場合はその旨が形状操作部４へ
伝えられる。

【００４５】形状操作部４は、所定の規則に従って自動
的に縮退を取り除く自動縮退除去部４０と、ユーザの指
示に従って縮退を取り除く手動縮退除去部４１を含む。
形状操作部４は、縮退を取り除いた際の操作に関する情
報（以下「操作情報」）を符号化部５へ通知する。

【００４６】符号化部５は特異点に関する情報と操作情
報を利用し、一般化理論のもとでオブジェクトの形状を
符号化する。符号化の結果は符号評価部６で評価され、
問題があればその旨がオブジェクト編集部２０へ伝えら
れる。オブジェクト編集部２０はユーザにデータの修正
を求める。

【００４７】以上の構成による処理の手順を図４のフロ
ーチャートをもとに説明する。ユーザが新たなオブジェ
クト、例えば三次元立体を設計するとき、オブジェクト
編集部２０の機能を用いて形状を入力していく。既存の
オブジェクトデータを利用する場合は、オブジェクトデ
ータ読出部２１を介して二次記憶装置１０から必要なデ
ータを読み込む（Ｓ１）。図５は入力されたオブジェク
ト７０の形状を示している。ここでは途中で分岐する立
体を想定している。高さ方向がｚ軸で示されている。

【００４８】入力されたオブジェクト７０のデータは、
形状解析部３へ送られ、まず特異点検出部３０で特異点
が検出される（Ｓ２）。特異点はｚ軸に沿ってオブジェ
クト７０を上下に走査することで判明する。オブジェク
ト７０の場合、分岐の元のほうに存在する上端面７１、
分岐の一方の先に存在する下端面７２、分岐の他方の先
に存在する下向きの頂点７３、および分岐が生じる点７
４（以下「分岐点７４」）が特異点として検出される。
なお、上端面７１、下端面７２はｚ軸に垂直と仮定す
る。

【００４９】つづいて、縮退検出部３１で縮退箇所が検
出される（Ｓ３）。オブジェクト７０の場合、上端面７
１、下端面７２の高さがそれぞれ一定であるから、これ
らはそれぞれ縮退した特異点の集合である。したがっ
て、これらふたつの面が縮退箇所として検出される。縮
退が存在したことは、形状操作部４に伝えられる。な
お、特異点検出部３０と縮退検出部３１を一体に構成
し、Ｓ２の特異点検出およびＳ３の縮退検出を同時に行
ってもよい。

【００５０】形状操作部４では縮退の除去が行われる
（Ｓ４）。ここでは自動縮退除去部４０が働くとする。
自動縮退除去部４０は、以下の規則にしたがって形状に
微小な変位を加える。ε（ε＞０）は微小量とする。

【００５１】規則１．頂上点が縮退している領域（以下
「高原（ｈｉｇｈｌａｎｄ）」）については、その中
の一点の高さｚ_０をｚ_０＋εとする規則２．谷底点が縮退している領域（以下「盆地（ｂａ
ｓｉｎ）」）については、その中の一点の高さｚ_０をｚ
_０−εとする規則３．鞍点が縮退している領域（以下「峠の平地（ｐ
ａｓｓｐｌａｉｎ）」）については、その中の一点の
高さｚ_０を、ひとつの方向についてはｚ_０＋εとし、別
の方向についてはｚ_０−εとする。

【００５２】いま上端面７１は高原であるから規則１を
適用し、図６に示すごとく、高原の高さを上回る新たな
頂上点７５を生成する。下端面７２は盆地であり、規則
２を適用して図７のごとく新たな谷底点７６を設ける。
これらの結果、上端面７１については新たな頂上点７５
が唯一の特異点となり、縮退が取り除かれる。同様に下
端面７２については新たな谷底点７６が唯一の特異点と
なり、縮退が取り除かれる。

【００５３】図５のオブジェクト７０の場合、分岐点７
４は縮退のない鞍点である。仮に、図８に示すごとく、
あるオブジェクト８０の鞍点８１（ｘ軸方向に極小、ｙ
軸方向に極大）が縮退して峠の平地ができている場合は
規則３が適用される。すなわち、ｘ軸方向については図
９のように新たな極小点８２を設け、ｙ軸方向について
は図１０のように新たな極大点８３を設ける。この結
果、極小点８２かつ極大点８３である新たな鞍点が生
じ、縮退が解かれる。より正確にいえば、ｘ軸方向にε
だけ前後より低く、ｙ軸方向にεだけ前後より高い点が
生じるようその付近全体の形状を調整する。つまり、従
来のモース理論を「縮退のない特異点に関する情報でオ
ブジェクトの形状を定義する理論」と考えれば、本発明
者による一般化理論は「縮退の有無によらず特異点に関
する情報でオブジェクトの形状を定義する理論」という
ことができ、モース理論がその特殊解となる。

【００５４】なお、ここで縮退を取り除くために微小量
εを導入したが、実際のオブジェクトにおいてεはゼロ
である。そのため、オブジェクトを可視化、製造など具
体化する場合には、ε→０とすればよい。εを［０，
１］の区間で連続的に変化させて得られる形状はすべて
ホモトピー同値であり、εの導入による一連の処理がす
べてモース理論に基づくホモトピー理論で包含できるこ
とは注意されてもよい。

【００５５】符号化部５では、特異点の位置、指数、も
ともとの縮退の有無など特異点に関する情報をもとにオ
ブジェクト７０を符号化する（Ｓ５）。形状操作部４か
らの操作情報は、仮想的に設けられた特異点の指数を知
るために利用される。すなわち、規則１の操作が行われ
た箇所には頂上点が生じ、これは指数２の特異点と把握
される。同様に、規則２の場合は指数０、規則３の場合
は指数１となる。

【００５６】図１１は符号化部５で得られたオブジェク
ト７０の符号化の結果、すなわち符号を示す図である。
同図のごとく、特異点の指数、縮退の有無、特異点の座
標が一組になってオブジェクト７０のおおまかな構造が
記述されている。オブジェクト７０の場合、頂上点は上
端面７１に設けた仮想的なものに限られるから、指数２
の特異点はひとつしかない。鞍点はもとの分岐点７４の
みであり、やはりひとつである。谷底点は下端面７２に
設けたものと、もとの頂点７３のふたつである。縮退の
有無の欄において、「１」は縮退があったもの、「０」
は縮退がなかったものを示している。

【００５７】この符号は、オブジェクトをデータベース
から探し出す際の検索キーとして利用できる。その場
合、単に特異点の数だけでも大まかなキーになるし、指
数ごとの特異点の数を考慮すれば、より細かい検索がで
きる。縮退の有無、座標を組み合わせれば、当然さらに
詳細な検索が可能になる。

【００５８】符号はさらに、符号評価部６へ送られる。
ここでは、オブジェクトの構造または位相が本来満たす
べき条件に関する方程式、具体的には微分位相幾何学で
知られている次の登山家の方程式（ｔｈｅｍｏｕｎｔ
ａｉｎｅｅｒ’ｓｅｑｕａｔｉｏｎ）を用い、オブジ
ェクト７０の符号が位相幾何学的観点から実在しうるか
どうかを判定する（Ｓ６）。

【００５９】χ＝Ｎ_０−Ｎ_１＋Ｎ_２（式１）この方程式は後のモース理論のきっかけとなったもの
で、閉曲面の存在を示す式と考えることができる。ここ
で、Ｎ_０、Ｎ_１、Ｎ_２はそれぞれ指数が０、１、２の特
異点の個数である。また、χはいま考えている閉曲面の
オイラー標数で、その閉曲面に開いている穴（ハンド
ル：ｈａｎｄｌｅ）の数をｇとすると、 χ＝２−２ｇ（式２）が成り立つ。球面ではｇ＝０のため、それと同相の閉曲
面ではχ＝２となる。またトーラスではｇ＝１であるた
め、それと同相の閉曲面ではχ＝０となる。

【００６０】いま、図５のオブジェクト７０は球面と同
相であり、χ＝２となるべきである。一方、図１１の符
号によればＮ_０＝２、Ｎ_１＝１、Ｎ_２＝１であるから、
確かにこの条件を満たす。この結果、符号評価部６で
「オブジェクト７０の符号は位相幾何学的にみて一応正
しいと判断される」という評価がなされ（Ｓ６のＹ）、
一連の処理を終える。なお、オブジェクトに開いている
穴の数が不明のときは判定の条件を緩和し、単に「χが
２以下の偶数であれば、一応正しい」とみなす（式２を
参照）。符号評価部６はさらに、χの値を計算した後、
式２から逆に穴の数を計算し、その結果を確認のために
ユーザに示してもよい。

【００６１】一方、χが判定の条件を満たさない場合
（Ｓ６のＮ）、符号になんらかの不具合が生じている。
そのため、その旨がオブジェクト編集部２０へ通知され
る。オブジェクト編集部２０はユーザに対して不具合の
存在を伝え、データの修正を促す。ユーザは必要に応じ
て修正を行い（Ｓ７）、処理をＳ２の特異点検出へ戻
す。

【００６２】以上が装置１の動作である。この装置１の
処理については、以下のような変形技術も考えられる。
自動縮退除去部４０の代わりに、手動縮退除去部４１を
利用してもよい。その場合、上述の規則１〜３とは異な
る方法で形状の調整が可能である。例えば、高原に新た
な谷底点を設けるなど、縮退している特異点と異なる種
類の特異点を設けても差し替えない。さらには、高原に
カルデラのような起伏を設けたり、盆地の中に山を設け
てもよい。その際の第一の留意点は、最終的に縮退が完
全に取り切れるよう、微小量εによる形状の調整に配慮
することである。

【００６３】第二の留意点は、どのような形状を設ける
かを設計の意図に沿わせることである。なぜなら、そう
して設けられた仮想的な特異点は符号に反映され、その
オブジェクトの特徴づけに利用され、たとえば同様の形
状をデータベースからサーチの際に利用されるためであ
る。すなわち、仮想的な特異点の導入によって、設計者
がそのオブジェクトをどのように認識しているかが判明
するし、また、どのように認識してほしいかを提示する
ことにもなるのである。

【００６４】別の変形技術として、当然ながら、モース
関数として高さ関数以外の関数を採用して一般化理論を
構築することもできる。モース理論は任意のモース関数
について成り立つ。例えば、オブジェクトの曲面の曲率
に関する関数を採用してもよく、その場合曲率に微小な
変位を与えることで縮退を取り除くことができる。曲率
については、通常の定義にもとづく曲率のほか、ガウス
曲率など、異なる定義にもとづくものを採用することも
できる。

【図面の簡単な説明】

【図１】特異点の指数、ｋ次元セルおよびそれによっ
て符号化される物体の関係を示す図である。

【図２】演算子を用いてトーラスを符号化する方法を
示す図である。

【図３】実施の形態に係るオブジェクト形状定義装置
の構成図である。

【図４】実施の形態の装置による処理を示すフローチ
ャートである。

【図５】オブジェクト編集部で入力されたオブジェク
トの形状を示す図である。

【図６】オブジェクトの上端面に新たな頂上点を設け
て縮退を除去した様子を示す図である。

【図７】オブジェクトの下端面に新たな谷底点を設け
て縮退を除去した様子を示す図である。

【図８】鞍点が縮退しているオブジェクトを示す図で
ある。

【図９】鞍点の縮退を除去するために、その点が極小
となる方向について新たな谷底点を設けた状態を示す図
である。

【図１０】鞍点の縮退を除去するために、その点が極
大となる方向について新たな頂上点を設けた状態を示す
図である。

【図１１】符号化部で得られたオブジェクトの符号化
の結果、すなわち符号を示す図である。

【符号の説明】

１オブジェクト形状定義装置、２オブジェクト入力
部、３形状解析部、４形状操作部、５符号化部、
６符号評価部、１０二次記憶装置、２０オブジェク
ト編集部、２１オブジェクトデータ読出部、３０特
異点検出部、３１縮退検出部、４０自動縮退除去
部、４１手動縮退除去部、７０，８０オブジェクト、
７１上端面、７２下端面、７３下向きの頂点、７
４分岐点、７５新たに設けた頂上点、７６新たに
設けた谷底点、８１縮退した鞍点、８２ｘ軸方向に
設けた極小点、８３ｙ軸方向に設けた極大点。

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】多様体上の関数の特異点に関する制約を
緩和することによってモース理論を一般化し、この一般
化理論を用いて、多様体であるオブジェクトの形状を定
義することを特徴とするオブジェクトの形状定義方法。
【請求項２】前記一般化理論は、特異点が縮退してい
る箇所に仮想的な特異点を設けて縮退を取り除く請求項
１に記載の方法。
【請求項３】頂上点が縮退している箇所については、
その一点に微小な変位を加えることで仮想的な頂上点を
生成する請求項２に記載の方法。
【請求項４】谷底点が縮退している箇所については、
その一点に微小な変位を加えることで仮想的な谷底点を
生成する請求項２に記載の方法。
【請求項５】鞍点が縮退している箇所については、そ
の一点に微小な変位を加えることで仮想的な鞍点を生成
する請求項２に記載の方法。
【請求項６】特異点が縮退している箇所に対し、設計
の意図に応じて微小な変位を加え、仮想的な特異点を設
ける請求項２に記載の方法。
【請求項７】オブジェクトを具体化する場面では前記
の微小な変位をゼロに戻す請求項３〜６のいずれかに記
載の方法。
【請求項８】オブジェクトのデータを入力する手段
と、入力されたオブジェクト上に定義される関数の特異点と
その縮退を検出する手段と、特異点が縮退しているとき、仮想的な特異点を設けて縮
退を取り除く手段と、特異点に縮退がない状態でオブジェクトの形状を符号化
する手段と、を含むことを特徴とするオブジェクトの形状定義装置。
【請求項９】前記の入力する手段は、新たなオブジェ
クトを編集する手段である請求項８に記載の装置。
【請求項１０】前記の入力する手段は、既存のオブジ
ェクトデータを読み込む手段である請求項８に記載の装
置。
【請求項１１】符号化された形状の正当性を評価する
手段をさらに含む請求項８に記載の装置。
【請求項１２】前記の評価する手段は、オブジェクト
の位相が満たすべき方程式を利用してオブジェクトの形
状が実在しうるか否かを判定する請求項１１に記載の装
置。
【請求項１３】前記の方程式は、登山家の方程式であ
る請求項１２に記載の装置。