JPH11265371A

JPH11265371A - 半導体プロセス・デバイスシミュレーション方法およびシミュレーションプログラムを格納した記憶媒体

Info

Publication number: JPH11265371A
Application number: JP32923798A
Authority: JP
Inventors: Shigetaka Kumashiro; 成孝熊代
Original assignee: NEC Corp
Current assignee: NEC Corp
Priority date: 1997-11-28
Filing date: 1998-11-19
Publication date: 1999-09-28

Abstract

(57)【要約】【課題】演算処理に利用されない余分なメモリー部分
を消費することなく、高速にシミュレーション結果が得
られるようにする。【解決手段】ＣＰＵ１０１は、メモリー１０２に格納
されているそれらメッシュ点毎に解くべき方程式をグル
ープ化し、第ｉ行、第ｊ列の要素がｎ（ｉ）×ｎ（ｊ）
の小行列となるように不均等幅にブロック化された係数
行列を、メモリー１０２上で構成する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】この発明は、コンピュータを
用いて半導体装置の製造プロセス及び電気特性をシミュ
レートする半導体プロセス・デバイスシミュレーション
に関し、特にシミュレーションにおいて用いられる物理
法則から導出された多次元連立一次方程式を、計算機上
で、効率良く、数値的に解く方法及びそのようなプログ
ラムを格納した記憶媒体に関する。

【０００２】

【従来の技術】ＶＬＳＩなどの半導体集積回路の分野に
おいては、半導体装置の微細化がますます進み、その製
造工程もますます複雑化している。このような状況で
は、プロセスの低温下やその熱処理工程の精密化、ま
た、プロセス設計の高精度かが極めて重要となる。それ
らのことを背景に、デバイスシミュレーションは、半導
体装置の製造などの開発・研究に、近年一般的に利用さ
れるようになった。これは、そのデバイスシミュレーシ
ョンを実際に行うコンピュータの大きな進歩が要因であ
る。また、それらを用いるときの、より使いやすいイン
ターフェイスの登場がある。そして、その解析技術の進
歩は、シミュレーションの対象を大いに広げ、半導体装
置の破壊現象や電流集中の解析まで行われるようになっ
てきている。

【０００３】そのシミュレーションの中に、半導体装置
の製造工程のひとつである、不純物熱拡散のコンピュー
タシミュレーションがある（文献１「プロセス・デバイ
ス・シミュレーション技術」（檀良編著、２６〜２８
頁））。この文献１に記載されているシミュレーション
は、次に示すようにしている。まず、解析すべき領域を
メッシュに分割し、その各メッシュ点で拡散方程式を離
散化する。更に、ニュートン法その他の手法により、そ
の拡散方程式を線形化して連立一次方程式に変換する。
そして、その拡散方程式の解を求めるようにしている。
また、不純物熱拡散やイオン注入、また、熱酸化などの
製造プロセスを経て作成された半導体装置の電気特性
は、例えば、文献２（「プロセス・デバイス・シミュレ
ーション技術」（檀良編著、１０５〜１３４頁））に記
載されているように、次に示すようにシミュレートして
いる。

【０００４】まず、解析すべき領域をメッシュに分割
し、その各メッシュ点でポアッソン方程式並びに電流連
続方程式を離散化する。更にニュートン法その他の手法
により、それら方程式を線形化して連立一次方程式に変
換する。この結果、それら方程式をコンピュータ上で解
くことにより、半導体装置の電気特性をシミュレートす
るようにしている。それら半導体プロセス・デバイスの
シミュレーションでは、メッシュ点数と同一の次元を持
つ大規模連立一次方程式を、コンピュータを用い、可能
な限り高速かつ少ないメモリー使用量で解くことが実用
上重要である。その連立一次方程式を解く機能は、「マ
トリクスソルバー」と呼ばれる。その機能を実現するた
めの手法は、従来から種々の手法が提案されている。例
えば、方程式の次元が小さい場合、ガウスの消去法やＬ
Ｕ分解に代表される直接法が用いられる。

【０００５】これに対し、次元が大きくなると、メモリ
ー使用量と計算時間の制約から反復法が使用される。そ
の反復法の中でも、解くべき連立一次方程式の係数行列
が対称となるものに関しては、ＩＣＣＧ（Ｉｎｃｏｍｐ
ｌｅｔｅＣｈｏｌｅｓｋｅａｎｄＣｎｊｕｇａｔｅ
Ｇｒａｄｉｅｎｔ）法が用いられる。これは、前処理
付きのＣＧ（Ｃｏｎｊｕｇａｔｅ−Ｇｒａｄｏｅｎｔ：
共役勾配）法の解法である。また、係数行列が非対称と
なるものに関しては、収束性の観点から、一般にクリロ
フ亜空間法と呼ばれる一連の手法が用いられる。ＩＣＣ
Ｇ法及びクリロフ亜空間法では、共に、元の係数行列に
乗じた形式のアルゴリズムを構成することにより、係数
行列の条件数を下げることで、解くべき方程式の係数行
列の近似的逆行列を、より少ない反復回数で解くように
している。その操作は前述したように「前処理」と呼ば
れ、また、係数行列の近似的逆行列は「前処理行列」と
呼ばれている。

【０００６】その前処理行列の逆行列として最も良く用
いられるのは、元の係数行列をフィルイン発生位置を限
定してＬＵ分解した「不完全ＬＵ分解」によって得られ
る行列である。フィルインとは、次の数式（１）、
（２）で表されるＬＵ分解の過程で、元の係数行列には
要素値Ａ_ijが０であった位置（ｉ，ｊ）に、新たに０で
ない要素Ｌ_ijまたはＵ_ijが発生することを言う。なお、
発生したフィルインを棄却せずに、ＬＵ分解のその後の
過程で全て考慮すると、通常の完全ＬＵ分解になる。

【０００７】

【数１】

【０００８】

【数２】

【０００９】不完全ＬＵ分解による前処理では、次の相
反する２つの上面を同時に満たすような最適な処理を行
うことが要求される。第１が、できるだけフィルインの
発生を少なくし、その計算を行うコンピュータのメモリ
ー使用量と計算時間の増加を抑制することである。ま
た、第２が、なるべく完全ＬＵ分解に近い結果を得て、
反復法の収束性を向上させることである。

【００１０】このような処理を効率的に行う方法とし
て、例えば、文献３（「２次元バイポーラ・ＭＯＳ複合
デバイスシミュレータＴＯＮＡＤＤＥＩＩのための高速
反復解法」（中村慎、中川明夫著、電子情報通信学会技
術研究報告、６４〜６５頁））に記載されている方法
や、文献４（「アニューハイスピードノンエクイ
リブリアムポイントディフェクトモデルフォー
アニーリングシミュレーション（”ＡＮｅｗＨ
ｉｇｈ−ＳｐｅｅｄＮｏｎ−ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ
ＰｏｉｎｔＤｅｆｅｃｔＭｏｄｅｌｆｏｒＡ
ｎｎｅａｌｉｎｇＳｉｍｕｌａｔｉｏｎ”）」（Ｍｅ
ｇｕｍｉＫａｗａｋａｍｉ，ＭａｓａｈｉｒｏＳ
ｕｇａｙａ，ａｎｄＳｈｉｒｏｏＫａｍｏｈａｒ
ａ著、シスパッド’９６（ＳＩＳＰＡＤ’９６），９４
頁，第１図ａ））に記載されている方法がある。

【００１１】これらの文献３，４に記載された方法で
は、図８のフローチャートに示すように、まず、ステッ
プ８０１で、各メッシュ点で定義されている解くべき方
程式数の最大値ｎを求める。次に、ステップ８０２で、
係数行列の行と列を、各メッシュ点毎にｎ×ｎの正方小
行列単位でグループ化し、ブロック化された係数行列を
構成する。次に、ステップ８０３で、ｎ×ｎの正方小行
列を仮想的に１つの行列要素とみなし、正方行列どうし
の演算による不完全ＬＵ分解処理を行う。以上の動作に
より構成される係数行列の構造を図９に示す。

【００１２】このような正方小行列単位の操作を行うこ
とにより、各スカラー要素単位で処理を行う場合に比べ
て、同等のメモリー使用量でより完全ＬＵ分解に近く、
かつ、より効果的な不完全ＬＵ分解を行うことができ
る。これは、フィルイン発生パターンの決定が、１つの
メッシュ点における各方程式間の結合を重視しているか
らである。上述した、この種の従来の半導体プロセス・
デバイスシミュレーション技術の適用対象は、例えば、
特開平６−５３１５５号公報や特開平８−２１３３３４
号公報に開示されている。

【００１３】

【発明が解決しようとする課題】しかし、上述した従来
の半導体プロセス・デバイスシミュレーション技術で
は、次に示すような問題点があった。これは、ある物理
法則から派生した方程式が、対象とする解析領域の一部
分でしか成立しない場合や、方程式が定義されていない
場合には、不完全ＬＵ分解の過程で余分なメモリーを消
費するという問題である。その理由は、その演算を行う
コンピュータの処理において、不完全ＬＵ分解時の処理
単位を、ｎ×ｎの均一の大きさの正方小行列としている
ためである。例えば、上述したシミュレーションでは、
ｎ本の方程式が定義されていないメッシュ点において
も、ｎ×ｎの小行列サイズを維持する。このために、そ
れら演算を行うコンピュータにおいては、小行列の対応
する主対角部分に１を入れて全体の係数行列を構成し、
それらをメモリー上に配置する必要がある。そのため、
本来必ずしも必要でないメモリーを使用することにな
る。また、コンピュータにおいてその演算処理をすると
き、メモリー上の必ずしも必要でない箇所にアクセスす
る状態が発生する、無駄な処理を行うことになり、余計
な処理時間を必要とするという欠点があった。

【００１４】この発明は、以上のような問題点を解消す
るためになされたものであり、演算処理に利用されない
余分なメモリー部分を消費することなく、高速にシミュ
レーション結果が得られるようにすることを目的とす
る。

【００１５】

【課題を解決するための手段】この発明の半導体プロセ
ス・デバイスシミュレーション方法によれば、処理対象
の半導体装置表面に所定の間隔でメッシュを張る第１の
工程と、そのメッシュの各メッシュ点毎にそのメッシュ
点における複数の物理量を定義する第２の工程と、複数
の物理量の間の関係を示す方程式をたてる第３の工程
と、メッシュ点の数を行数列数として各メッシュ点に対
応する主対角のいずれかの箇所に配置されてその各メッ
シュ点における自己帰還作用を予測するための主対角小
行列と、各メッシュ点に対応する主対角位置を通過する
行と列とのいずれかに配置されて主対角位置に対応する
メッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣のメッシュ点との
間の相互作用を予測するための非主対角小行列とから構
成された係数行列を作成する第５の工程と、その係数行
列に対して正方小行列および小行列を１要素とみなして
それら各小行列どうしの演算を行うことにより係数行列
の不完全ＬＵ分解処理を行う第６の工程とを少なくとも
備え、主対角小行列はこれに対応するメッシュ点にたて
られた方程式の数を行数および列数とした正方行列と
し、各メッシュ点に対応して行方向に配置された非主対
角小行列はこれに対応するメッシュ点にたてられた方程
式の数とそのメッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣のメ
ッシュ点にたてられた方程式の数とをそれぞれ行数と列
数とした行列とし、各メッシュ点に対応して列方向に配
置された非主対角小行列はこれに対応するメッシュ点に
たてられた方程式の数とそのメッシュ点とメッシュ枝で
結ばれた隣のメッシュ点にたてられた方程式の数とをそ
れぞれ列数と行数とした行列とした。このように構成し
た結果、非主対角小行列は、必ずしも正方行列となら
ず、注目するメッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣のメ
ッシュ点にたてられた方程式の数が注目するメッシュ点
にたてられた方程式の数より少ないときは、非正方行列
となり、単純に正方行列を当てはめた場合より計算数が
減少する。

【００１６】また、この発明のシミュレーションプログ
ラムを格納した記憶媒体は、コンピュータに、処理対象
の半導体装置表面に所定の間隔でメッシュを張る第１の
機能と、そのメッシュの各メッシュ点毎にそのメッシュ
点における複数の物理量を定義する第２の機能と、複数
の物理量の間の関係を示す方程式をたてる第３の機能
と、メッシュ点の数を行数列数として各メッシュ点に対
応する主対角のいずれかの箇所に配置されてその各メッ
シュ点における自己帰還作用を予測するための主対角小
行列と、各メッシュ点に対応する主対角位置を通過する
行と列とのいずれかに配置されて主対角位置に対応する
メッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣のメッシュ点との
間の相互作用を予測するための非主対角小行列とから構
成された係数行列を作成する第５の機能と、その係数行
列に対して正方小行列および小行列を１要素とみなして
それら各小行列どうしの演算を行うことにより係数行列
の不完全ＬＵ分解処理を行う第６の機能とを少なくとも
実現させるためのプログラムを記録し、主対角小行列は
これに対応するメッシュ点にたてられた方程式の数を行
数および列数とした正方行列とし、各メッシュ点に対応
して行方向に配置された非主対角小行列はこれに対応す
るメッシュ点にたてられた方程式の数とそのメッシュ点
とメッシュ枝で結ばれた隣のメッシュ点にたてられた方
程式の数とをそれぞれ行数と列数とした行列とし、各メ
ッシュ点に対応して列方向に配置された非主対角小行列
はこれに対応するメッシュ点にたてられた方程式の数と
そのメッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣のメッシュ点
にたてられた方程式の数とをそれぞれ列数と行数とした
行列としたことを特徴とする機械読み取り可能なシミュ
レーションプログラムを格納した。このように構成した
結果、非主対角小行列は、必ずしも正方行列とならず、
注目するメッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣のメッシ
ュ点にたてられた方程式の数が注目するメッシュ点にた
てられた方程式の数より少ないときは、非正方行列とな
り、単純に正方行列を当てはめた場合よりコンピュータ
における計算数が減少する。

【００１７】

【発明の実施の形態】以下この発明の実施の形態を図を
参照して説明する。図１は、この発明による半導体プロ
セス・デバイスシミュレーション方法を実現するシミュ
レーション装置の構成を示している。このシミュレーシ
ョン装置は、中央演算処理部（ＣＰＵ）１０１と、メモ
リー１０２と、表示部１０３と、入力部１０４と、外部
記憶手段１０５とが、バス１０６により接続されて構成
されている。すなわち、ワークステーションやパーソナ
ルコンピュータ、また、その他のコンピュータシステム
にて実現される。例えば、外部記憶手段１０５として
は、磁気ディスクや半導体メモリーその他の一般的な記
憶媒体を用いることができる。

【００１８】このシミュレーション装置では、シミュレ
ーションを行うためのプログラム（シミュレーションプ
ログラム）が、外部記憶装置１０５に格納されている。
そして、操作者が、入力部１０４より、シミュレーショ
ン動作開始の指示などを入力することにより、ＣＰＵ１
０１は、まず、外部記憶手段１０５より、そのプログラ
ムを取り出し、メモリー１０２上の所定領域にロードす
る。次いで、操作者が入力部１０４により入力すること
などにより、シミュレーションに必要なデータ（行列）
をメモリー１０２上に用意する。このシミュレーション
に必要なデータは、予め外部記憶装置１０５に格納され
ているものを、メモリー１０２上に呼び出すようにして
も良い。そして、ＣＰＵ１０１は、メモリー１０２上に
ロードされたプログラムに従ってそれらデータを用いて
所定の計算を行うことで、所定のシミュレーションを行
う。その、最後に、ＣＰＵ１０１は、そのシミュレーシ
ョンの結果を、表示部１０３に表示する。

【００１９】図２は、図１に示したシミュレーション装
置（ＣＰＵ１０１）で実行される、半導体プロセス・デ
バイスシミュレーションの基本的な動作の流れを示して
いる。その動作について簡単に説明すると、まず、ステ
ップ２０１で、ＣＰＵ１０１はロードされたプログラム
にしたがって、各メッシュ点ｉで定義された、複数の物
理量の間の関係を示す解くべき方程式数ｎ（ｉ）を調
べ、その値を例えば図１のメモリー１０２に蓄える。次
に、ステップ２０２で、ＣＰＵ１０１は、メモリー１０
２に格納されているそれらメッシュ点毎に解くべき方程
式をグループ化し、第ｉ行、第ｊ列の要素がｎ（ｉ）×
ｎ（ｊ）の小行列となるように不均等幅にブロック化さ
れた係数行列を、メモリー１０２上で構成する。

【００２０】すなわち、まず、メッシュ点の数を行数列
数とする係数行列を設定し、その各メッシュ点に対応す
る箇所には、その各メッシュ点における自己帰還作用を
予測するための主対角小行列を配置するようにした。ま
た、その係数行列の主対角以外の各メッシュ点に対応す
る主対角位置を通過する行と列とのいずれかに、主対角
位置に対応するメッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣の
メッシュ点との間の相互作用を予測するための非主対角
小行列を配置した。そして、まず、主対角小行列はこれ
に対応するメッシュ点にたてられた方程式の数を行数お
よび列数とした正方行列とする。

【００２１】また、各メッシュ点に対応して行方向に配
置された非主対角小行列は、これに対応するメッシュ点
にたてられた方程式の数とそのメッシュ点とメッシュ枝
で結ばれた隣のメッシュ点にたてられた方程式の数とを
それぞれ行数と列数とした行列とする。そして、各メッ
シュ点に対応して列方向に配置された非主対角小行列
は、これに対応するメッシュ点にたてられた方程式の数
とそのメッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣のメッシュ
点にたてられた方程式の数とをそれぞれ列数と行数とし
た行列とする。最後に、ステップ２０３で、ＣＰＵ１０
１は、メモリー１０２上に構成した第ｉ行，第ｊ列の小
行列を１要素とみなし、それら各小行列どうしの演算を
行うことにより係数行列の不完全ＬＵ分解処理を行う。

【００２２】次に、図２のフローチャートと図３とを参
照して、本発明のシミュレーション動作について説明す
る。なお、図３は、そのシミュレーション動作の過程で
構成される係数行列の構造の一例を示している。まず、
シミュレーション処理の対象である、メッシュが張られ
た半導体装置表面のメッシュ点毎の方程式数を調べる
（図２：ステップ２０１）。この説明では、７個のメッ
シュ点が存在し、メッシュ点１に３本、メッシュ点２に
２本、メッシュ点３に１本、メッシュ点４に３本、メッ
シュ点５に２本、メッシュ点６に１本、メッシュ点７に
４本の方程式が、そのメッシュ点における状態を示すも
のとしてそれぞれ定義されているものと仮定する。これ
により、ｎ（１）＝３，ｎ（２）＝２，ｎ（３）＝１，
ｎ（４）＝３，ｎ（５）＝２，ｎ（６）＝１，ｎ（７）
＝４という結果が得られる。

【００２３】次に、メッシュ点毎に解くべき方程式をグ
ループ化し、ブロック化された係数行列を構成する（図
２：ステップ２０２）。上述のメッシュを張った場合、
その係数行列は図３に示すようになる。図３において、
太い実線で囲まれた斜線部分は１つのブロックを表し、
破線は各ブロック内のスカラー要素の区切りを示してい
る。例えば、第７行，第４列は４×３の非正方行列から
成り立っている。次に、小行列を１要素とみなして、正
方ならびに非正方行列どうしの演算により上述した数式
（１）、数式（２）にしたがって不完全ＬＵ分解を行う
ことで方程式を解き、前述したメッシュ点における状態
をシミュレートする（ステップ２０３）。なお、例え
ば、図３の第３行，第３列の分解によるＬ₃₃要素の生成
は、「Ｌ₃₃＝Ａ₃₃−Ｌ₃₁Ｕ₁₃・・・（３）」の数式のよ
うに、分解の済んだ１×３の小行列Ｌ₃₁と３×１の小行
列Ｕ₃₁との積を、１×１のサイズの係数行列要素Ａ₃₃か
ら差し引くことによって実行される。

【００２４】実施例１以下、本発明を、より具体的な例
を用いて説明する。すなわち、酸化膜が形成されたシリ
コン基板に導入されている不純物の拡散状態をシミュレ
ーションする場合を例にとり説明する。この不純物拡散
シミュレーションでは、まず、酸化膜が形成されたシリ
コン基板の断面（２次元領域）に、所定の間隔のメッシ
ュを割り当てて各メッシュ点に所定の方程式を設定す
る。図４は、その２次元領域を示しており、８つのマス
に区切られた領域４０１がシリコン基板の領域を示して
いる。また、その領域４０１上の２つのマスに区切られ
た領域４０２が、シリコン基板上に形成された酸化膜を
示している。また、そして、線分４０３が、シリコン基
板と酸化膜との境界を表している。

【００２５】また、領域４０１の「１０」から「２１」
までの数字がつけられた丸印のメッシュ点４０４は、２
次元領域のシリコン基板の領域内に割り当てられたメッ
シュ点を示している。また、領域４０２の「１」から
「３」までの数字がつけられた三角印のメッシュ点４０
５は、２次元領域の酸化膜領域の表面に割り当てられた
メッシュ点を表す。また、「７」から「９」までの数字
がつけられた四角印のメッシュ点４０６は、シリコン基
板と酸化膜の界面のシリコン基板側を代表するメッシュ
点である。そして、「４」から「６」までの数字がつけ
られた星印のメッシュ点４０７は、シリコン基板と酸化
膜の界面の酸化膜側を代表するメッシュ点である。ま
た、それらの各メッシュ点は、メッシュ枝４０８で互い
に連結されている。

【００２６】ここで、この不純物拡散シミュレーション
では、点欠陥とのペア拡散モデルによるホウ素の拡散シ
ミュレーションを行うことを考える。このシミュレーシ
ョンのモデルでは、シリコン基板内では以下のような物
理的描像を用いる。まず、シリコン基板内には点欠陥で
ある格子間シリコンとシリコン空孔が存在しており、こ
れらは互いに再結合しながら拡散するものとする。ま
た、不純物であるホウ素は、格子間シリコンとペアを形
成して拡散し、そのペアが解離した時点でシリコン基板
の結晶格子の置換位置に収まるものとする。以上に示し
た点欠陥ペア拡散モデルによれば、シリコン基板内の
「１０」から「２１」までの各メッシュ点４０４では以
下の５本の方程式群（４）〜（８）が解くべき方程式群
となる。

【００２７】

【数３】

【００２８】

【数４】

【００２９】

【数５】

【００３０】

【数６】

【００３１】

【数７】

【００３２】なお、上記した数式において、数式（４）
は、ホウ素−格子間シリコンペアの拡散と生成と解離を
表す数式である。また、数式（５）は、ホウ素の結合と
解離を表す数式である。また、数式（６）は、格子間シ
リコンの拡散と結合と解離と消滅を表す数式である。数
式（７）は、シリコン空孔の拡散と消滅を表す数式であ
る。数式（８）は、帯電した点欠陥やホウ素の濃度と静
電ポテンシャルの関係を表すポアッソン方程式である。
また、上記の数式（４）〜（６）において、Ｃ_BIはホウ
素−格子間シリコンペアの体積濃度、Ｃ_Baは置換位置に
ある活性化ホウ素の体積濃度、Ｃ_Iは格子間シリコンの
体積濃度、Ｃ_Vはシリコン空孔の体積濃度である。

【００３３】また、Ｚ_BIはホウ素−格子間シリコンペア
の帯電状態を表す数、Ｚ_Iは格子間シリコンの帯電状態
を表す数、Ｚ_Vはシリコン空孔の帯電状態を表す数であ
る。また、Ｄ_BIはホウ素−格子間シリコンペアの拡散定
数、Ｄ_Iは格子間シリコンの拡散定数、Ｄ_Vはシリコン空
孔の拡散定数である。また、ｋ_BI-fはホウ素−格子間シ
リコンペアの形成定数、ｋ_BI-rは、解離反応速度定数を
表す。ｋ_IVは、格子間シリコンとシリコン空孔の再結合
率を表す。また、ｑは単位電荷を、εはシリコンの誘電
率を、ｋはボルツマン定数を、Ｔは絶対温度を、ψは静
電ポテンシャルを、ｎ_iはシリコンの真性キャリア密度
を表す。また、Ｃ^* _Iは熱平衡状態における格子間シリコ
ンの体積密度、Ｃ^* _Vは熱平衡状態におけるシリコン空孔
の体積濃度を表している。

【００３４】ところで、酸化膜内のホウ素の拡散は、ペ
ア拡散ではなく、ホウ素自身がそのまま拡散するとする
通常のモデルで記述できる。さらに、酸化膜内では静電
ポテンシャルの影響は無視できる。したがって、酸化膜
内のメッシュ点４０５では次の数式（９）のような通常
の拡散方程式を解くことで、そのメッシュ点における不
純物であるホウ素の濃度のシミュレーションを行うこと
ができる。

【００３５】

【数８】

【００３６】なお、その数式（９）において、Ｃ_Bcは酸
化膜中の全ホウ素濃度であり、ＤBは酸化膜中のホウ素
の拡散定数である。また、シリコン基板と酸化膜の界面
に関しては、界面上のメッシュ点４０６とメッシュ点４
０７との間に、次の数式１０で示されるホウ素の編析に
よる流束Ｊ_Sが存在する。

【００３７】

【数９】

【００３８】ここで、Ｃ_Bcは酸化膜側のメッシュ点４０
７における全ホウ素濃度を表し、Ｃ_BIはシリコン側のメ
ッシュ点４０６におけるホウ素−格子間シリコンペア濃
度を表す。また、ｈはシリコンと酸化膜の界面における
ホウ素の輸送係数を示し、ｍはシリコンと酸化膜の界面
におけるホウ素の偏析係数である。そして、シリコン基
板内の格子間シリコンとシリコン空孔は、シリコン基板
と酸化膜の界面で消滅する。これらを考慮すると、不純
物としてのホウ素の拡散シミュレーションにおいて、シ
リコン基板側のメッシュ点４０６で解くべき方程式群
は、以下に示す５本の数式（１１）〜（１５）になる。

【００３９】

【数１０】

【００４０】

【数１１】

【００４１】

【数１２】

【００４２】

【数１３】

【００４３】

【数１４】

【００４４】ここで、数式（１３）のｋ_ISは格子間シリ
コンのシリコンと酸化膜の界面での再結合速度であり、
数式（１４）のｋ_VSはシリコン空孔のシリコンと酸化膜
の界面での再結合速度である。また、同様に酸化膜側の
メッシュ点４０７で解くべき方程式は次の数式（１６）
になる。

【００４５】

【数１５】

【００４６】次に、本実施例１におけるシミュレーショ
ンの動作について、図２のフローに沿って説明する。ま
ず、各メッシュ点で定義されている方程式数を調べる
（ステップＳ２０１）。本実施例１では、図４の内で、
メッシュ点４０４，４０６のようなシリコン基板側のメ
ッシュ点では、上述した数式（４）〜（８）や数式（１
１）〜（１５）のように、５本の方程式が定義されてい
る。また、メッシュ点４０５，４０７のような酸化膜側
のメッシュ点では、上述した数式（９）や数式（１６）
のように１本の方程式が定義されている。

【００４７】次に、メッシュ点毎に解くべき方程式をグ
ループ化し、図５に示すブロック化された係数行列を構
成する（ステップ２０２）。図５では、図４の各メッシ
ュ点につけられた「１」から「２１」までの数字に対応
して、２１行２１列の係数行列となっている。すなわ
ち、図５の係数行列の１つの行内には、その行番号を図
４のメッシュ点番号とする主対角を構成するメッシュ点
の正方小行列ブロックと、そのメッシュ点にメッシュ枝
４０８で接続されている隣接メッシュ点の正方または非
正方小行列ブロックとが全て配置されている。

【００４８】ここで、この実施例１では、メッシュ点４
０４、４０６のようなシリコン側のメッシュ点に関して
は、行「７」列「７」から行「２１」列「２１」までに
示すように、各ブロックの幅は５である。これに対し、
「１」から「６」までがつけられたメッシュ点４０５，
４０７のような酸化膜側のメッシュ点に関しては、行
「１」列「１」から行「６」列「６」までに示すよう
に、各ブロックの幅は１である。なお、図５に示す各ブ
ロック内で、空白の箇所には計算対象の数値が格納され
ていないことを示している。

【００４９】そして、例えば、図４の「８」がつけられ
たメッシュ点４０６に対応する図５の行「８」には、ま
ず、行「８」列「８」のところに、「８」がつけられた
メッシュ点４０６の５×５小行列の主対角ブロックがあ
る。この主対角ブロックでは、計算対象の数値の数は２
０個である。また、図４に示すように「８」のメッシュ
点４０６下方には、「１１」のメッシュ点４０４がある
ので、図５の行「８」列「１１」のところに、「１１」
がつけられた丸印のメッシュ点４０４に対応する５×５
小行列ブロックがある。

【００５０】この小行列ブロックでは、計算対象の数値
の数は７個である。また、図４に示すように「８」のメ
ッシュ点４０６の左右に、「７」のメッシュ点４０６と
「９」のメッシュ点４０６があるので、行「８」列
「７」と行「８」列「９」のところには、それらのメッ
シュ点に対応する５×５小行列ブロックがある。この小
行列ブロックも、計算対象の数値の数は７個である。ま
た、図４に示すように「８」のメッシュ点４０６の上方
には「５」のメッシュ点４０７があるが、図５に示すよ
うに行「８」列「５」のところには、そのメッシュ点４
０７に対応する５×１の非正方小行列ブロックがある。

【００５１】同様に、例えば、図４の「５」のメッシュ
点４０７に対応する図５の行「５」には、まず、行
「５」列「５」のところに、「５」のメッシュ点４０７
に対応する１×１小行列の主対角ブロックがある。ま
た、「５」のメッシュ点４０７の上方の「２」のメッシ
ュ点４０５に関しては、図５の行「５」列「２」のとこ
ろに、対応する１×１小行列ブロックがある。また、
「５」のメッシュ点４０７の左右には「４」と「６」の
メッシュ点４０７があり、図５の行「５」列「４」と行
「５」列「６」のところに、それぞれ対応する１×１小
行列ブロックがある。

【００５２】そして、「５」のメッシュ点４０７の下に
は「８」のメッシュ点４０６があり、図５の行「５」列
「８」のところに、対応する１×５の非正方小行列ブロ
ックがある。最後に、各小行列を１要素とみなして、正
方ならびに非正方行列どうしの演算により、前記した数
式（１），（２）に従って不完全ＬＵ分解を行うことで
方程式を解き、前述したメッシュ点における状態をシミ
ュレートする（ステップ２０３）。

【００５３】以上示したように、この実施例１では、次
に示すところにおいて、５×５の小行列より計算量の少
なくなった行列で演算を行うようにしたので、無駄な演
算が省けて計算時間を削減できるようになる。まず、酸
化膜側の各メッシュ点における主対角ブロックは１×１
の正方行列となっている。また、界面におけるメッシュ
点の主対角ではない行列は１×５もしくは５×１の非正
方行列となっている。従来では、これらにおいても５×
５の小行列を構成していたため、必ずしも必要のないメ
モリーを使用することになり、無駄な演算を行っていた
ことになる。

【００５４】実施例２次に、本発明のより具体的な第２
の実施例を説明する。以下では、表面に酸化膜が形成さ
れたシリコン基板における電気的特性をシミュレーショ
ンする場合を例としおり、例えば、ゲート絶縁膜のＭＯ
Ｓ容量を、メッシュの各格子点におけるポテンシャルの
値とキャリアの濃度を求めることでシミュレートする場
合である。このデバイスシミュレーションでも、まず、
酸化膜が形成されたシリコン基板の断面（２次元領域）
に、所定の間隔のメッシュを割り当てて各メッシュ点に
所定の方程式を設定する。図６は、その２次元領域を示
しており、８つのマスに区切られた領域６０１がシリコ
ン基板の領域を示している。また、その領域６０１上の
２つのマスに区切られた領域６０２が、シリコン基板上
に形成された酸化膜を示している。また、そして、線分
６０３が、シリコン基板と酸化膜との境界を表してい
る。

【００５５】また、領域６０１の「４」から「１８」ま
での数字がつけられた丸印のメッシュ点６０４は、２次
元領域のシリコン基板の領域内に割り当てられたメッシ
ュ点を示している。また、領域６０２の「１」から
「３」までの数字がつけられた三角印のメッシュ点６０
５は、２次元領域の酸化膜領域の表面に割り当てられた
メッシュ点を表す。このように、上記の不純物拡散プロ
セスシミュレーションの場合と異なり、シリコン基板と
酸化膜界面には、シリコン基板側の性質を有する１つの
メッシュ点のみが割り当てられる。

【００５６】次に、各メッシュ点では、次のポアソン方
程式である数式（１７）が成立している。

【００５７】

【数１６】

【００５８】その数式（１７）において、εは物質の誘
電率、φは静電ポテンシャル、ｑは単位電荷、Ｎ_Dはド
ナー密度、Ｎ_Aはアクセプタ密度、ｎは電子密度、ｐは
正孔密度である。また、メッシュ点６０４のようなシリ
コン基板側のメッシュ点では、次の電流連続方程式であ
る数式（１８）と数式（１９）が成立している。

【００５９】

【数１７】

【００６０】

【数１８】

【００６１】その数式（１８），（１９）において、Ｄ
_nは電子の拡散定数、Ｄ_pは正孔の拡散定数、μ_nは電子
のドリフト移動度、μ_pは正孔のドリフト移動度であ
る。また、Ｇは電子の再結合率を表し、Ｒは電子と正孔
の再結合率を表す。実施例１の不純物拡散プロセスシミ
ュレーションにおいては、ホウ素の拡散の場合に酸化膜
領域とシリコン領域とで全く別の方程式が定義されてい
たのに対し、このデバイスシミュレーションにおいて
は、ポアッソン方程式と電流連続方程式の定義領域が部
分的に異なっている。

【００６２】次に、本実施例２におけるシミュレーショ
ンの動作について、図２のフローチャートに沿って説明
する。まず、各メッシュ点で定義されている方程式数を
調べる（ステップＳ２０１）。本実施例２では、図６の
内で、メッシュ点６０４のシリコン基板側のメッシュ点
では、上述した数式（１７）と数式（１８）〜（１９）
の３本の方程式が定義されている。また、メッシュ点６
０５の酸化膜領域の表面のメッシュ点では、上述した数
式（１７）の１本の方程式が定義されている。次に、メ
ッシュ点毎に解くべき方程式をグループ化し、図７に示
すブロック化された係数行列を構成する（ステップ２０
２）。

【００６３】図７では、図６の各メッシュ点につけられ
た「１」から「１８」までの数字に対応して、１８行１
８列の係数行列となっている。すなわち、図７の係数行
列の１つの行内には、その行番号を図６のメッシュ点番
号とする主対角を構成するメッシュ点の正方小行列ブロ
ックと、そのメッシュ点に接続されている隣接メッシュ
点の正方または非正方小行列ブロックとが全て配置され
ている。

【００６４】ここで、この実施例２では、メッシュ点６
０４に関しては、行「４」列「４」から行「１８」列
「１８」までに示すように、各ブロックの幅は３であ
る。これに対し、「１」から「３」までがつけられたメ
ッシュ点６０５に関しては、行「１」列「１」から行
「３」列「３」までに示すように、各ブロックの幅は１
である。なお、図７に示す各ブロック内で、空白の箇所
には計算対象の数値が格納されていないことを示してい
る。

【００６５】そして、例えば、図６の「５」のメッシュ
点６０４に対応する図７の行「５」には、まず、行
「５」列「５」のところに「５」のメッシュ点６０４の
３×３小行列の主対角ブロックがある。この主対角ブロ
ックでは、計算対象の数値の数は９個である。また、図
６に示すように、「５」のメッシュ点６０４の下方には
「８」のメッシュ点６０４があるので、図７の行「５」
列「８」のところに「８」のメッシュ点６０４に対応す
る３×３の小行列ブロックがある。この小行列ブロック
では、計算対象の数値は５個である。

【００６６】また、「５」のメッシュ点６０４の左右に
は「４」と「６」のメッシュ点６０４があるので、図７
の行「５」列「４」と行「５」列「６」のところには、
それらのメッシュ点６０４に対応する３×３小行列ブロ
ックがある。この小行列ブロックも、計算対象の数値の
数は５個である。また、「５」のメッシュ点６０４の上
方には「２」のメッシュ点６０５があるが、図７の列
「５」行「２」のところにはそのメッシュ点６０５に対
応する３×１の非正方小行列ブロックがある。

【００６７】同様に、例えば、図６の「２」のメッシュ
点６０５に対応する図７の行「２」には、まず、行
「２」列「２」のところに「２」のメッシュ点６０５に
対応する１×１小行列の主対角ブロックがある。また、
「２」のメッシュ点６０５の左右の「１」知「３」のメ
ッシュ点６０５に関しては、図７の行「２」列「１」と
行「２」列「３」のところに、それぞれ１×１小行列ブ
ロックがある。また、「２」のメッシュ点６０５の下方
の「５」のメッシュ点６０４に関しては、図７の行
「２」列「５」のところに１×３の非正方小行列ブロッ
クがある。

【００６８】最後に、各小行列を１要素とみなして、正
方ならびに非正方行列どうしの演算により、前記した数
式（１），（２）に従って不完全ＬＵ分解を行うことで
方程式を解き、前述したメッシュ点における状態をシミ
ュレートする（ステップ２０３）。従来では、全てにお
いて３×３の小行列を構成していたため、必ずしも必要
のないメモリーを使用することになり、無駄な演算を行
っていたことになるが、この実施例２では、部分的に３
×３の小行列より計算量の少なくなった行列で演算を行
うようにしたので、無駄な演算が省けて計算時間を削減
できるようになる。以上好ましい実施例をあげて本発明
を説明したが、本発明は必ずしも上記実施例に限定され
るものではない。

【００６９】

【発明の効果】以上説明したように、この発明では、処
理対象の半導体装置表面に所定の間隔でメッシュを張る
第１の工程と、そのメッシュの各メッシュ点毎にそのメ
ッシュ点における複数の物理量を定義する第２の工程
と、複数の物理量の間の関係を示す方程式をたてる第３
の工程と、メッシュ点の数を行数列数として各メッシュ
点に対応する主対角のいずれかの箇所に配置されてその
各メッシュ点における自己帰還作用を予測するための主
対角小行列と、各メッシュ点に対応する主対角位置を通
過する行と列とのいずれかに配置されて主対角位置に対
応するメッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣のメッシュ
点との間の相互作用を予測するための非主対角小行列と
から構成された係数行列を作成する第５の工程と、その
係数行列に対して正方小行列および小行列を１要素とみ
なしてそれら各小行列どうしの演算を行うことにより係
数行列の不完全ＬＵ分解処理を行う第６の工程とを少な
くとも備え、主対角小行列はこれに対応するメッシュ点
にたてられた方程式の数を行数および列数とした正方行
列とし、各メッシュ点に対応して行方向に配置された非
主対角小行列はこれに対応するメッシュ点にたてられた
方程式の数とそのメッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣
のメッシュ点にたてられた方程式の数とをそれぞれ行数
と列数とした行列とし、各メッシュ点に対応して列方向
に配置された非主対角小行列はこれに対応するメッシュ
点にたてられた方程式の数とそのメッシュ点とメッシュ
枝で結ばれた隣のメッシュ点にたてられた方程式の数と
をそれぞれ列数と行数とした行列とした。このように構
成した結果、非主対角小行列は、必ずしも正方行列とな
ならず、注目するメッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣
のメッシュ点にたてられた方程式の数が注目するメッシ
ュ点にたてられた方程式の数より少ないときは、非正方
行列となり、単純に正方行列を当てはめた場合より計算
数が減少する。したがって、この発明は、演算処理に利
用されない余分なメモリー部分を消費することなく、高
速にシミュレーション結果が得られるようになるという
優れた効果を有している。

【図面の簡単な説明】

【図１】この発明による半導体プロセス・デバイスシ
ミュレーション方法を実現するシミュレーション装置の
構成を示す構成図である。

【図２】図１に示したシミュレーション装置（ＣＰＵ
１０１）で実行される、半導体プロセス・デバイスシミ
ュレーションの基本的な動作の流れを示すフローチャー
トである。

【図３】シミュレーション動作の過程で構成される係
数行列の構造の一例を示す説明図である。

【図４】この発明の第１の実施例におけるシミュレー
ション対象の断面模式的に示す説明図である。

【図５】図４に示すシミュレーション対象をシミュレ
ーションするための係数行列を示す説明図である。

【図６】この発明の第２の実施例におけるシミュレー
ション対象の断面模式的に示す説明図である。

【図７】図６に示すシミュレーション対象をシミュレ
ーションするための係数行列を示す説明図である。

【図８】従来よりある半導体プロセス・デバイスシミ
ュレーションの基本的な動作の流れを示すフローチャー
トである。

【図９】従来のシミュレーション動作の過程で構成さ
れる係数行列の構造の一例を示す説明図である。

【符号の説明】

１０１…中央演算処理部（ＣＰＵ）、１０２…メモリ
ー、１０３…表示部、１０４…入力部、１０５…外部記
憶手段、１０６…バス。

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】処理対象の半導体装置表面に所定の間隔
でメッシュを張る第１の工程と、そのメッシュの各メッシュ点毎にそのメッシュ点におけ
る複数の物理量を定義する第２の工程と、前記複数の物理量の間の関係を示す方程式をたてる第３
の工程と、前記メッシュ点の数を行数列数として前記各メッシュ点
に対応する主対角のいずれかの箇所に配置されてその各
メッシュ点における自己帰還作用を予測するための主対
角小行列と、前記各メッシュ点に対応する主対角位置を
通過する行と列とのいずれかに配置されて主対角位置に
対応するメッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣のメッシ
ュ点との間の相互作用を予測するための非主対角小行列
とから構成された係数行列を作成する第５の工程と、その係数行列に対して前記正方小行列および前記小行列
を１要素とみなしてそれら各小行列どうしの演算を行う
ことにより前記係数行列の不完全ＬＵ分解処理を行う第
６の工程とを少なくとも備え、前記主対角小行列はこれに対応するメッシュ点にたてら
れた方程式の数を行数および列数とした正方行列とし、前記各メッシュ点に対応して行方向に配置された前記非
主対角小行列はこれに対応するメッシュ点にたてられた
方程式の数とそのメッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣
のメッシュ点にたてられた方程式の数とをそれぞれ行数
と列数とした行列とし、前記各メッシュ点に対応して列方向に配置された前記非
主対角小行列はこれに対応するメッシュ点にたてられた
方程式の数とそのメッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣
のメッシュ点にたてられた方程式の数とをそれぞれ列数
と行数とした行列としたことを特徴とする半導体プロセ
ス・デバイスシミュレーション方法。
【請求項２】コンピュータに、処理対象の半導体装置
表面に所定の間隔でメッシュを張る第１の機能と、そのメッシュの各メッシュ点毎にそのメッシュ点におけ
る複数の物理量を定義する第２の機能と、前記複数の物理量の間の関係を示す方程式をたてる第３
の機能と、前記メッシュ点の数を行数列数として前記各メッシュ点
に対応する主対角のいずれかの箇所に配置されてその各
メッシュ点における自己帰還作用を予測するための主対
角小行列と、前記各メッシュ点に対応する主対角位置を
通過する行と列とのいずれかに配置されて主対角位置に
対応するメッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣のメッシ
ュ点との間の相互作用を予測するための非主対角小行列
とから構成された係数行列を作成する第５の機能と、その係数行列に対して前記正方小行列および前記小行列
を１要素とみなしてそれら各小行列どうしの演算を行う
ことにより前記係数行列の不完全ＬＵ分解処理を行う第
６の機能とを少なくとも実現させるためのプログラムを
記録し、前記主対角小行列はこれに対応するメッシュ点にたてら
れた方程式の数を行数および列数とした正方行列とし、前記各メッシュ点に対応して行方向に配置された前記非
主対角小行列はこれに対応するメッシュ点にたてられた
方程式の数とそのメッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣
のメッシュ点にたてられた方程式の数とをそれぞれ行数
と列数とした行列とし、前記各メッシュ点に対応して列方向に配置された前記非
主対角小行列はこれに対応するメッシュ点にたてられた
方程式の数とそのメッシュ点とメッシュ枝で結ばれた隣
のメッシュ点にたてられた方程式の数とをそれぞれ列数
と行数とした行列としたことを特徴とする機械読み取り
可能なシミュレーションプログラムを格納した記憶媒
体。