JPH11282506A

JPH11282506A - 離散時間近似モデルを用いた制御装置

Info

Publication number: JPH11282506A
Application number: JP8682698A
Authority: JP
Inventors: Toshinori Suehiro; 利範末廣; Fujio Okawa; 不二夫大川
Original assignee: Fukuoka Prefecture
Current assignee: Fukuoka Prefecture
Priority date: 1998-03-31
Filing date: 1998-03-31
Publication date: 1999-10-15

Abstract

(57)【要約】【課題】簡潔かつ高性能な制御装置を提供すること。【解決手段】運動方程式を、外乱・不確かさ等を表す
摂動項を含む状態方程式で表現し、同状態方程式を、離
散化の際に同状態方程式に含まれる積分項を台形近似す
るとともに、差分方程式で表現し、同差分方程式から前
記摂動項を消去して離散時間近似モデルを作成し、同離
散時間近似モデルを用いて制御すべく構成した。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、離散時間近似モデ
ルを用いた制御装置に関するものである。

【０００２】

【従来の技術】従来、工作機械の位置決め機構等の制御
装置では、負荷条件の変動や摩擦抵抗等の影響により制
御性能が低下するため、それらの補償を行う必要がある
が、特に非線形摩擦である静止摩擦やクーロン摩擦は種
々の要因に起因するものであり、しかも、動作条件によ
ってその値が変動してしまうものであるため、正確な解
析、同定及びその補償を行うことは困難であった。

【０００３】そのため、従来においては、複雑な手法を
用いて制御を行うことを余儀なくされており、例えば、
様々な線形制御手法に基づく制御入力に付加する非線形
補償入力を事前に実験や経験から求めておき、それらを
既知と仮定する方法(B.Armstrong-Helouvry,Control of
Machines with Friction,125(1991))や、制御過程中に
非線形補償入力を推定する方法(C.Canudas de Wit,Int.
J.Robotic Reserch,10-3,189(1991)) が提案されてい
る。

【０００４】

【発明が解決しようとする課題】ところが、上記従来の
様々な線形制御手法に基づく制御入力に付加する非線形
補償入力を事前に実験や経験から求めておき、それらを
既知と仮定する方法にあっては、事前情報を得るために
かなりの試行錯誤が必要であり、また、上記従来の制御
過程中に非線形補償入力を推定する方法にあっては、更
に非線形部分まで含めたパラメータの同定が複雑な制御
アルゴリズムに基づくためかなりの演算量が必要であ
り、大掛かりな制御装置を必要とするとともに、アルゴ
リズムの実行に長時間を要してしまい、迅速な制御を行
うことは困難であった。

【０００５】

【課題を解決するための手段】そこで、本発明では、運
動方程式を、外乱・不確かさ等を表す摂動項を含む状態
方程式で表現し、同状態方程式を、離散化の際に同状態
方程式に含まれる積分項を台形近似するとともに、差分
方程式で表現し、同差分方程式から前記摂動項を消去し
て離散時間近似モデルを作成し、同離散時間近似モデル
を用いて制御すべく構成することとした。

【０００６】コンピュータに、運動方程式を、外乱・不
確かさ等を表す摂動項を含む状態方程式で表現する状態
方程式表現手段と、同状態方程式表現手段により表現さ
れた状態方程式について、離散化の際に同状態方程式に
含まれる積分項を台形近似して近似状態方程式を得る台
形近似手段と、同台形近似手段により得られた近似状態
方程式を差分方程式で表現する差分方程式表現手段と、
同差分方程式表現手段により表現された差分方程式から
前記摂動項を消去する摂動項消去手段とを実行させて離
散時間近似モデルを作成し、同離散時間近似モデルを用
いた制御をさせることとした。

【０００７】

【発明の実施の形態】本発明に係る制御装置は、運動方
程式を、外乱・不確かさ等を表す摂動項を含む状態方程
式で表現し、同状態方程式を、離散化の際に同状態方程
式に含まれる積分項を台形近似するとともに、差分方程
式で表現し、同差分方程式から前記摂動項を消去して離
散時間近似モデルを作成し、同離散時間近似モデルを用
いて制御すべく構成したものである。

【０００８】従って、外乱・不確かさ等を表す摂動項を
含まないモデルを作成することができ、同離散時間近似
モデルを用いて制御装置を構成することにより、制御性
能低下要因に関する複雑な解析や調整が不必要となり、
制御装置の簡潔化及び高性能化を図ることができるもの
である。

【０００９】

【実施例】以下に、本発明の実施例について図面を参照
しながら説明する。

【００１０】（状態方程式表現手段）まず、運動方程式
を、外乱・不確かさ等を表す摂動項を含む状態方程式で
表現する状態方程式表現手段について説明する。

【００１１】メカニカルシステムの運動方程式は、一般
に次の状態方程式で表現され、

【数１】尚、出力方程式はθ(t) のみを計測するとして、

【数２】とされる。ここで、Ａ₁ 、Ａ₂ 、Ｂはx(t)とu(t)に対応
して、それぞれ適切な次元の行列である。また、Ｉも同
様な単位行列である。

【００１２】次に、対象とする系は、外乱や不確かさ或
いは線形近似誤差等を含む摂動項を式(1) に付加して、

【数３】となる。ここで、d(t)が付加した摂動項である。いま、
式(3) を次式で表現する。

【数４】さらに、式(4) は、

【数５】と、表現する。

【００１３】（台形近似手段）次に、前記状態方程式表
現手段により表現された状態方程式について、離散化の
際に同状態方程式に含まれる積分項を台形近似した状態
方程式を得る台形近似手段について説明する。尚、台形
近似した状態方程式を近似状態方程式と呼ぶこととす
る。

【００１４】式(5) に対して、サンプリング区間Ｔで入
力u(t)を一定値u(0)とすると、次式が得られる。

【数６】ここで、Ａ_C、Ｂ_Cの定義より、

【数７】であるので、式(6) は次式となる。

【数８】上式右辺の積分項は、このままでは計算できないので、
台形近似を行うと、

【数９】この近似を用いると、式(7) は、

【数１０】

【００１５】（差分方程式表現手段）次に、上記台形近
似手段により得られた近似状態方程式を差分方程式で表
現する差分方程式表現手段について説明する。

【００１６】式(9) を展開することにより、次の差分方
程式が得られる。

【数１１】

【００１７】（摂動項消去手段）次に、上記差分方程式
表現手段により表現された差分方程式から前記摂動項を
消去する摂動項消去手段について説明する。

【００１８】式(10)と式(11)とからΔ(k) を消去するこ
とにより、次式が得られる。

【数１２】この式(12)が、ここで対象とする離散時間近似モデルで
ある。

【００１９】以上のようにして作成された離散時間近似
モデルは、Ａ₁、Ａ₂に依存せず、また、d(t)が消去さ
れた簡単な形式になっているため、モデル化誤差や動特
性変動或いは外乱等の影響を受けないモデルであり、制
御系設計において非常に有用である。

【００２０】すなわち、運動方程式を、外乱・不確かさ
等を表す摂動項を含む状態方程式で表現し、離散化の際
に同状態方程式に含まれる積分項を台形近似して近似状
態方程式を作成し、同近似状態方程式を差分方程式で表
現し、同差分方程式から前記摂動項を消去して離散時間
近似モデルを作成することにより、外乱・不確かさ等を
表す摂動項を含まないモデルを作成することがでる。

【００２１】また、以下に説明するように、離散時間近
似モデルを用いて制御装置を構成することにより、制御
性能低下要因に関する複雑な解析や調整が不必要とな
り、制御装置の簡潔化及び高性能化を図ることができ
る。

【００２２】（離散時間近似モデルに基づく適応制御系
の構成と検証）次に、式(12)の離散時間モデルに基づく
適応制御系を構成する。

【００２３】式(12)は、

【数１３】と表現できる。但し、

【数１４】である。

【００２４】いま、

【数１５】とすると、式(13)は次式となる。

【数１６】

【００２５】式(15)の未知パラメータαに対する適応パ
ラメータ

【数１７】を導入し、∂u(k)の推定値を、

【数１８】とする。

【００２６】入力誤差を、

【数１９】で定義すると、式(15)、式(16)より、式(17)は、

【数２０】となる。

【００２７】式(18)は誤差方程式の一般形であるので、
種々の提案されている適応アルゴリズムにより、k →∞
に対してη(k) →０と

【数２１】が保証される。

【００２８】次に、制御入力u(k)を目標値θd(k)を用い
て合成すると、

【数２２】となる。但し、

【数２３】である。また、Λ(k) はフィードバックベクトルで、後
に安定性の基準により決定する。

【００２９】式(16)、式(19)により、式(18)は、

【数２４】となる。ここで、k →∞に対して、η(k) →０と

【数２５】が保証されているので、式(15)、式(19)、式(20)によ
り、

【数２６】が成立する。

【００３０】このとき、Lyapunovの安定理論に基づきΛ
(k) を次式で与えると、

【数２７】ならば、θd(k)−θ(k) →０、すなわち、θ(k) →θd
(k)が保証される。

【数２８】但し、

【数２９】である。

【００３１】次に、上記で構成された離散時間モデルに
基づく適応制御系について検証する。

【００３２】図１は、実験装置１の構成を示した図であ
り、実験装置１は、ＸＹ軸移動テーブル２と、同ＸＹ軸
移動デーブル２を駆動するための駆動機構３と、同駆動
機構３を制御するための制御装置４とから構成してい
る。

【００３３】ＸＹ軸移動テーブル２は、基台５にＸ軸方
向移動用のボールネジ６を回動自在に取付け、同Ｘ軸方
向移動用のボールネジ６にＸ軸移動用テーブル７を螺着
し、同Ｘ軸移動用テーブル７に、前記Ｘ軸方向移動用の
ボールネジ６と直交するＹ軸方向移動用のボールネジ８
を回動自在に取付け、同Ｙ軸方向移動用のボールネジ８
にテーブル９を螺着している。尚、ボールネジ6,8 は、
長さ300mm 、ピッチ5mm のものを用いている。

【００３４】そして、Ｘ軸方向移動用のボールネジ６と
Ｙ軸方向移動用のボールネジ８とをそれぞれ回動するこ
とにより、テーブル９をＸ軸方向及びＹ軸方向へ移動す
るようにしている。

【００３５】駆動機構３は、両ボールネジ6,8 の基端に
モータ10,11 をギヤボックス12,13を介して連動連結
し、同ギヤボックス12,13 には、ロータリエンコーダ1
4,15 を接続している。

【００３６】制御装置４は、コンピュータ16にD/A コン
バータ17とカウンター18とを接続し、D/A コンバータ17
にモータ10,11 をサーボ回路19,20 を介して接続する一
方、カウンター18にロータリエンコーダ14,15 を接続し
て、ロータリエンコーダ14,15 によって検出したボール
ネジ6,8 の回動角度からテーブル９の変位を検出すると
ともに、モータ10,11 によってボールネジ6,8 を回動さ
せて、テーブル９を変位移動するようにしている。

【００３７】図１に示す実験装置１の送り駆動系は、図
２に示すようにモデル化される。尚、Ｙ軸方向の送り駆
動系について示しているが、Ｘ軸方向の送り駆動系も同
様にモデル化できる。図中、21はボールネジ８に取付け
たギヤ、22はモータ11に取付けたギヤである。

【００３８】この系の運動方程式は、非線形摩擦を除く
と、

【数３０】と表現できる。ここで、Ｊm はモータ11の慣性モーメン
ト、Ｄm はモータ11の粘性摩擦係数、θm はモータ11の
回転角、u はモータ11の発生トルク、θb はボールネジ
８に取付けたギヤ21の回転角、Ｎは減速比、Ｍt はテー
ブル９の質量、Ｄt はテーブル９の摺動面での粘性摩擦
係数、Ｋs は駆動系の軸方向剛性、xtはテーブル９の変
位、Ｐはボールネジ８のピッチである。

【００３９】式(23)〜式(26)より、入力u(t)から出力xt
(t) 間の伝達関数は、

【数３１】となる。

【００４０】一般に、Ｊm ≒０、Ｄm ≒０なので、式(2
7)は、

【数３２】と近似できる。

【００４１】従って、この場合の状態方程式は、

【数３３】となる。

【００４２】また、図３に摩擦モデルを示す。fsは静止
時に入力逆向きに作用する静止摩擦、fcは速度が０でな
い時に反運動方向に作用するクーロン摩擦である。尚、
粘性摩擦は式(29)に含まれている。

【００４３】モータ発生トルクとＹ軸のテーブル送り速
度との関係を実験により求めた結果を図４に示す。

【００４４】図４より、送り駆動系に作用する静止摩擦
が、負荷条件により変化していることが確認できる。

【００４５】また、モータ発生トルクが静止摩擦力より
小さい場合には、テーブル９は静止しているが、入力ト
ルクが静止摩擦より大きくなると、速度が急激に上昇す
ることがわかる。これは、図３に示す静止摩擦とクーロ
ン摩擦間の非線形特性の影響によるものである。

【００４６】Ｙ軸送り駆動系の適応制御実験の結果を図
５に示す。尚、サンプリング周期及び適応ゲイン初期値
は、それぞれＴ＝0.01(s) 、

【数３４】、ρの値は0.9 に設定し、適応アルゴリズムは最小二乗
形式のものを用いた。

【００４７】図５より、適応過程の初期においては多少
の誤差を生じているが、適応過程の経過とともに負荷の
有無にかかわらず、良好な追従性能が得られ、提案した
離散時間近似モデルと制御則の有効性が確認できる。

【００４８】以上のように、離散時間近似モデルの作成
により、外乱・不確かさ等を表す摂動項を含まないモデ
ルを作成することができ、非常に簡潔な適応制御系が設
計でき、適応アルゴリズム等の演算処理時間の短縮化を
図ることができる。

【００４９】（離散時間近似モデルに基づく他の適応制
御系の構成）次に、離散時間近似モデルに基づく他の適
応制御系の構成について説明する。

【００５０】式(12)により目標軌道をθd(k)とすると、
式(12)の左辺のθ(k+1) にθd(k+1)を代入して制御則

【数３５】を得る。ここで

【数３６】である。

【００５１】しかし、式(30)の制御則には、フィードバ
ック項が存在しないので、フィードバックの導入を考え
る。

【００５２】式(12)において、

【数３７】とすると、式(12)は、

【数３８】となり、τ(k) からθ(k) までのパルス伝達関数Ｇ(z)
は、

【数３９】となる。

【００５３】従って、図６に示すように、補償器Ｆ(z)
を導入したフィードバック制御系を構成すればよいこと
になる。

【００５４】次に、記述の簡単化のために、対象をスカ
ラー系として制御系を作成する。多変数系についても同
様である。

【００５５】補償器Ｆ(z) を

【数４０】とすると、θd(k)からθ(k) までのパルス伝達関数は、

【数４１】となり、特性方程式は、

【数４２】となり、この極配置問題を解くことにより、ｆ₁とｆ₂
が決定できる。

【００５６】次に、

【数４３】より、

【数４４】となる。

【００５７】従って、式(31)により

【数４５】となり、入力合成則として、

【数４６】を得る。

【００５８】上記の方法により、速度偏差が残る場合に
は、積分器を付加した補償器

【数４７】を用いて、同様に極配置法により、ｆ_i(i=1,2,3) を決
定し、

【数４８】により入力合成すればよい。

【００５９】

【発明の効果】本発明は、以上説明したような形態で実
施され、以下に記載されるような効果を奏する。

【００６０】すなわち、運動方程式を、外乱・不確かさ
等を表す摂動項を含む状態方程式で表現し、離散化の際
に同状態方程式に含まれる積分項を台形近似して近似状
態方程式を作成し、同近似状態方程式を差分方程式で表
現し、同差分方程式から前記摂動項を消去して離散時間
近似モデルを作成することにより、外乱・不確かさ等を
表す摂動項を含まないモデルを作成することがで、同離
散時間近似モデルを用いて制御装置を構成することによ
り、制御性能低下要因に関する複雑な解析や調整が不必
要となり、制御装置の簡潔化及び高性能化を図ることが
できる。

【図面の簡単な説明】

【図１】実験装置の構成を示す説明図。

【図２】送り駆動系をモデル化した構成を示す説明図。

【図３】摩擦モデルを示す説明図。

【図４】モータ発生トルクとＹ軸のテーブル送り速度と
の関係を示す説明図。

【図５】実験結果を示す説明図。

【図６】フィードバック制御系を示す説明図。

【符号の説明】

１実験装置２ＸＹ軸移動テーブル３駆動機構４制御装置５基台 6,8 ボールネジ７Ｘ軸移動用テーブル９テーブル 10,11 モータ 12,13 ギヤボックス 14,15 ロータリエンコーダ 16 コンピュータ 17 D/A コンバータ 18 カウンター 19,20 サーボ回路 21,22 ギヤ

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】運動方程式を、外乱・不確かさ等を表す
摂動項を含む状態方程式で表現し、同状態方程式を、離
散化の際に同状態方程式に含まれる積分項を台形近似す
るとともに、差分方程式で表現し、同差分方程式から前
記摂動項を消去して離散時間近似モデルを作成し、同離
散時間近似モデルを用いて制御すべく構成したことを特
徴とする離散時間近似モデルを用いた制御装置。
【請求項２】コンピュータに、運動方程式を、外乱・不確かさ等を表す摂動項を含む状
態方程式で表現する状態方程式表現手段と、同状態方程式表現手段により表現された状態方程式につ
いて、離散化の際に同状態方程式に含まれる積分項を台
形近似して近似状態方程式を得る台形近似手段と、同台形近似手段により得られた近似状態方程式を差分方
程式で表現する差分方程式表現手段と、同差分方程式表現手段により表現された差分方程式から
前記摂動項を消去する摂動項消去手段と、を実行させて離散時間近似モデルを作成し、同離散時間近似モデルを用いた制御をさせるためのプロ
グラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒
体。