JPH11328442A - 三次元物体の表面形成方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 三次元物体の各断面ごとにトポロジーが異な
っても、断面に描かれる輪郭線に基づき簡単な処理で滑
らかな補間面を形成する。 【解決手段】 第１ステップ５０で、各断面ごとに三次
元物体の輪郭線を特定する輪郭線表現データは入力され
る。第２ステップ５１では、各断面ごとに二次元密度分
布が生成される。第３ステップ５２では、生成された二
次元密度分布に基づいて三次元場が形成される。第４ス
テップ５３では、閾値処理を用いて、形成された三次元
場に基づき補間面は形成される。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、三次元モデリング
に関し、特に、三次元物体の断面に現れる輪郭線に基づ
き三次元物体の表面を形成する表面形成方法に関する。

【０００２】

【従来の技術】輪郭線の補間処理は、例えばコンピュー
タ断層撮影（ＣＴ）や磁気共鳴撮像（ＭＲＩ）といった
医療用断層撮像、地形情報の視覚化、立体モデリングを
始めとする様々な分野で重要になりつつある。こうした
補間処理を用いれば、例えば図１に示されるように、二
次元断面に現れる複数の輪郭線１１ａ〜１１ｃに基づき
三次元物体１０の表面は再構築されることができる。一
般に、こうした輪郭線を得るにあたって、三次元物体は
互いに平行な限られた枚数の切断平面で輪切りにされ
る。

【０００３】輪切りにされた三次元物体の各断面には、
各断面ごとに三次元物体と外界との境界を示す１以上の
閉じた輪郭線が現れる。例えば図１では、１断面に対し
て１つの閉じた輪郭線１１ｂが現れ、他の断面では２つ
の閉じた輪郭線１１ｃが現れる。輪郭線同士の補間を用
いれば、三次元物体の二次元断面に現れる輪郭線に基づ
き三次元物体の表面は生成されることができる。こうし
て生成された三次元物体の表面は「補間面」と呼ばれ
る。２つの断面に現れる２つの輪郭線を通過する補間面
は２つの輪郭線を相互に接続することとなる。例えば、
部分表面１２ａは輪郭線１１ａ、１１ｂ同士を接続する
といえる。部分表面１２ｂは輪郭線１１ｂ、１１ｃ同士
を接続するといえる。仮に２つの断面の間で三次元物体
が枝分かれしていれば、一方の断面に現れる単一の輪郭
線１１ｂは、他方の断面に現れる２つの輪郭線１１ｃに
接続されることとなる。

【０００４】こうした輪郭線同士の補間は滑らかな補間
面を生成することが望まれる。数学的観点から見ると、
滑らかさとは補間面の微分可能性に関連する。補間面上
の各点で微分が可能であれば、補間面は滑らかであると
いえる。後述する本発明の実施形態に用いられる２値の
ビットマップ画像のように離散的なデータにはこういっ
た微分は適用されることができないことから、滑らかさ
は視覚的な滑らかさとして定義されることができる。視
覚化された補間面が自然に見えればよい。一般に、元の
三次元物体で滑らかさが欠けていない限り、輪郭線同士
の補間で得られる三次元物体は角張っているべきではな
い。たとえ元の三次元物体に滑らかさが欠けていても、
できる限り滑らかな補間面が形成されることが望まし
い。三次元物体が枝分かれを伴う場合、すなわち、２つ
の断面のトポロジーが異なっている場合には、滑らかな
補間面を形成することは特に困難となる。

【０００５】また、輪郭線同士の補間では、輪郭線同士
の接続関係は制御されることが望まれる。相互に平行な
断面同士が相対的にずれている場合でも、２つの断面の
間で補間面はどの輪郭線とどの輪郭線とを接続すべきか
が記述されることが望まれる。特に三次元物体が枝分か
れを伴う場合にこうした要望は高まる。

【０００６】さらに、輪郭線同士の補間は、単純であっ
て、できる限り少ない計算処理で実現されることが望ま
しい。

【０００７】

【発明が解決しようとする課題】これまで、複数の輪郭
線から表面を形成するにあたって様々な手法が提案され
てきた。例えばＨ．Ｆｕｃｈｓほか著「Optimal Surfac
e Reconstruction fromPlanar Contours 」（１９７７
年；Communications of the ACM, 20(10) ；ｐｐ６９３
〜７０２）に提案される手法によれば、補間問題は、向
き付けされたトロイダルグラフの最小コストサイクル
（minimum cost cycles ）に関する問題に置き換えられ
る。しかしながら、この手法は輪郭線同士を１対１で接
続する表面を生成する際にしか用いることはできない。
言い換えれば、この手法は、三次元物体が枝分かれを伴
う場合、すなわち、断面ごとに輪郭線の数が異なるとい
った場合のように各断面のトポロジーが異なる場合には
適用されることはできない。

【０００８】また、品川ほか著「The Homotopy Model:
A Generalized Model for Smooth Surface Generation
from Cross Sectional Data 」（１９９１年；The Visu
al Computer 7 ；ｐｐ７２〜８６）に提案される手法に
よれば、離散的なトロイダルグラフは連続的なトロイダ
ルグラフに一般化されることができる。この手法では、
２つの輪郭線で対応する点同士はホモトピーに基づき接
続される。こうした手法によれば、離散的なトロイダル
グラフを用いた場合に引き起こされる三角形の問題は解
消される。ホモトピーに基づけば滑らかな表面が得られ
る。しかしながら、この手法も、輪郭線同士を１対１で
接続する際にしか用いられることはできない。

【０００９】さらに、Ｄ．Ｍｅｙｅｒｓほか著「Surfac
es from Contours」（１９９２年；ACM Transactions o
n Graphics 11(3)；ｐｐ２２８〜２５８）に提案される
手法によれば、輪郭線で記述される三次元物体の枝分か
れは取り扱われることができる。しかしながら、この手
法は複雑になりがちである。特に輪郭線の形状が複雑な
場合には複雑さは増してしまう。

【００１０】さらにまた、Ｍ．Ｋａｓｓほか著「Snake
s: Active Contour Models 」（１９８８年；Internati
onal Journal Computer Vision 1(4)；ｐｐ３２１〜３
３１）に提案される可動輪郭モデル（active contour m
odels ）によれば、輪郭線のエネルギ関数は最小化され
る。一方、Ｌ．Ｄ．Ｃｏｈｅｎは、「On Active Contou
r Models and Baloons」（１９９１年；CVGIP:Image Un
derstanding 53(2) ；ｐｐ２１１〜２１８）の中でこの
可動輪郭モデルをさらに発展させた。しかしながら、こ
れらの可動輪郭モデルでは、エネルギ関数に含まれる重
み付け関数を決定することが難しい。

【００１１】さらにまた、小松著「Reconstruction of
Three-Dimensional Object Based on Shrinking Deform
ation of its Boundary 」（１９９５年；Ph.D. Thesi
s, The Graduate School of The University of Toky
o）に提案される手法では、滑らかな補間面を自動的に
生成するにあたって物理的シミュレーション法が用いら
れる。しかしながら、この手法は、徐々に縮小していく
ような輪郭線にしか適用されることはできない。

【００１２】さらにまた、Ｓ．Ｐ．Ｒａｙａほか著「Sh
ape-Based Interpolation of Multidimensional Object
s 」（１９９２年；IEEE Transactions on Medical Ima
ging9(1) ；ｐｐ３２〜４２）やＧ．Ｔ．Ｈｅｒｍａｎ
ほか著「Shape-Based Interpolation 」（１９９２年；
IEEE Computer Graphics and Applications 12(3) ；ｐ
ｐ６９〜７９）に提案される手法によれば、各断面ごと
に輪郭線に対して二次元のグレースケールマップが適用
される。この手法では、グレースケールマップに補間が
適用される結果、補間面が形成される。グレースケール
マップは、各輪郭線からの最小距離を用いて作成され
る。補間には直線補間やスプライン関数補間が用いられ
る。この手法も、輪郭線同士を１対１で接続する際にし
か用いられることはできない。

【００１３】加えて、例えばＪ．Ｆ．Ｂｌｉｎｎ著「A
Generalization of Algebraic Surface Drawing 」（１
９８２年；ACM Transactions 2；ｐｐ２３５〜２５６）
に詳述されるメタボール法によれば基本的な三次元コン
ピュータグラフィックのツールが提供される。このメタ
ボール法によれば、メタボールと呼ばれる基準点（sour
ce points ）が任意の空間に設定される。空間には、各
基準点ごとに「場（field ）」が形成される。基準点は
電荷に例えられることができ、その際に場は電界（電
場）に例えられることができる。空間の任意の点で算出
される「場」は全ての基準点で生成される「場」によっ
て定義される。空間の「場」を視覚化するにあたって、
三次元場に基づき三次元領域を包含する表面が形成され
る。三次元領域内の点には閾値よりも大きな「場」の値
が与えられ、三次元領域の外側の点には閾値よりも小さ
な「場」の値が与えられる。本明細書では、こうした手
法は閾値処理に基づく表面形成と呼ばれる。一般に、こ
うした手法によれば滑らか表面が形成される。正の
「場」を持ち互いに接近した２以上のメタボールは相互
に作用し合い、適切な閾値を用いて視覚化されることに
よって、それらのメタボールを包含したり接続したりす
る１つの三次元領域を形成する「場」を生み出す。こう
したメタボール法では、各基準点に関連付けられる
「場」の関数は限定されることはない。どのような関数
が適用されてもよい。「場」の関数が滑らかであれば、
滑らかな「場」や表面が形成されることができる。

【００１４】本発明は、複数の輪郭線に基づき滑らかな
表面形状を構築することができる表面形成方法を提供す
ることを目的とする。また、本発明は、各断面に異なる
個数の輪郭線が現れるといった具合に断面のトポロジー
が異なる際に、補間によって形成される表面で確実に異
なる切断平面の輪郭線同士を接続させることができる表
面形成方法を提供することを目的とする。さらに、本発
明は、優れた制御特性を備えるとともに輪郭線同士の接
続関係を明確に記述することができる表面形成方法を提
供することを目的とする。さらにまた、本発明は、現実
の物体を可能な限り精緻に復元することができる表面形
成方法を提供することを目的とする。さらにまた、本発
明は、単純で、しかも、比較的に少量の計算処理で実現
されることができる表面形成方法を提供することを目的
とする。

【００１５】

【課題を解決するための手段】上記目的を達成するため
に、第１発明によれば、三次元物体の断面を特定する切
断平面で三次元物体の輪郭線を記述する断面形状データ
に基づき、切断平面ごとに二次元密度分布を生成する工
程と、二次元密度分布同士の間で補間を実施し、１対の
切断平面の間で三次元物体の表面を形成する工程とを備
えることを特徴とする三次元物体の表面形成方法が提供
される。

【００１６】また、第２発明によれば、三次元物体の断
面を特定する切断平面で三次元物体の輪郭線を記述する
断面形状データに基づき、切断平面ごとに、輪郭線に沿
って閾値を配置する二次元密度分布を生成する工程と、
二次元密度分布同士の間で補間を実施し、少なくとも１
対の切断平面に挟まれる空間で三次元場を形成する工程
と、三次元場で特定される閾値に基づき閾値処理を用い
て三次元物体の表面を形成する工程とを備えることを特
徴とする三次元物体の表面形成方法が提供される。

【００１７】

【発明の実施の形態】以下、添付図面を参照しつつ本発
明の一実施形態を説明する。

【００１８】図２に示されるように、本発明に係る表面
形成方法によれば、第１ステップ５０で、各断面ごとに
三次元物体の輪郭線を特定する輪郭線表現データは入力
される。第２ステップ５１では、各断面ごとに二次元密
度分布が生成される。第３ステップ５２では、生成され
た二次元密度分布に基づいて三次元場が形成される。第
４ステップ５３では、閾値処理を用いて、形成された三
次元場に基づき補間面は形成される。こうして形成され
た補間面は、第５ステップ５４で、ディプレイの画面に
表示されてもよく、記憶装置や記録媒体に保存されても
よい。

【００１９】第１〜第５ステップ５０〜５４の詳細は後
述される。ただし、各ステップ５０〜５４では、最終的
に滑らかな補間面を形成させる特定の条件が適用されな
ければならない。しかも、各ステップ５０〜５４では、
最終的に形成される補間面と各輪郭線とを重ね合わせる
特定の条件が適用されなければならない。

【００２０】三次元場を形成する際に用いられる二次元
密度分布は以下の要件を満たすことが望ましい。第１
に、二次元密度分布は滑らかであることが望ましい。第
２に、三次元物体の内側では、三次元物体の外側よりも
高い密度が示されることが望ましい。第３に、輪郭線上
の密度は任意の閾値に固定されることが望ましい。加え
て、輪郭線が大きくなるに従って三次元物体内の密度の
最大値は大きくなることが望ましい。こうした密度分布
の一具体例は例えば図３に示される。この密度分布１４
によれば、比較的に大きな輪郭線１３ａで現れる最大密
度１４ａは、輪郭線１３ａよりも小さな輪郭線１３ｂで
現れる最大密度１４ｂよりも大きな値を示す。ただし、
前述された条件や要件が満たされる限り、いかなる密度
分布が用いられてもよい。以上の条件や要件を満たす密
度分布を生成する方法には、例えば物理的シュミレーシ
ョンおよび疑似メタボールフィルタ法といった２つの手
法が挙げられることができる。これらの手法の詳細は後
述される。

【００２１】第４ステップ５３の閾値処理によって形成
される補間面と輪郭線とを重ね合わせるにあたって、第
３ステップ５２で形成される三次元場は特定の決められ
た値を輪郭線上で示すことが望ましい。第４ステップ５
３の閾値処理にあたって、そういった特定の値を閾値と
して用いることができるからである。加えて、そういっ
た三次元場によれば、第４ステップ５３で補間面が形成
される際に輪郭線同士は確実に接続されることが望まし
い。例えば直線補間を用いれば、三次元場を形成するに
あたってこれら２つのの条件は確実に満たされる。この
直線補間によれば、２つの切断平面に挟まれた空間に場
を形成するにあたって、各切断平面に規定される密度分
布の間で直線的に補間が実施される。こうした直線補間
によれば、２つの切断平面の垂直方向から見た際に各切
断平面に現れる断面同士が少なくとも部分的に重なり合
っている限り、最終的に得られる補間面は断面の輪郭線
同士を接続することができる。なぜなら、２つの断面が
重なり合う領域では、いずれの切断平面でも密度の値が
閾値よりも高いと考えられるからである。その結果、断
面が重なり合う領域に挟まれた空間では、直線補間に従
って閾値よりも大きな場の値が得られることとなる。ま
た、直線補間によれば処理時間は短縮されることができ
る。

【００２２】閾値処理を用いて補間面を形成するにあた
っては様々な既知の手法が用いられることができる。そ
ういった手法には、例えばＷ．Ｅ．Ｌｏｒｅｎｓｅｎお
よびＨ．Ｅ．Ｃｌｉｎｅ著「Marching Cubes: A High R
esolution 3D Surface Reconstruction Algorithm 」
（１９８７年；Computer Graphics 21(4) ；ｐｐ１６３
〜１６９）に詳述されるマーチングキューブ法が挙げら
れる。このマーチングキューブ法によれば、面に対して
三角形ポリゴンを生成するにあたって、高速かつ簡単に
処理を実行するアルゴリズムが提供される。このアルゴ
リズムでは、閾値よりも大きな密度の点は構築される三
次元物体の内側に位置するものと規定される。このマー
チングキューブ法では、空間は小さな立方体に分割され
る。三次元物体の表面で切断される立方体の頂点に基づ
き、最終的に最適な三角形ポリゴンが生成される。

【００２３】図４には物理的シミュレーション法の一具
体例が示される。この物理的シミュレーション法では、
断面に現れる輪郭線２２に弾性格子２１が重ね合わされ
る。弾性格子２１は直交座標を描くことが望ましい。た
だし、直交座標に限られない。ここで、各格子点には電
荷が設定されるものとする。三次元物体の内側に存在す
る格子点２３には正の単位電荷が置かれる。一方で、三
次元物体の外側に存在する格子点２４には負の単位電荷
が置かれる。このとき、輪郭線２２から所定の距離以内
に存在する格子点２５（星印）は断面に固定される。そ
の他の格子点２３、２４は、断面に直交する方向に移動
することができる。隣接する格子点同士を接続する格子
線２６は、断面上に位置する際に確立される無負荷時の
長さから伸張することができる。各格子線２６の弾性係
数は弾性格子２１全体を通して一定に揃えられる。各格
子の大きさを小さくすればするほど、離散的な格子点に
よって正確な輪郭線すなわち滑らかな輪郭線を再現する
ことが可能となる。

【００２４】こうして電荷が設定された弾性格子２１
に、断面に直交する方向から電場を作用させると、断面
上に固定されていない格子点２３、２４は、電場から作
用する力と格子線２６の弾性力とが均衡するまで断面に
直交する方向に移動する。電場の力と格子線２６の弾性
力との間で均衡が確立されると、弾性格子２１の形状は
二次元密度分布を表現することとなる。

【００２５】こうした弾性格子の物理的モデルを用いれ
ば、弾性格子２１の形状はシミュレーションされること
ができる。例えば、任意の格子点（ｉ，ｊ）と断面との
距離はｘ_ijで表現されるものとする。格子点（ｉ，ｊ）
に隣接する４つの格子点（ｉ−１，ｊ）（ｉ＋１，ｊ）
（ｉ，ｊ−１）（ｉ，ｊ＋１）と断面との距離は同様に
特定されるとすれば、格子点（ｉ，ｊ）に作用する力
は、

【数１】 によって表現される。ここで、Ｅは電場から作用する力
を示す。ｋは格子線の弾性係数に比例した定数を示す。
ｌは無負荷時の格子線の長さを示す。こうした正確な物
理方程式を用いれば弾性格子２１の形状をシミュレーシ
ョンすることができる。ここでは、こうした物理方程式
を近似する以下の方程式を用いることとする。

【００２６】

【数２】 この単純化によれば、１つの格子点から他の格子点に作
用する力は、２つの格子点間で断面に直交する方向に特
定される距離に比例することがわかる。前述の連立方程
式はＬＵ分解（LU decomposition）といった直接的な解
法によって解が導き出されることができる。一般に、そ
ういった解法には、膨大な記憶容量と膨大な計算処理と
が必要とされる。例えば格子数２００×２００の弾性格
子に対して形状をシミュレーションするには、４０００
０×４００００の行列を用いて４００００の連立方程式
の解が導き出されなければならない。ここでは、弾性格
子の形状をシミュレーションするにあたって、連立方程
式の近似的な解を導き出す反復計算処理が用いられる。

【００２７】本実施形態に係る反復計算処理によれば、
Ｆ_ijの符号のみが考慮される。例えばＦ_ijが正であれ
ば、次回の計算処理で格子点（ｉ，ｊ）の座標値ｘ_ijは
１単位増加させられる。その一方で、Ｆ_ijが負であれ
ば、次回の計算処理で格子点（ｉ，ｊ）の座標値ｘ_ijは
１単位減少させられる。弾性格子は最初に平坦な形状を
示すものとすれば、特定回数の計算処理が繰り返される
と、図５に示されるように、滑らかなｘ座標値の分布が
得られる。計算処理の反復は、反復計算処理で引き起こ
される変化が所定値を下回るといった具合に解が収束し
た時点で終了されればよい。その他、特定回数の反復が
完了した時点で計算処理の反復は終了されてもよい。

【００２８】こうした手法によれば、連立方程式を解く
必要はなくなる。加えて、算出されたり記録されたりす
る格子点の座標値は整数の形をとる。これらの特徴は処
理速度を飛躍的に向上させることとなる。ただし、いわ
ゆる当業者に自明である限り、弾性格子２１の形状をシ
ミュレーションするにあたって他の手法が用いられても
よい。そうした他の手法は、反復計算処理に比べて、コ
ンピュータ処理にあたって望ましくない条件を伴う場合
が多い。

【００２９】シミュレーションで得られたｘ座標値は、
閾値「０」を中心に負の最小値から正の最大値まで広が
る。こうしたｘ座標値は、例えば閾値「０．５」を中心
に「０」から「１」に広がるような正の領域に正規化さ
れることができる。こうした正規化を達成するにあたっ
て、最小値および「０」並びに最大値をそれぞれ「０」
「０．５」「１」に対応させるスプライン関数といった
単調かつ滑らかなマッピング処理が施されればよい。

【００３０】図６には疑似メタボールフィルタ法の一具
体例が示される。この疑似メタボールフィルタ法では、
断面上の点に与えられる密度は三次元物体の内側および
外側で区別されると同時に輪郭線からの距離に依存す
る。図６から明らかなように、断面は例えば２値のビッ
トマップ画像によって表現されることができる。三次元
物体の輪郭線３１の外側に位置する画素３２には「０」
値が与えられる。一方、輪郭線３１の内側に位置する画
素３３には「１」値が与えられる。ここで、以下のよう
なＮ×Ｎ（Ｎは奇数）の変換行列３４が定義される。変
換行列３４の各要素は中央の要素からの距離に応じた値
に設定される。距離が離れるほど要素の値は小さくな
る。中央の要素から等しい距離に位置する要素には同一
の値が与えられることが望ましい。変換行列３４の画素
の大きさはビットマップ画像と同一に設定される。

【００３１】画素Ｐで密度分布を算出するにあたって、
中央の要素と画素Ｐとを一致させるようにビットマップ
画像上に変換行列３４は重ね合わされる。続いて合計値
が算出される。画素Ｐが三次元物体の輪郭線の内側に位
置する場合、すなわち、画素Ｐに「１」値が与えられて
いる場合には、その輪郭線の内側に位置する変換行列３
４の各要素の合計値が算出される。すなわち、ビットマ
ップ画像の「１」値に重ね合わされる変換行列３４の各
要素の合計値が算出される。一方で、画素Ｐが三次元物
体の輪郭線の外側に位置する場合、すなわち、画素Ｐに
「０」値が与えられている場合には、その輪郭線の外側
に位置する変換行列３４の各要素の合計値が算出され
る。すなわち、ビットマップ画像の「０」値に重ね合わ
される変換行列３４の各要素の合計値が算出される。し
かも、合計値の正負の符号は反転される。こうした処理
の結果、画素の位置が三次元物体の輪郭線から内側であ
ればあるほど大きな正の合計値が与えられ、輪郭線から
外側であればあるほど大きな負の合計値が与えられるこ
ととなる。このとき、閾値は「０」に固定されると、正
規化された合計値は各画素Ｐの密度として用いられるこ
とができる。

【００３２】ただし、いわゆる当業者に自明であるよう
に、変換行列は連続変換プロファイル（continuous con
version profile ）の近似であって、合計値は断面全体
の積分の近似である。したがって、こうした連続変換プ
ロファイルや積分法が用いられてもよい。

【００３３】ここでも、合計値は例えば閾値「０．５」
を中心に「０」から「１」に広がるような正の領域に正
規化されることができる。最大値は、変換行列に含まれ
る要素の合計値に等しく、最小値は負の合計値に等しい
ことから、正規化は線形の変換行列によって単純に実現
されることができる。ただし、スプライン関数といった
単調かつ滑らかなマッピング処理が施されてもよい。

【００３４】こういった疑似メタボールフィルタ法によ
れば、各画素ごとに計算処理が実現されることができ
る。前述したように、補間を用いて２つの断面に描かれ
る輪郭線から三次元場を構築する場合、断面に直交する
方向から見て重なり合った断面の領域同士は必ず相互に
接続される。すなわち、補間によって形成される面の内
側に存在する。その一方で、断面に直交する方向から見
ていずれの断面にも属さない領域同士は相互に接続され
ることはない。したがって、補間面を形成するにあたっ
て、これらの領域では密度分布や場が算出される必要は
ない。重なり合った領域には最大値の密度が設定されれ
ばよく、いずれの断面にも属さない領域には最小値の密
度が設定されればよい。言い換えれば、場の算出は、一
方の断面に含まれ他方の断面には含まれない領域で実施
されれば十分である。こうした処理には、断面を規定す
る２値のビットマップ画像で排他論理（ＸＯＲ）が用い
られればよい。図７では、２つの輪郭線４１、４２に基
づき排他論理で算出された領域は斜線によって示され
る。多くの場合には２つの輪郭線同士は似通っているこ
とから、こうして排他論理で算出された領域でのみ計算
が実行されることは好ましい。

【００３５】次に図８を参照しつつ輪郭線の接続関係を
操作する手法を詳述する。前述したように、切断平面に
直交する方向から見て断面同士が少なくても部分的に重
なり合う場合、最終的に得られる補間面によって２つの
輪郭線同士は接続される。その一方で、断面同士が全く
重なり合うことのない場合には輪郭線同士は接続される
ことはない。例えば図８（ａ）に示されるように、平面
Ｐ１の輪郭線Ｃ１と平面Ｐ２の輪郭線Ｃ２とは接続され
ることはない。なぜなら、輪郭線Ｃ１の投影像Ｃ１ｐは
平面Ｐ２で輪郭線Ｃ２と重なり合わないからである。し
たがって、直線補間法では、輪郭線Ｃ１、Ｃ２同士の間
で三次元場は閾値より小さくなり、輪郭線Ｃ１、Ｃ２同
士は接続されない。輪郭線Ｃ１、Ｃ２同士を接続するに
は、平面Ｐ１、Ｐ２を相対的に移動させ、例えば図８
（ｂ）に示されるように、少なくとも部分的に輪郭線Ｃ
１、Ｃ２同士を重なり合わせればよい。すなわち、各平
面Ｐ１、Ｐ２内で輪郭線Ｃ１、Ｃ２を移動させればよ
い。

【００３６】

【実施例】実際に、以上の表面形成方法を実現するコン
ピュータソフトウェアを作成し、そのコンピュータソフ
トウェアを実行させた結果を以下に詳述する。コンピュ
ータには、ペンティアム１３３ＭＨｚが搭載されたＩＢ
Ｍ ＰＣ／ＡＴ互換パソコンが使用された。その結果、
図９〜図１４に示されるように、（ａ）上側断面および
（ｂ）下側断面に基づき、（ｃ）補間面が描かれること
ができた。

【００３７】図９〜図１２では物理的シミュレーション
法が用いられた。反復回数は１０００回に設定された。
格子には２００×２００の格子が用いられた。図９およ
び図１０には単純な枝分かれを伴う補間が示される。密
度分布は、１分程度の処理時間で算出されることができ
た。図１１には、上側の１断面と下側の１断面とに基づ
く補間が示される。ただし、上側断面には２個の輪郭線
が現れ、下側断面には１個の輪郭線が現れる。上側断面
と下側断面との間で輪郭線の数は異なる。これまで、こ
うした補間は簡単に実現されることができなかった。図
１２では、輪郭線の接続関係が操作された。ここでは、
補間面１０６によって輪郭線１０１と輪郭線１０３とが
接続され、補間面１０７によって輪郭線１０２と輪郭線
１０４、１０５とが接続される。輪郭線１０１と輪郭線
１０４、１０５とは接続されず、輪郭線１０２と輪郭線
１０３とは接続されない。輪郭線１０１で規定される断
面は輪郭線１０３の断面に重なる一方で輪郭線１０４、
１０５の断面に重ならないことから、こういった特定の
接続関係が実現されることができる。同様に、輪郭線１
０２の断面は輪郭線１０４、１０５の断面に重なるもの
の輪郭線１０３の断面に重なることはない。すなわち、
断面同士の重なりを制御することで輪郭線同士の接続関
係は簡単に操作されることが確認された。

【００３８】図１３および図１４では疑似メタボールフ
ィルタ法が用いられた。８１×８１の変換行列が用いら
れた。変換行列の密度関数は、中央の要素からの距離ｄ
に基づき（４０−ｄ）で規定された。図１３には、前述
の図９と同様な輪郭線が示される。図９と同様な結果が
得られた。密度分布は、５秒程度の処理時間で算出され
ることができた。すなわち、疑似メタボールフィルタ法
は、前述の物理的シミュレーション法に比べて大幅に高
速な処理を実現することが確認された。ただし、変換行
列の大きさや密度関数の種類に応じて好ましくない結果
が生じることがある。特に、物体の断面形状が大きく異
なる場合にはそういった好ましくない結果が出やすい。
輪郭線の接続関係に関する操作性には両者の間で違いは
見られなかった。

【００３９】以上のような表面形成方法はコンピュータ
ソフトウェアに基づくコンピュータ処理によって実現さ
れることができる。こうしたコンピュータソフトウェア
は磁気ディスクや光ディスクといった記録媒体その他の
記憶装置に保存されることができる。ただし、本発明に
係る表面形成方法は電子回路に基づくハードウェア処理
によって実現されてもよい。本発明に係る表面形成方法
に基づき形成された補間面はコンピュータ装置の画面そ
の他のディスプレイ装置に表示されてもよく、紙面にプ
リントアウトされてもよい。また、そういった補間面
は、表示に先立って記憶装置に格納されてもよく、ネッ
トワークを通じて他のコンピュータ装置に転送された後
に表示、プリントアウト、保存されてもよい。

【００４０】なお、本発明に係る表面形成方法は、以上
のように互いに平行な切断平面に現れる輪郭線同士を接
続する際に使用されることができるだけでなく、互いに
傾斜する切断平面に現れる輪郭線同士を接続する際に使
用されてもよい。また、本発明に係る表面形成方法は、
以上のように２つの切断平面に現れる輪郭線同士を接続
する際に用いられることができるだけでなく、３以上の
切断平面に現れる輪郭線同士を接続する際に用いられる
ことができる。この場合には、線形補間や、スプライン
関数補間といった非線形補間を用いて、１対の切断平面
ごとに三次元場が形成されればよい（第３ステップ）。
各切断平面に対して二次元密度分布を生成したり、閾値
処理を施したりするにあたっては、前述の第２ステップ
や第４ステップが用いられればよい。

【００４１】

【発明の効果】以上のように本発明によれば、三次元物
体の各断面ごとにトポロジーが異なっても、断面に描か
れる輪郭線に基づき簡単な処理で滑らかな補間面が形成
されることができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】 （ａ）三次元物体の正面図、および（ｂ）各
断面を示す平面図である。

【図２】 本発明に係る表面形成方法を概略的に示すフ
ローチャートである。

【図３】 １切断平面に対して生成された密度分布の一
具体例を示す図である。

【図４】 密度分布を生成する物理的シミュレーション
の一例を示す模式図である。

【図５】 物理的シミュレーションを用いて生成された
密度分布の具体例を示す図である。

【図６】 密度分布を生成する疑似メタボールフィルタ
法の一例を示す模式図である。

【図７】 断面同士の重なりを示す模式図である。

【図８】 輪郭線同士の接続関係を示す模式図である。

【図９】 本発明に従って生成された補間面の一具体例
を示す図である。

【図１０】 本発明に従って生成された補間面の他の具
体例を示す図である。

【図１１】 本発明に従って生成された補間面のさらに
他の具体例を示す図である。

【図１２】 本発明に従って生成された補間面のさらに
他の具体例を示す図である。

【図１３】 本発明に従って生成された補間面のさらに
他の具体例を示す図である。

【図１４】 本発明に従って生成された補間面のさらに
他の具体例を示す図である。

Claims (2)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 三次元物体の断面を特定する切断平面で
   三次元物体の輪郭線を記述する断面形状データに基づ
   き、切断平面ごとに二次元密度分布を生成する工程と、
   二次元密度分布同士の間で補間を実施し、１対の切断平
   面の間で三次元物体の表面を形成する工程とを備えるこ
   とを特徴とする三次元物体の表面形成方法。
2. 【請求項２】 三次元物体の断面を特定する切断平面で
   三次元物体の輪郭線を記述する断面形状データに基づ
   き、切断平面ごとに、輪郭線に沿って閾値を配置する二
   次元密度分布を生成する工程と、二次元密度分布同士の
   間で補間を実施し、少なくとも１対の切断平面に挟まれ
   る空間で三次元場を形成する工程と、三次元場で特定さ
   れる閾値に基づき閾値処理を用いて三次元物体の表面を
   形成する工程とを備えることを特徴とする三次元物体の
   表面形成方法。