JPS5850384B2 - 離散的フ−リエ変換演算装置 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 本発明は離散的フーリエ変換を効率的に行なうための離
散的フーリエ変換演算装置に関する。

離散的フーリエ変換（Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｆｏｕｒｉｅ
ｒＴｒａｎｓｆｏｒｍ、以後ＤＦＴと略称する）は有限
個の離散的な信号系列の周波数スペクトルを求めるため
の数学的操作として知られ、ディジタル的に信号処理を
行なう上で極めて重要な役割を担っている。

Ｎ点の離散的なサンプル値系列ｆｎ（Ｏ≦ｎ＜Ｎ−１）
のＤＦＴＦｋ（Ｏ≦に≦Ｎ−１）は次式で定義される。

逆にＦｋからｆ。

を求めることもでき、この操作を離散的フーリエ逆変換
（Ｉｎｖｅｒｓｅ ＤｉｓｃｒｅｔｅＦｏｕｒｉｅｒ
Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ １以後ＩＤＦＴと略称する）と呼
んでいる。

前記ＤＦＴのＩＤＦＴは次式によって定義される。

離散的フーリエ変換演算装置とは式（１）および式（２
）で定義されるＤＦ’ｌ”およびＩＤＦＴを計算するた
めの装置である。

ところで、式（１）と式（２）とを比較すると、スケー
ルファクターと指数関数の符号とが異なるのみで両者は
本質的には同じ演算であるしたがって、式（１）または
式（２）の倒れか一方に対する演算装置があれば、ＤＦ
ＴおよびＩＤＦＴの伺れの演算をも行なうことができる
。

以後本発明では、ＤＦＴおよびＩＤＦＴの伺れにも適用
できるように便宜上式（３）の演算を対象とするが、こ
れによって本発明の一般性が失なわれるものではない。

ＤＦＴまたはＩＤＦＴを求めるために式（３）をそのま
ま計算しようとすると、Ｎ回の乗算が必要であり、ｎ＝
０，１．・・・・・・、Ｎ−１の全ての離散的なサンプ
ル値（系列）ｆｎを求めるためにはＮ２回の乗算が必要
である。

したがって、Ｎが大きくなると、所要乗算回数は指数関
数的に増大することになり、実時間処理を行なう離散的
フーリエ変換演算装置の規模は極めて大きなものとなる
。

しかしながら、Ｎが整数の積に分解できるときには、高
速フーリエ変換（Ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎ
−８ｆｏｒｍ、以後ＦＦＴと略称する）として知られる
算法を用いて所要乗算回数を大幅に低減することができ
る。

特に、Ｎが２のべき乗のとき、乗算回数が最も効率的に
低減でき、Ｎ＝２ｎとすると、前記所要乗算回数は（Ｎ
／ ２ ） ｌｏｇ２Ｎ迄に減少する。

さらに、本乗算回数はｌｏｇ２Ｎ段あるＦＦＴ演算過程
のうち、２段は１．ｊを単に乗算するだけの乗算である
から、実際には、乗算か不要となす、結局−（ｌｏｇ２
Ｎ ２ ）まで減少する。

このようなＦＦＴの算法およびＦＦＴを用いた離散的フ
ーリエ変換演算装置については既に多くの公知文献（例
えば、１９７５年に米国のＰＲＥＮＴ ＩＣＥＨＡＬＬ
、 ｌＮＣ１から発行された刊行物ｒＴＨＥＯＲＹ
ＡＮＤ ＡＰＰＬＩＣＡＴＩＯＮ ０ＦＤＩＧＩＴＡＬ
５ＩＧＮＡＬ ＰＲＯＣＥＳＳＩＮＧＪ）に詳細
に説明されているので、ここではこれ以上の説明は省略
する。

ＤＦＴ（ＩＤＦＴも含めて）は一般的には、入力および
出力ともに複素データであるが、適用形態によっては入
力が実数に限定されている場合や複素出力の内の実数部
のみしか必要でない場合も多い。

このような制限条件があっても、従来のＦＦＴの算法で
は所要乗算回数はいくらも減少しない。

本発明の目的は一般的な複素人力データの離散フーリエ
変換において実数もしくは虚数倒れか一方のみの出力を
求める場合に所要乗算回数を大幅に低減できる効率的な
離散的フーリエ変換演算装置を提供することにある。

本発明の他の目的は小形かつ経済的な離散的フーリエ変
換演算装置を提供することにある。

本発明の離散的フーリエ変換演算装置は、Ｎ点の複素入
力データに対してＮ点離散的フーリエ変換演算を行なう
装置で構成する代りに、Ｎ点の複素人力データからＮ／
２点の複素中間データを生成する前処理回路と、前記前
処理回路から得られるＮ／２点複素中間データを入力と
するＮ／２点離散的フーリエ変換回路とから構成され、
前記Ｎ／２点離散的フーリエ変換回路のＮ／２点複素出
力データから所望のＮ点離散的フーリエ変換出力の実数
部および虚数部のいずれか一方のみを得ることを特徴と
している。

次に図面を参照して本発明の離散的フーリエ変換装置に
ついて詳細に説明する。

第１図は本発明の離散的フーリエ変換演算装置の一実施
例を示すもので、参照数字１ｏｏ、１ｏ１゜１０２ ｔ
””” 、１０ Ｎ−２’Ｆ６ヨヒ１０ Ｎ−１ハＮ
点複素入力データの入力端子、参照数字１１はＮ点複素
入カデータＦ。

、Ｆｌ、Ｆ２．・・・・・・５ＦＮ−２およびＦＮ−１
からＮ７２点複素中間データＧ。

、Ｇ１゜理回路、参照数字１３はＮ／２点離散的フーリ
エ変換回路、参照数字１２．．１２１．・・・・・・。

１２ Ｎ／２−２および１２ Ｎ／２− ｔは前処理回
路１１の出力Ｇ。

、Ｇ１．・・・・・・、ＧＮ／２−２およびＧＮ／２−
１をＮ／２点離散的フーリエ変換回路の入力Ｇ。

、Ｇ１．・・・・・・、ＧＮ／２−２およびＧＮ／２−
ｔに接続するための信号線、参照数字１４ｏ、１４１゜
・・・・・・ｔ １４ Ｎ／２−２および１４ Ｎ／２
−１はＮ／２点離散的フーリエ変換回路１３の複素デー
タ出力ｇｏ＋ｇ１．’・・・・・２ｇＮ／２−２および
ｇＢ／２−ｔの実Ｒ、、Ｒ 敷部ｇ。

２ｇし”°°° ツｇＮ／２−２およびｇＮ／２−ｔ
の出力端子および参照数字１５ｏ、１５１．・・・・・
・。

１５ Ｎ／２−２および１５Ｎ／２□は前記複素データ
出力ｇ。

２ｇ１．・・・・・・２ｇＮ／２−２およびｇＮ／２−
ｔの虚数部己２ｇ（、・ ・ｇＮ／２−２およびｇｊ／
２−ｔの出力端子をそれぞれ示す。

本発明の離散的フーリエ変換演算装置を用いて行なう演
算操作は次式の通りとする。

複素入力データＦｋ（ｋ＝ｏ、１ 、・・・・・・、Ｎ
−１）が端子１０ｋ（ｋ＝０，１．・・・・・・、Ｎ−
１）を介して前処理回路１１に与えられると、前処理回
路１１では前記データＦｋに対して次式で示す演算操作
を行なってＮ／２点の複素中間データＣｑ、 （ｋ−Ｏ
ｔ １ 、・・・、Ｎ／２−１）を生成し、信号線１２
ｋ（ｋ＝ｏ ｔ １ 、”・ｔ Ｎ／２−１ ）ニ出力
する。

式（５）において、Ｆ九−におよびＦＩＩＮ／２−には
それぞれＦＮ ｌおよび”Ｎ／２−にの共役複素数を
示し、ＦＮ−におよびＦ Ｎ／２− ｋの虚数部の極性
を反転することによって求められる。

Ｆｋから式（５）によってＧｋを求める操作に必要な複
素乗算はＮ／２回である。

前処理回路１１によって複素入力データＦｋから式（５
）にしたがってＮ／２点複素中間データＧｋを求めた後
、次にＮ／２点離散的フーリエ変換回路１３において（
６）にしたがって前記中間データＧｋの離散的フーリエ
変換ｇｎを計算する。

に本来求めるべき出力ｆｉ（ｏ≦ｎ＜Ｎ−１）が含まれ
ている。

ｆｒとｇｎの関係は次式に示す通りである。

式（７）および（８）が正しいことは式（６）に式（５
）を代入し順次各式の変形を行なうことによって以下の
ように証明できる。

式（４）と式０３）および式（１４）とを対比させると
、弐０３）および式（１４）はそれぞれｔｎおよび、Ｉ
ＩＬ、や１に等しいことがわかる。

以上の説明から、本発明によれば、前処理回路１１とＮ
／２点離散的フーリエ変換回路１３とによって、Ｎ点離
散的フーリエ変換の実数部を求めることができる。

このために必要とされる乗算回数は前処理回路でＮ／２
回、Ｎ／２７２点離散的ツ ーエ変換回路で（Ｎ ／ ４ ） ｌｏｇ２（２）回の
合計（Ｎ／ ４ ） （ｌｏｇ２ Ｎ １ ）回とな
り、Ｎ点離散的フーリエ変換演算装置を直接使用した場
合の乗算回数−（ｌｏｇ２Ｎ−２）と比べて乗算回数が
犬幅に減少する。

なお、式（５）に示す演算において、第１中括弧および
第２中括弧に対してそれぞれ独立に（−１）を乗じても
よい。

この場合には、式（７）および式（８）をそれぞれ独立
にｆｙｏニーｇＷおよびＩｎ＋１■ −ｇｎと置換すれはよい。

式（５）の第２中括弧内にのみ（−１）を乗する場合に
は、複素乗算項ｊｅ ’ Ｎ’を−ｊ、ｊ２７．とする
たけでよく、前処４２π 理回路１１の乗算回数は式（５）を計算する場合と同じ
である。

さらに、上述の説明では、Ｎ点複素人力データＦｋに対
するＤＦＴ出力の実数部ｆＷ中の偶数成分ハ。

を７点ＤＦＴ出力の実数部ｇ。で、また、奇数成分子２
（１＋１を虚数部ｇ二として得たが、式（５′）に従う
前処理を行えは、式（７′）、式（８′）に示す関係と
なり、上の関係を入れ換えることもできる。

式（５′）において、第１中括弧にはｊなる乗算が必要
であるが、この乗算は実数部と虚数部とを入れ換え、入
れ換えにより新たに実数部となった実数部の極性を反転
するだけであるため式（５′）に基づく前処理でも乗算
回数は式（５）による前処理における乗算回数と変わら
ない。

また、式（５′）に示す演算においても、第１中括弧お
よび第２中括弧に対してそれぞれ独立に（−１）を乗じ
てもよく、この場合にも、式（７１）および式（８′）
をそれぞれ独立にｆＲ，、Ｉ およびｒ、＋、＝ −
ｇ÷と置換すれはよい。

この操作による前処理の乗算回数は、やはり式（５）の
場合と変わらない。

さらに、式（５′）において、第２中括弧部のみに（−
１）を乗じた式は、式（５）全体にｊを乗じた場合に等
しく、結局、以上に述べた操作は式（５）の本質的部分
を変えずに行なわれている。

また、式（４）における指数部の符号が負の場合には、
前処理回路１１における演算の指数部およびＮ／２点離
散的フーリエ変換回路１３の指数部の符号を負に代えれ
はよい。

また、以上の説明はＮ点離散的フーリエ変換の実数部の
みを求める場合であったが、虚数部のみを同じ考え方で
求めることもできる。

すなわち、複素中間データＧｋを式（５）の代わりに とし、 このＧ４から式（６）によってｇ ／を求めれば、とな
る。

従って、虚数部のみを求める場合にも本発明が適用でき
る。

式（５）において、（Ｆｋ＋、ＦＮ−ｋ）を用いること
は一般的な離散的複素入力データＦｋに対し共役偶対称
成分のみを抽出していることに相当し、式（５′りにお
いて（Ｆｋ ＦＮ−ｋ）を用いることは共役奇対称成
分のみを抽出していることに相当している。

第１図の実施例のＮ／２点離散的フーリエ変換回路１３
は上記文献第５９９頁Ｆｉｇ・１０．２０に示された公
知のＦＦＴ演算回路によって実現できるから特別な説明
を要しない。

前処理回路１１は式（５）もしくは（５つあるいは（５
／′）を計算するものであり、共役複素数計算回路と複
素加算回路と複素減算回路と複素乗算回路とを用いて構
成できるが、Ｎ＝８の場合についてその一例を第２図を
参照して説明する。

第２図において、端子２００，２０１．２０２゜２０３
．２０４，２０５，２０６および２０７は８点複素デー
タ入力端子であり、第１図の入力端子１０ｏ、１００．
・・・、１０．に相当する。

参照数字２１０，２１１，２１２，２１３，２１４゜２
１５．２１６および２１７は共役複素数計算回路を示し
ている。

また、参照数字２２０，２２１゜２２２．２２３．２２
４．２２５．２２６ 。

２２７．２３０，２３１．２３２，２３３，２６０゜２
６１．２６２および２６３は複素加算回路を示す。

さらに、参照数字２３５，２３６，２３７および２３８
は複素減算回路を表わす。

複素乗算回路２５０，２５１，２５２および２５３の乗
算入力端子２４０，２４１．２４２および２４３にはそ
れぞれ ２７１．２７２および２７３は複素データの実数部およ
び虚数部をそれぞれ１／２にする。

参照数字２８０，２８１，２８２および２８３は本回路
１１の出力端子を示し、第１図の出力端子１２ｏ。

１２１、・・・、１２□に相当する。

本回路１１の動作の概要は次の通りである。

まず、共役複素数計算回路２１０〜２１７は８点複素共
役データを求める。

また、複素加算回路２２０〜２２７は８点共役偶対称複
素データを求める。

複素加算回路２３０〜２３３および複素減算回路２３５
〜２３８は、８点共役偶対称複素データの２点づつの各
組の和成分および差成分を求める。

複素乗算回路２５０〜２５３は８点共役偶対称複素デー
タの２点づつの組の差成分に指数関数を乗する。

複素加算回路２６０〜２６３は８点共役偶対称複素デー
タの２点づつの組の和成分と、差成分に指数関数を乗じ
た結果とを加算する。

次に、前処理回路１１の詳細な動作を複素中間データＧ
１を求める場合について説明する。

端子２０７に加えられた複素入力データＦ７は共役複素
計算回路２１２によりＦ７に変換され、端子２０１に加
えられた複素入力データＦ１と複素加算回路２２２にお
いて加算され、（Ｆｌ ＋ Ｆ７ ）となる。

この動作は式（５）におけるＮ＝８ 、 ｋ＝１の場合
の第１および第３番目の小括弧内の演算に該当する。

同様に、端子２０３に加えられた複素入力データＦ３は
共役複素数計算回路２１３によりＥ３に変換され、端子
２０５に加えられた複素人力データＦ５と複素加算回路
２２３において加算され、（Ｆ３＋Ｆ５）となる。

これは式（５）における第２および第４番目の小括弧内
の演算に該当する。

複素加算回路２３１は複素加算回路２２２の出力である
（Ｆ１＋Ｆ７）と、複素加算回路２２３の出力である（
Ｆ３＋Ｆ５）とを加算し、出力（Ｆ、＋Ｆ７）＋（Ｆ３
＋Ｆ５）を生じ、式（５）の第１中括弧で示す演算を実
現する。

同様に、複素減算回路２３６は複素加算回路２２２の出
力（Ｆ１＋Ｆ７）から、複素加算回路２２３の出力（Ｆ
３＋Ｆ５ ）を減算し、（”１千Ｆ７ ） （Ｆ３
＋ Ｆ５ ）を出力し、式（５）の第２中括弧内の演算
を実現する。

複素減算回路２３６の出力は複素乗算回路２５姿におい
て端子２４１に加えられた複素乗数ｊｅＪ８と乗算され
、複素加算回路２３１の出力およげ複素乗算回路２５１
の出力は複素加算回路２６１において加算され、スケー
ラ−２７１により全体が１／２とされ。

この結果、出力端子２８１には。か出力される。

この出力は式（５）において、Ｎ＝８、ｋ＝１の場合の
結果、つまり、Ｇ１に等しい。

残りのＧ。

、Ｇ２およびＧ３も同様に求められるのが容易に理解で
きる。

たたし、Ｇｏ計算時においては、Ｆｏ二Ｆ８であること
に注意しなければならない。

第２図において用いた共役複素数計算回路、複素加算回
路および複素乗算回路の一例を第３図に示す。

第３図において、参照数字３００は共役複素数計算回路
を示し、参照数字４００は複素加算回路を示し、参照数
字５００は複素乗算回路を示す。

まず、共役複素数計算回路３００について説明する。

参照数字３０１は複素データの実数部入力端子、参照数
字３０２は複素データの虚数部入力端子、参照数字３０
３は複素データの実数部出力端子、および参照数字３０
４は複素データの虚数部出力端子をそれぞれ表わす。

また、極性反転回路は参照数字３５０で表わされている
。

複素数Ａ−ＡＲ＋ｊＡＩの実数部ＡＲが共役複素数計算
回路３００の端子３０１へ、虚数部ＡＩが端子３０２へ
入力された場合、実数部出力端子３０３には実数部ＡＲ
が、虚数部出力端子３０４には極性反転回路３５０によ
り極性が反転された虚数部つまり−Ａ工が出力され、結
局、この回路３００においてＡ＝ＡＦＬ−ＪＡ■が実行
されたことになる。

次に、複素加算回路４００について説明する。

参照数字４０１および４０２はそれぞれ複素被加算数の
実数部入力端子および虚数部入力端子を示し、参照数字
４０３および４０４はそれぞれ複素加算数の実数部入力
端子および虚数部入力端子を示す。

参照数字４０５および４０６は複素出力数の実数部出力
端子および虚数部出力端子をそれぞれ表わす。

参照数字４５０および４６０は加算回路である。

ここで、複素被加算数Ａおよび複素加算数Ｂをそれぞれ
Ａ＝ＡＲ＋ＪＡ■、Ｂ二ＢＲ−）−ｊＢ工とし、Ａ□、
Ａ、、ＢＲおよびＢＩがそれぞれ端子４０１゜４０２．
４０３および４０４に加えられると、加算回路４５０に
はＡＲとＡＲが入力され、出力端子４０５にはＡＲ＋Ｂ
−ＦＬが現われる。

また、加算回路４６０にはＡＩとＢＩが入力され、出力
端子４０６にはＡＩ十Ｂ■が現われる。

従って、出力複素数をＣ−ＣＦＬ＋ｊＣＩとすれば、 Ｃ二ＣＲ＋ｊＣ■二（ＡＲ＋ＢＲ）＋ｊ （ＡＩ＋ＢＩ
）となり、２つの複素数が加算されたことになる。

なお、複素加算回路４００の加算回路４５０および４６
０を通常の減算回路に置換すれば、複素減算回路となる
。

次に、複素乗算回路５００について説明する。

参照数字５０１および５０２はそれぞれ複素被乗数実数
部入力端子および虚数部入力端子を示す。

参照数字５０３および５０４はそれぞれ複素乗数実数部
入力端子および虚数部入力端子を示し、参照数字５０５
および５０６はそれぞれ複累積実数部出力端子および虚
数部出力端子を示す。

また、参照数字５３０，５４０，５５０および５６０は
乗算回路、参照数字５７０は減算回路および参照数字５
８０は加算回路をそれぞれ示す。

いま、複素波乗数人をＡ＝Ａ□＋ＪＡＩ、複素乗数Ｂを
Ｂ二ＢＲ＋ＪＢ□として、前記端子５０１゜５０２．５
０３および５０４にそれぞれＡＲ２Ａ工。

ＢＲおよびＢＩを入力すれば、乗算器５３０被乗数ＡＲ
と乗数ＢＲとから積ＡＲ−Ｂ□を出力し、乗算器５４０
は被乗数ＡＩと乗数Ｂ□とから積ＡＩ。

ＢＩを出力し、乗算器５５０は被乗数ＡＩと乗数ＢＲと
から積ＡＩ・ＢＲを出力し、また、乗算器５６０は被乗
数Ａ□と乗数ＢＩとから積ＡＲ−Ｂ■を出力する。

従って、減算器５７０は乗算器５３０の出力ＡＲ−ＢＲ
から乗算器５４０の出力ＡＩ・ＢＩを減算し、（ＡＲ−
ＢＲ−人■・ＢＩ）なる値を端子５０５に出力する。

また、加算器５８０は、乗算器５５０の出力ＡＩ−ＢＲ
と乗算器５６０の出力ＡＲ−Ｂ■とを加算し、（ＡＩ・
ＢＲ＋ＡＲ−ＢＩ）なる値を端子５０６に生じる。

従って、出力複素数をＣ−ＣＲ＋ＪＣ■とすれば、 Ｃ−ＣＲ＋」Ｃ工＝（ＡＲ−ＢＲ−Ａ□・ＢＩ）＋ｊ（
ＡＩ・ＢＲ＋ＡＲ−ＢＩ）二ＡＸＢとなり、Ａ、Ｂ二つ
の複素数の積が得られる。

以上のように、本発明では、Ｎ息抜素データのＤＦＴ（
ＩＤＦＴ）の実数部もしくは虚数部のみを必要とする場
合、Ｎ点の複素データに対して簡単な前処理を施すこと
によりＮ／２点ＤＦＴ回路を利用できる。

従って、本発明においては、適当に大きなＮに対して必
要な乗算数はＤＦＴ回路を利用した場合に従来の約１／
４．ＦＦＴ回路を利用した場合に従来の約１／２となる
。

このため、演算速度が従来のそれぞれ４倍および２倍と
なる。

また、演算装置の規模も乗算回数によって決まるため、
従来の装置と比べ大幅な規模の縮少が望め、結局、本発
明の演算装置は小型化および低消費電力化が計れかつ廉
価化が計れる。

また、式（５つを実現する回路は、第２図において、複
素加算回路２２０〜２２７を複素減算回路に置換し、複
素加算回路２３０〜２３３を複素減算回路に置換し、複
素減算回路２３５〜２３８を複素加算回路に置換するこ
とにより実現でき、Ｎ息抜素入力データの離散的フーリ
エ変換の虚数部のみを出力する回路も本発明の範囲に含
まれる。

上記変換により式が（５′″）実現できるのは式（５）
と式（５／′）の対応からも明らかであろう。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の一実施例を示す回路図である。 第１図において、参照数字１０ｏ、１０□、・・・。 １ＯＮ□はＮ息抜素人力データ端子、参照数字１１は前
処理回路、参照数字１２．．１２１．・・・。 １２−−１はＮ／２点複素中間データ、参照数字１３は
Ｎ／２点離散的フーリエ変換回路、参照数ぞれ示す。 第２図および第３図は第１図の前処理回路１１を詳しく
示す図である。 参照数字２１０〜２１７は共役複素数計算回路、参照数
字２２０〜２２７は８点共役偶対称データを求める複素
加算回路、参照数字２３０〜２３３は複素加算回路、参
照数字２３５〜２３８は複素減算回路、参照数字２５０
〜２５３は複素乗算回路、参照数字２６０〜２６３は複
素加算回路および参照数字２４０〜２４３はスケーラ−
をそれぞれ示す。 第３図において、参照数字３００は共役複素計算回路、
参照数字３５０は極性反転回路、参照数字４００は複素
加算回路、参照数字４５０および４６０は加算回路、参
照数字５００は複素乗算回路、参照数字５３０，５４０
，５５０および５６０は乗算回路、参照数字５７０は減
算回路および参照数字５８０は加算回路をそれぞれ表わ
す。

Claims (1)

【特許請求の範囲】
1. １ Ｎ点複素人力データからＮ点複素共役データを求め
   る手段と前記Ｎ点複素入力データと前記Ｎ点複素共役デ
   ータとから新しくＮ点共役対称データを得るための手段
   とこのＮ点共役対称データを得るための手段からの出力
   のＮ点共役対称データを２点づつの組にして各組毎に和
   および差をとり和成分および差成分を求める手段と前記
   和成分および差成分の倒れか一方に指数関数を乗じた後
   両成分を加算する手段とを有しＮ／２点複素中間データ
   を発生する前処理回路と、前記前処理回路から得られる
   Ｎ／２点複素中間データを入力とするＮ／２点離散的フ
   ーリエ変換回路とから槽底され前記Ｎ／２点離散的フー
   リエ変換回路のＮ／２点複素出力データかね前記Ｎ点複
   素入力データに対する離散的フーリエ変換結果の実数部
   または虚部数のみを得ることを特徴とする離散的フーリ
   エ変換演算装置。