JPS5936783B2 - 符号チエツクにおける重み係数発生方法 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 本発明はＰ適法で表わされた数字系列或いはローマ字、
カナ文字、漢字等の系列からなる情報の伝送中に生じる
誤りを検出及び訂正する場合の符号チェックにおける重
み係数発生方法に関する。

ディジタル技術の発達により２進符号によつて表わされ
た符号系列からなる情報の伝送における誤りの検出およ
び訂正は単純なパリテイチェック方式をはじめハミング
コード方式等によつて実用化されている。また一方、上
記２進符号の他、例えば光学的文字読取装置、磁気的文
字読取装置等の実用化により、２進数字に変換されない
１０進数字又はアルファベット、ローマ字、カナ文字等
の文字を直接情報として取扱う場合が生じてきた。この
ため最近では、２進法以外の例えば１０適法による数系
列、或いは一般の文字系列からなる情報のチェック方式
が考えられている。この種チェック方式としては例えば
一連の文字系列からなる情報を一定数の文字を含む行に
区分し、各行毎の数系列の桁数に応じて一定の条件によ
り定められる少なくとも２桁以上の特定の桁数のチェッ
ク文字を付加することにより判別不能文字の復元解読及
び誤り検出及び訂正を行なうようにしたものが考えられ
ている。しかしながら、上記従来のチェック方式では、
２桁以上のチェック文字に対する重み付けがあまり考慮
されておらず、誤り検出及び訂正に対して高い精度を得
ることが困難であつた。本発明は上記の点に鑑みてなさ
れたもので、Ｐ適法で表わされた数字系列あるいは文字
系列からなる情報の誤り検出及び訂正を行う場合に、そ
の精度を著しく向上し得る符号チェックにおける重み係
数発生方法を提供することを目的とする。

本発明はチェック符号（チェックディジット）に対する
重み付け手段として有限射影幾何を利用したもので、以
下ＯＣＲ（ＯｐｔｉｃａｌＣｈａｒａｃをｅｒＲｅａｄ
ｅｒ）における情報に対してチェックを行う場合につい
てその詳細を説明する。まず、チェックデジット数ｎ＝
３、送信情報系列長ｌ）送信文字の種類ｐとした場合、
受信情報系列中の判別不明文字及び誤読文字の復元解読
及び検出をできるだけ可能にするには、送信情報系列に
対し如何なる重み係数列（大きさｎ行、ｌ＋ｎ列）を用
意すればよいかについて説明する。

Ｎｌｌ．ｐの関係がｌ＋ｎ≦ｐ＋１の場合は勿論のこと
、ｌ＋ｎ＞ｐ＋１の場合、特に２ｐ＋１≧ｌ＋ｎ＞ｐ＋
１の場合は非常に有効である。ｍ＝３個のチエツクデイ
ジツト値は、任意の送信情報系列に対し、あらかじめ定
めたｍ行、（ｎ＋ｍ）列の重み系数行列により一意に決
められ、それぞれのチエツクデイジツト値をＣｌ，Ｃ２
，Ｃ３とすれば、これらの値は（１）式で決定されるも
のとする。（１）式で分かるように、Ｃｌ，Ｃ２，Ｃ３
は連立一次合同式の解である。送信側でＸという送信情
報系列を送つたにもかかわらず、受信側で送信情報の中
に判別不明文字（Ｒｅｊｅｃｔ）があつたり、文字の誤
読（ＥｒｒＯｒ）を行つたために送信情報系列Ｘを受信
情報系列Ｘとして受け取るケースが発生する。

このケースの場合、受信情報系列Ｘ７に対するｎ＝３個
のチエツクデイジツトの値をＣ′１，Ｃ′！，Ｃ′３と
すれば、これらの値は送信情報系列Ｘに対しチエツクデ
イジツト値Ｃｌ，Ｃ２，Ｃ３を決めたと同じ方式で（２
）式で示す連立一次合同式を解くことにより決まるが、
（ＣｌｌＣ２ラＣ３）ｔ＼（ｃ層Ｃ′！ラｃ′３）１と
なるｏすなわち送信側より送つた送信情報系列が受信側
で正しく受信情報系列として受信されたかどうかは、送
受信側で、それぞれ（１）式、（２）式で決定されるチ
エツクデイジツト値が等しいかにより判別することがで
きる。（送受信のそれぞれの側に於けるチェツタデイジ
ツトが等しければ、正しい情報系列が受信されたとみな
し、等しくなければ受信情報系列の中に、Ｒｅｊｅｃｔ
あるいはＥｒｒＯｒの文字が少なくとも一つ存在したこ
とを意味する。）１Ｉ〜〜′３／ 上で述べた送信情報系列が受信側で正しく受信されたか
どうかの判別は送信情報系列に対し（１）式の連立一次
合同式の解として求まるｎ＝３個のチエツクデイジツト
値Ｃ，，Ｃ２，Ｃ３を（２）式中のＣＳ，ｃＪ，ｃ！に
置き換え、受信情報系列でに対し（２）式がＭＯｄｐの
もとで零と合同かどうかを調べるやり方と同一である。

（ＭＯｄｐのもとで零と合同であれば、正しい情報受信
が行われたと解釈することができ、もし零と合同でなけ
れば、受信情報系列の中には少なくとも一つのＲｅｊｅ
ｃｔあるいはＥｒｒＯｒの文字が存在したと解釈できる
）。このことは（３）式の形で示せる。′Ｊ７７７口
′次に上記ＲｅＪｅｃｔと
ＥｒｒＯｒの定義について説明する。

６ｒｅｊｅｃｔ″とは受信側で判別不明な文字をハード
的に検出（受信文字を認識できるパターンが、０ＣＲパ
ターンページライブラリの中に存在しなかつたというこ
と）した。

但しその判別不明文字は受信情報系列の中の何桁目であ
るかは判明している（既知）場合である。一方“Ｅｒｒ
Ｏｒ″とは受信側で不確な文字を一つのある文字として
解釈（０ＣＲパターンページライブラリに登録されてい
るメツシユパターンの中でその文字１Ａ″と最も高い適
合率を示すパターンを探し出し、そのパターンに対応す
る文字６Ｂ″を６Ａ″として認識することをいう。文字
゛Ｂ１が６Ａ″であつた場合は正しい解釈がされたと考
えればよい。）したが、結果的に誤りであつた場合、す
なわち誤読をした場合である。しかもＥｒｒＯｒの場合
は誤読文字が受信情報系列中の何桁目であつたかは未知
である。以上の定義より分かるように、ＥｒｒＯｒはＲ
ｅｊｅｃｔに比較して、復元解読、検出操作を行おうと
するとき、はるかに質の悪い症状である。また現状の０
ＣＲ処理方式ではＲｅｊｅｃｔに関してはハード的にモ
ニターコントロールにより復元解読、検出操作は可能で
あるが（但し、０ＣＲ処理効率は極端に低下するが）、
それに比べＥｒｒＯｒに関してはそのようなハード的復
元解読、検出操作の妙案は今のところなさそうである。
それでは、先に述べた（３）式により、受信情報系列の
中にＲｅｊｅｃｔ文字、ＥｒｒＯｒ文字があることが判
明できたとして、これらの文字の復元解読、検出操作を
施こすには如何なる論理方式をとつたらよいかという一
つの問題が起こつてくる。

そのためには、まず問題の中の中核である復元解読、検
出とは何かを明確に定義しておく必要がある。゛復元解
読１とは受信情報系列の中にＲｅｊｅｃｔ文字、Ｅｒｒ
Ｏｒ文字があれば（受信情報系列中のある一つの文字が
Ｒｅｊｅｃｔ文字であつてＥｒｒＯｒ文字であるという
ようなことはないが、受信情報系列中に存在しうるＲｅ
ｊｅｃｔ文字、ＥｒｒＯｒ文字の数は任意とする）それ
らの文字を送信時の正しい文字に受信側である方式によ
り何とか復元しようとすることである。一方、゛検出”
とは、ある論理的復元解読方式により受信情報系列中の
Ｒｅｊｅｃｔ文字、ＥｒｒＯｒ文字の回復が行われたと
して、それがまさしく送信時の正しい文字の復元である
ことの検証ができることをいう。上述のことを踏まえて
復元解読及び検出ということをもう少し具体的にいうと
、゛復元解読”とは受信情報系列中のＲｅｊｅｃｔ文字
、ＥｒｒＯｒ文字及びＥｒｒＯｒ文字の位置を未知数と
し、（３）式の連立一次合同式を解く（もちろんＲｅＪ
ｅＣｔの数、ＥｒｒＯｒの数によつては解が不定になる
ことがある）ことであり、１検出１とは（３）式の連立
一次合同式の解が、今対象としているＥｒｒＯｒ文字、
Ｒｅｊｅｃｔ文字の集合（未知数）こ対し一意であるか
どうかの検証（確証）が行えることである。０ＣＲにお
いては検出の方が、復元解読に比べてはるかに難しい問
題である。

このことについては後で詳述する。以上の説明により０
ＣＲにおける１ｒｅｊｅｃビ，゛ＥｒｒＯｒ″ １復元
解読゛０検出０の定義は明確にされたわけだが、これら
が大きさｎ行、（ｌ＋ｎ）列の重み係数行列とどのよう
に関係してくるかについて次に説明する。

まず重み系数行列の各要素は大きさｐ＝１３の送信文字
集合に属する要素であるものとする。（１）式、（３）
式で明らかなように、送信側で送信情報系列（既知）を
もとに、（１）式の連立一次合同式でｎ＝３個のチエツ
クデイジツト値Ｃｌ，Ｃ２，Ｃ３を決定するときと、受
信側で受信情報系列（既知）をもとに、（３）式により
Ｒｅｊｅｃｔ文字、ＥｒｒＯｒ文字の復元解読及び検出
を行うときに重み系数行列が関係し、極めて重要な役割
を果す。このことに関し、ここで少し具体的に説明する
。何故なら、０ＣＲチエツクデイジツト方式の良し悪し
の大半は重み系数行列を如何に決定するかに、かかつて
いるからである。まず（１）式により、任意の送信情報
系列（既知）に対するチエツクデイジツト値Ｃｌ，Ｃ２
，Ｃ３を求めるわけだが、その場合（１）式が解を有す
るには、（４）式が成立する必要がある。

１ ′ ５７− ″ Ｖ ！ すなわち、ベクトルＰ１＝（α１，β１，γ１）Ｐ２：
（α２Ｉ烏フγ２）ラ Ｐ３β（α３ラβ３ツγ３）を
それぞれ（ｒｌ）３変数一次式に（５）式のように１対
１の対応を行つた場合に、｛Ｐｌ，Ｐ２，Ｐ３｝ が一
次独立である必要がある。

重み係数行列の（ｌ＋１）列から（ｌ＋ｎ）列にそれぞ
れ対応するｎ個の列ベクトルが一次独立であるという保
証があつて、はじめて送信側において、任意の送信情報
系列に対するチエツクデイジツト値ＣｌフＣ２，Ｃ３を
決定することができるわけである。

一般にあるｋ次元ベクトル集合Ｓより任意の相異なるｔ
（くｋ）個のベクトルを取り出した場合、それらのｔ個
のベクトルが一次独立ならばＳは“強さｔ１と呼ぶ。（
チエツクデイジツト数ｎは３であるので、結局は（１）
式でチエツクデイジツト値Ｃｌ，Ｃ２，Ｃ３が求まるた
めには、重み係数行列のチエツクデイジツト部に相当す
る（ｎ＝）３個の列ベクトルが強さ３であるということ
である。次に（３）式によつて、受信側で、受信情報系
列中のＲｅｊｅｃｔ文字、ＥｒｒＯｒ文字の復元解読及
び検出を行なおうとした場合、重み係数行列に対し如何
なる条件が考慮されるべきかを考えてみる。まず受信側
における受信情報系列中の１（〈ｌ）桁目のＥｒｒＯｒ
文字（コード）及びｊ（くｌ）桁目のＲｅｊｅｃｔ文字
（コード）をそれぞれ（７），（８）式により定義する
ことになる。Ｘｉ′＝Ｘｉ＋Δｉ；（ＥｒｒＯｒ文字の
定義）・・・・・・（７）但し（１）Ｘｉ；送信時の情
報系列中のｉ桁目の文字（コード）。

すなわち正しい文字（コード）。

（１）Δｉ；受信時の情報系列中のｉ桁目の誤り誤差（
コード）。

０ｉ１）Ｘｉ′：受信情報系列中のｉ桁目の文字（コー
ド）。

すなわちＥｒｒＯｒ文字（コード）。

Ｘｊ′＝Ｘｊ＋Δｊ ；（Ｒｅｊｅｃｔ文字の定義）
・・・（８）但し（１）Ｘｊ；送信時の情報系列中のｊ
桁目の文字（コード）。

すなわち正しい文字（コード）。

（Ｉｉ）Δｊ：受信時の情報系列中のｊ桁目の誤り誤差
（コード）。

Ｑｉｉ）Ｘｊ′：受信情報系列中のｊ桁目の文字（コー
ド）。

すなわちＲｅｊｅｃｔ文字（コード）。

但しここではＲｅｊｅｃｔ文字に対しては受信側では、
ＸＪ′＝０にセツトしていると仮定する。

この仮定を考慮すると、（７），（８）式より受信情報
系列中のｉ桁目のＥｒｒＯｒ文失、ｊ桁目のＲｅｊｅｃ
ｔ文字のもともとの送信側の正しい文字の復元は（９）
，（１１式により行なえる。ＥｒｒＯｒ文字、Ｒｅｊｅ
ｃｔ文字の復元は（９）、（代）式で行なえることが分
つたが、では（９）式中のΔｉ、ＡＯ）式中のΔＪは如
何なる方式で決めればよいのかという時題提起が起こる
。

この問題をここで十分検討してみることにしよう。（復
元解読とは（３）式の連立一次合同式を解くことである
ことは先に述べたとおりであるが・・・）今後の説明を
簡単にするために次のような記号を使うことにする。の
重み係数行列の第１桁目の（ｎ＝）３ 次元列ベクトル。

但し、ｉ＝１，２・・・，（ｌ＋ｎ）まずＲｅｊｅｃｔ
文字、ＥｒｒＯｒ文字を含む次のようないくつかのケー
スを考えてみることにしよう。

（１）受信情報系列中にただ１つのＲｅｊｅｃｔ文字が
存在する場合（３）式と（８）式より（自）式が成立す
る。

但しＲｅｊｅｃｔ文字の位置はｊ桁目とする。但し（１
）Ｘ′＝（Ｘｌ，ｘ２，・・・，Ｘｊ＋ΔＪ，ｘｊ＋，
，・・・，１，Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３）：受信情報系列。

（Ｉｉ）Ｘｊ′：Ｘｊ＋Δｊ ；Ｒｅｊｅｃｔ文字０と
ころ力５＜？式よりがいえるので、（自）式は結局は（
自）式のように表わすことができる。

但し（１）１ＰＪ，ｄ１１は既知。

０１）Δｊは未知。

（２）受信情報系列中に丁度２個のＲｅｊｅｃｔ文字が
存在する場合２つのＲｅｊｅｃｔ文字の位置をそれぞれ
１，Ｊ桁目とすると（１）と同じやり方で（自）式を導
くことがアきる。

（３）受信情報系列中に丁度３個のＲｅｊｅｃｔ文字が
存在する場合３つのＲｅｊｅｃｔ文字の位置をそれぞれ
Ｉ，Ｊ，ｋ桁目とすると（１）と同じやり方で（自）式
を導くことができる。

）▼ｌ暴１Ｊ′？？１？―噂′山ｖ （４）受信情報系列中に丁度１個のＥｒｒＯｒ文字が存
在する場合受信情報系列中のＥｒｒＯｒ文字の位置を仮
にｉ桁目（ＥｒｒＯｒ文字の位置は未知であるが）と仮
定すると、（３）式と（７）式より（至）式を導くこと
ができる。

易響Ｊト尋ｒ尋］〜Ｒｆ′，ョ，′ 但し（１）Ｘｉ′＝Ｘｉ＋Δｉ（ＥｒｒＯｒ文字）。

（ｉｌ）ＤＩ４は既知。Ｑｉｉ）Δ１，１Ｐｉは未知。

（５）受信情報系列中に丁度１個のＲｅｊｅｃｔ文字と
１個のＥｒｒＯｒ文字が存在する場合受信情報系列中の
Ｒｅｊｅｃｔ文字の位置をｉとし、ＥｒｒＯｒ文字の位
置を仮りにｊ桁目と仮定すると、（３）、（７）、（８
）式より（５）式を導くことができる。

上述により、Ｒｅｊｅｃｔ文字、ＥｒｒＯｒ文字を含む
場合の５つのタイプの受信情報系列に対するそれぞれの
Ｒｅｊｅｃｔ文字〜ＥｒｒＯｒ文字を復元するための方
式が明確にされたわけだが、（自）、（自）、（自）、
（自）、（代）式を以降では復元方程式と呼ぶことにす
る。

Ｒｅｊｅｃｔ文字、ＥｒｒＯｒ文字を含む受信情報系列
としては、上述の５つのタイプ以外の色々のタイプが考
えられるが、チエツクデイジツト数ｎが３であるので（
すなわち、１Ｐｉのベクトルの次元が３であるので復元
方程式は３元連立一次合同式である）、ここではこれら
５つのタイプ以外のＲｅｊｅｃｔ文字、ＥｒｒＯｒ文字
を含む受信情報系列に対する復元は不可能とみなし、取
り扱わないことにする。ところで、これら５つのタイプ
に対するそれぞれの復元方程式が解を有するには、送信
情報系列に対する重み係数行列Ｂ（すなわち、１Ｐｊ：
ｊ＝１，２，・・・，ｌ）に如何なる条件が付加される
べきかを説明する。但し、先に述べたように、重み係数
行列の各要素は、大きさｐ（＝１３）の送信文字集合の
元であることを大前提とする。以降では大きさｐ（＝１
３）の送信文字集合はガロア体ＧＦ（ｐ）で代表されう
るので、これを利用することにする。（対象とするｐ種
の送信文字を法ｐのもとでコード化したと考えればよい
。）ＧＦ（ｐ）は（自）式で表わされる。さて、タイプ
（１）〜タイプ（５）の受信情報系列に対するそれぞれ
の復元方程式を解く立場で順次検討してみると、重み係
数行列Ｂは次のような条件を満足していなければならな
いことが分かる。

条件１０３）式により、未知数△ＪＧＦ（ｐ）が一意に
決まるには、σ腸式で示す条件が必要である。

条件２ （但し１ＳＪ）に対し である。

（自）式により、未知数Δ１，△ｊ（−ＧＦ（ｐ）が一
意に決まるにはＳｅＶｌＰｉ，ＶｌＰｊ（但し１＼Ｊ）
が（５）式のもとで一次独立であることが必要である。

（すなわち、Ｓが強さ２になつていることが必要であ る） 条件３０５）式により未知数Δ１，△Ｊ，ΔＫ６ＧＦ（
ｐ）が一意に決まるにはＳ９Ｖ！Ｐｉ，ＶｌＰｊ，Ｖｌ
Ｐｋ（但しｉキＪキｋ）が（５）式のもとで一次独立で
あることが必要である。

（すなわちＳが強さ３になつていることが必要で ある。

）条件４０６）式により、未知数Δｌ（：ＧＦ（ｐ），
１ＰｉεＳが一意に決まるにはＳ９ＶｌＰｉ，ｌＰＪ（
但しＩ８Ｊ）が（５）式のもとで一次独立であることが
必要である。

（すなわち、Ｓが強さ２になつていることが必 要である。

）条件５ａ７）式により、未知数Δ１，△Ｊｃ−ＧＦ（
ｐ），ＩＰＪＥ：Ｓが一意に決まるには、Ｓ−３ＶＩＰ
ｉ，ＶＩＰＪ，ＶＩＰｋ（但しｉ＼』＼ｋ）が（５）式
のもとで一次独立であることが必要である。

（すなわち、Ｓが強さ３になつて ンいることが必要で
ある。）先に述べた５つのタイプの受信情報系列に対し
、Ｒｅｊｅｃｔ文字、ＥｒｒＯｒ文字の復元を（自）、
（自）、（自）、Ａ６）、（５）式の復元方程式で、実
現するには結局は重み係数行列Ｂ（あるいはＳ＝｛Ｐｌ
，ｌＰ２，・・・，ＩＰＩ｝）２は大きさ（ｎ＝）３行
、（ｌ＝）２４列の強さ３の直交表になつていなければ
ならないことが分かる。

ＲｅＪｅＣｔ文字、ＥｒｒＯｒ文字の復元解読という立
場から考察すれば、結局は「（自）、（自）、（自）、
（自）、０７）３式の復元方程式に基づいてタイプ（１
）、（２ｋ（３）、（４）、（５）の受信情報系列中の
Ｒｅｊｅｃｔ文字、ＥｒｒＯｒ文字を復元するためには
最も適した大きさ（ｎ＝）３行、（（ｌ＋ｎ）＝）２７
列の重み係数行列（Ａ＋Ｂ）とは、（Ｇ式ｐ）＝）ＧＦ
（１３）上での大きさｎ行、 ３（ｎ＋ｍ）列の強さ３
の直交表である」ということになる。

後で詳述するように、ＧＦ（１３）上で３行２７列の強
さ３の直交表を生成することは残念ながら理論的に不可
能である。このことが判明すると目ざすべき目標は「Ｇ
Ｆ（１３）上で、強さ ４３である確率が最も高い３行
、２７列の重み係数行列（強さ３の疑似直交表）は如何
なる理論のもとで、如何なる方法で生成しうるか」とい
うことにしぼられてくる。この目標を達成するために、
本発明は有限射影幾何を利用する。ところで復元解読と
いう力場から考察すれば、上述のごとく用意すべき重み
係数行列としては強さ３である確率が最も高い擬似直交
表が最適であるが、はたして検出に対してはどうなのだ
ろうかという問題が起こつてくる。

０ＣＲ処理における検出とは先に述べたように、ある論
理的復元解読方式により受信情報系列中のＲｅｊｅｃｔ
文字、ＥｒｒＯｒ文字の回復が行われたとしてそれがま
さしく送信時の正しい文字の復元であるということの検
証ができることをいう。

結論を先にいうと上述のごとき、検出の立場から起こつ
てくる問題に対しても、復元解読の場合と同じように、
重み係数行列が強さ３であることが（強さ３である確率
が高ければ高いほどよいという意味で・・・）゛０ＣＲ
チエツクデイジツト方式に関する限り重要で効果的な役
割を果す。

このことに関しては後で詳述することとしたい。その理
由はそのことが強さ３である確率が最も高い擬似直交表
を如何なる理論的背景及び根拠から生成したかというこ
とと、深い関連をもつているからである。そのためには
まず本発明で採用した有限射影幾何の少なくとも基本的
な特性を掌握しておく必要があるので、このことに関し
、以後で簡単な説明を行うことにしよう。（自）有限射
影幾何の基本的特性 本発明で利用する有限射影幾何の基本的特性と、それが
強さ３の擬似直交表を生成する上で如何なる役割を果す
かについて簡単に説明してみることにしよう。

（但し、定理の証明はここでは省略することにする）。
定義１ ガロア体ＧＦ（ｐ）（ｐは素数または素数幅）
上のｍ次元有限射影幾何ＰＧ（ｍ−ｐ）とは次の構造を
もつものである；ＧＦ（ｐ）上の（ｍ＋１）次元ユーク
リツド空間ＧＦ（Ｐ）ｍ＋１の点を考え、ゼロベクトル
〔０，０，・・・，Ｏ〕は除外し〜〔ａ１？Ａ２ラ１３
１ａｍ＋１〕と〔Ｃａｌ，ｃａ２，・・・，Ｃａｒｒｌ
＋１〕（ＣＳＯＧＦ（ｐ）とは同値とみてＧＦ（Ｐ）ｍ
＋１を同値類に分割して、一つの類をＰＧ（ｍ−ｐ）の
一点とみなす。

直観的にいえば、（ｍ＋１）次元ユークリツド空間の原
点を通る直線を１つの点とみなしたものが、ｍ次元有限
射影幾何ＰＧ（ｍ−ｐ）である。

エエ▲Ｉ轟▼▲Ｉｌｌｌ！易を通る直線ＰＱを（２１）
式で示される ＰＧ（ｍ−ｐ）の点の集合で定義する。

定理１ＰＧ（ｍ−ｐ）内のｌ−Ｆｌａｔの総数は、いわ
ゆるガウスの多項式（２２）式で与えられる。

ＰＧ（ｍ−ｐ）の点、つまりｏ−Ｆｌａｔの総数（＝ｖ
）は定理１より（２３）式のように示すことができる。

同様にＰＧ（ｍ−ｐ）の直線、つまり１−Ｆｌａｔの総
数（＝ｂ）は定理１より（２４）式を導くことができる
。

定理２ＰＧ（ｍ−ｐ）内の任意のＯ−Ｆｌａｔを通る直
線の数（…ｒ）は（２５）式で与えられる。

＼Ｒ６′ 定理３ＰＧ（ｍ−ｐ）の任意の１−Ｆｌａｔ上の点の数
（＝ｋ）は（２６）式で与えられる。

定義３ 記号（品種）の集まり があるとき、これを根元集合として、 Ωの部分集合（プロツク）の系 が次の条件を満すときこれをＢＩＢ （ＢａｌａｎｃｅｄＩｎｃＯｍｐｌｅｔｅＢｌＯｃｋ）
という；（１１）Ｖω１Ｃ−Ωは丁度ｒ回だけＩｒの中
に出現する。

つまり（２９）式が成立すること。０１！）ＶωＩ，Ｖ
Ｏ）ＪｅΩ（ωＩ８ωｊ）に対して、ω１，ωｊを共通
に含むｒνは丁度λ個だけ１ｒの中にある。

つまり（３０）式が成立すること。

Ｖ捉εＩωはω６Ωを含むｒνの番号νの集合。

定理４Ｂ１ＢのパラメータＶ，ｋ，ｒ，ｂ，λに関して
常に（３１）、（３２）式が成立する。

同一パラメータＶ，ｋ，ｒ，ｂ，λをもち、構造のこと
なるＢＩＢは複数個存在しうる。定理５ＰＧ（ｍ−ｐ）
の点を品種、直線をプロツクとみなすとき、次のごとき
パラメータを持つＢＩＢを得る。

（３３）式のｖは（２３）式で述べたように、ＰＧ（ｍ
−ｐ）の０−ＦＩａｔの総数であり、（３４）式のｋは
定理３で示したようにＰＧ（ｍ−ｐ）の任意の１−Ｆｌ
ａｔ上の点の数であり、（３５）式のｒは定理で示した
ようにＰＧ（ｍ−ｐ）内の任意のＯ一Ｆｌａｔを通る直
線の数であり、（３６）式のｂは（２４）式で述べたよ
うにＰＧ（ｍ−ｐ）の１−Ｆｌａｔの総数である。

（３７）式のλ＝１はＰＧ（ｍ−ｐ）内の任意の２点を
結ぶ直線は定義２よりただ１つであることより自明であ
る。定理６ＧＰ（ｐ）上の（ｍ＋１）変動（同次）一次
式をＰＧ（ｍ−ｐ）の点とと対応づけると、ＰＧ（ｍ−
ｐ）の異なる２点に対応する２つの一次式は一次独立で
ある（強さ２で直交する）。

定理７ＰＧ（ｍ−ｐ）Ｊ，の同一直線上にない３点は強
さ３の直交性をもつ（強さ３で直交する）。

以上によりＧＦ（ｐ）上のＰＧ（ｍ−ｐ）の基本的特性
について述べてきたが、次にＰＧ（ｍ−ｐ）を具体的に
構成する方法について簡単に説明する。

ＰＧ（ｍ−ｐ）の点は次のようにして生成することがで
きる。まずＧＦ（ｐ）（これはできているものとして）
上の（ｍ＋１）次原始既的多項式ｆ（ｘ）を見つけだす
。

ｆ（ｘ）＝０の根、つまり原始根をαとするとき、０及
びα０，α２，・・・，αＰｍ＋１−２がＧＦ（ｐ）の
（ｍ＋１）次拡大体ＧＦ（Ｐｍ＋りの元を尽くす、つま
りそして、αＰｍ＋１−１＝１となる。

任意の整数ｌに対して、αｌは、またαのｍ次多項式と
して、と表わされる。

ＧＦｖ（Ｐｍ＋り壬ＧＦ（Ｐｍ＋１）−｛Ｏ｝の２点ξ
，ηの間に、もしλξ＝ηとなるλ・ＧＦ領ｐ）＝ＧＦ
（ｐ）−｛０｝があれば、ξとηとは同値であると考え
、その同値類を１点とみなしたものがＰＧ（ｍ−ｐ）の
点である。次にＰＧ（ｍ−ｐ）の直線を生成する方法に
ついて説明する。

ＰＧ（ｍ−ｐ）の直線全体はいくつかの初期直線から巡
回変換（直線上の各点に１を加える変換）で生成できる
。これらの初期直線とそのサイクルに関して次の性質が
ある。定理８ （ｍ＋１）が奇数ならば、すべての初期
直線はサイクルｃ＝ｖであり、初期直線の数ηは（４２
）式に示すとおりである。

＼ 定理９ （ｍ＋１）が偶数ならばサイクルなる初期直線
が唯１つ存在し、かつサイ クルｃ＝ｖなる初期直線がη個存在する。

但しηは（４４）式に示すとおりである。

ところで初期直線全体は、その一部からフロベニウス変
換（ｐ＝ｓｌ（但し、ｓは素数）のとき、ＰＧ（ｍ−ｐ
）の各点をｓ倍にすること）によつて生成される。

この生成の基になる直線をＰＧ（ｍ−ｐ）における生成
直線と呼ぶ。以上のことより、ＰＧ（ｍ−ｐ）のすべて
の初期直線は生成直線からフロペニウス変換によつて生
成され、すべての直線は初期直線から巡回変換によつて
生成されることが分かる。それゆえに、ＰＧ（ｍ−ｐ）
の直線を生成するには、生成直線のみを探し出せばよい
わけである。

上述によりＰＧ（ｍ−ｐ）の基本的特性及び、０−Ｆｌ
ａｔ，ｌ−Ｆｌａｔの生成方法が明確になつたので、次
にＰＧ（ｍ−ｐ）が何故０ＣＲチエツクデイジツトの重
み係数行列（Ａ＋Ｂ）を生成するのに利用できるかを説
明する。

それは「ＰＧ（ｍ−ｐ）の点の集合Ωが定理６、定理７
でいう直交性（強さ２、強さ３）という特性を有してい
ること、またＰＧ（ｍ−ｐ）の直線の集合１ｒが定理５
でいうＢＩＢになつている」ということにある。

ところで前述したように、チエツクデイジツトの数ｎが
３、送信文字の種類ｐが１３の場合を考えると、重み係
数行列を生成するためには、有限射影幾何ＰＧ（２，１
３）を利用すればよいことが分かる。

一般に２次元有限射影幾何ＰＧ（２，ｐ）のＯ−Ｆｌａ
ｔ，ｌ−Ｆｌａｔのそれぞれの総数Ｖ，ｂは（２３）式
（２４）式より、（４５），（４６）式で与えられる。

またＰＧ（２・ｐ）内の任意のＯ−Ｆｌａｔをとおる１
−Ｆｌａｔの数（＝ｒ）は定理２より（４７）式で与え
られる。

ＰＧ（２・ｐ）より生成されるＢＩＢのパラメータＶ，
ｋ，ｒ，ｂ，λは（４５）、（３４）、（４７）、（４
６）、（３７）式により結局次のようになる。

ご ＰＧ（２・ｐ）より生成されるＢＩＢはｖ＝ｂであるの
で対象ＢＩＢである。

ところで、ＰＧ（２，１３）により生成できるＢＩＢは
（４８），（４９），（５０），（５１），（５２）式
よりｐ＝１３であるので、（５３）式で示されるパラメ
ータ（特性）をもつことが分かる。

なお、２次元有限射影幾何ＰＧ（２，ｐ）には次に示す
定理１０の特性がある。

定理１０ＰＧ（２，ｐ）（但し、ｐは２より大きい素数
または素数幅）の（Ｐ２＋ｐ＋１）個の点の中に、強さ
３で直交する（ｐ＋１）個の点が存在する。

先に述べた定理７を利用すれば、定理１０は次のように
いうことができる。

すなわち「ＰＧ（２，ｐ）上の（Ｐ２＋ｐ＋１）個の直
線で、ＰＧ（２，ｐ）内の強さ３で直交する（ｐ＋１）
個の点からなる集合から、任意に選んできた３つの点（
任意の３−Ｔｕｂｌｅ）を同時に含むような１−Ｆｌａ
ｔは一つも存在しない」ということである。このことは
、ＰＧ（２，ｐ）の一つの大きな特性である。また定理
１０の一つの系として次に述べるような一つの極めて重
要な特性をＰＧ（２，ｐ）は有している。系１ＰＧ（２
，ｐ）（但しｐ〉２、素数または素数幅）の（Ｐ２＋ｐ
＋１）個の点の中に、強さ３で直交する（ｐ＋１）個の
点からなる集合（＝Ｓ１）以外に、Ｓ１と素で、しかも
互いに素であるような強さ３で直交す るｐ個の点からなる集合（−Ｓｉ（１＞ｌ））が（Ｐ−
１）個存在する。

本発明において利用するＧＦ（ｐ）上のＰＧ（２，ｐ）
について定理１０、系１より結局次のことが言える。

すなわち「ＰＧ（２，ｐ）の（ｖ＝）Ｐ２＋ｐ＋１個の
点（３次元ベクトル）の中から、強さ３で直交するｐ＋
１個の点からなる集合Ｓ１、及びＳ１と素で、しかも強
さ３で直交するＰ個の点からなる。集合Ｓｉ（１〉１）
をＰ−１個（但し、Ｓｉｒ％Ｓｊ＝φ（１＼Ｊ，ｉ，ｊ
＝１，２，・・・，Ｐ））取り出すことができる」。（
）のところでＧＦ（１３）上で強さ３で直交する大きさ
３行、２７列の直交表は残念ながら理論的に生成できな
いと述べた。

その理論的根拠は上述の定理１０、系１にあることが分
つたわけである。それでは、第１表の例に沿つて、Ｐ＝
１３，１＝２４，ｎ＝３の場合を考えてみる。

強さ３で直交する確率が最も高い大きさ３行、２７列の
チエツクデイジツトのための重み係数行列（（）では３
行、２７列の擬似直交表と呼んだ）は如何にして生成で
きるのだろうかということになるが、それはＰＧ（２，
１３）を利用する限り、次に述べる生成方法が処理確率
を最大にするという意味で最良の方法である。ＰＧ（２
，１３）に基づく３行、２７列の重み係数行列の生成方
法（１） １３種の送信文字をガロア体ＧＦ（１３）＝
｛０，１，２，・・・，１２｝で代表し、コード化する
。

（すなわち１３種の送信文字の各文字をＧＦ（１３）の
各元と１対１対応づける。）（２） ＧＦ（１３）上の
２字元有限射影幾何ＰＧ（２，１３）のｖ＝１８３個の
点（１Ｐｉ…〔Ａｊ，ｂｊ，ｃＪ〕； Ａｊ，ｂｊ，ｃ
ｊεＧＦ（１３），ｊ＝１，２，・・・，１８３）を求
める。（ここで求める１８３個の点は強さ２になつてい
る。またＩＰｊ＼１Ｐｋ（ｐ）（但し、ＪＳｋ）は自明
。）（３） ＧＦ（１３）上のＰＧ（２，１３）のｂ＝
１８３個の直線（各直線上には、相異なるｋ＝１４個の
点がのつている）を求める。（ＰＧ（２，１３）の各点
をそれぞれ、丁度ｒ＝１３個の直線が通る。またＰＧ（
２，１３）の相異なる２点を通る直線は唯一つである（
λ＝１）。）（４） ＰＧ（２，１３）の点の集合Ω（
ｌΩＩ＝１８３）よりまず強さ３である１４個の点を選
び出し、それを集合Ｓ１としてセツトする。

次に集合ＳｌＣ（１Ｓ１ＣＩ＝１６９）より強さ３であ
る１３個の点を呼び出し、それを集合Ｓ２としてセツト
する。以下同じやり方で強さ３で１３個の点よりなる集
合Ｓ３，Ｓ４，・・・，Ｓｌ３を作る。

・・・，１３）から任意の３点１Ｐｉ，ＩＰｊ，ＩＰｋ
を取つてきたとき、１Ｐｉ，１Ｐｊ，１Ｐｋ（−Ｓ１ま
た １は１Ｐｉ，ＩＰｊ，ＩＰｋ６Ｓｊでない限り、そ
れらの３点は強さ２にはなつているが、必ずしも強さ３
になつているとは限らない。

そこでＳ１υＳｊ（ｊ＝１，２，・・・，１３）のそれ
ぞれの集合に対し、各集合の中から任意の３点を取つ
２た場合、それらが強さ３になつている確率が最も高い
ものをＳｌＶＳｋとして決定する（強さ３である確率が
最大である３次元で、大きさ２７の擬似直交表が生成さ
れたことになる）。

（６） ＳｌＵＳｋ（１Ｓ１１＝１４，ＩＳｋＩ＝１３
）の要 ２素である２７個のＧＦ（１３）を元とする３
次元ベクトル（（５４）式のように新めて定義する。一
般性は失わない）。すなわち２７個のＰＧ（２，１３）
の各点を０ＣＲチエツクデイジツトの重み係数行列の３
次元列ベクトルにセツト ５する。但し、チエツクデイ
ジツト値、Ｃｌ，Ｃ２，Ｃ３は送信時に（１）式に示し
た連立一次合同式により決定されるべきであるので、チ
エツクデイジツト部に相当する重み係数行列Ｂ（２５〜
２７番目の３つの３次元列ベクトル こで構成される）
にセツトする３つの点は必ず強さ３になつているように
、重み係数行列（Ａ＋Ｂ）にＳｌＶＳｋの２７個の点を
セツトするとき工夫する。

以上の（１），（２），（３），（４），（５）は０Ｃ
Ｒチエツクデ ｚィジツト方式における重み係数行列の
特性と考えることができる。

の ＰＧ（２，１３）に基づく重み係数行列の生成例Ｇ
Ｆ（１３）１：．のＰＧ（２，１３）から１１）で述べ
た生成方法に従つて作成した３行、２７列の重み係数行
列（Ａ＋Ｂ）の例をここで明示しておこう。

なお、ＰＧ（２，１３）の１８３個の点及び直線につい
ては省略する。（１） ＧＦ（１３）＝｛０，１，２，
３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２｝であ
る。

（２） ＰＧ（２，１３）の強さ３である集合Ｓ１（１
Ｓ１１＝１４）、及び強さ３である集合Ｓｊ（ＩＳｊＩ
＝１３，ｊ＝２，３，・・・，１３）としては次のもの
がある。

ここではＳｌ，Ｓ３を選ぶ。（Ｕυノ （３） ＳｌｖＳ３より０ＣＲチエツクデイジツト方式
の３行２７列の重み係数行列（Ａ＋Ｂ）を第１図に示す
ように設定する。

（４） ＳｌｖＳｉが強さ３となる確率 一般のＰに対してＳ１リＳ１が強さ３を実現する確率は
、次の式で表わされる。

ｇがガロア体ＧＦＯ））のＯ以外の元として２（１−１
）８（Ｓう２ｇ６ＧＦ（１））の場合ダ＼０ここで１＝
３，Ｐ＝１３を代入すると強さ３を実現する確率は１）
本発明における復元解読能力 本発明における重み係数行列は第１図に示したとおりで
あり、またその重み係数行列の特性としては、（自）の
ＰＧ（２，１３）に基づく生成方法のところで述べたご
とく（１）〜（５）の性質を挙げることができる。

そこで、ここではそのような特性を有する重み係数行列
を利用した場合の受信情報系列中のＲｅＪｅｃｔ文字、
ＥｒｒＯｒ文字の復元解読の処理能力というものについ
て述べてみよう。受信情報系列中のＲｅｊｅｃｔ文字、
ＥｒｒＯｒ文字の復元解読のためには、その論理方式と
しては結局は、復元方程式を解くことにほかならないこ
とについては（）で詳述したとおりである。チエツクデ
イジツト数が（ｎ＝）３であるので、この場合はＲｅｊ
ｅｃｔ文字、ＥｒｒＯｒ文字を含む受信情報系列として
は（）で述べた５つのタイプを考えれば十分である（ｍ
＝３のもとでは、復元解読処理を考えた場合、（）でい
う５つのタイプが限界であるということ）ことについて
も（）で詳述した。なお、これら５つのタイプの受信情
報系列中に存在するＲｅｊｅｃｔ文字、ＥｒｒＯｒ文字
の復元は（）で述べたように、それぞれ（条件１）、（
条件２）、（条件３）、（条件４）、（条件５）のもと
で、復元方程式（自）式、（自）式、（代）式、（自）
式、（５）式を解くことにより達成されるものであつた
。そこでまず、（（自）のところで述べた生成方法に基
づいて生成した（５）の重み係数行列が復元方程式（自
）式、（自）式、（自）式、（自）式、（５）式が解を
有するための（条件１）、（条件２）、（条件３）、（
条件４）、（条件５）をどの程度満足しているかについ
て述べておこう。

この条件の満足度合が、復元解読の処理能力ということ
になる。（１）条件１の吟味復元方程式（自）式が解を
有するための条件（自）式を（５）で示した（表−１）
の重み係数行列が満足していることは、（自）の生成方
法のところで述べた特恒２）より明らかである。

それゆえに、タイプ（１）の受信情報系列に対する処理
能力は１００＃）ということになる。（５）条件２の吟
昧 第１図の重み係数行列は（自）の生成方法の特性（２）
より強さ２になつているので、復元方程式（自）式が解
を有するための条件２を満足する。

それゆえに、タイプ（２）の受信情報系列に対する処理
能力は１００（ｆ）ということになる。０１１）条件３
の吟味 第１図の重み係数行列は（ＮＯの生成方法の特性５より
明らかなように完全に強さ３になつていないので、復元
方程式（自）式が解を有するための条件３を完全には満
足しない。

（５）で述べたように第１図の重み係数行列は強さ３で
ある確率が０．９５１１であるので、タイプ（３）の受
信情報系列に対する復元能力は９５．１１％であるとい
うことになる。４ｖ）条件４の吟味 第１図の重み係数行列はＰＧ（２，１３）のＯ−Ｆｌａ
ｔの性質（定義１参照）及び、（１１１）の生成方法の
特恒２）より強さ２になつているので、復元方程式（自
）式が解を有するための条件４を満足する。

それゆえに、タイプ（４）の受信情報系列に対する処理
能力は１００％ということになる。

（ｖ）条件５の吟味（表−１）の重み係数行列は強さ３
である確率が０．９５１１であるので、復元方程式（自
）式が解を有するための条件を完全に満足していない。

タイプ（５）の受信情報系列に対する復元能力は９５．
１１（：ｆ）ということになる。上述の（１ｋ（１１）
、０１１）、４Ｖ）、（Ｖ）の吟昧の結論として次のこ
とが言える。すなわち、３行、２７列の重み係数行列と
して（１Ｖ）で示す第１図を採用し、その上での復元方
程式（自）、（自）、（自）、（５）、（自）式を解く
ことにより、受信情報系列中のＲｅＪｅＣｔ文字、Ｅｒ
ｒＯｒ文字の復元解読を行なう場合、タイプ（１）、（
２）、（３）、（４）、（５）の受信情報系列集合に対
する限り、その復元解読能力は第２表のようになる。．
ＴＤ本発明における検出能力 今度は（５）の第１図で与えられる重み係数行列を用い
たとき、６ｅｒｒ０ｒ＼″ＲｅｊｅＣビをどこまで検出
できるかを考えてみよう。

ここで考えることは、（）で述べた復元方程式を解く場
合、解いてはいけない場合でもその識別ができず、どの
ような誤動作を起こしうるかということである。たとえ
ばＲｅｊｅｃｔ文字が１ケ所、ＥｒｒＯｒ文字が２ケ所
実際には存在するにもかかわらず、Ｒｅｊｅｃｔ箇所１
ケ所として処理を行いうる場合である。（７）の第２表
中で１０００１）とされる場合のみを復元方程式を用い
て解いたとき、これらの誤動作が起こりうる場合を、Ｒ
ｅｊｅｃｔ数、及びＥｒｒＯｒの生じる数ごとに検討し
てみよう。

（Ｃａｓｅｌ）Ｒｅｊｅｃｔ数００（１−１）ＥｒｒＯ
ｒ数０の場合。

復元方程式で解くまでもなく、（２）式を満足し誤動作
は生じない。

（１−１１）ＥｒｒＯｒ数１の場合。

復元方程式により解ける。

（至）式を満足し誤動作は生じない。（１−１１１）Ｅ
ｒｒＯｒ数２の場合。

重み係数行列は強さ２であり、（１−１）の場合と見な
しうることは生じない。

しかしＥｒｒＯｒの生じている箇所をＪ，ｋとし、その
重みベクトルを１Ｐｊ，ＩＰｋとし、誤差をΔＪ，Δｋ
とするとを満足する△ｌ並びにＩＰｌが存在しうる。

こうした状態が生じうるのはＩＰｉ，ｌＰｋと同一直線
上にある点を重み係数行列中に含み（５７）の関係を満
足するΔ１，ＩＰ１が存在する場合である。

この場合には復元方程式（自）は解けて〜ＲｅＪｅＣｔ
数０１ｅｒｒ０ｒ数１として復元回復を行つてしまう。

（１−１Ｖ）ＥｒｒＯｒ数３の場合０ ｅｒｒ０ｒ箇所をＪ，ｋ，ｌ．ｌ５Ｕそこの重み係数ベ
クトルを１Ｐｊ，１Ｐｋ，１ＰＩとする。

１Ｐｊ，ＩＰｋ，１ＰＩが強さ３であればとなるΔＩ，
ＩＰｉ，ｉ＝Ｊ，ｋ，２は存在しない。

しかし、ＩＰｊ，ｌＰｋ，ＩＰＩは強さ３でなく（５８
）式を満足する場合がある。この場合には（１−１）の
場合として復元、回復を行つてしまう。さらに を満足する１Ｐ１が重み係数ベクトル中に存在すれば、
（１−：ｌ）の場合として復元、回復を行つてしまう。

以下同様にしてＥｒｒＯｒ数４，５・・の場合も議論す
ることができる。

（Ｃａｓｅ２）Ｒｅｊｅｃｔ数１。

（２−１）ＥｒｒＯｒ数０の場合。

復元方程式（自）式により解くことができ、誤動作は生
じない。

（２−１１）ＥｒｒＯｒ数１の場合０ ｒｅｊｅｃｔ箇所ｊ〜ＥｒｒＯｒ箇所ｋとし、その重み
係数列ベクトルを１均，１Ｐｋとする。

使用する復元方程式は（自）でありＪＳｋであれば、を
満足するようなΔｋ（＼０），１Ｐｋは存在しない。

つまり誤動作としての復元回復は一切生じない。

（２−ｉ：ｉ）ＥｒｒＯｒ数２の場合。

ＲｅｊｅＣｔ箇所ｊ？ＥｒｒＯｒ箇所ｋラｌとし）その
重み係数ベクトルを１Ｐｊ，１Ｐｋ，１ＰＩとする。

（自）の復元方程式を用いるからΔＪｌＰｊ＋ΔＫＩＰ
ｋ＋Δ１１Ｐ２＝Δｊ′１Ｐｊを満足するΔＪ′が存在
すれば復元方程式は解けてしまう。

この場合はＲｅｊｅｃｔ数１１ｅｒｒ０ｒ数０として復
元回復を行なう。

以下同様にしてＥｒｒＯｒ数３，４，・・・の場合も議
論することができる。

（Ｃａｓｅ３）Ｒｅｊｅｃｔ２Ｏ （３−１）ＥｒｒＯｒ数０の場合０ 復元方程式（自）を用いて解くことができる。

誤動作は生じない。（３−１１）ＥｒｒＯｒ数１の場合
。

Ｒｅｊｅｃｔ箇所ｊ？ＫｌｅｒｒＯｒ箇所ｌとし、その
重み係数ベクトルをＩＰｊ，ｌＰｋ，ｌＰ２とするΔＪ
ｌＰｊ＋ΔＫｌＰｋ＋△ＩＩＰＩ＝ΔＪｌＰｊ＋ΔＫ７
ｌＰｋとなりうる１ＰＩ及びΔ２は重み係数ベクトル中
に存在しうる。

これは１ＰＪ，ｉＰｋ，１ＰＩが必ずしも強さ３を満足
しないことに起因する。Ｒｅｊｅｃｔ数２、ＥｒｒＯｒ
数０として誤動作する可能性がある。以下同様にしてＥ
ｒｒＯｒ数２，３，・・・の場合も議論することができ
る。

（Ｃａｓｅ４）Ｒｅｊｅｃｔ３の場合〇 （４−１）ＥｒｒＯｒ数０の場合。

Ｒｅｊｅｃｔ係数Ｊ，ｋ，ｌとし、その重み係数１Ｐｊ
，ＩＰｋ，１ＰＩとする。

復元方程式（自）によりΔＪｌＰｊ＋ΔＫｌＰｋ＋ΔＩ
ｌＰＩ＝ＤＩ３はＩＰＪ，ｌＰｋ，ｌＰＩが強さ３であ
る限り解くことが可能である。

強さ３が保証されない場合この方程式は解けない。

誤動作としての復元回復は行わないが、解けない場合が
生じる。

（４−１ｉ）ＥｒｒＯｒ数１の場合 Ｒｅｊｅｃｔ箇所Ｊ９ｋラ１１ＥｒｒＯｒ箇所ｍとし、
その重み係数１Ｐｊ，ＩＰｋ，ＩＰＩ，１Ｐｍとする。

復元方程式（至）を用いて△ＪｌＰｉ＋ΔＫｌＰｋ＋△
ＩｌＰＩ…Ｄｌ３−ΔＭｌＰｍを解く。

これは（４−１）と同様、ＩＰＪ，ｌＰｋ，ｌＰＩが強
さ３である限り解ける。つまり（４−：）の場合Ｒｅｊ
ｅｃｔ数３、ＥｒｒＯｒ数０として解を求めてしまう。
以下同様にしてＥｒｒＯｒ数２，３，４，・・・の場合
も議論することができる。

（至）本発明の評価 第１図の重み係数を用いて、ＳｌｍｕｌａｔｉＯｎＰｒ
Ｏｇｒａｒｒｌにより評価を行つた。

これはＲｅｊｅｃｔ数、ＥｒｒＯｒ数を決め、その桁位
置ＥｒｒＯｒによる誤読コードを乱数により発生させて
、各場合について回復処理の可否を調べたものである。
各場合における回復可及び、回復不可の様子を第３表に
、そして、誤動作の有無を一覧表として第４表に示す。
このシミユレーシヨンの結果は、前述の理論値に近い値
となつている。

第３表の見方は、各場合における回復及び回復不可の様
子を示したものである。

たとえばＲｅｊｅｃｔ数１１ｅｒｒ０ｒ数２の場合〜
Ｒｅｊｅｃｔ数１〜ＥｒｒＯｒ数０として回復された場
合の数が３１、Ｒｅｊｅｃｔ数１、ＥｒｒＯｒ数０とし
ては回復されなかつた場合は７９６９であつたことを示
す。次に本発明の具体的構成例について説明する。

符号１１で示すのはコートジェネレータで、Ｐ種の取扱
い文字（０，１，２，・・・・・・Ａ，Ｂ，Ｃ・・・・
・・）をガロア体ＧＦＯ））の元で代表し、例えば″０
゜”−０，１１′゛＝１，・・・・・・１Ａ”＝１０，
６Ｂ゛＝１１，・・・・・・のようにコード化する。こ
のコートジェネレータ１１はＰが与えられれば、コード
を自動的に割当てる。符号１２で示すものはＯ−Ｆｌａ
ｔジエネレータで、ＧＦ（Ｐ）上の２次元有限射影幾何
ＰＧ（２，Ｐ）を求める。Ｏ−Ｆｌａｔの総数ｖは、ｖ
＝（Ｐ３−１）／（Ｐ−１）＝Ｐ２＋Ｐ＋１個ある。上
記ＰＧ（２，Ｐ）の点は次のようにして求める。即ち、
点ＰｉをＰｉ＝（Ａｌｉ，ａ２ｌ，ａ３ｌ）とし、Ａｊ
ｌｅＧＦＱ））、ただし、ｊ＝１，２，３１＝１，２，
・・・・・・・・・Ｐ２＋Ｐ＋１からＧＦ（Ｐ〕上でｋ
（Ａｌｌ，ａ２ｉ，ａ３ｌ）＝（Ａｌｌ，ａ２ｉ，ａ３
ｉ），ｋεＧＦＣＰ）となる点（Ｋａ，ｉ，ｋａ２，，
ｋａ３ｌ）を排除していく。例えばＰ−１３の場合、つ
まりＰＧ（２，１３）の場合、点（１，２，５）がすで
に登録されていれば、点（２，４，１０）＝２（１，２
，５）や点（３，６，２）３（１，２，５）などを排除
していく。このＯ−Ｆｌａｔジエネレータ１２の具体的
動作を第３図を用いて説明する。

第３図は第２図に示した０−Ｆｌａｔジエネレータ１１
の具体的回路構成を示す図である。第３図において、符
号１２１で示すものはｐ進カウンタであり、初期値は（
０，０，１）で順にカウントアツプし、（１，Ｐ−】，
Ｐ１）になるまで続けられる。１つカウントアツプされ
る毎に比較回路１２２は、登録記憶装置１２３の内容を
読み出し（ＲＥＡＤ）、今Ｐ進カウンタ１２１で作られ
た点（ＡｌＸ，ａ２Ｘ，ａ３Ｘ）がすでに登録された点
（Ａｌｌ，ａ２ｌ，ａ３ｌ）すべてに対してそのｋ倍に
なつているかどうかを比較チエツクする。

（ただし、ｋ−（１，２，・・・・・・，Ｐ−１））も
し、ＧＦ（Ｐ）上で（Ａ，Ｘ，ａ２Ｘ，ａ３Ｘ）＼ｋ（
Ａｌｌ・Ａ２ｌ，ａ３ｌ）ならば（ＡｌＸ，ａ２Ｘ，ａ
３Ｘ）は、登録記憶装置１２３に登録書込みＷＲＩＴＥ
される。そしてＰ進カウンタ１２１がカウントアツプさ
れる。しかし、（ＡｌＸ，ａ２Ｘ，ａ３Ｘ）＝ｋ（Ａｌ
ｌ少Ａ２ｌ，ａ３ｌ）ならば（ＡｌＸ，ａ２Ｘ，ａ３Ｘ
）はすてられ、Ｐ進カウンタ１２１がカウントアツプさ
れる。このようにしてカウント値（１，Ｐ−１，Ｐ１）
まで行なわれると結果的に、登録記憶装置１２３にはＰ
２＋Ｐ＋１個のＰｉ−（ＡｌＸ，ａ２Ｘ，ａ３Ｘ）が登
録されることになる〇こうして登録記憶装置１２３には
、次のようにＰＧ（２，１３）の点が格納される。

登録順の番号を，ｒとすると、これらの登録記憶装置１
２３に登録された点から点の集合Ｓαを求める。

Ｓα−（α＝１，２，・・・・・・Ｐ＋１）のうちα＝
２，３・・・・・・，Ｐに対しては、Ｐ＋２くＩｒく２
Ｐ＋１，２Ｐ＋２≦Ｉｒ≦３Ｐ＋１，・・・・・・Ｐ２
＋２≦Ｉｒ≦Ｐ（Ｐ＋１）＋１のそれぞれＰ個の点から
なるＰ個のグループから、各グループ当り１つづつ点を
取り出す。ここでグループの番号をｊ（ｊ＝１，２，・
・・・・，Ｐ）とすると、Ｓαとしては次式で示す番号
の点を集める。

ただし ｊ＝１，２，・・・・・・，Ｐ またα＝１の場合のＳαは、上式においてα１を代入し
、さらにＩｒ−１の点を追加して求める。

第２図において符号１３で示すのはＳα作成回路であり
、その詳細を第４図に示す。

第４図において、符号１３１，１３４で示すのは、カウ
ンタである。カウンタ１３１はαをカウントし、カウン
タ１３４はＪをカウントする。この両カウンタの初期値
ば１”である。カウンタ１３４のカウント値が゛Ｐ”を
越えるとカウンタ１３１がカウントアツプし、カウンタ
１３４が初期値となる。この両カウンタの動作は、両方
のカウント値が゛ＴＰ′２になるまで続けられる。加算
回路１３２は、カウンタ１３１のカウント値であるαに
＋ｌしてα＋１を計算する。

乗算回路１３５は、カウンタ１３４のカウント値ｊをＰ
倍してＪ−Ｐを計算する。加算回路１３３は、加算回路
１３２の出力α＋１と乗算回路１３５の出力ｊ−Ｐとを
加算してα＋１＋ｊ−Ｐを計算する。減算回路１３９は
、カウンタ１３４のカウント値ｊを−１してｊ−１を計
算する。乗算回路１３６は、カウンタ１３４のカウント
値αと減算回路１３９の出力Ｊ−１とを乗算してｊ（ｊ
−１）を計算する。除算回路１３７は、乗算回路１３６
の出力を２で割つて、Ｎｊ（ｊ−１）を計算する。剰余
回路１３８は、除算回路１３７の出力をモジユールＰで
計算し、−２ｊ（ｊ−１）ＭＯｄＰを求める。加算回路
１４０は、加算回路１３３の出力と剰余回路１３８の出
力とを加算し、α＋１＋』・Ｐ＋（−２ｊ（ｊ−１））
ＭＯｄＰを求める。記憶装置１４１は、加算回路１４０
の出力をＳαに含まれる点の番号として登録するため記
憶する。この記憶装置１４１において、α−１の場合の
Ｓαには、あらかじめ番号１ｒ二１を登録する。第２図
において、符号１４で示すものは係数決定回路である。

この係数決定回路１４では、Ｓα作成回路１３で作成し
たＳαのうちＳ１υＳα′（α′＝２，３，・・・・・
・，Ｐ＋１）が強さ３である確率が最大となるＳα′を
求める。これは前述したように２（α′−１）がＧＦ（
Ｐ）である数Ｓ′の２乗になつているα′を求めること
である。こうして求めたα′に対しＳα′に含まれる点
の番号を取り出し、さらにそれぞれの点の座標を取り出
して重み係数を作り出す。第５図は第２図に示す係数決
定回路１４の詳細を示す図である。

第５図において、符号１５１，１５５で示すものはカウ
ンタであり、それぞれの初期値は１である。カウンタ１
５１はＳ′をカウントし、カウンタ１５５はα′をカウ
ントする。カウンタ１５１のカウント値がＰを越えると
カウンタ１５５はカウントアツプし、カウンタ１５１は
初期値にもどる。乗算回路１５２は、カウンタ１５１の
カウント値Ｓ′を２乗して（Ｓ′）２を求める。剰余回
路１５３は、乗算回路１５２の出力をモジユールＰで計
算し、（Ｓ′）２ｍ０ｄＰを求める。減算回路１５６は
、カウンタ１５５のカウント値α′を−１してα′−１
を求める。乗算回路１５７は、減算回路１５６の出力を
２倍して２（α″−１）を求める。剰余回路１５８は、
乗算回路１５７の出力をモジユールＰで計算し、２（α
５−１）ＭＯｄＰを求める。比較回路１５４は、剰余回
路１５８の出力２（α′−１）ＭＯｄＰが剰余回路１５
３の出力（Ｓ′）２ｍ０ｄＰに等しいか比較する。もし
、等しくなければカウンタ１５１をカウントアツプさせ
同様の比較動作を行なう。もし、等しい場合には、その
ときのα′を用いて記憶装置１４１から対応するＳαの
点番号１ｒを読み出す。次にこの点番号１ｒを用いて登
録記憶装置１２３からその点の座標（Ａ，ｉｒ，ａ２ｉ
ｒ，ａ３ｉｒ）を取り出し、記憶装置１５９に格納する
。また記憶装置１４１に格納されたα＝１の場合のＳα
に対してもＩｒ−１を用いて登録記憶装置１２３からそ
の点の座標を取り出し、記憶装置１５９に格納する。こ
のようにして、記憶装置１５９に格納された点の座標値
が本発明の重み係数となる。以上の方法により重み係数
を発生させることにより、Ｐ進法で表わされた数字系列
あるいは文字系列からなる情報の誤り検出及び訂正を行
う場合にその精度を著しく向土し得るものである。

また、本発明はチエツクデイジツトの数が増えたり、入
力文字列の長さ、及び入力文字数の数に対して重み係数
ベクトルを容易に作り変えることができるものであり、
種々の変更に対して柔軟に付処できるという大きな特徴
を有するものである。

【図面の簡単な説明】 第１図は本発明における重み係数行列の設定例を示す図
、第２図は本発明の一実施例を示すプロツク図、第３図
は第２図におけるＯ−Ｆｌａｔジエネレータ１２の詳細
を示す図、第４図は第２図におけるＳα作成回路１３の
詳細を示す図、第５図は第２図における係数決定回路１
４の詳細を示す図である。 １１・・・・・・コートジェネレータ、１２・．．．．
．０一Ｆｌａｔジエネレータ、１３・・・・・・Ｓα作
成回路、１４・・・・・・係数決定回路。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １ Ｐ種の取扱い文字をガロア体ＧＦ（Ｐ）で代表して
   コード化する手段と、上記ガロア体ＧＦ（Ｐ）上のｍ次
   元有限射影幾何ＰＧ（ｍ・ｐ）の点及び直線を求める手
   段と、この手段により求めたＰＧ（ｍ・ｐ）の点の集合
   より所定の強さを持つ点を選択してＰ＋１個の集合Ｓ＿
   １を得、次に残つた集合から同じ強さを持つ点を選択し
   てＰ個の集合Ｓ＿２を得ると共に同様にして順次Ｐ＋１
   までそれぞれＰ個の集合Ｓ＿３〜Ｓ＿Ｐ＿＋＿１を生成
   する手段と、この手段により生成されたＳ＿１〜Ｓ＿Ｐ
   ＿＋＿１から１つの集合の抽出し、その集合におけるＰ
   ＋１個の点を並べることにより重み係数を得る手段とを
   具備してなる符号チェックにおける重み係数発生方法。 ２ ｍ＝２、ｐ＝１３であることを特徴とする特許請求
   の範囲第１項記載の符号チェックにおける重み係数発生
   方法。