JPS61270636A - 振動解析方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】

〔発明の利用分野〕 本発明は各種の機器の振動応答′（ｉ−解析するシステ
ムに関し、特に、部分構造モード合成法を用いて大形の
複雑な構造物の動的応答金高精度で計算する振動解析シ
ステムに関する。 〔発明の背景〕 構造物の振動特性ｔ−ｉｔ算によって予測しようとする
とき、高層ピルや、大形船舶を、梁要素でモデル化して
振動計算を行なう方法がある。この方法では、モデル化
するときに、構造振動についての縮度の知鍼や経験によ
るノウノ１つが必要となる。 そこで、実際の構造物や機械を、有限要素法による三次
元シェル要素やソリッド要素など金相いて、できるだけ
あるがままの形状ＶＣモデル化して計算機シミュレーシ
ョン全行なう方法が採用されつつある。この方法では、
解くべき方程式が大規模になるので、現在の大型計算機
でも解くのが困難になる場合がある。こｎに対しては、
部分構造モード合成法と呼ばれる方法（例えば、昭和５
４年９月、科学技術出版社発行、Ｋ、Ｊ−Ｂａｔｈｅ　
、　Ｅ−Ｌ−Ｗｉｌｓｏｎ著、菊地文雄訳、有限要素法
の数値計算、Ｐ４５６〜Ｐ４５８に開示）によって計算
機容量の不足は補うことができる。しかし、この方法で
は、固有振動数及び変位の応答は比較的、高精度で求め
ることができるが、強制力にょる振動応力が精度良く求
められない場合があった。 〔発明の目的」 本発明の目的は、大形あるいは複雑な構造物に対し、振
動応力まで精度良く予測する部分構造モード合成法によ
る振動解析シスデム全提供することＫある。 〔発明の概要Ｊ 本発明の特徴は、部分構造モード合成法において、全体
系の変形’ｔＰ現するために用いる拘束モードと規準モ
ードの他に、外力の作用によって生じる変形モードも考
慮することによって、精度を向上させるようにしたもの
である。 〔発明の実施例」 以下、本発明の実施例全図面全参照して説明するＯ 第１図は本発明による振動解析システムの一例を説明す
る概略フロー図であり、第２図は本発明で用いる一般化
座標を従来法と比較して示した図である。こ往らの詳細
な説明に先立って１本発明で用いられる部分構造モード
合成法及び外力項を考ｊｔ、　（−た一般化座４Ｂつい
て説明する。 大規模系について部分構造モード合成法を用いて振動計
算する手法については、多くの方法が提案さ扛ているが
、本発明はＣｒａ　ｉｇ　−Ｂ　ａｍｐｔｏｎ　（１）
　方法を基礎にしている。この方法について、以下説明
する。 連続体金弟３図のように有限要素でモデル化すると、そ
の運動方程式は。 ＬＭ）（１十［Ｋ］ｉｎ＝　（ｆｌ・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・（１）となる。ここで
（Ｍｌは質量マトリックス、［Ｋ］は剛性マトリックス
、（ｌは加速度ベクトル、（ｕｌは変位ベクトル、（ｆ
ｌは外力ベクトルである。減該項は省略しである。（１
）式に対して、−膜化変位（Ｑ）を導入し、 ｌＪ＝［Ｆ）（ＱＪ・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・曲・曲（２
）の変数変換を行ない、左から［Ｆ］Ｔｉがけると、［
ｒ］Ｔ［ＭｌＩ：Ｆ）（４ｊ　＋（Ｆ）Ｔ［Ｋ］［Ｆ）
（ｑ）−〔γ）”（ｆｌ・・・・・・・・・・・・・・
・（８）さらに、 ＣＭ’］＝ＣＦ］“［Ｍｌ（Ｆ）・・・・・曲・・・・
・凹曲・・・・・ｆ４）［Ｋ”　］＝（！／’］Ｔ［Ｋ
］［Ｆ］・・・曲・・・・・・・・・・曲・・聞（５）
ｉｒｌ　＝　（＋／’）Ｔ（ｆ）・・・・・・・・・・
・・曲・・・・叩・曲・・・・・・・・・（６）とおけ
ば、（８）式は 〔Ｍ″月旧＋［Ｋ’）　（ｑ）　−（ｒ）・・・・・・
・・・・・・・・・（７）と誓ける。ここで、（％’）
は（”）と（ｑＩについて一対一に対応する変換金考え
る正方マトリックスである。（′０式を解いてＩＱＩ　
’ｅ求め、（２）式の変数変換で元に戻せば、求めるべ
き解（ｕ）が得られる。 （２）式は単なる変数変換であり、しかも一対一に対応
する変換であるということ、及び、左から［％Ｉ’］′
ｒをかけることは元の連立方程式に対して係数をかけて
足し合わせて別の一組の連立方程式全作ることであると
いうこと、のニつ全身えれば（１）式を解く代わりに（
′ｒ）式を解いて（２）式で元に戻しても全く同じ解が
得られる。したがって、問題は、［Ｆ）として何を用い
れば計算の精度や効率の点から有利になるかということ
である。 第３図の有限要素モデルの節点を二種類に分ける。一方
は・印で示す点で、こｎｔ境界点と呼ぶ。 他方は・印で示す点で、これを内部点と呼ぶ。モデル全
体は境界点で区切られ、この例では３個の部分に分けら
扛る。〔ｖ〕として第４図に示すような形のものを用い
る。〔ΦＧ〕は拘束モードで、境界点の各自由度につい
て、その自由度以外の全境界点の自由度を拘束して、そ
の自由度に単位址の強制変位金考えたときの変形モード
であり、境界点の自由度の個数だけ存在する。〔ψＮ〕
は規準モードで、境界点全すべて拘束した時の固有振動
モードであり内部点の自由度の個数にけ存在する。 ［Ｆ］は正方マトリックスである。第３図の全体モデル
で、境界点、内部点を■〜■のようにまとめて、それぞ
れに対応した拘束モード、規準モードをまとめて並べれ
ば、第４図に示すように、マトリックスの中に全成分が
零の部分マトリックスができる。 次に、方程式を境界点の方程式と内部点の方程式に分け
、前者にＢ、後者に■の添字金つけて表わすと、（１）
式の運動方程式は、 （２）式の変数変換は、 となる。右辺のｕＢはｑＢと表わすべきものであるかも
しｎｆｘいが、左辺の１＋Ｂと同じ値になるので同じ記
号音用いた。ｑＮは規準モードに対応する一般化変位で
ある。ＥＶ）は であるが、上半分が■Ｂ、０となることは拘束モードと
規準モードの定義から明らかである。ただし、■”は単
位マトリックスである。 （４）式の〔Ｍ″〕は、 ＣＭ’ｌ　＝　（ＦｌＴＩ：Ｍ］　ｕ’３・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・αυ（５）式の〔Ｋ″〕は ［Ｋ′］＝［Ｆ）Ｔ［Ｋ］　（Ｆ） ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・０３となる。ただし、ここで拘束モード〔
ΦＧ〕が（Ｋ”Ｊ［Φｏ」十（ＫＩＢ）−［０］・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・Ｑ３を満た
すこと全利用した。拘束モードは０１式で、（Ｋ’Ｊと
（ＫｌＢＪを与えて計算［、でいる。（６）式の一般化
荷重ベクトル（ｑＪは、 （ＶＪ　＝ＣＦ）Ｔ（ｆ） 第５図は、以上の結果を用いて（７）式の運動方程式の
マトリックスの形を図示したものである。規準モードは
境界点を固定した時の固有振動モードであるから、固有
モードの直交性より、〔ΦＮ）ＴＣＭ”３［、ΦＮ〕及
び、［ΦＮ］Ｔ［Ｋ”）［ΦＮ〕は対角マトリックスと
なる。さらに〔ΦＮ３　ｋ　ＣＭ”　）で正規化して〔
Φｓ３Ｔ（Ｍ”）ＣΦＮ）を単位マトリックスにすれば
〔Φｓ〕”（ＫＸＩ］［ΦＮ〕の対角成分は、各規準モ
ードに対応する固有角周波数の自乗となる。その部分を
〔Ω２〕の記号で示す。第５図で、マ）　ＩＪソックス
各成分が零にならない部分をハツチングで示した。剛性
マ）　ＩＪソックスついては、（ロ）式で求めたように
、内部点の方程式と境界点の方程式の達成の部分は零と
なるが、質量マトリックスについては、０９式で求めた
ように、零とはならない。 この式で全部の方程式を考慮すれば、元の（１）式を解
くことと同じであるので、両者の結果は一致するが、そ
れでは計算の効率は向上しない。そこで、Ｃｒａ　ｉｇ
−Ｂａｍｌ）ｔＯｎの方法では規準モードのうち、低次
のものだけを残して、高次の規準モードを省略して自由
度ｒ縮小する。剛性マトリックスについては、第５図で
示したよりに高次の規準モードに対応する方程式は他の
方程式と連成していない。 一方、質量マトリックスについては、高次モードでは質
槍項の影響は小さいと考えられるので、高次モードが拘
束モードと連成する部分を無視しても影響は小さい。し
かし、荷重項については、０１式のΦ／（Ｉのうち高次
の規準モードに関する部分を省略することになるが、こ
の部分が零ではないので、強制振動応答を求めようとす
るとさ、モーダル解析で高次モードを省略したときと同
様の問題点が残る。この点金解決しようとするのが、本
発明の目的である。 次に、外力項を考慮した一般化座標について説明する。 従来のモーダル解析で強制振動に対する応答の計算精度
を向上させるために、最近、第６図に示すような一般化
座標［％”）が提案されている。（Ｆ］ハＣ＜１）ｔＪ
、　Ｃ’／ｒ３　、［Ｆｂ）　カラ成ル。 〔ψｔ〕は低次のｐ個の１ｍｌ有ベクトルを列ベクトル
とするマトリックスである。ＣｖＩｒ）と〔Ｖ、〕は、
〔し〕金零とし、剛性項について非達成となるように定
めたトリックスである。［％’ｒ）は荷重ベクトルの個
数ＬＫ等しい個数の列ベクトルから成る。 口へ］は％（ｎ−ｐ−ｔ）個の列ベクトルから成る。 ここで、ｎは系の自由度の個ｅすなわち方程式数である
。そのように定めると、〔Φｔ〕はＣＭ）に関して（ｖ
／ｒ　）　、［Ｆｈ　］と連成しなくなる。実際のＮＦ
簀では、〔れ」は計算する必要はない。第７図は上記の
ような一般１ヒ座標の計算方法である。 既に述べた部分構造モード合成法を用いて強制振動の計
算をするとき、従来のモーダル解析の場合と同様の問題
点があることを述べた。この点について第２図を用いて
説明を追加する。第２図は第３図のうち＃１の部分１１
１造に関係する部分だけを示した図である。従来法では
、高次の規準モードに対する一般化荷重ｙｈＮが零では
ないのに、高次の規準モードを省略しているので、特に
超装素の内部に荷重か加わったときの応力の計算値が不
正確になる恐扛がある。こ７′１５に対し、本発明では
低次の規準モード（ΦＮｌ］に加えて、篩次の規準モー
ドの代わりに〔ψＮｒ　］とＣＦＮｈ　）とから成る一
般化座標を１−０となるように定める。これは、第２図
に示−ｔような一般化座標であり、芙際のｄｔ算では［
（１”ｒｉｂ）は省略する。この一般比座像？用いるこ
とにより、上目己の従来法の欠点全解消することができ
る。 次に、ｒ、　ＷＮ、　Ｊと［ＦＮｈ　）がどういうもの
であるか會詳しく説明する。 今、考えている超要素の要素荷重ベクトルとして用ｔｒ
べき荷重ベクトル金（Ｆｅ＋　）　　（＋　＝　１　＋
　２＋・・・・・・、１）とする。この１ＦｅｉＪに対
して、境界点全固定して靜解析金する。すなわち、 （Ｋ”　）　ｌ　’Ｉ　Ｊ−（Ｆｅｉ　Ｊ・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ＣＪＱこれ
ケ解いて得ら扛る（ｕｊｌ（ｉ−１，２＋・・・・・・
、１）全〔ΦＮ４．］と［Ｋ”）について直交させる。 さらにそのｔ個を互いに［Ｋ１１）について直交させＣ
Ｍ”］で正規化して得られるベクトル金列ベクトルとす
るマトリックスがＣ％’Ｎ「）である。従って、　　（
ＦＮ、］は、 ＣＦＮ、　）”　ＣＫ”　］　ＣΦＮｚ）−（０１・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ＱＱ（
Ｆｓｒ）Ｔ［ＫｒＩ］　（Ｆｓ、）　−［ΩＮｒ２］・
・・・・・・・・・・・・・＝＝　０７１？満足する。 〔ΩＮ、′］は対角マトリックスである。〔ΦＮｔＩは
境界点金固足した時の固有ベクトルで〔Ｆｓ【）は〔Φ
Ｎｔ）に対して〔Ｋ１１］直交させたものであるから。 （’ｌ’Ｈｒ　３　”　ＣＭ”　）　（ΦＮｚ）　＝　
［０１・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・Ｑ→（！ｌ：　ｌｘ　ル＋ｙ　（’Ｎ、）　ノＬ　個
ノ列ヘクトルが、（ＭＩＩ］について必ずしも直交して
いる必要はないば、第７図の方法では、直交化させてし
まっている。 ［’Ｊ’Ｎｈ　）　Ｋ　ツイテＩｄ（、［Ｋ”）ｌｃつ
いて〔ΦＮｔＩＩ〔ｖ／Ｎ、」と直交し、また、それら
相互も（Ｋｌｌｌについて直交するベクトル全用意する
ことができる。 すなわち、（ＦＮｈ）は （ＦＮｂ　　）テ　（Ｋ’夏　〕　〔ΦＮｔ　）　　−
［０１””””””””””””　”（Ｆｓｈ　）丁（
Ｋ”　）Ｃ’Ｊ’Ｎｒ］　−［０）・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・に）［ＷＮｂ　）”　
［Ｋ”　〕［ＰＮｉ　）　＝　（ΩＮ♂）・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・（ハ）ヲ満たす。ここで
〔ΩＮ、２〕は対角マトリックステある。以上のように
して得られる（ＦＮ−については。 （’ｓｂ　）Ｔ（Ｆｅ＋　Ｊ　＝　（０）　（ｉ＝１　
＋　２　＋　−−１ｚ＞・ｅａとなる。従って、第２図
（ｂ）の［ｒｈ）は

〔０〕になる。 （ＭｌＪについては、 （’ｉ’Ｎｂ　３Ｔ［ＭＩ”　］　［ΦＮｔ］−

〔０〕
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・＠とな
るが、 ［ＦｓｈｌＴ（Ｍ１１］〔ｖＩｓｒｌ−［０］・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・（至）である。 以上のようにして、座標変換後の方程式全第２図のよう
な形にする座標変換マトリックス〔ψ０ΦＮｔ　’ｉ’
Ｎｒ　ＦＮｈ　）が存在する。ただし、実際に計算する
必要があるのは、Φ０．ΦＮｔ＋　’Ｎｆまでで、ＦＮ
ｈについては計算不要である。 以−Ｆに述べた一般化座標の計算方法は第７図に示す従
来のフローをその−ま゛ま用いること力呵能である。前
半はサブスペース法による固有値解析でｐ個の固有ベク
トル（規準モード）が求められる。 次に得られたｐ個のモードと、ＱＱ式の要素荷重ベクト
ルｌＦ’ｅ＋）（１＝ｌｔ２１”””１ｔ）ｋ合わせた
（ｐ＋ｔ）個を列ベクトルとするマトリック〔Ｙａ〕を
用意する。そして、 ［Ｋ”］（Ｘａ］　＝　（Ｙａ）曲・１曲・・・・・・
・・・・・・・・・・・噂を解き、［Ｘａ］を得るっこ
の〔又１金用いて［ＭＩ’〕、　［ＫＩＩ）全部分空間
に縮小する。部分空間での剛性マ）　ｌ）ックス〔丸Ｊ
は （Ｋａ）　＝　［ｘａ］ＴＣＫｌｌ　）　［Ｘａ）　”
””曲−−−曲・−・＠であるが％（至）式を考慮して ［Ｋ、　）　−〔Ｘ、　）Ｔ　［Ｙａ）・・曲・・曲・
・１曲・・・曲・・・・・・・・曲＠によって計算でき
る。部分空間での質ｔマ）　ＩＪソックスＭａ）は ［Ｍａ　）　＝　（Ｘａ　）Ｔ［Ｍ”　）　（Ｘａ　］
・・１曲曲・・・・・・・・曲・・に）ｃ’Ｒａ］、〔
Ｍ、〕について、部部分量での固有値問題 ［Ｋａ）　［Ｑａ　］　＝　［Ｍａ）　［Ｑａ］　（Ｏ
Ｊ　］　・＝曲＝曲曲（４を解いて［Ｑａ］を求める。 最終的に［ΦＮｔ　％Ｆ、、　］が 〔ΦＮＩ　ＦＮｒ　）　＝　（ＸＢ　）　ＣＱＢ　］　
叩・曲・・卵重・曲・・・・・（至）として計算される
。さらに、元の空間での要素荷重ベクトル〔Ｆｅ３から
、拘束モード、ＪｌｔＪモー）’で変換（−だ空間での
要素荷重ベクトル（Ｇｅ）が、［Ｇｅ）＝（ΦＮｔ　ｖ
／ＮＪ　Ｔ（Ｆｅ）・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・ｃ３１）で得ら扛、こ扛はＵ◆式の右辺の上
半分に相当するものである。上半分は別に計算して、両
方全台わせ−Ｃ５通常の有限要素の等側部点荷重にあた
るものとなる。さらにスツルム列法により低次の規準モ
ードで欠落したものがないかどうか全チェックする。固
有ベクトルとしてのエラーノルムの計算も、同様にして
行なう。 次に、本発明の部分構造モード合成法による振動解析シ
ステムの一例全第１図に示す概略フロー図により説明す
る。各超要素について１〜７の各処理全行ない、超要素
マトリックス全作成し、ファイルＡに出力する。その結
果を要素データとして要素マトリックス作成（座標変換
）９で読み込み、全体系のＨＦ算金行なう。規準モード
１算５と固有値計算１２の部分が、本発明では第７図の
外力項を考慮した一般化座標の計洒に置き換えられる。 本発明の一般化座標を、従来のプログラムに導入しても
、そのプログラムの構造は何ら、乱されることはないと
いう特長もある。 本発明の効果を門形フレームについて示す。第８図はモ
デルの諸元である。この門形フレーノ、は、縦弾性係数
ｉｆ　２　Ｘ　１０１’Ｎ／ｆｆＩＩ＋密度ρが５ｏｏ
。 却／−９断ｌ＠積Ａが１０−’ｎ？　、断面二次モーメ
ント■が１０−８ｍ４であり、長さ５ｍのフレーム全１
つの超要素に１〜、全体は３個の超要素で構成される。 そして、ｘ、　ｙ、　ｚ方向に変形する３１節点、８７
自由度をもつものである。ここでは、ｙ−ｚ曲内の変形
のみ考えた。このモデルについて第１表に示すようにＡ
、Ｂ、Ｃ，Ｄ、Ｅの５櫨類の計算条件で計算した。荷重
ベクトルは、ｙ及び２方向への地動加速度人力用のベク
トル、０点への集中荷重の３個のベクトルについて一般
化座標を計算した。計算条件Ｂ−Ｅについて一般化座標
の計算給米を第２表に示す。ベクトル＆、１〜５は固有
ベクトルであり、その固有振動数は１３〜Ｅのいずれの
計算条件でもほぼ同じである。固体ベクトルのエラーノ
ルムけ、計算条件Ｂでは１０−３以下、計算条件Ｃ〜Ｅ
では１０−４以下で十分小さくなっている。外力項のエ
ラーノルムは、本発明を採用しない計算条件Ｂでは、か
なり大きくなっているが、計算条件Ｃ−Ｅでは十分小さ
くなっている。ただし、計算条件ｌ）では超要素化する
時点で要素荷重ベクトルを正確に表現できていない。 第３光は、０点に集中荷重全卵えたときの過渡応答の＃
′Ｆ算結釆である。計算条件Ａは全モードを考慮した場
合で、こｔ′Ｌを正解と考える。上段は変位（ＩＴ！＝
１）である。計算条件Ｂでは０点の変位の誤差が計算条
件Ａに対して２チ程度あるだけで精度は良い。中段は曲
げモーメント（ＫＮｍ）である。 本発明を採用しない計算条件Ｂでは、誤差が計算条件Ａ
に対して最大１７％で精度は良くない。超要素を使って
、規準モードに関して本発明全採用しない計算条件１〕
では、誤差が計算条件Ａに対して最大で４％である。計
算条件Ｃ，Ｅは、いずれも誤差は計算条件Ａに対して０
，４チ以下である。 下段は剪断力（ＫＮ　）である。計算条件Ｂでは、計算
条件Ａに対して最大４９チもの誤差があり、計算条件り
でも計算条件Ａに対して２４チの誤差があるが、本発明
を用いた計算条件Ｃ及びＥでは、計算条件Ａに対して１
チ以下の誤差である。 以上の結果から、超要素を用いない場合には、固有ベク
］・ルについて本発明全採用した計算条件Ｃでは精度が
良い。又、超要素を用いた場合には、超要素を定義する
ときの規準モードについてと、全体系の固有ベクトルに
ついての両方で本発明を採用した計算条件Ｅでは精度が
良い。これらに対し、超要素金用いない場合、固有ベク
トルについて本発明を採用しない計算条件Ｂでは精度が
悪い。 又超要素を用いた場合には、全体系の固有ベクトルにつ
いて本発明を採用しても、規準モードについて本発明を
採用しないと、計算条件りに示したように精度が悪い。 ただし、計算条件Ｂよりは良いという結果である。 〔発明の効果〕 本発明によれば、部分構造モード合成法において、外力
項に対し欠落する部分が無いような一般化座標を用意し
て計算できるので、変位だけでなく応力についても高精
度の値を得ることができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の振動解析システムの一例を説明する概
略フロー図、第２図は本発明で用いている本発明で用い
られる部分構造モード合成法全説明する図で、連続体全
有限要素でモデル化した図、第４図は第３図に示す有限
要素モデルに用いられる正方マトリックスＩＦ＋を示す
図、第５図は変換された運動方程式のマトリックスの形
を示す図、第６図は外力項を考慮した一般化座標の説明
図、第７図は外力項全考慮した一般化座標の計算方法の
一例を説明する概略フロー図、第８図は本発明の詳細な
説明する計算例のモデル図である。 １４・・・固有振動モード、１５・・・外力の影響を考
慮したモード。 オ　２　図 二　ロニー＝５−二二コ ○　ｅ　（ハ）■　（（ハ）【・（− ―　　　・ 才　■　圏 才δ囚 ｖｔ

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、全体構造をいくつかの部分構造に分割し、各部分構
   造の動特性を求めたのち、それらを合成して全体構造の
   振動解析を行なう振動解析システムにおいて、全体構造
   の変形を表わすモードと、各部分構造の変形を表わすモ
   ードを用い、前記各部分構造の変形を表わすモードとし
   て固有振動モードの他に外力の影響を考慮したモードも
   加えることを特徴とする振動解析システム。 ２、全体構造の変形を表わすモードとして、固有振動モ
   ードの他に外力の影響を考慮したモードも加えることを
   特徴とする特許請求の範囲第１項記載の振動解析システ
   ム。