JPS6388687A

JPS6388687A - 描画方法および描画装置

Info

Publication number: JPS6388687A
Application number: JP23508486A
Authority: JP
Inventors: Norio Akamatsu; 則男赤松
Original assignee: JIYASUTO SYST KK
Current assignee: JIYASUTO SYST KK
Priority date: 1986-10-01
Filing date: 1986-10-01
Publication date: 1988-04-19

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】［産業上の利用分野］本発明は、主とじてに画像の高速描画に閏する。

本発明の描画方法は加Ｗ、とシフトだけの整数型演算ｃ
４二より抽［：１１値を求めることができ、しかも並列
処理が可能であるので、画像のｉ５速描画に適する。

浮動小数点演算を用いた補間法よりも数百倍の高速処理
が可能であり、ハードウェア化と並列処理ζこより千倍
以上の高速処理も可能である。この特徴を生かし、以下
の分野に適用すると従来の手法では得られない程の高速
処理がｉｉＴ能である。

（１）ウェーブフオームグラフィックスへの利用アナロ
グ信号にＡ／Ｄ変換を施してディジタルで記憶し、ディ
ジタル信号処理プロセッサ等を用いてデータを処理して
、画面に描画することをウェーブフオームグラフィ・ソ
クスと言う、Ａ／Ｄ変換の速度と記憶容量の大きさの制
約等によりデータ収集のサンプリング間隔を短くするこ
とには限界がある。従って、高速に変化する波形を人力
のサンプリング間隔て表示すると画面上の点の数が少な
い場合があるので、補間法等によりサンプル点以外にも
多くの点を求めて表示する必要がある。

スプライン関数を用いた補間法は計算時間を多く必要と
するのて、リアルタイツ、の処理ここ適していない。測
定各と機器とのコミュご、ケーション（：二おいて高品
位の波形が瞬時くこ表示されることは必要である。従っ
て、この描画方法をハードウェアで構成し、これを用い
て並列的に処理する描画装置を構成することによりサン
プル点とサンプル点の間に多くの補間点を求めると、極
めて）、り時間で高品質の画像を描画することができる
。

（２）コンピュータグラフィックスへの利用高速ζこ画
面を処理し描画することができる。

レイトレーシングの画面を拡大して表示する場合も画面
を表示できる。例えば、４倍に拡大１ノ細かい部分を見
ようとする場合に、この描画方法を２度適用し中間点と
更に中間点を求めることにより、高速かつ高精度の画面
の描画が可能ζ、二なる。

医療画像とじて、脳波や心電位等の分布状態を等電位線
で表示する。これらの画像は動的に変化するので、高速
の画像処理技術を必要とする。

工業計測の分野では温度や圧力等の分布のリアルタイム
表示にもこの描画方法を利用することができる。

（３）ＣＡＤ／ＣＡＭへの利用画像の一部分を拡大して描画すれば高精度の両面が表示
できる。単純に画面を拡大すると画素が荒くなり、画質
が劣化する。この劣化を防ぐためにこの描画方法を施（
）て補間値を求めうど、高速にしかも高精度の拡大図を
描画することができる。

複雑な形状になると多数の点にディジタイザや′、３次
元ｉｒす定器を用いて（Ｘ、Ｙ、Ｚ）の座標を与え、そ
れらの点をこの描画方法を用いて滑らかに結ぶことによ
り形状を表現する。あるいは複数個の点を与えてワイＡ
・−フレームモデルを作成し、それにこのｉＷ画方法を
適用してサーフエース機能を付加して自由曲面を構築し
、射出成形のための加工データを生成する。

（１）コンパクト　ディスクの出力への利用コンパクト
　ディスクの出力は通常１６ビツトのデータである。Ｄ
／Ａ変換を行って出力する前に、本発明の描画方法を用
いてサンプル点の間に補間点を求めて、高品質のアナロ
グ出力を作る。

これにはリアル・タイム処理を必要とするのでソフトウ
ェアで実現するには速度の点で不可能である。本発明の
描画方法はハードウェア化と並列演算により高速に描画
結采を出力するのて描画データを信号として取り出すこ
とができる。

（５）ＸＹプロッタへの出力への利用数値制御において詳細な補間データを生成するためにこ
の描画方式により構成されたデータを用いる。

（６）画像等のデータの圧縮に利用本発明の描画方法を適用して画像等の描画データを圧縮
して伝送あるいは記憶して、後にこの描画方法を用いて
描画データを高速ζ、τ（９元することができる。この
描画データ圧縮法を以下に説明する。

等間隔に並ぶ点列Σを（：￥Ｉ＋Ｘ２＋　　・・・、Ｘ
１、）とｌへ各点に対するデータ値をｇ（ｘ、）、　　
（１””　１　＋　２　＋　　’　”　’　＋　　ｎ　
）とする。ｍ−周１！Ｉ’ｍ（ｍ二２に；ここに１（は
？！敢である。）の点列Ωを（Ｘ　ｉ＋　Ｘ　ｊ＋ＭＩ
　Ｘ　ｉ”２．＋　　ａ　’　・！　　Ｘ　、−、、Ｉ
）とする。ただし＋、　　１　＋　Ｊ　ｍｓ　ｎである
。

点列Ωの各点乙こ対応するデータ値にこの描画方法を適
用して、点ダリΣから間引かれた点に対する補間値をｈ
　（ｘ；）、　（ｉ＝１．２．　　・−＊、ｎ）とする
。当然のことであるが、点列Ωの各点に対してはｇ　（ｘ；）　＝ｈ　（ｘ、）である。このとき、点列Σの各点に対してＩｇ　（ｘ：
）　−ｈ　（ｘ：）　＋　＜　ｃ　。

（１＝１．　２１　　φψ・ｔｎ）ならば、εの誤差の範囲内で復元可能なデータ圧縮を行
うことができる。点列Ωのデータのみを保存すると、デ
ータの圧縮率はｔｎ分の１になる。

このデータ圧縮法は復元に要する時間が極めて短時間で
あることおよび局所的に復元されることを特徴とするの
で、ＣＡＤ／ＣＡＭなどにも適用可能であり実用性が高
い。制約条件として、データの圧縮率は２のべき動であ
るが、この条件は実用上のは障害とはならない。むしろ
、２のべき刺毎のデータはＦＦＴ等の処理およびメモリ
との対応関係が取り易いので、好都合であるゆ従来、多く用いられていたスプライン補間法の欠点であ
る低速性と振動現象による補間精度の低下をもたらさな
い新しい描画データの補間法を開発した。急激に変化す
るデータに対しても振動現象を起こさないように局所的
データに基づいて補間曲線を求めた。補間精度を向」二
さぜるために、最適な條正竜を実験的に決定した。幸い
なことに２へき剰のイ」近に鋒正子の係数の最適値があ
るので、ディジタル演算を非常に高速化することができ
た。

コンピュータ　グラフィクスにおいては数学的な連続性
の条（′ｔも重要であるが、離散的な画素に対しては視
覚的に自然な描画データを得ることが最大の課題である
。補間法は本来コンピュータグラフィクスの主役ではな
く、画像を細かく表示するための補助的手段である。従
って、従来の補間法のように直交関数を決定し、次に補
間値を求める間接捕間法は最適な手法とは言えない。多
項式やフーリエ級数を用いた補間法により曲線を表示す
ると、たわみによる振動現象により、不自然な曲線表示
になる場合がある。これを改善するためにスプライン補
間法が開発されたが、データによっては不自然なオーバ
シュートが発生する。これを改良するために、Ａｅｋｌ
ａｎｄによりＯＳＣＩＪ　ｌ　ａ　ｔ、　ｏ　ｒ　Ｖ補
間法が提Ｉされたが、計算時間も長く、１１＝０も少し
発生する。Ａｋｉｍａの論文によると、局所的に多項式
の係数を決定することにより、殆ど振動が起きず、しか
も視覚的に自然な結采の得られる補間法を開発した。し
かし、Ａｋ目ｎａの方法は浮動小数立消１１を必要とす
るので、計算時間を多く必要とする。７ｉｌｉ間すべき
点に近い既知点のデータに重点をおき、関連性の薄い点
の情報を考慮しないので、局所的手法の方が振動的誤差
の少ない補間データが得られる。種々の描画データに対
して補間１１１正子の係数へが１０以下では急激に補間
による誤差が増加するが、１０から２０の間で補間精度
が非常に向」ニする事が発見されたので、この描画方法
は簡単なアルゴリズムであるが、コンピュータ　グラフ
ィクスへの適用性が高く実用性がある。

［従来の技術］ＸＹ平面」−の描画する曲線をパラメトリック表示する
と、　　Ｘ　＝Ｆ　（ｍ）　、　Ｙ＝Ｇ　（ｍ）となり
。

ここにｍはパラメータである。ＸＹＺ空間」二の描画す
る曲面をパラメトリック表示すると、Ｘ二Ｆ（ｍ）、Ｙ
＝Ｇ　（ｔｎ）、Ｚ＝Ｈ（ｍ）となり、ここに［Ｔ１は
パラメータである。ところで、計Ｗｍ内で生成されたデ
ータあるいは実測値等の離散データを順に並べて点列（
ｘ：＋　ｇ　（：Ｙ：））（ｉ＝１゜・・・、ｎ）を構
成する。パラメトリック表示法を適用すると、任意の点
列は一価の点列の集合に変換されるので、一般性を失う
ことなく（ｘ；２ｇ（Ｘ、））を−価であると仮定する
。従って、各点Ｘ１に既知データｇ　（ｘ、）が対応す
る。区間Δ、＝［ｘｔ＋　Ｘ；−＋）　！　（１＝１＋
　・・・Ｈｎ　　１）を補間区間とし、補間区間Δ、に
ある任意の点をＰｌとする。ｇ　（Ｘ、）ｌ　　ｃｉ＝
１．　　・・・＋ｎ）が与えられたとき、点Ｐ、におけ
る補間（ｌｆｉｆ（Ｐ：）を求める事を捕間あるいは曲
線創成と言う。

補間値を決める手法は直接捕間法と間接捕間法に分類さ
れる。　直接補間法の場合は補間すべき点の近傍にある
既知点におけるデータに基づいて補間値を直接算出する
ことができる。大域的な様子とは関係なく局所的な領域
にあるデータに基づいて補間値を決定するので、並列演
算を行う事も可能である。間接補間法を用いると補間値
は２段階で決まる。最初に、既知点を通過する曲線の多
項式の係数を算出する。次に、決定された関数に補間点
の座標を代入して補間値を決める。多項式の係数を局所
的に決定することは困難であるので、並列演算には適さ
ない。

間接補間法においては、既ｙロデータｇ（Ｘ：）。

（ｉ＝１．　　・・・、ｎ）に基づいてｍ個のパラメー
タφ＋（ｉ＝ｔ＋　　・・・、ｍ）を決る。ここに、φ
１は補間関数の各項の係数である。すなわち、ｎ個の方
程式％式％を解く必要がある。間接補間法にはラグランジェ補間法
、スプライン補間法等がある。ラグランジェ補間法の場
合はｍ＝ｎであるが、３次の多項式を用いたスプライン
補間法ではｍ＝ｎ＋２である。

この場合には、未知数の数よりも方程式の数が少ないの
で、自然スプライン条件等の端条性を２個導入して、ｍ
個のパラメータφ、　　（ｉ＝１．　　・・・、ｍ）を
決定する。次に（φ２．φ２．・・・。

φ、）によって決まる関￥Ｌ中にＰｌを代入して、点Ｐ
、の補間値はｆ　（Ｐ、）　＝　Ｖ　（Ｐ、　；φ７．φ２．・・・
、φ、）により求られる。

間接補間法には次の欠点がある。

間接補間法を適用するとｍ個の未知数を含む方程式を解
くので、これを解くにはｍ２に比例して演算回数が増加
し、計算時間を多く必要とし計算効率は低下する。また
、ＣＡＤプログラム等ではデータ点の靜大数に制約があ
る場合もある。さらに、方程式を解く際には浮動小数点
演算を行うので、丸めの誤差の影響と計算時間を多く必
要とする等の難点がある。

間接補間法を用いると、全補間区間のデータに基づいて
ｍ個のパラメータφ、　　（ｉ＝１．　　・・・。

ｍ）が決定されるので、捕間点から充分に通れたデータ
点の影響を受ける。従フて、データが急激に変化する区
間があると、ラグランジェ補間法てはルンゲの現象と呼
ばれ、フーリエ級数を用いた補間法ではギブスの現象と
呼ばれる不自然な振動が発生する。スプライン補間法で
は近似多項式の係数は補間区間毎に決められるので、補
間点から充分に離れたデータ点の影響は受けにくい。し
かし、ｎ次のスプライン補間法では（ｎ−１）次の導関
数までの連続性を導入する。従って、導関数を介して振
動現象は伝幡するので、導関数が大きくなる補間区間が
あると、その前後の補間区間で振動して補間精度を悪化
させることがＡｋｉｍａにより指摘されている。振動の
伝幡を阻止するために、有理式スプライン補間法、Ａｋ
ｉｍａの捕間法等が提唱されている。局所的に多項式の
係数を決める方法をＡｋｉｍａ′ｂ＜提唱し、通常のス
プライン補間法では振動が起きるデータに対しても有効
な結果を得た。この実験結果は補間値を決定する際には
全てのデータを一度に用いずここ、補間点の近傍にある
Ｍ個のデータを用いて補間値を決定すると捕間精度が向
上することを示している。

補間値を決定するためのデータ数Ｍの最適値を実験的に
決める必要がある。Ａｋｉｍａは補間区間の端点の勾配
をその周辺の４点を用い′Ｃ勾配の比例配分ｔこより決
め、３次多項式（こより補間値を求めた。その結果、局
所的に補間値を決めることになり、振動の伝軸が抑λら
れで良好な補間値が得られた。

［本発明の［１的］本発明の１４的はコンピュータ　グラフィクスやｘｙプ
ロッタ等の描画方法および描画装置において、高速かつ
高精度の画像の描画を目的とする。

［従来の問題点を解決する為の手段］間接補間法では補間（ｌαを直接的に求める事ができず
、途中で浮動小数点演算によりパラメータφを求めるの
で、計算時間を多く必要とすることが欠点である。この
描画方法ではＭ個の描画データ基づいて直接的に補間値
ｆ（１）、’）をｆ　（Ｐ、）　＝Ｆ　［ｇ　（ｘ、）
、　　＊　＊　＊、　　ｇ　（ｘｌ、）］によって決定
するので、計算時間が大幅に短縮される。補間区間Δ１
の端点ｘ１とＸ、。、は袖１；：１点Ｐ。

の補間値に最も影響するのて、ｇ　（ｘ、）とｇ（ｘ１
８、）を主補間データとｄい、それ以外のデータな副油
間データとｈ′う。−に式において、Ｍ＝２の場合には
Ｐｌの属する補間区間Δ１の端点における既知データｇ
　（ｘ：）とｇ　（ｘ：。、）すなわち主補間データの
みにより補間値が決定される。コンピュータ　グラフィ
クスζこおいてこの描画方法を用いて描画データを決定
すると、曲線や曲面が不連続的に変化する場合がある。

視覚的に自然な画像を得るためには、副油間データの情
報を有効に利用し、高精度の描画を行う必要がある。し
かし、計算時間は描画するために用いる既知データの数
の２１ｉ１１に比例して長くなり実用性に欠ける。しか
も、補間すべき点から充分ζこ離れた領域にある情報を
視覚的に取り入れて画像の品質を判断する事は不可能で
あるので、副油間データの数を多くする事は東駄が多く
、高速画像表示には適さない。

ｘ１点を含みｘ１点より左側にあるＬ個のデータ（ｇ　
（ｘ；）　、　　ｇ　（ｘ＊−＋）　、　　・・・、　
　ｇ　＜Ｘｌ−ｒ＋、））に基づく左方向修正子をＤｉ
（ｘ；）とする。

すなわち、ＤＬ（ｘ；）＝「ｃ　（ｇ　（ｘ；）、ｇ　（ｘニー＋
）、　　・・・＋　　ｇ　＜ｘニー１゜、））で決められる。ざらに、ｘ７や、点を含みｘｌ、１点よ
り右側にあるＲ個データ（ｇ　（ｘ、や＋Ｌｇ（ｘニー
２）　、　　・・＋、　　ｇ　（ｘニーＲ）　’ｔに基
づく右方向ｆｌ！正子をＤＲ（ｘ；−＋）とする。　す
なわち、ＤＲ（ｘニー＋）　＝Ｙ″Ｒ（ｇ　（Ｘ＋＋＋
）　＋　　ｇ　（Ｘ；、２）　！・・・１ｇ　（Ｘニー
ｓ）　）で決められる。Ａｋ　ｉｍａの指摘によると、補間曲線
はその補間区間の周辺にあるデータ点間の勾配に基づい
て決定すると、視覚的に自然な描画データが得られる。

ここでは、高速の数値計算を目的とするので、補１１点
の１１１正雀を左方向および右方向にあるデータの１炊
方分の加重１口とする。

Ａｋｉｏ＋ａと同程度に局所的な領域にある描画データ
に限定して補間値を求めるために、次式ζシーより左右
の修正量を求める。

ＤＬ　（Ｘｉ）　＝　　λ［ｇ　（ｘ：）−ｇ　（ｘ；
−＋）　］Ｄｐ（ｘ：）＝　　λ［ｇ　（ｘ、−＋）　
−ｇ　（ｘ：、ｐ）　］ここに、λ（入、）の最適値は
実験的に決められる。ところで、デジタル計算機では２
のへき剰にすると、整Ｖｉ型の割り算はビットをシフト
するだけで実行されるので、数値計算の時間が短縮され
る。従って、 λ　＝　　１／２Ｎ　＝　　１／Ａとして、補間の誤差が最少となるＮを決定する。

以上を総合すると、補間区間の中間点Ｐ、における補間
１１αはｆ　（Ｐ：）　＝　　［ｇ　（ｘ、）　−ｇ　（Ｘ＝＋
）＋　ｇ　　（ｘ、＋＋）　　　　ｇ　　（ｘ：、、ｙ
）　　］　　／　二す＋［ｇ（ｘ：）　”ｇ　（ｘ：。

＋）　］　／２ζこより求まる。

間接補間法ζこおいては固定小数点の既知データを基に
浮動小数点演算により中間パラメータφ１を算出し、次
に固定小数点の表示データを生成する。

φ、の変化量は非常に大きいので、これらの全てを固定
小数点演算で処理すると充分の精度が得られず表示画面
が不自然になる場合がある。ところが、この描画方法に
おいては浮動小数点演算を用いなくても、整数型の既知
データから整数型の表示データを生成することができる
ので、視覚的に自然な画面を表示することができる。従
って、この描画方法をハードウェア化すると、高速であ
るので、コンピュータ　グラフィクスには好都合である
。

［作用］本発明の描画方法および描画装置においては、より高速
かつ高精度の描画データを決定することが可能になる。

［好ましい実施例］本発明の実施例を第１図に示す。第１図のＤＡＴＡ　　
ＩＮＰ［ＪＴから連続する４個の描画データ八と描画デ
ータＢと描画データＣと描画データＤが入力される。描
画データ八と描画データＢの差演算部において描画デー
タ八と描画データＢの差である（Ｂ−Ａ）が算出される
。さらに、描画データＣと描画データＤの差演算部にＪ
３いて描画データＣと描画データＤの差である（Ｃ−Ｄ
）が算出される。さらに、描画データＢと描画データＣ
の和演算部において描画データＢと描画データＣの和で
ある（Ｂ＋Ｃ）が算出される。加重係数の乗市演３′Ｆ
、部１においては、描画データ八と描画データＢの差演
算部の出力（Ｂ−Ａ）に加重係数が乗算される。さらに
、加重係数の乗算演算部２においては、描画データＣと
描画データＤの差演算部の出力（Ｃ−Ｄ）に加重係数が
乗算される。除算演算部においては、描画データＢと描
画データＣの和演算部の出力である（Ｂ＋Ｃ）を２で除
算する演算が実行される。最後に、加算演算部において
、加重係数の乗算演算部１の出力と加重係数の乗算演算
部２の出力と加算演算部の出力の全てが加算されて、Ｄ
　Ａ　Ｔ　Ａ　　ＯＵ　Ｔ　Ｐ　Ｕ　Ｔに出力される。

上記の加重係数の乗算演算部１および加重係数の乗算演
算部２において加重係数が２のべき剰の場合には、整数
型の描画データに対してシフト演算で実行すると高速に
なるので、実際にはこれをシフトで行う。本発明は加重
係数の乗算演算部１および加重係数の乗算演算部２にお
いて加重係数が２のべき刺の場合には、整数型の描画デ
ータに対してシフト演算で実施する場合も含む。

第２図に示した白丸の荒い描画データ点に対して、本発
明の描画方式を用いて得られた結果と従来の方法である
スプライン補間法を用いて得られた結果を第２図に示す
。スプライン補間法を用いると振動現像が発生し、描画
結果は良くないが、本発明の描画方式を用いて？５られ
た結果は振動が少なく描画結果は良好であり、高速に描
画データを作成する事が可能である。

ｒｆＩ単な関数で表される種々の曲線に対し本発明の描
画方法を適用して、への最適値を実験的に決定する。既
知関数をＨ（ｘ）とし、本発明の描画方法を適用して得
られた補間値とＨ（ｘ）の差異を求めて、補間精度を評
価する。次式により補間誤差Ｅを定義する。

Ｅ＝　ＭＡＸ　［Ｈ（ｘ、）　−ｆ　（ｘ：）］ここに
、ｘ１は補間区間内の点である。

既知関数が滑らかな場合の補間精度と既知関数が２．峻
に変化する場合の補間精度は異なるので、両者を組み合
わせた閏′Ｆ１を既知として、補間法の精度を考察する
。得られた補間値と元の既知関数の誤差Ｅを求めて、へ
の最適値を決定する。第２図に示す間数に対する補間値
を直接補＋＝ｙ法で求めて、−＋−式により補間誤差Ｅ
を求め、八とＥの関係を第３図に示す、八を増加すると
、補間誤差Ｅは急激に減少し、Ａ＝１５で最少値をとる
。従って、計ＩＴ速度を考慮すると、Ｎ＝４が最適値で
ある。

円周は端条性を導入する必要がないので、捕間誤差の評
価に適する。円周をパラメトリック表示し、円周を８等
分した点をデータとして、円周に対するｈ旧：旧１′ｔ
を本発明の描画方法で求めて、捕間誤差Ｅとへの［■係
を第４図に示す。八を増加すると、補間誤差Ｅは２激に
減少し、Ａ＝１４例近で靜少値をとるａ従って、Ｎ＝４
を円周補間の靜適値とす−る。

次ζこ、円周をパラメトリック表示して、整数型演算の
みを用いて円周描画のアルゴリズムを説明する。この方
法は本発明の描画方法をＸとＹに対して２度用いること
によって導かれるが、これを整理して、以下に円周の描
画方法を示す。

第５図に示すように、円周上の既知データによフて構成
される平面上の点列をＰ、（Ｘ、、Ｙ、）。

（１＝ｌ、　　＃　Ｉ　ｅ、　　ｎ）とする。区間ΔＸ
、＝　（Ｘｌ、Ｘｌ。、〕とΔｙ、＝　（ｙ、、ｙ、、
、Ｌ　　ｃｉ＝１゜・・・、ｎ−１）を補間区間とする
。補間領域Δ１＝〔ΔＸ１．ΔＹ、）内にある点をＱｌ
とする。点列ｐ；（ｘ：＋　Ｙ：）ｃｉ＝１１　−−−
＋　　ｎ）を用いて補間点Ｑ１を求める０点Ｑ、と円の
中心との距離が殆ど半径に等しいならば、それは円周を
詳細に表示するためのデータになる。

円周上にある既知データ点列内の４点Ｐ、−，（Ｘｉ−
＋、Ｙ、−＋）、　　Ｐ：　　（Ｘ：、Ｙ：）、　　Ｐ
ｌ。＋（Ｘ。、、。

ｙ：、＋）　、Ｐニー２（Ｘニー２．Ｙニー２）を第４
図に示す。

以下に、これらの４点を用いて補間領域Δ１ζこある補
間点Ｑ１を決定する幾何学的方法を記述する。

段階■ 線分Ｐニー＋Ｐ、の延長線上に点Ａ　（Ｘ、、　Ｙａ）
を設定する。ここに、線分ＡＰ１と線分Ｐ　、　Ｐ　；
−＋の長さの比を１対４とする。さらに、線分Ｐ、Ｐ、
。。

内に点Ｂ　（Ｘｂ、Ｙｂ）を設定する。ここに、線分Ｐ
、Ｂと線分Ｐ　、　Ｐ　、、、の長さの比を１対４にす
ると、Ｘ、＝　Ｘ、＋　　（Ｘ、−Ｘ、、）／４Ｙａ　
＝Ｙ１　＋　　（Ｙ：　　Ｙ；−＋＞　／４Ｘｂ　＝　
Ｘ；　＋　　（Ｘ；、＋　　Ｘ：）／４Ｙ、＝　Ｙ、＋
　　（Ｙ、、、−Ｙ、）／７′！となる。

段階■ 線分ＡＢの中点をＣ（Ｘｃ、　Ｙ、）とすると、Ｘ、＝
　　（ｘ−＋ｘｂ）／２ＹＣ＝　　（Ｙ、＋Ｙ、）／２となる。

段階■ 線分Ｐ、、、、Ｐ、、、（７）延長線上に点Ｄ　（Ｘａ
、Ｙｄ）を；Ｃ定する。ここに、線分ＤＰ、。、と線分
ｐ、、、ｐ、。２の長さの比を１対４とする。さらに、
線分Ｐ１Ｐ１゜１内に点Ｅ　（Ｘ、、Ｙ、）を設定する
。ここに、線分Ｐ、。、Ｅと線分Ｐ１やｌ　Ｐ　ｉの長
さの比を１対４にすると、Ｘａ　＝　　Ｘ　ニー＋　　　　（Ｘ　；−２−Ｘ　；
−＋）　／　４Ｙａ　＝Ｙ　ニー＋−（Ｙ　：　−２−
Ｙ　：　、＋　）　／　４Ｘ、＝　　Ｘ；、１　　　　
（Ｘ；−＋　　Ｘ：）／４Ｙ、＝　　Ｙ；、＋　　−（
ｙ、。＋−Ｙ：）　／／／１となる。

段階■ 線分ＤＥの中点をＦ　ＣＸｔ、Ｙ＋）とすると、Ｘｔ　
”　　（Ｌ　＋　Ｘｓ）　／　２Ｙ、”　　（Ｙａ　＋
　Ｙ、、）　／　２となる。

段階■ 線分ＣＦの中点なＧ（Ｘａ、Ｙａ）とすると、ｘａ　”
　　（Ｘｃ＋Ｘｔ＞　／２ｙ、＝　　（Ｙｃ＋Ｙｒ）／２となる。

データ点列の連続する４点が与えられると、それらの中
間にある補間点Ｇ　（Ｘａ、　Ｙａ）の座標が上述のア
ルゴリズムによって決定される。このアルゴリズムを適
用して求まった中間の補間点をデータ点とみなすと、補
間区間が半分に減少するので、上記の手法を繰り返し適
用することによって細かい補間点が決定される。以上の
操作によって補間区間がビクセルに対応するまで細かく
なると、Ｍ個の円周データ（Ｘｉ＋　Ｙ：＞　＋　　（
１＝　１．２゜・・・、Ｍ）が得られる。実際に得られ
た結果を第６図に示す。第６図は９０度毎にデータを与
えて得られた円周の描画データの結果と４５度毎にデー
タを与えて得られた円周の描画データの結果を示す。

端条性は補間結果に影響するので、合理的に決めなけれ
ばならない。；（次のスプライン補間法では自然スプラ
イン条件として２次の導関数を強制的Ｃ１−零とした。

コンピュータ　グラフィクスではイメージと（〕てデー
タの変化の傾向が延長されて続くようじ端条性を決める
と自然な画像が得られる。

３個の連続するデータ（ＸＢ　＋Ｙ＋）、（Ｘ２＋Ｙ２
）＋（Ｘｔ＋Ｙ３）の中で（Ｘ３１Ｙ３）が端点である
とす仏局所的に補間値を決めるために２点付加法を提唱
する。（×３゜Ｙ３）の外部に仮想点として（Ｘａ、Ｙ
Ｊ）と（Ｘ５．Ｙ５）の２点を付加する。付加された２
点はラグランジェ補間法により決められる。すなわち、
　ｃ　ｘ　＋　、　Ｙ　ｌ　）から（Ｘ　５　、　Ｙ　
Ｓ　）までの５点は全て２次曲線ｙ＝ａｘ”＋ｂｘ＋ｅ上にあり、しかも、Ｘ　ｙ　−Ｘ　＋　＝　Ｘ　ａ　−
Ｘ　２＝　Ｘ　、−Ｘ　ｉの条件を満たすように決めら
れる。しかし、ラグランジェ補間法を用いると（Ｘ　６
．　Ｙ　ｓ　）のように離れると、ルンゲの現象により
振動が激しくなり、信頼性の高い端条性は得るのは困難
である。従つて、（χｓ　＝　Ｙ　Ｓ　）を採用せずに
、（Ｘａ、７０点を求め、さらζ１−（Ｘａ、Ｙ３）と
（Ｘ　４　、Ｙ　４　）の中間点Ｍを」−式により決定
する。この端条性が与えられると、本発明の描画方法に
より全ての捕間区間内にある中間点の補間値が求められ
る。データ点と補間値が求められた中間点により新しく
補間区間を作り、−１−記の算法な繰り返し適用して次
の中間点の補間値を求める。これらの手法を繰り返［）
適用することにより、補…１区間を充分に細かくするこ
とができるので、補間曲線を形成する点列が生成される
。

本発明の描画方法のアルゴリズムで示すと以ドのように
なる。入力は４個の整数型データＸａ。

Ｘｂ、Ｘｃ、Ｘｄであり出力は１個の整数型データＹで
ある。

「アルゴリズム」整数　　　Ｘ、、Ｘ、、Ｘｃ、Ｘ、、Ｙ；整数　　Ａ、
Ｂ、Ｃ；Ａ＝Ｘｌｌ−ＸＩｌ；　　　　　　Ａ　＞＞＝　４；Ｂ
二Ｘ、Ｘ、；　　　　　Ｂ　＞＞＝　４；Ｃ＝Ｘ、−Ｘ
ｅ；　　　　　　Ｃ＞＞＝　　４；Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ；ここに、Ａ　＞＞　＝　４の記法はＡを下位の方に４ビ
ツトシフトするという意味である。

例としてこの計算に必要なビット数は、人出力を３２ビ
ツトとすると、Ｘ、、Ｘ、、Ｘｃ、Ｘｄ、Ｙ　　　　　３２ビツトＡ　
、　Ｉ３　　　　　　　　　３２ビツトＣ３２ビツトである。

本発明の描画方法は単純な手法を繰り返し適用するので
、アルゴリズ１１が単純化し、ディジタル演算ζこ適し
た描画装置を構成することができる。

［本発明の描画方法および描画装置の特徴］本発明の描
画方法およＵ描画装置本発明の特徴を以下に記述する。

あるサンプリング間隔で採取あるいは算出したデータに
基づいて生成した補間値の真値は未ｙ口であるので、補
間法の精度を評価することは困難である。例として、Ａ
ｋ　ｉｍａのデータを３次のスプライン関数で補間する
とルンゲの現象が起こり、曲線がオーバシュートして振
動的になるので、高精度の画像を表示することが困難に
なる。ＣＡＤ／ＣＡＭにおいては急激に変化する曲線も
あり、高次のスプライン間数を用いて補間しなければ高
精度に表示することが困難な場合もある。数学的には補
間曲線に高次のｇ関数の連続性を導入することは容易で
あるが、計算時間は非常に長くなる。

コンピュータ　グラフィックにおいては各ビクセルに対
する画像データを生成する必要があるので、描画方法の
目的は視覚的にスムーズな画像を表示することにある。

補間法により求められた点列を表示した場合に視覚的な
不自然さが表れないようにするには、滑らかな曲線と比
較する必要がある。高次の連続性のある曲線を用いて補
間点を求めて、提案する補間法により求めた点列との差
により補間法の精度を評価する。

コンピュータ　グラフィクスにおいては、ビクセルに対
応するメモリーに蓄えられたデータを逐次的に読み出し
て表示する。通常の画像メモリの内容は８ビツトから３
２ビツトの整数型のデータである。コンピュータ　グラ
フィクスにおける描画方法とは間隔の広い格子に対応す
る整数型の既知データに基づいて細かい格子に対応する
整数型データを決定することである。従って、描画デー
タの生成過程において全ての演算を整数型て行うと、計
算時間を大幅に短縮することができるので、浮動小数点
演算を用いない方が望ましい。

本発明の描画方法のアルゴリズムから明らかなように、
この描画方法は加算および減算と２のべき乗の除算だけ
で計算できろ。２のへき乗の除Ｕは描画データを整数型
とすると、シフトするだけでよい。従って、この演算は
加算とシフトだけで実行できるので、高速に処理するこ
とが可能である。また、局所的なデータにより補間値を
求めるので、並列処理に適しており、更に高速化が可能
である。特に、ビクセルζ、二対応するメモリーからメ
モリーζこブロック転送する間に演算を雛列処理するグ
ラフィクプロセッサ等ここは本発明の描画データ方法は
適している。

スプライン１ス１数を用いた補間法ζ、ｎおいては、そ
の係数を決めるためには与えられたデータの個数の方程
式を解かなければならない。計算量はデータ数の２刺に
比例して増加【八　しかも計算時間を多く必要とするか
け算の回数が増加する。従って、データ数が多くなると
、計算時間が極めて長くなり、高速の補間法に適さない
。

本発明描画方法は局所的に補間点の値を決定するので、
データ数が多くなっても、計１１時間が急激に増加する
ことはない。

実際の計算時間の評価を以下に示す、Ｃ言語を用いて、
これまでに主として用いられている３次スプライン補間
法を適用して１点の補間値を求めるのに約６５ｍ秒を必
要とするが、１６ビツトの整数型演算を用いて本発明の
描画方法を適用すると約０．２ミリ秒であり、３００倍
以上の高速化が可能である。計算時間の大幅な差異はス
プライン関数による補間法が浮動小数点演算を用いるの
に対して、本発明の描画データ方法が整数型演算のみを
用いても充分の精度が得られることに依存する。そのＬ
に、直接補間法は並列演算に適したアルゴリズムである
ので、並列性を利用して計算時間をさらに短縮すること
も可能である。スプライン関数を用いた補間法の計算を
専用のハードウェアを用いて実行するには余りにも複雑
であり実用性に乏しい。しかし、本発明の描画方法のア
ルゴリズムは加算とシフトにより実行されるので、専用
ハードウェアも部用に構成される。結論的には、並列性
を利用してハードウェア化を試みることにより非常に高
速化された補間法を開発することができる。

既知データが等間隔に与えられると、本発明の描画方法
のアルゴリズムは簡単になり、全ての計算を整数型演算
で行っても充分の精度が得られる。

種々の描画データに当てはめ検討した結果、データ点が
完全には等間隔でない場合でも、殆ど等間隔である場合
、すなわち準周期的描画データに対しても整数型演算を
適用しても補間精度は殆ど変わらない。これは修正子の
加重係数に余裕があり、与えられるデータの間隔が少し
変化しても、Ａが１０から２０の間で精度の良い補間結
果がｔｉ）られることに依存する。

以下に、具体的な３次ス２゛ライン法と本発明の描画方
法との比較を次シ二示）ｊ、補間曲線を３次のスプライン関数で構成すると、局所的
には二次までの導関数の連続性は満たされる。しかし、
導関数の連続１テ１と表示画面の品質は完全に一致しな
い。視覚的ζ、″自然であり、しかもスムーズな画像を
表示するためには各ビクセル間の連続的変化を考察する
必要がある。実際に変化率の大きい曲面を３次のスプラ
イン関数を用いて表示する場合ここは振動現象が発生し
て、画像の大域的様相を乱す可能性がある。

画像のビクセルζ。′一対応する補間点のみを計算する
ので、高速画像表示と□−号逆Ｔあろ、：１ンビｒ、　
−タ　グラフィクスでは画像メモリはビクセルと１χ４
１の７・１応があるので、ビグ１！ルに対応するデー・
夕を直接的に生成することが必要十分条件である。

この観点からすれば、スプライン補間は間接法である。

すなわち、節点における高次の連続性に基づいてスプラ
イン関数の係数を求め、決定された関数にビクセルの位
置情報を入れてビクセルのデータを生成する。実際にス
プラインの係数が求まると、無限に細かいビクセルｔｌ
一対するデータを生成することができる。、離散的に配
置するビクセルのデータを生成するだけで十分であるの
で、計算の中途で充分過ぎる計算過程を経由して、必要
以上の情報量を求めたことに相当する。各ビクセルに対
応する補間点のデータのみを直接求めて、計算過程の簡
略化を試みることにより、高速描画の画像表示を実現す
る。さらに、数学的に高次の連続性を満たすには不動小
数点演算は避けられない。

不動小数点演算は：１ブレッ（）ζこより実行すること
も可能で１ちるが、固定小数点演算とは比較にならない
程に多くの計算時間を必要とする。ｂかも、ビットを充
分り、−長くしないとｔｆｉ　・落ぢここより精度の高
い補間結果は得られない。

補間された値；こ対応する真値が不明であるので。

補間結果の精度を評価する事は困難である。従って、既
知の関数で記述される曲線ζ、二よって算出された一次
元格子状の点列（Ｘ、、、）をｊｇえられたデータとし
て、各格子間にある点の値を補間法により求め、もとの
関数値によって決まる値と比較することにより精度を評
価することがｉｉＩ能になる。

既知関数が低次でありしかもデータ点の間隔が狭い場合
には線形補間法でも相当に高精度の結果が得られる。従
って補間法の精度を評価するには既知の関数として比較
的高次の関数を用いる必要がある。なお、数値実験の結
果から、高次の関数を高精度に表示することができる補
間法は低次の関数より高精度に表示することができる。

視覚的考察が最も重要である。視覚的には右方向から決
まる条件と左方向から決まる条件を差別する条件はない
ので、両者を対等に取り入れる。このために左右両方向
から条件で決まる点を加算平均することにより捕ＩＩ旧
１αを求める。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の一実施例であり、第２図は本発明の描
画方式を用いて得られた結果と従来の方法であるスプラ
イン補間法を用いて得られた結果の比較である。第；（
図は本発明の描画方式に用いる加重係数の結果である。第４図は本発明の描画方式を用いた結果であも第５図は
本発明の描画方式を円周の描画に用いる手法の説明であ
る。第〔５図も本発明の描画方式を用いた結果である。１・・描画データへ、　　２・・描画データＢ５３・・
描画データＣ，４・・描画データＤ、５・・描画データ
点と描画データＢの差演算部、６・・描画データＣと描
画データＤの差演算部、７・・描画データ［３と描画デ
ータＣの和演算部、８・・加重係数の乗算演算部、９・・加重係数の乗算演算部、ｌＯ・・除算演算部、　　１１・・加算演算部、１２・
・本発明の描画方式を用いて得られた結果、１３・・従
来の方法であるスプライン補間法を用いて得られた結果
、１４・・９０度毎にデータを与えて得られた円周の描画
データの結果、１５・・４５度’ｉ５にデータを与えて得られた円周の
描画データの結果

Claims

【特許請求の範囲】

（１）連続する４個の描画データの内の最初の２個の描
画データの差に加重係数を乗算したものに、連続する４
個の描画データの内の最後の２個の描画データの差に加
重係数を乗算したものを加えたものに、連続する４個の
描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２個
の描画データの加算平均値を加えたものを連続する４個
の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２
個の描画データの間の描画データの値としてこれらの描
画データを描画する描画方法。
（２）連続する４個の描画データの内の最初の２個の描
画データの差および連続する４個の描画データの内の最
後の２個の描画データの差に乗算する加重係数として２
分の１から３２分の１までの値を用いて描画データを構
成した特許請求の範囲第１項記載の描画方法。
（３）連続する４個の描画データの内の最初の２個およ
び連続する４個の描画データの内の最後の２個の描画デ
ータの差に加重係数を乗算する演算をデータのシフトに
より実行する特許請求の範囲第１項記載の描画方法。
（４）連続する４個の描画データの内の最初の２個の描
画データの差に加重係数を乗算したものに、連続する４
個の描画データの内の最後の２個の描画データの差に加
重係数を乗算したものを加えたものに、連続する４個の
描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２個
の描画データの加算平均値を加えたものを連続する４個
の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２
個の描画データの間の描画データの値として求めて、得
られた描画データを連続する４個の描画データとして代
入して、連続する４個の描画データの内の最初の２個の
描画データの差に加重係数を乗算したものに、連続する
４個の描画データの内の最後の２個の描画データの差に
加重係数を乗算したものを加えたものに、連続する４個
の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２
個の描画データの加算平均値を加えたものを連続する４
個の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた
２個の描画データの間の描画データの値として、これら
の描画データを描画する特許請求の範囲第１項記載の描
画方法。
（５）対象物を測定することにより得られたデータを連
続する４個の描画データとして、連続する４個の描画デ
ータの内の最初の２個の描画データの差に加重係数を乗
算したものに、連続する４個の描画データの内の最後の
２個の描画データの差に加重係数を乗算したものを加え
たものに、連続する４個の描画データの内の両端の２個
の描画データを除いた２個の描画データの加算平均値を
加えたものを連続する４個の描画データの内の両端の２
個の描画データを除いた２個の描画データの間の描画デ
ータの値としてこれらの描画データを描画する特許請求
の範囲第１項記載の描画方法。
（６）描画データをパラメトリック表示して連続する４
個の描画データを構成して、連続する４個の描画データ
の内の最初の２個の描画データの差に加重係数を乗算し
たものに、連続する４個の描画データの内の最後の２個
の描画データの差に加重係数を乗算したものを加えたも
のに、連続する４個の描画データの内の両端の２個の描
画データを除いた２個の描画データの加算平均値を加え
たものを連続する４個の描画データの内の両端の２個の
描画データを除いた２個の描画データの間の描画データ
の値としてこれらの描画データを描画する特許請求の範
囲第１項記載の描画方法。
（７）連続する４個の描画データの内の最初の２個の描
画データの差に加重係数を乗算したものに、連続する４
個の描画データの内の最後の２個の描画データの差に加
重係数を乗算したものを加えたものに、連続する４個の
描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２個
の描画データの加算平均値を加えたものを連続する４個
の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２
個の描画データの間の描画データの値とする演算を並列
的に適用して複数個の描画データを求める特許請求の範
囲第１項記載の描画方法。
（８）連続する４個の描画データの内の最初の２個の描
画データの差に加重係数を乗算したものに、連続する４
個の描画データの内の最後の２個の描画データの差に加
重係数を乗算したものを加えたものに、連続する４個の
描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２個
の描画データの加算平均値を加えたものを連続する４個
の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２
個の描画データの間の描画データの値として、これらの
データを用いて円を表示する描画データを構成する特許
請求の範囲第１項記載の描画方法。
（９）連続する４個の描画データの内の最初の２個の描
画データの差に加重係数を乗算したものに、連続する４
個の描画データの内の最後の２個の描画データの差に加
重係数を乗算したものを加えたものに、連続する４個の
描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２個
の描画データの加算平均値を加えたものを連続する４個
の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２
個の描画データの間の描画データの値として、これらの
データを用いて楕円を表示する描画データを構成する特
許請求の範囲第１項記載の描画方法。
（１０）連続する４個の描画データの内の最初の２個の
描画データの差に加重係数を乗算したものに、連続する
４個の描画データの内の最後の２個の描画データの差に
加重係数を乗算したものを加えたものに、連続する４個
の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２
個の描画データの加算平均値を加えたものを連続する４
個の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた
２個の描画データの間の描画データの値として、これら
のデータを用いて曲線を表示する描画データを構成する
特許請求の範囲第１項記載の描画方法。
（１１）連続する４個の描画データの内の最初の２個の
描画データの差に加重係数を乗算したものに、連続する
４個の描画データの内の最後の２個の描画データの差に
加重係数を乗算したものを加えたものに、連続する４個
の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２
個の描画データの加算平均値を加えたものを連続する４
個の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた
２個の描画データの間の描画データの値として、これら
のデータを用いて曲面を表示する描画データを構成する
特許請求の範囲第１項記載の描画方法。
（１２）連続する４個の描画データの内の最初の２個の
描画データの差に乗算する加重係数を連続する４個の描
画データの内の最初の２個の描画データの距離に対応し
て決めたものに、連続する４個の描画データの内の最後
の２個の描画データの差に乗算する加重係数を連続する
４個の描画データの内の最後の２個の描画データの距離
に対応して決めたものを加えたものに、連続する４個の
描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２個
の描画データの加算平均値を加えたものを連続する４個
の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２
個の描画データの間の描画データの値として、これらの
描画データを描画する特許請求の範囲第１項記載の描画
方法。
（１３）連続する４個の描画データの内の最初の２個の
描画データの差に乗算する加重係数を連続する４個の描
画データの内の最初の２個の描画データの勾配に対応し
て決めたものに、連続する４個の描画データの内の最後
の２個の描画データの差に乗算する加重係数を連続する
４個の描画データの内の最後の２個の描画データの勾配
に対応して決めたものを加えたものに、連続する４個の
描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２個
の描画データの加算平均値を加えたものを連続する４個
の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた２
個の描画データの間の描画データの値として、これらの
描画データを描画する特許請求の範囲第１項記載の描画
方法。
（１４）連続する４個の描画データの内の最初の２個の
描画データの差に乗算する加重係数を連続する４個の描
画データの内の最初の２個の描画データの距離と連続す
る４個の描画データの内の中間の２個の描画データの距
離の比に対応して決めたものに、連続する４個の描画デ
ータの内の最後の２個の描画データの差に乗算する加重
係数を連続する４個の描画データの内の最後の２個の描
画データの距離と連続する４個の描画データの内の中間
の２個の描画データの距離の比に対応して決めたものを
加えたものに、連続する４個の描画データの内の両端の
２個の描画データを除いた２個の描画データの加算平均
値を加えたものを連続する４個の描画データの内の両端
の２個の描画データを除いた２個の描画データの間の描
画データの値として、これらの描画データを描画する特
許請求の範囲第１項記載の描画方法。
（１５）連続する４個の描画データを記憶する手段と、
連続する４個の描画データの内の最初の２個の描画デー
タの差に加重係数を乗算する手段と、連続する４個の描
画データの内の最後の２個の描画データの差に加重係数
を乗算したものを加える手段と、連続する４個の描画デ
ータの内の両端の２個の描画データを除いた２個の描画
データの加算平均値をそれに加える手段と、連続する４
個の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた
２個の描画データの間の描画データの値としてこれらの
描画データを描画する手段とを有する描画装置。
（１６）加重係数として２分の１から３２分の１までの
値を用いて描画データを構成した特許請求の範囲第１５
項記載の描画装置。
（１７）連続する４個の描画データの内の最初の２個の
描画データの差および連続する４個の描画データの内の
最後の２個の描画データの差に加重係数を乗算する演算
をデータのシフトにより実行する特許請求の範囲第１５
項記載の描画装置。
（１８）連続する４個の描画データを記憶する複数個の
手段と、連続する４個の描画データの内の最初の２個の
描画データの差に加重係数を乗算する複数個の手段と、
連続する４個の描画データの内の最後の２個の描画デー
タの差に加重係数を乗算したものを加える複数個の手段
と、連続する４個の描画データの内の両端の２個の描画
データを除いた２個の描画データの加算平均値をそれに
加える複数個の手段と、連続する４個の描画データの内
の両端の２個の描画データを除いた２個の描画データの
間の描画データの値としてこれらの描画データを描画す
る複数個の手段とを有してそれらの手段を並列的に適用
して複数個の描画データを決定する特許請求の範囲第１
５項記載の描画装置。
（１９）連続する４個の描画データを記憶する手段と、
連続する４個の描画データの内の最初の２個の描画デー
タの差に加重係数を乗算する手段と、連続する４個の描
画データの内の最後の２個の描画データの差に加重係数
を乗算したものを加える手段と、連続する４個の描画デ
ータの内の両端の２個の描画データを除いた２個の描画
データの加算平均値をそれに加える手段と、連続する４
個の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた
２個の描画データの間の描画データの値としてこれらの
描画データを描画する手段とを有する複数個の描画装置
を用いてパラメトリック表示した曲線を描画する特許請
求の範囲第１５項記載の描画装置。
（２０）連続する４個の描画データを記憶する手段と、
連続する４個の描画データの内の最初の２個の描画デー
タの差に加重係数を乗算する手段と、連続する４個の描
画データの内の最後の２個の描画データの差に加重係数
を乗算したものを加える手段と、連続する４個の描画デ
ータの内の両端の２個の描画データを除いた２個の描画
データの加算平均値をそれに加える手段と、連続する４
個の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた
２個の描画データの間の描画データの値としてこれらの
描画データを描画する手段とを有する複数個の描画装置
を用いてパラメトリック表示した曲面を描画する特許請
求の範囲第１５項記載の描画装置。
（２１）連続する４個の描画データを記憶する手段と、
連続する４個の描画データの内の最初の２個の描画デー
タの差に加重係数を乗算する手段と、連続する４個の描
画データの内の最後の２個の描画データの差に加重係数
を乗算したものを加える手段と、連続する４個の描画デ
ータの内の両端の２個の描画データを除いた２個の描画
データの加算平均値をそれに加える手段と、連続する４
個の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた
２個の描画データの間の描画データの値としてこれらの
描画データを描画する手段とを有する複数個の描画装置
を用いてパラメトリック表示した円を描画する特許請求
の範囲第１５項記載の描画装置。
（２２）連続する４個の描画データを記憶する手段と、
連続する４個の描画データの内の最初の２個の描画デー
タの差に加重係数を乗算する手段と、連続する４個の描
画データの内の最後の２個の描画データの差に加重係数
を乗算したものを加える手段と、連続する４個の描画デ
ータの内の両端の２個の描画データを除いた２個の描画
データの加算平均値をそれに加える手段と、連続する４
個の描画データの内の両端の２個の描画データを除いた
２個の描画データの間の描画データの値としてこれらの
描画データを描画する手段とを有する複数個の描画装置
を用いてパラメトリック表示した楕円を描画する特許請
求の範囲第１５項記載の描画装置。