RS65105B1

RS65105B1 - Način proizvodnje reflektivne ili refraktivne površine

Info

Publication number: RS65105B1
Application number: RS20240091A
Authority: RS
Inventors: Mark Pauly; Thomas Kiser
Original assignee: Ecole Polytechnique Fed Lausanne Epfl
Priority date: 2012-09-13
Filing date: 2013-08-21
Publication date: 2024-02-29
Also published as: HUE064993T2; ES2970107T3; US20140071155A1; PT2711745T; DK2711745T3; EP2711745A3; EP2711745A2; US9576553B2; PL2711745T3; EP2711745B1

Description

Opis

Pronalazak se odnosi na postupak i aparat za proizvodnju površine koja ima strukturu koja reflektuje ili prelama svetlost koja je obasjava i koja reprodukuje na ekranu sliku željenog intenziteta sivih tonova na osnovu toga što je reflektujuća ili prelamajuća površina proizvedena. Takva slika je opšte poznata kao kaustika.

Uopšteno govoreći, u optici kaustike su obrasci svetlosti stvoreni refleksijom ili prelamanjem na zakrivljenim površinama. Računanje kaustike u datoj trodimenzionalnoj sceni bilo je predmet opsežnog istraživanja računarske grafike jer predstavlja jednu od glavnih poteškoća algoritama fotorealističkog prikazivanja.

Zadatak reprodukcije unapred određene distribucije svetlosti pomoću spekularne površine takođe se javlja u oblasti dizajna inverznog reflektora, koji se koncentriše na reflektore za lampe. Anketu o dizajnu inverznog reflektora dali su Patov i Pueio [2005]. Generalno, takve distribucije svetlosti se mogu klasifikovati kao distribucije u bliskom ili dalekom polju.

Dok distribucije bliskog polja određuju raspodelu zračenja na datoj površini (obično ravni) koja treba da se reprodukuje, distribucije dalekog polja mogu se smatrati graničnim slučajevima gde je površina koju treba osvetliti beskonačno udaljena od reflektora, tako da važna je samo raspodela pravaca zraka. Postupci za projektovanje inverznog reflektora obično koriste pristup analize po sintezi. Određena reprezentacija površine je izabrana za parametrizaciju reflektora, kao što je NURBS [Anson et al.2008]. Zatim se procenjuje raspodela svetlosti izazvana površinom i ocenjuje u odnosu na željenu. Ovaj postupak se iterativno koristi za optimizaciju parametara površine.

Primenjene su različite strategije optimizacije, uključujući okvire koji omogućavaju analitičku diferencijaciju, čime se omogućava korišćenje postupka konjugovanog gradijenta [Neubauer 1997], i postupaka koji izračunavaju derivate približno [Finckh et al.2010] na one koji uopšte ne koriste derivate [Anson et al.2008].

Primeri koji koriste evolucionu optimizaciju [Doile et al.1999] takođe pripadaju ovoj poslednjoj kategoriji. Uobičajena pojednostavljenja u pristupima su pretpostavka o savršenoj spekularnosti površine i pretpostavka o samo jednom odbijanju svetlosti bez međuodraza ili okluzija, iako postoje izuzeci za oba [Patov et al.2007; Mas et al.2009]. Ograničenje na rotaciono simetrične reflektore se takođe često koristi, posebno u teorijskim radovima [Vestcott i Norris 1975].

Ovi radovi se uglavnom fokusiraju na reflektujuće površine, iako se mnogi pristupi lako mogu proširiti i na refrakciju. Jedan značajan primer koji istražuje problem refrakcije je rad Finckha et al. [2010]. Oni koriste GPU proračune da ubrzaju kaustičnu procenu, i algoritam stohastičke aproksimacije za optimizaciju, koji je u stanju da pronađe globalni optimum.

Što se tiče refraktivnih objekata, oblast dizajna sočiva je takođe vredna pažnje, iako su ciljevi ovih problema različiti, npr. korekcija aberacije. Ovi problemi su često ograničeni na mali broj parametara kao što su radijusi osnovnih primitivnih oblika [Patov i Pueio 2005]. Opet, postoje izuzeci, npr. rad Loosa et al.

[1998], koji koristi reprezentaciju zasnovanu na NURBS-u za optimizaciju progresivnih sočiva.

Veirich et al. [2009] su izabrali drugačiji pristup za reprodukciju unapred određene distribucije dalekog polja. Prvo, generisali su skup nagnutih, ravnih mikrofaceta da bi ostvarili željenu distribuciju pravaca zraka. Zatim su poredali mikrofacete u regularan niz koristeći simulirano žarenje da bi minimizirali rezultujuće diskontinuitete. Usko povezan sa radom Veiricha et al. je sistem za bliska polja koji su predložili Papas et al. [2011]. Proširili su pojam mikrofaceta na zakrivljene mikrozakrpe, koje se koriste za proizvodnju mrlja svetlosti sa anizotropnom Gausovom distribucijom. Da bi izračunali oblik mikrokrpa koje proizvode Gausovu raspodelu zračenja, Papas et al. definisali su bijektivno mapiranje između tačaka u domenu mikropatch-a i tačaka na ravni projekcije, analitički izračunali površinske normale koje prelamaju/reflektuju svetlost na ovaj način i konačno integrisali ovo normalno polje da bi se došlo do potrebne površine mikrokrpa.

Članak „Goal-based Caustics“ od M. Papas et al., Euro Graphics 2011, vol. 30 (2011, br.2) razotkriva sistem za projektovanje i proizvodnju površina koje proizvode kaustične slike kada su osvetljene izvorom svetlosti. Sistem je zasnovan na nenegativnoj dekompoziciji slike korišćenjem skupa eventualno preklapajućih anizotropnih Gausovih jezgara. Dekompozicija se koristi za konstruisanje niza kontinualnih površinskih zakrpa, od kojih svaka fokusira svetlost u jedno od Gausovih jezgara, bilo kroz refleksiju ili prelamanje. Pokazano je kako da se izvede oblik svake kontinuirane zakrpe i rasporedi tako što se vrši diskretno dodeljivanje zakrpa jezgru u željenoj kaustici.

Članak „Geometry Construction from Caustic Images“ od M. Finckha et al., 5. septembar 2010, Computer Vision – ECCV 2010, strane 464-477 otkriva pristup analize po sintezi, koji koristi GPU za ubrzanje kaustičnog prikazivanja zasnovanog na proceni trenutne geometrije, naznačeno time što je optimizacija vođena stohastičkom aproksimacijom simultane perturbacije (SPSA).

Članak „Fabricating microgeometry for custom surface reflectance“ od T. Veiricha et al., ACM Transactions on Graphics, ACM, tom 28, br.3, 27. jul 2009, strane 1-6 otkriva sistem za proizvodnju fizičkih površina koje, u zbiru, pokazuju željeni izgled površine. Sistem počinje sa korisničkom specifikacijom BRDF-a, ili jednostavno istaknutim oblikom, i zaključuje potrebnu distribuciju nagiba površine. Distribucija je uzorkovana, optimizovana za maksimalno kontinuirano i minimalno polje visine, i na kraju se površina gloda korišćenjem računarski kontrolisane mašine.

Cilj predmetnog pronalaska je da obezbedi postupak za proizvodnju reflektujuće ili refrakcione površine koja reflektuje ili prelama svetlost koja je obasjava i reprodukuje na ekranu sliku željenog intenziteta sivih tonova na kojoj se zasniva reflektujuća ili refrakciona površina i odgovarajući aparat, naznačeno time što postupak dozvoljava reprodukciju referentne slike u sivim tonovima sa podesivom preciznošću.

Cilj se postiže postupkom koji sadrži karakteristike patentnih zahteva 1 ili 2 i sistemom koji sadrži karakteristike patentnog zahteva 9.

Postupak prema pronalasku sadrži radnje diskretizacije dvodimenzionalne slike u prvu mrežu prvih čvorova na prvoj površini, naznačen time što čvorovi na prvoj površini definišu prvu ćelijsku oblast Ad,1 prve mreže na kojoj se nalazi prvi snop svetlosti sa prvim fluksom zračenja Φi, naznačen time što prva ćelijska oblast Ad,1 prve mreže odgovara oblasti dvodimenzionalne slike koja ima osvetljenost kojoj odgovara prvi fluks zračenja Φ1; diskretizacija reflektujuće ili refrakcione druge površine u drugu mrežu drugih čvorova, naznačeno time što čvorovi na drugoj površini definišu prvu ćelijsku površinu As,i druge mreže na koju pada prvi snop svetlosti sa prvim fluksom zračenja Φi i odstupa prema prvoj ćelijskoj oblasti Ad,1 prve mreže; i podešavanje položaja čvorova prve ćelijske oblasti As,1 druge mreže na drugoj površini tako da prva površina ćelije As,1 druge mreže odgovara unapred definisanom izlazu zračenja M1 prvog snopa svetlosti koja pada na drugu površinu.

U skladu sa postupkom pronalaska, polje visine se zaključuje iz date dvodimenzionalne slike u nijansama sive ili kaustične mreže pomoću proračuna „unazad“. Slika u nijansama sive je opisana fiksnom prvom mrežom prvih čvorova koja definiše ćelijske oblasti prve mreže između čvorova, dok čvorovi druge mreže definišu ćelijske oblasti druge mreže između čvorova na zrcalnoj ili refraktivnoj drugoj površini odakle zraci koji izlaze na površinu na kojoj se proizvodi slika u sivim tonovima se pomeraju. Deformisanjem druge mreže ili njenih ćelijskih površina, željene količine svetlosti se mogu dodeliti odgovarajućim ćelijama fiksne prve mreže, naznačeno time što je veća površina ćelije u „iskrivljenoj“ drugoj mreži na zrcalnoj ravni, više svetlosti se projektuje na nepromenjenu površinu ćelije u kaustičnoj mreži, povećavajući osvetljenost.

Prema jednom otelotvorenju, postupak dalje uključuje određivanje površinskih normala na svakom od čvorova prve ćelijske oblasti As,1 druge mreže sa podešenim pozicijama na drugoj površini, površinske normale odgovaraju zracima prvog snopa svetlosti koji upadaju na drugu površinu i prostire se između čvorova prve ćelijske oblasti As,1 druge mreže sa podešenim pozicijama na drugoj površini i čvorova prve površine ćelije Ad,1 prve mreže na prvoj površini ; i izračunavanje visinskog polja koje odgovara normalama površine.

Prema drugom otelotvorenju, postupak obuhvata podešavanje položaja čvorova svih ćelijskih oblasti As,i druge mreže. Kada se pronađe željena deformacija druge mreže primenom postupka na sve oblasti ćelije druge mreže, može se dobiti normalno polje. Mreža može uključivati bilo koji odgovarajući broj ćelija kao što je 10000, 1 milion, 10 miliona, 100 miliona ili bilo koji broj između. Obe mreže mogu uključivati isti broj ćelija.

Količina svetlosti koja se prenosi kroz frustum definisan zracima koji formiraju površinu ćelije prve ili druge mreže ostaje konstantna. Ovo omogućava dodeljivanje vrednosti osvetljenosti svakoj ćeliji prve mreže, odnosno fotonske mreže. Dalji detalji u vezi sa otelotvorenjem za određivanje željenih površina ćelija u iskrivljenoj mreži na drugoj površini opisani su u poglavlju 3.1. Četvrt osvetljenja i Poglavlju 3.2. Integrabilnost u prilogu.

Stvarna geometrija druge površine može se u prvom slučaju zanemariti i svodi se na odgovarajuće polje površinskih normala. Da bi se reflektovali ili refraktovali zraci u čvoru deformisane druge mreže na zrcalnoj drugoj površini tako da seku prvu mrežu za prijem u određenim tačkama, normalno polje treba da se prilagodi u skladu sa tim. Shodno tome, normale n se izračunavaju iz pravca incidentne i izlazne zrake a i b, naznačeno time što se pretpostavlja da su ovi vektori normalizovani i da su usmereni dalje od spekularne površine. U slučaju refleksije, normala se može zaključiti iz incidentnih i izlaznih pravaca prema dobro poznatom Snellovom zakonu. Za slučaj refrakcije, pretpostavlja se da su pravci zraka fizički značajni i da opisuju stvarnu refrakciju, a ne potpunu unutrašnju refleksiju. Željene površinske normale se mogu izračunati na jednostavan način iz linearne kombinacije normalizovanih pravaca zraka.

Prema jednom otelotvorenju ovo se može uraditi interpolacijom odlaznih pravaca zraka u čvorovima mreže korišćenjem baricentričnih koordinata. Dalji detalji u vezi sa otelotvorenjem za određivanje normala n iz pravca upadne i izlazne zrake a i b opisani su u poglavlju 2.2. Kaustika unazad i u poglavlju 2.2.1 Pravci zraka ka normalama u prilogu.

Normalno polje se zatim može integrisati u polje visine koje formira površinu koja se može preneti na providni ili reflektujući materijal. U skladu sa jednim otelotvorenjem, ovo se postiže algoritmom optimizacije koji kombinuje zahtev integrabilnog normalnog polja sa ciljem reprodukcije ciljne slike proizvoljnog intenziteta pomoću kaustike stvorene refleksijom ili prelamanjem izračunatog objekta. Algoritam optimizacije omogućava korisniku da specificira slike proizvoljnog intenziteta cilja i da dobije reflektujuću ili refraktirajuću površinu koja, pod predviđenom geometrijskom konfiguracijom u odnosu na kaustičan prijemnik i dat smer upadnog osvetljenja, proizvodi kaustični uzorak. Dalji detalji u vezi sa otelotvorenjem za pretvaranje normalnog polja u polje visine opisani su u poglavlju 2.3 Normalna polja do visine polja i 2.3.1. Matrica normalnih jednačina u prilogu.

Prema jednom otelotvorenju, polje površinskih normala je kontinuirano i polje visine je kontinuirano diferencirano. Ovo pojednostavljuje proračune pod pretpostavkom da kaustika formira kontinuirani obrazac. Štaviše, efekti senčenja, interrefleksije i disperzije se mogu zanemariti.

Prema jednom otelotvorenju, druga površina kojoj odgovara druga mreža je savršeno zrcalna, a površina prijemnika kaustike, odnosno prva površina na kojoj je vidljiva kaustična slika, pretpostavlja se da je ravna.

Prema drugom otelotvorenju, prva mreža prvih čvorova i druga mreža drugih čvorova formiraju trouglastu ili četvorougaonu mrežu koja sadrži trouglaste ili četvorougaone ćelijske oblasti. U principu, može se koristiti mreža bilo koje proizvoljne strukture.

Prema jednom otelotvorenju, prva ćelijska oblast Ad,i prve mreže i prva ćelijska oblast As,i druge mreže su formirane od najmanje tri čvora. Međutim, oni takođe mogu biti formirani od bilo kog drugog pogodnog broja čvorova uključujući 4, 5, 6, 8, 10 ili više čvorova.

Prema sledećem otelotvorenju, prva mreža prvih čvorova je obična fiksna mreža. Dalji detalji u vezi sa otelotvorenjem za diskretizaciju polja visine kao regularnu mrežu su opisani u poglavlju 2.1 Napredna kaustika u prilogu.

U skladu sa još jednim otelotvorenjem, postupak dalje obuhvata podešavanje položaja čvorova druge ćelijske oblasti As,2 druge mreže pored prve ćelijske oblasti As,1 druge mreže tako da druga ćelijska oblast As ,2 druge mreže odgovara unapred definisanom izlazu drugog zračenja M1 drugog snopa svetlosti koji upada na drugu površinu, naznačeno time što je drugi snop svetlosti u blizini prvog snopa i ima odgovarajući fluks zračenja Φ2 koji pada na prva površina ćelije Ad,2 prve mreže i na drugoj površini ćelije As,2 druge mreže koja odgovara osvetljenosti u odgovarajućoj drugoj površini ćelije Ad,2 prve mreže dvodimenzionalne slike i naznačeno time što prva ćelijska oblast As,1 druge mreže i druga ćelijska oblastAs,2 druge mreže imaju najmanje jedan zajednički čvor.

Ponovo količina svetlosti koja se transportuje kroz svaki frustum definisan zracima koji ograničavaju ćelijsku oblast As,i prve ili druge mreže ostaje konstantna. Ovo omogućava dodeljivanje vrednosti osvetljenosti svakom polju ili oblasti ćelije mreže koja može uključivati milione ćelija. Dalji detalji u vezi sa otelotvorenjem za reprodukciju normalnog polja pomoću polja visine opisani su u poglavlju 2.1 Integrabilnost u prilogu.

Prema jednom otelotvorenju, ukupna površina druge mreže na drugoj površini uključujući zbir svih površina drugih ćelija As,i ostaje nepromenjena nakon podešavanja položaja čvorova u poređenju sa ukupnom površinom druge mreže pre podešavanja.

U skladu sa drugim otelotvorenjem, susedni snopovi svetlosti koji upadaju na drugu površinu sadrže isti izlaz M;. Ovo predstavlja situaciju u kojoj je druga površina ozračena kolimiranim snopom svetlosti sa homogenom raspodelom intenziteta.

Prema pronalasku, obezbeđen je drugi postupak za formiranje reflektivne ili refraktivne površine koji obuhvata radnje diskretizacije dvodimenzionalne slike u prvu mrežu prvih čvorova na prvoj površini, naznačeno time što čvorovi na prvoj površini definišu prvu površinu ćelije Ad ,i prve mreže na koju pada snop svetlosti sa prvim fluksom zračenja Φi; diskretizaciju reflektujuće ili refraktivne druge površine u drugu mrežu drugih čvorova, naznačeno time što čvorovi na drugoj površini definišu prvu ćelijsku površinu As,i druge mreže na koju pada snop svetlosti sa prvim fluksom zračenja Φi; i prilagođavanje položaja čvorova prve ćelijske oblasti Ad,i prve mreže na prvoj površini da odgovaraju unapred definisanom izlazu zračenja M1, naznačeno time što unapred definisani izlaz zračenja M1 odgovara željenoj osvetljenosti dvodimenzionalne slike u prvoj ćelijskoj oblasti Ad,i prve mreže.

Prema ovom postupku pronalaska, polje visine se zaključuje iz date dvodimenzionalne slike u nijansama sive ili kaustičke mreže pomoću proračuna „nazad“ da bi se odredila površina tako da refleksija ili refrakcija od te površine generiše željenu kaustičnu sliku. Slika u tonovima sive je opisana prvom mrežom prvih čvorova, a reflektujuća ili refrakciona površina je opisana drugom mrežom drugih čvorova. Za razliku od gore opisanog prvog postupka, čvorovi druge mreže na zrcalnoj ili refraktivnoj drugoj površini iz koje zraci izlaze na kaustiku se fiksiraju, dok se čvorovi prve mreže, odnosno na kaustiku pomeraju. Dakle, prva mreža ili fotonska mreža se deformiše da bi reprodukovala datu sliku.

Deformisanjem prve mreže, željene količine svetlosti (izlaznost zračenja Mi) se mogu dodeliti odgovarajućim površinama kaustika, naznačeno time što je manja površina u prvoj mreži na prvoj površini gde je slika u sivim tonovima ili nastaje kaustika, što je veća količina svetlosti po površini u prvoj mreži kaustika, povećavajući njenu svetlost. Nasuprot tome, veća površina prve mreže na prvoj površini rezultira smanjenom osvetljenošću. Kada se pronađe deformacija ove prve mreže, normalno polje se dobija slično postupku opisanom iznad. Mreža može uključivati bilo koji odgovarajući broj ćelija kao što je 10000, 1 milion,

10 miliona, 100 miliona ili bilo koji broj između.

Prema jednom otelotvorenju, postupak dalje sadrži određivanje površinskih normala druge površine na svakom od čvorova prve ćelije površine Ad,i druge mreže, normale površine koje odgovaraju zracima snopa svetlosti koji upadaju na drugu površinu i prostiru se između čvorova prve ćelijske oblasti Ad,1 druge mreže na drugoj površini i čvorova sa podešenim položajima prve ćelijske oblasti Ad,i prve mreže na prvoj površini; i izračunavanje visinskog polja koje odgovara normalama površine.

Da bi se reflektovali ili refraktirali zraci na drugoj površini reflektovanja tako da seku prijemnu površinu sa prvom mrežom u određenim tačkama, normalno polje treba da se prilagodi u skladu sa tim. Shodno tome, normale n se izračunavaju iz pravca incidentne i izlazne zrake a i b, naznačeno time što se pretpostavlja da su ovi vektori normalizovani i da su usmereni dalje od spekularne površine. U slučaju refleksije, normala se može zaključiti iz incidentnih i izlaznih pravaca prema dobro poznatom Snellovom zakonu. Za slučaj refrakcije, pretpostavlja se da su pravci zraka fizički značajni i da opisuju stvarnu refrakciju, a ne potpunu unutrašnju refleksiju.

Željene površinske normale se mogu odrediti iz linearne kombinacije normalizovanih pravaca zraka. Prema jednom otelotvorenju ovo se može uraditi interpolacijom odlaznih pravaca zraka u čvorovima mreže korišćenjem baricentričnih koordinata. Dalji detalji u vezi sa otelotvorenjem za određivanje normala n iz pravca upadne i izlazne zrake a i b opisani su u poglavlju 2.2. Kaustika unazad i u poglavlju 2.2.1 Pravci zraka ka normalama u prilogu.

Normalno polje se zatim može integrisati u polje visine koje formira površinu koja se može preneti na providni ili reflektujući materijal. Ovo se može uraditi rešavanjem kontinualne površine koja najbolje odgovara normalnom polju. Dalji detalji u vezi sa otelotvorenjem integracije normalnog polja u polje visine opisani su u poglavlju 4.1.7 Integrabilnost i prilogu.

Prema drugom otelotvorenju, polje površinskih normala je kontinuirano i polje visine je kontinuirano diferencirano. Ova karakteristika može osigurati da deformacija fotonske mreže dovede do značajnog normalnog polja. Prema jednom otelotvorenju rešenje za ovaj problem je optimizacioni algoritam koji kombinuje zahtev integrabilnog normalnog polja sa ciljem da reprodukuje ciljnu

sliku proizvoljnog intenziteta pomoću kaustike stvorene refleksijom ili refrakcijom izračunatog objekta. Dalji detalji u vezi sa otelotvorenjem integracije normalnog polja u polje visine opisani su u poglavlju 4.1.7 Integrabilnost i prilogu.

Prema jednom otelotvorenju, prva oblastAd,i prve mreže i druga oblastAs,i druge mreže su formirane od najmanje tri čvora. Međutim, oni takođe mogu biti formirani od bilo kog drugog pogodnog broja čvorova uključujući 4, 5, 6, 8, 10 ili više čvorova.

Prema sledećom otelotvorenju, druga mreža drugih čvorova je obična fiksna mreža.

U skladu sa još jednim otelotvorenjem, postupak dalje obuhvata podešavanje položaja čvorova druge ćelijske oblasti Ad,2 prve mreže pored prve ćelijske oblasti Ad,1 prve mreže, naznačeno time što druga ćelijska oblast Ad,2 prve mreže odgovara drugom snopu svetlosti koji je u blizini prvog snopa svetlosti, naznačeno time što drugi snop svetlosti ima drugi izlaz M2 radijacije na površini druge ćelije Ad,2 prve mreže koja odgovara osvetljenosti u odgovarajućoj drugoj ćelijskoj oblasti Ad,2 prve mreže dvodimenzionalne slike.

Prema jednom otelotvorenju, druga ćelijska oblast Ad,2 prve mreže i prva ćelijska oblast Ad,1 prve mreže imaju najmanje jedan zajednički čvor ili dva ili više čvorova.

Prema jednom otelotvorenju, postupak obuhvata podešavanje položaja čvorova svih ćelijskih oblasti Ad,i prve mreže.

Prema sledećem otelotvorenju, susedni snopovi svetlosti sadrže isti fluks zračenja Φi i isti izlaz zračenja M; na prvoj i drugoj ćelijskoj oblasti As,i druge mreže (9), respektivno, i sadrže isti fluks zračenja Φi i različite izlaza zračenja M1i M2 na prvoj i drugoj ćelijskoj oblasti Ad,i prve mreže (1) koja ima podešene pozicije čvorova, respektivno.

U skladu sa sledećim otelotvorenjem, postupak dalje obuhvata podešavanje položaja čvorova druge ćelijske oblasti Ad,2 prve mreže, naznačeno time što druga ćelijska oblast Ad,2 prve mreže odgovara drugom snopu svetlosti koji ima drugi izlaz zračenja M2 na području druge ćelije Ad,2 prve mreže i barem delimično preklapa prvu ćelijsku oblast Ad,1 prve mreže tako da se superpozicija prvog snopa svetlosti i drugog snopa svetlosti odgovara superponiranom intenzitetu svetlosti u preklapajućoj oblasti prve ćelije Ad,1 prve mreže i druge površine ćelije Ad,2 prve mreže na prvoj površini.

Superpozicija prvog snopa svetlosti i drugog snopa svetlosti i odgovarajućih regiona prve mreže koji se preklapaju da bi stvorili veoma svetle tačke, oblasti ili linije na kaustičnoj slici nazivaju se nabori. Dalji detalji u vezi sa otelotvorenjem za generisanje pregiba i karakteristike odgovarajućeg generatora pregiba opisani su u poglavlju Generator pregiba, u poglavlju 4.1 Realizacija, u poglavlju 4.1.1. Položaji pregiba, u poglavlju 4.1.2 Orijentacija ivice, u poglavlju 4.1.3 Orijentacija pregiba, u poglavlju 4.1.4. Orijentacija pregiba bez izvoda, i u poglavlju 4.1.5 Sprovođenje nabora u prilogu.

Prema daljem otelotvorenju, preklapajuća prva ćelijska oblast Ad,1 prve mreže i druga ćelijska oblast Ad,2 prve mreže odgovaraju najmanje jednom koraku prelaza intenziteta svetlosti ili singularnosti intenziteta svetlosti u dvodimenzionalnu sliku. Postepeni prelaz može uključivati povećanje intenziteta svetlosti u dvodimenzionalnoj slici za više od 10%, 20%, 30%, 40%, 50% ili 100% ili više između dve tačke slike koje su na udaljenosti manjoj od 1/1×10<3>1/1×10<4>ili 1/1×10<6>ili manje od prečnika slike. Štaviše, stepenasti prelaz intenziteta svetlosti može se opisati stepenastom funkcijom ili singularnošću funkcije intenziteta svetlosti na liniji ili tački slike.

Prema daljem otelotvorenju, postupak obuhvata podešavanje položaja čvorova višestrukih ili svih ćelijskih oblasti Ad,i prve mreže, naznačeno time što višestruke ćelijske oblasti Ad,i prve mreže odgovaraju višestrukim susednim snopovima svetlosti koji imaju odgovarajući radijantni izlazi M; na oblastima ćelija Ad,i prve mreže i na oblastima ćelija As,i druge mreže, oblasti ćelija Ad,i prve mreže se barem delimično preklapaju jedna sa drugom što odgovara višestrukim preklapajućim snopovima svetlosti, naznačeno time što regioni na prvoj površini gde se višestruki snopovi svetlosti preklapaju jedan sa drugim obuhvataju regione koraka prelaza intenziteta svetlosti dvodimenzionalne slike.

Prema drugom otelotvorenju, postupak obuhvata podešavanje položaja čvorova višestrukih ili svih ćelijskih oblasti Ad,i prve mreže, naznačeno time što višestruke ćelijske oblasti Ad,i prve mreže odgovaraju višestrukim susednim snopovima svetlosti koji imaju odgovarajuće izlazi zračenja M; na oblastima ćelija Ad,i prve mreže i na oblastima ćelija As,i druge mreže, naznačeno time što se neke od oblasti ćelija Ad,i prve mreže barem delimično preklapaju jedna na drugu što odgovara višestrukom preklapanju snopova svetlosti, naznačeno time što regioni na prvoj površini gde se višestruki snopovi svetlosti preklapaju jedan sa drugim obuhvataju regione koraka prelaza intenziteta svetlosti dvodimenzionalne slike i neke od oblasti ćelija Ad,i prve mreže koji se ne preklapaju jedni druge u skladu sa susednim snopovima svetlosti koji upadaju na susedne ćelije Ad,i prve mreže.

U skladu sa daljim otelotvorenjem, čin prilagođavanja položaja čvorova ćelijskih oblasti Ad,i prve mreže i određivanja površinskih normala druge površine na čvorovima prvih ćelijskih oblasti Ad,1 druga mreža koja ima podešene pozicije se izvodi sa algoritmom optimizacije. Podešavanje položaja čvorova ćelijskih oblasti Ad,i prve mreže može se izvršiti prema detaljima u poglavlju 3.1 Četvrt osvetljenja u prilogu. Međutim, drugi postupci takođe mogu biti prikladni.

Prema drugom otelotvorenju, postupak dalje obuhvata čin određivanja najmanje jedne ćelijske površine Ad,i prve mreže koja sadrži najmanje jednu ivicu stepenastog prelaza intenziteta svetlosti koja odgovara singularnosti funkcije intenziteta svetlosti na dvodimenzionalnoj slici i određivanje položaja ivice prelaza intenziteta svetlosti u najmanje jednoj ćelijskoj oblasti Ad,i prve mreže.

Prema drugom otelotvorenju, čin određivanja najmanje jedne ćelijske oblasti Ad,i prve mreže koja sadrži najmanje jednu ivicu prelaza intenziteta svetlosti uključuje korišćenje Cannijevog algoritma za detekciju ivica.

U skladu sa još jednim otelotvorenjem, postupak dalje obuhvata čin određivanja vektora dC,i koji definiše orijentaciju ivice prelaza intenziteta svetlosti i smer ili visokog ili niskog intenziteta svetlosti u dvodimenzionalnoj slici u odnosu na ivicu. Vektor dC,i se može definisati kao da ima poziciju upravno na ivicu prelaza intenziteta svetlosti.

U skladu sa još jednim otelotvorenjem prilagođavanje položaja čvorova prve ćelijske oblasti Ad,1 prve mreže na prvoj površini i druge površine ćelije Ad,2 prve mreže na prvoj površini je bar delimično u skladu sa položajem ivice prelaza intenziteta svetlosti tako da druga površina ćelije Ad,2 prve mreže koja odgovara drugom snopu svetlosti preklapa prvu ćelijsku oblast Ad,1 prve mreže u regionu koji obuhvata ivicu prelaza intenziteta svetlosti i prvi snop svetlosti se shodno tome preklapa sa drugim snopom svetlosti.

Prema drugom otelotvorenju, postupak uključuje izvođenje optimizacije korišćenjem optimizacionog algoritma da bi se dobile površinske normale druge površine. Površinske normale druge površine mogu se dobiti jednom kada su položaji čvorova prve ćelijske oblasti Ad,1 prve mreže na prvoj površini i površine druge ćelije Ad,2 prve mreže na prvoj površina određeni.

U skladu sa još jednim otelotvorenjem, postupak uključuje fizičku proizvodnju površine materijala prema polju visine. Materijal može imati zrcalnu površinu da reflektuje svetlost ili može biti providan da refrektuje svetlost. Materijal može da se sastoji od refraktivnog akrilnog stakla ili da sadrži ovaj materijal ili može da se sastoji od reflektujućeg aluminijuma ili bilo kog drugog metala ili da sadrži ovaj materijal.

U skladu sa još jednim otelotvorenjem, postupak uključuje proizvodnju površine sa više ravnih površina ćelija prema izračunatom polju visine.

Prema sledećom otelotvorenju, ćelijske oblasti mogu imati konkavan ili konveksan oblik. Oblik se može postići odgovarajućim postupkom poliranja.

U skladu sa još jednim otelotvorenjem, postupak uključuje poliranje proizvedene površine da bi se uklonile ili smanjile ivice.

U skladu sa još jednim otelotvorenjem, postupak uključuje obezbeđivanje izvora svetlosti koji je konfigurisan da sija kolimirano svetlo, paralelno svetlo ili svetlost tačkastog izvora svetlosti na površinu koja sadrži polje visine.

Prema pronalasku obezbeđen je aparat koji je konfigurisan da sprovede postupak kao što je prethodno opisano. U skladu sa jednim otelotvorenjem, sistem je konfigurisan da obrađuje površinu materijala tako da obuhvata oblik u skladu sa poljem visine kako je određeno postupkom kao što je prethodno opisano.

Prema jednom otelotvorenju, sistem sadrži modul koji je konfigurisan da na osnovu šablonske slike odredi deformaciju mreže koja sadrži nekoliko ćelija koje odgovaraju zamišljenim delimičnim svetlosnim snopovima od kojih svaka ima odgovarajući fluks zračenja Φi takav da u deformisanoj mreži svaka oblast ćelije odgovara unapred određenom intenzitetu svetlosti ili izlazu Mi odgovarajućeg imaginarnog parcijalnog snopa, zbiru unapred određenih intenziteta svetlosti koji formiraju šablonsku sliku.

Prema drugom otelotvorenju, sistem sadrži modul koji je konfigurisan da dobije polje površinskih normala na površini na koju zamišljeni delimični svetlosni snopovi udaraju na osnovu utvrđene deformacije mreže. Površina može odgovarati refraktivnoj ili reflektujućoj površini ili površini koja odgovara slici koju formiraju zamišljeni delimični svetlosni snopovi.

Prema jednom otelotvorenju, sistem sadrži modul koji je konfigurisan da odredi polje visine na osnovu polja normala površine, polje visine predstavlja površinu refraktirajuće ili reflektujuće ploče od materijala koja proizvodi šablonsku sliku kada je svetlost obasjava.

U skladu sa drugim otelotvorenjem, sistem sadrži optimizacioni algoritam koji izračunava najmanje jednu od deformisane mreže, polja normalne površine i polja visine.

Prema jednom otelotvorenju, sistem sadrži generator pregiba koji je sposoban da detektuje i odredi poziciju i/ili orijentaciju prelaza intenziteta svetlosti u šablonskoj slici.

U skladu sa još jednim otelotvorenjem, generator pregiba uključuje modul za određivanje deformacije mreže koja odgovara intenzitetima svetlosti zamišljenih parcijalnih snopova definisanih šablonskom slikom, naznačeno time što modul razmatra najmanje jednu ivicu svetlosnog prelaza na šablonskoj slici kao singularnost funkcije distribucije intenziteta svetlosti i/ili kao oblast u kojoj se ćelije deformisane mreže preklapaju jedna sa drugom što odgovara preklapanju snopova koji izlaze iz različitih ćelijskih oblasti fiksne mreže na prelamajućoj ili reflektujućoj površini. Zbog preklapanja ćelija, na slici se stvaraju nabori ili preklapajući intenziteti svetlosti koji nastaju kada se svetlost osvetli na površinu koja odgovara polju visine.

Štaviše, u skladu sa jednim otelotvorenjem, jedan ili više računarskih medija za skladištenje koji na sebi čuvaju višestruke instrukcije koje, kada se izvršavaju od strane jednog ili više procesora, izazivaju da jedan ili više procesora izvode postupak u skladu sa jednim ili više otelotvorenja opisanih gore.

Dalje karakteristike prednosti i karakteristike pronalaska će proizaći iz sledećeg opisa primera izvođenja otelotvorenja pronalaska sa referencom na priložene crteže i prilog. Na crtežu

Slika 1 prikazuje refleksiju svetlosnog snopa na spekularnoj površini i njegovo odstupanje do fotonske mreže kao osnovni princip otelotvorenja; Slika 2 šematski prikazuje deformisanje (temene ui,j) mreže na zrcalnoj ravni, dok je mreža na prijemnoj površini (temeni xi,j) fiksirana;

Slika 3 prikazuje šematsku skicu postupka optimizacije za generisanje reflektivne (leve) ili refraktivne (desne) površine, naznačeno time što su potrebni vektori normalne površine (srednji red) izračunati tako da refreksija ili refleksija ujednačene dolazne svetlosti stvara željenu kaustičnu sliku i stvarna 3D površina se dobija integracijom (donji red);

Slika 4 šematski prikazuje deformisanje (temene ui,j) mreže na prijemnoj ravni, dok je mreža na zrcalnoj površini (temeni xi,j) fiksirana;

Slika 5 prikazuje rezultat optimizacije kaustike, naznačeno time što je slika ulaznog intenziteta prikazana u (a) stvarnoj proizvedenoj kaustici izračunatoj pomoću alata za simulaciju svetla globalnog osvetljenja, kao što je prikazana u (b), slici razlike u (c) ilustruje , da su razlike male, a kaustiku u (b) proizvodi površinu visinskog polja čije su izokonturne linije prikazane u (d).

Slika 6 prikazuje u gornjem redu kaustiku reflektujuće trake koja počinje da se preklapa kako se traka savija stvarajući pregib, a u donjem redu kaustiku sa naborima dobijenim sa reflektujućom ili reflektujućom površinom koja odgovara obliku ulaza ciljane slike (a, c) i stvara živu zajedljivu šaru sa naborima kao što je prikazano u svetlosnim simulacijama (b, d).

Otelotvorenja pronalaska će biti opisana sa referencom na slike 1 do 6. U skladu sa prvim otelotvorenjem, reflektujuća površina je proizvedena na osnovu date slike u sivim tonovima (slika 5a), naznačeno time što refleksija ili refrakcija od te generisane površine reprodukuje originalnu sliku u nijansama sive (slika 5b).

U postupku je pretpostavljeno da nije došlo do efekata inter-refleksije i senčenja, a pretpostavljeno je da su zrcalne površine glatke, tako da će generisani kaustik biti susedni. Ovo je omogućilo upotrebu dvodimenzionalne mreže koja u osnovi definiše poprečni presek svetlosnog zraka.

Originalna slika u sivim tonovima na ravnoj površini 2 je diskretizovana u regularnoj mreži 1, a zrcalna površina 5 je takođe diskretizovana u regularnoj mreži 9. U skladu sa diskretizacijom slike i površine, hipotetički svetlosni snop je diskretizovan na nekoliko delimičnih snopova, naznačeno time što svaki delimični snop odgovara ćeliji 3 mreže 1 na diskretizovanoj slici u nijansama sive i ćeliji 11 na spekularnoj površini 5.

Dok je fiksna mreža 1 korišćena za opisivanje slike u nijansama sive, čvorovi mreže 9 zrcalne površine 5 koji ograničavaju delimični snop se pomeraju unaokolo. Deformisanjem te mreže 9, željene količine svetlosti se mogu dodeliti odgovarajućim površinama kaustika koji treba da se reprodukuje. Dodela željenih količina svetlosti zasniva se na distribuciji intenziteta na diskretizovanoj slici u sivim tonovima: što je veća površina ćelije u iskrivljenoj mreži 9 na zrcalnoj površini 5, to se više svetlosti projektuje na nepromenjenu površinu ćelije u kaustičnoj mreža 1, povećavajući njenu svetlost. Granični temeni iskrivljene mreže 9 bili su ograničeni da ostanu na granici.

Pod pretpostavkom savršene spekularnosti zrcalne površine 5, fluks zračenja Φi (ukupna emitovana ili upadna snaga) ostaje konstantan kroz svaki snop koji se može definisati pomoću površine trougla, četvorougla ili višestrane ćelije mreže 1 ili 9 (vidi sliku 1). Fluks je jednak izlaznosti zračenja Mi (emitovana snaga po jedinici površine) pomnoženoj sa površinom u originalnoj mreži Ao,i,

jednaka je zračenju Is,i (upadna snaga po jedinici površine) pomnoženoj sa površinom As,i na površini ogledala,

i jednaka je zračenju Id,i puta površini Ad,i na prijemniku.

Pod pretpostavkom da postoji paralelni izvor svetlosti i trouglovi jednake veličine, Mi i Is,i su isti za svaki trougao. Shodno tome, rezultujuća ozračenost Id,i na površini prijemnika 2, doprinos ovog trougla ili multilaterale je proporcionalan originalnoj površini podeljenoj sa rezultujućom površinom u fotonskoj mreži 1. U osnovi, ovo je rezultujuća nagrizajuća svetlost kada se za prijemnik pretpostavi Lambertov (tj. savršeno difuzni) model refleksije.

Kada se pronađe deformacija ove mreže 9, normalno polje se dobija interpolacijom odlaznih pravaca zraka u čvorovima mreže koristeći baricentrične koordinate. Određivanje deformacije mreže 9 opisano je u poglavlju 3.1. Četvrt osvetljenja u prilogu, dok je određivanje normalnog polja prema jednom otelotvorenju opisano u poglavlju 3.2. u aneksu.

Normalno polje se naknadno integriše u površinu polja visine. Ova površina polja visine reprodukuje željene kaustične slike sa veoma visokom preciznošću. Površina visinskog polja je zatim preneta na reflektujuću površinu materijalne ploče.

Rezultat nagrizanja koji nastaje padanjem svetlosti na proizvedenoj reflektujućoj površini prikazan je na Sl.5b. Slika 5a prikazuje sliku intenziteta na kojoj je zasnovana proizvedena reflektujuća površina. Slika razlike prikazana na Sl. 5c ilustruje da su razlike između slike originalnog intenziteta i kaustika proizvedenog sa proizvedenom reflektujućom površinom male. Izračunata površina visinskog polja koja sadrži izokonturne linije prikazana je na Sl.5d.

Prema sledećom otelotvorenju, stvorena je refraktivna ili reflektujuća zrcalna površina koja proizvodi kaustiku sa naborima. Nabori su efekti koji nastaju superpozicijom zraka koje izlaze iz različitih ćelijskih oblasti zrcalne površine. Nabori su tipične svetle konture koje nastaju kada se susedni kaustik preklapa (Vidi Sl.6 u gornjem redu). Uvođenje nabora ne podržava preciznu reprodukciju originalne slike, ali naglašava istaknute karakteristike originalne slike. Oni takođe unose dvosmislenost u smislu da se tačka kaustičnog uzorka ne može pratiti do tačno jedne tačke na reflektujućoj ili refraktivnoj površini. Stoga, kaustika uključujući nabore može sadržati dodatne optičke efekte koji nisu nužno uključeni u originalnu sliku.

Za ovaj pristup razmatrana je fiksna, pravilna mreža na reflektujućoj ili prelamajućoj površini (temeni xi,j), a mreža iste povezanosti na prijemnoj površini (temeni ui,j) je deformisana (vidi sliku 4). Vektori koji pokazuju od xi,j do ui,j su željeni pravci zraka koji se reflektuju ili prelamaju na površini ogledala. Dok je korišćena fiksna mreža 9 spekularne površine 5, čvorovi mreže 1 koji opisuju sliku u sivim tonovima se pomeraju. Deformisanjem te mreže 1, željene količine svetlosti se mogu dodeliti odgovarajućim površinama kaustika koji treba da se reprodukuje. Dodeljivanje željene količine svetlosti zasniva se na raspodeli intenziteta na diskretizovanoj slici u sivim tonovima: što je veća površina ćelije u iskrivljenoj mreži 1 koja odgovara slici sivih tonova na prijemnoj površini 1, manje svetlosti se projektuje na oblast ćelije u kaustičnoj mreži 1, smanjujući njenu osvetljenost. Ovaj princip je prikazan na Sl.3 za reflektujuću kaustiku u levom redu i za refraktivnu kaustiku u desnom redu.

Međutim, do sada opisani proces ne uključuje nabore. Kao ulaz za generisanje nabora, korišćen je Cannijev algoritam za detekciju ivica za detekciju ivica i prelaza intenziteta svetlosti na ulaznoj slici. Posebno su pomoću algoritma detekcije određene ćelije mreže koje su uključivale prelaze intenziteta svetlosti. Zatim je određena pozicija i orijentacija ivica i prelaza intenziteta svetlosti.

Koristeći algoritam optimizacije, određuje se deformacija mreže 1 na kaustičnoj površini, naznačeno time što se prelazne ivice tretiraju kao singularnosti funkcije raspodele intenziteta svetlosti i kao oblasti u kojima se ćelije originalne mreže 1 preklapaju jedna sa drugom i shodno tome zraci koji izlaze iz različitih oblasti ćelija fiksne mreže 9 na zrcalnoj površini 5.

Koristeći pravce ulaznih i izlaznih zraka od zrcalne površine 5 do površine 1 kaustika, izračunato je normalno polje, a zatim je pronađeno polje visine koje se optimalno poklapa sa ovim normalama koristeći pristup opisan u poglavlju 2.3. Normalna polja do visine polja u prilogu (vidi Sl.3).

Promenljive koje su korišćene za karakterizaciju željenih nabora u ćelijama mreže opisane su u poglavljima 4.1. i 4.1.1 do 4.1.9 u prilogu.

Nakon toga, generisano je normalno polje koje je zatim integrisano u polja visine. Ponovo je osigurano da se generisano normalno polje može integrisati u polje visine. U ovom aspektu, postupak koji je korišćen je otprilike isti kao za gornje otelotvorenje i kao što je opisano u poglavlju 3.2 u prilogu.

Primeri kaustika sa naborima koji su dobijeni reflektujućim ili refraktivnim materijalima na koje su preneta izračunata polja visine prikazani su na slici 6, u donjem redu. Slike 6 a i c opisuju ciljnu sliku na osnovu koje su određena i izračunata visinska polja, a slike 6 b i d prikazuju nagrizajuće slike koje se sastoje od nabora koji su dobijeni sijanjem svetlosti na ploče od providnog ili reflektujućeg materijala koji čine površinsku strukturu što odgovara polju izračunate visine.

Da li je jasno vidljivo, da se nabori pored naglašavanja istaknutih struktura ciljnih slika, kao što su ivice svetlosnih prelaza, pojavljuju i na drugim pozicijama koje nisu povezane sa originalnom slikom i čine oblik koji nije u potpunosti predvidljiv. Međutim, ovaj veštački aspekt u kaustičnim slikama je poželjan. Međutim, kao što je vidljivo na slikama 6 b i d, pozicija i generisanje nabora u kaustici su kontrolisani, pošto su nabori generisani da se pojavljuju samo unutar svetlih belih oblasti originalne ciljne slike.

Modifikacije se mogu primeniti na specifična otelotvorenja opisana gore bez napuštanja obima pronalaska.

Korišćeni referentni brojevi

1 prva mreža

2 prva površina

3 ćelijska površina prve mreže

5 druga površina

9 druga mreža

11 ćelijska površina druge mreže

Generisanje kaustike iz date geometrije je popularan problem u računarskoj grafici. Ova teza razmatra inverzni problem: S obzirom na sliku u nijansama sive, pronađite oblik površine koja će baciti kaustiku da joj odgovara. Predložena su dva nova pristupa. Prvi pristup je pogodan za prirodne slike i u stanju je da ih precizno reprodukuje sa glatkom reflektujućom ili refrakcionom površinom. Funkcioniše tako što optimizuje dvodimenzionalnu mrežu na spekularnoj površini, gde je svako lice odgovorno za deo kaustike, a njegova površina određuje rezultujuću osvetljenost te zakrpe. Normalno polje se dobija iz ove deformisane mreže i zatim se integriše u polje visine. Drugi pristup, pogodan uglavnom za monohromatske slike, reprodukuje ivice koristeći tipične, oštre karakteristike kaustike, koje se ovde nazivaju naborima. Osobine takvih obrazaca se proučavaju i pretvaraju u okvir za optimizaciju, koji opet proizvodi normalno polje. Ova ideja se zatim proširuje na sistem koji omogućava korekcije rezultata koje vodi korisnik. Oba pristupa su demonstrirana na različitim slikama i verifikovana korišćenjem softvera za renderovanje otvorenog koda LuxRender.

Sadržaj

Lista figura ix Lista tabela xi 1 Uvod 1

1.1 Povezani rad 3 1.2 Pregled 4 2 Okvir 5

2.1 Napredna kaustika 6 2.2 Kaustika unazad 8

2.2.1 Pravci zraka ka normalama 8 2.3 Normalna polja do visine polja 9

2.3.1 Matrica normalnih jednačina 10 3 Iskrivljavanje svetline 13 3.1 Četvrt osvetljenja 15 3.2 Integrabilnost 16 3.3 Korekcija konzistencije 18 3.4 Više mreža 18 3.5 Rezultati 19 4 Generator pregiba 25 4.1 Realizacija 25 4.1.1 Položaji pregiba 27 4.1.2 Orijentacija ivice 28 4.1.3 Orijentacija pregiba 29 4.1.4 Orijentacija pregiba bez izvoda 30 4.1.5 Sprovođenje nabora 30 4.1.6 Ograničenje dometa 31 4.1.7 Integrabilnost 32 4.1.8 Glatkoća 33 Lista figura ix Lista tabela xi 4.1.9 Dalja razmatranja 34 4.2 Efikasnost orijentacije pregiba 35 4.3 Rezultati 36 5 Uređivanje pregiba 41

5.1 Otkrivanje kritičnih tačaka 41 5.2 Praćenje kontura 43 5.3 Rezultati 44 6 Diskusija 47

6.1 Uklanjanje pojednostavljenja 47 6.1.1 Tačkasti izvori svetlosti 47 6.1.2 Nesavršena spekularnost 49 6.2 Pregled 52 6.2.1 Delimična planarnost 52 6.2.2 Pogodnost pristupa 53 7 Izgled 55

7.1 Polja stvarne visine 55 7.2 Diskontinuirana normalna polja 56 7.3 Generator pregiba 56 7.4 Dalja proširenja 57 8 Zaključak 59 A Normalna polja do visine polja 61 A.1 Gauss-Seidel postupak 61 A.2 Postupak konjugovanog gradijenta 62 Autori slike 65 Bibliografija 67

Lista figura

1.1 Reflektivna i refrakciona kaustika izazvana plastičnom bocom 1 1.2 Pregib: nagrizajuća reflektujuća traka koja se savija 2 2.1 Generisanje kaustike 6 2.2 Normalna kriva 6 2.3 Refleksija svetlosnog zraka 7 Refrakcija 9 Raspored elemenata visinskog polja/normalnog polja 10 Rezultat preliminarnog rada 13 Iskrivljavanje svetline: Mreža na zrcalnoj ravni je deformisana (ui,j), dok je mreža na prijemniku fiksirana (xi,j) 14 Izlaz iskrivljavanja svetline za šablon Mona Lize, relativno nekoliko koraka. 19 Izlaz iskrivljavanja svetline za šablon Mona Lize, više mreža 20 Efekat konstante koji se dodaje osvetljenosti 21 Rezultat iskrivljavanja svetline za minimalističku šablonsku sliku 21 Rezultat iskrivljavanja svetline za šablonsku sliku 22 Polje visine i rezultat LuxRender za šablon pande 22 Rezultat iskrivljavanja svetline za šablon Cherokee Pass 23 Rezultat iskrivljavanja svetline za Lena test sliku 24 Generator pregiba: Mreža na prijemniku je deformisana (ui,j), dok je mreža na zrcalnoj ravni fiksirana (xi,j) 26 Raspored uC,i, dC,ii l(α) 26 Položaji pregiba 27 Orijentacija ivice 28 Orijentacija pregiba 29 Orijentacija pregiba bez izvoda 30 Sprovođenje nabora 31 Grafikon jezgra 35 Efekat pripremne faze 35 Izlaz optimizacije za dva koncentrična kruga 36 Rezultat optimizacije za simbol radioaktivnosti 37 Rezultat optimizacije za dva šablona smajlija 37 Rezultat optimizacije za pentagram 38 Rezultat optimizacije za pentagram, sa dodatnim kaznama za tamne regione 38 Rezultat optimizacije za siluetu mačke 38 Fotoni koji odgovaraju kandidatima za kritičnu tačku 42 Histogram ciljne funkcije 43 Praćenje kontura 43 Interaktivni koraci za uređivanje 44 Interaktivni rezultat za simbol radioaktivnosti 45 5.6 Interaktivni rezultat za pentagram 45 5.7 Interaktivni rezultat za siluetu mačke 46 6.1 Ponovljena primena iskrivljavanja svetline na šablon Mona Lize 49 6.2 Rezultati dekonvolucije za Lenu 50 6.3 LuxRender rezultati za Lenu, sa i bez dekonvolucije 51 6.4 LuxRender rezultati za „Mohnblumen“, sa i bez dekonvolucije 51 8.1 Renderovanje pokazuje rezultat iskrivljavanja svetline 60

Lista tabela

4.1 Tajming za različite primere generisanja pregiba 39 6.1 Opsezi dubine nekih površina generisani korišćenjem 52 iskrivljavanja svetline

6.2 Opseg dubine površina proizvedenih generatorom pregiba 53

Uvod

Kaustike su obrasci svetlosti koji nastaju kada se svetlost reflektuje ili refrektuje od zakrivljenih površina. U zavisnosti od predmeta koji su uključeni, kaustika može postati veoma složena, što u velikoj meri povećava vizuelnu privlačnost scene. Računanje kaustike u datoj trodimenzionalnoj sceni jedna je od poteškoća fotorealističkog renderovanja i bila je predmet opsežnog istraživanja.

Ova teza razmatra inverzni problem: Datoj slici, izračunajte oblik reflektivnog ili refraktivnog objekta koji, kada je osvetljen datim izvorom svetlosti, projektuje sliku na poznatu difuznu površinu. Za razliku od providnosti, ovo ne funkcioniše apsorpcijom već preusmeravanjem svetlosti, tako da se u suštini kompletna snaga zračenja baca na difuznu površinu. Kao posledica toga, neke oblasti kaustika mogu biti svetlije nego što bi bile da su osvetljene samo direktnom svetlošću.

Ovaj inverzni problem pronalaženja reflektora ili refraktora za datu kaustiku je težak iz nekoliko razloga. Oblik površine nudi veliki prostor za optimizaciju, koji je pored toga podređen mnogim lokalnim minimumima. Vreme koje većina softvera za renderovanje zahteva da izračuna kaustiku osim toga čini nepraktičnim primenu optimizacijskih algoritama, koji treba da procene svoje ciljne funkcije hiljadama ili čak milionima puta. Međutim, GPU-ovi su uspešno korišćeni za ublažavanje tog problema [FDL10].

Drugi razlog za poteškoće su naborima (slika 1.2). Nabori su tipične svetle konture koje se javljaju kada se susedni kaustik preklapa. Problem sa naborima je što su veoma istaknuti, ali ih je teško kontrolisati. Oni takođe unose dvosmislenost u smislu da se tačka kaustičnog uzorka ne može pratiti do tačno jedne tačke na reflektujućoj ili refraktivnoj površini.

U ovoj tezi predlažu se dva pristupa. U prvom pristupu, nazvanom iskrivljavanje svetline, fiksna, susedna kaustika se smatra četvorostrukom mrežom. Ova reprezentacija je izračunata iz poznate spekularne površine, najjednostavnije, pravougaonika. Reflektivna ili prelamajuća površina se zatim deli na četvorougaone mrlje koje odgovaraju površinama u kaustici. Optimizacijom površine ovih zakrpa, osvetljenost odgovarajućih kaustičnih četvorki se može prilagoditi datoj distribuciji. U drugom koraku, normalno polje se izračunava iz ovog mapiranja i zatim se konvertuje u polje visine. Ovo nije moguće za proizvoljna normalna polja, stoga korak optimizacije površine takođe mora da potvrdi da se rezultat zaista može integrisati u polje visine.

Ova procedura podrazumeva značajna ograničenja za algoritam, naime, ograničena je na fiksni, susedni kaustik predstavljen mrežom i zahteva datu raspodelu osvetljenosti za svoje površine. Štaviše, ignoriše stvarni oblik reflektora ili refraktora i radi samo na normalnim površinama. Ova pojednostavljenja rezultiraju diferencijabilnom funkcijom cilja, omogućavajući upotrebu postupaka optimizacije zasnovane na gradijentu. Pored toga, oba rešavaju problem sub-optimalnih lokalnih minimuma i zaobilaze skupe kaustične procene. Uprkos pojednostavljenjima, pristup je dovoljno moćan da verno reprodukuje slike.

Drugi pristup predložen u ovoj tezi ima drugu perspektivu na problem. Dok prvi menja distribuciju svetline kaustika fiksnog oblika, ovaj modifikuje kaustičan oblik. Postupci su slični po tome što obe rade na mapiranju lica reflektora/refraktora na kaustične površine. Ovaj postupak se zasniva na različitim jednačinama koje opisuju nabore na unapred određenim pozicijama, koje se koriste kao ciljevi za optimizaciju kaustike, uvodeći nabore tamo gde su željeni. Opet, normalno polje se dobija iz izlaza optimizacije i zatim se integriše u polje visine. Pristup je kasnije proširen kako bi se omogućilo ručno uređivanje kaustike.

Dok je prvi pristup pogodan za generisanje unapred određenih prirodnih slika kao kaustika bez nabora, drugi generiše tipične karakteristike pregiba, ali nema kontrolu nad ukupnom distribucijom svetline. Stoga je uglavnom pogodan za jednostavne, jednobojne šare kao što su logotipi, koji se uglavnom formiraju reprodukcijom njihovih kontura.

Primene ovog dela su uglavnom umetničke prirode. Kaustika je zanimljiva sa umetničke tačke gledišta jer oblik odgovarajućeg zrcalnog objekta ne otkriva direktno kaustiku koju će proizvesti. Površine generisane jednim od pristupa predloženih u ovoj tezi mogu se koristiti u arhitekturi ili dizajnu enterijera, na primer kao specijalni prozori koji stvaraju interesantne kaustike kada su osvetljeni sunčevom svetlošću. Prvi pristup se takođe može koristiti za dizajn svetiljki. Ove aplikacije često uključuju jako zakrivljene reflektore i male udaljenosti do izvora svetlosti, tako da postupak nije prikladan direktno zbog pojednostavljenja koje se vrši. Međutim, to bi moglo da pruži osnovu za nove postupke koje ukidaju ova ograničenja.

1.1. Povezani rad

Zadatak reprodukcije unapred određene distribucije svetlosti pomoću spekularne površine takođe se javlja u oblasti dizajna inverznog reflektora, koji se koncentriše na reflektore za lampe. Anketu o dizajnu inverznog reflektora dali su Patov i Pueio [PP05]. Postoje dve vrste takve distribucije svetlosti, distribucija u bliskom i dalekom polju. Distribucije bliskog polja određuju raspodelu ozračenosti na datoj površini (obično ravni) koju treba reprodukovati, što je takođe cilj ove teze. Distribucije dalekog polja mogu se smatrati graničnim slučajevima kada je površina koju treba osvetliti beskonačno udaljena od reflektora, tako da je samo distribucija pravaca zraka bitna.

Postupci za projektovanje inverznog reflektora obično koriste pristup analize po sintezi: Neka površinska reprezentacija je izabrana za parametrizaciju reflektora, kao što je NURBS [ASG08]. Zatim se procenjuje raspodela svetlosti izazvana površinom i ocenjuje u odnosu na željenu, koja se koristi za iterativnu optimizaciju parametara površine. Primenjene su različite strategije optimizacije, u rasponu od okvira koji omogućavaju analitičku diferencijaciju, čime se omogućava korišćenje postupka konjugovanog gradijenta [Neu97], i postupaka koji izračunavaju derivate približno [FDL10] do onih koji uopšte ne koriste derivate [ASG08]. Primeri koji koriste evolucionu optimizaciju [DCC99] takođe pripadaju poslednjoj kategoriji. Prema autorovim saznanjima, nijedan od ovih postupaka ne koristi sličan pristup u dva koraka koji prvo optimizuje normalno polje, a tek kasnije iz njega izračunava polje visine. Ovo može biti zbog činjenice da tipične aplikacije koriste izvor svetlosti blizu reflektora, koji je jako zakrivljen tako da je svetlost fokusirana, što ovaj pristup u dva koraka čini prilično neprikladnim.

Pojednostavljenja nametnuta na sceni variraju; pretpostavke o savršenoj spekularnosti i samo jednom odbijanju svetlosti bez interrefleksija ili okluzija (kao što se koristi u ovoj tezi) su uobičajene, mada postoje izuzeci i za jedno i za drugo [PPV07, MMP09]. Ograničenje na rotaciono simetrične reflektore se takođe često koristi, posebno u teorijskim radovima [VN75].

Ovi radovi se uglavnom fokusiraju na reflektujuće površine, iako se mnogi lako proširuju na prelamanje. Jedan značajan primer koji istražuje problem refrakcije je rad Finckha et al. [FDL10]. Oni koriste GPU proračune da ubrzaju kaustičnu procenu, i algoritam stohastičke aproksimacije za optimizaciju, koji je u stanju da pronađe globalni optimum.

Što se tiče refraktivnih objekata, oblast dizajna sočiva je takođe vredna pažnje, iako su ciljevi ovih problema različiti, npr. korekcija aberacije. Ovi problemi su često ograničeni na mali broj parametara kao što su radijusi osnovnih primitivnih oblika [PP05]. Opet, postoje izuzeci, npr. rad Loosa et al. [LSS98], koji koristi reprezentaciju zasnovanu na NURBS-u za optimizaciju progresivnih sočiva.

Veirich et al. [WPMR09] su izabrali drugačiji pristup za reprodukciju unapred određene distribucije dalekog polja: Prvo, generisali su skup nagnutih, ravnih mikrofaceta da bi ostvarili željenu distribuciju pravaca zraka. Zatim su ih poredali u regularan niz koristeći simulirano žarenje da bi minimizirali rezultujuće diskontinuitete.

Usko povezan sa radom Veiricha et al. je sistem za bliska polja koji su predložili Papas et al. [PJJ<+>11]. Papas et al. su proširili su pojam mikrofaceta na zakrivljene mikrozakrpe, koje se koriste za proizvodnju mrlja svetlosti sa anizotropnom Gausovom distribucijom. Oni se eksplicitno „fokusiraju na složeniji efekat prelamanja, dok reflektivni slučaj sledi po analogiji“. Da bi demonstrirali svoje rezultate, oni takođe fizički proizvode prelamajuće površine od akrilnog stakla (PMMA, zaštićeni pleksiglas).

Postoji preklapanje između postupka iskrivljavanja svetline koji je ovde predložen i njihovog rada, u stvari, naziv je pozajmljen iz odeljka pod nazivom „Irradiance Warp“ [PJJ<+>11, odeljak 5.1]. Da bi izračunali oblik mikrokrpa koje proizvode Gausovu raspodelu zračenja, Papas et al. „definisali su bijektivno mapiranje između tačaka u domenu mikropatch-a i tačaka na ravni projekcije, analitički izračunali površinske normale koje prelamaju/reflektuju svetlost na ovaj način“ i konačno „integrisali ovo normalno polje da bi se došlo do potrebne površine mikrokrpa“. Pristup koji je ovde predložen funkcioniše na isti način, sa dve glavne razlike. Prvo, bijektivno preslikavanje je invertirano, odnosno tačke na ravni projekcije su ovde fiksirane, dok se one na spekularnoj površini pomeraju. Drugo, zbog jednostavnog oblika željene kaustike, Papas et al. ne moraju eksplicitno da vode računa o integrabilnosti njihovih normalnih polja, što je ključni sastojak za reprodukciju proizvoljnih slika. Mora se napomenuti da je ovde predloženi postupak razvijen bez poznavanja rada Papas et al., koji je tek potom došao u centar pažnje autora, a naziv postupka je kasnije promenjen iz manje adekvatnog.

1.2. Pregled

Ostatak ove teze je strukturiran na sledeći način. Poglavlje 2 navodi pretpostavke koje su napravljene da bi se razvili pristupi. Štaviše, opisuje nekoliko građevinskih blokova koji će se kasnije koristiti. Pristup iskrivljavanja svetline je osmišljen u poglavlju 3, a postupak generisanja preklopa u poglavlju 4. Rezultati ova dva pristupa se takođe razmatraju u njihovim odgovarajućim poglavljima. Poglavlje 5 zatim razmatra funkcionalnosti koje pružaju osnovu za uređivanje pregiba koje vodi korisnik.

Poglavlje 6 razmatra pitanja koja se tiču oba pristupa i opisuje kako se neka ograničenja koja su napravljena u poglavlju 2 ukidaju u implementaciji.

Dodatne ideje o tome kako bi se dalja ograničenja mogla ukinuti, i naznake za potencijalni budući rad nalaze se u 7. poglavlju.

Okvir

Ovo poglavlje prvo opisuje pretpostavke i pojednostavljenja na kojima se zasnivaju sledeća tri poglavlja. Odeljci 2.1 do 2.3 zatim navode osnovne funkcionalnosti implementacije, koje su osmišljene u preliminarnom radu.

Tokom ove teze, polje ravne visine se koristi za generisanje kaustike. Diskretizovana je pomoću regularne mreže. Da bi se proračuni dodatno pojednostavili, stvarni pomak polja visine se zanemaruje, a jednostavna ravan se koristi za praćenje zraka. Samo smerovi reflektovanog/refraktovanog zraka se izračunavaju iz normala polja visine. Dakle, u suštini, operacije su zasnovane na normalno mapiranoj ravni, iako fizička ponovljivost normalnog polja i dalje mora biti osigurana (vidi odeljak 2.3). Rasprava o ovom pojednostavljenju može se naći u odeljcima 6.2.1 i 7.1.

Difuzna površina na koju se projektuje kaustika (u daljem tekstu prijemnik) takođe se pretpostavlja da je ravan. Pretpostavlja se da svetlost emituje udaljeni izvor svetlosti, tako da se zraci tretiraju kao paralelni. Tačkasti izvori svetlosti su razmatrani u odeljku 6.1.1.

Smatra se da su refleksije i refrakcije savršeno zrcalne; alternativa je objašnjena u odeljku 6.1.2. Pretpostavljamo da nema senčenja, interrefleksije i, što se tiče prelamanja, nema potpune unutrašnje refleksije. Spektralni efekti poput disperzije su takođe zanemareni.

Štaviše, pretpostavlja se da je kaustika kontinualni obrazac, što znači da će normalno polje biti kontinuirano, a odgovarajuće polje visine je kontinuirano diferencirano. Ovo očigledno ograničava zajedljivost koja se eventualno može generisati, ali čini dizajn pristupa znatno jednostavnijim.

Pristupi osmišljeni u ovoj tezi rade na reflektivnim i refraktivnim podešavanjima. U reflektirajućem slučaju postoji samo jedno polje visine. U slučaju refrakcije, uključene su dve površine, jedna gde svetlost ulazi u medijum, a druga gde izlazi. Za prvi od ova dva jednostavno se pretpostavlja da je ravan (održavajući upadnu svetlost paralelno), a algoritmi rade samo na drugoj površini.

2.1. Napredna kaustika

Počnimo sa opisom načina na koji se kaustika generiše iz polja visine u implementaciji. Pristup koji koristimo je vezan za mapiranje fotona ili praćenje zraka koje počinje od izvora svetlosti.

Kao što je gore pomenuto, pretpostavlja se da su zrcalne površine glatke, i da ne dolazi do međusobne refleksije i senčenja, tako da će kaustika biti susedna. Ovo nam omogućava da koristimo dvodimenzionalnu trouglastu mrežu koja u osnovi definiše poprečni presek svetlosnog zraka. Zatim možemo pratiti zrak za svaki vrh pojedinačno. Analogno postupku fotonskog mapiranja, projekcija ovih temena na prijemnik će se u daljem tekstu nazivati položajima fotona, a mreža koju formiraju kao fotonska mreža.

Da bismo reflektovali ili refrektirali zrak, očigledno moramo da dobijemo normale iz polja visine. Slika 2.2 pokazuje da je normala visinskog polja z(x,y) kolinearna sa vektorom

Pošto je naše visinsko polje diskretizovano kao redovna mreža, možemo jednostavno izračunati normalu u svakom čvoru visinskog polja korišćenjem konačnih razlika, a zatim koristiti bilinearnu interpolaciju (zajedno sa ponovnom normalizacijom) da bismo dobili normale na proizvoljnim pozicijama na površini . Koristeći standardne operacije praćenja zraka, sada možemo izračunati fotonsku mrežu odbačenu na prijemniku. Oblik fotonske mreže definiše rezultujuću raspodelu osvetljenosti u kaustičnom uzorku; razmotrimo stoga svetlost koja se prenosi kroz scenu.

Pod pretpostavkom savršene spekularnosti, fluks zračenja Φi(ukupna emitovana ili upadna snaga) ostaje konstantan kroz svaki snop definisan trouglom i, vidi sliku 2.3. On je jednak izlaznosti zračenja Mi(emitovana snaga po jedinici površine) pomnoženoj sa površinom u originalnoj mreži Ao,i,

jednaka je zračenju Is,i(upadna snaga po jedinici površine) pomnoženoj sa površinom As,ina površini ogledala,

i jednaka zračenju Id,iputa površina Ad,ina prijemniku,

Pod pretpostavkom da postoji paralelni izvor svetlosti i trouglovi jednake veličine, Mii Is,isu isti za svaki trougao. U suštini, rezultujuća ozračenost Id,ina prijemniku koju doprinosi ovaj trougao je proporcionalna originalnoj površini podeljenoj sa rezultujućom površinom u mreži fotona. Kolokvijalno, ovo je rezultujuća kaustična osvetljenost, kada se za prijemnik pretpostavi lambertovski (tj. savršeno difuzni) model refleksije. U implementaciji, stvarna veličina ovih veličina nije bitna, rezultujuća osvetljenost kaustika može se proizvoljno skalirati da bi se obezbedila smislena vizualizacija.

2.2. Kaustika unazad

Uzimajući u obzir da se kaustika može tretirati kao dvodimenzionalna mreža trouglova (koja se možda sama po sebi preklapa), čini se da je posledično da se uređivanjem te fotonske mreže može direktno modifikovati kaustika. Za razliku od prethodnog odeljka, gde je kaustika izračunata iz visinskog polja, ovo je inverzni problem, tj. polje visine treba da se zaključi iz date kaustičke mreže, tako da se ovo može posmatrati kao kaustičko izračunavanje „nazad“.

Da bi se reflektovali ili refraktovali zraci na zrcalnoj površini tako da presecaju prijemnik u određenim tačkama, normalno polje treba da se prilagodi u skladu sa tim.

Prvo, potreban je način za izračunavanje normalnog n iz pravca upadnog i izlaznog zraka a i b, što je opisano u odeljku 2.2.1. Odeljak 2.3 zatim objašnjava kako će normalno polje biti pretvoreno u polje visine tako da postaje fizički značajno. Nažalost, ovaj korak obično ne može tačno da reprodukuje normalno polje, što čini direktno uređivanje kaustika na ovaj način izuzetno glomaznim zbog nastalih izobličenja.

2.2.1. Pravci zraka ka normalama

Kao što je pomenuto, prvo nam je potreban način da izračunamo normalno n iz pravca incidentnog i izlaznog zraka a i b. Pretpostavlja se da su ovi vektori normalizovani i da su usmereni dalje od spekularne površine.

U slučaju refleksije, trivijalno je zaključiti normalu iz incidentnih i izlaznih pravaca; ona je kolinearna sa njihovom srednjom vrednošću.

Za prelamanje, pretpostavimo dalje da su pravci zraka fizički značajni<1>i da opisuju stvarnu refrakciju, a ne potpunu unutrašnju refleksiju. Sada razmotrite Snelov zakon

Vektori a-(a·n)n i b-(b·n)n (vidi sliku 2.4) su kolinearni sa suprotnim pravcima i imaju dužine sin α i sin β, respektivno. Tako

koji se može preurediti u

Iz toga sledi da je projekcija a ηb na n ista kao i originalni vektor. Za η ≠ 1, ovaj vektor uvek ima dužinu različitu od nule, tako da n i a ηb moraju biti kolinearni.

Stoga možemo izračunati željenu normalu površine iz linearne kombinacije normalizovanih pravaca zraka, što je mnogo jednostavniji postupak od onog koji su opisali Papas et al.<1>Ako ne dođe do potpune unutrašnje refleksije, ugao između pravaca prelamanja zraka je uvek najmanje devedeset stepeni plus kritični ugao θcodgovarajuće granice materijala; θc= arcsin η̃, gde je η̃ ili η̃ ili η<-1>, šta god je manje od 1.

[PJJ<+>11]. Ne postoji čak ni potreba za razlikom između refleksije i refreksije, pošto će postavljanje η = 1 dati željeni rezultat u slučaju refleksije.

2.3. Normalna polja do visine polja

Od date fotonske mreže, sada se može dobiti normalno polje koristeći uvid iz prethodnog odeljka. Da bi se fizički proizveo reflektujući ili refraktivni objekat koji proizvodi željenu kaustiku, normalno polje se mora pretvoriti u polje visine. Ovaj odeljak opisuje kako.

Kao što je opisano u odeljku 2.1, normalno polje n(x, y) se može izračunati iz polja visine z(x, y) normalizacijom vektora

Nasuprot tome, možemo lako dobiti derivate za željeno polje iz normala:

Međutim, rezultujuće vektorsko polje možda nije polje gradijenta i stoga se ne može baš reprodukovati. Algoritmi koji generišu normalno polje stoga moraju uzeti u obzir njegovu integrabilnost da bi bili izvodljivi.

Ovo je osnova za konverziju normalnog polja u polje visine; preostali deo ovog poglavlja detaljno opisuje matematičke aspekte optimizacije.

Iz jednačine (2.9) izgleda prirodno formulisati problem kao sistem linearnih jednačina, koje aproksimiraju izvode vrednosti visinskog polja korišćenjem konačnih razlika. Malo drugačiji, analitički pristup integraciji gradijentnih polja se koristi u literaturi, npr. od Fattal et al. [FLV02].

Najjednostavniji način je da se izračunaju derivati na srednjim tačkama ivica mreže, vidi sliku 2.5. Da bi se dobile vrednosti na ovim pozicijama, usrednjavaju se normale iz dva susedna čvora mreže. Treba napomenuti da će ovo dovesti do nekog zamućenja između prvobitnog normalnog polja i onog rekonstruisanog iz rezultujućeg polja visine.

U matričnom zapisu dobijamo linearni sistem Ax ≈ b. A i b se sastoje iz

dva dela; (Nx- 1)Nyredova za , i Nx(Ny- 1) redova za . Vektor x sadrži NxNynepoznatih. Kao što se i očekivalo, mogućnost nekonzistentnih polja dovodi do sistema koji ima više jednačina nego nepoznanica za Nx, Ny> 2, koje rešavamo najmanjim kvadratima. Odgovarajuće normalne jednačine su

2.3.1. Matrica normalnih jednačina

Hajde da bliže pogledamo A i izvedemo A<T>A iz jednačine (2.10) koja će se koristiti za efikasnu implementaciju bez matrice. Kao što je upravo pomenuto, A se sastoji od dva dela:

Axse sastoji od (Nx- 1) × Nxblokova, od kojih je svaki Ny× Ny

podmatrica. Svaki red blokova odgovara koloni od derivati. Za udobnost, faktor

od konačnih razlika se pomera na desnu stranu, gde je h razmak mreže. Dakle, b sadrži željene derivate pomnožene sa h, a jedini unosi različiti od nule za Axsu ±1.

Ayse sastoji od Nx× Nxblokova, od kojih je svaki (Ny- 1) × Nypodmatrica. Svaki red blokova predstavlja kolonu od derivati.

omogućava nam da zapišemo Axi Aykoristeći Kronekerov proizvod.

Koristeći (A ⊗ B)<T>= A<T>⊗ B<T>i svojstvo mešovitog proizvoda Kronekerovog proizvoda (A ⊗ B) (C ⊗ D) = AC ⊗ BD, dobijamo

sa N × N matricom

Stavljajući ovo zajedno, možemo videti format A<T>A, koji se sastoji od Nx× Nxblokova Ny× Nypodmatrica. Ovo omogućava efikasnu primenu proizvoda A<T>Ax.

Postoji značajna sličnost sa matricom koja odgovara dvodimenzionalnoj Poasonovoj jednačini na regularnoj mreži. Zaista, pristup koji koriste Fattal et al.

[FLV02] dovodi do Poissonove jednačine; jedna mala razlika je u tome što derivacija prikazana ovde automatski implicira granični uslov.

Singularnost matrice

Treba napomenuti da ako je z(x,y) rešenje problema optimizacije, onda je i z'(x, y) = z(x, y) d. Drugim rečima, kada se dodaje konstanta svim nepoznatim, rezultat će ostati nepromenjen; u matričnom zapisu (koristeći vektor jedinica 1), ovo implicira

Ovo je takođe očigledno iz činjenice da je suma u A redovima 0. Prema tome, matrica A<T>A iz normalnih jednačina je singularna i samo pozitivno poludefinisana. Ovaj problem se može izbeći fiksiranjem jedne od nepoznatih na 0 uklanjanjem odgovarajućeg reda i kolone iz A<T>A i A<T>b, što čini matricu striktno pozitivno određenom, a rešenje jedinstvenim.

U stvari, napor za to dodatno rukovanje nije neophodan i za Gauss-Seidel-ovu i za postupak konjugovanog gradijenta, koji navode simetriju i strogu pozitivnu određenost kao dovoljne (ali ne i neophodne) uslove za konvergenciju [GVL96, She94]. Prvi takođe konvergira za strogo dijagonalno dominantne matrice, ali je lako videti da je A<T>A samo slabo dijagonalno dominantan. Uprkos tome, Gauss-Seidelov postupak kao i postupak konjugovanog gradijenta će raditi sa gornjom matricom. Dodatak A sadrži grubi pregled zašto to rade.

Iskrivljavanje svetline

Kao što je objašnjeno u poglavlju 2, kaustika se može generisati diskretizacijom svetlosnog snopa pomoću mreže i praćenjem zraka za svaki vrh. Rezultirajuća projekcija na prijemniku formira fotonsku mrežu, a deformisanjem se može uređivati kaustika. Ovo se najlakše postiže ako postoji izlazni zrak za svaki čvor mreže visinskog polja, tako da se normale po čvoru mogu direktno dobiti iz pravaca zraka bez potrebe za interpolacijom.

Ovo zapažanje je bilo osnova za pristup razvijen u preliminarnom projektu. Pokušao je da deformiše („iskrivi“) prvobitno regularnu fotonsku mrežu kako bi se poklopila sa unapred definisanom kaustičnom slikom koristeći neke grube heuristike. Rezultat je prikazan na slici 3.1. Pristup je osmišljen tako da zadrži bijektivnost početnog kaustika, odnosno nije trebalo da proizvodi nabore. Željena osvetljenost svake površine je stoga određena odgovarajućim delom slike, bez potrebe da se uzimaju u obzir moguća preklapanja u kaustici.

<†>Poreklo svih slika označenih simbolom bodeža je navedeno u autorima slika na strani 65.

Jedno od problema sa ovim pristupom bilo je to što su modifikacije za bolje usklađivanje sa željenom osvetljenošću pomerile površine, što je zauzvrat promenilo njihovu željenu osvetljenost. Da bi se prevazišao ovaj problem, podešavanje se može obrnuti (slika 3.2): Fiksna mreža se koristi za opisivanje kaustike, a tačke na površini zrcala koje bacaju odgovarajuće zrake se pomeraju. Umesto toga, deformisanjem te mreže, željene količine svetlosti se mogu dodeliti odgovarajućim površinama kaustika; što je veća površina u ovoj iskrivljenoj mreži na spekularnoj ravni, to se više svetlosti projektuje na nepromenjenu oblast u kaustičnoj mreži, povećavajući osvetljenost. Granični temeni iskrivljene mreže su ograničeni da ostanu na granici.

Kada se pronađe deformacija ove mreže, normalno polje se dobija interpolacijom odlaznih pravaca zraka u čvorovima mreže koristeći baricentrične koordinate. Normalno polje se tada može integrisati u polje visine.

Treba napomenuti da ovaj pristup ne može uvesti nabore ili na drugi način promeniti ukupni oblik kaustika po dizajnu. Međutim, ne postoji pretpostavka koja sprečava da navedena fotonska mreža ima nabore - ako postoje nabori, oni će biti sačuvani. U stvari, ovo je još jedna prednost u odnosu na direktno deformisanje kaustične mreže, jer bi u tom slučaju bilo neophodno uzeti u obzir preklapanja površina koja čine ukupnu rezultujuću osvetljenost. Kao loša strana, korak u kome je iskrivljena mreža mapirana nazad na pravilnu mrežu može izazvati izvesnu degradaciju oblika kaustika.

Sada ćemo postaviti sistem jednačina koje opisuju ograničenja osvetljenja (videće se da su kvadratna). Pored toga, želimo da osiguramo da se rezultujuće normalno polje može integrisati u polje visine. Odgovarajuće jednačine će takođe biti nelinearne.

Sistem jednačina je postavljen kao problem najmanjih kvadrata, koristeći linearnu kombinaciju odgovarajućih funkcija cilja. Ovaj problem optimizacije se tada može, na primer, rešiti najstrmijim spuštanjem ili postupkom nelinearnog konjugovanog gradijenta.

Prvo ćemo izvesti dve funkcije cilja za optimizaciju, zatim ćemo ukazati na pitanje kako ih kombinovati i kako poboljšati konvergenciju, i na kraju pokazati rezultate koje ovaj pristup proizvodi.

3.1. Četvrt osvetljenja

Prvo ćemo odrediti željenu površinu svakog četvorougla u iskrivljenoj mreži. Kao što se vidi u jednačinama (2.3) i (2.4), za površinu i imamo

gde je Is,iozračenost na reflektoru/refraktoru koja odgovara željenoj oblasti As,i, i Id,ije ozračenost na prijemniku koja odgovara oblasti Ad,i. Is,ije isti za sve površine pošto se pretpostavlja paralelni izvor svetlosti; Ad,isu određene datom kaustičnom mrežom. Id,inije poznato ali je proporcionalno željenoj osvetljenosti bikaustičnog lica, koja se dobija iz željene slike, dakle

Desna strana je poznata, a sabiranjem po svim površinama, konstanta proporcionalnosti se može eliminisati pošto je ukupna površina na površini ogledala takođe fiksirana:

U odeljku 2.1, ovo je opisano korišćenjem trouglova. Implementacija koristi mrežu četvorouglova, što ne bi trebalo da bude problem pošto algoritam izgleda ne uzrokuje da se oni sami ukrštaju u praksi. Da bi se izbegle singularnosti, slici se dodaje konstantna vrednost, čineći sve bistriktno pozitivnim tako da odgovarajuća površina ne postanu proizvoljno mala. Izbor ove konstante je kompromis između stabilnosti i kontrasta - implementacija stoga omogućava korisniku da je promeni.

Površina četvorougla koji se ne seče sa sobom sa oznakom ABCD u smeru suprotnom od kazaljke na satu je

Ovo pretvaramo u odgovarajući uslov osvetljenosti, gde je As,ABCDželjena oblast odozgo. Stoga je razumno koristiti relativna odstupanja površine za optimizaciju najmanjih kvadrata

Ovo možemo prepisati u matričnom zapisu, gde je u vektor koji sadrži sve uP, a MABCDje simetričan:

Kvadriranjem i sabiranjem ove količine za sve četvorouglove dobijamo funkciju cilja za deo osvetljenosti.

Gradijent izraza na kvadrat,

sada nam omogućava da koristimo ovaj cilj osvetljenja u optimizaciji zasnovanoj na gradijentu.

3.2. Integrabilnost

Kao što je ranije pomenuto, takođe želimo da budemo sigurni da se rezultujuće normalno polje može verno reprodukovati pomoću polja visine.

Za početak, hajde da ukratko ponovimo kako normala nPna vrhu P na reflektujućoj ili refrakcionoj površini povezuje polje visine i iskrivljenu mrežu. Normala je definisana odgovarajućim ulaznim i izlaznim pravcima svetlosti i i oPi količnikom indeksa prelamanja η (vidi odeljak 2.2.1, η = 1 za refleksiju). Upadni pravac i je konstantan i pretpostavlja se da je normalizovan; oPje jednostavno vektor rastojanja između odgovarajućih čvorova na zrcalnoj i difuznoj površini, i nije ovde normalizovan.

Bez gubitka opštosti, smatramo da se zrcalna, normalno mapirana površina nalazi u xy ravni. Malo zloupotrebe notacije nam stoga omogućava da zapišemo oP= xP- uP, gde se pozicija vrha naviše tretira kao trodimenzionalni vektor sa z komponentom od 0.

Normala nPje sada povezans sa derivatima nepoznatog polja visine z(u) kao što se vidi u odeljku 2.3:

Pošto derivati odgovaraju normali podeljenoj njenom z komponentom, normalu nPne treba normalizovati. Stoga je modifikovana definicija

ηoPumesto se ovde koristi radi pogodnosti.

Da bi se obezbedilo postojanje polja visine sa istim normalama, vektorsko polje definisano normalama mora biti konzervativno, tj. linijski integral oko bilo koje zatvorene petlje mora biti nula,

Ovo je posledica teoreme o gradijentu.

Alternativni uslov, koji zahteva delimične izvode vektorskog polja definisanog jednačinom (3.8), navode Fatal et al. [FLV02]. Pristup koji je ovde opisan radi na četvorostrukoj mreži, gde temeni definišu vrednosti vektorskog polja, tako da izračunavanje parcijalnih izvoda polja ne bi bilo trivijalno. Štaviše, interesuju nas i derivati odgovarajućih jednačina, što bi još više zakomplikovalo stvari. Zbog toga je poželjno držati se gornjeg integrala petlje kako bi se potvrdila integrabilnost normalnog polja.

Ako je taj uslov zadovoljen za ivice svih četvorouglova ABCD naše mreže, on će važiti za svaku zatvorenu petlju duž ivica mreže, i nadamo se da će biti približno zadovoljen za bilo koju petlju uopšte. Da bismo formulisali integral petlje, linearno interpoliramo vektorsko polje duž četvorovodnih ivica, što je ekvivalentno usrednjavanju vrednosti krajnjih tačaka ivice.

Opet, gore se tretiraju kao trodimenzionalni vektori sa z komponentom od 0.

Kvadriranjem i sabiranjem ove količine za sve četvorouglove dobijamo funkciju cilja za deo integrabilnosti.

Primerno izvodimo ovaj termin za uAx, koji će se koristiti za najstrmiji spust ili postupak konjugovanog gradijenta.

Podsećajući na definicije dobijamo:

Stavljajući sve zajedno,

sada smo u mogućnosti da koristimo ovaj uslov integrabilnosti u optimizaciji.

3.3. Korekcija konzistencije

Stavljajući funkcije integrabilnosti i osvetljenosti zajedno koristeći neki težinski koeficijent λ, dobijamo naivni cilj

Problem sa ovim je što kada se rezolucija polja promeni, funkcije će delovati drugačije: gABCDje integral petlje duž ivica četvorougla, tako da će se njegova vrednost prepoloviti kada se rezolucija polja udvostruči. Pošto je broj površina učetvorostručen, zbir veći od ne zavisi od rezolucije. S druge strane, fABCDje trenutna kvadratna oblast podeljena željenom površinom i stoga je nezavisna od rezolucije. Prema tome, zbir svih četvorki će se četvorostručiti kada se rezolucija udvostruči. Da bismo dobili konzistentnu meru nezavisnu od rezolucije, množimo g sa prosečnom kvadratnom površinom, tako da optimizacija glasi

3.4. Više mreža

Implementacija ovog pristupa je ubrzo pokazala da veoma dobro hvata fine detalje, međutim, očigledno je spor u smislu širenja promena osvetljenosti na velikim udaljenostima, vidi sliku 3.3. Ovo nije iznenađujuće, s obzirom na to da će četvorke jednake veličine u oblasti konstantnog osvetljenja praktično sprečiti jedni druge da rastu ili se smanjuju. Ovaj problem se može prevazići pristupom sa više mreža [Hac85], koji značajno smanjuje broj iteracija potrebnih za optimizaciju.

Postupak sa više mreža se obično primenjuju na linearne probleme, npr. Poissonove jednačine, koje se rešavaju korišćenjem iterativnog postupka kao što je Gauss-Seidel. Nakon pokretanja nekoliko iteracija za smanjenje visokofrekventnih komponenti zaostalih grešaka, one se smanjuju na grublju mrežu, gde se ekvivalentni problem rešava rekurzivno. Rešenje se zatim interpolira nazad u finiju mrežu i dodaje prethodnom rastvoru kao korekcija. Konačno, ponovo se primenjuje iterativni postupak da bi se dobilo konačno rešenje.

Problem je nelinearan, tako da ograničavanje samo zaostalog i korišćenje rezultujućeg rešenja grube mreže kao korekcije ovde nije primenljivo. Ipak, pošto su svi pojmovi definisani u odnosu na površini koja čine iskrivljenu mrežu, jednostavno je rešiti punu optimizaciju iskrivljavanja svetline na nižoj rezoluciji. Tačnije, grubi problem se može dobiti spajanjem četiri četvorke iskrivljene mreže visoke rezolucije u jedan četvorougao niske rezolucije.<1>Željene površine za grubu mrežu su tada jednostavno zbir četiri odgovarajuće površine fine mreže. Uslovi integrabilnosti ne zahtevaju nikakvu radnju za korak grubosti. Nakon rešavanja problema na nižoj rezoluciji, iskrivljena mreža se jednostavno deli, a postupak nelinearnog konjugovanog gradijenta se primenjuje na višoj rezoluciji, reprodukujući finije detalje željene slike.

<1>Ova šema ograničenja očigledno utiče na to kako treba birati rezolucije polja. Broj četvorouglova u jednoj dimenziji se bira kao umnožak stepena dva. Rezolucije navedene u ovom radu podrazumevaju se kao broj temena, tako da su ovo broj četvorouglova plus jedan.

3.5. Rezultati

Slike 3.4 do 3.10 prikazuju neke primere koji su generisani korišćenjem rešavača sa više mreža. Softver je prikazao izlazne slike kao što je opisano u odeljku 2.1 na slikama 3.4 do 3.7. Za verifikaciju rezultata, fizički zasnovan softver LuxRender je korišćen za generisanje izlaznih slika na slikama 3.8 do 3.10; u ovim slučajevima polje stvarne visine je korišćeno za prikazivanje kaustike, a ne samo normalnog polja.

Za svaku sliku osim slike 3.9, optimizacija za polje 641 × 641 (ograničeno na 200 iteracija po nivou sa više mreža, isključujući konverziju normalnog polja u polje visine) trajala je između tri i četiri minuta. Konverzija normalnog polja u polje visine trajala je nešto manje od dvadeset sekundi pri ovoj rezoluciji. Za polje 1793×1281 na slici 3.9, optimizacija je trajala oko osamnaest minuta, plus dva minuta za izračunavanje polja visine. Testovi su obavljeni na Intel Core 2 Kuad procesoru K6600 na 2,4 GHz koji koristi RedHat Enterprise Linux; implementacija je jednonitna i teško optimizovana.

Osvetljenost dobijenih slika je podešena tako da su najsvetlije oblasti postale otprilike bele. Na slikama na slici 3.4 izvršeno je isto podešavanje kao na slici 3.3(b).

Može se videti da je predloženi pristup u stanju da precizno reprodukuje slike. Pošto proizvodi glatku površinu, rezultati ne pate od artefakata kvantizacije

svojstveno sistemima poput onog koji su predložili Papas et al.

[PJJ<+>11]. Takođe nema malih diskontinuiteta koji mogu da uvedu artefakte, a manja je i opasnost od oštećenja površinskih karakteristika tokom poliranja glodanog prototipa. Kao što se vidi na slici 3.9, visoke rezolucije se mogu ostvariti u praktičnom vremenskom periodu, generišući rezultate gotovo proizvoljne preciznosti. Prema tome, tačnost kaustike koja se može postići korišćenjem ovog postupka uglavnom je ograničena proizvodnim procesom, odnosno koliko precizno se može proizvesti polje visine i koliko dobro se površina može polirati do skoro savršene spekularnosti.

Popularnu testnu sliku Lene (slika 3.10) su takođe koristili Papas et al. kao jedan od njihovih primera, a pored toga, pitali su Finckh et al. da na njemu pokreću svoj algoritam [FDL10]. Simulacija rezultujuće kaustike može se videti u [PJJ<+>11, slika 11] za pristup Finckh et al. (što je očigledno stvorilo kaustiku bez nabora), a u [PJJ<+>11, slika 12] za onu koju Papas et al. su predložili. Njihovo podešavanje, polje od 10 cm na udaljenosti od 25 cm od prijemnika, takođe je korišćeno u primerima prikazanim ovde.

Uzimajući u obzir tačnost koja se može postići, nije iznenađujuće da su oba postupka od strane Papas et al. i Finckh et al. bolji od pristupa predloženog u ovoj tezi. Za smislenije i pravednije poređenje, međutim, bilo bi interesantno fizički proizvesti polje kao što su Papas et al. uradili. Nažalost, to nije bilo moguće zbog vremenskih ograničenja.

Generator pregiba

Prethodni pristup nije prikladan za generisanje kaustika sa naborima, ali su oni ključna karakteristika vizuelno ubedljivih kaustičnih obrazaca. Jedna od glavnih poteškoća sa naborima je ta što se ne mogu jednostavno generisati na nasumične lokacije, jer podrazumevaju svetle, oštre konture, koje mogu da zagluše željenu sliku, a nije trivijalno dobiti eksplicitnu kontrolu nad oblikom i položajem ove konture.

Štaviše, nabori se mogu prostirati preko cele kaustike, tako da bi pristup koji pokušava da ih uvede lokalno verovatno bio previše restriktivan.

U ovom pristupu, postavili smo nekoliko uslova koji će nam, nadamo se, pomoći da generišemo kaustiku koja sadrži nabore na određenim lokacijama.

4.1. Realizacija

Podešavanje korišćeno za ovaj postupak je isto kao i za preliminarni rad koji je ukratko pomenut u poglavlju 3, odnosno razmatramo fiksnu, pravilnu mrežu na reflektujućoj ili refraktirajućoj površini (položaji kj), i deformišemo mrežu iste povezanosti na prijemnu površinu (pozicije uj), vidi sliku 4.1.

Vektori koji pokazuju od xjdo ujsu željeni pravci reflektovanih ili refraktiranih zraka. Koristeći ove i smerove ulaznih zraka, možemo izračunati normalno polje, a zatim pronaći polje visine koje optimalno odgovara ovim normalama koristeći pristup opisan u odeljku 2.3.

U odeljcima 4.1.1 do 4.1.6, kao i u odeljku 4.1.8, vektori x i u se shvataju kao dvodimenzionalni vektori u odnosu na odgovarajuće ravni, tj. i .

Hajde da sada definišemo neke varijable koje koristimo da karakterišemo željene nabore.

Pre svega, neka uC,ioznačava i-tu označenu tačku pregiba. Pošto pregib formira ivicu sa naglim smanjenjem osvetljenosti, potreban nam je i vektor koji definiše orijentaciju, koju ćemo označiti sa dC,i. Ovaj normalizovani vektor treba da bude ortogonan na ivicu pregiba i pokazuje na stranu koja treba da bude osvetljena (slika 4.2).

Takođe ćemo morati da znamo tačku x na površini zrcala u kojoj se upadni zrak reflektuje ili refrektira tako da će preseći prijemnik na uC,i. On određuje gde polje treba da bude modifikovano da bi se kontrolisala kaustika u oblasti oko uC,i. Ta tačka nije fiksna, pa uvodimo nepoznati vektor xC,iza svako uC,i.

Štaviše, ujće se morati koristiti kao funkcija u(x), koristeći odgovarajuće interpolaciono jezgro k:

Izvodi se zatim definišu korišćenjem derivata jezgra,

a analogno i za više derivate.

Sa ovim definicijama, možemo krenuti u formiranje različitih jednačina koje će, nadamo se, proizvesti željene pregibe.

4.1.1. Položaji pregiba

Uveli smo nepoznate xC,i, gde želimo da se upadni zrak reflektuje ili prelama na uC,i, tako da moramo da primenimo ovaj uslov:

Kao u odeljku 3.3, želimo da budemo oprezni da koristimo količine koje se ne menjaju kada se promeni rezolucija mreže. Međutim, do odeljka 4.1.6, oslanjamo se na u(x) da napravimo pregibe po želji i ne zahtevamo faktore korekcije.

Optimizacija će biti postavljena kao problem najmanjih kvadrata, pa kvadriramo jednačinu (4.3) i sumiramo je po svim navedenim tačkama i. Da bismo mogli da rešimo problem optimizacije, derivati su takođe prikazani ovde i u sledećim odeljcima. Derivati ||f1||<2>za ujrezultate

derivati za xC,isu skalarni proizvodi

<1>Imajte na umu da je f1 definisan za tačku i, tako da bi, strogo govoreći, ime f1bilo tačnije. Isto važi i za sledeće odeljke.

4.1.2. Orijentacija ivice

Hajde sada da pogledamo karakteristike pregiba koje želimo da reprodukujemo. Razmotrimo krivu na kaustičnom uzorku koja je definisana praćenjem prave linije na površini ogledala, l(α) := u(xC,i+ αt), kao što je prikazano na slici 4.2.

Ako u(xC,i) formira pregib, dobijamo kritičnu tačku na α = 0 kada se projektuje l(α) na dC,i. Drugim rečima, rezultujuća kriva l(α) je ortogonalna na pravac dC,ina α = 0. Stoga namećemo ovaj uslov, obezbeđujući da kaustika ima nabor ili bar svetlu oblast (ako je kritična tačka sedla) koja je ortogonalna na dC,i.

Pošto želimo da ovaj uslov važi za svako t, možemo eliminisati taj parametar da bismo dobili uslov koji se može koristiti za optimizaciju.

Ove termine kvadriramo i uključujemo u optimizaciju. Različiti derivati (ƒ2,x)<2>su

Gradijent (ƒ2,y)<2>se može izvesti analogno.

4.1.3. Orijentacija pregiba

Dok prethodni uslov obezbeđuje da ivica bude ortogonalna na dC,i, ne razlikuje se da li je pregib orijentisan kako je predviđeno, odnosno koja strana ivice će biti osvetljena. Da bismo ovo objasnili, želimo da kritična tačka u projekciji l(α) na dC,ibude lokalni minimum. Stoga želimo da njegov drugi derivat bude pozitivan. Pošto možemo samo da primenimo nenegativnost, to ne sprečava efektivno da tačka postane sedlo.

Nažalost, ovog puta nije tako lako eliminisati t, ali uključivanjem koordinatnih osa dobijamo dva neophodna uslova slična prethodnom rezultatu.

Da bismo kaznili samo negativne vrednosti uz obezbeđivanje kontinuiranih izvoda, koristimo min(0, ƒ3,x)<2>i min(0, ƒ3,y)<2>u optimizaciji. Derivati od (ƒ3,x)<2>su

Gradijent (ƒ3,y)<2>se opet može izvesti analogno.

4.1.4. Orijentacija pregiba bez izvoda

Nažalost, ideja iz odeljka 4.1.3 nije bila previše dobra, kao što će se videti u odeljku 4.2. Ovo može biti zbog trećih izvoda u jednačini 4.10. Stoga je kao alternativa osmišljen pristup bez derivata. Cilj je da se proceni u na malom rastojanju od xC,ii da se uveri da je rezultujuća tačka na ispravnoj strani željene ivice.

Za a, koristimo vektore . Kao i ranije, ako je ƒ4,a negativan, koristimo njegov kvadrat kao kaznu: min(0, ƒ4,a)<2>. Derivati od (ƒ4,a)<2>su

Imajte na umu da se izraz „bez izvoda“ odnosi na cilj opisan jednačinom (4.11), a ne na postupak optimizacije, koji naravno može biti zasnovan na gradijentu.

4.1.5. Sprovođenje nabora

Kao proširenje prethodnog odeljka, želimo da zaista gurnemo neke od u(xC,i+ a) dalje od ivice, a ne samo na ispravnu stranu. Ali ne možemo samo da nateramo ƒ4,a iz jednačine (4.11) da bude pozitivan, pošto ne mora svako a da rezultira u u koje je udaljeno od ivice. Stoga grupišemo četiri a u dva para ortogonalnih vektora.

Pretpostavimo da su odgovarajući pravci u(xC,i+a)-u(xC,i) takođe ortogonalni i da imaju istu dužinu. Ovo obično nije tačno, ali pruža osnovnu intuiciju za ovaj cilj. Ako su oba skalarna proizvoda sa dC,inenegativna (što se potvrđuje terminima iz prethodnog odeljka), rezultujuća vrednost f5 je kvadrat dužine ovih pravaca, nezavisno od njihove tačne orijentacije. Ako jedan od skalarnih proizvoda postane negativan,ρ će smanjiti f5 i postati negativan kvadrat dužine ako su oba negativna.

Zahtevajući da je f5 veći od pozitivnog praga c, možemo se uveriti da se pregib zaista proteže na željenu stranu. Kao što smo ranije uradili, mi kažnjavamo negativan f5 - c korišćenjem njegovog kvadrata u optimizaciji, što obezbeđuje kontinuirane izvode: min(0, f5 - c)<2>. Derivati od (f5 - c)<2>su

4.1.6. Ograničenje dometa

Takođe želimo da se uverimo da je xC,iunutar opsega koji definiše zrcalnu mrežu, možda čak i sa određenom marginom.

4.1.7. Integrabilnost

Pored ovih razmatranja generisanja pregiba, ponovo ćemo želeti da se uverimo da normalno polje koje generišemo može biti integrisano u polje visine. Izvođenje je otprilike isto kao i za optimizaciju iskrivljavanja svetline u odeljku 3.2.

U jednačini (3.10) definisali smo integral vektorskog polja duž ivica četvorougla ABCD i ovde ćemo koristiti istu formulu. Napomena:

� značenje u i x je zamenjeno u poređenju sa poglavljem 3: x su sada pozicije čvorova mreže na spekularnoj ravni, a u su pozicije na prijemniku, što uzrokuje malu razliku između jednačine (4.17) i (3.10); međutim, nepoznate su i dalje u;

� za razliku od prethodnih odeljaka, ovde pretpostavljamo da su u trodimenzionalni vektori u odnosu na globalni koordinatni sistem, a ne dvodimenzionalni vektori u odnosu na parametrizaciju prijemnika (ovo će očigledno zahtevati odgovarajuće transformacije koordinata);

� kao što smo uradili sa u u odeljku 3.2, x se ovde shvataju kao trodimenzionalni vektori sa z komponentom od 0, tj. pretpostavlja se da spekularna površina leži u xy ravni (bez gubitka opštosti).

Jednačina (3.10) se stoga pretvara u

Kvadriranjem i sabiranjem ove količine za sve četvorouglove dobijamo funkciju cilja za deo integrabilnosti. Kao što je objašnjeno u odeljku 3.3, ovo je nezavisno od rezolucije mreže, tako da nije potreban faktor korekcije. Opet, mi primerno izvodimo ovaj termin za uAx, tako da se problem najmanjih kvadrata može rešiti korišćenjem najstrmijeg spuštanja ili postupka konjugovanog gradijenta.

Podsećajući na definicije dobijamo:

Izvod za uAyfunkcioniše analogno, ali se mora voditi računa o uAz. Termin η(xBx-xDx) koji se vidi u (4.19) nestaje pošto je z komponenta x vektora

0, s druge strane, dobija dodatni η za drugi sabir u definiciji

4.1.8. Glatkoća

Konačno, većina nepoznatih u verovatno neće biti uključena u željeni nabor i stoga nemaju ograničenja osim integrabilnosti. Da bismo imali neku kontrolu nad njima, u našu optimizaciju uključujemo termin glatkoće,

gde je h razmak mreže. Kvadriramo ovaj izraz i sabiramo ga po svim unutrašnjim čvorovima mreže ui,j. Opet, želimo da budemo oprezni da koristimo količine koje se ne menjaju kada se promeni rezolucija mreže. Jednačina (4.22) je diskretni Laplasov i stoga je nezavisan od rezolucije po čvoru. Prema tome, potreban je faktor h<2>da bi zbir kvadrata bio nezavisan od rezolucije, što se prevodi u faktor h za izraz u jednačini (4.22).

Da bi se obezbedila glatkoća ui,jkoja leži na granici, slični uslovi se mogu formulisati korišćenjem jednodimenzionalnih konačnih razlika za druge izvode.

4.1.9. Dalja razmatranja

Ukratko, ciljevi definisani u odeljcima 4.1.1 do 4.1.8 opisuju sistem nelinearnih jednačina za koje se nadamo da će proizvesti kaustiku koja

� prikazuje obrasce na željenim lokacijama (odeljak 4.1.1) koji

- svetle u željenom pravcu (odeljak 4.1.2),

- produžuju do željene strane (odeljci 4.1.3 do 4.1.5);

� rezultira normalnim poljem koje se može verno reprodukovati korišćenjem polja visine (odeljak 4.1.7),

� je glatka (odeljak 4.1.8).

Treba napomenuti da ne postoje kazne za nabore koji se dešavaju negde drugde, osim činjenice da će ovi regioni verovatno imati veći Laplasov od drugih, što je kažnjeno ciljem glatkoće. Štaviše, ne postoje uslovi u vezi sa lokalnom osvetljenošću koja bi bila definisana šablonskom slikom. Ovaj zaključak ne bi trebalo da predstavlja problem, pošto se iskrivljavanja svetline može koristiti za podešavanje distribucije svetline - može da radi sa deformisanom kaustičnom mrežom, samo treba da uzme u obzir različite četvorougaone površine kada se računaju željene osvetljenosti. Nedostatak kontrole nad neželjenim preklopnim pozicijama, međutim, može biti problematičniji.

Interpolaciono jezgro

Interpolaciono jezgro korišćeno u jednačini (4.1) još uvek nije specificirano. Pošto rešavač konjugovanog gradijenta zahteva kontinuirane derivate, jednačina (4.10b) iz odeljka 4.1.3 zahteva jezgro koje se može tri puta kontinuirano diferencirati. Jedno takvo jezgro je [CP04], prikazano na slici 4.8.

ima kompaktan oslonac i tačnost četvrtog reda, odnosno pravilno će interpolirati kubične polinome.

Inicijalizacija

Da bi se algoritam inicijalizovao, glatki šablon šuma se koristi kao početni kaustik. Ovo uvodi složenost u rezultate i daje način da se generišu različiti obrasci za isti ulaz variranjem nasumičnog semena.

U implementaciji, polje visine se generiše korišćenjem glatkog Perlinovog šuma, a ujse dobijaju iz rezultujuće kaustike. Ovo ima prednost u tome što je odgovarajuće normalno polje inicijalno integrabilno, što se ne daje kada se deformacija fotonske mreže generiše direktno iz Perlinove buke.

xC,isu inicijalno postavljeni nasumično u svom dozvoljenom opsegu. Međutim, ovo će uticati na rezultate jer xC,iza susedno uC,imože početi na veoma različitim lokacijama, tako da će svako kreirati svoj mali nabor. Slika 4.9 ilustruje ovaj efekat. Da biste kreirali veće, povezane nabore, preporučljivo je pokrenuti pripremnu fazu koja optimizuje samo xC,ikoristeći cilj iz odeljka 4.1.1 i ostavlja uC,ikonstantnom. Intuitivno govoreći, bilo bi idealno da se tokom ove pripreme, xC,iza susedno uC,izaglavi zajedno u naboru koji postoji u početnoj kaustici. Zatim bi povukli nabor u željeni oblik tokom glavne optimizacije.

4.2. Efikasnost orijentacije pregiba

Eksperimenti su pokazali da cilj iz odeljka 4.1.3 (orijentacija na pregib) ne utiče na željene rezultate. Zbog toga je osmišljena alternativa bez derivata opisana u odeljku 4.1.4, na kojoj se opet zasniva odeljak 4.1.5.

Slika 4.10 služi za upoređivanje efekata dve ideje. Prikazuje rezultate kada se optimizacija pokrene na ulazu koji opisuje dva koncentrična kruga, od kojih se svaki sastoji od 50 tačaka. Pravci dC,ina većem krugu su usmereni ka unutra, a na manjem ka spolja, tj. željena kaustika treba da ispuni prostor između njih.

Slike 4.10(a) i 4.10(c) prikazuju rezultate koristeći samo pristup iz odeljka 4.1.3, dok su slike 4.10(b) i 4.10(d) generisane koristeći samo alternativu bez izvoda iz odeljka 4.1.4. Termin iz odeljka 4.1.5 je isključen iz svih ovih primera jer takođe značajno utiče na orijentaciju nabora (videti takođe sliku 4.9(d), koja je generisana korišćenjem termina iz odeljaka 4.1.4 i 4.1.5).

Može se videti da dok oba pristupa reprodukuju krugove, prvi teško uspeva da utiče na čvorove na granici kaustike, barem u okviru dodeljenog broja od 50000 iteracija konjugovanog gradijenta. Pristup bez derivata ne samo da ima bolje rezultate; postupak konjugovanog gradijenta se takođe završava nakon nekoliko hiljada iteracija zbog male norme gradijenta.

4.3. Rezultati

Slike 4.11 do 4.15 prikazuju rezultate algoritma primenjenog na različite šablonske slike. Ulaz za algoritam je generisan korišćenjem Cannijevog algoritma za detekciju ivica [Can86]. Svi proračuni su rađeni na polju veličine 81×81, što je znatno niže od rezolucija podržanih postupkom iskrivljavanja svetline. Ovo je zbog većeg broja iteracija potrebnih za dobre rezultate, vidi i tabelu 4.1. Niža rezolucija je ipak dovoljna jer nema tako finih detalja kao u poglavlju 3.

Može se videti da pristup uglavnom dobro radi na reprodukciji kontura i da su to u većini slučajeva zaista nabori. Postignuta je i željena vizuelna složenost tipične kaustike, posebno na slikama gde je polje visine inicijalizovano korišćenjem Perlinove buke.

Međutim, kao što se očekivalo, postupak ne sprečava pojavu nabora na drugim mestima. Ovaj efekat je znatno više ometajući u oblastima u kojima ne bi trebalo da bude ili je malo svetla, i

najviše utiče na konkavne siluete. Zbog toga su takođe sprovedeni eksperimenti korišćenjem dodatne kazne za fotone koji leže u ručno određenim kružnim oblastima. Slika 4.14 je napravljena ovim postupkom. Čini se da funkcioniše prilično dobro, ali bi bili potrebni više involvirani postupci (na primer, korišćenje funkcije označene udaljenosti) da bi ovaj pristup bio održiv i automatizovan za proizvoljne ulaze. Umesto toga, implementiran je korisnički vođen mehanizam unosa kao što je opisano u poglavlju 5. Drugo ograničenje je nemogućnost stvaranja odvojenih oblasti, što bi bilo posebno korisno na slici 4.12(d).

Tabela 4.1.: Tajming za različite primere generisanja pregiba, u sekundama. U svim primerima je korišćena rezolucija polja od 81 × 81.

Šablon Slika Početno polje #Iteracije t Radioaktivnost 4.11 Perlin 20000 1214 Smajli 4.12(b) ravno 20000 1140 Smajli 4.12(d) ravno 20000 783 Pentagram 4.13(b) ravno 20000 371 Pentagram 4.13(c) Perlin 50000 1431 Mačka 4.15(b) ravno 20000 691 Mačka 4.15(c) Perlin 20000 655

Uređivanje pregiba

Pristup generisanja pregiba opisan u prethodnom poglavlju radi pristojan posao u reprodukciji željenih ivica. Međutim, kao nuspojava ima tendenciju da generiše različite nabore koji ometajuće odstupaju od željenog uzorka. Da bi se ovo ispravilo, konture pregiba se detektuju i prikazuju korisniku, koji može da podesi njihov položaj. Modifikovane pozicije se zatim pretvaraju u kontrolne tačke za generator pregiba, koji se ponovo pokreće da bi se u skladu s tim podesio kaustik.

Postupak za otkrivanje nabora se u suštini sastoji od dva koraka: Prvo moramo pronaći tačke koje leže na konturama pregiba. U drugom koraku, određene tačke moraju biti grupisane da bi se formirali odgovarajući nabori. Ova dva koraka su opisana u odeljcima 5.1 i 5.2, respektivno. U ovim odeljcima se koristi ista terminologija kao u poglavlju 4. Konačno, odeljak 5.3 pokazuje neke primere kaustika koje su generisane ovim pristupom.

5.1. Otkrivanje kritičnih tačaka

Iz odeljka 4.1.2, podsećamo na uslove koje tačka pregiba mora da zadovolji:

gde u(xC) opisuje koordinate fotona (u dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu prijemnika) koji se reflektuje ili prelama u tački xCna površini ogledala, a dCje orijentacija nabora (tj. ortogonalno na konturu). Položaj xCćemo nazvati kritičnom tačkom ako u(xC) leži na konturi pregiba.

Očigledno, ovo se ne može koristiti za određivanje da li je dato x

kritična tačka, pošto je pravac dCnepoznat. Međutim, možemo videti da su

kao i nula ili ortogonalni vektoru dC, tako da su ova dva linearno zavisna. Ovo daje neophodan uslov za kritične tačke,

Imajte na umu da apsolutna vrednost ove determinante u suštini opisuje površinu kaustike koja odgovara beskonačno maloj površini na površini ogledala koja se nalazi na x. Da bismo pronašli kritične tačke, sada možemo tražiti tačke koje minimiziraju f(x)<2>, na primer korišćenjem najstrmijeg spuštanja ili postupkom konjugovanog gradijenta.

Da bi se koristio u postupku optimizacije, gradijent od f(x)<2>je jednostavan

Uzorkovanjem polja visine sa mrežom tačaka i minimiziranjem f(x)<2>za svaku od njih, nalazimo skup kandidata za kritične tačke. Odgovarajući fotoni u(x) prikazani su na slici 5.1. To takođe pokazuje da postoje tačke na pozicijama gde kaustična svetlost ima lokalni maksimum, koji odgovara lokalnom minimumu gore pomenute kaustične oblasti. Postoji još više tačaka gde se čini da je gradijent f(x)<2>nizak, tako da se optimizacija prekida bez promene njihove početne pozicije, kao što se može videti iz regularnih obrazaca rezultujućih fotona. Na sreću, granica između takvih lažno pozitivnih i stvarnih kritičnih tačaka je izuzetno jasna, vidi sliku 5.2, tako da je lako odbaciti lažne pozitivne rezultate.

Sa ovim alatima, sada smo u mogućnosti da pronađemo kritične tačke xCi njihove položaje fotona uC= u(xC).

5.2. Praćenje kontura

Ono što još nedostaje jedCkoji treba preneti generatoru pregiba. Da bismo ih pronašli i da bismo korisniku obezbedili upotrebljiv mehanizam za uređivanje, potrebno je da povežemo pojedinačne kritične tačke sa linijama.

Algoritam za povezivanje datog skupa kritičnih tačaka, koje su određene kao što je upravo opisano, radi na xC(tj. na spekularnoj površini), a ne na uCjer je to lakše i pouzdanije. Počinje u proizvoljnoj tački koja još nije dodeljena liniji. Zatim pronalazimo njenog najbližeg suseda i kreiramo novu liniju, ako je sused bliži od određenog praga. Pošto se linije mogu ukrštati (vidi sliku 5.3) i želimo da izbegnemo pogrešan pravac u takvim slučajevima, ne nastavljamo jednostavnim skokom do najbližih suseda. Umesto toga, uzimamo vektor udaljenosti između poslednje dve tačke i dodatno kažnjavamo odstupanja od ovog pravca.

Ako nije pronađen dovoljno blizak sused, kreira se novi uzorak duž pravca i prolazi kroz optimizaciju iz odeljka 5.1, što nam omogućava da zatvorimo praznine između kritičnih tačaka. Ako je sused već dodeljen liniji ili je dostignuta granica polja visine, proces se zaustavlja, vraća se na početnu tačku i prati u drugom pravcu.

Sada možemo izračunati orijentaciju odgovarajućih nabora, odnosno koja strana konture je osvetljena. Ovo definiše nepoznate vektore dC,ikoje ćemo kasnije koristiti za generator pregiba. Određivanje pravca ±dC,iza datu tačku u pravoj može se uraditi jednostavnim povezivanjem položaja prethodnog fotona sa položajem sledećeg i pronalaženjem ortogonalnog vektora:

Da bi se odredio tačan znak, može se primeniti uslov iz odeljka 4.1.4: Procenite u(x) na više pozicija (čini se da je osam razuman izbor) oko xC,i, tj. izračunajte u(xC,i+ aj), i vidite da li većina leži na levoj ili desnoj strani konture. Konačnu orijentaciju cele linije tada određuje većina svih njenih tačaka.

U suštini, sada imamo linije koje se sastoje od xC,i, odgovarajućih položaja fotona uC,ii odgovarajuće orijentacije pregiba (levo/desno). Sa ovim možemo da napravimo korisnički interfejs za podešavanje željenih položaja fotona koji formiraju pregib, vidi sliku 5.4. Izmenjeni segmenti se zatim mogu preneti u generator pregiba, koji se sastoji od nepromenjenog kC,ipronađenog pretragom kritične tačke, modifikovanih položaja fotona uC,idobijenih iz uređivanja korisnika, i dC,idobijenih iz uC,ikoristeći ranije utvrđenu orijentaciju.

5.3. Rezultati

Slike 5.5, 5.6 i 5.7 ilustruju neke rezultate koji su dobijeni interaktivno. Svi su zasnovani na rezultatima iz generatora pregiba i uređeni su tako da pomeraju ometajuće nabore dalje od tamnih regiona.

Može se videti da pristup zaista dozvoljava uređivanje kaustike tako da se pregibi mogu kontrolisati. Međutim, ispostavilo se da se neki pregibi mogu pokazati kao tvrdoglavi, tako da uređivanje i ponovno pokretanje generatora pregiba obično treba da se ponovi nekoliko puta. Ovo je posebno nepraktično jer ponavljanje između koraka ručnog uređivanja traje neko vreme. Za 1000 iteracija na polju veličine 81×81, vreme izvođenja je otprilike minut (u zavisnosti od broja označenih tačaka pregiba) i raste linearno sa brojem nepoznatih kada se koristi veća rezolucija polja. Međutim, moguće je početi sa nižom rezolucijom, a kasnije je povećati za detaljnije modifikacije. Slika 5.7 je generisana korišćenjem rezolucije od 321×321 u poslednjim koracima.

Dalja razmatranja o pristupu generisanja pregiba i proširenjima opisanim u ovom poglavlju su data u odeljku 7.3.

Diskusija

U poglavlju 2 navedena su pojednostavljenja koja su korišćena za izvođenje pristupa iskrivljavanja svetline u poglavlju 3, a generator pregiba i njegovo proširenje u poglavljima 4 i 5. Pretpostavka o paralelnom svetlu i pretpostavka o savršeno zrcalnim površinama se podižu u implementaciji, što će biti opisano u odeljku 6.1. Odeljak 6.2 zatim razmatra opšta pitanja koja proizilaze iz predloženih postupaka.

6.1. Uklanjanje pojednostavljenja

Kao što je opisano u poglavlju 2, pristupi viđeni do sada su osmišljeni pod nekoliko više ili manje restriktivnih pretpostavki. Ovaj odeljak objašnjava postupke koji su primenjene da bi se uklonila neka od ovih ograničenja. Dalje nesprovedene ideje kako se neka ograničenja mogu ukinuti mogu se naći u poglavlju 7.

6.1.1. Tačkasti izvori svetlosti

Kao alternativa pretpostavci o paralelnom svetlu, takođe su implementirana tačkasta svetla.

Jedno od pitanja koje se nameće je uslov integrabilnosti postupka iskrivljavanja svetline u odeljku 3.2, koji treba proširiti da podrži različite pravce incidencije. Pogodno je proširiti definiciju normale u čvoru A koji se tamo vidi na nA

Incidentni i odlazni zraci iAi oAočigledno ne moraju biti normalizovani za ovo.

Derivat od nAje takođe potreban:

Sa oA= xA- uA, uAje pozicija na spekularnoj površini i xAje odgovarajuća koordinata temena u kaustičkoj mreži, pojedinačni termini se mogu prepisati:

Ovo se sada može uključiti u jednačinu (3.11):

Za razmatranje integrabilnosti za generator pregiba (poglavlje 4), potrebno je nekoliko modifikacija da bi se podržali različiti pravci incidencije.

Položaji na površini ogledala su fiksirani u tom pristupu, stoga konstantni pravac i

u odeljku 4.1.7 jednostavno treba da se zameni vektorom .

Ovde još uvek nedostaje smer incidentnog svetla i njegovi derivati. Za reflektivno podešavanje sa tačkastim izvorom svetlosti na poziciji L, oni su jednostavni:

Za refrakcione postavke moramo uzeti u obzir dve površine, pri čemu pristupi iz prethodnih poglavlja deluju na onu gde svetlost izlazi iz medijuma.

Problem pronalaženja smera upadne svetlosti na toj poziciji se prevodi u pronalaženje tačke prelamanja na površini gde svetlost ulazi u medijum. Ne postoji rešenje zatvorenog oblika, ali pošto se pretpostavlja da je prva površina ravan Π, ona je jedinstvena i može se lako naći korišćenjem Fermaovog principa [VZHB09]. To znači da vreme potrebno svetlosti da stigne do uAtreba da se minimizira:

gde je pApozicija gde svetlost ulazi u medijum, a L je pozicija izvora svetlosti. Optimizacija se može izvršiti korišćenjem Njutnovog postupka.

Pravci incidentnih zraka sada se mogu izračunati kao pA- uA. U proračunima integrabilnosti iz odeljka 3.2, potrebno ih je proceniti i često razlikovati na proizvoljnim pozicijama na površini ogledala. Dakle, njihovo prethodno izračunavanje na regularnoj mreži i korišćenje jezgra kao što je [CP04] za interpolaciju pravaca i njihovih derivata štedi vreme. Ovo se takođe može lako proširiti za rukovanje drugim varijantama upadne svetlosti, sve dok nijedna tačka na površini zrcala nije osvetljena iz više uglova, a pravci zraka formiraju glatku funkciju.

Dalja implikacija korišćenja tačkastog izvora svetlosti je promenljivo zračenje, upadna snaga po jedinici površine. Ozračenje na sferi oko tačkastog izvora svetlosti je obrnuto proporcionalno kvadratnom poluprečniku, pošto se osvetljena površina menja. Za proizvoljnu površinu, zračenje se dalje mora pomnožiti sa kosinusom upadnog ugla, prema Lambertovom kosinusnom zakonu. Koristeći očuvanje radijantnog fluksa, kao što je objašnjeno u odeljku 2.1, sada je moguće izračunati osvetljenost kaustika u skladu sa tim.

Ovo utiče na razmatranja u odeljku 3.1, gde se određuje željena površina na površini zrcala. Nažalost, sada zračenje ne varira samo između površina (što je jednostavno za rukovanje), već zavisi i od njihove lokacije. Ovo komplikuje derivacije koje se vide u tom odeljku.

Umesto rešavanja ovog problema sa zračenjem na analitički ispravan način, implementacija je jednostavno prilagođena da koristi zračenje po povrsini, za koju se pretpostavlja da ostaje konstantno kako se površina kreće. U praktične svrhe sa dovoljnom udaljenosti reflektora ili refraktora od izvora svetlosti, ovo funkcioniše dobro, jer je promenljivo zračenje ionako jedva primetno. U ekstremnijim slučajevima, algoritam se može ponovo pokrenuti da bi se uračunale promene osvetljenosti, vidi sliku 6.1.

6.1.2. Nesavršena spekularnost

Fizička proizvodnja proračunatih površina obično će uključivati neke korake poliranja da bi se poboljšala spekularnost. Međutim, postizanje savršene spekularnosti, kao što se pretpostavlja ranije osmišljenim pristupima, nije realno. Dobijene površine neće biti savršeno glatke, što će rezultirati nekim rasipanjem, što bismo želeli da uzmemo u obzir. Umesto da radimo sa potpunom dvosmernom funkcijom distribucije rasejanja (BSDF), pribegavamo još jednom pojednostavljenju: pretpostavljamo da nam je data funkcija širenja tačke (PSF) koja rezultira na prijemniku. Ovo se može zamisliti kao usmeravanje lasera ka površini i gledanje u zrnce svetlosti koje proizvodi. Štaviše, pretpostavljamo da njegov oblik ne zavisi od položaja gde laser udara u površinu. U smislu BSDF-a, ovo bi značilo prostorno homogenu, izotropnu distribuciju. Frenelovi efekti, odnosno promenljiva refleksivnost u zavisnosti od upadnog ugla na površinu, su zanemareni. Distorzije PSF-a zbog različitih upadnih uglova na prijemniku i zbog različitih rastojanja između pozicija na reflektoru/refraktoru i prijemniku se takođe zanemaruju.

Pod ovim pretpostavkama, kaustika koja proizlazi iz površine je jednostavno konvolucija funkcije širenja tačke sa odgovarajućom kaustikom kako bi to izgledalo pod pretpostavkom savršene spekularnosti. Za pristup iskrivljavanja svetline, problem rukovanja nesavršenim površinama se stoga pretvara u problem dekonvolucije, koji se može rešiti korišćenjem Richardson-Luci algoritma [Ric72]. Algoritam ne može da proizvede negativne vrednosti, ali može da uvede artefakte zvonjenja. Implementacija koju koristimo proširuje originalnu sliku na ivicama, tako da će dekonvolucija biti velika kao unos koji je odredio korisnik i neće doći do izrezivanja. Štaviše, vrednosti na granici su iskošene da bi se sprečili artefakti, kao što je predložio Richardson<1>.

Pošto nisu sprovedeni eksperimenti sa fizičkim objektima da bi se procenio ovaj postupak, izvršena je simulacija korišćenjem LuxRenderovog grubog staklenog materijala, vidi slike 6.2 i 6.3. Da bi se odredila funkcija širenja tačaka ove površine, korišćen je ekran sa malom rupom da se svetlost smanji na uski snop pre nego što prođe kroz staklo. Dobijena slika PSF-a je zatim izrezana, skalirana<2>i korišćena za dekonvoluciju ciljne slike.

Slično nesavršenoj spekularnosti, površinski izvor svetlosti takođe rezultira konusom svetlosti koji izlazi iz jedne tačke na površini umesto jednog zraka. Shodno tome, rezultirajuće zamućenje

<1>Tačnije, konvolucija slike sa PSF-om koja nije Diracova delta funkcija će pokazati određeni nagib na granici, kao što se vidi na primer na slici 6.2(c). Richardson-Lucy dekonvolucija će zauzvrat izazvati artefakte ako ulaz ima ne-crne ivice koje nisu u skladu sa tim zakošene. Da bismo ovo ublažili, koristimo belu sliku, konvolviramo je sa PSF-om, pomnožimo rezultat sa ulaznom slikom koja je proširena na ivicama i na kraju prosleđujemo sliku dobijenu na ovaj način u Richardson-Lucy algoritam.

2 Veličina jednog piksela PSF-a mora odgovarati veličini jednog piksela originalne slike dok se projektuje na prijemnik. Na primer, konfiguracija korišćena za slike 6.3(b) i 6.3(c), podešavanje korišćenjem ravne površine rezultira kaustikom širine 911 piksela. Ista konfiguracija je korišćena za prikazivanje PSF-a. Pošto je Lena slika široka 512 piksela, slika PSF-a koju je napravio LuxRender

bila je skalirana za faktor

kaustika se takođe može tretirati kao konvolucija, a isti pristup se može koristiti za to. Ovog puta, PSF se očigledno ne može odrediti pomoću lasera, već se ekran sa malom rupom može postaviti direktno na površinu zrcala. Slika 6.4 prikazuje rezultat simulacije sprovedene na ovaj način. Pošto je PSF disk, originalna slika je bila zamagljena da bi se izbegli ozbiljni artefakti zvonjenja u dekonvolviranoj slici. Zamućena verzija je takođe korišćena za referentni primer bez dekonvolucije. U praksi, ovo očigledno poništava svrhu dekonvolucije, tako da je, u zavisnosti od ulazne slike, od ograničene upotrebe za ovu vrstu PSF-a. Alternativa je jednostavno prihvatiti rezultirajuće zvonjenje na dekonvoluiranoj slici, iako to može dovesti do značajnih problema zbog nepreciznosti kada se površina proizvodi.

6.2. Pregled

Diskusija o različitim pristupima može se naći u odeljcima o rezultatima odgovarajućih poglavlja. Ovaj odeljak sadrži opštija razmatranja o postupcima.

6.2.1. Delimična planarnost

Primetićete da su izračunata polja visine obično veoma ravna, posebno ona koja se generišu korišćenjem iskrivljavanja svetline. Direktno povezana sa amplitudom polja je količina izobličenja kada se poredi kaustika izračunata iz normalno mapirane ravni (na kojoj se zasniva ova teza) i stvarno izmeštenih površina (kako se koriste simulacije LuxRender prikazane na različitim slikama). Stavljajući nizak opseg dubine u odnosu na rastojanje do prijemnika za razumna podešavanja, ovo opravdava pojednostavljenje korišćenja normalno mapirane ravni. Potencijalna alternativa za korišćenje polja stvarne visine bez uvođenja opisanih postupaka neprimenljivim je opisana u odeljku 7.1.

Tabela 6.1.: Opsezi dubine nekih površina generisani korišćenjem iskrivljavanja svetline. Parametar η je indeks prelamanja, gde „R“ znači da je odgovarajući primer generisan korišćenjem reflektujuće površine. Površina polja u centimetrima je označena sa A, d je rastojanje do prijemnika u centimetrima, a Δb vrednost koja je korišćena za povećanje osvetljenosti kao što je opisano u odeljku 3.1. Opseg dubine i standardna devijacija visinskog polja su navedeni u kolonama Δz i σz, respektivno, i mereni su u milimetrima.

Kao što se može videti u tabeli 6.1, nekoliko parametara utiče na opseg dubine površine. Domet se smanjuje kako se indeks prelamanja ili rastojanje do prijemnika povećava. Raspodela osvetljenosti željene slike takođe utiče na opseg dubine, pri čemu nepravilnije raspodele izazivaju veće amplitude. Dalje, može se videti da generalno, površine proizvedene generatorom pregiba imaju veći opseg dubine (tabela 6.2). Ovo nije iznenađujuće, jer pregibi u kaustiku zahtevaju veće normalne varijacije.

Tabela 6.2.: Opseg dubine površina proizvedenih generatorom pregiba. Sve slike su generisane korišćenjem polja 10×10 cm sa indeksom prelamanja od 1,5, na udaljenosti od 25 cm od prijemnika. Opseg dubine i standardna devijacija visinskog polja su navedeni u kolonama Δz i σz, respektivno, i mereni su u milimetrima.

Kao dalje razmatranje, opseg dubine se takođe može kontrolisati skaliranjem kaustika. Ovo će očigledno rezultirati konkavnom ili konveksnom površinom čak i ako kaustika ima konstantnu svetlost. Ali veća kaustika takođe podrazumeva veće normalne varijacije za istu relativnu količinu izobličenja. Zaista, može se potvrditi da se razlika između polja koje stvara sliku i polja koje proizvodi konstantnu svetlosnu mrlju iste veličine povećava kako se kaustika povećava. S druge strane, povećanje veličine kaustike takođe dovodi do smanjenja njegove osvetljenosti, što ograničava korisnost ove ideje.

Što se tiče fizičke proizvodnje, opseg dubine takođe utiče na održivost površine za glodanje. Kao što je već pomenuto u odeljku 3.5, Papas et al. [PJJ<+>11] uporedili su svoj pristup sa sistemom koji su opisali Finckh et al. [FDL10] na

testnoj slici Lena, sa namerom da se glodaju odgovarajuće fizičke površine.

Međutim, površina koju su dali Finckh et al. ima raspon dubine od samo 0,07 mm za površinu od 10 × 10 cm, stoga Papas et al. su prekinuli eksperiment. Pri istoj veličini, polje visine proizvedeno pristupom iskrivljavanja svetline (slika 3.10) ima opseg dubine od 3,18 mm (uzgred, najniže u tabeli 6.1 korišćenjem ovog podešavanja). Stoga bi trebalo da bude izvodljivo za proizvodnju.

6.2.2. Pogodnost pristupa

Dva glavna pristupa opisana u ovoj tezi zasnovana su na različitim idejama: Postupak iskrivljavanja svetline je osmišljen za kaustiku bez preklapanja kako bi se što preciznije reprodukovale prirodne slike. Za razliku od generatora pregiba, on je takođe primenljiv na slike niske frekvencije. Pored toga, dekonvolucija, koja se može primeniti samo na iskrivljavanja svetline, najbolje funkcioniše ako su frekvencije na željenoj slici ograničene.

Iako iskrivljavanja svetline daje tačne rezultate, odgovarajući kaustik se možda neće odmah prepoznati kao takav, pošto nedostaju tipične karakteristike svetla pregiba. Ovo takođe izlaže postupak upoređenjima sa mnogo jednostavnijim postupkom projektovanja slike pomoću providnosti. Glavna razlika ovde je u tome što preusmeravanje svetlosti pomoću reflektivne ili refraktivne površine koristi potpunu snagu zračenja, što omogućava stvaranje regiona koji su svetliji nego što bi bili kada bi bili osvetljeni samo direktnim svetlom.

S druge strane, pristup generisanja nabora ima za cilj reprodukciju kontura uvođenjem pregiba na ispravnim lokacijama. Ne uzima u obzir osvetljenost i stoga je uglavnom pogodan za jednostavne, jednobojne slike.

Međutim, za složene oblike može biti potrebna značajna interakcija korisnika da bi se pregibi koji ometaju uklonili s puta. Nabori unutar svetlih oblasti mogu ostati, ali se mogu smatrati estetskim karakteristikama umesto štetom.

Na kraju, može se reći da je pristup iskrivljavanja svetline naučno tačniji postupak, dok su generisanje i uređivanje preklopa više umetničke prirode.

Izgled

Alternative paralelnim izvorima svetlosti i savršeno zrcalnim površinama date u odeljku 6.1 odnose se na pojednostavljenja koja je prilično lako prevazići. Sledeći odeljci razmatraju druga ograničenja koja bi se mogla istražiti u budućem radu, kao i druge mogućnosti koje bi mogle biti vredne istraživanja.

7.1. Polja stvarne visine

Možda je najteže pojednostavljenje to što se zanemaruje stvarni oblik visinskog polja, a za proračune se koriste samo njegove normale.

U praksi, algoritmi proizvode prilično ravna polja (vidi odeljak 6.2.1), a izobličenje koje nastaje u simulacijama LuxRender-a nije primetno golim okom na slikama tokom ove teze. Međutim, kao što je već rečeno, obim rezultujućeg visinskog polja zavisi od udaljenosti do prijemnika i oblika kaustika. U nekim slučajevima, ovo pojednostavljenje može stoga postati problematično, na primer ako se pristup iskrivljavanja svetline koristi za projektovanje reflektora sa otprilike paraboličnim oblikom.

Proširenje postojećih pristupa za direktno obračunavanje površine nije trivijalno zbog razdvajanja izračunavanja normalnog polja i konverzije u polje visine. Kao alternativa, čini se verovatnim da se iterativni pristup može koristiti za rešavanje problema. Zahteva da se algoritmi prošire na neplanarni oblik osnove, parametrizujući polje visine. Ovaj oblik treba da se koristi kad god se izračunavaju pozicije na površini zrcala, posebno za pravce zraka, ali ostaje fiksiran tokom optimizacije. Osnovni postupak optimizacije, tj. deformisanje mreže na zrcalnoj ili difuznoj površini (iskrivljavanja svetline i generator pregiba, respektivno), ostaje nepromenjen.

Sa ovim, algoritam se pokreće pod pretpostavkom da je u prvom prolazu planarno polje, a iz toga se izvodi polje visine. Zatim se algoritam ponovo pokreće koristeći novodobijenu površinu i ponovo izračunava polje visine. Ovo se ponavlja dok se oblik ne konvergira. Ova ideja nije sprovedena, tako da očigledno nije bilo moguće eksperimentisati da se proceni da li će to zaista dovesti do konvergencije.

7.2. Diskontinuirana normalna polja

Pretpostavka o povezanim kaustičnim obrascima je takođe značajno ograničenje, pomislite na sliku 4.12(d), na primer. Iako iskrivljavanja svetline ne modifikuje kaustičnu mrežu (koja mora biti susedna) tokom optimizacije, postoji značajna veza sa nepovezanim kausticima. Kao što je prethodno objašnjeno, algoritam ne može da proizvede savršeno crne oblasti; ovo bi zahtevalo da se kaustika isključi. Međutim, veoma tamni delovi ulazne slike će rezultirati malim četvorouglovima u iskrivljenoj mreži. Lokacija ovih četvorouglova stoga određuje gde bi diskontinuitet normalnog polja bio prikladan, što bi se moglo koristiti za pristup koji nezavisno tretira rezultujuće regione. Korisno je da ova segmentacija takođe uzima u obzir integrabilnost kao i ukupnu snagu koja se raspoređuje na odvojene kaustične delove.

Očigledno, prikaz visinskog polja površine pomoću regularne mreže nije adekvatan za nepovezane kaustike, pošto diskontinuitet najčešće neće ležati na liniji mreže.

7.3. Generator pregiba

Postoji nekoliko ograničenja za generator pregiba i njegovo proširenje na uređivanje koje vodi korisnik. Jedna je njena spora konvergencija; da bi interaktivna podešavanja bila praktičnija, potrebne su značajne optimizacije.

Takođe bi bilo prikladno istražiti postupke koji interakciju korisnika čine direktnijom, umesto postupnog mehanizma uzastopnog uređivanja pozicija kritičnih tačaka i ponovnog pokretanja optimizacije.

Alternativno, postupak koji automatski detektuje upadljive neželjene pregibe i koriguje njihove pozicije na željene ivice ili na regione u kojima se ne ističu tako snažno bi uveliko povećala moć ovog pristupa. Jedna ideja je već pomenuta u poglavlju 4, a to je korišćenje funkcija sa znakom udaljenosti za kažnjavanje fotona koji leže u oblastima koje ne bi trebalo da budu osvetljene.

Takođe se može primetiti da pristup uvodi i prilagođava pregibe, ali još uvek ne postoji direktan način da se oni rasprše. Ako postoje odgovarajuće kontrolne tačke u optimizaciji, one se naravno mogu ukloniti. Ali nije dozvoljeno da termin glatkoće (odeljak 4.1.8) ukine pregib kada se optimizacija ponovo primeni. Iako je ovo generalno težak problem i ne može postojati razuman način da se ukloni pregib, slika 4.12(d) je primer gde se čini verovatnim da se neželjeni mogu ispraviti, možda samo lokalnim variranjem težine termina glatkoće.

Konačno, bilo bi interesantno kombinovati generator pregiba i iskrivljavanje osvetljenosti kako bi se slika mogla precizno reprodukovati, ali sa naborima koji se javljaju na jasnim konturama. Problem neželjenih pregiba je ovde ponovo od velikog značaja. Dalje, javlja se nejasnoća u vezi sa željenim zračenjem površina u kaustičkoj mreži. Iskrivljavanja svetline očekuje zračenje po površini kao ulaz, ali kada su prisutni nabori, više površina može da pokrije isti deo prijemnika, gde se zbraja zračenje po površini. Da bi se postigla željena osvetljenost, ovo se može pretvoriti u problem optimizacije i dopuniti dodatnim ciljevima za postizanje glatkoće i/ili drugih svojstava.

7.4. Dalja proširenja

Još jedno ograničenje postupaka predloženih u ovoj tezi je fiksno podešavanje: Kaustike će biti projektovane samo po želji u specifičnoj konfiguraciji upadne svetlosti, reflektivnog ili refrakcionog objekta i prijemnika. Kako se samo jedna od dve površine staklenog bloka koristi za refraktivnu kaustiku, moguće je da se korišćenjem obe površine napravi refraktor gde su izlazni svetlosni zraci paralelni, tako da rastojanje do prijemnika nije bitno. Isto tako, moguće je da objekat može da baci dve različite slike na dve različite lokacije prijemnika (kao što su istakli i Papas et al. [PJJ<+>11]) ili kada je osvetljen iz dva različita ugla.

Uzimajući u obzir incidentnu svetlost, ideja da se proizvedu posebni prozori za bacanje specifičnih šara na sunčevoj svetlosti je donekle ograničena zbog kretanja sunca. Lako se može zamisliti više verzija istog obrasca, prilagođenih različitim vremenima u danu, tako da su neke kaustike izobličene dok su druge preciznije u datom trenutku. Ipak, postupci za prelamanje sunčeve svetlosti tako da se ispravna kaustika baca više puta dnevno, ili čak stalno, svakako bi dobro došli.

Bez obzira na sve ove zanimljive mogućnosti, ostaju dva glavna ograničenja predloženih pristupa: Činjenica da ne mogu da rukuju složenim objektima sa samosenčenjem i interrefleksijom, kao i pretpostavka da bilo koju tačku površine pogađaju samo zraci istog smera. Iako bi bile mnogo moćnije, može biti teško pronaći postupke koji prevazilaze ova ograničenja uz zadržavanje prednosti predloženih pristupa.

Zaključak

U ovoj tezi predložena su dva postupka za kaustičko projektovanje. Prvi, nazvan iskrivljavanja svetline, izračunava oblik reflektujuće ili refraktirajuće površine koja daje datu sliku kada je osvetljena izvorom svetlosti. Postupak radi na skupu normala i zanemaruje stvarni pomak površine tokom računanja; polje stvarne visine se dobija u drugom koraku. Ovaj pristup omogućava postupak optimizacije zasnovan na gradijentu koji se skalira na visoke rezolucije. Prirodne slike se stoga mogu veoma precizno reprodukovati, kao što je pokazano korišćenjem simulacija praćenih zrakama. Rezultati nadmašuju ove od najsavremenijih postupaka, iako bi fizički prototipovi bili potrebni za konačno poređenje. Za razliku od sličnog rada Papas et al. [PJJ<+>11], stvaraju se glatke površine, što može biti od koristi za fizičku proizvodnju.

Drugi pristup istražuje tipične karakteristike nabora kaustike. Pošto su one nezanimljive ili čak nepoželjne za klasični dizajn svetiljki, čini se da je ovo prilično novo polje istraživanja. Jedini drugi rad (prema saznanjima autora) koji razmatra reprodukciju takvih karakteristika [FDL10] zahteva potpunu sliku kaustika kao ulaz. Predloženi sistem je zasnovan na okviru koji opisuje ove karakteristike pregiba, koji je zatim pretvoren u postupak optimizacije koji se koristi za njihovo uvođenje na određenim lokacijama. Da bi se dobila veća kontrola nad rezultujućim kaustikom, pristup je proširen na interakciju korisnika. Kao rezultat, moguće je kreirati kaustike koje „ispunjavaju“ željeni oblik složenim šarama.

Normalna polja do visine polja

U odeljku 2.3.1, opisan je linearni sistem najmanjih kvadrata za pretvaranje normalnog polja u polje visine, sa singularnom matricom Ã = A<T>A u normalnim jednačinama. Ta matrica ne ispunjava dovoljne (ali ne i neophodne) uslove za konvergenciju Gauss-Seidelovog ili postupka konjugovanog gradijenta poznatog iz literature [She94, GVL96]: oba će konvergirati za simetrične, striktno pozitivne definitivne matrice, Gauss-Seidel takođe konvergira za strogo dijagonalno dominantne matrice. A<T>A ne ispunjava nijedan od ovih uslova. Ipak, oba postupka će raditi sa opisanom matricom. Ovo poglavlje je grubi pregled zašto to rade.

A.1. Gauss-Seidel postupak

Gauss-Seidelov postupak [GVL96] se koristi za rešavanje linearnih sistema Ãx = b (za kvadratnu matricu Ã, tj.Ã = A<T>A za gornji problem najmanjih kvadrata). Oslanja se na matrično cepanje

gde je M donja trouglasta komponenta A, uključujući dijagonalu.

Postupak se zatim ponavlja

Može se pokazati da je rastojanje do rešenja posle x iteracija

sa iteracionom matricom

G-ove sopstvene vrednosti λiodređuju konvergenciju postupka; konvergira ako svi |λi| < 1.

Za naš slučaj, prvo primetimo da je trouglasta matrica M invertibilna (njena determinanta je proizvod dijagonalnih elemenata, koji su svi pozitivni). U suprotnom, Gauss-Seidelov postupak ne bi bio primenljiv na matricu.

Drugo, dokaz u [GVL96, str.512] navodeći da je |λi| < 1 za simetrične pozitivno određene matrice direktno se prevodi u slabu verziju: |λi| ≤ 1 za simetrične pozitivne poludefinisane matrice.

Treće, vektor je sopstveni vektor od G sa sopstvenom vrednošću 1 ako i samo ako je svojstven vektor od Ã sa svojstvenom vrednošću 0. U našem slučaju, vektor 1 i njegovi višekratnici su jedini takvi sopstveni vektori.

Sada da vidimo šta se dešava sa ek. Treba napomenuti da ne postoji jedinstveno rešenje, pa neka je ekrastojanje do rešenja sa srednjom 0. Gauss-Seidelova iteracija će ostaviti same ekkomponente koje su kolinearne sa sopstvenim vektorom 1, tj. neće promeniti srednju vrednost x (osim numeričkog pomeranja). Sve ostale komponente će se smanjiti zbog |λi| < 1, tako da će Gauss-Seidelov postupak zaista konvergirati do rešenja.

A.2. Postupak konjugovanog gradijenta

Za pregled postupka konjugovanog gradijenta, čitalac se poziva na [She94] ili [NV06]. Ovde će se koristiti terminologija ove poslednje. Konvergencija postupka za striktno pozitivnu definitivnu simetričnu matricu Ã sledi iz nekoliko faktora [NV06]:

i. uputstva za pretragu pisu parno konjugirana (ili nula),

ii. ako algoritam nije našao rešenje posle k iteracija, tj. ostatka rk= Ãxk-b je različit od nule, rezultujući pravac pretrage pkkoji se koristi u sledećoj iteraciji takođe nije nula<1>;

iii. skup nenultih, parno konjugovanih vektora je linearno nezavisan ako je Ã pozitivno određeno;

iv. za pozitivno definitivnu matricu A, rešenje xkpronađeno posle k iteracija minimizira konveksni cilj x<T>Ãx - x<T>b u odnosu na prostor koji obuhvataju prethodni pravci pretraživanja, tj. ono je minimizator u skupu

Prve tri stavke impliciraju da će prostor za pretragu na kraju obuhvatiti celinu (osim ako se ranije ne pronađe optimum i pravci postanu nula), tako da će algoritam završiti sa tačnim rešenjem nakon najviše n iteracija.

<1>Ova tačka nije eksplicitno navedena u dokazu u [NV06]. Iz definicije pk

= -rk+ βkpk-1 i optimalnosti , sledi

U našem slučaju, vektor jedinica 1 je ortogonan na ostatke ri, pošto

tako

je po indukciji takođe ortogonaln na pravce pretrage pi:

Opet, ovo znači da algoritam neće promeniti srednju vrednost našeg rešenja. Poludefinisanost i singularnost naše matrice ne utiče na konjugaciju pravaca (i) i na činjenicu da algoritam proizvodi pravce različite od nule ako još nije pronašao rešenje (ii). Linearna nezavisnost parno konjugovanih vektora koji nisu nula (iii) je takođe zagarantovana ako nisu kolinearni sa 1; pretpostavljajući linearnu zavisnost

implicira da su svi koeficijenti ci0:

gde je nenegativan zbog poludefiniteta i različit od nule pošto pinisu kolinearni sa 1.

Svojstvo optimalnosti (iv) pretpostavlja jedinstveno rešenje u svom dokazu, a pošto je rešenje jedinstveno u odnosu na prostor za pretragu, to svojstvo i dalje važi.

Sve zajedno, to znači da se prostor za pretragu neće prostirati (ako se algoritam ne završi ranije), umesto toga će obuhvatiti n - 1-dimenzionalni podprostor ortogonalni na 1, gde je rešenje jedinstveno, a algoritam će pronaći tačno rešenje. Ovim se zaključuje argument zašto se postupak konjugovanog gradijenta još uvek može primeniti na naš singularni problem optimizacije.

Autori slike

3.1 „Mona Liza“, Leonardo da Vinci, javno vlasništvo; http://en.wikipedia.org/ wiki/File:Mona_Lisa.jpeg, preuzeto 13. oktobra 2010.

3.7 „Prankenbar“, Friedrich W. Kuhnert (1865-1926), javno vlasništvo; http: //en.wikipedia.org/wiki/File:Prankenbaer-drawing.jpg, preuzeto 13. oktobra 2010.

3.9 „Cherokee Pass, Rocky Mountains“ (1859), Daniel A. Jenks, javno vlasništvo; http://en.wikipedia.org/wiki/File:Cherokee_Pass2.jpg, preuzeto 14. aprila 2011.

3.10 „Lena“, autorska prava u vlasništvu Playboy Enterprises, Inc.; http://en.wikipedia. org/wiki/File:Lenna.png, preuzeto 23. marta 2011.

4.11 Simbol upozorenja o zračenju, javno vlasništvo; http://en.wikipedia.org/wiki/ File:Radiation_warning_symbol.svg, preuzeto

24. marta 2011.

4.15 Silueta mačke, Christopher Martin, javno vlasništvo; http://en.wikipedia. org/wiki/File:Cat_silhouette.svg, preuzeto 28. aprila 2011.

6.4 „Mohnblumen“ (1873), Claude Monet, javno vlasništvo; http://en.wikipedia. org/wiki/File:Claude_Monet_037.jpg, preuzeto 22. aprila 2011.

8.1 „Dereliction“, Joakim Back, Creative Commons Attribution-Nekomercijalno; http://vuni.net/, preuzeto 30. aprila 2011.

Bibliografija

[ASG08] O. Anson, F. J. Seron i D. Gutierrez. NURBS-based inverse reflector design. In Proceedings of CEIG 2008, strane 65-74, 2008.

[Can86] J. Canny. A computational approach to edge detection. IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., 8(6):679-698, Novembar 1986.

[CP04] A. K. Chaniotis i D. Poulikakos. High order interpolation and differentiation using B-splines. J. Comput. Phys., 197:253-274, Jun 2004.

[DCC99] Steven Doyle, David Corcoran i Jon Connell. Automated mirror design using an evolution strategy. Optical Engineering, 38(2):323-333, 1999.

[FDL10] Manuel Finckh, Holger Dammertz i Hendrik P.A. Lensch.

Geometry construction from caustic images. U Kostas Daniilidis, Petros Maragos i Nikos Paragios, urednici, Computer Vision - ECCV 2010, tom 6315 Beleške sa predavanja iz računarskih nauka, strane 464-477. Springer, 2010.

[FLW02] Raanan Fattal, Dani Lischinski i Michael Werman. Gradient domain high dynamic range compression.In Proceedings of the 29th annual conference on Computer graphics and interactive techniques, SIGGRAPH '02, strane 249-256, New York, NY, USA, 2002. ACM.

[GVL96] G.H. Golub i C.F. Van Loan. Matrix computations. Johns Hopkins University Press, 3. izdanje, 1996.

[Hac85] W. Hackbusch. Multi-grid methods and applications. Springer series in computational mathematics. Springer, 1985.

[LSS98] J. Loos, Ph. Slusallek i H.-P. Seidel. Using wavefront tracing for the visualization and optimization of progressive lenses. Computer Graphics Forum, 17(3):255-265, 1998.

[MMP09] A. Mas, I. Martin i G. Patow. Fast inverse reflector design (FIRD). Computer Graphics Forum, 28(8):2046-2056, 2009.

[Neu97] A. Neubauer. Design of 3D-reflectors for near field and far field problems. Institute for Mathematics and its Applications, 92:101-118, 1997.

[NW06] Jorge Nocedal i Stephen J. Wright. Numerical optimization. Springer, 2. izdanje, 2006.

[PJJ<+>11] Marios Papas, Wojciech Jarosz, Wenzel Jakob, Szymon Rusinkiewicz,Wojciech Matusik i Tim Weyrich. Goal-based caustics. Computer Graphics Forum (Proceedings of Eurographics '11), 30(2), Jun 2011.

[PP05] Gustavo Patow i Xavier Pueyo. A survey of inverse surface design from light transport behavior specification. Computer Graphics Forum, 24(4):773-789, 2005.

[PPV07] Gustavo Patow, Xavier Pueyo i Alvar Vinacua. User-guided inverse reflector design. Computers & Graphics, 31(3):501-515, 2007.

[Ric72] William Hadley Richardson. Bayesian-based iterative method of image restoration. Journal of the Optical Society of America, 62(1):55-59, Januar 1972.

[She94] Jonathan R. Shewchuk. An introduction to the conjugate gradient method without the agonizing pain. Technical report, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, USA, 1994.

[WN75] B. S. Westcott i A. P. Norris. Reflector synthesis for generalized far-fields. Journal of Physics A: Mathematical and General, 8(4):521, 1975.

[WPMR09] Tim Weyrich, Pieter Peers, Wojciech Matusik i Szymon Rusinkiewicz. Fabricating microgeometry for custom surface reflectance. ACM Transactions on Graphics (Proc. SIGGRAPH), 28(3), Avgust 2009.

[WZHB09] Bruce Walter, Shuang Zhao, Nicolas Holzschuch i Kavita Bala. Single scattering in refractive media with triangle mesh boundaries. ACM Transactions on Graphics, 28(3), Avgust 2009.

_____________________

Claims

PATENTNI ZAHTEVI

1. Postupak za formiranje reflektujuće ili refraktirajuće površine izveden uputstvima računarskog programa, u cilju proizvodnje navedene površine, koji sadrži:

diskretizacija dvodimenzionalne slike formirane na prvoj površini (2) u prvu mrežu (1) većeg broja prvih čvorova na prvoj površini (2), naznačeno time što prvi deo mnoštva prvih čvorova na prvoj površini (2) definiše prvu ćelijsku oblast Ad,1 prve mreže (1) na koju pada prvi snop svetlosti sa prvim fluksom zračenja Φ1, i drugi deo množine prvih čvorova na prvom površina (2) definiše drugu ćelijsku oblast Ad,2 prve mreže (1) na koju pada drugi snop svetlosti sa drugim fluksom zračenja Φ2, i naznačeno time što druga površina ćelije Ad,2 prve mreža (1) u blizini prve površine ćelije Ad,1 prve mreže (1) i prve površine ćelije Ad,1 prve mreže (1) i druge površine ćelije Ad,2 prve mreža (1) ima najmanje jedan prvi čvor iz mnoštva zajedničkih prvih čvorova;

diskretizaciju reflektujuće ili refraktirajuće druge površine (5) u drugu mrežu (9) mnoštva drugih čvorova na drugoj površini (5), naznačeno time što prvi deo mnoštva drugih čvorova na drugoj površini (5) definiše oblast prve ćelije As,1 druge mreže (9) na koju pada prvi snop svetlosti sa prvim fluksom zračenja Φ1i odstupa prema prvoj ćelijskoj oblasti Ad,1 prve mreže (1), a drugi deo mnoštva drugih čvorova na drugoj površini (5) definiše drugu ćelijsku oblast As,2 druge mreže (9) na kojoj je drugi snop svetlosti sa drugim fluksom zračenja Φ2 incidenta i odstupa prema drugoj ćelijskoj oblasti Ad,2 prve mreže (1), i naznačeno time što je prva ćelijska oblast As,1 druge mreže (9) susedna oblasti druge ćelije As,2 od druga mreža (9) i prva ćelijska oblast As,1 druge mreže (9) i druga ćelijska oblast As,2 druge mreže (9) imaju najmanje jedan drugi čvor od mnoštva drugih čvorova zajednički;

u iterativnom procesu optimizacije, prilagođavanje položaja jednog ili više drugih čvorova prvog dela većeg broja drugih čvorova prve ćelijske oblasti As,1 druge mreže (9) na drugoj površini (5), tako da prva površina ćelije As,1 druge mreže (9) odgovara prvom izlazu zračenja M1 prvog snopa svetlosti na prvoj površini ćelije As,1 druge mreže (9) na drugoj površini ( 5), naznačeno time što prvi izlaz zračenja M1 odgovara osvetljenosti dvodimenzionalne slike u prvoj ćelijskoj oblasti Ad,1 prve mreže (1);

podešavanje položaja jednog ili više drugih čvorova drugog dela većeg broja drugih čvorova druge ćelijske oblasti As,2 druge mreže (9) na drugoj površini (5), tako da druga površina ćelije As,2 druge mreže (9) odgovara drugom izlazu zračenja M2 drugog snopa svetlosti na površini druge ćelije As,2 druge mreže (9) na drugoj površini (5), naznačeno time što drugi izlaz zračenja M2 odgovara osvetljenosti dvodimenzionalne slike u oblasti druge ćelije Ad,1 prve mreže (1);

određivanje površinskih normala druge površine (5) u svakom od čvorova prve površine ćelije Ad,1 druge mreže (9), pri čemu površinske normale koje odgovaraju zracima prvog snopa svetlosti koji upadaju na drugu površine (5) i prostiru se između čvorova sa podešenim položajima prve površine ćelije As,1 druge mreže (9) na drugoj površini (5) i čvorova prve površine ćelije Ad,1 prve mreža (i) na prvoj površini (2); i

izračunavanje visinskog polja koje odgovara normalama površine.

2. Postupak za formiranje reflektujuće ili refraktirajuće površine izveden uputstvima računarskog programa, u cilju proizvodnje navedene površine, koji sadrži:

diskretizacija dvodimenzionalne slike formirane na prvoj površini (2) u prvu mrežu (1) mnoštva prvih čvorova na prvoj površini (2), naznačeno time što prvi deo mnoštva prvih čvorova na prvoj površini (2 ) definiše prvu ćelijsku oblast Ad,1 prve mreže (i) na koju pada prvi snop svetlosti sa prvim fluksom zračenja Φ1, i drugi deo mnoštva prvih čvorova na prvoj površini (2 ) definiše drugu ćelijsku oblast Ad,2 prve mreže (1) na koju pada drugi snop svetlosti sa drugim fluksom zračenja Φ2,

naznačeno time što je druga ćelijska oblast Ad,2 prve mreže (1) susedna prvoj ćelijskoj oblasti Ad,1 prve mreže (1) i prvoj površini ćelije Ad,1 prve mreže (1) i druga ćelijska oblastAd,2 prve mreže (1) imaju najmanje jedan prvi zajednički čvor iz mnoštva prvih čvorova;

diskretovanje reflektujuće ili refraktirajuće druge površine (5) u drugu mrežu (9) mnoštva drugih čvorova na drugoj površini (5), naznačeno time što prvi deo mnoštva drugih čvorova na drugoj površini (5) definiše prva površina ćelije As,2 druge mreže (9) na koju pada prvi snop svetlosti sa prvim fluksom zračenja Φ1, a drugi deo mnoštva drugih čvorova na drugoj površini (5) definiše druga površina ćelije As,2 druge mreže (9) na koju pada drugi snop svetlosti sa drugim fluksom zračenja Φ2, naznačeno time što je druga površina ćelije As,2 druge mreže (9) susedna prva površina ćelije As,1 druge mreže (9) i prva površina ćelije As,1 druge mreže (9) i druga površina ćelije As,2 druge mreže (9) imaju najmanje jedan drugi čvor iz mnoštva drugih zajedničkih čvorova;

u iterativnom procesu optimizacije, podešavanje položaja jednog ili više prvih čvorova prvog dela množine prvih čvorova koji definišu prvu ćelijsku oblast Ad,1 prve mreže (1) na prvoj površini (2) na kojoj dvodimenzionalna slika se formira tako da odgovara prvom izlazu zračenja M1 prvog snopa svetlosti na prvoj ćelijskoj površini Ad, 1 prve mreže (i), naznačeno time što prvi izlaz zračenja M1 odgovara osvetljenost dvodimenzionalne slike u prvoj ćelijskoj oblasti Ad,1 prve mreže (1);

podešavanje položaja jednog ili više prvih čvorova drugog dela mnoštva prvih čvorova koji definišu drugu ćelijsku oblast Ad,2 prve mreže (i) na prvoj površini (2) na kojoj se formira dvodimenzionalna slika, tako da odgovara drugom izlazu zračenja M2 drugog snopa svetlosti na drugoj ćelijskoj oblasti Ad,2 prve mreže (i), naznačeno time što drugi izlaz zračenja M2 odgovara osvetljenosti dvodimenzionalnog slika u oblasti druge ćelije Ad,2 prve mreže (1);

izračunavanje visinskog polja koje odgovara normalama površine.

3. Postupak prema patentnom zahtevu 2, koji dalje sadrži podešavanje položaja jednog ili više prvih čvorova drugog dela iz mnoštva prvih čvorova koji definišu drugu ćelijsku oblast Ad,2 prve mreže (i) na prvoj površini (2 ) na kojoj se formira dvodimenzionalna slika, tako da odgovara drugom izlazu zračenja M2 drugog snopa svetlosti na drugu ćelijsku oblast Ad,2 prve mreže (i), i barem delimično preklapa prvu površinu ćelije Ad,1 prve mreže (i) na prvoj površini (2) na kojoj se formira dvodimenzionalna slika tako da superpozicija prvog snopa svetlosti i drugog snopa svetlosti odgovara superponiranoj svetlosti intenziteta u preklapajućoj oblasti prve ćelije Ad,1 prve mreže (1) i druge površine ćelije Ad,2 prve mreže (i) na prvoj površini (2) na kojoj se formira dvodimenzionalna slika.

4. Postupak prema patentnom zahtevu 3, naznačen time što preklapajuća prva ćelijska oblast Ad,1 prve mreže (1) i druga ćelijska oblast Ad,2 prve mreže (1) odgovaraju najmanje jednom koraku prelaza svetlosti intenzitet ili singularnost intenziteta svetlosti u dvodimenzionalnoj slici.

5. Postupak prema bilo kom od patentnih zahteva 2 do 4, koji sadrži prilagođavanja položaja čvorova višestrukih ćelijskih oblasti Ad,i prve mreže (i), naznačen time što višestruke ćelijske oblasti Ad,i prve mreže (1) odgovaraju višestrukim susednim snopovima svetlosti sa odgovarajućim izlazima zračenja Mi na oblastima ćelija Ad,i prve mreže (1) i na oblastima ćelija As,i druge mreže (9) na prvoj površini (2) na kojoj se formira dvodimenzionalna slika, pri čemu oblasti ćelija Ad,i prve mreže (1) se barem delimično preklapaju jedna sa drugom što odgovara višestrukim preklapajućim snopovima svetlosti, naznačeno time što su delovi na prvoj površini (2) na kojima dvodimenzionalna slika se formira gde se višestruki snopovi svetlosti superponiraju jedan sa drugim obuhvataju najmanje jednu oblast stepenastog prelaza intenziteta svetlosti dvodimenzionalne slike.

6. Postupak prema bilo kom od patentnih zahteva 2 do 5, koji dalje sadrži čin određivanja najmanje jedne ćelijske površine Ad,i prve mreže (1) koja sadrži najmanje jednu ivicu stepenastog prelaza intenziteta svetlosti koji odgovara svetlosti singularnost funkcije intenziteta u dvodimenzionalnoj slici i određivanje položaja ivice tranzicije intenziteta svetlosti u najmanje jednoj ćelijskoj oblasti Ad,i prve mreže (i), naznačeno time što čin određivanja najmanje jedne ćelijske površine Ad,i prve mreže (1) koja sadrži najmanje jednu ivicu prelaza intenziteta svetlosti uključuje korišćenje Cannijevog algoritma za detekciju ivica.

7. Postupak prema patentnom zahtevu 6, koji dalje sadrži čin određivanja vektora dC,i koji definiše orijentaciju ivice prelaza intenziteta svetlosti i smer ili visokog ili niskog intenziteta svetlosti na dvodimenzionalnoj slici u odnosu na ivicu.

8. Postupak prema bilo kom od patentnih zahteva 2 do 7, naznačen time što se podešavaju položaji čvorova prve ćelijske oblasti Ad,1 prve mreže (i) na prvoj površini (2) i druge ćelijske oblasti Ad,2 prve mreže (i) na prvoj površini (2) je bar delimično u korespondenciji sa položajem ivice prelaza intenziteta svetlosti tako da druga ćelijska površina Ad,2 prve mreže (1) koja odgovara drugom snopu svetlosti preklapa prvu ćelijsku oblast Ad,1 prve mreže (1) u oblasti koja uključuje ivicu prelaza intenziteta svetlosti i prvi snop svetlosti se shodno tome preklapa sa drugim snopom svetlosti.

9. Sistem za formiranje reflektujuće ili refraktirajuće površine sa svrhom proizvodnje navedene površine, pri čemu je sistem konfigurisan da na osnovu šablonske slike odredi deformaciju mreže (1, 9) koja sadrži nekoliko ćelija koje odgovaraju zamišljenim delimičnim svetlosnim snopovima od kojih svaka ima odgovarajući fluks zračenja Φi takav da u deformisanoj mreži svaka oblast ćelije odgovara unapred određenom intenzitetu svetlosti ili izlaznosti M i odgovarajućeg imaginarnog parcijalnog snopa, zbiru unapred određenih intenziteta svetlosti koji formiraju šablonsku sliku, sistem koji sadrži računar konfigurisan da izvrši sledeće korake:

diskretizacija dvodimenzionalne šablonske slike formirane na prvoj površini (2) u prvu mrežu (1) većeg broja prvih čvorova na prvoj površini (2), naznačeno time što prvi deo mnoštva prvih čvorova na prvoj površini (2) definiše prvu ćelijsku oblast Ad,1 prve mreže (1) na koju pada prvi snop svetlosti sa prvim fluksom zračenja Φ1, i drugi deo množine prvih čvorova na prvom površina (2) definiše drugu ćelijsku oblast Ad,2 prve mreže (1) na koju pada drugi snop svetlosti sa drugim fluksom zračenja Φ2, i naznačeno time što druga površina ćelije Ad,2 prve mreža (1) u blizini prve površine ćelije Ad,1 prve mreže (1) i prve površine ćelije Ad,1 prve mreže (1) i druge površine ćelije Ad,2 prve mreža (i) ima najmanje jedan prvi čvor iz mnoštva zajedničkih prvih čvorova;

diskretizaciju reflektujuće ili refraktirajuće druge površine (5) u drugu mrežu (9) mnoštva drugih čvorova na drugoj površini (5), naznačeno time što prvi deo mnoštva drugih čvorova na drugoj površini (5) definiše oblast prve ćelije As,1 druge mreže (9) na koju pada prvi snop svetlosti sa prvim fluksom zračenja Φ1 i odstupa prema prvoj ćelijskoj oblasti Ad,5 prve mreže (9), a drugi deo mnoštva drugih čvorova na drugoj površini (2) definiše drugu ćelijsku oblast As,9 druge mreže (i) na kojoj je drugi snop svetlosti sa drugim fluksom zračenja Φ1 incidenta i odstupa prema drugoj ćelijskoj oblasti Ad,1 prve mreže (i), i naznačeno time što je prva ćelijska oblast As,2 druge mreže (9) susedna oblasti druge ćelije As,2 od druga mreža (9) i prva ćelijska oblast As,1 druge mreže (9) i druga ćelijska oblast As,2 druge mreže (9) imaju najmanje jedan drugi čvor od mnoštva drugih čvorova zajednički;

podešavanje položaja jednog ili više drugih čvorova drugog dela većeg broja drugih čvorova druge ćelijske oblasti As,2 druge mreže (9) na drugoj površini (5), tako da druga površina ćelije As,2 druge mreže (9) odgovara drugom izlazu zračenja M2 drugog snopa svetlosti na površini druge ćelije As,2 druge mreže (9) na drugoj površini (5), naznačeno time što drugi izlaz zračenja M2 odgovara osvetljenosti dvodimenzionalne slike u oblasti druge ćelije Ad,1 prve mreže (1),

dalje sadrži modul koji je konfigurisan da dobije polje površinskih normala na površini (2, 5) na koju zamišljeni delimični snopovi svetlosti udaraju na osnovu utvrđene deformacije mreže (1, 9), pri čemu površina (2, 5) odgovara prelamanju ili reflektujućoj površini ili površini koja odgovara šablonskoj slici koju formiraju zamišljeni delimični svetlosni snopovi, i

dalje sadrži modul koji je konfigurisan da odredi polje visine na osnovu polja normala površine, polje visine koje predstavlja prelamajuću ili reflektujuću površinu ploče materijala koja proizvodi šablonsku sliku kada je svetlost obasja.

10. Sistem prema patentnom zahtevu 9, koji sadrži optimizacioni algoritam konfigurisan da izračuna najmanje jednu od deformisanih mreža (1, 9), polja površinskih normala i polja visine.

11. Sistem prema bilo kom od patentnih zahteva 9 do 10, koji sadrži modul generatora pregiba koji je sposoban da detektuje i odredi poziciju i/ili orijentaciju prelaza intenziteta svetlosti u šablonskoj slici, naznačen time što je modul generatora pregiba sposoban da odredi deformaciju mreže (1, 9) koja odgovara intenzitetima svetlosti parcijalnih snopova definisanim šablonom slike, naznačen time što modul razmatra najmanje jednu ivicu svetlosnog prelaza na šablonskoj slici kao singularitet funkcije raspodele intenziteta svetlosti i kao oblast u kojoj se ćelije deformisane mreže (1, 9) preklapaju jedna sa drugom što odgovara preklapanju delimičnih snopova koji izlaze iz različitih oblasti ćelija mreže na prelamajućoj ili reflektujućoj površini.