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Procédé et dispositif pour tailler des pignons coniques à denture courbe suivant le procédé continu en développante,
La présente invention concerne un procédé et un dispositif pour tailler des pignons coniques suivant le procédé continu en développante, au moyen d'un outil en forme de disque et portant plusieurs lames fixes, cet
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outil pouvant tourner autour d'un axe, qui est penpendiculaire au plan tangentiel à la surface conique primitive de la denture à établir, l'outil et la pièce à usiner exécutant un mouvement de rotation continu.
Dans une machine connue de ce type, toutes les lames de l'outil travaillent dans un entre-dents unique pendant un tour complet de cet outil.
Ia plupart des lames de l'outil servent à ébaucher la taillé et une seule paire de lamès, dont les lames sont ordinairement diamétralement opposées l'une à l'autre, est prévue pour la finition. A côté de certains avantages, cette machine connue présente l'inconvénient d'un travail lent car une seule dent se trouve usinée pour un tour de l'outil.
Pour supprimer cet inconvénient, on à déjà essayé de faire travailler plusieurs dents par les lames coupantes pendant un tour unique de l'outil. Mais cette idée n'a pas pu être réalisée pratiquement jusqu'ici pour les raisons indiquées dans ce qui.suit.
On sait que le procédé continu à développante exige la rotation simultanée de l'outil et de la pièce à usiner. Lorsqu'à la place de la denture de pignons coniques à tailler on prend en considération le pignon plan-conique idéal correspondant, le problème du procédé continu à développante se réduit géométriquement à la considération de la trajectoire qui est tracée par un point tournant autour de l'axe de l'outil sur le plan du pignon plan-conique idéal également en rotation,
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l'axe de ce pignon plan-conique étant parallèle à celui de l'outil.
Dans ce cas, la trajectoire absolue sur ce plan, c'est-à-dire la courbe longitudinale d'une dent de la denture à établir, est différente de là trajectoire circulaire relative du point et les deux trajectoires forment ensemble un angle pouvant subir des variations considérables sur la longueur d'une dent, des que la vitesse de rotation du pignon plan-conique atteint une certaine valeur par rapport à celle de l'outil.
Lorsque le pignon plan-conique ne tourne que d'une seule dent de la denture à établir pour un tour complet de l'outil, ainsi que cela est le cas dans la machine connue, l'angle formé entre les trajectoires absolue et relative d'un point de l'outil et les variations de l'angle le long de la courbe d'une dent sont de grandeur pratiquement négligeable. Mais lorsque le pignon plan-conique tourne de deux ou plusieurs dents, au lieu d'une seule,pendant un tour complet de l'outil, l'angle prémentionné et les change- mentsqu'il subit le long dela courbed'une dent prennent de telles valeurs que l'usinage pratique de la denture avec la machine connue serait impossible.
Das les publications relatives à cet objet, on ne trouve que des indications théoriques et pratiques insuffi- santes relativement au problème de la fabrication de dentures courbes et le demandeur décrit, dans ce qui suit, les bases théoriques et pratiques résultant de longs essais et qui permettent la fabrication de pignons coniques à dents courbes avec usinage simultané de plusieurs dents pendant un seul tour de l'outil.
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suivant le procédé conforme à l'invention, ce résultat est obtenu du fait que la pièce à usiner tourne de plusieurs dents de la denture à établir pendant un tour de l'outil, le rapport entre les vitesses angulaires de l'outil et du pignon plan-conique idéal correspondant à la denture à établir, ainsi que le rapport entre le rayon de l'outil et l'excentricité de l'axe de l'outil re- lativement à l'axe principal de la'machine coincidant avec l'axe du pignon plan-conique idéal sont choisis de façon que l'angle formé entre la trajectoire absolue (courbe longitudinale d'une dent) et la trajectoire circulaire relative d'un point de la lame de coupe sur la longueur totale d'une dent, ne varie pas de façon assez importante, par rapport à une valeur prédéterminée, pour influencer l'action de coupe de la lame.
Le dispositif pour l'exécution du procédé est caractérisé en ce que l'outil porte plusieurs lames fixes dont la partie coupante forme un corps prismatoide à axe longitudinal en forme, d'arc de cercle et dont alternative- ment l'une coupe, par rapport à l'axe de l'outil, sur son côté extérieur et l'autre par son côté intérieur, et que des lames correspondantes possèdent le même écartement radial à partir de l'axe de rotation de l'outil et des di- stances angulaires relatives égales, les lames étant disposées, par rapport à l'axe de rotation, suivant un angle d'orientation tel que l'axe longitudinal en forme d'arc de cercle du corps prismatoide de toutes les lames prenne une position analogue à celle de la trajectoire
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absolue par rapport à la trajectoire relative d'un point des lames.
Pour tailler une paire de pignons coniques com- portant des dentures courbes destinées à venir mutuellement en prise, on avait besoin, jusqu'à présent, de deux outils dont l'un était l'image réfléchie de l'autre, et qui tournaient en sens contraires, de façon que les dentures établies soient congruentes ou conjuguées. Or, ces deux outils nécessaires présentent un gros inconvénient car, en dehors des frais plus élevés, il peut aussi se produire des erreurs dans les dentures, parce qu'il est très difficile de fabriquer un outil exactement semblable, mais tournant en sens contraire.
Ces inconvénients sont supprimés, conformément à l'invention, du fait que deux pignons coniques, destinés à engrener l'un avec l'autre sont fabriqués au moyen d'un seul outil qui présente, pour l'usinage de chacun des des: pignons, une excentricité différente par rapport à l'axe du pignon plan-conique idéal, mais un même sens de rotation, tandis que les deux pignons à fabriquer tournent en sens contraires pendant l'usinage.
Une forme de réalisation du procédé conforme à l'invention est expliquée à l'aide des dessins annexés, qui représentent aussi un exemple de réalisation d'un outil servant à tailler la denture.
Dans ces dessins :
Fig. 1 est un schéma géométrique servant à expliquer la formation d'une courbe de denture et qui est applicable
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au cas où. l'outil et le pignon plan-conique idéal tournent dans le même sens ;
Fig. 2 est un schéma géométrique analogue mais elle concerne le cas dans lequel l'outil et le pignon plan-conique idéal possèdent des sens de rotation contraires;
Fig. 3 est un plan de l'outil muni de seize lames coupantes;
Fig. 4 représente une lame en élévation;
Fig. 5 et 6 sont des plans de portions de deux outils, deux lames étant représentées à chaque fois, dont l'une agit par son bord extérieur et l'autre par son bord intérieur pour usiner les deux flancs d'une même dent. La Fig.
6 représente la position des lames dans le cas du mouvement de rotation en sens contraires de l'outil et du pignon plan-conique idéal. La fig. 5 fait apparaître la posi- tion des lames en cas de mouvement de rotation de même sens de l'outil et du pignon plan-conique idéal ;
Fig. 7 et 8 sont deux coupes radiales d'un outil et montrent chacune une lame dont l'une taille par son bord extérieur et l'autre par son bord intérieur;
Fig. 9 illustre schématiquement le mode de travail des lames ;
Fig. 10 représente le mode de fonctionnement de trois lames de l'outil dans la production de deux dentures conjugées, avec excentricité constante del'outil par rapport à l'axe du pignon plan-conique idéal;
Fig. 11 montre le moae de fonctionnement de trois lames de l'outil lorsque l'excentricité de celui-ci par
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rapport à l'axe du pignon plan-conique idéal est différente lors de la production des deux dentures conjugées; Fig.12 représente schématiquement une disposition pratique pour tailler deux dentures conjuguées.
Les fig l et 2 montrent comment la trajectoire absolue d'un point des lames sur la surface plan-conique idéale, peut être déterminée graphiquement.
U est le centre de l'outil, qui tourne dans le sens de la flèche 1. 0 est le centre du pignon plan-conique idéal qui, dans la fig. 1, tourne dans le sens ae la flèche 2 donc dans le même sens que l'outil et qui, dans la fig. 2 tourne dans le sens de la flèche 2,' par conséquent en sens contraire de l'outil. P est un point d'une lame de l'outil qui tourne, avec un rayon a, autour du centre U. Le cercle 3, de rayon a et centre U, représente donc le trajet relatif du point P de l'outil.
A partir du point P, on a reporté sur le cercle trois portions de cercle égales et, par les points de la division ainsi obtenue, on a tracé sur le cercle des arcs 4 autour du centre 0. On doit admettre que le rapport des vitesses angulaires de l'outil et du pignon plan-conique est de 8 à 1. On a alors reporté sur la surface plan- conique l'angle MON qui est égal à la Semé partie de l'angle PUQ, que le point P parcourt pour atteindre le point Q. A partir du cercle 3, les arcs MN, TT', RR', WW', VV" sont re- portés sur les arcs de cercle correspondants 4, en tenant compte du mouvement de rotation de l'outil et du pignon plan-conique idéal;
en fait, l'arc MN de la fig. 1 est
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reporté deux fois à partir du. point Z sur l'arc correspon- dant, car le pignon plan-conique a continué à tourner de deux tronçons d'arcs NM jusqu'à ce que l'outil soit parvenu du point Z au point P. Le tronçon d'arc TT' est reporté dne fois, le tronçon d'arc RR' également une fois mais en sens contraire, le tronçon d'arc WW' est reporté deux fois et le tronçon d'arc VV' trois fois. Dans la fig. 2 également, ces tronçons d'arcs sont reportés de façon correspondante sur les arcs 4, mais en sens contraire de celui de la fig. 1 car, dans la fig. 2, le pignon plan- conique tourne en sons contraire.
Si alors on relie entre eux les points reportés sur les arcs, on obtient une courbe APB, qui représente la trajectoire absolue du point P, tournant autour de U, sur le plan du pignon plan-conique idéal tournait autour de 0, le rapport des vitesses angu- laires du pignon plan-conique et du point P étant de 1 à 8 et dans la fig. 1 le pignon plan-conique et le point ? tournent dans le même sens et dans la fig.2 en sens contraires.
Cette trajectoire absolue APB représente la courbe longitudinale d'une dent de la denture à établir, c'est-à-dire la ligne de coupe d'une dent du pignon plan- conique idéal avec son plan partiel. Comme on peut le voir aux fig. 1 et 2, la trajectoire absolue a, dans les deux cas, une forme analogue à un arc de cercle et a la même forme que la trajectoire circulaire relative. En s'exprimant d'une manière moins générale, ceci signifie que l'angle formé
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entre la trajectoire absolue et la trajectoire circulaire relative en un point quelconque de la trajectoire peut être relativement grand mais que cet angle ne subit pas de grande modifications tout le long de la courbe longitudinale d'une dent.
Pour cette raison, l'effet de coupe de la lame fixe de l'outil le long des flancs de la dent n'est pas affecté. Les lames peuvent être réglées conformément à l'angle de coupe optimum et cet angle ne subit que de très faibles'variations lorsque la lame chemine d'une extrémité de la dent à l'autre.
L'angle formé entre la trajectoire absolue et la trajectoire relative est dans les deux cas l'angle UPC qui est formé entre d'une part, le rayon UP qui est perpendicu- laire à la trajectoire circulaire relative et, d'autre part, la ligne PC, qui est normale à la trajectoire absolue au point C. Cet angle entre les deux trajectoires est appelé ci-après l'angle d. Il est variable sur toute la longueur de la trajectoire absolue.
Les propriétés de la trajectoire absolue du point P résultent du chois particu- lier de conditions géométriques et mécaniques qui sont décrites ci-après:
On désigne: par k le rapport a/b,a étant le rayon de l'outil et b l'excentricitéOU de l'axe de l'outil par rapport à l'axe du pignon plan-conique idéal; par m le rapport entre les vitesses angulaires de l'outil et du pignon plan-conique idéal;
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par c un angle auxiliaire que l'on introduit pour faciliter le calcul.
On a trouvé que la valeur maximum de l'angle d, avec un mouvement de rotation de même sens de l'outil et du pignon plan-conique, est obtenue par la formule suivante: tg d = - ctg f (1) dans laquelle cos f = 1 (2) k (m-1) b = a (m-1) sin d (3)
L'angle d'inclinaison i de la trajectoire absolue, c'est-à-dire l'angle CPO, est obtenu par la formule suivante: tg i = m tg d (4)
Dans le cas d'un mouvement de rotation(en sens con- traire de l'outil et du pignon plan-conique on a les formules correspondantes: tg d = ctg f (5) cos f = - 1 (6) k(1 + m) b = a (1+m) sin d (7) tg i = -m tg d ' (8)
Les formules suivantes sont applicables dans les deux cas:
R2= a2 + b2 + 2 ab cos f (9) dans lesquelles R est la distance du point P(pour lequel l'angle d a la valeur maximum) au centre 0 du pignon plan- conique idéal.
En outre r = R cos i (10) où r est le rayon de courbure de la trajectoire absolue au point P.
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En ce qui concerne les rapports des vitesses, il faut prendre en considération le nombre de dents n du pignon plan-conique ou de la pièce à usiner au cours d'un tour de l'outil.
Si l'on suppose que N est le nombre de dents du pignon plan-conique, on a : m = N. (11) n : Dans le cas de mécanismes comportant des axes orthogonaux, la formule s'énonce comme suit:
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dans laquelle ZR est le nombre de dents de la roue dentée et Zr le nombre de dents du pignon.
Le rapport de la vitesse angulaire entre la pièce à usiner comportant Z dents et l'outil est donné par : (13) formule dans laquelle la pièce à usiner doit faire n tours pour Z tours de l'outil.
A l'aide des formules indiquées, on peut calculer, pour le cas de mouvements de même sens comme pour ceux de sens contraires de l'outil et de la pièce à usiner, tous les éléments cinématiques et géométriques nécessaires, afin que l'outil puisse usiner plusieurs dents pendant un tour.
On peut, en particulier, calculer à l'aide des formules indiquées le rapport m entre la vitesse angulaire de l'outil et celle du pignon plan-conique idéal, de même que le rapport k entre le rayon a de l'outil et l'excentricité b
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de l'axe de l'outil, afin que la valeur de l'angle d, qui dépend des grandeurs k et m, ne subisse pas de variations importantes entre la trajectoire absolue et la trajectoire relative sur tout le trajet de la courbe longitudinale de la dent.
Bien que cela ne soit pas absolument nécessaire, la trajectoire absolue est avantageusement déterminée de telle manière que la valeur maximum de l'angle d se situe approxima- tivement au milieu. de la dent courbe à' établir et qu'elle diminue légèrement vers les deux extrémités de la courbe de la dent.
De cette manière, l'angle d formé entre la trajectoire absolue et la trajectoire relative d'un point P, ne subit que des variations tout à fait faibles d'une extrémité de la dent courbe à l'eautre, de sorte que l'effet-de coupe des dents n'est pas affecté. Mais lorsque cet angle subit des variations supérieures à quelques degrés, l'angle de coupe de la lame de l'outil est défaborable, ou bien-le dos de la lame pourrait talonner contre- les flancs de la dent.
Du point de vue pratique, l'angle d'inclinaison des dents est important, angle qui est déterminé au moyen de la formule indiquée comme étant fonction de la valeur maximum prédéterminée de l'angle d et du rapport m entre les vitesses angulaires de l'outil et du pignon plan-conique.
L'excentricité de l'axe de l'outil par rapport à l'axe principal de la machine, qui coïncide avec l'axe du pignon plan-conique idéal, est déterminée au moyen des for- mules mentionnées comme étant fonction du rayon a de l'outil,
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du rapport m et de l'angle d formés entre les deux trajectoires.
Le rayon de courbure des dents a également une importance pratique, ce rayon étant égal, pour le rayon moyen des dents, au produit de ce rayon moyen et du cosinus de l'angle d'inclinaison des dents.
Le rapport entre les vitesses angulaires de l'outil et de la pièce à usiner est égal au rapport entre le nombre de dents et,le nombre des dents qui doivent être usinées pendant un tour de l'outil.
Apres la description qui vient d'être faite du procédé conforme à l'invention, une description de l'ensemble de la machine pour la fabrication de pignons coniques à dents courbes n'est plus nécessaire, car les caractéristi- ques constructives de cette machine ne s'écartent pas de celles de machines connues servant à la fabrication de pignons suivant le procédé continu à développante. Par contre, l'outil présente de nouvelles caractéristiques:
L'outil représenté à titre d'exemple est constitué sous forme d'un disque 6 qui porte seize lames fixes, dispo- sées par paire Sl-S2 le long de la périphérie du disque.
A cette fin, le disque 6 comporte des rainures 7 et 8 dans lesquelles les lames sont fixées au moyen de vis 9.
Les divers corps de lames affectent la forme d'un prisma- toide, dont la partie supérieure présentant l'arrête coupante est de préférence limitée par de surfaces conico-circulaires.
L'axe longitudinal e de ce prismatiode est circulaire
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et son rayon de courbure est essentiellement égal à-la valeur r qui est calculée au moyen de la formule (10) En s'exprimant avec plus de précision, le centre de cour- bure de l'axe circulaire e du prismatoide se trouve sur une droite qui est tangente à un cercle de rayon s tracé autour du centre U de l'outil, le rayon s correspondant essentiellement à la distance UC indiquée aux fig. 1 et 2 et pouvant être calculée par la formule: s = a sin d (14).
L'angle d et appelé l'angle d'orientation des lames et est déterminé par les formules indiquées ci-dessus en fonction des rapports m et k.
En d'autres termes, on constate que l'axe longitudinal circulaire de la partie coupante de forme prismatoide des lames prend dans l'outil une position analogue celle de la trajectoire absolue d'un point d'une lame sur la surface plan-conique idéale par rapport à la trajectoire circulaire relative du point, ainsi que cela est représenté aux fig. 1 et 2. Il ressort des formules (1) et (5) que cet angle d'orientation d varie en sens contraire du rayon pour les deux cas du mouvement de rotation dans le même sens et en sens contraires de l'outil et du pignon plan-omnque idéal.
Parmi les deux lames d'une paire, alternativement l'une des lames SI coupe avec son arête extérieure 10 et l'autre lame S2 avec son arête intérieure 11. La lame SI de l'une des paires usine le flane concave d'une dent 12
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(fig.9) et la lame S2 usine le flanc convexe de cette dent.
Les lames correspondantes de chaque paire possèdent le même écartement radial à partir de l'axe de rotation de l'outil et les distances angulaires des diverses lames sont égales les unes aux autres.
La partie supérieure coupante de chaque lame S1 ou S2 présente une forme trapézoïdale, un seul des bmrds du trapèze 10 ou 11 étant toujours constitué sous forme d'arête tranchante. Le point P1 ou P2, qui correspond sur chaque bord coupant au cercle, primitif de la denture à tailler, est appelé point primitif de l'arête coupante intérieure ou extérieure. Les points primitifs Pl et P2 de -toutes les lames-d'un outil possèdent la même distance radiale a de l'axe de rotation de l'outil, comme cela est représenté aux fig. 7 et 8.
Comme on peut le voir par les figs. 5 et 6, les points primitifs Pl et P2 des bords coupants extérieurs et intérieurs des lames sont placés sur un cercle 14 qui est concentrique à l'axe de rotation U de l'outil. On voit par la fig. 9 que les lames Sl et S2 d'une paire cheminent à travers le même entre-dent 15 de la denture tailler et usinent les flancs opposés de deux dents.
Voici un exemple pratique de la taille d'une denture selon le procédé conforme à l'invention.
On a supposé qu'il y avait lieu de réaliser une paire de pignons à axes orthogonaux, dont le pignon aurait un nombre de dents Zr = 27 et la roue un nombre de dents ZR -58. L'outil doit avoir un rayon a = 75 mm et doit
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présenter huit paires de lames, qui sont disposées suivant un angle d'orientation de d = 12 11', par conséquent, sui- vant l'exemple de la fig. 6, avec un mouvement de rota- tion de sens contraire de l'outil et du pignon plan- conique idéal. Dans ce cas, il y a lieu d'appliquer les formules (5) à (8) .
Au moyen de la formule (12), on calcule la valeur N = 4093 et avec la formule (11), on obtient m = 8,0155.
Etant donné que l'on a supposé l'angle d on peut calculer avec la formule (5) l'angle f et on ob- tient alors f = 77 49'.
Avec la formule (7) on peut déterminer l'excentri- cité b qui s'établit à b = 142,8 mm. Cette valeur b peut aussi être calculée avec la formule (6) en déterminant tout d'abord le rapport k qui s'établit à k = 0,52507 et à partir duquel on calcule b, soit b = a = 75 k 0,52507 On calcule ensuite l'angle i avec la formule (8) et on obtient i = 60 . '
A l'aide des formules (9) et (10), on obtient R et r qui s'établissent à:
R = 146,6 r' = 73,3
Pour tailler le pignon avec Zr = 27 dents il faut que le rapport des vitesses angulaires entre la pièce à usiner et l'outil soit de 8 , de'sorte que pour
27 vingt sept tours de l'outil, la pièce à usiner doit faire huit tours.
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Les fig. 10, 11, et 12 servent à expliquer la fabri- cation de deux pignons coniques conjugués suivant le procédé conforme à l'invention.
On peut encore trouver les caractéristiques suivantes dans les fig. 1 et 2. a) les trajectoires absolues AB, pour un mouvement de même sens et pour un mouvement de sens contraires de l'outil et du pignon plan-conique idéal ont, en ce qui concerne le rayon médian PO = R de l'arc de la dent, le même angle d'inclinaison i, qui est formé par la ligne C P 0, OP étant la normale à la trajectoire absolue au point P et PO représentant le rayon R. b) Les deux trajectoires absolues ont le même angle d'orientation d, en ce qui concerne la valeur absolue, mais, par contre, les signes de l'angle d sont contraires pour les deux cas du mouvement dans le même sens et du mouvement en sens contraires de l'outil et du pignon plan-conique idéal. c) Les deux trajectoires absolues ont, en ce qui concene le rayon médian R de l'arc de la dent, le même rayon de courbure r = PC.
d) Le centre de courbure 0 des deux trajectoires absolues est dans les fig. 1 et 2 à la même distance du centre 0 du pignon plan-conique idéal.
Ces caractéristiques des trajeotoires absolues d'un point d'une lame sont obtenues lorsque dans les deux cas le rayon a de l'outil et le rapport m entre les vitesses
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angulaires de l'outil et du pignon plan-conique idéal sont maintenus d'égale grandeur. Par contre, l'excentricité b et b' (fig. 12) de l'axe de l'outil en ce qui concerne l'axe du pignon plan-conique doivent être différentes lors de l'usinage des deux pignons destinés à engrener l'un avec l'autre.
Dans le cas d'un mouvement de rotation dans le même sens de l'outil, et du pignonplan-conique, on obtient l'excentricité b par la formule : b = m - 1 R sin i : (15) m Dans le cas du mouvement de sens contraire de l'outil et du pignon plan-conique, ob obtient l'excentricité b' par la formule : b" = m + 1 R sin i (16) m En supposant que le rapport soit m = 8, R = 146,6 et i = 60 on obtient b = 111,09 et b' = 142,84.'
Dans la fig.10, on a représenté, sur le côté droit de la figure, trois lames coupantes A, B, 0 dont les arêtes coupantes sont à la même distance radiale a de l'axe de ro- tation U de l'outil. La flèche 1 désigne le sens de rota- tion de l'outil et la flèche 2 le sens de rotation du pignon plan-conique. Les trois lames ABC usinent les flancs des dents 16 et 17.
La manière dont les courbes des flancs de dents sont construites a déjà été décrite à l'aide de la fig. 2, étant donné que les mouvements de rotation de l'outil et du pignon plan-conique sont de sens contraires.sur le côté droit de la fig.10. Lorsque les trois lames ABC ont tourné d'environ 180 vers le côté gauche de la fig. 10,
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elles'prennent les positions A' B' C'. Les arêtes coupantes des lames sont toujours placées sur le cercle ayant le rayon a autour du centre U et se déplacent le long des flancs cour- bes des dents 16' et 17'. Les courbes de ces flancs de dents sont géométriquement identiques aux courbes des flancs des dents 16 et 17 représentés sur le coté xx droit de la fig. 10, mais elles forment l'image réfléchie de ces courbes, c'est-à-dire que ce sont des courbes conjuguées.
Nais, en raison de la position des lames A'B'C;'. ces lames ne peuvent pas tailler le profil désiré de dents conjuguées, ainsi que cela ressort du côté gauche de la fig. 10 et il serait donc nécessaire d'utiliser deux outils tournant en sens contraires, pour tailler deux dentures conjuguées, ce qui présente un gros inconvénient.
Lorsqu'on examine la f ig. 10, on observe que les profils de dents 16' et 17' peuvent être taillés sur le côté gauche des figures au moyen de lames D, E, F qui tournent également dans le sens de la flèche 1 et que ces lames doivent posséder des profils tels qu'ils soient formés par un mouvement de rotation de même sens de l'outil et du pignon plan-conique, tandis que les profils des dents 16 et 17, placées sur le côté droit, sont formés par les lames A, B,C qui exécutent un mouvement de rotation en sens contraire par rapport au pignon plan-conique.
Cette constatation faite en liaison avec les caractéristiques a et d énoncées ci-dessus a conduit à la découverte que les courbes de dents conjuguées d'une
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paire de pignons peuvent être établies au moyen des mêmes lames d'un outil unique, cet outil tournant toujours dans le même sens, mais possédant, lors de la taille de chacun des deux pignons, une excentricité différente en ce qui concerne l'axe du pignon plan-conique idéal, tandis que les deux pièces à usiner doivent tourner en sens contraire.
L'excentricité de l'outil est déterminée au moyen des for- mules (15) et (16).
La fig. Il montre schématiquement la disposition concenant à la taille de deux dentures conjuguées aveo un seul outil. Sur le café droit de la figure, l'excentricité OU entre les axes de rotation de l'outil et du pignon plan- conique est à 142,84 mm, et les mouvements de rotation de l'outil et de la roue plan-conique sont de sens contraires.
Sur le côté gauche de la figure, l'excentricité OU' est de 111,09 mm et les rotations se font dans le même sens.
L'outil tourne dans les deux cas dans le sens de la flèche 1, tandis que la roue plan-conique idéale qui se trouve sur le côté droit de la figure tourne dans le sens de la flèche 2' et sur le côté gauche de la figure dans le sens de la flèche 2.
Les lames A,B,C placées sur 'le côté droit de la figure 11 prennent, au cours de la fabrication de la denture conjuguée, sur le côté gauche de la figure les positions A' B' C; et, dans les deux cas, les axes de forme circulaire des corps prismatoides formant les lames, sont disposées parallèlement aux courbes des dents. En concordance avec
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la caractéristique d mentionnée ci-dessus, les centres des courbures des deux courbes de dents conjuguées sur le côté droit et le côté gauche de la figure 11,, sont égale distance de l'axe 0 de la roue plan-conique idéale, par exemple les trajectoires- décrites par les arêtes coupantes des lames b et b' ont le même centre de courbure Q. la fig. 12 montre schématiquement une disposition pratique pour tailler deux dentures conjuguées.
OX est l'axe de la pièce à usiner. L'outil 6 est disposé par rapport à l'axe 0 de la roue planconique idéale avec l'excentricité b qui est déterminée suivant la formule (15), et il tourne dans le sens de la flèche 1 en taillant la pièce à usiner avec des mouvements de rotation de même sens de l'outil et de la roue plan-conique idéale correspondant à la pièce à usiner, dans lequel das cette pièce tourne dans le sens de la flèche 2.
Pour usiner la denture conjuguée, le même outil tournant dans le même ,sens est disposé suivant 6', son excentricité b' étant déterminée suivant la formule (16).
Le sens de rotation de la pièce à usiner 18 ou de la roue plan-conique idéale qui lui correspond, doit être, dans ce cas, contraire au sens de rotation de l'outil, donc le sens de la flèche 2'.
Lorsque les deux excentricités b et b' ont été déterminées sur la base des formules (15) et (16), les courbes de dents conjuguées possèdent par rapport au .rayon médian de la dent le même rayon de courbure et le même angle d'inclinaison.
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Pour des raisons pratiques et pour obtenir les points de contact mutuel des dentures coopérant dans des zones déterminées des flancs de la dent, il peut être'avantageux que les courbes de dents conjuguées aient le même angle d'inclinaison, mais des rayons de courbure légèrement diffé- rents, ou également que l'angle d'inclinaison et les rayons de courbure soient légèrement différents.
Pour obtenir ce résultat, il suffit d'introduire dans les formules (15) et (16) des valeurs prédéterminées des angles d'inclinaison désirés. L'angle d'inclinaison i . est contenu dans la formule générale pour la détermination du rayon de courbure r, étant donné que : r = R cos i (10)
En ce qui concerne l'outil, on a supposé jusqu'à maintenat que les distances mesurées dans le plan primitif des arêtes coupantes extérieures et intérieures des lames, à partir de l'axe de rotation de l'outil sont ales entre elles. On obtient dans ce cas des courbes géométri- quement identiques.
Pour des raisons pratiques et, en fait, pour localiser les points de contact mutuel des dents coopérantes sur des zones déterminées des flancs des dents, il peut être avantageux que les rayons des arêtes coupantes exté- rieures des lames, mesurés dans le plan primitif de l'outil soient un peu plus petits ou plus grands que les rayons correspondants des arêtes coupantes intérieures des lames.
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Method and device for cutting bevel gears with curved teeth according to the continuous involute process,
The present invention relates to a method and a device for cutting bevel gears according to the continuous involute process, by means of a tool in the form of a disc and carrying several fixed blades, this
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tool capable of rotating about an axis which is perpendicular to the plane tangential to the pitch conical surface of the toothing to be established, the tool and the workpiece executing a continuous rotational movement.
In a known machine of this type, all the blades of the tool work in a single crotch during a complete revolution of this tool.
Most of the blades of the tool are used for roughing the cut and only one pair of blades, the blades of which are usually diametrically opposed to each other, is provided for the finish. Besides certain advantages, this known machine has the drawback of slow work because only one tooth is machined for one revolution of the tool.
To overcome this drawback, attempts have already been made to make several teeth work by the cutting blades during a single revolution of the tool. But this idea has not been able to be realized practically so far for the reasons indicated in what follows.
It is known that the involute continuous process requires simultaneous rotation of the tool and the workpiece. When, instead of the toothing of bevel gears to be cut, the corresponding ideal plano-bevel gear is taken into consideration, the problem of the involute continuous process is geometrically reduced to the consideration of the path which is traced by a point revolving around the axis of the tool on the plane of the ideal plano-bevel pinion also in rotation,
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the axis of this plano-conical pinion being parallel to that of the tool.
In this case, the absolute trajectory on this plane, that is to say the longitudinal curve of a tooth of the toothing to be established, is different from the relative circular trajectory of the point and the two trajectories together form an angle which can undergo considerable variations over the length of a tooth, as soon as the speed of rotation of the plano-bevel pinion reaches a certain value in relation to that of the tool.
When the plano-bevel pinion rotates by only one tooth of the toothing to be established for one complete revolution of the tool, as is the case in the known machine, the angle formed between the absolute and relative paths d 'point on the tool and the variations in angle along the curve of a tooth are of practically negligible magnitude. But when the plano-bevel pinion turns two or more teeth, instead of just one, during one complete revolution of the tool, the angle specified and the changes it undergoes along the curve of a tooth take such values that the practical machining of the teeth with the known machine would be impossible.
In the publications relating to this subject, one finds only insufficient theoretical and practical indications relative to the problem of the manufacture of curved teeth and the applicant describes, in what follows, the theoretical and practical bases resulting from long tests and which allow the manufacture of bevel gears with curved teeth with simultaneous machining of several teeth during a single revolution of the tool.
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according to the method according to the invention, this result is obtained due to the fact that the workpiece rotates by several teeth of the toothing to be established during one revolution of the tool, the ratio between the angular speeds of the tool and of the pinion ideal plane-conical corresponding to the toothing to be established, as well as the relationship between the radius of the tool and the eccentricity of the axis of the tool relative to the main axis of the 'machine coinciding with the axis of the ideal plano-bevel gear are chosen so that the angle formed between the absolute path (longitudinal curve of a tooth) and the relative circular path of a point on the cutting blade over the total length of a tooth , does not vary significantly enough, from a predetermined value, to influence the cutting action of the blade.
The device for carrying out the process is characterized in that the tool carries several fixed blades, the cutting part of which forms a prismatic body with a longitudinal axis in the form of an arc of a circle and of which, alternatively, one cuts, by relative to the axis of the tool, on its outer side and the other on its inner side, and that corresponding blades have the same radial spacing from the axis of rotation of the tool and the distances relative angulars equal, the blades being arranged, with respect to the axis of rotation, at an angle of orientation such that the longitudinal axis in the form of an arc of a circle of the prismatic body of all the blades takes a position similar to that of the trajectory
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absolute with respect to the relative trajectory of a point on the blades.
To cut a pair of bevel gears comprising curved teeth intended to engage each other, two tools were required until now, one of which was the reflected image of the other, and which turned in opposite directions, so that the teeth established are congruent or conjugate. Now, these two necessary tools have a big drawback because, apart from the higher costs, errors can also occur in the toothing, because it is very difficult to manufacture a tool exactly similar, but turning in the opposite direction.
These drawbacks are eliminated, in accordance with the invention, from the fact that two bevel gears intended to mesh with each other are manufactured by means of a single tool which has, for the machining of each of: gears , a different eccentricity with respect to the axis of the ideal plano-bevel pinion, but the same direction of rotation, while the two pinions to be manufactured turn in opposite directions during machining.
An embodiment of the method according to the invention is explained with the aid of the accompanying drawings, which also show an embodiment of a tool for cutting the teeth.
In these drawings:
Fig. 1 is a geometric diagram used to explain the formation of a toothing curve and which is applicable
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in case. the tool and the ideal plano-bevel gear turn in the same direction;
Fig. 2 is a similar geometric diagram but it concerns the case in which the tool and the ideal plane-bevel pinion have opposite directions of rotation;
Fig. 3 is a plan of the tool provided with sixteen cutting blades;
Fig. 4 shows a blade in elevation;
Fig. 5 and 6 are planes of portions of two tools, two blades being shown each time, one of which acts through its outer edge and the other through its inner edge to machine the two sides of the same tooth. Fig.
6 represents the position of the blades in the case of the rotational movement in opposite directions of the tool and of the ideal plano-bevel pinion. Fig. 5 shows the position of the blades in the event of a rotational movement in the same direction of the tool and of the ideal plano-bevel pinion;
Fig. 7 and 8 are two radial sections of a tool and each show a blade, one of which cuts by its outer edge and the other by its inner edge;
Fig. 9 schematically illustrates the working mode of the blades;
Fig. 10 shows the mode of operation of three blades of the tool in the production of two mating teeth, with constant eccentricity of the tool with respect to the axis of the ideal plano-bevel gear;
Fig. 11 shows the working moae of three blades of the tool when the eccentricity of the latter by
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ratio to the axis of the ideal plano-bevel pinion is different during the production of the two conjugate teeth; Fig. 12 schematically represents a practical arrangement for cutting two mating teeth.
Figs l and 2 show how the absolute trajectory of a point of the blades on the ideal plano-conical surface, can be determined graphically.
U is the center of the tool, which rotates in the direction of arrow 1. 0 is the center of the ideal plano-bevel gear which, in fig. 1, turns in the direction of arrow 2 therefore in the same direction as the tool and which, in FIG. 2 rotates in the direction of arrow 2, therefore in the opposite direction to the tool. P is a point on a blade of the tool which turns, with a radius a, around the center U. The circle 3, with radius a and center U, therefore represents the relative path of the point P of the tool.
From point P, we have plotted on the circle three equal portions of a circle and, by the points of the division thus obtained, we have drawn on the circle arcs 4 around the center 0. We must admit that the speed ratio angular angles of the tool and of the plano-bevel gear is 8 to 1. We then plotted on the plan-conical surface the angle MON which is equal to the Semé part of the angle PUQ, which the point P traverses for reach point Q. From circle 3, the arcs MN, TT ', RR', WW ', VV "are transferred to the corresponding arcs of circles 4, taking into account the rotational movement of the tool and of the ideal plano-bevel gear;
in fact, the arc MN of FIG. 1 is
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postponed twice from. point Z on the correspon- ding arc, because the plano-bevel pinion continued to turn two sections of arcs NM until the tool reached point Z at point P. The section of arc TT 'is carried over once, the arc section RR' also once but in the opposite direction, the arc section WW 'is transferred twice and the arc section VV' three times. In fig. 2 also, these sections of arcs are transferred correspondingly on the arcs 4, but in the opposite direction to that of FIG. 1 because, in fig. 2, the planetary gear turns in opposite directions.
If then we connect the points reported on the arcs together, we obtain a curve APB, which represents the absolute trajectory of the point P, revolving around U, on the plane of the ideal plane-bevel pinion revolving around 0, the ratio of angular speeds of the plano-bevel pinion and point P being from 1 to 8 and in fig. 1 the plano-bevel gear and the point? turn in the same direction and in fig. 2 in opposite directions.
This absolute trajectory APB represents the longitudinal curve of a tooth of the teeth to be established, that is to say the line of cut of a tooth of the ideal planetary pinion with its partial plane. As can be seen in fig. 1 and 2, the absolute path has, in both cases, a shape analogous to an arc of a circle and has the same shape as the relative circular path. Expressed in a less general way, this means that the angle formed
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between the absolute trajectory and the relative circular trajectory at any point of the trajectory can be relatively large but that this angle does not undergo great modifications along the length of the longitudinal curve of a tooth.
For this reason, the cutting effect of the fixed tool blade along the tooth flanks is not affected. The blades can be set to the optimum cutting angle and this angle only changes very little as the blade moves from one end of the tooth to the other.
The angle formed between the absolute trajectory and the relative trajectory is in both cases the UPC angle which is formed between, on the one hand, the radius UP which is perpendicular to the relative circular trajectory and, on the other hand, the line PC, which is normal to the absolute trajectory at point C. This angle between the two trajectories is called the angle d below. It is variable over the entire length of the absolute path.
The properties of the absolute trajectory of the point P result from the particular choice of geometrical and mechanical conditions which are described below:
We denote: by k the ratio a / b, a being the radius of the tool and b the eccentricity OR of the axis of the tool with respect to the axis of the ideal plano-bevel pinion; by m the ratio between the angular speeds of the tool and of the ideal plane-bevel pinion;
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by c an auxiliary angle which is introduced to facilitate the calculation.
We have found that the maximum value of the angle d, with a rotational movement in the same direction of the tool and of the plane-bevel pinion, is obtained by the following formula: tg d = - ctg f (1) in which cos f = 1 (2) k (m-1) b = a (m-1) sin d (3)
The inclination angle i of the absolute trajectory, i.e. the angle CPO, is obtained by the following formula: tg i = m tg d (4)
In the case of a rotational movement (in the opposite direction of the tool and the plane-bevel pinion, we have the corresponding formulas: tg d = ctg f (5) cos f = - 1 (6) k (1 + m) b = a (1 + m) sin d (7) tg i = -m tg d '(8)
The following formulas are applicable in both cases:
R2 = a2 + b2 + 2 ab cos f (9) in which R is the distance from point P (for which the angle d has the maximum value) to the center 0 of the ideal plan- conical pinion.
Furthermore r = R cos i (10) where r is the radius of curvature of the absolute path at point P.
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Regarding the speed ratios, it is necessary to take into account the number of teeth n of the plano-bevel gear or of the workpiece during a revolution of the tool.
If we assume that N is the number of teeth of the plane-bevel pinion, we have: m = N. (11) n: In the case of mechanisms comprising orthogonal axes, the formula is as follows:
EMI11.1
where ZR is the number of teeth of the toothed wheel and Zr the number of teeth of the pinion.
The angular speed ratio between the part to be machined with Z teeth and the tool is given by: (13) formula in which the part to be machined must make n revolutions for Z revolutions of the tool.
Using the formulas indicated, it is possible to calculate, for the case of movements in the same direction as for those in opposite directions of the tool and the part to be machined, all the kinematic and geometric elements necessary, so that the tool can machine multiple teeth in one revolution.
We can, in particular, calculate using the formulas given the ratio m between the angular speed of the tool and that of the ideal plane-bevel pinion, as well as the ratio k between the radius a of the tool and l 'eccentricity b
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of the tool axis, so that the value of the angle d, which depends on the quantities k and m, does not undergo significant variations between the absolute path and the relative path over the entire path of the longitudinal curve of the tooth.
Although it is not absolutely necessary, the absolute path is advantageously determined such that the maximum value of the angle d lies approximately in the middle. of the curved tooth to be established and that it tapers slightly towards both ends of the tooth curve.
In this way, the angle d formed between the absolute trajectory and the relative trajectory of a point P, undergoes only quite small variations from one end of the tooth curved to the other, so that the teeth-cutting effect is not affected. But when this angle undergoes variations greater than a few degrees, the cutting angle of the tool blade is unfavorable, or the back of the blade could butt against the sides of the tooth.
From a practical point of view, the angle of inclination of the teeth is important, which angle is determined by means of the formula indicated as being a function of the predetermined maximum value of the angle d and of the ratio m between the angular velocities of the tool and the plano-bevel gear.
The eccentricity of the axis of the tool with respect to the principal axis of the machine, which coincides with the axis of the ideal plane-bevel pinion, is determined by means of the formulas mentioned as being a function of the radius a of the tool,
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the ratio m and the angle d formed between the two trajectories.
The radius of curvature of the teeth is also of practical importance, this radius being equal, for the average radius of the teeth, to the product of this average radius and the cosine of the angle of inclination of the teeth.
The ratio between the angular speeds of the tool and of the workpiece is equal to the ratio between the number of teeth and the number of teeth which must be machined during one revolution of the tool.
After the description which has just been given of the process in accordance with the invention, a description of the assembly of the machine for the manufacture of bevel gears with curved teeth is no longer necessary, since the constructional characteristics of this machine do not differ from those of known machines used for the manufacture of pinions according to the continuous involute process. However, the tool has new features:
The tool shown by way of example is formed in the form of a disc 6 which carries sixteen fixed blades, arranged in pairs S1-S2 along the periphery of the disc.
To this end, the disc 6 has grooves 7 and 8 in which the blades are fixed by means of screws 9.
The various blade bodies take the form of a prismatic element, the upper part of which having the cutting edge is preferably limited by conical-circular surfaces.
The longitudinal axis e of this prismatiode is circular
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and its radius of curvature is essentially equal to - the value r which is calculated by means of the formula (10) Expressed more precisely, the center of curvature of the circular axis e of the prismatoide lies on a straight line which is tangent to a circle of radius s drawn around the center U of the tool, the radius s essentially corresponding to the distance UC indicated in figs. 1 and 2 and can be calculated by the formula: s = a sin d (14).
The angle d is called the angle of orientation of the blades and is determined by the formulas indicated above as a function of the ratios m and k.
In other words, we see that the circular longitudinal axis of the prismatic cutting part of the blades takes in the tool a position similar to that of the absolute trajectory of a point of a blade on the plane-conical surface. ideal with respect to the relative circular trajectory of the point, as shown in Figs. 1 and 2. It emerges from formulas (1) and (5) that this orientation angle d varies in the opposite direction of the radius for the two cases of the rotational movement in the same direction and in opposite directions of the tool and the ideal plan-omnque gable.
Among the two blades of a pair, alternately one of the SI blades cuts with its outer edge 10 and the other blade S2 with its inner edge 11. The SI blade of one of the pairs machines the concave blank of a tooth 12
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(fig. 9) and blade S2 machines the convex flank of this tooth.
The corresponding blades of each pair have the same radial spacing from the axis of rotation of the tool and the angular distances of the various blades are equal to each other.
The upper cutting part of each blade S1 or S2 has a trapezoidal shape, only one of the edges of the trapezoid 10 or 11 always being in the form of a cutting edge. The point P1 or P2, which corresponds on each cutting edge to the circle, pitch point of the teeth to be cut, is called the pitch point of the inside or outside cutting edge. The pitch points P1 and P2 of -all the blades-of a tool have the same radial distance a from the axis of rotation of the tool, as shown in FIGS. 7 and 8.
As can be seen from figs. 5 and 6, the pitch points P1 and P2 of the outer and inner cutting edges of the blades are placed on a circle 14 which is concentric with the axis of rotation U of the tool. It can be seen from FIG. 9 that the blades S1 and S2 of a pair travel through the same gap 15 of the cut teeth and machine the opposite sides of two teeth.
Here is a practical example of the size of a toothing according to the method according to the invention.
It was assumed that it was necessary to produce a pair of pinions with orthogonal axes, the pinion of which would have a number of teeth Zr = 27 and the wheel a number of teeth ZR -58. The tool must have a radius a = 75 mm and must
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present eight pairs of blades, which are arranged at an orientation angle of d = 12 11 ', therefore, following the example of fig. 6, with a rotational movement in the opposite direction of the tool and the ideal plan- conical pinion. In this case, formulas (5) to (8) should be applied.
Using formula (12) we calculate the value N = 4093 and using formula (11) we get m = 8.0155.
Given that we have assumed the angle d, we can calculate with formula (5) the angle f and we then obtain f = 77 49 '.
With formula (7) we can determine the eccentricity b which is established at b = 142.8 mm. This value b can also be calculated with formula (6) by first determining the ratio k which is established at k = 0.52507 and from which we calculate b, i.e. b = a = 75 k 0.52507 We then calculate the angle i with formula (8) and we obtain i = 60. '
Using formulas (9) and (10), we obtain R and r which are established at:
R = 146.6 r '= 73.3
To cut the pinion with Zr = 27 teeth, the angular speed ratio between the workpiece and the tool must be 8, so that for
27 twenty seven turns of the tool, the workpiece should make eight turns.
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Figs. 10, 11, and 12 serve to explain the manufacture of two conjugate bevel gears according to the process according to the invention.
The following characteristics can also be found in figs. 1 and 2.a) the absolute trajectories AB, for a movement in the same direction and for a movement in opposite directions of the tool and of the ideal plane-bevel pinion have, with regard to the median radius PO = R of the arc of the tooth, the same angle of inclination i, which is formed by the line CP 0, OP being the normal to the absolute path at point P and PO representing the radius R. b) The two absolute paths have the same angle of orientation d, with regard to the absolute value, but, on the other hand, the signs of the angle d are opposite for the two cases of movement in the same direction and movement in opposite directions of the tool and the pinion ideal plane-conical. c) The two absolute trajectories have, with regard to the median radius R of the arc of the tooth, the same radius of curvature r = PC.
d) The center of curvature 0 of the two absolute trajectories is in fig. 1 and 2 at the same distance from the center 0 of the ideal plano-bevel gear.
These characteristics of the absolute trajectories of a point of a blade are obtained when in both cases the radius a of the tool and the ratio m between the speeds
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angles of the tool and the ideal plano-bevel gear are kept of equal magnitude. On the other hand, the eccentricity b and b '(fig. 12) of the axis of the tool with regard to the axis of the plano-bevel pinion must be different when machining the two pinions intended to mesh l 'with each other.
In the case of a rotational movement in the same direction of the tool, and of the plano-bevel pinion, the eccentricity b is obtained by the formula: b = m - 1 R sin i: (15) m In the case of the movement in the opposite direction of the tool and of the plane-bevel pinion, ob obtains the eccentricity b 'by the formula: b "= m + 1 R sin i (16) m Assuming that the ratio is m = 8, R = 146.6 and i = 60 we obtain b = 111.09 and b '= 142.84.'
In fig. 10, there is shown, on the right side of the figure, three cutting blades A, B, 0 whose cutting edges are at the same radial distance a from the axis of rotation U of the tool . Arrow 1 indicates the direction of rotation of the tool and arrow 2 the direction of rotation of the plano-bevel gear. The three ABC blades machine the flanks of teeth 16 and 17.
The way in which the curves of the tooth flanks are constructed has already been described with the aid of FIG. 2, since the rotational movements of the tool and the plano-bevel gear are in opposite directions. On the right side of fig. 10. When the three ABC blades have rotated about 180 to the left side of fig. 10,
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they 'take the positions A' B 'C'. The cutting edges of the blades are always placed on the circle having the radius a around the center U and move along the curved sides of the teeth 16 'and 17'. The curves of these tooth flanks are geometrically identical to the curves of the tooth flanks 16 and 17 shown on the right xx side of FIG. 10, but they form the reflected image of these curves, that is, they are conjugate curves.
Born, due to the position of the blades A'B'C; '. these blades cannot cut the desired profile of mating teeth, as can be seen from the left side of fig. 10 and it would therefore be necessary to use two tools rotating in opposite directions, to cut two mating teeth, which presents a major drawback.
When we examine f ig. 10, it is observed that the tooth profiles 16 'and 17' can be cut on the left side of the figures by means of blades D, E, F which also rotate in the direction of arrow 1 and that these blades must have profiles such that they are formed by a rotational movement in the same direction of the tool and of the plano-bevel pinion, while the profiles of the teeth 16 and 17, placed on the right side, are formed by the blades A, B, C which perform a rotational movement in the opposite direction with respect to the plano-bevel pinion.
This finding made in conjunction with the characteristics a and d set forth above led to the discovery that the conjugate tooth curves of a
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pair of pinions can be established by means of the same blades of a single tool, this tool always turning in the same direction, but having, when cutting each of the two pinions, a different eccentricity with regard to the axis of the ideal plano-bevel gear, while the two workpieces must turn in opposite directions.
The eccentricity of the tool is determined using the formulas (15) and (16).
Fig. It schematically shows the arrangement relating to the size of two toothings combined with a single tool. On the right coffee in the figure, the eccentricity OR between the axes of rotation of the tool and the plane-bevel gear is 142.84 mm, and the rotational movements of the tool and the plane-bevel wheel are in opposite senses.
On the left side of the figure, the eccentricity OU 'is 111.09 mm and the rotations are in the same direction.
The tool rotates in both cases in the direction of arrow 1, while the ideal plano-bevel wheel on the right side of the figure rotates in the direction of arrow 2 'and on the left side of the figure. figure in direction of arrow 2.
The blades A, B, C placed on the right side of FIG. 11 take, during the manufacture of the mating teeth, on the left side of the figure the positions A 'B' C; and, in both cases, the circular axes of the prismatic bodies forming the blades, are arranged parallel to the curves of the teeth. In accordance with
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the characteristic d mentioned above, the centers of the curvatures of the two curves of conjugate teeth on the right side and the left side of figure 11 ,, are equal distance from the axis 0 of the ideal plane-bevel wheel, for example the trajectories described by the cutting edges of the blades b and b 'have the same center of curvature Q. FIG. 12 schematically shows a practical arrangement for cutting two mating teeth.
OX is the axis of the workpiece. The tool 6 is arranged with respect to the axis 0 of the ideal planconic wheel with the eccentricity b which is determined according to the formula (15), and it turns in the direction of the arrow 1 while cutting the workpiece with rotational movements in the same direction of the tool and of the ideal plane-bevel wheel corresponding to the part to be machined, in which this part turns in the direction of arrow 2.
To machine the conjugate teeth, the same tool rotating in the same direction is placed along 6 ', its eccentricity b' being determined according to formula (16).
The direction of rotation of the workpiece 18 or of the ideal plane-bevel wheel which corresponds to it, must be, in this case, opposite to the direction of rotation of the tool, therefore the direction of arrow 2 '.
When the two eccentricities b and b 'have been determined on the basis of formulas (15) and (16), the conjugate tooth curves have with respect to the median radius of the tooth the same radius of curvature and the same angle d' tilt.
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For practical reasons and to obtain the points of mutual contact of the teeth cooperating in determined areas of the flanks of the tooth, it may be advantageous that the curves of the conjugate teeth have the same angle of inclination, but radii of curvature slightly. different, or also that the angle of inclination and the radii of curvature are slightly different.
To obtain this result, it suffices to introduce into formulas (15) and (16) predetermined values of the desired angles of inclination. The angle of inclination i. is contained in the general formula for determining the radius of curvature r, given that: r = R cos i (10)
As regards the tool, it has been assumed until now that the distances measured in the pitch plane of the outer and inner cutting edges of the blades, from the axis of rotation of the tool are alike. In this case, geometrically identical curves are obtained.
For practical reasons and, in fact, to locate the points of mutual contact of the cooperating teeth on determined areas of the tooth flanks, it may be advantageous for the radii of the outer cutting edges of the blades, measured in the pitch plane of the blades. tool are a little smaller or larger than the corresponding radii of the inner cutting edges of the blades.