BRPI1005340A2

BRPI1005340A2 - mÉtodo para remoÇço de efeito fantasma de fonte de largura de banda total de dados de streamer sÍsmico marinho

Info

Publication number: BRPI1005340A2
Application number: BRPI1005340-9A
Authority: BR
Inventors: Borselen Roald G Van; Christina D Riyanti; Christopher P Page; Jacob T Fokkema; Den Berg Peter M Van
Original assignee: Pgs Geophysical As
Priority date: 2009-12-07
Filing date: 2010-12-07
Publication date: 2013-04-09
Also published as: AU2010241325A1; EA201001751A2; US9025413B2; BRPI1005340B1; MX2010013434A; CA2720440C; US20110134718A1; MY159822A; CN102121997B; AU2010241325B2; EA021201B1; EP2330443A2; EP2330443A3; EP2330443B1; EA201001751A3; EG27052A; CN102121997A; CA2720440A1

Abstract

MÉTODO PARA REMOÇçO DE EFEITO FANTASMA DE FONTE DE LARGURA DE BANDA TOTAL DE DADOS DE STREAMER SÍSMICO MARINHO. A presente invenção refere-se a dados sísmicos gravados em um streamer marinho separados como uma coleta de receptor comum. Um parâmetro de frequência de Laplace complexo é utilizado para transformar os dados sísrtiicos de um domínio de espaço e tempo em um domínio es- pectral. Um esquema de gradiente conjugado interativo, utilizando um pré-condicionador físico, é aplicado aos dados sísmicos transformados para fornecer solução de quadrados médios para um conjunto normal de equações para a remoção de efeito fantasma do sistema de equações. A solução é transformada de forma invertida de volta a um domínio de espaço e tempo para fornecer dados sismicos fonte sem fantasmas, o que é útil para a criação de imagem da subsuperfície da terra.

Description

Relatório Descritivo da Patente de Invenção para "MÉTODO PARA REMOÇÃO DE EFEITO FANTASMA DE FONTE DE LARGURA DE BANDA TOTAL DE DADOS DE STREAMER SÍSMICO MARINHO".

Referências Cruzadas a Pedidos Relacionados Não aplicável

Pesquisa ou Desenvolvimento Patrocinado pelo Governo Fede-

ral

Não aplicável

Listagem de Seqüência, Tabela ou Listagem de Computador. Não aplicável

Antecedentes da Invenção Campo da Invenção

A presente invenção refere-se, geralmente, ao campo de pros- pecção geofísica. Mais particularmente, a invenção refere-se ao campo de remoção de efeito fantasma de dados de streamer sísmicos marinhos.

Descrição da Técnica Relacionada

Na indústria de óleo e gás, a prospecção geofísica é comumente utilizada para auxiliar na busca por e avaliação das formações de subsuper- fície de terra. Técnicas de prospecção geofísica resultam em conhecimento da estrutura de subsuperfície da terra, que é útil para encontrar e extrair re- cursos minerais valiosos, particularmente depósitos de hidrocarbono, tal co- mo óleo e gás natural. Uma técnica bem conhecida de prospecção geofísica é uma pesquisa sísmica. Em uma pesquisa sísmica com base terrestre, um sinal sísmico é gerado em ou perto da superfície da terra e então percorre descendentemente para dentro da subsuperfície da terra. Em uma pesquisa sísmica marinha, o sinal sísmico também pode percorrer descendentemente através de um corpo de água sobreposto à subsuperfície da terra. As fontes de energia sísmica são utilizadas para gerar sinal sísmico que, depois de propagar para dentro da terra, é pelo menos parcialmente refletidas pelos refletores sísmicos de subsuperfície. Tais refletores sísmicos são tipicamen- te interfaces entre formações subterrâneas possuindo diferentes proprieda- des elásticas, especificamente velocidade de onda sonora e densidade de rocha, que resulta em diferenças de impedância acústica nas interfaces. A energia sísmica refletida é detectada por sensores sísmicos (também cha- mados receptores sísmicos) em ou perto da superfície da terra, em um corpo de água sobreposto, ou em profundidades conhecidas nos furos. Os senso- res sísmicos geram sinais, tipicamente elétricos ou óticos, a partir da energia sísmica detectada, que são gravados para processamento adicional.

Os dados sísmicos resultantes obtidos na realização de uma pesquisa sísmica, representativos da subsuperfície da terra, são processa- dos para resultar na informação referente à estrutura geológica e proprieda- des das formações de subsuperfície de terra na área sendo pesquisada. Os dados sísmicos processados são processados para exibição e análise do teor de hidrocarbono em potencial destas formações subterrâneas. O objeti- vo do processamento de dados sísmicos é a extração a partir dos dados sísmicos do máximo de informação possível referente às formações subter- râneas a fim de criar imagens adequadas da subsuperfície geológica. A fim de se identificar as localizações na subsuperfície da terra onde existe a pro- babilidade de se encontrar acúmulos de petróleo, grandes somas de dinheiro são gastas na coleta, processamento e interpretação de dados sísmicos. O processo de construção de superfícies refletoras definindo as camadas sub- terrâneas de interesse a partir dos dados sísmicos gravados fornece uma imagem da terra em profundidade ou tempo.

A imagem da estrutura da subsuperfície da terra é produzida a fim de permitir que um interprete selecione os locais com a maior probabili- dade de ter acúmulos de petróleo. Para se verificar a presença de petróleo, um poço deve ser perfurado. A perfuração de poços para determinar se os depósitos de petróleo estão presentes ou não, é uma tarefa extremamente cara e demorada. Por esta razão, existe uma necessidade contínua de se aperfeiçoar o processamento e exibição de dados sísmicos, de modo a se produzir uma imagem da estrutura da subsuperfície da terra que aperfeiçoa- rá a capacidade de um interprete, seja a interpretação realizada por uma pessoa ou um computador, em determinar a probabilidade de um acúmulo de petróleo existir em um local em particular na subsuperfície da terra. As fontes sísmicas adequadas para a geração do sinal sísmico em pesquisas sísmicas terrestres podem incluir explosivos e vibradores As pesquisas sísmicas marinhas empregam tipicamente uma fonte sísmica submersa rebocada por um navio e ativada periodicamente para gerar um campo de onda acústica. A fonte sísmica gerando o campo de onda pode ser de vários tipos, incluindo uma carga explosiva pequena, uma fagulha ou arco elétrico, um vibrador marinho, e, tipicamente, uma pistola. A pistola de fonte sísmica pode ser uma pistola de água, uma pistola de vapor, e, mais tipicamente, uma pistola de ar. Tipicamente, a fonte sísmica marinha consis- te não de um único elemento fonte, mas de um conjunto distribuído espaci- almente de elementos fonte. Essa disposição é particularmente verdadeira para pistolas de ar, atualmente a forma mais comum de fonte sísmica mari- nha.

Os tipos adequados de sensores sísmicos incluem tipicamente sensores de velocidade de partícula, particularmente em pesquisas terres- tres, e sensores de pressão de água, particularmente em pesquisas mari- nhas. Algumas vezes os sensores de aceleração de partícula ou sensores de gradiente de pressão são utilizados no lugar de ou em adição aos senso- res de velocidade de partícula. Os sensores de velocidade de partícula e os sensores de pressão de água são comumente conhecidos na técnica como geofones e hidrofones, respectivamente. Os sensores sísmicos podem ser utilizados por si mesmos, mas são mais comumente utilizados em conjuntos de sensores. Adicionalmente, os sensores de pressão e os sensores de ve- locidade de partícula podem ser utilizados juntos em uma pesquisa marinha, localizados em conjunto em pares ou pares de conjuntos.

Em uma pesquisa sísmica marinha típica, uma embarcação de pesquisa percorre a superfície da água, tipicamente a cerca de 5 nós, e con- tém o equipamento de aquisição sísmica, tal como o controle de navegação, o controle de fonte sísmica, o controle de sensor sísmico, e o equipamento de gravação. O equipamento de controle de fonte sísmica faz com que uma fonte sísmica rebocada no corpo de água pela embarcação sísmica seja a- cionada em momentos selecionados. Os streamers sísmicos, também cha- mados de cabos sísmicos, são estruturas tipo cabo alongadas rebocadas no corpo de água pela embarcação de pesquisa sísmica que reboca a fonte sísmica ou por outro navio de pesquisa sísmica. Tipicamente, uma pluralida- de de streamers sísmicos são rebocados atrás de uma embarcação sísmica.

Os streamers sísmicos contêm sensores para detectar os campos de onda refletidos iniciados pela fonte sísmica e refletidos a partir da interfaces refle- toras. Convencionalmente, os streamers sísmicos contêm sensores de pres- são, tal como hidrofones, mas streamers sísmicos têm sido utilizados con- tendo sensores de velocidade de partícula de água tai como geofones ou sensores de aceleração de partícula, tal como acelerômetros, em adição aos hidrofones. Os sensores de pressão e os sensores de movimento de partícu- la são tipicamente desenvolvidos em proximidade, localizados em conjunto em pares ou em pares de conjuntos ao longo de um cabo sísmico.

Depois que a onda refletida alcança um cabo streamer, a onda continua a propagar-se para a interface água/ar na superfície a água, a partir de onde a onda é refletida descendentemente, e é novamente detectada pelos hidrofones no cabo streamer. A superfície da água é um bom refletor e o coeficiente de reflexo na superfície da água é quase uma unidade em ter- mos de magnitude e é negativa em sinal para sinais sísmicos. As ondas re- fletidas na superfície serão, desta forma, alteradas em fase por 180 graus com relação às ondas de propagação ascendente. A onda de propagação descendente gravada pelos receptores é comumente referida como reflexo de superfície ou sinal "fantasma" do receptor. Os sinais efeito fantasma são ondas que primeiro se propagaram a partir da fonte sísmica para cima até a superfície da água antes de se propagarem descendentemente para dentro da subsuperfície e de volta para os receptores. Devido ao reflexo na superfí- cie, a superfície da água age como um filtro, que cria fendas espectrais no sinal gravado, tornando difícil gravar-se os dados fora de uma largura de banda selecionada. Devido à influência do reflexo de superfície, algumas freqüências no sinal gravado são amplificadas e algumas freqüências são atenuadas.

Atualmente na técnica de prospecção sísmica marinha geofísica, uma embarcação reboca streamers muito longos que possuem muitos re- ceptores sísmicos anexados, tipicamente hidrofones (apesar de outros tipos de receptores poderem ser empregados). Estes receptores registram uma parte de um campo de onda acústica espalhado, originado no som de uma fonte sísmica. O campo de onda acústica gerado pela fonte sísmica é espa- lhado pelo reflexo e refração na terra. Na aquisição sísmica marinha con- vencional, os receptores do streamer são localizados em configurações de conjunto em uma posição de profundidade particular abaixo da superfície do mar. Devido a essa disposição, o chamado reflexo primário, a resposta dire- ta da fonte para a subsuperfície e subseqüentemente para os receptores, é perturbado pelo reflexo fantasma, a partir da onda que percorre da fonte pa- ra a subsuperfície e subseqüentemente através da superfície do mar para os receptores. A remoção do reflexo fantasma do receptor dos dados sísmicos marinhos é o primeiro estágio no pré-processamento de dados para aumen- tar a potência de resolução. Esse procedimento é conhecido como "remoção de fantasma" de receptor. A remoção do reflexo efeito fantasma dos dados sísmicos marinhos é outro estágio desejado no pré-processamento de dados para aumentar ainda mais a potência de resolução. Esse procedimento é conhecido como remoção de efeito fantasma. Desta forma, existe a necessidade de criar-se um método para a

remoção de efeito fantasma de dados sísmicos marinhos que permanecem estáveis em todas as freqüências, mesmo na presença de fendas espectrais nos dados sísmicos. Adicionalmente, o método deve operar sem qualquer conhecimento anterior da subsuperfície. Breve Sumário da Invenção

A presente invenção é um método de conversão de dados sís- micos gravados em streamers marinhos em dados sísmicos sem efeito fan- tasma. Os dados sísmicos gravados a partir de streamers marinhos são ob- tidos, e separados como um coletor receptor. Um parâmetro complexo de freqüência de Laplace é utilizado para transformar os dados sísmicos de um domínio de espaço e tempo em um domínio espectral. Um esquema de gra- diente conjugado interativo, utilizando o pré-condicionador com base física, é aplicado aos dados sísmicos transformados, para fornecer a solução de quadrados médios para um conjunto normal de equações para um sistema de equações de remoção de efeito fantasma. A solução é transformada de forma invertida de volta para um domínio de espaço e tempo para fornecer dados sísmicos fonte sem fantasma, que são úteis para a criação de ima- gens da subsuperfície da terra.

Breve Descrição dos Desenhos

A presente invenção e suas vantagens podem ser mais facil- mente compreendidas com referência à descrição detalhada a seguir e aos desenhos em anexo, nos quais:

a figura 1 é um fluxograma mostrando uma primeira modalidade da invenção para a remoção de efeito fantasma de dados de streamer sís- micos marinhos;

a figura 2 é um fluxograma mostrando uma parte inicial de uma segunda modalidade da invenção para a remoção de efeito fantasma dos dados de streamer sísmicos marinhos;

a figura 3 é um fluxograma mostrando uma parte final de uma segunda modalidade da invenção para a remoção de efeito fantasma de da- dos de streamer sísmicos marinhos, iniciado na figura 2; e a figura 4 é um fluxograma mostrando uma modalidade da in-

venção para um esquema de gradiente conjugado pré-condicionado interati- vo utilizado para a remoção de efeito fantasma de dados de streamer sísmi- cos marinhos.

Enquanto a invenção será descrita com relação às suas modali- dades preferidas, será compreendido que a invenção não está limitada às mesmas. Ao contrário, a invenção deve cobrir todas as alternativas, modifi- cações e equivalências que podem ser incluídas no escopo da invenção, como definido pelas reivindicações em anexo.

Descrição Detalhada da Invenção Um procedimento para a remoção de efeito fantasma dos dados

sísmicos marinhos é a decomposição dos campos de onda sísmicos para resultar em um componente de campo de onda de subida. Um método para a decomposição dos campos de onda sísmicos em componentes de campo de onda de subida e de descida é solucionar um sistema tipo Fourier de e- quações no qual a solução deriva de uma inversão de um sistema com um kernel de Fourier bem definido. Em um exemplo desse método, o sistema de equações é derivado no domínio de Laplace, onde a transformação de La- place de avanço a partir do domínio de espaço-tempo (x,t) para o domínio de

Laplace (x,s) é definida em geral como:

ρ (x, s) = Jer exp (-Jf) ρ (x, t)dt (1)

e a transformação de Laplace de retrocesso correspondente é definida como:

Ζτ {ή P (*> ή = — J exP M P (*»s) ds (2)

J S- joo

com

ZTif)={X^S>} *p5 para t GjTiSTiTyi

T={te^t>t0};õT={ted^t=t0};T={te^R;t<t0}

Aqui, t é tempo, χ e espaço, i=V-1 é a unidade imaginária, e s é um parâmetro de freqüência de Laplace, discutido em maiores detalhes a- baixo.

A seguir, a invenção será mostrada como agindo no campo de onda de pressão p(x,t), tipicamente detectado pelos sensores de pressão tal como hidrofones, apesar de o tipo de campo de onda, e o tipo de sensores empregados não serem uma restrição para a invenção. A invenção pode ser empregada com qualquer tipo de sensor sísmico adequado e seus campos de onda detectados. Como um exemplo, os campos de onda de movimento de partícula e os sensores de movimento de partícula podem ser emprega- dos. A modificação das equações a seguir para acomodar outros campos de onda é direta.

Na transformação de Laplace fornecida acima nas equações (1) e (2), o parâmetro Laplace s, o parâmetro de freqüência, é convencional-

mente um número puramente imaginário e é definido como:

s = jo) = jlnf (3) onde ω é a freqüência circular e f é a freqüência real.

Um problema surge quando da utilização do parâmetro de fre- qüência de Laplace convencional s de acordo com a equação (3). Fendas espectrais nos dados sísmicos gravados ocorrem quando a interferência destrutiva ocorre entre as ondas sísmicas com combinações particulares de freqüências e números de onda. Quando o conjunto tipo Fourier de equa- ções de remoção de efeito fantasma é solucionado para estas freqüências f onde as fendas espectrais ocorrem, então, o sinal medido para essas com- binações de freqüências e números de onda é igual a zero, visto que apenas ruído de fundo é gravado. Quando da utilização de um parâmetro de fre- qüência de Laplace que é puramente imaginário, tal como definido na equa- ção (3) acima, o processo de inversão se torna instável. Esta instabilidade então resulta em artefatos irreparáveis, sendo introduzidos nos resultados da decomposição de campo de onda sísmica utilizada para a remoção de efeito fantasma.

Para se manusear a instabilidade resultante destas fendas es- pectrais, o método da invenção emprega um parâmetro de freqüência de Laplace que é uma variável complexa com ambas as partes real e imagina- ria. Desta forma, o parâmetro de freqüência de Laplace s é agora fornecido

não pela equação (3), mas por:

s = ja> + s = jln f+ε (4)

onde ε é uma parte real adicional do parâmetro de freqüência de Laplace complexo s. A seguir, o termo "complexo" será utilizado para desig- nar que o parâmetro de freqüência de Laplace possui ambas as partes real e imaginaria, como na equação (4). Este parâmetro de freqüência de Laplace complexo s será utilizado nas transformações Laplace e de domínio espec- tral e nas equações de remoção de efeito fantasma da invenção, como dis- cutido abaixo.

Em uma modalidade, a parte real ε do parâmetro de freqüência de Laplace complexo s pode ser uma constante. Em outras modalidades, a parte real ε pode variar como uma função de uma combinação de parâme- tros como tempo, localização espacial ou freqüência. Desta forma, a parte real ε pode ser expressa como, mas não limitada ao seguinte:

ε = constante

ε = ε(χ), onde x = (x15x2,x3);

ε = ε(ΐ); ε = ε(χ,ί);

ε = ε(/); ε = ε(χ,/).

Aqui, Xi e X2 são coordenadas espaciais horizontais, tal como di- reções em linha e linha cruzada, respectivamente, e X3 é uma coordenada espacial vertical, tal como profundidade.

A invenção é um método para a remoção de efeito fantasma de dados de streamer sísmicos marinhos. A invenção opera sem qualquer co- nhecimento a priori da subsuperfície. A operação de remoção de efeito fan- tasma é realizada em dados gravados para cada posição de receptor sepa- - 10 radamente. Os dados gravados são separados em coletores de receptor comuns, cada coletor contendo todos os dados fonte de uma posição de re- ceptor comum. Então, para cada freqüência, a invenção compreende um método para solucionar um sistema de equações de remoção de efeito fan- tasma. A solução do sistema das equações é obtida utilizando um método interativo de gradiente conjugado pré-condicionado. O pré-condicionador é baseado na física do problema em mãos, ao invés de na matemática (como seria o caso de uma abordagem convencional). Como um pré-condicionador eficiente, o inverso da distribuição de fonte horizontal é empregado, visto que uma distribuição de fonte mais geral pode ser tratada como uma pertur- bação da distribuição de fonte horizontal regular simples.

No entanto, o método de remoção de fantasma convencional uti- lizando o parâmetro de freqüência de Laplace imaginário da equação (3) ainda pode tornar-se instável em fendas no domínio de freqüência. Desta forma, o método da invenção emprega o parâmetro de freqüência de Lapla- ce complexo da equação (4), que fornece estabilidade para o procedimento de remoção de efeito fantasma. Desta forma, a decomposição de campo de onda pode ser aplicada através de uma largura de banda sísmica total, mesmo na presença de fendas espectrais nos dados sísmicos. O uso desse parâmetro de freqüência de Laplace complexo é descrito em detalhes abaixo na discussão com referência ao fluxograma na figura 2.

A figura 1 é um fluxograma mostrando uma primeira modalidade da invenção para a remoção de efeito fantasma de dados de streamer sís- micos marinhos.

No bloco 11, os dados sísmicos gravados a partir dos streamers marinhos são separados em um coletor de receptor comum.

No bloco 12, um parâmetro de freqüência de Laplace complexo é utilizado para transformar os dados sísmicos do bloco 11 de um domínio de espaço-tempo em um domínio espectral.

No bloco 13, um esquema de gradiente conjugado interativo, uti- lizando o pré-condicionador com base física, é aplicado aos dados sísmicos transformados, para fornecer uma solução de quadrados médios para um conjunto normal de equações para um sistema de remoção de efeito fan- tasma das equações.

No bloco 14, os dados sísmicos do bloco 13 são transformados de forma invertida de volta para um domínio de espaço e tempo para forne- cer dados sísmicos fonte sem efeitos fantasmas.

A figura 2 é um fluxograma mostrando uma parte inicial de uma segunda modalidade da invenção para a remoção de efeito fantasma dos dados de streamer sísmicos marinhos. A parte final será discutida abaixo com referencia ao fluxograma na figura 3.

No bloco 21, os dados sísmicos gravados com um streamer ma- rinho são separados em um coletor de receptor comum. Os dados shot (ati- vação de fonte sísmica) para cada posição de receptor, e para todos os momentos gravados t, são considerados como dados sísmicos de entrada. A posição espacial das fontes em um quadro de coordenadas Cartesianas é fornecida por xs=(xsi,, xs?, XiV). Na invenção, a profundidade de fonte Xsg=Xs^XsI. xs?) é uma função de valor único das coordenas horizontais X^1 e ><!2. Dessa forma, as distribuições fonte não são verticais, mas não necessa- riamente horizontais. Do contrário, as posições das fontes não devem ser uma restrição da invenção. No bloco 22, uma parte real ε do parâmetro de freqüência de Laplace complexo s na equação (4) é determinada. Em várias modalidades, a parte real ε pode ser como expresso nos exemplos fornecidos na equação (5) acima, mas a invenção não está restrita a estes exemplos. Pela utilização de diferentes valores da parte real ε no parâmetro de freqüência de Laplace s, a estabilização da inversão no método da invenção pode variar para for- necer a estabilização adicional na solução do sistema de equações de re- moção de efeito fantasma abaixo.

No bloco 23, os dados sísmicos gravados para uma posição de receptor são obtidos a partir dos dados sísmicos obtidos no bloco 21.

No bloco 24, os dados sísmicos gravados para uma posição de receptor a partir do bloco 23 são transformados temporalmente do domínio de espaço e tempo no domínio de espaço e freqüência de Laplace. Em uma modalidade da invenção, o campo de onda espalhado jr^ nos locais fonte é transformado do domínio de espaço e tempo (Xs1, xsz, Xsg, t) para o domínio de espaço e freqüência de Laplace (Xs1, xs?, x\t) pela transformação Lapla- ce de avanço fornecida na equação (1), logo:

j^=/^,*^,;*) (6)

utilizando o parâmetro de freqüência de Laplace complexo s da invenção nessa transformação, como fornecido não pela equação (3) con- vencional, mas pela equação (4) acima. Aqui, é o campo de onda acústi- ca espalhado no domínio de espaço e freqüência, Xjj3 é uma coordenada de fonte em linha, q é um número fonte em linha, x^ é uma coordenada fonte em linha cruzada, r é um número fonte em linha cruzada, Xj3.a,r é a profundi- dade de fonte como uma função de Xsljil e XsPj-, e utilizando ε, como determi- nado no bloco 22, como a parte real do parâmetro de complexo de freqüên- cia de Laplace s. Esta transformação do campo de onda espalhado gf^ nos locais fonte é realizada para cada posição de receptor.

No bloco 25, os dados sísmicos transformados a partir do bloco 24 são obtidos para uma freqüência f. No bloco 26, os dados sísmicos transformados para uma fre-

qüência a partir do bloco 25 são transformados a partir do domínio de espa- ço e freqüência de Laplace para um domínio espectral. Em uma modalidade da invenção, o campo de onda espalhado jr^ é transformado do domínio de espaço e freqüência de Laplace (x\xs?xs3. s) em um domínio espectral (San, s3m, x\s) por:

In \M

Ptm=Ax1sAxs2 ς Σ exP(7)

onde

san = nA (sa), sfim = mA (sfi), (8)

e

V ' NAxf V ' MAxs2

Aqui, Psctriim é o campo de onda acústica espalhado no domínio espectral, η é um número espectral em linha, m é um número espectral em linha cruzada, Axs1 é uma distância de amostragem fonte em linha. Axs? é uma distância de amostragem fonte em linha cruzada, jsan é um parâmetro Fourier espectral em linha, A(sa) é a distância de amostragem espectral em linha, js|3m é um parâmetro Fourier espectral em linha cruzada, A(s[3) é a dis- tância de amostragem espectral em linha cruzada, N é o número total de fontes em linha, e M é o número total de fontes de linha cruzada. O parâme- tro de freqüência de Laplace complexo s da invenção também é utilizado nesta transformação em domínio espectral.

No bloco 27, um sistema de equações é determinado para a

remoção de fantasma de fonte dos dados sísmicos transformados para uma

freqüência a partir do bloco 26. O sistema de equações será definido

utilizando o parâmetro de freqüência de Laplace s da invenção para fornecer

a estabilidade na solução das equações. No caso geral no qual os locais

fonte são localizados de maneira arbitrária, o campo de onda no domínio

espectral não pode ser determinado de forma explícita. Portanto, o

procedimento de remoção de efeito fantasma da invenção compreende a

solução de um sistema de equações. Para o caso geral com posições fonte arbitrárias xs =(^s?,^r,^3s?>r)_no domínio espectral, as profundidades das

fontes são fornecidas por uma função de valor único das coordenadas de fonte horizontais. Especificamente, a profundidade de fonte é escrita como x3,q,r =x3S(xi!?'x2,r) · Nos sistemas de aquisição marinha modernos, esta

informação de posição de fonte é gravada. A operação de remoção de efeito fantasma pode então ser escrita de forma compacta como a solução de um

sistema de equações:

Ijv \m

Σ Σ ^ C =^C q = ~\N+l,...,\N, r = -\M+l,...,\M{-\0)

n=-jN+1 m=-jM+\

na qual a matriz de sistema Kqxnim é fornecido por: Kq^m = A (jgMjI) jT £ 6χρ {-jsanxl-jspmxl) 2 sinh (*Γ„ ^r)

^7t 1 m=-\M+1

2 2

(11)

Aqui, o vetor desconhecido PdghnJn é o campo de onda acústica sem fantasma em profundidade zero e é fornecido no domínio espectral co- mo:

pZ=pZ{san,sPm,Q-s) (12)

onde o vetor conhecido p550^ são os dados sísmicos registrados

no domínio de espaço e freqüência fornecido como:

ρΐ^^Κ-Ί-Ί,/**) Cl3)

e o coeficiente de propagação vertical srn,m é:

*r„,m = ãÍÍ^T-K)2-^)2 ' (14)

onde c é a velocidade de onda acústica na água. A matriz de sis- tema Ka r. n, m é uma função do parâmetro de freqüência de Laplace comple- xo s.

No bloco 28, o processo continua para o bloco 31 da figura 3 pa- ra solucionar o sistema das equações determinado no bloco 27. O uso do parâmetro de freqüência de Laplace totalmente complexo s com uma parte real ε diferente de zero, a partir da equação (4), ao invés de, a partir da e- quação (3), fornece estabilidade na solução das equações.

A figura 3 é um fluxograma mostrando uma parte final de uma segunda modalidade da invenção para a remoção de fantasmas fonte dos dados de streamer sísmicos marinhos. A parte final continua o processo ini- cial discutido acima com referência ao fluxograma na figura 2.

No bloco 31, um conjunto normal de equações é determinado a partir do conjunto de equações de remoção de efeito fantasma no bloco 27 da figura 2. Visto que o vetor conhecido Psctail é definido no domínio espec- tral, uma solução de quadrados médios no domínio de espaço e freqüência é empregado na modalidade da invenção. Ambos os lados da equação (10) são multiplicados pela conjugação complexa da matriz de sistema Ka r, n-, m- e os resultados são somados através de todos os valores dos números fonte em linha e linha cruzada q e r, respectivamente. Depois do intercâmbio da última soma através de q e r e da soma através de η e m, um sistema de equações normais é obtido, como se segue:

Σ Σ =£„>·> = -7^+1,·..,\N, m' = -\M+\,...,\M

2 2

(15)

Aqui, a matriz An-, m. n, m, uma quantidade conhecida é fornecida

por

i N iM

e o vetor Bn-,m-, uma quantidade conhecida é fornecida por:

\N kM _

Bn\m·= Σ Σ Kq,r,n',m' Pi" (17)

q=-ÍN+l r=-ÍM+l

onde nen' são números espectrais em linha, m e m' são núme- ros espectrais de linha cruzada, e a linha superior acima da matriz de siste- ma KgiTuiuClesigna a conjugação complexa.

A invenção fornece um método para o fornecimento da solução deste conjunto linear de equações normais na equação (15) de forma está- vel, mesmo na presença de fendas espectrais nos dados sísmicos, pela utili- zação de um parâmetro de freqüência de Laplace complexo. A disposição geométrica das posições fonte não é uma restrição da invenção. A invenção aplica-se ao caso simples de distribuições fonte horizontais regulares além de o caso geral de distribuições fonte não horizontais irregulares. A invenção será mostrada primeiro para o caso simples e então para o caso geral.

O caso simples de uma distribuição de fonte convencional, con- siderado em uma configuração estritamente horizontal, é apenas um caso especial do caso geral manuseado pela invenção. Neste caso horizontal simples, a posição de profundidade de fonte xfs é constante e a inversão do sistema de equações reduz o procedimento de remoção de efeito fantasma padrão. O sistema de equações pode ser solucionado por uma transforma- ção Fourier discreta invertida. Em particular, o sistema de equações forneci- do geralmente em equações (10) e (11) se torna o sistema mais simples de equações:

Σ Σ ^M-JsaArJ^Ar)2^ )C

„=-±N+l 1

=Psct <? = -jíV+1,...,JTV, r = -\M+\,...,\M.

(18)

Aqui, a remoção de efeito fantasma para a constante x^ pode ser realizada explicitamente no domínio espectral. O campo fonte sem fan- tasma no domínio espectral no nível de profundidade zero, Pdghnin como de- finido na equação (12), pode ser obtido diretamente como:

pSCt

2 Sinh^Ff7 mX3 j

Para a solução do conjunto geral de equações lineares nas e- quações normais fornecidas na equação (15), muitos solucionadores eficien- tes estão disponíveis, tal como os solucionadores diretos e solucionadores interativos. Um solucionador interativo muito eficiente é um método interativo de gradiente conjugado pré-condicionado com base na minimização das dis- crepâncias entre os dados medidos e a resposta modelada. Em uma moda- lidade adicional da invenção, a equação (10) é considerada e uma solução para o campo de onda sem espectral de remoção de efeito fantasma Pd9hnjn é desenvolvida empregando um esquema interativo gradiente conjugado, tal como uma função ERR de erro fornecido por:

ϊ» I» \N 1M

ERR= Σ Σ Ptr - Σ Σ k^s

,m

(20)

seja minimizado.

Retornando para a figura 3, no bloco 32, as equações normais do bloco 31 são pré-condicionadas com um pré-condicionador de base físi- ca. Um pré-condicionador é freqüentemente utilizado nos métodos interati- vos de gradiente conjugado para tornar as equações bem condicionadas. Os pré-condicionadores padrão, tal como os tipos ILU (decomposição inferior e superior incompleta) de múltiplos níveis, por exemplo, são normalmente ba- seados na estrutura matemática da matriz do sistema. Infelizmente, para o presente problema, estes pré-condicionadores com base matemática são ineficientes. Em uma modalidade da invenção, um pré-condicionador é utili- zado e é baseado na física do problema sendo solucionado, que é o caso geral de uma distribuição de fonte discutida acima.

Uma distribuição de fonte não horizontal irregular pode ser con- siderada uma perturbação de uma distribuição de fonte horizontal regular, de modo que o inverso da matriz do sistema de uma distribuição de fonte não horizontal irregular seja aproximada pelo inverso da matriz de sistema de uma distribuição de fonte horizontal regular. Desta forma, o inverso da matriz de sistema de uma distribuição de fonte horizontal equivalente é considerado o pré-condicionador. Note-se que se a distribuição de fonte for horizontal, então o esquema interativo de gradiente conjugado termina dentro de uma interação única com este pré-condicionador. Para uma distribuição de fonte horizontal, o sistema das equações normais da equação (15) é diagonal e a solução é obtida diretamente como:

PdSh = Γλ 1-1 D n,m \-n ,ιη,η,τη J η,ι

(21)

Em uma modalidade da invenção, o pré-condicionador Pn

empregado, seguindo a equação (16), é:

/

(22) Por motivos de conveniência, a equação (10) pode ser escrita na forma compacta:

Σ Vnsh =P? > (23)

η

onde η representa (n,m) e q representa (q,r) agora. O pré- condicionador Pnm é uma função do parâmetro de freqüência de Laplace

complexos s.

No bloco 33, um esquema interativo de gradiente conjugado pré-

condicionado é aplicado para solucionar o sistema das equações na

equação (23), o conjunto normal pré-condicionado de equações do bloco 32.

Em cada interação, designada com o número k, um valor aproximado do campo de onda fonte espectral sem fantasma pf&w é obtido com um erro

residual . Desta forma, na interação k, o erro residual k é fornecido por: ΐ'^Γ-Σν»^· (24)

η

Uma modalidade particular da invenção para um esquema inte- rativo de gradiente conjugado pré-condicionado é descrito abaixo com refe- rência à discussão do fluxograma da figura 4.

No bloco 34, é determinado se quaisquer freqüências seleciona- das no bloco 25 da figura 2 permanecem. Se as freqüências permanecerem, o processo retorna para o bloco 25 da figura 2. Se nenhuma freqüência per- manecer, então o processo continua para a etapa 35. Desta forma, a solu- ção pelas interações de gradiente conjugado é repetida para cada freqüên- cia /.

No bloco 35, é determinado se quaisquer posições de receptor selecionadas no bloco 23 da figura 2 permanecem. Se as posições de recep- tor permanecerem, o processo retorna para o bloco 23 da figura 2. Se ne- nhuma das posições de receptor permanecer, então o processo continua para a etapa 36. Desta forma, a solução pelas interações de gradiente con- jugado é repetida para cada posição de receptor.

No bloco 36, as soluções de fonte sem fantasma do bloco 33 são transformadas a partir do domínio espectral de volta para o domínio de espaço e tempo. Depois da obtenção do campo de onda fonte sem fantasma no domínio espectral, o campo de onda fonte sem fantasma pd& =pdzh(Jcf9,X^q,0;s)^com profundidade zero no domínio de espaço e

tempo é obtido como:

pdgh = A(sa)A(sfi) g g ex-v{-jsan^q-jspmxs2r)p^. (25)

O campo de onda fonte sem fantasma pdgh é uma função do pa- râmetro de freqüência de Laplace complexo s.

A figura 4 é um fluxograma mostrando uma modalidade da in- venção para um esquema de gradiente conjugado pré-condicionado interati- vo utilizado para remoção de fantasma de dados de fonte de streamer sísmi- co marinho. Este é o esquema referido no bloco 33 da figura 3, acima. No bloco 41, uma estimativa inicial zero para o contador de inte-

ração k = 0 é selecionado. Em uma modalidade, esta estimativa é:

P„#(0) = 0, r?(0) = psqct. (26)

Em outras modalidades, escolhas diferentes para a estimativa i- nicial do esquema de gradiente conjugado podem ser utilizadas. Por exem- plo, diferentes escolhas podem incluir, mas não estão limitadas à solução obtida por uma freqüência anterior ou a solução para uma posição de recep- tor diferente.

No bloco 42, uma estimativa para o contador de interação k = I é calculada. Em uma modalidade, estas estimativas são:

„(i)=pVf-/) ν«=ρ„0)

&>n η q,n 9 ' " n&n '

q

Ύ IswI2

Kvw=T^w, «0)= ' ' 2, (27)

pdgh{\) _ Pd^m+amv(I)j r(!) = r(°) -QT^Kv®.

No bloco 43, o contador de interação k é aumentado por 1. Des- ta forma, k = k + 1, resultando em k = 2, 3, ..., seqüencialmente.

No bloco 44, uma estimativa para o contador de interação k é calculada, utilizando as estimativas para o contador de interação k - 1. Em uma modalidade, essa estimativa é: ΣηΙ^η

Wl2

Sn 1 η Z^t ?,« q ' " χη6η „ ι ^ ^v-

2

Ci-Dl2 " '

Kv^ = TKgnV^, CC^= (28)

■ Σ?Κ>|2

pd&(k) _ p4gA(*-l) + a(i)v(i) ^ r(k) _ r(k-l) _ _

No bloco 45, um critério de erro é calculado para a estimativa de interação atual k do residual rf^ a partir do bloco 44. Em uma modalidade,

este critério de erro é:

Σ>-*)|2

ι

Σ<

pT

<1(Γ3 (29)

No bloco 46, é determinado se o critério de erro no bloco 45 foi satisfeito. Se o critério de erro não tiver sido satisfeito, então o processo inte- rativo retorna para o bloco 43 para continuar com outro conjunto de estimati- vas. Se o critério de erro for satisfeito, então o processo interativo termina.

Quando da utilização da abordagem de inversão e utilização do parâmetro de freqüência de Laplace complexo s, o método de decomposição de fonte sem fantasma da invenção pode ser reformulado em diferentes do- mínios, incluindo, mas não limitado a domínio de lentidão de freqüência ou domínio lentidão de tau ou domínio de espaço e tempo.

A invenção foi discutida acima como um método para fins ilustra- tivos apenas, mas também pode ser implementada como um sistema. O sis- tema da invenção é preferivelmente implementado por meio de computado- res, em particular computadores digitais, juntamente com outro equipamento de processamento de dados convencional. Tal equipamento de processa- mento de dados, bem conhecido da técnica, compreenderá qualquer combi- nação adequada ou rede de equipamentos de processamento de computa- dor, incluindo, mas não limitado a, hardware (processadores, dispositivos de armazenamento temporário e permanente, e qualquer equipamento de pro- cessamento de computador adequado), software (sistemas operacionais, programas de aplicativo, bibliotecas de programas matemáticos, e qualquer outro software adequado), conexões (elétrica, ótica, sem fio ou outra) e peri- féricos (dispositivos de entrada e saída tal como teclados, dispositivos de apontar, e digitalizadores, dispositivos de exibição tal como monitores e im- pressoras; mídia de armazenamento legível em computador, tal como fitas, discos e discos rígidos e qualquer outro equipamento adequado).

Em outra modalidade, a invenção pode ser implementada como o método descrito acima, especificamente realizado utilizando um computa- dor programável para realizar o método. Em outra modalidade, a invenção pode ser implementada como um programa de computador armazenado em um meio legível por computador, com o programa possuindo uma lógica o- perável para fazer com que um computador programável realize o método descrito acima. Em outra modalidade, a invenção pode ser implementada como um meio legível por computador com um programa de computador armazenado no meio, de forma que o programa tenha lógica operável para fazer com que um computador programável realize o método descrito acima.

Deve-se compreender que o apresentado anteriormente é me- ramente uma descrição detalhada das modalidades específicas desta inven- ção e que inúmeras mudanças, modificações e alternativas às modalidades descritas podem ser realizadas de acordo com a descrição apresentada aqui sem se distanciar do escopo da invenção. A descrição anterior, portanto, não deve limitar o escopo da invenção. Ao invés disto, o escopo da invenção de- ve ser determinado apenas pelas reivindicações em anexo e suas equiva- lências.

Claims

1. Método para converter dados sísmicos gravados a partir de s- treamers marinhos em dados sísmicos fonte sem fantasma, compreenden- do: utilização de um computador programável para realizar o seguin- te: separar os dados sísmicos gravados a partir de streamers mari- nhos em uma coleta de receptor comum; utilizar um parâmetro de freqüência de Laplace complexo para transformar os dados sísmicos de um domínio de espaço e tempo em um domínio espectral; aplicar um esquema de gradiente conjugado interativo, utilizando um pré-condicionador com base física, aos dados sísmicos transformados, para fornecer uma solução de quadrados médios para um conjunto normal de equações para um sistema fonte de remoção de fantasma das equações; e transformar inversamente a solução de volta para um domínio de espaço e tempo para fornecer os dados sísmicos fonte sem fantasma, úteis para criar imagem da subsuperfície da terra.

2. Método de acordo com a reivindicação 1, em que a utilização de um parâmetro de freqüência de Laplace complexo compreende: a determinação de uma parte real diferente de zero do parâme- tro de freqüência de Laplace complexo; a obtenção de dados sísmicos gravados para uma posição de receptor sísmico; a utilização do parâmetro de freqüência de Laplace complexo para transformar os dados sísmicos gravados para posição de receptor sís- mico do domínio de espaço e tempo para um domínio de espaço e freqüên- cia; a obtenção de dados sísmicos transformados para uma freqüên- cia; e a utilização do parâmetro de freqüência de Laplace complexo para transformar os dados sísmicos transformados em uma freqüência a partir do domínio de espaço e freqüência para o domínio espectral.

3. Método de acordo com a reivindicação 2, em que o parâmetro de freqüência de Laplace complexo s é fornecido por: s = ja> + s = jln f + ε em que j é a unidade imaginária 4-ϊ, ω é a freqüência circular, / é a freqüência e ε é a parte real diferente de zero determinada do parâmetro de freqüência de Laplace complexo s.

4. Método de acordo com a reivindicação 3, em que a utilização de parâmetro de freqüência de Laplace complexo para transformar os dados sísmicos gravados compreende: a transformação do campo de onda acústico espalhado do domínio de espaço e tempo (χ^,χ^,χ^,ή em domínio de espaço e freqüência (xf,*^^,s) utilizando uma transformação de Laplace de forma que: psct = pSCÍ (X1s^, , X35^r; ^) em que psct é o comprimento de onda acústica espalhado no domínio de espaço e freqüência, Xs1 q é uma coordenada fonte em linha, q é um número de receptor em linha, X22jf é uma coordenada fonte de linha cru- zada, r é um número fonte de linha cruzada, e XsSiqir é a profundidade fonte como uma função xsi q e xs2,r.

5. Método de acordo com a reivindicação 4, em que a utilização de um parâmetro de freqüência de Laplace complexo para transformar os dados sísmicos transformados compreende: a transformação do campo de onda espalhado psct a partir do domínio de espaço e freqüência (xf,xf,x%,s) para o domínio espectral por: Kam = AxfAx25 £ X exp(jsa^ Jsfim^) pT q=-lN+1 r=-ÍM+l em que: SCCn = nk(sa), sfim = mk{sp), <formula>formula see original document page 24</formula>e Psctn,m é ο campo de onda acústica espalhado no domínio es- pectral, η é um número espectral em linha, m é um número espectral em linha cruzada, Axs1 é uma distância de amostragem de fonte em linha. Δχδι é uma distância de amostragem de fonte em linha cruzada, jsan é um parâme- tro Fourier espectral em linha, A(sa) é a distância de amostragem espectral em linha, jspm é um parâmetro Fourier espectral em linha cruzada, A(sp) é a distância de amostragem espectral em linha cruzada, N é o número total de fontes em linha, e M é o número total de fontes de linha cruzada.

6. Método de acordo com a reivindicação 5, compreendendo a- dicionalmente: a determinação de um sistema de equações para a remoção de efeito fantasma dos dados sísmicos transformados para uma freqüência; a determinação de um conjunto normal de equações para a re- moção de fantasmas fonte do sistema de equações; e a aplicação de um pré-condicionador físico ao conjunto normal de equações.

7. Método de acordo com a reivindicação 6, em que a determi- nação de um sistema de equações para a remoção de efeito fantasma com- preende a aplicação da equação a seguir: <formula>formula see original document page 24</formula> na qual a matriz de sistema Kq, r, n, m é fornecida por ^=-lTT-2 Σ Σ ^(-JsaAq-JsPAr )2 Slnh )

8. Método de acordo com a reivindicação 7, em que a determi- nação de um conjunto normal de equações compreende a aplicação da e- quação a seguir: i N AM Σ Σ A»>m-C =5KX- n' = -^...,^, m' = -\M+\,...,\M em que, a matriz An-, m-, n, m, é fornecida por: <formula>formula see original document page 25</formula> o vetor conhecido Bn-, m' é fornecido por <formula>formula see original document page 25</formula> enen' são números espectrais em linha, m e m' são números espectrais em linha cruzada, e a linha superior designa a conjugação com- plexa.

9. Método de acordo com a reivindicação 7, em que o pré- condicionador compreende um inverso da matriz de sistema para uma distri- buição de fonte horizontal.

10. Método de acordo com a reivindicação 9, em que a aplicação do pré-condicionador compreende a aplicação da equação a seguir: <formula>formula see original document page 25</formula>

11. Método de acordo com a reivindicação 1, em que a aplicação do esquema de gradiente de conjugação interativa compreende: a seleção de uma estimativa inicial para o contador de interação k = 0, como se segue: <formula>formula see original document page 25</formula> calculando as estimativas para o contador de interação k = 1, como se segue: <formula>formula see original document page 25</formula> realizando o seguinte até que um critério de erro seja correspon- dido: aumento do contador de interação por k = k + 1; e cálculo das estimativas para o contador de interação k, utilizando estimativas anteriores calculadas para k - 1 como se segue: <formula>formula see original document page 26</formula>p^A(fc) = pdgh{k-\) + a(*)v(fc) ; r W = r(fe-l) _ .

12. Método de acordo com a reivindicação 11, em que o critério de erro é fornecido por: <formula>formula see original document page 26</formula>

13. Método de acordo com a reivindicação 5, em que a transfor mação inversa da solução compreende a aplicação da equação a seguir: ■M <formula>formula see original document page 26</formula>

14. Meio legível por computador com um programa de computa- dor armazenado no mesmo, o programa possuindo lógica operável para fa- zer com que um computador programável realize as etapas compreendendo: a separação de dados sísmicos gravados com um streamer ma- rinho em uma coleta de receptor comum; a utilização de um parâmetro de freqüência de Laplace comple- xo para transformar os dados sísmicos de um domínio de espaço e tempo em um domínio espectral; a aplicação de um esquema de gradiente de conjugado interati- vo, utilizando um pré-condicionador com base física, aos dados sísmicos transformados para fornecer uma solução de quadrados médios para um conjunto normal de equações para a remoção de efeito fantasma do sistema de equações; e a transformação invertida da solução de volta para um domínio de espaço e tempo para fornecer dados sísmicos fonte sem fantasma.

15. Meio de acordo com a reivindicação 14, em que a utilização de um parâmetro de freqüência de Laplace complexo compreende: a determinação da parte real diferente de zero do parâmetro de freqüência de Laplace complexo; a obtenção dos dados sísmicos gravados para uma posição de receptor sísmico; a utilização do parâmetro de freqüência de Laplace complexo para transformar os dados sísmicos gravados para a posição de receptor sísmico do domínio de espaço e tempo para o domínio de espaço e freqüên- cia; a obtenção dos dados sísmicos transformados para uma fre- qüência; e a utilização do parâmetro de freqüência de Laplace complexo para transformar os dados sísmicos transformados para uma freqüência do domínio de espaço e freqüência para o domínio espectral.

16. Meio de acordo com a reivindicação 15, em que o parâmetro de freqüência de Laplace complexo s é fornecido por: s = jco + a = jln f + ε onde j é a unidade imaginária Λ , ω é a freqüência circular, / é a freqüência, e ε é a parte real diferente de zero determinada do parâmetro de freqüência de Laplace complexo s.

17. Meio de acordo com a reivindicação 16, em que a utilização de parâmetro de freqüência de Laplace complexo para transformar os dados sísmicos gravados compreende: a transformação do campo de onda acústica espalhado do do- mínio de espaço e tempo (Xs1, xs2, xS3, t) em domínio de espaço e freqüência (XsI, Xs2, xS3,s) utilizando a transformação Laplace de forma que: sct sct { S S S \ P = P onde psct é o campo de onda acústica espalhada no domínio de espaço e freqüência, xsi q é uma coordenada de fonte em linha, q é um nú- mero fonte em linha, Xs2,r é uma coordenada fonte em linha cruzada, r é um número fonte em linha cruzada, e xS3,q,r é a profundidade de fonte como uma função de xsi,q e Xs2ir.

18. Meio de acordo com a reivindicação 17, em que a utilização do parâmetro de freqüência de Laplace complexo para transformar os dados sísmicos transformados compreende: a transformação do campo de onda espalhado psct do domínio de espaço e freqüência para o domínio espectral <formula>formula see original document page 28</formula> e psctn,m é o campo de onda acústica espalhado no domínio espectral, η é um número espectral em linha, m é um número espectral em linha cruzada, Axf é a distância de amostragem fonte em linha, Axs é a distância de amostragem fonte em linha cruzada, jsan é um parâmetro Fourier espectral em linha, A(sa) é a distância de amostragem espectral em linha, jspm é um parâmetro Fourier espectral em linha cruzada, A(sp) é uma distância de amostragem espectral em linha cruzada, N é o número total de fontes em linha, e M é o número total de fontes em linha cruzada.

19. Meio de acordo com a reivindicação 18, compreendendo a- dicionalmente: a determinação de um sistema de equações para a remoção de efeito fantasma dos dados sísmicos transformados para uma freqüência; a determinação de um conjunto normal de equações para a re- moção de efeito fantasma do sistema de equações; e a aplicação de um pré-condicionador físico para o conjunto nor- mal de equações.

20. Meio de acordo com a reivindicação 19, em que a determi- nação de um sistema de equações para a remoção de efeito fantasma com- preende a aplicação da equação a seguir: <formula>formula see original document page 29</formula>

21. Meio de acordo com a reivindicação 20, em que a determinação de um conjunto normal de equações compreende a aplicação da seguinte equação: <formula>formula see original document page 29</formula> enen' são números espectrais em linha, m e m' são números espectrais em linha cruzada, e a linha superior designa a conjugação com- plexa.

22. Meio de acordo com a reivindicação 20, em que o pré- condicionador compreende um inverso da matriz de sistema para uma distri- buição fonte horizontal.

23. Meio de acordo com a reivindicação 22, em que a aplicação de um pré-condicionador compreende a aplicação da seguinte equação: <formula>formula see original document page 29</formula>

24. Meio de acordo com a reivindicação 14, em que a aplicação de um esquema de gradiente conjugado interativo compreende: a seleção de uma estimativa inicial para o contador de interação k = 0, como se segue: Pfhm=O, r^=plct calculado as estimativas para o contador de interação k =1, co- mo se segue: <formula>formula see original document page 30</formula>realizando o seguinte até que um critério de erro seja correspon- dido: aumento do contador de interação por k = k + 1; e calculando as estimativas para o contador de interação k, utili- zando as estimativas anteriores calculadas para k - 1, como se segue: <formula>formula see original document page 30</formula>

25. Meio de acordo com a reivindicação 24, em que o critério de erro é fornecido por: <formula>formula see original document page 30</formula>

26. Meio de acordo com a reivindicação 18, em que a transfor- mação inversa da solução compreende a aplicação da equação a seguir: <formula>formula see original document page 30</formula>