EP1027663A1 - Verfahren und vorrichtung zur klassifikation einer ersten zeitreihe und mindestens einer zweiten zeitreihe - Google Patents

Verfahren und vorrichtung zur klassifikation einer ersten zeitreihe und mindestens einer zweiten zeitreihe

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Publication number
EP1027663A1
EP1027663A1 EP98961058A EP98961058A EP1027663A1 EP 1027663 A1 EP1027663 A1 EP 1027663A1 EP 98961058 A EP98961058 A EP 98961058A EP 98961058 A EP98961058 A EP 98961058A EP 1027663 A1 EP1027663 A1 EP 1027663A1
Authority
EP
European Patent Office
Prior art keywords
time series
statistical
samples
surrogate
measure
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Withdrawn
Application number
EP98961058A
Other languages
English (en)
French (fr)
Inventor
Gustavo Deco
Christian Schittenkopf
Rosaria Silipo
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Siemens AG
Siemens Corp
Original Assignee
Siemens AG
Siemens Corp
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Siemens AG, Siemens Corp filed Critical Siemens AG
Publication of EP1027663A1 publication Critical patent/EP1027663A1/de
Withdrawn legal-status Critical Current

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Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING OR CALCULATING; COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
    • G06F17/10—Complex mathematical operations
    • G06F17/18—Complex mathematical operations for evaluating statistical data, e.g. average values, frequency distributions, probability functions, regression analysis

Definitions

  • the invention relates to the classification of a first time series and at least one second time series.
  • a given measurement signal x has any number of samples xj-, which are sampled with a step size w (see FIG. 2). It is important to determine linear and nonlinear statistical dependencies between the sample values x- j -. Depending on a predetermined number of samples v in the past, which are analyzed with regard to their statistical dependency, the information obtained by the analysis is used to predict a number of values z in the future.
  • a surrogate for a given time series is to be understood as a time series that has certain statistical properties that are the same as the given time series.
  • [6] describes the training of a neural network according to the maximum likelihood principle.
  • a Markov process of order m is to be understood as a time-discrete random process in which a future value depends only on the values that lie m steps in the past.
  • the rank of a time series is further understood to mean the order of the samples of a time series according to the size of the samples.
  • a method for classifying a time series is known from [9], in which a predeterminable number of surrogates is determined for the time series.
  • a predeterminable number of surrogates is determined for the time series.
  • non-linear correlations between the values of the time series and the values of the surrogates are determined using a culinary-based method.
  • the time series is classified based on the non-linear correlations.
  • Another method for classifying a time series is known from [10]. This process becomes dynamic System modeled according to their probability density. A neural network is trained according to the probabilities of a non-linear Markov process of order m according to the maximum likelihood principle.
  • the invention is based on the problem of creating a method and a device with which a classification of a plurality of time series with regard to their statistical dependency of the samples is possible.
  • a nonlinear Markov process is modeled for a first time series by a first statistical estimator.
  • a nonlinear Markov process for the second time series is modeled by a second statistical estimator.
  • At least one surrogate time series is formed for the first time series using the first statistical estimator.
  • At least one surrogate time series is formed for the second time series using the second statistical estimator.
  • a first measure for the statistical dependency of the samples of the first time series and the samples of the second time series is formed for a predetermined number of future samples.
  • a second measure for the statistical dependence of the values of the surrogate time series on one another is formed for a predetermined number of samples lying in the future.
  • a difference measure is formed from the first measure and the second measure.
  • the classification is such that
  • the first time series and the second time series are assigned to a first group,
  • the device has a processor unit which is set up in such a way that a non-linear Markov process is modeled for a first time series by a first statistical estimator. A nonlinear Markov process for the second time series is replaced by a second statistical
  • Model estimator At least one surrogate time series is formed for the first time series using the first statistical estimator. At least one surrogate time series is formed for the second time series using the second statistical estimator. A first measure for the statistical dependency of the samples of the first time series and the samples of the second time series is formed for a predetermined number of future samples. Furthermore, a second measure for the statistical dependence of the values of the surrogate time series on one another is formed for a predetermined number of samples lying in the future. A difference measure is formed from the first measure and the second measure. The classification is such that
  • the first time series and the second time series are assigned to a first group,
  • the invention makes it possible for the first time to establish statistical dependency between multidimensional time series, i.e. several time series.
  • a nonlinear neural network as a statistical estimator, since a neural network is very well suited for estimating probability densities.
  • the invention can be used in various fields of application. Statistical dependencies between measured signals of an electroencephalogram (EEG) or an electrocardiogram (EKG) can be determined.
  • EEG electroencephalogram
  • EKG electrocardiogram
  • the invention can also be used very advantageously for analyzing a financial market, the course of the signal in this case, for example, describing the course of a share or a foreign exchange rate.
  • FIG. 1 shows a sketch in which the invention is shown in its individual elements
  • Figure 2 is a sketch showing the course of a measurement signal f, which is converted into a time series ⁇ x ⁇ by sampling with a step size w
  • Figure 3 is a sketch showing a computer with which the invention is carried out.
  • a first time series ⁇ xt ⁇ unc ⁇ a second time series ⁇ yt ⁇ each have a predeterminable number of samples x- j -, y ⁇ of a signal, in particular an electrical signal.
  • the signals are measured by a measuring device MG (see FIG. 3) and fed to a computer R.
  • the method described below is carried out in the computer and the results are fed to a means for further processing WV.
  • ny is modeled using a nneuurroonnaalleenn NNeettzzeess NNNN XX ,, NNNNyy
  • the information flow of the first time series ⁇ t ⁇ and the second time series ⁇ yt ⁇ is approximated.
  • a time series is identified by the following designation:
  • Each neural network NN X , NNy is trained to approximate a non-linear Markov process of order n x , ny using the maximum likelihood principle with which the learning rule is followed to maximize the product of the probabilities.
  • the respective neural network NN X , NNy is thus intended to estimate the conditional probability
  • ⁇ , ⁇ i: k +1 ) i expM vk, rs + 1 K s + 1 k, rl v s + 1, dv s + 1
  • ⁇ denotes the Fourier transform of the probability densities and K_ denotes the variables of the function ⁇ l ..., K ⁇ , ... I in Fourier space.
  • i V- ⁇ .
  • regulation (14) can be simplified to the following regulation:
  • a measure is formed for the statistical dependency between the sample values v-, ' r , ..., v', r -, of the respective time series.
  • the measure mj (r) represents a cumulative-based characterization of the information flow of the dynamic system from which the time series ⁇ xt ⁇ ] are determined, and quantifies the dependencies of the values ⁇ xt + r ⁇ kk e J - taking nj values into account Past time series ⁇ x ⁇ - ⁇ ..
  • a 2-layer, forward-looking neural network is trained to measure the probability densities p (+ l ⁇ k ⁇ * t ⁇ •••, ⁇ x - n ⁇ + l ⁇ ⁇ •••> ⁇ N > ••• * ⁇ x tn N + l ⁇ N
  • a neural network is trained for each time series ⁇ xt ⁇ ⁇ ⁇ - in such a way that the neural network performs an estimate of the respective probability density of the Markov process of order (n] _, ..., ⁇ N):
  • L (d) is defined according to regulation (19).
  • the conditional probability density is therefore described by a weighted sum of normal distributions, their weights u h , mean values
  • Perceptron receive the first s- k r components of the vector v 'as an s-dimensional input variable.
  • the training takes place according to the maximum likelihood principle, which is described in [7].
  • N neural networks are trained and N conditional probability densities for an N-dimensional Markov process of order (n] _, ..., n ⁇ ) are estimated.
  • the neural networks are able to generate new time series using the Markov processes of the original time series ⁇ x ⁇ l, starting with the first n ⁇ values of each time series ⁇ x ⁇ ,.
  • the first s values ⁇ x ⁇ •••, ⁇ x n ⁇ ⁇ , •••, ⁇ x l ⁇ N '••• / ⁇ x n N ⁇ N J are fed to the neural network, which each simulates a conditional probability density. According to the so-called Monte Carlo method, new values ⁇ xi ⁇
  • 1 N formed
  • time series ⁇ xt ⁇ ⁇ and the surrogate time series ⁇ xt ⁇ • are subjected to a statistical test, which is described in [6], (step 102).
  • null hypothesis defines that the respective dynamic system can be described with sufficient accuracy by an s-dimensional Markov process of order (n, ..., njj).
  • the so-called Student t test is used to test the null hypothesis.
  • a surrogate measure m. (r) determined.
  • the determination of the surrogate measures ⁇ ⁇ (r) is carried out in the same way as the determination of the measure m k (r) for the statistical dependency for the time series ⁇ x ⁇ ,.
  • the dependence on r results from the last component of the vector v '.
  • the statistical dependencies between the last n k values of each time series ⁇ xt ⁇ k and the value that lies r steps in the future are measured.
  • Surrogate mean values ⁇ ⁇ (r) and surrogate standard deviations ⁇ (r) are determined according to the following regulations:
  • the Student t test is carried out in accordance with the following regulation:
  • t k (r) By forming a test value t k (r), a value is determined by which the surrogate time series are compared with the measure m k (r) of the original time series ⁇ xt ⁇ k .
  • the time series ⁇ xt ⁇ k can be described by a multi-dimensional Markov process, in which the last n_ values of the time series ⁇ x ⁇ ) ⁇ ,. , , and the last n ⁇ values of the time series ⁇ xtN are taken into account. If the null hypothesis is accepted, the examined time series ⁇ xt ⁇ ⁇ a ⁇ s become a time series of a first group which can be described by the Markov process of the respective order (n] _, ..., jsj) , classified (step 103) and the process is ended.
  • the order (ni, ..., ⁇ N) of the Markov process is increased and the process is repeated, starting with the training of the neural networks (step 104).
  • the number of time series examined is arbitrary, with two time series only two neural networks are required.

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Abstract

Zeitreihen werden hinsichtlich ihrer statistischen Abhängigkeit untersucht, und es werden neuronale Netze trainiert, derart, daß jeweils ein neuronales Netz bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten einer Zeitreihe modelliert. Unter Verwendung der neuronalen Netze werden Surrogat-Zeitreihen ermittelt und es werden Maße für die statistischen Abhängigkeiten der Abtastwerte der Zeitreihen und der Abtastwerte der Surrogat-Zeitreihen ermittelt. Die Maße werden miteinander verglichen und es wird untersucht, ob die Dynamik der jeweiligen zugrundegelegten Zeitreihen durch einen Markov-Prozeß der Ordnung (n1, ..., nN) beschrieben wird.

Description

Beschreibung
Verfahren und Vorrichtung zur Klassifikation einer ersten Zeitreihe und mindestens einer zweiten Zeitreihe
Die Erfindung betrifft die Klassifikation einer ersten Zeitreihe und mindestens einer zweiten Zeitreihe.
In verschiedensten Anwendungen ist es hilfreich, dynamische Systeme im Hinblick auf deren statistische Abhängigkeit zur Vorhersage des Verlaufs eines Meßsignals zu analysieren.
Dabei weist ein gegebenes Meßsignal x eine beliebige Anzahl von Abtastwerten x-j-, die mit einer Schrittweite w abgetastet werden, auf (siehe Figur 2) . Es gilt, lineare und nichtlineare statistische Abhängigkeiten zwischen den Abtastwerten x-j- zu ermitteln. Abhängig von einer vorgegebenen Anzahl von Abtastwerten v in der Vergangenheit, die hinsichtlich ihrer statistischen Abhängigkeit analysiert werden, wird die durch die Analyse gewonnene Information dazu verwendet, eine Anzahl von Werten z in der Zukunft vorherzusagen.
Im 1-dimensionalen Fall, d.h. für eine Zeitreihe ( ), ist zur Analyse der statistischen Abhängigkeit das Konzept des Informationsflusses aus [1] und [3] bekannt. Bei einem solchen Verfahren wird der Verlust der Information zwischen vergangenen Werten und Werten, die eine vorgebbare Anzahl von Schritten in der Zukunft liegen, ermittelt. Abhängig von dem Verlauf des Informationsflusses kann auf die statistische Ab- hängigkeit der Abtastwerte und der Werte, die in der Zukunft liegen, geschlossen werden.
Die Ermittlung einer Surrogat-Zeitreihe zu einer vorgegebenen Zeitreihe, d.h. eine Menge von Abtastwerten eines Signals, sowie Grundlagen über Surrogate sind in [2] und [6] zu finden. Unter einem Surrogat zu einer vorgegebenen Zeitreihe ist eine Zeitreihe zu verstehen, die gewisse gleiche statistische Eigenschaften aufweist wie die vorgegebene Zeitreihe.
Ein Überblick über verschiedene statistische Schätzer, beispielsweise neuronale Netze, Kernel-Schätzer, usw. ist in [4] und [8] zu finden.
Unter einer Ku ulante ist im weiteren ein Koeffizient der Taylor-Expansion der Logarithmusfunktion der Fourier-
Transformierten einer Wahrscheinlichkeitsdichte zu verstehen. Grundlagen über Kumulanten sind in [5] zu finden. Die Expansion von charakteristischen Funktionen in Kumulanten ist in [5] beschrieben.
In [6] ist das Training eines neuronalen Netzes gemäß dem Ma- ximum-Likelihood-Prinzip beschrieben.
Unter einem Markov-Prozeß der Ordnung m ist im weiteren ein zeitdiskreter Zufallsprozeß zu verstehen, bei dem ein zukünftiger Wert nur von den Werten, die m Schritte in der Vergangenheit liegen, abhängt.
Unter dem Rang einer Zeitreihe ist im weiteren die Ordnung der Abtastwerte einer Zeitreihe nach der Größe der Abtastwerte zu verstehen.
Aus [9] ist ein Verfahren zur Klassifikation einer Zeitreihe bekannt, bei dem für die Zeitreihe eine vorgebbare Anzahl von Surrogaten bestimmt wird. Für die Zeitreihe und für die Surrogate werden nichtlineare Korrelationen zwischen den Werten der Zeitreihe und den Werten der Surrogate mit einer ku ulan- tenbasierten Methode ermittelt. Anhand der nichtlinearen Korrelationen wird die Zeitreihe klassifiziert.
Aus [10] ist ein weiteres Verfahren zur Klassifikation einer Zeitreihe bekannt. Bei diesem Verfahren wird ein dynamisches System entsprechend ihrer Wahrscheinlichkeitsdichte modelliert. Ein neuronales Netz wird entsprechend den Wahrscheinlichkeiten eines nichtlinearen Markov-Prozesses der Ordnung m nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip trainiert.
Der Erfindung liegt das Problem zugrunde, ein Verfahren sowie eine Vorrichtung zu schaffen, mit der eine Klassifikation mehrerer Zeitreihen hinsichtlich ihrer statistischen Abhängigkeit der Abtastwerte möglich wird.
Das Problem wird durch das Verfahren gemäß Patentanspruch 1 sowie durch die Vorrichtung gemäß Patentanspruch 11 gelöst.
Bei dem Verfahren wird ein nichtlinearer Markov-Prozeß für eine erste Zeitreihe durch einen ersten statistischen Schätzer modelliert. Ein nichtlinearer Markov-Prozeß für die zweite Zeitreihe wird durch einen zweiten statistischen Schätzer modelliert. Zu der ersten Zeitreihe wird unter Verwendung des ersten statistischen Schätzers mindestens eine Surrogat- Zeitreihe gebildet. Zu der zweiten Zeitreihe wird unter Verwendung des zweiten statistischen Schätzers mindestens eine Surrogat-Zeitreihe gebildet. Es wird ein erstes Maß für die statistische Abhängigkeit der Abtastwerte der ersten Zeitreihe und den Abtastwerten der zweiten Zeitreihe für eine vorge- gebene Anzahl von zukünftigen Abtastwerten gebildet. Ferner wird ein zweites Maß für die statistische Abhängigkeit der Werte der Surrogat-Zeitreihen voneinander für eine vorgegebene Anzahl von in der Zukunft liegenden Abtastwerten gebildet. Aus dem ersten Maß und dem zweiten Maß wird ein Unterschieds- maß gebildet. Die Klassifikation derart erfolgt, daß
- falls das Unterschiedsmaß kleiner ist als ein vorgegeben Schwellenwert, die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe einer ersten Gruppe zugeordnet werden,
- sonst die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe einer zweiten Gruppe zugeordnet werden. Die Vorrichtung weist eine Prozessoreinheit auf, die derart eingerichtet ist, daß ein nichtlinearer Markov-Prozeß für eine erste Zeitreihe durch einen ersten statistischen Schätzer modelliert wird. Ein nichtlinearer Markov-Prozeß für die zweite Zeitreihe wird durch einen zweiten statistischen
Schätzer modelliert. Zu der ersten Zeitreihe wird unter Verwendung des ersten statistischen Schätzers mindestens eine Surrogat-Zeitreihe gebildet. Zu der zweiten Zeitreihe wird unter Verwendung des zweiten statistischen Schätzers minde- stens eine Surrogat-Zeitreihe gebildet. Es wird ein erstes Maß für die statistische Abhängigkeit der Abtastwerte der ersten Zeitreihe und den Abtastwerten der zweiten Zeitreihe für eine vorgegebene Anzahl von zukünftigen Abtastwerten gebildet. Ferner wird ein zweites Maß für die statistische Abhängigkeit der Werte der Surrogat-Zeitreihen voneinander für eine vorgegebene Anzahl von in der Zukunft liegenden Abtastwerten gebildet. Aus dem ersten Maß und dem zweiten Maß wird ein Unterschiedsmaß gebildet. Die Klassifikation derart erfolgt, daß
- falls das Unterschiedsmaß kleiner ist als ein vorgegeben Schwellenwert, die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe einer ersten Gruppe zugeordnet werden,
- sonst die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe einer zweiten Gruppe zugeordnet werden.
Durch die Erfindung wird es erstmals möglich, statistische Abhängigkeit zwischen multidimensionalen Zeitreihen, d.h. mehreren Zeitreihen, zu ermitteln.
Weiterbildungen der Erfindung ergeben sich aus den abhängigen Ansprüchen.
Es ist in einer Weiterbildung vorteilhaft, jeweils ein nichtlineares neuronales Netz als statistischen Schätzer einzusetzen, da ein neuronales Netz sehr gut geeignet ist zur Schät- zung von Wahrscheinlichkeitsdichten. Die Erfindung ist in verschiedenen Anwendungsgebieten einsetzbar. So können statistische Abhängigkeiten zwischen gemessenen Signalen eines Elektroencephalogramms (EEG) oder eines Elektrokardiogramms (EKG) ermittelt werden.
Die Erfindung kann ferner sehr vorteilhaft eingesetzt werden zur Analyse eines Finanzmarktes, wobei mit dem Signalverlauf in diesem Fall beispielsweise der Kursverlauf einer Aktie oder eines Devisenkurses beschrieben wird.
Ein Ausführungsbeispiel der Erfindung ist in den Figuren dargestellt und wird im weiteren näher erläutert.
Es zeigen Figur 1 eine Skizze, in der die Erfindung in ihren einzelnen Elementen dargestellt ist; Figur 2 eine Skizze, die den Verlauf eines Meßsignals f, das durch Abtasten mit einer Schrittweite w in eine Zeitreihe {x } überführt wird, zeigt; Figur 3 eine Skizze, in der ein Rechner, mit dem die Erfindung durchgeführt wird, dargestellt ist.
Eine erste Zeitreihe {xt} unc^ eine zweite Zeitreihe {yt} weisen jeweils eine vorgebbare Anzahl von Abtastwerten x-j-, y^ eines Signals, insbesondere eines elektrischen Signals, auf.
Die Signale werden von einem Meßgerät MG (vgl. Fig. 3) gemessen und einem Rechner R zugeführt. In dem Rechner wird das im folgenden beschriebene Verfahren durchgeführt und die Ergeb- nisse werden einem Mittel zur Weiterverarbeitung WV zugeführt .
Für jede Zeitreihe {xt}' {^t} wird unter Verwendung eines nneeuurroonnaalleenn NNeettzzeess NNNNXX,, NNNNyy eeiin nichtlinearer Markov-Prozeß der Ordnung nx, ny modelliert Mit dem nichtlinearen Markov-Prozeß der Ordnung m wird jeweils der Informationsfluß der ersten Zeitreihe { t} bzw. der zweiten Zeitreihe {yt} approximiert.
Bei einer beliebigen Zahl N von Zeitreihen, die in dem Verfahren berücksichtigt werden können, wird eine Zeitreihe durch folgende Bezeichnung gekennzeichnet:
{xt}k , k = 1, ...,N (1) .
Es wird für jede Zeitreihe {xtju ei-n Ma-ß der statistischen
Abhängigkeit eines Wertes {xt+r^k (ein Wert, der r Schritte in der Zukunft liegt) gebildet. Dabei werden nj vergangene Abtastwerte (j=l,...,N) berücksichtigt.
Die Charakteristik des Systems wird ausgedrückt durch die folgende Differenz zwischen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktio- nen p ( ) :
p({xt} ■■■> { t +r }kJ
- p({xt} ..., jxt-n1+l}1,{xt}2'-'{xt-n2+l}2'-'{xt}N,-' {xt-nN+l} ' p({ t+r}k)
(2) .
Für den Fall, daß die statistischen Abhängigkeiten innerhalb von r Schritten in der Zukunft verschwinden, ergibt sich Vorschrift (2) zu:
p({xt} ■•• . {xt-nι + 1}^ { t}2< - > {xt-n2 +l}2. - . { t}N' ••• . jxt-nN + l}N> { t+r}J
= p({xt} ••- {xt-n1+l}1' { t}2'--'{xt-n2+l}2----{xt}N— jxt-nN+l}NJ • p({ t+r}k)
(3) .
Jedes neuronale Netz NNX, NNy wird, um einen nichtlinearen Markov-Prozeß der Ordnung nx, ny zu approximieren, trainiert, indem das Maximum-Likelihood-Prinzip angewendet wird, mit dem die Lernvorschrift befolgt wird, das Produkt der Wahrscheinlichkeiten zu maximieren. Das jeweilige neuronale Netz NNX, NNy soll somit eine Einschätzung der bedingten Wahrscheinlichkeit
p xt xt-1' *t- -nx' Yt-1' Υt-n y>
P Yt !xt_!, ... , xt-nx' Yt-1' ••• ' yt-riy
durchführen. Um die Analyse durchzuführen, werden Kumulanten höherer Ordnung anstelle der Wahrscheinlichkeitsdichten verwendet. Durch
Transformation der Vorschrift (3) in den Fourier-Raum werden charakteristische Funktionen , Φ2k , Φ3k gebildet, die die
Fourier-Transformierten der Wahrscheinlichkeitsdichten der Vorschrift (3) darstellen.
Die Vorschrift (3) wird zu:
In Φ = In Φj + In Φ'
wobei mit dem + 1 -dimensionalen Vektor
' ,r = ({ t-nι +1}^ ••• ( t} j t-n2 +l}2. - . { t}2' - / {xt-nN +l}N, - , { t }N, (xt+r}k)
und
N
∑ n :7) k = l
gilt
φϊ = φϊ(κϊ'-'κs'κs + ι) = JeχP k,r τ k,r k,r dv rks,'r d ,
•Pl v-, vc V s + 1. dv vs k, +r ]_
Φ, Φi : k +1) = i expM v k, r s + 1 K s + 1 k, r l vs + 1, dv s + 1
10) .
Dabei werden mit Φ die Fourier-Transformierte der Wahr- scheinlichkeitsdichten und mit K_ die Variablen der Funktion Φl... , K ■ , ...I im Fourier-Raum bezeichnet. Es gilt i = V-ϊ .
Wenn man die charakteristischen Funktionen in Kumulanten, die in [5] beschrieben sind, expandiert, so folgt daraus
Φi : i2 :
il, ... , iή = s + 1 :i3;
Mit (.) wird die jeweilige Kumulante bezeichnet. Einsetzen der Erweiterung in die Vorschrift (5) ergibt folgende Bedingung:
mit der Einschränkung
B s (Ξia: ia = s + 1 Λ ^Via: ia = s + l) (15) .
Diese Bedingung gilt für den Fall, daß alle Arten von statistischen Abhängigkeiten innerhalb von r Schritten m der Zukunft zu 0 werden.
Im Fall der statistischen Unabhängigkeit zwischen den Ab- tastwerten kann die Vorschrift (14) vereinfacht werden zu folgender Vorschrift:
(k). = 0 V i1,...,ii e (l, ...,s + 1} (16).
'll-.ij J
Es wird ein Maß gebildet für die statistische Abhängigkeit zwischen den Abtastwerten v-,'r,..., v ',r-, der jeweiligen Zeitreihen.
Die statistische Abhängigkeit der Abtastwerte der Zeitreihe {x^}k, die r Schritte in der Zukunft liegen, ist gegeben nach folgender Vorschrift:
Die statistische Abhängigkeit von Abtastwerten unterschiedlicher Zeitreihen {xt}^ voneinander wird gemäß folgender Vorschrift beschrieben:
Das Maß mj (r) repräsentiert jeweils eine kumulantenbasierte Charakterisierung des Informationsflusses des dynamischen Systems, aus dem die Zeitreihen {xt}], ermittelt werden, und quantifiziert die Abhängigkeiten der Werte {xt+r^k keJ- Berücksichtigung von nj Werten in der Vergangenheit der jeweiligen Zeitreihe {x^-}..
Für den Fall, daß ein weiteres Maß m^^fr) den Wert 0 annimmt, sind die Abtastwerte der jeweiligen Zeitreihe voneinander statistisch unabhängig. Wachsende positive Werte des jeweiligen weiteren Maßes m^j^r) deuten eine steigende statistische Abhängigkeit unter den Abtastwerten der jeweiligen Zeitreihe
K!» an.
mkk(r) = X(k)? • + K(k)? P-l' in = s + 1
mit k = 1, N,
k-1 j = l
k und U(k) = :2o ; j=l
Zur Modellierung des Markov-Prozesses der Ordnung (n_, ..., ΠN) wird also ein 2-schichtiges vorwärtsgerichtetes neuronales Netz trainiert, um die Wahrscheinlichkeitsdichten p( + l}k {*t} ••• , {x -nι +l}^ ••• > }N> ••• * {xt-nN +l}N
zu approximieren.
Gemäß den folgenden Vorschriften wird jeweils ein neuronales Netz für jede Zeitreihe {xt}ι<- derart trainiert, daß das neuronale Netz eine Schätzung der jeweiligen Wahrscheinlichkeitsdichte des Markov-Prozesses der Ordnung (n]_, ..., ΠN) durchführt:
H
Σ '21 h= l
pK + l}k M ••• . {x t-nι ••• > ) ■■■ ' (xt-nN +l}
k 1, N (22)
u v hO +
.23:
(24;
:25:
Dabei werden mit H eine Anzahl von Gauss-Funktionen, mit 1 die Anzahl der verdeckten Neuronen in dem jeweiligen neuronalen Netz und mit vhi , , vhi , , w* die Para meter des jeweiligen neuronalen Netzes bezeichnet. L(d) ist gemäß Vorschrift (19) definiert. Die bedingte Wahrscheinlich- keitsdichte ist demnach durch eine gewichtete Summe von Nor- malverteilungen beschrieben, deren Gewichte uh , Mittelwerte
μhk und Varianzen als Ausgangsgrößen dreier unterschiedlicher neuronaler Netze gegeben sind, die als Multilayer-
Perzeptron (vgl. Vorschriften (23) bis (25)) die ersten s- k r Komponenten des Vektors v ' als s-dimensionale Eingangsgröße erhalten. Das Training erfolgt gemäß dem Maximum- Likelihood-Prinzip, welches in [7] beschrieben ist.
Es werden N neuronale Netze trainiert und es werden N beding- te Wahrscheinlichkeitsdichten für einen N-dimensionalen Markov-Prozeß der Ordnung (n]_, ..., n^) geschätzt.
Nach Abschluß des Trainings sind die neuronalen Netze in der Lage, neue Zeitreihen unter Verwendung der Markov-Prozesse der ursprünglichen Zeitreihen {x^l zu generieren, beginnend mit den ersten n^-Werten jeder Zeitreihe {x^}, .
Die ersten s Werte {xι} ••• , {xnι } , ••• , {xl}N' ••• / {xnN }NJ werden dem neuronalen Netz zugeführt, das jeweils eine bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte nachbildet. Gemäß der sogenannten Monte-Carlo-Methode werden neue Werte {xi} | = 1 N gebildet
gemäß den jeweiligen Wahrscheinlichkeitsdichten und diese Werte werden al s neue Werte einer neuen Zeitreihe {xt } verwendet .
Eine neues s-Tupel von Eingangswerten
{x2} ... , {xnι }± {xi }j , • • • , {x }N, - . {xnN }N> {xl } N
wird wiederum dem jeweiligen neuronalen Netz zugeführt. Diese Vorgehensweise der Rückkopplung von neu generierten Werten wird beliebig oft wiederholt. Die neuen Zeitreihen (xt) werden derart bearbeitet, daß sie die gleiche Verteilung aufweisen wie die ursprünglichen Zeitreihen { t}ι, und bilden somit
Surrogat-Zeitreihen { t} > k = 1, ... , N . Durch Wiederholung dieser Iteration wird somit eine vorgebbare, beliebige Anzahl M Surrogat-Zeitreihen { t} ■ / k = 1, ... , N, i = 1, ... , M, generiert (Schritt 101) .
Die Zeitreihen {xt}^ und die Surrogat-Zeitreihen {xt} • werden einem statistischen Test, welcher in [6] beschrieben ist, unterzogen (Schritt 102) .
Als Null-Hypothese wird definiert, daß das jeweilige dynamische System durch einen s-dimensionalen Markov-Prozeß der Ordnung (n , ..., njj) ausreichend genau beschrieben werden kann.
Zum Testen der Null-Hypothese wird der sogenannte Student-t- Test angewendet. Bei dem Student-t-Test wird für jede Surrogat-Zeitreihe ein Surrogat-Maß m . (r) ermittelt. Die Ermittlung der Surrogat-Maße τ ■ (r) erfolgt in gleicher Weise wie die Ermittlung des Maßes mk(r) für die statistische Abhängigkeit für die Zeitreihen {x^}, . Die Abhängigkeit von r ergibt sich durch die letzte Komponen- k r te des Vektors v ' . Es werden also die statistischen Abhängigkeiten zwischen den letzten nk-Werten jeder Zeitreihe {xt}k und dem Wert, der r-Schritte in der Zukunft liegt, gemessen.
Aus den Surrogat-Maßen mr . (r) werden Surrogat-Mittelwerte μ^(r) und Surrogat-Standardabweichungen σ (r) ermittelt gemäß den folgenden Vorschriften:
Der Student-t-Test erfolgt gemäß folgender Vorschrift:
κ VM + 1 σr (r)
Durch Bildung eines Testwerts tk(r) wird ein Wert ermittelt, durch den die Surrogat-Zeitreihen mit dem Maß mk(r) der ursprünglichen Zeitreihe {xt}k verglichen werden. Der Wert wird auch als Signifikanz tk(r) bezeichnet. Falls die Signifikanz tk(r) für alle r, wobei beispielsweise 1 < r < 10 gilt, kleiner als 1,833 ist (M = 10), so wird die Null-Hypothese akzep- tiert.
Anschaulich lautet die Null-Hypothese:
Die Zeitreihe {xt}k läßt sich durch einen mehrdimensionalen Markov-Prozeß beschreiben, bei dem die letzten n_-Werte der Zeitreihe { x^ ) ι , . . . und die letzten n^-Werte der Zeitreihe {x-t-N berücksichtigt werden. Wird die Null-Hypothese akzeptiert, so werden die untersuchten Zeitreihen {xt}^ a^s eine Zeitreihe einer ersten Gruppe, die durch den Markov-Prozeß der jeweiligen Ord- nung (n]_, ..., jsj) beschrieben werden kann, klassifiziert (Schritt 103) und das Verfahren wird beendet.
Wird die Null-Hypothese verworfen, so wird die Ordnung (ni, ..., ΠN) des Markov-Prozesses erhöht, und das Verfahren wird wiederholt, beginnend mit dem Training der neuronalen Netze (Schritt 104) .
Wenn kein detailliertes Wissen über das untersuchte dynamische System vorhanden ist, wird mit folgenden Startwerten be- gönnen: n_ = 1, nj = 0 für j = 2, ..., N.
Die Anzahl untersuchter Zeitreihen ist beliebig, bei zwei Zeitreihen werden lediglich zwei neuronale Netze benötigt.
Im Rahmen dieses Dokuments wurden folgende Veröffentlichungen zitiert:
[1] C. Schittenkopf und G. Deco, Exploring and Intrinsic Information Loss in Single-Humped Maps by Refining Multi-Symbol Partitions, Physica D, 94, S. '57-64, 1996
[2] J. Theiler et al, Testing for nonlinearity in time series: The method of Surrogate data, Physica D, 58, S. 77-94, 1992
[3] G. Deco, C. Schittenkopf und B. Schürmann, Determining the Information Flow of Dynamical Systems from Continuous Probability Distributions, Physical Review Letters, 78, S. 2345 - 2348, 1997
[4] B. W. Silverman, Density Estimation for Statistics and Data Analysis, Chapman and Hall, ISBN 0-412-24620-1, S. 34 - 94, London, 1986
[5] C. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods,
2. Auflage, Springer Verlag, ISBN 0-387-11357-6,
S. 33 - 36, New York, 1985
[6] C. Schittenkopf und G. Deco, Testing Nonlinear Markovian
Hypotheses in Dynamical Systems, Physica D, 104,
S. 61 - 74, 1997
[7] A. Papoulis, Probability, Random Variables, and
Stochastic Processes, McGraw-Hill, New York, 1991, ISBN 0-07-100870-5, S. 260 - 263
[8] C. M. Bishop, Neural Networks for Pattern Recognition, Clarendon Press, Oxford, S. 33 - 50, ISBN 0-19-85364-2, [9] DE 196 08 734 Cl
[10] DE 196 43 918 Cl

Claims

Patentansprüche
1. Verfahren zur Klassifikation einer ersten Zeitreihe und einer zweiten Zeitreihe, die jeweils eine vorgegebene Anzahl von Abtastwerten aufweisen, durch einen Rechner,
- bei dem ein nichtlinearer Markov-Prozeß für die erste Zeitreihe durch einen ersten statistischen Schätzer modelliert wird,
- bei dem ein nichtlinearer Markov-Prozeß für die zweite Zeitreihe durch einen zweiten statistischen Schätzer modelliert wird,
- bei dem zu der ersten Zeitreihe unter Verwendung des ersten statistischen Schätzers mindestens eine Surrogat-Zeitreihe gebildet wird, - bei dem zu der zweiten Zeitreihe unter Verwendung des zweiten statistischen Schätzers mindestens eine Surrogat- Zeitreihe gebildet wird,
- bei dem ein erstes Maß für die statistische Abhängigkeit der Abtastwerte der ersten Zeitreihe und den Abtastwerten der zweiten Zeitreihe für eine vorgegebene Anzahl von zukünftigen Abtastwerten gebildet wird,
- bei dem ein zweites Maß für die statistische Abhängigkeit der Werte der Surrogat-Zeitreihen voneinander für eine vorgegebene Anzahl von in der Zukunft liegenden Abtastwerten ge- bildet wird,
- bei dem aus dem ersten Maß und dem zweiten Maß ein Unter- schiedsmaß gebildet wird, und
- bei dem die Klassifikation derart erfolgt, daß
- falls das Unterschiedsmaß kleiner ist als ein vorgegeben Schwellenwert, die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe einer ersten Gruppe zugeordnet werden,
- sonst die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe einer zweiten Gruppe zugeordnet werden.
2. Verfahren nach Anspruch 1, bei dem mehrere zweite Zeitreihen berücksichtigt werden.
3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, bei dem zu der ersten Zeitreihe und der zweiten Zeitreihe unter Verwendung des ersten statistischen Schätzers und des zweiten statistischen Schätzers jeweils mehrere Surrogat- Zeitreihen gebildet werden.
4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, bei dem als statistischer Schätzer ein neuronales Netz verwendet wird.
5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, bei dem anstelle der ersten Zeitreihe und/oder der zweiten Zeitreihe und/oder mindestens einer weiteren Zeitreihe eine modifizierte Gaußsche Zeitreihe, die dadurch gebildet wird, daß normalverteilte Zufallszahlen ermittelt werden und diese entsprechend dem Rang der Zeitreihe sortiert werden, eingesetzt wird.
6. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 5, bei dem das erste Maß gemäß folgender Vorschrift gebildet wird:
mkk(r) = N(k)? • + X(k)? J-l» s + 1
mit k = 1, N,
k-1 j = l
j= l
wobei mit • i, j, k positive ganze Zahlen bezeichnet werden,
• K Kumulanten bezeichnet werden,
• nj eine Anzahl der verwendeten Werte der
Zeitreihe {xt}' aus der Vergangenheit,
bezeichnet wird.
7. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, bei dem für den Fall, daß die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe der zweiten Gruppe zugeordnet werden, das Verfahren iterativ solange wiederholt wird, bis die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe der ersten Gruppe zugeordnet werden, wobei in jeder Iteration die Ordnung des Markov-Prozesses erhöht wird.
8. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 7, bei dem durch die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe Kursverläufe eines Finanzmarktes beschrieben werden.
9. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 7, bei dem durch die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe der Verlauf eines Elektroencephalogramms beschrieben wird.
10. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 7, bei dem durch die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe der Verlauf eines Elektrokardiogramms beschrieben wird.
11. Vorrichtung zur Klassifikation einer ersten Zeitreihe und mindestens einer zweiten Zeitreihe, die jeweils eine vorgege- bene Anzahl von Abtastwerten aufweisen, mit einer Prozessoreinheit, die derart eingerichtet ist, daß
- ein nichtlinearer Markov-Prozeß für die erste Zeitreihe durch einen ersten statistischen Schätzer modelliert wird,
- ein nichtlinearer Markov-Prozeß für die zweite Zeitreihe durch einen zweiten statistischen Schätzer modelliert wird, - zu der ersten Zeitreihe unter Verwendung des ersten statistischen Schätzers mindestens eine Surrogat-Zeitreihe gebildet wird,
- zu der zweiten Zeitreihe unter Verwendung des zweiten sta- tistischen Schätzers mindestens eine Surrogat-Zeitreihe gebildet wird,
- ein erstes Maß für die statistische Abhängigkeit der Abtastwerte der ersten Zeitreihe und den Abtastwerten der zweiten Zeitreihe für eine vorgegebene Anzahl von zukünftigen Ab- tastwerten gebildet wird,
- ein zweites Maß für die statistische Abhängigkeit der Werte der Surrogat-Zeitreihen voneinander für eine vorgegebene Anzahl von in der Zukunft liegenden Abtastwerten gebildet wird,
- aus dem ersten Maß und dem zweiten Maß ein Unterschiedsmaß gebildet wird, und
- die Klassifikation derart erfolgt, daß
- falls das Unterschiedsmaß kleiner ist als ein vorgegeben Schwellenwert, die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe einer ersten Gruppe zugeordnet werden, — sonst die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe einer zweiten Gruppe zugeordnet werden.
12. Vorrichtung nach Anspruch 11, bei der die Prozessoreinheit derart eingerichtet ist, daß weitere Zeitreihen berücksichtigt werden.
13. Vorrichtung nach Anspruch 11 oder 12, bei der die Prozessoreinheit derart eingerichtet ist, daß zu der ersten Zeitreihe und der zweiten Zeitreihe unter Verwendung des statistischen Schätzers jeweils mehrere Surrogat- Zeitreihen gebildet werden.
14. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 11 bis 13, bei der die Prozessoreinheit derart eingerichtet ist, daß als statistischer Schätzer ein neuronales Netz verwendet wird.
15. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 11 bis 14, bei der die Prozessoreinheit derart eingerichtet ist, daß anstelle der ersten Zeitreihe und/oder der zweiten Zeitreihe und/oder mindestens einer weiteren Zeitreihe eine modifizier- te Gaußsche Zeitreihe, die dadurch gebildet wird, daß N normalverteilte Zufallszahlen ermittelt werden und diese entsprechend dem Rang der Zeitreihe sortiert werden, eingesetzt wird.
16. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 11 bis 15, bei dem das erste Maß gemäß folgender Vorschrift gebildet wird:
mit k = 1, ... , N,
k-1 mit L(k) = ∑ nj j = l
k und U(k) = ∑ nj j = l
wobei mit
• i, j, k positive ganze Zahlen bezeichnet werden, • Kumulanten bezeichnet werden,
• nj eine Anzahl der verwendeten Werte der
Zeitreihe { t}' aus der Vergangenheit,
bezeichnet wird.
17. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 11 bis 16, bei der die Prozessoreinheit derart eingerichtet ist, daß für den Fall, daß die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe der zweiten Gruppe zugeordnet werden, das Verfahren iterativ solange wiederholt wird, bis die die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe der ersten Gruppe zugeordnet werden, wobei in jeder Iteration die Ordnung des Markov-Prozesses erhöht wird.
18. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 11 bis' 17, bei der die Prozessoreinheit derart eingerichtet ist, daß durch die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe Kursverläufe eines Finanzmarktes beschrieben werden.
19. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 11 bis 18, bei der die Prozessoreinheit derart eingerichtet ist, daß durch die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe der Verlauf eines Elektroencephalogramms beschrieben wird.
20. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 11 bis 19, bei der die Prozessoreinheit derart eingerichtet ist, daß durch die erste Zeitreihe und die zweite Zeitreihe der Verlauf eines Elektrokardiogramms beschrieben wird.
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