ITTO20100779A1

ITTO20100779A1 - Giunto rotante a rigidezza regolabile

Info

Publication number: ITTO20100779A1
Application number: IT000779A
Authority: IT
Inventors: Darwin G Caldwell; Amir Jafari; Nikos G Tsagarakis
Original assignee: Fond Istituto Italiano Di Tecnologia
Priority date: 2010-09-23
Filing date: 2010-09-23
Publication date: 2012-03-24
Also published as: US20130178297A1; EP2619469A1; IT1404523B1; EP2619469B1; US9157485B2; IT1402194B1; ITTO20110100A1; WO2012038931A1

Description

DESCRIZIONE dell'invenzione industriale dal titolo: "Giunto rotante a rigidezza regolabile"

DESCRIZIONE

La presente invenzione si riferisce a un giunto rotante a rigidezza regolabile secondo il preambolo della rivendicazione indipendente 1.

Giunti rotanti a rigidezza regolabile sono stati sviluppati e utilizzati in particolare su robot destinati a interagire con l'uomo, quali ad esempio umanoidi ed esoscheletri. Tali giunti rotanti presentano due gradi di libertÃ , e precisamente posizione e rigidezza, e dunque richiedono l'impiego di due attuatori distinti. Essi richiedono inoltre l'impiego di elementi elastici per fornire la cedevolezza necessaria a garantire la sicurezza. I giunti rotanti a rigidezza regolabile possono essere classificati, a seconda del posizionamento degli attuatori e degli elementi elastici, nelle due seguenti categorie:

- giunti rotanti con disposizione antagonista dei due attuatori, in cui i due attuatori sono disposti ciascuno in serie con un elemento elastico non lineare e in cui la posizione e la rigidezza del giunto sono controllate mediante movimento relativo dei due attuatori; e

- giunti rotanti in cui un attuatore Ã ̈ destinato a variare la posizione e l'altro attuatore Ã ̈ disposto in serie con un elemento elastico ed Ã ̈ destinato a variare la rigidezza tramite un meccanismo che consente di ottenere un profilo di rigidezza non lineare.

I principali requisiti che devono essere soddisfatti in tali giunti rotanti sono:

- compattezza e peso ridotto;

- capacitÃ di variare la rigidezza con il minimo consumo di energia possibile; e

- ampio intervallo di variazione della rigidezza.

Nella maggior parte delle precedenti realizzazioni, siano esse della prima o della seconda categoria sopra indicate, la variazione della rigidezza Ã ̈ ottenuta variando il precarico degli elementi elastici, il che comporta tuttavia un consumo energetico considerevole.

Un giunto rotante a rigidezza regolabile secondo il preambolo della rivendicazione indipendente 1 Ã ̈ descritto nella pubblicazione "An Intrinsically Safe Actuator with the Ability to Adjust the Stiffness" presentata il 16 giugno 2010 in occasione del 7° IARP Workshop on Technical Challenges for Dependable Robots in Human Environments svoltosi a Tolosa. Il giunto rotante divulgato in tale pubblicazione comprende fondamentalmente un organo di uscita girevole intorno a un asse di rotazione, un primo attuatore (realizzato in particolare come gruppo motore elettrico e riduttore) predisposto per generare un moto rotatorio intorno al suddetto asse di rotazione, un organo d'ingresso comandato in rotazione dal primo attuatore intorno al suddetto asse di rotazione, una coppia di molle antagoniste interposte ciascuna fra l'organo d'ingresso e l'organo di uscita in maniera tale per cui la coppia generata dal primo attuatore viene trasmessa dall'organo d'ingresso all'organo di uscita per il tramite di tali molle, e un secondo attuatore predisposto per variare la distanza fra le molle e il suddetto asse di rotazione, e quindi il braccio di leva con cui agisce la forza elastica prodotta dalle molle, al fine di variare la rigidezza del giun to. Secondo tale soluzione nota, quindi, la variazione della rigidezza Ã ̈ ottenuta variando non il precarico delle molle, bensÃ¬ la loro posizione. Oltretutto, la direzione del movimento necessario per variare la posizione delle molle, e quindi per variare la rigidezza del giunto, Ã ̈ perpendicolare alla direzione della forza elastica generata dalle molle, con la conseguenza che in linea teorica il consumo di energia richiesto per variare la rigidezza del giunto rotante Ã ̈ nullo. In realtÃ , la presenza di attrito e il fatto che in posizioni diverse da quella di equilibrio la forza elastica generata dalle molle abbia una, seppur piccola, componente lungo la direzione di spostamento delle molle fanno sÃ¬ che il consumo di energia non sia effettivamente nullo. In ogni caso, esso Ã ̈ decisamente piÃ¹ ridotto rispetto a quello dei giunti rotanti in cui la rigidezza viene variata mediante variazione del precarico degli elementi elastici, con la conseguenza che il secondo attuatore che comanda la variazione di rigidezza puÃ² essere molto piÃ¹ compatto rispetto agli altri giunti rotanti a rigidezza regolabile. Un ulteriore vantaggio di questa soluzione nota Ã ̈ dato dal fatto di non richiedere l'utilizzo di molle o meccanismi non lineari per fornire il profilo di rigidezza non lineare necessario per la regolazione della rigidezza.

Scopo della presente invenzione Ã ̈ fornire un giunto rotante a rigidezza regolabile che sia ancora piÃ¹ compatto e leggero, che abbia un consumo energetico ancora piÃ¹ basso e che permetta una regolazione della rigidezza in un intervallo ancora piÃ¹ ampio rispetto alla tecnica nota sopra discussa.

Questo e altri scopi sono pienamente raggiunti secondo la presente invenzione grazie a un giunto rotante a rigidezza regolabile avente le caratteristiche definite nella parte caratterizzante dell'annessa rivendicazione indipendente 1.

Forme di realizzazione preferite di un giunto rotante a rigidezza regolabile secondo la presente invenzione formano oggetto delle rivendicazioni dipendenti, il cui contenuto Ã ̈ da ritenersi come parte integrale e integrante della presente descrizione.

In sintesi, l'invenzione si fonda sull'idea di realizzare un giunto rotante a rigidezza regolabile del tipo sopra identificato comprendente inoltre un organo intermedio che Ã ̈ incernierato a una sua estremitÃ all'organo di uscita in modo da ruotare rispetto a questo intorno a un asse di rotazione parallelo all'asse di rotazione dell'organo di uscita, insiste alla sua opposta estremitÃ contro le due molle ed Ã ̈ incernierato in un suo punto intermedio all'organo d'ingresso in modo da ruotare rispetto a questo intorno a un asse di rotazione parallelo all'asse di rotazione dell'organo di uscita, in maniera tale per cui la trasmissione della coppia fra l'organo d'ingresso e l'organo di uscita avviene attraverso l'organo intermedio, il secondo attuatore essendo predisposto per variare la posizione del punto d'incernieramento dell'organo d'ingresso con l'organo intermedio fra le opposte estremitÃ di quest'ultimo. Lo spostamento di tale punto d'incernieramento comporta una variazione nel rapporto fra i bracci di leva con cui agiscono da un lato la forza scambiata fra l'organo intermedio e l'organo di uscita in corrispondenza del punto d'incernieramento fra tali organi e dall'altro la forza scambiata fra l'organo intermedio e le molle, e quindi una variazione della rigidezza del giunto, intesa come rapporto fra la coppia applicata e la deflessione angolare dovuta a tale coppia. Nel giunto rotante secondo l'invenzione, pertanto, la variazione di rigidezza viene ottenuta non tramite una variazione del precarico o della posizione delle molle, bensÃ¬ tramite una variazione della forza agente sulle molle grazie a un meccanismo a rapporto di leva regolabile. Il consumo di energia necessario per variare la rigidezza risulta di conseguenza estremamente basso. Inoltre, la rigidezza puÃ² essere variata nell'intervallo piÃ¹ ampio possibile, e cioÃ ̈ da zero a infinito, indipendentemente dalle caratteristiche delle molle utilizzate. Il giunto rotante secondo l'invenzione presenta inoltre una struttura compatta e leggera, anche in virtÃ¹ del fatto che la ridotta potenza richiesta per variare la posizione del punto d'incernieramento fra l'organo intermedio e l'organo di uscita permette di utilizzare, come secondo attuatore, un motore elettrico di dimensioni e peso ridotti.

Ulteriori caratteristiche e vantaggi della presente invenzione risulteranno dalla descrizione dettagliata che segue, data a puro titolo di esempio non limitativo con riferimento ai disegni allegati, in cui:

la figura 1 Ã ̈ una vista prospettica, parzialmente in trasparenza, di un giunto rotante a rigidezza regolabile secondo una forma di realizzazione preferita della presente invenzione;

la figura 2 Ã ̈ una vista dall'alto del giunto rotante della figura 1, da cui Ã ̈ stato rimosso il coperchio superiore dell'organo di uscita;

la figura 3 Ã ̈ una vista in sezione assiale del giunto rotante della figura 1; e

la figura 4 Ã ̈ una vista prospettica che mostra in dettaglio l'attuatore predisposto per variare la rigidezza del giunto rotante della figura 1.

Con riferimento inizialmente alle figure, un giunto rotante a rigidezza regolabile secondo una forma di realizzazione preferita della presente invenzione Ã ̈ complessivamente indicato con 10 e comprende fondamentalmente:

un organo di uscita 12 girevole intorno a un asse di rotazione X,

un primo attuatore 14 predisposto per generare un moto rotatorio intorno all'asse di rotazione X, un organo d'ingresso 16 comandato in rotazione dal primo attuatore 14 intorno all'asse di rotazione X,

un organo intermedio 18 realizzato sotto forma di leva che Ã ̈ incernierata a una sua estremitÃ all'organo di uscita 12, in maniera tale per cui l'organo intermedio 18 Ã ̈ in grado di ruotare rispetto all'organo di uscita 12 intorno a un asse di rotazione X1 parallelo all'asse di rotazione X, e in un suo punto intermedio (mobile lungo la direzione longitudinale dell'organo intermedio, indicata con Y nella figura 2) all'organo d'ingresso 16, in maniera tale per cui l'organo intermedio 18 Ã ̈ in grado di ruotare rispetto all'organo d'ingresso 16 intorno a un asse di rotazione X2 parallelo all'asse di rotazione X,

una coppia di molle 20 disposte da parti opposte dell'organo intermedio 18 rispetto a un piano passante per gli assi X e Y e insistenti contro l'estremitÃ del'organo intermedio 18 opposta a quella in corrispondenza delle quale tale organo Ã ̈ incernierato all'organo di uscita 12, in maniera tale per cui il giunto rotante 10 presenta una certa cedevolezza grazie alla possibilitÃ di oscillazione dell'organo intermedio 18 intorno al punto d'incernieramento con l'organo d'ingresso (asse X2) per effetto della deformazione elastica delle molle 20, e

un secondo attuatore 22 predisposto per spostare il punto d'incernieramento fra l'organo intermedio 18 e l'organo d'ingresso lungo l'asse Y, in modo da variare il rapporto fra i bracci di leva con cui agiscono da un lato la forza scambiata fra l'organo intermedio 18 e l'organo di uscita 12 in corrispondenza del punto d'incernieramento fra tali organi e dall'altro la forza scambiata fra l'organo intermedio 18 e le molle 20, e quindi la rigidezza del giunto, come verrÃ meglio spiegato piÃ¹ avanti.

Il primo attuatore 14, che comanda la posizione dell'organo di uscita 12 del giunto rotante 10 e che sarÃ dunque indicato nel seguito della descrizione anche come attuatore di posizione, Ã ̈ preferibilmente un motore elettrico rotante cui Ã ̈ eventualmente associato un dispositivo riduttore. L'attuatore di posizione 14 Ã ̈ montato su una struttura di supporto o base 24.

Come mostrato nella figura 3, l'organo di uscita 12 Ã ̈ supportato a rotazione da un lato (lato superiore, secondo l'osservatore di tale figura) dalla struttura di supporto 24 mediante un cuscinetto 26, e dal lato opposto (lato inferiore, secondo l'osservatore di tale figura) dalla parte stazionaria del motore elettrico funzionante da attuatore di posizione 14 mediante un cuscinetto 28. L'organo di uscita 12 comprende un involucro 30, in cui sono accolti l'organo d'ingresso 16, l'organo intermedio 18 e le molle 20, e un braccio 32 fissato all'involucro 30 ed estendentesi ad esempio in direzione perpendicolare all'asse di rotazione X, preferibilmente in direzione parallela alla direzione Y. Naturalmente, a seconda della specifica applicazione del giunto rotante il braccio 32 dell'organo di uscita 12 potrebbe anche essere omesso o presentare una conformazione diversa da quella qui illustrata. L'involucro 30 dell'organo di uscita 12 comprende una coppia di opposte basi parallele 34 e 36 (rispettivamente superiore e inferiore, secondo il punto di vista dell'osservatore della figura 3), laddove la base superiore 34 presenta un foro passante circolare 38 in corrispondenza del punto d'incernieramento fra l'organo di uscita 12 e l'organo intermedio 18, mentre la base inferiore 36 presenta, in corrispondenza dell'attuatore di posizione 14, un foro passante circolare 40 attraverso cui l'organo intermedio 18 Ã ̈ collegato a rotazione alla parte mobile dell'attuatore di posizione 14.

L'organo d'ingresso 16 comprende una piastra di testa 42 di forma circolare, che Ã ̈ accolta nel foro passante circolare 40 della base inferiore 36 dell'organo di uscita ed Ã ̈ collegata a rotazione (ad esempio mediante viti) alla parte mobile dell'attuatore di posizione 14, e una piastra allungata 44, che Ã ̈ fissata alla piastra di testa 42 e che ha ad esempio forma rettangolare con i lati maggiori paralleli alla direzione Y.

Con riferimento anche alla figura 4, il secondo attuatore 22 (indicato nel seguito della descrizione anche come attuatore di rigidezza, in quanto avente la funzione di variare la rigidezza del giunto rotante) Ã ̈ montato sull'organo d'ingresso 16 ed Ã ̈ realizzato come attuatore lineare predisposto per spostare il punto d'incernieramento fra l'organo d'ingresso 16 e l'organo intermedio 18 (e dunque la posizione dell'asse X2) lungo la direzione Y. A tale proposito, l'attuatore di rigidezza 22 comprende un motore elettrico 46 predisposto per generare un moto rotatorio intorno a un asse parallelo alla direzione Y e un meccanismo di conversione del moto 48 predisposto per convertire il moto rotatorio in uscita dal motore elettrico 46 in moto traslatorio lungo la direzione Y di un perno d'incernieramento 50 mediante il quale l'organo d'ingresso 16 Ã ̈ incernierato all'organo intermedio 18 in modo da ruotare rispetto a questo intorno all'asse X2. Il meccanismo di conversione del moto 48 comprende una vite senza fine 52, che Ã ̈ disposta con il proprio asse parallelo alla direzione Y ed Ã ̈ predisposta per essere comandata in rotazione dal motore elettrico 46, e una madrevite 54 cooperante con la vite senza fine 52 per essere spostata lungo la direzione Y a seguito della rotazione della vite senza fine. Il perno d'incernieramento 50 Ã ̈ portato dalla madrevite 54 in modo da traslare insieme a questa lungo la direzione Y. La vite senza fine 52 Ã ̈ supportata alle sue estremitÃ da una coppia di piastre di supporto 56 e 58 fissate rispettivamente alla piastra di testa 42 e alla piastra allungata 44 dell'organo d'ingresso. La piastra di supporto 56 supporta inoltre il motore elettrico 46. Fra le due piastre di supporto 56 e 58 si estende inoltre parallelamente alla vite senza fine 52 un'asta di guida 60, che attraversa un foro passante (non mostrato) previsto nella madrevite 54 in modo da impedire a quest'ultima di ruotare intorno all'asse della vite senza fine 52.

Con riferimento in particolare alle figure 2 e 3, l'organo intermedio 18 presenta una fenditura longitudinale 62 che si estende lungo la direzione Y e nella quale s'impegna in modo scorrevole il perno d'incernieramento 50. All'estremitÃ dell'organo intermedio 18 rivolta verso le molle 20 (estremitÃ di destra, rispetto al punto di vista dell'osservatore delle figure 2 e 3), l'organo intermedio 18 Ã ̈ provvisto di una coppia di rotelle 64, che sono montate girevoli ciascuna intorno a un rispettivo asse di rotazione parallelo all'asse X e insistono ciascuna contro uno dei due bracci radiali di estremitÃ 66 (braccio superiore, rispetto al punto di vista dell'osservatore della figura 3) della rispettiva molla 20. All'estremitÃ opposta dell'organo intermedio 18 Ã ̈ fissato un perno d'incernieramento 68, che Ã ̈ montato girevole nel foro passante circolare 38 della base superiore 34 dell'organo di uscita 12 per il collegamento articolato fra l'organo intermedio 18 e l'organo di uscita 12 intorno all'asse X1.

Le molle 20 sono realizzate come molle di flessione a elica cilindrica avvolte intorno a rispettivi perni 70 fissati all'organo di uscita 12 e aventi i loro assi orientati parallelamente all'asse X. Come detto in precedenza, i bracci radiali di estremitÃ 66 delle molle 20 insistono, da parti opposte, contro l'estremitÃ dell'organo intermedio 18 opposta a quella in corrispondenza della quale l'organo intermedio 18 Ã ̈ incernierato all'organo di uscita 12, in modo da esercitare antagonisticamente una coppia elastica di reazione sull'organo intermedio 18 quando quest'ultimo oscilla intorno all'asse X2 definito dal perno d'incernieramento 50.

I punti di contatto fra i bracci radiali di estremitÃ 66 delle molle 20 e le rotelle 64 dell'organo intermedio 18 sono vantaggiosamente disposti allineati con l'asse X intorno a cui ruota l'organo di uscita 12, nel senso che la retta passante per tali punti di contatto interseca l'asse X.

Il funzionamento del giunto rotante 10 secondo la presente invenzione Ã ̈ il seguente. L'attuatore di posizione 14 consente di variare la posizione angolare dell'organo di uscita 12 intorno all'asse X. La coppia generata dall'attuatore di posizione 14 viene trasmessa all'organo di uscita 12, passando nell'ordine attraverso l'organo d'ingresso 16 e l'organo intermedio 18. L'attuatore di rigidezza 22 consente di variare la rigidezza del giunto rotante variando il rapporto fra i bracci di leva con cui agiscono da un lato la forza scambiata fra l'organo intermedio 18 e l'organo di uscita 12 in corrispondenza del perno d'incernieramento 68 e dall'altro la forza scambiata fra l'organo intermedio 18 e le molle 20. Indicando con KSla rigidezza di ciascuna delle molle 20, con r il rapporto fra la distanza dell'asse X2 (asse del perno d'incernieramento 50) dall'asse X (asse di rotazione dell'organo di uscita 12) e la distanza dell'asse X2 dall'asse X1 (asse del perno d'incernieramento 68) e con L la lunghezza dell'organo intermedio 18, la rigidezza del giunto rotante 10, intesa come rapporto fra la coppia applicata e la deflessione angolare dovuta a tale coppia, Ã ̈ data dalla seguente espressione:

K = 2Kr<2>L<2>.

Fissata la rigidezza KSdelle molle 20 e la lunghezza L dell'organo intermedio 18, la rigidezza K del giunto rotante 10 puÃ² quindi variare da 0 (con r uguale a 0, cioÃ ̈ quando il perno d'incernieramento 50 Ã ̈ allineato con l'asse X dell'organo di uscita 12) a infinito (con r tendente a infinito, cioÃ ̈ quando il perno d'incernieramento 50 Ã ̈ allineato con il perno d'incernieramento 68). Variando quindi la posizione del perno d'incernieramento 50 lungo la fenditura longitudinale 62 dell'organo intermedio 18 per mezzo dell'attuatore di rigidezza 62, Ã ̈ possibile variare la rigidezza del giunto rotante 10 in un intervallo teoricamente infinito, rendendo cosÃ¬ il giunto rotante secondo l'invenzione idoneo per qualsiasi applicazione.

Oltre alla possibilitÃ di variare la rigidezza a piacere, il giunto rotante secondo la presente invenzione offre il vantaggio di presentare una struttura compatta e leggera e di richiedere pochissima energia per variare la rigidezza.

Naturalmente, fermo restando il principio dell'invenzione, le forme di attuazione e i particolari di realizzazione potranno essere ampiamente variati rispetto a quanto Ã ̈ stato descritto e illustrato a puro titolo di esempio non limitativo, senza con ciÃ² fuoriuscire dall'ambito dell'invenzione come definito nelle annesse rivendicazioni.

Claims

RIVENDICAZIONI 1. Giunto rotante a rigidezza regolabile (10) comprendente un organo di uscita (12) girevole intorno a un primo asse di rotazione (X), un primo dispositivo attuatore (14) predisposto per generare un moto rotatorio intorno a detto primo asse di rotazione (X), un organo d'ingresso (16) predisposto per essere comandato in rotazione da detto primo dispositivo attuatore (14) intorno a detto primo asse di rotazione (X), mezzi elastici (20) disposti fra l'organo d'ingresso (16) e l'organo di uscita (12) e configurati in maniera tale per cui la trasmissione di coppia fra l'organo d'ingresso (16) e l'organo di uscita (12) avviene attraverso detti mezzi elastici (20), e un secondo dispositivo attuatore (22) predisposto per variare la rigidezza del giunto rotante (10), il giunto rotante (10) essendo caratterizzato dal fatto di comprendere inoltre un organo intermedio (18) che Ã ̈ incernierato (68) a una sua estremitÃ all'organo di uscita (12) in modo da ruo tare rispetto a questo intorno a un secondo asse di rotazione (X1) parallelo a detto primo asse di rotazione (X), insiste alla sua opposta estremitÃ (64) contro detti mezzi elastici (20) ed Ã ̈ incernierato (50) in un suo punto intermedio all'organo d'ingresso (16) in modo da ruotare rispetto a questo intorno a un terzo asse di rotazione (X2) parallelo a detto primo asse di rotazione (X), in maniera tale per cui la trasmissione della coppia fra l'organo d'ingresso (16) e l'organo di uscita (12) avviene attraverso l'organo intermedio (18), e dal fatto che detto secondo dispositivo attuatore (22) Ã ̈ predisposto per variare la posizione del punto d'incernieramento dell'organo d'ingresso (16) con l'organo intermedio (18) lungo una direzione di traslazione (Y) congiungente le opposte estremitÃ di quest'ultimo.
2. Giunto rotante secondo la rivendicazione 1, in cui detto primo dispositivo attuatore (14) comprende un primo motore elettrico rotante.
3. Giunto rotante secondo la rivendicazione 1 o la rivendicazione 2, in cui detto secondo dispositivo attuatore (22) comprende un secondo motore elettrico rotante (46) predisposto per generare un moto rotatorio intorno a un asse parallelo a detta direzione di traslazione (Y) e un meccanismo di conversione del moto (48) predisposto per convertire il moto rotatorio in uscita da detto secondo motore elettrico rotante (46) in moto traslatorio lungo detta direzione.
4. Giunto rotante secondo la rivendicazione 3, in cui detto meccanismo di conversione del moto (48) comprende una vite senza fine (52) e una madrevite (54) cooperante con la vite senza fine (52) per essere spostata lungo detta direzione di traslazione (Y), e in cui la madrevite (54) porta un perno d'incernieramento (50) tramite il quale l'organo intermedio (18) Ã ̈ incernierato all'organo d'ingresso (16).
5. Giunto rotante secondo una qualsiasi delle rivendicazioni precedenti, in cui l'organo intermedio (18) presenta una fenditura (62) che si estende lungo detta direzione di traslazione (Y) e nella quale s'impegna in modo scorrevole un perno d'incernieramento (50) tramite il quale l'organo intermedio (18) Ã ̈ incernierato all'organo d'ingresso (16).
6. Giunto rotante secondo una qualsiasi delle rivendicazioni precedenti, in cui detti mezzi elastici (20) sono interposti fra l'organo di uscita (12) e l'organo intermedio (18).
7. Giunto rotante secondo la rivendicazione 6, in cui detti mezzi elastici (20) comprendono una coppia di molle di flessione a elica cilindrica avvolte intorno a rispettivi perni (70) fissati all'organo di uscita (12) e aventi i loro assi orientati parallelamente a detto primo asse di rotazione (X).
8. Giunto rotante secondo la rivendicazione 7, in cui l'organo intermedio (18) Ã ̈ provvisto, alla sua estremitÃ rivolta verso le molle (20), di una coppia di rotelle (64) che sono montate girevoli ciascuna intorno a un rispettivo asse di rotazione parallelo a detto primo asse di rotazione (X) e insistono ciascuna contro un braccio radiale di estremitÃ (66) della rispettiva molla (20).
9. Giunto rotante secondo la rivendicazione 8, in cui le rotelle (64) dell'organo intermedio (18) sono disposte in modo che i loro punti di contatto con i bracci radiali di estremitÃ (66) delle molle (20) giacciono su una retta passante per detto primo asse di rotazione (X).