JP2000237183A - Ｘ線断層画像を再構成する方法及び装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 円−線軌道に基づいてＸ線断層画像を再構成
する。 【解決手段】 本発明では、周波数領域において、円−
線軌道データから別々に再構成された画像を結合する工
程を含んでいる。詳しく述べると、本方法は、シャドウ
・ゾーンを周波数領域内でシャドウ・コーンへ変換する
工程と、３次元フーリエ空間のシャドウ・コーンを２次
元フーリエ平面の集合へ写像する工程と、円軌道データ
のフーリエ変換から、シャドウ・コーンの投影としてマ
ークされた領域内に位置するデータを除去すると共に、
線軌道データのフーリエ変換からの同じデータで置き換
える工程と、各々の２次元フーリエ平面をそれぞれの２
次元画像平面へ変換する工程と、ホーン形状ボリューム
を変換して格子ボリュームへ戻す工程とを含んでいる。
又、正フーリエ法（ＤＦＭ）を用いて線軌道データを再
構成する補間法も提供される。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明の分野は、計算機式断
層撮影法に関し、より具体的には、Ｘ線医用計算機式断
層撮影法に関する。

【０００２】

【従来の技術】コーン・ビーム投影技術を用いた計算機
式断層撮影（ＣＴ）方法では、典型的には、Ｘ線源を用
いて円錐（コーン）の形状の頂点を形成する。Ｘ線源の
走査軌道は、走査中にコーン・ビームの頂点がそこに沿
って移動するような曲線となる。コーン・ビーム源から
固定された距離に、１組の検出器が配置されている。現
在では、コーン・ビーム投影と、これらの投影の３次元
（３Ｄ）ラドン変換の１次導関数との間の関係を確立し
た方法が存在している。理論的には、各々の線源位置Ｓ
が、球上に位置するラドン・データ、即ち、Ｓのラドン
・シェルを生成することができる。円軌道上の対応する
各球は、物体のラドン空間を掃引するものとなり、これ
をトーラス（円環体）と呼ぶ。物体を包含する最小の球
内で且つトーラスの外部にある領域は、シャドウ・ゾー
ンと呼ばれる。シャドウ・ゾーンは、円軌道からラドン
・データが欠落している領域を表わす。

【０００３】

【発明が解決しようとする課題】円−線軌道を用いる場
合には、典型的には、線軌道データを用いてシャドウ・
ゾーンを充填する。シャドウ・ゾーンは、円軌道によっ
て生成される有効ラドン・データ全体の体積に比べると
極く小さなものであるが、現状でのコーン・ビーム投影
法は計算集約的である（すなわち、計算量が膨大にな
る）。従って、円−線軌道に基づいた画像再構成を簡単
化する必要性が存在する。

【０００４】

【課題を解決するための手段】本発明では、円−線軌道
(circle-and-line orbit) に基づいてＸ線断層画像を再
構成するシステムが提供される。本システムは、周波数
領域において、円−線軌道データから別々に再構成され
た画像を結合する工程を含んでいる。詳しく述べると、
この方法は、（１）シャドウ・ゾーンを周波数領域でシ
ャドウ・コーンへ変換する工程と、（２）３次元フーリ
エ空間のシャドウ・コーンを１組の２次元フーリエ平面
へ写像する工程と、（３）円軌道データのフーリエ変換
から、シャドウ・コーンの投影としてマークされた領域
内に位置するデータを除去すると共に、線軌道データの
フーリエ変換からの同じデータで置き換える工程と、
（４）各々の２次元フーリエ平面をそれぞれの２次元画
像平面へ変換する工程と、（５）ホーン（horn）形状ボ
リュームを変換して格子(grid)形ボリュームへ戻す工程
とを含んでいる。又、正フーリエ法（Direct Fourier M
ethod、ＤＦＭ）を用いて線軌道データを再構成する補
間法も提供される。

【０００５】

【発明の実施の形態】図１は、本発明を説明する一実施
例に全体的に従ったＣＴイメージング・システム１０を
示す。システム１０内には、中央処理ユニット（ＣＰ
Ｕ）１６と、サンプリング装置１２と、その他の画像支
援及び処理サブシステム(１４、１８、２０及び２２)と
が含まれている。サンプリング装置１２は、Ｘ線源３４
と画像検出アレイ３２とを、起動装置と共に含んでい
る。画像支援装置(１４、１８及び２２)は、高速フーリ
エ・プロセッサ１４と、補間器１８と、メモリ２０と、
表示装置２２とを含んでいる。

【０００６】２次元（２Ｄ）断層像再構成において、フ
ィルタ補正逆投影（ＦＢＰ）の１つの代替技術として正
フーリエ法（ＤＦＭ；Direct Fourier Method）逆投影
がある。正フーリエ法逆投影は、投影スライス定理に基
づいており、この定理は、特定の角度における投影デー
タの１次元（１Ｄ）フーリエ変換（ＦＴ）が同じ角度に
おける物体の２次元ＦＴの断面に対応するものと仮定し
ている。ＤＦＭは、線軌道に関連する従来の逆投影再構
成の代替として用いられることになる。

【０００７】

【外１】

【０００８】

【数１】

【０００９】

【外２】

【００１０】（例えば、Feldkamp等、及びHuによって与
えられたようなもの）を用いて評価される。例えば、Fe
ldkamp等は、Journal of the Optical Society of Amer
ica、第１巻、第６号、１９８４年６月、第６１２頁・第
６１９頁に記載された「実用コーン・ビーム・アルゴリ
ズム（PRACTICAL CONE-BEAM ALGORITHM）」と題した論
文においてコーン・ビーム・アルゴリズムを発表してい
る。尚、本論文はここに参照されるべきものである。第
２の要素は、第３項がラドン空間で評価される場合にの
み必要とされる。ここでは、第３項をフーリエ空間内で
評価するので、第２項は無視される。

【００１１】

【外３】

【００１２】は、円軌道によって回転軸の周りで掃引さ
れるトーラス２４と、物体４０を包含する最小の球面と
によって画定されるシャドウ・ゾーン２８を充填するた
めに用いられる（図２）。ラドン空間内で画定されるこ
のシャドウ・ゾーン２８は、トーラス２４に比較すると
小さいが、現在の逆投影法は計算集約的であり、このこ
とは、例えば１９９７年１月３１日、GE社のMedical Sy
stem事業部のThe Applied Science Laboratory刊のHui
Huによる「円軌道並びに円−線軌道のためのコーン・ビ
ーム再構成アルゴリズム（CONE BEAM RECONSTRUCTION A
LGORITHM FOR THECIRCULAR ORBIT AND A CIRCLE-AND-LI
NE ORBIT）」と題した論文において定義

【００１３】

【外４】

【００１４】

【数２】

【００１５】ここで、

【００１６】

【数３】

【００１７】また、ｗ（ｚ₀，Θ，L ）は、２L z₀ cos
Θ＋ｚ₀ ² cos² Θ−ｄ² sin² Θ＞０の場合には、ｗ
（ｚ₀，Θ，L ）＝１であり、その他の場合には、ｗ
（ｚ₀，Θ，L ）＝０である。また更に、ここで、Ｈ
（ｚ₀ ，Θ，L ）は、ｚ＝ｚ₀ において得られるスナッ
プショットから算出されるラドン・データの加重付き２
次導関数である。物体空間

【００１８】

【外５】

【００１９】ている。原点（０，０）及び（Ｙ₀，Ｚ₀）
を直径の２端として用いて検出器平面上で円を描くと、
円が切り取るすべての有効ラドン・データＨ（ｚ₀ ，
Θ，L ）は、制限 L＝Ｙ₀ sin Θ＋Ｚ₀ cos Θを満た
す。各々の点（Ｙ₀，Ｚ₀）毎に、加算された後に物体空
間に逆投影されるべき対応するラドン・データの集合Ｈ
（ｚ₀ ，Θ，L ）が存在する。従って、この処理の計算
の複雑さは、Ｏ（Ｎ⁵ ）に近付く。

【００２０】本発明は、物体４０（図２に示す）の線軌
道走査から得られたデータを用いて計算効率のよいＣＴ
再構成を決定する方法を記載する。第１に、ラドン空間
におけるシャドウ・ゾーン２８を拡大して、周波数空間
におけるシャドウ・コーン３０へ変換する（図３）。第
２に、ＣＰＵ１６によって実行されるパッチ処理(patch
ing)を、元の３次元周波数空間から多数の２次元周波数
スライスへ単純化する。

【００２１】第１段階は、３次元ラドン空間での半径線
のフーリエ変換は、３次元フーリエ空間内の同じ半径線
と等価であるという事実に基づく。３次元ラドン空間で
の半径線がシャドウ・ゾーン２８を切り取るならば、３
次元フーリエ空間内の対応する半径線は、ラドン半径線
における幾分かのラドン・データが欠落するために「汚
染」される。シャドウ・ゾーン２８を切り取るすべての
半径線がシャドウ・コーン３０を形成するので、３次元
フーリエ空間における対応する半径線の集合も又、周波
数欠落コーンを形成する。フーリエ空間で定義される式
（１）の第１項の周波数欠落コーン（又は汚染されたコ
ーン）は、式（１）の第３項のコーンによって置き換え
られる。

【００２２】第２段階は、線軌道が、（円軌道に起因す
る）汚染されたコーンを置き換えるのに十分な周波数デ
ータを支持することを示すものであり、この後に、２次
元フーリエ空間での汚染されたコーンを置き換える手順
が続く。

【００２３】図６は、Ｘ線源３４及び検出器パネル３２
を静止したままにして、物体４０をｚ軸（この軸は、円
軌道の回転軸でもある）に沿って移動させることによ
り、線走査軌道を実現し得ることを示している。物体４
０は、「ｚステップ」３６の増分に示す離散的な増分で
ｚ方向に移動するものとして示されている。複数の検出
器３２から成る各々の垂直な列は、線源３４と共に、物
体４０を通る平面を画定する。各々の垂直な平面内で、
各々の検出器位置が特定の角度を画定し、各検出器によ
って収集されたデータは、ｚステップ３６の間隔でサン
プリングされた物体の平行投影に対応する。図７は、角
度θ_m ＝θ_max における物体４０のいくつかの平行投影
を示しており、図８は、角度θ_m ＝θ_min における物体
４０の平行投影を示している。これらの平行投影を用い
て、２次元ＦＴ平面における対応する欠落した角セグメ
ント(angular segment) を充填する。θ_max 及びθ_min
は、シャドウ・ゾーン２８のデータ・ボリュームを置き
換えるのに用いられるシャドウ・コーン３０（図３）の
データ・ボリュームが、シャドウ・ゾーンのデータ・ボ
リュームを包含するように選択される角度である。この
条件は、図2に示すように、θ₀ ＝θ_m のときに満たさ
れる。ここで、θ₀＝ｓｉｎ^-1（Ｒ／ｄ）であり、ここ
で、Ｒは物体４０を包含する最小の球の半径であり、ｄ
は円軌道の半径である。

【００２４】３次元フーリエ空間内のシャドウ・コーン
３０（図３）は、２次元シャドウ・コーンとして２次元
フーリエ平面の集合へ投影することができる。これらの
２次元フーリエ平面の各々の逆変換は、Ｘ線源及び検出
器３２の列Ｎによって画定される画像平面に対応する
（図６）。

【００２５】先ず、Ｆ（ｕ，ｖ）を２次元関数ｆ（ｘ，
ｙ）のフーリエ変換であるとする。ｘ＝ｘ₀ 上の１次元
フーリエ・データは、次のようにして導かれる。

【００２６】

【数４】

【００２７】同様に、３次元関数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）のフ
ーリエ変換について、ｘ＝ｘ₀ における物体スライスの
２次元フーリエ変換は、次のように表わされる。

【００２８】

【数５】

【００２９】所望のｎ次元フーリエ空間が、拡大された
（ｎ＋１）次元フーリエ空間の（ｎ＋１）次元と直交し
ていない場合について述べる。例えば、所望の１次元フ
ーリエ変換が、式ｘ cos θ＋ｙ sin θ−ｐ＝０によっ
て定義される線上に位置しているならば、元の２次元座
標（ｘ，ｙ）を新たな座標（ｘ′，ｙ′）へ角度θだけ
回転させると適当である。Ｆ（ｕ′，ｖ′）をｆ
（ｘ′，ｙ′）のフーリエ変換であるとする。すると、
Ｆ（ｕ′，ｖ′）も又、Ｆ（ｕ，ｖ）を角度θだけ回転
させることにより得られる。線ｘ cos θ＋ｙ sin θ−
ｐ＝０に沿ったフーリエ変換は、次のように表わされ
る。

【００３０】

【数６】

【００３１】同様に、ｘ cos ψ＋ｙ sin ψ−ｐ＝０に
よって画定される平面に沿った２次元フーリエ変換は、
次の式によって与えられる。

【００３２】

【数７】

【００３３】また、Ｆ（ｕ′，ｖ′，ｗ）は図４に示す
ように、ｗ座標を不変に保ったまま（ｕ，ｖ）座標を角
度ψだけ回転させることにより得られる。回転後の座標
系を図４及び図５に図形的に示しており、ここでは、新
たな座標（ｕ′，ｖ′，ｗ）

【００３４】

【外６】

【００３５】要約すると、３次元フーリエ空間において
ラドン空間の面積を画定するシャドウ・コーン３０（図
４）は、１次元逆フーリエ変換を適用することにより２
次元フーリエ部分空間へ投影される。換言すると、３次
元フーリエ空間のシャドウ・コーンを置き換えるのでは
なく、走査されている物体４０を一連の２次元フーリエ
平面内に表わして、すべての個々の平面における投影後
の２次元シャドウ・ディスク２６に置き換える。

【００３６】以上の原理を適用するに当たって、次のア
レイ及びスキャナのパラメータを仮定する。検出器アレ
イ３２（図６）は、Ｄ（Ｍ×Ｎ）という表現によって表
わし、ここで、検出器アレイ３２はＭ行及びＮ列を有す
るものとする。円軌道の投影データをＰ_c （Ｍ×Ｎ×Ｖ
_c ）という表現によって表わし、ここで、Ｖ_c は、ビュ
ーの総数である。線軌道の投影データは、Ｐ_L （Ｍ×Ｎ
×Ｖ_L ）という表現によって表わし、ここでも又、Ｖ_L
は、ビューの総数である。円軌道データから再構成され
る画像は、Ｉ_c （Ｋ×Ｋ×Ｋ）又はＩ_cs（Ｋ×Ｎ×Ｋ）
という形態を有する。前者は立方ボリュームであり、後
者はＸ線源及び検出器パネルによって画定される「ホー
ン形状」のボリュームである。線軌道データから再構成
される画像は、Ｉ_L （Ｋ×Ｋ×Ｋ）又はＩ_Ls（Ｋ×Ｎ×
Ｋ）という形態を有し、同様に、前者は立方ボリューム
であり、後者は「ホーン形状」のボリュームである。

【００３７】画像は、線軌道データから再構成される。
第１段階として、線軌道投影データを修正して、図６、
図７及び図８に図形的に示すように、複数の射線が線源
３４から検出器アレイ３２へ走行する際の発散の効果を
収容するようにする。検出器パネル上で検出される発散
した射線は、検出器の値に次のような加重関数を乗算す
ることにより修正される。

【００３８】Ｗ（ｍ，ｎ）＝Ｄ／［Ｄ²＋（ｍ−ｍ₀）²
ａ²＋（ｎ−ｎ₀）²ｂ²］^1/2

【００３９】

【外７】

【００４０】検出器パネル３２の（ｍ₀ ，ｎ₀ ）へ投影
されている。値ａ及びｂは、それぞれ行次元及び列次元
での検出器ピッチである。検出器ピッチは、２つの隣接
した検出器の中心と中心との間の距離を定義する標準的
な定義である。

【００４１】次に、ｎ番目の傾斜(angular) 垂直平面を
再構成する。ｎ番目の傾斜垂直平面を再構成するために
は、Ｐ_L 配列のｎ番目の列から投影データＰ_Ln（Ｍ×Ｖ
_L ）を抽出する。ここで、ｍ番目の行は、固定されたビ
ーム角度θ_m に対応している。

【００４２】Ｐ_m の行要素は、この垂直スライスの物体
中心が、ｖ＝Ｖ₁ ／２に再整列するようにシフトされ
る。Ｐ_Ln′を再整列後の投影配列であるとする。

【００４３】物体空間に復帰するためには、２つの方法
のうちいずれか一方を採用することができる。第１の選
択肢としては、１次元ＦＦＴをＰ_Ln′の各々の行に適用
する。そして、ＦＦＴデータの各々の集合を、ｍ＝
１，．．．，Ｍとした場合の角度θ_m における半径線上
に配置する。そして、逆ＦＦＴを用いて、フーリエ・デ
ータ集合を物体空間へ変換する。

【００４４】第２の選択肢としては、すべてのＮ列につ
いてのフィルタ補正後のＰ_Ln′を逆投影して、Ｘ線源３
４及びＮ列の検出器列のＮによって画定されるＮ個の垂
直平面を含むホーン形状ボリュームを得る。ｆ_n （ｘ，
ｙ）をｎ番目の列に基づく再構成後の画像であるとし、
Ｑ_n をフィルタ補正後の投影配列であるとすると、

【００４５】

【数８】

【００４６】となる。

【００４７】上の式をシフト後の行要素に適用した結果
は、ホーン形状を有する立体配列Ｉ _Lsとして表わされ
る。

【００４８】最終画像は、２つの可能な方法のうち一方
によって再構成することができる。先ず、シャドウ・コ
ーン３０を３次元フーリエ空間内で置き換えることがで
きる。代替的には、シャドウ・コーン３０を２次元フー
リエ空間内で置き換えた後に、ホーン形状ボリュームか
ら立方ボリュームへ戻すように補間してもよい。

【００４９】最初に、３次元空間でのシャドウ・コーン
３０の置き換えについて述べる。第１段階として、Feld
kampのアルゴリズムを用いて、円軌道データから、トー
ラス２４に関連した画像Ｉ_c を再構成する。次いで、Ｉ
_c から３次元フーリエ変換Ｆ（Ｉ_c ）を得る。

【００５０】ホーン形状ボリュームＩ_Lsを補間して、対
応する立方ボリュームＩ_L を得る。Ｉ_L から３次元フー
リエ変換Ｆ（Ｉ_L ）が得られる。

【００５１】Ｆ（Ｉ_c ）のシャドウ・コーン部分は、Ｆ
（Ｉ_L ）の対応部分で置き換えられ、修復されたフーリ
エ・データ配列を与える。次いで、修復後のフーリエ・
データ配列に対して逆フーリエ変換を適用して、立方空
間に復帰する。

【００５２】次に、シャドウ・コーンを２次元フーリエ
空間内で置き換える方法について述べる。第１段階とし
て、この場合にもやはり、Feldkampのアルゴリズムを用
いて、円軌道データから画像Ｉ_cを再構成する。次に、
Ｉ_c を補間してＩ_csとする。ここで、Ｉ_s は、複数の傾
斜垂直平面を画定する。Ｉ_Lsは、上述のように、線軌道
データから得られる。

【００５３】フーリエ変換Ｆ（Ｉ_cs）及びＦ（Ｉ_Ls）
は、Ｉ_cs及びＩ_Lsから得られる。シャドウ・コーンは、
Ｆ（Ｉ_cs）の各々の２次元平面内でＦ（Ｉ_Ls）において
定義される対応データによって置換される。修復後のフ
ーリエ・データの２次元集合の各々に対して逆フーリエ
変換を適用する。最後に、ホーン形状ボリュームを補間
して、立方ボリュームに戻す。

【００５４】以上に述べたＤＦＭ法は、極座標から直交
座標への補間を要求する。

【００５５】上述のコーン・ビーム再構成は、円−線の
軌道に基づいており、フーリエ領域の円軌道データの欠
落したシャドウ・ゾーン２８を線軌道データによって置
き換えることを必要とする。図６に示す線軌道配向の場
合には、物体４０は、ｚステップ３６の増分として示す
離散的な増分でｚ方向に移動するものとして示されてい
る。複数の検出器３２から成る各々の垂直列は、線源３
４と共に、物体４０を通る平面を画定する。各々の垂直
な平面内で、各々の検出器位置が特定の角度を画定し、
各検出器によって収集されたデータは、ｚステップの間
隔でサンプリングされた物体の平行投影に対応する（図
６、図７及び図８）。図７は、角度θ_m＝θ_max におけ
る物体４０のいくつかの平行投影を示しており、図８
は、角度θ _m ＝θ_min における物体４０の平行投影を示
している。これらの平行投影を用いて、２次元ＦＴ平面
における対応する欠落した角セグメントを充填する。θ
_max及びθ_min は、シャドウ・ゾーン２８のデータボリ
ュームを置き換えるのに用いられるシャドウ・コーン３
０（図３）のデータボリュームが、シャドウ・ゾーンの
データボリュームを包含するように選択される角度であ
る。この条件は、図２に示すように、θ₀ ＝θ_m のとき
に満たされる。

【００５６】１つのアプローチは、限定された角度ビュ
ーの集合から、平行投影を用いて、各々の傾斜平面毎に
フィルタ補正逆投影（ＦＢＰ）画像を再構成し、次い
で、２次元ＦＴを算出し、これを用いて欠落した角セグ
メントを置き換えるものである。

【００５７】もう１つの代替的な方法は、極格子データ
を平行投影の１次元ＦＴから２次元ＦＴ領域内の直交格
子へ直接変換するものである。この方法は、正フーリエ
法逆投影に要求される補間に類似している。

【００５８】線軌道では、各々の平面毎に、所定の数の
投影（各々の垂直列におけるＭ個の検出器に等しい）
を、θ_min からθ_max の角度範囲について取得する。線
データのための補間手法は、コーン・ビーム再構成方法
の計算に有用な以下に述べる補間法を展開するための方
法論を提供する。

【００５９】

【外８】

【００６０】

【数９】

【００６１】となる。

【００６２】

【外９】

【００６３】

【数１０】

【００６４】

【外１０】

【００６５】

【数１１】

【００６６】となり、ここで、 ρ＞０、０≦φ＜２πである。

【００６７】Ｍ（ρ，φ）が既知であると仮定すると、
極座標でのこのＦＴデータは、表現Ｍ（ρ cosφ，ρ s
inφ）＝Ｍ（ρ，φ）によってデカルト座標へ変換する
ことができる。物体は、次の表現を用いて２次元逆ＦＴ
によって再構成される。

【００６８】

【数１２】

【００６９】しかしながら、Ｍ（ρ，φ）は、すべての
位置において既知であるわけではなく、離散的な点（ρ
_j ，φ_k ）の有限な集合においてのみ既知であるに過ぎ
ない。そこで、極座標点の既知の値から直交デカルト格
子の全体に要求される値へ補間する問題となる。

【００７０】この問題を解くために既存の定理が利用さ
れる。先ず、ｘ（ｔ）を、時間空間ｔにおいて周期Ｔを
有する周期関数であるとする。ｃが定数であり、Ｋがｘ
（ｔ）の標本数に関連した整数である場合に、ｘ（ｔ）
が値［ｃ（１／Ｔ）］に角度に関して帯域限定されるな
らば、ｘ（ｔ）を次のように書くことができる。

【００７１】

【数１３】

【００７２】ここで、Ｔ_s ＝Ｔ／（２Ｋ＋１）である。

【００７３】この証明は、シャノンのサンプリング定理
から、次のようにして導かれる。

【００７４】

【数１４】

【００７５】ここで、データ配列の行数は、Ｎ＝２Ｋ＋
１である。

【００７６】角度補間は、関数Ｍ（ρ，φ）を用い、こ
こで、変数φは、２πの周期を有する。Ｍ（ρ，φ）
は、角度に関してＫに帯域限定されている（即ち、フー
リエ級数の係数が、｜ｎ｜＞Ｋについてｃ_n ＝０を満た
す）ので、

【００７７】

【数１５】

【００７８】となり、ここで、 σ（φ）＝［sin｛((2K＋1)/2)φ｝］／［（2K＋1）sin((1/2)φ)］ （１５） である。

【００７９】次に、半径補間について記載する。Ａが、
物体４０を包含する最小の球面の半径であるとして前に
示した半径Ｒと等価である場合に、物体が直径２Ａに空
間限定されているならば、物体の投影も又、直径２Ａに
限定され、従って、シャノンのサンプリング定理を用い
ると、投影Ｐφ（ｕ）のＦＴを次の式として再構成する
ことができる。

【００８０】

【数１６】

【００８１】角度補間と半径補間とを組み合わせると、
次の式が得られる。

【００８２】

【数１７】

【００８３】Ｍ_c （ｕ_l ，ｖ_m ）は、デカルト空間全体
にわたって次の式として算出される。

【００８４】Ｍ_c（ｕ_l，ｖ_m）＝Ｍ（ｕ_m ²＋ｖ_m ²）^1/2，
cos ^-1［ｕ_m／（ｕ_m ²＋ｖ_m ²）^1/2］ 補間誤差を減少させるために、以下に述べるようないく
つかの段階を踏むことができる。先ず、空間内での不十
分なサンプリングからの誤差を考察する。

【００８５】線軌道の最中に、予め定められたｚステッ
プ３６の間隔で平行投影データがサンプリングされる。
投影は空間限定されるので、帯域限定されない。所定の
ｚステップ・ウィンドウ（例えば、２Ａ）にわたって投
影をサンプリングすると、帯域幅を効率的に縮小すると
共に、２次元ＦＴ領域にエイリアシング（折り返し）ア
ーティファクトを導入することになる。結果として、ｚ
ステップ３６は、実効帯域幅Ｂ＝１／（２＊ｚステッ
プ）［点／サイクル］が投影の周波数内容を実質的に包
含するように十分小さいものに選択される。

【００８６】誤差のもう１つの原因は、半径周波数にお
ける不十分なサンプリングである。物体が、直径につい
て１／（２＊Ａ）に空間限定されているならば、物体の
投影も又、２Ａに空間限定され、このため、エイリアシ
ングを回避するためにＦＴは少なくとも１／（２Ａ）
［点／サイクル］の間隔で一様にサンプリングされる。

【００８７】線データの場合には、実効帯域幅はＢと定
義される。半径標本の数Ｎは、（２＊Ｂ）／Ｎ＝１／
（Ｎ＊ｚステップ）≦１／（２＊Ａ）となるように選択
される。又、２次元ＦＴ領域における格子間隔も、最大
で１／２Ａ［点／サイクル］である。

【００８８】誤差のもう１つの原因は、ビューの不十分
な数である。非等方的で且つ中心がずれた物体は、角度
に関して帯域限定されない。このため、投影の数を非常
に大きくすることができる。しかしながら、実用上は、
投影の数は、２次元ＦＴ領域において２つの隣接した半
径線の間のサンプリングが、最大格子間隔１／２Ａ［点
／サイクル］に近似的に等しくなるように選択される。

【００８９】次に、２次元ＦＴ領域内での補間について
述べる。線軌道データの場合には、２次元ＦＴ領域内で
直交格子間隔１／２Ａ［点／サイクル］を用いる。コン
ピュータでの実現時には、典型的には、高速フーリエ変
換（ＦＦＴ）を用いて各々の投影の１次元ＦＴを算出す
る。半径サンプリングを改善するために、ＦＦＴを適用
する前に、投影データのゼロ充填を行う。本明細書で
は、ゼロ充填は、データ集合に対してゼロを付加して、
ＦＦＴが行われた後のアーティファクトを最小化する工
程を含んでいる。一旦、半径方向サンプリングが得られ
たら、最近接補間又は線形補間を用いて、新たな標本点
の間の値を算出する。

【００９０】前述のように、線軌道の場合には、小さな
角セグメントについて複数の投影が要求される（即ち、
角度方向は、半径サンプリングに比べてオーバサンプリ
ングされる。）。１つの問題は、このデータを効率的に
利用する仕方にある。最近接法のような単純な補間法
は、利用可能なデータのすべてを利用しない。１つの代
替的なアプローチは、行をグループ化し、次いで、以下
に詳細に記載するような逆双１次補間法を利用して信号
対ノイズ比（ＳＮＲ）を増大させるように各々のグルー
プからの行を加算することにより、ビューの数をデシメ
ート（decimate）するものである。

【００９１】本発明では、逆双１次補間法を極格子フォ
ーマットのデータに対して利用する。方位角方向での最
適な補間のためには、式（１５）で定義されたσ（φ）
関数を用いることができる。但し、この関数は、計算面
では実用的でない。コンピュータでの実現のためには、
補間関数における値をトランケート（切捨て）せねばな
らず、これにより、アーティファクトが生ずる。

【００９２】コンピュータ計算の観点から、実現が最も
簡単な補間アルゴリズムは、最近接（ＮＮ）アルゴリズ
ムであり、このアルゴリズムでは、各々のピクセルに対
し、各ピクセルに最も近接した標本の値を与える。ＮＮ
は、サンプリングされたデータを矩形関数によって畳み
込むことと等価である。空間領域での矩形関数による畳
み込みは、周波数領域において信号にｓｉｎｃ関数を乗
算することと等価であるが、ｓｉｎｃ関数は顕著なサイ
ドローブを有するため、不十分な低域通過フィルタであ
る。

【００９３】線形補間は、サンプリングされたデータの
三角形ウィンドウによる畳み込みに相当する。この関数
は、周波数領域においてＮＮよりも良好な低域通過フィ
ルタ特性を有するｓｉｎｃ² 関数に対応する。

【００９４】ＮＮ法は、単一の点を基盤として補間す
る。線形補間アルゴリズムは、２つの最も近接した点を
基盤として補間する。補間に３つの点を用いると、１辺
では２つの点が得られ、他辺では唯一の点が得られる。
Ｂスプライン法は、各々の方向において２つの最も近接
した点にわたる補間を可能にする。３次Ｂスプライン法
は、ＮＮ法の矩形関数の４つの畳み込みを含む。３次Ｂ
スプラインは対称であるので、区間（０，２）において
定義するだけでよい。数学的には、これらのＢスプライ
ンは、次のように書くことができる。

【００９５】 ｆ（ｘ）＝ｘ³−ｘ²＋（４／６） ｘ∈（０，１） ｆ（ｘ）＝−（ｘ³／６）＋ｘ²−２ｘ＋（８／６） ｘ∈（１，２） 上で定義した３次Ｂスプライン方程式は、シャドウ・コ
ーン３０のデータの利用可能な集合の全体にわたって滑
らかな３次多項式にフィットするように適合させること
ができる。

【００９６】もう１つの補間関数は、σ（φ）のトラン
ケートに関連している。前述したように、σ（φ）関数
の角度方向における理想的な補間関数を見出すことが望
ましい。しかしながら、σ（φ）関数は、かなりのエネ
ルギを有しており、このため、長い距離にわたって急速
に減衰せず、従って、空間領域での畳み込みとして容易
に実現することができない。短い距離にわたってこの関
数をトランケートすると自然であるが、トランケート
は、上述のエネルギの殆どを無視する。更に、空間領域
でのトランケートは、物体が空間領域から信号領域へ変
換されるときに、リンギング・アーティファクトを生ず
る。

【００９７】双１次補間は、２次元の補間方法である。
この補間法においては、ｆ（ｘ，ｙ）は、ｎ₁ Ｔ≦ｘ≦
（ｎ₁ ＋１）Ｔ及びｎ₂ Ｔ≦ｙ≦（ｎ₂ ＋１）Ｔについ
て４つの最も近接した点におけるｆ（ｎ₁ ，ｎ₂ ）の線
形結合によって評価される。双１次法における補間後の
値ｆ（ｘ，ｙ）は、 ｆ（ｘ，ｙ）＝（１−Δ_x）（１−Δ_y）ｆ（ｎ₁，ｎ₂）
＋（１−Δ_x）Δ_yｆ（ｎ₁，ｎ₂＋１）＋Δ_x（１−Δ_y）
ｆ（ｎ₁＋１，ｎ₂）＋Δ_xΔ_yｆ（ｎ₁＋１，ｎ₂＋１） となる。ここで、 Δ_x＝（ｘ−ｎ₁Ｔ）／Ｔ、及びΔ_y＝（ｙ−ｎ₂Ｔ）／Ｔ である。

【００９８】逆双１次補間は、逆双１次加重を介して極
格子データを直交格子データへ変換する。即ち、各々の
極格子要素は、４つの部分面積を正規化された加重とし
て用いて各要素の４つの最も近接した直交格子に再分配
される。この方法は、原データが各々の矩形方形に少な
くとも１つの要素を有している限りにおいて、原データ
が規則的に分配されなくてもよいという意味で、ロバス
トなものである。このため、検出器アレイ３２（図６）
の欠陥又は継ぎ目によって生ずる望ましくないデータ要
素を無視することができる。この処理のもう１つの利点
は、すべての良好なデータが完全に利用されることであ
り、この結果、よりよい信号対ノイズ比（ＳＮＲ）を提
供する。

【００９９】線軌道データ値ｘ、及び逆双１次補間に用
いられる関連する格子点を図９に図形的に示す。データ
値ｘは、次のようにその４つの最も近接した格子点に分
配される。

【０１００】 ｇ_i,j＝ｇ_i,j＋ａ₁₁ｘ ｇ_i+1,j＝ｇ_i+1,j＋ａ₀₁ｘ ｇ_i,j+1＝ｇ_i,j+1＋ａ₁₀ｘ ｇ_i+1,j+1＝ｇ_i+1,j+1＋ａ₀₀ｘ 各々の格子点は、積算された値ｇ_i,j を有しており、４
つの隣接した正方形からの積算された加重後のｘの値を
表わす。各々の格子点において積算された値を正規化す
るために、もう１つの変数ｗ_ijを保持する必要があり、
この変数は、ピクセル（ｉ，ｊ）の双１次分布に関連し
た積算された加重（ａ_ij）で表わされる。実際には、こ
の工程は、各々の格子点が積算された加重ｗ_ijで除算さ
れるので、補間手順の終盤での正規化工程となる。

【０１０１】２次元ＦＴ領域及び画像領域について、所
載の補間法を用いて６組のシミュレーションを行った。
シミュレーションの結果は、最近接（ＮＮ）補間法、線
形補間法、３次Ｂスプライン補間法及びフィルタ補正逆
投影（ＦＢＰ）補間法と比較した場合の逆双１次補間を
示す。結果を表Ｉ・表VIに掲げる。

【０１０２】最初の３つのシミュレーションについて
は、線形補間を半径方向に用いた。最近接補間法、線形
補間法及び３次Ｂスプライン補間法は、方位角方向に用
いた。２次元ＦＴ領域での角セグメントの再構成は、線
軌道データを用いてシミュレートされた。関心のあるス
ライスは、図６の物体を通る中央のスライスとした。物
体は３つの水平な円板から成り、ｚ（垂直）方向に尖端
を有するようにした。

【０１０３】又、トランケートσ（φ）補間法を方位角
方向（８つの近接点を含めて）に用いた。線形補間は、
半径方向に用いた。最近接補間及び線形補間は、３次Ｂ
スプライン補間よりも良好な性能の結果を生じた。しか
しながら、３次Ｂスプラインは、トランケートσ（φ）
補間における８つの点に対して４つの点しか用いない。
従って、３次Ｂスプラインは、８点のトランケートσ
（φ）補間よりも計算面でより好ましく、このため、ト
ランケートσ（φ）補間は比較に含めなかった。

【０１０４】極座標点に基づく双１次補間についても評
価を行った。関心のあるスライスの２次元ＦＴを算出
し、上述の方法を比較する基本的な基準として用いた。
ＦＢＰ再構成の２次元ＦＴも又、比較に含めた。ＦＢＰ
再構成は、２次元ＦＭＰ画像の再構成及びこの後に２次
元ＦＴの算出を必要とする。しかしながら、極座標双１
次補間は、画像領域へ戻す変換を必要としない。これに
より、ＦＢＰ法を凌ぐ計算面の利点が得られる。

【０１０５】各々の方法の性能を測定するために、様々
な数のビュー及び半径標本について上述の方法を用いて
補間後の直交格子値を算出した。誤差は、次のような実
数２次元ＦＴによって算出した。則ち、ノルム１（全絶
対差；表１）、ノルム２（全平方距離の平方根；表
２）、及びノルム∞（最大絶対差；表３）である。尚、
ノルム１、ノルム２及びノルム∞という用語は、統計分
析において用いられる標準的な用語であることに留意さ
れたい。

【０１０６】

【表１】

【０１０７】

【表２】

【０１０８】

【表３】

【０１０９】又、補間された直交格子から、逆２次元Ｆ
Ｔを用いて、対応する限定されたビュー画像も算出した
（表４乃至表６）。誤差は、再構成画像と真の画像とで
比較した。ＦＢＰ画像も比較に含めた。尚、線軌道の実
際の実現時には、２次元ＦＴデータにパッチを当ててFe
ldkampの２次元ＦＴデータとする前に画像を再構成する
必要はないことに留意されたい。

【０１１０】

【表４】

【０１１１】

【表５】

【０１１２】

【表６】

【０１１３】半径サンプリングを増大させても、画像領
域の誤差は減少しないことが観察されよう。しかしなが
ら、半径サンプリングを減少させると、直交格子間隔が
半径サンプリングと最早同程度でなくなるので、誤差が
導入される。但し、ｚステップ３６の値は、帯域幅制限
の故に固定されている。従って、各々の投影毎に、Ｎに
ｚステップを乗じたものが２ＡとなるようなＮ個のサン
プルが利用可能となる。

【０１１４】各々の例で、逆双１次補間は、２次元ＦＴ
領域においても、画像領域においても、所載の他の補間
法と比較して誤差が少ない。又、例えば、表VIのデータ
によって観察され得るように、画像誤差を大幅に増大さ
せずに、２次元ＦＴ領域及び画像領域におけるビューの
数を２５６から減少させることもできる。

【０１１５】本発明に従ってＣＴ画像を再構成する様々
な方法及び装置の特定の実施例を、本発明を実行し利用
する方式を説明する目的で記載した。本発明の他の変形
及び改変の実現並びにその様々な側面は当業者には明ら
かであり、本発明はここに記載した特定の実施例によっ
て限定されないことを理解されたい。従って、本発明は
ここに開示し請求した基礎にある基本的な原理の要旨の
範囲内にある任意の及びすべての改変、変形又は均等構
成を網羅するものとする。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明のＸ線断層撮影イメージング・システム
を示すブロック図である。

【図２】図１のシステムによって形成される円軌道の断
面を示す模式図である。

【図３】図２のシャドウ・ゾーン及び対応するシャドウ
・コーンを示す模式図である。

【図４】平面へ投影された図２のシャドウ・コーンの断
面を示す模式図である。

【図５】平面へ投影された図２のシャドウ・コーンの断
面を示す模式図である。

【図６】図１のシステムによってｚ方向に実行される漸
増式処理工程を示す模式図である。

【図７】角度θ_max における平行投影データの集合
（図６に示す検出器アレイのＭ番目の行から得られる）
を示す模式図である。

【図８】角度θ_min における平行投影データの集合
（図６に示す検出器アレイの１番目の行から得られる）
を示す模式図である。

【図９】図１のシステムの逆双１次補間を示す模式図で
ある。

【符号の説明】

１０ ＣＴイメージング・システム １２ サンプリング装置 １４ 高速フーリエ変換プロセッサ １６ 中央処理ユニット（ＣＰＵ） １８ 補間器 ２０ メモリ ２２ 表示装置 ２４ トーラス ２６ シャドウ・ディスク ２７ 水平な平面 ２８ シャドウ・ゾーン ３０ シャドウ・コーン ３２ 画像検出器アレイ ３４ Ｘ線源 ３６ ｚ軸 ４０ 物体

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 メフメト・ヤブズ アメリカ合衆国、ニューヨーク州、クリフ トン・パーク、ウエストチェスター・コー ト、５番

Claims (19)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 円軌道からのデータと線軌道からのデー
   タとを含むＸ線断層画像を、前記円軌道データを投影す
   ることにより形成されるシャドウ・ゾーンに基づいて再
   構成する方法であって、 円形のホーン形状ボリューム内で、前記円軌道から得ら
   れる画像を表わす工程と、 対応する線形のホーン形状ボリューム内で、前記線軌道
   から得られる画像を表わす工程と、 各々の前記円形のホーン形状ボリューム及び各々の前記
   線形のホーン形状ボリュームの各垂直平面における２次
   元画像を複数の２次元フーリエ平面へ変換する工程と、 前記円軌道データから、前記２次元フーリエ平面の各々
   における３次元シャドウ・コーンの投影を除去すると共
   に、該投影を前記線軌道データから得られた対応する投
   影により置き換えて、複数の修復された２次元フーリエ
   平面を形成するようにする工程と、 前記複数の修復された２次元フーリエ平面に対して逆２
   次元フーリエ変換を施して、結果として得られるホーン
   形状ボリュームを表わすそれぞれの複数の２次元画像平
   面を得る工程と、 前記結果として得られるホーン形状ボリュームを前記Ｘ
   線断層画像へ変換する工程と、を備えた前記方法。
2. 【請求項２】 前記円軌道から得られる画像を表わす前
   記工程は、見込む角２θ₀ を有するシャドウ・コーンを
   選択する工程を含んでおり、ここで、前記角度θ₀ は、
   ラドン空間における前記シャドウ・ゾーンの限界を表わ
   す角度として定義される請求項１に記載の方法。
3. 【請求項３】 前記線軌道から得られる画像を表わす前
   記工程は、前記線軌道データから複数の垂直画像スライ
   スを形成して、前記線形のホーン形状ボリュームを形成
   する工程を含んでいる請求項１に記載の方法。
4. 【請求項４】 前記複数の垂直画像スライスを形成する
   前記工程は、前記線軌道データの投影から形成される複
   数の平行ビームを再構成する工程を含んでいる請求項３
   に記載の方法。
5. 【請求項５】 フィルタ補正逆投影法を用いて前記複数
   の垂直画像スライスを再構成する工程を更に含んでいる
   請求項４に記載の方法。
6. 【請求項６】 正フーリエ法を用いて前記複数の垂直画
   像スライスを再構成する工程を更に含んでいる請求項４
   に記載の方法。
7. 【請求項７】 前記正フーリエ法を用いる前記工程は、
   逆双１次補間を用いて、データを極格子から直交格子へ
   変換する工程を含んでいる請求項６に記載の方法。
8. 【請求項８】 前記逆双１次補間を行う前記工程は、４
   つの最も近接した格子位置ｇ_i,j 、ｇ_i+1,j 、ｇ_i,j+1
   及びｇ_i+1,j+1 に関して、各々の線軌道フーリエ・デー
   タ値ｘに対して逆双１次補間を行う工程を含んでいる請
   求項７に記載の方法。
9. 【請求項９】 各々の前記線軌道データ値ｘに対して逆
   双１次補間を行う前記工程は、各々の前記線軌道データ
   値ｘのそれぞれの位置と、前記４つの最も近接した格子
   位置ｇ_i,j 、ｇ_i+1,j 、ｇ_i,j+1 及びｇ_i+1,j+1 の各々
   との間の正規化された部分面積ａ₀₀、ａ₀₁、ａ₁₀、ａ₁₁
   を決定する工程を含んでいる請求項８に記載の方法。
10. 【請求項１０】 それぞれの前記線軌道データ値ｘに隣
    接した各々の格子点ｇ_i,j を収集すると共に加重ｗ_ijを
    割り当てる工程を更に含んでいる請求項９に記載の方
    法。
11. 【請求項１１】 前記正規化された部分面積を決定する
    前記工程は、次の等式 ｇ_i,j＝ｇ_i,j＋ａ₁₁ｘ ｇ_i+1,j＝ｇ_i+1,j＋ａ₀₁ｘ ｇ_i,j+1＝ｇ_i,j+1＋ａ₁₀ｘ ｇ_i+1,j+1＝ｇ_i+1,j+1＋ａ₀₀ｘ に従って各々の前記格子位置を更新する工程を含んでい
    る請求項１０に記載の方法。
12. 【請求項１２】 それぞれのｇ_i,j をｗ_ijにより除算す
    ることにより各々の格子データｇ_i,j を正規化する工程
    を更に含んでいる請求項１１に記載の方法。
13. 【請求項１３】 円軌道からのデータと線軌道からのデ
    ータとを含むＸ線断層画像を、前記円軌道のデータを投
    影することにより形成されるシャドウ・ゾーンに基づい
    て再構成する装置であって、 円形のホーン形状ボリューム内で、前記円軌道から得ら
    れる画像を表わす手段と、 対応する線形のホーン形状ボリューム内で、前記線軌道
    から得られる画像を表わす手段と、 各々の前記円形のホーン形状ボリューム及び各々の前記
    線形のホーン形状ボリュームの各垂直平面における２次
    元画像を複数の２次元フーリエ平面へ変換する手段と、 前記円軌道データから、前記２次元フーリエ平面の各々
    における３次元シャドウ・コーンの投影を除去すると共
    に、該投影を前記線軌道データから得られた対応する投
    影により置き換えて、複数の修復された２次元フーリエ
    平面を形成するようにする手段と、 前記複数の修復された２次元フーリエ平面に対して逆２
    次元フーリエ変換を施して、結果として得られるホーン
    形状ボリュームを表わすそれぞれの複数の２次元画像平
    面を得る手段と、 前記結果として得られるホーン形状ボリュームをＸ線断
    層画像へ変換する手段と、を備えた前記装置。
14. 【請求項１４】 前記円軌道から得られる画像を表わす
    前記手段は、見込む角２θ₀ を有するシャドウ・コーン
    を選択する手段を更に含んでおり、ここで、前記角度θ
    ₀ は、ラドン空間における前記シャドウ・ゾーンの限界
    を表わす角度として定義される請求項１３に記載の装
    置。
15. 【請求項１５】 前記線軌道から得られる画像を表わす
    前記手段は、前記線軌道データから複数の垂直画像スラ
    イスを形成して、前記線形のホーン形状ボリュームを形
    成する手段を含んでいる請求項１３に記載の装置。
16. 【請求項１６】 前記複数の垂直画像スライスを形成す
    る前記手段は、前記線軌道データの投影から形成される
    複数の平行ビームを再構成する手段を含んでいる請求項
    １５に記載の装置。
17. 【請求項１７】 フィルタ補正逆投影法を用いて前記複
    数の垂直画像スライスを再構成する手段を更に含んでい
    る請求項１６に記載の装置。
18. 【請求項１８】 正フーリエ法手段を用いて前記複数の
    垂直画像スライスを再構成する手段を更に含んでいる請
    求項１６に記載の装置。
19. 【請求項１９】 前記正フーリエ法手段は、逆双１次補
    間を用いて、データを極格子から直交格子へ変換する手
    段を含んでいる請求項１８に記載の装置。